UNIVERSIDAD NACIONAL DE

INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

Y DE SISTEMAS

Ecuaciones de Equilibrio

Integrantes:

Giraldo Salinas, Lizbeth Carol 20081172F

Zelada Mariluz, Kevin Aaron 20101083C

Guizado Rios, Jose Antonio 20110201E

Arevalo Ramırez, Leandro 20102074H

Dıaz Esquivel, Luis Angel 20112072H

Machicao Atao, Gonzalo 20100157C

Ramos Zorrilla,Angelica Isabel 20102577J

05 de Octubre del 2013

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Indice general

1. Introduccion 2

2. Ecuaciones de Equilibrio 3

2.1. Ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Propiedades Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Problemas de Aplicacion 10

3.1. Potencial de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2. Mecanica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Conclusiones 18

5. Bibliografıa 19

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Capıtulo 1

Introduccion

La modelacion matematica ha empezado a cobrar fuerza muy esencial al

saber relacionar el estudio de diferentes ciencias, tales como: biologıa, fısica,

quımica, con la matematicas, haciendo de ellas un aprendizaje mas signifi-

cativo. De esta manera la modelacion matemıatica se muestra como un eje

medular en la prediccion o toma de decisiones respecto de fenomenos sociales

o naturales ya que una buena interpretacion de un modelo matematico ayu-

dara a tener buenos resultados futuros, de lo contrario las perdidas pueden

ser grandes.

En la actualidad, la utilizacion de modelos matematicos en plagas y enferme-

dades de los cultivos, pueden abarcar aspectos muy variados y amplios. Sin

embargo, los mayores esfuerzos se han centrado en los modelos de poblacion

en el tiempo y/o espacio.

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Capıtulo 2

Ecuaciones de Equilibrio

2.1. Ecuacion de Laplace

Es el prototipo de la ecuacion elıptica, es una de las ecuaciones basicas

de las matematicas.

Supongamos que las condiciones en la frontera ∂Ω son fijos y no dependen

del tiempo, y las fuentes, si estan presentes, son independientes del tiempo.

Entonces, despues de mucho tiempo se espera que los efectos de la condicion

inicial de la region Ω decaera de distancia, dando un estado de equilibrio

µ = µ(x) que satisface una ecuacion de tipo estado estacionario. Considere

el problema inicial de contorno para la ecuacion de difusion:

µ(x, t) = g(x), x ∈ δΩ, t > 0.

µ(x, t) = g(x), x ∈ δΩ, t > 0.

µ(x, 0) = µ0(x), x ∈ Ω, t > 0.

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En el largo plazo podemos esperar que los efectos de los datos iniciales sean

pequeos y una solucion de equilibrio µ = µ(x) a emerger que satisface el

problema de equilibrio:

−D∆µ = f(x), x ∈ Ω..........(1)

µ(x) = g(x), x ∈ δΩ.............(2)

Ecuacion (1) es la ecuacion de Poisson. Si no hay fuentes, entonces la ecuacin

(1) se reduce a:

∆µ = 0, x ∈ Ω.....................(3)

que es la ecuacion de Laplace. Esta ecuacion diferencial parcial es posible-

mente la ecuacion mas analizada en el analisis. Tambien se plantea en muchos

otros escenarios naturales.

Los lectores que han estudiado analisis complejo pueden recordar que la

ecuacion de Laplace en dos dimensiones se satisface por tanto las partes real

e imaginaria de un funcion analıtica F (z) = µ(x, y) + iν(x, y) en un dominio

Ω en el plano complejo, es decir, ∆µ es decir (µx + µy = 0) y ∆ν = 0 en Ω.

Por lo tanto la ecuacin de Laplace juega un papel importante en el analisis

complejo.

Estas ecuaciones tambien surgen de manera natural en la teorıa del po-

tencial. Por ejemplo, si E es un campo electrico estatico en Ω inducida por

las cargas que se encuentran fuera Ω, entonces ∇w × E = 0. Si V(x) es una

funcion potencial, lo que significa E = −∇V entonces se deduce que la fun-

cion potencial F satisface la ecuacion de Laplace.

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Ecuacion de Laplace es tambien importante en la mecanica de fluidos y

muchas otras areas de aplicacion. Las soluciones a la ecuacion Laplace se

llaman funciones armonicas.

En una dimension, la ecuacion de Laplace es solo −µ′′(x) = 0, que tiene

soluciones lineales µ(x) = ax + b. Ası, los perfiles de temperatura de estado

estable en una barra son lineales. Las constantes a y b se determinaron a

partir de las condiciones de contorno.

Que tipo de condiciones auxiliares son apropiadas para la ecuacion de

Laplace o la ecuacion (1)? De las observaciones anteriores se espera imponer

solamente las condiciones de contorno a lo largo de δΩ, y no las condiciones

iniciales (en el ejemplo de Hadamard se observo que el problema de valo-

res iniciales para la ecuacion de Laplace en dos dimensiones no estaba bien

planteada). Por lo tanto, solo imponen condiciones de contorno, como por

ejemplo la condicion de Dirichlet (2), la condicion Neuman:

dµ

dn= g(x), x ∈ δΩ

la cual especifica el flujo a traves de la frontera, o una condicion Robin:

dµ

dn+ a(x)µ = g(x), x ∈ δΩ

En algunas aplicaciones en tres dimensiones, es conveniente trabajar en cual-

quiera de las coordenadas cilındricas o esfericas. Estas coordenadas se definen

por las ecuaciones:

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Coordenadas cilindricas r,θ, z

x = rcosθ

y = rsenθ

z = z

Coordenadas esfericas r,φ,θ

x = rsenφcosθ

y = rsenφsenθ

z = rcosφ

donde θ es el angulo polar y φ es el angulo azimutal. Y la aplicacion de

la regla de la cadena permite que escribamos el Laplaciano en coordenadas

cilındricas y esfericas como:

∆µ = µr +1

rµr +

1

r2µθ + µz.......(cilindrica)

∆µ =1

r2

δ

δr(r2µr) +

1

r2senφ

δ

δφ(senφµφ) +

1

r2senφµθ..............(esferica)

Los detalles de estos calculos se dejan como ejercicios que se deben hacer

una vez en la vida de todos, pero no dos veces. En dos dimensiones con si-

metrıa circular, las coordenadas polares son apropiadas.

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Ejemplo 3.1:

Hallar todas las soluciones radiales para la ecuacion de Laplace en dos di-

mensiones. Escribimos la ecuacion de Laplace en coordenadas polares como:

urr +1

rur = 0, u = u(r).

Notar que las derivadas parciales actualmente son derivadas ordinarias. En-

tonces podemos escribir de inmediato:

vr +1

rv = 0, v = ur(r).

Esta ecuacion la separamos por partes y se puede integrar para obtener:

v(r) =a

r.

Donde a es una constante. Luego:

u(r) = aln r + b,

Donde b es otra constante arbitraria.

Por ejemplo, las temperaturas de equilibrio entre dos cırculos concentri-

cos con valores constantes en los lımites, varıa logarıtmicamente.

Esto en contraste a la distribucion lineal en una barra o la geometrıa lineal.

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2.2. Propiedades Basicas

Las identidades en la subseccion anterior permitieron obtener, de una ma-

nera facil, algunas propiedades basicas a los problemas sobre el equilibrio.

Por ejemplo, podemos probar que hay una unica solucion al problema de

Dirichlet.

TEOREMA 3.1

Sea h una funcion continua sobre ∂Ω y f continua sobre Ω . Si el problema

de Dirichlet.

∆µ = f, xεΩ; µ = h, xεδΩ

Tiene una solucion µεC1(Ω) ∩ C2(Ω) , entonces es unica.

Para probar esto, asumimos que hay 2 soluciones µ1 = µ2. Entonces:

∆µ1 = 0, x ∈ Ω, µ1 = h, x ∈ δΩ; ∆µ2 = 0, x ∈ Ω, µ2 = h, x ∈ δΩ

Por lo tanto la diferencia ω = µ1−µ2 debe satisfacer el problema homogeneo:

∆ω = 0, x ∈ Ω;ω = 0, x ∈ δΩ.

Ahora, de la identidad de Green , tomar u = w para obtener∫Ω

∇w.∇wdx = 0

Por lo tanto ∇w = 0 y entonces w = const. en Ω; ya que w es continua en Ω

y cero en el lımite que debe tener u1 − u2 = w = 0 en Ω, o u1 = u2.

De la misma manera tambien tenemos el siguiente teorema:

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TEOREMA 3.2

Sea g continua en ∂Ω y f continua en Ω. Si el problema de Neumann

4u = f, x ∈ Ω;du

dn= g, x ∈ ∂Ω,

tiene una solucion x ∈ C1(Ω) ∩ C2(Ω), entonces necesariamente∫Ω

fdx =

∫∂Ω

gdS

La prueba se sigue inmediatamente de establecer w = 1 en la identidad de

Green . Fısicamente, significa que, en un estado de equilibrio, el flujo neto (de

calor, por ejemplo) a traves del lımite debe ser equilibrada por la cantidad

total de calor que se esta creando en la region por las fuentes.

Aplicaciones adicionales de las identidades de Green se encuentran en

los ejercicios. Otra propiedad de importacia (no constante) soluciones a la

ecuacion de Laplace es que alcanzan su maximo y mınimo en el lımite del

dominio, y no el interior. Este resultado se le llama el principio maximo, y

nos referimos a las referencias de la prueba.

TEOREMA 3.3

(Principio Maximo) Sea Ω un dominio abierto, acotado, bien definido en el

dominio Rn . Si ∆u = 0 en Ω y u es continua en Ω,a continuacion se alcanzan

los valores maximos de u en ∂Ω.

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Capıtulo 3

Problemas de Aplicacion

3.1. Potencial de condensadores

En una fabrica de computadoras, uno de sus principales problemas es el

de determinar el potencial de los condensadores que seran implementados en

la placas. Estos condensadores consisten en 2 cilindros coaxiales de radios R1

y R2 que se encuentran a potenciales V1 y V2. Se necesita hallar el potencial

a una distancia d entre los cilindros.

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SOLUCION

Las condiciones de frontera son:

(a) En la superficie del cilindro de radio R1 el potencial es:

V (r = R1) = V1

(b) En la superficie del cilindro de radio R2 el potencial es:

V (r = R2) = V2

Aplicando la condicion de frontera indicada en (a), tenemos la relacion:

V1 = A0Ln(R1) +B0

y al considerar la condicipn sealada en el punto (b)

V2 = A0Ln(R2) +B0

A partir de estas dos ecuaciones se tiene que las constantes son:

A0 =V2 − V1

Ln(R2/R1)

B0 =V1Ln(R2)− V2Ln(R1)

Ln(R2/R1)

por lo que el potencial se puede escribir como:

V (r) =(V2 − V1)Ln(r) + V1Ln(R2)− V2Ln(R1)

Ln(R2/R1)

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3.2. Mecanica de Fluidos

En la mecanica de fluidos tenemos ciertas condiciones de borde usuales

para la solucion de las ecuaciones que rigen el flujo subterraneo:

CONDICION DE POTENCIAL IMPUESTO

Es el caso que se presenta cuando el acufero esta en contacto con una masa

libre de agua tal como un rıo o el mar. En esta situacion la carga potencial

es constante en todos los puntos de la superficie de contacto entre el acuıfero

y el rıo o entre el acuıfero y el mar, y esta definida por la altura del agua en

el rıo o en el mar. En estas masas de agua las perdidas de carga son practi-

camente despreciables pues si bien es cierto que la carga pueda tener ciertas

variaciones con el tiempo, dichas variaciones no dependen del funcionamiento

del acuıfero sino de condiciones externas a el como lo son las precipitaciones,

por ejemplo. La condicion se expresa por lo tanto como h = cte.

CONDICIONES DE FLUJO IMPUESTO

Son equivalentes a la condicion de Neumann, ya que si se impone un valor

a ∂h∂n

, (el gradiente en la direccin n), se tiene a partir de la Ley de Darcy:

VN = −K ∂H∂N

y como ∂h∂n

= cte, entonces VN = cte y por consiguiente el

caudal o flujo es tambin constante.

CONDICIONES DE FOURIER Supongase un rıo que drena o alimenta

un acuıfero, que tiene un fondo colmatado por un material poco permeable.

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CONDICIONES DE FLUJO A SUPERFICIE LIBRE

Dos condiciones definen una superficie libre:

- La presion sobre todo punto M de la superficie libre es la presion atmosferi-

ca. Se puede escribir entonces: h = z.

- Ademas la superficie libre es una superficie a flujo impuesto, que puede ser

nulo si el acuıfero no es alimentado por su superficie, o sea ∂h∂n

= 0, y si la na-

pa es recargada por su superficie, entonces ∂h∂n

= a. Esta .alimentacion”puede

ser tambien negativa, como en el caso en que haya evaporacion.

Aparece aquı entonces una doble determinacion. El problema principal

reside en el hecho de que la posicion de la superficie libre no es conocida,

sino que por el contrario debe ser determinada y a su vez dicha superficie

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constituye una condicion de borde del flujo. Se trata entonces de una super-

ficie que cumpla simultaneamente las dos ecuaciones: h = z y ∂h∂n

= cte. Lo

que se hace en la practica es determinar la posicion de la superficie por apro-

ximaciones sucesivas. Primero se supone la posicin de la superficie, limitando

as el dominio de integracion, luego se fija la carga para dicho dominio h = z

y se verifica que el caudal calculado K ∂h∂n

, sea correcto.Si dicho flujo no es

correcto, se varıa la posicion de la superficie libre.

Hay condiciones de lımites con flujo a superficie libre, por ejemplo en los

acuıferos libres en los cuales la superficie piezometrica es la misma superficie

freatica. Tambien en el caso del flujo a traves de una presa de tierra, la lınea

de saturacion constituye un lımite de flujo a superficie libre.

En muchos casos la superficie libre es cortada por una superficie que esta en

contacto con la atmosfera, y aparece lo que se denomina una lınea de emer-

gencia del fluıdo, dejando de existir una continuidad entre la superficie libre

y el plano de agua hacia abajo. Dicha superficie de contacto entre la super-

ficie libre y la atmosfera es llamada superficie de goteo. Como ejemplos de

superficies de goteo se pueden precisar los mostran flujo a traves de una presa

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de tierra, flujo hacia un pozo, contacto de un acuıfero con una masa libre de

agua. En la figura el sector AB es la superficie de goteo.

En este caso entonces las condiciones de borde en la superficie de goteo se

expresan por la ecuacion:

h = z

Aquı tambien se presenta el problema de determinar la extension de la

superficie de goteo, lo cual se hace tambien por aproximaciones sucesivas,

como en el caso de la posicion de la superficie libre.

En ciertos casos, cuando se supone que el dominio de integracion es infinito,

es posible abstraerse de las condiciones de frontera. Esto es muy utilizado

cuando se estan buscando soluciones analıticas a la ecuacion de difusion. Los

metodos numericos se adaptan mejor cuando se tienen condiciones de fron-

tera conocidas.

Para los problemas de flujo transitorio es necesario definir las condiciones

iniciales del problema o sea el valor de h en todo el dominio, cuando t=0.

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APLICACION

Encontrar el caudal que fluye debajo de una presa que descansa sobre una

fundacion permeable

SOLUCION:

Considerando el acuıfero confinado y el flujo permanente se tiene:

∇2h = 0

Si se considera ademas, que el flujo es unidimensional :

∂2h

∂x2= 0

Integrando esta ultima ecuacin se tiene:

h = C1x+ C2

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Las condiciones de borde son:

Para x = 0, h = H1 y para x = B, h = H2 Esto implica que:

C1 = H1

C2 = H2

La cabeza piezometrica en cualquier punto debajo de la presa sera entonces:

h =H2 −H1

Bx+H1

y el caudal total, si L es la longitud de la presa, sera:

Q = V A→ A = Le

V = −K dh

dx= K

H1 −H2

B

Q =KLe

B(H1 −H2)

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Capıtulo 4

Conclusiones

1. Pdemos concluir que la Ecuacion de Laplace es importante en varios

aspectos de la vida diaria,por ejemplo en la mecanica de fluidos,la astro-

nomıa, la electrostatica (teorıa del potencial electrostatico),la mecnica

cuantica, etc

2. Podemos ver que los armonicos esfericos son funciones armonicas que

representan la variacion espacial de un conjunto de soluciones de la

ecuacion de Laplace cuando la dichas soluciones se expresan en coor-

denadas esfericas, como nos dice la informacion ya dada.

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Capıtulo 5

Bibliografıa

1. http : //www.ecologiaconnumeros.uab.es/llibre/InstruccionsApplets/Instrucciones−

Applet− 5 2.htm

2. http : //web.mat.bham.ac.uk/j.a.canizo/tex/elipticas2.pdf

3. http : //www.tecnun.es/asignaturas/metmat/Texto/En web/Ecuacion de Laplace.pdf

4. http : //es.wikipedia.org/wiki/Ecuacion de Laplace

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