Ecuacion de La Aleta Triangular

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA “CALCULO DEL PERFIL DE TEMPERATURA Y FLUJO DE CALOR EN UNA ALETA TRIANGULAR – EJERCICIOS” CURSO: TRANSFERENCIA DE CALOR PROFESOR: ELI GUAYAN ALUMNO: VEGA LUCAS, CARLOS 2014

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA

“CALCULO DEL PERFIL DE TEMPERATURA Y FLUJO DE CALOR

EN UNA ALETA TRIANGULAR – EJERCICIOS”

CURSO:TRANSFERENCIA DE CALOR

PROFESOR:

ELI GUAYAN

ALUMNO:

VEGA LUCAS, CARLOS

2014

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INDICE

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I.-FUNDAMENTO TEORICO

II.- DEDUCCIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURA Y FLUJO DE CALOR EN UNA ALETA TRIANGULAR

2.1 ESQUEMA

Sea:

2.2 HIPOTESIS DE TRABAJO

Conducción unidimensional en la dirección x. Régimen estable. Propiedades físicas constantes. No hay fuentes de calor y tampoco se consideran los efectos de la radiación(es

decir es un cuerpo gris). Considerar w>>t.

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2.3 ANALISIS

De la ecuación diferencial de la aleta, tenemos:

d2Tdx2

+

1A (x)

∗dA ( x )

dx∗dT

dx−hP ( x )KA ( x )

∗(T x−T ∞ )=0 …. (1)

Dónde:

Área genérica variable:

A ( x )=w∗t

Como el valor de “t” varia al variar “x”, de la figura siguiente, por semejanza calculamos el valor de “t” en función de “x”:

tbL= tx

t=tbLx

Entonces:

A ( x )=w∗t bL

x …(α ¿

Perímetro genérico:

P ( x )=2w+2 t

Pero por hipótesis: w>>entonces:

P(x )≅ 2w …(β)

Reemplazando las ecuaciones (α ¿ y (β) en ecuación (1), se tiene:

Page 5: Ecuacion de La Aleta Triangular

d2Tdx2

+

1w∗tbLx

∗d

dx

(w∗tbL

x)∗dT

dx− h∗2w

Kw∗tbLx∗(T x−T ∞ )=0

d2Tdx2

+

1w∗t bL

x

∗w∗t b

L∗dT

dx− h∗2w

Kw∗t bL

x

∗(T x−T ∞ )=0

d2Tdx2

1x∗dT

dx−

2h∗LK t b

∗1

x∗(T x−T ∞ )=0…(2)

Sea el cambio de variable:

θ ( x )=T ( x )−T ∞

Dónde:

ddxθ(x)=

ddxT (x)…(δ )

Y además:

m2=2 h∗Lk∗t b

…(γ )

Reemplazando las ecuaciones (δ ) y (γ ) en la ecuación (2), se tiene:

d2θ

dx2+

1x∗dθ

dx−2m2∗1x

∗θ=0…(3)

Multiplicando por x2:

x2d2θdx2

+ x∗dθdx

−m2∗x∗θ=0…(4)

Haciendo un cambio de variable para dar la forma de la función de Bessel:

Haciendo:

Page 6: Ecuacion de La Aleta Triangular

u=√x , entoncesu2=x…¿

Dónde:

dx=2udu , entonces dudx

= 12u…¿

De la regla de la cadena:

dθdx

=

dθdu

∗du

dx=12udθdx…(¿)

d2θ

dx2= ddx ( dθdx )= d

du

( dθdx )∗dudx

…¿

Reemplazando las ecuaciones ¿ y (¿) en ¿, se tiene:

d2θdx2

= ddu ( 12u dθdx )∗( 1

2u)

d2θdx2

=(−12u2 dθdx + 12ud2θdu2 )∗( 1

2u)

d2θdx2

= −14u3

dθdx

+ 14u2

d2θdu2

….(¿∗¿)

Reemplazando las ecuaciones ¿ ,(¿) y (¿∗¿) en ecuación (4), tenemos:

u4(−14u3

dθdx

+ 14u2

d2θdu2

)+ u2∗12u

dθdx

−m2∗u2∗θ=0

(−u4dθdx

+ u2

4d2θdu2

)+ u2∗12u

dθdx

−m2∗u2∗θ=0

u2

4d2θdu2

+u2dθdx

−−u4dθdx

−m2∗u2∗θ=0

Multiplicando por 4, tenemos:

u2d2θdu2

+2u dθdx

−u dθdx

−4m2∗u2∗θ=0

u2d2θdu2

+u dθdx

−4m2u2∗θ=0

Page 7: Ecuacion de La Aleta Triangular

Agrupando:

u2d2θdu2

+u dθdx

−(2m)2u2∗θ=0

Denominando:

δ=2m

Tenemos:

u2d2θdu2

+u dθdx

−δ 2u2∗θ=0… (5)

“ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BASSEL MODIFICADA”

La solución está dada por:

θ=C1 I0 (δu )+C2K0(δu)

θ=C1 I0 (2m√ x )+C2K0 (2m√x )…(6)

Dónde:

I 0: Función de Bessel modificada de orden cero y de primera especie.

K0 : Función de Bessel modificada de orden cero y de segunda especie.

CONDICIONES DE FRONTERA:

a) Para x=0, la temperatura tiene que ser finita y como la función de Bassel modificada

de segunda clase y de orden K0 tiende al infinito cuando el argumento tiende a cero,

la constante C2 debe ser idénticamente igual a cero.

Por tanto reemplazando en la ecuación (6), se tiene:

θ=C1 I0 (2m√ x )… (7)

b) Para x=L, se tiene:θ (L )=T (x )−T∞

Por tanto, reemplazando en ecuación (6):

θ (L )=C1 I 0 (2m√ x )

C1=θ (L )

I 0 (2m√ L )…(8)

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Finalmente reemplazando las ecuaciones (7) y (8) en ecuación (6), tenemos:

θ(x)=θ (L )

I 0 (2m√ L )I 0 (2m√ x )

θ(x)

θ(L)

=I 0 (2m√ x )I 0 (2m√ L )

PERFIL DE TEMPERATURA DE

LA ALETA TRIANGULAR