UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

TRABAJO DE ANALISIS MATEMATICO III

TITULO:1.- INTEGRALES POR RECURRENCIA

2.- ECUACION DE BERNOULLI

GRUPO 5 09/DIC/13

METODO DE INTEGRACION POR

RECURRENCIA

INTEGRACION POR RECURRENCIAO El método de integración por recurrencia,

consiste en encontrar una relación entre la integral que queremos hallar (habitualmente una función con exponente entero n) y otra integral similar (la misma función con exponente entero menor que n).

O Es decir dicha relación será de la forma:

INTEGRACION POR RECURRENCIA

O Donde f (x , n) y g ( x , n) son funciones reales de variable x y parámetro n, r es un número racional y k un número natural.

O Aplicando dicha fórmula por recurrencia, se puede ir rebajando el nivel del exponente, hasta que sea fácil de calcular, y a partir de ella calcular la que queremos obtener. La mayoría de las veces se utiliza la integración por partes para hallar esta relación de recurrencia.

INTEGRACION POR RECURRENCIA

INTEGRACION POR RECURRENCIAO Las integrales del tipo , es decir aquellas en que

aparece un exponente ó coeficiente genérico n pueden hacerse, aplicando reiteradamente la integración por partes, dando una fórmula en la que aparezca la misma integral pero con n-1 , n-2, etc. en vez de n. En este caso, llamemos:

O Pues la integral es la original salvo el exponente de x. Así queda resuelta la integral, pues podemos rebajar el grado hasta:

INTEGRACION POR RECURRENCIA

ECUACION DE BERNOULLI

ECUACION DE BERNOULLIO Una ecuación diferencial ordinaria de primer

orden de la forma:

se denomina ecuación diferencial de Bernoulli.O Es claro que, si r = 0, entonces tenemos una

ecuación diferencial lineal

O También, si r = 1, entonces tenemos una ecuación diferencial lineal

MÉTODO DE SOLUCIÓN

O Sea la ecuación:

•Lo primero que debemos hacer es revisar si la ecuación cumple con la forma ordinaria

Si la ecuación cumple con la forma básica, ahora debemos sacar los valores siguientes:

NOTA. Todo esto va relacionado con la forma ordinar ia de la ecuación

SOLUCIÓNEn este punto sacaremos el valor de w.

Por lo tanto:

Expresamos la ecuación en términos de la diferencial:

Resolvemos los paréntesis y queda:

Ahora determinamos el factor integrante:

NOTA. Para sacar el factor integrante se considera el valor de p(x) en la expresión diferencial.

Factor integrante

Ya que tenemos el factor integral aplicamos la siguiente formula::

Donde: u es el factor integrante. q(x) seria igual al valor que tiene f(x)

Evaluamos la ecuación:

Y nos queda:

Al analizar la ecuación nos damos cuenta que necesitamos hacerla por partes entonces tomamos un valor para u y para dv pero solo de :

Aplicamos la formula de

“integrales por partes”

Realizamos las integrales que aun quedan y el resultado es:

Multiplicamos por para quitar los corchetes y paréntesis:

Ya tenemos nuestra ecuación resuelta ahora solo nos queda sustituir w por el valor que teníamos al principio el de w=y-³

La respuesta simplificada es:

GRACIAS….