Ccap 11 Ecuacion General de Conicas

7/31/2019 Ccap 11 Ecuacion General de Conicas

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CAPTULO11ECUACINGENERALDECNICAS

EstrabismooDISLEXIA

E

strabismo es toda situacin en que losejes visuales no se cruzan sobre el ob-jeto que se mira.

El ojo realiza movimientos de rotacin y detraslacin, pero para su tratamiento slo seestudian los de rotacin, ya que los de tras-

lacin son despreciables, el estudio se basa nicamente en los ejes de Fick(son los ejes de rotacin).

Los ejes que pueden pasar por el centro de rotacin (uno para cada movi-miento), en el que el eje Y anteroposterior coincida con el eje visual y los

ejes Xy Zestn contenidos en un plano perpendicular al eje Yen el centrode rotacin.

Estrabismo o dislexia

Estudio de los ejes de Fick.


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Rotacin de ejes

En el sistema de ejes coordenados cuando los ejes rotan un nguloa, manteniendo fjo el origen, los puntos P(x, y)

se transorman en P (x, y), a esta transormacin se le llama rotacin de ejes. Los puntos estn relacionados con las

siguientes ecuaciones:x x cos y sen

y y cos x sen

'

'

= +=

En la fgura,x= OD CD ;y = AP AC+

Pero CD = AB y AC = BD , entonces

x= OD AB ;y = AP BD+En el tringulo PAB

sen a =AB

y '; cos a =

AP

y '

AB = y sen a, AP = y cos a

En el tringulo ODB

sen a =BD

x'; cos a =

OD

x'

BD = x sen a, OD = x cos a

Luego, al sustituir enx= OD AB ;y = AP BD+

x = x cos a y sen a;

y = y cos a + x sen a

Al resolver el sistema se obtiene:

x x cos y sen

y y cos x sen

'

'

= +=

Y

P (x, y)P (x, y)

x

y

X

X

x

y

O C D

BA

Y

Un sistema de coordenadas se rota 45. Determina las coordenadas del punto A( 1, 2) reerido al nuevo sistema

coordenadoXY.Solucin

Para determinar las nuevas coordenadas (x,y) se utiliza:x =xcosa +ysena;y =ycosa xsena.

Como el ngulo a rotar es de 45, se precisa que:

sen 45 =1

2y cos 45 =

1

2

Al sustituir en las rmulas, se determina el punto en el nuevo sistema coordenadoXY.

x =1

2( 1) +

1

2(2) =

1

2 +

2

2 y =

1

2(2)

1

2( 1) =

2

2+

1

2

x =1

2 y =

3

2

De aqu se deduce que las coordenadas del puntoA( 1, 2) en el nuevo sistema de coordenadas

son:A1

2

3

2

,

.

1

Ejem

plosEJEMPLOS


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ngulo de rotacin

Para determinar el ngulo de rotacin, el cual elimina el terminoxy, se sustituyen las ecuaciones:

x x cos y sen= ; y x sen y cos= +

en la ecuacinAx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, como a continuacin se ejemplifca:

Determina el ngulo de rotacin de los ejes necesario para eliminar el trmino xy de la ecuacin.

7x2 6 3xy + 13y2 = 16

Solucin

1

EjemplosEJEMPLOS


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Transformacin de la ecuacin general de segundo grado

Para transormar la ecuacinAx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, a otra que carezca del trmino xy conociendo el

ngulo de rotacin a, se sustituye dicho ngulo en las rmulas:

x = x cos a y sen a; y = x sen a + y cos a

y stas a su vez en la ecuacin, desarrollando y simplifcando los trminos resultantes.

Ejemplo

Transorma la ecuacinx2 2xy +y2 + 2x 4y + 3 = 0, cuando se giran los ejes un ngulo de 45.

Solucin

Debido a que el ngulo de rotacin es de 45, se determinan las ecuaciones de rotacin.

x=x cos 45 y sen 45 =x y' '

2;y =x sen 45 +y cos 45 =

x y' '+2

Se sustituyen estos valores en la ecuacin dada, el resultado es:

x y x y x y x' ' ' ' ' ' '

+

+2

22 2

2

++

+

+

+ =y x y x y' ' ' ' '

22

24

23

2

00

Al desarrollar y simplifcar se obtiene al fnal:

2y2 2x 3 2y + 3 = 0

Rota las siguientes curvas a los ngulos indicados.

1. x2

2xy + y2

2x 2y = 0;

= 45

2. 13x2 + 2 3xy + 15y2 48 = 0; = 150

3. x2 + 2 3xy y2 8 = 0; = 120

4. 3x2+ 2 3xy + y2 2x + 2 3y = 0; = 30

5. 3x2 + 2xy + 3y2 8 2x6 = 0; = 135

EJERCICIO 45

Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente


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Transformacin aplicando las identidades trigonomtricas

Para transormar la ecuacinAx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 a otra que carezca de trminoxy se utilizan las

siguientes rmulas:

tan 2a =B

A C

Y las identidades trigonomtricas

cos 2a =1

2 12

tan a+; sena =

1

2

cos 2;cosa =

1

2

+ cos 2

Como se muestra a continuacin:

Mediante una rotacin de ejes elimina el trminoxy de la ecuacin 3x2

+ 3xy y2

= 9.

Solucin1

jemplosEJEMPLOS


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Transformacin de la ecuacin de una cnica por rotacin y traslacinde los ejes

Para analizar geomtricamente una ecuacin de la orma:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

sin muchos problemas, sta se reduce con una rotacin y traslacin de ejes.

Al realizar la rotacin de ejes, sta orienta los ejes coordenados en la direccin de las cnicas elipse e hiprbola,

y la traslacin de ejes lleva al nuevo origen al centro de las mismas. En el caso de la parbola, al rotar los ejes, uno de

ellos es paralelo al eje ocal y la traslacin lleva al nuevo origen al vrtice.

Mediante una rotacin y traslacin de ejes, reduce y grafca la ecuacin:

52x2 + 72xy + 73y2 + 160x+ 130y + 25 = 0

Solucin

1

EjemplosEJEMPLOS


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Mediante una transformacin de coordenadas, simplifica las siguientes ecuaciones.

1. x2 2xy + y2 8 2x= 0

2. 5x2 + 6xy + 5y2 16 2x32 2y + 96 = 0

3. 13x2 10xy + 13y2 + 44 2x 28 2y + 8 = 0

4. 5x2 26xy + 5y2 70 2y + 38 2x+ 202 = 0

5. x2 + 2 3xy + 3y2 8 1 2 3+( )x + 8 2 3( )y 112 = 0

6. 3x2 2 3xy + y2 + 12 1 3+( )x 12 1 3( )y + 12 = 0

7. x2 + 2 3xy y2 + 8 3x + 8y + 50 = 0

8. x2 + 2xy + y2 + 10 2x 14 2y + 2 = 0

9. 7x2 + 6 3xy + 13y2 + 4 8 3+( )x + 4 8 3 1( )y + 52 = 0

EJERCICIO 47


Identificacin de una cnica

Una orma de conocer la naturaleza de la ecuacin:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

es realizar una rotacin y traslacin de ejes, pero esta transormacin es muy laboriosa.

Otra orma de identifcar su naturaleza, sin tener que realizar la transormacin es sustituir los coefcientes de la

ecuacin general en la expresin:

I = B2 4AC

Que recibe el nombre de invariante o indicador.

Caso I: si se elige un ngulo a de modo queB = 0, entonces:

Si A o C = 0la ecuacin representa una parbola.

Si A Cyde signos iguales la ecuacin representa una elipse.

Si A y Ctienen signos contrarios la ecuacin representa una hiprbola.

Caso II: si B 0la ecuacin Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, representa una cnica no degenerada si:

B2 4AC = 0la ecuacin representa una parbola.

B2 4AC0la ecuacin representa una hiprbola.

Una curva degenerada es aquella que representa:

Dos rectas concurrentes.

Un punto.

Dos rectas paralelas.

Una sola recta.


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Identifi cacin de cnicas degeneradas

Son aquellas que de acuerdo con el indicador representan una parbola, elipse o hiprbola; sin embargo, al realizar un

despeje se obtienen las caractersticas para determinar la naturaleza de la ecuacin. Las curvas degeneradas represen-

tan un punto, dos rectas concurrentes, dos rectas paralelas o slo una recta.


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Definicin general de cnicas

Lugar geomtrico que describen un punto del plano de tal orma que la razn de su distancia a un punto fjo y a una

recta fja, siempre es constante.

El punto fjo se llama oco, la recta fja directriz y la distancia constante excentricidad ( e).

PF

PQe

=

Grfica

X

P

F

Q

LDY

Elementos

F:Foco

P: P(x, y)

LD

:Directriz

Q:punto sobre la directriz

Condiciones:

Si e = 1el lugar geomtrico representa una parbola.

Si e < 1el lugar geomtrico representa una elipse.

Si e > 1el lugar geomtrico representa una hiprbola.

Cul es la ecuacin de la cnica cuyo oco es el punto F( 1, 3), ecuacin de la directrizx+ 3 = 0 y excentricidad 1?

SolucinComo la excentricidad es igual a 1, la ecuacin a encontrar es de una parbola.

Se aplica la defnicin de cnicas:

Distancia del punto al foco

Distancia del punto a la ddirectrize=

Sea P(x,y) un punto del lugar geomtrico, entonces:

x y

x

+( ) + ( )+

=1 3

2 2

31 S

x x y y

x

2 22 1 6 9

1+ + + +

+=

3

x x y y x2 2 2

2 1 6 9+ + + + = +( )3Sx x y y x x

2 2 22 1 6 9 6 9+ + + + = + +

Al simplifcar se obtiene la ecuacin:

y x y2

4 6 1 0 + =

1

Eje

mplosEJEMPLOS


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Determina la ecuacin de la cnica que satisface las siguientes condiciones:

1. F(0, 3), directriz x = 6, excentricidad =2

3

2. F(1, 1), directriz y = 2, excentricidad =1

2

3. F(2, 3), directriz x = 5, excentricidad = 1

4. F(0, 0), directriz y = 4, excentricidad =5

4

5. F(2, 1), directriz x + y = 0, excentricidad =4

3

6. F(3, 2), directriz2x + y = 3, excentricidad = 5

7. F1

3

1

2,

, directriz3x 2y = 6, excentricidad = 1

8. F( a, a), directriz x y + a = 0, excentricidad = 2

9. F(4, 5), directriz3x 4y + 12 = 0, excentricidad =5

3

10. F( a 3, 0), directriz x =a 3

3, excentricidad =

1

23

EJERCICIO 50


Ecuaciones de las directrices de la elipse y de la hiprbola

En la elipse y en la hiprbola existen dos directrices, una para cada oco.

L2 L1

X

Y

F2 F1

PP

X

L2 L1

F2 F1

Y

P P

Casos:

I. Si la elipse o la hiprbola es horizontal con centro en el origen, las ecuaciones de sus directrices son:

L1: x

a

c=

2

; L2: x

a

c=

2

II. Si la elipse o la hiprbola es vertical con centro en el origen, las ecuaciones de sus directrices son:

L1: y

a

c=

2

; L2: y

a

c=

2

III. Si la elipse o la hiprbola es horizontal con centro en (h, k), las ecuaciones de sus directrices son:

L1: x ha

c= +

2

; L2: x ha

c=

2

IV Si l li l hi b l i l (h k) l i d di i


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IV. Si la elipse o la hiprbola es vertical con centro en (h, k), las ecuaciones de sus directrices son:

L1: y k

a

c= +

2

; L2: y k

a

c=

2

Determina las ecuaciones de las directrices de las siguientes curvas, cuyas ecuaciones son:

1.x y

2 2

25 161+ =

6. 25x2 9y2 + 225 = 0

2.

x y2 2

9 16 1+ = 7.x y( )

++( )

=1

4

2

9 1

2 2

3. 4x2 + 9y2 36 = 0 8.x y+( )

+( )

=3

25

4

161

2 2

4.x y

2 2

4 251 =

9. x2 y2 + 6y 10 = 0

5.y x

2 2

16 91 =

10. 16x2 + 9y2 + 64x 18y 71 = 0

EJERCICIO 51


Determina las ecuaciones de las directrices de la elipse cuya ecuacin es:

9x2 + 25y2 225 = 0

Solucin

Se transorma a la orma cannicax y

2 2

25 91+ =

Se precisa que la elipse es horizontal con centro en el origen, donde,

a2 = 25, b2 = 9

Luego,

c2 = a2 b2 = 25 9 = 16Sc = 4

Por consiguiente, las ecuaciones de las directrices son:

xa

c= =

225

4; x

a

c= =

225

4

Determina las ecuaciones de las directrices de la ecuacin:

7x2 9y2 42x+ 36y 36 = 0

SolucinSe transorma a la orma ordinaria:

x y( )

( )=

3

9

2

71

2 2

La hiprbola es horizontal con centro en (3, 2), a2 = 9 y b2 =7

El valor de c es: c a b= + = + = =2 2 9 7 16 4En consecuencia, las ecuaciones de las directrices son:

x ha

c= + = + =

2

39

4

21

4; x h

a

c= = =

2

39

4

3

4

22

1

Ejem

plosEJEMPLOS

T t i


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Tangente a una cnica

Es aquella recta que slo toca un punto de la curva.

Lt

Pt

Y

X

Lt: recta tangente

Pt: punto de tangencia

Las cnicas que se analizarn sern de la orma:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Casos de tangencia:

I. Dado el punto de tangencia.

II. Dada la pendiente de la recta tangente.

III. Dado un punto exterior a la cnica.

Dado el punto de tangencia

Ejemplo

Cul es la ecuacin de la recta tangente a la ecuacinAx2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0en el punto de tangencia P1(x

1, y

1)?

Solucin

Seay y1

= m(xx1) la ecuacin de la recta tangente, como el punto P

1pertenece a la curva y a la recta, se resuelve

el sistema.

Ax Cy Dx Ey F

y mx mx y

2 2

1 1

0+ + + + == +

Se sustituye la ecuacin de la recta en la ecuacin de la curva,

Ax2 + C(mx mx1

+ y1)2 + Dx + E(mx mx

1+ y

1) + F = 0

Al desarrollar y acomodar en trminos dex, se obtiene:

(A + Cm2

)x2

+ (D + Em + 2Cmy1 2Cm2

x1)x + (Cm2

x12

+ Cy12

2Cmx1y1 + Ey1 Emx1 + F) = 0

Para que exista solucin se debe cumplir que b2 4ac 0.

con a =A + Cm2

b =D +Em + 2Cmy1

2Cm2x1

c = Cm2x12 + Cy

12 2Cmx

1y

1+Ey

1Emx

1+ F

La expresin b2 4ac =0es la condicin de tangencia. Al sustituir los valores respectivos, resulta una ecuacin

con incgnita m, y la ecuacin de segundo grado que se obtiene es un trinomio cuadrado perecto. Es decir, existe una

y slo una recta de pendiente m que es tangente a la curva en el punto P1(x

1, y

1).

EJERCICIO 52


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Determina la ecuacin de la recta tangente a la cnica dada en el punto indicado.

1. x2 + y2 = 25, en el punto (3, 4)

2. 3x2 + 4y2 = 31, en el punto (3, 1)

3. x2 4y2 = 21, en el punto (5, 1)

4. y2 + 6x 3y + 32 = 0, en el punto (6, 1)

5. x2 + 4x 5y 22 = 0, en el punto (4, 2)

6. x2 y2 4x + 2y + 18 = 0, en el punto (3, 5)

7. x2 + y2 4x + 4y 26 = 0, en el punto (1, 3)

8. 4x2 + 9y2 + 8x 6y 20 = 0, en el punto (1, 2)

9. 3x

2

+ 3y

2

9x + 3y 30 = 0, en el punto (4, 3)

10. 16x2 25y2 64x 200y 255 = 0, en el punto (1, 1)

EJERCICIO 52

Dada la pendiente de la recta tangente

Encuentra la ecuacin de la recta tangente de pendiente m a la cnica.

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Solucin

Seay = mx+ b la ecuacin de la recta tangente, entonces se resuelve el sistema de ecuaciones:

Ax Cy Dx Ey F

y mx k

2 20+ + + + =

= +

Se sustituyey = mx+ b en la ecuacin de la cnica.

Ax2 + C(mx+ k)2 +Dx+E(mx+ k) + F= 0

(A + Cm2)x2 + (2Ckm +D +Em)x+ (k2C+Ek+ F) = 0

Para que exista solucin,I= b2 4ac 0, entonces la condicin de tangencia es: b2 4ac = 0, donde: a =A + Cm2

b = 2Ckm +D +Emc = k2C+Ek+ Fy al sustituir los coefcientes de la ecuacin en la condicin:

(2Ckm +D +Em)2 4(A + Cm2) (k2C+Ek+ F) = 0

Resulta una ecuacin, cuya incgnita es k, obteniendo dos resultados, stos se sustituyen en la ecuaciny = mx+ k,

por consiguiente, resultan dos ecuaciones tangentes con la misma pendiente.


EJERCICIO 53


14/14

Determina la ecuacin de la recta tangente que cumpla con las siguientes condiciones:

1. x2 + y2 = 13, de pendiente3

2 2. x2 + 9y2 9 = 0y es paralela a la recta2x 3y 4 = 0

3. y2 x + 2y 10 = 0y es paralela a la recta2x 12y + 5 = 0

4. x

2

2x + 8y + 13 = 0, de pendiente

1

2 5. x2 4y2 2x 8y + 9 = 0y es perpendicular a la recta4x y 5 = 0

EJERCICIO 53


Dado un punto exterior a la curvaPara determinar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P

1(x

1, y

1) y es tangente a la cnica

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, se sigue el siguiente proceso:

La ecuacin de la recta tangente que pasa por el punto P1(x1, y1)es:y y

1= m(x x

1)

Se despeja y:

y = m(x x1) + y

1

Con esta ecuacin y la ecuacin de la cnica se orma el sistema:

Ax Cy Dx Ey F

y mx mx y

2 2

1 1

0+ + + + == +

El cual tiene la orma del caso I.

Determina la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, 1) y es tangente a la cnica x2 4x 4y + 16 = 0.

Solucin

La ecuacin de la recta tangente que pasa por el punto (1, 1) tiene la orma:

y = mx+ m 1

Se resuelve el sistema de ecuaciones,

x x yy mx m

2

4 4 16 01 + == +

Se sustituyey = mx+ m 1 en la ecuacin de la cnica,

x2 4x 4(mx+ m 1) + 16 = 0

x2 +x( 4m 4) 4m + 20 = 0

Por la condicin de tangencia, se tiene la ecuacin de segundo grado,

( 4m 4)2 4(1) ( 4m + 20) = 0

16m2

+ 48m 64 = 0m2 + 3m 4 = 0

(m + 4)(m 1) = 0

m = 4, m = 1

Por consiguiente, las ecuaciones de las rectas tangentes son:

Si m = 4 Si m = 1

y = 4x 4 1 y =x+ 1 1

y = 4x 5 y =x

4x+y + 5 = 0 xy = 0

1

EjemplosEJEMPLOS

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