8/17/2019 Diapo Ecuacion Del Calor

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 ESTUDIANTES:

1. DELGADO DELGADO YON MAX

2. YEN RUCOBA JORGE

 

 DOCENTE:  Lic. Mat. D LGADO NAMUCH KATTY

Un retrato de Joseph Fourier

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I. CONTEXTO HISTORICO:

.La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807―en su memoria

sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos.

.En ella proponía además el germen de lo que pasaría a ser la eoría de las

!eries de Fourier.

.Fourier presentó en 1807 los resultados de sus in"estigaciones a la

 #cademia de $iencias de %arís & fue e"aluado por destacadas

personalidades' entre ellos %ierre !imon Laplace (17)*+18,7- & osep/

Louis Lagrange (17+181-2 pero el traba3o no tu"o buena aceptación &

recibió muc/as críticas' entre ellas la falta de rigurosidad en losfundamentos analíticos.

.an contro"ertida fue esta 4ltima' que tomó quince a5os' /asta 18,,' para

que la #cademia de $iencias decidiese publicarla.

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II. Modelos matemáticos:

 

El matemático & físico franc6s Jean Baptiste

Joseph Fourier   (178+180- fue pionero en el

estudio de la transferencia del calor en sólidos &

fue quien dedu3o la denominada Ecuación del

$alor' que consiste en una E% cu&as

"ersiones es

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a. La Ecuación del Calor tridimensional

 #ntecesoras a la ecuación del calor

La Ecuación de la Cuerda Vibrante (ó Ecuación de 9nda-.

el matemático franc6s ean le :ond ;#lembert (1717+178- encontró el

modelo matemático que representaba este fenómeno' consistente en la E% 

aniel

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En versión tridimensional de la ecuación es

donde u(>'&'?'t- representa la temperatura en cada punto del interior

del sólido en cada instante de tiempo & @ es una constante que

depende del material.

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• 9tra cuestión mu& contro"ersial fue la propuesta de Fourier de

e>pandir en series trigonom6tricas una función arbitraria2 6l

afirmaba que una función f(>- podía desarrollarse como

donde encontró tambi6n las e>presiones para calcular los coeficientes

aA & bA2 son las que actualmente se conocen como !eries de Fourier.

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b. La Ecuación del Calor unidimensional

!ea una "arilla delgada de longitud L' ubicada a lo largo del e3e > & sea u(>'t-

la función de temperatura en cada punto de la misma & en cualquier instante

t2 en este modelo se considera que la temperatura en una sección

trans"ersal #' es la misma para todos sus puntos2 dependiendo solamentede su posición en >. !e considera así un elemento comprendido entre dos

secciones ubicadas en > & (> B C>-. !i la "arilla tiene las siguientes

características

Es /omog6nea' es decir densidad constante D

$alor específico Dc & conducti"idad t6rmica DA constantes Go /a& fuentes de calor en su interior' ni escapa calor al medio (aislada-

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La cantidad de calor necesaria para ele"ar la temperatura de un elemento de

masa Dm en una cantidad DCu "iene dada por

Q = m c ∆u = ρ ∆! c ∆u "#$

El flu3o t6rmico que ingresa al elemento es

& el flu3o saliente

de manera que el flu3o neto en el elemento de "arilla considerado será

% & "!'(!)t$ "!)t$* "+$

 

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eri"ando la e>presión "#$ e igualando a "+$) resulta

si a/ora se plantea el límite cuando C> 0' se llega a la ecuación de calor

unidimensional

 

donde el coeficiente @ H se denomina Ddifusi"idad t6rmica.

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En versión bidimensional de la ecuación es

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c. Solución de la Ecuación de Calor medianteseparación de variables

En este e3emplo se busca determinar la distribución de temperatura u(>'t-

en una "arilla de longitud L' con temperatura inicial f(>- & cu&os e>tremos

se mantienen a temperatura constante nula2 resulta así el siguiente %IF

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Jna alternati"a para /allar una solución analítica de este modelo es

mediante separación de "ariables

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!e encuentra así

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,esultado -inalmente

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EJE,C/C/0.

1. una "arilla delgada de longitud L tiene una temperatura inicial

K sus e>tremos se mantienen a la temperatura cero en todo momento .

!i la "arilla de coincide con las /ipotisis planteadas'entonces por "alosr de

frontera calculamos su temperatura.

 

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%or separación de "ariables tenemos

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ebemos tener para K se obtiene