Plano Cartesiano y Ecuacion de La Recta

8/19/2019 Plano Cartesiano y Ecuacion de La Recta

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CALCULO VECTORIALLic. Mat. Teresa Juliana Jara Alarcón


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Primer caso%

Construir una "r&$caa !artir de una ecuación'

De$nición% El con(unto de

!untos cu)as coordenadassatisfa"an una ecuación sellama "r&$ca de la ecuación ólu"ar "eom#trico'


4/41


5/41

Plano Cartesiano

,-'.. ,/'.. ,0'.. .'.. 0'.. /'.. -'..

,-'..

,/'..

,0'..

.'..

0'..

/'..

-'..

Ordenada

Abscisa


6/41

Plano Cartesiano

,-'.. ,/'.. ,0'.. .'.. 0'.. /'.. -'..

,-'..

,/'..

,0'..

.'..

0'..

/'..

-'..

Ordenada

Abscisa

CUADRANTE

II

CUADRANTE

I

CUADRANTE

III

CUADRANTE

IV

(+,+)(-,+)

(-,-) (+,-)


7/41

Plano Cartesiano

x

y

(x,y)PUNTOS DE

CUADRANT

I


8/41

Plano Cartesiano

-x

y

(-x,y)PUNTOS DEL

CUADRANTE

II


9/41

Plano Cartesiano

-x

-y(-x,-y)

PUNTOS DEL

CUADRANTE

III


10/41

Plano Cartesiano

x

-y

(x,-y)PUNTOS DEL

CUADRANTE

IV


11/41

Puntos +obre el Plano Cartesia

,1'.. ,2'.. ,-'.. ,/'.. ,0'.. .'.. 0'.. /'.. -'.. 2'.. 1'

,1

,2

,-

,/

,0

.

0

/

-

2

1

(x1,y1)

(x2,y2)

(x3,y3)

(x5,y5)

(x4,y4)


12/41

Puntos +obre el Plano Cartesia

,1'.. ,2'.. ,-'.. ,/'.. ,0'.. .'.. 0'.. /'.. -'.. 2'.. 1'

,1

,2

,-

,/

,0

.

0

/

-

2

1

(4,-3)

(-3,-1)

(-3,3)

(0.5,0.5)

(2,2)

Distancia Entre Dos Puntos


13/41

Distancia Entre Dos Puntos

,.'1 .'1 0'1

,.'1

.'1

0'1

/'1

(x1,y1)

(x2,y2

x2-x1

yd

( ) ( )2 2

2 1 2 1

d x x y y= − + −


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3ormas de la Ecuación de la Re

Punto !endiente%

+ólo se necesita un !unto !erteneciente a la recta ) la !endientde esta'

• Pendiente ) ordenad al ori"en%

• +ólo se necesita saber el !unto endonde la recta corta al e(e de las

ordenadas ) la !endiente de la recta'

( )1 1 y y m x x− = −

y mx b= +


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• Cartesiana%

• +e necesitan conocer las

coordenadas de dos !untos!erteneciente a la recta'

1 1 2

1 1 2

y y y y x x x x

− −=− −

C id d ti l


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• Considerando un caso !articular enel 4ue se conocen dos !untos!articulares'

•

Estos !untos son a4uellos 4ueinterce!tan a los e(es coordenadoscomo se muestra en la $"ura

)( ) ( )1 1, ,0 x y a= ( ) ( )2 2, 0, x y b=


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• De la ecuación cartesiana se tiene%

• desarrollando

0 0

0

y b

x a a

− −=

− −

y b

x a a

−= ⇒

−

( y a b x× = − × −

y a b x b a∴ × = − × + × ⇒b x y a b× + × =


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• Di5idiendo esta ultima e6!resión !orel !roducto ab

• Esta e6!resión es conocida como laforma reducida o abscisa ) ordenadaal ori"en'

1 x y

a b

+ =


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• 3orma "eneral es una ecuaciólineal de !rimer "rado en la5ariables x ) y de la forma%

• reacondicionando esta e6!resió!ara lle5arla a una forma conocida

si

0 A x B y C × + × + =

B y A x C × = − × − ⇒

A C

y x B B= − × −

y m x b∴ = × + ; A

m

B

= − b = −

• La 3OR7A 8OR7AL se la recta se


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La 3OR7A 8OR7AL se la recta seobtiene a !artir de las si"uienteconsideraciones'

• +i se conoce la lon"itud de la!er!endicular a ella tra*ada desde eori"en 9..: ) el &n"ulo 4ue dic;a!er!endicular forma con el e(e x'


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• +ea AB la recta ) ON la !er!endicula

ori"en O a AB'

•

La distancia ρ 9!ar&metro: de O considera siem!re !ositi5a cual4uier

la !osición de AB es decir !ara

5alores del &n"ulo ω 4ue la !er!

forma con el semie(e x !ositi5o desde• +ean (x1 ,y1 ) las coordenadas del !unto

• En estas condiciones se tienen las si"

En estas condiciones se tienen la


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• En estas condiciones se tienen la

si"uientes relaciones%

• ) cu)a !endiente de la recta AB es%

( )1 cos x ρ ω = ( )1 y sen ρ ω =

(

1

tan ω

−

( )


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•

+i se tiene cual4uier otro !unto de larecta AB !or e(em!lo (x,y) se tiene%

( ) ( )

( )

( )

cos1cot

tan sen

ω ω

ω ω − = − = −

( )1 1 y y m x x− = −

( )( )

( )1 1cos y y x x sen

ω ω

− = − −

( ) ( )

( )

( )( )cos

cos y sen x

sen

ω ρ ω ρ ω

ω

− = − −


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•


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• Reducción de la forma "eneral a la

forma normal'

• +e toman ambas ecuaciones

• Considerando 4ue amba

re!resentaciones describen a lamisma recta los coe$cientes debe

ser i"uales o !ro!orcionales !or lo

tanto

0 A x B y C × + × + =( ) ( )cos 0 y sen xω ω ρ × + × − =

( ) ( )cos senk

A B C

ω ω ρ −= = =

• siendo k la constante de


26/41

• siendo k la constante de

!ro!orcionalidad de esta forma se

tiene%

• ele5ando al cuadrado las !rimera

e6!resiones ) sum&ndolas

( )cos Ak ω = ( ) sen Bk ω = Ck ρ − =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2cos sen k A Bω ω + = +

( )2 2 2 1 k A B∴ = +2 2

1 k

A B⇒ =

± +

A


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( )2 2

cos A

A Bω =

± +

( ) 2 2 B

sen A B

ω = ± +

2 2

C

A B

ρ − =± +

La Línea Recta


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•La línea recta se re!resenta !or unaecuación de !rimer orden entre dos

5ariables

•Recordando la de$nición de !endientde una recta

•En !articular !ara la $"ura si"uiente

tiene

La Línea Recta

( )2 1

2 1tan

y y

m x xθ

−= =

−


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( ) 1

1

tan y y

m x x

θ −

= =−


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La ecuación de la línea recta es

totalmente determinada si se conoce

inclinación ó la !endiente (m) ) un !un

de esta línea (x1,y1)'

( )1 1 y y m x x∴ − = −


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Desarrollando la ecuación ) de$niendo

!ar&metro b; denominado ordenada

ori"en se tiene%

1 1 y y mx mx− = −

1 1 b y mx= −

∴

y mx b= +


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Inclinación ) !endiente de una rectUna recta ó se"mento 4ue !aso !or d

!untos se dice 4ue tiene una inclinaci

res!ecto al e(e de las abscisas' Es decir e6is

un &n"ulo entre dic;a recta ) el e

coordenado x este &n"ulo se mide en

sentido in5erso de las manecillas del relo( 95

$"ura:'

9la recta no debe ser !aralela al e(e x:


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La !endiente de una recta es

tan"ente del &n"ulo de inclinación'

Con esta de$nición dado el &n"ulo θ


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"

inclinación= la !endiente 9m) de la rec

4ue !asa !or los !untos P 1(x1 ,y1 )

P 2(x2 ,y2 ) es%

Recordando la de$nición de la funció

tri"onom#trica tan"ente como

cociente entre las funciones seno

coseno del &n"ulo en cuestión= s

( )tanm θ =


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)( ) 2 1 ________ 1 2

y y sen

P P

θ −

= ( )2 1

______

1 2

cos x x

PP

θ −

=

( ) ( )

( ) ( )

2 1

________

1 2 2 1

2 1 2 1 ______

1 2

tan tancos

y y

sen P P y y

x x x x

P P

θ θ θ

θ

−

−∴ = = ⇒ =

− −

Rectas Paralelas ) Rectas


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Rectas Paralelas ) RectasPer!endiculares

El &n"ulo α medido en el sentido contrario al de la

manecillas del relo( es el &n"ulo entre la líneas rec

con !endientes m1 ) m2 esta determinado !or%

m m


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Demostración% De la $"ura se obtiene la

si"uiente relación entre los &n"ulos mostra

( ) 2 1

2 1

tan1

m m

m mα

−=

+

2180θ β + = o

1 180θ α β + + = o

1 2 1 2 θ α β θ β θ α θ ∴ + + = + ⇒ + =

3inalmente α θ θ=


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3inalmente

De esta forma=

2 1α θ θ = −

( ) ( ) ( )

( )

2 1

2 1

2 1

tan tancos

sen θ θ α θ θ

θ θ

−= − =

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1

2 1 2 1

cos cos tan

cos cos

sen sen

sen sen

θ θ θ θ α

θ θ θ θ

−∴ =

+

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

1 2 2

1

1

1 2 2

1

cos coscos

tan

cos coscos

sen sen

sen sen

θ θ θ θ

θ α

θ θ θ θ

θ

−

⇒ =

+


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( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 1

2 2 1

cos tan tan

cos tan

sen

sen

θ θ θ α

θ θ θ

− ⇒ =+

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2 1

2

2

2 1

2

cos tancos

tan

cos 1 tancos

sen

sen

θ θ θ

θ α

θ θ θ

θ

−

⇒ =

+

( ) ( ) ( )

( ) ( )2 1 2 1

1 21 2

tan tan tan

11 tan tan

m m

m m

θ θ α

θ θ

− − ⇒ = =++

Dos casos !articulares


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Dos casos !articulares

0er Caso m1>m2

Corres!onde a líneas rectas!aralelas

( ) 20

tan 0 1 1

m m

mm mα α

−= = = ⇒ =

+ +

/ d Caso 1


41/41

/od Caso

Corres!onde a líneas rectas!er!endiculares

( )2

11

tan no definido 901 0

1

mmm

mm

α α − −

− −= = ⇒ =

−

o

1

2

1m

m= −

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