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1. Storia del piano Cartesiano2. Elementi del piano Cartesiano3. Le funzioni4. La retta nel piano Cartesiano5. La parabola
INDICEINDICE
1. Storia del piano Cartesiano• Euclide• Opere• Teoremi ed Assiomi• Dal piano Euclideo
al piano Cartesiano• Cartesio• Opere
2. Elementi del piano Cartesiano• Origine degli assi• Quadranti• Coordinate di un punto• Segmenti• Rette
3. Le funzioni• Definizione di funzione• Rappresentazione di una funzione• Funzione sul piano Cartesiano• Classificazione delle funzioni• Riepilogo
4. La retta nel piano Cartesiano• Definizione retta• Equazione retta (forma implicita e for
ma esplicita)• Rette incidenti• Rette parallele• Situazioni problematiche
5. Parabola• Introduzione• Definizione• Forma tipica• Rappresentazione grafica• Parabole particolari• Studio del segno• Parabola e disequazioni di 2° grado
IL PIANO CARTESIANO
...e la sua storia
Cardellini Mattia
Masetti Giovanni
De Luca Lorenzo
Morelli Davide
Le origini del piano Cartesiano
Il piano Euclideo
SOMMARIO
• EUCLIDE
• Opere
• Teoremi ed Assiomi
• Dal piano Euclideo al piano Cartesiano
• CARTESIO
• Opere
Euclide
Nasce ad Alessandria di Egitto intorno al 365a.C e muore intorno al 275a.C.
Fu un matematico in Grecia.
Una minoranza di storici dubita della sua esistenza.
Dall’aneddoto “in Geometria non esistono vie regie” si intuisce il carattere riservato e rigoroso.
Da lui prendono il nome la geometria e gli spazi Euclidei.
Opere di Euclide
• Elementi di geometria (13 libri).
• Legati alla matematica: Dati, Porismi, Luoghi superficiali, Coniche, Ottica e Catottrica.
• I fenomeni, trattato astronomico.
• Sezione del canone e Introduzione armonica, trattati di musica.
• E' sempre possibile tracciare una retta tra due punti qualunque.
• E' sempre possibile prolungare una linea retta.
• E' sempre possibile costruire una circonferenza di centro e raggio qualunque.
Assiomi e teoremi di Euclide
A B
H
CD E
K
• Tutti gli angoli retti sono tra loro congruenti.
• Data una retta ed un punto esterno ad essa esiste un'unica retta parallela passante per detto punto.
µ
α
β
µ=α=β=90°
A
r
p
• In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa.
• In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti dell’ipotenusa.
A B
C
H
AH:AC=AC:AB
D K E
F
DK:FK=FK:KE
IL PIANO EUCLIDEO e i suoi elementi
• Il punto• La retta• Semiretta e segmento• L’angolo
P r
R
A
BV
A cosa mi servono gli elementi del piano euclideo?
Un insieme di segmenti adiacenti tra loro, dei quali l’estremo superiore dell’ultimo corrisponde all’estremo inferiore del primo, formano i poligoni, che sono suddivisi in base al numero dei loro lati:
• Triangoli (tre lati)• Quadrilateri (quattro lati)• Pentagoni (cinque lati)
E così via…
Ma...Con il piano Euclideo si giunse ad una situazione di stallo: come faccio a stabilire le misure di determinati segmenti su un piano dove non ci sono punti di riferimento?
Per questo Cartesio costruì un piano con determinati punti di riferimento: il Piano Cartesiano
CARTESIO
Nasce a La Haye in Turenna nel 1596 e muore nel 1650, colpito da una grave malattia polmonare.
Fu un matematico e filosofo francese
Il suo vero nome è René Descartes, latinizzato in Cartesius.
Insegnò filosofia e matematica a molti sovrani e principi.
Opere di Cartesio
• Discorso sul metodo• Meditationes de prima
Philosophia• Principia Philosophiae• Compendium musicae• Trattato delle passioni
“Cogito, ergo sum”
Elementi del piano Elementi del piano cartesianocartesiano
Creato da:Creato da: Bartolucci FilippoBartolucci Filippo
Costantini GiacomoCostantini Giacomo Mattioli Giacomo Mattioli Giacomo
Sanchini Pierpaolo Sanchini Pierpaolo
Il Piano CartesianoIl Piano Cartesiano
Si può introdurre il Si può introdurre il piano cartesianopiano cartesiano come come sistema di riferimento nel piano della sistema di riferimento nel piano della
geometria euclidea costituito da due rette geometria euclidea costituito da due rette perpendicolari, su ciascuna delle quali si perpendicolari, su ciascuna delle quali si
fissa un orientamento (rette orientate) e per fissa un orientamento (rette orientate) e per le quali si fissa anche una unità di misura che le quali si fissa anche una unità di misura che
consente di identificare qualsiasi punto del consente di identificare qualsiasi punto del piano mediante numeri reali. piano mediante numeri reali.
Il Piano CartesianoIl Piano Cartesiano
Tra le due rette si distingue l’Tra le due rette si distingue l’asse delle ascisseasse delle ascisse o o asse delle x (retta orizzontale) e l’ e l’asse delle ordinateasse delle ordinate o o asse delle y (retta
verticale)..
Elementi del piano cartesianoElementi del piano cartesiano
Origine degli assiOrigine degli assi QuadrantiQuadranti Coordinate di un puntoCoordinate di un punto SegmentiSegmenti RetteRette
Origine degli assiOrigine degli assi Una retta si dice Una retta si dice orientataorientata o o asseasse quando su di quando su di
essa è fissato un verso positivo. Si definisce un essa è fissato un verso positivo. Si definisce un sistema di riferimento scegliendo un punto sulla retta sistema di riferimento scegliendo un punto sulla retta detto origine O ed una unità di misura detto origine O ed una unità di misura uu..
QuadrantiQuadranti
QuadrantiIl piano cartesiano viene suddiviso in quattro regioni denominate quadranti, indicate mediante numeri romani progressivi in senso antiorario:
1° quadrante: comprende i punti aventi ascissa ed ordinata positive;
2° quadrante: comprende i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva;
3° quadrante: simmetrico al 1°quadrante rispetto all'origine;
4° quadrante: simmetrico al 2° quadrante rispetto all'origine.
Coordinate di un puntoCoordinate di un punto
A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y). Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y, l'ordinata. La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P.
Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P.
Lunghezza di un segmentoLunghezza di un segmento
Per trovare la lunghezza di un Per trovare la lunghezza di un segmento si utilizza la seguente segmento si utilizza la seguente formula:formula:
AB AB = = √(x√(xaa-x-xbb))22 + (y + (yaa-y-ybb))22
B
A
Punto medio di un segmentoPunto medio di un segmento
Per trovare il punto medio di un Per trovare il punto medio di un segmento si utilizza la segmento si utilizza la seguente formula:seguente formula:
A (Xa,, ya)
B (xb, yb)xm = xa+xb
2
ym = ya+yb
2
Rette Rette
Asse x e parallele Asse x e parallele Asse y e paralleleAsse y e parallele Bisettrice del I° e III° quadranteBisettrice del I° e III° quadrante Bisettrice del II° e IV° quadranteBisettrice del II° e IV° quadrante
All’interno del piano cartesiano si trovano anche rette particolari dette rette fondamentali associabili ai luoghi geometrici della geometria
Euclidea (figure geometriche piane formate da punti che godono tutti di una stessa proprietà):
Asse xAsse xL’asse x è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dall’asse y uguale a zero. Quindi tutti i punti sull’asse x hanno ordinata uguale a 0 (y=0).
Parallele all’asse xParallele all’asse x
Le rette parallele all’asse x sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dall’asse x, quindi avranno tutti la stessa ordinata. I loro grafici sono :
Asse yAsse y
L’asse y è il luogo geometrico dei punti nel piano cartesiano che hanno la distanza assoluta dall’asse x uguale a zero. Quindi tutti i punti sull’asse y hanno ascissa uguale a 0 (x=0).
Parallele all’asse yParallele all’asse y
Le rette parallele all’asse y sono gli insiemi di punti che hanno tutti la stessa distanza assoluta dall’asse y, quindi avranno tutti la stessa ascissa. I loro grafici sono :
Bisettrice del 1° e 3° quadrante:Bisettrice del 1° e 3° quadrante:L’ equazione della bisettrice del 1° e 3° quadrante è y = x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata uguali.
Bisettrice del 2° e 4° Bisettrice del 2° e 4° quadrante quadrante
L’equazione della bisettrice del 2° e 4° quadrante è y = -x perché, essendo la bisettrice il luogo geometrico in cui tutti i punti sono equidistanti dai lati dell’angolo, ogni punto appartenente alla retta avrà ascissa e ordinata opposte tra loro.
Alex Angelini, Teo Brandi, Alessia Farinelli, Gloria Alex Angelini, Teo Brandi, Alessia Farinelli, Gloria NicoliniNicolini
Argomenti trattatiArgomenti trattati
Definizione di funzione
Rappresentazione di una funzione
Funzione sul piano cartesiano
Classificazione delle funzioni
Riepilogo
Definizione di funzioneDefinizione di funzione
Una funzione è una relazione matematica tra due grandezze variabili X e Y, tali che ad ogni valore di X corrisponde uno ed un solo valore di Y.
XXVariabile Variabile
indipendenteindipendente
Y Y Variabile Variabile
dipendentedipendente
Rappresentazione di una Rappresentazione di una funzionefunzione
FORMA IMPLICITA
F(x,y) = 0
FORMA ESPLICITA
y = F(x)
Per rappresentare sul piano cartesiano una funzione, Per rappresentare sul piano cartesiano una funzione, questa deve essere in forma esplicitaquesta deve essere in forma esplicita
x
x1
x2
x3
y1
y2
y3
y
Funzione sul piano Funzione sul piano cartesianocartesiano
Per rappresentare graficamente una funzione si utilizza la tabella dei valori e si attribuisce un qualsiasi valore numerico alla X ottenendo il
corrispondente valore della Y. In questo modo si ricavano le coordinate del punto da posizionare sul
piano cartesiano. Infine si uniscono i punti da sinistra verso destra.
y = F (x)
A(x1, y1)
B(x2, y2)
C(x3, y3)
Riportiamo i valori sul grafico
y
x
Classificazione delle funzioniClassificazione delle funzioni
Funzioni algebriche
Funzioni trascendenti
Una funzione trascendente è
una funzione non algebrica.Una funzione si dice
algebrica se il legame che
esprime y in funzione di x
si può ridurre ad
un’equazione algebrica di
grado qualsiasi nelle due
incognite x e y.
Le funzioni algebricheLe funzioni algebriche
Si classificano in:
Funzioni razionali intere
Funzioni razionali fratte
Funzioni irrazionali
Funzioni razionali intereFunzioni razionali intere
Una funzione di primo grado, o lineare, viene rappresentata sul piano cartesiano da una RETTA
Funzioni di grado superiore al primoFunzioni di grado superiore al primo
Funzione di secondo grado
È rappresentato da una PARABOLA
Funzione di grado superiore al secondo
È rappresentata da una
CURVA
Funzioni di primo gradoFunzioni di primo grado
Funzioni razionali fratteFunzioni razionali fratte
)(
)()(
xD
xNxf
La funzione si dirà funzione razionale fratta nella variabile x.
Una funzione razionale fratta in una variabile è definibile in un
qualsiasi insieme di numeri reali o complessi che non contenga
gli zeri del denominatore.
Funzioni irrazionaliFunzioni irrazionaliLe funzioni irrazionali sono quelle per cui, fissato il
valore della variabile indipendente x, è possibile determinare il rispettivo valore della y.
Una funzione irrazionale è del tipo
dove g(x) è una funzione razionale definita nell’insieme dei numeri reali.
Il dominio D della funzione dipende dall'indice n della radice.
n xgxf )()(
• se n è dispari allora il dominio della funzione
appartiene all’insieme dei numeri irrazionali.
• se n è pari allora il dominio D della funzione è
dato dall'insieme degli elementi che soddisfano la
funzione
Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere e fratte.
Il dominio della funzione irrazionale può essere:Il dominio della funzione irrazionale può essere:
Le funzioni trascendentiLe funzioni trascendenti
Si classificano in:
Funzioni goniometriche
Funzioni logaritmiche
Funzioni esponenziali
RiepilogoRiepilogo
Funzioni
Algebriche Trascendenti
Razionali Irrazionali Logaritmiche Goniometriche Esponenziali
Intere Fratte
La retta nel piano La retta nel piano cartesianocartesiano
Indice:Indice:
• Definizione retta
• Rappresentazione di una retta
• Equazione retta (forma implicita e forma esplicita)
• Rette incidenti
• Rette parallele
• Situazioni problematiche
Definizione di rettaDefinizione di retta
La retta è una funzione algebrica razionale, intera di primo grado.
indice
Rappresentazione di una rettaRappresentazione di una retta
r) y=mx+q
x y
a m*a+q=b P(a, b)
c m*c+q=d Z (c, d)
Si riportano i P e Z sul piano
cartesiano e si uniscono
trovando la retta dell’equazione
data.
P
Z r
a c
b
d
indice
Equazione della rettaEquazione della retta
coefficiente angolare
m=-a/b
Intercetta
q=-c/b
Forma esplicita: y=mx+q
Forma implicita: ax+by+c=0
indice
Coefficiente angolareCoefficiente angolare Il coefficiente angolare indica il tipo di angolo che la retta forma con
il semiasse positivo delle ascisse.
Se m<0
Se m>0
l’ angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è ottuso.
l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto.
Se m=0 l’angolo non esiste e la retta è parallela all’asse x.
indice
m<0m<0
y= - 1/3 x+q
m= -1/3
-1/3 <0
l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è ottuso
indice
m>0m>0
y=4x+q
m=4
4>0
l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse è acuto
y=4x+q
indice
m=0m=0
y=0x+q
y=q
l’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse non esiste poiché la retta è parallela all’asse x
rQ
indice
IntercettaIntercetta
L’intercetta è l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y.
Se q=0 la retta passa per l’origine degli assi
Se q≠0 la retta interseca l’asse y in q
indice
Rette incidentiRette incidenti
Due rette sono incidenti se si incontrano in un punto.
Rette perpendicolari.
s
indice
Rette perpendicolariRette perpendicolari
Due rette sono perpendicolari se incidendosi formano 4 angoli retti.
srs) y=m1x-1
r) y=m2x+1
indice
Se r) ┴ s) m1*m2 =-1 v m1=-1/m2
Rette paralleleRette parallele
Due rette sono parallele quando hanno uguali coefficienti angolari.
r) // s) m1=m2
r
sr) y=m1x+1
s) y=m2+3
indice
Situazioni problematicheSituazioni problematiche
Come trovare il punto di intersezione fra due rette.
Come trovare l’equazione di una retta passante per due punti.
indice
Punto di intersezione tra due rettePunto di intersezione tra due rette
Per trovare le coordinate del punto di intersezione bisogna risolvere il sistema fra le equazioni delle due rette
r) y=m1x+q1 x=xp
s) y=m2+q2 y=yp
rs
P
indice
L’equazione di una retta passante L’equazione di una retta passante per due puntiper due punti
Per trovare l’equazione di una retta passante per due punti bisogna trovare il coefficiente numerico e l’intercetta dell’equazione della retta risolvendo il seguente sistema:
ya = mxa + q m
yb = mxb + q q
xa è l’ascissa del punto A
ya è l’ordinata del punto A
xb è l’ascissa del punto B
yb è l’ordinata del punto B
A
B
indice
LaLa
ParabolParabolaa
LaLa
ParabolParabolaa
Mariana De Mariana De BiagiBiagiLaura Di Laura Di LenaLenaMartina Martina TombariTombariFederica Federica UgoliniUgolini
• IntroduzioneIntroduzione• DefinizioneDefinizione
• Forma tipicaForma tipica• Rappresentazione graficaRappresentazione grafica
• Parabole particolariParabole particolari• Studio del segnoStudio del segno
• Parabola e disequazioni di Parabola e disequazioni di 2° grado2° grado
F(x)Espressione algebrica in x
intera: l’incognita si trova solo al numeratore
fratta: l’incognita si trova solo o anche al denominatore
irrazionale: l’incognita si trova sotto il segno di radice
Lineare o di primo grado: RETTA
Y=mx+q m,q
Di secondo grado: PARABOLA
cbxaxy 2
cba ,,
0a
IntroduzioneIntroduzione
DefinizioneDefinizioneLa parabola è il
luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto FUOCO e da una retta fissa detta DIRETTRICE
Non ci soffermeremo sulla definizione di fuoco e direttrice per analizzare in modo più approfondito altri aspetti della parabola
Forma TipicaForma Tipicacbxaxy 2 cba ,, 0a
STUDIO dei COEFFICIENTI:
>0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle ordinate.
a
<0 la parabola ha la concavità rivolta verso il semiasse negativo delle ordinate
ci consente di conoscere l’asse di simmetrial’asse di simmetria della parabola
ordinata del punto di intersezione della parabola con l’asse y
Asse di SimmetriaAsse di Simmetria (nella parabola): retta che divide la parabola in due rami simmetrici
b
c
Rappresentazione Rappresentazione GraficaGrafica
Data una funzione del tipo: >0 a <0 P(0,c) Punti di intersezione con l’asse x:
cbxaxy 2
0y
cbxaxy 2
Equazione dell’asse x
sostituzione
Equazione risolvente
02 cbxax
1x 2x
1)
2) c
3)
y=2x2+3x-21)a=2>0 2)c=-2 P(0,-2)3) y=2x2+3x-2 2x2+3x-2=0 y=0 =-2
=½
2x1x
x
y
0
EsempioEsempio
-2
-2
½
Parabole Parabole ParticolariParticolari
Possiamo individuare tre tipi di parabole particolari:1. y=ax2 la parabola avrà il vertice coincidente con l’origine degli assi
2. y= ax2+bx La parabola avrà un punto di intersezione con l’asse x coincidente con l’origine degli
assi
3. y= ax2+bx+c dove il trinomio ax2+bx+c è un
quadrato perfetto. La parabola
avrà allora un solo punto in comune con l’asse x
Studio del segnoStudio del segnoData una funzione del tipo:Il trinomio ax2+bx+c assume valori diversi al variare della x: >0 prenderemo in considerazione i rami di parabola sopra l’asse x y>0 =0 prenderemo in considerazione i valori sull’asse x, ovvero x1 e x2. y=0
<0 prenderemo in considerazione i rami di
parabola sotto l’asse x y<0
Di conseguenza possiamo dire che: ax2+bx+c>0 ax2+bx+c=0 ax2+bx+c<0
cbxaxy 2
ax2+bx+c
disequazioni
Parabola e Parabola e disequazioni di 2° disequazioni di 2°
gradogrado
Data una disequazione di secondo grado del tipo:
ax2 + bx + c >0
1. Prendiamo la parabola associata: y= ax2 + bx + c
2. Disegniamo la relativa parabola
3. In base al segno richiesto dal testo della disequazione prendiamo in considerazione i rami di parabola
4. Troviamo gli intervalli richiesti
EsempioEsempio 2x2+3x-2>01) y=2x2+3x-22) a=2>0 U c=-2 P(0,-2) y=2x2+3x-2 y=0 x1 =-2 x2=½
x0
y
-2 ½
-2
3) Il segno è > quindi prendiamo in considerazione i rami di parabola sopra l’asse x
4) I valori di x che determinano tali rami appartengono agli intervalli:
x<-2 V x> ½
2x2+3x-2=0