ตอนที่ 25 戎㌎ᤎ ᤎ䀎屮ิงซ้อน ตอนที่...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

ตอนท 25

จ านวนเชงซอน

เนอหาสวนท 2 สงยคและคาสมบรณของจ านวนเชงซอน

โดย

อาจารย ดร.ณหทย ฤหษฤทยรตน

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ) กระทรวงศกษาธการ ปงบประมาณ 2555

http://www.google.co.th/imgres?q=%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%90&um=1&hl=th&sa=N&rlz=1R2ADRA_enTH425&biw=1051&bih=687&tbm=isch&tbnid=srkh9z1q97NYlM:&imgrefurl=http://www.manager.co.th/Qol/ViewNews.aspx?NewsID=9540000014478&imgurl=http://www.manager.co.th/asp-bin/Image.aspx?ID=1799322&w=300&h=429&ei=oZ_TTbm5I42ougPb-Yi5DQ&zoom=1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอนเรอง จ านวนเชงซอน

สอการสอนเรอง จ านวนเชงซอน มจ านวนตอนทงหมดรวม 4 ตอน ซงประกอบดวย

1. เนอหาตอนท 1 จ านวนเชงซอน

- จ านวนเชงซอน

- พชคณตของจ านวนเชงซอน

- กราฟของจ านวนเชงซอน

2. เนอหาตอนท 2 สงยคและคาสมบรณของจ านวนเชงซอน

- สงยคของจ านวนเชงซอน

- คาสมบรณของจ านวนเชงซอน

- กราฟของสมการและอสมการทเกยวของกบคาสมบรณของจ านวนเชงซอน

3. เนอหาตอนท 3 จ านวนเชงซอนในรปแบบเชงขว

- การเขยนจ านวนเชงซอนในรปแบบเชงขว

- การคณและการหารจ านวนเชงซอนในรปแบบเชงขว

4. เนอหาตอนท 4 รากของจ านวนเชงซอน

- รากของจ านวนเชงซอน

- สมการพหนาม

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอน

ส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง เซต

นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไป

แลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดใน

ตอนทายของคมอฉบบน


2

เรอง จ านวนเชงซอน

หมวด เนอหา

ตอนท 2 (2/4)

หวขอยอย 1. สงยคของจ านวนเชงซอน

2. คาสมบรณของจ านวนเชงซอน

3. กราฟของสมการและอสมการทเกยวของกบคาสมบรณของจ านวนเชงซอน

จดประสงคการเรยนร

เพอใหผเรยน

1. มความเขาใจความหมายและสามารถหาสงยคและคาสมบรณของจ านวนเชงซอนได 2. มความเขาใจการหารจ านวนเชงซอนโดยใชสงยคของจ านวนเชงซอน

3. มความเขาใจสมบตของสงยคและคาสมบรณของจ านวนเชงซอนและสามารถน าไป

ประยกตใชได 4. มความเขาใจการเขยนกราฟของสมการและอสมการทเกยวของกบคาสมบรณของจ านวน

เชงซอน

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ

1. หาสงยคและคาสมบรณของจ านวนเชงซอนได 2. หารจ านวนเชงซอนโดยใชสงยคของจ านวนเชงซอนได 3. น าสมบตของสงยคและคาสมบรณของจ านวนเชงซอนไปประยกตใชได 4. เขยนกราฟของสมการและอสมการทเกยวของกบคาสมบรณของจ านวนเชงซอนได


3

เนอหาในสอการสอน

หลงจากทระบบของจ านวนเชงซอนไดถกสรางขน นกคณตศาสตรไดศกษาตอยอดจนไดนยามและ

ทฤษฎตาง ๆ ตามมา ในสอการสอนเรองจ านวนเชงซอน ตอนท 2 น เราจะศกษาจ านวนเชงซอนในหวขอ

ตอไปน

1. สงยคของจ านวนเชงซอน




4



5


จากตวอยาง ผสอนควรชใหผเรยนเหนวาจ านวนเชงซอน a bi คณกบจ านวนเชงซอน a bi จะ

ไดเปนผลบวกของก าลงสองของสวนจรงกบก าลงสองของสวนจนตภาพของ a bi นนคอ

2 2( )( )a bi a bi a b

เราเรยก a bi วาสงยคของ a bi และเขยนแทนดวย a bi


6

จากสอการสอนเรองจ านวนเชงซอน ตอนท 1 เราทราบแลววา ถา 1z และ 2z เปนจ านวนเชงซอน

แลว 1 2z z จะเปนจ านวนเชงซอนเชนกน ดงนนเมอโจทยตองการใหหา 1 2z z ผเรยนจงมกตอบในรป

1

2

z

z ผสอนควรอธบายใหผเรยนเขาใจวา โดยทวไปเรานยมเขยนผลหารใหอยในรป a bi เพอเปนการ

แสดงใหเหนชดเจนวา 1 2z z เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงและสวนจนตภาพเปนจ านวนจรงใด ดง

ตวอยางในสอการสอน

ผสอนอาจใหตวอยางตอไปนเพมเตม

ตวอยาง จงหาสงยคของ 1 23z z เมอก าหนดให 1 1z i และ 2 2 3z i

วธท า 1 23 4 2 3z z i i

11 10i

ดงนน 1 23 11 10z z i #

หลงจากนน ผเรยนจะไดศกษาสมบตบางประการของสงยคของจ านวนเชงซอน


7

เมอผเรยนทราบแลววา 1

Re2

z z z และ 1

Im2

z z zi

ผสอนควรตงค าถามเพอ

น าไปสสมบตของสงยคของจ านวนเชงซอนตอไปน

1. z z กตอเมอ z

2. z z กตอเมอ z เปนจ านวนจนตภาพแท

ในสอการสอนไดแสดงการพสจนของสมบตของสงยคของจ านวนเชงซอนขางตนเพยงสามขอแรก

เทานน ผสอนอาจจะแสดงการพสจนในสวนทเหลอ ดงน

สมบตขอ 4. 1 2 1 2z z z z

พสจน ให 1z a bi และ 2z c di


8

ดงนน 1 2z z ( ) ( )a c b d i

( ) ( )a c b d i

( ) ( )a bi c d i

1 2z z #

สมบตขอ 5. 1 2 1 2z z z z


ดงนน 1 2z z ( )( )a bi c di

( ) ( )ac bd bc ad i

( ) ( )ac bd bc ad i

( )( )a bi c di

1 2z z #

สมบตขอ 6. 1 1

2 2

z z

z z


จะได 1

2

z

z

a bi

c di

a bi c di

c di c di

2 2

ac bd bc ad i

c d

2 2 2 2

ac bd bc adi

c d c d


9

และ 1

2

z

z a bi

c di

a bi c di

c di c di

2 2

ac bd bc ad i

c d

2 2 2 2

ac bd bc adi

c d c d

ดงนน 1 1

2 2

z z

z z

#

จากตวอยางทผสอนไดใหเพมเตมไว สามารถแสดงวธการหาสงยคโดยใชสมบตของสงยคของ

จ านวนเชงซอน ดงน

ตวอยาง จงหาสงยคของ 1 23z z เมอก าหนดให 1 1z i และ 2 2 3z i

วธท า 1 2 1 23 3z z z z

1 23z z

4 2 3i i

11 10i #

นอกจากนผสอนอาจใหตวอยางตอไปนเพมเตม

ตวอยาง ก าหนดให 1 3z i จงหา 1

1 z

วธท า จาก 1 3z i จะได

1

1 z 1

1 1 3i


10

1

2 3i

1 2 3

2 3 2 3

i

i i

2 3

4 3

i

2 3

7 7i #


11

แบบฝกหดเพมเตม

เรอง สงยคของจ านวนเชงซอน

1. ก าหนดให a เปนจ านวนจรง และ z เปนจ านวนเชงซอน จงแสดงวา az az

2. ก าหนดให z เปนจ านวนเชงซอน จงแสดงวา n

nz z เมอ n

3. ถา z เปนจ านวนเชงซอน ซง Im( ) 4z และ Re 6z จงหา 1z

4 – 6 จงเขยนสงยคของจ านวนเชงซอนในแตละขอตอไปนในรป a bi

4. 1 25z z เมอ 1 1 3z i และ 2 2 1z i

5. 1 2z z เมอ 1 5z i และ 2 3z

6. 1

22

z

iz เมอ 1

3

2z i และ 2 1 2z i

7-10 จงหาจ านวนเชงซอน z ทสอดคลองสมการในแตละขอตอไปน

7. 4 5 7z i

8. 1

3 22

iz

9. 2

1 3i z i

10. 3

8z z i


12



13


คาสมบรณของจ านวนเชงซอนถกนยามใหมความหมายเหมอนกนกบคาสมบรณของจ านวนจรง

นนคอ คาสมบรณของ z คอ ระยะทางระหวาง 0 0i กบ z เขยนเขยนแทนดวย z

เมอผเรยนไดศกษาการเขยนกราฟและการหาคาสมบรณของจ านวนเชงซอนแลวผสอนอาจจะน าไป

เชอมโยงกบความรเรองการหาระยะทางระหวางจดสองจดในระนาบ XY นนคอ ถา z a bi แลว z

เทากบ ระยะทางระหวางจด 0,0 กบจด ,a b ดงนน 2 2 2 20 0z a b a b ซง

สอดคลอดกบบทนยามของคาสมบรณของจ านวนเชงซอน

หลงจากนน ผสอนอาจทดสอบความเขาใจของผเรยนดวยการใหผเรยนหาคาของ ni เนองจาก ni

มคาเปน , 1,i i หรอ 1 ดงนน 1ni เสมอ ส าหรบทก n

ในสอการสอนไดใหสมบตของคาสมบรณของจ านวนเชงซอนไว 6 ขอ โดยสมบตขอ 2. เหนได

ชดเจนจากกราฟ


14

ผสอนอาจแสดงการพสจนสมบตขอ 1. โดยให z a bi

ดงนน 2

2 2 2 2 2z a b a b

และ 2 2zz a bi a bi a b

จะได 2z zz #

ส าหรบสมบตขอ 1. ผสอนควรเนนใหผเรยนเหนความแตกตางของ 2a เมอ a เปนจ านวนจรง

และ 2z เมอ z เปนจ านวนเชงซอน

หลงจากทผเรยนไดศกษาตวอยางจ านวนเชงซอน z ซง 2 2z z แลว ผสอนควรอธบายเพมเตม

ดวยวา ถา ( , )z a b แลว 2 2z z เพราะ 2 2 2 2 2a b a b abi

จากสมบตขอ 4. เราสามารถแสดงไดโดยงายวา

nnz z


15

ยงไปกวานน สมบตขอ 3. และ 4. ท าใหเราไดดวยวา

1 1 1nn nz z z

อสมการในสมบตขอ 5. มชอเรยกวา “อสมการสามเหลยม (Triangle Inequality)” ในสอการสอนได

กลาวถงการพสจนโดยใชความรทางเรขาคณต

ผสอนอาจแสดงการพสจนโดยใชความรทางพชคณตเพมเตม ดงน

ให 1z a bi และ 2z c di

ดงนน 1 2z z ( ) ( )a c b d i

1 2z z 2 2( ) ( )a c b d

2

1 2z z 2 2( ) ( )a c b d

2 2 2 22 2a ac c b bd d

2 2 2 2 2a b c d ac bd


16

นนคอ 2

1 2z z 2 2

1 2 2z z ac bd 1

เนองจาก 1 2z z a bi c di

ac bd bc ad i

จะได 1 2Re z z ac bd 2

สงเกตวา ส าหรบจ านวนเชงซอน z ใดๆ

Re z z และ Im( )z z (แบบฝกหด) 3

จาก 1 , 2 และ 3 จะไดวา

2

1 2z z 2 2

1 2 1 22Rez z z z

2 2

1 2 1 22z z z z

2 2

1 2 1 22z z z z

2 2

1 2 1 22z z z z

2

1 2z z

นนคอ 2

1 2z z 2

1 2z z

เนองจาก 1 2 0z z และ 1 2 0z z

ดงนน 1 2z z1 2z z #

การพสจนสมบตขอ 6. ท าไดโดยใชสมบตขอ 5. ดงน

เนองจาก 1 1 2 2z z z z

ดงนน 1 1 2 2z z z z

1 1 2 2z z z z (จากสมบตขอ 5.)


17

จะได 1 2 1 2z z z z

นนคอ 1 2 1 2z z z z #

กอนทผเรยนจะศกษาตวอยางการใชสมบตของคาสมบรณของจ านวนเชงซอน ผสอนอาจ

ยกตวอยางการค านวณงาย ๆ ดงน

ตวอยาง ก าหนดให 3 2z i และ 1w i จงหาคาของ z w และ zw

วธท า จากโจทยจะได z w 3 2 1i i

4 3i

224 3

5

และ zw z w

z w

2 22 23 2 1 1

13 2

26 #


18

สวนสดทายของสอการสอนเรองคาสมบรณของจ านวนเชงซอนไดมการกลาวถง 1 2z z ในเชง

เรขาคณต ซงผเรยนจะไดน าไปใชในการเขยนกราฟในหวขอถดไป


19


เรอง คาสมบรณของจ านวนเชงซอน

1-3 จงหาคาสมบรณของจ านวนเชงซอนในแตละขอตอไปน

1. 7i

2. 10z เมอ 1

2 2

iz

3. 2 2 1z z เมอ 3z i

4. 2 2

1 2z z เมอ 1 7z i และ 2 2 3z i

5-7 ก าหนดให z เปนจ านวนเชงซอน จงพสจนขอความตอไปน

5. 0z กตอเมอ 0z

6. az a z เมอ a เปนจ านวนจรง

7. Re z z และ Im z z

8. ถา 2 4 3z i จงหา z

9. ถา z เปนจ านวนเชงซอนทมสวนจรงเทากบสวนจนตภาพ และ 2z z จงหา z

10. ถา z เปนจ านวนเชงซอนทท าให 31

6

z

z

และ 85

4z z แลว จงหา z


20

3. กราฟของสมการและอสมการทเกยวของกบ

คาสมบรณของจ านวนเชงซอน


21


จากความหมายของคาสมบรณของจ านวนเชงซอนทผเรยนไดศกษาในหวขอท 2 ผเรยนจะได

น ามาใชในการเขยนกราฟของสมการและอสมการทอยในรปของคาสมบรณ ผสอนควรเนนย าวาระนาบท

เรากลาวถงในบทเรยนน แกน X หมายถงแกนจรง และแกน Y หมายถงแกนจนตภาพ

ในตวอยางแรก โจทยตองการใหเขยนกราฟของจดทงหมด ซงอยหางจากจด 0,0 เปนระยะทาง

3 หนวย นอกจากการเขยนกราฟโดยใชความหมายของคาสมบรณแลว ผสอนอาจแสดงวธเขยนกราฟโดย

ใชความรเรองเรขาคณต ดงน

ให ,z x y เปนจ านวนเชงซอนซงสอดคลองสมการ 3z

ดงนน 2 2 3x y

นนคอ 2 2 23x y ซงเปนสมการของวงกลม

เพราะฉะนน กราฟของจดทงหมดทสอดคลองอสมการ 3z จงเปนกราฟวงกลมทมจด

ศนยกลางคอ 0,0 และมรศม 3 หนวย


22

นอกจากน เราจะไดวา กราฟของอสมการ 3z คอ กราฟของสมการ 2 2 23x y ซงเปน

กราฟของจดในวงกลมและจดบนขอบของวงกลมนนเอง

ในท านองเดยวกนกบสองตวอยางแรก ผสอนอาจแสดงวธการเขยนกราฟของ 1 3z และ

1 3z โดยใชความรทางเรขาคณต ดงน

ให ,z x y เปนจ านวนเชงซอนทสอดคลองสมการ 1 3z

ดงนน ( 1) 3z yi

2 21 3x y

2 2 21 3x y ซงเปนสมการของวงกลม

เพราะฉะนน กราฟของจดทงหมดทสอดคลองสมการ 1 3z จงเปนกราฟวงกลมทมจด

ศนยกลางคอ 1,0 และมรศม 3 หนวย และกราฟของอสมการ 1 3z คอกราฟของอสมการ

2 2 21 3x y ซงเปนกราฟของจดในวงกลมและจดบนขอบของวงกลมนนเอง


23

จากนน ผสอนอาจใหตวอยางตอไปนเพมเตม

ตวอยาง จงเขยนกราฟแสดงจด z ทงหมดในระนาบเชงซอนทสอดคลองสมการ Im 4z

วธท า กราฟของจ านวนเชงซอนทงหมดทมสวนจนตภาพเทากบ 4 แสดงไดดงรป

Y

X

4


24

เมอผเรยนไดศกษาตวอยางขางตนแลว ผสอนอาจใหตวอยางตอไปนเพมเตม

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ 2 3 1z z i

วธท า ให z x yi เปนจ านวนเชงซอนทสอดคลองสมการ 2 3 1z i

ดงนน 2 3 1z y i

2 2

2 3 1x y

2 2

2 3 1x y

เพราะฉะนน กราฟของ 2 3 1z z i จงเปนกราฟวงกลมทมจดศนยกลางคอ 2, 3

และรศม 1 หนวย และท าใหไดวากราฟของ 2 3 1z z i คอกราฟของจดทอยนอกวงกลมและจดบน

ขอบของวงกลม ดงรป

#


25

ตวอยางสดทายในสอการสอนเรองนผเรยนจะเขยนกราฟของจดซงสอดคลองอสมการ 2 อสมการ


26


เรอง คาสมบรณของสมการและอสมการทเกยวของกบคาสมบรณ

ของจ านวนเชงซอน

1-10 จงเขยนกราฟแสดงจด z ทงหมดในระนาบเชงซอนซงสอดคลองสมการหรออสมการทก าหนดใหใน

แตละขอตอไปน

1. Re 2z

2. Im 1z i

3. 4z z 4. 3 1z

5. 3 2 1z i

6. 6 2z i

7. 22 9z i

8. 2 2z i z i

9. 2z z z

10. 2z z i และ 4 2z i


27

สรปสาระส าคญประจ าตอน


28

สรปสาระส าคญประจ าตอน


29

ภาคผนวกท 1

แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


30

แบบฝกหดระคน

1. ก าหนดให z เปนจ านวนเชงซอน ซง 13

2z i

แลว

51

3z

เทากบขอใดตอไปน

1. 32 2. 32i

3. 32 4. 32i

2. ให 1 3

2 2z i แลวคาของ 1

2z ตรงกบขอใดตอไปน

1. 94

2. 3

2

3. 2

3 4. 3

2

3. ถา

10 4

8

1 3 1

1 3

i iz

i

แลว z ตรงกบขอใดตอไปน

1. 12 2. 16

3. 23 4. 24

4. ถา z เปนจ านวนเชงซอน ซง 1 2 1 1i z แลว zz เทากบขอใดตอไปน

1. 2

5 2. 4

5

3. 65

4. 8

5

5. ก าหนดให 2 3 4z i แลว z เทากบขอใดตอไปน

1. 5 2. 5

3. 2 4. 2


31

6. ก าหนดให 1 2z i ถา 1 2z z เปนจ านวนจนตภาพแท และ 1 22z z เปนจ านวนจรง แลว

1 2z z เทากบขอใดตอไปน

1. 1 i 2. 1 2i

3. 2 i 4. 3 3i

7. ถา 1z และ 2z เปนจ านวนเชงซอน ซงเปนค าตอบของสมการ 6z z i และ 4z i แลว

1 2z z เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 17

3. 1 4. 17

8. ก าหนดให 1z และ 3 2 7z แลว Re z ตรงกบขอใดตอไปน

1. 1 2. 2

3. 3 4. 4

9. กราฟของสมการ 5 3z i มลกษณะตรงกบขอใดตอไปน

1. วงกลม จดศนยกลางคอ 5,1 รศม 9 หนวย

2. วงกลม จดศนยกลางคอ 5, 1 รศม 9 หนวย

3. วงกลม จดศนยกลางคอ 5,1 รศม 3 หนวย

4. วงกลม จดศนยกลางคอ 5, 1 รศม 3 หนวย

10. กราฟของสมการ 1 3 2z i z i มลกษณะตรงกบขอใดตอไปน

1. เสนตรง ความชน 1

3


3


3


3


32

ภาคผนวกท 2

เฉลยแบบฝกหด


33

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม

เรอง สงยคของจ านวนเชงซอน 1. ก าหนดให z b ci

ดงนน az a b ci ab aci ab aci a b ci az

หรอ

เนองจาก 1 2 1 2z z z z ส าหรบทก

1z , 2z และ a ดงนน az a z az

2. n

nz z z z z z z z

n ตว n ตว

3. 3

26 13

i

4. 6 13i 5. 15 3i

6. 3 3

20 10

i

7. 1 7i

8. 4 2

27 27i

9. 1 7i 10. a i เมอ a


34


เรอง คาสมบรณของจ านวนเชงซอน

1. 7 2. 1 3. 5 4. 3485 5. ก าหนดให z a bi

ดงนน 0z กตอเมอ 2 2 0a b

กตอเมอ 2 2 0a b

กตอเมอ 0a และ 0b

กตอเมอ 0z

6. ก าหนดให z b ci

จะไดวา az ab aci 2 2 2 2a b a c 2 2a b c a z

หรอ

เนองจาก 1 2 1 2z z z z ส าหรบทก 1z ,

2z และ a ดงนน az a z

7. ก าหนดให z a bi

สงเกตวา 2 2 2a a b และ 2 2 2b a b

a z และ b z

เพราะฉะนน a a z และ b b z

นนคอ Re z z และ Im z z

8. 5 9. 1 i หรอ 1 i

10. 9

2i หรอ 9

2i


35


เรอง กราฟของสมการและอสมการทเกยวของกบคาสมบรณของจ านวนเชงซอน

1.

2.

3.

Y

X1 2

-1

-2

Y

X1 2

X

Y


36

4.

5.

6.

Y

X 1 2 3 4

1

-1

X

Y

-4 -3 -2 -1

3 2 1

Y

X-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

-2 1 2


37

7.

8.

9.

Y

X-1 -2 -3

4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 1

Y

X-1 1

1

-1

Y

X-2 -1

1 -1


38

10.

Y

X-6 -2

1


39

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 2 6. 1

2. 3 7. 2

3. 2 8. 3

4. 4 9. 3

5. 1 10. 2

ผ-1

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน

ประจาปงบประมาณ 2555

ผ-2

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน (ประจาปงบประมาณ 2555)

เรอง ตอน

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ บทนาเรองคณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2) เซต แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3) ทฤษฎจานวน แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) จานวนจรง แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 5) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 6) เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย บทนาเรองเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จดและสวนของเสนตรง ความชนและเสนตรง ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย ความสมพนธและฟงกชน แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) เมทรกซ บทนาเรองเมทรกซ ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซขนาด 2x2 ดเทอรมแนนต อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

ผ-3

เรอง ตอน เวกเตอร บทนาเรองเวกเตอร เวกเตอรในเชงเรขาคณต

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

การคณเวกเตอรเชงสเกลาร

การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร จานวนเชงซอน บทนาเรองจานวนเชงซอน จานวนเชงซอน

สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน

พกดเชงขว

รากของจานวนเชงซอน ตรโกณมต แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 3)



แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6) คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน ภาษและเครดต ดอกเบยและคางวด

ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน ลาดบและอนกรม แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 4)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) แคลคลส บทนาเรองแคลคลส ลมต

ความตอเนอง

อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ

อนพนธ

คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

การประยกตคาสดขด

ปรพนธ 1

ปรพนธ 2 หลกคณตศาสตร หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

ผ-4

เรอง ตอน สถต แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 4)

ผ-5


ปงบประมาณ 2554-2555

ผ-6


คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง บทนา คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ แบบฝกหด ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2)

เซต บทนา เซต การใหเหตผลและตรรกศาสตร เนอหา ความหมายของเซต บทนา การใหเหตผลและตรรกศาสตร เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต เนอหา การใหเหตผล เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและ ประพจนและการสมมล แผนภาพเวนน-ออยเลอร สจนรนดรและการอางเหตผล แบบฝกหด เซต (ตอนท 1) ประโยคเปดและวลบงปรมาณ เซต (ตอนท 2) แบบฝกหด การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) สอปฏสมพนธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3)

จานวนจรง สอปฏสมพนธ หอคอยฮานอย บทนา จานวนจรง ตารางคาความจรง เนอหา สมบตของจานวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฎจานวนเบองตน ทฤษฎบทตวประกอบ บทนา ทฤษฎจานวนเบองตน สมการพหนาม เนอหา การหารลงตวและจานวนเฉพาะ อสมการ ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย เทคนคการแกอสมการ แบบฝกหด ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) คาสมบรณ ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย แบบฝกหด จานวนจรง (ตอนท 1) บทนา เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จานวนจรง (ตอนท 2) เนอห จดและสวนของเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 3) ความขนและเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 4) ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 5) วงกลม จานวนจรง (ตอนท 6) พาราโบลา สอปฏสมพนธ ชวงบนเสนจานวน วงร สมการและอสมการพหนาม ไฮเพอรโบลา กราฟคาสมบรณ การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย

ผ-7

ความสมพนธและฟงกชน ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม บทนา ความสมพนธและฟงกชน บทนา ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม เนอหา ความสมพนธ เนอหา เลขยกกาลง โดเมนและเรนจ ฟงกชนเลขชกาลง อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของ ฟงกชนลอการทม ฟงกชน อสมการเลขชกาลง ฟงกชนเบองตน อสมการลอการทม พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ตรโกณมต ฟงกชนประกอบ บทนา ตรโกณมต แบบฝกหด ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) เนอหา อตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) และวงกลมหนงหนวย ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) ฟงกชนตรโกณมต 1 ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3

เมทรกซ กฎของไซนและโคไซน บทนา เมทรกซ กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ฟงกชนตรโกณมตผกผน การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซ แบบฝกหด ตรโกณมต (ตอนท 1) ขนาด 2×2 ตรโกณมต (ตอนท 2) ดเทอรมแนนต ตรโกณมต (ตอนท 3) อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว ตรโกณมต (ตอนท 4) การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน ตรโกณมต (ตอนท 5) ตรโกณมต (ตอนท 6)

เวกเตอร สอปฏสมพนธ มมบนวงกลมหนงหนวย บทนา เวกเตอร กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา เวกเตอรในเชงเรขาคณต กฎของไซนและกฎของโคไซน เวกเตอรในระบบพกดฉาก การคณเวกเตอรเชงสเกลาร กาหนดการเชงเสน การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร บทนา กาหนดการเชงเสน เนอหา การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร

จานวนเชงซอน การหาคาสดขด บทนา จานวนเชงซอน เนอหา จานวนเชงซอน คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน สารคด ภาษและเครดต พกดเชงขว ดอกเบยและคางวด รากของจานวนเชงซอน ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน

ผ-8

ลาดบและอนกรม สถตและการวเคราะหขอมล บทนา ลาดบและอนกรม บทนา สถตและการวเคราะหขอมล เนอหา ลาดบ เนอหา บทนา เนอหา การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 ลมตของลาดบ แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 ผลบวกยอย แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 อนกรม การกระจายของขอมล ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม การกระจายสมบรณ 1 แบบฝกหด ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) การกระจายสมบรณ 2 ลาดบและอนกรม (ตอนท 2) การกระจายสมบรณ 3 ลาดบและอนกรม (ตอนท 3) การกระจายสมพทธ ลาดบและอนกรม (ตอนท 4) คะแนนมาตรฐาน ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2

แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 1 บทนา แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 เนอหา ลมต แบบฝกหด สถต (ตอนท 1) ความตอเนอง สถต (ตอนท 2) อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ สถต (ตอนท 3) อนพนธ สถต (ตอนท 4) คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ การประยกตคาสดขด แบบจาลองทางคณตศาสตร ปรพนธ 1 สารคด แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ปรพนธ 2 ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

การนบและความนาจะเปน โครงงานทางคณตศาสตร บทนา การนบและความนาจะเปน วจย การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย เนอหา การนบเบองตน ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การเรยงสบเปลยน การถอดรากทสาม การจดหม เสนตรงลอมเสนโคง ทฤษฎบททวนาม กระเบองทยดหดได การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

หลกคณตศาสตร เนอหา หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร

ตอนที่ 25 戎㌎ᤎ ᤎ䀎屮ิงซ้อน ตอนที่...

Documents

Transcript of ตอนที่ 25 戎㌎ᤎ ᤎ䀎屮ิงซ้อน ตอนที่...