34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน...

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

ความสมพนธและฟงกชน (เนอหาตอนท 5)

พชคณตของฟงกชน

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ


สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน มจานวนตอนทงหมดรวม 16 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทนา เรอง ความสมพนธและฟงกชน 2. เนอหาตอนท 1 ความสมพนธ

- แผนภาพรวมเรองความสมพนธและฟงกชน - ผลคณคารทเซยน - ความสมพนธ - การวาดกราฟของความสมพนธ

3. เนอหาตอนท 2 โดเมนและเรนจ - โดเมนและเรนจ - การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ - การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

4. เนอหาตอนท 3 อนเวอรสของความสมพนธ และบทนยามของฟงกชน - อนเวอรสของความสมพนธ - บทนยามของฟงกชน

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนเบองตน

- ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B

- ฟงกชนทวถง - ฟงกชนหนงตอหนง

6. เนอหาตอนท 5 พชคณตของฟงกชน - พชคณตของฟงกชน - ตวอยางประเภทของฟงกชนพนฐาน

7. เนอหาตอนท 6 อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส - อนเวอรสของฟงกชนละฟงกชนอนเวอรส - กราฟของฟงกชนอนเวอรส

8. เนอหาตอนท 7 ฟงกชนประกอบ - ฟงกชนประกอบ


- โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ - สมบตของฟงกชนประกอบ

9. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 11. แบบฝกหด (ขนสง) 12. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธและฟงกชน 13. สอปฏสมพนธ เรอง อนเวอรสของความสมพนธและฟงกชนอนเวอรส 14. สอปฏสมพนธ เรอง โดเมนและเรนจ 15. สอปฏสมพนธ เรอง พชคณตและการประกอบของฟงกชน 16. สอปฏสมพนธ เรอง การเลอนแกน

คณะผจดทาหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนสาหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ความสมพนธและฟงกชน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจ ดทาไดดาเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


เรอง ความสมพนธและฟงกชน หมวด เนอหา ตอนท 5 (5/7) หวขอยอย 1. พชคณตของฟงกชน 2. ตวอยางของฟงกชนพนฐาน จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจบทนยามของการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชน 2. คานวณผลของการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชนทกาหนดมาใหได 3. เขาใจบทนยามของฟงกชนลดและฟงกชนเพม 4. ไดเหนตวอยางฟงกชนพนฐานชนดตางๆ

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. คานวณผลของการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชนทกาหนดมาใหได 2. ระบไดวาชวงใดในโดเมนของฟงกชนทกาหนดทาใหฟงกชนนนเปนฟงกชนลด และชวงใดใน

โดเมนของฟงกชนทกาหนดทาใหฟงกชนนนเปนฟงกชนเพม 3. สามารถยกตวอยางฟงกชนพนฐานตางๆ และวาดกราฟของฟงกชนพนฐานเหลานนได


เนอหาในสอ


1. พชคณตของฟงกชน


ในตอนนไดยกตวอยางพชคณตของฟงกชนทนกเรยนอาจไดใชในชวตประจาวนโดยไมรตว จากนนพยายามยกตวอยางเพอชกจงใหนกเรยนเหนเงอนไขทจาเปนในการนยามการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชน โดยในทนกาลงพจารณาการบวก


หลงจากทนกเรยนไดขอสงเกตเกยวกบเงอนไขในการนยามการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชนแลว ในตอนนไดใหบทนยามของการดาเนนการทางพชคณตตางๆ ของฟงกชน กลาวคอ การบวก การลบ การคณ และการหาร

เมอมาถงตอนนครควรย าอกครงวาฟงกชนคอความสมพนธแบบหนง ดงนนแทจรงแลวฟงกชนคอเซตของคอนดบ ดงนนการนาฟงกชนสองฟงกชนขนไปมาดาเนนการทางพชคณต เชน นามาบวกกนนน จะดาเนนการกนเฉพาะสมาชกตวหลงของคอนดบทอยในความสมพนธเทานน ในขณะทสมาชกตวหนาของความสมพนธมหนาทบงบอกวาจะหาผลการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชนนนๆ ไดหรอไมเทานน ไมตองนามาเกยวของกบการดาเนนการแตอยางใด


ในตอนนไดใหตวอยางในการคานวณผลการดาเนนการทางพชคณตของฟงกชน ทงในกรณทกาหนดฟงกชนมาใหแบบแจกแจงสมาชก และแบบบอกเงอนไข

สาหรบปญหาชวนคดททงไวในตวอยางทกาหนดให {(0,2), (1,4), (2,6), (3,8)}f = และ

{(0,1), (1,0), (2,3), (5,7)}g = นน จะไดวา 1 0 3 1 10, , 1, , 2, 0, , (1, 0), 2,

2 4 6 2 2

g

f

ì ü ì üæ ö æ ö æ ö æ ö æ öï ï ï ï÷ ÷ ÷ ÷ ÷ï ï ï ïç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷= =ç ç ç ç çí ý í ý÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ïç ç ç ï ïç ç ïè ø è ø è ø è ø è øï ï ï ïî þ î þ

นอกจากนยงมปญหาชวนคดททงไวในตวอยางอกขอหนงทกาหนดให 2

2( )

9f x

x=

- ในขณะทเปลยน

ฟงกชน g เปน ( ) 5g x x= - จะไดวา 2

2( )

( 9) 5

fx

g x x

æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø - - แตโดเมนของ f

g จะเปลยนเปน

(5, )¥


เมอมาถงจดนครอาจยกตวอยางโดยใชฟงกชนจากสอตอนทผานๆ มาเพอใหนกเรยนฝกหาผลการดาเนนการเชงพชคณตของฟงกชนนนๆ พรอมทงระบโดเมนของผลการดาเนนการเหลานนได นอกจากนครยงอาจยกตวอยางเหลานเพมเตมเพอใหนกเรยนชานาญยงขน ตวอยาง 1 กาหนดให {(1, 0), (2,1), (3,5), (4, 3), (5,2)}f = และ

{( 1, 2), (0, 1), (1,2), (2, 3), (3, 4)}g = - - - - จงหา , , ,f

f g f g fgg

+ - และ gf

วธทา {(1, 0 2), (2,1 ( 3)), (3,5 4)} {(1,2), (2, 2), (3,9)}f g+ = + + - + = -

{(1,0 2), (2,1 ( 3)), (3,5 4)} {(1, 2), (2, 4), (3,1)}f g- = - - - - = -

{(1,(0)(2)), (2,(1)( 3)), (3,(5)(4)} {(1, 0), (2, 3), (3,20)}fg = - = -

0 1 5 1 51, , 2, , 3, (1, 0), 2, , 3,

2 3 4 3 4

f

g

ì ü ì üæ ö æ ö æ ö æ ö æ öï ï ï ï÷ ÷ ÷ ÷ ÷ï ï ï ïç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷= = -ç ç ç ç çí ý í ý÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ïç ç ç ï ï ç ç ï-è ø è ø è ø è ø è øï ï ï ïî þ î þ

3 4 42, , 3, (2, 3), 3,

1 5 5

g

f

ì ü ì üæ ö æ ö æ öï ï ï ï- ÷ ÷ ÷ï ï ï ïç ç ç÷ ÷ ÷= = -ç ç çí ý í ý÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ïç ç ï ï ç ïè ø è ø è øï ï ï ïî þ î þ

ตวอยาง 2 กาหนดให ( ) 3f x x= - และ ( ) 2 | 4 |g x x=- + - จงหา

( )( ), ( )( ), ( )( ), ( )f

f g x f g x fg x xg

æ ö÷ç ÷+ - ç ÷ç ÷çè ø และ ( )

gx

f

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø

พรอมทงระบโดเมนของแตละฟงกชนทหามาได วธทา จากโจทยจะไดวา ( , 3]

fD = -¥ และ

gD = นอกจากน { | ( ) 0} {3}x f x = = และ

{ | ( ) 0} {2, 6}x g x = = ดงนนจะไดวา

( )( ) 3 2 | 4 |f g x x x+ = - - + - โดยท ( , 3]f g

D+

= -¥

( )( ) 3 2 | 4 |f g x x x- = - + - - โดยท ( ,3]f g

D-

= -¥

( )( ) 3 ( 2 | 4 |)fg x x x= - - + - โดยท ( ,3]fg

D = -¥

3( )

2 | 4 |

f xx

g x

æ ö -÷ç ÷ =ç ÷ç ÷ç - + -è ø โดยท ( ,2) (2, 3]

f

g

D = -¥ È


2 | 4 |( )

3

g xx

f x

æ ö - + -÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø - โดยท ( , 3)

g

f

D = -¥

แบบฝกหดเพมเตมเรองพชคณตของฟงกชน

1. กาหนดให {( 3,2), ( 2, 1), ( 1, 0), (2,1), (4, 3)}f = - - - - และ ( ) | 1 |g x x= + จงหา

, , ,f

f g f g fgg

+ - และ gf

2. กาหนดให 2( ) ( 1)f x x= + และ ( ) 1g x x= - จงหา ( )( ), ( )( ), ( )( ), ( )f

f g x f g x fg x xg

æ ö÷ç ÷+ - ç ÷ç ÷çè ø

และ ( )g

xf

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø พรอมทงระบโดเมนของแตละฟงกชนทหามาได

3. กาหนดให f และ g เปนฟงกชนทมกราฟดงรป จงรางกราฟของ f g+ และ f g-

4. จงรางกราฟของ fg เมอกาหนดให ( ) 1f x =- และ g เปนฟงกชนทมกราฟดงรป

5. กาหนดให ( )f x x= และ ( ) | | 1g x x= + จงหาโดเมนและเรนจของ f

g

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

f g

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-3

-2

-1


2. ตวอยางของฟงกชนพนฐาน


ในชวงแรกนยงไมไดยกตวอยางฟงกชนพนฐานตางๆ ทนกเรยนควรรจก แตไดกลาวถงบทนยามของฟงกชนเพม และฟงกชนลด ซงมความสาคญอยางยงในการแกอสมการตางๆ


หลงจากทเขาใจบทนยามของฟงกชนเพม และฟงกชนลดแลว ในตอนนไดยกตวอยางตางๆ เกยวกบฟงกชนเพม และฟงกชนลด โดยใหนกเรยนไดฝกพจารณาโดยวธเชงพชคณต และโดยการวาดกราฟ

เมอมาถงตอนนครควรเนนย าวา ฟงกชนหนงๆ นนไมจาเปนจะตองเปนฟงกชนเพม หรอฟงกชนลดเพยงอยางเดยวตลอดทงโดเมน แตอาจมบางชวงทฟงกชนนนเปนฟงกชนเพม และบางชวงทฟงกชนนนเปนฟงกชนลด สาหรบฟงกชนทไมเพมและไมลดเลยนนจะเรยกวาเปนฟงกชนคงท ยงไปกวานนการกากบวาฟงกชนนนๆ เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดบนเซตใด มความสาคญเชนกน ใหนกเรยนพจารณาฟงกชน f ทมกราฟดงรป

-1 1 2 3

-1.0

-0.5

0.5

1.0


จะเหนวา f เปนฟงกชนเพมบนเซต ( ,1)-¥ และ บนเซต (1, )¥ แต f ไมเปนฟงกชนเพมบน (ทาไม) ซงคอโดเมนของ f (สงเกตวา f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง) ในกรณท f เปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) บนโดเมนของฟงกชน f อาจกลาวสนๆ วา f เปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) เทานน นอกจากนในบางตาราอาจกาหนดนยามในลกษณะดงน สาหรบฟงกชน f ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ

fA DÌ จะไดวา

1. f เปนฟงกชนเพม บน A กตอเมอ สาหรบ 1

x และ 2

x AÎ ถา 1 2

x x< แลว 1 2

( ) ( )f x f x£ 2. f เปนฟงกชนลด บน A กตอเมอ สาหรบ

1x และ

2x AÎ ถา

1 2x x< แลว

1 2( ) ( )f x f x³

ในขณะทสอชดน แทจรงแลวกาหนดนยามไวดงน สาหรบฟงกชน f ทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ

fA DÌ จะไดวา

1. f เปนฟงกชนไมลด (nondecreasing function) บน A กตอเมอ สาหรบ 1

x และ 2

x AÎ ถา 1 2

x x< แลว

1 2( ) ( )f x f x£

2. ฟงกชนไมเพม (nondecreasing function) บน A กตอเมอ สาหรบ 1

x และ 2

x AÎ ถา 1 2

x x< แลว

1 2( ) ( )f x f x³

3. ฟงกชนเพม หรอฟงกชนเพมโดยแท (increasing function หรอ strictly increasing) บน A กตอเมอ สาหรบ 1

x และ

2x AÎ ถา

1 2x x< แลว

1 2( ) ( )f x f x<

4. ฟงกชนลด หรอฟงกชนลดโดยแท (decreasing function หรอ strictly decreasing) บน A กตอเมอ สาหรบ 1

x และ

2x AÎ ถา

1 2x x< แลว

1 2( ) ( )f x f x>

อกทงในการตอบวาชวงใดเปนชวงทฟงกชนเพม หรอชวงใดเปนชวงทฟงกชนลด บางตาราอาจรวมจดปลายชวง (หากจดปลายชวงนนอยในโดเมนของฟงกชน) ในขณะทบางตาราจะตอบเปนชวงเปดโดยไมสนใจจดปลายชวงดงเชนทนกเรยนเหนในสอชดนนนเอง ในชวงนครควรถามคาถามนาเพอใหนกเรยนชวยกนอภปรายในประเดนเหลาน 1. สมมตวา f เปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) และ

1 2( ) ( )f x f x< แลวสรปไดหรอไมวา

1 2x x< (หรอ

1 2x x> ) โดยใหนกเรยนชวยกนยกตวอยางประกอบ


2. เมอนกเรยนอภปรายและยกตวอยางกนไปพอสมควรแลวนาจะนามาสขอสรปวา ถา f เปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) แลวสาหรบ

1 fx DÎ และ

2 fx DÎ (

1 2x x< กตอเมอ

1 2( ) ( )f x f x< (หรอ

1 2( ) ( )f x f x> ))

สมบตนนาไปใชในการแกอสมการของฟงกชนอนๆ ทเปนฟงกชนหนงตอหนง เชน ฟงกชนเลขชกาลง และฟงกชนลอการทม ซงนกเรยนจะไดศกษารายละเอยดในสอเรองฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม โดย อาจารยเพญพรรณ และอาจารยจณดษฐ นอกจากนนกเรยนทมความสนใจเปนพเศษอาจสงเกตไดอกวา ถา f เปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) แลว f เปนฟงกชนหนงตอหนง ซงบทพสจนจะขอใหไวสาหรบนกเรยนทสนใจ พสจน กาหนดให f เปนฟงกชนเพม ให

1 fx DÎ และ

2 fx DÎ สมมตวา

1 2x x¹ โดยไมเสยนยทวไป สมมตวา

1 2x x< เนองจาก f เปนฟงกชนเพม ทาใหไดวา

1 2( ) ( )f x f x< นนคอ

1 2( ) ( )f x f x¹ เพราะวาขอความ ถา

1 2x x¹ แลว

1 2( ) ( )f x f x¹ สมมลกบขอความ ถา

1 2( ) ( )f x f x= แลว

1 2x x= จงสรปไดวา f เปนฟงกชน

หนงตอหนง เมอมาถงตอนนครควรยกตวอยางเหลานประกอบ

ตวอยาง 3 กาหนดให 2

( )4

xf x

x=

- จงหาชวงท f เปนฟงกชนเพม และชวงท f เปนฟงกชนลด

วธทา ให 1

x และ 2

x เปนสมาชกของโดเมน f สมมตวา 1 2

( ) ( )f x f x< นนคอ 1 22 2

1 24 4

x x

x x<

- - ซงเมอยาย

ขางและรวมเศษสวนจะได 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2

1 2 1 2

4 4 (4 )( )0

(4 )(4 ) (4 )(4 )

x x x x x x x x x x

x x x x

- - + + -= <

- - - -

กรณ 1

2x <- และ 2

2x <- จะไดวา 21

4x > และ 22

4x > และ 1 2

0x x > ดงนน 1 2

x x<

กรณ 1 2

2 , 2x x- < < จะไดวา 2

14x < และ 2

24x < และ

1 24 4x x- < < ดงนน

1 2x x<

กรณ 1

2x > และ 2

2x > ไดวา 2

14x > และ 2

24x > และ

1 20x x > ดงนน

1 2x x<

ทาใหไดวา f เปนฟงกชนเพมบนชวง ( , 2), ( 2,2)-¥ - - และ (2, )¥ และไมมชวงท f เปนฟงกชนลด

ตวอยาง 4 สมมตวา f และ g เปนฟงกชนเพมทงค (หรอฟงกชนลดทงค) บนชวง

f gA D DÌ Ç ทไมใชเซตวาง

แลว f g+ จะเปนฟงกชนเพมทงค (หรอฟงกชนลดทงค) บนชวง A หรอไม


วธทา ให 1

x AÎ และ 2

x AÎ สมมตวา 1 2

x x< จะไดวา 1 2

( ) ( )f x f x< และ 1 2

( ) ( )g x g x< ทาให

1 1 1 2 2 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f g x f x g x f x g x f g x+ = + < + = + นนคอ f g+ เปนฟงกชนเพมทงคบนชวง A หมายเหต ในทนแสดงใหดเฉพาะกรณท f และ g เปนฟงกชนเพมทงค สวนในกรณท f และ g เปนฟงกชนลดทงค ขอใหนกเรยนชวยกนทาเปนแบบฝกหด


ในตอนนไดกลาวถงนยามของฟงกชนเชงเสนในรป ( )f x ax b= + เมอ a และ b เปนจานวนจรงใดๆ

สาหรบปญหาชวนคดททงไวในสอนน จะเหนวาแบงออกเปนสามกรณไดดงน กรณ 0a > ให

1x และ

2x เปนจานวนจรงใดๆ ท

1 2x x< เนองจาก 0a > จะไดวา

1 1 2 2( ) ( )f x ax b ax b f x= + < + = ทาใหไดวา เมอ 0a > ฟงกชนเชงเสน ( )f x ax b= + เปนฟงกชนเพม

กรณ 0a < ให 1

x และ 2

x เปนจานวนจรงใดๆ ท 1 2

x x< เนองจาก 0a < จะไดวา

1 1 2 2( ) ( )f x ax b ax b f x= + > + = ทาใหไดวา เมอ 0a < ฟงกชนเชงเสน ( )f x ax b= + เปนฟงกชนลด

กรณ 0a = จะไดวาฟงกชนเชงเสนอยในรป ( )f x b= ซงเปนฟงกชนคงท สาหรบฟงกชนเชงเสน ( )f x ax b= + จะเรยก a วาความชนของกราฟ (ทเปนเสนตรง) ของฟงกชนน และเรยก b วาระยะตดแกน y


เมอถงตอนนครอาจใหนกเรยนรางกราฟของฟงกชนเชงเสนเมอ a และ b มเงอนไขตางๆ กน กลาวคอ

1. 0a > และ 0b >

2. 0a > และ 0b <

3. 0a < และ 0b <

4. 0a = และ 0b <

นอกจากนยงอาจถามในทานองกลบกน กลาวคอกาหนดกราฟเสนตรงมาใหแลวใหนกเรยนชวยกนระบเครองหมายของ a และ b


ในตอนนไดกลาวถงฟงกชนกาลงสองในรป 2( )f x ax bx c= + + เมอ ,a b และ c เปนจานวนจรงท 0a ¹

แมวานกเรยนจะไดเรยนเกยวกบพาราโบลาซงเปนกราฟของสมการกาลงสองมาแลวในระดบมธยมศกษาตอนตนแลวครควรย าอกครงวา เนองจาก

2 2 2 22 2

2 2 2 2 4

b b c b b ba x x a x c

a a a a a a

æ öæ ö æ ö æ ö æ ö÷ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷+ + + - = + + -ç ç ç çç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çç ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷è ø è ø è ø è øç ÷çè ø

ทาใหไดวาจดยอดของพาราโบลาคอ 2

,2 4

b bc

a a

æ ö÷ç ÷- -ç ÷ç ÷çè ø จดยอดนอาจเรยกวา จดวกกลบของพาราโบลา ซงใน

กรณท 0a > จะไดวาจดวกกลบนเปนจดตาสดของฟงกชน และคาตาสดของฟงกชนคอ 2

2 4

b bf c

a a

æ ö÷ç ÷- = -ç ÷ç ÷çè ø

ในขณะทเมอ 0a < จะไดวาจดวกกลบนเปนจดสงสดของฟงกชน และคาสงสดของฟงกชนคอ


2

2 4

b bf c

a a

æ ö÷ç ÷- = -ç ÷ç ÷çè ø เชนกน นอกจากนกราฟของพาราโบลายงมเสนตรง

2

bx

a= - เปนแกนสมมาตรอก

ดวย สาหรบปญหาชวนคดททงไวในสอนนจะไดวา

กรณ 0a > ฟงกชนกาลงสองจะเปนฟงกชนลดบนชวง ,2

b

a

æ ö÷ç ÷-¥ -ç ÷ç ÷çè ø และเปนฟงกชนเพมบนชวง

,2

b

a

æ ö÷ç ÷- ¥ç ÷ç ÷çè ø

กรณ 0a < ฟงกชนกาลงสองจะเปนฟงกชนเพมบนชวง ,2

b

a

æ ö÷ç ÷-¥ -ç ÷ç ÷çè ø และเปนฟงกชนลดบนชวง

,2

b

a

æ ö÷ç ÷- ¥ç ÷ç ÷çè ø

ครควรใหนกเรยนสงเกตตอวาจดตดแกน X ของฟงกชนกาลงสองคอคาตอบทเปนจานวนจรงของสมการ

2 0ax bx c+ + = นนเอง กลาวคอถา ( ,0)A และ ( ,0)B เปนจดตดแกน X ทงสองจดของฟงกชนกาลงสองแลวจะไดวา 2 ( )( )ax bx c a x A x B+ + = - - ในขณะทถามจดตดแกน X เพยงจดเดยว หรอกราฟของฟงกชนกาลงสองแตะแกน X ทจด ( ,0)A แลวจะไดวา 2 2( )ax bx c a x A+ + = - และสาหรบกราฟของฟงกชนกาลงสองทไมตดแกน X จะไดวาสาหรบจานวนจรง x ใดๆ 2 0ax bx c+ + > หรอ

2 0ax bx c+ + < อยางใดอยางหนงอยางเดยวเทานน นนหมายความวาสมการ 2 0ax bx c+ + = ไมมคาตอบทเปนจานวนจรง หรอ 2 4 0b ac- < นนเอง ประเดนอกประเดนหนงทสาคญคอถา ( ,0)A และ ( , 0)B เปนจดตดแกน X ทงสองจดของฟงกชนกาลงสองแลวจะไดวาจดยอดหรอจดวกกลบ (ซงอาจเปน

จดสงสดหรอจดตาสด) นนจะอยทจดซง 2

A Bx

+= ซงอยตรงกลางระหวาง x A= และ x B=

เมอมาถงตรงนครอาจยกตวอยางเหลานเพมเตม

ตวอยาง 5 กาหนดให 2( ) 4 10f x x x= - + - สรปไดหรอไมวา 106

3fæ ö÷ç ÷ç <-÷ç ÷ç ÷çè ø


วธทา เนองจาก 1 0a =- < ดงนนฟงกชนนมจดสงสดอยท 42

2( 1)x = - =

- และคาสงสดของฟงกชน

คอ 24

10 64( 1)

- - = --

และเพราะวา 102

3¹ ทาใหไดวา 10

63

fæ ö÷ç ÷ç <-÷ç ÷ç ÷çè ø

หมายเหต สาหรบตวอยางขอน ถานกเรยนแทนคา x ลงในสตรของ ( )f x โดยตรงอาจเปรยบเทยบลาบาก ตวอยาง 6 กาหนดใหกราฟของฟงกชน 2( ) 2 8f x x x= - + + เปนรปพาราโบลาทตดแกน X ทจด A และ B จงหาพนทของสามเหลยม ABC เมอ C คอจดวกกลบของพาราโบลาน วธทา เนองจาก 2( ) 2 8 ( 4)( 2)f x x x x x= - + + = - - + ดงนนจดตดแกน X คอ ( 2, 0)A = - และ

(4, 0)B = ตามลาดบ สาหรบจดวกกลบคอ 22 2

,8 (1,9)2( 1) 4( 1)

Cæ ö÷ç ÷= - - =ç ÷ç ÷ç - -è ø

ดงนนพนทรป

สามเหลยม ABC 1(4 ( 2))(9) 27

2= - - = ตารางหนวย


ในชวงนไดกลาวถงฟงกชนคาสมบรณในรป ( ) | |f x a x b c= - + เมอ ,a b และ c เปนจานวนจรงท 0a ¹

จากรปของกราฟฟงกชนคาสมบรณจะเหนวา กราฟนมเสนตรง x b= เปนแกนสมมาตร และในกรณท 0a > จะไดวากราฟของฟงกชนคาสมบรณมจดตาสดอยทจด ( , )b c และคาตาสดของฟงกชนคอ ( )f b c= ในขณะทถา 0a < จะไดวากราฟของฟงกชนคาสมบรณมจดสงสดอยทจด ( , )b c และคาสงสดของฟงกชนคอ ( )f b c=

สาหรบประเดนททงไวใหนกเรยนชวยกนอภปรายในสอนนคอคาของจานวนจรง a มผลอยางไรกบลกษณะกราฟของฟงกชนน นกเรยนอาจทาไดโดยลงรอยทางเดนของจดของฟงกชนเหลาน

1 2( ) | |, ( ) 2 | |f x x f x x= = และ

3

1( ) | |

2f x x= บนระนาบ XY เดยวกน ซงนกเรยนจะไดกราฟดงรป


จากกราฟทไดพอจะสรปไดวา ถา 1a = แขนของตว V ทเปนรปกราฟของฟงกชนนจะทามม 45 กบแกน X ในขณะทถา 1a > มมระหวางแขนของตว V ทเปนรปกราฟของฟงกชนนจะทามมมากกวา 45 กบแกน X ขนไปเรอยๆ สาหรบกรณท 0 1a< < มมระหวางแขนของตว V ทเปนรปกราฟของฟงกชนนจะทามมนอยกวา 45 กบแกน X ลงมาเรอยๆ ดงนนสมประสทธ a จะมผลตอความกวางและความแคบของขาของตว V ทเปนรปกราฟของฟงกชนนนนเอง สวนในกรณท 0a < นน จะสามารถพจารณาไดในทานองเดยวกน กลาวคอแยกเปนกรณท 1 0a- < < และ กรณท 1a <- อนทจรงแลว ถาให q เปนมมทแขนของตว V ทากบแกน X จะไดวา tan aq =

ปญหาชวนคดททงไวในสอนนจะไดวา กรณ 0a > ฟงกชนคาสมบรณจะเปนฟงกชนลดบนชวง ( , )b-¥ แลวเปนฟงกชนเพมบนชวง ( , )b ¥ กรณ 0a < ฟงกชนคาสมบรณจะเปนฟงกชนเพมบนชวง ( , )b-¥ แลวเปนฟงกชนลดบนชวง ( , )b ¥ เมอถงตอนนครอาจใหนกเรยนรางกราฟของฟงกชนคาสมบรณเมอ ,a b และ c มเงอนไขตางๆ กน เชน

1. 0, 0a b> > และ 0c >

2. 0, 0a b> > และ 0c <

3. 0, 0a b> < และ 0c >

4. 0, 0a b> < และ 0c <

เปนตน

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

f1

f2

f3


นอกจากนยงอาจถามในทานองกลบกน กลาวคอกาหนดกราฟของฟงกชนคาสมบรณมาใหแลวใหนกเรยนชวยกนระบเครองหมายของ ,a b และ c

ในตอนนไดกลาวถงฟงกชนพหนามดกร n ทอยในรป 1 2 2

1 2 2 1 0( ) ...n n n

n n nf x a x a x a x a x a x a- -

- -= + + + + + +

เมอ i

a Î ทก {0}i Î È และ 0n

a ¹

ในระดบนนกเรยนควรจะวาดกราฟของฟงกชนพหนามดกรสามรปแบบหนงคอ 3( )f x ax= เมอ a เปนจานวนจรงทไมใช 0 เหมอนเชนทยกตวอยางไวในสอนได สาหรบประเดนททงไวใหนกเรยนชวยกนอภปรายนนจะเหนวา ในกรณท 0a > ฟงกชน 3( )f x ax= จะเปนฟงกชนเพมบนเซตของจานวนจรง แตในกรณท

0a < ฟงกชน 3( )f x ax= จะเปนฟงกชนลดบนเซตของจานวนจรง


ในชวงนไดแนะนาใหนกเรยนรจกฟงกชนขนบนได ซงเปนฟงกชนทมคาคงทเปนชวงๆ ทงนความยาวของแตละชวงทคาของฟงกชนแตกตางกนนนไมจาเปนตองยาวเทากน ตลอดจนคาของฟงกชนในชวงทอยตดกนอาจมคาเพมขนหรอลดลงกได

จากกราฟในสอนจะไดวา

0; 0 1

4; 1 2( )

6; 2 3

8; 3 4

x

xf x

x

x

ìï £ £ïïï < £ïï= íï < £ïïï < £ïïî

ในบางครงจานวนขนบนไดอาจมมากมายไมจากด เชน ตวอยาง 7 กาหนดให ( )f x = จานวนเตมทมากทสดทนอยกวาหรอเทากบ x จะไดวาสาหรบจานวนเตม n ใดๆ ถา

1n x n£ < + แลว ( )f x n= ซงสามารถเขยนไดในรป 1; 1 0

0; 0 1( )

1; 1 2

x

xf x

x

ìïïïï- - £ £ïïïï £ <= íïï £ <ïïïïïïî

ฟงกชนขนบนไดทสาคญฟงกชนหนงซงไดกลาวถงไวในบทนาเรองความสมพนธและฟงกชนโดยอาจารยจณดษฐนน คอฟงกชนขนบนไดหนงหนวย (unit-step function) หรอฟงกชนเฮวไซด (Heaviside function) ทกาหนดโดย

1;( )

0;

x cu x c

x c

ìï >ï- = íï <ïî ซงบางครงอาจใชสญลกษณ ( )

cu x และทจด x c= ในตาราบางเลมอาจกาหนดให


( ) 0u c = หรอ ( ) 1u c = หรออาจไมไดกาหนดคาของฟงกชนทจดนไวเลย และโดยสวนใหญจะมเงอนไขวา 0c ³

ผลการดาเนนการเชงพชคณตระหวางฟงกชนขนบนไดหนงหนวยโดยเฉพาะการบวกและการลบ มความสาคญในการประยกตทางคณตศาสตรชนสงตอไป ตวอยาง 8 จงหา

1 3( ) ( )u x u x- พรอมทงวาดกราฟของผลลบทได

วธทา 1 3

1 1; 3 0; 31; 1 1; 3

( ) ( ) 1 0; 1 3 1; 1 30; 1 0; 3

0 0; 1 0; 1

x xx x

u x u x x xx x

x x

ì ìï ï- > >ï ïì ìï ï ï ï> >ï ï ï ï- = - = - < < = < <í í í íï ï ï ï< <ï ï ï ïî î - < <ï ïï ïî î

ซงมกราฟดงรป

-1 1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


ในตอนนไดกลาวถงฟงกชนทนยามเปนชวงๆ กลาวคอคาของฟงกชนกาหนดดวยสตรทตางกนบนชวงทเปนสบเซตของโดเมนตางๆ กน ในบางครงอาจเรยกวาฟงกชนแยกตอน นกเรยนนาจะพอสงเกตไดวาฟงกชนขนบนไดเปนฟงกชนทนยามเปนชวงๆ แบบหนงโดยคาของฟงกชนเปนคาคงททตางกนไปในแตละชวง

สาหรบตวอยางของฟงกชนทยกไวในสอคอ 2

3

2 3 1; 2

( ) 4 1; 2 4

1; 4

x x x

f x x x

x x x

ìï + + <-ïïï= + - £ <íïïï + + ³ïî

นนจะมกราฟเปนดงรป

สงเกตวาจดปลายของกราฟในแตละชวงอาจเปนจดทบหรอจดโปรงขนอยกบวาชวงนนๆ รวมจดปลายหรอไมนนเอง สาหรบฟงกชนทนยามเปนชวงๆ นนนกเรยนอาจลมไปวาไดคนเคยกบฟงกชนลกษณะนมากอนแลว นนคอฟงกชนท

มคาสมบรณมาเกยวของ เชน ; 0

( ) | |; 0

x xf x x

x x

ìï ³ï= = íï- <ïî

-4 -2 2 4 6

50

100

150

200


ในทานองเดยวกบฟงกชนขนบนใด เมอมาถงตอนนครอาจยกตวอยางเพมเตม เนองจากฟงกชนทนยามเปนชวงๆ นนในบางครงนกเรยนมกจะมความสบสนในการหาคาของฟงกชนทจดตางๆ บนโดเมน

ตวอยาง กาหนดใหฟงกชน

1; 0 1

3 1

1; 1( )

2 5; 1

1

xx

xf x

xx

x

ìïï < <ïï +ïïïïïï =ïï= íïïïïï - -ï >ïï -ïïïïî

จงหา 1, , (1)

3fD f f

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø และ (3)f

วธทา จากโจทยจะไดวาฟงกชนทกาหนดใหนยามมาบนเซต (0,1) {1} (1, )È È ¥ แตในชวง (1, )¥ นน

2 5

1

x

x

- --

เปนจานวนจรงกตอเมอ 5x £ ดงนน (0,5]f

D =

เนองจาก 10 1

3< < ทาใหไดวา 1 1 1

3 3(1 / 3) 1 2fæ ö÷ç ÷ = =ç ÷ç ÷ç +è ø

ตอมา (1) 1f = และเนองจาก 3 1> ทาให

ไดวา 2 5 3 2 2(3)

3 1 2f

- - -= =

-

หมายเหต สาหรบตวอยางนเมอ 1x > ครอาจชใหนกเรยนเหนวา สามารถเขยนสตรของฟงกชนในชวงนใหม

ไดโดย 2 5 (2 5 )(2 5 ) 4 (5 ) 1

1 ( 1)(2 5 ) ( 1)(2 5 ) 2 5

x x x x

x x x x x x

- - - - + - - -= = =

- - + - - + - + - ซงสตร

ใหมทไดนเมอตองการทราบคาของฟงกชนทจด x ใดๆ ในโดเมน จะแทนคา x ในสตรใหมเพอคานวณเพยงทเดยวเทานน ฟงกชนทนยามเปนชวงๆ นนสามารถเขยนอยในรปของผลการดาเนนการเชงพชคณตของฟงกชนทนยามปกตกบฟงกชนขนบนไดหนงหนวยหลายๆ ฟงกชนได ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง กาหนดให 2; 2 5

( )2 1; 5 6

x xf x

x x

ìï < <ïï= íï + < <ïïî จะไดวา


22

0; 2 0; 5; 2 5

( ) 1; 2 5 (2 1) 1; 5 62 1; 5 6

0; 5 0; 6

x xx x

f x x x x xx x

x x

æ ö æ öì ìï ï< <÷ ÷ç çï ï÷ ÷ì ç çï ï ï< < ÷ ÷ç çï ï ïï ÷ ÷ç ç= = ´ < < ÷+ + ´ < < ÷í í íç ç÷ ÷ï ï ïç ç÷ ÷+ < < ç ç÷ ÷ï ï ïïî ÷ ÷ç > ç >ï ï÷ ÷ç çè ø è øï ïî î

เนองจาก 2 5

0; 2

( ) ( ) 1; 2 5

0; 5

x

u x u x x

x

ìï <ïïï- = < <íïï >ïïî

และ 5 6

0; 5

( ) ( ) 1; 5 6

0; 6

x

u x u x x

x

ìï <ïïï- = < <íïï >ïïî

ทาใหไดวา

22

2 5 5 6

2 22 5 6

; 2 5( ) ( ( ) ( )) (2 1)( ( ) ( ))

2 1; 5 6

( ) ( 2 1) ( ) (2 1) ( )

x xf x x u x u x x u x u x

x x

x u x x x u x x u x

ìï < <ïï= = - + + -íï + < <ïïî= + - + + - +

นอกจากนยงมการนยามฟงกชนโดยใชสตรตางกน ขนอยกบเงอนไขของสมาชกตวหนาทตองการนามาหา

สมาชกตวหลงของฟงกชนทคกนซงคอคาของฟงกชนนนเอง เชน 1;

( )0;

xf x

x

ìï Îï= íï Ïïî

ซงเรยกวาฟงกชน

ลกษณะเฉพาะของเซต เมอ คอเซตของจานวนตรรกยะ หรอฟงกชนจากเซตของจานวนนบไปยงเซตของ

จานวนเตม ;

2( )

1;

2

nn E

f n

nn O

ìïï Îïïïï= íïï -ïï Îïïî

เมอ E คอเซตของจานวนนบทเปนจานวนค และ O คอเซตของจานวน

นบทเปนจานวนค จะเหนวาฟงกชนนเปนฟงกชนสมนยหนงตอหนงจากเซตของจานวนนบไปยงเซตของจานวนเตมดวย


แบบฝกหดเพมเตมเรองตวอยางของฟงกชนพนฐาน

1. ถา P เปนจดวกกลบของพาราโบลา 2( ) 12 44f x x x= - - - แลวจงหาระยะทางระหวางจด P และจดกาเนด 2. กาหนด f เปนฟงกชนกาลงสองทมคาสงสดอยทจด ( , )a b ถากราฟของฟงกชนนตดแกน X ทจด ( 5,0)- และ (1,0) แลว จงหาคา a 3. จงหาชวงทงหมดททาใหกราฟของฟงกชน 2( ) 4 5 6f x x x= - - + อยเหนอแกน X และ ชวงทงหมดททาใหกราฟของฟงกชน 2( ) 4 5 6f x x x= - - + อยใตแกน X

4. สาหรบจานวนจรง k กาหนดใหเสนตรง 3x = เปนแกนสมมาตรของกราฟของฟงกชน 2 2( ) ( 5) 10f x x k x k= - + - + จงหาคาตาสดของฟงกชนน

5. จงหา ,a b และ c ททาใหใหฟงกชน ( ) | |f x a x b c= - + มกราฟดงรป

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2


สรปสาระสาคญประจาตอน


ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


แบบฝกหดระคน สาหรบฟงกชนทกาหนดใหตอไปนจงระบวาเปนฟงกชนลดหรอฟงกชนเพม 1. 2. 3. กาหนดใหฟงกชน 2( ) 2 3f x x x= - + + จงหาแกนสมมาตรและจดวกกลบของกราฟของฟงกชนน

4. กาหนดใหฟงกชน 2

3; 1

2

2 1; 1 1

( ) 2( 1)

1; 1

1

x

x xx

f x x

xx

x

ìïï- £-ïïïïïïïï + -ï - < £ïï= +íïïïïïï -ïï >ï -ïïïïî

จงหา , ( 2), (0), (1),f

D f f f- และ (2)f นอกจากนในกรณท 1 1x- < £ และ 1x > จงทาใหสตรของ

ฟงกชน ( )f x ทกาหนดใหอยในรปอยางงาย

5. กาหนดให 2

1; 0 1( )

; 1

x xf x

x x

ìï - < £ïï= íï >ïïî จงหา ( 1)f x -

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5

-3

-2

-1

-2 -1 1 2

-4

-2

2

4


6. กาหนดให f เปนฟงกชนทมกราฟเปน จงเขยนสตรทกแบบทเปนไปไดของฟงกชน f ในรปทมคาสมบรณมาเกยวของ และเขยนสตรของฟงกชน f ในรปฟงกชนทนยามเปนชวงๆ โดยไมมคาสมบรณมาเกยวของ

7. สาหรบจานวนจรง 0x ¹ จงเขยนฟงกชน 3

( )| |

xf x

x= ในรปฟงกชนทนยามเปนชวงๆ โดยไมมคา

สมบรณมาเกยวของ 8. ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนงแลว จรงหรอไมท f จะเปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) หากไมจรงใหยกตวอยางประกอบทแสดงวาขอความนไมเปนจรง 9. จงยกตวอยางฟงกชน f และ g ทเปนฟงกชนเพมทงค (หรอฟงกชนลดทงค) แต f g- เปนฟงกชนลด (หรอฟงกชนเพม)

10. กาหนดให 2

1; 0 1( )

; 1

x xf x

x x

ìï - < £ïï= íï >ïïî และ 2

1; 0 2( )

; 2 3

x xg x

x x

ìï - £ £ïï= íï < £ïïî จงหา ( )( ), ( )( ), ( )( ), ( )

ff g x f g x fg x x

g

æ ö÷ç ÷+ - ç ÷ç ÷çè ø และ ( )

gx

f

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø พรอมทงระบโดเมนของแตละฟงกชนทหา

มาได

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0


ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


เฉลยแบบฝกหดเรองพชคณตของฟงกชน 1. {( 3,4), ( 2,0), ( 1,0), (2,4), (4,8)}f g+ = - - -

{( 3,0), ( 2, 2), ( 1,0), (2, 2), (4, 2)}f g- = - - - - - -

{( 3,4), ( 2, 1), ( 1,0), (2,3), (4,15)}fg = - - - -

1 3( 3,1), ( 2, 1), 2, , 4,

3 5

f

g

ì üæ ö æ öï ï÷ ÷ï ïç ç÷ ÷= - - - ç çí ý÷ ÷ç ç÷ ÷ï ç ç ïè ø è øï ïî þ

5( 3,1), ( 2, 1), (2,3), 4,

3

g

f

ì üæ öï ï÷ï ïç ÷= - - - çí ý÷ç ÷ï ç ïè øï ïî þ

2. 2( )( ) ( 1) 1f g x x x+ = + + - เมอ [0, )f g

D+

= ¥

2( )( ) ( 1) 1f g x x x- = + - + เมอ [0, )f g

D-

= ¥

2( )( ) ( 1) ( 1)fg x x x= + - เมอ [0, )fg

D = ¥

2( 1)

( )1

f xx

g x

æ ö +÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø - เมอ [0,1) (1, )

f

g

D = È ¥

2

1( )

( 1)

g xx

f x

æ ö -÷ç ÷ =ç ÷ç ÷ç +è ø เมอ [0, )

g

f

D = ¥

3.

4.

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-2

-1

1

2

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

1

2

3

4

5

6

f + g f – g

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

1

2

3


5. ( )| | 1

f xx

g x

æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷ç +è ø เมอ

f

g

D = และ ( 1,1)f

g

R = -

เฉลยแบบฝกหดเรองตวอยางของฟงกชนพนฐาน

1. 10 หนวย 2. 2-

3. ชวงทกราฟอยเหนอแกน X คอ 32,

4

æ ö÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø; ชวงทกราฟอยใตแกน X คอ ( , 2)-¥ - และ 3

,4

æ ö÷ç ÷¥ç ÷ç ÷çè ø

4. 0 5. 1, 1a b=- = และ 0c =

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. ฟงกชนลดบนชวง ( 2,0)-

2. ฟงกชนเพมบนชวง ( 2, 1)- - และ ( 1,1)- และ (1,2) 3. แกนสมมาตรคอ เสนตรง 1x = และจดวกกลบ คอ (1,4)

4. 3 1 1; ( 2) ; (0) ; (1) ; (2) 2 1;

2 2 2fD f f f f= - = - = - = = -

2 1( )

2

xf x

-= เมอ 1 1x- < £ และ 1

( )1

f xx

=+

เมอ 1x >

5. 2

2; 1 2( )

( 1) ; 2

x xf x

x x

ìï - < £ïï= íï - >ïïî

6.

1; 1

1; 1 0( ) | | 1 | | 1

1; 0 1

1; 1

x x

x xf x x x

x x

x x

ìï- - £-ïïï + - < £ïï= - = - + = íï- + < £ïïï - >ïïî

7. 2

2

; 0( )

; 0

x xf x

x x

ìï >ïï= íï- <ïïî

8. ไมจรง เชน f เปนฟงกชนหนงตอหนงทมกราฟดงรป แต f ไมเปนฟงกชนเพม (หรอฟงกชนลด) บนโดเมนของ f

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0


9. ตวอยางเชนให ( )f x x= และ ( ) 2g x x= เปนฟงกชนเพมทงค แต ( )( )f g x x- = - เปนฟงกชนลด

10. 2

2

2 2; 0 1

( )( ) 1; 1 2

2 ; 2 3

x x

f g x x x x

x x

ìï - < £ïïï+ = + - < £íïïï < £ïî

เมอ (0, 3]f g

D+

=

2

0; 0 1

( )( ) 1; 1 2

0; 2 3

x

f g x x x x

x

ìï < £ïïï- = - + < £íïï < £ïïî

เมอ (0, 3]f g

D-

=

2

2

4

( 1) ; 0 1

( )( ) ( 1); 1 2

; 2 3

x x

fg x x x x

x x

ìï - < £ïïï= - < £íïïï < £ïî

เมอ (0, 3]fg

D =

2

1; 0 1

( ) ; 1 21

1; 2 3

x

f xx x

g xx

ìï < <ïïïæ ö ï÷ ïç ÷ = < £ç í÷ç ÷ç ï -è ø ïï < £ïïïî

เมอ (0,1) (1,3]f

g

D = È

2

1; 0 1

1( ) ; 1 2

1; 2 3

x

g xx x

f xx

ìï < <ïïïæ ö -ï÷ ïç ÷ = < £ç í÷ç ÷ç ïè ø ïï < £ïïïî

เมอ (0,1) (1,3]g

f

D = È

34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน...

Documents

Transcript of 34 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน...