Calculo Diferencial e Integral II
Técnicas de Integración
Ciclo escolar 2013-2014
Integración por Partes • Sean 𝑢 y 𝑣 funciones derivables de 𝑥. En estas
condiciones
𝑑 𝑢𝑣 = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢
𝑢𝑑𝑣 = 𝑑 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
𝑢𝑑𝑣 = 𝑑(𝑢𝑣) − 𝑣𝑑𝑢
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
• Esta es la formula de integración por partes
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
• Para aplicar esta formula en la practica, se separa el integrando en dos partes: – Una de ellas se iguala a 𝑢
– y la otra junto con 𝑑𝑥, a 𝑑𝑣.
(por esta razón, este método se llama integración por partes)
• No existe una regla general para escoger 𝑢, o escoger 𝑑𝑣. Sin embargo, es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes: – La parte que se iguala a 𝑑𝑣 debe ser fácilmente
integrable.
– 𝑣𝑑𝑢 no debe ser mas difícil de integrar que 𝑢𝑑𝑣.
Ejemplos
𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥
𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥𝑑𝑥
= 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶
𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑢 =1
𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥 𝑣 =𝑥3
3
𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 =𝑥3
3ln 𝑥 −
𝑥3
3
1
𝑥𝑑𝑥
=𝑥3
3ln 𝑥 −
𝑥2
3𝑑𝑥
=𝑥3
3ln 𝑥 −
1
9𝑥3 + 𝐶
12𝑥2 − 4𝑥 + 8 cos 2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 12𝑥2 − 4𝑥 + 8 𝑑𝑢 = 24𝑥 − 4 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = cos 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =1
2sen 2𝑥
12𝑥2 − 4𝑥 + 8 cos 2𝑥 𝑑𝑥
= 12𝑥2 − 4𝑥 + 81
2sen 2𝑥 𝑑𝑥
− 24𝑥 − 41
2sen 2𝑥 𝑑𝑥
= 6𝑥2 − 2𝑥 + 4 sen 2𝑥 𝑑𝑥
− 12𝑥 − 2 sen 2𝑥 𝑑𝑥
Y volvemos a integrar por partes haciendo:
𝑢 = 12𝑥 − 2 𝑑𝑢 = 12𝑑𝑥
𝑑𝑣 = sen 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =−1
2cos 2𝑥
12𝑥 − 2 sen 2𝑥 𝑑𝑥
= 12𝑥 − 2−1
2cos 2𝑥 −
−1
2cos 2𝑥 12𝑑𝑥
= −6𝑥 + 1 cos 2𝑥 + cos 2𝑥 6𝑑𝑥
= −6𝑥 + 1 cos 2𝑥 + 3 sen 2𝑥 + 𝐶 Finalmente
12𝑥2 − 4𝑥 + 8 cos 2𝑥 𝑑𝑥
= 6𝑥2 − 2𝑥 + 4 sen 2𝑥 𝑑𝑥
− 12𝑥 − 2 sen 2𝑥 𝑑𝑥
= 6𝑥2 − 2𝑥 + 4 sen 2𝑥 𝑑𝑥
− −6𝑥 + 1 cos 2𝑥 + 3 sen 2𝑥 + 𝐶
𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = sen 𝑥
𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 − sen 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥
Y volvemos a integrar por partes haciendo:
𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑣 = sen 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = −cos 𝑥
𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 −cos 𝑥 − − cos 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥
= −𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
Luego obtenemos
𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 − 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒𝑥 sen 𝑥
− −𝑒𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥
= 𝑒𝑥 sen 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
De esta ultima parte despejamos 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 que es la integral que queremos obtener
𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑒𝑥 sen 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥 − 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
𝟐 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥
𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 =𝑒𝑥 sen 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥
2+ 𝐶
Integrales Trigonométricas
• Consideremos ahora la integral de algunas diferenciales trigonométricas que se presentan con frecuencia y que pueden integrarse fácilmente, transformándose en integrales por sustitución (o simplemente completando), mediante el uso de identidades trigonométricas.
sen𝑛 𝑣 cos𝑚(𝑣) 𝑑𝑣
• Si alguno de los exponentes 𝑛 o 𝑚 es impar, a la función que tiene la potencia positiva impar mas pequeña se le aplica la identidad trigonométrica 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝜶) + 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝜶) = 𝟏 tantas veces como sea necesario a fin de llegar a algo de la forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 sen(𝑣) cos 𝑣 𝑑𝑣
• O de la forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 cos(𝑣) sen 𝑣 𝑑𝑣
• Luego se separa cada termino de la expresión y se resuelve como
una integral del tipo 𝑣𝑛𝑑𝑣
sen2 2𝑥 cos3 2𝑥 𝑑𝑥
sen2 2𝑥 cos3 2𝑥 𝑑𝑥 = sen2 2𝑥 cos2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
= sen2 2𝑥 1 − sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
= sen2 2𝑥 − sen4 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
= sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 − sen4 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
=1
2⋅sen3 2𝑥
3−1
2⋅sen5 2𝑥
5+ 𝐶
=sen3 2𝑥
6−sen5 2𝑥
10+ 𝐶
tan𝑛 𝑣 sec𝑚(𝑣) 𝑑𝑣
cot𝑛 𝑣 csc𝑚(𝑣) 𝑑𝑣 • Si m es un entero positivo par, se separa una 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝒗) o un 𝐜𝐬𝐜𝟐(𝒗), según
sea el caso, para que forme parte de la diferencial. Al resto de la función se le aplica la identidad trigonométrica 𝐭𝐚𝐧𝟐(𝜶) + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝜶), o la identidad 𝟏 + 𝐜𝐨𝐭𝟐(𝜶) = 𝐜𝐬𝐜𝟐(𝜶), según sea el caso, tantas veces como sea necesario a fin de llegar a algo de la forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 tan (𝑣) sec2 𝑣 𝑑𝑣
• O de la forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 cot(𝑣) csc2 𝑣 𝑑𝑣
• Luego se separa cada termino de la expresión y se resuelve como una
integral del tipo 𝑣𝑛𝑑𝑣
cot3 3𝑥 csc4 3𝑥 𝑑𝑥
cot3 3𝑥 csc4 3𝑥 𝑑𝑥 = cot3 3𝑥 csc2 3𝑥 csc2 3𝑥 𝑑𝑥
= cot3 3𝑥 1 + cot2 3𝑥 csc2 3𝑥 𝑑𝑥
= cot3 3𝑥 + cot5 3𝑥 csc2 3𝑥 𝑑𝑥
= cot3 3𝑥 csc2 3𝑥 𝑑𝑥 + cot5 3𝑥 csc2 3𝑥 𝑑𝑥
= −1
3⋅cot4 3𝑥
4−1
3⋅cot6 3𝑥
6+ 𝐶
=−cot4 3𝑥
12−cot6 3𝑥
18+ 𝐶
tan𝑛 𝑣 sec𝑚(𝑣) 𝑑𝑣
cot𝑛 𝑣 csc𝑚(𝑣) 𝑑𝑣 • Si n es un entero positivo impar, y 𝑚 ≠ 0, se separa una 𝐬𝐞𝐜 𝒗 𝐭𝐚𝐧 𝒗 o
una 𝐜𝐬𝐜 𝒗 𝐜𝐨𝐭 𝒗 , según sea el caso, para que forme parte de la diferencial. Al resto de la función se le aplica la identidad trigonométrica 𝐭𝐚𝐧𝟐(𝜶) + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝜶), o la identidad 𝟏 + 𝐜𝐨𝐭𝟐(𝜶) = 𝐜𝐬𝐜𝟐(𝜶), según sea el caso, tantas veces como sea necesario a fin de llegar a algo de la forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 sec (𝑣) sec 𝑣 tan 𝑣 𝑑𝑣
• O de la forma
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 csc 𝑣 csc 𝑣 cot 𝑣 𝑑𝑣
• Luego se separa cada termino de la expresión y se resuelve como una
integral del tipo 𝑣𝑛𝑑𝑣
tan3 2𝑥 sec3 2𝑥 𝑑𝑥
tan3 2𝑥 sec3 2𝑥 𝑑𝑥 = tan3 2𝑥 sec3 2𝑥 𝑑𝑥
= tan2 2𝑥 sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥
= sec2 2𝑥 − 1 sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥
= sec4 2𝑥 − sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥
= sec4 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥 − sec2 2𝑥 sec 2𝑥 tan 2𝑥 𝑑𝑥
=1
2⋅sec5 2𝑥
5−1
2⋅sec3 2𝑥
3+ 𝐶 =
sec5 2𝑥
10−sec3 2𝑥
6+ 𝐶
sen𝑛 𝑣 cos𝑚(𝑣) 𝑑𝑣
• Si ambas potencias son enteros pares positivas, se le aplica alguna (o algunas) de las identidades trigonométricas siguientes a fin de reducir las potencias de las funciones y luego aplicar el otro caso que involucra potencias de senos y cosenos.
sen 2𝛼 = 2 sen 𝛼 cos 𝛼
cos 2𝛼 = 2 cos2 𝛼 − 1
cos 2𝛼 = 1 − 2 sen2 𝛼
sen2 𝑥 cos4 𝑥 𝑑𝑥
sen2 𝑥 cos4 𝑥 𝑑𝑥 = sen2 𝑥 cos2 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥
= sen 2𝑥
2
2cos 2𝑥 + 1
2𝑑𝑥
= sen2 2𝑥 cos 2𝑥 + sen2 2𝑥
8𝑑𝑥
= 1
8sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 +
1
8sen2 2𝑥 𝑑𝑥
= 1
8sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 +
1
8⋅cos 4𝑥 − 1
2𝑑𝑥
= 1
8sen2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 +
1
16cos 4𝑥 −
1
16𝑑𝑥
=1
8⋅1
2⋅sen3 2𝑥
3+1
16⋅1
4sen 4𝑥 −
1
16𝑥 + 𝐶
=sen3 2𝑥
48+sen 4𝑥
64−𝑥
16+ 𝐶
Integración por descomposición en Fracciones Parciales
• Un polinomio de grado 𝑛 en 𝑥 es una función de la forma 𝒂𝒏𝒙
𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎, en donde los coeficientes son
constantes, 𝑎𝑛 ≠ 0 y 𝑛 es un numero entero no negativo cualquiera incluido el cero.
• Si dos polinomios del mismo grado toman iguales valores numéricos para todos los valores de la variable, los coeficientes de los términos de igual grado de esta, en ambos polinomios , son iguales.
• Todo polinomio de coeficientes reales se puede expresar (al menos teóricamente) como producto de factores reales lineales, de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃, y de factores cuadráticos reales irreducibles, de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄.
Integración por descomposición en Fracciones Parciales
• Una función 𝐹 𝑥 =𝑓 𝑥
𝑔 𝑥 en la que 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 son polinomios
recibe el nombre de función racional.
• Si el grado de 𝑓 𝑥 es estrictamente menor que el de 𝑔 𝑥 , 𝐹 𝑥 recibe el nombre de función racional propia; en caso contrario, 𝐹 𝑥 se denomina impropia.
• Toda fracción racional impropia se puede expresar como la suma de un polinomio y una función racional propia, usando el algoritmo de la división.
• Toda fracción racional propia se puede expresar como suma de fracciones simples cuyos denominadores son de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛 y 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑛, siendo 𝑛 un numero entero positivo. Atendiendo a la naturaleza de los factores del denominador, se pueden considerar cuatro pasos.
Caso I: Factores Lineales Distintos
• A cada factor lineal, 𝑎𝑥 + 𝑏, del denominador de una función racional propia, le corresponde
una fracción de la forma 𝐴
𝑎𝑥+𝑏, siendo 𝐴 una
constante a determinar.
kk
k
kk bxa
A
bxa
A
bxa
A
bxabxabxa
xp
...
... 22
2
11
1
2211
𝑥2 − 3𝑥 − 1
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥
• Factorizamos el denominador
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2
• Por lo que
𝑥2 − 3𝑥 − 1
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥=𝐴
𝑥+
𝐵
𝑥 − 1+
𝐶
𝑥 + 2
• Donde A, B y C son constantes a determinar. • Multiplicamos primero por el denominador (factorizado) toda la
ecuación a fin de simplificar las expresiones y luego igualar los polinomios de la izquierda y la derecha
𝑥2 − 3𝑥 − 1 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥
=𝐴𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2
𝑥+𝐵𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2
𝑥 − 1
+𝐶𝑥 𝑥 − 1 𝑥 + 2
𝑥 + 2
𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 𝐴 𝑥 − 1 𝑥 + 2 + 𝐵𝑥 𝑥 + 2 + 𝐶𝑥 𝑥 − 1
= 𝐴 𝑥2 + 𝑥 − 2 + 𝐵 𝑥2 + 2𝑥 + 𝐶 𝑥2 − 𝑥= 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑥 − 2𝐴 + 𝐵𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥2 − 𝐶𝑥= 𝐴𝑥2 +𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥2 + 𝐴𝑥 + 2𝐵𝑥 − 𝐶𝑥 − 2𝐴= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑥2 + 𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 𝑥 − 2𝐴
• Como dos polinomios son iguales cuando sus coeficientes son iguales, entonces obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 1𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 = −3
−2𝐴 = −1
• Resolvemos el sistema para obtener
𝐴 =1
2𝐵 = −1
𝐶 =3
2
• Por lo que la fracción se transforma en
𝑥2 − 3𝑥 − 1
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥=1/2
𝑥+−1
𝑥 − 1+3/2
𝑥 + 2
• Y la integral pedida es
𝑥2 − 3𝑥 − 1
𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥
=1
2 1
𝑥𝑑𝑥 −
1
𝑥 − 1𝑑𝑥 +
3
2
1
𝑥 + 2𝑑𝑥
=1
2ln 𝑥 − ln 𝑥 − 1 +
3
2ln 𝑥 + 2 + 𝐶
Caso II: Factores Lineales Repetidos
• A cada factor lineal, 𝑎𝑥 + 𝑏, que figure 𝑛 veces en el denominador de una función racional propia, le corresponde una suma de 𝑛 fracciones de la forma
𝐴1
𝑎𝑥 + 𝑏+
𝐴2𝑎𝑥 + 𝑏 2
+⋯+𝐴𝑛
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛
siendo los numeradores constantes a determinar.
Caso III: Factores Cuadráticos Irreducibles Distintos
• A cada factor cuadrático irreducible, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que figure en el denominador de una función racional propia, le corresponde una fracción de la forma
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝐶
siendo 𝐴 y 𝐵 constantes a determinar.
Caso IV: Factores Cuadraticos Irreduciles Repetidos
• A cada factor cuadratico irreducible, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑥, que figure 𝑛 veces en el denominador de una función racional propia, le corresponde una suma de 𝑛 fracciones de la forma 𝐴1𝑥 + 𝑏1
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐+
𝐴2𝑥 + 𝑏2𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 2
+⋯+𝐴𝑛𝑥 + 𝑏𝑛
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑛
Donde los valores de 𝐴𝑖 y 𝐵𝑖 son constantes a determinar.
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