Tecnicas de integracion
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Calculo Diferencial e Integral II
TΓ©cnicas de IntegraciΓ³n
Ciclo escolar 2013-2014
IntegraciΓ³n por Partes β’ Sean π’ y π£ funciones derivables de π₯. En estas
condiciones
π π’π£ = π’ππ£ + π£ππ’
π’ππ£ = π π’π£ β π£ππ’
π’ππ£ = π(π’π£) β π£ππ’
π’ππ£ = π’π£ β π£ππ’
β’ Esta es la formula de integraciΓ³n por partes
π’ππ£ = π’π£ β π£ππ’
β’ Para aplicar esta formula en la practica, se separa el integrando en dos partes: β Una de ellas se iguala a π’
β y la otra junto con ππ₯, a ππ£.
(por esta razΓ³n, este mΓ©todo se llama integraciΓ³n por partes)
β’ No existe una regla general para escoger π’, o escoger ππ£. Sin embargo, es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes: β La parte que se iguala a ππ£ debe ser fΓ‘cilmente
integrable.
β π£ππ’ no debe ser mas difΓcil de integrar que π’ππ£.
Ejemplos
π₯ππ₯ππ₯
π’ = π₯ ππ’ = ππ₯ ππ£ = ππ₯ππ₯ π£ = ππ₯
π₯ππ₯ππ₯ = π₯ππ₯ β ππ₯ππ₯
= π₯ππ₯ β ππ₯ + πΆ
π₯2 ln π₯ ππ₯
π’ = ln π₯ ππ’ =1
π₯ππ₯
ππ£ = π₯2ππ₯ π£ =π₯3
3
π₯2 ln π₯ ππ₯ =π₯3
3ln π₯ β
π₯3
3
1
π₯ππ₯
=π₯3
3ln π₯ β
π₯2
3ππ₯
=π₯3
3ln π₯ β
1
9π₯3 + πΆ
12π₯2 β 4π₯ + 8 cos 2π₯ ππ₯
π’ = 12π₯2 β 4π₯ + 8 ππ’ = 24π₯ β 4 ππ₯
ππ£ = cos 2π₯ ππ₯ π£ =1
2sen 2π₯
12π₯2 β 4π₯ + 8 cos 2π₯ ππ₯
= 12π₯2 β 4π₯ + 81
2sen 2π₯ ππ₯
β 24π₯ β 41
2sen 2π₯ ππ₯
= 6π₯2 β 2π₯ + 4 sen 2π₯ ππ₯
β 12π₯ β 2 sen 2π₯ ππ₯
Y volvemos a integrar por partes haciendo:
π’ = 12π₯ β 2 ππ’ = 12ππ₯
ππ£ = sen 2π₯ ππ₯ π£ =β1
2cos 2π₯
12π₯ β 2 sen 2π₯ ππ₯
= 12π₯ β 2β1
2cos 2π₯ β
β1
2cos 2π₯ 12ππ₯
= β6π₯ + 1 cos 2π₯ + cos 2π₯ 6ππ₯
= β6π₯ + 1 cos 2π₯ + 3 sen 2π₯ + πΆ Finalmente
12π₯2 β 4π₯ + 8 cos 2π₯ ππ₯
= 6π₯2 β 2π₯ + 4 sen 2π₯ ππ₯
β 12π₯ β 2 sen 2π₯ ππ₯
= 6π₯2 β 2π₯ + 4 sen 2π₯ ππ₯
β β6π₯ + 1 cos 2π₯ + 3 sen 2π₯ + πΆ
ππ₯ cos π₯ ππ₯
π’ = ππ₯ ππ’ = ππ₯ππ₯ ππ£ = cos π₯ ππ₯ π£ = sen π₯
ππ₯ cos π₯ ππ₯ = ππ₯ sen π₯ ππ₯ β sen π₯ ππ₯ ππ₯
= ππ₯ sen π₯ ππ₯ β ππ₯ sen π₯ ππ₯
Y volvemos a integrar por partes haciendo:
π’ = ππ₯ ππ’ = ππ₯ππ₯ ππ£ = sen π₯ ππ₯ π£ = βcos π₯
ππ₯ sen π₯ ππ₯ = ππ₯ βcos π₯ β β cos π₯ ππ₯ππ₯
= βππ₯ cos π₯ + ππ₯ cos π₯ ππ₯
Luego obtenemos
ππ₯ cos π₯ ππ₯ = ππ₯ sen π₯ β ππ₯ sen π₯ ππ₯
= ππ₯ sen π₯
β βππ₯ cos π₯ + cos π₯ ππ₯ππ₯
= ππ₯ sen π₯ + ππ₯ cos π₯ β ππ₯ cos π₯ ππ₯
De esta ultima parte despejamos ππ₯ cos π₯ ππ₯ que es la integral que queremos obtener
ππ₯ cos π₯ ππ₯
= ππ₯ sen π₯ + ππ₯ cos π₯ β ππ₯ cos π₯ ππ₯
π ππ₯ cos π₯ ππ₯ = ππ₯ sen π₯ + ππ₯ cos π₯
ππ₯ cos π₯ ππ₯ =ππ₯ sen π₯ + ππ₯ cos π₯
2+ πΆ
Integrales TrigonomΓ©tricas
β’ Consideremos ahora la integral de algunas diferenciales trigonomΓ©tricas que se presentan con frecuencia y que pueden integrarse fΓ‘cilmente, transformΓ‘ndose en integrales por sustituciΓ³n (o simplemente completando), mediante el uso de identidades trigonomΓ©tricas.
senπ π£ cosπ(π£) ππ£
β’ Si alguno de los exponentes π o π es impar, a la funciΓ³n que tiene la potencia positiva impar mas pequeΓ±a se le aplica la identidad trigonomΓ©trica π¬ππ§π(πΆ) + ππ¨π¬π(πΆ) = π tantas veces como sea necesario a fin de llegar a algo de la forma
π π’ππ ππ π‘πππππππ
ππ’π π‘πππππ sen(π£) cos π£ ππ£
β’ O de la forma
π π’ππ ππ π‘πππππππ
ππ’π π‘πππππ cos(π£) sen π£ ππ£
β’ Luego se separa cada termino de la expresiΓ³n y se resuelve como
una integral del tipo π£πππ£
sen2 2π₯ cos3 2π₯ ππ₯
sen2 2π₯ cos3 2π₯ ππ₯ = sen2 2π₯ cos2 2π₯ cos 2π₯ ππ₯
= sen2 2π₯ 1 β sen2 2π₯ cos 2π₯ ππ₯
= sen2 2π₯ β sen4 2π₯ cos 2π₯ ππ₯
= sen2 2π₯ cos 2π₯ ππ₯ β sen4 2π₯ cos 2π₯ ππ₯
=1
2β sen3 2π₯
3β1
2β sen5 2π₯
5+ πΆ
=sen3 2π₯
6βsen5 2π₯
10+ πΆ
tanπ π£ secπ(π£) ππ£
cotπ π£ cscπ(π£) ππ£ β’ Si m es un entero positivo par, se separa una π¬πππ(π) o un ππ¬ππ(π), segΓΊn
sea el caso, para que forme parte de la diferencial. Al resto de la funciΓ³n se le aplica la identidad trigonomΓ©trica πππ§π(πΆ) + π = π¬πππ(πΆ), o la identidad π + ππ¨ππ(πΆ) = ππ¬ππ(πΆ), segΓΊn sea el caso, tantas veces como sea necesario a fin de llegar a algo de la forma
π π’ππ ππ π‘πππππππ
ππ’π π‘πππππ tan (π£) sec2 π£ ππ£
β’ O de la forma
π π’ππ ππ π‘πππππππ
ππ’π π‘πππππ cot(π£) csc2 π£ ππ£
β’ Luego se separa cada termino de la expresiΓ³n y se resuelve como una
integral del tipo π£πππ£
cot3 3π₯ csc4 3π₯ ππ₯
cot3 3π₯ csc4 3π₯ ππ₯ = cot3 3π₯ csc2 3π₯ csc2 3π₯ ππ₯
= cot3 3π₯ 1 + cot2 3π₯ csc2 3π₯ ππ₯
= cot3 3π₯ + cot5 3π₯ csc2 3π₯ ππ₯
= cot3 3π₯ csc2 3π₯ ππ₯ + cot5 3π₯ csc2 3π₯ ππ₯
= β1
3β cot4 3π₯
4β1
3β cot6 3π₯
6+ πΆ
=βcot4 3π₯
12βcot6 3π₯
18+ πΆ
tanπ π£ secπ(π£) ππ£
cotπ π£ cscπ(π£) ππ£ β’ Si n es un entero positivo impar, y π β 0, se separa una π¬ππ π πππ§ π o
una ππ¬π π ππ¨π π , segΓΊn sea el caso, para que forme parte de la diferencial. Al resto de la funciΓ³n se le aplica la identidad trigonomΓ©trica πππ§π(πΆ) + π = π¬πππ(πΆ), o la identidad π + ππ¨ππ(πΆ) = ππ¬ππ(πΆ), segΓΊn sea el caso, tantas veces como sea necesario a fin de llegar a algo de la forma
π π’ππ ππ π‘πππππππ
ππ’π π‘πππππ sec (π£) sec π£ tan π£ ππ£
β’ O de la forma
π π’ππ ππ π‘πππππππ
ππ’π π‘πππππ csc π£ csc π£ cot π£ ππ£
β’ Luego se separa cada termino de la expresiΓ³n y se resuelve como una
integral del tipo π£πππ£
tan3 2π₯ sec3 2π₯ ππ₯
tan3 2π₯ sec3 2π₯ ππ₯ = tan3 2π₯ sec3 2π₯ ππ₯
= tan2 2π₯ sec2 2π₯ sec 2π₯ tan 2π₯ ππ₯
= sec2 2π₯ β 1 sec2 2π₯ sec 2π₯ tan 2π₯ ππ₯
= sec4 2π₯ β sec2 2π₯ sec 2π₯ tan 2π₯ ππ₯
= sec4 2π₯ sec 2π₯ tan 2π₯ ππ₯ β sec2 2π₯ sec 2π₯ tan 2π₯ ππ₯
=1
2β sec5 2π₯
5β1
2β sec3 2π₯
3+ πΆ =
sec5 2π₯
10βsec3 2π₯
6+ πΆ
senπ π£ cosπ(π£) ππ£
β’ Si ambas potencias son enteros pares positivas, se le aplica alguna (o algunas) de las identidades trigonomΓ©tricas siguientes a fin de reducir las potencias de las funciones y luego aplicar el otro caso que involucra potencias de senos y cosenos.
sen 2πΌ = 2 sen πΌ cos πΌ
cos 2πΌ = 2 cos2 πΌ β 1
cos 2πΌ = 1 β 2 sen2 πΌ
sen2 π₯ cos4 π₯ ππ₯
sen2 π₯ cos4 π₯ ππ₯ = sen2 π₯ cos2 π₯ cos2 π₯ ππ₯
= sen 2π₯
2
2cos 2π₯ + 1
2ππ₯
= sen2 2π₯ cos 2π₯ + sen2 2π₯
8ππ₯
= 1
8sen2 2π₯ cos 2π₯ ππ₯ +
1
8sen2 2π₯ ππ₯
= 1
8sen2 2π₯ cos 2π₯ ππ₯ +
1
8β cos 4π₯ β 1
2ππ₯
= 1
8sen2 2π₯ cos 2π₯ ππ₯ +
1
16cos 4π₯ β
1
16ππ₯
=1
8β 1
2β sen3 2π₯
3+1
16β 1
4sen 4π₯ β
1
16π₯ + πΆ
=sen3 2π₯
48+sen 4π₯
64βπ₯
16+ πΆ
IntegraciΓ³n por descomposiciΓ³n en Fracciones Parciales
β’ Un polinomio de grado π en π₯ es una funciΓ³n de la forma πππ
π + ππβπππβπ +β―+ πππ + ππ, en donde los coeficientes son
constantes, ππ β 0 y π es un numero entero no negativo cualquiera incluido el cero.
β’ Si dos polinomios del mismo grado toman iguales valores numΓ©ricos para todos los valores de la variable, los coeficientes de los tΓ©rminos de igual grado de esta, en ambos polinomios , son iguales.
β’ Todo polinomio de coeficientes reales se puede expresar (al menos teΓ³ricamente) como producto de factores reales lineales, de la forma ππ + π, y de factores cuadrΓ‘ticos reales irreducibles, de la forma πππ + ππ + π.
IntegraciΓ³n por descomposiciΓ³n en Fracciones Parciales
β’ Una funciΓ³n πΉ π₯ =π π₯
π π₯ en la que π π₯ y π π₯ son polinomios
recibe el nombre de funciΓ³n racional.
β’ Si el grado de π π₯ es estrictamente menor que el de π π₯ , πΉ π₯ recibe el nombre de funciΓ³n racional propia; en caso contrario, πΉ π₯ se denomina impropia.
β’ Toda fracciΓ³n racional impropia se puede expresar como la suma de un polinomio y una funciΓ³n racional propia, usando el algoritmo de la divisiΓ³n.
β’ Toda fracciΓ³n racional propia se puede expresar como suma de fracciones simples cuyos denominadores son de la forma ππ₯ + π π y ππ₯2 + ππ₯ + π π, siendo π un numero entero positivo. Atendiendo a la naturaleza de los factores del denominador, se pueden considerar cuatro pasos.
Caso I: Factores Lineales Distintos
β’ A cada factor lineal, ππ₯ + π, del denominador de una funciΓ³n racional propia, le corresponde
una fracciΓ³n de la forma π΄
ππ₯+π, siendo π΄ una
constante a determinar.
kk
k
kk bxa
A
bxa
A
bxa
A
bxabxabxa
xp
...
... 22
2
11
1
2211
π₯2 β 3π₯ β 1
π₯3 + π₯2 β 2π₯ ππ₯
β’ Factorizamos el denominador
π₯3 + π₯2 β 2π₯ = π₯ π₯2 + π₯ β 2 = π₯ π₯ β 1 π₯ + 2
β’ Por lo que
π₯2 β 3π₯ β 1
π₯3 + π₯2 β 2π₯=π΄
π₯+
π΅
π₯ β 1+
πΆ
π₯ + 2
β’ Donde A, B y C son constantes a determinar. β’ Multiplicamos primero por el denominador (factorizado) toda la
ecuaciΓ³n a fin de simplificar las expresiones y luego igualar los polinomios de la izquierda y la derecha
π₯2 β 3π₯ β 1 π₯ π₯ β 1 π₯ + 2
π₯3 + π₯2 β 2π₯
=π΄π₯ π₯ β 1 π₯ + 2
π₯+π΅π₯ π₯ β 1 π₯ + 2
π₯ β 1
+πΆπ₯ π₯ β 1 π₯ + 2
π₯ + 2
π₯2 β 3π₯ β 1 = π΄ π₯ β 1 π₯ + 2 + π΅π₯ π₯ + 2 + πΆπ₯ π₯ β 1
= π΄ π₯2 + π₯ β 2 + π΅ π₯2 + 2π₯ + πΆ π₯2 β π₯= π΄π₯2 + π΄π₯ β 2π΄ + π΅π₯2 + 2π΅π₯ + πΆπ₯2 β πΆπ₯= π΄π₯2 +π΅π₯2 + πΆπ₯2 + π΄π₯ + 2π΅π₯ β πΆπ₯ β 2π΄= π΄ + π΅ + πΆ π₯2 + π΄ + 2π΅ β πΆ π₯ β 2π΄
β’ Como dos polinomios son iguales cuando sus coeficientes son iguales, entonces obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
π΄ + π΅ + πΆ = 1π΄ + 2π΅ β πΆ = β3
β2π΄ = β1
β’ Resolvemos el sistema para obtener
π΄ =1
2π΅ = β1
πΆ =3
2
β’ Por lo que la fracciΓ³n se transforma en
π₯2 β 3π₯ β 1
π₯3 + π₯2 β 2π₯=1/2
π₯+β1
π₯ β 1+3/2
π₯ + 2
β’ Y la integral pedida es
π₯2 β 3π₯ β 1
π₯3 + π₯2 β 2π₯ ππ₯
=1
2 1
π₯ππ₯ β
1
π₯ β 1ππ₯ +
3
2
1
π₯ + 2ππ₯
=1
2ln π₯ β ln π₯ β 1 +
3
2ln π₯ + 2 + πΆ
Caso II: Factores Lineales Repetidos
β’ A cada factor lineal, ππ₯ + π, que figure π veces en el denominador de una funciΓ³n racional propia, le corresponde una suma de π fracciones de la forma
π΄1
ππ₯ + π+
π΄2ππ₯ + π 2
+β―+π΄π
ππ₯ + π π
siendo los numeradores constantes a determinar.
Caso III: Factores CuadrΓ‘ticos Irreducibles Distintos
β’ A cada factor cuadrΓ‘tico irreducible, ππ₯2 + ππ₯ + π, que figure en el denominador de una funciΓ³n racional propia, le corresponde una fracciΓ³n de la forma
π΄π₯ + π΅
ππ₯2 + ππ₯ + πΆ
siendo π΄ y π΅ constantes a determinar.
Caso IV: Factores Cuadraticos Irreduciles Repetidos
β’ A cada factor cuadratico irreducible, ππ₯2 + ππ₯ + π₯, que figure π veces en el denominador de una funciΓ³n racional propia, le corresponde una suma de π fracciones de la forma π΄1π₯ + π1
ππ₯2 + ππ₯ + π+
π΄2π₯ + π2ππ₯2 + ππ₯ + π 2
+β―+π΄ππ₯ + ππ
ππ₯2 + ππ₯ + π π
Donde los valores de π΄π y π΅π son constantes a determinar.