Reacciones Gas Liquido 2016

ANALISIS DE REACCIONES Y REACTORES

REACCIONES GAS-LIQUIDO

BIBLIOGRAFIA:

Froment G.F. y K.B. Bischoff, “Chemical Reactor Analysis and Design”, J. Wiley & Sons, 2nd edition, 1990.

Danckwerts P.V., “Gas-Liquid Reactions”, Mc.Graw-Hill, 1970.

PRINCIPALES APLICACIONES

1. Procesos de Purificación de Gases

• Eliminación de CO2 del gas de síntesis por medio de soluciones acuosas de carbonato de potasio o de etanolaminas.

• Eliminación de H2S y de CO2 del gas de “cracking” de hidrocarburos por medio de hidróxido de sodio o de etanolaminas.

2. Procesos de Producción

• Producción de carbonato de amonio por reacción entre una corriente gaseosa de CO2 y una solución acuosa de NH3.

• Oxidación de acetaldehído y otros aldehídos con aire para obtener los ácidos orgánicos correspondientes.

• Oxidación de ciclohexano para obtener el ácido adípico (una de las etapas de síntesis del Nylon 66).

• Oxidación del cumeno con aire para obtener el cumenohidroperóxido (una etapa en la fabricación del fenol).

• Absorción de NO2 en agua para obtener ácido nítrico.• Absorción de SO3 en H2SO4 para obtener óleum.• Cloración de compuestos orgánicos, tales como: benceno,

tolueno (en el grupo metilo o en el anillo), fenoles, etc.• Cloración del tricloroetileno para producir pentacloroetano

(precursor del percloroetileno).

Equipos• Columnas de platos• Columnas rellenas• Columnas de burbujeo• Reactores agitados mecánicamente

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

procesos estos de alguno ocurredonde L-Greactor un de

entocomportami elDescribir

?local" ó puntual" nivel aL-Greacción una estudia se

cuando principal objetivo el es ¿Cuál

Se pone en contacto un gas, que contiene un reactivo A a la presión parcial pAb, con un líquido que contiene otro reactivo B a la concentración CBb.

Consideremos sólo un “punto” del reactor:

LG

G

BubbleColumn

“bulk” degas

“bulk” delíquido

Flujode gas

interfaz G-L

Películade G

Películade L

(absorción)

pAb

CBb

NA

G

L

L

CAbd i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

película laen tración -concen de Perfiles

bulk"" del (salen)entran que especies de Flujo

bulk"" elen Energíay Materia de Balances

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

⇒

⇒

punto cadaen reacción de velocidadlacalcularse debe pero fases, distingue no modelo El

ogéneohomPseudoactorRe

bulk"" al (salida) entrada de FlujosoHeterogéneactorReNotar

real

(CAb)

Tanque agitado

MODELOS PARA LA TRANSFERENCIA DE MATERIA EN REACCIONES GAS-LIQUIDO

MODELO ESPACIO TIEMPO AUTORES/AÑO

Teoría de la película (o de la doble película)

EspesorFinito

Estado Estacionario

Whitman (1923)

Teoría de lapenetración orenovación superficial

Espesor Infinito

Estado No Estacionario

Tiempo único de exposición de los elementos de líquido

Distribución de tiempos de exposición de los elementos de líquido

Higbie (1935)

Danckwerts (1951)

Teoría de la película-penetración

Espesor Finito


Toor y Marcello (1958)

GAS LIQUIDO

interfaz

elementosde líquido

elementode líquido

0 yL

NA

CA

y

(t > 0)

CAi

CAb

→ ∞

GAS LIQUIDO

interfaz


elementode líquido

0 yL

NA

CA

y

(t > 0)

CAi

CAb




EspesorFinito

Estado Estacionario

Whitman (1923)


Espesor Infinito




Higbie (1935)

Danckwerts (1951)


Espesor Finito



I. Modelo de la Película (o de la doble película)Es uno de los modelos más utilizados. Fue propuesto por Whitman (1923) y Lewis y Whitman (1924). Se supone (ver Figura):

Existe una capa estacionaria de gas y otra de líquido en la interfaz gas-líquido.El componente gaseoso A experimenta una resistencia a la transferencia de materia en la película de gas.En la interfaz misma no hay resistencia a la transferencia, y puede aplicarse la ley de Henry:

El componente gaseoso A sufre otra resistencia a la transferencia de materia en la película de líquido solamente(la turbulencia en el “bulk” es suficiente para eliminar otros gradientes de concentración).

ii AA CHp = [ ]kmol

atmmH3

=

Suponiendo estado estacionario y que no existe reacción química, el BM para A en la película de líquido es:

AAA RNt

C=⋅∇+

∂∂ 0

yN0N A

A =∂∂

⇒=⋅∇

0dy

CdD 2

A2

A =

b

i

AAL

AA

CCyy

CC0y

==

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

film) del ledespreciab capacidad unarequiere (esto amenteinstantáne establecen

se ientescorrespond perfiles los quesignifica ioestacionar estado suponerse Al(1)

(2)

DA: difusión molecular

yy

CCCC

L

AAAA

bi

i

−−=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=∴

−=

=+=

yy

CCCC

yCC

-A :CC 2da la de

CB :CC1er la deByAC

L

AAAA

L

AA

A

A

bi

i

bi

i

(3)

Resolviendo (1) y (2) resulta:

Además: ctedy

dCDN AAA =−= (4)

( )bi AA

L

AA CC

yD

N −= ( )ib

GAA

G

AA pp

yD

N −=

De las ecs. (3) y (4) se puede obtener el flujo de A en y = 0 (o en cualquier “y”, ya que NA = cte). La expresión resultante es:

Notar que un análisis similar para la película de gas, nos daría la siguiente expresión:

(5) (6)

Si se expresa el NA con un coeficiente de transferencia de materia, es:

( )bi AALA CCkˆN −= Idem para el gas:

( )ib AAGA ppkˆN −=

L

AL y

Dk =G

AG y

Dk G=

Luego, de (5) y (7) es:

(7)(8)

(9) (10)

(unidades?)

( )N Dy

C CAA

LAi Ab= − k

DyL

A

L=

MODELO VELOCIDAD DE ABSORCIÓN COEFICIENTE DEGAS-LIQUIDO TRANSFERENCIA

DE MATERIA

Película

Higbie

Danckwerts

De la ec. (7), formalmente es:

Nota: La resistencia en el film de gas puede tenerse en cuenta a partir de las ecs. (7) y (8) y de la ley de Henry:

[ ]s

cmscm

cm

cmAmolscm

Amol

k 2int

3L

3L

2int

L ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

( ) ( )ibib AAGAAGA CHpkppkN −=−=

( ) { eas en seriresistencio por ser es el mism NCCkN AAALA bi−=

bi AL

AA C

kNC +=

(1)

∴ (2)

De las ecs. (1) y (2) es:

Reordenando la ec. (3) resulta:

⇒

Notar:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

bb AL

AAGA HC

kNHpkN (3)

( )H

kk

1

HCpkN

L

G

AAGA

bb

+

−=

LG

AAA

kH

k1

HCpN bb

+

−=

( )bb AA

LG

A HCp

kH

k1

1N −+

=

KL: Coeficiente de Transferencia de Materia Global

Fuerza impulsora, considerando el “bulk” de gas y de líquido

Notar que para este modelo las propiedades hidrodinámicas del sistema son contempladas por un único parámetro yL (en realidad es un “parámetro de ignorancia”):

yL depende de ⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

etc. sistema, del físicas spropiedadelíquido delagitación sistema del geometría

⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

uniformeespesor un real es no *interfaz laen propuestas las

como idadesdiscontinuexisten no *

realístico es nomodelo Este

⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

bulk el en convecciónpor transporteantesmolecular

difusióndisolucióndel gas del

y La

real sistema del esencialticacaracterís una incorpora

modelo el obstante, No

⎩⎨⎧⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

complejos más modelosen basadas aquellas a Similares

película la de modelo elen basadas esPrediccion

Reacción irreversible de 1er orden (o pseudo 1er orden)

Cuando existe reacción química, se debe tener en cuenta lacantidad de A que reacciona en el film. Sea la reacción G-L:

( ) ( ) ( ) ( ){ ProductosBbAaProductosBabA LgLg →+→+

A2A

2

A Ckdy

CdD =

b

i

AAL

AA

CCyy

CC0y

==

==

0y

AA0yA dy

dCDN=

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

NA

pA

pA

CA

CA

yL0y

i

i

b

Se quiere calcular NA en la interfaz G-L (y = 0):

(1)

(2)

(3)

El BM para A en la película de líquido es:

Si B está en exceso (no hay gradientes de B en la película): k = k’ CBb(es decir, pseudo primer orden). Resolviendo la ec. (1) se obtiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ=

LLA y

ysenhByycoshAC

donde: L

A

AL k

DkDkyˆ ==γ (4) ⇒

)M :usa Danckwerts(

Thiele) de módulo al(similar Hatta de Número

2γ=⎩⎨⎧

se usó que: . Calculando las ctes. A y B de la ec. (2):L

AL y

Dk =

γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−γ

=senh

yysenhC

yy1senhC

C LA

LA

A

bi (5)

Notar que la ec. (5) cumple las C.C. (ec. 2):

bi AALAA CCyy;CC0y =⇒==⇒=

yL0y

“A” puede seguirreaccionando enel “bulk”

una parte de Aentra al “bulk”

CAi

CAb

CA

CA 0≠b

yL0y

todo el gas Adisuelto reac-ciona en el film

CAi

CA

CA = 0b

Caso donde Caso donde ( )00CbA →γ≠ ( )∞→γ= 0C

bA

A partir de las ecs. (3) y (5) es:

(6)

Esta ecuación puede reordenarse para dar:

γ

−γγ=

= senhCcoshC

yDN bi AA

L

A0yA

ii

bAL

A

A0yA Ck

cosh1

CC

1tanh

N ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ−

γγ

== (7) (Hatta, 1932)

Notar que no es proporcional a como ocurría en absorción física (sin reacción química). Generalmente no esconveniente definir un coeficiente de transferencia como cuando existe reacción química.Comparemos ahora con el caso en que no existaresistencia a la transferencia de materia en el líquido (es decir cuando la en todo el líquido). Por analogía con el factor de efectividad se define:

0yAN=

( )48476 A

AA

CCC

bi

Δ

−

AA CN Δ

0yAN=

iAA CC =

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=η

posible máximareacción de Velocidad

observada velocidadˆL

iA

vAL Ck

AN=̂η

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧η

3L

2int.

v

L

mm líquido de

volumende unidadpor interfaz de área :Alíquido elen n utilizació defactor :

(8)


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γ−

γγ=η

cosh1

CC

1tanhSh1

i

b

A

A

mL (9)

donde:

modificado Sherwood de NºDA

kˆSh

Av

Lm ⇒=

Veamos que ocurre con ηL a medida que varía γ.Notar que: γ grande ⇒ Reacción química grande

1) Si γ > 3 ⇒ cosh γ > 10

Además, siempre es: 1CC

i

b

A

A ≤

Luego: (10)γγ

≅ηtanhSh

1

mL

0

1

γ

cosh γ

2) Si γ > 5 ⇒ tanh γ → 1

)0C :donde caso(bA →

-1

1

γ

tanh γ

log ( Sh )γ m

log ηL

m = -1

kD

ASh1 A

vm

L =γ

≅η

Notar que ya no es necesario disponer del valor de yL (ó kL). Es irrelevante conocer yL porque “A” se agota antes

Otra forma de expresar el aumento de velocidad de absorción por reacción química, es definiendo:

Danckwerts usa la letra E (“enhancement factor”).

( )( ) ( )

bi AAvL

vAA CCAk

ANfísica Absorción

qca. reac.con Absorción ˆF

−==

⎩⎨⎧incremento

deFactor (12)

(11)

De las ecs. (7) y (12) resulta:

i

b

i

b

A

A

A

A

A

CC

1

cosh1

CC

1

tanhF

−

γ−

γγ

=

Este factor FA se usa generalmente para casos en que (o sea, para valores grandes de γ). Luego:

0CbA ≅

γγ

=tanh

FA (13)

1) Si γ → ∞ (γ > 5), de la ec. (13) es: (14) (ver Figura)γ=AF

Para este último caso, resulta:

ii AAALAA CDkCkFN ==⎩⎨⎧

aparece noy eirrelevant es )k (ó y de valorel film, del dentro agota seA Como

LL

γ

2) Si γ → 0 (γ < 0.3), de la ec. (13) es:

1FA ≅⎩⎨⎧

=iALA CkN :

existiera si como calcula seA de flujo Elpura física absorción

(Ver Figura)

En resumen, puede concluirse:

γ > 3 ⇒ La reacción tiene lugar dentro de la película (no en el “bulk”)γ < 0.3 ⇒ La reacción tiene lugar en el “bulk”

Notar además que siempre es . O sea que “la velocidad de transferencia de materia es aumentada por la reacción química”.

1FA ≥

Resistencia en el gasSi la resistencia a la transferencia de materia en el gas es importante, se la debe incorporar en la expresión obtenida para NA.

Se definió que:

( ) ( )ibib AAGAAGA CHpkppkˆN −=−= (15)

Como las resistencias en el gas y en el líquido están en serie, se puede eliminar de las ecs. (7) y (15). Luego:

iAC

γγ

+

γ−

= tanhkH

k1

coshCH

pN

LG

AA

A

bb (16)

1) Si γ → 0, se recupera la expresión de absorción física:

LG

AAA

kH

k1

CHpN

1tanh1cosh

bb

+

−=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

→γγ→γ

Se debe demostrar que: 1tanhlim0

→γγ

→γ

2) Si γ → ∞ (γ > 5) resulta:

γ+

=⇒⎭⎬⎫

→γ>γ

LG

AA

kH

k1

pN

1tanh70cosh b

También se puede definir un factor de utilización global (ηG) basado en el gas. Se lo define como:

( )HpkAN

ˆbA

vAG =η

Concentración de A en el líquido, equivalente a la pAb

(17)

Eliminando CAi de las ecs. (8) y (15), se obtiene:

L

v

G

AA A

kH

k1

pN b

η+

=


GvLG kAHk11

+η

=η

O bien:

m2

G

L

LGSh

kHk11

γ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

η=

η

(18)

(19)

Para γ >> 1, . Luego:mL Sh1 γ≅η

m2

G

Lm

GSh

kHkSh1

γ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+γ=

η(γ >> 1) (20)

También se puede definir el Factor de Incremento (FA) para incorporar la resistencia en el gas. Eliminando CAi de las ecs. (12) y (15) resulta:

ALG

AAA

F1

kH

k1

CHpN bb

+

−=

ALG

AA

F1

kH

k1

pN b

+= (caso: CAb → 0)

donde FA está dado por la ec. (13).

Finalmente, reemplazando la expresión de FA:

γγ

+=

tanhkH

k1

pN

LG

AA

b ( )0CbA →

⇒

Reacción irreversible e instantánea

Consideramos una reacción irreversible e infinitamente rápida:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+→++→+

+→+→+

−−

−+

−+

HSOHOHSHHSRNHRNHSH

ClNHHClNH EjemplosProductoslB

abgA

22

322

43

El espesor de la zona de reacción quedará reducido a un plano(frente de reacción) ubicado en alguna posición dentro de la película (ver Figura).Notar:

0 ≤ y ≤ yP ⇒ CA varía entre CAi y 0 ⇒ no hay nada de B

yP ≤ y ≤ yL ⇒ CB varía entre 0 y CBb ⇒ no hay nada de A

Balance de materia para A:

0dy

CdD 2

A2

A =

0Cyy

CC0y

AP

AA i

==

==

(1) (0 < y < yP)⎩⎨⎧

AC de perfilun obtendrá se queNotar

lineal

(2)

Integrando resulta:y

yC

CCP

AAA

i

i−= (3)

El flujo molar NA se puede obtener a partir de:

dydC

DN AAA −=

iAP

AA C

yDN = { constante es N A(4)

Notar que todavía no se conoce la posición del plano (yP).

Repitiendo el análisis para B:

0dy

CdD 2B

2

B =

bBBL

BP

CCyy0Cyy

====

(5) (yP < y < yL)

(6)

De donde se obtiene que:

( )PPL

BB yy

yyC

C b −−

=

PL

BBB yy

CDN b

−−=

⎩⎨⎧

Py conocese no Todavía

(7)

(8)

De la estequiometría de la reacción, se debe cumplir:

(9)0b

Na

N BA =+

La ec. (9) puede utilizarse para calcular la posición del plano de reacción. Reemplazando las ecs. (4) y (8) en la ec. (9):

i

b

AA

BB

LP

CDCD

ba1

yy+

=

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

ib AB

P

CCrelación lapor fijado quedará y

o,determinad sistemaun Para(10)

ε

Notar que si se cumple:

LPAB yyCCib

→⇒<<

0yCC PAB ib→⇒>>

⎩⎨⎧

film"" el terminadondeposición la a aproximará sereacción de plano El

⎩⎨⎧

interfaz la a aproximarásereacción de plano El

Finalmente, de las ecs. (4) y (10) se obtiene NA:

( )ε+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 1C

yD

CDCD

ba1C

yDN

ii

bi A

L

A

AA

BBA

L

AA

Recordando que: LAL yDˆk =

( )ε+= 1CkNiALA (11)

El factor de utilización ηL para este tipo de reacciones se puede definir:

( )ε+==η 1kAk

CkAN

ˆ vL

A

vAL

i ⎪⎩

⎪⎨⎧

′

′=

bi

b

BAL

B

CCk :es η deminador

-deno el Luego, .Ckˆk :Recordar

Notar que aparece una constante cinética (k) para una reacción muy rápida (no es conveniente).

Usando las definiciones de γ y Shm, resulta:

( )ε+γ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

γ=η 1

Sh1

CDCD

ba1

Sh1

m2

AA

BB

m2L

i

b (12)

Este factor de utilización, tal como se vio anteriormente, “representa el efecto de disminución que la transferencia de materia ejerce sobre la velocidad de reacción máximaque tendría lugar con CAi y CBb”.

De la ec. (12) se puede notar que al aumentar CBb se puede aumentar ηL. Sin embargo, este incremento de ηLtiene un límite.

A medida que CBb aumenta, el plano de reacción se mueve hasta llegar a la interfaz, con lo cual yP = 0. Ver Figura.

y0

pA

CB

CB

yL

pA b

CBmax

b

yG−

C CA Bi i= = 0

Notar que no se puede lograr un aumento de la velocidad por un posterior aumento de CBb. La velocidad estarácompletamente controladapor la velocidad de transferencia en el gas.

De la ec (8): (13)


L

maxB

BB yC

DN b−=

AL

maxB

BB Nab

yC

DN b −=−=

Por lo tanto, se puede despejar de la ec. anterior:maxBb

C

L

A

B

AA

B

LmaxB k

Nab

DD

Nab

Dy

Cb

== (se usó: ) (14)LAL yDˆk =

Como para este sistema existe control en el gas, NA es:

bAGA pkN =

Luego, de las ecs. (14) y (15) es:

bb AL

G

B

AmaxB p

kk

DD

abC =

(15)

(16)

Si ocurriera que:

en este caso el flujo permanece igual:

bbb AL

G

B

AmaxBB p

kk

DD

abCC =>

bAGA pkN =

Como se vio antes, para reacciones muy rápidas el Factor de Utilización presenta el inconveniente de exigir valores exactos de k. Para estos casos es más útil el concepto de Factor deIncremento (FA). De la definición de FA y usando la ec. 11, resulta:

(17)( ) ε+=−

= 10Ck

NˆF

iAL

AA

Notar que , o sea que “la velocidad de transferencia de materia es aumentada por la reacción química”.

Este resultado puede incluirse en la figura FA vs. γ vista anteriormente. Notar que la ec. (17) produce una familia de líneas horizontales ubicadas a la derecha de la línea de trazos.

En esa zona, se observa que: (ver Figura).

1FA ≥

( )γ≠ AA FF

Las curvas que conectan cada línea horizontal con la zona de γbajos, corresponden al caso de reacciones de segundo orden moderadamente rápidas. Estas curvas fueron obtenidas por Van Krevelen y Hoftyzer (1948).

Si la resistencia en el gas es importante, se puede obtener una nueva expresión para NA. Para este caso se puede escribir:

( ) ( )ibib AAGAAGA CHpkppkN −=−= (se usó Henry) (18)

Despejando CAi de la ec. (18) y reemplazándola en la ec. (11), se obtiene:

LG

BA

BA

A

kH

k1

CHDD

bap

Nbb

+

+=

⎩⎨⎧

asresistencideaditividadlanuevamenteilustraecuaciónEsta

(19)

Reacciones irreversibles de 2do ordenHasta ahora vimos:• Reacciones de 1er orden (ó pseudo 1er orden)• Reacciones instantáneas

Sea la reacción siguiente:

Si esta reacción es de 2do orden, los BM y CC son (ver Figura):

ProductosBabA →+

BA2B

2

B

BA2A

2

A

CCkab

dyCdD

CCkdy

CdD

=

=

0y =iAA CC = 0

dydCB =

Lyy =bAA CC =

bBB CC =

(Froment usa también CB = CBi)

Este sistema no tiene solución analítica. Van Krevelen y Hoftijzer (1948) obtuvieron soluciones analíticas aproximadas suponiendo:

1.

2.

0CbA ≅

película laen cteCB ≅

La ecuación aproximada propuesta para FA es similar a la obtenida para 1er orden, pero reemplazando γ por γ’:

( )b

i

B

A

B

AA C

CDD

ab1F1 −−γ=γ′ (3)

ε/1

Esta solución aproximada es válida en un 10% respecto de la solución numérica. Además FA debe obtenerse a partir de una ecuación implícita (ec. 3).

Notar que:

Ver Figura FA vs. γ. Los resultados para las reacciones de 2do

orden “conectan” las gráficas de las reacciones de pseudo 1er orden y las reacciones instantáneas.

Porter (1966) derivó una ecuación aproximada y explícita para FA:

γ≡γ′⇒>>ib AB CCsi

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ε−γ

−−ε+=1exp11FA

Kishinevskii, Kornienko y Popa (1971) obtuvieron una ecuación aproximada y explícita para FA:

donde:

( )[ ]αγ−−αγ

+= 65.0exp11FA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εγ

−γ

+εγ

=α45.068.0expˆ

i

b

A

B

A

B

CC

DD

ba

=̂ε




EspesorFinito

Estado Estacionario

Whitman (1923)


Espesor Infinito




Higbie (1935)

Danckwerts (1951)


Espesor Finito



2. Modelo de la Renovación SuperficialEstos modelos se basan en las siguientes ideas (ver Figura):1. La superficie del L está compuesta por un “mosaico” de

elementos que pueden estar expuestos al gas diferentes tiempos (ó “edades”).

2. Mientras los elementos de líquido están en la superficie expuestos al gas, absorben gas como si fueran elementos de longitud infinita y sin movimiento.

3. Reemplazo de los elementos de líquido en la superficie G-L, por líquido del “bulk”.

De acuerdo a la distribución de “edades superficiales”, se pueden diferenciar (ver Tabla):• Modelo de Higbie (1935): existe un tiempo determinado de

permanencia del líquido ( ).• Modelo de Danckwerts (1951): existe una distribución de

“edades” superficiales de los elementos [Ψ(t)].

t

GAS LIQUIDO

interfaz


elementode líquido

0 yL

NA

CA

y

(t > 0)

CAi

CAb

→ ∞

Absorción Física (Sistema sin Reacción Química)

El BM y las condiciones iniciales y de contorno para cada elemento de líquido son:

t = 0 y > 0t > 0 y = 0t > 0 y → ∞

Se resolverá por Transformación de Similaridad

bAA CC =

iAA CC =

bAA CC =⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∂∂

0y

CfinitoC

ó A

A

2A

2

AA

yC

Dt

C∂∂

=∂∂ (1)

(2)

y

Transformaciónde similaridad

ηt

(PDE) (ODE)

CA CA

bi

b

AA

AA

CCCC

ˆC−

−=

( ) 21

A tD4

y=̂η

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ η−′=

∂η∂

η=

∂∂

t21C

tddC

tC

( ) 21

A tD4

1Cyd

dCyC ′=

∂η∂

η=

∂∂

2

2

2

2

yC

yC η′′=

∂∂

Sean:

Reemplazando en las ecs. (1) y (2), resulta:

0y

CDt2

1C 2

2

A =η′′−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ η−′ 0

tD21yCC

A2

2=

ηη′+′′

0C2C =′η+′′ (ODE) ⇒ en la variable η solamente

η = 0 C = 1 (CC1)

η → ∞ C = 0 (CC2)

02ddC

ˆODElade

=Ψη+Ψ′⇒η

=Ψ

∫η η−η− +η=⇒=Ψ0

BdeACeA22

Sea:

de la CC1 es: 1 = 0 + B ⇒ B = 1

de la CC2 es: ⇒1deA00

2+η= ∫

∞ η−

∫∞ η− η

−=

0de

1A 2

⇒

( )( )

( )∫∫∫ η

∞

η

ηη−π

−=ηη−

ηη−−=

02

02

02

dexp21dexp

dexp1C

( ) ( )∫ −π

=x

02 xdxexp2

ˆxerf0 1

1

0 x

erf (x)

Recordar la definición de la Función Error:

Notar: expansión en serie de la función error (Advanced Engineering Mathematics, E. Kreyszig, pag. A70):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

π= L

7!3x

5!2x

3!1xx2xerf

753

( )( )∑

∞

=

+

+−

π=

0n

1n2n

!n1n2x12xerf

2π

Entonces, de las dos ecuaciones anteriores, resulta:

(3)

Si η ≅ 2 ⇒ erf(η) ≅ 0.99. Generalmente se habla de una longitud de penetración, que es la que produce una C = 0,01 (1%).

( ) ( )η=η−= erfcerf1C ( ) ( ){ xerf1ˆxerfc −=

=ηtD4

y

A

⇒δ

=tD4

2A

tD4 A=δ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

tD4yerfcCCCC

AAAAA bib

De la ec. (3), resulta:

(4)

Luego:

Ver Figura CA/CAi en función de “y”, a diferentes tiempos

Perfiles de concentración para la absorción de un gas en agua

CA/

CA

i

DA = 2 × 10-5 cm2/s

CAb = 0

y

Se sabe que:

0y

AAA y

CDN=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

( ) ( )tD4

1tD4

yexp2CCDNA0yA

2

AAAA bi

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π−

−−= dydη

( )t

DCCN AAAA bi π

−=( )

⎩⎨⎧

∞→⇒→=

A

AA

N0t SitNN

Notar

(Esta ecuación sirve de base para métodos de medición de DA)

(5)∴

( )[ ] ( ) ( )2xexp2dx

xerfddx

xerfcd−

π−=−=

Luego:

Nos interesa conocer el flujo de A:

Notar: Esta expresión de NA no es, todavía, el flujo de A en un sistema gas-líquido bajo algún sistema de agitación (todavía no se usaron los modelos de Higbie ó de Danckwerts). En esta deducción, el líquido permanece quieto mientras A difunde en el elemento.

1

Modelo de Higbie

Sea:

No es real que exista un único tiempo de exposición de los elementos de fluido.

El tiempo se determina por las propiedades hidrodinámicas del sistema y es el único parámetro del modelo (parámetro de ignorancia del modelo, como yLen el modelo de la película).

Luego, la velocidad de absorción de A promedio, es:

(6)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

líquido de elemento cada deapermanenci de medio tiempo

t

( )∫=t

0 AA dttNt1

ˆN

De las ecs. (5) y (6) se obtiene:

21AAAt

021AAA

A t2Dt

CCdttD

tCC

N bibi

π

−=

π

−= ∫ −

( )bi AA

AA CC

tD

2N −π

= { ( )tN :queNotar A ℑ≠(7)

Si recordamos que: ( )bi AALA CCkˆN −=

(8)

En la teoría de la película (ver Tabla) se cumplía que: kL ∝ DA

tD

13.1t

D2k AA

L ≅π

= { 21AL DkNotar ∝

( )N Dy

C CAA

LAi Ab= − k

DyL

A

L=

( )N Dt

C CAA

Ai Ab= −2π

k DtLA= 2π


DE MATERIA

Película

Higbie

Danckwerts

Modelo de DanckwertsDanckwerts propuso la existencia de una distribución de edades superficiales. Este autor definió:

Danckwerts propuso la siguiente función de distribución:

(9)

Por definición de una función de distribución, es:

Además, debe cumplirse que:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Ψ

superficie de elementos los dereemplazo paraón distribuci defunción

ˆt

[ ] ( ) 1tiempo tiempode unidad laen nuevo líquidopor areemplazad

es que área defracción la representa que parámetroˆs −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

( ) tsest −=Ψ

( ) { anormalizadón distribuci deFunción 1dtt0

=Ψ∫∞

( ) dtesdttdtty t entre gas al expuestaestado ha que superficie la defracción ts−=Ψ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+

Notar que la función cumple esta condición:

Entonces, la velocidad de absorción promedio, es:función “peso”

(10)

“La velocidad de absorción promedio es el valor de NA promediado sobre todos los elementos de superficie de “edades” entre 0 e ∞”.

De las ec. (5) y (10) es:

stes −

( )[ ] ( ) ( ) 1101e

ssdtesdtes 0

st0

st0

st =−−=−

==∞−∞ −∞ − ∫∫

( ) ( ) ( )∫∫∞ −∞

=Ψ=0

stA0 AA dtetNsdtttNN

( ) ∫∞ −

π−=

0

stA

AAA dtt

eDCCsNbi s

π

( )bi AAAA CCDsN −=

Integral impropia (de tablas)(11)

Luego, a partir de la definición de kL, resulta:

(12) (ver Tabla)AL Dsk = { 21AL Dk es nuevo de ∝

( )N Dy

C CAA

LAi Ab= − k

DyL

A

L=

( )N Dt

C CAA

Ai Ab= −2π

k DtLA= 2π

( )N sD C CA A Ai Ab= − k s DL A=


DE MATERIA

Película

Higbie

Danckwerts

Reacción de 1er orden e irreversible

El BM para A en un elemento de líquido es:

A2A

2

AA kC

yCD

tC

−∂∂

=∂∂

t = 0 y > 0 CA = 0 t > 0 y = 0 CA = CAi

t > 0 y → ∞ CA = 0

(1)

(2)

y

(t > 0)

y = 0

NA

CA

CAi

Notar: C = 0Ab

elementode líquido

Usando Transformada de Laplace, es:

( ) A2A

2

AAA Ckdy

CdD0tCCs −==−

0CD

skdy

CdA

A2A

2=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

sC

C iAA =

0CA =

0y =

∞→y

(3)(Problema transformado)

(4)

La solución del problema transformado (ecs. 3 y 4) es:

Como:

Además:

∴ (5)

De la transformación inversa de la ec. (5) resulta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += y

DskexpBy

DskexpAC

AAA

0A0Cy A =⇒=∞→

sCBsCC0yii AAA =⇒==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−= y

Dskexp

sC

CA

AA

i

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

kttD2

yerfcDkyexp

21

kttD2

yerfcDkyexp

21

CC

AA

AAA

A

i ( )t,yCA ℑ=(6)

A partir de la ec. (6) se puede obtener la velocidad de absorción en función del tiempo:

(7)

Notar: Para casos donde: k t → ∞, resulta:

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

π+=

−

tketkerfCDktN

kt

AAA i

( ) 1xerf → 0x

e x→

π

−

( )iAAEEAktA CDkNtN ==∞→

Velocidad de Absorción G-L en Estado Estacionario

Modelo de Higbie

Recordar que para este modelo era:

Reemplazando la expresión de NA(t) e integrando, resulta:

(8)

Vimos que para este modelo era:

(9)

Además, se vio que: (10) (Número de Hatta)

( )∫=t

0 AA dttNt1

ˆN

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

π+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += tkexptktkerf

21tk

kD

tC

N AAA

i

2L

AAL k

D4tt

D2kπ

=⇒π

=

L

A

kDk

=̂γ

De las ecs (9) y (10) resulta: (11)


(12)

Esta es la expresión final de <NA> para el modelo de Higbie.

De la definición del Factor de Incremento (FA) es:

(13)

k4t

2

πγ

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πγ

−πγ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

πγ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛γπ

=22

ALA4exp22erf

214

4CkN

i

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πγ

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛πγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γπ

+γ==2

AL

AA

4exp212erf

8CkN

ˆFi

Modelo de DanckwertsRecordar que para este modelo era:

Similar Transf. de Laplace

(14)

Si se reemplaza la ec. (7) en el integrando, se obtiene:

(15)

El parámetro “s” puede vincularse con kL y DA. Si no hay reacción química, se vio anteriormente que:

⇒ (16)

Entonces, de la ecs. (15) y (16), es:

( ) ( ) ( )∫∫∞ −∞

=Ψ=0

stA0 AA dtetNsdtttNN

( )iAAA CskDN +=

sDk AL =A

2L

Dks =

( )iii A

22LA2

L

A2LA

A

2L

AA C1kC1kDkkC

DkkDN +γ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Recordando la definición de FA resulta:

(18)

El Factor de Utilización para este modelo se definió como:

2A 1F γ+=

( )

i

i

i A

vAA

A

vAL Ck

AskDCCk

ANˆ+

==η

( )k

skDA AvL

+=η

2ALA 1CkN

iγ+= Expresión final de <NA> para

el modelo de Danckwerts(17)

Comparación de los tres modelos

Se pueden comparar los resultados obtenidos de FA para los tres modelos: película, Higbie y Danckwerts (Ver Tabla).

Si bien las tres expresiones son diferentes, notar que:

1) γ < 0.3 ⇒ FA → 1 (para los tres modelos)2) γ > 3 ⇒ FA → γ (para los tres modelos)3) 0.3 < γ < 3 ⇒ los valores de FA son parecidos para

los tres modelos. Existe un desviación máxima del 7.1 % para el modelo de la película en γ = 1 (los errores se calculan con respecto al modelo de Danckwerts)

Sin embargo, notar que estas predicciones similares entre los tres modelos están hechas para 1er orden y CAb = 0. Para otras cinéticas los resultados podrían ser diferentes.

0.01 1.00 1.00 0.940.1 1.00 1.00 1.0050.3 1.04 1.04 1.0351 1.31 1.41 1.373 3.02 3.16 3.12

10 10.00 10.05 10.39

Factor de Incremento (FA) para CAb = 0

γ Película Danckwerts Higbie

γγ

=tanh

FA2

A 1F γ+= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πγ

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛πγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γπ

+γ=2

A4exp

212erf

8F

Reacción irreversible e instantánea (de segundo orden)

Sea la reacción irreversible e instantánea siguiente:

La reacción se producirá en un plano que, a diferencia de la teoría de la película, se irá moviendo a medida que transcurre el tiempo (ver Figuras 1 y 2).

Los BM para A y B son:

( ) ( ) Prod.BbAa lg →+⎪⎩

⎪⎨

⎧

+→+

+→+

+→+

−−

−+

−+

HSOHOHSH

HSRNHRNHSH

ClNHHClNH

22

322

43

Ejemplos

2B

2

BB

2A

2

AA

yCD

tC

yCD

tC

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂ ( )

( )∞<<

<<

yy

yy0

p

p

(1)

Figura 1. Frente de reacción para un determinado tiempo “t”

Figura 2. Frente de reacción para diferentes tiempos t1, t2, t3, etc.

b

i

bb

BB

BAp

AA

BBAA

CC 0 t y

0C 0C 0 t yy

CC 0 t 0y

CC 0CC 0 y 0t

=>∞→

==>=

=>=

===>=

Notar que todavía falta incorporar la reacción química a través de los flujos molares NA y NB en el plano y = yP.

Puede demostrarse que la solución para A de la ec. (1), por Trans-formada de Laplace ó Transformación de Similaridad, es del tipo:

(3)

Por analogía, también es:

(4)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

tD2

yerfAACA

21A

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

tD2

yerfBBCB

21B

(2)

Las condiciones iniciales y de contorno son:

Por simple inspección de las ecs. (3) y (4), para que:

debe cumplirse que:

(5)

Notar:

En estas ecuaciones, tenemos el primer miembro igual a cero y elsegundo miembro una función de “t” . Luego, debe ser:

En la ec. (5), falta determinar β todavía. En principio, se deberácumplir que β sea función de los parámetros del sistema:

(6)

pB

A yyen0C0C

=→⎭⎬⎫

==

t2tctey p β==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

tD2

yerfAA0

A

p21 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

tD2

yerfBB0

B

p21

tcteyp =

( )b,a,C,C,D,Dbi BABAβ=β

A partir de las condiciones iniciales y de contorno, se pueden obtener las constantes A1, A2, B1 y B2. Para la especie A es:

→ ⇒

→ ⇒

Reemplazando A1 y A2 en la ec. (3) resulta:

(7)

0y =

pyy =

iAA CC =

0CA =

iA1 CA =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

A

A

A

p

A2

Derf

C

tD2y

erf

CA

ii

(5) ec.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

A

AA

A

A

Derf

Derfc

tD2

yerfc

C

C

i

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

β<<876tpy

t2y0

Para B tenemos:

De donde:

( )0tó

y=

∞→bBB CC = 21B BBC

b+=

pyy = 0CB =

B

B

p21

D

tD2y

erfBB0

β

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β

−=

B

BB

1

Derf1

DerfC

Bb

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β−

=

B

B2

Derf1

CB b

→ ⇒

⇒→

Reemplazando B1 y B2 en la ec.(4) resulta:

(8)

Para calcular β se utilizará la estequiometría de la reacción:

(9)

Calculemos NA y NB a partir de su definición. Derivando la ec.(7):

(10)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β−⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

B

BB

B

B

Derfc

Derf

tD2

yerf

C

C

b

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛β>876typ

t2y

bN

aN BA −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ βπ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=β−

=

A

DA

Ayy

AAA

Derf

et

DCy

CDNA

2

i

p

Derivando la ec.(8):

Reemplazando las ecs.(10) y (11) en la ec.(9), resulta la ec. (12). Es una ecuación implícita que permite calcular β por prueba y error. Es decir, nos da la relación funcional de la ec.(6) que se había supuesto al comienzo.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ βπ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=β−

=

B

DB

Byy

BBB

Derfc

et

DCy

CDNB

2

b

p

( ) ( ) ( ) ( )BB2AA2Ai

Bb

A

B DerfcDexpDerfDexpCC

DD

ba ββ=ββ

(12)

(11)

Ubicación del plano de reacción en función del tiempo, para: CAi = 1 M, CBb = 4 M

Las ecs. (7), (8) y (12) definen los perfiles de CA y CB en función de (y,t). Perry y Pigford (1953) presentaron resultados numéricos sobre los perfiles de A y B en función del tiempo (ver Figura).

y

Para aplicar luego las Teorías de Higbie y de Danckwerts, necesitamos obtener la velocidad de absorción instantánea de A. Derivando la ec.(7) respecto a “y”, y haciendo y = 0 resulta:

(13)

Modelo de Higbie

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ βπ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−==

A

AA

0y

AAA

Derf

1t

DCy

CDtNi

( ) ∫∫⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ βπ==

t

0

A

AA

t

0 AAt

dt

Derf

1DC

t

1dttNt

1Ni

t

D

Derf

C2N A

A

AA

i

π⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β=∴

Ya se vió que para este modelo:

(14)

El Factor de Incremento FA es:

(15)

t

D2k A

Lπ

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β=

A

ALA

Derf

1CkNi

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β=Δ

A

AL

AA

Derf

1

Ck

NF

i

∴

Cuando DA = DB, de la ec. (12) resulta:

⇒

Recordar:

(16)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β−=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β

AAA

B

Derf1

Derf

C

C

b

a

i

b

1C

C

b

a1D

erfi

b

A

B

A

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ βi

b

A

B

A

CC

ba1

Derf

1+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β

i

b

i

b

A

B

AA

BBPelículaA

Cb

Ca1

CDb

CDa1F +=+=

( ) ( )BAPelículaABA

HigbieA DDFDDF ===∴

El Factor de Utilización es:ec. (14)

(17)

Cuando DA = DB es:

(18)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β=Δη

A

vL

A

vAL

Derfk

Ak

Ck

AN

i

ib AB' CCk

ser debe realidaden

k

Cb

Ca1Ak

i

b

A

BvL

L

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

=η

( ) ( )BAPelículaABA

HigbieL DDDD =η==η∴

Modelo de Danckwerts

ec. (13)

Para este modelo, se vió que:

igual que para el Modelo de Higbie

( ) ∫∫∞ −∞ −

π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β==

0

stA

A

A

0

stAA dt

teD

Derf

sCdtestNN i s

π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β=

A

AAA

Derf

sDCN i

AL Dsk =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β=

A

ALA

Derf

CkN i ⇒

∴

∴

Como: HigbieA

DanckwertsA NN =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β==

A

HigbieA

DanckwertsA

Derf

1FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ β=η=η

A

vLHigbieL

DanckwertsL

Derfk

Ak

Además, cuando DA = DB, se obtienen las siguientes relaciones finales para el factor de incremento y el factor de utilización:

( ) ( ) ( )BAPeliculaABA

DanckABA

HigbieA DDFDDFDDF =====

( ) ( ) ( )BAPeliculaLBA

DanckLBA

HigbieL DDDDDD =η==η==η




EspesorFinito

Estado Estacionario

Whitman (1923)


Espesor Infinito




Higbie (1935)

Danckwerts (1951)


Espesor Finito



3. Modelo de la Película-Penetración

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

líquido-gas superficie laen un permanecen

líquido de elementos los Sicorto tiempo

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

iaestacionar no

npenetració Pequeña

Materia de ciaTransferenlíquido elen gas del

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

t

infinito-semielemento

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

líquido-gas superficie laen un permanecen

líquido de elementos los Silargo tiempo

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ioestacionar estado

npenetracióMayor

en Materia de ciaTransferenlíquido elen gas del

En consecuencia, se verificará que:obedecen

(elementos “jóvenes”) Modelos de Renovación Superficial

obedecen(elementos “viejos”) Modelo de la Película

⇒

⇒

⇒

⇒

Tienen características de ambos modelos

“Este modelo sirve también para demostrar que los modelos de la Película y de la Renovación Superficial no son modelos separados, sino que son casos límites de un modelo más general”.

La mayor generalidad de este modelo trae como dificultad:Mayor complejidad matemática para calcular NA.Se necesitan dos parámetros: (1) renovación superficial , y (2) espesor del elemento de líquido (yL).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛s"intermedia

edades"con elementos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⇓

1958 Marcello,y Toor npenetració-Película la de Modelo

ioestacionar estado elalcanzar sin pero elemento,del interno límite el hasta llega gas deln penetració La

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛sintermediaedadescon casos

( )sót

⇒

⇒

GAS LIQUIDO

interfaz


elementode líquido

0 yL

NA

CA

y

(t > 0)

CAi

CAb

2A

2

AA

y

CD

t

C

∂

∂=

∂

∂

0t0t0t

<>=

Lyy0y0y

==>

b

i

b

AA

AA

AA

CC

CC

CC

=

=

=

(1)

(2)

En base a la similitud matemática de este problema con el de conducción del calor en sólidos, la solución se puede hallar en Carslaw y Jaeger, Conduction of Heat in Solids, Oxford Univ. Press, London, pp. 252-255 (1947).

Ver ecuaciones para NA(t) en la Tabla.

Se ha definido un tiempo característico:

Notar además que para cortos tiempos de exposición, se obtiene el NA(t) de Renovación Superficial:

(3’)

Notar también que para largos tiempos, se reproducen los resultados del modelo de la Película:

(4’)

( )t

DCCN A

AAA biπ

−≅

( )L

AAAA

y

DCCN

bi−≅

A

2L

c Dyt =

MODELO DE LA PELICULA-PENETRACIONMODELO TIEMPO VELOCIDAD DE ABSORCION

DANCKWERTS

HIGBIE

NA(t) t yD

L

A

<<2

( )N C CD

tn yD tA Ai Ab

A L

An

= − + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

∑π1 2

2 2

1

exp

t yD

L

A

>>2

( )N C C Dy

n D tyA Ai Ab

A

L

A

Ln

= − + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

∑1 2 2 22

1

exp π

t yD

L

A

<<2

( )⟨ ⟩ = − +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥=

∞

∑N C CD

tierfc

n y

D tA Ai Ab

A L

An

2 1 21π

π

( )⟨ ⟩ = − + − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

∞

∑N C C Dy

yD t

n D tyA Ai Ab

A

L

L

A

A

Ln

1 26

2

2

22 2

21π

ππexpt y

DL

A

>>2

1 2

syD

L

A

<<

1 2

syD

L

A

>>

( )⟨ ⟩ = − + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

∞

∑N C C D s n y sDA Ai Ab A L

An1 2 2

1exp

( ) ( )⟨ ⟩ = − +

+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

∞

∑N C CDy n D s yA Ai Ab

A

L A Ln

1 2 11 2 2 2

1 π /

(3)

(4)

(5)

(7)

(8)

(6)

CL

A

tt

y

tD=

()

LA

Ab

Ai

A

y/D

CC

N−

Notar en la Figura:

1) De la ec. (4’) se vé que:

(kL del modelo de la película) (abcisa)

2) De la ec. (3’) se vé que:

abcisa

( ) horizontal rectay

tD1

yDCCN

L

A

LAAA

A

bi

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ℑ≠≅

−

( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ =

⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=

− xcteyequilátera hipérbola

ytD

11yDCC

N

L

ALAAA

A

bi

Reemplazando NA(t) en la ec. anterior, se obtienen las ecs. de <NA> para tiempos cortos y tiempos largos (ver Tabla). Se ha utilizado la “integral de la función error complementaria”:

∫∞

=x

xdxerfcxierfc

Notar que para tiempos cortos , de la ec. (5) es:

Notar que para tiempos largos , de la ec. (6) es:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛<<

L

2L

D

yt

( ) Higbie de Modelot

DCC2N AAAA bi

⇒π

−≅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛>>

L

2L

D

yt

( ) Película la de Modeloy

DCCN

L

AAAA bi

⇒−≅

Distribución de edades superficiales de Higbie

Recordar que: ( )∫=t

0 AA dttNt1

ˆN

Si: x → ∞ ⇒ ierfc x → 0

Distribución de edades superficiales de Danckwerts

Recordar que:

Reemplazando NA(t) en la ec. anterior, se obtienen las ecuaciones para tiempos cortos y tiempos largos (ver Tabla).

Notar que para tiempos cortos , de la ec. (7) resulta:

Notar que para tiempos largos , de la ec. (8) resulta:

( )∫∞ −=

0

stAA dtestNN

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<

A

2L

Dy

s1

( ) Danckwerts de ModelosDCCN AAAA bi⇒−≅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>>

A

2L

Dy

s1

( ) Película la de Modeloy

DCCN

L

AAAA bi

⇒−≅

Reacciones Gas Liquido 2016

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