Limites de La Regla de l Hopital

7/26/2019 Limites de La Regla de l Hopital

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ESP.DANIEL SAENZ CONTRERAS Página 1

LIMITES DE LA REGLA DE L HOPITAL

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo

XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704),

quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer

texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente

se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la

desarrolló y demostró.

LA REGLA DE L HOPITAL

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y seanf (c )=g(c )=0, con c perteneciente a (a,b) y g' ( x )≠0 si x ≠ c .

Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c ,existe el límite de f/g (en c ) y es igual al anterior. Por lo tanto,

En la solución de algunos ejercicios sobre la aplicación de la ley de

LHOPITAL, es fundamental que recordemos

La propiedad que relaciona la función exponencial y el logaritmo

natural, la cual dice que

Mediante esta propiedad, se puede establecer que una función sepuede expresar como De igual manera un limite,

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Francia

http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVII


http://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l%27H%C3%B4pital

http://es.wikipedia.org/wiki/1661



http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial

http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial




http://es.wikipedia.org/wiki/Guillaume_de_l%27H%C3%B4pital



http://es.wikipedia.org/wiki/Francia

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico




Por las propiedades de las fracciones se tiene que

Por las propiedades de las fracciones se tiene que si

Para los limites cuando n tiende hacia el infinito se tiene que si f(x) y

g(x) son dos funciones polinomicas, entonces

1) Es igual a cero, cuando el grado del polinomio f(n) es menor

que el grado del polinomio g(n)

2) Es indeterminado cuando el grado del polinomio f(n) es mayor

que el grado del polinomio g(n)

3)

cuando los polinomios tienen el mismo grado y m , n son

los coeficientes de las máximas potencias de dichos

polinomios




*

Al realizar la sustitución inmediata, nos damos cuenta que el limite esde la forma , para poder encontrar el limite aplicamos

propiedades de los logaritmos y la función exponencial con el fin de

encontrar una expresión de la forma con el fin de poder

aplicar la regla de LHOPITAL.

Aplicando la propiedad de los logaritmos

*

Por la linealidad de los limites

* Aplicando las propiedades de los logaritmos

* Aplicando las propiedades de las fracciones




*

Aplicando las propiedades de los logaritmos

*

Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la

fracción

*

,

Efectuando la resta entre fracciones

*

,

Aplicando producto de medios y extremos

* *

Realizando multiplicaciones




*

Aplicando el límite cuando los máximos exponentes son iguales

* simplificando

*

*


* *


* Aplicando las propiedades de los logaritmos




* Aplicando las propiedades de las fracciones

*


*


fracción

*

,

Efectuando la resta entre fracciones




*

,

Aplicando producto de medios y producto de extremos

*

*

Realizando los productos indicados

*

Aplicando el límite cuando los polinomios tienen el mismo grado

*

simplificando

*





*


*


*

Aplicando las propiedades de las fracciones

* ,






fracción

,

,

*




*


*


*





*

*


*


*


fracción

* ,

* ,




*

+

*

*

√ √


√ √ √√+


√ √ √√





√ √ √√+ Aplicando las propiedades de las fracciones

√ √

√√


√ √ √√


fracción

√ √




√

√

+ *

√ √

√ √

*


*





*


*

*


*


*


fracción

* ,




*

,

+

*









fracción

*






Expresando el radical como una fracción y simplificando


multiplicando





fracción

,

Aplicando producto de medios y extremos

*

Aplicando el limite cuando el polinomio del numerador es menor que

el del denominador




Al sustituir directamente encontramos que el limite esta en la forma

Aplicando la regla de LHOPITAL



Reemplazando






Simplificando

Calculando el limite




Al sustituir directamente encontramos que el limite esta en la forma Aplicando la regla de LHOPITAL

Al sustituir directamente encontramos que el limite esta nuevamente

en la forma Aplicando por segunda vez la regla de lLHOPITAL

Simplificando

reemplazando




Verificamos la forma del limite




[ ] Verificamos el límite

[ ]

[

]

[ ]

[ ]




Efectuamos operaciones para logran una de

las formas de la regla de LHOPITAL

[ ] [ ] Verificamos el limite

[ ] [

] [

]

Aplicamos le regla a la nueva forma

[ ]



[ ]

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