Regla de CramerLa regla de Cramer es un teorema en lgebra lineal, que da la solucin de un sistema lineal de ecuaciones en trminos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien public la regla en su Introduction l'analyse des lignes courbes algbriques de 1750, aunque Colin Maclaurin tambin public el mtodo en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente saba del mtodo desde 1729). La regla de Cramer es de importancia terica porque da una expresin explcita para la solucin del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de ms de tres ecuaciones su aplicacin para la resolucin del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prcticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es ms eficiente que la eliminacin gaussiana para matrices pequeas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.Si Ax = b es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, x = (x1, ..., xn) es el vector columna de las incgnitas y b es el vector columna de los trminos independientes. Entonces la solucin al sistema se presenta as:

donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-sima columna de A por el vector columna b. Hgase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.Frmulas explcitas para sistemas pequeosSistema de 2 ecuaciones con 2 incgnitasPara la resolucin de un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

Lo representamos en forma de matrices:

Entonces, e pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una divisin de determinantes, de la siguiente manera:

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitasLa regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas es similar, con una divisin de determinantes:

Que representadas en forma de matriz es:

x, y, z pueden ser encontradas como sigue:

DemostracinSean:

Usando las propiedades de la multiplicacin de matrices:

entonces:

Por lo tanto:

Aparte, recordando la definicin de determinante, la sumatoria definida acumula la multiplicacin del elemento adjunto o cofactor de la posicin ij, con el elemento i-simo del vector B (que es precisamente el elemento i-simo de la columna j, en la matriz Aj).

Teorema de Pitgoras

El Teorema de Pitgoras establece que en un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del tringulo rectngulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del tringulo, los que conforman el ngulo recto).Teorema de PitgorasEn todo tringulo rectngulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Si un tringulo rectngulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:

De la ecuacin (1) se deducen fcilmente 3 corolarios de aplicacin prctica:

El Teorema del residuoGeneralmente cuando un polinomio es dividido entre un binomio hay un residuo. Considere la funcin polinomial f ( x ) = x2 - 8 x + 6. Divida el polinomio entre el binomio x - 2. Podemos realizar la divisin en cualquier mtodo. Mtodo 1: Divisin larga.El residuo es -6. Mtodo 2: Divisin sinttica

El residuo es -6. Ahora compare el residuo de -6 en f (2).

Dese cuenta que el valor de f (2) es el mismo que el residuo cuando el polinomio es dividido entre el binomio x - 2. Esto ilustra el teorema del residuo. Si un polinomio f ( x ) es dividido entre x - a , el residuo es la constante f ( a ), y , donde q ( x ) es un polinomio con un grado menor que el grado de f ( x ). En otras palabras, el dividendo es igual al cociente por el divisor ms el residuo. La divisin sinttica es un proceso ms sencillo para dividir un polinomio entre un binomio. Cuando es utilizada la divisin sinttica para evaluar una funcin, es llamada la sustitucin sinttica. Teorema del factorEn lgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresin en la cual los trminos slo son sumados, sustrados o multiplicados, e.g (x2 + 6x + 6). Es un caso especial del teorema del residuo.El teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x k) si y slo si k es una raz de f(x), es decir que f(x) = 0.Ejemplo:Si se desea encontrar los factores de x3 + 7x2 + 8x + 2, para ello se podra tantear un primer factor, (x a). Si el resultado de sustituir a en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. Es (x 1) un factor? Para saberlo, se sustituye x = 1 en el polinomio:

Cmo esta operacin da 18 (y no 0), (x 1) no es un factor de . As que ahora se prueba con (x + 1) (sustituyendo x = -1 en el polinomio):.Que da como resultado 0. Por tanto, x (-1), que es equivalente a x + 1, es un factor, y -1 es una raz de .Las otras dos races se pueden encontrar dividiendo entre para obtener un polinomio de segundo grado, que se puede resolver de la siguiente manera Adems el teorema del factor es muy factible para estos casos

Teorema del restoEn lgebra el teorema del resto afirma que el residuo r, que resulta al dividir un polinomio P(x) entre x - a, es igual a P(a)Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la divisin, la que dice que

donde P(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto y verificndose adems, que el grado de r(x) es menor que el grado de q(x).En efecto, si tomamos el divisor q(x) = x a entonces r(x) tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar r, y la frmula anterior se convierte en:

Tomando el valor se obtiene que:

El teorema del resto nos permite calcular P(a) calculando el resto o viceversa. Tambin puede deducirse de l, fcilmente, el teorema del factor, de gran utilidad para descomponer un polinomio en factores.EjemploSea .Al dividir por obtenemos el cocientey el resto .Podemos asegurar entonces, que .

MTODO DE GAUSS Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: Paso 1. Construir la matriz n 2n M = (AI ) esto es, A est en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Paso 2. Se deja tal y como est la primera fila de M, y debajo del primer trmino de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Consideremos una matriz 3 3 arbitraria Paso 1.

Paso 2.

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo trmino de la diagonal principal. Al llegar al ltimo trmino de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el ltimo trmino de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular. Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo est, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar. Ejemplo: Supongamos que queremos encontrar la inversa de Primero construimos la matriz M = (AI),

La mitad izquierda de M est en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operacin habra terminado (A no es invertible). A continuacin, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de ste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar ms. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I. Comprobacin: AA-1 = I

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incgnitas es la siguiente:

Cada fila de M corresponde a una ecuacin del sistema y cada columna a los coeficientes de una incgnita, excepto la ltima, que corresponde a las constantes del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, especficamente, reducindola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss. Mtodo de Gauss Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el mtodo de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Sea el sistema, su matriz ampliada asociada es Ahora resolvemos por el mtodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los trminos independientes: De este modo, el sistema tiene la solucin nica x = 2, y = -1, z = 3. La resolucin de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el mtodo de Gauss u otros, es una de las mltiples aplicaciones que tienen stas. Ejercicio: Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices: a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es: La tercera fila se suprime, puesto que es mltiplo de la segunda y resultara una fila nula. As, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incgnitas: La solucin del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones. x = -9 - y + 10t z = 7t - 7 (- 9 - y + 10t, y, 7t - 7, t). Dependiendo de qu valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. As, para y = t = 0 tendremos la solucin del sistema x = -9, y = 0, z = -7, t = 0. b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es: No hay necesidad de continuar calculando nada ms, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solucin. Especficamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuacin 0x + 0y + 0z + 0t = -5 obteniendo como resultado 0 = -5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solucin.

DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o Una tabla ordenada n n de escalares situada entre dos lneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La funcin determinante apareci por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtencin de stas. DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue: = a11 As, el determinante de una matriz 1 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11. Ejemplos: a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5. b)

DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue: a12a21a33 -a32a23a11 Obsrvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

Ejemplo: Calcular el valor del determinante:

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63 El determinante de la matriz 3 3 A = (ai j ) puede reescribirse como: det (A) = a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) + a13(a21a32 a22a31) = que es una combinacin lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinacin lineal puede indicarse de la forma siguiente: Ntese que cada matriz 2 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente. Ejemplo: Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con : = 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

DETERMINANTES DE ORDEN ARBITRARIO Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n n (siendo n un nmero par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera: Los signos se van alternando segn la posicin que ocupen las entradas del determinante. Es decir: Ejemplo: Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. As pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero. += -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140.

ADJUNTO DE UNA MATRIZ Consideremos una matriz n-cuadrada A = (ai j ) sobre un cuerpo K. El adjunto de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

Ejemplo:

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

Aplicacin del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A, A(adj A) = (adj A) A = |A|I De este modo, si |A| 0,

Observemos que esta propiedad nos permite hallar por otro mtodo la inversa de una matriz. Ejemplo: Consideremos la matriz

y el det A:

As pues, aplicando la propiedad anterior: Ejercicio: Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices: a) b)

a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, as pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son: B11 = 5 B12 = -2 B21 = 1 B22= 3 y el adjunto de B, denotado por adj B, ser

b) Empezaremos por hallar el det A,

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A-1:

CLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ Consideremos la matriz A = (aij): 1. El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A' que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la lneas (filas o columnas) cuyas entradas estn slo formadas por ceros, es decir, que sean nulas. 2. Consideremos la matriz: A1 = (a11, a12, ..., a1N) y supongamos que entonces : rango (A) rango(A 1) = 1 3. Aadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla:

tal que posea un menor no nulo de la forma: Por consiguiente, rango (A) rango(A 2) = 2. Si esto no hubiese sido posible, entonces: rango (A) = 1. Supongamos que rango (A) rango (A2) y que i = 2 y j = 2. 4. Aadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla:

de forma que posea un menor de orden tres de la forma:

Entonces: rango (A) rango (A2) = 3. En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces: rango (A) = rango (A2) = 2. Suponiendo que rango (A) rango (A3) y que i = 3 y j = 3, se procedera como en los casos anteriores, y as sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A. Ejemplos: a) Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).

Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como mximo el rango (A) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. As pues Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango (A) = 1. Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2. Aadimos ahora una columna y una fila ms para ver si el rango puede ser tres:

Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango (A) = 3. No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, sta tiene que ser cuadrada. As, en el siguiente ejemplo: b) Calcular el rango de la matriz B de orden 3 4.

Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuacin los determinantes de orden superior: Probamos con un segundo determinante de orden tres:

As pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango (B) = 3. Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recurdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, stas tienen que ser cuadradas

REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones segn la regla de Cramer son los siguientes: 1. Hallar la matriz ampliada (Ab) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna est formada por las entradas de los coeficientes de la primera incgnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incgnita, y as hasta llegar a la ltima columna, que estar constituida por las entradas de los trminos independientes de las ecuaciones. 2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los trminos independientes; b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incgnita; c) continuar sustituyendo los trminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incgnitas. Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incgnitas:

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones lineales:

El segundo paso es calcular el determinante de A. As pues:

Y el tercero y ltimo paso consiste en calcular las incgnitas:

ANLISIS DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESA continuacin, se estudiar la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solucin y si tienen una nica o infinitas soluciones. El estudio o discusin de los sistemas de ecuaciones se efecta aplicando el teorema de Rouch-Frbenius. ste dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas: 1. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (S.C.), esto es, que tenga solucin. 2. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (S.I.) o que no tenga solucin. El primer caso puede dividirse en dos: a) que sea un sistema compatible y determinado (S.C.D.), esto es, que tenga una nica solucin; b) que el sistema sea compatible e indeterminado (S.C.I.), es decir, que tenga infinitas soluciones. Sea un sistema no homogneo:

En consecuencia, la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es:

y el sistema ser compatible cuando: rango (A) = rango (Ab), lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada. Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (Ab) = nmero de incgnitas, el sistema es compatible y determinado, es decir, tiene una nica solucin. Si, por el contrario, tenemos que rango (A) = rango (Ab) < nmero de incgnitas, el sistema es compatible e indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Si rango (A) rango (Ab), el sistema es incompatible y no tiene ninguna solucin. Ejemplos: Discutir, sin resolver, los siguientes sistemas de ecuaciones:

Puesto que rango (A) = 1 rango (Ab) = 2, el sistema es incompatible; no existe ninguna solucin.

Ya que rango (A) = rango (Ab) = 2 = nmero de incgnitas, el sistema es compatible y determinado; es decir, existe una nica solucin.

Puesto que rango (A) = rango (Ab) = 1 < nmero de incgnitas, el sistema es compatible e indeterminado; existen infinitas soluciones. Ejercicio: Discutir y calcular el valor de las incgnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) Calculamos a continuacin el rango de A y el rango de la matriz ampliada (Ab): El rango de la matriz A ser:

El rango de la matriz ampliada (Ab):

Dado que rango (A) = rango (Ab) = 3 = nmero de incgnitas, el sistema es compatible y determinado; tiene, pues, una nica solucin. Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer: Calculamos el det (A): Aplicando la regla de Cramer:

x = 68/23; y = -53/23; z = -42/23. DIVISIN SINTETICALa divisin sinttica se realiza para simplificar la divisin de un polinomio entre otro polinomio de la forma x c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la divisin.Ilustraremos como el proceso de creacin de la divisin sinttica con un ejemplo:Comenzamos dividindolo normalmente

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos trminos durante el procedimiento, los trminos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusin, al igual que no es necesario bajar los trminos . al eliminar estos trminos repetidos el ejercicio nos queda:

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, as:

Como para este tipo de divisin solo se realiza con para divisores de la forma x c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, tambin se puede lograr una forma ms compacta al mover los nmeros hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

Si ahora insertamos a la primera posicin del ltimo rengln al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros nmeros de este rengln son los mismos coeficientes del cociente y el ltimo nmero es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.

Esta ltima forma se llama divisin sinttica, pero cmo hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cabo la divisin sinttica:1. Se ordenan los coeficientes de los trminos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta2. Despus escribimos c en la parte derecha del rengln3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer rengln.4. Multiplicamos este coeficiente por c para obtener el primer nmero del segundo rengln (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).5. Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo nmero del tercer rengln.6. Con este ltimo nmero repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el ltimo nmero del tercer rengln, que ser el residuo.Ejemplos:

Donde -108 es el residuo

Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentes.Para generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo. Para el uso de este mtodo puede ser positivo o negativo.

Divisin polinomialEn lgebra, la divisin polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor grado.El algoritmo es una versin generalizada de la tcnica aritmtica de divisin larga. Es fcilmente realizable a mano, porque separa un problema de divisin complejo, en otros ms pequeos.Sean los polinomios f(x) y g(x), donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x), existen un nico par de polinomios q(x) y r(x) tales que

con el grado de r(x) menor que el grado de g(x).La divisin sinttica permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x). El problema es expresado como un problema de divisin no algebraico:;Todos los trminos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos explcitamente, an si sus coeficientes son cero.EjemploEncontrar:

Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explic previamente, se incluye explcitamente el trmino x, aunque su coeficiente sea cero):

1. Dividir el primer trmino del dividendo por el trmino de mayor grado del divisor. Poner el resultado arriba de la lnea horizontal (x3 x = x2).

2. Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer trmino del eventual cociente). Escribir el resultado debajo de los primeros dos trminos del dividendo (x2 * (x-3) = x3 - 3x2).

3. Restar el producto obtenido en el paso previo de los trminos correspondientes del dividendo original, y escribir el resultado debajo. Tener cuidado al realizar esta operacin de colocar el signo que corresponda. ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego, "desplazar hacia abajo" el prximo trmino del dividendo.

4. Repetir los tres pasos previos, excepto que esta vez utilizar los dos trminos que se acaban de escribir en el dividendo.

5. Repetir el paso 4. Esta vez, no hay nada para "desplazar hacia abajo".

El polinomio arriba de la lnea horizontal es el cociente, y el nmero que queda (-123) es el resto.

Este mtodo es una reminiscencia de los mtodos de divisin utilizados en clases elementales de aritmtica.EjemploSea P = 63X - 86X + 3X + 20 un polinomio de grado 3, y se quiere hallar todas sus races. Miremos primero si 0, 1 o -1 es raz evidente. Por suerte (...) P(1) = 63 - 86 + 3 + 20 = 0. Como xo = 1 es raz, podemos factorizar por X - 1, lo que hacemos mediante una divisin euclidiana:

El resto es nulo, lo que confirma que 1 es raz, y tenemos: P = (X-1)Q, con Q = 63X - 23X - 20. Luego, las races de Q se obtienen resolviendo la ecuacin de segundo grado Q(x) = 0 y se obtiene y por ltimo se puede completar (y arreglar) la factorizacin de P: P = (X-1)(7X - 5)(9X + 4).Si A es un anillo, la divisin euclidiana en A[X] no es siempre posible. Por ejemplo, en Z[X], los polinomios con coeficientes enteros, no es posible dividir X por 2X + 3, porque el cociente (trabajando en R[X]) es: X/2, y no pertenece a Z[X].La nica condicin para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible. En el ejemplo detallado, la divisin por X - 1 ( = 1X - 1) no caus problema alguno porque el coeficiente dominante es 1, inversible en Z.Divisin segn las potencias crecientesEn algunos casos es interesante considerar que X es pequeo frente a 1 y hacer las divisiones al revs, empezando por las constantes (que son los trminos mayores) y terminando por los Xn, con n grande. Formalmente, se modifica la definicin del grado: d o (Xn) = - n. La diferencia es que ya no hay unicidad, y es necesario fijarse por antelacin una precisin, es decir un grado mximo al resto.

Por ejemplo, dividamos 1 por 1 - X al orden 3: el resto deber haber como trmino ms fuerte (aqu el monomio de menor exponente) a lo mejor X4. La igualdad obtenida (en azul) equivale a:

Lo que, adems de ser cierta, es un caso especial de la suma de trminos de una sucesin geomtrica:

Y cada valor de n corresponde a una divisin euclidiana con una precisin distinta.Otro punto de vista es considerar a como el inicio del desarrollo de en serie de Taylor.

Ms generalmente, la serie de Taylor de una funcin racional se obtiene mediante la divisin euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador. Por ejemplo, consideremos la funcin trigonomtrica tangente: , y busquemos su desarrollo alrededor de 0 al orden 5. Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno, y dividirlas descartando sistemticamente los trminos de orden mayor que aparecen en el clculo. Como la funcin tangente es par, slo hay tres monomios (en X, X y X5) que buscar. El resultado es:

La divisin euclidiana tambin existe en los anillos de polinomios de mltiples variable K[X,Y,Z...], donde hay varias maneras de definir el grado (parcial, total...) y otras tantas de proceder a la divisin.

Ren Descartes encontr un mtodo para indicar el nmero de races positivas en un polinomio. Esta regla dice lo siguiente:"El nmero de races reales positivas de un polinomio f(x) = 0 es igual al nmero de cambios de signo de trmino a trmino (variaciones) de f(x) o es menor que este en un numero par. El nmero de races negativas es igual al nmero de variaciones de f(-x) o es menor que este en un numero par"

La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el nmero posible deraces realesde un polinomiop(x) singrficao resolverlas realmente. La regla establece que el nmero posible de las races positivas de un polinomio es igual al nmero de cambios de signo en los coeficientes de los trminos o menor que los cambios de signo por un mltiplo de 2.Por ejemplo, si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los trminos del polinomio, entonces el nmero posible de races positivas del polinomio es 3 o 1.[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes, asegrese de arreglar los trminos del polinomio en orden descendente deexponente]Ejemplo:Encuentre el nmero de las races positivas del polinomio:

Arregle los trminos del polinomio en orden descendente de los exponentes:x4+x3+ 3x2x 2Cuente el nmero de cambios de signo:Hay 2 cambios de signo en el polinomio, as que el nmero posible de races positivas del polinomio es 2 o 0.

Para un polinomio, siendo:f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 La cantidad de races reales positivas es igual al nmero de cambios de signo de f(x) o disminuido en ese nmero en una cantidad entera par. La cantidad de races reales negativas es igual al nmero de cambios de signo de f(-x) o disminuido en este nmero en una cantidad entera par. Ejemplo: Aplicando la regla de Descartes determinar la cantidad posible de races positivas y negativas del siguiente polinomio. x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 Si aplicamos el primer punto de la regla podemos ver que no hay ningn cambio de signos por lo cual hay 0 races positivas. f(x) = x5 + 2x4 + x3 + 2x2 + 3x + 6 En la segunda parte, tenemos que sustituir f(x) por f(-x) por lo que el polinomio quedara as: f(-x) = (-x)5 + 2(-x)4 + (-x)3 + 2(-x)2 + 3(-x) + 6 f(-x) = -x5 + 2x4 - x3 + 2x2 - 3x + 6 Aqu podemos observar que a partir del primer signo que es negativo se presentan cinco cambios de signo, por lo cual se deduce que hay 5 races negativas Sin embargo, como la regla dice que la cantidad de races puede ser disminuida en una cantidad entera par existe la posibilidad de que la cantidad de races negativas sea 3 o 1 y dado a que las races positivas son = 0 y que el polinomio (por ser de grado 5) debe de tener 5 races, las races faltantes seran races imaginarias.Utilidad: La regla de los signos de Descartes es una tcnica de fcil aplicacin que resulta de suma utilidad para la identificacin de las races del polinomio. El contar con dicha regla nos facilita la tarea de la bsqueda de races, ya que al poder ser combinada con otros procedimientos reduce las posibilidades de solucin. Por ejemplo:Supongamos que tenemos una ecuacin con dos cambios de signo y que mediante otros mtodos hemos encontrado una solucin positiva (k). Por la regla de los signos sabemos que la ecuacin tendr dos soluciones positivas o no tendr ninguna. Pero tenemos ya una k (solucin positiva), por lo que la ecuacin tiene dos races positivas exactamente. Esto indica que solo resta buscar la raz faltante entre los nmeros positivos.Regla de los signos de Descartes, relacionado con el nmero de soluciones positivas de una ecuacin polinmica. Este artculo va a servir para presentar esta regla, dar alguna pincelada de su historia y tambin para demostrarla.

Qu es la regla de los signos de DescartesSupongamos que tenemos el polinomio:

Si igualamos obtenemos la siguiente ecuacin polinmica:

Ordenemos los coeficientes segn el grado del monomio al que multiplican, colocando en primer lugar al que corresponde al de grado mayor. Obtendramos la siguiente lista:

Obviando el cero, tenemos que en esta lista se producen tres cambios de signo: del 3 al -5, del -5 al 1 y del 1 al -7. Llamando al nmero de cambios de signo en la lista de coeficientes del polinomio , tendramos entonces que en este caso .Por otra parte, si utilizamos un programa informtico para calcular las races de dicha ecuacin (bueno, aproximaciones de las mismas), obtenemos que tiene una solucin real positiva y cuatro soluciones complejas (dos parejas compleja-conjugada).Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el nmero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuacin polinmica con el nmero de races positivas de dicha ecuacin. Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones, sino que nos da una cota, aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informacin muy interesante sobre la cantidad de races positivas de la ecuacin. Vamos a enunciar esta regla:Regla de los signos de DescartesEl nmero de races reales positivas de una ecuacin polinmica con coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al nmero de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros).Es decir, que el nmero de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del nmero de races positivas de la ecuacin. Por ejemplo, en el caso anterior la ecuacin tendra como mucho tres soluciones reales positivas, ya que . Pero se puede decir un poco ms. No solamente tenemos una cota superior del nmero de races positivas de la ecuacin, sino que sabemos que no se pueden tomar todos los valores marcados por dicha cota. De hecho sabemos que si la cota no se alcanza, entonces el nmero de races positivas de la ecuacin difiere de ella un mltiplo de dos. En el ejemplo anterior esto significa que la ecuacin puede tener tres races positivas o tener solamente una, pero no podra ocurrir que tuviera dos o que no tuviera ninguna.La regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filsofo y matemtico francs Ren Descartes en su obra La Gomtrie, de 1637, aunque no la demostr. Ms adelante, en 1707, Isaac Newton reformul dicha regla, aunque tampoco dio una demostracin de la misma (se piensa que consider demasiado trivial dicha demostracin). La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemtico francs Jean-Paul de Gua de Malves, en 1740. Tuvo que ser nuestro admirado Gauss quien, en 1828, mostr que si no hay tantas soluciones como cambios de signo, entonces el nmero de soluciones difiere del nmero de cambios en un mltiplo de dos.Demostracin de la regla de los signos de Descartes.Vamos a terminar este artculo sobre la regla de los signos de Descartes dando una demostracin de la misma. Supongamos que tenemos un polinomio p(x) de grado n cuyo coeficiente lder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposicin). Supondremos tambin que el trmino independiente del polinomio no es cero (esto es, que p(0) 0), ya que si lo es podemos sacar factor comn un trmino de la forma xk que despus se puede eliminar.Vamos a probar esta regla por induccin en n: Para n = 1, esto es, para polinomios de grado 1, el resultado es inmediato, ya que si la ecuacin es x a = 0 con a > 0 (un cambio de signo) la nica solucin es x = a (una solucin positiva). Si es x + a = 0 con a > 0 (ningn cambio de signo) la nica solucin es x = -a (ninguna solucin positiva). Supongamos entonces que p(x) es un polinomio de grado n > 1, con coeficiente lder igual a 1 y con p(0) 0. Distinguimos dos casos: 1. Si p(0) < 0, entonces el nmero de cambios de signo de la ecuacin debe ser impar, ya que comenzamos en un nmero positivo, el 1, que es el coeficiente lder, y terminamos en un nmero negativo, p(0). Veamos que el nmero de races positivas de la ecuacin tambin es impar:Como el grado del polinomio es n, se tiene que el trmino xn es el que marca la tendencia del polinomio para valores grandes de x. De hecho, para algn valor grande y positivo de x, digamos x0, se tiene que p(x0) es positivo, por lo que aplicando el teorema de Bolzano a p(x) en el intervalo [0, x0] tenemos que existe al menos una raz de p(x) en el intervalo (0, x0), esto es, positiva.Si llamamos k a esa raz, se tiene que p(x) = (x k) q(x), con q(x) un polinomio de grado n 1 y tal que es positivo (dado que k es positivo y p(0) es negativo). Aplicando la hiptesis de induccin a q(x) obtenemos que ese polinomio tiene un nmero par de races positivas, por lo que p(x) tiene un nmero impar de soluciones positivas (todas las que tiene q(x) junto con k).2. Vamos con el caso p(0) > 0. Si la ecuacin no tiene soluciones positivas, entonces la condicin que queremos comprobar se cumple, ya que cero es un nmero par. En el caso de que la ecuacin tenga alguna solucin positiva, llamemos k a una de ellas. Como antes, tenemos que p(x) = (x k) q(x), siendo q(x) un polinomio de grado n 1 tal que es negativo (ya que k es positivo y p(0) tambin). Podemos aplicar la hiptesis de induccin a q(x), lo que nos dice que ese polinomio tiene un nmero impar de races positivas. En consecuencia, tiene un nmero par de races positivas (todas las de junto con k).

Lo que nos dice todo esto es que el nmero de cambios de signo y el nmero de races positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares). Es decir, que esos dos nmeros son iguales o difieren en un mltiplo de dos.Nos queda probar que hay ms cambios de signo que races positivas, es decir, que el nmero de cambios de signo es una cota superior del nmero de races positivas. Lo vemos:Si hubiera ms races positivas que cambios de signo en los coeficientes de p(x), entonces debera haber al menos dos races positivas ms que el nmero de cambios de signo (por lo que hemos probado antes). Manteniendo la notacin anterior, tenemos que al menos debera haber races positivas.Por otra parte, se tiene que tiene al menos una raz entre cada dos races de (sabis por qu, verdad?). Por tanto habra al menos races de .Pero tiene como mucho tantos cambios de signo como , es decir, cambios a lo sumo, y adems su grado es . En estas condiciones la hiptesis de induccin nos dice que dicho polinomio cumple la regla de los signos, es decir, cumple que tiene ms cambios de signo que races positivas.Llegamos entonces a una contradiccin provocada por la suposicin inicial. Por tanto hay ms cambios de signo que races positivas.Como comentario final, es interesante resaltar que si tomamos el polinomio y le aplicamos la regla de los signos de Descartes obtenemos una cota superior del nmero de soluciones negativas de .Un ejemplo de la utilidad de la regla de los signos de DescartesEl gran problema de esta regla es que no da una cantidad exacta de races positivas del polinomio, sino una cota superior de las mismas. Por ello no podemos solamente con esta regla cuntas races positivas tiene nuestra ecuacin. Pero s podemos aprovechar algn conocimiento previo sobre las races positivas de la misma. Pongo un ejemplo:Supongamos que tenemos una ecuacin polinmica con dos cambios de signo entre sus coeficientes, y supongamos tambin que mediante otros mtodos hemos encontrado una solucin positiva de la misma, digamos k.Por la regla de los signos sabemos que la ecuacin tendr dos soluciones positivas o no tendr ninguna. Pero tenemos ya una, k, por lo que nuestra ecuacin tiene dos races positivas exactamente. Eso nos indica que si necesitamos buscar otra raz de la ecuacin, podemos hacerlo entre los nmeros positivos, ya que seguro que hay otra ms.Tambin se puede combinar el comentario final, que nos calcula una cota del nmero de races negativas, con la propia regla, para as obtener ms informacin sobre las races reales de la ecuacin

Nmero complejo

Definicin Definiremos cada complejo z como un par ordenado de nmeros reales (a, b) (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones: Suma

Producto por escalar

Multiplicacin

Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes: Resta

Divisin

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina nmero imaginario puro a aquel que esta compuesto slo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que .Cuerpo de los nmeros complejos Los nmeros complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o ms apropiadamente por el carcter unicode ). Si identificamos el nmero real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los nmeros reales R aparece como un subcuerpo de C. Ms an, C forma un espacio vectorial de dimensin 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los nmeros reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

La funcin signo.

Con este nmero se cumplen las propiedades:

Esta ltima frmula es el mtodo elegido para calcular el inverso de un nmero complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Forma polar o mdulo-argumental de un nmero complejo.A cada nmero complejo z = a + bi se le asigna, en el plano complejo, un punto P de coordenadas (a,b).Si se une el origen de coordenadas O con P, se obtiene el vector OP. De esta forma a todo nmero complejo se le asocia un vector fijo de origen O y extremo P (afijo del nmero complejo).El punto P se puede determinar mediante sus coordenadas (a,b) o mediante la longitud del vector OP y el ngulo que ste forma con el eje positivo de abscisas.Se llama mdulo del nmero complejo z = a + bi, y se representa por m o |z|, a la longitud del vector OP.

Se denomina argumento del nmero complejo z = a + bi, y se representa por a al ngulo que forma el vector OP con el semieje positivo de abscisas. Para determinar el valor de a se aplica la frmula:

La determinacin del argumento no es nica ya que existen infinitos ngulos con la misma tangente. Si se restringe la determinacin a ngulos comprendidos entre 0 y 2p (0 y 360), existen dos ngulos, que difieren en p radianes (180), con la misma tangente. El argumento depender de los signos de a y b, es decir, del cuadrante en el que est situado el afijo de dicho nmero complejo.Notemos que a = m cos(a) y b = m sen(a). Escribiremos z = a+bi = za = m(cos a +i sen a ).