Centro Preuniversitario UNSM-T Seminario de Geometría

SEMANA N° “12”- GEOMETRIA- “AREAS Y VOLÚMENES EN SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: Poliedros regulares, prisma y pirámide”

1.Hallar la suma de los ángulos de las caras de un icosaedro regularA)1800° B)1080° C)2100° D)3600° E)7200°SOLUCIÓN:

S∡ sCARAS=20 ( s∡1CARA )=20(s∡ s ∆ EQUILÁTERO)

S∡CARAS=20(180° )=3600°..... Rpta ( C )

2.Un poliedro está formado por 6 cuadrados y 8 pentágonos. Cuántas aristas tiene?.A)64 B)16 C)32 D)48 E)30SOLUCIÓN: Si las caras son 6 cuadrados y 8 pentágonos, el número de aristas será:

A=6.4+8.52

=24+402

→ A=32………………. Rpta ( C ).

3. En la figura, hallar la distancia del vértice A a la diagonal EC del Exaedro de arista “a”

A)a√32

B)a√62

C)a√63

D)a√64

E) a√22

SOLUCIÓN:

Por relación métrica en el

Triáng. rectángulo EAC :

a√3 . X=(a√2)¿a), resolv.

X=a√63

………Rpta ( C )

4.Hallar el area total de un paralelepípedo, cuyas dimensiones son: 10; 6 y 4cm.

A)228 B)214 C)302 D)248 E)324

SOLUCIÓN

De lafigura :

AT =2(10x6 +10x4 + 4x6)

AT=2(60 + 40 + 24 ) = 2(124)

AT =248cm2.............Rpta ( D )

5.Un obelisco tipo pirámide cuadrangular regular, tiene arista básica de 12 m de longitud,y apotema de cara igual a 10m. Se necesita pintarlo, el costo de mano de obra por m2

es de S/5,00 nuevos soles, ¿Cuánto se tendra que pagar por la mano de obra?.

A)S/1225 B)1240 C)1400 D)1200 E)960

SOLUCIÓN

Cálculo del área lateral SL :

1

A

a

E

C

F

B

Da

G

H

a

A

a

E

C

F

B

Da

a

√2

X

a

G

H

a

10

4

6

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SL = 4 (S1caralat )=4 ( 12x 10

2 )=240m2

COSTO¿240m2¿)= S/1200

RPTA ( D)

6. La superficie total de una caja es 3.60m2, su longitud es el doble de su ancho y las

caras opuestas son cuadrados iguales. Calcular el volumen de la caja.

A ¿0.432m3B ¿4.32m3C ¿0.442m3D ¿0.42m3E ¿0.32m3

SOLUCION:

Por formula: v=Sbase . h……………………… (1)

Donde: ST=3.60

Pero: ST=4 (2x . x )+2 ( x . x )=10 x2

Entonces: 3.60=10x2 ;de donde: x=0.60m

Calculo de Sbase: Sbase=2x . x=2(0.6)(0.6)Sbase=0.72

Sustituyendo valores en (1):

v=Sbase . h=0.72 (0.60 )=0.432m3 ……………………Rpta(A)

7. El volumen de un cubo es igual al cubo de su diagonal mayor dividido entre:

A ¿2√2 B ¿3√2C ¿2√3D ¿3√3 E ¿3SOLUCION:Se traza la figura:

El volumen del cubo: v=a3 ………… (1)

Y la diagonal es: D=a√3→ a= D

√3Sustituyendo en (1):

v=( D√3

)3

→ v= D 3

3√3 ……………..Rpta (D)

8. Calcular el volumen del paralelepípedo rectángulo mostrado, si la diagonal AC del rectángulo ABCD mide1m. Las dimensiones AB , AD y AE son proporcionales a 3; 4 y 5.

A ¿0.42m3

B ¿4.32m3

C ¿0.44m3

D ¿0.23m3

E ¿0.48m3

SOLUCION:Sea las dimensiones:AB=3K , AD=4K y AE=5KEntonces el volumen será: V= (3k ) (4k ) (5k )=60k3 …………………… (1)

Calculo del valor de “K”:En el triangulo rectángulo ADC :

AD2+DC 2=12→(4K )2+(3K )2=1→ K=15

Sustituyendo finalmente en (1):

v=60( 15)3

→ v=0.48m3 ……………………………………………………Rpta (E)

2

12

12

10

2 x

x

x

x

x

D aa

H

E

G

F

D

C

B

A

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9. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectángulo, sabiendo: a) Que las tres aristas que concurren en un mismo vértice están en progresión

aritmética.b) Que la suma de estas aristas es 18m.

c) Que la superficie total del paralelepípedo es 208m2 .

A ¿192m3 B¿182m3C ¿172m3 D¿142m3E ¿156m3

SOLUCION:Por dato:

a+ (a−r )+(a+r )=18a=6Ahora la superficie total será:

ST=2 (6+r ) (6−r )+2 x6 (6−r )+2 x6 (6+r )De donde: r=2 Finalmente el volumen será:

v=8 x 4 x6=192m3 ……………………..Rpta(A)

10. En un recipiente cubico que contiene 42m3 de agua se introduce un cubo macizo de

tal manera que el agua se eleva hasta enrazar el nivel del recipiente. Si la arista del cubo macizo es igual a la mitad de la arista del recipiente, hallar el volumen del recipiente.

A ¿92m3B ¿82m3C ¿72m3 D ¿48m3E ¿56m3

SOLUCION:

Su volumen seria: v=a3……………… (1)

También la arista del cubo mide a2

Y su volumen es a3

8 .

Del grafico:

a3=a3

8+V H 2O

→78

a3=42

En consecuencia: a3=48Remplazando en (1):

∴ v=48m3 ……………………………..Rpta (D)

3

z=ay=a−r

x=a+r

H

E

G

F

D

C

B

A

a a2