LISTA GEOMETRIA

INSTITUTO FEDERALESPIRITO SANTOCachoeiro de Itapemirim

Lista de Exercıcios

Geometria

Analıtica

“Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?

Isso depende bastante de ate onde voce quer chegar.”

Lewis Carrol - Alice no Paıs das Maravilhas

02 de marco de 2011Cachoeiro de Itapemirim - ES

1

Autor: Professor Luciano Cordeiro de OliveiraE-mail: [email protected]

Proibida a reproducao total

ou parcial desta edicao

Todos os direitos reservados.

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2

0.1 Introducao ao Plano Cartesiano

Na figura abaixo consideramos duas retas perpendiculares x e y com intersecao

em O (origem) que chamaremos de eixo das abscissas e eixo das ordenadas respectiva-

mente. O plano determinado por essas retas sera chamado Plano Cartesiano.

45°

. . . .

45°

Alguns conceitos importantes sobre o Plano Cartesiano:

(i) Os eixos x e y dividem o Plano Cartesiano em quatro regioes angulares chamadas

quadrantes. Enumeramos os quadrantes sempre levando em consideracao o sentido

anti-horario (contrario ao dos ponteiros do relogio);

(ii) B.I. e a bissetriz dos quadrantes ımpares (I e III). O ponto B pertence a B.I. e e

da forma B(x, x), ou seja, abscissa e ordenada possuem o mesmo valor numerico;

(iii) B.P. e a bissetriz dos quadrantes pares (II e IV). O ponto D pertence a B.P. e e da

forma B(x,−x), ou seja, abscissa e ordenada possuem valor numerico opostos;

(iv) O ponto A esta sobre o eixo da abscissas (x) e e denotado por A(x, 0);

(v) O ponto C esta sobre o eixo da ordenadas (y) e e denotado por C(0, y);

(vi) A abscissa e a ordenada de um ponto P nos dao as coordenadas desse ponto P (x, y).

0.1 Introducao ao Plano Cartesiano 3

0.1.1 Ponto que divide um segmento em uma razao dada

Na figura abaixo sao dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) que determinam o

segmento AB.

Se queremos encontrar um ponto P , entre A e B, que divide AB numa razao

r 6= −1 dada, usamos

xP =x1 + rx2

r + 1e yP =

y1 + ry2

r + 1.

Ob. Para conseguir essa formula podemos usar o Teorema de Tales (Geometria

Plana).

4

0.1.2 Coodenadas do Ponto Medio

Na figura abaixo sao dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) que determinam o

segmento AB. O ponto medio M tera coordenadas M(xm, ym) onde

xm =x1 + x2

2e ym =

y1 + y2

2.

Ob. Para conseguir essa formula podemos usar Semelhanca de Triangulos

(Geometria Plana) ou notar que o Ponto Medio e um caso particular de um ponto que

divide um segmento em uma razao, neste caso r = 1.


0.1.3 Distancia entre dois pontos

Observe, na figura abaixo, que dados dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) no Plano

Cartesiano existe uma distancia entre eles.

Para encontrar essa distancia primeiro calculamos ∆x = x2 − x1 e ∆y = y2 − y1

e depois

dAB =√

(∆x)2 + (∆y)2

Ob. Para conseguir essa formula aplicamos o Teorema de Pitagoras (Geometria

Plana).

6

0.1.4 Coodenadas do Baricentro

O segmento com extremidades em um dos vertices de um triangulo e no ponto

medio do lado oposto e chamado de mediana. O ponto de encontro das tres medianas de

um triangulo e conhecido como baricentro. Na figura o ponto G de coordenadas G(xG, yG)

e o baricentro.

Para encontrar as coordenadas do baricentro calculamos

xG =x1 + x2 + x3

3e yG =

y1 + y2 + y3

3.


0.1.5 Condicao de alinhamento de tres pontos

Dados os pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) para dizer se esses pontos estao

alinhados (colineares) basta usar a condicao∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

0.1.6 Area de um triangulo

Tres pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), nao colineares, no Plano Carte-

siano sao vertices de um triangulo. Veja a figura abaixo,

Para calcular a area desse triangulo basta usar a condicao

A =| D |

2onde D =

∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣∣.

Ob. Uma maneira pratica de obter a area de um triangulo, a partir das coordenadas de

seus vertices, e dispor as coordenadas dos pontos da seguinte maneira

8

x1

!!BBB

BBBB

B x2

!!BBB

BBBB

B

}}||||

||||

x3

!!BBB

BBBB

B

}}||||

||||

x1

}}||||

||||

y1

~~}}}}

}}}}

y2

BBB

BBBB

B

~~||||

||||

y3

BBB

BBBB

B

~~||||

||||

y1

AAA

AAAA

A

− − − + + +

Assim,

D = x1y2 + x2y3 + x3y1 − x1y3 − x3y2 − x2y1

E daı,

A =| D |

2

0.1.7 Area de um polıgono

A area de um polıgono convexo qualquer pode ser obtida dividindo-o em

triangulos distintos e, a seguir, calculando-se a soma das areas desses triangulos.

Como esse processo e extremamente trabalhoso, vamos utilizar um processo

pratico como feito para triangulos.

Sejam A1(x1, y1), A2(x2, y2), A3(x3, y3), ..., An(xn, yn) vertices consecutivos de

um polıgono convexo qualquer. A area A desse polıgono e dada por

A =| D |

2

onde

x1

##FFF

FFFF

FFx2

%%JJJJJJJJJJ

{{xxxxx

xxxx

x3

&&MMMMMMMMMMMM

yytttttttttt. . .

%%JJJJJJJJJJJ

xxqqqqqqqqqqqq xn

##FFF

FFFF

FF

yytttttttttttx1

{{xxxxxxxx

y1

||yyyy

yyyy

y2

$$IIIIIIIII

||yyyy

yyyy

y3

%%LLLLLLLLLLL

zzuuuuuu

uuuu

. . .

$$IIIIIIIIII

yyrrrrrrrrrrr yn

""EEE

EEEE

E

zzuuuuuuuuuy1

""EEE

EEEE

E

(−) (−) (−) (+)(−) (+)(−) (+) (+) (+)

nos dara

D = x1y2 + x2y3 + . . .+ xny1 − x1yn − . . .− x3y2 − x2y1


0.1.8 Formas de escrever a equacao de uma reta

Um postulado da Geometria Plana afirma que dois pontos distintos determi-

nam uma unica reta. Na Geometria Analıtica, dois pontos podem ser interpretados como

dois pares ordenados. Dados os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) como na figura abaixo

escolhemos um ponto generico P (x, y) pertencente a reta r e aplicamos a condicao de

alinhamento de tres pontos, daı ∣∣∣∣∣∣∣x y 1

x1 y1 1

x2 y2 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

Resolvendo o determinante, encontramos

(y1 − y2)x+ (x2 − x1)y + x1y2 − x2y1 = 0

Fazendo y1 − y2 = a, x2 − x1 = b e x1y2 − x2y1 = c temos a equacao geral da

reta

ax+ by + c = 0,

com a e b nao simultaneamente nulos.

E importante observar que:

(i) Se a = 0 a equacao geral se torna by + c = 0 que e uma reta paralela ou coincidente

ao eixo x;

10

(ii) Se b = 0 a equacao geral se torna ax+ c = 0, que e uma reta paralela ou coincidente

com o eixo y;

(iii) Se c = 0 a equacao geral se torna ax+ by = 0 que e uma reta passando pela origem.

Fazendo algumas mudancas podemos escrever a equacao da reta nas formas:

(i) Se c 6= 0 temosx

p+y

q= 1 que e chamada equacao segmentaria da reta;

(ii) Se x = f1(t) e y = f2(t) com t ∈ IR, ou seja, se x e y sao funcoes de t temos as

equacoes parametricas da reta;

(iii) Se y = mx+ n temos a equacao reduzida da reta.

0.1.9 Inclinacao de uma reta

Dada uma reta r no Plano Cartesiano a inclinacao de r e o angulo α deter-

minado pelo semi-eixo positivo dos x e a reta r, medido no sentido anti-horario. Veja

exemplos nas figuras seguintes:

= 0°

= 90°

0° < < 90°

90° < < 180°


0.1.10 Coeficiente angular

Coeficiente angular ou declividade de uma reta r nao vertical e, por definicao,

a tangente do seu angulo de inclinacao α. Costuma-se indicar o coeficiente angular pela

letra m. Temos entao m = tg(α).

Observe que nao se define coeficiente angular de retas verticais, isto e, retas

paralelas ao eixo dos y. Isto e facilmente compreendido se lembrarmos que tambem nao

se define tangente do angulo de 90o.

Vejamos, agora, como calcular o coeficiente angular de uma reta conhecendo-se

dois de seus pontos:

Na figura anterior, temos dois pontos distintos da reta r a saber A(x1, y1) e

B(x2, y2). Estamos sempre supondo x1 6= x2, ou seja, que a reta r nao e vertical.

No triangulo ABC, retangulo em C, temos

m = tg(α) =Cateto Oposto

Cateto Adjacente=y2 − y1

x2 − x1

=∆y

∆x.

Observacoes:

(i) Dada a equacao geral ax+ by + c = 0 entao m = −ab

;

(ii) Dada a equacao reduzida y = mx+ n entao m = tg(α);

(iii) A equacao da reta dados um ponto P (x0, y0) e o coeficiente angular m e dada por

y − y0 = m(x− x0)

12

0.1.11 Retas paralelas

Duas retas s e r sao paralelas se e somente se seus coeficientes angulares sao

iguais, isto e, ms = mr. Para isso, basta notar que

r//s⇐⇒ αs = αr ⇐⇒ tg(αs) = tg(αr)⇐⇒ ms = mr.

0.1.12 Retas perpendiculares

Suponhamos que as retas r e s, de coeficientes angulares mr e ms respectiva-

mente, sejam perpendiculares, como mostra a figura seguinte:


Sendo αr e αs as respectivas inclinacoes de r e s temosmr = tg(αr) ems = tg(αs).

Observando o triangulo formado na figura anterior e usando o Teorema do Angulo Externo

no triangulo ABC, retangulo em C, temos

αs = 90o

+ αr

tg(αs) = tg(90o

+ αr)

tg(αs) = − cotg(αr)

tg(αs) = − 1

tg(αr)

tg(αs) tg(αr) = −1

mrms = −1.

Observacoes. Dada a equacao geral de uma reta ax+ by + c = 0, temos:

(i) A equacao ax+ by + k = 0 representa uma reta paralela a reta dada;

(ii) A equacao bx− ay − k = 0 representa uma reta perpendicular a reta dada.

0.1.13 Mediatriz de um segmento

Para obtermos a mediatriz de um segmento, devemos proceder da seguinte

forma.

Obtemos as coordenadas do ponto medio de AB e determinamos o coeficiente

angular da reta que contem AB. Tendo essas informacoes e usando a condicao de per-

pendicularidade conseguimos encontrar a equacao da mediatriz do segmento dado.

14

0.1.14 Relacao entre retas e pontos

(1) Angulos entre retas

Dadas duas retas r e s queremos calcular os angulos que elas determinam.

Se r//s ou r⊥s o problema e imediato, portanto, deixaremos esses dois casos de lado.

Quando duas retas sao concorrentes, elas determinam quatro angulos, dois a dois

opostos pelos vertices (congruentes).

Na figura abaixo e evidente que α1 e α2 sao suplementares, portanto, quem conhece

a medida de um deles, automaticamente tem a medida do outro.

Tambem e evidente que tg(α1) e tg(α2) sao simetricas, isto e, tg(α1) = − tg(α2).

(2) Para calcular α1, angulo agudo formado por r e s temos dois casos:

(i) Uma das retas (s, por exemplo) e vertical daı

tg(α1) =

∣∣∣∣ 1

mr

∣∣∣∣;(ii) Nenhuma das retas e vertical.

tg(α1) =

∣∣∣∣ ms −mr

1 +msmr

∣∣∣∣.(3) Distancia de um ponto a uma reta

Dada a reta r : ax+ by + c = 0 e o ponto P (x0, y0) nao pertencente a reta r, a

distancia de P a r e dada por

d(P, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.


(4) Distancia entre retas paralelas

Dadas duas retas r : ax+ by +m = 0 e s : ax+ by + n = 0 paralelas a distancia entre

r e s e igual a distancia de um ponto qualquer P (x0, y0) ∈ r ate a reta s.

d(r, s) = d(P, r) =|ax0 + by0 + n|√

a2 + b2.

ou ainda,

d(r, s) =|n−m|√a2 + b2

.

16

0.2 Exercıcios

1. (MACK) Identifique a sentenca falsa:

(a) O ponto (0, 2) pertence ao eixo y.

(b) O ponto (4, 0) pertence ao eixo x.

(c) O ponto (500, 500) pertence pertence a bissetriz dos quadrantes ımpares.

(d) O ponto (80,−80) pertence pertence a bissetriz dos quadrantes pares.

(e) O ponto (√

3 + 1,√

3 + 1) pertence pertence a bissetriz dos quadrantes pares.

2. (CESGRANRIO) A distancia entre os pontos M(4,−5) e N(−1, 7) do plano xOy

vale:

(a) 14

(b) 12

(c) 8

(d) 13

(e) 9

3. (UFMG) A distancia entre os pontos A(2a,−3a) e N(3, 2) e√

26. Pode-se afirmar

que os possıveis valores de a sao:

(a) −√

2 e√

2

(b) 1−√

2 e 1 +√

2

(c) −1 e 1

(d) −2 e 2

(e) −3 e 2

4. (Cescea-SP) O ponto do eixo das abscissas, equidistante dos pontos P (−2, 2) e

Q(2, 6), e:

(a) A(2, 0)

(b) B(5, 0)

(c) C(3, 0)

(d) D(0, 2)

(e) E(0, 4)

0.2 Exercıcios 17

5. (Fesp) As coordenadas do ponto P , do eixo Oy, que e equidistante dos pontos Q(2, 0)

e R(4, 2), sao:

(a) (0, 5)

(b)

(0,

9

12

)(c)

(0,

11

12

)(d) (0, 0)

(e) (0, 4)

6. (UFMG) Seja Q(−1, a) um ponto do terceiro quadrante. O valor de a para que a

distancia do ponto P (a, 1) ao ponto Q seja 2 e:

(a) −1−√

2

(b) 1−√

2

(c) 1 +√

2

(d) −1 +√

2

(e) −1

7. (F. C. Chagas) O triangulo cujos vertices sao os pontos (1, 3), (−2,−1) e (1,−2) e:

(a) equilatero.

(b) escaleno.

(c) isosceles.

(d) obtusangulo.

(e) retangulo.

8. (UFMG) Seja P (x, y) um ponto equidistante dos eixos coordenados e de distancia 1

da origem. Pode-se afirmar que o numero de pontos que satisfazem essas condicoes

e:

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

(e) 5

18

9. (PUC) Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), o valor de x para que o triangulo ABC seja

retangulo em B e:

(a) 3

(b) 2

(c) 0

(d) −3

(e) −2

10. (FUVEST) Dados os pontos A(2, 1) e B(6, 5), as coordenadas do ponto medio do

segmento AB sao:

(a) (2, 3)

(b) (4, 3)

(c) (−2,−3)

(d) (3, 2)

(e) (−1, 0)

11. (Fasp) Sendo M(2,−1) o ponto medio de AB e A(3, 3), as coordenadas de B sao:

(a) (1,−5)

(b) (−1,−5)

(c)

(1,

5

2

)(d)

(5

2, 1

)12. (UFJF) Se (2, 1), (3, 3) e (6, 2) sao os pontos medios dos lados de um triangulo,

quais sao os seus vertices?

(a) (−1, 2), (5, 0) e (7, 4)

(b) (2, 2), (2, 0) e (4, 4)

(c) (1, 1), (3, 1) e (5, 5)

(d) (3, 1), (1, 1) e (3, 5)

0.2 Exercıcios 19

13. (UCP-PR) A distancia da origem do sistema cartesiano ao ponto medio do segmento

de extremos (−2, 7) e (−4, 1) e:

(a)√

5

(b) 2√

2

(c) 2√

3

(d) 2√

3

(e) 3√

2

14. (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (1, 0) e (−1, 0) sao vertices de um

quadrado cujo centro e a origem. Qual a area do quadrado?

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

(e) 5

15. (Uniceb-SP) Observando a figura e sabendo que A(2, 6), B(4, 2) e C(6, 4) podemos

afirmar que a medida da mediana AM e:

(a)√

2

(b) 2√

3

(c) 3√

3

(d) 2√

2

(e) 3√

2

A

C

B

M

16. (PUC) Os pontos (0, 0), (1, 3) e (10, 0) sao vertices de um retangulo. O quarto

vertice do retangulo e o ponto:

(a) (9,−3)

(b) (9,−2)

(c) (9,−1)

(d) (8,−2)

(e) (8,−1)

20

17. (PUC) Um lado de um paralelogramo tem extremidades nos pontos A(−3, 5) e

B(1, 7). Sabendo que P (1, 1) e o ponto medio das diagonais, os outros vertices sao

os pontos:

(a) (4,−1) e (1,−5)

(b) (5,−2) e (1,−5)

(c) (5,−3) e (2,−5)

(d) (5,−3) e (1,−5)

18. (MACK) Dados os pontos A(1, 2) e B(3, 0), o segmento AB e prolongado, no sentido

de A para B, ate o ponto C, tal que AC = 3AB. A soma das coordenadas do ponto

C vale:

(a) 11

(b) 7

(c) 4

(d) 3

(e) −11

19. (Fasp) A equacao da reta suporte do segmento AB, dados A(7, 11) e B(15,−1), e:

(a) 2y − 3x− 24 = 0

(b) 3y − 2x+ 17 = 0

(c) 3y − 2x+ 7 = 0

(d) 2y + 3x− 43 = 0

20. (UCMG) O valor de x para que os pontos A(x, 3), B(−2,−5) e C(−1,−3) sejam

colineares e:

(a) −1

(b) 1

(c) 2

(d) 3

(e) 4

0.2 Exercıcios 21

21. (UCMG) A equacao da reta que passa pelo ponto (1, 1) e forma um triangulo

isosceles com os eixos coordenados e:

(a) x+ y − 2 = 0

(b) x+ 2y = 0

(c) 2x− y − 1 = 0

(d) 2x− 2y − 3 = 0

(e) 2x+ 2y − 1 = 0

22. (UNB) O triangulo ABC tem vertices A(0, 0), B

(−3

5,3

5

)e C

(3

5,3

5

). A equacao

da reta que passa por A e pelo ponto medio de BC e:

(a) x = 0

(b) y = 0

(c) y =5

3x

(d) y =3

5x

(e) y = −3

5x

23. (Santa Casa) Se o ponto (−1, 2) e um dos vertices de um quadrado e 2x− 3y + 6 = 0

e a equacao da reta suporte de uma de suas digonais, a equacao da reta suporte da

outra diagonal e:

(a) 3x− 2y − 2 = 0

(b) 3x+ 2y − 1 = 0

(c) 3x− 2y + 1 = 0

(d) 3x+ 2y + 1 = 0

(e) 3x− 2y + 2 = 0

24. (MACK) Os vertices de um triangulo ABC sao A(2, 5), B(4, 7) e C(−3, 6). O

baricentro desse triangulo tem como coordenadas:

(a) (3, 6)

(b) (1, 6)

(c)

(−1

2,11

2

)(d)

(3

2, 9

)(e) (9, 3)

22

25. (PUC) A equacao da reta que passa pela origem e forma com o semi-eixo positivo

dos x um angulo deπ

4rad e:

(a)√

2x− 2y = 0

(b) 2x−√

2y = 0

(c) x−√

2y = 0

(d) x− 2y = 0

(e) x− y = 0

26. (PUC) A equacao da reta com coeficiente angular m = −4

5e que passa pelo ponto

P (2,−5) e:

(a) 4x+ 5y + 12 = 0

(b) 4x+ 5y + 14 = 0

(c) 4x+ 5y + 15 = 0

(d) 4x+ 5y + 17 = 0

27. (AEUDF) Sex

a+y

b= 1 e Ax+By + C = 0 sao retas paralelas, entao podemos

afirmar que:

(a) Aa−Bb = 0

(b) Aa+Bb = 0

(c) Ab+Ba = 0

(d) Ab−Ba = 0

(e) Bb− Ab = 0

28. (PUC) Se B(2, 3) e o ponto medio de um segmento compreendido entre os dois eixos

coordenados, entao o coeficiente angular da reta que contem esse segmento e:

(a) −3

2

(b) −2

3

(c)2

3

(d)3

2

(e)1

2

0.2 Exercıcios 23

29. (UFMG) A relacao entre m e n, para que as retas de equacoes 2x−my + 1 = 0 e

nx+ 3y + 5 = 0 sejam paralelas, e:

(a)m

n=

3

2

(b)m

n= −2

3

(c)m

n=

2

3(d) mn = −6

(e) mn = 6

30. (FGV) As retas (r) x+ 2y = 5 e (s) 4x+ ky = 5 sao paralelas se:

(a) k = 8

(b) k = 7

(c) k = 6

(d) k = 5

(e) k = 4

31. (UFES) A equacao da reta que passa pelo ponto P (2,−3) e e paralela a reta que

passa pelos pontos A(4, 1) e B(−2, 2) e:

(a) x− 6y + 16 = 0

(b) x+ 6y − 16 = 0

(c) x− 6y − 16 = 0

(d) 2x+ 6y + 16 = 0

(e) x+ 6y + 16 = 0

32. (UFMG) Seja a reta r de equacao 2x− 3y − 5 = 0. A equacao da reta s, paralela a

r, que contem P (1,−2) e:

(a) 2x− 3y − 1 = 0

(b) 2x− 3y − 8 = 0

(c) 3x− 2y − 7 = 0

(d) 3x+ 2y + 1 = 0

(e) 2x+ 3y + 4 = 0

24

33. (FGV) A equacao da reta r//s e:

(a) y = −√

3

3x− 2

(b) y = −√

3x− 2

(c) y =

√3

3x− 2

(d) y =√

3x− 2

(e) y = −2x−√

3

3

y

x

rs

-2

56

34. (Santa Casa) As equacoes parametricas de uma reta sao x = 2t− 1 e y = 3t+ 2,

onde t ∈ IR. As intersecoes dessa reta com os eixos coordenados sao os pontos:

(a) (−3, 0) e (0, 2)

(b)

(1

3, 0

)e

(0,−1

2

)(c) (−7, 0) e (0, 7)

(d)

(−7

3, 0

)e

(0,

7

2

)35. (UFGO) Sendo A(−1,−3), B(1, 2), C(−1, 3) e D(4, 2), determine as coordenadas

do ponto M , intersecao das retas AB e CD.

(a) (0, 0)

(b)

(11

9,23

9

)(c) (1, 1)

(d) (1, 2)

(e)

(4

3,3

5

)36. (FGV) A equacao da reta que passa pela origem e e paralela a reta determinada

pelos pontos A(4, 3) e B(5, 6) e:

(a) x = 3y

(b) y = 5x+ 6

(c) y = 3x

(d) y = 4x− 3

0.2 Exercıcios 25

37. (FGV) Os valores de k para os quais as retas x+ 2y − 2k = 0, kx− y − 3 = 0 e

2x− 2y − k = 0 sao concorrentes num mesmo ponto sao:

(a) −2 e3

2

(b)1

2e 3

(c) 2 e3

2

(d) 2 e −3

2

(e)1

2e

3

2

38. (F. C. Chagas) Seja M o ponto de intersecao das retas de equacoes x− y − 6 = 0 e

3x+ y − 2 = 0. A equacao da reta paralela ao eixo das abscissas, passando por M ,

e:

(a) x− 2y = 10

(b) y = 2

(c) x = −4

(d) y = −4

(e) x = 2

39. (FGV) A reta que passa pela origem e pela intersecao das retas 2x+ y − 6 = 0 e

x− 3y + 11 = 0 tem a seguinte equacao:

(a) y = 2x

(b) y = 3x

(c) y = 4x

(d) y = 5x

(e) y = 6x

40. (MACK) Duas retas r e s sao perpendiculares. Entao seus coeficientes angulares

sao:

(a) iguais.

(b) opostos.

(c) inversos.

(d) inversos e de sinal trocado.

26

41. (UFPR) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equacao da reta que

passa pelo ponto A(4, 3) e e perpendicular a reta 2y + 3x− 5 = 0 e:

(a) y = 2x+ 2

(b) 5y − 3x+ 6 = 0

(c) 3y = 2x+ 6

(d) 2x+ 3y + 6 = 0

(e) 5x− 3y + 8 = 0

42. (UM-SP) A reta r passa pelo ponto P (1, 0) e e perpendicular a reta s dada por

y = 2x+ 3. Se o ponto Q(a, 4) pertence a reta r, entao a vale:

(a) 0

(b) −3

(c) −7

(d) 7

(e) 3

43. (PUC) A equacao da reta perpendicular a reta de equacao 2x+ 3y − 6 = 0, no ponto

em que esta intercepta o eixo das abscissas, e:

(a) y =3

2(x− 3)

(b) y − 3 =3

2x

(c) y =2

3(x− 3)

(d) y − 3 =2

3x

(e) y = −2

3(x− 3)

44. (UC-MG) A equacao da reta mediatriz do segmento cujos extremos sao A(2, 1) e

B(6, 3) e

(a) y = 3x− 10

(b) y = −2x+ 10

(c) y = −x+ 6

(d) y = 2x− 6

(e) y = x− 2

0.2 Exercıcios 27

45. (UFRS) Os vertices de um triangulo sao os pontos A(−1, 2), B(5, 1) e C(3, 6). O

coeficiente linear da reta que passa por C e pelo ortocentro do triangulo e:

(a) −24

(b) −12

(c) −10

(d) −6

(e) 6

46. (FGV) As retas 4x+ 6y − 5 = 0 e 14x+ 30y + 2 = 0 interceptam-se em um ponto

M . A reta que por M e e perpendicular a reta de equacao 12x− 5y + 1 = 0 e:

(a) 5x+ 12y − 2 = 0

(b) 5x+ 12y + 8 = 0

(c) 10x+ 24y = 0

(d) 10x+ 24y + 7 = 0

28

(001) (019) (037) (055) (072) (090) (108)

(002) (020) (038) (056) (073) (091) (108)

(003) (021) (039) (057) (074) (092) (109)

(004) (022) (040) (058) (075) (093) (110)

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LISTA GEOMETRIA

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