Geometria plana

O

A

B

O →→→→ vértice do ângulo

AO e OB lados do ângulo

αααα

Ângulo AÔB = αααα

ÂNGULOSÂNGULOS

O

A

B

AGUDO

0º < αααα < 90ºαααα

ÂNGULOS ÂNGULOS -- CLASSIFICACLASSIFICA ÇÇÃOÃO

O

A

B

RETO

m(AÔB) = 90º

OBTUSO

90º < ββββ < 180º

O

A

B

ββββ

2 ÂNGULOS PODEM SER:2 ÂNGULOS PODEM SER:

O

ββββ

αααα + ββββ = 90º

αααα

COMPLEMENTARES SUPLEMENTARES REPLEMENTARES

Oαααα


ββββ

Oαααα

ββββ


x°

80°

30°

SuplementoComplemento Replemento

60° 150° 330°

10° 100° 280°

90°- x 180°- x 360°- x

ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS

r

s

t

12

34

56

78

ÂNGULOS ENTRE PARALELASÂNGULOS ENTRE PARALELAS

r

s

t

ββββ αααα

αααα

αααα

αααα

ββββ

ββββ

ββββ


a

b

2x 2x 2x 2x –––– 10101010ºººº

3x + 403x + 403x + 403x + 40ºººº

a//b

3x + 403x + 403x + 403x + 40ºººº

3x + 40 + 2x 3x + 40 + 2x 3x + 40 + 2x 3x + 40 + 2x –––– 10 = 18010 = 18010 = 18010 = 180

5x + 30 = 1805x + 30 = 1805x + 30 = 1805x + 30 = 180

5x = 1505x = 1505x = 1505x = 150

x = 30x = 30x = 30x = 30ºººº

ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO

AAAA

CCCC

BBBB

A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº

A

C

B

ββββr

αααα

A + B + C = 180º

αααα + ββββ + θθθθ = 180°

⇒⇒ ⇒⇒

r // AB

αααα ββββ

θθθθ


AAAA

CCCC

BBBB


TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

αααα

A

C

B

αααα = = = = AAAA + + + + BBBB

f

A

C

B

e = A + Be = A + Be = A + Be = A + B

g

e

f = A + Cf = A + Cf = A + Cf = A + C

g = B + Cg = B + Cg = B + Cg = B + C


AAAA

CCCC

BBBB


TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO

B

A

D

76º 115º

C

x

y y76 + y = 11576 + y = 11576 + y = 11576 + y = 115 y = 39y = 39y = 39y = 39ºººº⇒⇒⇒⇒

115 + y = x115 + y = x115 + y = x115 + y = x

115 + 39 = x115 + 39 = x115 + 39 = x115 + 39 = x

x = 154x = 154x = 154x = 154ºººº⇒⇒⇒⇒

Exemplo

• Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo AB D. Calcular a medida x do ângulo indicado.


A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ººººαααα

A

C

B

αααα = = = = AAAA + + + + BBBB

CASOS IMPORTANTESCASOS IMPORTANTES

xxxxxxxx

xxxx

60°

60°

60°

EQUILEQUILÁÁTEROTERO ISISÓÓSCELESSCELES

xxxxxxxx

RETÂNGULORETÂNGULO

αααα

ββββ

αααα ++++ ββββ = 90= 90= 90= 90°°°°

SEGMENTOS NOTSEGMENTOS NOTÁÁVEISVEIS

B

A

CM

MEDIANAMEDIANA ALTURAALTURA

B

A

CH

BISSETRIZBISSETRIZ

B

A

CS

MEDIATRIZMEDIATRIZ

A

m

B

M

ESTUDO DOS POLESTUDO DOS POLÍÍGONOSGONOS � Lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.

� Os vértices A, B, C, D, E e F.

� Os ângulos internos A, B, C, D, E e F.

� αααα é ângulo externo relativo ao vértice A.

� Diagonal BD.

A

B C

D

EF

α

icoságono20octógono8

pentadecágono15heptágono7

dodecágono12hexágono6

undecágono11pentágono5

decágono10quadrilátero4

eneágono9triângulo3

PolígononPolígonon

ESTUDO DOS POLESTUDO DOS POLÍÍGONOSGONOS

A

B C

D

EF

α

d = n(n – 3)

2

NNÚÚMERO DE DIAGONAISMERO DE DIAGONAIS

PolPol íígonos Regulares com n ladosgonos Regulares com n lados

n par:n par: n/2 diagonais passam n/2 diagonais passam pelo centropelo centro

n n íímpar:mpar: não hnão h áá diagonais que diagonais que passam pelo centropassam pelo centro

ÂNGULO NOS POLÂNGULO NOS POL ÍÍGONOSGONOS

A2

A3

A4

A5

AnA1

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS

Si = 180°(n – 2)

SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS

Se = 360°

ai + ae = 180°

aiae

ÂNGULO NOS POLÂNGULO NOS POL ÍÍGONOSGONOS

A2

A3

A4

A5

AnA1

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS

Si = 180°(n – 2)

SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS

Se = 360°

ai + ae = 180°

aiae

d = n(n – 3)

2

POLPOLÍÍGONOS REGULARESGONOS REGULARES

B

A

C

D

EF

ai

ai

ai ai

ai

ai

ai =Sin

ae =Sen

ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA

O

A

B

ββββββββ

P

αααααααα

m(APB) = ββββ = αααα2

P

A

B

QR

m(APB) = m(AQB) = m(ARB) =AB

2


O

A

B

ββββββββ

P

αααααααα


M

A B

P

N


O

A

B

ββββββββ

P

αααααααα


M

A Br r

r

TRIÂNGULOS SEMELHANTESTRIÂNGULOS SEMELHANTES

AAAA

CCCC

BBBB DDDD EEEE

FFFF

cc

aabb dd

ee

ff

aa

dd==

bbee

== ccff

hhhh´́

==hh´́hh

cc

aabb

dd

ee

ff aa

ff==

bbdd

== ccee

TRIÂNGULO RETÂNGULO TRIÂNGULO RETÂNGULO –– RELARELA ÇÇÕES MÕES MÉÉTRICASTRICAS

a2 = b2 + c2HIP2 = CAT2 + CAT2

CAT1

. CAT2

= HIP . ALT b . c = a . h

CAT2 = HIP . PROJ b2 = a . n

ALT2 = PROJ1

. PROJ2

c2 = a . m

h2 = m . n

POLPOLÍÍGONOS REGULARES GONOS REGULARES –– TRIÂNGULO EQUILTRIÂNGULO EQUIL ÁÁTEROTERO

O

A B

a

L

C

LLh

60°°°°

43LA

2=

23Lh =

.h31a =

.h31r =

.h32R =

O

r

O

R

POLPOLÍÍGONOS REGULARES GONOS REGULARES –– QUADRADOQUADRADO

2LA =2Ld =

.L21a =

O

A B

a

d

L

CD

L

L

L

.L21r =

22LR =

O

r

O

R 2dR =

TRIÂNGULO EQUILTRIÂNGULO EQUIL ÁÁTERO e QUADRADOTERO e QUADRADO

O

A B

a= r

L

C

LLh

60°°°°

43LA

2=

23Lh =

R

.h31r = .h

32R =

2LA =2Ld =

O

A B

rR

L

CD

L

L

L

.L21r =

22LR =

O

a

LA B

POLPOLÍÍGONOS REGULARES GONOS REGULARES –– HEXHEXÁÁGONO REGULARGONO REGULAR

C

DE

F

L

L

L

L

L

120°°°°

LL

23La =

23Lr =

O

r

43L6A

2=

43L6.A

2=

O

R

R = L

ÁÁREA DE FIGURAS PLANASREA DE FIGURAS PLANAS

b

h

2b.h

A =

c)b).(pa).(pp(pA −−−=

α.sen2

b.aA =

ac

αααα

bTRIÂNGULOSTRIÂNGULOS

h A = b.ha

b

a A = b.a

D

d2

D.dA =

2b).h(B

A+=

B

b

h

CCÍÍRCULO E SUAS PARTESRCULO E SUAS PARTES

O

R A = ππππR2

COROA CIRCULARCOROA CIRCULAR

A = ππππ(R2 - r2)

SETOR CIRCULARSETOR CIRCULAR

°=

360Rπα 2

A

SEGMENTO CIRCULARSEGMENTO CIRCULAR

A = ASETOR – ATRIÂNGULO

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