Geometria Cuarto

7/25/2019 Geometria Cuarto

http://slidepdf.com/reader/full/geometria-cuarto 1/63

GEOMETRIA

Universitario

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA DE

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"

RD Nº 4017 – 2012 – ED - CAJ CODIGO MODUAR! 1"#7$77

GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


To%o &o'en() en E*i+toEl ser humano necesitó &ontar, y &re) ,osn'eros; quiso hacer &.,&/,os, y defniólas o+era&iones ; hizo re,a&iones , ydeterminó las +ro+ie%a%es n/'ri&as.Por medio de lo anterior, '.s e, /so %e ,a,)*i&a, obtuvo los instr/'entosadecuados para resolver las sit/a&iones+ro,e'.ti&as surgidas a diario.Además de esos requerimientos prácticos, elhombre precisó a%'irar ,a e,,e(a de lacreación para satisacer su esp!ritu. "on esefn, observó la naturaleza y todo lo que lerodeaba. As! ue ideando &on&e+tos %eor'as3 */ras3 &/er+os3 ,5neas, los quedieron origen a la parte de la matemáticaque designamos con el nombre de*eo'etr5a.

E, R5o Ni,o

#a palabra geometr!a está ormada porlas ra!ces griegas$ 6*eo6, t ie rra, y6'etr)n6, medida, por lo tanto, susignifcado es 6'e%i%a %e ,a tierra6.%eg&n lo registra la historia, losconceptos geom'tricos que el hombreideó para e(plicarse la naturalezanacieron )en orma práctica) a orillasdel r!o *ilo, en el antiguo Egipto.

#as principales causas ueron tener queremarcar los l!mites de los terrenosribere+os y construir diques paralelos paraencauzar sus aguas. Esto, debido a losdesbordes que causaban las inundacionesperiódicas.

E, a+orte *rie*ouienes dieron &ar.&ter &ient5&o a ,a

*eo'etr5a ueron los griegos, al incorporardemostraciones en base a razonamientos.Ta,es %e Mi,eto -// a.d.".0 inició estatendencia, al concebir la posibilidad dee(plicar dierentes principios geom'tricos apartir de verdades simples y evidentes.

E/&,i%es -1// a.d.".0 le dio su má(imoesplendor a esta corriente cient!fca.2ecogió los undamentos de la geometr!a yde la matemática griega en su tratadoElementos

Re+resenta'os ,os &on&e+tos3ay &on&e+tos *eo'tri&os que no

pueden defnirse. %on ideas ormadas ennuestra mente a trav's de la observacióndel entorno y solamente podemos hacerre+resenta&iones concretas de ellas.

#as llamaremos tr'inos primitivos oconceptos primarios y son$ es+a&io3 +/nto3re&ta +,ano.

Es+a&ioEs el con4unto universo de la geometr!a.

En 'l se encuentran todos los demáselementos. 5entro de 'l determinamoscuerpos geom'tricos como ca4as, planetas,eseras, etc'tera.

%u s!mbolo es; E$

8/ntoEl punto tiene +osi&i)n en e, es+a&io.

%u representación más cercana es el orifcio

que de4a un alfler en una ho4a de papel o enun granito de arena, pero debemos tener encuenta 9/e no tiene *rosor.

En e, es+a&io :a innitos +/ntos.#os identifcaremos con una letra may&sculay para reconocerlos usaremos o (.

Por e4emplo$• A se lee punto A3 ; M se lee punto 6.

% i un imos di erentes puntos,obtendremos ,5neas que pueden ser&/rvas3 re&tas3 'i;tas o +o,i*ona,es.%on curvas si, al unirse los puntos, siguendistintas direcciones; re&tas, si llevan lamisma dirección; 'i;tas, si mezclan

ambas; y +o,i*ona,es, si están ormadassolamente por trozos de rectas.

2ecta"urva

Poligonal

6i(ta8,ano Re&ta! Innitos +/ntos

#a unión de infnitos puntos da origen alos otros dos principios básicos de lageometr!a$ +,ano re&ta.

#a representación más cercana de larecta es un hilo tenso o la marca que de4aun lápiz en un papel. Es innita, porquesus e(tremos son ilimitados y en ella hayinfnitos puntos.

a i%enti&are'os &on e, %i/<o

7na recta puede tener dirección$

=ori(onta,!

"omo la l!nea del horizonte.

>erti&a,!

"omo el hilo a plomo.O,i&/a!

"uando es distinta a las dos anteriores.

#as rectas se nombran con dos letrasmay&sculas y sobre ellas se anota sus!mbolo. Por e4emplo$ A?3 se ,ee re&ta A?.

Ta'in se /sa /na ) /na R3es+e&ia,'ente en ,os &asos en 9/e%ean %istin*/irse varias re&tas@

>ea'os!

DE es una recta oblicua

5

E es una recta vertical

#

8,ano

#o más parecido a este elementoespacio es una ho4a de papel, pedierencia con 'sta, el hecho quei,i'ita%o no tiene *rosor.

E, +,ano es /na s/+er&ie inormada por infnitos puntos que siguenmisma dirección, es decir, :a re&tas9/e%an tota,'ente in&,/i%as en e,,a

E, s5'o,o %e +,ano es 8 y nombrarlo debe estar acompa+ado delo menos, tres puntos.8eamos este e4emplo$

2

2

9:

Este dibu4o será una representacióplano ART y lo simbolizaremos 8 ART.

#as paredes de nuestra casapavimento de las calles, la superfcie delaguna, son representaciones de planos

Es importante saber que en un +podemos encontrar +/ntos re&taobtener fguras geom'tricas.

3ay planos :ori(onta,es3 verti&ao,i&/os.

C/an%o en /na s/+er&ie no 9/ere&tas tota,'ente in&,/i%as en %e&i'os 9/e es &/rva. 7na representde esto ser!a una bandera ameando.

1. PROF: JULIO CESAR OCAS HUARIPATA PROF: JULIO CESAR OCAS HUARIPATA

I ?IMETRE!I ?IMETRE!

ORIGEN B ORIGEN B DEARROO



GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


Re,a&ione'os ,o est/%ia%o

9ras conocer las ideas geom'tricas, lasrelacionaremos, para determinar aspectosque son muy importantes de analizar.

8/ntos re&tas!

a0 8amos a determinar un punto delespacio. <"uántas rectas pueden pasarpor 'l= o <a cuántas rectas perteneceese punto=

"omo las rectas no tienen grosor,obtenemos un dato undamental de lageometr!a! 6+or /n +/nto %e, es+a&io+asan innitas re&tas6.

5eterminemos un punto del plano ydibu4emos rectas que pasen por 'l.2ecordemos que ,a ,5nea que hacemos esuna re+resenta&i)n, +or9/e ,a re&ta notiene *rosor. 3emos obtenido este dibu4o.

#a conclusión es la misma$ 68or /n +/nto%e, +,ano +asan innitas re&tas6.

b0 Ahora elegiremos dos puntos delespacio. <"uántas rectas unen a esosdos puntos= 2ecordemos 9/e ni+/ntos ni re&tas tienen *rosor.

A >

Con&,/si)n

6Dos +/ntos %e, es+a&io %eter'inan/na so,a re&ta6@

#o mismo sucede en el plano$ ?5ospuntos del plano determinan una sola recta?

p

4

t

c0 8eamos qu' pasa con puntos quepertenecen a una recta del espacio odel plano.@bserva este e4emplo$

A

"

>

: ronte ra

• 7n punto que pertenece a una rectaorma s/&on</ntos en ella. %i elpunto elegido, llamado ori*en, quedacomo rontera de los subcon4untos, esdecir que " no pertenece a ninguno de

ellos, estamos diciendo que seobtienen dos semirrectas quesimbolizamos as!$

En nuestro e4emplo quedan "A y ">. "para el +/nto rontera y para el otropunto, queutilizamos para nombrarlas.Ahora, otro e4emplo$

@

P

%i el punto elegido, ori*en, es tomadoen cuenta para a'os s/&on</ntos, es

decir que +ertene&e a a'os, es com&n,hablaremos de dos rayos. %u s!mbolo es enel dibu4o ser!an D8 y D -por esodenominamos rayos a los del %ol. %abemosque el origen es el astro, pero no dondetermina su luz0.

#as semirrectas y los rayos son infnitoshacia un e(tremo -el que lleva echa0; elotro e(tremo está limitado por un punto. %ien una recta determinamos dos puntos, seorma un subcon4unto muy importante$ eltrazo, llamado tambi'n segmento. Pore4emplo$

6

El trazo se identifca con el s!mbolo

. En nuestro caso se ormó 6.E, tra(o es e, ni&o e,e'ento ,inea,9/e se +/e%e 'e%ir3 +or9/e no esinnito est. ,i'ita%o en s/s %ose;tre'os@

En resumen, de una recta ubicada en elespacio o en el plano, hemos obtenido tresclases de subcon4untos$ se'irre&tas3raos tra(os.

8RACTICA DE CAE8RACTICA DE CAE

01@

A > " 5

1BA5 = , CDA" = ,

C>5 =

3allar >"

a0 D b0 c0 d0 F e0 G

02@

A > " 5

:E

E y : puntos medios de A> y "53allar E:, si$ F/>5A" =+

a0 CF b0 CD c0 1/d0 H/ e0 *.a.

0#@

6 A @ >

I@J Punto medio de A>

"alcular @6 si$

11

mFC6>.6AB

A>=+

a0 b0 c0 Fd0 G e0 1

04@

P 2 %

%i$ 1/%P2 =+ y 2 =

3allar$ P%

a0 b0 G c0 CHd0 CB e0 C/

0"@ A > " 5

I>J Punto medio de A" cal

A> .

%i$H

A"

B

>5= y 11A5=

a0 D b0 C/ c0 d0 H e0 G

0@

P A > " 5

%i$ P>DP51P" += , ca

A"

1CA>DA51 =+

a0 C b0 1 c0 Hd0 B e0 D

07@

A > " 5

6 y *. Puntos medios de A" y




GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


FNGUFNGU

3allar$ 6* si C/A> = y

D"5 =

a0 C/ b0 F c0 ,Dd0 D e0

0$@

A > " 5

%i$ A5A" = y

B1A>>5 =−

3allar >"

a0 b0 B c0 Dd0 CB e0

0@

A > " 5

%i$ A>1>" = y "5 es F cm

mayor que A" . 3allar "5 ,

BDA5 =

a0 1C b0 11 c0 1Hd0 1B e0 1D

10@A > " 5 E :

%i$H

>:E:A5 == . 3allar$ >E

Además$

1B5:"E>5A" =+++


11@A > " 5 E :

%i$ /5:"E>5A" =+++ y

A:GD>E =

3allar >E

a0 CD b0 1/ c0 1Dd0 D/ e0 *.a.

12@A > " 5 E : K 3

3allar A3 si$

:353>3E:>5"EAEA>A" ++++++++

a0 b0 HH c0 CCd0 C1 e0 CC,D

1#@ A > " 5 E : K 3

%i$1

A3"> = y

DEK"E

:353E3E:>5"EAEA>A"

=+

++++++++

3allar A3 .

a0 H/ b0 1F c0 H1d0 C e0 *.a.

14@A > " 5 E :

9al que$ 15:"E>5A" =+++

. 3allar$ A:

%i$ A:F

D>E =

a0 CH b0 C c0 1Bd0 HG e0 1/

1"@

A 6 > *

3allar A> , si>*

A*

6>

A3= y

DC

A*C

A6C =+

a0 b0 c0 Fd0 G e0 C/

1@

A > " 5

la media geom'trica de A> y "5

es1

>"1

yCF

C

>5

C

A"

C=+ . 3allar >"

a0 b0 F c0 Bd0 D e0 *.a.

17@

A > " 5

%i$ A5.>"1"5.A> = y

H

C

A>

1

A>

C=+ . 3allar A"

a0 G b0 F c0 d0 e0 *.a.

1$@

A > " 5

%i$ -1( ) H0 - A> 0 - "5 0 L

>".A5 y

A>

CHMD

A>

CB((H

A"

1yH −+

−=

+

3allar$ (, y , z

a0 C, 1, H b0 B, H, 1 c0 D, 1, B

1@

A > " 5

%i$ "5.>"FA5.A> = y

A>A""5π

=β

+α

. 3allar$ α, β y π

a0 C, B, 1 c0 C, 1, B c0 C, B, Hd0 H , C, B e0 H , C , 1

20@

A > " 5

%i$ A-0"-N "5.A> =

y

A"

A>

N

A5

C=+

3allar$ -N O C01

a0 1G b0 BG c0 d0 B e0 H

21@A AC A1 AH An)C An

%i$

AA......AAAAAA 1nB1HC1 +++ −

Además$ CN AA CnC −=− 3

nA*

a0 CH

N − b0 C

1

N + c0 N O C

d0 1N C e0 N ) C

I@ O8ERACIONE DE FNGUO

1@ %umaA

"

>

5

/

αβ

θ

∧∧∧θ+β+α=∠A@5




GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


2@ 2esta

A

α>

"/

α−β=∠∧

>@"

II@ 8RO8IEDADE

1@ #as bisectrices de los ángulosadyacentes orman un ángulo de G/Q

A

>

"α α β

β/

°=β+α∧∧

G/

2@ #as bisectrices de dos ánguloscomplementarios orman un ángulo deBDQ

A

α

>

"/

αβ

β

°=β+α∧∧

BD

III@ FNGUO DE ADO 8ARAEO B 8ER8ENDICUARE

6

β

σ

*

#

P

6 RR * y # RR P

a0

∧∧ β=σ

6

β P

6 RR # y * RR P

b0α

*

#

∧∧β=α

6

β P

6 RR * y # RR P

c0

α

*

#

°=β+α∧∧

CF/

β

d0 α

∧∧β=α

e0

α

β

∧∧β=α

0

β

α

°=β+α∧∧

CF/

COM8EMENTO DE UN FNGUO H C COM8EMENTO DE UN FNGUO H C

α−°=α G/" 0-

U8EMENTO DE UN FNGUO HU8EMENTO DE UN FNGUO H

α−°=α CF/% 0-

E4m$

• "D/ L ....................• %/ L ....................• %-α O β0 L ...............• "1( L ....................• %%α L ...................• ""α L ..................


01@ %i, % $ %uplemento y " $ "omplemento"alcular$ 9 L %%"%%"%C//Q

a0 C//Q b0 F/Q c0 C/Qd0 Absurdo e0 G/Q

02@ %i$ " $ "omplemento % $ %uplemento

Además$

%"α O %%""1α O %%%"""Hα O %%%%""""1//Q

"alcular$ I αQ J

a0 1Q b0 FQ c0 C/Qd0 CDQ e0 1/Q

0#@ 7n ángulo es tal que la sumacomplemento y del suplemento

igual al triple del ángulo. 3allar el del ángulo..

a0 BDQ b0 BQ c0 DBQd0 HQ e0 *.a.

04@ El suplemento del complemento dángulo I(J es igual al doblecomplemento I(J. 3allar I(J.

a0 BDQ b0 H/Q c0 /Qd0 G/Q e0 /Q

0"@ 5e qu' ángulo debe restarse los 1Rsu complemento para obtener D1Q

a0 1DQ b0 HFQ c0 1Qd0 DBQ e0 ,1Q

0@ % i un ángulo se le resta

complemento resulta igual a la cparte de su suplemento. 3allamedida del ángulo.

a0 CHDQ b0 /Q c0 F/Qd0 /Q e0 G/Q

07@ %i la medida de uno de dos ángcomplementarios se le disminuyepara agregándosele a la medidaotro, la medida de 'ste ultimo ánresulta ser ocho veces lo que quedla medida del primero. <"uánto mimayor de los ángulos=

a0 FFQ b0 1Q c0 1Qd0 1FQ e0 DQ

0$@ 3allar el menor de dos triánsuplementarios sabiendo quedisminuir 1/Q a uno de ellos agregárselo a la medida del otro,nuevo ángulo resulta ser cinco vecque queda del primero.




GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


a0 B/ b0 D/Q c0 /Qd0 H/Q e0 DDQ

0@ #a dierencia de las medidas de dos

ángulos consecutivos>@A

∩ y

"@>∩ es /Q. "alcular m ∠ 5@>. %i$

→@5

bisectriz del ángulo A@".

a0 C/Q b0 1/Q c0 H/Qd0 B/Q e0 D/Q

10@ %e tiene los ángulos consecutivos

>@A∩ y

"@>∩ , s i$

"@A∩ y

"@>∩ son suplementarios y

>@A∩ L F/Q. 3al lar el

"@A∩

a0 D/Q b0 C1/Q c0 CH/Qd0 CF/Q e0 G/Q

11@ %e tienen los ángulos consecutivosA@>, >@" y "@5. "alcular la medidadel ángulo ormado por las bisectricesde los ángulos A@> y "@5 sabiendoque m ∠ >@" L B/Q y m ∠ A@5 L

C//Q.

a0 C/Q b0 1/Q c0 H/Qd0 D/Q e0 /Q

12@ Alrededor de un punto I@J, se trazan

los rayos coplanares →

@A, →@>

,

→

@", →@5

y →@E

determinandose

D ángulos consecutivos, tal que el 1do.Sngulo es el doble del Cro y la terceraparte del Dto, el Hro es C/Q menos quela suma de los 1 primeros ángulos y elBto e(cede en 1/Q a la suma de los Hprimeros.3alle el mayor ángulo.

a0 CH/Q b0 C1/Q c0 D/Qd0 C/Q e0 B/Q

1#@ 5ados los rayos consecutivos →

@A,

→@>

, →

@", →@5

, →@E

y →@:

.

"alcular m ∠ "@> sabiendo que los

ángulos5@A

∩ ,E@>

∩ y:@"

∩

tienen igual medida y que el ángulo

:@A∩ mide CCBQ y la mitad d la

medida del ángulo ormado por el rayo

5@A∩ y la bisectriz del ángulo

ormado por el rayo →@E

y la bisectriz

del ángulo5@"

∩ es CQ.

a0 C/Q b0 CDQ c0 1/Qd0 1DQ e0 H/Q

14@ %e tiene dos ángulos consecutivos,

>@A∩ ,

"@>∩ y

5@"∩ . 3alle la

medida del ángulo >@5, si m ∠ A@" LCC/Q, además las bisectrices de los

ángulos>@A

∩ y5@"

∩ son

perpendiculares.

a0 /Q b0 /Q c0 B/Qd0 H/Q e0 DQ

1"@ 5el gráfco, hallar la suma de losvalores de IyJ cuando I(J toma sum!nimo y má(imo valor entero.

1( ) y

( O y

y ) (

a0 FFQ b0 C1/Q c0 GQd0 FD e0 *.a.

1@ #a dierencia de dos ángulosconsecutivos Ao" y >o" es 1/Q queángulos orman la bisectriz del ánguloAo" con el lado T@>.

a0 CDQ b0 CQ c0 CQd0 CFQ e0 *.a.

17@ %e tienen las semirectas @A , @>

y @" . "alcular el ángulo ormadopor las bisectrices de los ángulos Ao" yAo> sabiendo que estos se dierencianen 1/Q.

a0 CF b0 CG c0 1/

d0 1C e0 *.a.

1$@ %e tiene H ángulos consecutivos A@>,>@" y "@5. %e trazan las bisectrices

@6 de Ao> y @* de "@5. %i

"@A∧ L F/Q y *@6

∧ LC//Q.

3allar5@>

∧ .

a0 C//Q b0 F/Q c0 CF/Qd0 C1/Q e0 /Q1@ %e tienen los ángulos consecutivos

>@A∧ y

"@>∧ siendo$

"@>∧ L

>@A∧ L H

@U es la bisectriz de>@A

∧

@V es la bisectriz de"@>

∧

@M es la bisectriz de V@U

∧

"alcularM@>

∧

a0 GQ b0 CDQ c0 CFQd0 1/Q e0 1Q

20@ %i el triple de un ángulo se ledisminuye 1R de su complemento; nosda el doble de dicho ángulo. "alcularlo.

a0 1/Q b0 H/Q c0 B/Qd0 D/Q e0 *.a.

21@ "alcular dos ángulos cuya suma esigual a CBQ y que el suplemento deuno de ellos es igual al complementodel otro.

a0 C//Q y BQ b0 C1Q y HBQc 0 C1/Q y BBQ d0 CD/Q y CBQe0 *.a.

22@ %i el suplemento del complemento delcomplemento del suplemento de unángulo es igual a CFQ. "alcular elcomplemento del suplemento delsuplemento del complemento de dichoángulo.

a0 GQ b0 CFQ c0 HQd0 1Q e0 *.a.

2#@ En la fgura mostrada a RR b. 3allar

a

bCFQ

(Q

BBQ

H1Q

a0 1DQ b0 H/Q c0 BQd0 HCQ e0 *.a.

24@ %iendo m RR n determinar el valoIαJ

m

n

2α

α

3α

HQ

2"@ %ea p RR q y °=θ+α

∧∧

CB

3allar IβJ

pαβ

θ

q

2@ %iendo H1C #RR#RR# y el trián

A>" es equilátero. 3allar I(J




GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


H/QA

>

"

t

# C

# 1

# H

27@ 3allar I(J

B/Q

CB/Q

(

a0 /Q b0 /Q c0 F/Qd0 D/Q e0 *.a.

TRIFNGUO

Deni&i)n! ...................................................

....

.......................................................................

.....

............................................................................

B

ACb

c a

θ2

θ2 θ3

α2

α3

α1

E,e'entos!

#ados

$ ...............................................

8'rtices

$ ...............................................

Per!metro -1p0

$ ...............................................

Angulos interiores

$ ...............................................

Angulos

e(teriores $ ...............................................

%uma de ángulos

interiores $ ...................................

%uma de ángulose(teriores $ ..................................

C,asi&a&i)n %e ,os Tri.n*/,os!

I@ De a&/er%o a s/s ,a%os

T. Escaleno T. Isósceles T. Equilátero

α α

60º

60º 60º

II@ De a&/er%o a s/s .n*/,os

T. Acutángulo T. Rectángulo T. btusángulo

INEA NOTA?E

1@ Ceviana!

"eviana"5;A6;>5

"evacentro"

→

→

B

A C

! "

#

C

2@ Me%iana!

6ediana";>6;A*

>aricentroK

→

→

B

A C

$ %

"

&

∼

∼

#@ ?ise&tri(!

inttricessec>i>6yP",A5

WncentroW

→

→

B

A C

! #

"

W

α α

ββ

θθ

4@ A,t/ra!

Altura>3yP",A

@rtocentro3

→

→

B

A C

! $

'

'

A

$

"@ Me%iatri(!

6ediatri@y@*,@6

ro"ircuncent@

→

→

B

A C

$"

!

∼

∼

EITENCIA DE UN TRIANGUO

%i$ a X b X cB

A Cb

c a

b ) c Y a Y b O c

a ) c Y b Y a O c

a ) b Y c Y a O b

8ro+ie%a%es

aº bº

(º


(Z L aZ O bZ

TRIFNGUTRIFNGU



GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


aº cº

bº

(º

CONGRUENCIA DE TRIFNGUO

1@ a%o - An*/,o - a%o H - A -

θ θ

≅

2@ An*/,o - a%o - An*/,o HA - - A

α

≅

º θº αº θº

#@ a%o - a%o - a%o H - -

≅


01@ 3allar (

(

./Q

a0 H/Q b0 /Q c0 /Qd0 DQ e0 F/Q

02@ En la fgura, hallar I(J

(

C1/Q

a0 /Q b0 F/Q c0 C//Qd0 G/Q e0 C1/Q

0#@ En la fgura, calcular I(J

α α

(

D/Q

α

θθ

a0 C//Q b0 CF/Q c0 CD/Qd0 C1/Q e0 G/Q

04@ En la fgura, calcular I(J

(

F/Q

Hα.θα 1θ

a0 1DQ b0 B/Q c0 BDQd0 D/Q e0 /Q

0"@ En la fgura, calcular I(J, si el triánguloA>" es equilátero.

(Q

A

α

α

>

"

a0 D/Q b0 B/Q c0 DQd0 DDQ e0 /Q

0@ "uánto mide el menor ángulo de

un triángulo escaleno, si con los

otros dos orman una progresión

aritm'tica de razón 1.

a0 /Q b0 DQ c0 DFQd0 DGQ e0 CQ

07@ En la fgura$ A> L >5 L "5. "alcular$ y) (

(QyQ

CC/QA

>

"

5

a0 CQ b0 1Q c0 HQd0 BQ e0 DQ

0$@ En la fgura, calcular I(J

( αθθH αH

B/Q

a0 F/Q b0 CC/Q c0 DQd0 FDQ e0 GDQ

0@ En la fgura, calcular$ ( Oy O z

( zy

aa

a

cc

c

b bb

a0 C//Q b0 CHDQ c0 1/Qd0 H//Q e0 DB/Q

10@ %i A> L "5. "alcular I(J

5

Hα1α

αα

(

a0 GQ b0 C/Q c0 C1Qd0 CDQ e0 CFQ

11@ HP,#RR# 1C = . "alcular I(J

( P

#C

#1

a0 b0 G c0 d0 F e0 D

12@ En un triángulo rectángulo A>" mL G/Q0 se traza >3 altura y A2 biseinterior. %i A> L G y A3 L . "alcul

distancia de I2J a >3.

a0 B b0 H c0 1d0 D e0 C

1#@ En un triángulo A>" se traza la a>3, en ella se ubica el punto IEque$ m∠ EA3 L m∠ ">3 y >3 L"alcular la m∠ E"3.

a0 BD b0 H/ c0 /d0 H e0 DH

14@ En el gráfco mostrado mostrar EA> L >", AE L Bm y ": L m

A

>

"

E :


(Z L aZ O bZO cZ

Ó



GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


a0 m b0 C/ m c0 CC md0 C1 m e0 CD m

1"@ %eg&n el gráfco. "alcular (, si A>L>"y E6LAEO":

A

>

"

E :

(Q

6

a0 BD b0 / c0 DHd0 H/ e0 H

1@ %i$ E3 O 56 L 1B. "alcular A".

A

>

"

5E

3 6

a0 C1 b0 CF c0 1Bd0 1F e0 1/

17@ En la región interior de un triánguloequilátero se ubica un punto IPJ talque m\ AP> L G/, y la región e(terior

relativa a A" se ubica el punto I6Jtal que el triángulo AP6 es equilátero."alcular la m∠ P6".a0 CD b0 H/ c0 11,Dd0 / e0 BD

1$@ En el gráfco mostrado calcular (siendo los triángulos A>" y E:"equiláteros.

(QA

>

"E

:

C1Q

a0 C1 b0 1B c0 Hd0 BF e0 H/

1@ "alcular ( si los triángulos A:> y >E"son equiláteros.

(Q

A

>

"

E

:

a0 / b0 G/ c0 CC/d0 C1/ e0 CD/

20@ En el gráfco mostrado A> L>".

"alcular A* si >6 L Bm.

A

>

"*

6

a0 B 1 m b0 B m c0 H m

d0 H 1 m e0 D m

21@ %i$ >P L B, P L y " L B. "alcularAP.

A

>

P

"

a0 CD b0 CB c0 C1d0 C/ e0 CC

22@ #os lados de un triángulo escalenomiden B; y 1(, si$ ( es un n&meroentero. "alcular I(J.

a0 C b0 1 c0 Hd0 B e0 D

2#@ "alcular IαJ, si$ a O b L C1/

C1/Q

aQ bQ1α°

α°

a0 C/ b0 CD c0 1/d0 H/ e0 B/

24@ "alcular θ $

α°

Bα°

1θ°

β°Hθ°

Hβ°

a0 C/ b0 C1 c0 CDd0 G e0 1/

2"@ En un triángulo A>" se prolonga "A

hasta IPJ y A> hasta IJ de modoque AP L A>, > L >", m∠ AP> L 1B ym∠ >" L H1."alcular la m∠P".

a0 F b0 FF c0 GBd0 G e0 C//

2@ En la fgura A> X >" y "5 X E5."alcular (, si se sabe que es unn&mero entero.

A

>

"

5

E

BQ

Q(Q

a0 C1/ b0 CH/ c0 CC/

d0 CCD e0 C1D

27@ 5e la fgura. "alcularc

ba +

bQ

α°α°α°

θ°θ°θ°

aQ

cQ

a0 D b0 B c0 Hd0 1 e0 C

2$@ %i calcula,1A5 "A>" ==

A

>

"

5

(Q

1θ

θ°

θ°

a0 C// b0 CC/ c0 C1/d0 CH/ e0 CD/

2@ "alcular el m!nimo valor entero de

O@" O @E0 si "EyA" tomm!nimo y el má(imo valor entero,mayor que G/ y θ menor que"5LA>LC1; E5L G, AELCD.





GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


α°

θ°

/

A

>

"

5E

a0 1/ b0 1C c0 11

d0 1H e0 BC

#0@ En un triángulo A>"; A> LC, m∠ALHm∠". "alcular m∠ ". %i se sabe que$>" es entero.

a0 1/ b0 BD c0 11,Dd0 H/ e0 CD

#1@ En un triángulo A>", acutángulo A> L; >"LF. "alcular la dierencia entre elmayor y menor valor entero de A".

a0 H b0 C/ c0 d0 B e0 D

#2@ "alcular I(J

A >

"

E

:

(QBDQ

BDQ

a0 F/ b0 G/ c0 BDd0 C1/ e0 1

##@ 5ado un triángulo A>", sea IPJ un

punto de A" y IJ un punto e(terior

relativo al ladoA"

de modo que lostriángulos A>P y >" son equiláteros."alcular la m\ "A.

a0 B/ b0 BD c0 H/d0 / e0 D

#4@ 5el gráfco mostrado, calcular ($

A

>

"

5E

: K

(Q

/Q

B/Q/Q

a0 H/ b0 1/ c0 C/d0 BD e0 B/

#"@ "alcular (; si$ A> L E".

/Q

1/Q (QA

>

"E

a0 C/ b0 CD c0 1/d0 11,D e0 H/

#@ En la fgura calcular IαJ si$ A> LE", A"

L 5E y E5RRA> .

A

>

"

5

E

Bα°

α°

a0 H b0 H/ c0 1Dd0 1/ e0 CF

#7@ En el gráfco mostrado, A> L >" L A"y >PL". "alcular (.

A

>

"

P

(Q

a0 BD

b0 H/

c0 ./

d0 DH

e0 D

#$@ 5el gráfco ad4unto, la m\ P>. %i$

APLPL".

α β

β α

(Q

A

>

"P

a0 BDQ b0 H/Q c0 /Qd0 HQ e0 DHQ

#@ "alcular θ, si$ >E L A5.

A

>

"5

E

1θ

θ

a0 1H b0 CB c0 Cd0 DH e0 1,D

40@ En un cuadrado A>"5, 6∈

;"5*,A5 ∈ A6LB, "* LH, ,m∠6>* L BD."alcular I6*J

a0 B b0 c0 d0 H e0 1

TAREA DOMICIIARIATAREA DOMICIIARIA

01@ "alcular IθJ en un ∆A>", si al trazbisectriz interior A5, A" L A> m∠>LC//, m∠"Lθ.

a0 1/ b0 H/ c0 BDd0 / e0 /

02@ %i$ A> L A" y *5 L1A5. "alcular laA>5.

A

>

"5

*

6

(

BDQ

a0 F b0 G c0 C1d0 CB e0 CD

0#@ "alcular IαJ, si$ 1A> L 5".

Aα

α

>

"

5

1

a0 1/ b0 CD c0 11,Dd0 CF e0 C,D

04@ En el gráfco A> L P"; P3 L H->P0."alcular I(J

A

>

"

P

3

θ

θ (Q

a0 CD b0 DHR1 c0 HR1d0 F e0 C

0"@ "alcular P, si$ >3 L C1 y >: L B


Ó




GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


A

>

"

:

3 P

a0 b0 c0 Fd0 G e0 C/

0@ En el triángulo A>"; AP L P, 6" L26y A>L". "alcular I(J.

A

>

"P

2

6

DQ

(Q

a0 C/ b0 CD c0 1/d0 1D e0 H/

07@ En un triángulo A>"; A> L 1 y >" L G."alcular el mayor valor entero de la

mediana >6

a0 B b0 D c0 d0 H e0

0$@ "alcular m∠ >"5; si$ A" L 1>5

A

>

"

5

a0 H/ b0 BD c0 /d0 H e0 DH

0@ #os lados de un ∆A>" miden$ A> L B,>"L y A" L G. "alcular la distancia

entre los pies de los perpendicularestrazadas desde I"J a las bisectricesinteriores de IAJ y el e(terior de I>J.

a0 /,D b0 C c0 C,Dd0 1 e0 1,D

10@ En el gráfco. "alcular >5, si$ "5 L C1

A

>

"

5

θ

θ

a0 B b0 c0 1

d0 F e0 C1

11@ %i$ m ∠ #>" L m∠ A35 LG/, A5 L 5";>" L 1># y >3 L . "alcular I35J.

A

>

"5

#3

a0 B b0 c0 1

d0 B,D e0 G

12@ 5ado un ∆A>", recto en >; la bisectrizinterior del ángulo A y la mediatriz de

>" se intersecan en IEJ, tal que m∠E"> L 1-m∠ >"A0. "alcular$ m ∠ >"A.

a0 C1 b0 CD c0 CFd0 1/ e0 H/

1#@ %i$ >6 L6"; A> L156. "alcular θ.

A

>

"

5

Hθ

θ

6

a0 C/ b0 C1 c0 CD

d0 CF e0 1/14@ En la fgura$ AEL y 5"LH. "alcularIA>J.

αα

θθ

A >

"5E

a0 C/ b0 CH c0 CBd0 CD e0 C

1"@ En un triángulo A>", recto en > se

traza la ceviana >5 , m∠ A>5 L1m∠ "; >"L, I"J dista 1 cm de >5

. <"uánto dista IAJ de >5 =

a0 B b0 1 c0 d0 H e0 C

1@En la región interior de un triangulo A>",se ubica el punto P, tal que$m∠PA>Lm∠P"A. "alcular m∠AP", sim∠A>"LF/Q y A>L>"

2pta$ ................

17@%eg&n la fgura "alcular el valor de ( si>L>P y m∠P2LB/Q

A C

Q

R

B

P

x

2pta$ ................1$@En la región e(terior y relativo al lad

de un triángulo rectángulo A>" recto se ubica el punto P, tal que A>L>""alcular m∠PA", si m∠P"ALCDQ

2pta$ ................

1@En un triángulo rectángulo A>", rec>, se traza la ceviana interior >6 y triángulo >6" se traza la bisectriz int"*. "alcular la m∠"*6, si A>LA6

2pta$ ................

20@5e la fgura mostrada calcular el val

(, siβ)αLBQ

xα

θ

θ

β

2pta$ ................

21@En un triángulo A>", se traza la med

de A" que intersecta a >" en P, taA>LP". "alcular m∠>"A, m∠>A"LDm∠>"A.

2pta$ ................22@En un triángulo isósceles A>" -A>L>"

A>,A" y >" se ubican los puntos 6, 9






GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


respectivamente, de modo que A6L9",A9L*" y m∠A>"LC//Q. "alcular lam∠6*9

2pta$ ................

2#@%eg&n el gráfco calcular el valor de (

30°

x°

A

B

C

P

θ

α

θ

α

2pta$ ................

24@En un triángulo A>", se traza la cevianainterior AP, y en el triángulo AP>, se trazala ceviana interior P, de modo que$ALAPLA" y >LP. "alcular m∠>AP, sim∠A">LFBQ

2pta$ ................

2"@%e tiene un triángulo A>", tal que A>Ly >"LF, luego se traza e(teriormente eltriángulo equilátero AP". "alcular elmá(imo per!metro entero de la regióntriangular AP".

2pta$ ................

2@En la fgura calcular el valor de (, siA>LA" y APLP>

A P C

B

Q

x

70°

2pta$ ................

27@5el gráfco mostrado, calcular el valor de(

40°

60°x°

2pta$ ................2$@%e tiene un triángulo equilátero A>"; en

la región e(terior y relativo al lado A> se

ubica el punto P tal que m∠P"ALC/Q."alcular m∠PA>, si la mediatriz de P"contiene al punto >.2pta$ ................

2@En un triángulo A>", se traza la altura A#,luego en la región e(terior y relativo allado >" se ubica el punto E de modo que$m∠>E"LG/Q, m∠#A"L1/Q, m∠>"ELD/Qy m∠A>"LB/Q. "alcular la m∠>#E.

2pta$ ................ #0@%e tiene un triángulo A>" en la cual se

traza la bisectriz interior >5,m∠>A"L1m∠>"A, >"Lm y A>Lncalcular A5.

2pta$ ................

TAREA DOMICIIARIATAREA DOMICIIARIA

01@En la fgura mostrada$ >PL>AL>"L>."alcular el valor de θ.

A

B

C

P

Q

θ

θ

θ

2pta$ ................

02@En un triángulo A>" recto en > se traza laceviana interior >6 tal que$

m∠>A"L1-m∠A>60 y A>L6". "alcular lam∠A>6.2pta$ ................

0#@5el gráfco$ A>L>". "alcular el valor de (.

A

B

C

x

θ

θ

β

β

2pta$ ................

04@En un triángulo rectángulo A>"-m∠>LG/Q0, se traza la ceviana interiorAE tal que$ >ELa, E"Lb; m∠>AELC/QO1αy m∠EA"LH/Q)Hα. 3allar AE.2pta$ ................

0"@En un triángulo rectánguloA>"-m∠>LG/Q0 cuya altura mide .calcular la longitud del segmento que unelos pies de las perpendiculares trazadospor 3 a las bisectrices de los ángulos A>3y 3>".

2pta$ ................


01@ En un cuadrado A>"5, 6 y * sonpuntos medios de "5 y >"respectivamente. "uanto dista de A6,si ALH/, siendo la intersección deA* y >6.

2pta$ ................

02@ %eg&n el grafco A>"5 esromboide, A>LD, A5LC/ y E5"alcular la m∠>AE.

A

B C

D

E

53°

X°

2pta$ ................

0#@ %e tiene el cuadrilátero A>"5, dm∠>A5L/Q, m∠A>"L

m∠A5"LH/Q, A5L 38 y A>L

"alcular >".

2pta$ ................

04@ %i A5L, >"LC/ y "5LF, A>LBA"alcular 6*.

A

M

B C

D

N

E

α

α

ω

ω

2pta$ ................

0"@%e tiene un trapecio A>"5 recto en A>"LB y A5L, se traza "3⊥>5, 3y m∠>"3L1m∠"5>. "alcule "3

2pta$ ................

0@En la fgura mostrada 5:L 32 . "a

5E.


CUADRIFCUADRI





GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


A

B

C

D

EF

φ

5φ

α

α

β

φ

β

2pta$ ................

07@ A>"5 es un romboide, y P>LC y>6L6". "alcular 69

A T

B M C

D

P

φ

φ

2pta$ ................

0$@ En un paralelogramo A>"5 se cumpleque A"LA>O"5. "alcular m∠A">, si lam∠>5ALBDQ.

2pta$ ................

0@ En un paralelogramo A>"5, en laprolongación de A> se ubica el punto :tal que >:"5 es un trapecio isósceles,si A:L>", A>LB. "alcular la distancia de> a A5.

2pta$ ................

10@ "alcular A3, si >"RRA5, >"L y 3"LF

A

H

B C

D

α

α

α

11@ En la fgura A6L6>, calcular 6P, si>PLB y P"L

A

M

B P C

D

θ

θ

2pta$ ................

11@ En un paralelogramo se traza labisectriz e(terior "E, E en aprolongación de A5. "alcular elsegmento que une los puntos medios de>E y A", sabiendo que A>L

2pta$ ................

12@ En un triángulo rectángulo A>", rectoen > se traza la altura >3, en los ladosA> y >" se ubican los puntos y Prespectivamente tal que AP3 es unrombo y 3"LPOB. "alcular >.

2pta$ ................

1#@ En el gráfco >@L@5L@P, "alcular elvalor de (

A

B

P

C

D

O

x

20°

2pta$ ................

14@ En un trapezoide A>"5$ A>L1;>"LC/y "5LB, m∠>LCBHQ y m∠"LC1Q.3allar A5.

2pta$ ................

1"@ En la fgura. A>L>"; A3L. 3allar 35.

A H D

C

B

135°

2pta$ ................

1@ En un trapecio A>"5. >"RRA5. %e trazala altura "3 que intersecta a la diagonal>5 en P. "alcular "6, si 6 es puntomedio de AP, A>L>5; >PLC/, P5LB

2pta$ ................

17@ %obre los lados A>, >" y "5 de unromboide A>"5, se construyene(teriormente los cuadrados de centrosP, y 2 respectivamente. 3allarm∠P2.

2pta$ ................

1$@ En un trapecio A>"5, >"RRA5, A>LA" y"5LB. 3allar A6, siendo 6 punto mediode >5

2pta$ ................

1@ En la fgura mostrada A>"5 y 6*Pson cuadrados 6 es centro del cuadradoA>"5. 3allar el valor de θQ

A

B C

D

N

P

M

Q

34°

θ°

2pta$ ................

20@ En la fgura A>"5 es un rectánE:LE"; >ELCH y 5ELD. 3allar A:.

A

B C

D

E

F

2pta$ ................

EJERCICIO 8RO8UETO

01. 5el gráfco ad4unto, I9J espunto de tangencia. "alcular (.

@

H(Z1(Z

9

a0 C/ b0 CD c0 CFd0 1/ e0 C1

02.5el gráfco ad4unto, P y 9 puntos de tangencia. "alcular (.

P

H( ) HDm

( OC/m 9

A

a0 11,Dm b0 BDm c0 1/md0 1Dm e0 HDm






GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


0#.5el gráfco ad4unto el centro de lacircunerencia dista m de la cuerda AB . <"uánto mide el radio de lacircunerencia, si A> L Cm=

@

A >

a0 Gm b0 C/m c0 CDmd0 CCm e0 G,Dm04.5el gráfco ad4unto 6, *, y 9 son

puntos de tangencia. "alcular$ A5.%i A>Lm, >"LBm y "5LC/m.

> *

9

"

5

6

Aa0 CCm b0 C1m c0 CHmd0 CBm e0 C1,Dm

0".5el gráfco ad4unto P, y 9 sonpuntos de tangencia. "alcular elper!metro del triangulo rectánguloA>".

>

P

A"

9

W Hm

CFm

a0 1Cm b0 B1m c0 HGmd0 1Bm e0 BFm

0.5el gráfco ad4unto 6, * y sonpuntos de tangencia. "alcular$

(OyOz.

>yZ

6

"zZ

W

A

(Z

*

a0 BD b0 G/ c0 C/d0 CF/ e0 C//

07.%e tiene una circunerencia inscritaen un triángulo A>" la cual estangente a BC en . "alcular >,si$ A> L F, >" L m y A" L CCm.

a0 m b0 Dm c0 Bmd0 Hm e0 1m

0$.5el gráfco ad4unto 6, P y sonpuntos de tangencia. "alcular$ >.%i$ A> L , >"LG y A" L C1.

6>

"P A

a0 Dm b0 m c0 1md0 Hm e0 Bm

0.5el gráfco ad4unto 6, *, y 9 sonpuntos de tangencia. El per!metrodel triángulo A>" es Bm, elper!metro del triángulo A5E es 1/m."alcular$ E".

9>

"

6 A

5*

E

@

a0 CHm b0 1Hm c0 HHm

d0 CBm e0 11m

10.5el gráfco ad4unto P, y 9 sonpuntos de tangencia. "alcular$ c, si6" L5".

> 9

A

"

P

W

5

:

6

(Z

a0 H/ b0 / c0 B/d0 BD e0 D

11. 5el gráfco ad4unto calcular$ (, si$6, * y son puntos de tangencia.

>

A

"

6

* C//Z

(Z

C//Z

a0 B/ b0 BD c0 D/d0 / e0 H

12. 5el gráfco ad4unto A L Dm y 3"L 1m. "alcular$ >".

A

>

"

3@

"C

a0 m b0 m c0 Fmd0 ,Dm e0 ,Dm

1#. 5el gráfco ad4unto 6, * y sonpuntos de tangencia. "alcular elper!metro del triángulo ormado alunir los centros de las trescircunerencias.

AC1m

"

6

>

*

a0 C1m b0 1Bm c0 Hmd0 1m e0 1Fm

01.En la fgura calcular I(J, si I@centro.

"

A

>

@

(Z

a0 H/ b0 H c0 /

d0 G/ e0 BD

02.%i$ A>L2, calcular$ mA> .

A

>

@2

a0 D/ b0 HD c0 DHd0 B e0 /

0#.En una circunerencia, cuyo rmide C1, se inscribe el triánA>". %i m 0∠ AL/ y m"LF/m, calcular IA"J

a0 b0 G c0 C1d0 CD e0 CF


CIRCUNKERE





GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


04."alcular I(J, si I@J es centro.

A

>

@

"

51/Z

a0 G/ b0 CC/ c0 C1/d0 CH/ e0 CHD

0".En la fgura m AE5 L 1B/ y>" L 1/ , calcular la suma de lasmedidas de los ángulos indicados.

A>

5"

EyZ

(Z

a0 1/ b0 H/ c0 B/d0 D/ e0 /

0.%i$ ">5 L CH/ ; ABes diámetro ,

calcular I(J

A >

5

"

E(Z

@

a0 1/ b0 H/ c0 1Dd0 HD e0 CD

07.%i; m ∩ AC

Om ∩DT

LCB/, calcular la

m ∩ AT

A

9

5

"

>

a0 C// b0 CC/ c0 C1/

d0 CH/ e0 CB/

0$."alcular la m ∩ AF

, si αOβLC1B.

A

:

P

Zβ Zα

a0 GB b0 CCB c0 C1B

d0 CD1 e0 CHF

0.En la fgura m 0∠ >L/ y I9J es

punto de tangencia. "alcular m 0∠

".

A

> 9

"

5

a0 DD b0 B/ c0 /d0 F/ e0 CC/

10.%e tiene el cuadrante A@>, @ escentro, cuyo radio mide B. En el arcoA> se ubica el punto I"J, tal que lamA"LH/. "alcular la ditancia de I>Ja A".

a01 b0 1 1 c0 B 1

d0 B e0 F

11.m ∩ AE

LD/, calcular m 0∠ .A5"

A

>

"

E

5

a0 D/ b0 H/ c0 HDd0 HB,D e0 1D

12.5e la fgura >"L"5, calcular$ θ; IAJes punto de tangencia.

A

>

"

P 5B/Z θ

a0 C// b0 C1/ c0 CH/d0 CC/ e0 CD/

1#.5el gráfco ad4unto 6, * y sonpuntos de tangencia, A>Lm y>"LF. "alcular$ 2

6A

@

"

2

*

>

a0 C/ b0 CC c0 CBd0 C1 e0 CG

14.En un trapecio isósceles A>"5 - ABRR AD 0 se encuentra inscritauna circunerencia, donde A>LC1m."alcular el per!metro del trapecio.

a0 1Bm b0 Hm c0 BFmd0 BBm e0 B1m

1". AB es el diámetro de unasemicircunerencia, tal que seprolonga AB hasta el punto ".

#uego se traza la tangente CT a lasemicircunerencia en la cual setiene que A>L1>". "alcular$ m 0∠

A"9.

a0 H b0 DH c0 H/d0 / e0 BD

1.5el gráfco ad4unto I9J es punttangencia.

A

1/Z@

D/Z

9

yZ

(Z

a0 C// b0 CB/ c0 CC/d0 C1/ e0 CH/

17."alcular$ mA> , si m E5" L CD/

E

A

> "

H/Z

5

a0 F/ b0 / c0 /d0 G/ e0 D

1$. AB y CA son tangentes, m>A"LF/, calcular I(J.

(Z

A

>

"

a0 CC/ b0 C// c0 CB/d0 C1/ e0 CH/

1.%i$ A>"5 es un romboide, calcula






CIENCIAS



GEOMETRIA

Universitario

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


REACION MLTRICA!) 2elaciónm'trica entre varios segmentos es larelación entre los n&meros quee(presan el valor de esos segmentos,con la misma unidad.

8ROBECCIN ORTOGONA!a0 Proyección ortogonal de un punto

sobre una recta$ es el pie de laperpendicular trazada desde el

punto a la recta. #a perpendicular sellama IproyectanteJ y la recta sellama Ie4e de proyecciónJ. E4m.$Proyección de P sobre la recta UV esP^.

P

( yP]

b0 Proyección ortogonal de unsegmento sobre una recta$ es laparte de la recta comprendida entrelos pies de la perpendicularestrazadas desde los e(tremos delsegmento. Pueden presentarse lossiguientes casos$ sea el segmentoA> y su proyección A^>^.

*ótese los dos casos especiales$ -B0cuando el segmento es paralelo a larecta, proyección es igual alsegmento y -D0 cuando el segmentoes perpendicular a la recta, laproyección es un punto.

y

A

A]

>

>](

-C0

( AA] >]

>

y

-10

>A

A] >]( y

-B0

y( A]

A

>

>]-H0

(

>

A

yA] >]

-D08ROBECCIONE ORTOGONAE ENE TRIFNGUO

a0 En un triángulo acutángulo; si setraza la altura de uno de susv'rtices, las proyecciones de losotros dos lados son$

c

>3 n

"

b

A

m

Proyección de I"J sobre >" es ImJyde IbJ sobre >" es InJ.

b0 En un triángulo obtusángulo$ laproyección de uno de los lados estáen la prolongación del otro, as!;

3 > a "

b

A

c

Proyección de I"J sobre >" es >3.

A REACIONE METRICA EN ETRIANGUO%i en un triángulo rectángulo A>"-recto en A0, se traza la altura A3desde el ángulo recto, se tiene queel segmento ImJ es proyección del

cateto IcJy el segmento InJ esproyección del cateto IbJ.

@bs'rvese que la proyecciónortogonal de la hipotenusa sobreun cateto es el mismo cateto.

c

>

A

b

"m n3a

h

Elementos del triángulorectángulo$b,c$ "atetosa $ 3ipotenusah $ Altura relativa a la hipotenusam $ Proyección de IcJ sobre la

hipotenusan $ Proyección de IbJ sobre la

hipotenusa.

TEOREMA$En un triángulo rectángulo si se traza laaltura correspondiente a la hipotenusa,se verifca$

C0 #os triángulos rectángulosparciales son seme4antes entre s! y seme4antes al triángulo dado.

10 #a altura correspondiente a lahipotenusa es mediaproporcional entre lasproyecciones de los catetossobre la hipotenusa.

nmh .1

=

H0 "ada cateto es mediaproporcional entre la hipotenusay su proyección sobre ella.

nab .1= mac .1

=

B0 El producto de los catetosigual al producto de hipotenusa por la acorrespondiente a ella.

a.hc.b=

D0 En todo triángulo rectángulocuadrados de los catetos proporcionales a proyecciones sobre hipotenusa.

m

n

c

b1

1=

CONJUGADA IOGONAE

%on dos rectas que partiendo demismo v'rtice. 5e un triánguloángulo que orma una de ellas colado es igual al ángulo que ormotra recta con el otro lado del triáng

α α

6 *

> "

A

%i$ > _A6 L * _A

", entonces$

A6 y A* son isogonales.

8RO8IEDAD%i A6 y AP son con4ugadas isogonse cumple$

A6.APb.c=



GEOMETR


CIENCIAS



GEOMETRIA

Universitario

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


α αc

>6

P

"

b

A

TEOREMAEn todo triángulo rectángulo la sumade los catetos es igual a la suma de losdiámetros de las circunerencias,circunscrita e inscrita.

A

r6

m r ro

r*

m p o] n" >

cbn

a

1r12cb +=+

3$ %ea el triángulo rectángulo A>" y los

c!rculos circunscrito e inscrito deradios 2 y r respectivamente.

9$ bOcL12O1r

5E6@%92A"W *$ Por propiedad detangentes$

"6 L "P L m>* L >P L n

6irando la fgura$b L m O rc L n O r

%sumando miembro a miembro$

b O c L m O n O1r

Pero$ m O n L 12; luego$b O c L 12 O 1r Cq.q.d.

TEOREMA DE A ?IECTRIINTERIOR@

C0 En todo triángulo la bisectriz de unángulo interior, divide al ladoopuesto en dos segmentosdirectamente proporcionales a loslados que orman dicho ángulo.

α α

A

> 5 "

3$ %ean A> y A" los lados queorman el ángulo A y A5 subisectriz interior, y sean >5 y 5"los segmentos determinados enel lado opuesto al ángulo A.

9$ %e va a demostrar que$

5"

>5

A"

A>=

5E6@%92A"W@*$ Por > se traza unaparalela a la bisectriz A5, cortando a laprolongación "A en E

α α

> 5 "

α

Aα

E

#lamado α los ángulos determinadospor la bisectriz, se tiene$

El triángulo >AE es isósceles por tenerdos ángulos iguales.

>_EA L 5 _A

" L α, por

correspondientes

A _>E L > _A

5 L α, por alterno

internos

#uego$ AE L A>En todo triángulo E>", A5 es paralelo aE>, luego los triángulos E>" y A5" sonseme4antes, entonces aplicando elteorema de 9hales$

5"

>5

A"

EA = ; pero AE L A>

5"

>5

A"

A>= C.q.q.d

10 En todo triángulo, el cuadrado de labisectriz de un ángulo interior esigual al producto de los lados queorman el ángulo, menos elproducto de los segmentosdeterminados por la bisectriz deltercer lado.

αα

A

> 5 "

5">5A"A>A51

×−×=

3$ %ean A> y A" los lados delángulo A, sea A5 la bisectriz delmismo ángulo y sean >5 y 5",los segmentos determinados enel tercer lado.

9$1

A5 LA> ( A" >5 ( 5"

5E6@%92A"W`*

α α

β

β>

A

"

E

5

REACIONE MLTRICA

REACIONE MLTRICA EN CIRCUNKERENCIA !

TEOREMA DE A CUERDA!

an b

m a .b L n .

TEOREMA DE A TANGENTEECANTE!

t

n

m

t L m . n1

TEOREMA DE A ECANTE

nm

a . b L m .b

a

EJERCICIO 8RO8UETO

01."alcular IaJ



GEOMETR


CIENCIAS



GEOMETRIA

Universitario

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


a

G C

a0 C1 b0 CH c0 CBd0 CD e0 C

02 "alcular IhJ

h

G 1D

a0 C/ b0 c0 C1d0 CF e0 1/

0# E, : y 9 son puntos de tangencia r LH y AE L D . "alcula IE"J

a0 C/ b0 C1 c0 CBd0 CD e0 C

04 "alcular la longitud del radio de lacircunerencia inscrita e un rombocuyas diagonales miden C1 y Crespectivamente.

a0 B b0 B,1 c0 B,d0 B,F e0 D

0" En un ∆A>", recto en >, se traza laceviana interior >2 , tal que A> L>2. "alcular IA>J, si$ A" . A2 L 1a0 1 b0 G c0

d0 F e0 H 1

0. 5el gráfco, calcular IPJ, si$ 2 L G

y r L B.

P

2

r

a0 b0 1 c0 C1d0 CH e0 F

07.En un ∆A>", recto en I>J, se trazan

la altura >3 ; A>3E ⊥ y>"3: ⊥ -E en A> y : en >" 0.

%i$ AE L C y :" L F, calcular IE>J.

a0 C b0 1 c0 Hd0 B e0 D

0$.5el gráfco calcular IA>J, si P LC1.

A

>C

P

a0 CH b0 CD c0 Cd0 CF e0 1/

0.%i A3 L 1 y 3" L F, calcular I"5J

A

5

3

>

"

a0 B D b0 D D c0 D

d0 D e0 F D

10. #as dos medianas relativas a loscatetos de un triángulo rectángulomiden y F. "alcular la medida dela hipotenusa de dicho triángulo.

a0 1 D b0 H 1 c0 B D

d0 D e0 C/

11."alcular I6 . *J, si I@J es centro.

A

*

@

6

>

P1

H

a0 b0 F c0 Gd0 C1 e0 C

12. En la fgura I9J, IJ y I6J sonpuntos de tangencia, PL9 y PAL1. "alcular IP>J

> 6 A

9

P

a0 B b0 c0 Fd0 C1 e0 C

1#."alcular IA"J, si APLF y "L.

>"

A

P

a0 b0 C1 c0 C/d0 G e0 CC

14. En l a f gura >5 RR AE , A>LB,>"LF y "5L. "alcular IE:J

>

E

A

5

"

:

a0 B b0 D c0 d0 e0 F

1". En la fgura I9J y IJ son pude tangencia, A9 L y A> L"alcular I"J.

>"

A

9

a0 C b0 1 c0 Hd0 B e0

1."alcular I"9J, si A> L A" y E: L

A

E

@

9

>

:

"

a0 B b0 F c0 1 1

d0 B 1 e0 1

17. %i >:LC, :"L1, A:LC y >

A5 , calcular IE:J>

E

A

:

"

5a0 1 b0 H c0 B

d0 e0 F1$. En la fgura IPJ, IJ y I9J

puntos de tangencia, "LC1, Ay >PL. "alcular IP9J


GEOMETRIA


CIENCIAS

GEOMETR


CIENCIAS



GEOMETRIA

Universitario

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


>

A P

"

9

a0 C1 b0 CF c0 CDd0 1B e0 H/

1. %i A>"5 es un paralelogramocalcular I(J

A5

>

E

"

(

F C1

a0 F b0 G c0 C/d0 C1 e0

20. En la fgura$ A>L y E: L H."alcular I:>J

A

E

>:

a0 1,D b0 H,D c0 Bd0 B,D e0 D

TAREA DOMICIIARIA

01. 5e la fgura A>LCD, >LF yA3L3". "alcular I"J.

A

>

3

"

a0 C b0 C c0 CFd0 CG e0 1/

02. 5e la fgura, calcular >, si A3LB,3"LG y 3L1.

A

>

3

"a0 B b0 B 1 c0 B H

d0 D e0 H 1

0#. "alcular AP, si A>LC1; >"LC,

A> y A" son diámetros de lassemicircunerencias.

A P

>

"

a0 1,F b0 1,1 c0 ,1d0 ,1 e0 F,1

04.5e la fgura, calcular @^, si >L1//.

A @ >

@]

a0 C/ b0 C/ 1 c0 B 1

d0 D 1 e0 1

0". 5e la fgura$ APL, calcular A.

A @ >@]

P

a0 H b0 H 1 c0 B

d0 B 1 e0 1 H

0.5el gráfco calcular IP O P9J, si PAL F y A> L C/.

P

9

A

>

a0 1B b0 H c0 CFd0 H1 e0 C 1

07. %i A>"5 es un cuadrado, A5LD yP>L, calcular I65J

>

A

5

5

P

6

a0 D b0CH

/c0/

CH

d0 C1 e0 CH

0$."alcular I>PJ, si A6L6", A"LD yA>LH.

A

>P

"6

a0 B b0 1 1 c0 1

d0 B 1 e0 H 1

0. %i A> es diámetro, I6J es centroy PLB. calcular I6J

A>*

"

6

a0 C b0 1 c0 Hd0 B e0 D

10. En la fgura$ P9L y A"alcular I>J.

P

9A

>

a0 1,D b0 H,D c0 Bd0 H e0 D

EJERCICIO 8RO8UETO

01."ompletar$Para que se cumpla en teorem

9hales basta un m!nimo de .

a0 5os paralelas y una secanteb0 7na paralela y una secantec0 9res paralelas y una secanted0 9res paralelas y dos secantes

e0 5os paralelas y dos secantes

02. #a razón de dos segmentos es%i uno de ellos mide Fcm más quotro, <"uánto mide el segmmenor=

a0 CCcm b0 Gcm c0 C1cmd0 Fcm e0 CHcm

0#. A partir el gráfco mostrado se calcular ) ( *, si P RR>" RR A

A

1 1

P(> "

1

B

5

a0 1 b0 CR1 c0 Hd0 1RH e0 C


GEOMETRIA


CIENCIAS

GEOMETR


CIENCIAS



GEOMETRIA

Universitario

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio

IEP "LORD KELVIN"


04. %eg&n el gráfco, calcular>6

6*, si

6* RRA" yBH

*">*

= .

α°α°A "

6 *

>

a0B

Db0B

Hc0H

1

d01

He0H

B

0". En el triángulo A>" donde$

D

>"

A>= se traza la bisectriz

interior >" .

%i$ A5LH,D, <"uánto mide5" =

a0 1,D b0 C,D c0 Hd0 H,D e0 1

0. En un triángulo A>"; A>LB; >"LFy A"L. %e traza la bisectriz e(terior>E -E en la prolongación de "A0. "alcular$ EA

a0 D b0 1 c0 Bd0 e0 F

07. En un triángulo A>", >5 esbisectriz interior y )P* es el incentro.%i$ D>PL-P50 y A>O>"L1C,calcular A".

a0 C/ b0 CG c0 CBd0 C1 e0 CD

0$.5el gráfco ad4unto, calcular$ (.

1b "A

b

Ha

1a( O 1>

(

a0 b0 D c0 d0 H e0 F

0.5el gráfco indicando, calcular )(*.

P1 a >

Da

A

b

b#

( " ( ) H

a0 B b0 F c0 Gd0 D e0

10. En el gráfco mostrado A> RR"5RR6* , H-AE0L-E50L1-5*0. %i"6L, calcular E>.

A >

" 5

E

6 *

a0 D b0 B c0 d0 1 e0 H

11.En la fgura, "alcular IαJ

α°

C/G

B

a0 DH b0 H c0 H/d0 / e0 BD

12.En la fgura, calcular I(J.

α°α° F

(

a0 C b0 B c0 1d0 H e0 D

1#. En la fgura, calcular I(J.

α°α°

D

(

a0 CD b0 C/ c0 /Fd0 C/ e0 C1

14. En la fgura, calcular I(J

HQDHQ

1

1a (

a0 B b0 H c0 1d0 C e0 D

1". %i$ E: RR A> RR"5 , calcular I(J.

(QD

K :

D5

>

C/

A

"HE

a0 DH b0 H c0 Bd0 G/ e0 H/

1.%i$ #C RR #1, calcular I(J.

(QF

B

#1

#C

a0 DH b0 / c0 G/d0 H/ e0 BD

17. %i$ A> RR "5 , calcular IαJ.

α°Ha

1 1a>A

" 51α°

a0 / b0 DH c0 H/d0 CF,D e0 1,D

1$. En la fgura, A> RR"5 , calcIαJ.

α°D

HA

H(

"

1(>

F

5

a0 DH b0 H c0 /d0 G/ e0 H/

1. En la fgura, A> RR"5 , calcI(J.

AB

"

((G

>

5

a0 C/ b0 CF c0 C1d0 CD e0 C

20. En la fgura, calcular IαJ.


GEOMETRIA


CIENCIAS

GEOMETR


CIENCIAS



GEOMETRIA

Universitario

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


Universrio

IEP "LORD KELVIN"


Dα°

C/

Ha

1a

a0 DH b0 H c0 H/d0 / e0 DH

21. %i$ #C RR #1 RR #H^ calcular I(J.

(OB (O1

()C(#C

#1

#H

a0 b0 1 c0 Bd0 H e0 D

22. "alcular I(J

α° α° 1B

(

(

CF

a0 C/ b0 G c0 C1d0 F e0

2#. "alcular I(J

α°

α°

(G

( C1

a0 b0 c0 Dd0 F e0 D,D

24. "alcular IαJ

α°

α°

C

1

a0 1,D b0 11,D c0 CF,Dd0 H/ e0 CD

2". %i$ A> RR"5 RRP , calcular I(J.

5

B(

>A

(

PH

"

a0 b0 D c0 Fd0 e0 G

2. En la fgura, calcular IαJ

α°C/

H

α°

a0 H/ b0 DH c0 BDd0 H e0 DD

27. En la fgura, calcular I(J

H

H (

a0 B b0 c0 D

d0 e0 F2$."alcular I(J

aQaQF(

( 1

a0 B b0 H c0 d0 D e0 1

2. En la fgura, calcular IαJ.

G/QOα

α° B

H

a0 DH b0 H/ c0 BDd0 / e0 H

#0. En la fgura5: RR AE y 5E RR

A" . "alcular I(J

5 E1:

C>

A "

(

a0 H b0 B c0 Gd0 F e0

#1. En la fgura, calcular IαJ

10

+a

a+

α°

a0 DH b0 H c0 BDd0 H/ e0 /

#2. En la fgura, calcular IαJ

6

3

α°10

α°

a0 DH b0 H/ c0 /d0 CF,D e0 1,D

##. En la fgura calcular IαJ

2,

(

α°

2(

α°

,

a0 BD b0 H/ c0 CDd0 / e0 H

#4. En la fgura, calcular I(J

60-6

60-

12

(

a0 B b0 D c0 Hd0 1 e0

#". En la fgura, calcular (.

(

+

+

a0 H b0 B c0 F

d0 e0 D

#. En la fgura, calcular (.


GEOMETRIA


CIENCIAS

GEOMETR


CIENCIAS



GEOMETRIA

Universitario

CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


Universrio

IEP "LORD KELVIN"


α°

α°(2

( 3

a0 H b0 B c0 Dd0 e0 F

#7. En la fgura, calcular I(J

α°

α°6(

a0 B b0 D c0 1d0 H e0 C

#$. En la fgura, calcular I(J

α°

α°6(

a0 H b0 D c0 Bd0 RD e0 R1

#. "alcular I(J

2a (- (-

a

a0 B/ b0 / c0 H/d0 BD e0 DH

40. "alcular I(J

(- (- (-

2 1 3

a0 / b0 H/ c0 DHd0 BD e0 H

TAREA DOMICIIARIA

01. En la fgura >*L y *3LG. %iA"L1/, calcular IPJ.

A

!

' C

$%

B

a0 b0 ,D c0 C/d0 F e0 G

02.#os lados de un triángulo midenC,CG y 1H. "alcular la medida del

menor lado de otro triánguloseme4ante a 'l cuyo per!metro esC.

a0 1 b0 HB c0 HFd0 B e0 DC

0#. En un trapecio las bases miden B yF, además la altura mide G. "alcularla distancia del punto deintersección de las diagonales a labase menor.

a0 B b0 1 c0 H,Dd0 H e0 B,D

04. En un triángulo A>" se traza 6*RR A" -I6J en A> y I*J en >"0, tal que A6L1)(, 6>L(OC,>*L(OH y *"LH, calcular IA"J

a0 C,D b0 1,D c0 Hd0 B,D e0 D,B

0". "alcular IE"J, si A>LC/ y "5L1.

A # E

C

B

a0 1,D b0 H c0 Bd0 D e0 H,D

0. En la fgura, calcular )(*.

α° α°θ° θ°

( 2 +

a0 b0 C c0 H

d0 1 e0 B

07. En la fgura ) K * es baricentro deltriángulo A>". "alcular )(*.

α°

α°

( /

( +

&" %

A

B

C

a0 C/ b0 F c0 C1d0 G e0 CB

0$. 5el gráfco, calcular )(*.

%i$b

C

a

C+ LC,

a b

(

3- 3-

a0 /,F b0 /,G c0 C,/d0 C,B e0 C,

0. "alcular )(*,si A>"5$ romboide

(

3

A

B C

#

a0 C b0 1 c0 Hd0 B e0 D

10. En un triángulo A>", se trazmediana >6 . "alcular >6

A>LF y m 0∠ 6>"Lm 0∠ A

0∠ "

a0 H b0 B c0 1d0 e0 D

11. %i A>"5 es un romboide, B>H>5 y A>LC1, calcular I*"J

A

B C

#

%!

a0 1 b0 H c0 Bd0 e0 F


GEOMETRIA


CIENCIAS

GEOMETR

U i


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"



Universitario

IEP "LORD KELVIN"


Universrio

IEP "LORD KELVIN"


12. En el triángulo A>" se trazan lasalturas A5 y "E , tal que AELC1,>ELH y >5LD. "alcular I"5J

a0 1 b0 H c0 Bd0 D e0

1#. En la fgura >EL1 y >"LF, calcularI>PJ

α° α°

A

B

C

E

!

a0 DH b0 H/ c0 BDd0 / e0 H

14. 5e la fgura ad4unta, calcular >

A

!

$

B C

3

2

α°

α°α°

a0 HRD b0 DRH c0 Cd0 BRH e0 HRB

1".En un triángulo A>" se traza laceviana >5 , tal que$ HA5L15"y

H

>A"0m

D

>5A0m ∠=

∠L6 0∠

>"A.

a0 B b0 D c0 d0 F e0 G

1.En un ∆A>"$ A>LF, >"L y A"L.#as bisectrices interior y e(terior del

ángulo > intersecan a A" y a suprolongación en los puntos E y :,respectivamente. "alcular )E:*.

a0 1/ b0 1B c0 CFd0 11 e0 1

17. 5e la fgura ad4unta$ >"LB; A>LG$>5LF, >6 RR": y A6L6E.

"alcular 5E .

E" A

B

C

#

4

a0 CD b0 C1 c0 C/d0 e0 ,D

1$. 5el gráfco mostrado W5LB

A" y

el per!metro del triángulo A>" es1/m -W es incentro0. "alcular >5.

A # C

B

I

a0 Hm b0 Dm c0 md0 m e0 Bm1. En un triángulo A>" una recta

paralela a A" interseca a A> y

>" en los puntos IPJ y IJrespectivamente. "alcular IPJ siAPL, P>L1 y A"LC1.

a0 C b0 1 c0 Hd0 B e0 D

20. En la fgura$ AP y "P sontangentes, A>LG y >"LB. "alcularP>.

A

B

C

!

a0 b0 ,D c0 ,Dd0 H 1 e0 F

21. En la prolongación del lado Andelcuadrilátero A>"5 se ubica el puntoE, tal que >5 es bisectriz del

ángulo I>J y m 0∠ "5E; A>LCF y>"LF."alcular$>5 .

a0 b0 F c0 C/d0 C1 e0 CD

22. %i E: RR A" ,H->:0L1-":0 y>EL, "alcular IA5J.

#

E

B

4

A C

30º

(

a0 1 H b0 B H c0 H Hd0 H e0 C1 H

2#. En un trapecio las bases miden B yF, además la altura mide G. "alcularla distancia del punto deintersección de las diagonales a labase menor.

a0 B b0 1 c0 H,Dd0 H e0 B,D

24. En un cuadrado A>"5 en >" seubica el punto IPJ y en la regióntriangular AP5 se ubica su

baricentro IKJ. #uego trazamos , talque A3LB. "alcular el per!metro delcuadrado.

a0 H b0 BB c0 H1

d0 B/ e0 BF

2". En un trapecio rectángulo A>"0∠ ALm 0∠ >LG/, A" y

se intersecan perpendicularme>"LCF y A5LD/. "alcular A>.

a0 1B b0 1D c0 H/d0 H1 e0 H

2. #a mediatriz del ladoA"

d

triángulo A>" interseca a >" y

prolongación de A> en I6J yrespectivamente. %i B>6LH6A>LB, calcular I>*J.

a0 b0 F c0 C/d0 C1 e0 CD

27. En la f gura >6 es medAPL1 y P>LB. "alcular IA"J

!

B

" A C

a0 B H b0 B 1 c0 F

d0 1 e0 H

2$. #os lados A> y >"triángulo A>" miden B y ; siendángulo A>" de C1/. "alculabisectriz >5 -5 en A" 0.

a0 1,D b0 C,1 c0 C,Fd0 H, e0 1,B


EMEJANA DTRIFNGUO

GEOMETRIA


CIENCIAS

GEOMETR

U i


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"



Universitario

IEP "LORD KELVIN"


Universrio

IEP "LORD KELVIN"


5os triángulos serán seme4antes sitienen la misma orma, pero dierentetama+o.%i dos triángulos son seme4antesentonces se cumple que todos suselementos homólogos a los elementosde uno y otro triángulo seme4ante quese encuentran en relación directa.

Para que dos triángulos tengan lamisma orma será necesario que

tengan congruentes sus tres ángulos.

"A

>

θZαZ3

∼

6

*

#θZαZ

%i ∆A>" ∼ ∆6*#

⇒

*

>

p1

p1

6#

A"

*#

>"

6*

A>

6*#

A>" ====∆

∆

El s!mbolo ∼ , se lee I es seme4ante aJ

$ 2azón de seme4anza.

5ados dos triángulos seme4antes.#lamaremos lados homólogos, uno encada triángulo, a aqu'llos opuestos aángulos congruentes.

CAO DE EMEJANA

5os triángulos serán seme4antes sicumplen con cualquiera de lossiguientes casos$

1er@ Caso! 5os triángulos seránseme4antes si tienen dos ángulosrespectivamente congruentes.

αZ θZαZ θZ

∼

2%o@ Caso ! 5os triángulos seránseme4antes si tienen dos ladosrespectivamente proporcionales ycongruente el ángulo comprendido.

ωZ

∼

ωZa

b

a

b

#er@ Caso ! 5os triángulos seránseme4antes si tienen sus tres ladosrespectivamente proporcionales.

∼a b

c

a b

c

A+,i&a&i)n!

C. En un triángulo A>", sobre >"se toma el punto I 5 J, tal que lam [ >A5 L m[ ", >5 L B y 5"L D. "alcular I A> J.

1. %obre el lado A" de untriángulo A>" se toma el puntoI5J tal que A5 L C, 5" L F y A>L H.%i >" L C/, calcular I>5J

H. %e tiene un cuadriláterobic'ntrico A>"5, tal que lasprolongaciones de 5"yA>

se intersecan en IEJ. %i AE L

F, E5 L C/ y A5 L G, calcularI>"J

Oserva&iones

1@

"A

*6

> 6 *

A "

>

%i A"RR6* ⇒ ∆ 6>* ∼ ∆ A>"

2@

A

>

"

P

%i $ "PyA son alturas⇒ ∆ P> ∼ ∆ A>"

#@

A3

>

"αZ

αZ

αZG/Z )

5el gráfco$A3> >3" A>"∼ ∼

8ro+ie%a%

A 5

> "

P @

a

b

%i $ A5RRPRR>"

⇒ ba

ab1P,+

= y P@ L @

Oserva&i)n!5el gráfco se cumple

ab(

ba

ab(

+=

TEOREMA DE MENEAO

A, >, "# L P>, ", A#

A

>

"

P

#

#

TEOREMA DE CE>A

I9res cevianas concurretrazadas desde los v'rtices detriángulo, determinan sobre lados seis segmentos, cumpli'nque el producto de tres de considerados en orma


GEOMETRIA


CIENCIAS

GEOMETR

Univers


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"



Universitario

IEP "LORD KELVIN"


Universrio

IEP LORD KELVIN


consecutiva es igual al producto delos tres restantesJ.

%ean las cevianas concurrentes"6y>#,A* trazadas en el ∆

A>". Entonces se verifcará lasiguiente relación$

A6 . >* . "# L >6 . *" . A#

A

>

"#

*6

8ro+ie%a% !

A

>

E

5 "

α θ

θ

α

%e cumple$

"E

AE

5"

A5=

EJERCICIO 8RO8UETO

01@5el gráfco calcular I(J

(

(

G B

αZ

β Z

αZ

β Za0 H b0 B c0 B, Dd0 e0 F

02@ %i A"RR6* , calcular I(J

A

( O 1

>

"

6 *( ) 1 H

D

a0 D b0 c0 Gd0 C/ e0 C1

0#@ "alcular I(J

( n

1nCF

BDZ

a0 1H b0 B c0

d0 H1 e0 1

04@ "alcular I(J.

A

">

( 5

E

C1

CD

a0 D b0 , D c0 Gd0 C/ e0 C1, D

0"@ %i $ A"RR6* , A6 L , A> LC/ y "* L 6* O C1. "alcular 6*

A

>

"

6 *

θZ

θZ

a0 b0 F c0 G

d0 C/ e0 CD

0@ En la fgura 9@ L 1 y A@ . @2 LC1. "alcular $ @"

A

>

"

9 2

o

a0 H b0 B c0 Dd0 e0

07@ En la fgura mostrada si A5 L F ;5" L C/, calcular A>

A

>

"5

αZ

αZ

a0 C/ b0 CC c0 C1d0 CH e0 CB

0$@ "alcular I A9 J, si I 9 Jes puntode tangencia, A> L B y 9" L H9>

A > "

9

a0 b0 F c0 C/d0 C1 e0 C

0@ %i A> L F y >5 L , "alcular I >"

J.

A

>

5

"θZ θ Z

θZ

a0 B b0 B, D c0 Dd0 D, D e0 , D

10@ #os lados de un triángulo mB, y C/. %i otro triánseme4ante al primero tiene per!metro de CB, calcularmedida de su lado menor.

a0 1B b0 1F c0 H/d0 H1 e0 1/

11@ En la fgura mostrada >" LA5 L CF. "alcular A>

A 5

> "


12@ En un triángulo A>" $ A> L HL y m [ A>" L C1/. %i >5bisectriz interior, calcular I >5 J

a0 C b0 H c0 1

d0 H1 e0 H

1#@ En la fgura, si A9 L 1 y 6" "alcular 2, I 9 J y I 6 J puntotangencia


GEOMETRIA

U i it


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"

GEOMETR

Univers


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"



Universitario

IEP "LORD KELVIN"


Universrio

IEP LORD KELVIN


A

>

9

6

2

@ "

a0 H b0 B c0 Dd0 e0

14@ En la fgura mostrada >6 L 6A,si >" L B y A5 L G, calcular A>.

A 5

> "

6

a0 F b0 G c0 C/d0 CC e0 C1

1"@ En la fgura I @ J es centro, @E LG y @: L C. "alcular I @A J

A E

@

9 :a0 F b0 C1, D c0 C1d0 CD e0 CF

1@ En la fgura $ "5 L H>E, AE L ,A5 L B. "alcular >E

>

E

A

"

5

θZ θZ

a0 D b0 D, B c0 d0 , e0 , 1

17@ En la fgura el diámetro A"mide F, A> L 1>6. "alcular 6*

A

>

"

6

*

a0 1 b0 H1 c0 B

d0 HB e0

1$@ En la fgura AE L 1 y E> L B."alcular I>"J.

A

>

5

E

"

αZ αZ

a0 1 b0 H c0 Bd0 e0 , D

1@ En la fgura mostrada calcular I(J

A

:

"

1 (

5

>

a0 C, D b0 1 c0 1, Dd0 H e0 H, D

TAREA DOMICIIARIA

01@#os ángulos de un triángulo midenC; CG y 1H . "alcular la medida delmenor lado de otro triánguloseme4ante a 'l; cuyo per!metro esC.

a0 1 b0 HB c0 HFd0 B e0 DC

02@ "alcular I(J

A

"> ( 5

E

C1

CD

a0 D b0 , D c0 Gd0 C/ e0 C1, D

0#@ En la fgura se cumple $ 1 -E50 L"> ; A> L D y A5 L . "alcularIE5J.

A

5

"

E

>α Z

α Z

a0 1, D b0 1, DD c0 1, Dd0 1, D e0 1, FD

04@ En el triángulo A>" se trazan lasalturas A5 y "E tal que $ AE L C1;>E L H; >5 L D. "alcular I"5J

a0 1 b0 H c0 Bd0 D e0

0"@ En la fgura >* L y *3 L G. %W

A" L 1/, calcular IPJ

>

P

"

*

A3

a0 b0 , D c0 C/d0 F e0 G

0@ A>"5 $ cuadrado; cuyo per!mes 1B calcular 3P; si $ >6 L 6"

A

> "

5

3 6

P

a0 C b0 C, D c0 1d0 1, D e0 H

07@ "alcular I5EJ, si A> L CB, >"y AK L D.

K

>

A

E"

5

αZαZ

a0 C b0 B c0 1d0 C, D e0 H

0$@ %i >"RR6* , A> LA" L 1 y >" L H. "alculapara que el per!metro del triánA6* sea igual al per!metro trapecio >6*".


GEOMETRIA

Uni ersita


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"

GEOMETR

Univers


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"



Universitario

IEP LORD KELVIN


Universrio


A

> "

6 *

a0 CB, 1D b0 C, 1 c0 C1, Dd0 CF, 1 e0 CG, 1D

0@ En un trapecio, el punto deintersección de las diagonales distaH de la base menor y B de la basemayor. <A qu' distancia de la basemenor se encuentra el punto deintersección de los lados noparalelos=

a0 b0 CB c0 1Cd0 C1 e0 CF

10@ %i I " J es punto de tangencia ,A" L G ; >" L ; "5 L D; calcular"E.

A

>

5

E

"

a0 B b0 CCR H c0 C/R Hd0 CHR H e0 CBR H

11@ En un trapecio A>"; >" L CF, lamediana >6 y la bisectriz interiorA5 son perpendiculares; calcular I>5 J.

a0 B, D b0 c0 , F

d0 F e0 G

12@ En la fgura $ A3 L H y >" L G."alcular IPJ.

A

3

>

P "

a0 /, D b0 C c0 C, Dd0 1 e0 H

1#@ %i $ P L 1, P% L D y A5 L ;calcular >"

>

"

%

5A

P

a0 H, D b0 c0 d0 , D e0 F

14@ Por el baricentro de una regióntriangular se traza una paralela a unlado, determinándose un triánguloparcial cuyo per!metro es B. "alcularel per!metro del triángulo inicial.

a0 D b0 c0 Fd0 C1 e0 G

1"@ En un trapecio rectángulo lasbases miden B y G. "alcular lamedida de la altura del trapecio silas diagonales son perpendicularesentre s!.

a0 D b0 G c0 F

d0 e0 C11@ 5el gráfco, I P J es un punto de

tangencia, A6 L CF y *> L F ."alcular $ I P J.

A

*

>

6P

a0 G b0 C/ c0 C1d0 CD e0 F

17@ En un triángulo A>", m [ A L 1m [ " ; A> L B y A" L D. "alcular

>".

a0 1H b0 D, D c0

d0 HB e0

1$@ En un triángulo A>" - A> L >" 0se trazan las alturas >3 y A que seintersecan en I@J.%i $ @3 L C y @> L F, calcular IA"J

a0 H b0 H c0 HH

d0 e0 G

1@ 5ado el romboide A>"5 $ A> L G

y A5 L C1, en A" se ubica elpunto IPJ cuya distancia a A> es. "alcular la distancia de I P J a

A5

a0 B, D b0 D c0 Hd0 F e0 , D

20@ #as bases de un trapecio midenC/ y 1/. %e traza una paralela a lasbases que dividen a los lados noparalelos e segmentosproporcionales a 1 y H. "alcular lalongitud de dicha paralela.

a0 C1 b0 CH c0 CBd0 CD e0 CF21@ En el gráfco mostrado, H -"50 L

B -5E0 y >" L Fu. "alcular A>;siendo " punto de tangencia.

A

"

E

5

>

a0 u b0 u c0 , Dd0 D u e0 D, D

22@ %i # es mediatriz de A>

L H -9"0 y A* L F cm, calcular *

A

"

*

> 9#

a0 C,D cm. b0 1 cm. "0 H cd0 B cm. e0 H, D cm.

2#@ 5el gráfco 1C mB% =

11 mH% =

"alcular H%

A

>

E5 "%C %1 %H

αZ αZβ Z

β Z

a0 C/ 1m b0 1C 1

m c0 md0 D 1m e0 CD 1m

24@ 5e la fgura ad4unta se cumpl


GEOMETRIA

Universita


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"

GEOMETR

Univers

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA DECIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"



Universitario

IEP LORD KELVIN


Universrio


B

>"

H

@>

1

A@==

"alcular 6@, si 6P L CD,

H1C #RR#RR#

A

*

P "

>

@6 # C

# 1

# H

a0 C b0 C, D c0 Dd0 C/RH e0 1, D

2"@ %i A>"5 es un romboide, P6 L 1y 6* L C, calcular AP.

A

*

>

5

P

6"

a0 F b0 H 1 c0 Hd0 B e0 C1

2@ 5e la fgura ad4unta A"RRP

; si A# L , calcular #"

A

>

"

P

#

a0 F b0 c0 C1d0 H e0 B, D

27@ 5e la fgura ad4unta $ A# L 1; A7L C. "alcular 7P.

9

A 7 P#

6*

a0 b0 H c0 1d0 B, D e0 G

2$@ 5e la fgura ad4unta $

D

C

c

C

a

C=+ . "alcular >5.

>

A 5 "

c(

aDHZDHZ

a0 b0 c0 C/d0 C1 e0 G

2@ En la fgura I@J es centro, A> LH>E y AE L . "alcular IE"J

A

>"

5

E@

a0 C b0 1 c0 H

d0 B e0 B, D

#0@ %e tiene un triángulo A>" debisectriz interior >5 . "alcular elmá(imo valor entero de W5, siendo W$incentro del triángulo A>" y W> L B

a0 1 b0 D c0 Cd0 H e0 B

TEOREMA DE T=AE

A

>

:

E

#C

#1

#H"

5

E:5E

>"A> =

TEOREMA DE A ?IECTRIINTERIOR

>

c

m n

α

a

α

n

a

m

c=

TEOREMA DE A ?IECTRIETERIOR

c

m

α

a

α

n

EMEJANA DE TRIANGUO

α°A

θ°

β°"3

>]

α°A]

θ°

β°3]

>

]3]>

>3

]"]A

A"

]"]>

>"

]>]A

A>====

8RACTICA DE CAE

01@ El Per!metro de u

rectángulo es CH1 y la suma decuadrados de los H lados es 3allar los lados.

02@ 3allar I(J en la fgura$

+((2

+(1

0#@ 3allar I(J en la fgu

(2(3

3( 12

04@ 3allar el área del triángulo$


EMEJANA B

8RO8ORCIONAI

GEOMETRIA

Universita


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"

GEOMETR

Univers


IEP "LORD KELVIN"



Universitario


Universrio


A

B

'B

5 16

0"@#os catetos de un triángulo miden$1 H y H 1 . 3allar la alturarelativa a la hipotenusa.

0@%i #C RR #1 RR #H. 3allar (.

G

( (O1

(O.#C

#1

#H

a0 H b0 B c0 d0 F e0 C/

07@5e la fgura hallar mRn. %i #C RR #1 RR#H.

G

n#C

#1

#H

Hm

a0 CRH b0 HR1 c0 BRCd0 CRB e0 HRB

0$@3allar A", si A> L CD, >" L 1/ y A5L .

A 5 "

>

α α

a0 Fb0 C/

c0 C1d0 CBe0 .

0@3allar "E, si A> L 1/, >" L C/ y A"L 1C.

A " E

>

θ

θ

a0 C/ b0 B1 c0 1Cd0 1/ e0 1F

10@3allar (.

( (G 1D

α α

a0 C/ b0 C1 c0 CDd0 1D e0 H/

11@En un triángulo A>", A> L C, setraza la mediana >6. 3allar >6, si m⊇6>" L m ⊇>A" O m ⊇A">.

a0 C1 b0 F c0 Cd0 F 2 e0 F 3

12@3allar el lado del cuadrado P2%.%i AP L C, %" L G.

A "

>

P %

2

a0 C

b0 1

c0 H

d0 B

e0 D

1#@3allar 6*, si A> L G , >" L ,6" L 1 y A> RR 6*.

A "

>

*

6

a0 1 b0 c0 Bd0 H e0 D

14@3allar E:. %i >: L H; A> L G, A" L .

A "

>

:E

α

α

a0 1 b0 c0 Bd0 H e0 D

1"@3allar >" si A* L H*> L G

A

"

>*α

α

a0 G b0 c0 Dd0 B e0

1@ En un triángulo A>", A> L 1, porel baricentro K, se traza E: paraleloa A" -E sobre A> y : en >"0. 3allar>E.

a0 G b0 CF c0 1D

d0 1B e0 CD

17@%i A>"5 es un cuadrado. 3allar :E.

A

> "

5

:

E

.

.

a0 b0 F c0 Gd0 C/ e0 F,D

1$@3allar P, si P RR A".

A

>

"

P

D

C1

H

a0 ,D b0 ,D c0 d0 e0 *.A.

1@"alcular I(J. %i A> L C1 y "

.

A

>

"

5

@

(

a0 1 b0 H c0 Bd0 D e0 C

20@ %i A"RR6* ; A"6*LB ; >"LC1. 3allar >*.

A

>

"

6 *

a0 H,F b0 H,D c0 Bd0 B,F e0 H,D

21@ 3allar el lado cuadrado 6*P. %i$ A"LC/ altura del triángulo es C1.


GEOMETRIA

Universita


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"

GEOMETR

Univers


IEP "LORD KELVIN"

RD Nº 4017 2012 ED CAJ CODIGO



Universitario


rioRD Nº 4017 – 2012 – ED - CAJ CODIGO

MODUAR! 1"#7$77

A

>

"

6

P

a0 CD, b0 /D, c0 HF,D

d0 CF,D e0 BD,D

22@ %i$ >ELH ; E"LD .3allar 3"

>

"

θ

Aθ

ε

3a0 C/ b0 C1 c0 Cd0 C e0 CG

2#@ 3allar A>, %i$ >*L ;6"LD ; A"LF

a0 F,D b0 G c0 C/d0 G,/D e0 G,D1

EJERCICIO 8RO8UETO 01

01@3allar ?6"? si $ A> L F , 9* L 1

CNA

M

B

T

53°θ

θ

a0 C b0 1 c0 Hd0 B e0 *.A.

02@"alcular " si $ >* L F y >" LC

B

N

Q

CA

M

R

a0 C b0 H c0 D

d0 e0 *.A

0#@En la fgura mostrada >E L a y

E" L b. 3allar ?AE?.

C

B

A

E

30 - 3

10+2α

α

a0 1aOb b0 a O b c0 a O 1bd0 / e0 *.A

04@En un triángulo acutángulo A>" setraza la altura BH y la mediana"6 , "alcular el ∠6"A si >3 L 6"

a0 C/Z b0 1/Z c0 H/Zd0 B/Z e0 *.A

0". "alcular ?(? si BC L 1PB ; L

Punto medio AC ; 6 L Punto

medio BC .

36 24

X

M

P

C

B

AO

oo

a0 1/Z b0 1CZ c0 1BZd0 1DZ e0 *.A

0@El triángulo 6*P. %e llama $ -?p? un

N

B

M

A

P C

P

a0 9riángulo Podarb0 9riángulo 6edianoc0 9riángulo A y >d0 9riángulo @rticoe0 *.A

07@En un triángulo A>", los ángulos >y " miden BDZ y /Z . < u'longitud tiene la altura ba4ada de Asobre el lado ?a? , si el lado ?b? mideC/ 3 =

a0 D 2 b0 F 3 c0 CFd0 CD e0 C1

0$@"alcular BD si AE L H/Z

A B

C

D E

a0 / b0 DZ c0 C/Z

d0 CDZ e0 *.A

0@En la fgura , MF es mediatr

BC;BH es altura. "alculavalor del ángulo A.

B

M

A H F C

α

α8

a0 GZ b0 FCZ c0 CZd0 CFZ e0 *.A

10@En el gráfco hallar PQ

P A C

M N

B

Q

a0 √1 b0 1√1 c0 Fd0 B e0 *.A

11@#os lados de un triángulo cuidm, C/ m y G m hallar la longitud


GEOMETRIA

Universita


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"

GEOMETR

Univers


IEP "LORD KELVIN"




Universitario



MODUAR! 1"#7$77segmento que une el incentro conel baricentro

a0 H b0 CRH c0 /,1Dd0 /,D e0 C

12@En un triángulo A>", la mediatriz de

AC interseca en * al lado BC ya la prolongación de A> en ?E?.

3allar BE , si AB L C y CN L

DBN

a0 H b0 B c0 Fd0 D e0

1#@"alcular el per!metro de untriángulo, si sus lados miden C1;1(OD; ()1, además ? ( ? es unn&mero entero

a0 1/ b0 1 c0 H/d0 HD e0 HC

14@En un triángulo A>" se traza la

bisectriz interior AD , por 5 se

traza una paralela a AC

que cortaa AB en E. 3allar A>, si 5E L H y>E L A>RH

a0 D b0 B,D c0 Bd0 H e0

1"@#os triángulos A>" y "5E sonequiláteros, calcular A5, si >E L G

>

"E

5

A

a0 C1,D b0 C/ c0 CFd0 G e0 C1

1@En la fgura, el triángulo A>" esequilátero de F cm de lado. 3allar6*, si >* L *"

A

6>

*

"

a0 B b0 F c0 1√Hd0 B√H e0 1√1

17@"alcular uno de los ángulos agudosde un triángulo rectángulo, si ladistancia de su ortocentro a sucircuncentro es igual a uno de suscatetos.

a0 CDQ b0 1/Q c0 H/Qd0 DQ e0 BDQ

1$@En un triángulo equilátero A>" de Fcm de lado, por el punto medio 5

del lado AB se traza DE

perpendicular a BC . 3allar la

distancia de E al lado BC .

a0 1√H cm b0 H√H cm c0 B√H cmd0 √H cm e0 B cm

1@<"uántos puntos del plano de untriángulo equidistan de sus lados=

a0 C b0 1 c0 Hd0 B e0 *ing&n punto

20@ 5eterminar el valor de ?(? en la

sgte fgura

A D

X

C

6

B

4 3

12

a0 H√H b0 B√H c0 B√1d0 √1 e0 F√1

TAREA DOMICIIARIA

01@En la fgura mostrada A>"5 es unparalelogramo. ′A A L B , ′C C L

1 . 3allar BB

,

5

"A

A > "

>

,,,

a0 B b0 1 c0 d0 F e0 C/

02@3allar la longitud de DH si AE LD ; >: L B y "K L H

A>

" 5

E : K 3 9

a0 C1 b0 C1RD c0 DRC1d0 D e0

0#@ #os lados del rectángulo midey H/m respectivamente. <"uáleslas dimensiones del rectánguloH/ m de per!metro seme4antdado =

a0 1 y C/F m b0 F/ y C// mc0 D y CD/ m d0 F y C/1 me0 G y CBB m

04@3allar ? ( ? si A> L >" y >E L

A D

E

Cx

20

B

a0 C/Q b0 CDQ c0 1/Qd0 1DQ e0 *.A

0"@%i las áreas de los siguietriángulos seme4antes están razón de G $ C

x 12

<"uál será el valor de ( =

a0 1 b0 B c0 Dd0 C1RG e0 *.A

0@En la fgura A> RR "5 , >" RR 5E sL C1 , @E L BF. 3allar "E

D

B

O A C E

a0 1B b0 1 c0 1Fd0 CB e0 *.A


GEOMETRIA

Universita


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"

º 0 20 2 C CO GO

GEOMETR

Univers


IEP "LORD KELVIN"

RD Nº 4017 – 2012 – ED - CAJ CODIGO




MODUAR! 1"#7$77rio

RD Nº 4017 – 2012 – ED - CAJ CODIGO MODUAR! 1"#7$7707@3allar P si P2 L

αα R

P

Q

a0 b0 F c0 Gd0 C/ e0 *.A

0$@3allar E: en unción de a y b

6

aE

1

F 5

b

a0ba

ab

+b0

ba

ab

+

c0ba

a

+d0

ba

b

+

e0 *.a.

0@3allar $ P

ααR

2

P

Qa0 B b0 D c0 Hd0 e0 *.A

10@%i por el centro de un cuadrado de

B/ cm de per!metro, se traza unaperpendicular al centro de dichocuadrado, hallar la longitud de dichaperpendicular -30 para que al unir elpunto e(terior con los v'rtices dedicho cuadrado ormen B triánguloscongruentes.3 L perpendicular ; # L lado; 2 Lradio

a0 3 L # b0 3 L #1 √H c0 3 L 2

d0 3 L 1π2 e0 *.A

11@#a base de un triángulo mide B m,calcular la paralela a la base quedivide al triángulo en dos partesequivalentes.

a0 H-√H ) C0 b0 √D ) 1 c0 1√1d0 B-√H ) C0 e0 *.A

12@ 3allar *" si A> RR 6P RR *; A6 RR

A

P

Q

B

M

N

b

a

C

a0ba

a1

+b0

ba

a1

−c0

ba

ab

+

d0ba

b1

+e0

ba

b1

−

1#@ %i $ A> RR 5" RR 6* ; A6R65 L CRB

A> L , 5" L C, 3allar 6*

A

M

D

B

N

C

a0 b0 F c0 Gd0 C/ e0 C1

1. TEOREMA DE EUCIDE HI

nc

a b

m.c1cab 111 −+=

n.c1cba 111 −+=

A+,i&a&i)n!

3allar I(J

(

10

10

A+,i&an%o E/&,i%es!

-C/01 L -C/01 O -F01 1-C/0(

C// L C// O B 1/(

1/( L B

( L H,1

2@ TEOREMA DE EUCIDE HII

a

c

a

b

cm1cba 111++=

A+,i&a&i)n!

3allar I(J

+ 2 (

+

A+,i&an%o E/&,i%es!

F1 L B1 O -B 1 01 O 1-B 1 0 -(0


REACIONEMLTRICA

EN A

GEOMETRIA

Universita


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universi


IEP "LORD KELVIN"





MODUAR! 1"#7$77rio

RD N 4017 2012 ED CAJ CODIGO MODUAR! 1"#7$77B L C O H1 O F 1 (

C L F 1 (

( L 1

TEOREMA DE TEART HCE>IANA

b

n

(a

Ce7iana

c

mncnambc( 111 −+=

A+,i&a&i)n!

3allar IEKJ

3 2

E

3 2(

A & B

A+,i&an%o e, T %e ,a Ceviana(1D L 11 . H O -H D 01 . 1 -10 -H0

-D0

(1D L C1 O G/ H/

(1D L 1

U LD

C/

TEOREMA DE A MEDIANA

b

(a

c

1c

(1ba1

111 +=+

A+,i&a&i)n!3allar A6

(

12

10

A

A+,i&an%o T@ De ,a Me%iana

F1 O C/1 L 1(1 O

1

C11

B O C// L 1(1 O1

CBB

( L B

TEOREMA DE =ERN!

ba

c

'

( ) ( ) ( )cpbpappc13 −−−=

Des%e! P L1

cba ++

A+,i&a&i)n!3allar I(J

6

(

A+,i&an%o =er)n!

G1

DP =

++=

P L G

( ) ( ) ( )GGDGGD

1( −−−=

( L D

C1

En ,a Cir&/neren&ia!

C

B

#

A

T !

9 $ punto de tangencia

P9 $ tangente

"5 y A> $ cuerdas

P> $ secante

AP $ parte e(terna de la secante >P

8RO8IEDADE!

01@ TEOREMA DE CUERDA!%i por un punto del interior de circunerencia se trazan cuerdas, se cumple que productos de los segmedeterminados en cada cuerdaiguales.

C

B

#

A ( ! ,

b

a

P5.P"P>.AP =

Ta'in! ( . y L a . b

02@ TEOREMA DE ECANTE!

%i por un punto e(tensor de

circunerencia se trazan secantes, se cumple que productos entre cada secante eny la respectiva parte e(terna iguales.

C

B

#

A

!

P".P5P>.AP =

0#@ TEOREMA DE TANGENTE!


GEOMETRIA

Universita


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"

RD Nº 4017 2012 ED - CAJ CODIGO

GEOMETR

Universi


IEP "LORD KELVIN"





MODUAR! 1"#7$77rio

JMODUAR! 1"#7$77%i desde un punto e(terior a una

circunerencia se traza una tangentey una secante se cumple quetangente al cuadrado es igual alproducto de la secante por su partee(terna.

B

A

T !

P>.PA 9P1 =


(

(

+

o,/&i)n!

C1 . B L -1(0 -(0

( L 1

A+,i&a&i)n!

3allar I(J

+

(

2

o,/&i)n!

B1 L -1 O (0 1

F L 1 O (

( L

A+,i&a&i)n!

3allar I(J

B

A

T

%

(

30º

2

o,/&i)n!

B

A

T

%

(

30º

2

8

) En el triángulo rectángulo @9> $ 9>L D

) Por propiedad$ N9 L 9> L D

) Por teorema de cuerdas$

D . ( L D . D( L C

8RACTICA DE CAE

01@3allar ?(? $

R

X

a0 2- 2 )C0 b0 2 2 c0 2

d0 2-C) 2 0 e0 *.A

02@"alcular ( si r L 1

r

rx

a0 3 R1 b0 3 RB c0 3

d0 2 e0 *.A

0#@3allar ?(? si OA = OB L2

R

x

a0 1RG2 b0 2RG c0 2d0 12 e0 *.A

04@%ea un triángulo A>", inscritouna circunerencia, la bisee(terior del ángulo β corta aprolongación del lado A" en 5arco A> en E. 3allar >5 si AE L FE> L Bm.a0 Dm b0 m c0 Fmd0 C1m e0 Cm

0"@En el sgte gráfco calcular el ánAE5 si $ "5 L tange

A>Ldiámetro; 5"AL1/Z

A

E D

BC

a0 C/Z b0 CBDZ c0 CHDd0 C1DZ e0 CD/Z

0@%e tiene un triángulo isósceles -A> L A"0, tomándose A" cdiámetro se traza una circunereque corta el lado >" en 5 de m

que >5 L C/ m ; luego se trazaperpendicular a A" de modo quL F m . "alcular A".

a0 C b0 C,D c0 C,


GEOMETRIA

Universita


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


IEP "LORD KELVIN"




rioRD N 4017 2012 ED CAJ CODIGO

MODUAR! 1"#7$77rioMODUAR! 1"#7$77d0 C e0 *.A

07@En la fgura BAC L C/Z, arco5EL H1Z. 3allar arco:K

D

G

FB C

E

a0 1Z b0 B1Z c0 H1Zd0 BFZ e0 D1Z

0$@dadas dos circunerencias secantesen > y 5 de radios 1,D y mts , laperpendicular trazada por 5 a lacuerda com&n corta a lacircunerencia menor y mayor en Ay " respectivamente, laprolongación de A> corta a la mayoren E. 3allar E> si A" L CB m.a0 C m b0 /,F m c0 C, md0 1,D m e0 1, m

0@5ado un triángulo A>" recto en A,tomando como diámetro A" sedescribe una circunerencia quecorta en 6 a la hipotenusa y a laprolongación de la mediana relativaa dicha hipotenusa en * 3allar 6* siA> L Bm y >6 L 1m.

a0 3 m b0 -H 3 R10m c0 1

3 md0 1m e0 Bm

10@3allar ?(? . P y incentros de lostriángulos rectángulos A>3 y >3".

B

PQ x

CHA

a0 B/Z b0 B1Z c0 BDZd0 D/Z e0 *.A

11@3allar ?(? . WC y W1 son incentros delos triángulos rectángulos A>3 y>3"

B

x

HA C

!

2

a0 FDZ b0 FZ c0 FFZd0 G/Z e0 *.A

12@ 3allar el per!metro del ∆ P3. Py incentros de los triángulosrectángulos A>3 y >3", además 6*L 1/

B

P

M

AH

NQ

C

a0 DZ b0 C/Z c0 CDZd0 1/Z e0 *.A

1#@En la fgura hallar el radio si

AC.AF + BC.BE L CBB.Además ?@? es el centro de lacircunerencia.

2>A

"

:E

@

a0 H√1 b0 B c0 C1d0 D e0

14@En la fgura, calcular la longitud de

R

R RF

M

A

O B

a0 H2RD b0 2 5 RD c0 H2 5

d0 H2 5 RD e0 *.A

1"@En la fgura $ ED / / BC ,

3allar E5 si $ A> L 1>"

Centro

O

F D

B

A

C

E

Tangente

a0 CH b0 CD c0 CBd0 C e0 *.A

1@%ean las rectas #C RR #1 RR #H "alcularla longitud de BC

A

B

L

L

L

1

22

3

1M

6060

a0 21 R b0 1 21 R c0 1

d0 21 RH e0 1 21 RH

17@3allar AF AO = OB = BC = R

A

E

CB

FD

O

a0 21 RH .2 b0 21 RH2

c0 12 21 d0 2RH

e0 2R1 . 21

1$@En la fgura $ "alcular $MO

A@ 2

6

>

"

F

1

(

a0 1,D b0 H c0 H,Dd0 B e0 D

1@En la fgura $ ME = LJ =

ML = EF . "alcular MA.MB

A >E#

:

6


GEOMETRIA

Universitai


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


IEP "LORD KELVIN"

RD Nº 4017 – 2012 – ED - CAJ CODIGO MODUAR 1"#7$77



rioJ

MODUAR! 1"#7$77rioMODUAR! 1"#7$77a0 a1 b0 Ha1R1 c0 a1R1

d0 1a1RH e0 a1

20@ En el semic!rculo mostrado$ AB,CD,AD son tangentes.%iendo

AB L C/ , DC L 1,D . "alcular

EF

>

A

C/E

:

5

"

1,D(

a0 1,D b0 1 c0 Bd0 D e0 B,D

EJERCICIO 8RO8UETO 02

01@ %i r L H y A" L G . "alcular AQ

QB

T C

A

r

a0 C1 b0 CH c0 CBd0 CD e0 C

02@ En la fgura $ @ y >. son centros.#os radios mide y C/ . 3allar PE.

A

E

O

P

B

a0 F b0 c0 F,1d0 1,D e0 ,1

0#@ "alcular el per!metro del triángulo

A>" si P L C.

B

A

OP Q

a0 C b0 C c0 CF

d0 CG e0 1/

04@ En el gráfco si $ A@ L @> L 2 y A5 L >". 3allar ?r?

R

D

C

O

r

A B

a0 H2RB b0 H2RD c0 2RBd0 12RD e0 H2RF

0"@ %i $ A@ L @> L además P3 L 3>L 3. "alcular @P

A

P

O

Q

B

a0 -√1)C0 b0 -√1)C0 c0-√1OC0

d0 -√1)C0R1 e0 *.A0@ En un triángulo A>" donde A> L

, >" L F y A" L G se traza unacircunerencia interior a dicho

triángulo que es tangente a loslados BC y AC en ?P? y ??respectivamente. calcular @6-?@?es centro de la circunerencia deradio igual a 1 y ?6? punto medio de

AB 0.

a0 ! R1 b0 G ! R1 c0 !R1d0 D ! R1 e0 H ! R1

07@ El apotema de un triánguloequilátero inscrito mide F cm. 3allarel per!metro del he(ágono regularinscrito en la misma circunerencia.

a0 G cm b0 G/ cm c0 F cmd0 F/ cm e0 *.A

0$@En la fgura ad4unta hallar el radiode la circunerencia inscrita en eltriángulo uni(til!neo A65.

A Da

a

CMB

x

a0 HRF.a b0 FRH.a c0 Fad0 Ha e0 *.A

0@ 3allar E:

A

C

24

E

B

Fo

12

a0 F b0 G c0 C/d0 CC e0 *.A

10@ 3allar A>. m RR A"

B m

A

4 E

F

5

C

a0 b0 c0 Fd0 G e0 *.A

11@3allar ?(?

x

8

10

αα

a0 G b0 C1 c0 CFd0 1B e0 *.A

12@3allar ?(?

60o

30o

x

2 3

a0 B√H b0 √H c0 d0 C1 e0 C1√H

TAREA DOMICIIARIA

01@ "alcular el lado de un triánequilátero inscr ito en circunerencia de diámetro m.

a0 √H b0 H√H c0 B√Hd0 H e0


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


IEP "LORD KELVIN"


02 3 ll A> i 2 C1 H



rioMODUAR! 1"#7$77rioMODUAR! 1"#7$7702@ 3allar $ A> si 2 L C1 ; r L H

R r

A B

a0 b0 G c0 C1d0 CD e0 *.A

0#@ En un triángulo A>" -

ALD°;

B

LG/°0 se traza la altura >3 y lamediana >6. 3allar el inradio deltriángulo >36 si A" L C1

a0 H b0 B c0 d0 F e0 *.A

04@ En un triángulo rectángulo la sumade los catetos es 1/m. #a suma delinradio con el circunradio es$

a0 1/m b0 CDm c0 C/md0 Dm e0 *.A

0"@ %e tiene dos circunerencias @ y @]secantes en A y >; se trazan losdiámetros A@" y A@]5. "alcular lalongitud del segmento que une los

puntos medios de OB y ′OBsi "5 L Fm

a0 Cm b0 1m c0 Hmd0 Bm e0 Dm

0@ #os catetos de un triángulorectángulo miden m y Fm tomandocomo diámetros dichos catetos setrazan semicircunerencias lascuales determinan los puntos ]E? y

?:? sobre la hipotenusa. < "uál es lalongitud de E:=

a0 1m b0 Cm c0 C,Bmd0 C,Dm e0 / m

07@ En un triángulo A>" se traza lacircunerencia e()inscrita relativa a>", la prolongación de A> estangente a la circunerencia en ?6?.3allar el per!metro del triánguloA">, si A6 L 1F.

a0 1F b0 D c0 CBd0 B1 e0 *.A

0$@El área del cuadrado inscrito en un

semic!rculo es al área del cuadradoinscrito en el c!rculo completo como$

a0 C$1 b0 1$D c0 1$Hd0 H$D e0 $B

0@En una circunerencia se traza una

cuerda AB cuyo punto medio es

6, por 6 se traza la cuerda CD talque "6 L B y 65 L 1. 3allar A>.

a0 F b0 B c0 B√1d0 H√1 e0 √

10@"alcular A:, si 5" L "> L >A, :" L

"E L 1

D C

EB

A

F

a0 B b0 D c0 d0 C/ e0 F

11@Por un punto e(terior a unacircunerencia se traza una secantecuya parte e(terna mide B y su

parte interna mide F, por el mismopunto se traza otra secante cuyaparte e(terna mide H. calcular laparte interna de la &ltima secantetrazada.

a0 C b0 C/ c0 C1d0 CD e0

12@7n rectángulo se inscribe en unacircunerencia de radio D, si uno desus lados mide . 3allar su otro ladodesigual.

a0 b0 c0 F

d0 11 e0 CC

1#@El radio de la circunerencia mide√1, ademásA> L #H , A" L #B. 3allar >"

A

B

C

a0 √1O√ b0 √1O√ c0 √HOCd0 √HO1 e0 *.A

14@ AB y CD son dos diámetrosperpendiculares de un circulo de

centro @. AM es cualquiercuerda que pase por A. 5icha

cuerda intersecta a CD en el

punto P. Entonces AP . AM esigual a$

a0 AO.OB b0 AO.

AB c0CP .CD

d0CP .PD e0 CO .

PO

1"@3allar ?(? -@ centro0

8

6B A

O

x

a0 G,C b0 ,C c0 F,Cd0 D,C e0 B,C

1@5e la fgura $ calcular ?A"? ":

C A

B

ED

F

a0 b0 C/ c0 d0 F e0 G

17@5e la fgura, A>"5 es un cuadrcalcular 65, si A5 L D ,P> L .

D

M

A

B PC

a0 /RCH b0 CHR/ c0 /Rd0 CR/ e0 *.A

1$@%i $ 2Rr L DRH 3allar $ A6%i $ 6> L B


GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


IEP "LORD KELVIN"


B

A



rioMODUAR! 1"#7$77rioMODUAR! 1"#7$77

A

B

M

R

r

a0 C b0 1 c0 H

d0 B e0

1@ 3allar ?>9? si A> L B y >" L G

A

B

TC

α α


20@ #a intersección de las mediatricesde tres cuerdas cualquiera no es elcentro de una circunerencia

PORQUE

El punto de intersección var!a deacuerdo a las longitudes de lascuerdas

En el triángulo A>"

C

n

'

ba

a y b $ catetosc $ hipotenusam$ proyección de a sobre "

n$ proyección de b sobre "h$ altura relativa a la hipotenusa "

8ro+ie%a%es!

01@ 7n cateto elevado alcuadrado es igual al producto de lahipotenusa por su proyección.

C

a

c.ma1 =

A+,i&a&i)n!3allar IaJ

3 +

ba

o,/&i)n$ ¬

a1 L -0 -H0

a L 1C

o,/&i)n!

3 +

b

b1 L -0 -B0b L 1

02@ El producto de loscatetos es igual al producto de la

hipotenusa y su altura relativa aella.

C

'b

a

"3ab =

A+,i&a&i)n!

3alla I(J

3

+

(

o,/&i)n! %eg&n el gráfco lahipotenusa mide D luego por propiedadse cumple.-H0 -B0 L -D0 -(0 ( L C1RDA+,i&a&i)n! 3allar A>

A

B10

2pta$ ....................................................

0#@ #a altura relativa

hipotenusa de un triánrectángulo al cuadrado es iguproducto de las proyecciones decatetos.

a

'

b

ab31 =


2

(

3

o,/&i)n!U1 L -H0 -10U L

A+,i&a&i)n! 3allar I(J2

(

6

2pta$ ...................................................


REACIONEMLTRICA EN

GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


IEP "LORD KELVIN"


04 En todo triángulo la

traza la altura y la mediana d0 CD e0 C1



rioMODUAR! 1"#7$77oMODUAR! 1"#7$7704@ En todo triángulo la

suma de los cuadrados de loscatetos es igual al cuadrado de lahipotenusa.


2(

3

o,/&i)n!11 O H1 L (1

B O G L (1

( L CH

A+,i&a&i)n!3alla I(J

(

13

2pta$ ...........................................................

0"@ En todo triángulorectángulo se cumple que la inversadel cuadrado de la altura es igual ala suma de las inversas de loscuadrados de los catetos.

a'

b

111 b

C

a

C

3

C+=

8RFCTICA DE CAE

01@3allar ?6"? si $ A> L F , 9* L 1

CNA

M

B

T

53oθθ

a0 C b0 1 c0 Hd0 B e0 *.A.

02@"alcular " si $ >* L F y >" LC

B

N

Q

CA

M

R

a0 C b0 H c0 Dd0 e0 *.A

0#@En la fgura mostrada >E L a y

E" L b. 3allar ?AE?.

C

B

A

E

30 - 3

!0"2α

a0 1aOb b0 a O b c0 a O 1bd0 / e0 *.A

04@En un triángulo acutángulo A>" se

traza la altura BH y la mediana"6 , "alcular el ∠6"A si >3 L 6"a0 C/Z b0 1/Z c0 H/Zd0 B/Z e0 *.A

0"@"alcular ?(? si BC L 1PB ; L

Punto medio AC ;

6 L Punto medio BC .

36 24

X

M

P

C

B

AO

o o

a0 1/Z b0 1CZ c0 1BZd0 1DZ e0 *.A

0@El triángulo 6*P. %e llama $ -?p? un

N

B

M

A

P C

P

a0 9riángulo Podarb0 9riángulo 6edianoc0 9riángulo A y >d0 9riángulo @rticoe0 *.A

07@En un triángulo A>", los ángulos >y " miden BDZ y /Z . < u'longitud tiene la altura ba4ada de A

sobre el lado ?a? , si el lado ?b? mideC/ 3 =

a0 D 2 b0 F 3 c0 CF

d0 CD e0 C1

0$@"alcular BD si AE L H/Z

A B

C

D E

a0 / b0 DZ c0 C/Zd0 CDZ e0 *.A

0@En la fgura , MF es mediatr

BC;BH es altura. "alculavalor del ángulo A.

B

M

A H F

C

α

α8

a0 GZ b0 FCZ c0 CZd0 CFZ e0 *.A

10@En el gráfco hallar PQ

P A

C

M N

B

Q

a0 √1 b0 1√1 c0 Fd0 B e0 *.A


GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


IEP "LORD KELVIN"


11@#os lados de un triángulo cuiden F B D



rioMODUAR! 1"#7$77 MODUAR! 1"#7$7711@#os lados de un triángulo cuiden Fm, C/ m y G m hallar la longitud delsegmento que une el incentro conel baricentroa0 H b0 CRH c0 /,1Dd0 /,D e0 C

12@En un triángulo A>", la mediatriz de

AC interseca en * al lado BC ya la prolongación de A> en ?E?.

3allar BE , si AB L C y CN L

DBN

a0 H b0 B c0 Fd0 D e0

1#@"alcular el per!metro de untriángulo, si sus lados miden C1;1(OD; ()1, además ? ( ? es unn&mero entero

a0 1/ b0 1 c0 H/d0 HD e0 HC

14@En un triángulo A>" se traza la

bisectriz interior AD , por 5 se

traza una paralela a AC que corta

a AB en E. 3allar A>, si 5E L H y>E L A>RH

a0 D b0 B,D c0 Bd0 H e0

1"@#os triángulos A>" y "5E sonequiláteros, calcular A5, si >E L G

A

B

CE

a0 C1,D b0 C/ c0 CFd0 G e0 C1

1@En la fgura, el triángulo A>" esequilátero de F cm de lado. 3allar6*, si >* L *"

A

MB

N

C

a0 B b0 F c0 1√Hd0 B√H e0 1√1

17@"alcular uno de los ángulos agudosde un triángulo rectángulo, si ladistancia de su ortocentro a sucircuncentro es igual a uno de suscatetos.

a0 CDQ b0 1/Q c0 H/Qd0 DQ e0 BDQ

1$@En un triángulo equilátero A>" de Fcm de lado, por el punto medio 5

del lado AB se traza DE

perpendicular a BC . 3allar la

distancia de E al lado BC .

a0 1√H cm b0 H√H cm c0 B√H cmd0 √H cm e0 B cm

1@<"uántos puntos del plano de untriángulo equidistan de sus lados=

a0 C b0 1 c0 Hd0 B e0 *ing&n punto

20@ 5eterminar el valor de ?(? en lasgte fgura

A D

X

C

6

B

4 3

12

a0 H√H b0 B√H c0 B√1d0 √1 e0 F√1

EJERCICIO 8RO8UETO 0#

01@ En un triángulo dos lado miden Gcm y cm. 3allar el per!metro -1p0del triángulo sabiendo que el tercerlado es el doble de uno de los otrosdos.

A

7cm

B

9cm

C

a0 HD cm b0 1D cm c0 H/ cmd0 HB cm e0 *.A

02@#os lados de un triángulo A>"miden A> L B, >" L D, A" L .3allar el mayor segmento que

determina la altura BH sobre el

lado AC

a0 H b0 H,F c0 H,Gd0 H,D e0 H,FD

0#@5el gráfco mostrado; hallar (

A

30o

D

7

C

x

B2 3

a0 √H b0 H c0 Bd0 e0

04@ #a base de un triángulo midm, se trazan dos rectas paralella base, dividiendo en superfcies equivalentes. calcullongitud del segmento paralelo cercano a la base

a0 H°H m b0 B°1 m c0 Dmd0 D° m e0 ,D m

0"@ En un triángulo A>" cuyo A> mide C1m, se toma un punto

se traza MN paralela a BCtal manera que el triángulo qu

dividido en la relación de C es "alcular la longitud de AM .

a0 C/m b0 Fm c0 md0 Bm e0 m

0@#a dierencia de 1 lados detriángulo es de H cm.; la bisetrazada del v'rtice del ánormado por estos lados determen el lado opuesto, segmentoC1 y CB cm. 3allar los lados orman el ángulo.

a0 CF y 1C cm b0 CG

cm c0 1/ y 1Hd0 C y CG e0 *.A

07@ % i $ P> L CC, "> L ,>A3allar $ AP


GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


B a0 CF unidades b0 H/ unid



rioMODUAR! 1"#7$77P

C B A

a0 C b0 C,F c0 2"#

d0 2"5 e0 CG,D

0$@%i los lados de un triángulo miden$H, H y cm respectivamente. < u'tipo de triángulo es $

a0 2ectángulo b0 Wsóscelesc0 Equilátero

d0 Equiángulo e0 *.A

0@5os lados dierentes de untriángulo isósceles miden C1 y Dmetros. 3allar su per!metro .

a0 1Bm b0 1/m c0 Cm

d0 11m e0*.A

10@En un triángulo rectángulo cuyahipotenusa mide BF. 3allar ladistancia del punto medio de lamedian relativa a la hipotenusa albaricentro del triángulo rectángulo.

a0 F b0 C/ c0 Bd0 1 e0 *.A

11@3allar ?(?

4x

α

α

a0 B b0 D c0 d0 e0 *.A

12@Por el v'rtice ? > ? de un triánguloA>" se trazan perpendiculares,

>P y > a las bisectricesinteriores de los ángulos " y Arespectivamente.

"alcular P si A> O >" LCB yA" LC/Q

a0 1 b0 H c0 Bd0 D e0 *.A

1#@%i >3 L 1. 3allar A5

A

B D

CH

αα


14@En un triángulo A>" la bisectriz delángulo > y la mediatriz de A" seintersectan. <"uál de los gráfcos escorrecto =

a)B

A C

b)

α α

c)α

d)

A C

α α α

e0 *.A

1"@#a relación correcta es$ -8er fgura0

k z

m

n

a

6

a0 m O a O z L n O b O b0 abz L mnc0 maz L nbd0 maz L zne0 mna L zb

1@En un triángulo rectángulo loscatetos están en la relación de H a

B. 3allar la hipotenusa si el área dedicho triángulo es BF.

a0 1/Z b0 H/Z c0 B/Zd0 BDZ e0 *.A

17@En un triángulo recto A>", recto en>, la mediatriz de A" corta >"en ?P?.%i P" L 1 A> . 3allar " .

a0 H/Z b0 CDZ c0 BDZd0 1DZ e0 1/Z

1$@3allar el m!nimo per!metro de un

triángulo, sabiendo que sus ladosson tres n&meros paresconsecutivos y que el mayor ánguloes el doble del menor.

a0 F u dades b0 H/ u d c0 BF unidades d0

unidadese0 C1/ unidades

1@En un triángulo A>", escalenconstruyen los triángequiláteros A>2 y >". 3allar $ A si "2 L C/√H

a0 C/√H b0 1/√H c0 1D√

d0 H/√H e0 *.A20@En la fgura hallar ?(? si AP L

P" L 1A>

A P

B

Cx

a0 CFZ b0 CGZ c0 CZd0 1/Z e0 *.A

TAREA DOMICIIARIA

01@ 3allarPQ , si PE L E

ACL F, BC L y " es bise

P

A E

C

B

Qa

a

a0 B b0 H c0 HRBd0 BRH e0 1

02@3allar$ A", si A> L F y >" L CD


GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


> 07@3allar$ >", si A5 L CF; 5" L , A> interior. Por e4emplo, una re



MODUAR! 1"#7$77

A "

a0 C b0 CF c0 CGd0 1/ e0 1C

0#@3allar A>, si A3 L H y A" L C1.

A

>

"3


04@3allar >3. %i A3 L C, 3" L B.

A

>

"3

a0 Cb0 1c0 H

d0 Be0 D

0"@3allar A3, si A> L 1 y A" L D.

A

>

"3

a0 /,1 b0 /,B c0 /,d0 /,F e0 C,1

0@3allar >3, si A> L CD, >" L 1/.

A

>

"3

a0 G b0 C1 c0 Cd0 e0 F

L >5.

A

>

"5

a0 CD b0 C1 c0 CCd0 C1,D e0 1/

0$@"alcular IrJ, si P y son puntos detangencia.

r

1

rP

a0 b0 F c0 C/d0 C1 e0 C

0@%i A> L ; P L F; @: L 1. 3allar

@3.

A

>

P

:@

3

a0 2 b0 10 c0 11

d0 13 e0 15

10@3allar 2.

.

1

2

a0 F b0 G c0 C/d0 C1 e0 H 2

11@%e pide (.

(

C/ C

CD

a0 D b0 c0 CC d0 e0 C/

12@ En un triángulo rectángulo A>"recto en >, se traza la mediana >6,tal que A>L>6L. 3allar la alturarelativa a la hipotenusa.

a0 H b0 3 c0 H 3 d0 1 e0 13

1#@3allar IrJ si el lado del cuadradoA>"5 es H1.

r

a a

a0 F b0 G c0 C/d0 F,D e0 G,D

5enominamos región poligonal a lareunión de todos los puntos de unpol!gono con todos los puntos de su

4 ptrian*/,ar es la reunión detriángulo y su interior.

Podemos decir, tambi'n que re*i)n +o,i*ona, es la fgura p

que se orma al reunir un n&mero fde regiones triangulares.

UNIDAD DE FREA

Es la medida de un cuadrado cuyo es la unidad de longitud empleadala vida diaria, el área se mide pometro cuadrado m1; es decir,cuadrado de lado igual. A un metro

FREA DE UNA REGIN 8OIGON

E(presamos el área de una repoligonal por medio de un n&mero positivo que le corresponde cmedida. ste indica el n&mero de v

que la unidad de área está conteen la región poligonal.

E 8OTUADO DE ADICIN FREA%i dividimos una región poligonados o más regiones, entonces, su total, es igual a la suma de las áreatodas sus regiones parciales. Efgura,

a1

a2

a3

atotal L aC O a1 O aH

E 8OTUADO DE A UNIH.rea %e, &/a%ra%o


GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


El área de una región cuadrada, es b1 O 1A O h1 L -b O h01 -del paso 1 y TEOREMA DE FREA DEF

'



MODUAR! 1"#7$77igual al cuadrado de la longitud de sulado.

Aa $$

$

$

A L ι2

5enotaremos el área de una regiónpoligonal por el s!mbolo A y paraabreviar, nos reeriremos simplemente$el área del cuadrado, el área delrectángulo, el área de un triángulo, etc.En cada caso. Entendemos desdeluego, que se trata del área de laregión correspondiente.

TEOREMA DE FREA DERECTFNGUOEl área de un rectángulo, es el productode las longitudes de sus dos lados a loscuales llamaremos base -al lado mayor0

y altura -lado menor0.=i+)tesis!%ean los rectángulos sombreados deiguales dimensiones.

b2

92

A

A

b 9

b

9

b 9

b

9

9esis$ A L b hDe'ostra&i)n!Paso C$ #as áreas de los dos cuadradosde la fgura son b1 y h1 -Por el

postulado anterior0.Paso 1$ El área de toda la fgura es-bOh01

Paso H$ 9ambi'n, de la fgura, podemosobservar que su área es b1 O 1 O h1

H0b1 O 1A O h1 L b1 O 1bh O h1

Paso B$ :inalmente, simplifcando laigualdad anterior.

A L b.n

TEOREMA DE FREA DE8ARAEOGRAMOEl área de un paralelogramo, es igual alproducto de las medidas de su base y

altura.=i+)tesis!%ea el paralelogramo *#"2.

b* 2

"E#W

h

Tesis! A L b.hDe'ostra&i)n!

Paso C$ 9razo #"2E;#"*W ⊥⊥

y prolongo #" hasta W -"onstrucciónau(iliar0.Paso 1$ *W# ≅ 2E" - E2*W ≅ ,lados opuestos del rectángulo *WE2 y

"2*# ≅ , lados opuestos de unparalelogramo0.Paso H$ A*W"2 L A*W# L A*W"2 A2E" -5e lafgura, A signifca área y los sub!ndices0se referen al pol!gono.Paso B$ Es decir, A*#"2 L A*WE2

-%implifcando la igualdad anterior0.Paso D$ Pero A*WE2 L A L b.h -9eoremaanterior0 fnalmente, de los pasos B y D.

A L b.h

TRIFNGUOEl área de cualquier triángulo, es igualal semiproducto de la longitud de subase por la longitud de su altura.=i+)tesis!

%ea el ∆ *6N

* bE N

h

6 K

9esis$ A L1

.hb

De'ostra&i)n!

Paso C$ 9razo6*RRKN y*N RR6K

Paso 1$ ∠ K6N ≅ ∠ 6N* y ∠*6N ≅ ∠6NKPaso H$ ∆ *6N ≅ ∆ 6KN

Paso B$ A *6N O A6NK L A*6KN

Paso D$ 1A*6N L A*6KN

Paso $ A*6N L A L1

NM%& A y como

A*6KN LALb.h

Paso $ :inalmente, A L1

.hb

TEOREMA DE FREA DETRIFNGUO EUIFTEROEl área de todo triángulo equilátero, esigual al cuadrado de la longitud de sulado, multiplicado por la cuarta partede la ra!z de tres.

$$

N C1

2

A L

B

H1ι

TEOREMA DE FREA DE ROM?OPara hallar el área del rommultiplicaremos las medidas de diagonales y a este resultadodividiremos entre 1.

#

"

*

WdC

d1

A L1

. 1C( (

TEOREMA DE FREA DE TRA8EEl área de un trapecio, es iguaproducto de la longitud de su alturala longitud de la mediana.

*b1

"

bCW #

h


GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


+ 1C bbh

C/ L h 2eemplazando los datos en laió -W0 l i d h

b



A L

1

1Ch

9odos estos teoremas deben serdemostrados por el alumno.

EJERCICIO REUETO01@ Encuentre la longitud de la base

de un rectángulo, si su altura mideC1m. y su área es de HFBm1.

o,/&i)n!5atos$ A L HFB -área del rectángulo0 h L C1 -altura del rectángulo0Por teor!a, área del rectángulo ALb.h reemplazando datos en laigualdad anterior y resolviendo. HFB L -C10 -b0

C1

HFBLb L ⇒ b L H1

:inalmente, la longitud de la base esH1m.

02@ #a medida del área de unrectángulo es D//cm1, si la longitud

de su base es cinco veces lalongitud de su altura. <"uáles sonsus dimensiones=o,/&i)n!5atos$ A L D// -área del rectángulo0 b L Dh -relación entre base yaltura0%abemos que$ A L b.h ... -W0

V del segundo dato b L Dh ... -WW02eemplazando el valor de A y laecuación-WW0 en la ecuación -W0. D// L -Dh0 -h0

D

D//Lh1

C// L h1 e(trayendo la ra!z

cuadrada

2eemplazando el valor de h en laecuación -WW0. b L D-h0 L D-C/0 L D/:inalmente, las dimensiones delrectángulo son base D/ cm y alturaC/cm.

0#@ El área del un terreno de ormacuadrada mide G//m1. si se desea

cercar todo el terreno, <cuántosmetros de alambre necesitamos=o,/&i)n!5ato$ A L G//m1 -área delcuadrado0%abemos que el área del cuadrado

A L 1ι ... -W0

2eemplazando el dato en laecuación -W0 y resolviendo G// L 1

ι e(trayendo ra!zcuadrada. H/ L ι

Para cercar el terreno necesitamosconocer el per!metro del terreno.2ecordemos$Per!metro del cuadrado P L Bι

2eemplazando valores, L B-H/02esolviendo LC1/

:inalmente, necesitamos C1/m dealambre.

04@ %i el área de un paralelogramo esde H//cm1 y la longitud de su alturamide cm. Encuentra la longitud desu base.o,/&i)n!5atos$ A L H//cm1 -área del

paralelogramo0h L cm -altura0Por teor!a, área del paralelogramo A L b.h ... -W0

ecuación -W0 y resolviendo.

H// L b-0

H//L b %implifcando

D/ L b

:inalmente, la longitud de la basedel paralelogramo es D/cm.

0"@ %i el área de un paralelogramo es

CF ///m1. Además, su altura esDC

de la base. Encuentre susdimensiones.o,/&i)n!5atos$ A L CF /// -área delparalelogramo0

DC

=b

h -relación entre altura y

base0Por teor!a, A L b.h ... -W0

5el segundo dato$ h LD

b ...

-WW0

2eemplazando el valor de A, laecuación -WW0 en la ecuación -W0 yresolviendo$

A L b . h

CF /// L -b0

D

b

Eectuando CF /// L 1

DCb

G/ /// L b1

E(trayendo ra!z cuadrada H// L b

2eemplazando el valor del b en laecuación -WW0.

h LD

h LD

H//⇒ h L /

EJERCICIO 8RO8UETO Nº 001@ El área de un rectángulo es H/

Encuentre las longitudes de lados, si su base es el triple qualtura.

a0 C/m; H/m b0 C

1Dm c0 1/m; H/m

d0 CDm; H/m e0 *.a

02@El per!metro de un rectángulo eCB/m. y su diagonal mide DEncuentre su área.

a0 C 1//m1 b0 C H//m1 c0 C B//d0 C D//m1 e0 C //m1

0#@ El solar de una casa tiene B

largo por Hm de ancho <"uálocetas cuadradas de B/cm de se necesitarán para cubrir el piso

a0 C /// b0 C /// c0 CD //d0 CB /// e0 CB D//

04@ %i la base de un rectánguloCcm menos que el doble deancho. Encuentre su área, sper!metro es de CC1cm.

a0 Fcm1 b0 /cm1 c0 Fcd0 Fcm1 e0 *.a

0"@ En un rectángulo, sus lados

como H es a B y la suma de longitudes es 1/m mayor qulongitud de la diagonal. Encuesu área.


GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


a0 C C//m1 b0 C CD/m1 c0 C 1//m1

d0 C H//m1 e0 * a a0 D/cm; C/cm b0 D/cm; C/cm1"@%i en un triángulo rectángulo

isósceles su hipotenusa mide 1/20@Encuentre la longitud del lado d

triángulo equilátero si su área e



d0 C H//m1 e0 *.a

0@ El área de un rectángulo esCB,/Dm1. Al aumentar su ancho enm y quitarle esta misma cantidad asu base, su área aumenta en m 1.Encuentre las dimensiones delrectángulo.

a01/,BDm; H/,Bmb0 1H,BDm;H/,BDm

c0 1C,Bm; H/,Bm d0 1/,BDm;H/,B/me0 *.a

07@ %i un cuadrado tiene su diagonaligual a H/ 1 m <"uál será su área=

a0 FGGm1 b0 G//m1 c0 G/Cm1

d0 G/1m1 e0 G/Hm1

0$@ El área de un cuadrado es C//m1.si sobre al diagonal de 'ste seconstruye otro cuadrado. <"uál serásu área=

a0 C//m1

b0 1//m1

c0 H//m1

d0 B//m1 e0 *.a

0@El área de un cuadrado es CF/m 1.Encuentre el área de otro cuadrado,cuya diagonal mida diez veces ellado del primero.

a0 F ///m1 b0 G ///m1 c0

C/ ///m1

d0 ///m1 e0 *.a

10@%i las longitudes de un rectángulo

son 1/cm. 5e largo por H/cm deancho. <"uántos cm. 3abrá queaumentar al ancho y cuántosdisminuir al largo para que resulteun cuadrado de igual área=

a0 D/cm; C/cm b0 D/cm; C/cm

c0 /cm; CF/cm d0 /cm; CG/cm

e0 *.a

11@%i a los lados de un cuadrado leagregamos cm y Gcm. Entonces suárea se duplica. <"uál es la longituddel lado del cuadrado=

a0 Ccm b0 Ccm c0 CFcmd0 CGcm e0 *.a

12@El área de un rectángulo esC B//m1. si a su base leaumentamos 1/m y a su alturaD/m, entonces resulta un cuadrado.<"uáles son las dimensiones delrectángulo=

a0 1D,HCm; DD,HCm b0 1D,H1m;DD,H1mc0 1,HCm; DD,HC d0 1,H1m; DD,H1e0 *.a

1#@ #a base de un triángulo es Cm y

su altura correspondiente mide los

D

H de la base. Encuentre su área.

a0 CDC1,/m1b0 CDC1,Cm1c0

CDC1,1m1

d0 CDC1,Hm1e0 *.a

14@ <"uál será el área de un triángulorectángulo, si su hipotenusa mideB/ 1 m y uno de sus catetos es eldoble de otro=

a0 B/m1

b0 D/m1

c0 /m1

d0 /m1 e0 *.a

isósceles su hipotenusa mide 1/

1 m. Encuentre su área.

a0 D//m1 b0 B//m1 c0 H//m1

d0 1//m1 e0 *.a

1@#a hipotenusa de un triángulorectángulo orma con el catetomayor, que mide C H m, un

ángulo de H/Z. Encuentre su área.

a0 C1F H m1 b0 C1 H

m1 c0 C1 H m1

d0 C1D H m1 e0 *.a

17@El área de un triángulo es H/m1. #asuma de las longitudes de su basecon su altura respectiva es Fm.Encuentre estas longitudes.

a0 ,Hm; C/,Dm b0 ,Hm; C/,m

c0 F,Hm; C/,Dm d0 F,Hm; C/,m

e0 *.a

1$@ En un triángulo isósceles, suslados congruentes miden 1cm y subase 1/cm. Encuentre su área.

a0 11/cm1 b0 1B/cm1 c0 1/cm1

d0 1F/cm1 e0 *.a

1@ #os lados de un triángulo son Hn&meros enteros consecutivos. %i super!metro es G/m. y la altura dellado mayor mide 1D,/Fm.Encuentre su área.

a0 HFF,F/m1b0 HFF,F1m1c0HFF,FBm1

d0 HFF,Fm1e0 *.a

triángulo equilátero, si su área e1 H m1.

a0 C/ 1 m b0 CC 1 m c0 C1

d0 CH 1 m e0 *.a

21@ Encuentre la longitud de la ade un triángulo equilátero de igual a DB H m1=

a0 G 1 b0F 1 c0 1

d0 1 e0 *.a

22@ %i un triángulo equilátero tienealtura de longitud C

Encuentre su área.

a0 1DH H m1 b0 1DB

m1 c0 1DD H m1

d0 1D H m1 e0 *.a

2#@ %i el área de un paralelogramde Hm1 y su base mide CD,1

Encuentre la longitud de su altur

a0 1Hm b0 1Bm c0 1Dmd0 1m e0 *.a

24@ #a altura de un paralelogramde H/m y su área es de /,Encuentre la longitud de su base

a0 1D,HHm b0 1D,HBm c0 1D,HD

d0 1D,Hm e0 *.a

2"@ #os lados consecutivos deparalelogramo miden 11m y respectivamente. %i su diagmenor mide G/m. Encuentreárea.


GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


a0 H/,C1m1 b0 H/,CCm1c0 #0@#a diagonal mayor de un rombomide m más que la otra Encuentre diagonales es

1Encuentre el área

a0 m1 b0 C1m1 c0 1Bm



HH,C1m1

d0 HH,CCm1e0 *.a

2@ #os lados consecutivos de unparalelogramo miden HBm y CDmrespectivamente. El lado de CDmdetermina con su base un ángulo deH/Z. Encuentre el área delparalelogramo.

a0 1DDm1 b0 1/m1 c0 1Dm1

d0 1/m1 e0 *.a

27@%i la diagonal mayor de unparalelogramo es de HD,m y dos desus lados consecutivos miden Cm.y 1Bm. respectivamente. Encuentresu área.

a0 HC,HCm1 b0 HC,H1m1c0 HC,HHm1

d0 HC,HBm1e0 *.a

2$@ En un paralelogramo, su diagonalmenor mide DFcm y su base 1cm.Encuentre su área, si el ángulo queorma la diagonal menor con el ladomás peque+o es de G/Z

a0 1BB,HHcm1 b0 1BB,HBcm1

c0 1BB,HDcm1 d0 1BB,Hcm1

e0 *.a

2@El área de un rombo es G/m1, si unade sus diagonales mide CDm. <"uáles la longitud de la otra diagonal=

a0 C1m b0 C/m c0 CBmd0 CDm e0 *.a

mide m más que la otra. Encuentresus longitudes, si el área del romboes HB/m1.

a0 11,1Dm b0 1H,1Dm c0 1B,1Dmd0 1D,1Dm e0 *.a

#1@ En un rombo, sus diagonales estánen la relación D a C1. Encuentre suárea, si su per!metro es D1m.

a0 CC/m1 b0 CH/m1 c0 CD/m1

d0 C//m1 e0 C1/m1

#2@ #a relación de las diagonales de unrombo es como F es a C/ y ladierencia de sus longitudes es Bm.Encuentra su área.

a0 C/m1 b0 C1/m1 c0 C/m1

d0 C//m1 e0 *.a

##@El per!metro de un rombo es 11m.

la diagonal menor es losCD

F de la

mayor. Encuentre el área. 5el

rombo.

a0 HF1/m1 b0 HFB/m1 c0 HF/m1

d0 C D// e0 *.a

#4@ %i una de las diagonales de unrombo mide C/m más que la otra.Encuentre la longitud de cadadiagonal, si el área del rombo esHHm1.

a0 1C,Hm; HC,Hm b0 1C,Bm; HC,Bmc0 1C,Dm; HC,Dm d0 1C,; HC,e0 *.a

#"@%i los lados de un rombo miden C/

1Gm y la relación entre sus

diagonales esD

. Encuentre el área

del rombo.

a0 C ///m1 b01 ///m1 c0 H ///m1

d0 B ///m1 e0 *.a

#@ El per!metro de un rombo es CF/my la suma de sus diagonales esCD1m. Encuentre su área.

a0 HD/m1

b0 HD1m1

c0 HDBmd0 HDm e0 *.a

#7@ El per!metro de un rombo es Fmy la dierencia de sus diagonales esCFm. Encuentre su área.

a0 1/m1 b0 1/Fm1 c0 1/1m1

d0 1/Bm1 e0 *.a

#$@ #a diagonal de un rectángulo mideD/m. si su área es equivalente a lade un rombo cuya diagonal menores igual a la altura del rectángulo ymide H/m. Encuentre la longitud dela diagonal mayor de rombo.

a0 F/m b0 G/m c0 /md0 /m e0 *.a

TAREA DOMICIIARIA

01@ #os lados >"yA> de untriángulo isósceles A>" miden 1/, ellado A" mide 1B, se trazan "P , tal

que >P LD y A: -: en P" 0, talque P: L 1 :". "alcular el área AP:.

a0 BF b0 1 c0 Gd0 C/F e0 *.a.

02@ En un triángulo isósceles A>", A"L >"; se traza la mediana >6 y

la altura "3 intersectándose en :."alcular el área A3:6, si el área deltriángulo A>" es 1m1.

d0 Hm1 e0 *.a.

0#@ El área de un triángulo es "alcular el área del triángulo tiene por v'rtices los puntos mede dos lados y el baricentrotriángulo.

a0 Dm1 b0 C/m1 c0 C1md0 CDm1 e0 *.a.

04@ En la siguiente fg

BC

== AD

ED

BC

BD; sA>"L C

"alcular %AE".

A

>

E

5

"

a0 Dm1 b0 Fm1 c0 C/md0 C1m1 e0 *.a.

0"@ El área de un triángulo A>" esA>LC/, >"LF; se traza la bisee(terior >: . "alcular el área A>

a0 / b0 CD/ c0 H//d0 CD/ 1 e0 *.a.

0@ En un triángulo A>", se trazamediana A6 y la bisectriz

intersectándose en P, si el área es C/m1; A>LDm y >"Lm. "alcel área A>".

a0 Cm1 b0 H1m1 c0 BFm


GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


d0 Bm1 e0 *.a. áreas de las regiones sombreadas.5ecir que relación se cumple

14@ "alcular el área de la regiónsombreada si >6L6"; W es incentro d0

1ae0 *.a.



07@ En un triángulo P2, la mediana

P6 y la altura * se

intersectan en @, tal queF

H

*

@*= .

"alcularP2

@6

%

%

a0D

Cb0

Cc0

C

d0F

Ce0G

C

0$@ El área de un triángulo A>" esH/cm1. se traza la bisectriz interior

>5 , de tal modo que A5 LHm y5"Lm. "alcular el área deltriángulo A>5

a0 Dm1 b0 Gm1 c0 C1m1

d0 CDm1 e0 *.a.

0@ El área de un triángulo A>" esC/m1, los lados A"yA> midenBm y m respectivamente; se trazala bisectriz interior A: . "alcular elárea del triángulo A:>.

a0 1m1 b0 Bm1 c0 m1

d0 Fm1 e0 *.a.

10@ En un cuadrilátero A>"5, A>LHm,"5LDm; A5L, y A"Lm. "alcularel área de la región triangular A>",si m∠>A"Lm∠"5A

a0 m1 b01

m1 c0 1

m1

d01H m1 e0 *.a.

11@ En el gráfco, A>"5 es uncuadrado, siendo %C, %1 y %H las

5ecir que relación se cumple.

A >

5 "

P%H

%C

%1

a0 %HL1-%CO%10b0 %HL1%CO%1

c0 %HY1-%CO%10 d0 %HX1-%CO%10 e0*.a.

12@ En el gráfco, >"LDcm y E:LHcm,si el área de las región cuadrangularE:"> es de Ccm1. 3allar el área dela región triangular A>".

A

>

"

E

:

a0 1/cm1 b0 1Bcm1 c0 1Dcm1

d0 1cm1 e0 H/cm1

1#@3alle %(, si A>"5 es unparalelogramo %CLBm1; %1 LC/m1.

A 5

"> P

%C

%1

%(

a0 Hm1 b0 Dm1 c0 m1

d0 Gm1 e0 m1

sombreada, si >6 6"; W es incentrodel triángulo 6"5, A>LFm,A5LC16.

> 6 "

A 5

W

a0 Cm1 b0 CFm1 c0 1/m1

d0 C1m1 e0 *.a.

1"@ El área del rectángulo >E:K esD/m1. 3allar el área de la regiónsombreada 3:W5.

> E "

A 5

W

3

K:

a0 B/m1 b0 D/m1 c0 /m1

d0 /m1 e0 F/m1

1@ En la fgura mostrada, A>"5 es uncuadrado de lado a , donde 6 espunto medio de "5 . "alcular elárea de la región sombreada.

" >

5 A

6

P

a0F

1a b0

1a c0

1a

d0D

e0 *.a.

17@ En un trapezoide A>"5,>5 L y la proyección de la diagonal%obre una recta perpendicula

>5 en 5 mide C/m. "alculaárea del trapezoide.

a0 C/m1 b0 F/m1 c0 B/md0 C1/m1 e0 *.a.

1$@3allar el área de la fsombreada, si A>"5 es un cuadcuyo lado mide /cm y el ladocuadrado peque+o E:K3 mC1cm.

>

A 5

3E

:K

a0 C1Dcm1 b0 CDC1cm1 c0CDDcm1

d0 CDcm1 e0 *.a.

1@ En la fgura hallar el áreacuadrilátero P2%, si A>LC1>"LGm. 9 es punto medio de AP es punto medio de A5 .

>

A

2 9

%

P

"

5


GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


a0B

BCm1 b0

B

BDm1 c0

B

Cm1

# " El área de la corona circular, es iguπ por la dierencia de los cuadrado



B B B

d0B

BHm1 e0

B

Bm1

20@ A>"5 es un rectángulo cuyo largoes el doble del ancho, siendo P y puntos medio de los segmentos

>@ y "@ , respectivamente."alcular el área de la fgura

sombreada, si P mide 1 1 m

>

A

@

P

"

5

a0 Dm1 b0 1 m1 c0 CC 1

m1

d0 D 1 m1 e0 1 m1

FREA DE 8OPGONOTeore'a "4El área de todo pol!gono regular, esigual al semiproducto de la medida delper!metro por la longitud de suapotema.

=i+)tesis!%ea el he(ágono regular *W#"E2 con*WOW#O#"O"EOE2O2*Lp-per!metro0y @6 apotema.

E@

* 6 2

a

W

9esis $ AL

1

. a )

De'ostra&i)n !

Paso C $ 7no @ con los v'rtices parormar triángulos -"onstrucciónau(iliar0.Paso 1$ Pero pol!gono*W#"E2L∆*@WO∆W@#O∆@#"O∆@"EO∆@E2O∆@2*

-Por defnición de región triangular0.Paso H$ A*W#"E2LA*@WOAW@#OA@#"OA@"EOA@E2OA@2*

-Por el postulado de adición de áreas.0

Paso B$ A∆*@2L1

. aι-9eorema del área

del triángulo0.

Paso D$ A*W#"E2L

1. aι -Pues todos

los triángulos son congruentes0.

Paso $ Pero ι Lp, entonces, AL

1

. a )

AREA DE CPRCUOTeore'a ""El área del c!rculo es igual alsemiproducto de la longitud de lacircunerencia por la longitud del radio.

=i+)tesis!

En la fgura, el c!rculo de centro @ tienesu radio de longitud 2 y sucircunerencia de #ongitud ".

@

$n

an

9esis$ A L1.RC

De'ostra&i)n!

Paso C$ Wnscribo un pol!gono regular den lados, de apotema a y per!metro p.

Paso 1$ ApolL1

.a ) -9eorema anterior0.

Paso H$ Aumentado indefnidamente eln&mero de lados de este pol!gonohasta tal punto que el per!metro de'ste se conunda con el de la

circunerencia, la apotema con el radio,y el área del pol!gono con el área delc!rculo.

Paso B$ :inalmente, de los pasosanteriores

A L1

.RC

COROARIO 1El área de todo c!rculo, es igual alproducto de π por la longitud de suradio elevado al cuadrado.

A L π21

COROARIO 2

π por la dierencia de los cuadradolas longitudes de los radios dec!rculos que la orman.

r

2

A L π-21 r10

FREA DE ECTOR CIRCUAR ATeore'a "El área de todo el sector circulaigual al semiproducto de la longitusu arco por la longitud de su radio.

@2

α

$

A L1

.Rι

5emostrar este teorema. 9ambi'n podemos encontrar el áreasector circular como el semiprodde la medida del ángulo α e(preen radianes por el cuadrado dlongitud de su radio.

A L

1

1Rα ó A L

ZH/

Z 1Rα π

%i el ángulo está e(presado en grase(agesimales emplee la seguigualdad.


REA DE

GEOMETRIA

Universitario


IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


EJERCICIO 8RO8UETO Nº 02 d01

Be0 *.a. 11@ En un triángulo rectángulo los

1"@ 3allar la longitud de circunerencia cuyo c!rculo tien



01@ 3alla el área del pol!gono regular,s i su per!metro es cm y suapotema mide Hcm.

a0 Gcm1 b0 Fcm1 c0 cm1

d0 cm1 e0 Dcm1

02@ "alcule el área de un he(ágonoregular, cuyo lado mide Hm y su

apotema es Cm.

a0 Dm1 b0 m1 c0 m1

d0 Fm1 e0 Gm1

0#@ 3allar el área de un cuadradoinscrito en una circunerencia deradio 2.

a0 121 b0 B21 c0 21

d0 F21 e0 C21

04@ "alcular el área de un triánguloequilátero, inscr ito en unacircunerencia de radio 2.

a01

HH 1Rb0

HH 1Rc0

C

HH 1R

d0F

HH 1Re0

B

HH 1R

0"@ 3allar el apotema de un he(ágonoregular, inscrito en unacircunerencia de radio H 2.

a0H

C2 b0

1

H2 c0

H

12

10@ "alcule el área de un cuadrado

circunscrito a una circunerencia deradio r.

a0 .1 r1 b0 . r1 c0 .B r1

d0 .F r1 e0 *.a.

07@ "alcule el radio de unacircunerencia, si el lado del

cuadrado inscrito mide Fcm.

a0 C 1 cm b0 1 1 cm c0 H 1

cmd0 B 1 cm e0 *.a.

0$@ 5etermine el área del he(ágonoregular, inscrito en unacircunerencia de radio 2.

a01

HH 1Rb0

B

HH 1Rc0

HH 1R

d0F

HH 1Re0 *.a.

0@ 5etermine el área del octógonoregular inscrito en unacircunerencia, en unción del radio2.

a0 Fcm b0 cm c0 Bcm

d0 1cm e0 *.a

10@ El área de un he(ágono regularinscrito en una circunerencia mide

D/ H m1

. "alcule su apotema.

a0 Hm b0 Dm c0 m

d0 Gm e0 m

g gcatetos miden cm y Fcm,respectivamente. "alcule el radio dela circunerencia inscrita.

a0 Bcm b0 Hcm c0 cm

d0 1cm e0 Dcm

12@ "alcule el radio de lacircunerencia inscrita en untriángulo rectángulo, cuyos lados

miden Ccm, H cm y 1cmrespectivamente.

a0B

0CH- −b0

H

CH − c0

1

0CH- −

d0

0CH- −e0 *.a.

1#@ En la fgura, A"LDcm, A%LHcm."alcule el área del c!rculo.

2

%

">

A

a0 πcm1 b0 1πcm1 c0 Cπcm1

d0 Bπcm1 e0 Hπcm1

14@ "alcular el área de un c!rculo de

Fm de diámetro.

a0 Cπm1 b0 CFπm1 c0 CBπm1

d0 C1πm1 e0 C/πm1

yárea de Dπm1.

a0 D πm b0 1 D πm c0 B

πmd0 H D πm e0 *.a

1@ "alcular el área de un c!circunscrito a un cuadrado, sapotema mide 1m.

a0 Fπm1 b0 C/πm1 c0 πmd0 Bπm1 e0 1πm1

17@ 3allar el área de un sector circcomprendido en un ángulo de Hun radio de Hm.

a01

Hπ

m1 b0H

Hπ

m1 c0

m1

d0D

Hπ

e0 *.a

1$@ "alcule el área de un secircular comprendido en un ánde /Z, sabiendo que la longitula circunerencia es igual a Fπm.

a01

Fπ

b0H

Fπ

c0B

Fπ

d0D

Fπ

e0 *.a

1@ "alcular el área de un secircular comprendido en un ánde /Z, si el área del c!rculo

C1πm1.

a0 1πm1 b0 Bπm1 c0 πm


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


d0 Fπm1 e0 C/πm1 24@ "alcule el área de un c!rculo enorma apro(imada, si su radio mide 27@ "alcular el área del c!rculo. c0 -HπO1 H 0m1 d0

0BHF- π



20@ "alcular el ángulo correspondientea un sector, cuya área es 1πm1 y elárea del c!rculo es de C1πm1.

a0 1/Z b0 H/Z c0 B/Z

d0 D/Z e0 /Z

21@ "alcular el área de la corona

circular, si los radios de los c!rculosconc'ntricos, miden Hm y 1mrespectivamente.

a0 Dπm1 b0 D,Dπm1 c0 πm1

d0 ,Dπm1 e0 *.a

22@ "alcule el área de una coronacircular entre dos c!rculos de - D

OC0m y - D )C0m de radio,respectivamente.

a0 B D πm1 b0 H D πm1 c0 1 Dπm1

d0 D πm

1

e0 *.a.2#@ "alcule el área del sector

mostrado, si rL H m y αLH/Z

@ r

α

a01

π m1 b0

B

Cπ

m c0B

π m1

d0 1πRBm e0 *.a

11

m.

a0 Cm1 b0 C,1m c0 C,Hm1

d0 1m1 e0 1,Cm1

2"@"alcule el área de la regiónsombreada -9rapecio circular 0deradios 2Lcm y rLHcm, y αL/Z

r

2

α

a01

Fπ

cm1 b0H

Gπ

cm1 c0

Gπ

m1

d01

Gπ

e0 *.a

2@ 3allar el área de la región

sombreada -segmento0, si αLH/Z yrL m.

r

rα

P

@

a0

+

BC

C1π

m1 b0

−BC

C1π

m1

c0

−HC

C/π

m1 d0 D

+

B

C

CC

π

m1

e0

−BC

C1π

m1

cm C/m

"

a0 Bπ1m1 b0 Hπ1m1 c0 Bπm1

d0 Hπm1

e0 *.aTAREA DOMICIIARIA

01@ %i el he(ágono de la fgura esregular, siendo P, y 2 puntosmedios de los lados. "alcular el áreade la región sombreada, si rLBm.

P

2

r

a0 CD H m1 b0 CB H m1c0 CH H

m1

d0 CC H m1 e0 C H m1

02@ El triángulo A>" es equilátero."alcular el área de la fgurasombreada, si el área del triánguloA>" es B H m1.

>

"A

a0 F-BπOH H 0m1 b0 F-HπO H 0m1

1

H

0BHF-m

π −

e0 *.a.

0#@ En el triángulo A>", P, y 2puntos medios. "alcular el árela fgura sombreada, si A>LC1m

>

"A

P

2./Z ./Z

a0 CF-1 H Oπ0m1 b0 CF-1

π0m1

c0 CF-1 H OHπ0m1 d0 CF-

Oπ0m1

e0 *.a.

04@ "alcular el área de la fsombreada, si A5 perpendicular a ">.

2

A

>

"

52 @

a0 H21 b0 121 c0 B21

d0 21 e0 21

0"@ En la fgura, las circunerencias son iguales yradio 2LC1m. calcular el área dfgura sombreada.


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


0$@ 3alle el área de la regiónsombreada, si el radio mide Cm.i d diá

d0 Cm1 e0 *.a.

C*



/Z2

/Z

2

a0 CBB H m1 b0GD H m1 c0C// H

m1

d0 C1/ H m1

e0 *.a.

0@ El lado de un cuadrado mide B-

1 OC0m. calcular el área de lafgura sombreada.

a0 -B ) π0m1 b0 B-π ) 10m1

c0 B-B ) π0m1 d0 Bm1

e0 1-B ) π0m1

07@ En la fgura, A> es diámetro y

1C

=BC

AB; determinar el área de la

región sombreada, si 2L1 H m

2A >

5

"

a0 -1C H )Bπ0m1b0 -C H )Hπ0m1

c0 -1C H ) Dπ0m1 d0 -1C H )

Hπ0m1

e0 *.a.

siendo "5yA> diámetrosperpendiculares.

5

>

"

A

a0 -π ) 10m1 b0 − 1BDπ

m1

c0

− H

1

Dπ

m1 d0 -Hπ)1 H 0m1

e01

π m1

0@ "alcular el área de la fgurasombreada, si el radio mide H m.

C@1@

a0 πm1 b01

π m1 c0

H

π m1

d0D

1π

m1 e0B

π m1

10@ 5eterminar el área de la porciónsombreada, si el radio de lacircunerencia mide Cm.

B

a0 1m1 b0 m1 c0 Fm1

11@ 3alle

1

C

*

*. %i A@L@> y @PLP

%C %1

A

@ >2

P

a01

C 2 b01

C c0B

C 2

d0B

Ce0 1

12@ 3allar el área de la región

sombreada

a

a

a0B

0H1-1 −+π ab0

C10HH1-1 −+π a

c0

0HH1-1 −+π ad0

B0HHH-1 −+π a

e0*.a.

1#@ 3allar el área de la región

sombreada.

a

a

a0

1aπ b0

F

1aπ c0

G

a1π

d0D

Da1πe0 *.a

14@ 3allar el área de la re

sombreada.

1a

1a

a0 a1 b011 c0 H1

d0D

B 1a

e0D

1 1a

1"@ 3allar el área de la resombreada, si @AL@>, 2L1 H

m∠A@>LH/Z

H/Z

>

A

2

@

a0 -CDπ) H 0m1 b0 -CBπ)H 1 0m

c0 -H/π) 0m1 d0 -1Dπ) H 0m


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio


CIENCIASIEP "LORD KELVIN"


e0*.a.

1 5eterminar el área de la regióna0

1

1ab0

D

1 1ac0

D

H 1a d0 1/cm1 e0 *.a.

22 #a fgura muestra un cuarto de



1@ 5eterminar el área de la regiónsombreada, si el área del cuadradoA>"5 es a1.

A

> "

5

a0B

0CH-1 −ab0

B

0CH-1 +a

c0H

0CH-1 −ad0

H

0CH-1 +a

e0a1 - 1 )C017@ 3allar el área de la región

sombreada, si "EL H m y A>"5 esun cuadrado.

A

> "

5

H/Z

E

a0 Hm1 b0 m1 c0 C,Dm1

d0 B,Dm1 e0 Fm1

1$@ %i A>"5 es un cuadrado, hallar elárea de la región sombreada.

A

>

5

"

a

1 D D

d0D

1ae0

B 1a

1@ En la fgura, encontrar el área delcuadrado A>"5, sabiendo que:ELGcm; AELCDcm y 5ELCHcm

A

>

5

"

: E

a0 Ccm1 b0 CFcm1 c0 CGcm1

d0 1Dcm1 e0 Hcm1

20@ En la fgura mostrada, se pide elárea de la región sombreada, sirLBcm y el lado del cuadrado A>"5mide 1 H cm.

A

> "

5

r

r

a0 - ) H 0cm1 b0 H-1 ) H 0 cm1

c0 -1 ) H 0cm1 d0 H-B ) H 0cm1

e0 B-H ) H 0cm1

21@ 7na circunerencia de 1cm de

radio está inscrita en un triángulode C/cm de hipotenusa. "alcular elárea de dicho triángulo

a0 Hcm1 b0 1Bcm1 c0 CFcm1

22@ #a fgura muestra un cuarto dec!rculo y un semic!rculo A6L6@L1

H m. 3allar el área de la regiónsombreada.

@

A

*

>

6

a0 -Dπ ) H 0m1 b0 -Dπ O H 0m1

c0 -Bπ ) H 0m1 d0 -Bπ O H 0m1

e0 -C/π ) H H 0m1

2#@ 3allar el área de la regiónsombreada, si A@> es un sectorcircular de ángulo central /Z yradio 2L cm.

@

A

2 >

/Z

a0 - H O π0cm1 b0 -1π ) H 0 cm1

c0 -π O 1 ) H 0cm1 d0 -1π O H

0cm1

e0 -π ) H 0cm1

24@ "alcular el área de la regiónsombreada, si el radio de lacircunerencia mide H +.

a0 π +1 b0 H H +1 c0 B+1

d01

HH+1 e0 π H

2"@ En la fgura, m>E L mE" ; punto de tangencia. 5eterminaárea del triángulo A>", si 2L-OC0.

"

A

2

> 5

E

a0 - 1 O C0+1 b01

0C1- + +1

c01

0C1- − +1 d0 - 1 ) C0 +1

e0 *.a.2@ En la siguiente fgura, halla

área de la l&nula 6"*5, si el de la fgura curvil!nea A@E6 O >mide C/m1.

E

"

:

@A >

5

6 *

a0 C/1m1 b0 1//m1 c0 C//d0 CC/m1 e0 *.a


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio




27@ #os diámetros de lasemicircunerencias son A"L5> "5

?RE>E NOCIONE DE GEOMETRPAE8ACIA

recibe el nombre de arista del ándiedro y la unión de cualqsemiplano con la arista se llama &ETRUCTURA



semicircunerencias son A"L5>, "5 V A>. %i el radio del c!rculo dediámetro :E mide Fm. "alcular elárea de la parte sombreada que seindica en la siguiente fgura.

E

"]@

@A >

2

:

5

a0 D πm1 b0 B πm1 c0 DD πm1

d0 BB πm1 e0 *.a.

Antes de empezar est' cap!tulo terecomiendo revisar las defnicionesdadas de plano, posiciones relativas derectas y planos dados al iniciar elestudio de la geometr!a.

FNGUO DIEDRO%abemos que al intersecarse dos rectascoplanares, determinan cuatro ángulos,

tal como se aprecia en la fgura -a0.

$1

$2

α αγ

γ

:igura -a0

%i tenemos dos planos en el espacioque se intersecan en una l!nea recta,como muestra la fgura -b0, entonceslos planos PC y P1 y la recta lC, ormancuatro fguras, cada una de las cualestiene la orma que se muestra en lafgura -c0. 7na fgura de esta clase

recibe el nombre de .n*/,o %ie%ro yel segmento *K arista %e, .n*/,o%ie%ro.

$1

fgura -b0

P1

P2

DEKINICIN"uando dos semiplanos no pertenezcan

a un mismo plano y compartan lamisma arista, entonces la unión dedicho semiplanos en su arista ormanun .n*/,o %ie%ro la recta com&n

semiplano con la arista se llama &del ángulo diedro.

fgura -c0

*

K

Arista

NOTACINPara describir un ángulo dienecesitamos conocer qu' rconstituye su arista. Podemos hesto nombrando dos puntos * y K darista. Entonces denotamos el ándiedro por ∠*K.

MEDIDA DE UN FNGUO DIEDROEn la fgura, tenemos el ángulo di*K, y el plano perpendicular aarita. #a intersección del pperpendicular con el ángulo diedro

llama .n*/,o re&ti,5neo del ándiedro.

*

K

g

ψ

#a medida de un ángulo diedro en&mero real que es la medida de cuno de los ángulos rectil!neos.ángulo diedro recto, es aquel c

ángulos rectil!neos son ángulos rec5os planos son +er+en%i&/,arecontienen un ángulo diedro recto.

FNGUO TRIEDO


Sreas y 8ol&menes

Sngulo 5iedro

Sngulo 9riedro

"ono 2ecto

5efnición*otación6edida de un Sngulo 5iedro

5efnición*otación2elación Entre sus "aras"lasifcación

5efniciónElementos

Prisma 2ectoPrisma @bl!cuoParalelep!pedo"ubo

El Paralelep!pedo

Poliedros 2egulares

*ociones de Keometr!aEspacial

Sngulo Poliedros

"lasifcación

"arasAristas8'rticesSngulos 5iedrosSngulos Poliedros5iagonal

Elementos

"lasifcación

"lasifcación

El prisma

El 9ronco de Prisma

%ólidos Keom'tricos

"il!ndro

"il!ndrica"ónicaEs'rica

"ono

"aras #aterales

8'rticesAristas>ases

Altura

%uperfcies de 2evolución

de %ólidos

#a Pirámide

@ctoedro o 2ectoed2omboedro3e(aedro 2egularPropiedades

Prisma

Pirámide 2egular"ilindro

Esera

CA8 TUO JI> - GEOMETR A DE E8ACIO

GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio




%i tenemos tres rectas no coplanariaslC, l1 y lH que se cortan en un solo puntoN, entonces 'stas determinan tres

REACIN ENTRE U CARA8RO8IEDADEa0 En todo triedro, una cara es menor

confnes de este espacio encerrado.Este es un e4emplo sencillo de unpoliedro.

CAIKICACINEl siguiente cuadro muestraclasifcación de los poliedros



N, entonces 'stas determinan tresplanos$ PC, P1 y PH, como muestra lafgura, y tres ángulos diedros de aristas*N, WN, y N".

$1

$2$

N

"*

P1 P

2

P

DEKINICIN#lamamos ángulo triedro o triedro, alcon4unto de los puntos comunes aestos tres ángulos diedros.El punto de intersección de las tresrectas se denomina v'rtice del triedro,las semirectas que se determinan a

partir de sus v'rtices se llaman aristas,los ángulos planos *NW, WN" y *N" sonlas caras del triedro y los diedros dearistas N*, NW, y N" son los diedros deltriedro.

NOTACINPodemos describir un ángulo triedro delas siguientes cuatro ormas, teniendoen cuenta la fgura anterior.a0 Por sus aristas$ triedro N".b0 Por su v'rtice y sus tres aristas$

triedro N*W".c0 Por su v'rtice$ triedro N, sólo cuando

va aislado.d0 Por sus caras$ triedro n, i, c. #a cara

se designa con la letra min&scula desu arista opuesta.

a0 En todo triedro, una cara es menorque la suma de las otras dos ymayor que su dierencia. En lafgura.

c n Y i Y c O nb0 En todo triedro se cumple que la

suma de sus caras es menor quedos ángulos llanos.

c0 Al sumar los ángulos diedros de untriedro, obtenemos un n&mero

comprendido entre CF/Z y DB/Z.

CAIKICACINEl cuadrado siguiente muestra como seclasifcan los triedros.

TRIEDRO RECTO

@29@E52@ @2E"9S*K7#@

%on todos los triedrosque tienen una desus caras ormadapor un ángulo recto.

>W@29@E52@ @>W2E"9S*K7#@

%on todos los triedrosque tienen dos carasque son ángulosrectos.

92W@29@E52@ @ 92W2E"9S*K7#@

"uando sus trescaras son ángulosrectos.

IOEDRO

92WE52@W%`%"E#E% @

W%@E52@

Es aquel triedro quetiene la medida delos ángulos de suscaras iguales y desus diedros opuestos,tambi'n iguales.

8OIEDRO"onsideremos el espacio interior

encerrado por una ca4a o el espacioencerrado por las paredes de unahabitación. En ambos casos podemosapreciar que las paredes son los

poliedro.

"

*

E

2

K

#

W

6

DEKINICIN%i cuatro o más planos encierran unespacio, de manera que los l!mites dedicho espacio son estos planos.Entonces, estos l!mites orman elpoliedro o sólido geom'trico.

EEMENTOCARA%on cada una de las regionespoligonales que limitan el poliedro. Enla fgura, una de ellas es *WK2.ARITA%on los lados de las regiones

poligonales; es decir, de sus caras. Enla fgura, tenemos K",*W , 2E ,etc.>LRTICE#ugar geom'trico de donde seencuentran tres o más aristas. En lafgura, tenemos *, W, #, etc.FNGUO DIEDRO%on los diedros ormados por cada doscaras consecutivas. En la fgura, K2,#", etc.FNGUO 8OIEDRO%on los ángulos de los v'rtices. En lafgura, estos son 2, E, ", etc.DIAGONAEn el segmento de recta que une dosv'rtices que no están en una mismacara. En la fgura, podemos apreciar a

WE

clasifcación de los poliedros

Por su n&mero de"aras

BLtetraedro,DLpentaedro,Lhe(aedro,FLoctaedro, etc.

Por su%ecciónPlana

"onve(os

"uando todas secciones planasconve(as.

"óncavos

"uando por lo muna de sus secplanas en cóncava

Por laregularidad eirregularidad de suselementos

2egulares

"uando todas sus

son pol!gonos regcongruentes, as! sus diedros anguloides.

Wrregulares

"uando sus carapol!gonos irreguladesiguales y angudesiguales.

8OIEDRO REGUAREA continuación mostramos los &npoliedros regulares que e(isten; 'son sólo cinco y son los siguientes$

Tetrae%ro :ormado por B triánguEquiláteros

=e;ae%ro :ormado por rectáng-cubo0


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio




IDO GEOMLTRICO

El siguiente cuadro muestra laclasifcación de los prismas.

H. %i un plano corta a cuatro dearistas paralela, determinan paralelogramo sobre el plano.



O&tae%ro :ormado por F triángulosequiláteros

Do%e&ae%ro :ormado por C1pentágonos regulares

I&osae%ro :ormado por 1/ triángulosequiláteros

Poliedrosregulares

*&mero decaras

*&mero de

Aristas

*&mero de

8'rtices

*&merode

"araspor

v'rtice

9etraedro

B 9riángulosEquilátero

s

B H

3e(aedro

"uadrados C1 F H

@ctaedro

F 9riángulosEquilátero

s

C1 B

5odecaed

ro

C1Pentágono

s regulares

H/ 1/ H

Wcosaedro

1/ 9riángulosequilátero

s

H/ C1 D

E 8RIMA 9odo prisma está ormado por dosregiones paralelas -a las cuales se lesdenomina >A%E%0 y por un n&mero deparalelogramos igual al n&mero delados que tienen los pol!gonos de lasbases -los cuales reciben el nombre de"A2A% #A9E2A#E%0 como semuestra en la fgura.

E]7

#]6

*

W # "E

2

A *

EEMENTO

>LRTICEEn la fgura, 'stos son *; W; #; "; E; 2,

etc.

ARITAEn la fgura, podemos apreciar *2; 2E;E"; "7; WA; etc.

?AE%on las regiones poligonales paralelas ycongruentes. En la fgura, tenemosP@#WK@*@*W#"E2 y P@#WK@*@6A*7E^#^

CARA ATERAEEn la fgura, tenemos *2#^6;2EE^# ; "EE 7; "#*7; #WA* y

W*6A.

ATURAEs la distancia entre sus bases.

CAIKICACIN DE O 8RIMA

8ris'asRe&tos@

%i las aristas lateralesson perpendiculares asus bases.

8ris'asO,i&/os

%i las aristas lateralesson oblicuas a sus bases.

8ris'asRe*/,ares

% i sus bases sonpol!gonos regulares yademás, es un prismarecto.

8ris'as

Irre*/,ares

%us bases son pol!gonos

irregulares.e*n e,n'ero %es/s &aras,atera,es

Estos pueden sertriángulos,cuadrangulares,pentagonales, etc.

E 8ARAEE8IDEDOEste es un prisma cuyas bases son dosparalelogramos y se clasifcan en

ORTOEDRO O RECTOEDROEn este paralelepipedo, sus caras sonrectángulos y se le suele denominarparalelepipedo rectángulo.

ROM?OEDRO"uando todas sus caras son rombos.

=EAEDRO REGUAR"uando todas sus caras son cuadrados.A este paralelepipedo lo conocemoscomo cubo.

8RO8IEDADE

C. En un paralelepipedo sus carasopuestas son iguales y paralelas.1. 9odas las diagonales del

paralelepipedo se cortan en supunto medio.

p g pB. #a diagonal de un ortoedro es

a d1La1Ob1Oc1 donde a,b y c solongitudes de sus aristas.

E TRONCO DE 8RIMA%i tenemos un plano no paralelo abases de un prisma, entonces cuaeste plano corte a las aristas laterdel prisma, determinará una re

poligonal no paralela a las basesprisma. #a porción del espencerrado por este pol!gono y unsus bases se denomina +ritr/n&a%o. El tronco de prisma puser triangular o de mayor n&merocaras y puede ser recto o oblicuo.

A 8IRFMIDEEs el poliedro cuya base es una repoligonal y sus caras son triángulostienen un v'rtice com&n

CAIKICACIN


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETR

Universrio




a0 Por el n&mero de lados de su base'stos pueden ser triangulares otetraedros, cuadrangulares,

invariable. #a fgura muestra suselementos.

2adio>ase superior

>A%E



pentagonales, etc.b0 Por la orma de su base pueden ser$

2egulares e irregulares, conve(as ocóncavas.

U8ERKICIE DE RE>OUCIN

Enti'ndase por revolución al giro ovuelta alrededor de un punto o un e4e,

como por e4emplo, la revolución o girodel la tierra alrededor de su e4e.Entonces una superfcie de revoluciónes aquella que se genera por cualquierl !nea, recta o curva, a la cualdenominaremos *eneratri(, al giraralrededor de una recta f4a llamada e4e.Podemos generar muchas superfciesde revolución de distintas ormas, peronuestro inter's, sólo estará puesto entres de ellas, las cuales son

CIPNDRICAPodremos generar una superfciecil!ndrica, si hacemos girar una rectaparalela a la recta e4e. En la fgura, seaprecia como se genera una superfciecil !ndrica de revolución y suselementos.

2

(

y

2ecta generatri-g0 6óvil

2ecta e4e6óvil

CNICAKeneramos una superfcie cónica,cuando una recta que es secante con larecta e4e, gire alrededor de 'staormando con la recta e4e un ángulo

$1

8 L 8'rtice

2ectaKeneratriz

r

EKLRICAKeneramos una superfcie es'rica algirar una semicircune)rencia alrededorde su diámetro. #a fgura, se+ala suselementos.

5iametro

%E6W"W2"7*:E2E*"WA

CIPNDROEs aquella porción del espacio limitadopor una superfcie cil!ndrica derevolución y dos planos paralelos entresi y perpendiculares al e4e del cilindro.En la fgura, se indican sus elementos.Podemos generar un cilindro sihacemos girar un rectángulo alrededorde uno de sus lados. #a longitud dellado que sirve de e4e será la a,t/ra %e,&i,in%ro y la longitud del otro lado será

el ra%io %e, &i,in%ro@

>ase inerior

E4eKeneratriz, #ado

CONO@btendremos un cono, si a unasuperfcie cónica de revolución lacortamos por un plano perpendicular asu e4e. En la fgura, se indican suselementos.Podemos generar un cono, si hacemosgirar un triángulo rectángulo alrededorde uno de sus catetos entonces, lalongitud de este cateto será la alturadel cono, mientras que la longitud delotro cateto, será el radio de lacircunerencia base.

EEKeneratriz

2A5W@

>A%E 5E#"@*@

FREA B >OUMENE DE IDO8RIMAp$ per!metro de la base.a$ arista lateral.

a

8RIMA RECTO

Srea lateral-%#0 %#L -a0 -p0Srea 9otal -% 90 % 9 L %# O 1%>A%

8ol&men -80 8 L -%>A%E0 -a0

8RIMA O?PCUOP2$ per!metro de la sección recta

>A%E

a

%E""W`* 2E

h L A#972A

P#A*@

e&&i)n Re&ta -%20$ Es la secciónprisma con un plano perpendicullas aristas laterales.

Srea %#L -a0 -p20

Srea 9otal % 9 L %#A9E2A# O 1%>A%

8ol&men -80 8 L -%>A%E0hL -%20-a

8ARAEE8I8EDOSrea 9otal % 9 L 1-abObcOac0

8ol&men -80 8 L abc


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETRUnivers

rio




ah Ap

01@ Wndicar verdadero -80 o also -:0seg&n corresponda.

a0 #a intersección de dos

n0 El he(aedro es un polirregular ormado por caras

d l i i



c

b

CU?OSrea 9otal % 9 L 1

8ol&men -80 8 L aH

a

aa

CIINDROSrea %#L1π rgSrea 9otal % 9 L 1πr-gOr0

8ol&men -80 8 L πr1h

g L h

r

8IRFMIDE REGUARA8OTEMA DE UNA 8IRFMIDEREGUAR -Ap0

Es el segmento perpendicular trazadodesde el v'rtice de la pirámide a unaarista de la base.

5el gráfco, 111 ) ) ah A +=

ap

#

#1

#1

Srealateral-%#0

%#L%emiper!metro dela base U apotema

Srea 9otal-% 90 % 9 L %#A9E2A#O %base

8ol&men -80 8 LH

C%base -h0

CONO RECTO

h

r

g

Srea %#Lπ rg

Srea 9otal % 9 L πr -gOr0

8ol&men -80 8 LH

Cπr1h

EKERA

2

Srea 9otal-% 90

% 9 L Bπ21

8ol&men -80 8 LH

Bπ2H

EJERCICIO 8RO8UETO Nº 0#

a0 #a intersección de dossemiplanos es una recta - 0

b0 #a intersección de un planoperpendicular con el ángulodiedro se llama ángulo rectil!neo.

- 0

c0 7n ángulo diedro es un poliedro.-0

d0 %i la medida de un ángulo diedroes G/Z, entonces los semiplanosson perpendiculares entre si. - 0

e0 9res rectas no coplanares que secortan en un punto, determinandos planos. - 0

0 #os triedros son ángulospoliedros de H caras - 0

g0 En todo triedro, una cara esmenor que su dierencia de lasotras dos y mayor que la suma. -0

h0 En todo triedro, si sus caras sondierentes, sus ángulos diedrosson tambi'n dierentes. - 0

i0 En todo triedro, la suma de suscaras es menor que CF/Z. - 0

40 En un triedro, cuando dos de suscaras miden G/Z cada uno,entonces se llama triedrobirectángulo. - 0

0 7n poliedro es una región delespacio ormado por cuatro omás regiones poligonales planas.

- 0

l0 #os v'rtices de los ángulospoliedros, son tambi'n, los

v'rtices del poliedro. - 0m0El icosaedro es un poliedro

regular. - 0

02@ 2esponda las siguie

preguntas$

a0 <"uántas caras tiene un ánpoliedro de un tetraedro regu

.............................................

........

b0 <"uánto mide cada ángulo dde un he(aedro regular=

.............................................

........

c0 <"uántas caras tiene tetraedro regular=

.............................................

........

d0 <u' poliedro regular se opor C1 pentágonos regulares=

.............................................

........

e0 <u' poliedro regular se ocon 1/ triángulos equiláteros

.............................................

........

0 <En qu' poliedro regconcurren B aristas =

.............................................

........

g0 <En qu' poliedro sus diagonson perpendiculares y de longitud=

.............................................

........


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETRUnivers

rio




0#@

"]5]

3]

.....................................................

........

h0 %i l d ilát A>"5

a0 1C/Z b0 11/Z c0 1H/Zd0 1HDZ e0 1B/Z

0$@ En un paralelep!pedo rectángla diagonal mide Ccm las aristala base miden Dcm y F2 ti t " l l l lt



A>

>]A]

5 3"

3

a0 El prisma de la fgura se llama

prisma.............................................................

b0 #a región A>"5 se llama

.....................................................

........

c0 ] AA se llama

.....................................................

........

d0 ]HH se llama

.....................................................

........

e0 %i ] AA uera perpendicular alplano de la base, entonces elprisma se llamar!a

.....................................................

........

0 #a región paralelográmica >>^ "^" se llama

.....................................................

........

g0 #a reunión de las caras lateralesse llama

h0 %i el cuadrilátero A>"5 ueraparalelogramo, el prisma sellamar!a.

.....................................................

........

04@ Wndicar verdadero -80 o also -:0seg&n corresponda.

a0 9odo prisma es un poliedrolimitado por dos regionespoligonales paralelas.

- 0

b0 #a distancia entre las bases es laarista de un prisma. - 0

c0 #a pirámide es un poliedro. - 0

d0 En toda pirámides el pie de sualtura se conunde con el v'rticede la pirámide.

- 0

e0 %i hacemos girar un cuadradoalrededor de uno de sus lados segenera un cilindro. - 0

0 9odo cilindro no es una superfciede revolución. - 0

g0 9odo como un sólido geom'trico.- 0

h0 9oda esera no es una superfciees'rica. - 0

8ARTE 8RFCTICA01@ 3allar la suma de las medidas de

los ángulos de las caras de unángulo poliedro de un octaedro.

02@ 3allar la suma del n&mero dearistas de un dodecaedro y unicosaedro regular.

a0 BD b0 D/ c0 DDd0 / e0 D

0#@ "alcular la suma del n&mero de

v'rtices de un tetraedro regular yun octaedro regular.


04@ 3allar la diagonal de un he(aedroregular de arista a.

a0 a H b0 a H c0 H

d0 H a e0 *.a0"@ "alcular la longitud de la diagonal

de un octaedro regular de arista a.

a0 a 1 b0 1 c0 1 a

d0 a 1 e0 *.a

0@ #a arista de un he(aedro regularmide 1m. <"uánto mide sudiagonal=

a0 1 H b0 H c0 HH

d0 B H e0 *.a.

07@ 3allar la diagonal de un ortoedro,si sus aristas miden Ccm; 1cm yHcm respectivamente.

a0 CB cm b0 CH cm c0 CDcmd0 C1 cm e0 *.a.

2espectivamente. "alcular la alt

a0 F 1 b0 G 1 cm c0 C/

cm

d0 CC 1 e0 *.a.

0@ #a diagonal de un cubo m

1m. 3allar la arista.

a0 Hm b0 Bm c0 H.Dd0 B.Dm e0 *.a.

10@ 3allar el área lateral de un prirecto de C/cm de altura y cuya es un triángulo cuyos lados mHcm, Dcm y cm respectivament

a0 CB/cm1 b0 CD/cm1 c0 C/d0 C/cm1 e0 *.a.

11@ "alcular el área lateral y totaun prisma recto de CDcm de altucuya base es un cuadrado de de lado.

a0 1B/cm1;1H/cm1 b01BDcm1;1Ccm1

c0 1H/cm1;11cm1 d01HDcm1;1Ccm1

e0 1B/cm1;11cm1

12@ "alcular el área total de un cde cm de arista y su vol&men.

a0 1Ccm1;1Ccm1 b01CFcm1;1CFcm1

c0 1Ccm1;1Ccm1 d01CDcm1;1CDcm1

e0 1CGcm1

;1CGcm1

1#@ "uánto mide la arista dehe(aedro regular, si su área tota1Bm1.


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETRUnivers

rio




a0 1m b0 Bm c0 md0 Fm e0 *.a.

1@ 3allar el área lateral de un cilindrorecto de revolución de Hcm de radioy cm de altura

24@ El área lateral de un cilindro derevolución y su volumen sonnum'ricamente iguales, luego elradio de la base mide

a0 1cm b0 Hcm c0 Bcmd0 Dcm e0 cm



14@ 3allar el vol&men de un prismaoblicuo, si su base es un triánguloequilátero cuyo lado mide 1 m ysu altura mide Fm.

a0 BF H m1 b0 HF H m1

c0 BF H mH d0 HF H mH

e0 *.a1"@ 3allar el área lateral de una

pirámide regular de C/cm deapotema y cuya base es uncuadrado de cm de lado.

a0 C//cm1 b0 CC/cm1 c0 C1/cm1

d0 CH/cm1 e0 CB/cm1

1@ "alcular el área total de unapirámide regular, si su base es untriángulo equilátero de 1 H m delado y su apotema de la pirámidemide C/m.

a0 HC H m1 b0 H1 H m1c0 HH H

m1

d0 HB H m1 e0 *.a.

17@ "alcular la apotema de unapirámide regular de C/cm1 de árealateral, si su base es un cuadrado deFcm de lado.

a0 1cm b0 Bcm c0 cmd0 Fcm e0 C/cm

1$@ #a altura de una pirámide regularmide C/cm y la base es un triángulorectángulo de catetos Fcm y cmrespectivamente. 3allar su volumen.

a0 *.a. b01/cmH c0 B/cmH

d0 /cmH e0 F/cmH

y cm de altura.

a0 B/πcm1 b0 B1πcm1 c0 BBπcmH

d0 B/πcmH e0 B1πcmH

20@ "alcular el área lateral y total deun cilindro generado por la rotaciónde un rectángulo de Dcm de largopor Bcm de ancho, alrededor de su

lado menor.

a0 B/πcm1;F/cm1 b0B/πcm1;G/πcm1

c0 B/πcm1;/πcm1 d0 B/cm1;F/πcm1

e0 B/cm1;G/cm1

21@ 3allar el volumen de un cilindro derevolución de radio 1 m y Bm dealtura.

a0 FπmH b0 C/πmH c0 C1πmH

d0 πmH e0 *.a.

22@ 7n pozo cil!ndrico de C/m de

diámetro y Bm de proundidadcontiene agua hasta Cm del borde."alcular la superfcie mo4ada.

a0 D/πm1 b0 DDπm1 c0 /πm1

d0 Dπm1 e0 *.a.

2#@ Al sumergir un cuerpo en el aguacontenida en un cilindro circularrecto de C//cm de diámetro el niveldel agua sube C/cm. <"uál es elvolumen del cuerpo sumergido=

a0 D (C/HπcmH b0 C/ (C/HπcmH

c0 CD (C/H

πcmH

d0 1/ (C/H

πcmH

e0 1D(C/HπcmH

radio de la base mide.

a0 1 b0 H c0 Bd0 D e0

2"@ 3allar el área lateral de un cono derevolución de C1cm de generatriz ycuya base tiene Bcm de radio.

a0 BBπcm

1

b0 BFπcm

1

c0 D1πcm

1

d0 Dπcm1 e0 *.a.

2@ El área lateral de un cono derevolución es 1Bm1, si el radio de labase mide Bm. <"uánto mide lageneratriz del cono=

a0 HRπm b0 BRπm c0 DRπmd0 Rπm e0 *.a.

27@ <"uántos metros cuadrados detela, serán necesarios para construiruna carpa cónica de circo de H/mde generatriz y H/m de diámetro delc!rculo=

a0 BB/πm1 b0 BD/πm1 c0 B/πm1

d0 B/πm1 e0 *.a.

2$@ 3allar el área lateral y total de uncono de revolución de C1cm dealtura, si su base es un c!rculo deGcm de radio.

a0 1Ccm1;CHDπcm1 b0CHDπcm1;1Cπcm1

c0 1Cπcm1;1Cπcm1 d0CCDπcm1;1CDcm1

e0 *.a2@ El área total de un cono circular

recto es 1.F/cm1. "alcular el radiode su base, sabiendo que sugeneratriz mide Fcm.

#0@ 7n cuadrado de C1cm de diagorealiza una revolución compalrededor de una de sus diagoncalcular el volumen del sengendrado.

a0 CB/πcmH b0 CBBπcmH c0CBFπcmH

d0 CD1πcm

H

e0 *.a.

#1@ En el sólido ormado por un ccircular recto de CHm de genery C1m de radio y por un cilicircular recto de C/m de al"alcular el volumen del sólido.

a0 CD/πmH b0 C/πmH c0C/πmH

d0 CF/πmH e0 *.a.

#2@ 3allar el área de una superes'rica si su radio mide 1m.

a0 Cπm1 b0 CFπm1 c0 1/πd0 CBπm1 e0 *.a.

##@ "alcular el área de la superfcel volumen de la esera inscritun cubo de arista a.

a0 ALπ1; 8L

Haπ b0 ALπH;

1aπ


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETRUnivers

rio




c0 ALπ1; 8L

aπ

d0 ALπH; 8L d0H

bae0

1

a a0 D/cm1 b0 D/ 1 cm1 c0 C// 1

cm1

d0 1D 1 cm1 e0 1Dcm1

12@ En un triedro equilátero ángulos diedros pueden medir

a0 B/Z b0 /Z c0 G/Z



Haπ

e0 *.a.

#4@ "alcular el producto y el cocientedel área de la superfcie y el

volumen de una esera de radio 2.

a0H

Cπ12D;

H

Rb01

Cπ121;

R

H

c0H

Cπ21;

H

Rd0H

Cπ12D;

R

H

e0 *.a

#"@ %i el área de una superfciees'rica es de CCH,/Bcm1, el radiode la esera mide.

a0 Ccm b0 1cm c0 Hcmd0 BcmZ e0 Dcm

#@ #os vol&menes de dos eserasestán en la razón C1D$C1F; <"uáles la razón de sus diámetros=

a0 D$CB b0 D$C/ c0 D$CFd0 D$C e0 D$C1

TAREA DOMICIIARIA

01@ 3allar la altura de un tetraedroregular de arista H.

a0 a b0 H c0 1

02@ 3allar la arista de un tetraedroregular de altura m.

a0 Bm b0 Hm c0 1md0 Cm e0 H m

0#@ %e tiene un triedro @)A@>,>@" y

"@A miden /Z, /Z y G/Z,2espectivamente, hallar el ánguloque orma la arista OB con la caraA@". %i @>L1.

a0 CDZ b0 H/Z c0 BDZd0 /Z e0 G/Z

04@ En un triedro @)A>" los diedros A y> miden /Z y /Z, respectivamentesi se traza OF bisectriz del ánguloA@> y además m∠:@"Lm∠A@:.3allar el diedro ".

a0 H/Z b0 /Z c0 G/Zd0 C1/Z e0 CH/Z

0"@ 7n triángulo al ser proyectadosobre un plano determina untriángulo cuya área es la mitad deltriángulo dado, calcular el diedroque orma el triangulo con el planode proyección.

a0 CDZ b0 H/Z c0 /Zd0 G/Z e0 *.a.

0@ En un triedro trirectangular @)A>",las áreas de sus caras catetos son

A@>LH/cm1

; >@"LB/cm1

;A@"LD/cm1. 3allar el área de lacara de la hipotenusa A>".

07@ En un poliedro, el n&mero de carasmás el n&mero de v'rtices sumanCB. <"uántas aristas tiene dichopoliedro=

a0 C/ b0 C1 c0 CBd0 C e0 :altan datos

0$@ En un triedro equilátero susángulos diedros pueden medir

a0 B/Z b0 /Z c0 G/Zd0 1//Z e0 *.a.

0@ 3allar la suma de las medidas delos ángulos internos de los pol!gonosque orman las caras de undodecaedro regular.

a0 H //Z b0 BD/Z c0 BF/Zd0 D/Z e0 B//Z

10@ 5os caras de un triedro midenCB/Z y C/Z respectivamente, la

tercera cara puede medir$a0 C/Z b0 1/Z c0 B/Zd0 /Z e0 F/Z

11@ #a siguiente fgura representa uncubo cuya arista mide a cm, <cuáles el área de la parte sombreada=

a

a0 1 a cm1 b0 H1cm1 c0 a1H

cm1

d0 a1D cm1 e0 a1

1 cm1

d0 1//Z e0 *.a.

1#@ <"uál de las siguieproposiciones es verdadera=

a0 9odo prisma es un paralelep!pb0 7n paralelep!pedo, es siemprcuboc0 7n cubo es un prisma.

d0 7n ortoedro es un paralelepipcua) drangular.e0 *.a.

14@ 7n rombo cuyas diagonales mFm y m respectivamente ebase de un prisma recto de CFmaltura. "alcular el área totalprisma, y su volumen

a0 BF; BH1 b0 1B; 1C c0 C1;d0 1B; BH e0 *.a.

1"@ "alcular la longitud de la diagde un paralelep!pedo rectang

cuya altura mide cm y cuya bes un cuadrado de Hcm1 de áre

a0 Fcm b0 Gcm c0 C/cd0 CCcm e0 C1cm

1@ En un tetraedro regular de aris3allar la distancia de un v'rticplano de la cara opuesta.

a0H

ab0

1

ac0

1a

d0B

H1ae0

B

a


GEOMETRIA

Universitario


CIENCIAS

IEP "LORD KELVIN"


GEOMETRUnivers

rio




17@ En un he(aedro regular, la longitudde una diagonal es 1 cm. El áreade una cara es

d0 /,FFDmH e0 /,FG1mH

22@ %e conocen las áreas del ondo,del rente y del lado de una ca4a

a0 Cm1 b0 CDm1 c0 CBm1

d0 CHm1 e0 C1m1

27@ #a altura de un prisma recto mide

a0 C1D b0 CD c0 CD/d0 11D e0 D/

#1@ #a fgura mostrada es un ortoe



a0 cm1 b0 Fcm1 c0 Gcm1

d0 Ccm1 e0 *.a.

1$@ #a superfcie total de unparalelep!pedo rectangular esCF/cm1, la diagonal de la base mideC/cm. y la suma de las Hdimensiones miden Ccm. <"uál esla magnitud de las dimensiones=

a0 Fcm, Bcm, Dcm b0 Bcm, Dcm,cmc0 Hcm, cm, Fcm d0 Dcm, cm,cme0 *.a.

1@ #a diagonal de un rectoedro mideC/m y su área total es de 1Cm1."alcular la suma de todas susaristas.

a0 /m b0 m c0 F1md0 Gm e0 *.a.

20@ En un paralelep!pedo rectangularla base mide D/m1, la suma de lasmedidas de todas sus aristas es1Hm y la suma de los cuadrados delas tres dimensiones es CFGm1."alcular la altura del paralelep!pedo

a0 m b0 Fm c0 Cmd0 C1m e0 CFm

21@ "uál es el volumen de un prismaoblicuo, cuya base es el triánguloequilátero de C,1m de lado y cuyaarista lateral es de 1,Fm de longitudy orma con la base un ángulo de

H/Z.

a0 /,FHmH b0 /,FBmH c0/,F1mH

del rente y del lado de una ca4arectangular. El producto de estasáreas es igual a$

a0 El volumen de la ca4a.b0 #a ra!z cuadrada del volumen.c0 El cuadrado del volumen.d0 El doble del volumen.e0 El cubo del volumen.

2#@ "on una lámina rectangular decm de largo y Dcm de ancho, seconstruye una ca4a abierta,cortando un cuadrado de Ccm delado en cada esquina. 3allar elvolumen de la ca4a resultante.

a0 C1cmH b0 CDcmH c0 CcmH

d0 1/cmH e0 1BcmH

24@ #a base de un prisma recto deC1cm de altura es un triánguloequilátero. "uánto mide el lado deeste triángulo si el área lateral delprisma es C/Fcm1.

a0 Ccm b0 1cm c0 Hcmd0 Bcm e0 Dcm

2"@ 3allar el volumen de un prismarecto cuya altura mide C1cm y subase es un triángulo equiláteroinscrito en una circunerencia deHcm de radio.

a0 DB H cmH b0 BF H cmH c0 FC

H cmH

d0 D H cmH e0 1 H cmH

2@ "alcular el área total de un cubo,

sabiendo que la distancia de uno desus v'rtices al centro de una caraopuesta es de 1m.

27@ #a altura de un prisma recto midem su base es un rectángulo, en elque un lado es el doble del otro; elárea total es CBBm1. <"uál es lalongitud de una de las diagonalesdel prisma=

a0 Dm b0 Fm c0 md0 Gm e0 *.a.

2$@ 7n cilindro recto, contiene agua

hasta enB

H de volumen, hallar en

que relación se encuentran lasalturas, de los dos vol&menesrespectivamente.

a0H

Bb0H

1c0H

C

d0B

Ce0D

H

2@ %i el diámetro de la base de un

cilindro de revolución mide 1C

pies. Entonces el n&mero depulgadas que mide su radio es

a0 CHB

Cb0 1

1

Cc0 HG

d0 CG1

Ce0 F

#0@ 7n depósito de orma cil!ndrica, sedesea cambiar por otro de la mismaorma, pero aumentando en un D/la longitud de la circunerencia de labase. <En que porcenta4e seincrementará el volumen del nuevocilindro, respecto al primero=

#1@ #a fgura mostrada es un ortoeel punto 3 es la posición de hormiga y el punto " la posiciósu comida. 3allar la longitudmenor camino que debe recorrhormiga para llegar al punto ".

%i P3 L 3 L Cm. 2" L Hm; "6 LBm

"

6

23

P

a0 Hm b0 Bm c0 Dmd0 m e0 Fm

#2@ 7n vaso cil!ndrico de 1/cmdiámetro y B/cm de altura lleno de agua, si se vierte esta aen otro vaso de B/cm de diáme<3asta qu' altura subirá el agua

a0 Dcm b0 C/cm c0 C1cd0 Fcm e0 *.a.

##@ 7n cilindro está lleno de ahasta la mitad. %e suelta un pedmetálico y el nivel de agua subH,Dcm. si el diámetro del cilindrFcm. <"uál es el volumen el pedmetálico=

a0 CcmH b0 FFcmH c0 1Bd0 /,11l e0 *.a.

#4@ #a altura de un pirámide es H

m. <A qu' distancia del v'pasará un plano paralelo a la b

de la pirámide, de tal manera los vol&menes obtenidos por corte sean iguales=


GEOMETRIA

Universitario




GEOMETRUnivers

rio




a01

CH

m b01

Cm c0 Hm

d0 1m e0 HHm

c0 CBBπ H cmH d0 CBBπ 1 cmH

e0 CD/π 1 cmH

% i i i

d0 C/m e0 *.a

44@ #a fgura mostrada es unacircunerencia cuyo radio mide 1m

4$@ %i un sólido de orma c&bica dmetro de lado se divide en cubde un mil!metro de lado, enton



d0 1m e0 Hm

#"@ #a base de una pirámide regulares un triángulo equilátero y lascaras laterales son triángulosrectángulos isósceles. %i las aristaslaterales miden Bm el área total dela pirámide será.-"onsiderar H LC,H0

a0 1D,FBm1 b0 1,FBm1 c0 HB,m1

d0 H,FBm1 e0 *.a.

#@ En una pirámide regular de basecuadrangular de C/m de lado.<"uál es el área de la sombra queproyecta una de sus caras lateralesen su base a las C1 meridiano=

a0 1,Dm1 b0 D/m1 c0 Dm1

d0 1Dm1 e0 C//m1

#7@ "alcular el área total de lapirámide cuadrangular regular P)A>"5 de C1 u de arista en la base,

sabiendo que el área del triánguloPA" es BF 1 u1

a0 11Bu1 b0 H1B u1 c0 1B/ u1

d0 HFB u1 e0 BB/ u1

#$@ El área lateral de un cono derevolución es Dπ u1 y el área de subase es 1Dπu1. 3allar su volumen.

a0 H//πuH b0 1//πuH c0 C//πuH

d0 CD/πuH e0 *.a

#@ "alcular el volumen de un conocircular, recto cuya generatriz mideCFcm y su área total es igual a la deun c!rculo de C1cm de radio.

a0 CHπ H cmH b0CHπ 1 cmH

40@ %e tiene un cono circunscrito ados eseras cuyos radios miden Ccmy Hcm. <"uál es el volumen delcono=

a0 1πcmH b0 FCπcmH c0 HπcmH

d0 BDπcmH e0 G/πcmH

41@ %i construimos un cono de

revolución con una cartulina,dándole por área lateral la de unsector circular de C1/Z de ángulocentral y cm. de radio. "alcular elvolumen de dicho como derevolución.

a0H

1C πcmH b0 C 1 πcmH

c0H

1FπcmH d0 C H πcmH

e0 *.a

42@ %i la generatriz de un cono circulary el diámetro de su base son igualesentre s!, luego la razón, entre elárea lateral del cono y la superfciede la esera inscrita en el como, es.

a0B

Db0H

Bc01

H

d0D

e0H

D

4#@ %i la altura de un cono recto derevolución es de Bm y su generatrizes de Dm. 5etermine a qu'distancia del v'rtice se debe hacerpasar un plano paralelo a la base,de modo que el área del c!rculo

determinado sea igual al árealateral del tronco de cono ormado.

a0 D rm b0 Dm c0 C/m

circunerencia cuyo radio mide 1mse prolonga el diámetro A> hasta :,de modo que >:L1m. Por : se trazala tangente FM . "alcular el áreade la superfcie engendrada por lal!nea mi(ta 6:.

6

A >@

a0 C/πm1 b0 CDπm1 c0 CFπm1

d0 1/πm1 e0 1Dπm1

4"@ 3allar el área de una superfciees'rica inscrita en un cono recto dealtura C1m. y radio Dm

a0 C//G

π m1 b0 1//πm1 c0 H//πm1

d0

G

B//π m1 e0 *.a.

4@ 5os eseras apoyadas sobre unahorizontal son tangentes. 3allar ladistancia de sus apoyos cuandoambas giran en sentidos contrarios,1 vueltas y media si su radio son de1/cm y C/cm respectivamente.

a0-C//πO/0cm b0-CD/πO1/ 10cmc0 CD/cm d0 C1/πcme0 -CD/π O /0cm

47@ 7na esera de volumen 8, escalentada hasta que su radio seincrementa en un d'cimo. El nuevo

volumen de la esera será.

a0 C/)H 8 b0 C,C8 c0 C,1C 8d0 C,/H/ 8 e0 C,HHC 8

,<qu' altura alcanzará una coluormada por todos los cubitos uencima de otros=

a0 C/ m b0 C m c0 C/d0 C ///m e0 H m

4@ %e tiene un terreno de ocuadrada. En un v'rtice se colocposte de m, de altura y ev'rtice opuesto otro de Fm, cue(tremos están unidos por un cde BDm de longitud. 3allar el ádel terreno.

a0 C ///m1 b0 C /C1m1 c01 /1Bm1

d0 1 /1Dm1 e0 *.a.

"0@ #os radios de dos eseras secamiden Du y C1u, si la distancia esus centros es CHu. <"uánto midradio de la sección com&n=

a0 D,u b0 B,u c0 B,Hd0B,Fu e0 D,Fu

"1@ 5eterminar el volumen de esera circunscrita a un cuboarista a.

a0 aHπ1

Hb0 aHπ

H

1c0

H

H

d0 aHπ1

1e0 aHπ

B

1


GEOMETRIA

Universitario




GEOMETRUnivers

rio




"2@ 3allar el área de una superfciees'rica, si el área lateral del conoequilátero circunscrito a la eseramide CF H u1.



H

a0 H u1 b0 F H u1 c0 Gu1

d0 B H u1 e0 C1 H u1


Geometria Cuarto

Documents

Transcript of Geometria Cuarto