Fem Analisis de Solidos Con Simetria Axial

IntroduccionMetodo de los elementos finitos

Estructuras con Simetrıa Axial en Sap2000 v14.0.0Comprobacion de los resultados de sap2000

Conclusiones

Analisis de Estructuras con Simetrıa Axial Mediante elMetodo de los Elementos Finitos

Ing. Edmundo Canchari Gutierrez

Universidad Nacional San Cristobal de HuamangaEscuela Profesional de Ingenierıa Civil

I Simposio Nacional de Ingenierıa CivilBodas de Plata de la Escuela Profesional de Ingenierıa Civil

Ing. Edmundo Canchari Gutierrez Analisis de Estructuras con Simetrıa Axial . . .

Conclusiones

Estructuras con simetrıa axialObjetivosMathCadSap2000

Estructuras con simetrıa axial

Se denominan ası, a todas aquellas estructuras que mantienen simetrıarespecto a un eje de su sistema de referencia global; en cuanto a geometrıa,cargas y condiciones de soporte.

Estas estructuras son conocidas con diversos nombresestructuras axisimetricasestructuras con simetrıa axialsolidos de revolucion . . .

Son muchos las estructuras que cumplen estas condicionesdepositos para aguatanque cilındrico con cupula esfericadigestor de fangostorre de enfriamiento(en las centrales nucleares)techos de las edificaciones especiales(auditorios, coliseos . . . )

Conclusiones

Objetivos

1 Objetivo generalMostrar los fundamentos del Metodo de los Elementos Finitos para elanalisis de Estructuras con Simetrıa Axial

2 Objetivos especıficos

Crear una hoja de calculo en el programa MathCAD 14 M020 para elanalisis detallado de estructuras axisimetricas mediante el Metodo de losElementos Finitos.Comparar los resultados obtenidos con MathCAD 14 M020 y losresultados obtenidos con los programas de amplia difusion en nuestromedio: Sap2000, Autodesk Robot Structural Analysis . . .

Conclusiones

Objetivos

2 Objetivos especıficos

Crear una hoja de calculo en el programa MathCAD 14 M020 para elanalisis detallado de estructuras axisimetricas mediante el Metodo de losElementos Finitos.Comparar los resultados obtenidos con MathCAD 14 M020 y losresultados obtenidos con los programas de amplia difusion en nuestromedio: Sap2000, Autodesk Robot Structural Analysis . . .

Conclusiones

Objetivos

2 Objetivos especıficosCrear una hoja de calculo en el programa MathCAD 14 M020 para elanalisis detallado de estructuras axisimetricas mediante el Metodo de losElementos Finitos.

Comparar los resultados obtenidos con MathCAD 14 M020 y losresultados obtenidos con los programas de amplia difusion en nuestromedio: Sap2000, Autodesk Robot Structural Analysis . . .

Conclusiones

Objetivos

2 Objetivos especıficosCrear una hoja de calculo en el programa MathCAD 14 M020 para elanalisis detallado de estructuras axisimetricas mediante el Metodo de losElementos Finitos.Comparar los resultados obtenidos con MathCAD 14 M020 y losresultados obtenidos con los programas de amplia difusion en nuestromedio: Sap2000, Autodesk Robot Structural Analysis . . .

Conclusiones

Objetivos

2 Objetivos especıficosCrear una hoja de calculo en el programa MathCAD 14 M020 para elanalisis detallado de estructuras axisimetricas mediante el Metodo de losElementos Finitos.Comparar los resultados obtenidos con MathCAD 14 M020 y losresultados obtenidos con los programas de amplia difusion en nuestromedio: Sap2000, Autodesk Robot Structural Analysis . . .

Conclusiones

MathCad

MathCad v14 M020

Es un programa muy util, cuya finalidad es documentarinformes tecnicos detalladamente(F.E.M).

Conclusiones

Sap2000

Sap2000 v11.0.4

Programa general para el analisis de estructuras mediante elMetodo de los Elemento Finitos.

Conclusiones

Sap2000

Sap2000 v11.0.4

Programa general para el analisis de estructuras mediante elMetodo de los Elemento Finitos.

Conclusiones

Analisis de estructuras con elementos finitosModelamiento de elementos estructuralesEstructuras de simetrıa axialModelamiento de estructuras axisimetricasFormulacion del metodo de los elementos finitos

El metodo de los Elementos Finitos

Conclusiones

Analisis de estructuras con elementos finitos

Metodo de elementos finitos[O.C Zienkiewicz - R.L. Taylor(1993)]

. . . un procedimiento general de discretizacion de los problemas continuosplanteadas por expresiones definidas matematicamente.

MURO DE LADRILLO

CARGA DISTRIBUIDA

DISCRETIZACIÓNPARA

ANÁLISIS POR EL

MÉTODO DE LOSELEMENTOS FINITOS

ELEMENTORECTANGULARDE TRES NUDOS

Conclusiones

Modelamiento de elementos estructurales

Elementos Unidimensionales

cerchas, vigas, columnas, cables . . .

Conclusiones

Elementos Bidimensionales

cascaras(shells), el plano(esfuerzo plano y deformacion plana) y el solidoaxisimetrico

Conclusiones

Elementos Bidimensionales

cascaras(shells), el plano(esfuerzo plano y deformacion plana) y el solidoaxisimetrico

Conclusiones

Solidos

Para modelar todos los elementos estructurales

Conclusiones

Estructuras de simetrıa axial

Las estructuras de revolucion representan un alto porcentaje en lasestructuras de uso comun en ingenierıa:

Conclusiones

Modelamiento de estructuras axisimetricas

Modelo como solido axisimetrico

Campo de desplazamientos

(υ(r, z)w(r, z)

Conclusiones

Modelamiento de estructuras axisimetricas

Modelo como solido axisimetrico

Campo de desplazamientos

(υ(r, z)w(r, z)

Conclusiones

Formulacion del metodo de los elementos finitos

Campo de deformaciones

εrεzεrzεθ

∂υ∂r∂w∂z

∂υ∂z

+ ∂w∂r

Campo de tensiones

σ =(σr σz τrz σθ

Figura: Tensiones actuando sobre un elemento diferencial de un solido derevolucion con cargas de revolucion

Conclusiones

Campo de deformaciones

εrεzεrzεθ

∂υ∂r∂w∂z

∂υ∂z

+ ∂w∂r

Campo de tensiones

σ =(σr σz τrz σθ

Figura: Tensiones actuando sobre un elemento diferencial de un solido derevolucion con cargas de revolucion

Conclusiones

Ecuacion constitutivaσ = D(ε− εo) + σo (4)

Expresion del principio de la energıa potencial mınima

Π = 2π

σT εrdA−∫A

uT frdA−∫L

uTTrdl

)− ΣuTi Pi (5)

Formulacion de elementos finitos

Figura: Sistema de coordenada cartesiana y normalizado

Conclusiones

Π = 2π

σT εrdA−∫A

uT frdA−∫L

uTTrdl

)− ΣuTi Pi (5)

Conclusiones

Π = 2π

σT εrdA−∫A

uT frdA−∫L

uTTrdl

)− ΣuTi Pi (5)

Conclusiones

N1(ξ, η) =1

4(1 − ξ)(1− η)

N2(ξ, η) =1

4(1 + ξ)(1− η)

N3(ξ, η) =1

4(1 + ξ)(1 + η)

N4(ξ, η) =1

4(1 − ξ)(1 + η)

Coordenadas

r(ξ, η) = N1(ξ, η)r1 +N2(ξ, η)r2 + · · ·+Nn(ξ, η)rn

z(ξ, η) = N1(ξ, η)z1 +N2(ξ, η)z2 + · · ·+Nn(ξ, η)zn(7)

Matriz jacobiano

J(ξ, η) =

(∂r(ξ,η)∂ξ

∂z(ξ,η)∂ξ

∂r(ξ,η)∂η

∂z(ξ,η)∂η

Conclusiones

N1(ξ, η) =1

4(1 − ξ)(1− η)

N2(ξ, η) =1

4(1 + ξ)(1− η)

N3(ξ, η) =1

4(1 + ξ)(1 + η)

N4(ξ, η) =1

4(1 − ξ)(1 + η)

Coordenadas

Matriz jacobiano

J(ξ, η) =

(∂r(ξ,η)∂ξ

∂z(ξ,η)∂ξ

∂r(ξ,η)∂η

∂z(ξ,η)∂η

Conclusiones

N1(ξ, η) =1

4(1 − ξ)(1− η)

N2(ξ, η) =1

4(1 + ξ)(1− η)

N3(ξ, η) =1

4(1 + ξ)(1 + η)

N4(ξ, η) =1

4(1 − ξ)(1 + η)

Coordenadas

Matriz jacobiano

J(ξ, η) =

(∂r(ξ,η)∂ξ

∂z(ξ,η)∂ξ

∂r(ξ,η)∂η

∂z(ξ,η)∂η

Conclusiones

Matriz de rigidez de una elemento

([N1 00 N1

] [N2 00 N2

]. . .

[Nn 00 Nn

] [υ2

]. . .

[υnwn

])T(10)

∂N1∂r

0 ∂N1∂z

∂N1∂z

∂N1∂r

∂N2∂r

0 ∂N2∂z

∂N2∂z

∂N2∂r

· · ·

∂Nn∂r

0 ∂Nn∂z

∂Nn∂z

∂Nn∂r

BTDBrJdξdη (12)

Conclusiones

([N1 00 N1

] [N2 00 N2

]. . .

[Nn 00 Nn

] [υ2

]. . .

[υnwn

])T(10)

∂N1∂r

0 ∂N1∂z

∂N1∂z

∂N1∂r

∂N2∂r

0 ∂N2∂z

∂N2∂z

∂N2∂r

· · ·

∂Nn∂r

0 ∂Nn∂z

∂Nn∂z

∂Nn∂r

BTDBrJdξdη (12)

Conclusiones

([N1 00 N1

] [N2 00 N2

]. . .

[Nn 00 Nn

] [υ2

]. . .

[υnwn

])T(10)

∂N1∂r

0 ∂N1∂z

∂N1∂z

∂N1∂r

∂N2∂r

0 ∂N2∂z

∂N2∂z

∂N2∂r

· · ·

∂Nn∂r

0 ∂Nn∂z

∂Nn∂z

∂Nn∂r

BTDBrJdξdη (12)

Conclusiones

([N1 00 N1

] [N2 00 N2

]. . .

[Nn 00 Nn

] [υ2

]. . .

[υnwn

])T(10)

∂N1∂r

0 ∂N1∂z

∂N1∂z

∂N1∂r

∂N2∂r

0 ∂N2∂z

∂N2∂z

∂N2∂r

· · ·

∂Nn∂r

0 ∂Nn∂z

∂Nn∂z

∂Nn∂r

BTDBrJdξdη (12)

Conclusiones

Formulacion del M.E.F

BTDBrJdξdη

Donde:

t: representa el angulo de revolucion que gira cada elemento finito enque fue discretizado el plano de la seccion caracterıstica de revolucion

B: es la matriz deformacion unitaria desplazamiento o simplementematriz de deformacion unitaria

D: matriz de propiedades del elemento

r: coordenada radial para cada punto del elemento finito

J: matriz jacobiano

La mejor manera de obtener la matriz de rigidez, es resolver la ecuacion(12)numericamente(Cuadratura de Gauss).Se procede de similar manera para encontrar las cargas nodalesequivalentes.

Conclusiones

Estructura a analizarModelamiento de la estructuraDefinir elementos Asolid en Sap2000Resultados

Estructuras con Simetrıa Axial en Sap2000 v14.0.0

Conclusiones

Estructura a analizar

Techo en forma de cono(Auditorio de la F.C.E - U.N.S.C.H)

Conclusiones

Modelamiento de la estructura

Modelamiento de estructuras axisimetricas)

Conclusiones

Definir elementos Asolid en Sap2000

Conclusiones

Resultados

-0.153 253 503 753 1003 1253

Figura: Desplazamientos en la direccion radial[mm]

Conclusiones

Resultados

-1.33 253 503 753 1003 1253

Figura: Desplazamientos en la direccion axial[mm]

Conclusiones

Resultados

100000

150000

200000

250000

300000

350000

0 255 510 765 1020 1275

Figura: Tensiones radiales[kgf/m2]

Conclusiones

Resultados

100000

110000

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Figura: Tension circunferencial[kgf/m2]

Conclusiones

Resultados

120000

130000

140000

150000

160000

170000

180000

0 255 510 765 1020 1275

Figura: Tension axial[kgf/m2]

Conclusiones

Resultados

100000

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Figura: Tension tangencial[kgf/m2]

Conclusiones

Resultados

200000

250000

300000

350000

400000

450000

3 203 403 603 803 1003 1203 1403

Figura: Fuerzas en la direccion radial[kgf ]

Conclusiones

Resultados

100000

200000

300000

400000

500000

600000

3 208 413 618 823 1028 1233 1438

Figura: Fuerzas en la direccion axial[kgf ]

Conclusiones

Modelamiento de la estructuraOrdenando Argumentos para el analisis F.E.MMetodo de los elementos finitos en MathCadReacciones en los apoyosComparacion de resultados Sap2000 y MathCad

Comprobacion de los Resultados Obtenidos con Sap2000

Conclusiones

Ordenando Argumentos para el analisis F.E.M

nudo r(m) z(m)

1 8 02 8 0.153 4 1.124 4 1.275 2 1.686 2 1.837 1 1.968 1 2.11

Cuadro: Coordenadas de los nudos

elm n1 n2 n3 n4

1 7 5 6 82 5 3 4 63 3 1 2 4

Cuadro: Identificacion de los elementos

Propiedades:

E = 2.1× 109 kgm2

ν = 0.3

t = 2π radianes

Conclusiones

Ordenando Argumentos para el analisis F.E.M

nudo u?r u?z1 1 12 1 1

Cuadro: Condiciones de contorno

Para cada G.D.L

1: desplazamiento restringido

0: desplazamiento libre

nudo fr(kgf) fz(kgf)

8 0 −1.57× 103

6 0 −7.85× 103

4 0 −3.14× 103

2 0 −5.03× 103

Cuadro: Cargas puntuales en nudos

Conclusiones

Metodo de los elementos finitos en MathCad

Conclusiones

Reacciones en los apoyos

Conclusiones

Comparacion de resultados Sap2000 y MathCad

Conclusiones

Los resultados obtenidos mediante el metodo de los elementos finitosson aproximados, el usuario debe evaluar el grado de convergencia delos resultados.

Se logra justificar detalladamente los resultados del Sap2000 desdemathCAD para estructuras que cumplen las condiciones para sermodelados como solidos de revolucion.

En el analisis de estructuras modeladas como Solidos de Revolucion elprimer resultado en converger son los desplazamientos en los nudosconsiderados, requiriendo divisiones muy finos para encontrar unaconvergencia a nivel de esfuerzos.

Conclusiones

Gracias

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