Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul...

Derivate partiale Derivate partiale ordin superior Functii diferentiabile

Curs 11Functii reale de mai multe variabile reale.

Calcul diferential.

Facultatea de HidrotehnicaUniversitatea Tehnica "Gh. Asachi"

Iasi 2014


Definitie

Fie functia f : D ⊆ R2 → R, D multime deschisa, si (x0, y0) ∈ D.

(i) Spunem ca functia f are în punctul (x0, y0) derivata partialaîn raport cu variabila x daca exista

limx→x0

f (x , y0)− f (x0, y0)

x − x0.

Valoarea limitei se numeste derivata partiala a lui f în raport cux în punctul (x0, y0) si se noteaza prin

∂f∂x

(x0, y0) sau f ′x (x0, y0) .

Daca limita este finita spunem ca f este derivabila partial înraport cu x în punctul (x0, y0) .


(ii) Spunem ca f are în punctul (x0, y0) derivata partiala înraport cu variabila y daca exista

limy→y0

f (x0, y)− f (x0, y0)

y − y0.

Limita se numeste derivata partiala a lui f în raport cu y înpunctul (x0, y0) si se noteaza prin

∂f∂y

(x0, y0) sau f ′y (x0, y0) .

Daca limita este finita spunem ca f este derivabila partial înraport cu y în punctul (x0, y0) .


ObservatieExistenta primei limite revine la derivabilitatea în punctul x0 afunctiei de o variabila reala

g (x) = f (x , y0) ,

în timp ce existenta celei de-a doua limite revine laderivabilitatea functiei de o variabila reala

h (y) = f (x0, y)

în punctul y0.


Exemplu

Fie f (x , y) = x2 + xy , (x0, y0) = (2,0) . Sa calculam derivatelepartiale în (x0, y0) .

∂f∂x

(2,0) = limx→2

f (x ,0)− f (2,0)x − 2

= limx→2

x2 − 4x − 2

= limx→2

(x + 2) = 4

∂f∂y

(2,0) = limy→0

f (2, y)− f (2,0)y − 0

= limy→0

4 + 2y − 4y

= 2.

sau∂f∂x

se calculeaza considerând y constant si derivând ca ofunctie de o singura variabila, x .

∂f∂x

(x , y) = 2x + y ⇒ ∂f∂x

(2,0) = 4 + 0 = 4,

∂f∂y

(x , y) = x ⇒ ∂f∂y

(2,0) = 2.


Observatie

Pentru a calcula derivata partiala∂f∂x

(x0, y0) a unei functii f înraport cu prima variabila x , derivam functia ca si cum variabilaar fi doar x (consideram variabila y drept o constanta).


Cazul general:

DefinitieFie f : D ⊆ Rp → R, D multime deschisa sia = (a1,a2, ...,ap) ∈ D.

(i) Spunem ca f are derivata partiala în raport cu variabila xi înpunctul a daca exista

limxi→ai

f (a1, ...,ai−1, xi ,ai+1, ...,ap)− f (a1,a2, ...,ap)

xi − ai.

Limita se numeste derivata partiala a functiei f în raport cuvariabila xi în punctul a si se noteaza

∂f∂xi

(a) sau f ′xi(a) .


(ii) Spunem ca f este derivabila partial în raport cu variabila xi

în punctul a daca∂f∂xi

(a) ∈ R.

Se observa ca f poate avea p derivate partiale.


ExempluSa calculam derivatele partiale ale functiei

f (x , y , z) = x2y + y sin (x + z) + xz + ln(

y2 + z2 + 1).

Rezolvare. Având o functie de 3 variabile, vom avea 3 derivatepartiale:

∂f∂x

(x , y , z) = 2xy + y cos (x + z) + z + 0

∂f∂y

(x , y , z) = x2 + sin (x + z) +2y

y2 + z2 + 1,

∂f∂z

(x , y , z) = y cos (x + z) + x +2z

y2 + z2 + 1.


Notam

C1 (D) = {f : D → R, f este derivabila partial pe D

(în raport cu orice xi ) si

∂f∂xi

sunt continue pe D, ∀i = 1, ...,p}.


Fie f : D → R, unde D ⊆ Rp este o multime deschisa.Fie i ∈ {1,2, ..,p} .

Presupunem ca f este derivabila partial în raport cu variabila xipe D.

Atunci,∂f∂xi

este o functie de p variabile definita pe D cu valori

reale:∂f∂xi

: D → R.

Aceasta poate admite sau nu, la rândul ei, derivate partiale,care vor fi numite derivate partiale de ordinul al doilea alefunctiei f .


DefinitieFie i , k ∈ {1,2, ...,p} .

Daca∂f∂xi

are derivata partiala în raport cu variabila xk în

punctul a ∈ D, atunci aceasta se numeste derivata partiala deordinul al doilea a functiei f în punctul a în raport cu variabilelexi si xk si se noteaza prin

∂

∂xk

(∂f∂xi

)(a) =

∂2f∂xk∂xi

(a) .


Daca i = k notam

∂

∂xk

(∂f∂xk

)(a) =

∂2f∂x2

k(a) .

Pentru i 6= k ,∂2f

∂xk∂xi(a) se numeste derivata mixta de ordinul

doi în punctul a.


Exemplu

Fie f : R2 → R, f (x , y) = xy2.

Sa calculam∂2f∂x2 ,

∂2f∂y∂x

,∂2f∂x∂y

,∂2f∂y2 .

Avem:

∂f∂x

(x , y) = y2;∂2f∂x2 (x , y) =

∂

∂x

(∂f∂x

)(x , y) =

(y2)′

x= 0;

∂2f∂y∂x

(x , y) =∂

∂y

(∂f∂x

)(x , y) =

(y2)′

y= 2y ;

∂f∂y

(x , y) = 2xy ;∂2f∂x∂y

(x , y) =∂

∂x

(∂f∂y

)(x , y) = (2xy)′x = 2y ;

∂2f∂y2 (x , y) =

∂

∂y

(∂f∂y

)(x , y) = (2xy)′y = 2x .


Exemplu

Fie f : R3 → R, f (x , y , z) = sin (x + yz) .Calculam derivatele partiale de ordinul întâi:

∂f∂x

(x , y , z) = (sin (x + yz))′x = cos (x + yz) · (x + yz)′x= cos (x + yz) · (1 + 0) = cos (x + yz)

∂f∂y

(x , y , z) = (sin (x + yz))′y = cos (x + yz) · (x + yz)′y

= cos (x + yz) · (0 + z) = z cos (x + yz)

∂f∂z

(x , y , z) = (sin (x + yz))′z = cos (x + yz) · (x + yz)′z= cos (x + yz) · (0 + y) = y cos (x + yz) .


Calculam derivatele partiale de ordinul al doilea

∂2f∂x2 (x , y , z) =

∂

∂x

(∂f∂x

)(x , y , z) = (cos (x + yz))′x

= − sin (x + yz) · (x + yz)′x = − sin (x + yz) · 1

∂2f∂y2 (x , y , z) =

∂

∂y

(∂f∂y

)(x , y , z) = (z cos (x + yz))′y

= (z)′y · cos (x + yz) + z (cos (x + yz))′y= 0− z sin (x + yz) · (x + yz)′y = −z2 sin (x + yz)

∂2f∂z2 (x , y , z) =

∂

∂z

(∂f∂z

)(x , y , z) = (y cos (x + yz))′z

= 0− y cos (x + yz) · (x + yz)′z = −y2 cos (x + yz)


Calcula derivatele partiale mixte

∂2f∂x∂y

(x , y , z) =∂f∂x

(∂f∂y

)(x , y , z) = (z cos (x + yz))′x

= (z)′x · cos (x + yz) + z (cos (x + yz))′x= 0− z sin (x + yz) · (x + yz)′x = −z sin (x + yz)

∂2f∂x∂z

(x , y , z) =∂f∂x

(∂f∂z

)(x , y , z) = (y cos (x + yz))′x

= (y)′x · cos (x + yz) + y (cos (x + yz))′x= 0− y sin (x + yz) · (x + yz)′x = −y sin (x + yz)

∂2f∂y∂z

(x , y , z) = cos (x + yz)− yz sin (x + yz) .


Conditii suficiente pentru egalitatea derivatelor partiale mixtede ordinul al doilea într-un punct:

Teorema (Criteriul lui Schwarz)Fie f : D → R, unde D ⊆ Rp este multime deschisa, si a ∈ D.

Daca f are derivatele partiale mixte,∂2f∂xi∂xj

si∂2f∂xj∂xi

(i 6= j),

finite într-o vecinatate a punctului a si acestea sunt continue îna, atunci

∂2f∂xi∂xj

(a) =∂2f∂xj∂xi

(a) .


Notam

C2 (D) =

{f ∈ C1 (D) ;

∂2f∂xk∂xi

continue pe D, ∀i = 1,p, k = 1,p}.

Observatie

Daca f ∈ C2 (D) atunci

∂2f∂xi∂xj

(a) =∂2f∂xj∂xi

(a) , ∀a ∈ D, ∀j = 1,2, ...,p.


Amintim ca:

O functie de o variabila reala f : I ⊆ R→ R, I deschis, estediferentiabila într-un punct a ∈ I daca exista A ∈ R si α : I → Rcontinua în a, cu α (a) = 0, astfel încât

f (x) = f (a) + A (x − a) + α (x) (x − a) , ∀x ∈ I. (1)


DefinitieFie f : D → R, unde D ⊆ Rp este o multime deschisa.

(i) Spunem ca functia f este diferentiabila în punctul a ∈ D dacaexista A ∈ Rp si o functie α : D → Rp continua în a cu α (a) = 0astfel încât

f (x) = f (a) + 〈A, x − a〉+ 〈α (x) , x − a〉 , pentru orice x ∈ D.(2)

(ii) Spunem ca functia f este diferentiabila pe D daca estediferentiabila în orice punct a ∈ D.


Cazul p = 2

Fie f : D → R, D ⊆ R2 deschisa.

f este diferentiabila în punctul a = (a1,a2) ∈ D daca existaA1,A2 ∈ R si α1, α2 : D → R functii continue în a cuα1 (a) = α1 (a) = 0 astfel încât

f (x1, x2) = f (a1,a2) + A1 (x1 − a1) + A2 (x2 − a2)

+α1 (x1, x2) (x1 − a1) + α2 (x1, x2) (x2 − a2) ,(3)

pentru orice (x1, x2) ∈ D.


TeoremaFie D ⊆ Rp o multime deschisa.Daca f : D → R este diferentiabila într-un punct din D, atunci feste continua în acel punct.

DemonstratieAvem

f (x) = f (a) + 〈A, x − a〉+ 〈α (x) , x − a〉 , ∀x ∈ D.

Când x → a, α (x)→ 0 si x − a→ 0, deci 〈A, x − a〉 → 0 si〈α (x) , x − a〉 → 0 (datorita proprietatii de continuitate aprodusului scalar). Rezulta ca

limx→a

f (x) = f (a) ,

adica f este continua în punctul a.


Legatura dintre existenta derivatelor partiale si diferentiabilitate:

Teorema

Fie D ⊆ Rp o multime deschisa.Daca functia f : D → R este diferentiabila în punctul a ∈ D,atunci f este derivabila partial în acest punct si numerele Ai ,i = 1,2, ...,p, sunt chiar derivatele partiale:

Ai =∂f∂xi

(a) , i = 1,2, ...,p.


DemonstratieDemonstram teorema pentru cazul p = 2.

Avem:

f (x1, x2) = f (a1,a2) + A1 (x1 − a1) + A2 (x2 − a2)

+α1 (x1, x2) (x1 − a1) + α2 (x1, x2) (x2 − a2) ,

pentru orice (x1, x2) ∈ D. Luând x2 = a2, obtinem

f (x1,a2) = f (a1,a2) + A1 (x1 − a1) + α1 (x1,a2) (x1 − a1) ,

sau, pentru x1 6= a1,

f (x1,a2)− f (a1,a2)

x1 − a1= A1 + α1 (x1,a2) .


Membrul drept are limita pentru x1 → a1, anume

limx1→a1

[A1 + α1 (x1,a2)] = A1 + limx1→a1

α1 (x1,a2)

= A1 + α1 (a1,a2) = A1.

Deci exista si

limx1→a1

f (x1,a2)− f (a1,a2)

x1 − a1= A1 ∈ R,

adica f admite derivata partiala în punctul a în raport cuvariabila x1 si

∂f∂x1

(a) = A1.

Analog se arata ca∂f∂x2

(a) = A2.


CorolarDaca o functie nu admite o derivata partiala în raport cu unadin variabile, sau admite dar nu este finita, atunci ea nu estediferentiabila.

ObservatieReciproca teoremei precedente nu are loc pentru p > 1.

Amintim ca în cazul functiilor de o variabila (p = 1) are loc sireciproca.

În cazul p > 1 este posibil ca o functie sa admita toate cele pderivate partiale în acel punct, acestea sa fie finite, dar ea sanu fie diferentiabila.


Exemplu

Fie functia f : R2 → R, definita prin

f (x , y) =

xy

x2 + y2 , (x , y) 6= (0,0)

0, (x , y) = (0,0) .

Functia f este derivabila partial în origine, dar nu estediferentiabila în origine.


Teorema (Criteriul de diferentiabilitate)Fie D ⊆ Rp o multime deschisa, f : D → R si a ∈ D.

Daca f este derivabila partial într-o vecinatate V a punctului asi derivatele partiale sunt continue în a, atunci f estediferentiabila în a.


ExercitiuSa se arate ca functia

f : D =

{(x , y) ∈ R2;

xy> 0, y 6= 0

}→ R, f (x , y) = ln

xy,

este diferentiabila pe D.

Solutie. Calculam derivatele partiale într-un punct curent(x , y) ∈ D. Avem

∂f∂x

(x , y) =1xy

·(

xy

)′x=

yx· 1

y=

1x,

∂f∂y

(x , y) =1xy

·(

xy

)′y=

yx·(− x

y2

)= −1

y.


Functiile∂f∂x,∂f∂y

sunt continue pe D, deci f ∈ C1 (D) .

Prin urmare, f este diferentiabila pe D.


DefinitieFie D ⊆ Rp o multime deschisa si f : D → R o functie derivabilapartial într-un punct a ∈ D.

Se numeste gradientul functiei f în a, elementul din Rp ale caruicomponente sunt valorile derivatelor partiale ale functiei f înpunctul a, adica

gradf (a) =(∂f∂x1

(a) ,∂f∂x2

(a) , ...,∂f∂xp

(a))∈ Rp.

În cazul p = 1, gradientul functiei f în punctul a este tocmaiderivata functiei în a : gradf (a) = f ′ (a) .

Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul...

Documents

Transcript of Curs 11 Functii reale de mai multe variabile reale. Calcul...