BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A COURSE OF HIGHER MATHEMATICS) CAO CAP... · Bài giảng Toán Cao...

Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ

Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 1

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP

(A COURSE OF HIGHER MATHEMATICS)

CHƢƠNG 7. TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN (INTEGRALS)

7.1. ÔN TẬP VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

(ANTIDERIVATIVE or PRIMITIVE FUNCTION & INDEFINITE INTEGRAL)

7.1.1. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM

1. Nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập xác định D

nếu đạo hàm của F(x) là f(x), tức là F’(x) = f(x), xD.

Nhận xét: Hiển nhiên nếu hàm f(x) có một nguyên hàm thì nó sẽ có vô số nguyên hàm và hai

nguyên hàm bất kỳ của f(x) chỉ sai khác nhau một hằng số.

2. Tích phân bất định: Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) được gọi là họ nguyên

hàm hay tích phân bất định của nó và kí hiệu là ( )f x dx .

Như vậy, nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì tích phân bất định của nó là

( ) ( )f x dx F x C

7.1.2. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CƠ BẢN

1

, 1;1

xx dx C ln

dxx C

x

(0 1);ln

x

x aa dx C a

a

x xe dx e C

sin cos ;xdx x C cos sinxdx x C

2tan

cos

dxx C

x

2

cotsin

dxx C

x

2

arcsin ;1

dxx C

x

2arctan

1

dxx C

x

2 2

arcsin , 0;dx x

C aaa x

2 2

1arctan , 0

dx xC a

a aa x

'ln

udx u C

u

1 , 0ax axa

e dx e c a

1sin cos , 0a

axdx ax c a

1cos sin , 0a

axdx ax c a

7.1.3. CÁC TÍNH CHẤT



1. ( ) ( ) ( )

2. ( ) ( ) ( ) ( )

af x dx a f x dx a const

f x g x dx f x dx g x dx

'

3. '( ) ( )

4. ( ) ( )

f x dx f x C

f x dx f x

7.1.4. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau đây

3 2 ;x x x dx 32 4 ;x xe dx

x

2 2;

sin cos

dx

x x

2cos2 8sin4xx dx

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau đây

a) tgxdx b) 2

2 1

1

xdx

x

c)

2

4 1

4

xdx

x

d)

1x

dx

e

7.1.5. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1. Phƣơng pháp tích phân (theo) từng phần

a) Ý tƣởng: Khéo đƣa tích phân khó ( )f x dx về dạng udv để chia việc tích phân theo

từng phần dễ hơn v dv và vdu rồi dùng công thức udv uv vdu để suy

ra tích phân gốc.

b) Áp dụng đối với các tích phân ( )f x dx với f(x) thuộc một trong các dạng

P(x).ln(…); P(x).arcsin(…); P(x).arctan(…); P(x)sin(…); P(x).cos(…); P(x).e(…)

.

c) Cách đặt u hoặc dv theo câu “thần chú”:

“ U ơi lốc ác quá trời

E rằng sin cos còn mời đê vê ”

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần

a) 2( 1)arcsinx xdx b) 2 lnx xdx c) 1 cosx xdx

d) 2xxe dx e) 2 1 sin2xdxx

2. Phƣơng pháp đổi biến

dttxtxfdxxf '

trong đó txx , với t là biến số mới.

Các bƣớc thực hiện:

- Chọn biến số mới, tính vi phân của nó.

- Viết tích phân ban đầu theo biến số mới và tính tích phân thu được theo biến số mới.

- Trả kết quả về biến số ban đầu.

Ví dụ 4. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp đổi biến số

2

) ;ln

dxa

x x b) 22x x dx

c) 2

sin

1 cos

xdxx

d) 2008

1x x dx

7.2. ÔN TẬP VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (DEFINITE INTEGRAL)



7.2.1. CÔNG THỨC NEWTON – LEIBNIZ

aFbFxFdxxf b

a

b

a

trong đó F(x) là nguyên hàm của f(x).

Ví dụ 5. Tính các tích phân xác định sau đây

1

2

0

3 4 2x x dx

2 3 2

1

3 4 2 1

2

x x xdx

x

42

0

cos xdx

1 3 2

20

3 2 2

1

x x xdx

x

7.2.2. CÁC TÍNH CHẤT

( ) ( )

b b

a a

cf x dx c f x dx

[ ( ) ( )] ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

Nếu f(x) là hàm số chẵn (nghĩa là ( ) ( )f x f x ) thì

0

( ) 2 ( )

a a

a

f x dx f x dx

.

Nếu f(x) là hàm số lẻ (nghĩa là ( ) ( )f x f x ) thì ( ) 0

a

a

f x dx

.

Ví dụ 6.

1 1

2 21 0

12 2arctan ;

201 1

dx dxx

x x

2 3

22

0;1

x dx

x

Ví dụ 7.

3 0 3 0 3

1 1 0 1 0

5xdx xdx xdx xdx xdx

7.2.3. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1. Phƣơng pháp tích phân từng phần

b b

b

a

a a

u dv uv v du

Các dạng áp dụng và cách đặt u, dv tương tự trường hợp tích phân bất định.

Ví dụ 8. Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần



a)

1

ln

e

x xdx b)

2

0

(2 1)sinx xdx

c) 1

0

arctanx xdx d)

2

3

cosx xdx

2. Phƣơng pháp đổi biến số

dttxtxfdxxf

b

a

'

, là các cận mới của tích phân xác định theo biến số t .

Các bƣớc thực hiện:

- Chọn biến số mới, tính vi phân của nó

- Đổi cận tích phân theo biến số mới

- Viết tích phân ban đầu theo biến số mới và tính tích phân mới.

Ví dụ 9. Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp đổi biến số

a)

72

2

2x x dx b)

2

20

cos

1 sin

xdx

x

c) 3

1

lne

xdx

x d)

23

0

sin xdx

7.3. SƠ LƢỢC VỀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG (IMPOPER INTERGRALS)

Khi xét tích phân xác định ( )

b

a

f x dx , ta đòi hỏi các cận a, b là các số hữu hạn và hàm số lấy tích phân

f(x,y) liên tục trên [a,b]. Dưới đây ta mở rộng khái niệm tích phân cho trường hợp các cận của nó là vô

hạn.

7.3.1. Định nghĩa tích phân suy rộng với cận vô hạn

( ) lim ( ) ;

b

ba a

f x dx f x dx

( ) lim ( ) ;

b b

aa

f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

c c b

a bc a c

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

trong đó c là hằng số bất kì, còn f(x) là hàm số liên tục trên khoảng lấy tích phân.



Khi các giới hạn bên các vế phải tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng ở vế trái tương ứng hội tụ

và có giá trị bằng giới hạn hữu hạn ở vế phải tương ứng. Trường hợp ngược lại, tức là (một trong) các

giới hạn ở vế phải không tồn tại hoặc vô hạn thì ta nói tích phân suy rộng ở vế trái tương ứng phân kỳ.

Ví dụ 10. 2 2

1 1

1 1 1 1lim lim lim 1 1.

1

b

b b b

bdx dx

x bx x

Ví dụ 11. 1 1

lim lim ln lim ln 1 .

b

b b be e

bdx dx x bx x e

Ví dụ 12. 0 0

2 2

01 1lim lim arctan lim ( arctan ) .

21 1a a aa

dx dx x aax x

Ví dụ 13.

0

2 2 20

1 1 1lim lim

1 1 1

b

a ba

dx dx dxx x x

lim ( arctan ) lim arctan2 2a b

a b

Ví dụ 14. Tính các tích phân suy rộng sau đây

8.

a) 0

xxe dx

b) 1

dx

x x

c)

0

2 4

dx

x

d) 3 4

dx

x

7.3.2. Vài tích phân suy rộng hội tụ kinh điển và tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng của

hàm không âm

1. Vài tích phân suy rộng kinh điển hội tụ

Tích phân suy rộng

a

dx

x ( > 0)

+ Hội tụ khi (và chỉ khi) > 1; + Phân kỳ khi (và chỉ khi) ≤ 1.

2. Các tiêu chuẩn so sánh

a) Tiêu chuẩn so sánh thứ nhất

Giả thiết: 0 ≤ f(x) ≤ g(x), x ≥ a.

Kết luận: + ( ( )

a

f x phân kì ) ( ( )

a

g x cũng phân kỳ).

+ ( ( )

a

g x hội tụ ) ( ( )

a

f x cũng hội tụ).

b) Tiêu chuẩn so sánh thứ hai

Giả thiết: + 0 ≤ f(x), x ≥ a và f(x) 0 (tức là f(x) VCB ) khi x +.

+ f(x) k

x (0 < k < +) khi x +.



Kết luận: + ( ( )

a

f x hội tụ ) ( > 1), ( ( )

a

f x phân kỳ) ( ≤ 1) .

3. Ví dụ 15. Xét sự hội tụ (hay phân kỳ) của các tích phân dưới đây

a)2

3

1

3 2 1

4 2

x xdx

x x ; b)

2

0

2 3

3 1

xdx

x xx; c)

2

4

0

2

4 3 1

3 5 2

x xdx

x x; d)

2013

2015

0

2012

2

2

4 1

3x xdx

x x.

7.4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ

7.4.1. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1. Xác định quỹ vốn theo lƣợng đầu tƣ

Giả sử việc đầu tư được tiến hành liên tục theo thời gianK = K(t) là quỹ vốn tại thời điểm t (t

là biến thời gian) và I = I(t) là lượng đầug tư tại thời điểm t (0 ≤ t). Khi đó ta có

K(t) = ( )I t dt

Ở đây, hằng số C trong tích phân ở vế phải được xác định nhờ quỹ vốn ban đầu K(0) = K0.

2. Xác định hàm tổng theo giá trị cận biên

Giả sử một biến số kinh tế mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng chi phí C, tổng doanh thu R, tổng

lợi nhuận , …). Khi đó nếu biết hàm giá trị cận biên (chi phí cận biên, doanh thu cận biên, lợi

nhuận cận biên, …) thì dễ dàng tính được hàm tổng giá trị bằng cách lấy tích phân (bất định).

3. Ví dụ

Ví dụ 16. Giả sử lượng đầu tư tại thời điểm t cho bởi I = I(t) = 180t0,8

, t ≥ 0. Hãy xác định

quỹ vốn biết rằng vốn ban đầu là 200.

Giải + Quỹ vốn xác định bởi K = K(t) = 0,8 1,8( ) 180 100I t dt t dt t C .

+ Vì vốn ban đầu là K(0) = C = 200 nên K = 100t1,8

+ 200.

Ví dụ 17. Giả sử chi phí cận biên (Marginal Cost) của một doanh nghiệp ở mỗi mức sản

lượng Q cho bởi MC = 30 – 40Q + 9Q2. Hãy xác định tổng chi phí TC (Total Cost) và chi

phí khả biến (Variable Cost) VC theo Q biết rằng chi phí cố định (Fixed Cost) là VC = TC –

FC và FC = 100.

Giải + TC = TC(Q) = MCdQ = 2(30 40 9 )Q Q dQ = 30Q – 20Q2 + 3Q

3 + C.

+ Vì FC = 100 = TC(0) = C nên C = 100. Tức là TC = 100 + 30Q – 20Q2 + 3Q

3.

+ Chi phí khả biến là VC = TC – FC = 30Q – 20Q2 + 3Q

3.

7.4.2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1. Thặng dƣ của ngƣời tiêu dùng và thặng dƣ của nhà sản xuất

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa theo giá P cho bởi Qs = Qs(P) và Qd =

Qd(P). Khi đó tìm giá P theo lượng cung, cầu ta được các hàm cung ngược P = P(Qs) và hàm

cầu ngược P = P(Qd).

Giải phương trình cân bằng Qs = Qd ta xác định được điểm cân bằng (P0, Q0). Khi đó thặng

dư của người tiêu dùng CS (Consumers’ Surplus) và thặng dư của nhà sản xuất PS

(Producers’ Surplus) được xác định bởi các tích phân xác định theo công thức dưới đây

CS =

0

0 0

0

( )

Q

d dP Q dQ P Q ; PS =

0

0 0

0

( )

Q

s sP Q P Q dQ .

2. Ví dụ

Ví dụ 18. Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi Qs = 1P , Qd = 113 P .

Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất đối với hàng hóa đó.



Giải + Các hàm cung, cầu ngược cho bởi P = (Qs + 1)2, P = 113 – Qd

2.

+ Điểm cân bằng thị trường cho bởi phương trình Qs = Qd, tức là

Qs = Qd 1P = 113 P (P0, Q0 ) = (64, 7).

+ Thặng dư của người tiêu dùng là 0 77

2 3

0 0

00 0

1( ) (113 ) 64 7 113 448

3

Q

d d d dP Q dQ PQ Q dQ Q Q = 686

3 .

+ Thặng dư của nhà sản xuất là

077 3

2

0 0

0 0 0

( 1)( ) 64 7 ( 1) 448

3

Q

ss s s s

QPQ P Q dQ Q dQ =

833

3.

Ví dụ 19. Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi Qs = 3P , Qd = 185 P .

Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất đối với hàng hóa đó.



CHƢƠNG 8. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN(DIFFERENTIAL EQUATIONS)

8.0. BỔ TÚC VỀ SỐ PHỨC (COMPLEX NUMBERS) (SV Tự ôn)

8.1.SƠ LƢỢC VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

(FIRST - ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS)

8.2.SƠ LƢỢC VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

(SECOND – ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS)

CHƢƠNG 8: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

8.1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

8.1.1. KHÁI NIỆM

1. Phƣơng trình vi phân: là phương trình có chứa đạo hàm của hàm số cần tìm.

Ví dụ 1. a) 21

' 2y y xx

;

b) " 4 ' 3 2sin 4cosy y y x x .

Đây là các phương trình vi phân với y là ẩn hàm cần tìm, x là biến số độc lập,

', "y y là các đạo hàm của ẩn hàm.

2. Cấp của phƣơng trình vi phân: là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong

phương trình đó.

Ví dụ 2. a) Phương trình cho ở ví dụ 1a) là phương trình vi phân cấp 1.

b) Phương trình cho ở ví dụ 1b) là phương trình vi phân cấp 2.

3. Nghiệm của phƣơng trình vi phân: là hàm số thoả mãn phương trình đó.

Ví dụ 3. a) Hàm số 3y x là nghiệm của phương trình cho ở ví dụ 1a), vì thay

3 2, ' 3y x y x vào phương trình đó ta thấy:

2 3 21 1' 3 2y y x x xx x

là đẳng thức đúng với mọi 0.x

Tương tự, hàm số 3y x cx (với c là hằng số bất kì) cũng là nghiệm của

phương trình cho ở ví dụ 1a), vì: thay3y x cx ,

2' 3y x c vào phương

trình đã cho ta cũng thấy thoả mãn.

b) Hàm số siny x là nghiệm của phương trình

" 4 ' 3 2sin 4cosy y y x x

4. Phân loại nghiệm: a) Nghiệm tổng quát: là nghiệm có chứa hằng số tuỳ ý.



Ví dụ 4. 3y x cx là nghiệm tổng quát của phương trình

21' 2y y xx

.

b) Nghiệm riêng: là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một

giá trị cụ thể.

Ví dụ 5. 3y x là nghiệm riêng của phương trình

21' 2y y xx

vì nó được suy

từ nghiệm tổng quát khi 0c .

c) Nghiệm kì dị: là nghiệm không suy được từ nghiệm tổng quát. Nghiệm kì dị

thường xuất hiện khi xét các trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân.

Nhận xét. Ứng với mỗi nghiệm tổng quát sẽ có vô số nghiệm riêng. Do đó, muốn

tìm một nghiệm riêng nào đó, ta cần biết trước điều kiện của nghiệm. Ta gọi đó là

điều kiện ban đầu của phương trình vi phân. Điều kiện này thường được viết ở dạng :

0 0( )y x y hoặc 0 0x xy y .

Khi đó, chỉ cần thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát, ta sẽ tìm được giá trị

cần có của hằng số. Từ đó suy ra nghiệm riêng.

Ví dụ 6. Hãy tìm nghiệm riêng của phương trình 21

' 2y y xx

thoả mãn điều kiện:

(1) 0.y

Ta đã có nghiệm tổng quát của phương trình đó là 3y x cx . Muốn thoả mãn

điều kiện đã cho thì 30 1 1 1.c c Vậy, nghiệm riêng cần tìm là hàm số

3 .y x x

8.1.2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

1. Phƣơng trình có biến số phân li

a) Khái niệm. Phương trình có biến số phân li (còn gọi là phương trình tách biến)

là phương trình vi phân cấp một có dạng

( ) ( )f x dx g y dy

Ví dụ 1. a) sin lnxdx ydy là phương trình phân li.

b) sin cosx ydx tgydy không là phương trình phân li, nhưng có thể

biến đổi để đưa về phương trình phân li. Chẳng hạn, nếu chia hai vế cho cos y , với

điều kiện cos 0y , ta được phương trình phân li



2

sinsin sin

cos cos

tgy yxdx dy hay xdx dy

y y .

b) Cách giải. Lấy tích phân bất định hai vế của phương trình phân li sẽ được

nghiệm tổng quát ở dạng “hàm ẩn”.

Ví dụ 2. Giải phương trình cho ở ví dụ 1a), ta có

sin ln sin ln

cos (ln 1)

xdx ydy xdx ydy

x c y y

Chú ý: Chỉ cần cộng hằng số vào một trong hai vế ở công thức nghiệm.

Ví dụ 3. Giải phương trình sin cosx ydx tgydy .

Ví dụ 4. Giải phương trình ln 0.tgydx x xdy

Ví dụ 5. Tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện ( 8) 1y của phương trình

2 2(1 ) 1 0xydx y x dy .

2. Phƣơng trình đẳng cấp a) Khái niệm. Phương trình đẳng cấp là phương trình vi phân cấp một có dạng

' ( )y

y fx

Ví dụ 6. a) ' cosy y

yx x

là phương trình đẳng cấp.

b) ' 2xy y x không là phương trình đẳng cấp, nhưng có thể biến đổi

để đưa về phương trình đẳng cấp. Chẳng hạn, nếu chia hai vế cho x , với điều kiện

0x , ta được phương trình đẳng cấp

' 2y

yx

.

b) Cách giải. Đặt ẩn hàm mới ' ' .y

z hay y zx y z x zx

Thay vào phương trình đẳng cấp sẽ được phương trình phân li theo , .z x Giải

phưong trình này sẽ tìm được z , từ đó suy ra .y

Ví dụ 7. Giải phương trình cho ở ví dụ 6a). Đặt ẩn hàm

' ' .y

z y zx y z x zx



Thay vào phương trình đẳng cấp ta được

' cos ' cos

coscos

z x z z z z x z

dz dz dxx z

dx z x

Đây là phương trình phân li với điều kiện cos 0z . Lấy tích phân bất định hai vế

ta có

ln ln lncos 2 4

2 4 2 4

dz dx ztg x c

z x

z ytg cx tg cx

x

Xét trường hợp cos 02

z hay z k

, ta có ' 0z , thay vào

phương trình ' cosz x z , ta thấy thoả mãn. Vậy đây là nghiệm kì dị của phương

trình. Khi đó 2y zx k x

.

Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm tổng quát và một nghiệm kì dị.

Chú ý: Có thể cộng ln c vào một trong hai vế ở công thức nghiệm để khử ln ra

khỏi nghiệm, khi đó công thức nghiệm sẽ gọn hơn.

Ví dụ 8. Giải phương trình ' 2xy y x .

Ví dụ 9. Tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện (1) 1y của phương trình

' ln .y

xy yx

3. Phƣơng trình tuyến tính

a) Khái niệm: là phương trình vi phân có dạng

' ( ) ( )y p x y q x

trong đó ( ), ( )p x q x là các hàm số của biến số độc lập x .

Ví dụ 10. a) 21

' siny y x xx

là phương trình tuyến tính với

21( ) , ( ) sin .p x q x x x

x



b) 2(2 3) 0xy dx x dy không là phương trình tuyến tính nhưng có

thể đưa về phương trình tuyến tính sau một vài phép biến đổi.

b) Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính là hàm số

( ) ( )( )

p x dx p x dxy q x e dx C e

trong đó

hay y = u(x). v(x) với ( ) ( )

( ) , ( ) .( )

p x dx q xu x e v x dx

u x

Khi tính ( )p x dxe hay ( )u x không lấy hằng số C tuỳ ý, khi tính ( )v x cần lấy hằng

số đó.

Ví dụ 11. Giải phương trình ở ví dụ 10a). Ta có

ln( ) ,

sin cos sin ,

( cos sin ).

dxxxu x e e x

v x x xdx x x x c

y x x x x c

Ví dụ 12. Giải phương trình ' cos sin cos , (0) 0.y y x x x y

Trước hết ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình. Ta có

cos sin

sin

sin

sin

( ) cos , ( ) sin cos ,

( ) ,

( ) sin cos

( 1) (sin 1) ,

sin 1 .

xdx x

x

t t x

x

p x x q x x x

u x e e

v x e x xdx

te dt e t c e x c

y x ce

Để tìm nghiệm riêng ta cần thay điều kiện (0) 0y vào nghiệm tổng quát, khi đó

ta được

sin00 sin0 1 1.ce c

Vậy nghiệm riêng cần tìm là hàm số sinsin 1 .xy x e

Ví dụ 13. Giải phương trình 2(2 3) 0.xy dx x dy

Ví dụ 14. Giải phương trình 2' 1 arcsin , (0) 0.y x y x y

4. Phƣơng trình Bernoulli



a) Khái niệm: là phương trình vi phân có dạng

' ( ) ( )y p x y q x y

trong đó ( ), ( )p x q x là các hàm số của biến số độc lập x , còn là số thực bất kì.

Với 0, 1 , phương trình Bernoulli chính là phương trình tuyến tính đã xét,

do đó ta chỉ đưa ra cách giải phương trình trên khi 0, 1.

Ví dụ 15. 2 4'

yy x y

x là phương trình Bernoulli với 4.

b) Cách giải: Đặt ẩn hàm mới 1 ' (1 ) 'z y z y y .

Thay vào phương trình Bernoulli đã cho sẽ được phương trình tuyến tính theo

, .z x Giải phương trình này ta tìm được z , từ đó suy ra .y

Ví dụ 16. Giải phương trình ở ví dụ 15.

Ta thấy ngay 0y là một nghiệm kì dị của phương trình đã cho.

Xét trường hợp 0y , đặt

3 4 41' 3 ' ' '

3z y z y y hay y y z .

Thay vào phương trình đã cho, ta được

4 2 4 21 3' ' 3

3

yy z x y z z x

x x .

Đây là phương trình tuyến tính với 23

( ) , ( ) 3p x q x xx

nên

33ln 3

3

( ) ,

3( ) 3 ln ,

( 3 ln ).

dx xxu x e e x

v x dx x cx

z x x c

Dođó nghiệm của phương trình đã cho là

3 3( 3ln ).y x x c

Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm tổng quát và một nghiệm kì dị.

Ví dụ 17. Giải các phương trình sau

a)

22 3

3

3' ( 1)sin , (0) 1.

1

x yy y x x y

x

b) 33 (1 3 ) sin 0, ( ) 1.

2dy y y xdx y



5. Phƣơng trình vi phân toàn phần a) Khái niệm: là phương trình vi phân có dạng

( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy

trong đó ( , ), ( , )P x y Q x y là các hàm hai biến có các đạo hàm riêng thoả mãn điều

kiện ' 'x yQ P .

Ví dụ 18. a) 2( 3 ) (4 ) 0y x dx y x dy ,

b) 2 2

2 30y dx x dy

x y

là các phương trình vi phân toàn phần.

b) Cách giải: Chọn điểm 0 0( , )x y bất kì mà tại đó các hàm số ( , ), ( , )P x y Q x y liên

tục và có các đạo hàm riêng liên tục. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

toàn phần được tính bởi công thức

0 0

0( , ) ( , )

yx

x y

P x y dx Q x y dy C

hoặc

0 0

0( , ) ( , )

yx

x y

P x y dx Q x y dy C .

Ví dụ 19. Giải các phương trình cho ở ví dụ 18.

a) Chọn 0 0( , ) (0,0)x y , ta có nghiệm tổng quát của phương trình là

2 3 2

0 0

(0 3 ) (4 ) 2

yx

x dx y x dy C x y xy C

hoặc

2 3 2

0 0

( 3 ) (4 0) 2

yx

y x dx y dy C x y xy C .

b) Chọn 0 0( , ) (1,1)x y , ta có nghiệm tổng quát của phương trình là



2 21 1

1

2 31

2 3 2 3

1 1

yx

dx x dy Cx y

x yx xy C xy C

x y x y


a) 2( ) ( 2 ) 0,x y dx x y dy

b) ( sin ) ( cos ) 0.x ye y y dx e x x y dy

8.2.PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI

8.2.1. KHÁI NIỆM

1. Phƣơng trình vi phân cấp hai là phương trình có chứa đạo hàm cấp hai của hàm

số cần tìm.

Ví dụ 1. " 3 ' 2 2 3y y y x là phương trình vi phân cấp hai với x là biến số

độc lập, y là ẩn hàm cần tìm.

2. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai là nghiệm có chứa hai hằng

số bất kì.

Ví dụ 2. Hàm số 2

1 2x xy c e c e x là nghiệm tổng quát của phương trình vi

phân cho ở ví dụ 1, vì 2 2

1 2 1 2' 2 1, " 4x x x xy c e c e y c e c e .

Thay vào phương trình đã cho ta thấy

2 21 2 1 2

21 2

" 3 ' 2 ( 4 ) 3( 2 1)

2( ) 2 3

x x x x

x x

y y y c e c e c e c e

c e c e x x

là đẳng thức đúng.

3. Nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp hai được suy từ nghiệm tổng quát khi

các hằng số nhận giá trị cụ thể. Để tìm một nghiệm riêng nào đó ta cần biết điều kiện

mà nó thoả mãn. Ta gọi đó là điều kiện ban đầu của phương trình vi phân. Điều kiện

này thường được cho ở dạng:

'0 0 0 0( ) , '( ) .y x y y x y

Ví dụ 3. Từ nghiệm tổng quát ở ví dụ 2, hãy tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện

(0) 3, '(0) 5.y y

Thay điều kiện đã cho vào , ',y y ta có



0 01 2 1

0 021 2

0 3 2

12 1 5

c e c e c

cc e c e

Vậy, nghiệm riêng cần tìm là hàm số 22 .x xy e e x

8.2.2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN

1. Phƣơng trình giảm cấp đƣợc

a) Khái niệm. Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được là phương trình có thể

đưa được về phương trình vi phân cấp một bằng cách đặt ẩn hàm mới.

Sau đây ta xét một số phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được.

b) Phƣơng trình vi phân cấp hai thiếu , 'y y

Khi đó phương trình có dạng " ( ).y f x

Muốn giải phương trình này, ta lấy tích phân bất định hai lần, sẽ được nghiệm tổng

quát.

Ví dụ 1. " siny x là phương trình vi phân cấp hai thiếu , 'y y .

- Lấy tích phân bất định lần thứ nhất, ta được

1' cos .y x c

- Lấy tích phân bất định lần thứ hai, ta được

1 2sin .y x c x c

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.

Ví dụ 2. Giải phương trình " , (0) 1, '(0) 2.xy xe y y

- Trước hết, ta tìm nghiệm tổng quát.

Lấy tích phân bất định hai lần ta được

1

1 1 2

' ( 1) ,

( 1) ( 2) .

x x

x x

y xe dx x e c

y x e c dx x e c x c

- Thay điều kiện ban đầu vào , 'y y , ta được

01 1

021 2

1 (0 1) 2

42 (0 2) 0

e c c

ce c c

- Vậy, nghiệm riêng cần tìm là hàm số ( 2) 2 4.xy x e x

Ví dụ 3. Giải phương trình 2" 3 2 1, (0) 1, '(0) 2.y x x y y

c) Phƣơng trình vi phân cấp hai thiếu y



Khi đó phương trình có dạng " ( , ').y f x y

Muốn giải phương trình này, ta đặt ẩn hàm ' ' ".z y z y

Thay vào phương trình đã cho, sẽ được phương trình mới có dạng ' ( , )z f x z .

Đây là phương trình vi phân cấp một đối với ẩn hàm z , biến số độc lập x . Giải

phương trình này, sẽ tìm được z , tức là tìm được 'y . Từ đó, lấy tích phân bất định,

sẽ tìm được ẩn hàm .y

Ví dụ 4. Giải phương trình '

" ' lny

xy yx

.

Đặt ' ' ".z y z y Thay vào phương trình đã cho, ta được

' ln ' lnz z z

xz z zx x x

Đây là phương trình đẳng cấp theo ,z x .

Đặt ' ' .z

t z tx z t x tx

Thay vào phương trình đẳng cấp, ta có

' ln ln

(ln 1 0)(ln 1)

dtt x t t t x t t t

dx

dt dxt

t t x

Đây là phương trình phân li, lấy tích phân bất định hai vế, ta được

1

1 1

11

ln ln 1 ln ln ln 1

ln 1c x

t x c t c x

zc x z xe

x

Thay 'z y và lấy tích phân bất định, ta có

1 1 11 1 122

1 1

1c x c x c xxy xe dx e e c

c c

Đây là nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.

Xét trường hợp

ln 1 't hay t e z ex z e

Thay vào phương trình đẳng cấp, ta thấy thoả mãn. Vậy, đây là nghiệm kì dị của

phương trình. Khi đó 2' .

2

ey ex y x

Như vậy, phương trình đã cho có một nghiệm tổng quát và một nghiệm kì dị.


" ( 1), (2) 1, '(2) 1.1

yy x x y y

x




" 0.y

yx

d) Phƣơng trình vi phân cấp hai thiếu x Khi đó phương trình có dạng " ( , ').y f y y

Muốn giải phương trình này, ta đặt ẩn hàm 'dy

p ydx

và xem p là hàm số

của .y Khi đó

'' " . '.dp dy dp dp dy

p y p pdy dx dx dy dx

Thay vào phương trình đã cho, sẽ được phương trình mới có dạng ' ( , )pp f y p .

Đây là phương trình vi phân cấp một đối với ẩn hàm p , biến số độc lập y . Giải

phương trình này, sẽ tìm được p , tức là tìm được 'y . Từ đó, giải phương trình phân

li tương ứng, sẽ tìm được ẩn hàm .y

Ví dụ 7. Giải phương trình 2" ' 0y y .

Đặt 'dy

p ydx

và xem p là hàm số của .y Khi đó " '.y pp


2 0 (1)' 0 ( ' ) 0

' (2)

ppp p p p p

p p

Ta có

1 1

1

1 1

1

2

(1) ' 0 .

(2) ln

.

y c y c

y c

y c y c

y y c

dp dpp dy p y c

dy p

dy dyp e e dx

dx e

e dy dx e x c

Ví dụ 8. Giải phương trình 2" 1 ' .yy y

Ví dụ 9. Giải phương trình 2" ' 0, (0) 1, '(0) 2.yy y y y

2. Phƣơng trình tuyến tính hệ số hằng thuần nhất



a) Khái niệm. Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất là phương

trình vi phân có dạng

1 2" ' 0y a y a y .

b) Cách giải. Xét phương trình đặc trưng

21 2 0k a k a .

- Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt 1 2,k k thì nghiệm

tổng quát của phương trình vi phân là

1 21 2k x k xy c e c e .

- Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép 0k thì nghiệm tổng quát của phương

trình vi phân là

01 2( )

k xy e c x c .

- Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp i thì nghiệm

tổng quát của phương trình vi phân là

1 2( cos sin )xy e c x c x .


) " 3 ' 2 0

) " 4 ' 4 0

) " 2 ' 5 0

a y y y

b y y y

c y y y


) " 4 ' 13 0

) " 6 ' 9 0

) " 2 ' 0

) " 4 0

a y y y

b y y y

c y y

d y y

3. Phƣơng trình tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất

a) Khái niệm. Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất là

phương trình vi phân có dạng

1 2" ' ( )y a y a y f x .



b) Cách giải. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất có dạng

ry y y , trong đó y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương

ứng 1 2" ' 0y a y a y , ry là nghiệm riêng của phương trình không thuần

nhất đã cho.

- Cách tìm y như ở mục 2.

- Cách tìm ry : Tuỳ thuộc vào dạng của hàm số ( )f x ở vế phải của phương trình đã

cho.

* Trường hợp ( ) ( )axnf x e P x , trong đó ( )nP x là đa thức bậc n của x có các

hệ số cho trước. Khi đó

- Nếu a không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì

( )axr ny e Q x

trong đó ( )nQ x là đa thức bậc n của x có các hệ số chưa biết. Để tìm các hệ số

này, ta thay ry và các đạo hàm của nó vào phương trình đã cho rồi đồng nhất hai

vế.

- Nếu a là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì

( )axr ny xe Q x

- Nếu a là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì

2 ( )axr ny x e Q x

* Trường hợp ( ) ( )cos ( )sinaxn mf x e P x bx Q x bx , trong đó

( ), ( )n mP x Q x là các đa thức bậc ,n m của x có các hệ số cho trước.

Khi đó

- Nếu a ib không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì

( )cos ( )sinaxr k ky e H x bx L x bx

trong đó ( ), ( )k kH x L x là các đa thức bậc max( , )k n m của x có các hệ số

chưa biết. Để tìm các hệ số này, ta thay ry và các đạo hàm của nó vào phương trình

đã cho rồi đồng nhất hai vế.

- Nếu a ib là nghiệm phức của phương trình đặc trưng thì

( )cos ( )sinaxr k ky xe H x bx L x bx



Ví dụ 12. Giải phương trình -x" 3 ' 2 (6 7)ey y y x

Đây là phương trình không thuần nhất nên nghiệm tổng quát có dạng

ry y y .

- Ta tìm y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

" 3 ' 2 0y y y

Xét phương trình đặc trưng 2 3 2 0 1, 2k k k k .

Do đó 2

1 2x xy c e c e .

- Ta tìm ry là nghiệm riêng của phương trình đã cho.

Ta nhận thấy vế phải của phương trình đã cho là 1( ) ( )xf x e P x

có 1a không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên

1( ) ( )x xry e Q x e Ax B

Suy ra ' "( ), ( 2 )x xr ry e Ax A B y e Ax A B


" '

-x

3 2 (6 7)

( 2 ) 3 ( )

2 ( ) (6 7)e

(6 5 6 ) (6 7)

xr r r

x x

x

x x

y y y x e

e Ax A B e Ax A B

e Ax B x

Ax A B e x e

Đồng nhất hai vế, ta có hệ phương trình

6 6 1

5 6 7 2

A A

A B B

Do đó nghiệm riêng là ( 2)xry e x .

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

21 2 ( 2).x x xy c e c e e x

Ví dụ 13. Giải phương trình x" 3 ' 2 2ey y y


ry y y .




" 3 ' 2 0y y y

Xét phương trình đặc trưng 2 3 2 0 1, 2k k k k .

Do đó 2

1 2x xy c e c e .



có 1a là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên

0( )x x

ry xe Q x Axe

Suy ra ' "( 1), ( 2)x xr ry Ae x y Ae x


" '

x

3 2 2

( 2) 3 ( 1) 2 2e

2 2

xr r r

x x x

x x

y y y e

Ae x Ae x Ae

Ae e A

Do đó nghiệm riêng là 2 xry xe .


21 2 2 .x x xy c e c e xe

Ví dụ 14. Giải phương trình x" 2 ' 2ey y y


ry y y .


" 2 ' 0y y y

Xét phương trình đặc trưng 2 2 1 0 1k k k .

Do đó 1 2( )xy e c x c .



có 1a là nghiệm kép của phương trình đặc trưng nên



2 20( )

x xry x e Q x Ax e

Suy ra ' 2 " 2( 2 ), ( 4 2)x xr ry Ae x x y Ae x x


" '

2 2 2 x

2 2

( 4 2) 2 ( 2 ) 2e

2 2 1

xr r r

x x x

x x

y y y e

Ae x x Ae x x Ax e

Ae e A

Do đó nghiệm riêng là 2 x

ry x e .


21 2( ) .x xy e c x c x e

Ví dụ 15. Giải phương trình 2x" 2 ' 5 ey y y

Ví dụ 16. Giải phương trình " siny y x


2

2

) " 3 ' 4

) " 2 '

) " 5 ' 6 ( 1)

) " 2 ' 10 2

) " 4 cos2

x

x

x

a y y y e

b y y y e

c y y y e x

d y y y x x

e y y x

Trường hợp 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x , trong đó 1 2( ), ( )f x f x có dạng như ở

các trường hợp trên. Khi đó 1 2r r ry y y ,

với 1ry là nghiệm riêng của phương trình

1 2 1" ' ( )y a y a y f x ,

1ry là nghiệm riêng của phương trình

1 2 2" ' ( )y a y a y f x .

Ví dụ 18. Giải phương trình " 5xy y e x .



BÀI TẬP TP VÀ PTVP

1. Tính các tích phân bất định

a) x 1

dxx

; b) (sin5x sin 7x)dx ; c)

2

dx

sin 2x4

; d) x

x

edx

2 e ;

e)2 2

dx

sin x 2cos x ; f) 3

s inxdx

cos x ; g) 3 2xx e dx ; h)

arcsin xdx

1 x ;

i) 2 sinx

dx2-cosx

; k)

tan xdx

(cosx-sinx).cosx .

2. Tính tích phân bất định của các hàm hữu tỉ sau 10

2 2

3 3 4

xdx x dx dxa) ; b) ; c) ;

(x 1)(x 2)(x 3) x x 2 (x 1)(x 1)

dx xdx dxd) ; e) ; f) .

x 1 x 3x 2 x 1

3. Tính các tích phân lƣợng giác và vô tỷ sau /2 /4 6 15

2 2

0 0 1 3

64 1 3 /4 /33

8 5 33 2

1 0 0 /6

dx dx dx dxa) ; b) ; c) ; d) ;

3 2cos x 1 2sin x 1 3x 2 x 1 x

dx (x 3)dx sin xdx dxe) ; f) ; g) ; h) .

cos x sin xcos x(4 x) x x 2x 2

4. Xét sự hội tụ và tính giá trị (nếu hội tụ) của các tích phân suy rộng dƣới đây

0

2 2 2

1 0 5

darctanx 2x 1 dx 1

a) dx; b) dx; c) ; ) dx;1+x (x 2) 4+x x x 4

2x

2

0 1

dxi) e dx; k) .

x x 4

5. Xét sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau

2

3 2 2

0 3 0 0

x dx sin xdx xdxa) dx; b) ; c) ; d) ;

x +2x+1 1 x cos xx(x 1)(x 2) x x



1 1 12

x 2 5 43

0 0 0

dx x x.dxe) ; f ) dx; g) .

e cos x (1 x ) 1 x

6. Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly sau đây

a) lncosydx + xtgydy = 0;

b) 011 22 dyxydxyx ;

c) (1 + e2x

)y2dy = e

xdx với điều kiện y(0) = 0;

d) yy

yln

' với điều kiện y(2) = 1.

7. Giải các phương trình vi phân tuyến tính sau đây

a) xy' - y = x2cosx;

b) (1 + x2) y' + y = arctanx;

c) y' sinx - ycosx = 1 với điều kiện 0)(2y ;

d)1

cos' tan xy y x với điều kiện y(0) = 0;

e) xyxy arcsin1' 2 với điều kiện y(0) = 0;

f) 32

xx

y

dx

dy .

8. Giải các phương trình vi phân cấp 2 sau đây:

2 2

) " 3 ' 4 ; ) " 2 ' ;

) " 5 ' 6 ( 1); ) " 2 ' 10 2;

) " 4 cos2 ; ) " 2(cos sin ).

x x

x

a y y y e b y y y e

c y y y e x d y y y x x

e y y x f y y x x

Bài tập ứng dụng

9.

a) Tìm hàm tổng chi phí theo sản lương Q biết chi phí cố định là 100 (triệu

đồng) và hàm chi phí cận biên MC = 3Q2 + 4Q (triệu đồng).

b) Tìm quỹ vốn theo thời gian t biết vốn ban đầu là 5 tỉ và lượng đầu tư là I =

I(t) = 4t3 + 3t

2 + 2t (tỉ đồng).

c) Cho biết hàm cầu và hàm cung đối với một loại hàng hóa nào đó là

Qd = 113 p ; Qs = 1p .

Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng đối với

loại hàng hóa đó.

10. a) Tìm hàm tổng chi phí theo sản lương Q biết chi phí cố định là 100 (triệu

đồng) và hàm chi phí cận biên MC = 9Q2 + 8Q – 6 (triệu đồng).



b) Tìm quỹ vốn theo thời gian t biết vốn ban đầu là 8 tỉ và lượng đầu tư là I =

I(t) = 8t3 + 9t

2 + 4t – 3(tỉ đồng).

c) Cho biết hàm cầu và hàm cung đối với một loại hàng hóa nào đó là

Qd = 100 p ; Qs = 2p .

Hãy tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng đối với loại

hàng hóa đó.

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A COURSE OF HIGHER MATHEMATICS) CAO CAP... · Bài giảng Toán Cao...

Documents

Transcript of BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A COURSE OF HIGHER MATHEMATICS) CAO CAP... · Bài giảng Toán Cao...