Apostila solidos i 2015 ifrs [everton] pdf

APOSTILA DEMECÂNICA DOS SÓLIDOS I

ÉVERTON PIZZIO

Farroupilha, 2015

RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO FEDERAL DEEDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

Câmpus Farroupilha

Dedico à João Carlos Pizzio

e Sonia Helena Pizzio

IFRS Câmpus Farroupilha - Mecânica dos Sólidos I 2015 Prof. Éverton Pizzio

1

Sumário 1 – CÁLCULO DAS REAÇÕES ....................................................................................................... 3

1.1 Tipos de suportes (ou apoios) .......................................................................................... 3

1.2 – Tipos de carregamentos ............................................................................................... 3

1.3 – Classificação de vigas .................................................................................................... 4

1.4 – Cálculo das reações nas vigas........................................................................................ 4

2 – DIAGRAMAS DE FORÇA AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS ............................................... 5

2.1 – Método das seções ....................................................................................................... 5

2.1.1 – Força cortante nas vigas (V) ................................................................................... 6

2.1.2 – Força axial nas vigas (P) .......................................................................................... 6

2.1.3 – Momento fletor (M) ............................................................................................... 7

2.1.4 – Diagramas de forças cortante, axial e do momento fletor ...................................... 7

3 TRELIÇAS .............................................................................................................................. 13

3.1 Definição ....................................................................................................................... 13

3.2 Método do equilíbrio dos nós .................................................................................... 14

4 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS ........................................................ 18

4.1 Centro de Gravidade ..................................................................................................... 18

4.2 Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras ........................................... 19

4.3 Momento de Inércia ...................................................................................................... 20

5 – TENSÃO ............................................................................................................................. 22

5.1 – Definição de Tensão ................................................................................................... 22

5.2 – Tensor de Tensões ...................................................................................................... 23

5.3 – Tensões em membros com carregamento axial .......................................................... 24

5.3.1 – Carga axial ........................................................................................................... 24

5.3.2 – Tensão média de cisalhamento ............................................................................ 25

6 – TORÇÃO ............................................................................................................................ 29

6.1 – Aplicação do método das seções ................................................................................ 29

6.2 – Premissas Básicas ....................................................................................................... 29

6.3 – A fórmula da torção .................................................................................................... 30

6.4 – Observações sobre a fórmula da torção ...................................................................... 31

6.6 – Ângulo de torção de membros circulares .................................................................... 35

7 – TENSÃO DE FLEXÃO EM VIGAS........................................................................................... 36

7.1 – Premissa básica .......................................................................................................... 36

7.2 – Fórmula da flexão elástica .......................................................................................... 38


2

7.3 – Flexão pura de vigas com seção assimétrica ................................................................ 40

8. Transformação de tensões .................................................................................................. 42

ANEXO 1 ................................................................................................................................. 49

ANEXO 2 ................................................................................................................................. 50

BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................... 51


3

1 – CÁLCULO DAS REAÇÕES

1.1 Tipos de suportes (ou apoios)

1.2 – Tipos de carregamentos

a) Forças concentradas


4

b) Carga uniforme distribuída

c) Carga uniformemente variável

d) Momento concentrado

1.3 – Classificação de vigas

a) Simplesmente apoiadas

1.4 – Cálculo das reações nas vigas

Equações de equilíbrio estático (forças aplicadas em um plano):

ΣFx = 0 , Σ Fy = 0 e ΣMA ou B = 0


5

2 – DIAGRAMAS DE FORÇA AXIAL, CORTANTE E DE MOMENTOS

2.1 – Método das seções

O método das seções estabelece procedimentos para a determinação dos

esforços internos ao longo do comprimento da viga. O conceito de equilíbrio

das partes de um corpo é utilizado quando o corpo com um todo está em

equilíbrio.


6

Figura 2.1 – Esforços internos em vigas

onde V é a força cortante, P é a força axial e M é o momento fletor.

2.1.1 – Força cortante nas vigas (V)

A força cortante V, perpendicular ao eixo da viga, deve ser introduzida na

seção: A-A para satisfazer a equação de equilíbrio Σ F y = 0.

A força cortante é definida positiva quando girar a seção no sentido anti-horário.

Figura 2.2 – Força cortante

2.1.2 – Força axial nas vigas (P)

A força axial P, paralela ao eixo da viga e que passa pelo centróide da seção,


7

deve ser introduzida na seção A-A para satisfazer a equação de equilíbrio

Σ Fx =0.

A força axial é definida positiva ou de tração quando agir de dentro para fora

da seção e negativa ou de compressão em caso contrário.

Figura 2.3 – Força axial

2.1.3 – Momento fletor (M)

O momento fletor M, que gira em torno de um eixo perpendicular ao plano que

contêm a viga, deve ser introduzido na seção A-A para satisfazer a equação de

equilíbrio Σ M z = 0.

Para isto, o momento provocado pelas forças é normalmente

calculado em torno do ponto de interseção de V e P.

O momento fletor é definido positivo quando tracionar a parte interior da viga

e comprimir a parte superior da viga , e negativo em caso contrário.

Figura 2.4 – Momento fletor

2.1.4 – Diagramas de forças cortante, axial e do momento fletor

Os diagramas de esforços internos são traçados para se determinar a

evolução das forças cortante, axial e do momento fletor ao longo da viga.


8

Exemplo 2.1: Traçar os diagramas de forças cortantes, força axial e de

momento fletor para a viga abaixo, sujeita à força inclinada de P = 5 t .

Desprezar o peso da viga.

a - Determinar as reações de apoio. Diagrama de corpo livre (D.C.L.):

→Σ F x =0 , RAx – 3 = 0 , RAx = 3 t

Σ M A =0 , RB . 10 – 4 . 5 = 0 , RB = 2 t

↑Σ F y =0 , 2– 4 + RAy = 0 , RAy = 2 t

Verificação:

ΣM B = – 2 . 10 + 4 . 5 = 0 (OK)

b - Determinar as forças cortante e axial e o momento fletor em seções entre

duas forças concentradas.

Seção c-c (0<x<5):


9

→Σ F x =0 , P + 3 = 0 , P = - 3 (t)

↑Σ F y =0 , V + 2 = 0 , V = - 2 (t)

Σ Mc =0 , -2 . x + M = 0 , M = 2 x (t.m)

Seção d-d (5 < x < 10):

→Σ F x =0 , P = 0

↑Σ F y =0 , - V + 2 = 0 , V = 2 (t)

Σ Md =0 , 2 . ( 10 – x ) - M = 0 , M = - 2 x + 20 (t.m)

c - Traçar os diagramas de força cortante, força axial e do momento fletor.


10

Conclusões Importantes:

Ponto de força concentrada vertical ⇒ Descontinuidade no diagrama de

força cortante igual a força concentrada vertical (módulo).

Ponto de força concentrada axial ⇒ Descontinuidade no diagrama de

força axial igual a força concentrada axial.

Exemplo 2.2: Traçar os diagramas de força cortante e de momento fletor para a

viga apresentada abaixo, sujeita à uma força distribuída e a um momento

concentrado.

a - Determinar as reações nos apoios (D.C.L.):


11

→Σ F x =0 , RBx = 0

Σ M B =0 , + 4 . 5 - RA .4 - 8 = 0 , RA = 3 t

↑Σ F y =0 , - 4 + 3 + RBy = 0 , RBy = 1 t

Verificação:

Σ M A = + 4 . 1 - 8 + 1 . 4 = 0 (OK)

2 - Determinar as forças cortante e o momento fletor em seções entre forças e

momentos concentrados e ao longo de uma carga distribuída.

Seção c-c (0 < x < 2):

→Σ F x =0 , P = 0


12

↑Σ F y =0 , - 2.x + V = 0 , V = 2 x (t)

Σ Mc =0 , 2 . x . x / 2 + M = 0 , M = - x2 (t.m)

Seção d-d (2 < x < 4):

→Σ F x =0 , P = 0

↑Σ F y =0 , - 4 + 3 + V = 0 , V = 1 (t)

Σ Md =0 , 4 . (x – 1) – 3 . ( x – 2) + M = 0 , M = - x - 2 (t.m)

Seção e-e (4 < x < 6):


13

→Σ F x =0 , P = 0

↑Σ F y =0 , - V + 1 = 0 , V = 1 (t)

Σ Me =0 , + 1 . ( 6 – x ) - M = 0 , M = - x + 6 (t.m)

c -Traçar os diagramas de força cortante e do momento fletor.

Conclusões Importantes (além das anteriores):

Ponto de momento concentrado ⇒ Discontinuidade no diagrama de

momento fletor igual ao momento concentrado.

3 TRELIÇAS

3.1 Definição

Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades.

O

ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos

são aplicados unicamente nos nós.

Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um

mesmo plano.


14

Para se calcular uma treliça deve-se:

a) determinar as reações de apoio;

b) determinar as forças nas barras.

Adota-se como convenção de sinais:

barras tracionadas: positivo..........................................

barras comprimidas: negativo......................................

Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos

e analíticos.

Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós,

abaixo exemplificado.

3.2 Método do equilíbrio dos nós

Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de

apoio.

No caso da treliça da figura, no nó A tem-se um apoio móvel e no nó

B, um apoio fixo.

Como os apoios móveis restringem somente deslocamentos os

perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical RA.

Como os apoios fixos restringem deslocamentos paralelos e perpendiculares

ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical RB e uma reação horizontal HE.


15

Cálculo do ângulo de inclinação das barras

α = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=

2

2= 45º

a) Cálculo das reações de apoio

Equação de equilíbrio das forças na horizontal:

Σ FH = 0 conclusão: HE = 0

Equação de equilíbrio das forças na vertical:

Σ F V = 0 R A + R E − 50 −100 − 50 = 0 R A + R E = 200 kN (1)

Equação de equilíbrio de momentos:

Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a

qualquer

ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se, por exemplo, o nó A como

referência, tem-se:


16

ΣMA = 0 4 ×RE − 50 × 4 −100 × 2 RE = 400 /4

RE = 100 kN

Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se:

R A +100 = 200 logo R A = 100 kN

b) Cálculo das forças nas barras

Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As

forças devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori

se as forças nas barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se

fossem tracionadas. Se o valor determinado for negativo, significa que a barra

está comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser mudado.


17

Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das

forças que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente.

Portanto, não há necessidade de se calcular as forças nos nós D e E.

Resultados:


18

4 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS

O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como

de qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões,

as quais se distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem

a necessidade de se conhecer claramente as características ou propriedades

das figuras geométricas que formam essas seções transversais.

A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante,

chamada barra prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a

altura (h) é chamado de seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a

altura (h) é chamado de seção transversal.

As principais propriedades geométricas de figuras planas são:

Área (A)

Momento de Inércia (I)

Momento estático (M)

Módulo de resistência (W)

Centro de gravidade (CG)

Raio de giração (i)

4.1 Centro de Gravidade

Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da

gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical

atuando de


19

cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si

constitui peso do corpo.

Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele

permanecerá

sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais

girarão em relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O

ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que

seja a posição do corpo, chama-se Centro de Gravidade (CG).

Portanto, atração exercida pela Terra sobre um corpo rígido pode ser

representada por uma única força P. Esta força, chamada peso do corpo, é

aplicada

no seu baricentro, ou cento de gravidade (CG). O centro de gravidade pode

localizar-se dentro ou fora da superfície.

4.2 Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras

O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é

expresso por:


20

4.3 Momento de Inércia

O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de

referência é definido como sendo a integral de área dos produtos dos

elementos de área que compõem a superfície pelas suas respectivas

distâncias ao eixo de referência, elevadas ao quadrado.

O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no

dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores

numéricos, a resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da

seção transversal de uma peça, maior a sua resistência.

Propriedade:

O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos momentos de

inércia das figuras que a compõe.


21

Ix = Ix1 + Ix2 + Ix3

Iy = Iy1 + Iy2 + Iy3

Princípio de Steiner

Ixi = ICGi + y2

CG . Ai

Iyi = ICGi + x2

CG . Ai

Onde,

y2CG e x2

CG, são as distâncias entre as componentes y CGi e xCGi dos centros

de gravidade da figura “i” e o centro de gravidade do sistema yCG e xCG,

respectivamente.

Exemplo

Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao eixo x

que passa pelo CG. (medidas em centímetros)


22

Exemplo

A figura representa a seção transversal de uma viga “T”. Para a figura,

determinar:

a) o centro de gravidade;

b) o momento de inércia em relação ao eixo x;

Para facilitar a determinação das propriedades geométricas de figuras

compostas, convém montar a seguinte tabela:

5 – TENSÃO

5.1 – Definição de Tensão

Considere um o corpo seccionado, submetido à forças externas P1 e P2 e à

forças internas ΔP atuantes em áreas infinitesimais ΔA, Fig.5.1.


23

Figura 5.1 – Esforços externos e internos num corpo seccionado

A tensão normal à face seccionada é por definição da forma:

(5.1)

e, as tensões de cisalhamento que atuam na face seccionada são por definição

da forma:

(5.2)

O primeiro índice da tensão de cisalhamento indica o eixo que é perpendicular

à face onde atua a tensão e o segundo indica a direção da tensão.

5.2 – Tensor de Tensões

Considere um elemento infinitesimal de dimensões Δx, Δy e Δz com todas as

tensões que atuam sobre ele, Fig. 5.2.


24

Figura 5.2 – Elemento infinitesimal solicitado triaxialmente O tensor de tensões é uma matriz de dimensão (3x3) onde são colocadas

todas as tensões atuantes num elemento infinitesimal:

(5.3) Verifica-se que o tensor de tensões é simétrico: τyx = τxy , τzx = τxz , τyz = τzy. Demonstração:

Σ Mz = 0 eixo, (τyx . Δx . Δz ) Δy - (τxy . Δy . Δz ) Δx = 0 ⇒ τyx = τxy

5.3 – Tensões em membros com carregamento axial

5.3.1 – Carga axial

Considere uma barra sem peso e em equilíbrio, sujeita à duas forças F

(tração ou compressão) em suas extremidades.


25

Figura 5.3 – Barra solicitada axialmente A área da seção transversal no ponto onde se seccionou a barra é A e a força

interna é igual a P e positiva (se tracionada) ou negativa (se comprimida), logo

a tensão normal é da forma:

σ = P/A (5.4)

No caso da barra estar sendo comprimida, seu comprimento deve ser

suficientemente pequeno para que não ocorra flambagem.

5.3.2 – Tensão média de cisalhamento

Considere um corpo sendo arrastado sobre outro corpo por uma P.

Figura 5.4 – Corpo sendo cisalhado.

Se o corpo que está sendo arrastado tem área A na interface de contato entre

os corpos, a tensão média de cisalhamento é da forma:

τm = V/A (5.5)


26

A eq. (5.5) é frequentemente utilizada para dimensionar pinos, parafusos,

rebites, etc. que estão sendo solicitados por esforços cisalhantes.

Corpos podem ser cisalhados de formas diferentes. Um corpo pode estar

sendo submetido à um cisalhamento simples quando, Fig. 5.5:

Figura 5.5 – Corpo submetido à um cisalhamento simples

O rebite que une os dois corpos que estão sendo tracionados é cisalhado na

interface da seguinte forma, Fig. 5.6:

Figura 5.6 – Rebite com cisalhamento simples

Se o rebite tem área A na interface e a força cortante V é P, a tensão de

cisalhamento média é:

τm = V/A = P/A (5.6)

Um corpo pode estar sendo submetido à um cisalhamento duplo quando, Fig.

5.7:

OBS: A tensão de cisalhamento é média pois a força que atua em cada área

infinitesimal não é a mesma.


27

Figura 5.7 – Corpo submetido à um cisalhamento duplo

O rebite que une os três corpos que estão sendo tracionados é cisalhado na

interface entre cada corpo é da forma, Fig. 5.8:

Figura 5.8 – Rebite com cisalhamento duplo

Se o rebite tem área A na interface entre cada corpo, e a força cortante V é

P/2, a tensão de cisalhamento média é:

τm = V/A = P/2A (5.7)

Exemplo 5.1: A barra abaixo tem largura de 35 mm e espessura de 10 mm,

constantes ao longo de seu comprimento. Determine as tensões normais nos

diferentes trechos da barra para o carregamento abaixo.


28

σ = P/A = 12000/(0,035 . 0,010) [N/m2]

σAB = 34285714 Pa = 34,3 MPa

Trecho BC:

σBC = P/A = 3000/(0,035 . 0,010) [N/m2] = 85,7 MPa Trecho CD:

σCD = P/A = 22000/(0,035 . 0,010) [N/m2] = 62,4 MPa


29

6 – TORÇÃO

6.1 – Aplicação do método das seções

Assim como no caso de vigas solicitadas externamente, onde os esforços

internos podem ser determinados pelo método das seções, os esforços

internos em eixos de seção circular solicitados por torques externos também

podem. Considere então o eixo solicitado por torques em 3 pontos ao logo do

seu comprimento. O torque interno no trecho AB pode ser determinado da

seguinte forma.

Figura 6.1 – Equilíbrio de torques

6.2 – Premissas Básicas

a) Uma seção inicialmente plana, perpendicular ao eixo de seção circular,

permanece plana após a aplicação dos torques.


30

b) Em um membro circular sujeito à ação de um torque, as deformações

angulares γvariam linearmente a partir do eixo central. Isto significa que as

linhas radiais nos planos ao longo do eixo x permanecem retas após a

deformação.

Observação: Estas premissas são válidas somente para eixos de seção

circular.

Figura 6.2 – Premissas básicas da torção

6.3 – A fórmula da torção

Para o caso linearmente elástico, a Lei de Hooke se aplica τ = G γ:

Figura 6.3 – Torque interno atuando na seção transversal O torque interno na seção transversal é a soma dos torques infinitesimais

atuantes em cada área dA.


31

(6.1)

onde o momento polar de inércia de área J é dado da forma:

(6.2)

O momento polar de inércia para o caso particular de uma seção circular é da

seguinte forma:

(6.3)

onde d é o diâmetro da seção transversal. Substituindo a eq. (6.3) na eq. (6.1),

a expressão da tensão máxima atuando na superfície mais externa do eixo é:

τmáx = 𝑇.𝑐

𝐽 (6.4)

A tensão num ponto qualquer da seção circular distante ρ do centro é:

𝜏 =𝜌

𝑐

𝑇.𝑐

𝐽=

𝑇𝜌

𝐽 (6.5)

Para tubos circulares de raio interno b e raio externo c, o momento polar de

inércia pode ser calculado como segue:

(6.6)

6.4 – Observações sobre a fórmula da torção


32

Figura 6.4 – Estado de tensão em um elemento infinitesimal de um eixo em torção

Figura 6.5 – Tensões de cisalhamento atuando em planos ortogonais Observação Importante: Para o caso de materiais anisotrópicos (diferentes

propriedades mecânicas nas direções x, y e z ) como por exemplo a madeira, o

eixose rompe ao longo de um plano paralelo ao eixo x.


33

Figura 6.6 – Plano de ruptura em eixos em madeira Exemplo 6.1: Um eixo maciço de raio c é sujeito à um torque T. Determine a

fração de T que é resistida pelo material contido na região externa do eixo, de

raio interno c/2 e raio externo c.


34

A fração de T que é resistida pela parte externa do eixo, T’, pode ser

calculada da forma:

e a expressão do torque total T sobre a área é:


35

Logo, a relação entre os torques é:

Conclusão: aproximadamente 94 % do torque é resistido pela área externa do

eixo.

6.6 – Ângulo de torção de membros circulares

Além do fato do membro dever resistir aos torques aplicados, ele não deve se

deformar excessivamente. Assim, considere um elemento submetido a um

torque.

Figura 6.7 – Torção em eixo de seção circular

No plano paralelo ao eixo x, arco BD = dx γmax, e no plano perpendicular ao

eixo x, arco BD = c dϕ. Logo:

dx . γmax = c . dϕ (6.8)

Limitando-se a região elástica linear onde a lei de Hooke para o cisalhamento

é valida, τmax = G γmax , e sabendo que τmáx = 𝑇.𝑐

𝐽 :


36

dϕ = 𝑇

𝐽𝐺𝑑𝑥 (6.9)

Expressão geral para ângulo de torção:

(6.10)

Para o caso do torque e da seção transversal serem constantes ao longo do

comprimento do eixo, tem-se:

ϕ = 𝑇𝐿

𝐽𝐺 (6.11)

A eq. (6.11) é equivalente a eq. (5.11) para calcular o deslocamento de um

ponto numa barra solicitada axialmente.

7 – TENSÃO DE FLEXÃO EM VIGAS

Algumas limitações importantes da teoria

A teoria de tensões de flexão nas vigas se aplica para vigas admitidas com

suficiente estabilidade lateral em virtude de suas proporções ou

suficientemente reforçadas na direção transversal.

7.1 – Premissa básica

Hipótese fundamental da teoria da flexão: As seções planas de uma viga,

tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser

submetida à flexão. Hipótese válida quando o material se comporta

elasticamente ou plasticamente, desde que a relação espessura/comprimento

da viga seja pequena.


37

Figura 7.1 – Viga submetida à uma flexão pura

A expressão de deformação linear num ponto qualquer da viga é definida da

forma:

(7.1)

Da hipótese de que as seções permanecem planas depois de deformadas,

observa-se que a deformação evolui de forma linear ao longo da espessura da

viga, onde εmax é a máxima deformação que ocorre no ponto mais distante da

superfície neutra, c. Dessa forma, a deformação em um ponto genérico,

distante y da superfície neutra é da forma:

ε = εmax 𝑦

𝑐 (7.2)


38

7.2 – Fórmula da flexão elástica

Considerando o material trabalhando dentro da região elástico-linear, a Lei de

Hooke, σ = E ε, se aplica. Logo:

(7.3)

Figura 7.2 – Distribuição das tensões de flexão numa viga

Impondo o equilíbrio de forças na direção x, temos:

→ ΣFx = 0 ,∫A σx dA = 0 (7.4)

Substituindo a eq. (7.3) na eq. (7.4), temos:

(7.5)

Como σmax e c são valores constantes e não nulos:


39

∫A y dA = 0 (7.6)

De acordo com a equação para determinar a posição do centróide

, conclui-se que o eixo neutro passa pelo centróide da seção

transversal da viga.

O momento interno atuante na seção transversal é a soma dos momentos infinitesimais atuantes nas área dA. Assim, temos:

(7.7)

Substituindo a eq. (7.3) na eq. (7.7):

(7.8)

O momento de inércia da seção transversal, I, em relação ao eixo que passa seu centróide é definido como:

𝐼 = ∫ 𝑦𝑑𝐴𝐴

(7.9)

Das eqs. (7.8) e (7.9), é possível obter a expressão da máxima tensão de

flexão:

σmáx = 𝑀𝑐

𝐼 (7.10)

Substituindo a eq. (7.10) na eq. (7.3), obtém-se a expressão genérica de

tensão de flexão em vigas em um ponto distante y da superfície neutra:

σx = - 𝑀𝑦

𝐼 (7.11)

A eq. (7.11) é análoga a eq. (6.5) usada para determinar a tensão de

cisalhamento um ponto qualquer de um eixo de seção circular. O sinal negativo

surge na eq. (7.11) pois:


40

Para y positivo ⇒ Tensão de compressão

momento positivo

Para y negativo ⇒ Tensão de tração

7.3 – Flexão pura de vigas com seção assimétrica

Na discussão anterior, foram analisadas somente vigas com seções

transversais simétricas, porém o equacionamento é válido para seções

quaisquer, desde que seus eixos sejam os eixos principais de inércia.

Figura 7.6 – Flexão de vigas assimétricas

Impondo o equilíbrio de momentos com relação ao eixo y, temos:

M y = ∫A σx z dA (7.12)

onde My é o momento interno resultante.

Substituindo a eq. (7.3) na eq. (7.18), e considerando que σmax e c são

constantes:

(7.13)

Se y e z são eixos principais de inércia, a integral ∫ 𝑦𝑧𝑑𝐴𝐴

é nula.


41

Logo, o momento interno resultante My = 0. Assim, as equações deduzidas

anteriormente se aplicam à uma viga de seção transversal qualquer.

Exemplo 7.3.1: Determine a tensão de flexão máxima na viga de seção do tipo

I submetida à um carregamento distribuído como mostrado abaixo:

a – Cálculo das reações de apoio

ΣM B = 0, RA .6 – 30 . 3 = 0 , RA = 15 kN

b – Cálculo do momento máximo

ΣM = 0 , − 15 x + 5 x. x/2 + M = 0

c – Cálculo do momento de inércia da seção Iz = Iz1 + Iz2 + Iz3

d – Cálculo da máxima tensão de flexão


42

8. Transformação de tensões

Considere o estado triaxial de tensões em um ponto obtido no sistema de eixos

x, y e z, Figura 5.2 anterior. Estes eixos, por conveniência, são normalmente

adotados sendo paralelos às cargas externas às quais estão submetidas as

estruturas. No entanto, é necessário conhecer o estado de tensão deste ponto

num sistema de eixos qualquer, de forma à se conhecer as máximas tensões

atuantes, normal e cisalhante.

Por conveniência e para a facilidade do entendimento, será inicialmente tratado

a transformação de tensão para o estado plano de tensões, para finalmente ser

tratado o estado triaxial de tensões. Dessa forma, considere o estado plano de

tensões obtido em dois sistema de eixos diferentes:


43

Exemplo (estado plano de tensões):

Considere uma barra de aço de 150 mm de largura e 10 mm de espessura

sendo solicitada por uma força axial de 600 N. Determine as componentes das

tensões atuantes sobre o plano definido pela seção a-a.

No sistema de eixos x-y, a única tensão atuante no plano definido pela seção

b-b é a tensão normal na direção x:

𝜎𝑥 =600

150 ∗ 10= 0,4 𝑀𝑃𝑎

Se considerarmos que a seção seccionada tem área de seção transversal ∆A,

as seções paralelas aos eixos x e y são ∆A sen 30 e ∆A cos 30,

respectivamente. Utilizando estas áreas, o diagrama de corpo livre do elemento

infinitesimal seccionado é:

onde ∆Fx = 400 kPa (∆A cos 30) = 346,4 ∆A kN.


44

Impondo o equilíbrio de forças nas direções x’ e y’, as componentes ∆Fx’ e ∆Fy’

são:

∆Fx’ = 346,4 ∆A cos 30 = 300 ∆A

∆Fy’ = 346,4 ∆A sen 30 = 173 ∆A

Assim, as tensões normal e de cisalhamento à seção a-a são:

𝜎𝑥 =∆Fx’

∆A = 300𝑘𝑃𝑎

𝜏𝑥𝑦 =∆Fy’

∆A = 173𝑘𝑃𝑎

Estas mesmas tensões podem ser obtidas de uma outra forma, considerando a

barra seccionada da seguinte forma:

Impondo o equilíbrio de forças no diagrama de corpo livre acima, as forças

atuantes na seção a-a são:

Fx’ = 600 cos 30 = 519,6 N

Fy’ = 600 sen 30 = 300 N


45

A área da seção a-a vale:

𝐴 =150∗10

cos30 = 1732,02 𝑚𝑚2

Assim, as tensões normal e de cisalhamento à seção a-a são:

𝜎 =Fx’

A =

519,6

1732= 300 𝑘𝑃𝑎

𝜏 =Fy’

A =

300

1732= 173 𝑘𝑃𝑎

Exemplo (estado triaxial de tensões):

Seja um prisma de dimensões a, a e 2a. Solicitando-se este prisma por sapatas

conforme a figura (desprezando-se o atrito), determinar a máxima tensão de

cisalhamento atuante.

Fig. 61 - Forças no elemento Solução: a) Esforços no prisma


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47


48


49

ANEXO 1

Tabela de Centros Geométricos


50

ANEXO 2


51

BIBLIOGRAFIA

BEER, F. P., JOHNSTON Jr. R. Resistência dos materiais. 3ed. São Paulo, Makron

Books, 1996.

BEER, F. P., JOHNSTON Jr., R. Mecânica vetorial para engenheiros - estática. 5ed.

São Paulo, Makron Books, 2004.

BORESI, A. P., SCHMIDT, R. J. Estática. São Paulo, Thomson, 2003.

FUSCO, P. B. Construções de concreto solicitações tangenciais: introdução –

combinação de ações – força cortante – conceitos básicos. São Paulo: EPUSP/PEF,

1981.

GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. São Paulo, Thomson, 2003.

HIBBELLER, R. C. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro, LTC, 1997.

LANGENDONCK, T. Resistência dos materiais: tensões. Rio de Janeiro: Científica,

1956.

MELCONIAN, S. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 13ed. São Paulo,

Érica, 2002.

NASH W. A. Resistência dos materiais. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1971.

PEREIRA J. C. Curso de mecânica dos sólidos A. Departamento de Engenharia

Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina. Agosto de 2003. Apostila.

POPOV, E.G. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Editora Edgard Blucher

Ltda, 1978. 534p

TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos e Científicos, 1989. v. 1.

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