ANALISIS NUMERICO trabajo final

7/23/2019 ANALISIS NUMERICO trabajo final

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Instituto Tecnolgico de Cerro Azul.Anlisis Numrico

Unidad: 5, 6, 7.Integrantes:

Oscar Jeziel Herrera GonzlezEverardo Ramirez Reyes


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5.1 Derivacin!m"rica


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#onsideremos !na $!ncin $%&' de la c!al se conoce !ncon(!nto discreto de valores %&*+ $*'+ %&1+ $1'+...+%&n+ $n'. ,ro-lema !e vamos a a-ordar es el de calc!lar laderivada de la $!ncin en !n ,!nto & !e en ,rinci,io no

tiene ,or!" coincidir con alg!no de los !e /g!ran en datos de !e dis,onemos. 0a $orma ms sencilla deresolver el ,ro-lema de la di$erenciacin n!m"rica consen estimar la derivada !tilizando $rm!las o-tenidasmediante la a,ro&imacin de aylor+ !e se denominan$rm!las de di$erencias /nitas.

0a derivacin n!m"rica es !na t"cnica de anlisis n!m",ara calc!lar !na a,ro&imacin a la derivadade !na $!en !n ,!nto !tilizando los valores y ,ro,iedades de la

misma.
http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico


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2or de/nicin la derivada de !na $!ncin f%x' es:

0as a,ro&imaciones n!m"ricas !e ,odamos 3acer %,a*' sern:

Diferencias hacia adelante:


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Diferencias hacia atrs:

0a a,ro&imacin de la derivada ,or este m"todo entreres!ltados ace,ta-les con !n determinado error. 2araminimizar los errores se estima !e el ,romedio de amentrega la me(or a,ro&imacin n!m"rica al ,ro-lema

Diferencias centrales:


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2RO0E67 1 #alc!lar la derivada ,rimera de $%&'8seno%&'9& en los

&81. y &81.; a,licando la $orm!la con ,asos de 318*.1 y 38*. y E&tra,olando ,or Ric3ardson. 0a $ es:

0os datos de la $!ncin discretizada !e necesito ,araclc!lo son:


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a' 0a derivada en &81. con 318*.1 es:

%*.=?1?@*A=5 BC.?=15*=*@; * 5.AA5===;; B *.@*;=ACC?'9 %1 *.1'8 B*.;?5=?*AA

0a derivada en &81. con 38*. es:

%*.=ACCA511? B C.@;1@C@=@= * 5.C;11?1;1? B *.C?@;;5*'9%1*.'8 B*.;?5@@*C?

E&tra,olando+ 39318 F orden de error8 ?

%3931'?8 1C

$%1.'e&8%1C % B*.;?5=?*AA' %B*.;?5@@*C?''9%1CB1'8 -0.34452845691


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2RO0E67 Dada la sig!iente $!ncin discreta:

Encontrar $%*' a,licando las $rm!las de + ; y ? ,!ntta-la+ es decir:


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oluci!n

segn $rm!la 1 $%*' es 8 % B1 *.A*?= * * ' 19 *.1 B*.A51C

segn $rm!la $%*' es 8 % B; ;.C1A? B*.=1=@ * ' 8 B*.AACA

segn $rm!la ; $%*' es 8 % B11 1C.=@ B@.;C=C 1.5*.C 8 B*.AAA@


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5. Integracin!m"rica Kim,le.


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"n#$%raci!n numrica: odo d$l #ra'$cio, odim'son 1)3 * 3)8.

En matemticas la regla del tra,ecio es !n m"todode integracin n!m"rica+ es decir+ !n m"todo ,ara caa,ro&imadamente el valor de la integral de/nida.


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0a $!ncin f%x' %en az!l' es a,ro&imada ,or la $!ncin lineal%en ro(o'

0a regla se -asa en a,ro&imar el valor de la integral de f%x' ,or el de la$!ncin lineal!e ,asa a trav"s de los ,!ntos %a+ f%a'' y %b+"sta es ig!al al rea deltra,ecio-a(o la gr/ca de la $!ncin lineal. Ke sig!e !e
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Trapecio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Trapecio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Trapecio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Trapecio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal


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y donde el t"rmino error corres,onde a:

Kiendo L !n nmero ,erteneciente al intervaloMa+bN.
http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)


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Regla del tra,ecio com,!esta

0a regla del tra,ecio com,!esta o regla de los tra,ecios$orma de a,ro&imar !na integral de/nida !tilizando ntrEn la $orm!lacin de este m"todo se s!,one !e fes coy ,ositiva en el intervalo Ma+bN. De tal modo la integral d


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re,resenta el rea de la regin delimitada ,or la gr/ca de fy el e(ex+ desdex8a3astax8b. 2rimero se divide el intervalo Ma+bN en n s!no de anc3o x8 %bP a' 9 n.

Des,!"s de realizar todo el ,roceso matemtico se llega a la sig!iente $rm!la:


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Donde y nes el nmero de divisiones.

0a e&,resin anterior tam-i"n se ,!ede escri-ir como


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REG07K DE KI62KO

7dems de a,licar la regla tra,ezoidal con segmentosvez mas /nos+ otra manera de o-tener !na estimacie&acta de !na integral+ es la de !sar ,olinomios de ors!,erior ,ara conectar los ,!ntos.

7 las $orm!las res!ltantes de calc!lar la integral -a(o ,olinomios se les llama reglas de Kim,son.


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REG07 DE KI62KO DE 19; 0a regla de Kim,son de 19; res!lta c!ando se s!stit!y

,olinomio de seg!ndo orden en la ec!acin:

Ki a y - se denominan como &* y & + y $ %&' se re,re

mediante !n ,olinomio de 0agrange de seg!ndo ordeentonces la integral es:


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Des,!"s de integrar y de reordenar t"rminos+ res!lta

sig!iente ec!acin:


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REG07 DE KI62KO 19; DE KEG6E6Q0I20EK.

7s como la regla tra,ezoidal+ la regla de Kim,son se mdividiendo el intervalo de integracin en segmentos danc3!ra.

38%-Ba'9n

0a integral total se re,resenta como:


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K!stit!yendo la regla de Kim,son en cada !na de lasintegrales individ!ales se o-tiene:


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REG07 DE KI62KO DE ;9=.

De manera similar a la derivacin de la regla tra,ezoila regla de Kim,son de 19;+ se a(!stan ,olinomios de0agrange de tercer orden a c!atro ,!ntos e integrarF

,ara o-tener:

En donde

38%-Ba'9;.


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7 esta ec!acin se le llama regla de Kim,son de ;9= ,es !n mlti,lo de ;9=. Esta es la tercera regla cerradaintegracin de eStonB#otes.


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REG07 DE KI62KO ;9= 6Q0I20EK.

0a regla de Kim,son de 19; es+ en general+ el m"todo de,re$erencia ya !e alcanza e&actit!d de tercer orden con ,!ntos en vez de los de c!atro ,!ntos necesarios ,ara la vde ;9=.

o o-stante+ la regla de ;9= tiene !tilidad en a,licaciones segmentos mlti,les c!ando el n!mero de segmentos es

2ara !na estimacin de cinco segmentos !na alternativa ea,licar la regla de Kim,son de 19; a los ,rimeros segmentregla de Kim,son de ;9= a los ltimos tres.

De esta manera+ se o-tiene !na estimacin con e&actit!dtercer orden a trav"s del intervalo com,leto


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2RO0E67 1

Resolver

7,licando la $rm!la I; e indicar el orden de error de la$rm!la a,licada.

ota: 0a sol!cin e&acta es ;.;A

0a sol!cin n!m"rica se o-tiene de la $rm!la I; %T 11? U orden de error es 5


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7,lico ,aso 38 *.5+ y o-tengo la sig!iente ta-la:

&8 *.* *.5** 1.*** 1.5** .***

$%&'8 1.*** 1.*C1 1.?1? .*A ;.***

2rimera integracin de * a 1 I18 1.11

Keg!nda integracin de 1 a I8 .1; "n#$%ral Numrica "+ 3.24


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2RO0E67 Resolver 0a integral n!m"rica entre &8* y &8 de la

sig!iente $!ncin discreta&8 %*.***** *.5**** 1.*****'

$%&'8 %1.***** 1.*C*CC 1.?1?1'

ota: 0a sol!cin e&acta es I8;.;A

De-era a,licar la $rm!la I?;%T ?'

391 ; BC? =* * * orden de error es ?

con 38*.5

" + 3.219


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C.1 6"todo de laKerie de aylor.


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&/ / A " / A

K!,ngase !e y%t' es la sol!cin del ,ro-lema %1'y intervalo Ma+-N se divide en s!-intervalos de longit!constante.
http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo6/preliminares.htmhttp://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo6/preliminares.htm


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De ac!erdo con el teorema de aylor+ si ytiene derivacontin!as+

Ki se reem,lazati1,orx+ ti,orx*y t i1B ti,or hres!

,ara cada i8 *+ 1+ ...+ N B 1


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Kiy%ti1' se a,ro&ima con !n ,olinomio de aylor de gr

y(ti+1

) y( ti) +y'( t

i)h, peroy'( t

i) = (t

i) =f(t

i,y( t

i) ) por (1)

Luegoy(ti+1

) y( ti) +f(t

i,y( t

i) )h

Siyi

=y( ti

) yy0

=y( t0

) = ,la soluciny( t ) se puede aproximar por:
http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo6/preliminares.htmhttp://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/capitulo6/preliminares.htm


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Ki en la ec!acin %' y%ti1' se a,ro&ima ,or !n ,olinomaylor de grado res!lta:

entonces


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0a sol!ciny%t' se ,!ede a,ro&imar a3ora ,or:

Este m"todo se conoce como el m"todo de a*lor d$

2.


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2RO0E67 1


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2RO0E67


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C. 6"todo de E!ler yE!ler me(orado.


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6"todo de E!ler

El m#odo d$ ul$r+ llamado as en 3onor de

$onard ul$r+ es !n ,rocedimiento dein#$%raci!n numrica,ara resolver$cuacion$s di$r$ncial$s ordinariasa ,artir de !ninicial dado.

El m#odo d$ ul$res el ms sim,le de los

m#odos numricosresolver !n ,ro-lema del sig!ieti,o:
http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferenciales_ordinariashttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricoshttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferenciales_ordinariashttp://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler


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odo d$ ul$r &$orado

Este m"todo se -asa en la misma idea del m"todo an

,ero 3ace !n re/namiento en la a,ro&imacin+ toman,romedio entre ciertas ,endientes.

0a $rm!la es la sig!iente:

donde


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2ara entender esta $rm!la+ analicemos el ,rimer ,aso de la a,ro&imacin+ con -ase en la sig!iente gr/ca:


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2RO0E67 1


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2RO0E67

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