Taller de Analisis Numerico # 2

8/11/2019 Taller de Analisis Numerico # 2

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HERNAN CAMILO FRANCO NOVOA

VENJAMI IGIRIO ARRIETA

NATHALY MEDINA ABELLO

MARIA CAMILA GAMEZ TERAN

PROFESOR:

LEIDER ENRIQUE SALCEDO GARCIA

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

TALLER DE ANALISIS NUMERICO



TALLER DE ANALISIS NUMERICO

1. Para cada una de las siguientes matrices determine ), los valores característicos de A y .

a)

Solución:

-

A –

Valores característicos

Los valores característicos son:

Radio espectral:

|| || ||

b)



Solución:

()

Valores característicos:

Radio espectral

| | | | | | | | 2. Para cada una de las siguientes matrices determina

‖ ‖

a)

Solución:

La matriz A es una matriz simétrica por lo tanto

Valores característicos:



Radio espectral:

|| || || ‖ ‖

√

b)

Valores característicos

|| || || ||

‖ ‖ √

3. Aplique el método de Jacobi para resolver el sistema:

Use como vector inicial =

Solución:



A=

=

+

+

, hallamos con operaciones fundamentales:

+

Luego:

=

;

=

=

=

Para hallar el polinomio característico de debemos hallar el ), donde:

)=

- =

Por tanto:

)=det ,

=- - +

Si multiplicamos cada una de las filas tanto de como de “” respectivamente, por ,

obtenemos



( )=-( )- ( )+ ( )=

Es decir ( )=

Para hallar los valores característicos de

debemos resolver la ecuación

, es decir:

→

Los valores característicos de son ; ;

El radios espectral de es =max -=||

Si <1, entonces el método de Jacobi converge. Por tanto:

Si

||<1, entonces el método de Jacobi será convergente en el sistema, para que esto se cumpla:

||

<1 →

||>2

Por tanto d ∈

(-∞-2) U ∞ 6. Considere el siguiente esquema iterativo de Jacobi

* = * +

Pruebe que:

|| El método de Jacobi converge si ∈ ∞ ∞

Solución:

( )



( )

* *

+ 2x + -2x +1

Para el radio espectral partimos del polinomio característico en función de x

{ } |||| ||

||

Para que converja

||

∞ ∞



7. Considere el siguiente sistema:

Pruebe que:

La convergencia del método de Jacobi para este sistema requiere que (TJ)=√ <1

La convergencia del método de Gauss-Seidel para este sistema requiere que (TG)=| |<1

Solución;

A = = AL= AD= AU=

; =

Resolviendo al multiplicación de la matriz

= TJ

Ahora hallamos TJ – =

TJ –

TJ – Ahora se resuelve el determinante de 3*3



El polinomio característico PTJ

Sus valores característicos son;

^ Por tanto multiplicando por -1 √

√ √

Por tanto el radio espectral P (TJ) es;

|| √ √

√ √

√

√

Ahora para probar la convergencia con Gauss – Seidel

Solución;

A = = AL= AD= AU=

=

Ahora hallamos la inversa de

=



;

El polinomio característico es;

Ahora igualamos a cero para hallar los valores característicos

El radio espectral es || || ||

| |

| | | |

8. El número de condición de una matriz A está dado por:

‖ ‖ ‖ ‖

Pruebe que:

Demostración:

‖ ‖

Entonces

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖

9. Dada la siguiente matriz:



Pruebe que si entonces usando la norma F (norma de Frobenius), tenemos que:

‖ ‖

‖ ‖

‖ ‖

[ ]

‖ ‖ *



10. halle el polinomio de Taylor de grado de la función √ respecto a . Use para

hallar una aproximación de √ . Trabaje con 4 dígitos de precisión.

Solución:

∑ ∑

√

√

√ √

√

11. determine el cuarto polinomio de Taylor

y su correspondiente termino residual para

, respecto a y use este polinomio para aproximar y ∫ . Trabaje con

4 dígitos de precisión.

Solución:

∑



,

*

[ ]

*



12. determine el cuarto polinomio de Taylor para la función ∫ respecto a , use el polinomio de para aproximar ∫

Solución:

-∫

∫ = -∫ ∫ =

-∫ =

∫ =

∑

Si



| |

= 0,7833

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