Trabajo - Analisis Estructural.docx

“AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN DEL MAR DE GRAU”

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http://www.4shared.com/web/preview/pdf/xphRBX_8ce

UNIVERSIDAD DE HUANUCO“ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL”

“TRABAJO DE INVESTIGACIÓN”

DOCENTE: Ing. Daniel Fernando Culquicondor Jacha

ALUMNO: Antezana Isidro, Irving Ludwing

CURSO: Análisis Estructural II

GRUPO: “A”

CICLO: VIII

HUÁNUCO – PERÚ2016 – I

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II 1


ÍNDICE

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

MARCO TEÓRICO

CAPITULO 1: Métodos de Análisis asociados al desarrollo de los Métodos matriciales de Rigidez y Flexibilidad.1.1 Método de Distribución de Momentos o de Hardy Cross1.2 Teoremas de Castigliano1.3 Método de Pendiente - Deflexión o Slope Deflection1.4 Método del Trabajo Virtual1.5 Principio de Desplazamientos Virtuales de Bernoulli1.6 Ley de las Deflexiones Recíprocas de Maxwell – Betti

CAPITULO 2: Grados de Indeterminación de estructuras, Tipos de apoyo, Grados de libertad, Coordenadas globales y Coordenadas locales.2.1 Grados de Indeterminación de Estructuras2.2 Tipos de Apoyo2.3 Grados de Libertad2.4 Coordenadas Globales2.5 Coordenadas Locales

CAPITULO 3: Análisis Estructural de una edificación de dos pisos.

CONCLUSIONES

RECOMENDACIONES

BIBLIOGRAFÍA



INTRODUCCIÓN

En esta monografía se presenta un trabajo de investigación, que consta de tres capítulos, para el curso de Análisis Estructural II de la facultad de Ingeniería Civil de la Universidad de Huánuco.Este trabajo es realizado con la finalidad de afianzar nuestros conocimientos acerca de los métodos matriciales de Rigidez y Flexibilidad que fueron desarrollados en el aula de clases por el docente del curso.

En el primer capítulo se trata acerca de temas y métodos de análisis previos a los métodos matriciales ya mencionados. Estos temas fueron escogidos y ordenados a criterio del autor, según la experiencia y conocimiento obtenido en los cursos previos llevados en ciclos anteriores, tales como, Estática, Resistencia de Materiales I y II, y Análisis Estructural I.

En el segundo capítulo se trata acerca de los grados de indeterminación, los tipos de apoyo, grados de libertad, sistemas de coordenadas globales y locales.Estos temas parecen a simple vista ser muy sencillos de desarrollar, pero son de vital importancia para el Análisis Estructural de cualquier tipo de estructura, ya que nos brindan información importante para poder aplicar cualquier tipo de método. Son de especial importancia para la aplicación de métodos matriciales, ya que sin el conocimiento de estos temas sería imposible el desarrollo del análisis.

En el tercer capítulo se realiza un análisis no tan complejo de una edificación de dos pisos. Se trata de analizar las fuerzas o cargas (puntuales o distribuidas) y momentos (giros) que pueden estar actuando sobre cada uno de los pórticos de la edificación. En este caso se realizará el análisis tomando áreas tributarias para cada uno de los pórticos y se realiza el respectivo metrado de cargas, el cual constituye la suma de las cargas de servicio (cargas muertas más las cargas vivas o sobrecarga).

Al final de todo este trabajo monográfico se presentan una serie de ejercicios resueltos, de los temas o métodos tratados en el capítulo 1.



MARCO TEÓRICO CAPITULO 1:“Métodos de Análisis asociados al desarrollo de los Métodos matriciales de Rigidez y Flexibilidad”En este capítulo se brindará una explicación breve de cada uno de los métodos previos a los métodos matriciales de rigidez y flexibilidad.En cada método se explicará la forma de aplicación, casos de aplicación y un ejemplo al final de la monografía terminando con el marco teórico uno de éstos, con la finalidad de poder afianzar el conocimiento de cada uno de los métodos presentados.Los métodos serán desarrollados en un orden adecuado según criterio de autor, ya que de esta forma resulta mucho más sencillo la comprensión de cada uno de los métodos. El orden es el siguiente:

1) Método de Distribución de Momentos o de Hardy Cross2) Teoremas de Castigliano3) Método Pendiente – Deflexión o Slope Deflection4) Método del Trabajo Virtual5) Principio de Desplazamientos Virtuales de Bernoulli6) Ley de las Deflexiones Recíprocas de Maxwell y Betty

A continuación se describirá cada uno de los métodos:1.1Método de Distribución de Momentos o de Hardy Cross

Método desarrollado por Hardy Cross en el año 1930, es un procedimiento para establecer los momentos en los extremos de los miembros de marcos y vigas indeterminadas mediante una serie de cálculos sencillos. El método se basa en la idea de que la suma de los momentos debidos a los miembros que se unen en un nudo debe estar en equilibrio.En este método se aplican ficticiamente restricciones temporales a todos los nudos de una estructura que son libres de rotar o desplazarse. Se aplican empotramientos ficticios para prevenir los desplazamientos laterales de los nudos. Cuando se aplican las cargas de diseño a la estructura restringida se generan momentos en los miembros y en los empotramientos ficticios.

1.1.1 El Método1) Se inicia el método considerando que todos los nudos del entramado son

absolutamente rígidos, quedando las barras totalmente incomunicadas entre ellas ya que cada una tendría en su extremo un empotramiento perfecto. Esto significa que las barras que poseen cargas, generaran en sus extremos pares de empotramiento perfecto que deberán ser calculados para aplicar el método.

2) A continuación, se soltará nudo por nudo, de uno a la vez, dejando congelados los demás nudos y permitiendo que las barras de dicho nudo, entre las que hay continuidad, interactúen. Si en el nudo hay momentos este girará y dicho giro deberá ser equilibrado por las barras que concurren al nudo. Se produce así, una interacción entre las barras que llegan al nudo y una distribución de los esfuerzos (momentos) en función de las rigideces de los elementos.

3) Cada barra que rotó, al asumir un momento, genera en su apoyo contrario un memento de respuesta de igual sentido que el anterior y de la mitad del valor de éste. Es posible anotar inmediatamente los traspasos que se originan cada vez que equilibramos un nudo, como también, podemos “soltar y equilibrar” todos los nudos, uno por uno, y después de desarrollar una vuelta completa de equilibrios efectuar todos los correspondientes a los apoyos contrarios.

4) Al ejecutar los traspasos, los nudos ya equilibrados se vuelven a desequilibrar y será necesario repetir el ciclo de equilibrios y traspasos. A medida que de que se completa un mayor número de vueltas, los desequilibrios van disminuyendo en magnitud, y nos acercamos más a los valores reales del momento en las barras. Se recomienda repetir dicho ciclo las veces que sea necesario hasta que



los desequilibrios remanentes no sean superiores al 10% del desequilibrio original de cada nudo.

5) El valor del momento final en los extremos de cada barra corresponde a la suma de todos los momentos que la fueron afectando en los sucesivos ciclos de equilibrios y traspasos.

1.1.2 ProcedimientoPara aplicar el método, se dibuja una trama ortogonal que representa todas las barras de entramado.Las intersecciones de líneas horizontales y verticales corresponden a los nudos y deberán anotarse en ellos, en el extremo de cada barra, su correspondiente coeficiente de distribución en dicho nudo.Estos valores se encerraran en un rectángulo sobre el cual se ubicará el correspondiente valor de momento de empotramiento perfecto, para esa barra en ese nudo.A continuación se inician los ciclos de equilibrios y traspasos, hasta equilibrar definitivamente el nudo o al menos reducir el desequilibrio según lo recomendado.Los valores que se van obteniendo se anotan en cada barra en una columna que se genera a partir del valor de empotramiento perfecto original, y que se cierra con la sumatoria de todos los momentos de dicha columna.


Ubicación de momentos de empotramiento en la trama ortogonal

Momentos de Empotramiento Perfecto


1.2Teoremas de CastiglianoEn 1876, Alberto Castigliano enunció un teorema que permite encontrar cualquier componente de deflexión de una estructura a partir de la energía de deformación de la misma. Al aplicarlo a las reacciones redundantes de una estructura indeterminada, se obtiene un corolario que se conoce como Segundo Teorema de Castigliano.

1.2.1 Primer Teorema de CastiglianoLa componente de deflexión del punto de aplicación de una acción sobre una estructura, en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada.

∆P=∂W∂P

Si el signo de la respuesta da negativo, quiere decir que la deflexión es opuesta al sentido de la acción con respecto a la cual se tomó la derivada. Si se quiere averiguar la deflexión en un punto donde no hay aplicada ninguna acción, o en una dirección distinta de la acción aplicada, sencillamente se aplica una acción imaginaria en el sitio y dirección deseados hasta encontrar la derivada parcial de la energía de deformación; luego la acción imaginaria se igual a cero.Si se quiere averiguar una deflexión lineal en una armadura, se aplicará:

∆P=∂∂P∑

N 2L2 EA

=∑ N ( ∂ N∂ P

) LEA

Las deflexiones lineales por flexión se calculan mediante la fórmula:

∆P=∂∂P∑

M 2dx2EI

=∑M ( ∂M∂P

) dxEI

Cuando solo se considera el efecto de corte, la deflexión se calcula por la fórmula:

∆P=∂∂P

K∑ V 2dx2GA

=K∑V ( ∂V∂P

) dxGA

En el caso de considerar solo el efecto de torsión, se aplicará:

∆P=∂∂P∑

T2dx2GI P (t)

=∑ T ( ∂T∂ P

) dxG I P (t )

En el caso que se desee aplicar todos los efectos posibles que surgen en la estructura, simplemente se aplicaran todas las fórmulas anteriores, considerando el principio de superposición, es decir la suma de los efectos parciales, dependiendo de las fuerzas internas que surjan en la estructura.Si se quiere averiguar pendientes, en el lado izquierdo de las expresiones anteriores se escribirá y las derivadas parciales se tomarían con respecto a unθ momento aplicado en el punto de la pendiente deseada.

1.2.2 Segundo Teorema de CastiglianoLa derivada parcial de la energía interna de deformación de una estructura cargada, con respecto a un componente de reacción, es igual a cero.



En cualquier estructura indeterminada sometida a carga, los valores de las redundantes deben ser tales que hagan mínima la energía total interna de deformación elástica que resulta de la aplicación del sistema de cargas dado.Si X1 , X2 ,…, Xnson las incógnitas redundantes, la condición de mínimo hace que:

∂W∂ X1

=0

∂W∂ X2

=0

……….∂W∂ Xn

=0

Este teorema proporciona ecuaciones adicionales a las de equilibrio estático, lo que, en general, permite resolver todo tipo de estructuras hiperestáticas.

1.3Método Pendiente – Deflexión o Slope Deflection Este método se utiliza para casos hiperestáticos. Su aplicación es en estructuras aporticadas y vigas continuas. Los desplazamientos en un mismo nivel son iguales y no se consideran

esfuerzos normales.

Considerando un elemento i’, j’ de una estructura aporticada.Las cargas que actúan en el elemento i’, j’ pasa a la posición ij generándose desplazamientos y giros así como los momentos M ijy M ji. Se supone que los desplazamientos ui=u json iguales, despreciándose la variación del elemento debido a la fuerza axial o fuerza normal. La longitud del elemento no varía.La figura “b” por superposición puede descomponerse en la suma de los casos del las figuras “c”, “d”, “e” y “f”.



Luego se tiene que los momentos:

Considerando como positivo el sentido horario para: M ij , M ji ,θi , θ j ,ψ ij.Tendremos de las figuras “c”, “d”, “e” y “f”:

Sabemos de las figuras “d” y “e”:

Reemplazando (1), (2), (3) y (4) en (I) y despejando obtenemos:



De la figura “f” encontramos:

Finalmente, (5), (6) y (7) en ( ) y ( ):α β

A las expresiones (8) y (9) se les denomina Ecuaciones de SLOPE DEFLECTION o de Pendiente y Deflexión.

Llamando a K= IL Rigidez.

Llamando:



Tendremos:

En las ecuaciones (10) y (11) los giros y desplazamientos son incógnitas.Tipos de Momentos para trabajar con el Método de Pendiente y Deflexión

1.4Método del Trabajo VirtualEl trabajo virtual es un procedimiento para calcular una componente aislada de la deflexión en cualquier punto de una estructura. El método es aplicable a muchos tipos de estructuras, desde vigas simples hasta cascarones y placas complejas. Además, este método le permite el ingeniero incluir en el cálculo de las deflexiones la influencia de los asentamientos en los apoyos, el cambio de temperatura, y los errores de fabricación.Para calcular una componente de deflexión empleando el método de Trabajo Virtual, el proyectista aplica a la estructura una fuerza en el punto y la dirección del desplazamiento deseado. Esta fuerza se conoce como “carga virtual” ya que el desplazamiento que desarrolla es generado por otras causas, las cuales pueden incluir las cargas reales, el cambio de temperatura, los asentamientos en los apoyos, etc. La carga virtual, así como las reacciones y fuerzas internas que genera se denomina “Sistema Q”. Las fuerzas, el trabajo, el desplazamiento o la energía asociados con el Sistema Q se indican con un sub índice Q. Aunque el calculista puede asignar cualquier valor arbitrario a una carga virtual, frecuentemente se utiliza una fuerza de 1klb o de 1kN para calcular un desplazamiento lineal y un momento de 1klb.pie o de 1kN.m para determinar una rotación o una pendiente.Con la carga virtual en su lugar, las cargas reales – llamadas Sistema P – se aplican a la estructura. Las fuerzas, las deformaciones, el trabajo y la energía asociados al Sistema P se indican con un sub índice P. Al deformarse la estructura bajo las cargas reales, la carga virtual (o las cargas virtuales) realizan un trabajo virtual externo WQ al moverse por el desplazamiento real de la estructura. De acuerdo con el principio de conservación de la energía, una cantidad equivalente de energía virtual de deformación UQ se almacenará en la estructura, es decir,



La energía virtual de deformación almacenada en la estructura es igual al producto de las fuerzas internas debidas a la carga virtual por las deformaciones (cambios en longitud de las barras axialmente cargadas, por ejemplo) generada en los elementos de la estructura como efecto de las cargas reales (es decir, el Sistema P).

1.5Principio de Desplazamientos Virtuales de BernoulliEl principio de los desplazamientos virtuales de Bernoulli, un teorema básico en ingeniería estructural, es una variación del Principio del Trabajo Virtual. No sólo se utiliza en desarrollos teóricos, sino también para calcular la deflexión en puntos de una estructura determinada que experimenta movimiento de cuerpo rígido, por ejemplo, el asentamiento de un apoyo o un error de fabricación. El principio de Bernoulli, que parece bastante evidente una vez enunciado, dice:

“Si a un cuerpo rígido, cargado por un sistema de fuerzas en equilibrio, se le induce un desplazamiento virtual pequeño causado por una acción diferente de

dicho sistema de fuerzas, el trabajo virtual WQ realizado por el sistema de fuerzas es igual a cero”

En este enunciado el desplazamiento virtual es un desplazamiento real o hipotético producido por una acción diferente del sistema de fuerzas que actúa sobre la estructura. Asimismo, el desplazamiento virtual debe ser lo suficientemente pequeño para que la geometría y la magnitud del sistema de fuerzas original no cambien significativamente al desplazarse la estructura desde su posición inicial hasta su posición final. Como el cuerpo es rígido, UQ=0.En el principio de Bernoulli, el trabajo virtual es igual al producto de cada fuerza o momento por la componente del desplazamiento virtual a través de la que se mueve. En consecuencia, dicho principio se expresa mediante la ecuación:

WQ=UQ=0∑QδP+∑ QmθP=0

Donde:Q= la fuerza que es parte del sistema de fuerzas en equilibrioδ p= el desplazamiento virtual que es colineal con QQm= el momento que es parte del sistema de fuerzas en equilibrioθp= el desplazamiento rotacional virtual

1.6 Ley de las Deflexiones Recíprocas de Maxwell y BettiUtilizando el método del trabajo real, se desarrolla la ley de deflexiones reciprocas de Maxwell – Betti, otro teorema básico en ingeniería estructural.La ley de Maxwell – Betti, que se aplica a cualquier estructura elástica estable (una viga, una armadura o un marco, por ejemplo) sobre apoyos sin asentamientos y a temperatura constante establece:

“El desplazamiento de un punto A en la dirección 1 producido por la aplicación de una carga unitaria en un segundo punto B en la dirección 2 es igual en

magnitud al desplazamiento del punto B en la dirección 2 producido por una carga unitaria aplicada en A en la dirección 1”



1.6.1 CASO I: F A se aplica después de FB

a) Trabajo realizado al aplicarse FB:

W B=12FB∆BB

b) Trabajo realizado cuando se aplica F A con FB en su lugar:

W A=12FA ∆AA+FB∆BA

Como la magnitud de FB no cambia al flexionarse la viga bajo la acción F A, el trabajo adicional realizado por FB (el segundo término de la ecuación anterior) es igual al valor completo de FB multiplicada por la deflexión ∆BA producida por F A.

W total=WB+W A

W total=12FB∆BB+

12FA∆AA+FB∆BA

1.6.2 CASO II: FB se aplica después de F A

c) Trabajo realizado al aplicarse F A:

W A' =1

2FA ∆AA

d) Trabajo realizado cuando se aplica FB con F A en su lugar:

W B' =1

2FB∆BB+FA ∆AB



W total' =W A

' +W B'

W total' =1

2F

A∆ AA+

12F

B∆BB+F A∆AB

Igualando el trabajo total de los casos 1 y 2, y simplificando se obtiene:FB∆BA=F A∆ AB

Cuando ambas fuerzas son iguales a 1klb, ésta ecuación se reduce al enunciado de la ley de Maxwell – Betti:

∆BA=∆AB

CAPITULO 2:“Grados de Indeterminación de estructuras, Tipos de apoyo, Grados de libertad, Coordenadas globales y Coordenadas locales”En este capítulo se tratará de explicar lo más claro posible conceptos acerca de los grados de indeterminación, tipos de apoyo, grados de libertad, coordenadas globales y locales en estructuras, con la finalidad de poder afianzar nuestro conocimiento acerca de los métodos matriciales trabajados o desarrollados en clases.2.1 Grados de indeterminación de estructuras

En el análisis estructural se consideran dos tipos de indeterminación, la estática y cinemática. La primera tiene relación con las fuerzas y la segunda con los desplazamientos.2.1.1 Indeterminación Estática

Se refiere a un exceso de reacciones y fuerzas internas desconocidas, comparadas con las ecuaciones de equilibrio de la estática. Esto da lugar a clasificar las estructuras como estáticamente determinadas y estáticamente indeterminadas. Las fuerzas internas o reacciones desconocidas que no se pueden obtener con las ecuaciones de equilibrio se denominan fuerzas redundantes y el número de fuerzas redundantes define el grado de indeterminación estática o hiperestáticidad. Existen dos tipos de indeterminación estática: externa e interna, la indeterminación externa se refiere al número de reacciones redundantes de la estructura y la indeterminación interna al número de fuerzas de la estructura que no pueden conocerse con las ecuaciones de la estática. El grado total de indeterminación es la suma de ambas.

2.1.2 Indeterminación CinemáticaSe refiere al número de desplazamientos desconocidos o redundantes que describen el comportamiento de la estructura (movimiento) cuando ésta se sujeta a acciones de carga.

2.1.3 Cálculo del grado de indeterminación o hiperestaticidadCuando una estructura es Isostática, su grado de indeterminación G = 0, ya que es estáticamente determinada. Las estructuras Hiperestáticas pueden tener distintos grados de indeterminación G 0, si una estructura es inestable su grado de indeterminación es G 0.G 0 Estructuras hiperestáticasG = 0 Estructuras IsostáticasG 0 Estructuras InestablesEn el caso de armaduras y marcos pueden ser externa o internamente indeterminadas. Son externamente indeterminadas cuando el número de



reacciones es mayor que el número de las 4 ecuaciones de equilibrio más las ecuaciones de condición. La indeterminación interna ocurre cuando el número de miembros es mayor al mínimo necesario para que la estructura sea estable.

Donde:G = Grado de hiperestaticidad totalG = Grado de hiperestaticidad externaG = Grado de hiperestaticidad internaR = Número de reacciones = Número de ecuaciones de la estática = Número de elementos = Número de nodosC = Ecuaciones adicionales de condiciónGL = Grado de libertad o desplazamiento redundante

2.2 Tipos de apoyoEn la práctica de la ingeniería estructural se pueden encontrar principalmente tres tipos de apoyo para sostener los elementos estructurales (vigas, columnas, cerchas, por ejemplo).

2.2.1 Apoyo MóvilEs un apoyo que restringe el movimiento en la dirección perpendicular a la superficie donde se encuentra apoyado.

2.2.2 Apoyo FijoEste apoyo restringe el movimiento en el plano horizontal y vertical y permite la generación del momento.

2.2.3 Apoyo EmpotradoRestringe el movimiento en el plano vertical, horizontal y generación del momento.



2.3 Grados de LibertadGrado de libertad se define como la posibilidad que tiene cualquier punto de la estructura para desplazarse o girar.Para los métodos matriciales tales como Método de Rigidez y el Método de Flexibilidad, los grados de libertad se refieren sólo a los nodos o nudos de la estructura analizada.Una estructura deformada se define a través de los desplazamientos y giros en los grados de libertad.

2.4 Coordenadas GlobalesEste sistema nos hace referencia a los ejes X, Y, Z del plano cartesiano. Este sistema es utilizado para la ubicación de los desplazamientos en la estructura. Se denota con letras mayúsculas (F, U).F = FuerzasU = Desplazamientos

2.5 Coordenadas LocalesEste sistema nos hace referencia con el eje X paralelo al eje geométrico del elemento, es decir que se realiza un giro al sistema de coordenadas globales. Este sistema se utiliza para los diagramas de fuerzas internas en las estructuras. Se denota con letras minúsculas (f, u).

Cuando se tienen elementos verticales u horizontales el sistema de coordenadas globales coincide con el sistema de coordenadas locales.



Lo contrario ocurre con elementos inclinados.

Solo los momentos son los que son iguales. Es decir, F7 = f7 y F3 = f3.



Lo que se realiza después es un análisis de elemento por elemento para ir analizando de acuerdo a la resistencia de materiales cada grado de libertad y así aplicar principio de superposición para la extracción de la matriz de rigidez en coordenadas locales de un elemento tridimensional.

CAPITULO 3:“Análisis Estructural de una edificación de dos pisos”



CONCLUSIONES

Los 6 métodos escogidos como afines a los métodos matriciales de rigidez y flexibilidad son la base fundamental como, como conocimiento previo, para poder desarrollar ambos métodos matriciales.

Los grados de indeterminación de cualquier estructura nos ayudan para poder calcular con los métodos matriciales todo tipo de estructuras hiperestáticas.

El concepto de grado de libertad es muy importante para poder aplicar el método de la rigidez en cualquier estructura hiperestática.

Los dos tipos de sistemas de coordenadas, globales y locales, son de utilidad para calcular deformaciones y para dibujar diagramas de fuerzas internas en estructuras, respectivamente.

La estructura analizada nos ayudó a comprender la manera como realizar el metrado de cargas para cada uno de los pórticos y las fuerzas que actúan en la estructura por acción de estos.



RECOMENDACIONES

Tener siempre presente el concepto de grado de hiperestaticidad para el análisis de cualquier estructura para poder realizar los cálculos estructurales de la manera correcta y no cometer errores que podrían ocasionarnos muchos problemas.

Saber la aplicación que se le debe dar a cada uno de los métodos mencionados en el capítulo 1 para no realizar cálculos que sean demasiado engorrosos, ya que algunos de éstos tienen aplicaciones específicas para diferentes tipos de cargas y apoyos al que está sometido la estructura.

Realizar un correcto metrado de cargas, tanto cargas vivas como cargas muertas, para no obtener resultados erróneos al momento de analizar cualquier estructura.



BIBLIOGRAFÍA

Fundamentos de Análisis Estructural – Kenneth M. Leet y Chia - Ming Uang. – Segunda edición

Resistencia de Materiales – Dr. Genner Villarreal Castro Resistencia de Materiales – Ing. Genaro Delgado Contreras Manual de la Universidad de Chile – Departamento de Ciencias de la Construcción http://es.slideshare.net/estudiojv/metodo-de-cross https://www.uclm.es/area/ing_rural/CalculoEstructuras/Temas/Temas6y7.PDF


http://es.slideshare.net/estudiojv/metodo-de-cross

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