1

บทท 3

Multivariable Differential Calculus

1. Partial Derivatives2. Differentials and Linear Approximation3. The Chain Rule4. Implicit Differentiation5. Directional Derivatives and Gradient

Midterm Exam6. Maximum and Minimum of Functions7. Lagrange Multipliers

2

Partial Derivatives

ถาให z = f (x, y) เปนฟงกชนคาจรงของ 2 ตวแปรจะนยามอนพนธยอยของ f ทจด (a, b)ดงน

fx(a, b) = limh→0

f (a + h, b)− f (a, b)

h

fy(a, b) = limh→0

f (a, b + h)− f (a, b)

h

สญลกษณสำหรบอนพนธยอยของ z = f (x, y)

fx(x, y) = fx =∂f

∂x=

∂

∂xf (x, y) =

∂z

∂x= f1 = D1f = Dxf

fy(x, y) = fy =∂f

∂y=

∂

∂yf (x, y) =

∂z

∂y= f2 = D2f = Dyf

สำหรบฟงกชน n ตวแปร z = f (x1, x2, . . . , xn)

จะนยามอนพนธยอยเทยบกบ xi ดงน

fi(x1, . . . , xn) = limh→0

f (x1, . . . , xi + h, . . . , xn)− f (x1, . . . , xn)

h

3

ความหมายเชงเรขาคณตของอนพนธยอยสำหรบ z = f (x, y)

• fx คออตราการเปลยนแปลงของ z เทยบกบ x

เมอ y เปนคาคงตว• fx(a, b) เปนความชนของเสนตรงทสมผสกราฟ z = f (x, b) ท x = a

โดยทกราฟ z = f (x, b) เปนรอยตดของผว z = f (x, y) กบระนาบ y = b

• fy มความหมายในทำนองเดยวกน

4

อนพนธยอยอนดบสง (Higher Derivatives)ถา z = f (x, y) แลวอนพนธยอยอนดบสองของ z ไดแก

(fx)x = fxx = f11 =∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2=

∂2z

∂x2

(fx)y = fxy = f12 =∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y ∂x=

∂2z

∂y ∂x

(fy)x = fyx = f21 =∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x ∂y=

∂2z

∂x ∂y

(fy)y = fyy = f22 =∂

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2=

∂2z

∂y2

5

Theorem: (Clairaut’s Theorem)ถาฟงกชน f : R2 → R มอนพนธยอยอนดบสอง fxy

และ fyx ตอเนอง แลว fxy = fyx

ตวอยาง

1. ให f (x, y) = x2y3 + ln√sinx2 + cosx3 จงหา fxy

2. ให f (x, y, z) = xy2z3 + ln(y2 + z2) + ln(x2 + z2) + ln(x2 + y2)

จงหา fxyz

6

Differentials and Linear Approximation

ระนาบสมผส (Tangent Planes)ถา f (x, y) มอนพนธยอยตอเนอง แลวระนาบทสมผสผวz = f (x, y) ทจด (x0, y0, z0) จะมสมการเปน

z − z0 = fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)

Linear Approximationf (x, y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)

7

ตวอยางให f (x, y) = xexy

1. จงหาสมการระนาบสมผสผว z = f (x, y) ทจด (3, 0, 3)

2. จงประมาณคาของ f (2.8, 0.1)

8

Differentiabilityสำหรบ z = f (x, y) จะให

∆z = f (x +∆x, y +∆y)− f (x, y)

De nitionถา z = f (x, y) แลวจะกลาววา f differentiable ทจด (a, b) เมอ ∆z อยในรป

∆z = fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y

โดยท ε1 → 0 และ ε2 → 0 เมอ (∆x,∆y) → (0, 0)

Theoremถาอนพนธยอย fx และ fy มคาในยานของจด (a, b) และตอเนองทจด (a, b) แลว f differentiable ทจด (a, b)

9

Differentials

• y = f (x) ม differential ของ y เปน

dy = f ′(x)dx

linear approximation ท x = a คอ

f (x) ≈ f (a) + dy

• z = f (x, y) ม total differential ของ z เปน

dz = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy =∂z

∂xdx +

∂z

∂ydy

linear approximation ท (a, b) คอ

f (x, y) ≈ f (a, b) + dz

• f (x1, . . . , xn) ม total differential เปน

df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + · · · + ∂f

∂xndxn

linear approximation ท (a1, a2, . . . , an) คอ

f (x1, . . . , xn) ≈ f (a1, . . . , an) + df

10

ตวอยางจงประมาณคาของ √

2.012 + 2.982 + 5.972

11

ตวอยางกรวยกลมตรงใบหนงมรศม 10 cm และมสวนสง 20 cm1. ถาการวดรศมและสวนสงมความคลาดเคลอนไมเกน 0.1 cm

จงหาขอบเขตความคลาดเคลอนของปรมาตรกรวย

2. ถาการวดรศมและสวนสงมความคลาดเคลอนไมเกน a%

และ b% ตามลำดบ จงหาความคลาดเคลอนของปรมาตรกรวย

12

ตวอยางถาการวดความยาวดานของกลองสเหลยมมมฉากใบหนงมความคลาดเคลอนไมเกนดานละ r%

จงหาขอบเขตความคลาดเคลอนของปรมาตรของกลองใบน

13

The Chain Rule

สำหรบฟงกชนตวแปรเดยว ถา y = f (x) และ x = g(t)

dy

dt=

dy

dx

dx

dt

ถาม differentiable function z = f (x1, x2, . . . , xn) ซงx1, x2, . . . , xn ตางเปนฟงกชนของ t จะไดวา

dz

dt=

∂f

∂x1

dx1dt

+∂f

∂x2

dx2dt

+ · · · + ∂f

∂xn

dxndt

14

ตวอยางถา z = x2y + xy2 และ x = cos t, y = sin t

1. จงหา dz

dt

2. จงหา dz

dtเมอ t = 0

15

ตวอยางถาจำนวนโมล n ของแกสชนดหนงสมพนธกบความดน ปรมาตรและอณหภม ตามสมการ

PV = nRT โดยท R เปนคาคงตว

ถาความดนกำลงลดลงในอตรา a% ตอชวโมงปรมาตรกำลงเพมขนในอตรา b% ตอชวโมงและอณหภมกำลงลดลงในอตรา c% ตอชวโมงจงหาอตราการเปลยนแปลงของจำนวนโมลของแกสน

16

ถาม differentiable function u = f (x1, x2, . . . , xn) ซงx1, x2, . . . , xn ตางเปนฟงกชนของ t1, t2, . . . , tm จะไดวา

∂u

∂ti=

∂u

∂x1

∂x1∂ti

+∂u

∂x2

∂x2∂ti

+ · · · + ∂u

∂xn

∂xn∂ti

ตวอยางถา w = ex sin y cos z โดยท x = 2t+1, y = st, z = 3st2

1. จงหา ∂w

∂sและ ∂w

∂t

2. จงหา ∂w

∂sและ ∂w

∂tเมอ s =

π

4และ t = 1

17

ตวอยางถา g(s, t) = f (s2 − t2) และ f differentiableจงแสดงวา t

∂g

∂s+ s

∂g

∂t= 0

18

ตวอยางถา z = f (x, y) มอนพนธอนดบสองตอเนองและ x = r2 + s2, y = 2rs

1. จงหา ∂z

∂r

2. จงหา ∂2z

∂r2

19

Implicit Differentiation

กำหนดให F (x, y) = 0 และสมมตวา y = f (x) จะไดวา

Fxdx

dx+ Fy

dy

dx= 0

∴ dy

dx= −Fx

Fy

ตวอยางกำหนดให y เปนฟงกชนของ x โดย x3 + y3 + 3xy = 0

จงหา dy

dx

20

ให F (x, y, z) = 0 และสมมตวา z = f (x, y) จะไดวา

Fx∂x

∂x+ Fy

∂y

∂x+ Fz

∂z

∂x= 0

∴ ∂z

∂x= −Fx

Fz

ในทำนองเดยวกน ∂z

∂y= −Fy

Fz

ตวอยางกำหนดให x3 + y3 + z3 + 6xyz = 9

จงหา ∂z

∂xและ ∂z

∂yเมอ (x, y, z) = (1, 1, 1)

21

ตวอยางกำหนดให F (x, y, z) = 0 จงแสดงวา1. ∂x

∂y

∂y

∂x= 1

2. ∂z∂x

∂x

∂y

∂y

∂z= −1

22

กำหนดให F (x, y, z) = 0 และ G(x, y, z) = 0

และสมมตวา y และ z เปนฟงกชนของ x จะไดวา

Fxdx

dx+ Fy

dy

dx+ Fz

dz

dx= 0

Gxdx

dx+Gy

dy

dx+Gz

dz

dx= 0

Fy Fz

Gy Gz

dy/dxdz/dx

= −

Fx

Gx

∴ dy

dx= −

∣∣∣∣∣∣Fx Fz

Gx Gz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Fy Fz

Gy Gz

∣∣∣∣∣∣และ dz

dx= −

∣∣∣∣∣∣Fy Fx

Gy Gx

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Fy Fz

Gy Gz

∣∣∣∣∣∣

ถาใชสญลกษณ Jacobian เชน ∂(F,G)

∂(x, y)=

∣∣∣∣∣∣Fx Fy

Gx Gy

∣∣∣∣∣∣จะไดวา

dy

dx= −

∂(F,G)∂(x,z)

∂(F,G)∂(y,z)

และ dz

dx= −

∂(F,G)∂(y,x)

∂(F,G)∂(y,z)

23

ตวอยางกำหนดให y และ z เปนฟงกชนของ x โดยท

x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1 และ x2 + y2 + z2 = 3

1. จงหา dy

dx

2. จงหา dz

dx

24

ตวอยางถา F (x, y, z) = 0 และ G(x, y, z) = 0

จงแสดงวา dx

dy

dy

dz

dz

dx= 1

25

ตวอยางกำหนดให w, x, y, z, มความสมพนธกนดงสมการตอไปน

w2 + x2 + y2 + z2 = 1

w3 + x3 + y3 + z3 = 1 + xyzw

จงหา ∂y

∂xเมอ

1. y, w เปนฟงกชนของ x, z

2. y, z เปนฟงกชนของ x,w

26

ตวอยางในพกดเชงขว เราทราบวา x = r cos θ และ y = r sin θ

• จาก r2 = x2 + y2 จะไดวา ∂r

∂x=

x

r= cos θ

• จาก r =x

cos θจะไดวา ∂r

∂x=

1

cos θ

จงอธบายวาการหาอนพนธขางตนถกตองหรอไม

27

Directional Derivatives and Gradient

Directional Derivatives (อนพนธระบทศทาง)อนพนธยอยของ f (x, y) ในทศ x และ y นยามโดย

fx(x0, y0) = limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h

fy(x0, y0) = limh→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h

อตราการเปลยนแปลงของ f (x, y) ในทศของเวกเตอรหนงหนวย u = ai + bj จะหาไดอยางไร?

28

ตวอยางจงหาอตราการเปลยนแปลงของ f (x, y) = x2y ในทศของ1. u = 1√

2(i + j)

2. u = ai + bj เมอ a2 + b2 = 1

29

De nitiondirectional derivative ของ f ท (x0, y0) ในทศของunit vector u = ai + bj คอ

Duf (x0, y0) = limh→0

f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)

h

• ถา u = i จะไดวา Dif = fx

• ถา u = j จะไดวา Djf = fy

30

Theoremให u = ai + bj เปน unit vectorถา f (x, y) มอนพนธอนดบหนงตอเนอง แลวจะไดวา

Duf (x, y) = fx(x, y)a + fy(x, y)b = (fx, fy) · u

Proof ให g(h) = f (x0 + ha, y0 + hb)

1. จะไดวา

g′(0) = limh→0

g(h)− g(0)

h

= limh→0

f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)

h= Duf (x, y)

2. โดย Chain Rule

g′(h) =∂f

∂x

dx

dh+∂f

∂y

dy

dh= fx(x, y)a + fy(x, y)b

แทน h = 0 จะไดวา x = x0 และ y = y0 นนคอ

g′(0) = fx(x0, y0)a + fy(x0, y0)b

จากการหา g′(0) ทงสองวธ จะไดขอสรปตามทฤษฎบท

31

Gradient Vector

De nitionใหฟงกชน f (x, y)

นยาม ∇f เปน gradient ของ f โดย

∇f (x, y) =(fx(x, y), fy(x, y)

)Duf (x, y) = ∇f (x, y) · u

• Duf มคาสงสดเทากบ ∥∇f∥ เมอ u อยในทศ ∇f

• Duf มคาตำสดเทากบ −∥∇f∥ เมอ u อยในทศ −∇f

• Duf = 0 เมอ u ตงฉากกบ ∇f

• Duf = ∥∇f∥ cos θ เมอ u ทำมม θ กบ ∇f

32

Level Curves and Tangent Lines

level curves ของฟงกชน f (x, y)

คอ family of curves f (x, y) = c เมอ c เปนคาคงตว

f (x, y) = x2 − y2

เสนตรงทสมผส level curve ของ f (x, y) ทจด (x0, y0)

มสมการเปน

(x− x0, y − y0) · ∇f (x0, y0) = 0

33

ตวอยางจงแสดงวาเสนตรงทสมผสวงร x

2

a2+

y2

b2= 1 ทจด (x0, y0)

จะมสมการเปนxx0a2

+yy0b2

= 1

34

Directional Derivatives and Gradient of f (x, y, z)

De nition

Duf (x0) = limh→0

f (x0 + hu)− f (x0)

h

∇f = (fx, fy, fz)

Duf = ∇f · u

Level Surfaces and Tangent Planes

• level surfaces ของฟงกชน f (x, y, z)

คอ family of surfaces f (x, y, z) = c

• ระนาบทสมผส level surface ของ f ทจด (x0, y0, z0)

มสมการเปน

(x− x0, y − y0, z − z0) · ∇f (x0, y0, z0) = 0

35

ตวอยางจงหาสมการระนาบทสมผส ellipsoid x2 +

y2

4+

z2

9= 3

ทจด (1,−2, 3)

36

ตวอยางจงแสดงวาระนาบทสมผส ellipsoid x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

ทจด (x0, y0, z0) จะมสมการเปนxx0a2

+yy0b2

+zz0c2

= 1