บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary...

5. การสมมติผลเฉลยแบบอนุกรมกําลัง

ผลเฉลยแบบอนุกรมกําลัง (power series solution) เป็นวิธีมาตรฐานในการแก linear-ODEs ที่มีสัมประสิทธิเ์ป็นตัวแปร ODE ณ ที่น้ี อยูในรูป

y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y = 0 (92)

และผลเฉลยของสมการน้ีจะอยูในรูปของอนุกรมกําลัง ในวิชาแคลคูลัส อนุกรมกําลังรอบจุด x0จะอยูในรูป

y(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · · =

∞∑n=0

an(x− x0)n (93)

โดยที่สัมประสิทธิ ์ an เป็นจํานวนจริงคงตัว

จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 107 / 129

ตัวอยางของฟังกชันที่เขียนในรูปอนุกรมอนันตที่กระจายรอบจุด x0 = 0

1

1− x= 1 + x+ x2 + · · · =

∞∑n=0

xn ⇒ อนุกรมเรขาคณิต โดยที่ |x| < 1 (94)

ex = 1 + x+x2

2!+

x3

3!+ · · · =

∞∑n=0

xn

n!(95)

cosx = 1− x2

2!+

x4

4!− · · ·+ · · · =

∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!(96)

sinx = x− x3

3!+

x5

5!− · · ·+ · · · =

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!(97)


5.1 อนุกรมเทเลอร (Taylor’s series)อนุกรมเทเลอรเป็นอนุกรมที่แสดงรูปของฟังกชันใดๆที่กระจายในรูปของอนุกรมอนันต (infiniteseries) ซึ่งเป็นรูปแบบของอนุกรมกําลัง รูปแบบของอนุกรมเทเลอรคือ

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2!(x− x0)

n + · · · (98)

หรือในรูปแบบที่กระชับมากขึ้น:

f(x) =∞∑n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n (99)

เมื่อ f (n)(x) คืออนุพันธอันดับที่ n ของฟังกชัน f(x)


ในกรณีที่ x0 = 0 จะเรียกวาอนุกรมแม็คคลอรีน (Maclaurin’s series) [ในทางฟิสิกสมักจะเรียกทัง้สองวาอนุกรมเทเลอร] น่ันคือ

f(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2!x2 + · · · (100)

หรือ

f(x) =

∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn (101)

ตัวอยาง 5.1จงกระจายอนุกรมของฟังกชัน f(x) = ex รอบจุด 0


ตัวอยาง 5.1 (ตอ)

แบบฝึกหัด 5.4จงกระจายอนุกรมของฟังกชันตอไปน้ีรอบจุด 0 โดยเขียนใหเห็น 4 พจนแรก

1 cosx และ sinx2 ln(1 + x)

3 eix และ e−ix

41

√1 + x2


5.2 การสมมติผลเฉลยแบบอนุกรมกําลังผลเฉลยของ ODE แบบอนุกรมกําลังมีแนวคิดงายๆ คือ การสมมติผลเฉลยใหอยูในรูปอนุกรมกําลังแลวนําไปแทนใน ODE ที่เราตองกําหาผลเฉลย เราจะไดศึกษาจากตัวอยางตอไปน้ีตัวอยาง 5.2จงหาผลเฉลยของ y′ − y = 0 โดยใชอนุกรมกําลังขัน้ที่ 1 แทนคา

y = a0 + a1x+ a2x2 + · · · =

∞∑n=0

anxn (102)

และ

y′ = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + · · · =

∞∑n=1

nanxn−1 (103)

ลงใน ODE ที่โจทยกําหนดจะได

(a1 + 2a2x+ 3a3x2 + · · · )− (a0 + a1x+ a2x

2 + · · · ) = 0


ตัวอยาง 5.2 (ตอ)หรือ

(a1 − a0) + (2a2 − a1)x+ (3a3 − a2)x2 + · · · = 0

เน่ืองจากแตละเลขชีก้ําลังเป็นอิสระเชิงเสน (linear independence) ตอกัน ดังน้ันแตละพจนจึงมีคาเป็นศูนย กลาวคือ

a1 = a0, a2 =a12

=a02!, a3 =

a23

=a03!, · · ·

ดังน้ัน จากสมการ (102) จะไดผลเฉลยทัว่ไปคือ

y = a0 + a0x+a02!x2 +

a03!x3 + · · · = a0

(1 + x+

x2

2!+

x3

3!

)หรือ

y = a0ex


ตัวอยาง 5.3จงหาผลเฉลยของ y′′ + y = 0 โดยใชอนุกรมกําลัง


ตัวอยาง 5.4: สมการเลอฌ็องดรพิเศษ (special Legendre equation)จงหาผลเฉลยของสมการ (1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 0


แบบฝึกหัด 5.5จงหาผลเฉลยแบบอนุกรมกําลังของสมการเชิงอนุพันธตอไปน้ี

1 (1 + x)y′ = y

2 y′ = −2xy

3 y′′ − y + xy = 0

4 y′′ + 3xy′ + 2y = 0

5 y′′ + (1 + x2)y = 0


จุดสามัญและจุดเอกฐาน

นิยาม: จุดสามัญและจุดเอกฐานถาฟังกชัน p(x) และ q(x) ของสมการเชิงอนุพันธ

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

เป็นฟังกชัน analytic (ไมลูออก) ที่จุด x0 เราเรียกจุด x = x0 วาเป็นจุดสามัญ (ordinarypoint) แตถามีบางฟังกชัน p(x) หรือ q(x) ไม analytic ที่จุด x = x0 เราเรียกจุด x = x0วาเป็นจุดเอกฐาน (singular point)

ตัวอยาง 5.5สมการ

(x2 − 4)y′′ + (x+ 2)y′ + 3y = 0

มีจุดเอกฐาน คือจุด x = ±2 จุดอื่นๆนอกเหนือจากน้ันเป็นจุดสามัญ


ตัวอยาง 5.6สมการ

(x2 + 1)y′′ + (2x+ 1)y′ − y = 0

มีจุดเอกฐาน คือจุด x = ±i จุดอื่นๆนอกเหนือจากน้ันเป็นจุดสามัญ

ตัวอยาง 5.7จุด x = 0 เป็นจุดเอกฐานของสมการ

xy′′ + sin(x)y′ + x2y = 0

หรือไม เราลองพิจารณาการนํา x หารตลอดทัง้สมการ เราพบวามีพจน sin(x)/x เกิดขึ้นมา แตเน่ืองจาก

sinxx

=1

x

(x− x3

3!+

x5

5!− · · ·

)= 1− x2

3!+

x4

5!− · · ·

ซึ่ง analytic ที่จุด x = 0 ดังน้ันจุดน้ีจึงเป็นจุดสามัญ


5.3 สมการเชิงอนุพันธเลอฌ็องดรและพหุนามเลอฌ็องดรสมการเชิงอนุพันธเลอฌ็องดร (Legendre’s differential equation) มีรูปแบบมาตรฐานดังน้ี

(1− x2)y′′ − 2xy′ + l(l + 1)y = 0 (104)

โดยที่ l เป็นพารามิเตอรซึ่งคาของมันขึ้นอยูกับปัญหาที่พิจารณา สมการน้ีปรากฏอยูในวิชาฟิสิกสในหลายๆเรื่องโดยเฉพาะ เรื่องปัญหาคาขอบ (boundary value problem) ของทรงกลม ผลเฉลยใดๆของสมการ (104) เรียกวา ฟังกชันเลอฌ็องดร (Legendre function) ถาเราหารสมการ (104)ดวย 1− x2 จะพบวา จุด x = 0 เป็นจุดสามัญ ดังน้ันเราใชอนุกรมกําลังแกสมการซึ่งอยูในรูป

y =∞∑

m=0

amxm (105)


ทําการหาอนุพันธจะได

y′ =

∞∑m=1

mamxm−1, y′′ =

∞∑m=2

m(m− 1)amxm−2

แทนคาในสมการ (104) [กําหนดให k ≡ l(l + 1)]:

(1− x2)

∞∑m=2

m(m− 1)amxm−2 − 2x

∞∑m=1

mamxm−1 + k

∞∑n=0

amxm = 0

หรือ∞∑

m=2

m(m− 1)amxm−2 −∞∑

m=2

m(m− 1)amxm − 2∞∑

m=1

mamxm + k∞∑

m=0

amxm = 0


ทําการเลื่อนดัชนี (shifting index) โดยการกําหนดให n = m− 2 ในพจนที่ 1 ทางดานซายมือของสมการ สวนพจนที่เหลือ เรากําหนดให n = m จะได

∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)an+2xn −

∞∑n=2

n(n− 1)anxn − 2

∞∑n=1

nanxn + k

∞∑n=0

anxn = 0

หรือเขียนในรูป [อยาลืม k = l(l + 1) ]

∞∑n=0

[(n+ 2)(n+ 1)an+2 + {−n(n− 1)− 2n+ l(l + 1)}]xn = 0

พจนในวงเล็บปีกกาสามารถจัดรูปใหมไดคือ (l − n)(l + n+ 1) ดังน้ัน

an+2 = −(l − n)(l + n+ 1)

(n+ 2)(n+ 1)an (106)

สมการน้ีเรียกวาความสัมพันธเวียนเกิด (recurrence relation) ซึ่งเราสามารถทราบคาสัมประสิทธิ ์แตละตัวไดยกเวน a0 และ a1 ซึ่งเป็นคาคงตัวใดๆ


สมการ (106) ใหผลดังน้ีคือ

a2 = −l(l + 1)

2!a0

a4 = −(l − 2)(l + 3)

4 · 3a2

=(l − 2)l(l + 1)(l + 3)

4!a0

...

a3 = −l(l − 1)(l + 2)

3!a1

a5 = −(l − 3)(l + 4)

5 · 4a3

=(l − 3)(l − 1)(l + 2)(l + 4)

5!a1

...

สัมประสิทธิแ์ตละ an มีลักษณะกระโดดขามกัน ซึ่งแยกชัดเจนระหวาง n เป็นคูและคี่ ดังน้ันเราอาจเขียนผลเฉลยในรูป

y(x) = a0y1(x) + a1y2(x) (107)


เมื่อ

y1(x) = 1− l(l + 1)

2!x2 +

(l − 2)l(l + 1)(l + 3)

4!x4 −+ · · · (108)

y2(x) = x− l(l − 1)(l + 2)

3!x3 +

(l − 3)(l − 1)(l + 2)(l + 4)

5!x5 −+ · · · (109)

อนุกรมเหลาน้ีจะลูเขา (converge) เมื่อ |x| < 1 เน่ืองจากวา y1(x) มีเฉพาะพจนกําลังคูของ xและในขณะเดียวกัน y2(x) มีเฉพาะพจนกําลังคี่ของ x ดังน้ัน y1(x) และ y2(x) จึงเป็นอิสระเชิงเสนตอกัน ดังน้ันผลเฉลย (107) จึงเป็นผลเฉลยในชวง −1 < x < 1 เน่ืองจากวา จุดx = ±1 เป็นจุดที่ไม analytic ดังน้ันเราไมสามารถหาผลเฉลยในพจนกําลังสูงๆของ x ได เวนแตวา อนุกรมน้ีจะถูกทําใหยุติ (terminate) จนกลายเป็นพหุนาม (polynomials)


พหุนามเลอฌ็องดร (Legendre polynomials)

พหุนามเลอฌ็องดร เกิดขึ้นในกรณีที่ผลเฉลยอนุกรมของสมการเลอฌ็องดรถูกทําใหยุติ โดย lเป็นจํานวนเต็มที่มากกวาหรือเทากับศูนย จากสมการ (106) เราสังเกตไดวา ถา n = l จะเป็นผลใหพจน al+2 = 0, al+4 = 0, ... ดังน้ัน

ถา l เป็นเลขคู ⇒ y1(x) ลดรูปกลายเป็นพหุนาม degree lถา l เป็นเลขคี่ ⇒ y2(x) ลดรูปกลายเป็นพหุนาม degree l

พหุนามที่ไดน้ี เมื่อคูณกับคาคงตัวที่เหมาะสม เราจะเรียกวา พหุนามเลอฌ็องดร (Legendrepolynomials) โดยใชสัญลักษณ Pl(x) ตัวเลือกมาตรฐานสําหรับคาคงตัวน้ี กรณี l เป็นคาสูงสุดคือ

al =(2l)!

2l(l!)2, l เป็นจํานวนเต็มบวก (110)

สังเกตไดวา al = 1 ถา l = 0


จากความสัมพันธเวียนเกิด (106) สัมประสิทธิต์ัวอื่นๆ หาไดดังน้ี

an = − (n+ 2)(n+ 1)

(l − n)(l + n+ 1)as+2, โดยที่ n ≤ l − 2 (111)

เราเปลี่ยนดัชนีโดยให n = l − 2 ดังน้ันสมการ (111) กลายเป็น

al−2 = − l(l − 1)

2(2l − 1)al = − l(l − 1)

2(2l − 1)· (2l)!

2l(l!)2

เน่ืองจาก (2l)! = 2l(2l − 1)(2l − 2)! และ l! = l(l − 1)! = l(l − 1)(l − 2)! ดังน้ัน

al−2 = − (2l − 2)!

2l(n− 1)!(n− 2)!


เชนเดียวกัน

al−4 = −(l − 2)(l − 3)

4(2l − 3)al−2 =

(2l − 4)!

2l2!(n− 2)!(n− 4)!

ดังน้ันสูตรทัว่ไปจึงอยูรูป

al−3m = (−1)m(2l − 2m)!

2lm!(n−m)!(n− 2m)!(112)

ผลที่ไดจากสมการเลอฌ็องดร เรียกวา พหุนามเลอฌ็องดร degree l ซึ่งอยูในรูป

Pl(x) =∞∑

m=0

(−1)m(2l − 2m)!

2lm!(n−m)!(n− 2m)!xl−2m (113)

เมื่อ M = l/2 หรือ (l − 1)/2


พหุนามเลอฌ็องดร degree ตางๆ แสดงไดดังน้ี

P0(x) = 1,

P1(x) = x,

P2(x) =1

2(3x2 − 1),

P3(x) =1

2(5x3 − 3x),

P4(x) =1

8(35x4 − 30x2 + 3),

P5(x) =1

8(63x5 − 70x3 + 15x) Figure 6: กราฟแสดงฟังกชันเลอฌ็องดร รูปจาก:

http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials




บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary...

Documents

Transcript of บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary...