ชื่อ รหัสนักศึกษา บทที่ 3...

ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................

แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 1

บทท่ี 3 อนุพนัธ์ของฟังกช์นั 3.1 บทนิยามของอนุพันธ ์

บทนิยามที่ 3.1 ให้ f เป็นฟังก์ชัน และ y =f(x)

จะเรียก 0 0

( )lim limx x

f x x f xx

y x

เมื่อลมิิตมีค่าว่า อนพุันธ์ ของ f เทยีบกับ x

และจะกล่าวว่า f มีอนุพันธ์ที่ x เขียนแทนดว้ยสัญลักษณ์ / ( )f x หรือ ( )d

f xdx

หรือ ( )x

D f x หรอื /y

หรือ dy

dx นั่นคือ /

0

( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

เมื่อลมิิตมีค่า

ถ้าให้ x h จะได้ /

0

( )( ) lim

x

f x h f xf x

h

เมื่อลิมิตมีค่า

ถ้า 0

( )limx

f x x f x

x

มีค่า จะเรียกลิมิตนี้ว่า อนุพันธ์ทางซ้ายของ f ที ่x

และ ถ้า 0

( )limx

f x x f x

x

มีค่า จะเรียกลิมิตนี้ว่า อนุพันธ์ทางขวาของ f ที ่x

ใช้สัญลักษณ์ / ( )f x และ / ( )f x แทนอนุพนัธ์ของทางซ้ายและอนุพันธ์ทางขวาตามล าดับ

/ ( )f x จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ / ( )f x = / ( )f x

และได้ / ( )f x = / ( )f x = / ( )f x

อนุพันธ์ของ f ที่ x = a เขียนแทนด้วย / ( )f a โดยที่ /( )

( ) limx a

f x f af a

x a

เมื่อลิมิตมีคา่



ความชันของเส้นโค้ง (ความหมายของอนุพันธ์ในเชิงเรขาคณิต)

ก าหนด y=f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a,b]

ให้ P(x,y) และ Q(x+ x, y+ y) เป็นจุดสองจุดบนเส้นโค้ง ดังภาพ 3.1

Y

Q(x+ x, y+ y)

P(x,y)

0 x x+ x X

รูป 3.1

เมื่อเคลื่อน Q ไปตามเส้นโค้งให้เข้าใกล้ P จะได้ว่าเส้นตรง PQ จะเคลื่อนเข้าสู่ต าแหน่งของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด P นั่นเอง

นั่นคือ เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ความชันของเส้นตรง PQจะเข้าใกล้ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด P นั่นเอง

เนื่องจากความชันของเส้นตรง PQ= ( ) ( )y f x x f x

x x

ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด P คือ

0 0

( )lim limx x

f x x f xx

y x


บางครั้งเรียกความชันของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ ณ จุด P ว่าความชันของเส้นโค้ง ณ จุด P



ความเร็ว

ถ้าให้ s เป็นระยะทางที่วัตถุอยู่ห่างจากจุดตั้งต้น ณ เวลา t ใดๆ จะได้ s เป็นฟังก์ชันของ t คือ s=f(t)

ณ เวลา t+ t วัตถุอยู่ห่างจากจุดตั้งต้น s+ s โดยที่

s+ s = f(t+ t)

จะได้ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนทีไ่ด้ในช่วงเวลา t เป็น

s = f(t+ t) - f(t)

ความเร็วเฉลี่ยของการเคลื่อนที่จากเวลา t ถึง t+ t คือ

( ) ( )s f t t f t

t t

ดังนั้นความเร็วชั่วขณะ ณ เวลา t ใดๆ คือ

0 0

( ) ( )lim lim

t t

s f t t f t

t t


นั่นคือ 0

( ) ( )( ) lim

t

ds f t t f tV t

dt t


สรุป การหาความเร็วและความชันของเส้นโค้งก็คือการหาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งของสมการการเคลื่อนที ่

หรือสมการเสน้โค้งนั่นเอง



ตัวอย่างที่ 1 ก าหนด f(x) จงพิจารณาว่า f มีอนุพันธ์ที่ x = c หรือไม่ ถา้มีจงหา / ( )f c

1.1 2

4 , 1( )

2 2 , 1

x xf x

x x

, c =1

1.2 2

1 , 1( )

( 1) , 1

x xf x

x x

, c = -1 , -2

1.3 1( )

1f x

x

, c =2



ตัวอย่างที่ 2 จงหาอนุพันธ(์โดยใช้บทนิยาม)ของ f(x) =x2 + x -1

ตัวอย่างที่ 3 จงหาอนุพันธ(์โดยใช้บทนิยาม)ของ f(x) = x

ตัวอย่างที่ 4 จงหาอนุพันธ(์โดยใช้บทนิยาม)ของ 1( )

3f x

x

ตัวอย่างที่ 5 จงหาความชัน(โดยใช้บทนิยาม)ของเส้นโค้ง y = x3 ณ จุด (2,8)



ตัวอย่างที่ 6 วัตถุชนิดหนึ่งเคลื่อนที่เป็นระยะทาง s เมตร ในเวลา t วินาที ซึ่ง s = t2-3t+8 จงหา

(โดยใช้บทนิยาม)

6.1 ความเร็วเฉลี่ยจาก เวลา t=3 วินาที ถึง t=5 วินาที

6.2 ความเร็วของวัตถุ ณ เวลา t ใดๆ

6.3 ความเร็วของวัตถุ ณ เวลา t=5 วินาที



2.2 สูตรของอนุพันธ ์

ก าหนด u =f(x) และ v =g(x) c] และ c เป็นค่าคงตัวใดๆ และ n เป็นจ านวนจริง

ถ้า u และ v มีอนุพันธ์ที่ x แล้วจะได้สูตรของอนุพันธ์ต่อไปนี้

1) dc

dx=0

2) dx

dx=1

3) d du

cu cdx dx

4) d du dv

u vdx dx dx

5) d dv du

u v u vdx dx dx

6) 2

, 0

du dvv u

d u dx dx vdx v v

7) 1

n

ndv dvnv

dx dx

***จงพิสูจน์สูตรของอนุพันธ์

2.3 กฎลูกโซ ่(Chain Rule)

ก าหนด y=f(u) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ u และ u =g(x) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ x จะได้ว่า

dy dy du

dx du dx

ในกรณีที่มีฟังก์ชันหลายฟังก์ชันซึ่งสามารถหาฟังก์ชันประกอบได้ เช่น y=f(u) , u=g(v) และ v=h(x)

จะได้ dy dy du dv

dx du dv dx



แบบฝึกหัดที่ 2.1 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้

1) 12 5 21( ) 3 8 5

3f x x x x

2) 2 3

1 3 2( )f x

x x x

3) 3 1( ) 4 6f x x x

x

4) 2

4

1( ) 5 3 4f x x x x x

x

5) 4( ) 3f x x x

6) 3 2( )

3 2

xf x

x

7) 2

4

1( )

1

xf x

x

8) 5 21 4 7 9y x x x

9) 3

1

xy

x

10) 2 6 3y x x

11) 10

3 2 1y t t

12) ถ้า y= u3 และ u = x2-3x+1 แล้ว จงหา dy

dx

13) ถ้า y= x2-2x และ 22 1x t จงหา dy

dt เมื่อ 2t

14) ก าหนดให้ 4x y จงหา dy

dx

15) ก าหนดให้ 21x y y จงหา dy

dx

16) จงหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 2 4x y y ที่จุดตัดบนแกน y



ที่มา : ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท์. 2555. แคลคูลัส 1 ส าหรับวิศวกร. พิมพ์ครั้งที่ 1. ปทุมธานี : สกายบุ๊กส์.

2.3 ฟังก์ชนัที่หาอนพุันธ์ได ้

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f จะนิยามที่จุด ซึ่งลิมิตจากนิยาม0

( ) ( )limx

f x x f x

x

หาค่าได้ถ้าจุดนั้นคือ

x0 เรากล่าวว่า f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที ่ x0 หรือ f มีอนุพันธ์ที่ x0 หรืออาจกล่าวอีกอย่างหนึ่งได้ว่าโดเมนของ f/ ประกอบด้วย จุดที่ f หาอนุพันธ์ได้ และกล่าวว่า f หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด (a,b) ถ้า f หาอนุพันธ์ไดท้ี่แต่ละจุดใน (a,b) และกล่าวว่า f

เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ถ้า f หาอนุพันธ์ได้บนช่วง ,

แต่ถ้า f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดต่างๆ ได้ จะกล่าวว่า อนุพันธ์ของ f ไม่มีที่จุดนั้น ซึ่งเราอาจแบ่งกลุ่มของจดุที่ท าให้ไม่สามารถหาอนุพันธ์ของ f ได้ 3 กลุ่มดังนี ้ 1. จุดที่ท าให้กราฟหักจนเกิดมุมหรือเป็นเหลี่ยม 2. จุดที่เส้นสัมผัสกราฟตั้งฉากกับแกน x 3. จุดที่กราฟของ f ไม่ต่อเนื่องหรือเป็นจุดขาดตอน

Y

y = f(x)

0 x0 X

Y Y

y = f(x) y = f(x)

0 x0 X 0 x0 X รูป 2.2



2.4 ความสัมพันธ์ระหว่างการมีอนุพันธ์กับความต่อเนื่อง

ทฤษฎีบทที่ 3.15 ถ้า f หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x0 แล้ว f จะมีความต่อเนื่องที่จุด x0 ด้วย

พิสูจน์

หมายเหตุ จากทฤษฎีจะได้ว่า ถ้า f ไม่ความต่อเนื่องที่จุด x0 แล้ว f จะหาอนุพันธ์ไม่ได้ที่จุด x0 แต่ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่จุด x0 อาจจะหาอนุพันธ์ไม่ได้ที่จุด x0



ตัวอย่างที่ 7 ฟังก์ชัน ( )f x x ต่อเนื่องส าหรับ x

7.1 จงแสดงว่า ( )f x x หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่จุด x = 0

7.2 จงหา / ( )f x

วิธีท า

Y

0 X



ตัวอย่างที่ 8 จงแสดงว่า 1

3( )f x x ไมม่ีอนุพันธ์ที่ x = 0

วิธีท า

Y

0 X



2.5 การหาอนุพันธ์ที่ปลายชว่ง

ถ้า f นิยามบนช่วงปิด [a,b] แล้วอนุพันธ์ / ( )f x จะไม่นิยามที่จุดปลาย a และ b เพราะว่า

/

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

ซึ่งเป็นลิมิตสองด้าน แต่ที่จุดปลายนั้นจะมีลิมิตเกิดขึ้นเพียงด้านเดียว

ดังนั้น จึงต้องนิยามอนุพันธ์จากทางซ้ายและทางขวาแทนด้วย /f และ /f ตามล าดับ โดยมีความหมายดังนี้

/

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

และ /

0

( ) ( )( ) lim

x

f x x f xf x

x

ณ จุดที่ / ( )f x หาค่าได้ เรียกว่าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้จากทางซ้าย

ณ จุดที่ / ( )f x หาค่าได้ เรียกว่าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้จากทางขวา

ทางเรขาคณิต / ( )f x คือลิมิตของความชันของเส้นสัมผัสกราฟเมื่อเข้าใกล้ x จากทางขวา และ / ( )f x

คือลิมิตของความชันของเส้นสัมผัสกราฟเมือ่เข้าใกล้ x จากทางซ้าย ดังรูป 3.3

Y

ความชัน = / ( )f b

ความชัน = / ( )f a

a b X

รูป 2.3

ดังนั้นจะกล่าวว่า f หาอนุพันธ์ได้บนช่วงปิด [a,b] ถ้าเง่ือนไขต่อไปน้ีเป็นจริง

1. f หาอนุพันธ์ได้บนช่วงปิด [a,b]

2. f หาอนุพันธ์ได้จากทางขวาที่ a

3. f หาอนุพันธ์ได้จากทางซ้าย b

และเงื่อนไขดังกล่าวนี้ยังสามารถใช้ไดกับช่วงอื่นๆ เช่น [a, ) , (- , a] , [a,b) และ (a,b]



2.6 กราฟของอนุพันธ ์

1) Y Y

450

X X

2) Y Y

0 X 0 X

3) Y Y

0 X 0 X

4) Y Y

0 X 0 X



5) Y Y

0 X 0 X

6) Y Y

0 X 0 X

7) Y Y

0 X 0 X

8) Y Y

0 X 0 X



9) Y Y

0 X 0 X

10) Y Y

0 X 0 X

11) Y Y

0 X 0 X

12) Y Y



2.7 อนุพันธ์อนัดับสงู

ถ้า y=f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ x จะได้อนุพันธ์คือ

/

0

( ) ( )( ) lim

h

dy f x h f xf x

dx h

เมื่อลิมิตมีค่า เราเรียก / ( )f x ว่า อนุพันธ์อันดับที่หนึ่งของ f(x)

ถ้า / ( )f x มีอนุพันธ์ที่ x จะเรียกอนุพันธ์ของ / ( )f x ว่า อนุพันธ์อันดับที่สองของ f(x)

และเขียนแทนด้วย 2

/ /

2( )

d yf x

dx หรือ / /y

2 / /

/ /

2 0

( ) ( )( ) lim

h

d y f x h f xf x

dx h

เมื่อลิมิตมีค่า โดยทั่วไป

n

n

d y

dx ก็คืออนุพันธ์ของ

1

1

n

n

d y

dx

โดย ( 1) ( 1)

( )

0

( ) ( )( ) lim

n n n

n

n h

d y f x h f xf x

dx h

เมื่อลิมิตมีค่า และ n เป็นจ านวนเต็มบวก

นั่นคือ ถ้า y=f(x)

อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง /

0

( ) ( )( ) lim

h

dy f x h f xf x

dx h


อนุพันธ์อันดับที่สอง 2

/ / /

2( )

d y df x f x

dx dx

อนุพันธ์อันดับที่สาม 3

/ / / / /

3( )

d y df x f x

dx dx

. . .

อนุพันธ์อันดับที่ n ( ) ( 1)( )n

n n

n

d y df x f x

dx dx

ความเร่ง (Acceleration)

ความเรง่ (a) ของวัตถุขณะเวลา t ใด คืออตัราการเปลียนแปลงของความเร็ว (v) เทียบกับเวลา t ใดๆ

ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ตามสมการการเคลื่อนที่ คือ S = f(t) เมื่อ S คือระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในเวลา t จะได้

dva

dt และ dS

vdt

ดังนั้น 2

2

d dS d Sa

dt dt dt

ถ้าความเร่งเปน็จ านวนบวก แสดงว่าเมื่อเวลาเพิ่มขึ้น ความเร็วจะเพิ่มขึ้น และถ้าความเร่งเป็นจ านวนลบ แสดงว่าเมื่อเวลาเพิ่มขึ้น ความเรว็จะลดลง



ตัวอย่างที่ 9 จงหาอนุพันธ์อันดับที่สอง ของฟังก์ชันต่อไปนี้

9.1 3 2( ) 7 8f x x x 9.2 33( ) 2 5f x y

ตัวอย่างที่ 10 จงหาค่า /y และ / /y เมื่อก าหนดคา่ตัวแปรให้ในแต่ละข้อ

10.1 8 2y x เมื่อ x =1 10.2 3

2y x เมื่อ x =0

ตัวอย่างที่ 11 ปล่อยวัตถจุากที่สูงลงสู่พื้นดิน วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง S = 16t2 เมตร ในเวลา t วินาที

จงหา 11.1 ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้หลังจากปล่อยวัตถุไป 5 วินาที

11.2 ความเร็วขณะเวลา t = 3 วินาที

11.3 ความเร่งขณะเวลา t ใดๆ

11.4 ความเร่งขณะเวลา t = 10 วินาที



2.8 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย(ฟังก์ชันแฝง) (Implicit Differentiation)

โดยทั่วไป ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ จะสามารถหาสับเซตของ r ที่เป็นฟังก์ชันได้เสมอ เช่น

2 2 9x y เป็นความสัมพันธ์จะได้ว่า 29y x และ 29y x เป็นสับเซตที่เป็นฟังก์ชัน

ดังนั้นสมการ ( , ) 0f x y อาจก าหนดเป็นฟังก์ชันได้มากกว่า 1 ฟังก์ชัน เรียกฟังก์ชันที่ก าหนดโดย ( , ) 0f x y ว่า อิมพิลสิตฟังก์ชัน (Implicit Function)

การหาอนุพันธ์ของอิมพลิสิตฟังก์ชัน ท าได้โดยหาอนุพันธ์ของทุกๆพจน์ ทั้งสองข้างของสมการ แล้ว

จึงแก้สมการหา dy

dx โดยในการหาอนุพันธ์ให้ถือว่า y= f(x)

ตัวอย่างที่ 12 จงหา dy

dx เมื่อก าหนดฟังก์ชันต่อไปน้ี

12. 1) 2 24 9 36x y

12.2) 2 16 0xy x



ตัวอย่างที่ 13 ก าหนดให้ 5 4 3 23 3 4 0x x y y จงหา dy

dx ที่จุด (-1,1)

ตัวอย่างที่ 14 จงหาความชันของเส้นสัมผัสกราฟ 4 33 4 5 1y y x x ที่จุด (1,-2)

ตัวอย่างที่ 15 จงหาสมการเส้นตั้งฉากกับกราฟ 3 2 5y x ที่จุด (1,2)



แบบฝึกหัดที่ 2.2

1. จงหา 2

2

d y

dx ของฟังก์ชัน

1) 3 3 1x y 2) 2) 22 3xy y

3) 2 23 12x y

4) 3 33 1x xy y

2. จงหาอนุพันธ์ตามที่ระบุในแต่ละข้อ

1) 4 23 2 5; my x x x y

2) 2) (4)1( ) ; ( )f x f x

x

3) 2 / /2 3 ;y x y

4) / /( ) ; ( )1

xf x f x

x

5) ( )1( ) ; ( )nf x f x

x

6) ( )

2

1( ) ; ( )nf x f x

x

7) ( )1( ) ; ( )

3 2

nf x f xx



3. จงหา dy

dx เมื่อก าหนดฟังก์ชันต่อไปนี้

1) 2 28 20x y 2) 1 11

x y

3) 2 2

1 11

x y 4) 8x y

5) 5x y y 6) 3 2 32 1x x y y

7) 2 33 3x y xy x 8) 6 3 4x xy y

9) 2 233 2 20x xy y 10) 4 2

2 29 4 3 1y x x

4. จงหาสมการของเส้นสัมผสัและตั้งฉากของกราฟ 2 23 5x xy y ที่จุด (1,1)

5. ที่จุดใดที่เสน้สัมผัสต่อเส้นโค้ง 2 32y x ตั้งฉากต่อเส้นตรง 4x- 3y +1=0

6.จงหาค่าของ a และ b ส าหรับเส้นโค้ง 2 2x y ay b ถ้าจุด (1,1) อยู่บนกราฟ และสัมผัสที่จุด (1,1) มี

สมการ 4x+3y =7



2.9 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิต ิ

ในการหาสูตรของอนุพันธ์ของ sin x และ cos x จะเกี่ยวข้องกับลิมิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่อยู่ใน

รูปของ 0

sinlimx

x

xและ

0

1 coslimx

x

x

การหาค่าของลิมิตดังกล่าว อาจหาได้จากการพิจารณากราฟ y =sin x และ y = cos x ดังรูป 2.4

y = sin x

y = cos x

รูป 2.4

จะเห็นว่าฟังก์ชัน y = sin x และ y =cos x ต่อเนื่องที่ x =0 และมี 0

limsin 0x

x

และ

0limcos 1x

x

เมื่อพิจารณา sin xy

x จะพบว่าฟังก์ชันไม่นิยามที่ x = 0



แต่เมื่อพิจารณาแสดงค่า y ส าหรับ x ใกล้ๆ 0 และกราฟของ y ตามล าดับ ดังรูป 2.5

x -0.02 -0.005 -0.002 0.002 0.005 0.02 sin x

x 0.999933 0.999996 0.999999 0.999999 0.999996 0.999933

รูป 2.5

จะพบว่า เมื่อ 0x แล้ว sin1

x

x นั่นคือ

0

sinlim 1x

x

x

เช่นเดียวกัน ส าหรัปฟังก์ชัน 1 cos xy

x

ซึ่งไม่นิยามที ่x = 0 เช่นเดียวกัน แต่เมื่อพิจารณาตารางแสดงค่า

y ส าหรับ x ใกล้ๆ 0 และกราฟของ y ตามล าดับดังรูป 2.6

x -0.5 -0.1 -0.01 0.001 0.01 0.5 1 cos x

x

-0.24483 -0.04996 -0.00500 0.00500 0.04996 0.24483

รูป 2.6

จะพบว่า เมื่อ 0x แล้ว 1 cos0

x

x

นั่นคือ

0

1 coslim 0x

x

x



สูตรอนุพันธ์ของ sin x

ส าหรับสูตรอนุพันธ์ของ sin x ใช้สูตรตรีโกณมิติเพิ่มเติมดังนี้

sin sin cos cos sinA B A B A B

จากนิยามจะได้ sind

xdx

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้นจะได้ sin cosd

x xdx



สูตรอนพุันธ์ของ cos x

ส าหรับสูตรอนุพันธ์ของ cos x ใช้สูตรตรีโกณมิติเพิ่มเติมดังน้ี

cos cos cos sin sinA B A B A B

จากนิยามจะได้ cosd

xdx

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้นจะได้ cos sind

x xdx



สูตรอนุพันธ์ของ tan x

โดยใช้ความสัมพันธ์ sintan

cos

xx

x และใช้สูตรอนุพันธ์ผลหารจะได้

tand

xdx

= sin

cos

d x

dx x

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้น tand

xdx

= 2sec x



สูตรอนุพันธ์ของ cot x

โดยใช้ความสัมพันธ์ coscot

sin

xx


cotd

xdx

= cos

sin

d x

dx x

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้น cotd

xdx

= 2cosec x



สูตรอนุพันธ์ของ sec x

โดยใช้ความสัมพันธ์ 1sec

cosx


secd

xdx

= 1

cos

d

dx x

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้น secd

xdx

= sec tanx x



สูตรอนุพันธ์ของ cosec x

โดยใช้ความสัมพันธ์ 1cosec

sinx


cosecd

xdx

= 1

sin

d

dx x

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้น cosecd

xdx

= cosec cotx x



สรุปสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชนัตรีโกณมิตไิด้ดังนี้

1. sin cosd

x xdx

2. cos sind

x xdx

3. 2tan secd

x xdx

4. 2cot cosecd

x xdx

5. sec sec tand

x x xdx

6. cosec cosec cotd

x x xdx

ตัวอย่างที่ 16 ก าหนด 4( ) sinf x x x จงหา / ( )f x

ตัวอย่างที่ 17 ก าหนด sin

1 cos

xy

x

จงหา dy

dx



ตัวอย่างที่ 18 ก าหนด ( ) sec tanf x x x จงหา / ( )f x

ตัวอย่างที่ 19 ก าหนด ( ) secy x x จงหา / / ( )4

y




จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้

1. cos

1 cot

ecxy

x

2. 20cosy x

3. 3sin 5y x x

4. 2cos 3 2y x x

5. 3tan 1y x

6. cot5y x

7. 3 sec2y x x

8. sin 1 cosy x

9. 2 sin 2 cos2 2siny x x x x

10. 2cosy x

11. tan 3y x

จงหา dy

dxของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้

12. 2 25 siny y x

13. tan2

x y

14. sin( )y x y

15. cos sin( )x y x y



2.10 อนุพันธ์ของฟังก์ชนัเอกซ์โปเนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม มีนิยามดังน้ี

นิยาม 2.10.1 ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันในรูป

, log , 0, 1a

f x y R R y x a a

ซึ่งเป็นฟังก์ชันอินเวอร์สกับฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียล

นิยาม 2.10.2 ฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียล คือ ฟังก์ชันในรูป

, , 0, 1xg x y R R y a a a

ซึ่งเป็นฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม มีความสัมพันธ์กันดังนี้

loga

y x ก็ต่อเมื่อ yx a เมื่อ x >0 และ 0, 1a a

และกราฟของ f และ g มีสมมาตรรอบเส้นตรง y=x ดังรูป 2.7 (กรณ ี 0a )

รูป 2.7



สมบัติของฟังก์ชันลอการิทมึ

1. log 1 0a 2. log 1

aa

3. log log loga a aMN M N 4. log log log

a a a

MM N

n

5. log logp

a aM p M 6. 1

log logp aaM M

p

7. loglog

log

b

a

b

MM

a 8. 1

loglog

a

M

Ma

9. log x

aa x 10. loga x

a x

จ านวน e และลอการิทึมธรรมชาต ิ

ลอการิทึมทีส่ าคัญที่สุด ได้แก ่ลอการิทึมสามัญ (Commmon logarithms) ซึ่งมีฐาน 10 และลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithms) ซึ่งมีฐานเป็นจ านวนตรรกยะค่าหน่ึงแทนด้วย e โดยที่

2.71828...e

จ านวน e นี้ถกูค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ ชื่อ เลโอนาร์ด ออยเลอร์ (Leonard Euler) ซึ่งได้แสดงให้เห็นว่า y =e คือ เส้นก ากับตามแนวนอน (Horizontal asymptote) ของกราฟของ

สมการ 11

x

yx

ดังรูป 2.8



รูป 2.8

ซึ่งจะเขียนจ านวน e ในรูปลิมิต ได้เป็น 1lim 1

x

xe

x

หรือเขียนอีกในรูปแบบหนึ่งได้เป็น 1

0lim 1 x

xe x

การค านวณค่า e โดย 1lim 1

x

xe

x

แสดงได้ดังตารางดังนี้

x 1 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 1

xx

2 101 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001

1x

xx

2.000000 2.593742 2.704814 2.716924 2.718146 2.718268 2.718280

ลอการิทึมสามญั นิยมเขียนในรูป log x แทน 10log x

ลอการิทึมธรรมชาติ นิยมเขียนในรูป ln x (อ่านว่า ell en ของ x ) แทน logex

กราฟของ y = ln x มีลักษณะดังรูป 2.9

x 0.25 0.50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y -1.39 -0.69 0 0.69 1.10 1.39 1.61 1.79 1.95 2.0/8 2.20



รูป 2.9

ค่าของ ln x ส าหรับ x บางค่าและสมบัตบิางประการที่ส าคัญดังนี ้

1. ln1 0 2. ln 1e

3. 1ln 1

e 4. ln xe x

5. ln xe x 6. ln ln lnab a b

7. ln ln lna

a bb 8. ln lnca c a

อนุพันธ์ของฟงัก์ชันลอการิทึม

ก าหนดให้ ( ) loga

y f x x

จากนิยามของอนุพันธ์ 0

( ) ( )limx

dy f x x f x

dx x

จะได้ loga

dyx

dx = ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

ดังนั้น loga

dyx

dx = 1

logae

x

และถ้าให้ ( ) log lna

y f x x x

จะได้ loga

dyx

dx = = ………………………………………



หรือ ………………………………………………………………………

ถ้า v เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ของ x แล้ว และอาศัยกฎลูกโซ่จะได้สูตรทัว่ไปส าหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมได้ดังนี ้

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1. 2log 4 3a

y x

2. 2

3log

1

xy

x

3. 23 logy x

4. 3

ln 2 1y x

5. 3ln 2 1y x

6. 3 2ln 2 3 1y x x

7. 2 2 21 ln 1y x x

8. ln sin 4y x

loga

dyu

dx = 1

loga

due

u dx

lndy

udx

= 1 du

u dx




9. 2

2

1ln

1

xy

x

10. sin ln cos lny x x x

11. ln ln3y x

12. ln sec tany

13. sin ln cosy x


14. 2ln(4 ) 2y x x x

15. 1 sinln

1 sin

xy

x

16. 1 ln 1 1y x x

ชื่อ รหัสนักศึกษา บทที่ 3...

Documents

Transcript of ชื่อ รหัสนักศึกษา บทที่ 3...