Languages
Pages
Legal
1
บทท 3
Multivariable Differential Calculus
1. Partial Derivatives2. Differentials and Linear Approximation3. The Chain Rule4. Implicit Differentiation5. Directional Derivatives and Gradient
Midterm Exam6. Maximum and Minimum of Functions7. Lagrange Multipliers
2
Partial Derivatives
ถาให z = f (x, y) เปนฟงกชนคาจรงของ 2 ตวแปรจะนยามอนพนธยอยของ f ทจด (a, b)ดงน
fx(a, b) = limh→0
f (a + h, b)− f (a, b)
h
fy(a, b) = limh→0
f (a, b + h)− f (a, b)
h
สญลกษณสำหรบอนพนธยอยของ z = f (x, y)
fx(x, y) = fx =∂f
∂x=
∂
∂xf (x, y) =
∂z
∂x= f1 = D1f = Dxf
fy(x, y) = fy =∂f
∂y=
∂
∂yf (x, y) =
∂z
∂y= f2 = D2f = Dyf
สำหรบฟงกชน n ตวแปร z = f (x1, x2, . . . , xn)
จะนยามอนพนธยอยเทยบกบ xi ดงน
fi(x1, . . . , xn) = limh→0
f (x1, . . . , xi + h, . . . , xn)− f (x1, . . . , xn)
h
3
ความหมายเชงเรขาคณตของอนพนธยอยสำหรบ z = f (x, y)
• fx คออตราการเปลยนแปลงของ z เทยบกบ x
เมอ y เปนคาคงตว• fx(a, b) เปนความชนของเสนตรงทสมผสกราฟ z = f (x, b) ท x = a
โดยทกราฟ z = f (x, b) เปนรอยตดของผว z = f (x, y) กบระนาบ y = b
• fy มความหมายในทำนองเดยวกน
4
อนพนธยอยอนดบสง (Higher Derivatives)ถา z = f (x, y) แลวอนพนธยอยอนดบสองของ z ไดแก
(fx)x = fxx = f11 =∂
∂x
(∂f
∂x
)=
∂2f
∂x2=
∂2z
∂x2
(fx)y = fxy = f12 =∂
∂y
(∂f
∂x
)=
∂2f
∂y ∂x=
∂2z
∂y ∂x
(fy)x = fyx = f21 =∂
∂x
(∂f
∂y
)=
∂2f
∂x ∂y=
∂2z
∂x ∂y
(fy)y = fyy = f22 =∂
∂y
(∂f
∂y
)=
∂2f
∂y2=
∂2z
∂y2
5
Theorem: (Clairaut’s Theorem)ถาฟงกชน f : R2 → R มอนพนธยอยอนดบสอง fxy
และ fyx ตอเนอง แลว fxy = fyx
ตวอยาง
1. ให f (x, y) = x2y3 + ln√sinx2 + cosx3 จงหา fxy
2. ให f (x, y, z) = xy2z3 + ln(y2 + z2) + ln(x2 + z2) + ln(x2 + y2)
จงหา fxyz
6
Differentials and Linear Approximation
ระนาบสมผส (Tangent Planes)ถา f (x, y) มอนพนธยอยตอเนอง แลวระนาบทสมผสผวz = f (x, y) ทจด (x0, y0, z0) จะมสมการเปน
z − z0 = fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
Linear Approximationf (x, y) ≈ f (a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)
7
ตวอยางให f (x, y) = xexy
1. จงหาสมการระนาบสมผสผว z = f (x, y) ทจด (3, 0, 3)
2. จงประมาณคาของ f (2.8, 0.1)
8
Differentiabilityสำหรบ z = f (x, y) จะให
∆z = f (x +∆x, y +∆y)− f (x, y)
De nitionถา z = f (x, y) แลวจะกลาววา f differentiable ทจด (a, b) เมอ ∆z อยในรป
∆z = fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y
โดยท ε1 → 0 และ ε2 → 0 เมอ (∆x,∆y) → (0, 0)
Theoremถาอนพนธยอย fx และ fy มคาในยานของจด (a, b) และตอเนองทจด (a, b) แลว f differentiable ทจด (a, b)
9
Differentials
• y = f (x) ม differential ของ y เปน
dy = f ′(x)dx
linear approximation ท x = a คอ
f (x) ≈ f (a) + dy
• z = f (x, y) ม total differential ของ z เปน
dz = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy =∂z
∂xdx +
∂z
∂ydy
linear approximation ท (a, b) คอ
f (x, y) ≈ f (a, b) + dz
• f (x1, . . . , xn) ม total differential เปน
df =∂f
∂x1dx1 +
∂f
∂x2dx2 + · · · + ∂f
∂xndxn
linear approximation ท (a1, a2, . . . , an) คอ
f (x1, . . . , xn) ≈ f (a1, . . . , an) + df
10
ตวอยางจงประมาณคาของ √
2.012 + 2.982 + 5.972
11
ตวอยางกรวยกลมตรงใบหนงมรศม 10 cm และมสวนสง 20 cm1. ถาการวดรศมและสวนสงมความคลาดเคลอนไมเกน 0.1 cm
จงหาขอบเขตความคลาดเคลอนของปรมาตรกรวย
2. ถาการวดรศมและสวนสงมความคลาดเคลอนไมเกน a%
และ b% ตามลำดบ จงหาความคลาดเคลอนของปรมาตรกรวย
12
ตวอยางถาการวดความยาวดานของกลองสเหลยมมมฉากใบหนงมความคลาดเคลอนไมเกนดานละ r%
จงหาขอบเขตความคลาดเคลอนของปรมาตรของกลองใบน
13
The Chain Rule
สำหรบฟงกชนตวแปรเดยว ถา y = f (x) และ x = g(t)
dy
dt=
dy
dx
dx
dt
ถาม differentiable function z = f (x1, x2, . . . , xn) ซงx1, x2, . . . , xn ตางเปนฟงกชนของ t จะไดวา
dz
dt=
∂f
∂x1
dx1dt
+∂f
∂x2
dx2dt
+ · · · + ∂f
∂xn
dxndt
14
ตวอยางถา z = x2y + xy2 และ x = cos t, y = sin t
1. จงหา dz
dt
2. จงหา dz
dtเมอ t = 0
15
ตวอยางถาจำนวนโมล n ของแกสชนดหนงสมพนธกบความดน ปรมาตรและอณหภม ตามสมการ
PV = nRT โดยท R เปนคาคงตว
ถาความดนกำลงลดลงในอตรา a% ตอชวโมงปรมาตรกำลงเพมขนในอตรา b% ตอชวโมงและอณหภมกำลงลดลงในอตรา c% ตอชวโมงจงหาอตราการเปลยนแปลงของจำนวนโมลของแกสน
16
ถาม differentiable function u = f (x1, x2, . . . , xn) ซงx1, x2, . . . , xn ตางเปนฟงกชนของ t1, t2, . . . , tm จะไดวา
∂u
∂ti=
∂u
∂x1
∂x1∂ti
+∂u
∂x2
∂x2∂ti
+ · · · + ∂u
∂xn
∂xn∂ti
ตวอยางถา w = ex sin y cos z โดยท x = 2t+1, y = st, z = 3st2
1. จงหา ∂w
∂sและ ∂w
∂t
2. จงหา ∂w
∂sและ ∂w
∂tเมอ s =
π
4และ t = 1
17
ตวอยางถา g(s, t) = f (s2 − t2) และ f differentiableจงแสดงวา t
∂g
∂s+ s
∂g
∂t= 0
18
ตวอยางถา z = f (x, y) มอนพนธอนดบสองตอเนองและ x = r2 + s2, y = 2rs
1. จงหา ∂z
∂r
2. จงหา ∂2z
∂r2
19
Implicit Differentiation
กำหนดให F (x, y) = 0 และสมมตวา y = f (x) จะไดวา
Fxdx
dx+ Fy
dy
dx= 0
∴ dy
dx= −Fx
Fy
ตวอยางกำหนดให y เปนฟงกชนของ x โดย x3 + y3 + 3xy = 0
จงหา dy
dx
20
ให F (x, y, z) = 0 และสมมตวา z = f (x, y) จะไดวา
Fx∂x
∂x+ Fy
∂y
∂x+ Fz
∂z
∂x= 0
∴ ∂z
∂x= −Fx
Fz
ในทำนองเดยวกน ∂z
∂y= −Fy
Fz
ตวอยางกำหนดให x3 + y3 + z3 + 6xyz = 9
จงหา ∂z
∂xและ ∂z
∂yเมอ (x, y, z) = (1, 1, 1)
21
ตวอยางกำหนดให F (x, y, z) = 0 จงแสดงวา1. ∂x
∂y
∂y
∂x= 1
2. ∂z∂x
∂x
∂y
∂y
∂z= −1
22
กำหนดให F (x, y, z) = 0 และ G(x, y, z) = 0
และสมมตวา y และ z เปนฟงกชนของ x จะไดวา
Fxdx
dx+ Fy
dy
dx+ Fz
dz
dx= 0
Gxdx
dx+Gy
dy
dx+Gz
dz
dx= 0
Fy Fz
Gy Gz
dy/dxdz/dx
= −
Fx
Gx
∴ dy
dx= −
∣∣∣∣∣∣Fx Fz
Gx Gz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Fy Fz
Gy Gz
∣∣∣∣∣∣และ dz
dx= −
∣∣∣∣∣∣Fy Fx
Gy Gx
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Fy Fz
Gy Gz
∣∣∣∣∣∣
ถาใชสญลกษณ Jacobian เชน ∂(F,G)
∂(x, y)=
∣∣∣∣∣∣Fx Fy
Gx Gy
∣∣∣∣∣∣จะไดวา
dy
dx= −
∂(F,G)∂(x,z)
∂(F,G)∂(y,z)
และ dz
dx= −
∂(F,G)∂(y,x)
∂(F,G)∂(y,z)
23
ตวอยางกำหนดให y และ z เปนฟงกชนของ x โดยท
x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1 และ x2 + y2 + z2 = 3
1. จงหา dy
dx
2. จงหา dz
dx
24
ตวอยางถา F (x, y, z) = 0 และ G(x, y, z) = 0
จงแสดงวา dx
dy
dy
dz
dz
dx= 1
25
ตวอยางกำหนดให w, x, y, z, มความสมพนธกนดงสมการตอไปน
w2 + x2 + y2 + z2 = 1
w3 + x3 + y3 + z3 = 1 + xyzw
จงหา ∂y
∂xเมอ
1. y, w เปนฟงกชนของ x, z
2. y, z เปนฟงกชนของ x,w
26
ตวอยางในพกดเชงขว เราทราบวา x = r cos θ และ y = r sin θ
• จาก r2 = x2 + y2 จะไดวา ∂r
∂x=
x
r= cos θ
• จาก r =x
cos θจะไดวา ∂r
∂x=
1
cos θ
จงอธบายวาการหาอนพนธขางตนถกตองหรอไม
27
Directional Derivatives and Gradient
Directional Derivatives (อนพนธระบทศทาง)อนพนธยอยของ f (x, y) ในทศ x และ y นยามโดย
fx(x0, y0) = limh→0
f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)
h
fy(x0, y0) = limh→0
f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)
h
อตราการเปลยนแปลงของ f (x, y) ในทศของเวกเตอรหนงหนวย u = ai + bj จะหาไดอยางไร?
28
ตวอยางจงหาอตราการเปลยนแปลงของ f (x, y) = x2y ในทศของ1. u = 1√
2(i + j)
2. u = ai + bj เมอ a2 + b2 = 1
29
De nitiondirectional derivative ของ f ท (x0, y0) ในทศของunit vector u = ai + bj คอ
Duf (x0, y0) = limh→0
f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)
h
• ถา u = i จะไดวา Dif = fx
• ถา u = j จะไดวา Djf = fy
30
Theoremให u = ai + bj เปน unit vectorถา f (x, y) มอนพนธอนดบหนงตอเนอง แลวจะไดวา
Duf (x, y) = fx(x, y)a + fy(x, y)b = (fx, fy) · u
Proof ให g(h) = f (x0 + ha, y0 + hb)
1. จะไดวา
g′(0) = limh→0
g(h)− g(0)
h
= limh→0
f (x0 + ha, y0 + hb)− f (x0, y0)
h= Duf (x, y)
2. โดย Chain Rule
g′(h) =∂f
∂x
dx
dh+∂f
∂y
dy
dh= fx(x, y)a + fy(x, y)b
แทน h = 0 จะไดวา x = x0 และ y = y0 นนคอ
g′(0) = fx(x0, y0)a + fy(x0, y0)b
จากการหา g′(0) ทงสองวธ จะไดขอสรปตามทฤษฎบท
31
Gradient Vector
De nitionใหฟงกชน f (x, y)
นยาม ∇f เปน gradient ของ f โดย
∇f (x, y) =(fx(x, y), fy(x, y)
)Duf (x, y) = ∇f (x, y) · u
• Duf มคาสงสดเทากบ ∥∇f∥ เมอ u อยในทศ ∇f
• Duf มคาตำสดเทากบ −∥∇f∥ เมอ u อยในทศ −∇f
• Duf = 0 เมอ u ตงฉากกบ ∇f
• Duf = ∥∇f∥ cos θ เมอ u ทำมม θ กบ ∇f
32
Level Curves and Tangent Lines
level curves ของฟงกชน f (x, y)
คอ family of curves f (x, y) = c เมอ c เปนคาคงตว
f (x, y) = x2 − y2
เสนตรงทสมผส level curve ของ f (x, y) ทจด (x0, y0)
มสมการเปน
(x− x0, y − y0) · ∇f (x0, y0) = 0
33
ตวอยางจงแสดงวาเสนตรงทสมผสวงร x
2
a2+
y2
b2= 1 ทจด (x0, y0)
จะมสมการเปนxx0a2
+yy0b2
= 1
34
Directional Derivatives and Gradient of f (x, y, z)
De nition
Duf (x0) = limh→0
f (x0 + hu)− f (x0)
h
∇f = (fx, fy, fz)
Duf = ∇f · u
Level Surfaces and Tangent Planes
• level surfaces ของฟงกชน f (x, y, z)
คอ family of surfaces f (x, y, z) = c
• ระนาบทสมผส level surface ของ f ทจด (x0, y0, z0)
มสมการเปน
(x− x0, y − y0, z − z0) · ∇f (x0, y0, z0) = 0
35
ตวอยางจงหาสมการระนาบทสมผส ellipsoid x2 +
y2
4+
z2
9= 3
ทจด (1,−2, 3)
36
ตวอยางจงแสดงวาระนาบทสมผส ellipsoid x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1
ทจด (x0, y0, z0) จะมสมการเปนxx0a2
+yy0b2
+zz0c2
= 1
Top Related