MetodosdeIntegracionporArgimiroArratiaProfesordelDepartamentodeMatem aticasUniversidadSim onBolvarVenezuelaContenido1 Introduccion 12 IntegralesSimples 33 DosMetodosFundamentales 53.1 Sustituci on o Cambio de Variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Integraci on por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 IntegraciondeFuncionesTrigonometricas 114.1 Integrales de la forma_sennxdx y_cosnxdx. . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Integrales de la forma_senmxcosnxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Integrales de la forma_tannxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4 Integrales de la forma_secnxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.5 Integrales de la forma_tanmxsecnxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.6 Integrales de la forma_sen nxcos mxdx con n = m. . . . . . . . . . . . 174.7 Integrales de la forma_sen nxsen mxdx o_cos nxcos mxdx conn = m. . . . . . . . . . . . 185 IntegracionporSustitucionesTrigonometricas 196 IntegraciondeFuncionesRacionales 257 FuncionesHiperbolicasySustitucionesHiperbolicas 338 IntegrandosRacionalizables 378.1 Funciones racionales de potencias fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . 378.2 Funciones racionales de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.3 Funciones racionales del tipoR(x,1 x2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.4 Funciones racionales del tipoR(x,x21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40vvi Contenido8.5 Funciones racionales del tipoR(x,x2+ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 103Integrales 4310 Respuestas 471. Introducci onLa denici on de la integral de una funci on continuafen un intervalo [a, b] como el lmitede las sumas parciales de particiones rectangulares, en smbolos_baf(x) dx =limnn

i=1f(i)xi ,no nos provee de un conjunto de reglas operativas para resolver integrales de manera tanprecisa como lo son el conjunto de reglas para resolver derivadas. Es el Teorema Funda-mental del Calculo que nos da una mejor heurstica para calcular el valor de_baf(x) dx,la cual es el punto de partida de los metodos expuestos aqui: h allese una funci on g tal queg

(x) = f(x); luego_baf(x) dx = g(b)g(a). La funci on g es unica salvo constante aditivay esta denida para todos los valores dex dondef(x) esta denida. Por todo esto y porser nuestro objetivo en estas notas elaborar metodos para hallarg, obviaremos los lmitesde integraci on a y b (por lo que tampoco nos interesar a calcular el valor de_baf(x) dx) y,en general, trabajaremos con la integral indenida_f(x) dxcuya soluci on tiene la formag(x) + C, dondeg es una funci on que satisfaceg

(x) = f(x)(y es esta ultima condici on la que utilizamos para vericar que, en efecto, g es una soluci onde la integral.)El procesodehallarunasoluci onparaunaintegral esloquesedenominaintegraruna funci on o simplemente integraci on. En la expresion_f(x) dx = g(x) +C, la funci onf(x)sellamaintegrando, lafunci ong(x)sellamaprimitivaoantiderivadadefyCeslaconstantedeintegracion, lacualolvidaremosescribirengeneral(ymuchasvecesporrazonesdeespacio). Sinembargo, sedebetenersiemprepresentequesoninnitaslassoluciones de una integral indenida y cualquier par de ellas dieren en una constante.El smbolo_baf(x) dx se atribuye a la inventiva de Leibniz (16461716), quien quisorepresentarconesteunasumainnitaderect angulos, cadaunodealturadadaporel12 Introducci onvalordelafunci onf ybaseinnitamentepeque naodevalorinnitesimal dx. El usoqueLeibnizdioaestos dxfuem asquenotacional: el considerodxcomounavariableavaloresinnitesimalespositivos(enel sentidodeserunn umeropositivomenorquecualquier n umero nito positivo) y oper o con este de igual manera que con cualquier otracantidad numerica para obtener muchas de las f ormulas del calculo diferencial e integralqueconocemoshoy1. Esteusodedxcomocantidadinnitesimal, si biencomorecursonotacional resulta ser tremendamente claricador de muchas f ormulas del C alculo, fue con-troversial por que en su epoca, y hasta mediados del siglo XX, carecio de fundamentaci onmatematica. Esenela no1965cuandoselograreconciliarlaconsideraci ondedxcomocantidad innitesimal con el rigor de las matem aticas: el matematico Abraham Robinson(19181974) demostro formalmente la posibilidad de extender el conjunto de los n umerosreales a un conjunto que incluya las cantidades innitas e innitesimales2.EnvistadeestosresultadospodemostranquilamenteconsiderardxalamaneradeLeibniz, y es as como lo haremos aqui. Esto es, consideramosdx como una variable quetoma valores innitesimales positivos, y su uso en la deducci on de f ormulas para integrarquedamatematicamentejusticado(por ejemplo, enlaseccion3.1cuandoescribimosdu =g

(x) dx,olosduydvenlasintegralesporpartesenlaseccion3.2). Comobonoextra, esperamos que del conocimiento de este avance de la matematica moderna, el lectorpuedalibrarsedel traumaqueleresultaal intentar responder lapregunta: Por quedxdx= 1?3. Respuesta: Muy simple! porque se esta dividiendo una cantidad innitesimalno nula por s misma.Otropuntoquemereceseraclaradoesel siguiente. Cuandohablamosderesolverla integral para una funci onf,lo que se esta pidiendo en realidad es hallar una primi-tivagparafqueseexpreseenterminosdefuncioneselementales(e.g. composicionesnitas de funciones aritmeticas, trigonometricas, logartmicas, exponenciales, radicales yotrasdeigual estilo). El queestoseaposiblenoestagarantizadoporning unteoremaparafuncionescontinuasy, m asa un, sehademostradoqueexistenfuncionescontinuaselementalesquenoadmitenprimitivasenterminoselementales; porejemplo, lafunci onf(x) = ex2. Estas razones establecen la losofa directriz de los metodos de integraci on:seclasicanlasfuncionesconocidasqueadmitenprimitivaselementalesenclasesseg unun patr on general que sabemos resolver mediante una operaci on especca; cualquier otrafunci onquenopresentelascaractersticasdeloselementosdealgunadelasclaseses-tablecidas, se intenta transformar en un elemento de alguna de estas mediante un n umeronito de manipulaciones. Pero, por lo antes dicho, el exito de este procedimiento no estagarantizado y depende en gran medida de la destreza que s olo se adquiere con la pr actica.En este sentido integrar es un arte.1VeaselaobradeC.Boyer,TheHistoryoftheCalculusanditsConceptual Development,Dover1959,paraunexcelenterecuentodeestapartedelahistoriadelamatematica.2VerA.Robinson,Non-standardAnalysis,NorthHolland,Amsterdam,1966.3Estaesunapreguntaqueconsuetudinariamentemehacenlosestudiantesdecalculo.2. IntegralesSimplesComenzamos con una lista de las funciones que admiten una primitiva simple;estas sonlasquepodemosobtenercomounaaplicaci oninmediatadel TeoremaFundamental delCalculo y nada m as. (Esto es una verdad a medias: las integrales 12 a 15 no entran dentrode este patron; pero las incluimos aqui para completar la lista de integrales cuyo integrandoes una funci on simple. En la seccion 3.1, ejemplo 3.1.6, daremos una justicaci on de ellas.)1. _k dx = kx + C, para todo n umero realk.2. _xdx =x+1+1+ C, para todo n umero real = 1.3. _1x dx = ln |x| + C4. _ekxdx =ekxk+ C, para todo n umerok = 0.5. _akxdx =akxk ln a + C, paraa = 1 yk = 0.6. _sen xdx = cos x + C.7. _ cos xdx =sen x + C8. _ sec2xdx = tan x + C9. _ csc2xdx = cot x + C10. _(sec x)(tan x) dx = sec x + C11. _(csc x)(cot x) dx = csc x + C12. _ tan xdx = ln | sec x| + C = ln | cos x| + C13. _ cot xdx = ln | csc x| + C = ln | sen x| + C14. _ sec xdx = ln | sec x + tan x| + C15. _ csc xdx = ln | csc x + cot x| + C16. _11x2dx =arcsen x + C = arccos x + C, para |x| < 117. _11+x2dx = arctan x + C = arccot x + C34 Simples18. _1xx21 dx =arcsec |x| + C = arccsc |x| + C, para |x| > 119. _senh xdx = cosh x + C20. _ cosh xdx =senh x + C21. _sech2xdx = tanh x + C22. _csch2xdx = coth x + C23. _11+x2dx =arcsenh+ C = ln(x +1 + x2) + C24. _1x21 dx =arccosh x + C = ln(x x21 ) + C, para |x| > 1.25. _11x2dx =___arctanh x =12 ln1+x1x, si |x| < 1arccoth x =12 lnx+1x1, si |x| > 1Anexo a esta tabla de integrales se tienen las siguientes propiedades de la integral quedeben saber manejarse tambien.Propiedad1:_[f(x) g(x)] dx =_f(x) dx _g(x) dxEjemplo2.1_[e2x+ x3] dx =_e2xdx +_x3dx =e2x2+x44+ CPropiedad2:_kf(x) dx = k_f(x) dx, para todok R.Ejemplo2.2_31 + x2dx = 3_11 + x2dx = 3 arctan x + C3. DosMetodosFundamentalesLos metodos de sustitucion e integraci on por partes son la base de todos los dem as metodos.Aquellos son, en esencia, una combinaci on de uno de estos dos, o ambos, mas alg un trucoalgebraico.3.1 Sustituci onoCambiodeVariableSi una integral tiene la forma_f(g(x))g

(x) dxel metodo de sustituci on o cambio de variable consiste en tomaru = g(x)de dondedu = g

(x) dx.Seresuelve_f(u) duyluegodehalladalasoluci on(llamemoslaF(u) + C)sevuelveaponer todo en terminos dex sustituyendou porg(x); es decir,_f(g(x))g

(x) dx = F(g(x)) + C. (3.1)Lajusticaci onde estemetodosebasaenlaregladelacadenaparaladerivadadefuncionescompuestas: Si f ygsonderivablesylacomposici onde f congestabiendenida, entonces, siFes una primitiva def, se tiene(F(g(x)))

= F

(g(x))g

(x) = f(g(x))g

(x),por lo tanto,F(g(x)) es una primitiva def(g(x))g

(x), de donde se obtiene (3.1).Ejemplo3.1.1_31 + 3 sen xcos xdx. Hacemoslasustitucion: u=1 + 3 sen x, yasdu = 3 cos xdx. La integral nos queda:13_u13du =14u43+ C56 M etodosFundamentalesy, por lo tanto,_31 + 3 sen xcos xdx =(1 + 3 sen x)434+ C.Ejemplo3.1.2_x35x4+ 6 dx. Hacemos la sustitucionu = x4+ 6 ydu = 4x3dx. As_x35x4+ 6 dx =14_15u du =14_u15du =516u45+ C =516(x4+ 6)45+ C.Ejemplo3.1.3_xx 5 dx. Hacemos la sustitucion: u =x 5, de donde x = u2+5ydx = 2udu. La integral nos queda:_(u2+ 5)u2udu = 2_(u4+ 5u2) du =25u5+ 103u3+ C.Retornando a la variablex se concluye que_xx 5 dx =25(x 5)52+ 103 (x 5)32+ C.Acontinuaci ontenemostresformulasgeneralesdeintegracionquesonconsecuenciainmediata del metodo de sustituci on o cambio de variable. (En todos los casos considereu = f(x).)F ormulageneral1:_fn(x)f

(x) dx =fn+1(x)n + 1+ C, paran = 1Ejemplo3.1.4 (a)_sen3xcos xdx =sen4x4+ C(b)_arcsen x1 x2dx =_arcsen x11 x2dx =( arcsen x)22+ C(c)_1(ln3x)xdx =_(ln3x)1x dx =ln2x2+ CF ormulageneral2:_ef(x)f

(x) dx = ef(x)+ CEjemplo3.1.5 (a)_ex2xdx =12_ex22xdx =12ex2+ CSustituci on 7(b)_exxdx = 2_ex12x dx = 2ex+ CF ormulageneral3:_f

(x)f(x)dx = ln |f(x)| + CEjemplo3.1.6 (a)_exex+ 1 dx = (1)_exex+ 1 dx = ln |ex+ 1| + C(b)_1 + ln x3 + xln x dx =_x1x + (1) ln x3 + xln xdx = ln |3 + xln x| + C(c)_tan xdx =_sen xcos xdx = (1)_sen xcos xdx = ln | cos x| + C(De manera an aloga se resuelve la integral de cot x.)(d)_sec xdx =_sec xsec x + tan xsec x + tan x dx =_sec xtan x + sec2xsec x + tan xdx= ln | sec x + tan x| + CLa soluci on anterior es la que se ense na con m as frecuencia en los cursos de calculo para laintegral de sec x, y es la que m as rapidamente se olvida. A mi parecer esto es as porque eltruco de multiplicar y dividir el integrando por sec x+tan x es muy poco natural. Por esodare a continuaci on otra soluci on m as natural de esta integral, aunque tal vez al lector nole resulte en este momento as puesto que se utiliza la siguiente separacion de una fracci onde polinomios en otras m as simples:1(1 + a)(1 a)=12_11 + a +11 a_Sin embargo, luego de leer el captulo 6, el lector podr a juzgar mejor sobre la naturalidadde esta solucion.Ejemplo3.1.7_sec xdx =_1cos x dx =_cos xcos2x dx =_cos x1 sen2x dx=_cos x(1 +sen x)(1 sen x) dx =12_ _cos x1 +sen x +cos x1 sen x_dx=12(ln |1 +sen x| ln |1 sen x|) + C =12 ln1 +sen x1 sen x+ C=12 ln1 +sen x1 sen x 1 +sen x1 +sen x+ C =12 ln(1 +sen x)21 sen2x+ C8 M etodosFundamentales=12 ln(1 +sen x)2cos2x+ C = ln1 +sen xcos x+ C= ln | sec x + tan x| + C.Una nota historica:Esta ultima soluci on de la integral de la secante apareci o publicadapor primera vez en la obra Geometrical Lectures de Isaac Barrow (16301677). El interessuscitadoenlaepocadeBarrowporresolverestaintegral sedebioasuutilidadeneltrazado de mapas geogracos, descubierta por Edward Wright (15611615), quien deter-min oqueparatrazarconexactitudenunmapaelparalelodelatitud, sedebetomarcomo distancia de este al ecuador la integral de la secante de.1Ejercicio3.1.1Halle las primitivas de cosecante y cotangente.3.2 Integraci onporPartesLa f ormula de derivaci on para el producto de dos funciones nos proporciona de una f ormula util para resolver integrales cuyo integrando es el producto de dos funciones de naturalezadistintas. Seanfyg funciones sobre la misma variablex y derivables. Entonces(f(x)g(x))

= f

(x)g(x) + f(x)g

(x),por lo quefg es una primitiva def

g + fg

; es decir,f(x)g(x) =_(f(x)g(x))

dx =_f

(x)g(x) dx +_f(x)g

(x) dx,dedondeseobtienelasiguientef ormula,queesloqueseconocecomolaregladeinte-graci on por partes,_f(x)g

(x) dx = f(x)g(x) _f

(x)g(x) dx.Esta f ormula nos dice que la integral de un producto de dos funciones, una f(x) y la otra laderivada de una g(x), no es mas que el producto de fpor g menos la integral del productode la derivada de fpor la funci on g. Una manera de desglosar los calculos y recordar estaregla de integraci on consiste en lo siguiente: dado el problema de resolver_f(x)g

(x) dx,hacemosu = f(x) y dv = g

(x) dx, por lo quedu = f

(x) dx y v = g(x)Luego_f(x)g

(x) dx =_udv = u v _v du= f(x) g(x) _g(x)f

(x) dx1Ver V. F. Rickey,P. M. Tuchinsky,Anapplicationofgeographytomathematics: historyoftheintegralofthesecant,Math. Magazine,533(162166)1980PorPartes 9Ejemplo3.2.1_x2e2xdx. Hacemosu = x2 du = 2xdxdv = e2xdx v =_e2xdx =12e2xAs _x2e2xdx = u v _v du =12x2e2x_xe2xdxVolvemos a integrar por partes_xe2xdx tomandou = x ydv = e2xdx (en consecuenciadu = dx yv =12e2x). Tenemos_xe2xdx =12xe2x_12e2xdx =12xe2x 14e2xFinalmente,_x2e2xdx =12x2e2x_xe2xdx= e2x_12x2 12x + 14_+ CEjemplo3.2.2_excos xdx. Tomemosu = cos x du = sen xdxdv = exdx v =_exdx = exEntonces _excos xdx = excos x +_exsen xdxVolvemos a integrar por partes _exsen xdx tomandou =sen x du = cos xdxdv = exdx v = expara luego obtener_excos xdx = excos x +_exsen xdx= excos x + exsen x _excos xdxHemosobtenido, enel ladoderechodelaigualdad, lamismaintegral quedese abamoscalcular pero con signo opuesto. Sumando_excos xdx a ambos lados de la igualdad ydividiendo entre 2 obtenemos_excos xdx =12ex(cos x +sen x) + C10 M etodosFundamentalesEjemplo3.2.3_cos(ln x) dx. Seau = cos(ln x) du = 1x sen (ln x) dxdv = dx v = xLuego_cos(ln x) dx = xcos(ln x) +_sen (ln x) dxIntegrando nuevamente por partes conu =sen (ln x) ydv = dx se obtiene_cos(ln x) dx = xcos(ln x) + xsen (ln x) _cos(ln x) dxOtravezsepresentael fenomenoqueobservamosenel ejemploanterior: apareceenellado derecho de la igualdadla integral que comenzamos a integrar. . . y ya sabemos quehacer. As,_cos(ln x) dx =12(xcos(ln x) + xsen (ln x)) + C.En este momento podramos preguntarnos si importa c omo se eligen u y dv, cuando seintenta resolver una integral por la f ormula de integraci on por partes. Si nos tom asemoslamolestiadeintegrarenel ejemplo3.2.2tomandou=exydv=cos xdx, entoncesobtendramos lamismasolucion. Intenteahoraintegrar enel ejemplo3.2.1tomandou =exydv=x2dx; severaentoncesqueelprocesodeintegracionnotienen! Paraauxiliarallectorenlacorrectaelecciondequiendebeseruyquiendvexistendiversosrecursos mnemotecnicos en forma de poemas o rezos, para ninguno de los cuales conozcouna demostraci on matematica de su infalibilidad y, por eso, me limitare a recomendar queusesuingenioypractiqueel metododeintegraci onporparteslosucientecomoparadesarrollar su propio criterio de elecci on.Un tipo de funciones que invitan a ser integradas por partes son las inversas de fun-ciones trigonometricas y las logartmicas, ya que sus derivadas son funciones algebraicas.Ejemplo3.2.4En estos ejemplosu es todo el integrando ydv = dx.(a)_arctan xdx = xarctan x _x1 + x2dx (sustituci onw = 1 + x2)= xarctan x 12 ln(1 + x2) + C(b)_arcsen xdx = xarcsen x _x1 x2dx (sustituci onw = 1 x2)= xarcsen x +_1 x2+ C(c)_ln xdx = xln x _x 1x dx = xln x x + C4. Integraci ondeFuncionesTrigonometricasEn este captulo estudiaremos metodos para resolver integrales de productos y potenciasde funciones trigonometricas. Todos consisten, esencialmente, en el metodo de sustituci onjuntoconalgunasidentidadestrigonometricas. Lasidentidadestrigonometricasfunda-mentales que debemos recordar sonsen2x + cos2x = 1 (4.1)sen (x) = sen x (seno es una funci on impar) (4.2)cos(x) = cos x (coseno es una funci on par) (4.3)y las identidades de la suma de dos angulossen (x + y) = sen x cos y +sen y cos x (4.4)cos(x + y) = cos x cos y sen x sen y (4.5)Cualquierotraidentidadqueseanecesariasededuceapartirdeestas,yasiloveremosen la medida que se necesite. El lector debe esforzarse por aprender la manera de obtenerlasnuevasidentidadesapartirde(4.1)(4.5)envezdememorizarlas. Porejemplo(yamanera de calentamiento), las f ormulas para la resta de dos angulos se pueden deducir asi:sen (x y) = sen (x + (y)) =sen x cos(y) +sen (y) cos x (por (4.4))= sen x cos y sen y cos x (por (4.2) y (4.3))ycos(x y) = cos(x + (y)) = cos x cos(y) sen x sen (y) (por (4.5))= cos x cos y +sen x sen y (por (4.2) y (4.3))4.1 Integralesdelaforma_sennxdx y_cosnx dx.Caso4.1.1nespar. Usamos las identidadessen2x =1 cos 2x2y cos2x =1 + cos 2x2(4.6)1112 FuncionesTrigonom etricaslas cuales se deducen combinando las identidades:cos 2x = cos2x sen2x (tomex = y en (4.5)) y sen2x + cos2x = 1de la siguiente maneracos 2x = cos2x sen2x = (1 sen2x) sen2x = 1 2 sen2xycos 2x = cos2x sen2x = cos2x (1 cos2x) = 2 cos2x 1.Luego de realizada la sustituci on trigonometrica adecuada,se desarrolla el polinomio desenosocosenosyseresuelvencadaunodelossumandos: losdepotenciaparporestemetodo y los de potencia impar por el metodo que se explica en el caso 4.1.2.Ejemplo4.1.1_sen4xdx =_( sen2x)2dx =_ _1 cos 2x2_2dx=14_(1 2 cos 2x + cos22x) dx=14_dx 12_cos 2xdx + 14_cos22xdx=14x 14 sen 2x + 14_1 + cos 4x2dx=14x 14 sen 2x + 18x +132 sen 4x + CEjemplo4.1.2_cos2xdx =_1 + cos 2x2dx =12x + 14 sen 2x + CCaso4.1.2n es impar.Descomponemos la funcion trigonometrica en dos factores: unode potencia n1 y el otro de potencia 1. Luego empleamos la identidadsen2x+cos2x = 1y el metodo de cambio de variable.Ejemplo4.1.3_sen3xdx =_sen2xsen xdx =_(1 cos2x) sen xdx= cos x _cos2xsen xdxLa ultima integral la resolvemos con el cambio de variableu = cos x ydu = sen xdx:_cos2xsen xdx =_u2du =u33=cos3x3+ CAs_sen3xdx = cos x + cos3x3+ CFuncionesTrigonom etricas 13Ejemplo4.1.4_cos5xdx =_cos4xcos xdx =_(1 sen2x)2cos xdx=_(1 2 sen2x +sen4x) cos xdx= sen x 2_sen2xcos xdx +_sen4xcos xdxtomandou =sen x ydu = cos xdx concluimos_cos5xdx = sen x 2_u2du +_u4du= sen x 23u3+ 15u5+ C= sen x 23 sen3x + 15 sen5x + C4.2 Integralesdelaforma_senmx cosnx dx.Caso4.2.1nymsonpares. Utilizamossimultaneamentelasdosidentidades(4.6)deducidas en 4.1.1 para obtener integrales s olo de cosenos y proceder con cada una con elmetodo que convenga de la seccion 4.1.Ejemplo4.2.1_sen2xcos2xdx =_ _1 cos 2x2__1 + cos 2x2_dx=14_(1 cos22x) dx =14_dx 18_(1 + cos 4x) dx=18x 132 sen 4x + CEjemplo4.2.2_sen2xcos4xdx =_ _1 cos 2x2__1 + cos 2x2_2dx=18_(1 cos 2x)(1 + 2 cos 2x + cos22x) dx=18__dx +_cos 2xdx _cos22xdx _cos32xdx_=18_x + 12 sen 2x _1 + cos 4x2dx _(1 sen22x) cos 2xdx_=116x 164 sen 4x +148 sen32x + C.14 FuncionesTrigonom etricasObservaci on4.2.1Alternativamente estas integrales puedenresolverse expresandosenoenterminosdecoseno(ocosenoenterminosdeseno)mediantelaidentidad sen2x + cos2x=1,setransformaas aunasumadeintegralesdeunasoladelasfuncionestrigonometricasqueseconsideranyseresuelvenseg unloscasosdelaseccion4.1. Enlapr acticaestoresultasermasineciente que la sustituci on simult anea explicada antes, puesto que aumenta las potencias en vezde disminuirlas.Caso4.2.2nomimpar. Se realizan las operaciones expuestas en el caso 4.1.2 para lafunci on de potencia impar.Ejemplo4.2.3_cos3xsen5xdx =_cos2xcos xsen5xdx=_(1 sen2x) cos xsen5xdx =sen6x6sen8x8+ C(complete usted los pasos intermedios).Ejemplo4.2.4_sen3xcos2xdx =_sen2xsen xcos2xdx=_(1 cos2x) sen xcos2xdx =cos5x5 cos3x3+ C.4.3 Integralesdelaforma_tannx dx.Para todon 2, realizamos la descomposiciontannx = tan2xtann2x,sustituimos tan2x por sec2x 1 y resolvemos por el metodo de cambio de variable. (Re-cuerde que tan2x + 1 = sec2x, la cual se obtiene dividiendo (4.1) por cos2x.)Ejemplo4.3.1_tan3xdx =_tan2xtan xdx =_(sec2x 1) tan xdx=tan2x2+ ln | cos x| + C.Ejemplo4.3.2_tan4xdx =_tan2xtan2xdx =_(sec2x 1) tan2xdx=_tan2xsec2xdx _(sec2x 1) dx =tan3x3tan x + x + C.FuncionesTrigonom etricas 154.4 Integralesdelaforma_secnx dx.Caso4.4.1nespar. Se realiza la descomposicionsecnx = sec2xsecn2x,se utiliza la identidad sec2x = tan2x + 1 y el metodo de cambio de variable.Ejemplo4.4.1_sec4xdx =_sec2xsec2xdx =_(1 + tan2x) sec2xdx=_sec2xdx +_tan2xsec2xdx = tan x + tan3x3+ C.Caso4.4.2nesimpar. Se realiza la descomposicionsecnx = sec2xsecn2xy se integra por partes.Ejemplo4.4.2(Lasiguienteesunadelasintegralesmaspopularesencualquiercursode Calculo.)_sec3xdx =_sec xsec2xdx.Seanu = sec x du = sec xtan xdxdv = sec2xdx v = tan xentonces_sec3xdx = sec xtan x _tan2xsec xdx= sec xtan x _(sec2x 1) sec xdx= sec xtan x _sec3xdx +_sec xdxsumando _ sec3xdx a ambos lados de la igualdad y dividiendo entre 2 concluimos:_sec3xdx =12 (sec xtan x + ln | sec x + tan x|) + C.16 FuncionesTrigonom etricasLas integrales de la forma_cotnxdx y_cscnxdxse resuelven de manera analoga a los casos 4.3 y 4.4, empleando por supuesto las identi-dades trigonometricas apropiadas y recordando que(cot x)

= csc2x y (csc x)

= csc xcot x.Por ejemplo, resuelvase_cot43xdx y_csc6xdx.Nota: En el captulo 7 se deduce una f ormula general para _ secnxdx utilizando otros metodos.4.5 Integralesdelaforma_tanmx secnx dx.Caso4.5.1nespar. Hacemos la siguiente descomposicionsecnx = secn2xsec2x = (sec2x)n22sec2x= (tan2x + 1)n22sec2xy luego realizamos un cambio de variablez = tan xde manera que la integral original se transforma en una integral polin omica sencilla.Ejemplo4.5.1_tan2xsec4xdx =_tan2xsec2xsec2xdx=_tan2x(tan2x + 1) sec2xdx.Seaz = tan x, por lo tanto,dz = sec2xdx. Entonces,_tan2xsec4xdx =_z2(z2+ 1) dz =z55+z33+ C=tan5x5+ tan3x3+ C.Caso4.5.2mesimpar. Hacemos la siguiente descomposiciontanmxsecnx = tanm1xsecn1xtan xsec x= (tan2x)m12secn1xtan xsec x= (sec2x 1)m12secn1xtan xsec xFuncionesTrigonom etricas 17y luego realizamos un cambio de variableu = sec xde manera que la integral original se transforma en una integral polin omica sencilla.Ejemplo4.5.2_tan3xsec3xdx =_tan2xsec2xtan xsec xdx=_(sec2x 1) sec2xtan xsec xdx.Seau = sec x; por lo tantodu = sec xtan xdx. Luego_tan3xsec3xdx =_(u21)u2du =u55u33+ C=sec55 sec3x3+ C.Caso4.5.3nesimparymespar. Expresamoslaintegral original enterminosdesec x solamente por medio de la transformaci ontanmx = (tan2x)m2= (sec2x 1)m2para luego resolver por el metodo de integraci on por partes como se hizo en 4.4.2.Ejemplo4.5.3_tan2xsec xdx =_(sec2x 1) sec xdx =_sec3xdx _sec xdx=12(sec xtan x + ln | sec x + tan x|) ln | sec x + tan x| + C=12(sec xtan x ln | sec x + tan x|) + C.Ejercicio4.5.1Resolver _ tan4xsec3xdx.4.6 Integralesdelaforma_sen nx cos mxdx con n = m.Utilizamos la identidadsen nxcos mx =12( sen (n + m)x +sen (n m)x)la cual se obtiene al sumar las identidadessen (n + m)x = sen nxcos mx +sen mxcos nxsen (n m)x = sen nxcos mx sen mxcos nx.18 FuncionesTrigonom etricasEjemplo4.6.1_sen 4xcos 5xdx =_12( sen 9x +sen (1)x) dx=12_cos x cos 9x9_+ C.4.7 Integralesdelaforma_sen nx sen mxdx o_cos nx cos mxdx conn = m.Utilizamos las identidadessen nxsen mx =12(cos(n m)x cos(n + m)x) (4.7)cos nxcos mx =12(cos(n m)x + cos(n + m)x). (4.8)las cuales se obtienen de las identidades basicascos(n + m)x = cos nxcos mx sen mxsen nx (4.9)cos(n m)x = cos nxcos mx +sen mxsen nx. (4.10)Sumando (4.9) + (4.10) obtenemos (4.8), restando (4.10) (4.9) obtenemos (4.7).Ejemplo4.7.1_sen 10xsen 2xdx =_12(cos 8x cos 12x) dx=12_ sen 8x8sen 12x12_+ C.Ejemplo4.7.2_cos(5)xcos 3xdx =_12(cos(2)x + cos 8x) dx=12_ sen 2x2+sen 8x8_+ C.5. Integraci onporSustitucionesTrigonometricasSi un integrando contiene una expresi on de la forma_a2b2x2,_a2+ b2x2o_b2x2a2dondea>0yb >0, unasustituci ontrigonometricaadecuadatransformalaintegraloriginalenunaquecontienefuncionestrigonometricas,masfacilderesolverengeneral.Las sustituciones adecuadas son:Si se tiene(i) a2b2x2hacemos x =ab sen t;(ii) a2+ b2x2hacemos x =ab tan t;(iii) b2x2a2hacemos x =ab sec t.Paradevolverelcambiohacemosusodeladenici ongeometricadelasfuncionestrigo-nometricas: en un tri angulo rect angulo sit es la medida del angulo de uno de los catetosa la hipotenusa,entonces sen t =cateto opuestohipotenusa,cos t =cateto adyacentehipotenusa,y las demasfuncionestrigonometricassedenencombinandoadecuadamenteestasdos(e.g. tan t =sen tcos t=cateto opuestocateto adyacente). Los detalles se ilustran en los siguientes ejemplos.Ejemplo5.1_9 x2xdx.Seax = 3 sen t; en consecuencia,dx = 3 cos t dt. Luego,_9 x2xdx =_9 9 sen2t3 sen t3 cos t dt= 3_1 sen2tsen tcos t dt = 3_cos2tsen tdt= 3_1 sen2tsen tdt = 3_(csc t sen t) dt= 3(cos t ln | csc t + cot t|) + C.1920 SustitucionesTrigonom etricasAhoraretornamosalavariableoriginal delasiguientemanera: Si x=3 sen tentoncesx3=sen t; porlo tanto,enuntri angulo rect angulo conuno desus angulosdemedidatel cateto opuesto al angulot tiene longitudx y la hipotenusa longitud 3. El otro cateto,deacuerdoconelTeoremadePitagoras, esentonces 9 x2. Assetienelasiguientegura:

tx9 x23Este es el tri angulo corrrespondiente a la ecuaci on x = 3 sen t. A partir de este se deducenlas siguientes igualdades: cos t =9x23, csc t =3xy cot t =9x2x. Concluimos entoncesque_9 x2xdx = 3_9 x23ln3x +9 x2x_+ C.Ejemplo5.2_dxx4 + x2.Seax = 2 tan t; en consecuencia,dx = 2 sec2tdt. Luego,_dxx4 + x2=12_sec2tdttan t1 + tan2t=12_sec ttan tdt =12_csc tdt= 12 ln | csc t + cot t| + C.Retornamos a la variable original: si x = 2 tan t entoncesx2= tan t. El tri angulo corres-pondiente a esta ecuacion esSustitucionesTrigonom etricas 21

tx24 + x2por lo tanto csc t =4+x2xy cot t =2x. Finalmente,_dxx4 + x2= 12 ln4 + x2x+ 2x+ C.Ejemplo5.3_dxx225.Seax = 5 sec t , entoncesdx = 5 sec t tan t dt. As_dxx225=_5 sec t tan t25 sec2t 25 dt=_sec t dt = ln | sec t + tan t| + C.Volvemos a la variable original: six = 5 sec t entoncesx5= sec t. Por otra parte, tan2t =sec2t 1 =x225 1. Por lo tanto,_dxx225= lnx5 +x2255+ C.(Observe que no fue necesario dibujar el tri angulo rect angulo correspondiente a la ecuaci onx=5 sec t paraexpresarlasoluci onnal enterminosdelavariablex; simplementeutilizamos una conocida identidad que relaciona la tangente con la secante. Debe entoncesquedar claroquedibujar el tri angulo, correspondientealasustituci ontrigonometricarealizada, es un articio ecaz pero no unico y, a veces, no es el mejor auxilio para devolverlos cambios.)Si la expresi on en el radical es un polinomio de segundo grado,ax2+ bx + c, lo trans-formamos en una resta de cuadrados mediante la completacion de cuadrados:ax2+ bx + c =_x +b2a_2_b24ac4a2_.22 SustitucionesTrigonom etricasEjemplo5.4_ _3 2x x2dx.Completamos cuadrados:x22x + 3 = (x2+ 2x 3) = ((x + 1)24) = 4 (x + 1)2Por lo tanto,_ _3 2x x2dx =_ _4 (x + 1)2dxy esta ultima tiene la forma de las integrales estudiadas previamente. Hacemos la susti-tuci onx + 1 = 2 sen dx = 2 cos d.Luego,_ _4 (x + 1)2dx =_ _4 4 sen22 cos d= 4_cos2 d = 2_(1 + cos 2)d = 2 +sen 2 + C.Regresamos a la variable original. Tenemos sen =x+12,por lo que =arcsen _x+12_.Por otra parte, sen 2 = 2 sen cos ycos =_1 sen2 =_4 (x + 1)22(a esta identidad se pudo tambien haber llegado utilizando el tri angulo rect angulo corres-pondiente a la ecuaci onx + 1 = 2 sen ). En consecuencia,_ _3 2x x2dx = 2 arcsen_x + 12_+ 12(x + 1)_4 (x + 1)2+ C.Ejemplo5.5_dx_(5 + 2x + x2)3Completamos cuadrados: x2+ 2x + 5 = (x + 1)2+ 4 y trabajamos con la integral_dx_((x + 1)2+ 4)3Seax + 1 = 2 tan , por lo tanto,dx = 2 sec2d. Entonces_dx_((x + 1)2+ 4)3=_2 sec2_(4 tan2 + 4)3d =14_dsec =14_cos d =14 sen + C.Volvemosalavariableoriginal. El tri angulorect angulocorrespondientealaecuaci ontan =x+12esSustitucionesTrigonom etricas 23

x + 12_(x + 1)2+ 4del cual se deduce quesen =x + 1_(x + 1)2+ 4. Finalmente_dx_(5 + 2x + x2)3=14_x + 1_(x + 1)2+ 4_+ C.24 SustitucionesTrigonom etricas6. Integraci ondeFuncionesRacionalesNos ocuparemos ahora de la integral de funciones de la formap(x)q(x), dondep(x) = xm+ m1xm1+ + 0yq(x) = xn+ n1xn1+ + 0(coni, j R);esdecir, p(x)esunpolinomiodegradomyq(x)esunpolinomiodegradon. Observeque, en ambos polinomios, se asume el coeciente del termino de mayor grado es 1; estosiempre puede tenerse mediante una simple factorizacion. Adem as el caso interesante sepresentacuandom 0.Se tienen cuatro casos.Caso6.1Los factores deq(x) son todos lineales y ninguno se repite. Es decir,q(x) = (x a1)(x a2) (x an), conai = aj, siempre quei = j.En ese caso escribimosp(x)q(x)=A1x a1+A2x a2+ +Anx an(6.1)=A1(x a2) (x an) + + An(x a1) (x an1)(x a1)(x a2) (x an)dondeA1, A2, . . . , Ansonn umerosrealesquesedeterminanigualandonumeradoresyresolviendolasecuacionesqueseobtienen,paradistintosvaloresarbitrariosdex,comose ilustra en el siguiente ejemplo.1VerM.Spivak,Calculus,editorialReverteS.A.,1978,paraunademostraciondeeseresultadoFuncionesRacionales 27Ejemplo6.3_x + 1x24dx. Factorizamos el denominador:q(x) = x24 = (x 2)(x + 2) (factores lineales distintos)De acuerdo con lo explicado escribimosx + 1x24=Ax 2 +Bx + 2=A(x + 2) + B(x 2)(x 2)(x + 2)Como los denominadores son iguales, igualamos numeradoresx + 1 = A(x + 2) + B(x 2)y asignando valores arbitrarios ax (preferiblemente que anulen alg un factor) obtenemosparax = 2 B =14parax = 2 A =34por lo tanto_x + 1x24dx =_Ax 2 dx +_Bx + 2 dx =34_dxx 2 + 14_dxx + 2=34 ln |x 2| + 14 ln |x + 2| + CObservaci on6.2Otra manera de calcular los coecientesA1,. . . , Anse basa en la siguienteobservacion sobre la derivada deq(x). Puesto queq(x) = (x a1)(x a2) (x an)donde ninguno de los factores se repite, su derivada tiene la formaq

(x) = (x a2) (x an) + (x a1) (x an) + + (x a1) (x an1)=n

i=1

j=i(x aj)Por otra parte, siA1x a1+A2x a2+ +Anx an=p(x)q(x)entonces, multiplicando ambos lados porq(x), tenemosA1

j=1(x aj) + A2

j=2(x aj) + + An

j=n(x aj) = p(x)28 FuncionesRacionalesObservandoque, paracadai=1, . . . , n, el productodefactoreslinealesqueacompa naaAiesexactamente eliesimo sumando deq

(x), concluimos que, para cadai = 1, . . . , n,Ai=p(ai)

j=i(aiaj)=p(ai)q

(ai)(6.2)es decir, el valor de Ai es igual al cociente de p sobre q

, ambos evaluados en ai, la iesima raz delpolinomioq. Esta f ormula para calcular los coecientesAipuede ser mas ventajosa que resolversistemas de ecuaciones lineales, en particular siq(x) es un polinomio de grado muy grande. Comoejemplo calculemos los coecientesA yBdel ejemplo anterior utilizando esta f ormula. Tenemosqueq

(x)=2xy, porlotanto, A=p(2)/q

(2)=3/4yB=p(2)/q

(2)=1/4. Finalmente,tengase en cuenta que en la deduccion de la f ormula (6.2) se utiliz o el queq(x) es un producto defactoreslinealestodosdistintosy,porlotanto,estaf ormulanosirveparacalcularlosAideloscasos que siguen a continuaci on.Caso6.2Los factores deq(x) son todos lineales y algunos se repiten. Supongamos que(x a) es un factor que se repitekveces. Entonces, correspondiente a ese factor habra,en la descomposicion (6.1), la suma de lask fracciones simplesA1(x a)k+A2(x a)k1 + +Ak1(x a)2 +Ak(x a)dondeA1, . . . ,Akson n umeros reales. Luego se procede como en el caso anterior.Ejemplo6.4_x3+ 1(x + 2)(x 1)3dx. Escribimosx3+ 1(x + 2)(x 1)3=Ax + 2 +Bx 1 +C(x 1)2 +D(x 1)3=A(x 1)3+ B(x + 2)(x 1)2+ C(x + 2)(x 1) + D(x + 2)(x + 2)(x 1)3igualamos numeradoresx3+ 1 = A(x 1)3+ B(x + 2)(x 1)2+ C(x + 2)(x 1) + D(x + 2)yobservamosquefacilmenteseobtienenA = 7/27yD= 2/3sievaluamoslaecuacionanteriorenx= 2yx=1respectivamente. Paraobtenerlosotrosdoscoecientesevaluamosx en 0 y en 1 (y damos los valores hallados aA yD), lo cual da las ecuacionesB C = 2272B C =1927de estas ultimas se obtieneB = 7/9 yC = 23/27. Por lo tanto,_x3+ 1(x + 2)(x 1)3dx =727_dxx + 2 + 79_dxx 1 + 2327_dx(x 1)2 + 23_dx(x 1)3=727 ln |x + 2| + 79 ln |x 1| 2327_1x 1_ 13_1x 1_2+ CFuncionesRacionales 29Observaci on6.3En este caso tambien los coecientesA1, . . . ,Ak, que acompa nan a las frac-cionessimplescorrespondientesacadapotenciadelfactor(x a)queserepitekveces,puedencalcularseporunaf ormulaqueenvuelveladerivadadeunafunci on. Veamoscomo. Si q(x)sedescompone en (x a)kh(x), conh(a) = 0, entoncesp(x)q(x)=p(x)(x a)kh(x)=A1(x a)k+A2(x a)k1+ +Ak(x a) +r(x)h(x).Multiplicando por (x a)kobtenemos:p(x)h(x)= A1 + A2(x a) + + Ak(x a)k1+ (x a)k r(x)h(x).De aqui se deduce queA1 =p(a)h(a),A2 =ddx_p(a)h(a)_, . . . ,Ak =1(k 1)!dk1dxk1_p(a)h(a)_.Caso6.3Lafactorizaciondeq(x)contienefactorescuadr aticosirreduciblesquenoserepiten. Enestecasoaldescomponerp(x)/q(x)enunasumadefraccionessimples,porcada factor cuadr atico irreducible de q(x), digamos x2+2bx+c, corresponde una fracci oncuyo denominador es el factor cuadr atico y numerador un polinomio de grado 1 con coe-cientes indeterminados; es decir, una fracci on de la forma:Ax + Bx2+ 2bx + cLuegoseprocedeaigualarnumeradoresyresolverlasecuacionescorrespondientesparadeterminar los coecientes reales, como en el caso anterior.Ejemplo6.5_x3+ x + 1x481dx. Descomponemos el integrando en fracciones simplesx3+ x + 1x481=x3+ x + 1(x 3)(x + 3)(x2+ 9)=Ax 3 +Bx + 3 +Cx + Dx2+ 9y obtenemosx3+ x + 1 = A(x + 3)(x2+ 9) + B(x 3)(x2+ 9) + (Cx + D)(x29)Parax = 3, x = 3, x = 0 yx = 1 se tiene, respectivamente, A = 31/108, B = 29/108,D = (27A27B 1)/9 = 1/18 y C = (40A20B 8D 3)/8 = 4/9. Por lo tanto_x3+ x + 1x481dx =31108_dxx 3 +29108_dxx + 3 + 49_xdxx2+ 9 118_dxx2+ 9=31108 ln |x 3| +29108 ln |x + 3| + 29 ln |x2+ 9| 154 arctan x3 + C(Paralaintegraci ondexx2+9h agaselasustitucionu =x2+ 9; yparalade1x2+9utiliceel metodo de sustituci on trigonometrica o vea la tabla de integrales simples en el captulo2.)30 FuncionesRacionalesCaso6.4La factorizaci on de q(x) contiene factores cuadr aticos irreducibles que se repiten.Supongamosquex2+ 2bx + cesunfactordeq(x)queserepitekveces,entoncesenladescomposicion dep(x)/q(x) en suma de fracciones simples debe tenerse, correspondienteal factor (x2+ 2bx + c)k, la suma de las siguientesk fracciones:A1x + B1(x2+ 2bx + c)k+A2x + B2(x2+ 2bx + c)k1 + +Akx + Bkx2+ 2bx + cdonde A1, B1, . . . , Ak, Bksonn umeros reales aser determinados comoenlos casosanteriores.Ejemplo6.6_x 1x(x2+ 2x + 3)2dx. Reducimos a fracciones simplesx 1x(x2+ 2x + 3)2=Ax+Bx + C(x2+ 2x + 3)2 +Dx + Ex2+ 2x + 3igualando numeradores se sigue quex 1 = A(x2+ 2x + 3)2+ (Bx + C)x + (Dx + E)x(x2+ 2x + 3)= x4(A + D) + x3(4A + 2D + E) + x2(10A + B + 3D + 2E)+x(12A + C + 3E) + 9Aigualandocoecientesyresolviendosimult aneamenteobtenemos A= 1/9, B=1/3,C = 1/3,D = 1/9 yE = 2/9. Por lo tanto,_x 1x(x2+ 2x + 3)2dx = 19_dxx+ 13_x + 1(x2+ 2x + 3)2dx + 19_x + 2x2+ 2x + 3 dxPara resolver_x + 1(x2+ 2x + 3)2dx, multiplicamos numerador y denominador por 2 y hace-mos la sustitucionu = x2+ 2x + 3 (por lo tanto du = (2x + 2) dx). As_x + 1(x2+ 2x + 3)2dx =12_2x + 2(x2+ 2x + 3)2dx =12_duu2= 12u= 12(x2+ 2x + 3)y para resolver_x + 2x2+ 2x + 3 dx =_x + 2(x + 1)2+ 2 dxutilizamosel metododesustituci ontrigonometrico, tomandox + 1= 2 tan ydx=2 sec2 d, lo cual nos da el resultado nal22arctan_x + 12_ln2(x + 1)2+ 2FuncionesRacionales 31Finalmente_x 1x(x2+ 2x + 3)2dx = 19 ln |x| 16_1x2+ 2x + 3_+218arctan_x + 12_ 19 ln2(x + 1)2+ 2+ CNotaadicional Veamosunademostraciondel teoremaquefundamentalosmetodosdeestecaptulo; a saberTeoremadeDescomposicionenFraccionesSimples: Seap(x)q(x)una funci on racional, dondep(x) yq(x) son polinomios con coecientes reales, grado dep(x)< grado deq(x) yq(x) tiene lasiguiente factorizaci on en factores lineales y cuadr aticos irreducibles con multiplicidades respectivaslj(1 j k) yrj(1 j s):q(x) = (x a1)l1 (x ak)lk(x2+ 2b1x + c1)r1 (x2+ 2bsx + cs)rs(6.3)Entoncesp(x)q(x)se puede expresar como la suma de todas las expresiones obtenidas de la siguientemanera: por cada factor (x a)ldeq(x) se tiene una expresi on de la formaA1(x a)l+A2(x a)l1+ +Al(x a)(6.4)con A1,. . . , Al, n umeros reales; y por cada factor (x2+2bx+c)rse tiene una expresion de la formaB1x + C1(x2+ 2bx + c)r+B2x + C2(x2+ 2bx + c)r1+ +Brx + Cr(x2+ 2bx + c)(6.5)(Los dos tipos de fracciones que constituyen las expresiones generales anteriores se llaman simples.)Demostracion: Lo primero que haremos es extender la descomposicion (6.3) deq(x) al conjuntode los n umeros complejos2. En ese caso cada factor cuadratico irreduciblex2+ 2bx + c tiene porraces un n umero complejo + iy su conjugado iy, en consecuencia,q(x) se descomponeen factores lineales asi:q(x) = (x a1)l1 (x ak)lk(x (1 + i1))r1(x (1i1))r1 (6.6) (x (s + is))rs(x (sis))rsVeamos ahora que, para cada uno de los factores de q(x) en (6.6), se tiene una expresi on de la forma(6.4). Sea (x) uno de estos factores lineales y m su multiplicidad. Entonces q(x) = (x)mh(x)conh() = 0 y escribimosp(x)q(x)=p()(x )mh() +p(x)h() p()h(x)h()(x )mh(x)2Asumirequeellectorconocelosn umeroscomplejosysuspropiedades; pero,encasodeduda,puedehallar enM. Spivak, op. cit., todolonecesarioparademostrar las armaciones que hare sobre estosn umerosaqui.32 FuncionesRacionalesClaramente es una raz del polinomio p(x)h() p()h(x) = h()_p(x) h(x)h()_ y, por lo tanto,p(x)h() p()h(x) = h()(x )p1(x), donde p1(x) es un polinomio de grado menor que el gradodeq(x) menos 1 (ya quep1(x) =1(x )_p(x) h(x)h()_(6.7)y el polinomio de la derecha es de grado menor que el grado deq(x)/(x )).Luegop(x)q(x)=p()/h()(x )m+p1(x)(x )m1h(x)SeaA1=p()/h()yasitenemoslaprimerafraccionsimpledelaexpresi oncorrespondientealfactor (x )m. Repetimos el procedimiento anterior con los polinomiosp1(x) y (x )m1h(x)para obtener la siguiente fracci on simple, y asi sucesivamente hasta obtenerlas todas.El pr oximo paso es analizar la descomposicion en fracciones simples, obtenida anteriormente,correspondientealasracescomplejasdeq(x). Sea + iunarazcomplejadeq(x)conmul-tiplicidadr. Vimosqueelconjugadode + i, eln umero i, estambienrazdeq(x)conigual multiplicidadry (x ( + i))(x ( i)) =x2+ 2bx + c,conb = yc =2+ 2,es el correspondiente factor cuadr atico,con coecientes reales,cuyas races son + iy i.Pongamos = + iy = i. Entonces, seg un lo hecho anteriormente, el factor (x )rdaorigen a la expresi onA1(x )r+A2(x )r1+ +Ar(x )y el factor (x )rda origen a la expresi onB1(x )r+B2(x )r1+ +Br(x )Armamos que, para cada j = 1, . . . , r, el n umero Bjes el conjugado de Aj, en notaci on Bj =Aj.Esto es asi puesto que, para cada j, Aj y Bj se obtienen al evaluar el mismo cociente de polinomiospj1(x)h(x)en y, respectivamente (y dondep0 = p,p1se obtiene como en (6.7), etc.). LuegoAj(x )j+Aj(x )j=gj(x)(x2+ 2bx + c)jdonde gj(x) es de grado j y con coecientes reales. En consecuencia gj(x) = (x2+2bx+c)gj1(x)+s(x), donde s(x) es un polinomio de grado 1 con coecientes reales. Sea entonces s(x) = Djx+Ej,conDjyEjreales; en consecuencia,Aj(x )j+Aj(x )j=Djx + Ej(x2+ 2bx + c)j+gj1(x)(x2+ 2bx + c)j1Sirepetimoslascuentasestavezconlafracciongj1/(x2+ 2bx + c)j1(yestoparacadaj)ob-tenemos la descomposicion asociada a los factores cuadr aticos deq(x) deseada. Esto concluye lademostracion del teorema. 27. FuncionesHiperb olicasySustitucionesHiperb olicasLas funciones seno y coseno hiperb olicos se denen porsenh x =exex2y cosh x =ex+ ex2(7.1)Poranalogaconlasfuncionestrigonometricassedenenlatangente, lacotangente, lasecante y la cosecante, respectivamente, comotanh x =exexex+ ex, coth x =ex+ exexex, (7.2)sech x =2ex+ exy csch x =2exex(7.3)A partir de estas deniciones se pueden vericar las siguientes f ormulas de diferenciaci on:d senh xdx= cosh x ,d cosh xdx=senh x,d tanh xdx=sech2x yd coth xdx= csch2xDe estas ecuaciones se obtienen las integrales inmediatas_cosh xdx =senh x ,_senh xdx = cosh x,_sech2xdx = tanh x y_csch2xdx = coth xTambien utilizando las f ormulas (7.1) se verican identidades fundamentales comocosh2x senh2x = 1 (7.4)cosh(x + y) = cosh xcosh y +senh xsenh y (7.5)senh (x + y) =senh xcosh y +senh y cosh x (7.6)Estasidentidadessepuedencombinardeigualmaneraquesehizoconsusan alogastrigonometricas para obtener otras identidades comocosh2x =cosh 2x + 12y senh2x =cosh 2x 123334 FuncionesySustitucionesHiperb olicasy utilizar estas ultimas para resolver integrales de la forma_coshnxdx y_senhnxdxo_coshnxsenhmxdxPodemos proseguir as y desarrollar metodos paralelos a los desarrollados en las secciones(4.1) a la (4.7) del captulo 4 para resolver todo tipo de integrales de funciones hiperb olicas.Noloharemos aqui ysugerimos al lector quedesarrolleesos metodos comoejercicio.Tengase en cuenta, sin embargo, que muchas veces es mas efectivo sustituir las funcioneshiperb olicasqueaparecenenunaintegral porsusdenicionesenterminosdeex, obte-niendose asi integrales de polinomios enexque resultan f aciles de resolver.Ejemplo7.1_1 +senh x1 + cosh xdx =_1 +exex21 +ex+ex2dx =_(2 + exex)ex(2 + ex+ ex)exdx=_(2 + exex)ex2ex+ e2x+ 1dx (sustituci on u = ex)=_2u + u21u(u + 1)2duyesta ultimaesunaintegralquepodemosresolverusandolosmetodosexpuestosenelcaptulo 6.Laanalogadelas funciones hiperb olicas conlas trigonometricas resultademejorutilidadnoparacalcularintegralesdefuncioneshiperb olicas(portodoloantesdicho)sino, m as bien, para calcular integrales de otras funciones (e.g. radicales) cuyas formas su-gieren alguna identidad de funciones hiperb olicas y la consecuente sustitucion hiperb olicaadecuada.Parailustrarloquequeremosdecirconsidere, porejemplo, integrar b2x2a2. Laexpresion b2x2a2sugiere utilizar la sustituci on x =ab cosh u junto con la identidad (7.4)para eliminar la raz y obtener_ _b2x2a2dx =_ab senh u_a2cosh2u a2du =a2b_senh2udu=a2b_ senh 2u4u2_ =a22b ( senh ucosh u u)=a22b_x_x21 arccosh x_+ Crecordando quearccosh x = ln(x +x21) podemos expresar la solucion anterior como_ _b2x2a2dx =a22b_x_x21 ln(x +_x21)_+ CFuncionesySustitucionesHiperb olicas 35An alogamente, paraintegrar b2x2+ a2considereel cambiox=ab senh u, yparaintegrara2b2x2considere x =ab tanh u (para esta ultima se usa 1tanh2u =sech2u).Los detalles los puede desarrollar el lector gui andose con lo realizado en el captulo 5.(Recuerde tambien quearcsenh x = ln(x +_x2+ 1); arctanh x =12 ln 1 + x1 x, si 1