sesion 3_TransformadaFourier(CALCULO4)

8/18/2019 sesion 3_TransformadaFourier(CALCULO4)

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Departamento de Ciencias

SESIÓN 3: TRANSFORMADA DE FOURIER

CÁLCULO 4



2

FUNCIÓN COMPLEJA

Observe en las imágenes, ¿Qué se puede decir que

ocurrió de la madera hasta llegar al mueble?

¿Se conservarán los átomos y partículas materiales?



3

LOGRO DE SESIÓN

08/04/2015

Al concluir la sesión, el estudiante resuelve

problemas haciendo uso de las

Transformadas de Fourier.



Series de Fourier. 4

Transformada de Fourier

Es decir,

Donde

Estas expresiones nos permiten calcular laexpresión F(w) (dominio de la frecuencia) apartir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa

w ww de)(F)t(f t j

21

ww dte)t(f )(F t j

Identidad

de Fourier

Transformada

De Fourier




De la Serie a la Transformada de Fourier

Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular

f(t) siguiente

Solución. La expresión en el dominio del tiempo

de la función es

-p /2 0 p /2

1f(t)

t

t0

t1

t0

)t(f

2

p

2

p

2

p

2

p





Integrando

Usando la fórmula de Euler

Obsérvese que el resultado es igual al obtenido

para cn cuando T , pero multiplicado por T.

w

w w

2/ p

2/ p

t jt j dtedte)t(f )(F

2/ p

2/ p

t j

j1 e

ww

)ee( 2/ p j2/ p j

j1 www

2/ p

)2/ p(sen p)(F

ww

w





En forma Gráfica

-50 0 50

0

0.5

1

F(w) con p=1

w

F ( w )





Tarea. Calcular la Transformada de Fourier de lafunción escalón unitario u(t):

Graficar U(w)=F [u(t)]¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)?¿Cuál es la frecuencia predominante?

u(t)

0

1

t



Encontrar la transformada de Fourier de la función:

00,0

0,

at

t et f

at

0

ˆ dt ee f t iat w w

2222

0

)(

0

)(

1

1)10(

1

w

w

w

w

w

w

w w

w

w

w

ai

a

a

iaia

ia

iaia

ia

e

dt e

t iat ia

9



La transformada de Fourier de una Gaussiana,

exp(-at 2 ), es otra Gaussiana.

2 2

2

{exp( )} exp( )exp( )

exp( / 4 )

at at i t dt

a

w

w

F

t0

2exp( )at

w0

2exp( / 4 )aw

TF

Más adelante lo demostraremos. 10



La función delta de Kronecker y delta de

Dirac

if 0( )

0 if 0

t t

t

t

(t )

,

1 if

0 ifm n

m n

m n

11



La función impulso o delta de Dirac

Recordemos que podemos pensar en la funcióndelta como el límite de una serie de funciones como

la siguiente:

t

f 1(t )

f 2(t )

f m(t ) = m e

f 3(t )

(t )

12

-(mt )2

√



Y recordemos algunas propiedades de la

función

( ) 1t dt

t

(t )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a f t dt t a f a dt f a

exp( ) 2 (

exp[ ( ) ] 2 (

i t d t

i t dt

w w

w w w w

13



Transformada de Fourier de la

(t):

)(t t f 1)(ˆ

dt et f

t i w

w

t

(t )

w

1

w

(w )

Observa que la transformada de Fourier de

f(t) = 1/(2 ) es:

t

)( dt e f ˆ t i

ww

w

21

2

1

Recordemos

14



f t

0 , t T

2

1 , T

2

t T

20 ,

T

2 t

T

2

T

2

T

2

T

2

T

2

2)(ˆ

T

T sen

T f

w

w

w

15



2

,022

,1

2

,0

t T

T t

T

T t

t f

2

2)(ˆ

T

T sen

T f

w

w

w

f t 1

T ∞

dt e f t i1ˆ w

w )( w 2

T ∞

16



Transformada de Fourier de la función coseno

w 0 0w

0 w

0{cos( )}t w Fcos(w 0t )

t

)cos( 0t t f w

dt et f t iw w w )cos(ˆ

0

dt eedt eee t it it i

t it i)()( 00

00

2

1

2

w w w w w

w w

)()(2

2)(ˆ 00 w w w w

w f

)()()(ˆ

00 w w w w w f

17



Transformada de Fourier de la función seno:

)( 0t sent f w

dt et sen f t iw w w )(ˆ

0

dt e

i

ee t it it i

w

w w

2

00

dt eei

t it i

)()( 00

2

1w w w w

)()()(ˆ 00 w w w w w i f

w 0 0w

0

w

sen(w 0t )

t

t)}sen({ 0w F

18



Bibliografía

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