Resolucion de Problemas Matematicos (Vol 2)

8/12/2019 Resolucion de Problemas Matematicos (Vol 2)

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JESS ESCUDERO MARTN(Profesor coordinador)

CARLOS GONZLEZ RODRIGO, NGEL OREJA MARTN,GUILLERMO CASTN BREZNES, JUAN JESS IGLESIAS RUZ

(Alumnos de 4 de ESO)

RESOLUCIN DEPROBLEMAS

MATEMTICOS(VOL 2)

CENTRO DE PROFESORES Y RECURSOSSalamanca 1999


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La serie Documentos curricularesdel Centro de Profesores y Recursos e Sala-manca pretende difundir las experiencias de los profesores con una finalidadprctica y divulgar temas de innovacin educativa, investigacin, desarrollo cu-rricular y materiales didcticos.

C.P.R. Salamanca y los autores

Diseo de cubiertas: Jess Luengo & M ngeles Innella Nern

I.S.B.N.: 84-89005-25-7Depsito Legal: S. 59-1999

Imprime: EUROPA ARTES GRFICAS, S.A. (No lleg a publicarse)


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NDICE

Introduccin 7

Ideas, tendencias, creencias, etc. sobre la resolucin de problemas. 8

Rasgos que caracterizan a los buenos problemas. 11

Pautas a seguir en la resolucin de problemas. 13

Desarrollo de algunas estrategias de resolucin de problemas. 17

Problemas. 29

Soluciones. 103Bibliografa. 137


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Jess Escudero Martn Resolucin de problemas mateamticos (2)

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INTRODUCCIN.

Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada en-cuentra una excusa. (Proverbio chino)

La matemtica ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los escolaresdel mundo entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus hijos comoun sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario; pero la ense-anza no debe ser una tortura, y no seramos buenos profesores si no procur-

ramos, por todos los medios, transformar este sufrimiento en goce, lo cual nosignifica ausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento de estmu-los y de esfuerzos deseados y eficaces. (Puig Adam, 1958)

Matemticas es la nica asignatura que se estudia en todos los pases delmundo y en todos los niveles educativos. Supone un pilar bsico de la enseanzaen todos ellos. La causa fundamental de esa universal presencia hay que buscarlaen que las matemticas constituyen un idioma poderoso, conciso y sin ambige-dades(segn la formulacin del Informe Cockroft, 1985). Ese idioma se preten-de que sea aprendido por nuestros alumnos, hasta conseguir que lo "hablen". Engeneral por medio de la contemplacin de cmo los hacen otros (sus profesores),

y por su aplicacin a situaciones muy sencillas y ajenas a sus vivencias (los ejerci-cios).

La utilizacin de un idioma requiere de unos conocimientos mnimos para poderdesarrollarse, por supuesto. Pero sobre todo se necesitan situaciones que invitena comunicarse por medio de ese idioma, a esforzarse en lograrlo, y, desde luego,de unas tcnicas para hacerlo. En el caso del idioma matemtico, una de las tc-nicas fundamentales de comunicacin son los mtodos de Resolucin de Proble-

mas.


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IDEAS, TENDENCIAS, CREENCIAS, ETC.SOBRE LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS.

La resolucin de problemas es considerada en la actualidad la parte ms esen-cial de la educacin matemtica. Mediante la resolucin de problemas, los estu-diantes experimentan la potencia y utilidad de las Matemticas en el mundo queles rodea.

El prrafo 243 del Informe Cockroftseala en su punto quinto que la en-

seanza de las Matemticas debe considerar la resolucin de problemas,incluyendo la aplicacin de las mismas situaciones de la vida diaria.

El N.C.T.M. de Estados Unidos, declaraba hace ms de diez aos que elobjetivo fundamental de la enseanza de las Matemticas no debera serotro que el de la resolucin de problemas.

En el libro de Hofsdadter, Gdel, Escher y Bach, se dice que las capaci-dades bsicas de la inteligencia se favorecen desde las Matemticas a par-tir de la resolucin de problemas, siempre y cuando stos no sean vistoscomo situaciones que requieran una respuesta nica (conocida previamente

por el profesor que encamina hacia ella), sino como un proceso en el que elalumno estima, hace conjeturas y sugiere explicaciones.

M. de Guzmn(1984) comenta que lo que sobre todo deberamos propor-cionar a nuestros alumnos a travs de las matemticas es la posibilidad dehacerse con hbitos de pensamiento adecuados para la resolucin de pro-blemas matemticos y no matemticos. De qu les puede servir hacer unhueco en su mente en que quepan unos cuantos teoremas y propiedades re-lativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos all hermtica-mente emparedados? A la resolucin de problemas se le ha llamado, conrazn, el corazn de las matemticas, pues ah es donde se puede adquirirel verdadero sabor que ha atrado y atrae a los matemticos de todas laspocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde puedenresultar motivaciones, actitudes, hbitos, ideas para el desarrollo deherramientas, en una palabra, la vida propia de las matemticas.

Santal (1985), gran matemtico espaol y adems muy interesado en sudidctica, seala que ensear matemticas debe ser equivalente a ensear


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a resolver problemas. Estudiar matemticas no debe ser otra cosa quepensar en la solucin de problemas.

En una conferencia pronunciada en 1968 George Polya deca: Est bienjustificado que todos los textos de matemticas, contengan problemas. Losproblemas pueden incluso considerarse como la parte ms esencial de laeducacin matemtica.

En Espaa, el currculodel rea de Matemticas en Primaria y Secundariaconcede extraordinaria importancia al tema dedicndole mucha atencin,

especialmente desde los contenidos de procedimientos y actitudes.

Aunque no es sencillo, y quizs parezca superfluo, para entendernos es inte-resante delimitar, siquiera sea en grandes rasgos, qu es lo que entendemos porproblema. Pero, como la palabra "problema" se usa en contextos diferentes y conmatices diversos, haremos un esfuerzo por clarificar a qu nos referimos.

No aportan mucha claridad las definiciones de los diccionarios generales. Nosacerca ms al sentido de qu es un problema la expresin de "problema de le-tra"que los alumnos emplean con frecuencia: son aquellos que hacen referencia a

contextos ajenos a las matemticas propiamente dichas, los que llevan dentrouna cierta "historia", que se pueden contar. Los que abren las ventanas del aula yhacen un puente (aunque sea frgil) entre las matemticas y la vida.

Pero no es el nico aspecto a destacar. Tambin hay que caracterizar los"problemas" por oposicin a los ejercicios (algo bien conocido por los alumnosporque constituye el ncleo fundamental de su quehacer matemtico).

En los ejercicios se puede decidir con rapidez si se saben resolver o no; setrata de aplicar un algoritmo, que pueden conocer o ignorar. Pero, una vez locali-zado, se aplica y basta. Justamente, la proliferacin de ejercicios en clase dematemticas ha desarrollado y arraigado en los alumnos un sndrome generaliza-do; en cuanto se les plantea una tarea a realizar, tras una somera reflexin, con-testan: "lo s" o "no lo s", segn hayan localizado o no el algoritmo apropiado.Ah acaban, en general, sus elucubraciones.

En los problemas no es evidente el camino a seguir; incluso puede haber va-rios; y desde luego no est codificado y enseado previamente. Hay que apelar aconocimientos dispersos, y no siempre de matemticas; hay que relacionar sabe-res procedentes de campos diferentes, hay que poner a punto relaciones nuevas.


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Por tanto, un "problema" sera una cuestin a la que no es posible contestarpor aplicacin directa de ningn resultado conocido con anterioridad, sino quepara resolverla es preciso poner en juego conocimientos diversos, matemticos ono, y buscar relaciones nuevas entre ellos. Pero adems tiene que ser una cues-tin que nos interese, que nos provoque las ganas de resolverla, una tarea a la queestemos dispuestos a dedicarle tiempo y esfuerzos. Como consecuencia de todoello, una vez resuelta nos proporciona una sensacin considerable de placer. Eincluso, sin haber acabado el proceso, sin haber logrado la solucin, tambin en elproceso de bsqueda, en los avances que vamos realizando, encontraremos unacomponente placentera.

Aunque los rasgos fundamentales de lo que entendemos por problema estndescritos en el prrafo anterior, todava creemos conveniente aadir algunoscomentarios adicionales sobre los mismos:

Los algoritmos que se suelen explicar en clase, o que aparecen en los librosde texto, resuelven grupos enteros de problemas. Lo que pasa es que si nosituamos previamente los problemas a los que responden, estamos dando larespuesta antes de que exista la pregunta. Y en ese contexto no es difcilde adivinar el poco inters con que se recibe la misma.

Las situaciones existen en la realidad. Los problemas los alumbramos noso-tros. Pasan a ese estatus cuando los asumimos como un reto personal y de-cidimos en consecuencia dedicarle tiempo y esfuerzos a procurar resolver-los.

La resolucin de un problema aade algo a lo que ya conocamos; nos pro-porciona relaciones nuevas entre lo que ya sabamos o nos aporta otrospuntos de vista de situaciones ya conocidas. Suponen el aporte de la chispade la creatividad, aquella que aparece de cuando en cuando, y que logra, porutilizar la expresin de Koestler (1983), que dos y dos son cinco.

Resaltemos una vez ms la fuerte componente de compromiso personal en losproblemas, y la importancia que tiene la manera en que se nos presenten para quelo asumamos como tales. Todo ello es de particular inters en la enseanza, por-que de cmo se plantea la cuestin, el contexto en que se site y de la "tecnolo-ga" expositiva utilizada depende, en un porcentaje muy importante, el que unproblema pase a ser considerado como tal por nuestros alumnos.


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5.Parecen a primera vista algo abordable, no dejan bloqueado, sin capa-cidad de reaccin. Y puede pasar que alguna solucin parcial sea sencilla o in-cluso inmediata. Desde un punto de vista psicolgico, slo nos planteamosaquello que somos capaces (o al menos eso creemos) de resolver. Por eso, si unproblema slo lo es para nosotros cuando lo aceptamos como tal, difcil es quenos "embarquemos" en una aventura que nos parezca superior a nuestras fuer-zas.

6.Proporcionan al resolverlos un tipo de placer difcil de explicar peroagradable de experimentar. La componente de placer es fundamental en to-do desafo intelectual, si se quiere que sea asumido con gusto y de manera du-radera. Incluso, en la enseanza, la incorporacin de esos factores a la prcti-ca diaria pueden prefigurar la inclinacin de los estudios futuros. Y no hay queolvidar que las matemticas son de las materias que no dejan indiferente, selas quiere o se las odia (como aparece en mltiples estudios). Por ello ms valeque introduzcamos refuerzos positivos para hacer que aumenten los que lasaprecian.


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PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCINDE PROBLEMAS.

Una vez sealadas las caractersticas de los buenos problemas, hay que refe-rirse a la importancia que tiene resolver problemas en clase. Pensemos, que, comodice Polya (1945) slo los grandes descubrimientos permiten resolver los gran-des problemas, hay, en la solucin de todo problema, un poco de descubrimiento;pero que, si se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad, este

gnero de experiencia, a una determinada edad, puede determinar el gusto del

trabajo intelectual y dejar, tanto en el espritu como en el carcter, una huellaque durar toda una vida.

Para resolver problemas no existen frmulas mgicas; no hay un conjunto deprocedimientos o mtodos que aplicndolos lleven necesariamente a la resolucindel problema (an en el caso de que tenga solucin). Pero de ah no hay que sacaren consecuencia una apreciacin ampliamente difundida en la sociedad: la nicamanera de resolver un problema sea por "ideas luminosas", que se tienen o no setienen.

Es evidente que hay personas que tienen ms capacidad para resolver proble-mas que otras de su misma edad y formacin parecida. Que suelen ser las que

aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de mtodos ymecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los proble-mas. Son los, procesos que se llaman "heursticos": operaciones mentales que semanifiestan tpicamente tiles para resolver problemas. El conocimiento y laprctica de los mismos es justamente el objeto de la resolucin de problemas, yhace que sea una facultad entrenable, un apartado en el que se puede mejorarcon la prctica. Pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de unaforma planificada, con mtodo.

Es ya clsica, y bien conocida, la formulacin que hizo Polya (1945) de las cua-tro etapas esenciales para la resolucin de un problema, que constituyen el puntode arranque de todos los estudios posteriores:

1. Comprender el problema. Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en con-textos escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando los pro-blemas a resolver no son de formulacin estrictamente matemtica. Es ms, es latarea ms difcil, por ejemplo, cuando se ha de hacer un tratamiento infor-mtico: entender cul es el problema que tenemos que abordar, dados los dife-rentes lenguajes que hablan el demandante y el informtico.


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Se debe leer el enunciado despacio. Cules son los datos? (lo que conocemos) Cules son las incgnitas? (lo que buscamos) Hay que tratar de encontrar la relacin entre los datos y las incgnitas. Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situacin.

2. Trazar un plan para resolverlo. Hay que plantearla de una manera flexi-ble y recursiva, alejada del mecanicismo.

Este problema es parecido a otros que ya conocemos? Se puede plantear el problema de otra forma? [Plantear el problema de otra forma

supone una mayor comprensin del enunciado y puede facilitar su resolucin porque despus se puede verms sencillo.]

Imaginar un problema parecido pero ms sencillo. Suponer que el problema ya est resuelto; cmo se relaciona la situacin

de llegada con la de partida? Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?

3. Poner en prctica el plan. Tambin hay que plantearla de una maneraflexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensa-miento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseo del plan y su puestaen prctica.

Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos. Se puede ver claramente que cada paso es correcto? Antes de hacer algo se debe pensar: qu se consigue con esto? [No se trata

de hacer clculos por hacer algo, hay que hacer clculos que lleven a la solucin]

Se debe acompaar cada operacin matemtica de una explicacin contan-do lo que se hace y para qu se hace. [El expresar el proceso de resolucin: a) Aumenta lacomprensin del problema. b) Permite repasar o recorrer el camino desde el principio al fin. c) Ayuda acontrolar la resolucin del problema porque todo esta delante de quien lo resuelve. d) Facilita la valoracindel profesor puesto que es posible analizar los procesos y no slo los resultados.]

Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debevolver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.

4. Comprobar los resultados. Es la ms importante en la vida diaria, porquesupone la confrontacin con contexto del resultado obtenido por el mode-lo del problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad quequeramos resolver.

Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se peda es lo que se haaveriguado.

Debemos fijarnos en la solucin. Parece lgicamente posible? Se puede comprobar la solucin?


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Es posible reducirla a resultados conocidos? Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?

Finalmente, hacemos una recopilacin de las estrategias ms frecuentes quese suelen utilizar en la resolucin de problemas. Segn S. Fernndez (1992) ser-an:

Ensayo-error. Empezar por lo fcil, resolver un problema semejante ms sencillo. Manipular y experimentar manualmente.

Descomponer el problema en pequeos problemas (simplificar). Experimentar y extraer pautas (inducir). Resolver problemas anlogos (analoga). Seguir un mtodo (organizacin). Hacer esquemas, tablas, dibujos (representacin). Hacer recuente (conteo). Utilizar un mtodo de expresin adecuado: verbal, algebraico, grfico, nu-

mrico (codificar, expresin, comunicacin). Cambio de estados. Sacar partido de la simetra. Deducir y sacar conclusiones. Conjeturar. Principio del palomar. Analizar los casos lmite. Reformular el problema. Suponer que no (reduccin al absurdo). Empezar por el final (dar el problema por resuelto).

Para terminar slo queremos hacer dos consideraciones. La primera hace re-ferencia a que el contexto en el que se siten los problemas, que por parte de losprofesores se tienden a considerar como irrelevante o, al menos como poco sig-nificativo, tiene una gran importancia, tanto para determinar el xito o fracaso

en la resolucin de los mismos, como para incidir en el futuro de la relacin entrelas matemticas y los alumnos. La segunda, que parece una perogrullada, es que lanica manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas; es muybueno conocer tcnicas y procedimientos, pero vistos en accin, no slo a nivelterico, porque si no, es un conocimiento vaco. Luego, hay que hacer cuantosesfuerzos sean precisos para que la resolucin de problemas sea el ncleo cen-tral de la enseanza matemtica.


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DESARROLLO DE ALGUNAS ESTRATEGIASDE RESOLUCIN DE PROBLEMAS.

Si consideramos un problema como una situacin que se presenta en la que sesabe ms o menos, o con toda claridad, a dnde se quiere ir, pero no se sabe c-mo; entonces resolver un problema es precisamente aclarar dicha situacin yencontrar algn camino adecuado que lleve a la meta. [Resolver un problema es encontrar uncamino all donde no se conoca previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, de sor-tear un obstculo, conseguir el fin deseado, que no se consigue de forma inmediata, utilizando los medios adecua-dos. (G. Polya)]

A veces no sabremos si la herramienta adecuada para la situacin est entrela coleccin de tcnicas que dominamos o ni siquiera si se ha creado una tcnicaque pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. Esta es preci-samente la circunstancia del investigador, en matemticas y en cualquier otrocampo, y, por otra parte, sta es la situacin en la que nos encontramos a vecesen nuestra vida normal.

La destreza para resolver genuinos problemas es un verdadero arte que seaprende con paciencia y considerable esfuerzo, enfrentndose con tranquilidad,sin angustias, a multitud de problemas diversos, tratando de sacar el mejor par-tido posible de los muchos seguros fracasos iniciales, observando los modos deproceder, comparndolos con los de los expertos y procurando ajustar adecua-damente los procesos de pensamiento a los de ellos. Es la misma forma de trans-misin que la de cualquier otro arte, como el de la pintura, la msica, etc.

Las estrategias que tendremos ocasin de aprender y ejercitar son:

A.Comenzar resolviendo un problema semejante ms fcil.B.Hacer experimentos, observar, busca pautas, regularidades... Hacer conje-

turas. Tratar de demostrarlas.

C.Dibujar una figura, un esquema, un diagrama.D.Escoger un lenguaje adecuado, una notacin apropiada.E.Induccin.F.Supongamos que no es as.G.Supongamos el problema resuelto.H.Si tenemos una receta y estamos seguros de que se ajusta al problema,

aplqumosla.


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A. COMENZAR RESOLVIENDO UN PROBLEMASEMEJANTE MS FCIL.

Esta estrategia se practica en multitud de circunstancias. El nio que aprendea andar en bicicleta no intenta lanzarse cuesta abajo por su cuenta a gran veloci-dad. Empieza con un triciclo para atender primero el problema de los pedales ydel volante. Luego vendr el problema del equilibrio y se ensayar con dos ruedas.Si se aprende a conducir un coche, lo mejor es circular primero despacio, sinnecesidad de cambiar marchas, y en descampado, para poder jugar con el volan-

te. Ya vendrn luego los problemas conduciendo en la calle.En matemticas sucede lo mismo. Si estudiamos derivadas, primero, las hare-

mos sencillas, la de un monomio como x2, ... , luego pasamos a un polinomio y cuan-do sentimos cierta familiaridad con el proceso, nos lanzamos ms lejos.

Un problema puede resultar difcil por su tamao, por tener demasiados ele-mentos que lo hacen enrevesado y oscuro. Para empezar, debemos resolver unproblema semejante lo ms sencillo posible. Luego lo complicaremos hasta llegaral propuesto inicialmente.

Procediendo as, obtenemos varios provechos:

a.De orden psicolgico. Empezamos animndonos con el probable xito.b.De orden racional. En el problema sencillo suelen aparecer, ms transpa-

rentes, principios de solucin que estaban confusos y opacos en medio de lacomplejidad del problema inicial.

c.Manipulacin ms fcil. La manipulacin efectiva en un problema de pocaspiezas es ms fcil que en uno de muchas.

La simplificacin de un problema se puede lograr no slo reduciendo su tama-

o, sino tambin imponiendo alguna condicin adicional que no est en el problemapropuesto. Incluso, aunque parezca al principio que tu simplificacin es demasia-do drstica, se comprueba con frecuencia cmo la ayuda del problema simplifica-do es muy efectiva.

UNA MOSCA ANTOJADIZA. Colocamos sobre la mesa 25 monedas igualesen la siguiente posicin:


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B. HACER EXPERIMENTOS, OBSERVAR, BUSCARPAUTAS, REGULRIDADES, ..., HACER CONJETURAS.

TRATAR DE DEMOSTRARLAS.

En matemticas las buenas ideas surgen muy a menudo a travs de experi-mentos, al igual que en el resto de las ciencias. Pero los experimentos matemti-cos son mucho ms fciles de realizar y menos costosos. Los hay de muy diversostipos:

Ensayos en casos particulares la aparicin de una cierta propiedad. Mirar ciertas figuras, imgenes, dibujos, cambindolas, introduciendo ele-

mentos auxiliares, a fin de enlazar diversas situaciones y de establecerconexiones que sospechamos que existen entre los objetos que manipula-mos.

Con el experimento y la observacin surge la conjetura. Se sigue experimen-tando con nuevos casos, tratando de contrastar, de poner a prueba la conjetura.Si tambin en ellos sucede lo que se barrunta, la conjetura va adquiriendo msfuerza. Si en algn caso no sucede lo que se espera, hay que modificar la conje-

tura inicial hasta dar con una que cubra todos los casos observados. Luego ven-dr la tarea de dar con la razn por la cual la conjetura se verifica siempre, conla demostracin de la conjetura. Entonces se sabr que la conjetura tiene queverificarse en todos los casos posibles.

Los siguientes ejemplos dan una idea de la variedad de experimentos que sepueden llevar a cabo.

NOGALEROS Y NUECES ROTAS. Los 18 socios de la Cofrada de NogalerosUnidos reciben en su local de Villafra de la Sierra a los 11 miembros de la Her-mandad de la Buena Nuez, del pueblo vecino, para hablar de sus problemas comu-

nes. Cuando van a saludarse a Isidro se le ocurri una feliz idea: Aprovechemoscada apretn de manos para partir una nuez. As lo hicieron. Cuntas nuecespudieron partir con sus saludos?

Solucin. Imagina que la cofrada tiene 4 socios y sus visitantes son 3. Haz el diagramade saludos. Ve aumentando el nmero de socios ... Saludos = 18x11 = 198.

UN NMERO MGICO. Se elige un nmero cualquiera de 3 cifras, no todasiguales, por ejemplo 373. Se construye otro ordenando sus cifras de mayor a


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C. DIBUJAR UNA FIGURA, UN ESQUEMA, UN DIAGRAMA.

Las matemticas se comprenden a travs de los sentidos, pues no hay nadaen el intelecto que no haya estado primero en los sentidos. (Aristteles)

Hay muchos problemas que se hacen muy transparentes cuando se logra en-contrar una representacin visual adecuada de los elementos que en l intervie-nen. Pensamos mucho mejor con el apoyo de las imgenes que con el de palabras,nmeros, smbolos solamente.

Por eso es muy aconsejable, a fin de dar con ideas buenas que sirvan pararesolver el problema, esquematizar y dibujar, incluso pintar de colores, para ma-

yor claridad, los elementos que aparecen en la situacin estudiada. La imagen odiagrama que fabriquemos de un problema, debe, de alguna forma sencilla, incor-porar los datos relevantes y suprimir los superfluos que pueden conducir a con-fusin. De esta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entrelos aspectos importantes del problema y de ah muy a menudo, se desprendenluces que clarifican sustancialmente la situacin.

JUGANDO A LAS CARTAS. Las seoras X, Y, Z, una argentina, una espaolay una brasilea, aunque no por este orden, estn jugando a las cartas, sentadasalrededor de una mesa camilla. Cada una ha pasado una carta a la que se sienta asu derecha. La seora Y ha pasado a la argentina. La seora X ha pasado una car-ta a la seora que ha pasado una carta a la brasilea. Cul es la nacionalidad deX, Y y Z?

Solucin. Dibujamos las dos posibilidades de la situacin.Posibilidad A Posibilidad B

X XY Z Z Y

Introduzcamos el dato: "La seora Y ha pasado a la argentina".Posibilidad A Posibilidad B

X X=Arg

Y Z=Arg Z YIntroduzcamos el dato: "La seora X ha pasado una carta a la seora que ha pasadouna carta a la brasilea".

Posibilidad A Posibilidad BX X=Arg

Y Z=Arg=Bra Z Y=BraDescartada Aceptada

Luego: X=Argentina; Y=Brasilea; Z=Espaola.


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D. ESCOGER UN LENGUAJE ADECUADO,UNA NOTACIN APROPIADA.

Usar una buena notacin es muy til en lgebra.

Sucede muchas veces que el ser o no capaz de resolver un problema dependefundamentalmente de que el estilo de pensamiento aplicado sea o no el adecuadoal problema. Por eso hay que pensar bien antes de empezar a trabajar. Serbueno utilizar un lenguaje geomtrico, o bien un simple diagrama, o tal vez ven-dr bien aqu un lenguaje algebraico, o analtico? Tal vez lo que venga bien seauna modelizacin con papel, cartn...?

La adopcin de un modo apropiado de encarar un problema tiene su importan-cia. Lo que es un lenguaje adecuado o un lenguaje inadecuado, se puede entenderen los siguientes ejemplos.

EL MONJE EN LA MONTAA. Un monje decide subir desde su ermita a lamontaa para pasar all la noche orando. Sale de la ermita a las 9 de la maana ydespus de caminar todo el da llega a la cumbre. All pasa la noche y a la maanasiguiente, a las 9 de la maana, emprende el camino a su ermita por el mismo sen-

dero, y a mayor velocidad. Al ir bajando, se pregunta: Habr algn punto delcamino en el que hoy est a la misma hora que estuve ayer?Solucin. Una mente inclinada matemticamente comienza, tal vez, por hacerse una

grfica de la caminata del monje en cada uno de los das. Tiene pocos datos para ello. Selos inventa. Con un poco de trabajo ver, seguramente, la luz...

Una mente menos inclinada matemticamente puede tener la idea de hacer descendera un monje ficticio, en el mismo da que el monje real sube, replicando exactamente elcamino de bajada que el monje real hace al da siguiente. Como salen a la misma hora, esclaro que a alguna hora se encuentran en el camino. Las matemticas estn de sobra.

EL PROBLEMA DE JOSEPHUS. En su libro De Bello Judaico, Hegesipo cuen-ta que cuando los romanos capturaron la ciudad de Jotapat, Josephus y otroscuarenta judos se refugiaron en una cueva. All decidieron los 41 judos suicidar-se antes que entregarse. A Josephus y otro amigo la idea no les gustaba. Propu-sieron hacerlo, pero con orden. Se colocaran en crculo y se iran suicidando con-tando tres a partir de un entusiasta que a toda costa quera ser el primero. Enqu lugares se colocaron Josephus y su amigo para ser los dos ltimos y, una vezen mayora absoluta, decidir que no estaban de acuerdo con la automasacre?


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Solucin. El problema tiene sabor matemtico y se pueden ensayar herramientas ma-temticas. Pero resulta ms sencillo colocar en crculo 41 papelillos con un nmero1,2,3,...,40,41 cada uno y luego ir simulando los suicidios para ver qu dos papelillos quedanlos ltimos. Se colocaron en los lugares 16 y 31.

Naturalmente, que si se quiere obtener un resultado general con m judos que se suici-dan contando de n en n, hay que acudir a consideraciones ms matemticas.

Una vez decidido el modo de pensamiento, hay que dedicar un rato a pensaren la forma concreta de aplicarlo. Normalmente hay que buscar la simplicidad, lasimetra, los elementos que, de una forma ms sencilla, ponen bien en claro lo msrelevante del problema. Si se utiliza un diagrama o un esquema, hay que procurarque ste incorpore lo esencial del problema, sin detalles superfluos que puedenperturbar la comprensin y oscurecer lo verdaderamente importante.

Si el enfoque es algebraico, hay que prestar atencin a la notacin empleada.En lo posible, sta debe representar, de la forma ms cmoda y manejable, losdatos del problema y su posible vinculacin con lo que se busca.

Los siguientes ejemplos ponen de manifiesto la importancia de una eleccinadecuada del lenguaje y de la notacin.

PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. Observemos lasigualdades:1 x 2 x 3 x 4 = 24 = 52- 1

2 x 3 x 4 x 5 = 120 = 112- 13 x 4 x 5 x 6 = 360 = 192- 1

Ser verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos es siempre uncuadrado perfecto menos 1?

Solucin. El producto de cuatro nmeros enteros consecutivos se puede expresar as:a(a+1)(a+2)(a+3) con a entero. Probar que esto es p2-1, con p entero, parece engorroso.

Si M es el centro de los cuatro enteros, su producto es:(M-3/2)(M-1/2)(M+1/2)(M+3/2) = (M2-9/4)(M2-1/4) = (M2-5/4)2-1 y es fcil ver que M2-

5/4 es un entero.Por ejemplo as: M2-5/4 = (x+1/2)2-5/4 = x2+1/4+x-5/4 = x2+x-1.


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E. INDUCCIN.

La induccin matemtica es uno de los mtodos de demostracin utilizadoscon mayor frecuencia en algunos campos de la matemtica.

La idea se entiende con facilidad: Imaginemos delante de nosotros las 28fichas del domin colocadas de pie, en fila india, y de forma que si cae una, caeseguro la siguiente. Un gracioso tira la primera hacia la segunda. Qu pasar?Se caern todas! Esto viene a ser la induccin.

Podemos considerar los nmeros 1, 2, 3, 4, ... como las fichas del domin. Su-ponemos seguro, demostrar, que si uno cualquiera de estos nmeros tiene unacierta propiedad P, entonces tambin el siguiente la tiene. A continuacin nosaseguramos de que el primero, el 1, tiene la propiedad P. Conclusin? Claramentetodos los nmeros naturales tienen la propiedad P. A veces se puede probar queel nmero 25 tiene la propiedad P, pero no el 1. Entonces, claro est, se concluyeque todos, a partir del 25, tienen la propiedad.

Resumiendo, hay dos cosas importantes de las que cerciorarse:

a. Si h tiene la propiedad P, entonces tambin h+1 tiene la propiedad P.

b. El nmero 1 (o tal vez el 25), tiene la propiedad P.

El siguiente ejemplo indica la forma de proceder y es til para practicar.

SUMA DE IMPARES. Demuestre que la suma de los n primeros nmeros na-turales impares es igual a n2. Es decir: 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k2.

Solucin. El nmero 1 tiene la propiedad, pues 1 = 12.Supongamos que k tiene la propiedad, o sea:1+3+5+...+(2k-1) = k2(hiptesis inductiva).La suma de los primeros k+1 impares es: 1+3+5+...+(2k-1)+[2(k+1)-1].Si usamos la hiptesis inductiva, 1+3+5+...+(2k-1)+[2(k+1)-1] =k2+[2(k+1)-1] = k2+2k+1 = (k+1)2y por lo tanto k+1 tiene esa propiedad.

Repasemos el esquema de la demostracin precedente:

Primero comprobamos que la propiedad P era vlida para k=1. Luego demos-tramos que si la propiedad P era cierta para k (hiptesis inductiva) entonces eratambin cierta para k+1. De estas dos cosas concluimos que la propiedad P esverdadera para todos los nmeros naturales.


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F. SUPONGAMOS QUE NO ES AS.

Probablemente las matemticas nos han habituado ya a la siguiente forma derazonar para demostrar que una cierta situacin A es verdadera. Suponemos queno lo es, es decir, que se verifica NO A. Vamos deduciendo correctamente con-secuencias de NO A y nos encontramos, por fin, con una que dice algo absurdo;por ejemplo, que 2=3. Entonces est claro que nuestro punto de partida NO A esfalso. Es decir, que A es verdadero. Este es un proceso de pensamiento muyusual en la resolucin de problemas. Tal vez a travs de una serie de experimen-tos hemos llegado a la conjetura de que se verifica una cierta situacin P.

Cmo demostrar que la conjetura P es cierta? Se parte de NO P y se analizaqu se deduce de ah, tratando de llegar a una contradiccin con algn hecho,principio, teorema o hiptesis que se da por cierto. Si se consigue, se ha termi-nado.

2 NO ES UN NMERO RACIONAL. (*)Solucin. En efecto: Supongamos que (*) es falsa. Tenemos que 2 es un nmero

racional. Es decir: 2 = a/b con a y b enteros. Podemos suponer, adems, que MCD(a,b) =1 (es decir que la fraccin a/b fue simplificada todo lo posible). Se tiene, elevando al cua-

drado que 2b2=a2.Entonces a2es un nmero par. Entonces a es un nmero par. Entonces a = 2k. Entonces

a2= 4k2, entonces b2= 2k2. Entonces b2es par, luego b es par. Pero si a y b son pares,MCD(a,b) es distinto de 1. Contradiccin. Luego, (*) es verdadera.

NMEROS PRIMOS. Demuestre que hay infinitos nmeros primos.Solucin. Supuesta formada una tabla de nmeros primos, sea P el mayor primo obteni-

do. Demostremos que hay un nmero primo mayor que P.El nmero (2@3@5@7@11@...@P)+1 es mayor que P. Si este nmero es primo ya est demos-

trado. Si es compuesto, admitir un divisor primo, y este divisor primo ser mayor que P,pues el nmero en cuestin no es divisible por ninguno de los nmeros primos inferiores aP, ya que en todas las divisiones se obtiene resto igual a 1. Por tanto, no puede haber unnmero finito de nmeros primos.


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G. SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO.

Se aplica muchsimo en construcciones geomtricas.

Un buen modo de descubrir el mejor camino para escalar una montaa, aunqueun poco caro, consiste en colocarse arriba con un helicptero y desde all estu-diar los caminos posibles. En la resolucin de problemas, este procedimiento esbarato y de uso corriente.

SUMAR SU CUADRADO. Buscar un nmero tal que si le sumamos su cuadra-do resulte 30.

Solucin. No sabemos cul es, pero procedemos como si lo supiramos. Lo llamamos x ysabemos que tiene que pasar que x + x2= 30 y ahora nos las ingeniamos para hallar x.

MNIMO RELATIVO. Buscar un valor donde la funcin f(x)=x3-3x+1 tenga unmnimo relativo.

Solucin. No sabemos cul es, ni siquiera sabemos si lo habr, pero procedemos como silo supiramos. Lo llamamos a y sabemos que si en l hay un mnimo, entonces la derivada f'en ese punto es 0. f(a)=3a2-3=0. As slo tenemos que mirar si en a=1 en a=-1 hay un

mnimo relativo.


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H. SI TENEMOS UNA RECETA Y ESTAMOS SEGUROS DEQUE SE AJUSTA AL PROBLEMA, APLQUMOSLA.

Para qu gastar materia gris sin necesidad? Est claro que la matemticaest muy lejos de ser una coleccin de recetas. La matemtica es un ejercicio dela imaginacin y del pensamiento.

Pero si estamos seguros de que un problema cae dentro de un tipo de cuestio-nes que ya has visto antes y para las que tenemos el camino abierto, no hay que

dudar, aplicamos el mtodo, la rutina, la rutina que se ha aprendido. Gracias a lasrutinas, el pensamiento queda libre para ir ms adelante.

Esta estrategia slo tiene sentido, dentro de la actividad matemtica, si vaacompaada de las dems. Despus de mucho indagar, se llega a una ley, una fr-mula, una receta. Usmosla.


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Jess Escudero Martn Resolucin de problemas matemticos (2)

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MENTALES

Problemas para resolver mentalmente, sin lpiz ni papel y en un tiempo prefi-jado, generalmente unos cuantos segundos.

1. DOBLE Y MITAD. Cul es el doble de la mitad del doble de 2?

2. SUMA DE CINCO CONSECUTIVOS. La suma de 5 nmeros naturalesconsecutivos es 2.000. Cunto vale el mayor de ellos?

3. EL GRAN TORNEO. En un torneo de ajedrez por el sistema de liguilla, secelebraron un total de 300 partidas. Cada jugador juega con cada uno de los de-ms una vez solamente. Cuntos jugadores tena el torneo? Cuntas partidas

jug cada jugador?

4. HABLAR BIEN. Cmo debe decirse: siete y cinco son trece o siete mscinco son trece?

5. EL CUENTAKILMETROS. El cuentakilmetros de mi coche muestra 72927km que es un nmero palndromo. Cuntos km debo recorrer, como mnimo para

poder ver otro palndromo en el cuentakilmetros?6. BOLI Y LPIZ. Un bolgrafo cuesta 30 ptas. ms que un lapicero. Las doscosas juntas cuestan 100 ptas. Cunto cuesta cada una?

7. OTRA VEZ EL ORIGINAL. El precio de un cierto artculo estaba rebajadoun 20% para su venta. Qu tanto por ciento debe aumentarse el precio delartculo para que de nuevo tenga el precio original?

8. SABE DIVIDIR? Si divide once millares, once cientos y once entre tres.Qu resto le queda?

9. PARES CONSECUTIVOS. La suma de dos nmeros pares consecutivos es66. Cules son esos nmeros?

10. ESCRIBIENDO A MQUINA. Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 se-gundos mientras Rosa no pulsa ms que 40 en el mismo tiempo. Cunto tiempoemplearn entre las dos para pulsar 360 caracteres en total?


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11. DE DESCUENTOS. Un descuento del 10% y otro del 20%, aplicados suce-sivamente a un artculo, son equivalentes a un descuento, de cunto?

12. FAMILIA COMIENDO. Una familia se rene para comer. Si cada miem-bro de la familia come 6 trozos de chorizo, sobran 5, pero si cada uno come 7faltan 8. Cuntos miembros componen la familia?

13. EN UN MILENIO. Cuntos siglos hay en un milenio?

14. LAS CAJAS. Tenemos tres cajas, individuales y separadas del mismo ta-mao. Dentro de cada caja hay otras dos ms pequeas y en cada una de stasotras cuatro an menores. Cuntas cajas hay en total?

15. AOS BISIESTOS. Cuntos aos bisiestos hay entre el ao 1000 y elao 2000 ambos inclusive?

16. DECEPCIN TRIANGULAR. Cul es el rea del tringulo de lados 94,177 y 83?

17. PIENSE DESPACIO. Qu nmero multiplicado por 3 es los 3/4 de 120?

18. DIVIDIENDO Y SUMANDO. Si Vd. divide 30 por un medio y le suma alresultado 10, cunto le da?

19. EL GANADERO Y EL PIENSO. Un ganadero tiene pienso para alimentaruna vaca durante 27 das y si fuera una oveja para 54 das. Para cuntos dastendra si tuviese que alimentar a la vaca y a la oveja?

20. LOS GRIFOS. Un grifo llena un depsito de agua en una hora. Otro grifollena el mismo depsito en dos horas. En cunto tiempo lo llenarn los dos jun-

tos?21. BUSCANDO, BUSCANDO. Busque un nmero que multiplicado por el do-ble de 3 nos d 5.

22. MULTIPLICANDO. Qu dos nmeros naturales hay que multiplicar entres para que su producto sea 47?


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23. DOCENAS DE SELLOS. Si en una docena hay doce sellos de seis cnti-mos, cuntos sellos de dos cntimos hay en una docena?

24. MLTIPLOS PRIMOS. De todos los mltiplos de un nmero primo, cun-tos son primos?

25. EN ROMANOS. Operando en nmeros romanos, cunto vale C - LXXIX?

26. LA HORA. Qu hora es cuando faltan 90 minutos para la una?

27. SUPERTRUCO DE MAGIA. Piense un nmero del 2 al 9. Multiplquelo por9. Sume los dos dgitos del resultado. Rstele 5. Qu resultado obtendr?

28. PRODUCTO TOTAL. Si AxB=24; BxC=24; CxD=32 y BxD=48, cunto valeAxBxCxD?

29. EL PALO Y LA VARA. Qu altura tiene un palo que es cinco metros mscorto que una vara de doble altura que el palo?

30. PROBABLE COLISIN. Dos lentos trenes van por la misma va en sentido

contrario, uno al encuentro del otro. Les separa una distancia de 87 km. Untren va a 25 km/h y el otro a 35 km/h. A qu distancia estarn un minuto an-tes de colisionar?

31. PAR O IMPAR. El cuadrado de un n natural impar, es par o impar?

32. MEDIO METRO. Qu es mayor medio metro cuadrado o la mitad de unmetro cuadrado?

33. CON CUATRO NUEVES. Cmo se deberan colocar 4 nueves para que

sumen 100?34. CON CUATRO UNOS. Cul es el mayor nmero que puede escribirse concuatro unos?

35. LAS 3 PASTILLAS. Un mdico le receta a Vd. 3 pastillas y le dice que setome una cada media hora. Cuntos minutos le duran a Vd. las pastillas?


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36. GASTANDO. Tena 57 ptas. y me he gastado todas menos 12. Cuntasme quedan?

37. CONTESTE MUY RPIDO. Imagnese participando en una carrera ciclis-ta. Si en un momento determinado adelanta Vd. al segundo, en qu lugar secolocara?

38. CONTESTE EN 2 SEGUNDOS. Imagnese participando en una carreraciclista. Si en un momento determinado adelanta Vd. al ltimo, en qu lugar secolocara?

39. BEBIENDO. Seis hombres beben cerveza en un bar. En total bebieron 21vasos. Si cada uno de ellos ha bebido distinto nmero de vasos, cuntos habebido cada uno?

40. HOYOS Y CANICAS. El otro da jugando a las canicas me sucedi lo si-guiente: si pona una canica en cada hoyo me sobraba una canica y si pona doscanicas en cada hoyo me faltaban dos canicas. Ya no recuerdo cuntas canicastena ni cuntos hoyos haba en el suelo, me podra ayudar Vd.?

41. 120 CON 4 OCHOS. Sabra Vd. escribir 120 con cuatro ochos?

42. EL FRUTERO. El frutero vendi en el mercado, la mitad de los melonesque llevaba ms medio meln. Despus se comi el meln que le qued. Cuntosmelones llev al mercado?

43. CON SEIS UNOS. Escriba 24 con seis unos y las operaciones elementa-les.

44. BORRANDO CIFRAS. Borre 10 cifras del nmero adjunto de manera queel nmero que quede sea lo ms grande posible.

1234512345123451234545. LOS TORNILLOS. En un saco hay 24 kg de tornillos. Cmo podemos pe-sar 9 kg usando una balanza?

46. LAGARTOS Y GORRIN. Cien lagartos y un gorrin, cuntos picos ypatas son?


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59. LAS NUECES. Alicia, Benito, Carlos, David y Enrique conjeturaban sobreel nmero de nueces que haba en un tarro. Alicia deca que 30, Benito pensabaque 28, Carlos conjeturaba que 29, David conjeturaba que 25 y Enrique decaque 26. Dos se equivocaron en una nuez, uno se equivoco en 4, otro en 3 y unoacert. Cuntas nueces haba en el tarro?

60. BUUELOS. A Carlos le encantan los buuelos. Puede comerse 32 en unahora. Su hermano se comera los 32 en 3 horas. En cunto tiempo se comeran32 buuelos entre Carlos y su hermano?

61. EDADES. Las edades del padre y del hijo suman 66. La edad del padre esla edad del hijo invertida. Qu edades tienen? (3 soluciones posibles)

62. NMERO DE 4 CIFRAS. Halle el nmero de cuatro cifras tal que: La 2cifra es menor que la 4. La 4 es 2/3 de la 1. La 1 es 2/3 de la 3. La 3 estriple que la 2.

63. ANIMALES DOMSTICOS. Todos los animales domsticos de mi vecinason perros menos uno y todos son gatos menos uno. Cuntos perros y gatostiene mi vecina?

64. CUMPLEAOS. Cuntos "cumpleaos" puede celebrar una persona queviva 50 aos?

65. LOS PASEOS DEL PERRO. Mi hermano saca a pasear a su perro tresveces al da. Cada paseo dura 13 minutos. Cuntas veces saca a pasear al perroen un ao?

66. EL TONEL. Un tonel lleno de vino tiene un peso de 35 kg. Cuando estlleno hasta la mitad pesa 19 Kg. Cunto pesa el tonel vaco?

67. LOS GATOS. En una habitacin cuadrada hay 2 gatos en cada rincn. En-frente de cada gato hay 2 gatos y al lado de cada gato hay un gato. Cuntosgatos hay en la habitacin?

68. OTRO NMERO DE 4 CIFRAS. Halle el nmero de cuatro cifras tal que:La 1 cifra es 1/3 de la 2. La 3 es la suma de la 1 y la 2. La 4 es tres vecesla 2.


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69. SUMA DE CONSECUTIVAS. Qu tres nmeros consecutivos suman9.000?

70. QUEBRADOS. Qu nmero es 2/3 de la mitad de 1/4 de 240?

71. MS QUEBRADOS. Qu nmero es 2/3 del doble del triple de 5?

72. LOS CAZADORES. Cinco personas cazan 5 animales en 5 das. Cuntaspersonas cazarn un animal en un da?

73. LOS CERDOS. Juan y Benito tienen cerdos. Juan: Si medas 2 cerdos tuyos tendremos el mismo nmero de cerdos.Benito: Si me los das t a m, yo tendr el doble. Cuntoscerdos tiene cada uno?

74. LOS TRESES. Escribo todos los nmeros comprendidos entre 300 y 400.Cuntas veces aparece el dgito 3?

75. LOS SALUDOS. Cuatro personas se saludan con un apretn de manos.Cuntos apretones de manos hubo?

76. LOS PINTORES. Un pintor puede pintar una habitacin en 4 horas. Otropintor puede pintarla en 2 horas. Cunto tardaran si la pintasen trabajando

juntos?

77. LARGO PRODUCTO. Cul es el producto de todos los nmeros enterosno negativos menores que 10?

78. UN EURO. Cmo se puede conseguir exactamente un euro con 50 mone-das? Sin utilizar monedas de 2 cntimos.

79. LA TELA COLOREADA. Un trozo de tela se colorea como sigue: 3/4 par-tes de negro y los 80 cm. restantes de rojo. Cunto mide el trozo de tela?

80. OTRO NMERO. Halle el nmero que es la mitad de 1/4 de 1/10 de 400.

81. CUADRADOS PERFECTOS. Cuntos nmeros que sean cuadrados per-fectos hay entre 1 y 1.000.000, ambos incluidos? Ejemplos:16=4x4, 121=11x11


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82. MENUDA ESCAVADORA. Un hombre tarda una hora encavar un agujero de 2 metros de largo por 2 de ancho por 2 deprofundo. Cunto tiempo tardara el mismo hombre en cavar unagujero de 4 metros de largo por 4 de ancho por 4 de profundo?Se asume que cava a la misma velocidad.

83. LOS NEUMTICOS. Antonio recorri con su bicicleta 300 km. Tres neu-mticos fueron utilizados por igual para recorrer dicha distancia. Cuntoskilmetros fue utilizado cada neumtico?

84. MI ANTIGUO RELOJ. Tengo un reloj de bolsillo que seadelanta 8 minutos al da. Cunto tiempo se adelantar en mediahora?

85. MADERERO CORTADOR. El maderero cobra 5 euros por cortar un troncode madera en dos pedazos. Cunto cobrar por cortarlo en cuatro pedazos?

86. LA RUEDA DE LA BICI. Una rueda de mi bicicleta tiene 21 radios.Cuntos espacios hay entre los radios?

87. CERDOS Y PALOMAS. En una jaula hay 30 ojos y 44 patas. Cuntoscerdos y palomas hay en la jaula?

88. PROBLEMAS DE MATES. Para estimular a su hijo en el estudio de lasmatemticas, un padre acuerda pagar a su hijo 8 cntimos de euro por cadaproblema solucionado correctamente. Tambin, le quitar 5 cntimos por cadaincorrecto. Al final de los 26 problemas quedaron en paz. Cuntos problemassolucion el hijo correctamente?

89. EL PADRE DE LOS HIJOS. Qu ser de Vd. el padre de los hijos delhermano de su padre?

90. SI LA MIRAS. Una casita con dos ventanicos. Si la miras, te pones bizco.

91. POR LOS PIES. Quin es el que bebe por los pies?

92. SUMANDO IMPARES. Encuentre cuatro nmeros impares consecutivoscuya suma sea 80.


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93. EL MAZO. Un mazo de cartas (52 cartas) tiene un grosorde 13 mm. Cunto medir si se le quitan los reyes? Cunto me-dir si se le aaden 4 comodines? Cunto medir si se le quitantodas las cartas cuyo nmero es primo?

94. DE FECHAS. Si del calendario del mes de marzo tacho todas las fechasen las que aparezcan cifras pares, cuntas fechas quedan?

95. LOS DADOS. Tres dados idnticos estn colocados formando unatorre encima de una mesa. La cara inferior de cada dado marca los

mismos puntos que la superior del dado que est debajo. Cuntos pun-tos marca la cara que est en contacto con la mesa? Los puntos de lacara de arriba son 6.

96. DOSES Y CINCOS. El nmero 2000 se obtiene multiplicando slo doses ycincos. Cuntos de cada uno?

97. RECORTANDO. Si recortamos un vrtice de un cuadrado de papel, cun-tos vrtices tendr el polgono resultante?

98. LA SUEGRA DE LA ESPOSA. Qu ser de Vd. la suegra de la esposa desu hermano?

99. HERMANA, ESPOSO E HIJO. Qu ser de Vd. el hijo del marido de suhermana?

100. EL RESTO. Cul es el resto de dividir entre 5 el cociente de dividir 55entre 8?


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LGEBRA

lgebra. Parte de las Matemticas que se dedica en sus aspectos ms ele-mentales, a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Los algoritmos de resolucin de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones hanocupado a muchos matemticos a lo largo de la historia. As, se conoce la exis-tencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos, que datan del ao1900 a. C.. El lenguaje simblico utilizado en estos procesos se atribuye a losrabes.

El arte de plantear ecuaciones

El idioma del lgebra es la ecuacin.Isaac Newton en su manual de lgebra titulado Aritmtica Universalescribi:

Para resolver un problema referente a nmeros o relaciones abstractas de can-tidades basta con traducir dicho problema, del ingls u otra lengua al idioma al-

gebraicoTambin mostr con ejemplos como deba efectuarse dicha traduccin. He

aqu alguno de ellos:

EL COMERCIANTE. Escribimos el enunciado directamente en la tabla:En lengua verncula Usando lgebraUn comerciante tena una cierta

suma de dinero x

El primer ao se gast 100 libras x-100Aument el resto con un tercio

de ste(x-100) + (x-100)/3 = (4x-400)/3

Al ao siguiente volvi a gastar100 libras (4x-400)/3 100 = (4x-700)/3

y aument la suma restante enun tercio de ella

(4x-700)/3 + (4x-700)/9 = (16x-2800)/9

El tercer ao gast de nuevo100 libras (16x-2800)/9 100 = (16x-3700)/9

Despus de que hubo agregadosu tercera parte

(16x-3700)/9 + (16x-3700)/27 = (64x-14800)/27

El capital lleg al doble del inicial (64x-14800)/27 = 2xPara determinar cul es el capital inicial del comerciante no queda ms que resol-ver la ltima ecuacin: 64x-14800=54x 10x=14800 x=1480.


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La solucin de una ecuacin es, con frecuencia, tarea fcil; en cambio, plan-tear la ecuacin a base de los datos de un problema suele ser ms difcil.

Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, entraducir la lengua verncula a la algebraica. Pero el idioma del lgebra es lac-nico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fcil tra-duccin. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad,como se ver.

Los problemas que aparecern a continuacin sern ms o menos originales,por su enunciado, por el procedimiento de resolucin, por la solucin, etc. etc.

No siempre se darn las soluciones de forma algebraica.

101. ENCUESTA SOBRE EL VINO. Se hace una encuesta para saber si esrentable comercializar vino en polvo y vino en cubitos con los siguientes resul-tados: El 72,727272...% de las personas encuestadas no comprara vino en pol-vo y, el 74,594594...% de las personas encuestadas, no comprara vino en cubi-tos. Cul es el nmero mnimo de personas a las que se pas la encuesta?

102. EL MERCADER DE DIAMANTES. Un mercader tiene 56 diamantes, delos cuales unos son gruesos y otros menudos. Este mercader reparti los dia-mantes entre dos vendedores, dndole 40 diamantes a uno y 16 al otro, repar-tindolos de tal forma que, al mismo precio, el que llev 16 diamantes los vendipor 40 doblones, y el que llev 40 diamantes los vendi por 16 doblones. Cmose orden esta venta?

103. LOS 8 PANES Y LAS 8 MONEDAS. Un pastor tiene 5 panes y otro 3panes. Se encuentran con un cazador que no lleva comida. Juntan los 8 panes ylos tres comen partes iguales. Al despedirse, el cazador les deja 8 monedas.Cmo deben repartirse las monedas los pastores?

104. LOS 5 PANES Y LAS 5 MONEDAS. Un pastor tiene 3 panes y otro 2

panes. Se encuentran con un cazador que no lleva comida. Juntan los 5 panes ylos tres comen partes iguales. Al despedirse, el cazador les deja 5 monedas.Cmo deben repartirse las monedas los pastores?

105. EN EL HIPDROMO. Una tarde en el hipdromo de la Zarzuela me ocu-rri algo curioso. En la 1 carrera apuesto por un caballo y la cantidad que tenase ve doblada. Animado por ello, apuesto en la 2 carrera 600 ptas. por un ca-


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ballo y las pierdo. En la 3 carrera vuelvo a doblar mi haber. El la 4 vuelvo aperder 600 ptas. La 5 me permite doblar la cantidad que me quedaba. En la 6pierdo las 600 ptas. que me quedaban. Sabe Vd. con cunto dinero comenc?

106. VACACIONES CON LLUVIA. Durante mis vacaciones llovi 9 das, yhubo 10 maanas y 9 tardes soleadas. Cuando llovi por la maana, la tarde fuesoleada. Cuntos das duraron mis vacaciones?

107. COMO ANILLO AL DEDO. Mi primo Margarito tiene una cantidad fijade anillos y muchas ganas de usarlos todos. Ponindose tres anillos por dedo,

quedaran cuatro dedos desnudos. Pero ponindose un anillo por dedo le sobra-ran ocho anillos. Cuntos anillos y cuntos dedos tiene mi primo Margarito?

108. LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATO. Un vendedor de huevos tienedelante de l seis cestas con 29, 23, 14, 12, 6 y 5 huevos respectivamente. Sivendo esta cesta me quedar el doble de huevos de gallina que de pato. A qucesta se refiere el vendedor?

109. 7 LLENAS, 7 MEDIO LLENAS Y 7 VACAS. Tres hermanos recibie-ron 21 botellas iguales de una partida de vino, de las cuales 7 estaban llenas,otras 7 medio llenas y las restantes 7 vacas. Cmo repartirse las 21 botellasde modo que cada uno reciba el mismo nmero de botellas y la misma cantidadde vino sin destapar las botellas?

110. REPARTO EN LA BODEGA. En una bodega hay dos tipos de botellas,grandes y pequeas. Las grandes contienen doble cantidad vino que las peque-as. Disponemos de 12 botellas grandes, 7 llenas y 5 vacas, as como de 12 bo-tellas pequeas, 7 llenas y 5 vacas. Se desean repartir las 24 botellas entre 3personas, de modo que cada una reciba el mismo nmero de botellas de cadatipo y la misma cantidad de vino. Cmo se podr hacer el reparto?

111. NEGOCIO PARA LOS TRES. Antonio tiene 18 millones de pesetas, Be-nito 12 millones y Carlos 6 millones. Renen su dinero para invertirlo en un ne-gocio. Con el negocio al final del ao, ganan 12 millones de pesetas. Cmo se losrepartirn?

112. LOS BUEYES DEL GRANJERO. Una pradera de 10 Ha. puede alimentara 12 bueyes durante 16 semanas, o a 18 bueyes durante 8 semanas. Cuntos


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bueyes se podrn alimentar en una pradera de 40 Ha. durante 6 semanas, con-siderando que el pasto crece en forma regular todo el tiempo?

113. LA ESCALERA MECNICA (1). Al entrar en el metro, Antonio descen-di por la escalera mecnica, andando al tiempo que la escalera se desplazaba, yalcanz al andn tras 50 pasos. Se le ocurri entonces, subir por la misma esca-lera; es decir, caminando en sentido contrario al desplazamiento de los pelda-os, y alcanz as la parte superior en 125 pasos. Suponiendo que Antonio hizoeste segundo recorrido con una andadura cinco veces ms rpido que la de des-censo, esto es, que el nmero de pasos por unidad de tiempo en un caso y otro

fue de cinco a uno, cuntos escalones sern visibles si la escalera mecnicaparase de funcionar?

114. LA ESCALERA MECNICA (2). Tengo la costumbre de subir andandopor la escalera mecnica del Metro mientras funciona: subo 20 escalones conmi paso y tardo as 60 segundos exactamente; mientras que mi mujer sube so-lamente 16 escalones y tarda 72 segundos. Si maana esa escalera no funciona,cuntos escalones tendra que subir?

115. EL TERREMOTO LEJANO. Hacia el ao 1915, una familia japonesa resi-dente en Madrid, alarmada por los rumores sobre un terremoto ocurrido enTokio, pone un radiograma a esta ciudad a las 8h 30m hora de Madrid, el cualllega a Tokio a las 19h 34m hora de Tokio; pero los parientes de este punto,previendo la intranquilidad, pusieron otro radiograma tranquilizador a las 17h19m de Tokio, que lleg a Madrid 3/4 de hora despus de haber puesto el pri-mero. Se desea saber la diferencia de hora entre Madrid y Tokio y la duracinde transmisin del radiograma. (Los datos numricos son irreales).

116. LAS PERPLEJIDADES DE LA SEORA PACA. La seora Paca solacoger el autobs en una parada de la calle Mayor para ir al mercado. No se pre-ocupaba por los horarios, porque le serva un autobs de la lnea P que uno de la

lnea Q. Saba que de cada uno pasaban seis autobuses por hora y nunca habatenido que esperar mucho.Sin embargo, le sorprenda que muy pocas veces coga un Q. Decidi, pues, lle-var la cuenta del tipo de autobs en que montaba y descubri que viajaba en unautobs Q aproximadamente slo una vez de cada diez.La seora Paca estaba completamente perpleja. Podra Vd. ayudarla a enten-der lo que pasaba?


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117. EL PERRO Y EL GATO. Juntos perro y gato pesan 15 kilos. Si el pesodel can es un nmero impar, y si el macho pesa el doble que la hembra, cuntopesa cada uno?

118. LOS MARINEROS, EL MONO Y LOS COCOS. Tres marineros y unmono arriban, tras un naufragio, a una isla desierta. Durante todo el da se de-dican a recolectar cocos, con los que forman un montn comn. Al llegar la no-che, cansados por el trabajo realizado, se van a dormir dejando para el da si-guiente el reparto de los cocos.Durante la noche, uno de los marineros, desconfiando de los otros, decidehacerse con su parte, procediendo a formar tres montones iguales y guardn-dose uno de ellos. Como al hacerlo le sobra un coco, se lo da al mono.El segundo marinero, teniendo la misma idea, procede en igual forma con loscocos que ha dejado el primero. Al hacer los tres montones le sobra un coco,que se lo da al mono.Lo mismo ocurre con el tercer marinero, y al sobrarle un coco se lo da al mono.A la maana siguiente, aunque el montn de cocos se encuentra reducido, lostres marineros se sienten igualmente culpables y no dicen nada, procediendo alreparto de los cocos. Al hacerlo les sobra uno, que se lo dan al mono. Cuntascocos haba? a) Suponiendo que haba menos de 100. b) Suponiendo que haba

entre 200 y 300.

119. ACEITE Y VINAGRE. En un almacn hay 6barriles que contienen respectivamente 8, 13, 15, 17,19 y 31 litros de aceite o de vinagre. El litro de acei-te cuesta el doble que el de vinagre. Un cliente com-pra 1.400 ptas. de aceite y 1.400 ptas. de vinagre,dejando un solo barril. Qu barril qued?

120. LOS HERMANOS Y LOS MELONES. Los hermanos Pablo y Agustn van

al mercado con 30 melones cada uno. Pablo vende 3 melones por un dlar (10lotes) y obtiene 10 dlares. Agustn vende 2 melones por un dlar (15 lotes) yobtiene 15 dlares. Entre los dos llevan a casa 25 dlares (10+15=25).Al da siguiente volvieron al mercado cada uno con otros 30 melones. Como noqueran tener dos precios diferentes optaron por vender 5 melones por 2 dla-res. Hecha la venta, 12 lotes (60/5=12), obtuvieron 24 dlares (12x2=24).Dnde est el dlar que falta de 24 a 25?


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121. BARRILES DE VINO Y CERVEZA. Un hom-bre adquiri cinco barriles de vino y un barril decerveza. El contenido de los barriles era 15, 16, 18,19, 20 y 31 litros. Vendi luego una cantidad de vinoa un cliente y el doble de esta cantidad a otro, y yasin que le quedara ms vino, se guard para s el ba-rril de cerveza. Cul es el barril de cerveza? Porsupuesto, el hombre vendi los barriles tal como los

haba comprado, sin trasegar ni cambiar para nada sus contenidos.

122. LA DIVISIN EN LA TASCA. El dueo de una tasca quiere dividir endos partes iguales el lquido que lleva un recipiente de 16 litros. Para hacerlo notiene a su disposicin ms que el recipiente original y dos recipientes vacos concapacidades de 11 y 6 litros. Cuntas operaciones de trasvase son necesariaspara efectuar la particin sin perder ni una gota de lquido?

123. FACUNDO EL LECHERO. Facundo vende la leche que tiene en un reci-piente grande. Para vender tiene 2 medidas, una de 7 litros y otra de 4 litros,dice que con estas le basta para vender cualquier cantidad de litros de leche asus clientes. Puede usar ambas medidas y, ocasionalmente volver a volcar lecheen el recipiente original. Como hace para vender 1, 2, 3, 5 y 6 litros?

124. LOS VAGABUNDOS Y LAS GALLETAS. Cuatro vagabundos encontra-ron una gran cantidad de galletas, que acordaron dividir equitativamente entreellos en el desayuno de la maana siguiente. Durante la noche, mientras losotros dorman, uno de los hombres fue hasta la caja, devor exactamente 1/4del total de las galletas, excepto una suelta que sobr, y que arroj al perro amodo de soborno. Ms tarde, un segundo hombre se despert y se le ocurri lamisma idea, tomando 1/4 de lo que quedaba, y dando la sobrante al perro. Eltercero y el cuarto, a su vez, exactamente lo mismo, tomando 1/4 de lo queencontraron, y arrojando la sobrante al perro. En el desayuno dividieron equi-tativamente lo que quedaba, y otra vez dieron la galleta sobrante al perro. Cada

hombre not la reduccin en el contenido de la caja, pero creyndose el nicoresponsable, ninguno dijo nada. Cul es el menor nmero posible de galletasque poda haber habido en la caja en un principio?

125. LECHERO INGENIOSO. Un lechero dispone nicamente de dos jarrasde 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. C-mo podr medir un litro sin desperdiciar leche?


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NMEROS

Problemas sobre nmeros, curiosidades numricas, etc.

131. NINGN N PRIMO. En la decena: 531, 532, ..., 540, no hay ningnnmero primo. Podra Vd. encontrar una decena menor en la que tampoco hayaningn nmero primo?

132. FRACCIONES EXTRAAS. Qu tienen de extrao las siguientes frac-ciones? 19/95, 26/65, 16/64

133. LA CIFRA BORROSA. Al hacer el siguiente producto:15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2

y tomar nota del resultado: 1 3 0 7 X 7 4 3 6 8 0 0 0 una de las cifras (la 5)qued borrosa y no sabemos exactamente cul es. Podra Vd. averiguarla, sinnecesidad de repetir la operacin?

134. ACERCA DE LOS PRIMOS. Encuentre Vd. 10 nmeros consecutivos queno sean primos.

135. EL GRAN DESFILE. Treinta soldados pueden desfilar de 1 en 1, de 2 en

2, de 3 en 3, de 5 en 5, de 6 en 6, de 10 en 10, de 15 en 15 y los 30 enfilados;es decir; de 8 formas diferentes sin que existan nmeros desiguales de solda-dos en las lneas. Cul es el menor nmero de soldados que debe tener unacompaa para poder desfilar de 64 formas diferentes?

136. EL MAYOR PRODUCTO. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 escriba dos n-meros de tres cifras cada uno cuyo producto sea lo mayor posible. Hay queusarlas todas.

137. SUMA POR PRODUCTO. Encontrar dos nmeros tales que el productode la suma por el producto sea igual a 29.400.

138. BUSCANDO UN DIVISOR. Buscar un divisor distinto de l mismo y dela unidad del nmero 11.111.111.111.111.111. (hay 17 unos)

139. MAYOR Y MENOR MLTIPLOS DE 11. Cul es el mayor mltiplo de11 formado por las nueve cifras significativas sin que se repita ninguna? Y elmenor?


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140. EL NMERO 1089. Tomamos un nmero de tres cifras, de modo que nosean las tres iguales; por ejemplo 637. A continuacin formamos otro nmero,ordenando las cifras de mayor a menor. Resulta 763. Formamos otro, ordenn-dolas de menor a mayor. Resulta 367. Restamos 763 - 367 = 396. A este ltimonmero le damos la vuelta, 693, y sumamos los dos ltimos: 693 + 396 = 1089.Repetimos con 475: 754 - 457 = 297, 297 + 792 = 1089.Qu misterio es ste? Ser verdad que partiendo de cualquier nmero resul-ta siempre 1089? Por qu?

141. EL MGICO NMERO 68. Consiga una hoja de papel, recorte de ella un

cuadrado de aproximadamente 20 centmetros de lado. Doble el papel al mediocuatro veces, de modo que al desdoblarlo los pliegues formen una cuadrcula de16 cuadrados pequeos. Ahora marque bien cada pliegue hacia adelante y haciaatrs, para que el papel se doble fcilmente en cualquier direccin. Numere loscuadrados de 1 a 16 como se muestra en la ilustracin:

1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16

Doble el papel a lo largo de los pliegues hasta que quede del tamao de uno de

los cuadrados pequeos. Su modo de doblarlo puede ser tan complicado comoquiera; puede incluso meter pliegues dentro de pliegues.Teme unas tijeras y corte los cuatro bordes del paquete final para que le que-den 16 cuadrados separados. Algunos de los cuadrados tendrn un nmero arri-ba, otros un nmero abajo. Sin dar la vuelta a ninguno de los cuadrados, despa-rrmelos sobre la mesa. Sume todos los nmeros que hayan quedado boca arri-ba y escriba el resultado. El nmero que Vd. ha escrito, ser el 68? Qu ex-traa coincidencia! Verdad?

142. SIMPLIFICACIONES ESCANDALOSAS. Ocurri el 18 de noviembre de1994 en una clase de Matemticas de 1 de BUP de un instituto de Salamanca.

Profesor de matemticas: Simplifica la fraccin 26666/66665.Alumno:Quito un 6 del numerador y otro del denominador y queda 2666/6665.Profesor:Est bien. Pero puedes hacer algo mejor.Alumno: Es cierto; todava puedo simplificar tres veces el 6 y quedar:26666/66665 = 2666/6665 = 266/665 = 26/65 = 2/5.Profesor:Bravo! Te pongo un diez! Puedes sentarte!


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Profesor: (Dirigindose a toda la clase)El mtodo de simplificacin empleadopor vuestro compaero es poco ortodoxo y sin embargo los resultados sonexactos. Encontrar una fraccin de la misma forma que pueda simplificarse dela misma manera y que sea equivalente a 1/2. Otra equivalente a 1/4. Otra equi-valente a 1/5. Qu relacin cumplen a, b y c en las fracciones que pueden sim-plificarse de la forma indicada?

143. CURIOSA PROPIEDAD (2). 122=144, 212=441. 132=169, 312=961. Encue-tre Vd. otro nmero de dos cifras que cumpla la misma propiedad.

144. DELANTE Y DETRS. En el resultado del producto 41096 x 83 =3410968 se ha colocado el 3 delante y el 8 detrs y el producto es correcto.Encontrar otros productos que produzcan el mismo efecto, con el multiplicadorde dos dgitos y el multiplicando con las cifras que se quiera.

145. CURIOSA PERSISTENCIA DEL 5.8 - 3 = 5

78 - 23 = 55778 - 223 = 555

7778 - 2223 = 5555

...................82- 32= 55782- 232= 55 555

7782- 2232= 555 55577782- 22232= 55 555 555

..........................

146. NOTABLE SUCESIN DE CUADRADOS.12= 1

112= 1211112= 12321

11112= 1234321111112= 123454321

1111112= 1234565432111111112= 1234567654321

111111112= 1234567876543211111111112= 12345678987654321


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92= 81992= 9801

9992= 99800199992= 99980001

999992= 99998000019999992= 999998000001

99999992= 99999980000001999999992= 9999999800000001

9999999992= 999999998000000001

147. MLTIPLO DE 9. Qu condicin ha de cumplir un nmero para que alrestarle la suma de sus cifras el resultado sea mltiplo de 9?

148. FECHAS INDETERMINADAS. En Espaa, fechas como 6 de diciembrede 1977 suelen abreviarse 6-12-77; pero en otros pases, como EEUU., se daprimero el mes y luego el da, escribindose 12-6-77. Si desconocisemos culde ambos sistemas se ha utilizado, cuntas fechas quedaran indeterminadasen la notacin abreviada?

149. OBREROS DE SIEMPRE. Dos albailes se reparten en dos partes, no

exactamente iguales, pero semejantes, a ojo de buen cubero, un montn de 100ladrillos. El primero los va disponiendo en hileras de 5 ladrillos, y el segundo loscoloca en columnas de 7 ladrillos. Cuando terminan su montn al primero le que-dan dos ladrillos sin colocar, y al segundo le han sobrado 4. Cuntos ladrilloshaba tomado cada uno?

150. VENTA DE PELOTAS. Por la venta de una partida de pelotas un seorobtiene 60.377 ptas. El precio de cada pelota fue inferior a 200 ptas. Cuntaspelotas vendi?

151. EL NMERO MGICO 481. Escoja un nmero cualquiera de dos cifras,por ejemplo, 26. Construya el nmero siguiente: 26 + 26x20 = 546. Ahora, elnmero 546 le multiplicamos por el dicho 481: 546x481 = ... Qu se obtiene?Otro ejemplo:47 + 47x20 = 987. Ahora: 987x481 = ... Qu se obtiene?

152. CUADRADO PERFECTO. Halle una base de numeracin distinta de 10 enla que 121 sea cuadrado perfecto.


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noche se disponan a abandonar la tarea, cuando siguiendo el consejo de Jess,echaron de nuevo la red, la cual cuando Simn Pedro, la levant y la trajo a tie-rra estaba llena de grandes peces en nmero 153 y siendo tantos la red no serompi. Por esto el nmero 153 se consider en la antigedad como nmeromgico, buscndose distintas propiedades del mismo. Por ejemplo:Es un nmero triangular: 1 + 2 + 3 + ... + 17 = 153.1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153.13+ 33+ 53= 153.Si se parte de un nmero natural cualquiera que sea mltiplo de 3 y se sumanlos cubos de sus cifras. Al resultado, que ser tambin un mltiplo de 3, se

aplica la misma operacin. Continuando de esta manera se llegar al nmero153. Ejemplos:252 - 141 - 66 - 432 - 99 - 1458 - 702 - 351 - 153.1998 - 1971 - 1074 - 408 - 576 - 684 - 792 - 108 - 513 - 153.Por eso se dice que el nmero 153 es un agujero negro (respecto de la suma delos cubos de sus cifras) en el sentido de que al llegar a l ya no se puede salirms.

162. MAYOR CUADRADO. Cul es el mayor cuadrado que se puede escribircon las diez cifras tomadas una vez cada una?

163. SER CUADRADO? Puede ser cuadrado un nmero formado con lasnueve cifras significativas en un orden cualquiera?

164. LA CIFRA PERDIDA. El producto de 53.928.719.937 por 376.648 es20312144*06831176. Puede hallar Vd. la cifra que falta sin efectuar la multi-plicacin?

165. LOS REPOLLOS DE LA SEORA GARCA. La seora Garca tiene aho-ra una plantacin cuadrada de repollos ms grande que la que tena el ao pasa-do, y que por lo tanto tendr 211 repollos ms. Cuntos matemticos y agricul-

tores lograrn determinar el nmero de repollos que tendr este ao la seoraGarca?

166. REGALO MILLONARIO. Imaginemos que un millonario se ofrece a rega-larle a Vd. las monedas de una peseta que sea capaz de llevarse, a condicin decontarlas una por una y sin detenerse. Podr Vd. llevarse todas las que haya


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contado hasta que se pare. Supongamos que cuenta una moneda por segundo.Cuntas cree Vd. que podr llevarse en realidad?

167. MONETARIO. En la Repblica de Bizarria existe un curioso sistema mo-netario. Tienen all solamente dos valores de monedas, de 7 centavos y de 10centavos. La pregunta que hacemos tambin es extraa pero admite una solu-cin simple. Cul es la mayor suma de centavos que no se puede abonar exac-tamente con tales monedas?

168. SE LLEGA SIEMPRE AL 1. Toma un nmero natural cualquiera. Si es

impar multiplcalo por 3 y adele 1. Si es par, toma la mitad. Repitiendo la ope-racin sucesivamente se llega siempre al nmero 1. As:12 - 6 - 3 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.100 - 50 - 25 - 76 - 38 - 19 - 58 - 29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13- 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1.Esto ha sido comprobado con calculadoras hasta nmeros muy grandes, pero nose tiene una demostracin de que el hecho sea general.

169. SOBRE NMEROS DE DOS CIFRAS. Qu nmero de dos cifras es elcuadrado de la cifra de sus unidades?

160. SIEMPRE EXACTO. Encontrar los menores 9 nmeros consecutivos(mayores que 10), el primero terminado en 1 y el mayor terminado en 9, de ma-nera que al dividirse por su ltima cifra el resultado de siempre exacto. Ejem-plo: 31/1 s, 32/2 s, 33/3 s, 34/4 no, 35/5 s, 36/6 s, 37/7 no, 38/8 no, y39/9 no.

171. FECHAS CAPICAS. El da 18 de septiembre de 1981, en una emisorade radio, el presentador cay en la cuenta de que tal fecha (18-9-81) era capi-ca. Esto le dio lugar a lanzar en antena la siguiente pregunta: Cules son lasdos fechas capicas ms cercanas entre s del siglo XX? Podr Vd. adivinar-

las?

172. VAYA BOLETO. El otro da compr un boleto de lotera capica. Si su-maba sus cinco cifras daba el mismo resultado que si las multiplicaba. La prime-ra cifra de la izquierda era la edad de mi hermana pequea, las dos siguientesla edad de la mediana, y las dos ltimas la edad de la mayor, que le lleva ms deun ao a la mediana. Cul era la numeracin del boleto?


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173. TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. Qu tres nmeros enteros conse-cutivos y positivos, multiplicados entre s, dan un total igual a quince veces elsegundo de ellos?

174. MCD y mcm. Halle dos nmeros enteros positivos, x e y, tales que elproducto de su MCD y su mcm sea el producto xy.

175. EL TELFONO DE MI COLEGA. Le ped a mi colega Saturnino su nme-ro de telfono. Como es profesor de matemticas me contest diciendo: Elnmero que forman las cifras de las posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto,

al igual que el de las posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. La tres prime-ras cifras forman un cubo perfecto, igual al producto de los otros cuatro dgi-tos. Podra Vd. llamar por telfono a mi colega Saturnino?

176. FACILEMA. Cul es el nmero de dos cifras que es igual al doble delproducto de sus cifras?

177. PAR = DIEZ. Si el par es diez, cul es la decena?

178. CURIOSA RAZ CUADRADA. Calcule la raz cuadrada del nmero123.456.789. Observe el resultado y el resto.

179. NMEROS PRIMOS. Demuestre que hay infinitos nmeros primos.

180. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (1). Unapropiedad muy conocida del nmero 12.345.679 es que al multiplicarlo por 9 daun producto que se escribe con slo la cifra 1, esto es el nmero 111.111.111. Porlo tanto al multiplicarlo por 18 (que es 9x2), por 27 (que es 9x3), por 36, etc.,se obtienen tambin productos notables, a saber:

12.345.679 x 9 = 111.111.11112.345.679 x 18 = 222.222.222

12.345.679 x 27 = 333.333.33312.345.679 x 36 = 444.444.44412.345.679 x 45 = 555.555.55512.345.679 x 54 = 666.666.66612.345.679 x 63 = 777.777.77712.345.679 x 72 = 888.888.88812.345.679 x 81 = 999.999.999


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181. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (2). De noconocer el multiplicando, podramos haber intentado hallarlo sin ms que dividirpor 9 el nmero 11111..., bajando despus de cada resto un uno, en vez de uncero, hasta que la divisin fuese exacta.Investiguemos, de este modo, cul es el nmero que multiplicado por 7, da unproducto escrito slo con las cifras 1:111.111 : 7 = 15873. Por consiguiente, resultar:

15.873 x 7 = 111.11115.873 x 14 = 222.22215.873 x 21 = 333.333

15.873 x 28 = 444.44415.873 x 35 = 555.55515.873 x 42 = 666.66615.873 x 49 = 777.77715.873 x 56 = 888.88815.873 x 63 = 999.999

182. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (3). Cules el nmero que, multiplicado por 49 da un producto que se escribe con slolas cifras 1?

183. LOS 4 SON PRIMOS. ADDD, AACA, BCDB y BDACson cuatro nmerosprimos. Cules son?

184. TRES CIFRAS Y EL 30. Es fcil escribir el 30 con tres seises:(30=6x6-6) Se podr hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca to-das las soluciones.

185. LA CONJETURA CAPICA. Para obtener un nmero capica a partir deotro nmero se invierte el orden de sus cifras y se suman el nmero dado y elinvertido. Este proceso se contina las veces que sean necesarias hasta obte-

ner un capica. Por ejemplo: Partiendo del 78.78 + 87 = 165.165 + 561 = 726.

726 + 627 = 1353.1353 + 3531 = 4884 CAPICA.

La conjetura capica dice que, aplicando el proceso anterior a un nmero natu-ral cualquiera, se obtiene un nmero capica en un nmero finito de pasos.


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Partiendo del nmero 89 es necesario dar 24 pasos para conseguir el nmero8.813.200.023.188. Existir algn nmero que sea excepcin de la conjetura?El matemtico ruso Boris A. Kordemsky ensay en computadoras con el nmero196, sometindolo a miles y miles de pasos, y no ha conseguido todava ningnnmero capica.Siguiendo los pasos anteriores halle los capicas correspondientes a los nme-ros: 84, 75 y 86.

186. TIRO CON ARCO (1). Cuntas flechas hacen falta para hacer justocien puntos en el siguiente blanco? [40-39-24-23-17-16]

187. TIRO CON ARCO (2). Cuntas flechas hacen falta para hacer justocien puntos en el siguiente blanco? [11-13-31-33-42-44-46]

188. TRES CIFRAS Y EL 24. Es fcil escribir el 24 con tres ochos:(24=8+8+8). Se podr hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Buscatodas las soluciones.

189. SOLDADOS COMBATIVOS (1). Cierto nmero de soldados se dirigan acombatir formando un cuadrado. En el camino se les uni un extrao, y enton-ces formaron exactamente 13 cuadrados menores iguales. Cuntos soldadosfueron a la batalla?

190. SOLDADOS COMBATIVOS (2). Cierto nmero de soldados se dirigan acombatir formando un cuadrado. En el camino se les uni un extrao, y enton-ces formaron exactamente 113 cuadrados menores iguales. Cuntos soldadosfueron a la batalla?


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SERIES - SECUENCIAS

Problemas sobre series, secuencias, sucesiones, ...

191. PRINCIPIO Y FIN. Qu representa la siguiente secuencia?6, 8, 62, 63, 66, 72, 73, 76, 81, 84, ...

192. SECUENCIA QUE RUEDA. Qu representa la siguiente secuencia?0, 32, 15, 19, 4, 21, 2, 15, 17, 34, 6, 27, 13, ...

193. SON PARIENTES (2). Qu emparenta a todas estas palabras?dolor - resta - millar - faz - solar - lago - siglo

194. SON PARIENTES (3). Qu ley se ha seguido para escribir la siguienteserie?

1-2-3-4-5-8-9-10-15-31-1000

195. SERIE A COMPLETAR. Qu letra completa la siguiente serie?u, e, e, a, o, e, a, a, i, u, i, e, e, e, i, ...

196. NO DERRAPE.Cules son las dos letras siguientes en esta serie?A, E, F, H, I, K, L, M, ...

197. SON PARIENTES (4). Las siguientes letras tienen todas ellas algo encomn que ninguna de las dems tiene. Qu es?

G - J - F - K - P - W - X

198. QUITANDO, QUITANDO.Qu nmero sigue en la siguiente serie?37, 27, 18, 9, ...

199. CONSONANTES Y VOCALES. Averige cul es la siguiente letra en la

serie: A, B, E, F, G, I, J, K, L, O, P, Q, R, ...

200. VAYA HORA. Qu nmeros siguen en la siguiente serie?12, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 2, ...


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JUEGOS DE ESTRATEGIA

No podran faltar los problemas que surgen a partir de los juegos de estrate-gia. Suelen ser muy interesantes.

201. LA MESA Y LAS MONEDAS. Tenemos una mesa cuadrada, rectangular,redonda, etc. y monedas iguales en abundancia. Dos jugadores empiezan a colo-car alternadamente, sobre la mesa, monedas una a una; esto es, el primer juga-dor coloca una moneda; acto seguido coloca otra moneda el 2 jugador; de nue-vo el primero, y as sucesivamente. Pierde el que se vea forzado a colocar unamoneda que sobresalga de la mesa. Y no vale solaparlas.La solucin general es que pierde el jugador que tenga que hacer su movimientoa partir de una posicin simtrica, ya que el adversario podr siempre resta-blecer la simtrica sin perder.Qu estrategia ha de seguir el primer jugador para estar seguro de ganar?

202. FORMANDO TRINGULOS. Con tres rectas en el plano, el nmeromximo de tringulos que se pueden formar es uno. Investiga, cul es el nmeromximo de tringulos que se pueden formar con 4, 5, 6, ..., n rectas.

203. QUITAR DEL MONTN. Este es un juego para dos jugadores, A y B.Se coloca un montn de 45 piedrecillas sobre la mesa. Juega A y puede quitarentre 1 y 7 piedras. Juega B y puede quitar entre 1 y 7 piedras. Juega A... Ganael que se lleve la ltima piedra. Hay alguna estrategia para alguno de los juga-dores, de modo que est seguro de ganar? Cmo vara la situacin cuando sevara el nmero de piedras? Y si pierde el que se lleve la ltima?

204. LOS POLLOS DEL MAIZAL. En una granja de New Jersey haba dospollos que siempre se metan en el jardn, prestosa desafiar a cualquiera que intentara atraparlos.En cuntos movimientos el buen granjero y su

esposa pueden apresar a las dos aves?El campo est dividido en 64 cuadrados, delimita-dos por las plantas de maz. Para poder atrapar alos pollos se puede ir de arriba a abajo o de iz-quierda a derecha.Primero el granjero y su esposa se desplazan cada uno un cuadrado y luego cadauno de los pollos hace tambin un movimiento. Se prosigue por turnos hasta


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acorralar y capturar a los pollos. La captura se produce cuando el granjero o suesposa pueden irrumpir en un cuadrado ocupado por una de las aves.

205. UN CALENDARIO CON DOS CUBOS. Para sealarel da se colocan los cubos de manera que sus caras fronta-les den la fecha. En cada cubo, cada una de las caras portaun nmero del 0 a 9, distribuidos con tanto acierto quesiempre podemos construir las fechas 01, 02, 03, ..., 31disponindolos adecuadamente.

Sabe Vd. cules son los cuatro dgitos no visibles en el cubo de la izquierda, y

los tres ocultos en el de la derecha?

206. SUMAR SIN CONOCER LOS SUMANDOS. Utilizaremos para ello unahoja mensual de calendario. A fin de simplificar, elegimos una hoja de un mesde abril que tiene cinco jueves. Se trata de adivinar la suma de 5 das del mes,elegidos al azar, uno de cada semana y slo conociendo el da de la semana en elque caen.

ABRILL M X J V S D

1 2 3 45 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30

En el ejemplo de la figura, hay que adivinar la suma de los cinco marcados conel nico dato de que uno cae en lunes, dos en mircoles, uno en jueves y otro ensbado. Sabra Vd. emplear algn procedimiento para poder adivinar dichasuma con las condiciones exigidas?

207. RECTNGULOS OBSTINADOS. En una hoja de papel cuadriculado di-bujamos un rectngulo formado por dos cuadrados.Trazamos una diagonal del rectngulo y observamosque corta a los dos cuadrados. Haciendo lo mismocon un rectngulo mayor, de dos por tres cuadra-dos, la diagonal corta a cuatro cuadrados. Cuntoscuadrados cortar la diagonal de un rectngulo de seis por siete cuadrados? Sedebe hacer sin dibujar el rectngulo y sin contar los cuadrados. Se puede en-contrar alguna regla?


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208. EL BIOP. El Biop es un juego para dos personas que juegan alternativa-mente en un tablero cuadriculado de 5x5, cada jugada consiste en colocar enuna casilla desocupada un nmero del 0 al 24, teniendo en cuenta que dos casi-llas adyacentes(al menos un punto en comn) no pueden tener dos nmeros con-secutivos. No se puede repetir ningn nmero. Los extremos 0 y 24 se conside-ran consecutivos.Pierde el que no pueda efectuar una jugada legal.Existe una estrategia que permite al primer jugador ganar siempre?

209. LAS FICHAS DEL TABLERO. Sobre un tablero

en forma de tringulo equiltero, como se indica en lafigura, se juega un solitario. Sobre cada casilla se colocauna ficha. Cada ficha es blanca por un lado y negra por elotro. Inicialmente slo una ficha, que est situada en unvrtice, tiene la cara negra hacia arriba; el resto de lasfic

Resolucion de Problemas Matematicos (Vol 2)

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