processus-negociation
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8/14/2019 processus-negociation
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Agenda
Introduction
Ensemble de Négociations
Solution Négociée
RationalitéOptimalité de Pareto
Symétrie
Indépendance Alternatives
Solution Négociée de Nash
Exemple Pratique2
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Agenda
Introduction
Ensemble de Négociations
Solution Négociée
Rationalité
Optimalité de Pareto
Symétrie
IndépendanceAlternatives
Solution Négociée de Nash
Exemple Pratique3
8/14/2019 processus-negociation
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Introduction
Contrats de travail, de vente, R&D,...
Phase de négociation puisd’implémentation
But: créer et partager l’utilité
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8/14/2019 processus-negociation
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Introduction
Imaginons la situation suivante: Alice à une pizza et Bob une télé. 1) personne ne partage:
! Bob a faim.! Alice n’a pas de divertissement.
2) On partage:! Chacun à accès au divertissement et à la
pizza.Ccl: Nous sommes arrivé à une solution qui améliorela condition des deux amis. Le problème qui reste àrésoudre est l’allocation d’une part de la valeur à
chacun.5
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Agenda
Introduction
Ensemble de Négociations
Solution Négociée
RationalitéOptimalité de Pareto
Symétrie
IndépendanceAlternatives
Solution Négociée de Nash
Exemple Pratique6
8/14/2019 processus-negociation
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Ensemble de négociation
Valoriser les différents paramètres de l’accord : En termed’utilité.
Définir l’utilité de chaque alternative du contrat.e.g.-
Définir l’utilité de chacun sans contrat noté d.e.g.
X = {(x1, x2)|x1 + x2 = 1, xi ≥ 0}
d = (0, 0)
= {(v1, v2)|u1(x1) = v1, u2(x2) = v2, x ∈ X }
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Ensemble de négociation
Exemple: Bob et Alice considèrent l’opportunité d’un partenariat.
Si le partenariat à lieu Bob en retire une utilité de 4 et Alice de 6.
Si il n’est pas conclus chacun à une utilité de 2.
on obtient alors:: ensemble de négociation
: ensemble d’alternative
: point de désaccord
V = {(4, 6), (2, 2)}
X = {(4, 6)}
d = (2, 2)8
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Ensemble de négociation
Souvent en plus d’alternative non monétaire on a des
transferts de monaie. Soit t le montant du transfert. Ils’effectue de Alice vers Bob si t>0 et de Bob vers Alice si
t<0. Si l’on suppose que l’argent à une utilité additive,l’utilité totale est:
En remplaçant t dans la deuxième équation on a:
v1 =
u1(x1) +
t
v2 = u2(x2)− t
v2 =
u2(x2) +
u1(x1)− v
1
9
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On a alors des droites àutilité jointe constantequi constitue notreensemble denégociation
Le surplus du contratcorrespond alors à ladifférence entre l’utilité jointe et l’utilité par défaut.
1 + v2 = u1(x1) + u2(x2) + t− t
s = u1(x1) + u2(x2)− d1 − d2
Ensemble de négociation
10
10
d1 = 2
2 = 2 d
(4,6)
(6, 4)
·
·
u1
u2
10
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Dans le cas général un problème de négociation estun couple formé par l’ensemble de négociation et le
point de désaccord:
Un ensemble de négociation est admissible si:
Problème de négociation
(U, d)
U ∃v ∈ U t.q. : v > d
d
U d
d
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Solution Négociée
Soit B l’ensemble de tous les problème denégociation une solution négociée est
une fonction:ϕ : B −→ U ⊂ R
2
(d, U ) −→ u
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Agenda
Introduction
Ensemble de Négociations
Solution Négociée
RationalitéOptimalité de Pareto
Symétrie
IndépendanceAlternatives
Solution Négociée de Nash
Exemple Pratique13
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Rationalité
R1 Rationalité individuelle faible:(personne ne veut empirer sa situation)
R2 Rationalité individuelle forte(chacun veut améliorer sa situation)
(d, U ) ≥ d,∀(d, U ) ∈ B
ϕ(d, U ) > d,∀(d, U ) ∈ B
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Agenda
Introduction
Ensemble de Négociations
Solution Négociée
RationalitéOptimalité de Pareto
Symétrie
IndépendanceAlternatives
Solution Négociée de Nash
Exemple Pratique15
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Optimalité de Pareto
P1 Optimalité faible de Pareto:
(Aucune autre solution n’est meilleur pour lesdeux simultanément)
P2 Optimalité forte de Pareto:(il n’existe pas de solution alternative quiaméliore l’un sans empirer l’autre)
ϕ(d, U ) ∈ P W (U ) = {u ∈ U |y ∈ U : y > u}, ∀(d, U ) ∈ B
ϕ(d,U ) ∈ P S(U ) = {u ∈ U |y ∈ U : y ≥ u, y = u}, ∀(d,U ) ∈ B
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Optimalité de Pareto
Bord de Pareto
U U
P W (U )
P S U P S(U ) = P W (U )
dd
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Agenda
Introduction
Ensemble de Négociations
Solution Négociée
RationalitéOptimalité de Pareto
Symétrie
IndépendanceAlternatives
Solution Négociée de Nash
Exemple Pratique18
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Symétrie
S1 Symétrie faible:
S2 Symétrie forte:
∀(d, U ) ∈ B, d1 = d2 et
u1u2
∈ U ⇔
u2u1
∈ U
ϕ(d, U )1 = ϕ(d, U )2
f : R2→ R2 donnee par f
u1
u2
=
u2
u1
ϕ(f (d), f (U )) = f (ϕ(d, U )) ∀(d, U ) ∈ B
Soit
Alors
Si
Alors
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Agenda
Introduction
Ensemble de Négociations
Solution Négociée
RationalitéOptimalité de Pareto
Symétrie
IndépendanceAlternatives
Solution Négociée de Nash
Exemple Pratique20
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Indépendance
T1 Indépendance de transf. affines positives:
T2 Indépendance de transformation linéaire
ϕ(d, U ) = ϕ(0, U − d) + d, ∀(d, U ) ∈ B
ϕ(0, ρ·U ) = ρ
·
ϕ(0, U ),∀ρ > 0,∀(0, U ) ∈ BLa première équation montre l’indépendance de translation, la seconde
l’indépendance d’échelle
T (u1, u2) := (ρ1·u1 + δ1, ρ2
·u2 + δ2)
∀(d, U ) ∈ B, ρ1, ρ2 > 0, δ1, δ2 ∈ R
ϕ(T (d), T (U )) = T (ϕ(d, U ))
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d
Echelle Translation
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Agenda
Introduction
Ensemble de Négociations
Solution Négociée
RationalitéOptimalité de Pareto
Symétrie
Indépendance Alternatives
Solution Négociée de Nash
Exemple Pratique23
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Alternatives
A Indépendance des alternatives non pertinentes:(d, U ), (d, U )
ϕ(d, U ) ∈ U ⊂ U
ϕ(d, U ) = ϕ(d, U )
Soit Avec
AlorsL’ensemble d’alternatives non pertinentes
U \ U
U U’
d
u
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Agenda
Introduction
Ensemble de Négociations
Solution Négociée
RationalitéOptimalité de Pareto
Symétrie
IndépendanceAlternatives
Solution Négociée de Nash
Exemple Pratique25
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Solution Négociée de Nash
Théorème de Nash
Sous les conditions R1, P1, S1, T2 et A la fonction de choix de solution négociée est définie demanière unique.
Donc à chaque situation de négociation ilcorrespond une et une seule solution négociée.
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10
10
d1 = 2
2 = 2 d
(4,6)
(6, 4)
·
·
u1
u2
Solution Négociée de Nash
bord de Pareto
d1=d2, il existe u>d
U est symétrique par rapport à y=x
solution optimale
Que se passe-t-ilsi la situation denégociation n’est pas symétrique?
(voir exemple
pratique)
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Solution Négociée de Nash
Lemme: Soit la situation de négociation:! Alors la fonction:
a le maximum unique dans U:
donc
En plus, u* maximise
(d, U ) ∈ B
u −→ f u := u1 − d1 · u2 − d2
u∗=
u∗
1
u∗
2 ∈ U
u1− d1 · u
2− d2 ≥ u1 − d1 · u2 − d2 ∀u ∈ U
g(u) := (u∗2− d2) · u1 + (u∗
1− d1) · u2 ∀u ∈ U
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Solution Négociée de Nash
(u∗1− d1)
(u∗
2−d2)
u*
f(u)
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Agenda
IntroductionEnsemble de Négociations
Solution Négociée
RationalitéOptimalité de Pareto
Symétrie
IndépendanceAlternatives
Solution Négociée de Nash
Exemple Pratique30
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Solution Standard de Negociation
Prenons l’exemple suivant:Rosemary est responsable du département d’Anglais d’un
Lycée Jerry est un acteur professionel intéressé par un poste de Prof. de Théâtre dans ce Lycée . Paramètre de la négociation:
Salaire de Jerry, tTâches du nouveau Prof.
Encadre uniquement le cours de théâtre, x=0Encadre le cours de théâtre et de SoftBall, x=1
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Solution Standard de Negociation
Utilité des deux joueurs:
En cas de désaccord ils ont une utilité de:dJerry = 15000
dRosemary = 10000
uJerry(x) = 10000− 3000 · x + t
uRosemary(x) = 40000 + 5000·x−t
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Solution Standard de Negociation
Utilité Jointe:
En cas de désaccord ils ont une utilité jointe:
uJerry(x) + uRosemary(x) = 50000 + 2000·
x
Jerry + dRosemary = 25000
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Solution Standard de Negociation
1 = 15000
d2 = 10000 d
u1
u2
x = 1
x = 0
50000
52000
25000
Surplus=27000
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Solution Standard de Negociation
On voit sur le graphique que la droite correspondant à x=1maximise l’utilité jointe, elle vaut v*=52000 sur cette dernière.Cependant ce problème n’est pas symétrique car:
On peut associé une force de négociation à chaque joueur au travers de poids. Aucun joueur ne négociera pour une utilité inférieur à son
point de désaccord, les joueurs ne négocie donc pas leur part de v*
mais leur part du surplus s.On définit alors:
dJerry = dRosemary
πJerry,πRosemary ≥ 0
πJerry + πRosemary = 1
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Solution Standard de Negociation
On a donc les utilités suivante:
Si l’on connait les poids de négociation on peut en déduire le
salaire de Jerry et l’utilité optimale des deux joueurs.
uJerry = dJerry + πJerry · (v∗ − dJerry − dRosemary)
Rosemary = dRosemary + πRosemary · (v∗ − dJerry − dRosemary)
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Exemple pratique : cas(a) 2 joueurs Jerry et Rosemary avec
On cherche le maximisant le profit total :
Donc
Les joueurs accepteront si:
On cherche finalement la valeur
J (x) = 10000− 2x, V R(x) = 40000 + x, x ∈ {0, 1}
dJ = dR = 0,πJ = πR = 0.5
x V
V = V J (x) + V R(x) = 50000− x⇒ x∗ = 0
V ∗
= s = 50000
u
∗
J = dJ + πJ (V ∗
−dJ −
dR) = 0.5·
50
000 = 25
0000∗
R = dR + πR(V ∗ − dJ − dR) = 0.5 · 50000 = 250000
t = u∗
J − V J (0) = 25000− 10000 = 15000
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Le graphe associé
R
J
0 000
50 000
x =
x =
10
000= (0, 0)
10 000
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Cas(b)
Le maximisant le profit total:
est et
les joueurs accepteront si:
Donc est donné par:
x
V = V J (x) + V R(x) = 60000− x2 + 800 · x
dJ = dR,πJ = πR, V J (x) = 60000− x2, V R(x) = 800 · x, x ≥ 0
V ∗
= 220000 s = 220
000
u
∗
J = dJ +πJ (V
∗−
dJ −
dR) = 0.5·
220 000 = 110 000u∗
R = dR + πR(V ∗ − dJ − dR) = 0.5 · 220000 = 110000t
= u∗
J − V J (400) = 110000− 60000 + 160000 = 210000
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Le graphe associéuR
uJ = (0, 0) 20 000
x = 400
20
000
40
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Cas(c)
Le maximisant le profit total:
est et
Les joueurs accepteront si :
Donc est donné par :
dJ = 40000, dR = 20000,πJ = 0.25,πR = 0.75
V J (x) = 60000− x2, V R(x) = 800 · x, x ≥ 0
x
V = V J (x) + V R(x) = 60000− x2 + 800 · x
V ∗
= 220
000 s = 160
0000
u∗
J =dJ
+πJ
(V
∗− dJ − dR
) = 80
000u∗
R = dR + πR(V ∗ − dJ − dR) = 140000
t
t = u∗
J − V J (400) = 80000− 60000 + 160000 = 180000
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