Rend. Sem. Mat. Univ. Poi. Torino Voi. 51, 4 (1993) Partial Diff. Eqs.

O. Caligaris

CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI PER IL MINIMO DI UN FUNZIONALE INTEGRALE

ED ESISTENZA DI SOLUZIONI PER EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Abstract. The necessary and sufficient conditions for the minimum of an integrai functional generate problems that involve, depending on functional framework, both abstract ordinary differential equations and partial differential equations.

In this paper we study the relations between existence theorems for the minimum of an integrai functional and existence theorems for a solution of a differential equation in some interesting cases.

Introduzione

Uno dei problemi classici del calcolo delle variazioni riguarda la determinazione di condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza del minimo di un funzionale integrale, ad esempio, nella forma che è nota come problema di Bolza e che si può formulare come segue.

Sia V uno spazio vettoriale, che supporremo per semplicità di Hilbert, sia L : [0,1] x V x V —» RU {+00} una integranda normale nel senso definito da Rockafellar [12-13], sia £ : V x V —• RU {+00} un funzionale e sia A(V) lo spazio delle funzioni x : [0,1] —» V assolutamente continue; risolvere un problema di Bolza significa trovare il minimo di un funzionale del tipo

/ L(t, x{t), x{t))dt + *(ar(0), x(ì)) Jo

al variare di a; e A(V)

Relativamente al problema considerato, si possono dedurre varie condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza del minimo, le cui formulazioni dipendono dalla struttura funzionale in cui si opera e dalla regolarità delle funzioni usate; in ogni caso, si è condotti allo studio di un problema relativo ad una equazione differenziale ordinaria, astratta 0 alle derivate parziali.

È pertanto naturale collegare soluzioni di problemi variazionali di minimo a soluzioni di problemi relativi ad equazioni differenziali e risolvere gli uni mediante gli altri.

In particolare accade che si possano ricavare teoremi di esistenza del minimo di

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funzionali integrali, anche quando le tradizionali condizioni di crescita non siano verificate, se si è in grado di assicurare l'esistenza di una soluzione per l'equazione differenziale che descrive le condizioni necessarie e sufficienti per il minimo mentre, d'altro canto, l'esistenza del minimo di un funzionale di Bolza, dimostrata per via diretta, offre la possibilità di trovare una soluzione per equazioni differenziali con dati poco regolari.

Per quanto riguarda la varietà delle situazioni che si presentano, possiamo individuare molti fattori che consentono di ottenere, partendo da un problema di Bolza, risultati per diverse equazioni differenziali; tra essi vogliamo ricordare la regolarità di L e l ed il tipo di funzioni che costituiscono gli elementi dello spazio dove si cerca il minimo del funzionale considerato.

Possiamo indicare come notevoli il caso differenziabile, in cui l'integranda L e la funzione l soddisfano l'ipotesi di differenziabilità, ed il caso convesso, in cui esse soddisfano l'ipotesi di convessità; ulteriori generalizzazioni a casi non differenziabili e non convessi sono possibili e si fondano sulla ricerca di funzioni differenziabili o convesse che maggiorino, o approssimino, il funzionale dato ed assumano lo stesso minimo. In sostanza quindi ci si riconduce ai casi precedenti e, per tale ragione, solo ai casi precedenti noi faremo qui riferimento.

La struttura dello spazio di funzioni su cui si minimizza è, come si è detto, un elemento determinante in questo contesto; essa dipende dalla scelta di supporre V di dimensione finita o infinita ed anche dalla possibilità di usare il luogo di t una variabile a più dimensioni, cui riserveremo il nome x, sostituendo x(t) con u(x) , x(t) con Grad u{x) e [0,1] con un aperto Q di un opportuno spazio euclideo pluridimensionale.

A seconda delle scelte operate giungeremo a condizioni necessarie che, di volta in volta, coinvolgeranno equazioni o sistemi di equazioni differenziali ordinarie, equazioni differenziali astratte, equazioni differenziali alle derivate parziali, problemi ai valori iniziali o con dati al contorno.

Qualche caso semplice

Cominciamo con l'esporre due casi significativi di problemi di Bolza che conducono, ciascuno, ad una formulazione di condizioni necessarie e sufficienti per il minimo che può essere facilmente collegata a diversi casi di equazioni differenziali.

Se T e Rn, n > 1 e V, W sono spazi di Hilbert, indicata con C la famiglia degli insiemi di Lebesgue in T e con B la famiglia degli insiemi di Borei di V x W, diciamo che

L:TxVxW-+RU {+00}

è una integranda normale propria se è C®B misurabile, se L(t, -, •) è una funzione propria, cioè è una funzione non identicamente +00 e che non assume mai il valore —00 e se L(t, -, •) è debolmente sequenzialmente semicontinua inferiormente.

Il concetto di integranda normale è stato introdotto da R.T. Rockafellar [12-13] con

Condizioni necessarie e soluzioni di equazioni differenziali 345

10 scopo di definire una classe di funzioni soddisfacenti ipotesi minimali adatte a definire un funzionale del calcolo delle variazioni ed è rapidamente diventato un concetto standard.

Se rr : T —>Vey:T-+W sono funzioni misurabili, fortemente qualora V x W risulti di dimensione infinita, si può provare che

I(x,y)= [ L(t,x(t),y{t))dt JT

è ben definito, essendo ±00 possibili valori.

Denotiamo poi con H :T xV xW —>• IR U {+00} la funzione coniugata di L rispetto

all'ultima variabile, definiamo cioè

H(t,x,p) = sup{(v,p) - L(t,x,v) : v e W}

Più in generale denotiamo con /* la funzione coniugata di / .

Infine per definire un problema di Bolza è necessario disporre anche di un funzionale, che indicheremo con £, che sia in grado di esprimere la dipendenza dai dati alla frontiera; poiché diversi sono i contesti che vogliamo esaminare, preciseremo tale funzionale di volta in volta.

11 caso monodimensionale

Cominciamo pertanto a considerare il caso in cui T — [0,1] e V = W è uno spazio di Hilbert, eventualmente, di dimensione infinita.

Indichiamo con A(V) l'insieme delle funzioni assolutamente continue da [0,1] in V; è ben noto che ogni x e A{V) è fortemente derivabile per quasi ogni t e [0,1], che x e Ll{V), e che, [1-2],

x(t) = x(0) + / x(s)ds. Jo

Spesso avremo anche necessità di considerare i sottospazi di A(V) definiti dalla condizione x e Lp(V)'t indicheremo tali spazi con AP{V). In particolare A2{V) è uno spazio di Hilbert che può essere identificato con V ® L2(V).

Sia l : V x V —• IR U {-f-00} una funzione debolmente sequenzialmente inferiormente-

semicontinua e propria e consideriamo il problema di Bolza associato ad L ed £; consideriamo cioè il problema di minimizzare il funzionale

F(x) = I{x) + i(x(0),x{l))

sullo spazio A2(V).

Possiamo innanzi tutto stabilire un teorema di esistenza del minimo per il problema dato, si veda [6].

346 O. Caligaris

TEOREMA. Supponiamo che esistano u> : E2 —» Ru{-|-oo}, p e L2(R+) a € L l̂ÉLf), 0 e LHR), r) € R+, p € R+ tó/i di£

i) o>(-, 2) e — u;(w, •) s/ano non decrescenti 2) u>(iu, z) = +00 se (w, z) £ R+ x R+

e(h,k)>u(\h\,\k\)

H(t,xìP) < (p, + r^DM2 + M[/>(t)M + a(t)} + 0(t)

e che posto ipy(s) = w(a,y) + ^ ^ - ||(r||L1(R)y] e x = c",|p|l^1(R>, «' oftfrta

lim <pj(0) = - 0 0 .

Allora esiste XQ e A{V) tale che

F(x0) < F(x) Va; e A(V)

inoltre x0 e A2(V) e si ha

F(x0)<F(x) VxeA2(V).

Il teorema precedente pone condizioni piuttosto complesse da verificare; ciò è dovuto al fatto che il suo enunciato consente di considerare integrande L(t}x,v) anche decrescenti rispetto alla variabile di stato x, purché tale decrescenza sia adeguatamente compensata dalla crescenza rispetto alla variabile di velocità. Tuttavia è utile osservare che le ipotesi del teorema precedente sono soddisfatte se

ri = Q, ^ ( M ) > a W 2 + (/?,£>+7

ove a e R+, fi e V e 7 e R.

Per quanto riguarda le condizioni necessarie per il minimo possiamo facilmente trattare i casi in cui L sia differenziabile 0 convessa. Situazioni più generali in cui L non soddisfi tali ipotesi di regolarità possono essere studiate mediante l'introduzione di differenziali generalizzati, ma la loro applicazione si presenta spesso molto complicata; inoltre essi si basano sui risultati ottenuti nei casi convesso o differenziabile ai quali noi qui ci limitiamo.

Vediamo ora di esaminare i due casi summenzionati.

TEOREMA. Sia L una integranda normale tale che L(t, -, •) sia differenziabile secondo Gateùux e sia l parimenti differenziabile secondo Gateàux. Sia xo e A2(V) tale cheVxeA2(V)

F(x0) = /(ar0) + ^o (O) ,*o ( l ) ) ' < I(x) + e(x(0),x(l)) = F(x)

Condizioni necessarie e soluzióni di equazioni differenziali 347

Supponiamo che esista ij e ^(R) tale che

\L{tìx0(t)i-yìxo{t)+z)-L(t1xo(t)}xo(t))\<ri(t)\{y,z)\ se \y\, \z\ < 6

Allora esiste p e A(V) tale che

(T>(t),p(t)) = VL(t,*(,(*),ir0(t)) q-o.-te [0,1]

(p(0) , -p( l ) ) = V^xo(0) ,xo( l ) ) .

Dimostrazione. Sia A > 0 e consideriamo y e A°°(V); si ha che:

11 L(t, x0(t) + Xyit), x0(t) + Xy(t)) - L(t, x0(t), x0(t)) I Jo

A dt

A

Poiché L ed £ sono differenziabili secondo Gateàux e per il teorema di convergenza dominata, che si può applicare in virtù delle condizioni cui si suppone L soddisfi, si ottiene:

/ <Lx(*,x0(t),àroW),2/W> + {LvfaxoWtXoity^itydt Jo

+ (4MO),xo(l)) ,2/(0)> + (4(^o(0),xo(l)),2/(l)> > 0

e, per la linearità vale l'uguaglianza, per cui

/ (Lx(t, xoW^xoit)), y{t)) + (Lv(t, x0(t}i x0(0), y{t))dt Jo + <4(^o(0),x0(l)),2/(0)) + (4(^o(0),a;o(l)),2/(l)> = 0

Poniamo p(t) = -4(so(0),a?o(l)J + / t Lx(s,a;o(s), x0(s))ds; si ha p e A(V) in quanto

(La.(t,a;o(t),.a;o(*)),2/) = iim :— A—»0+ A

è misurabile e si ha

IM*,*o(*)>*o(*))l<

< sup lim L(t, a?0(t) + Ay, x0(t)) - L(t, x0(t), x0(t)) <v(t)eLl(R)

Si ha

p(l) = - 4 ( ^ o ( 0 ) , x0(l)) P{t) = £*(*, *oW, *o W)

348 O. Caligaris

ed, integrando per parti, si ottiene

0 = / (p(*).!/(*)>+ <^(*,«o(t),io(*)),*(*)>* Jo

+ (ih(xo(0)tx0(l)),y(0))-<P(l),y(l))

= / (L„(t,a:o(t),ioW) - p{t),y(t))dt + <4(*o(0).*o(l)) -p(0),y(0)) . ./o

Poiché y € V e L°°(K) si ottiene

p(t) = Lv(t,x0{t),xQ(t)) q.o.-te [0,1]

p(0) = £h(x0(0),xo(l)) m

Prima di passare al caso convesso è opportuno ricordare un risultato che prova come il classico lemma di DuBois-Reymond possa essere utilizzato anche nella situazione funzionale in cui ci siamo posti.

LEMMA. Sia tp € L2(V) e supponiamo che

[ (<p(t), r,'(t))dt = 0 V77 e A2(V), 77(0) = 77(1) . Jo

Allora (p(t) = cost.

Dimostrazione. Sia e = fQ ip(t)dt\ si ha

«¥>(*) - cM(t))dt = 0 V77 G *42(V), 77(0) = 77(1) •

Scegliendo 77'(t) = y?(£) — e, si ha 77 G A2(V)-eù inoltre

77(1)-77(0)= / (y?(*).-..c)d« = 0 . Jo

pertanto 77(0) — 77(1) e si ha \\(p — c||x/2(v) = 0 onde tp(t) = e per quasi ogni t e [0,1]. •

TEOREMA. Sia L una integranda normale convessa e sia £ un funzionale convesso suVxVa valori reali estesi. Supponiamo che

(a(t), x) + (J3(t), v) + 7W < L(t, x,v) < a\x\2 + b\v\2 + c(t)

con a,(3 e L2(V), 7 , c€ Ll(V) e a,b>0.

Allorax0eA2(V)ètalecheVxeA2{V)

F{xo) = I{x0) + £(ar0(0), z0(l)) < l(x) + £(ar(0), a:(l)) = F(x)

se e solo se esiste q e A2(V) tale che

f WW, vi*)) e dL(t, x0(t), x0(t)) q.o. -te[0,1]

\(<i(o),-q(i)) e de(x0(0),x0(i)).

f Jo

Condizioni necessarie e soluzioni di equazioni differenziali 349

Dimostrazione. Definiamo su L2(V) x L2(V) due nuovi funzionali che estendano in maniera opportuna I ed l\ siano cioè

ì(x,y) = [ L{t,x{t\y{t))dt Jo U(x(0)ìX{ì)) sexeA2{V) Qy = x

e(x,y) = { [ + 0 0 altrove .

Si verifica facilmente che I e i, e quindi, I + 1 , sono funzionali convessi semicontinui inferiormente e propri su L2(V) x L2(V), ( si ricordi che A2{V) è chiuso in tale spazio); inoltre / - } - /assume il suo minimo su L2(V) x L2(V) nel punto (a;o,#o)-

Pertanto si ha 0 G d(ì+Ì)(x0ì x0) ed in virtù delle ipotesi assunte si può considerare la somma dei sottodifferenziali in luogo del sottodifferenziale della somma. Ne deduciamo che 0 e dI(xo,xo) + dl^xoiXo) e quindi che esistono p, q e L2(V) tali che

(p, q) e dl(x0ì xQ) ( - p , -q) e dì{xo, x0) .

Inoltre, poiché L2(V) x L2(V) è uno spazio decomponibile, si può affermare che

(p(t)ìq(t))€dL(t,xo(t),xo(t)) q . o . - t € [ 0 , l ] . •

Si ha allora, per la definizione di sottodifferenziale applicata ad l e per la definizione di i che

^(0),o:.(l))-£(aro(0),a:o(l))>.

>-[ {p{t), (x{t) - x0(t)) -I- (q(t), (x(t) - x0(t))dt Jo

per tutti gli x e A2(V) e, se ip G A2(V), (p(t) ~ p(t), si ha, integrando per parti,

e(x(0),x(Ì))-i(xo(0);x0(l))>:

> ( # ) , . W 0 ) -x0(0))> - (ip{\),x{\) -xo(l))

+ / {ip{t)-q{t),(x(t)-±0{t))dt Jo

L'ultima disuguaglianza, considerata per tutti gli x e A2(V) tali che x(0) = x0(0) e a;(l) = xo(ì) ci consente di applicare il lemma precedente e ci assicura che ip{t) = <?(£)+cost. per cui p — ip = q e si conclude che

{q(t),Q(t))edL(t,Xo(t),x0(t)

ed inoltre

per cui si ha

e(x(0),x(l))-e(x0(0),x0(l))

> fa(0), x(Q) - rro(O)) - {q(l),x(ì) - x0(l))

(<?(<>), -9(1)) e de(x0(0),x0(l)) m

350 O. Caligaris

Il caso pluridimensionale

Passiamo ora ad esaminare il caso in cui V = IR, W = E n e T = Q e Rn è un aperto limitato, connesso con frontiera T che supponiamo, per semplicità, di classe C°°; supponiamo inoltre che lì stia localmente da una sola parte rispetto a OSI. In questa situazione denoteremo, come è d'uso più comune, la variabile indipendente con x ed useremo u per indicale le funzioni su cui si minimizza e con Grad u il loro gradiente.

Indichiamo con Lq(Q), H^q{Q)t #o ,9(fì), Lq(T) gli usuali spazi di funzioni ed indichiamo con 7 : H 1,9(fì) —* Lq(T) l'operatore di traccia. Ricordiamo che, per ogni u e H^fò) esiste una costante C reale positiva tale che

/ \u{x)\qdx < C ( f |Grad u(x)\qdx + / hH9 ds] Jn \Jn Jan )

ed inoltre si ha

H^q(Q) = {uG H^q(Q) : 7w = 0} .

Poniamo in HQ,q(Q) la norma

ÌMIfr}'«(n) = J |Gradw|9

ed osserviamo che tale norma è equivalente a quella indotta in HQ,(I(Q) dalla norma di H1,q(Q)-9

infatti

l,c\\u\\H^(n)< \\U\\H^"(Q) ^ IMI//1^) •

Per ogni u e Hlìq(Q), con q > 1 possiamo porre

I(u)= L(xìu(x)ìGTaùu(x))dx

e, se £ : Lq(F) —*• R u {+00}, possiamo porre

F(u) = I(u) +i{-ru).

Cominciamo con lo stabilire un teorema di esistenza del minimo per il funzionale F sullo spazio /IfM(fì) con q > 1. Il caso g = 1, pur essendo di grande interesse, non sarà qui considerato in quanto le condizioni necessarie e sufficienti per il minimo sono anche in tal caso considerevolmente più complesse; nel seguito focalizzeremo anzi il nostro interesse sul caso q = 2 che, è funzionalmente più semplice.

TEOREMA. Supponiamo che L sia una integrando, normale tale che

H(x,u,p) < a\p\q -\-(3u-\- K{X)

%)><7o / |2/(s)|9ds + <7i JY,

Condizioni necessarie e soluzioni di equazioni differenziali 351

ove a,cro G R+, (3, ori e R « G L 1 ^) , E C r è wn sottoinsieme di misura non nulla e q' è l'esponente coniugato di q.

Allora esiste un punto uo G HlfP(Q) tale che

F(u0) < F(u) \/u e H^P(Q).

Inoltre è possibile provare facilmente la seguente variante del teorema precedente.

TEOREMA. Supponiamo che L sìa una integrando, normale tale che

H(x, u,p) < a\p\q' - (3\u\q + K(X)

£(y) >a

ove a, (3 eR+, <J G IR, K G L1(fì) e q' è l'esponente coniugato di q.

Allora esiste un punto uo G H1,q(Q) tale che

F(u0)<F(u) VueH1'1*^).

Per stabilire le condizioni necessarie e sufficienti occorre richiamare brevemente qualche spazio funzionale introdotto ed usato da Baiocchi e Capelo [5] per lo studio di problemi variazionali. D'ora innanzi supporremo sempre q = q' = 2; in tal caso si può definire un operatore di traccia 7 lineare limitato e surgettivo

7 : tf1'2^) -+ H*'2(r)

e si può inoltre considerare lo spazio

£2divW = {P € [L2(Q)]n : óìvp G L2{Sl)} .

Si prova che L2div(lì), munito della norma

Hì*d i v (n) = IMI[L2(n)]n +Il div^||i2(r2)

è uno spazio di Hilbert, che[D(Ù)]n è denso in L2div(f2) e che è possibile definire un operatore

di traccia

7 : L2div(n) - H-ì*(r)

come il prolungamento per continuità dell'operatore che ad ogni p e [D(Ù)]n associa (p|r, v) ove v indica la normale esterna a r . Si può infine provare che per u e H1'2^) epe L2

dìv(Q) vale la seguente formula di integrazione per parti che risulta di fondamentale importanza nello stabilire le condizioni necessarie e sufficienti per il minimo di F

I (p(tf),Grad u(x))dx + I {u(x), divp(x))dx = ^ ^ ( m 7 ^ ) ^ , 2 ^

essendo il prodotto scalare a secondo membro inteso tra gli spazi H^2(T) ed H~?'2(F).

352 O. Caligarti

Possiamo dimostrare il seguente risultato a proposito di condizioni necessarie e sufficienti per il minimo del funzionale F.

TEOREMA. Supponiamo che L ed t siano convesse e che

a(x)u + {(3(x), v) + y(x) < L(x, u, v) < a\u\2 + b\v\2 + c(x)

(a, (3) e L2{Q) x [L2(fì)]n, 7,e € L^Q), a,6 > 0. Allora u0 e H^2(Q) è tale che F(uo) < F(u) per ogni u e Hlf2(Q) se e solo se esiste pò e L2

dW(Q) tale che

( óivpo(x),po(x)) £ dL(x, uo(x), Grad uo(x)) q.o. - I G H

- 7P0 € d£(<yuo) .

Dimostrazione. Definiamo due nuovi funzionali I e £ su L2(Q) x [L2(fì)]n mediante le

J(u, v) = I L(xìu(x)ìv(x))dx

f %w) seuG Hh2(Q) QV = Gradu e(u,v)=:\

( + 00 altrove .

Definiamo inoltre F = I-\-£.

Si può verificare che I ed l sono funzionali convessi semicontinui inferiormente e propri su [L2(fì)]n+1 e che si ha F(w0) < F(u) per ogni u e Hli2(Q,) se e solo se F(w0,Grad uQ) < F(u,v) per ogni (w,v) e [L2(Q)]n+1. Pertanto F(u0) < F(u) per ogni u e H1>2(Q) se e solo se

0 e dF(u0, Grad uo) = d (l(uo, Grad UQ) + I(u0ì Grad uo))

e, per le ipotesi ammesse, si ottiene

0 e dI(uo, Grad UQ) -f d£(uo, Grad no)

Poiché [L2(Q)]n+1 è uno spazio decomponibile, si ha, [12],

(97(wo,Grad u0) = {(q,p) e L2(Q) x [L2(Q)]n :

(q(x),p(x)) e dL(xìuo(x),Gra.d uo(x)) q.o.-x € fì}

mentre, d'altro canto, se (q,p) e di(u0, Grad w0), si ha

$.{711) —£(juo) > I q(x)[u(x) —uo(x)]dx Jn

+ / (p(x)ìGra.<lu(x)—Gra.<\uo(x))dx

per ogni u e Hlì2{Q), non appena si ricordi che se u fi Hlì2(Q) ì(u,v) = +00 per ogni ve[L2(Q)]n.

Condizioni necessarie e soluzioni di equazioni differenziali 353

Dalla disuguaglianza precedente, scegliendo u e i/1,2(Q) con yu = 71/0, si ottiene

0 > / q(x)[u(x) — uo(x)]dx + / (p(x), Grad u(x) - Grad uo(x))dx JQ JQ

e per la linearità

0 = / q(x)(p(x)dx -f / (p(x),Grad tp(x))dx JQ JQ

per ogni y» € Co°(n).

Ma allora

0 = f[q(x)~ ài\p(x)]ip(x)dx Vy>€C§°(n) JQ

e si può affermare che q(x) = divp(a;) q.o.-x e ft e dedurre che àivp e L2(Q). Integrando per parti, si ottiene che

£(711) - e^uo) > H-ì,a (r)(7P, 7^ - 7wo)//^>2(r)

per ogni u e fl"1,2(fì)-e, dal momento che l'operatore di traccia è surgettivo su H^2(T), si può affermare che ^p e ^(7^0); pertanto

"0?(tio,Grad-Tio) = {( divp,p) : p € L2div(f2) , fy e <9%u0)} .

Si può conludere allora che F(«o) < -̂ (w) per ogni w e Hlf2(fl) se e solo se esistono {qo,Po) e L2(fì) x [L2(fì)]n e tali che

(qo(x),po(x)) e dL(x,uo(x),Gra.ó. uo(x)) q.o. — x e Q

(-Po, -9o) G d£(u0ì Grad wo)

per cui pò e L2dW(Q) , divp0(^) = qofa) e

. '• ( divpo(^),po(^)) € dLfx, wo(^), Grad ùofaO) q.o. — x e fi m

-7Po .€ ^(7^0).

Qualche esempio di teorema di esistenza per equazioni differenziali

Vediamo ora come sia possibile ottenere in maniera semplice diversi teoremi di esistenza per la soluzione di equazioni differenziali; cominciamo con il considerare il caso più naturale, che conduce ad un teorema di esistenza della soluzione per un problema ai limiti relativo ad una equazione differenziale astratta del secondo ordine.

Consideriamo, a questo scopo, il problema di minimizzare il funzionale .1

L(t, x(t), x{t))dt + *(a?(0), ar(l)) '.o

sullo spazio A2(V) dove

L(t,x,v)=='-\v\2+'f(t,.x)

/ Jo

354 O. Caligaris

ed / è una integranda normale convessa, propria e semicontinua inferiormente tale che esistano

a e L2(V), b, (3 e LX(R) e a e R+ per cui

(a(t), x) + (3{t) < / ( t , a:) < a\x\2 + 6(4)

ed t è una funzione su V x V convessa semicontinua inferiormente e propria. Come abbiamo avuto modo di osservare in precedenza, l'esistenza del minimo per il

funzionale di Bolza considerato è assicurata, ad esempio se e(h,k) >a\h\2 + {b,k) + c

essendo a > 0 e questa condizione è a sua volta soddisfatta non appena si abbia i(h, k) > ix0{h) dove con iXo(h) si sia denotata la funzione indicatrice del punto xo.

In particolare, quindi, è lecito scegliere

£{hìk) = iXo{h) + iXl(k)

e per tale scelta il minimo del corrispondente problema di Bolza viene assunto.

Pertanto se sono soddisfatte le precedenti condizioni è possibile stabilire che esiste p e A2(V) tale che

fp{t)edf(ttx(t))

< P(t) = x(t)

* P(0) e diX0(x(0))

, -P(ì)ediXl(x(i))

Si può subito osservare che

per cui le due ultime inclusioni perdono significato e devono essere sostituite dalle condizioni x(0) = XQ e .r(l) = x\. Inoltre, poiché p(t) = x(t) si può desumere che x è una funzione assolutamente continua con derivata p = x e L2(V); si può allora concludere che le condizioni necessarie e sufficienti per il minimo si possono riscrivere nella seguente forma

(x(t)edf(tìX)

\ x(0) = x0 x(l) ~ x\

il che conduce ad asserire l'esistenza di una soluzione del problema differenziale astratto in conseguenza all'esistenza del minimo per il problema di Bolza considerato.

Per quanto concerne l'unicità della soluzione, può essere dedotta dall'unicità del minimo del funzionale di Bolza, che è garantita dalla stretta convessità del funzionale stesso.

Possiamo pertanto stabilire un teorema di esistenza ed unicità nella forma seguente

Condizioni necessarie e soluzioni di equazioni differenziali 355

TEOREMA. Sìa f una integranda normale convessa semicontinua inferiormente e propria tale che esistano a e L2(V), b,/3 e L^R) e a e K+ per cui

(a(t), x) + (3{t) < f(t, x) < a\x\2 + b(t)

e siano x0,xi e V; allora esiste una ed una sola funzione x e Cl(V) tale che x e A2(V) e

x(t)edf(t,x)

x(0) = XQ x(ì) = x\ .

Possiamo anche, scegliendo opportunamente l'integranda, fare in modo che le condizioni necessarie per il minimo si riducano ad una equazione differenziale del primo ordine. La formulazione variazionale di problemi di Bolza che conducono ad equazioni differenziali astratte del primo ordine è stata introdotta da Brezis ed Ekeland, [3-4], allo scopo di ottenere, attraverso condizioni necessarie e sufficienti per il minimo, teoremi di esistenza del minimo per un funzionale di Bolza; tale formulazione è stata poi ripresa in diversi lavori e si può anche usare per ottenere esistenza della soluzione per equazioni differenziali a partire da soluzioni del problema di Bolza.

Sia / : [0,1] x V —• E una integranda normale, convessa e propria per la quale supponiamo esistano a e L2(V), /3,b e LX(]R) e a > 0 tali che

(a(t), x) + (3(t) < f{t, x) < a\x\2 + b(t) .

Definiamo

Htìx1v) = f{ttx).+ r(t1-v) essendo, come d'uso, /*(*,••) la funzione coniugata di f(t,-). Definiamo inoltre

e(h1k) = iX0(h)+±\k\2.

e consideriamo il funzionale di Bolza definito su A2(V) da

F(x)=I(x) + £(x(0),x(l))

= J f(t,x(t)) + /*(«, -x(t))dt + ì |^(l) |2 + txo(a:(0)) .

Osserviamo innanzi tutto che, nelle ipotesi ammesse, esiste uno ed un solo x e A2(V) tale che F(x) < F{y) Vy G A2(V) e che, poiché anche le ipotesi per applicare le condizioni necessarie sono soddisfatte, si può affermare che esiste p e A2 (V) tale che

(p(0,J>(*).) ^ dL(t> *(*),*(*)) </•<>• ~ * e [0,1] (P(0)i -P(l))- € a€(a:(0),

È facile verificare che

{P,q)edL(t,x,v) <=> Pedf(t,x) Q qe-df*(t,-v)

356 O. Caligaris

ed è naturale indicare tale fatto scrivendo

dL(tyXìv) = (df(tìX),-df(t,-v)) .

Si ha

de(h,k) = (v,k)

per cui (p(0), -p(l)) e dt(xo{0), x0(ì)) significa che p(0) e V e -p(l) = x(ì). p(0) e V non pone, ovviamente alcuna restrizione ma deve essere sostituita con la condizione x(0) = XQ per cui risulta che x Q p devono soddisfare le seguenti condizioni

fp(t)edf(tìX(t))

< P(t)e-df*(t,-x(t)

' p(i) = -«(i)

, x(0) = a?0

che, poiché #/*(£, •) = (df(t, ))_1 , sono equivalenti alle fp(t)edf(tìX(t))

-x(t)edf(t,-P(t))

, x(0) = xo .

Consideriamo ora la funzione \\x(t) +p(t)\2, si verifica subito che

~W) +P(t)\2 = (i(t) +p(t)M*) +PW> > 0

per la monotonicità di <9/(£, );inoltre ^|a;(l) +p(l)\2 = 0 per cui

0 < Ì W * ) + P W | 2 < 0

e #(t) = -p(t).

Se ne deduce che deve essere

x(t)e-df(t,x(t))

x{0) = XQ

e, d'altra parte, se x è soluzione della precedente equazione, (x, —x) risolve il sistema precedente.

Possiamo allora, da quanto sopra esposto, dedurre che vale il seguente teorema di esistenza

Condizioni necessarie e soluzioni di equazioni differenziali 357

TEOREMA. Sia f :[0,l]xV —>R una integranda normale, propria e convessa per la quale esìstano a e L2(V) e j3 e L*(R) e a e R+ e b e L*(R) in modo che

(a(t), x) + 0(t) < f(t, x) < a\x\2 + b(t)

Allora esiste una editrici sola soluzione del problema

x(t)e-df(t,x(t))

x(0) =x0 . { Consideriamo infine una situazione che ci conduce a considerare equazioni differenziali

alle derivate parziali di tipo ellittico. Sia Q C Rn un sottoinsieme aperto limitato connesso la cui frontiera è supposta, per

semplicità, di classe C°° e che si suppone stare, localmente, dalla stessa parte di dQ. Sia V = R e W — Rn, indichiamo con u gli elementi in V == R e riserviamo x per la variabile indipendente in Q; se u e H0' (Q) denotiamo con Grad u il gradiente, rispetto alla variabile x, di u e Hlì2(Q) e consideriamo

A= (OÌ-J) aid e L°°(Q) Oitj = a^i

una matrice n x n, simmetrica a coefficienti in L°°(fì) e consideriamo la corrispondente forma quadratica definita da

n

Supponiamo che esistaji reale positivo tali che

a(£,0>Ai|É|2

e consideriamo l'operatore

A : tf ^(ft) ^ P'(tt)

definito mediante la n / n

Au=z ^2(aij(x)uXi(x))Xj= ùiw Ì^2aij(x)uXi(x) i,j=l \ t = l

Definiamo ancora

H1/ = {u e H^2(Q) : Au e L2(Q)}

e 7a : H^2 -* H~^2(T) mediante la

7a(*0 = 7 ( -^2fHj(x)uXi(x)

358 O. Caligaris

7a è l'estensione del concetto di derivata conormale ed inoltre risulta che

a(uìv) — J^ (Ati, v)dx + H-±,2{v) (faii, lu)H^2{v)

Sia / e L°°(Q) e ?/o € H?>2(r) e si consideri

L(x, w, v) = - (i4(a:)v, v) + /(a;)u £(3/) = iyo ('</)

definiamo inoltre su Hlì2(Q)

F(u) = /(u) + %u) = / L(x, w(rc), Grad u(x)) + £(TU)

possiamo allora verificare, si veda ad esempio [7], che F ammette un punto di minimo u e Hli2(Q) e che, in corrispondenza con tale u esiste p e L2

dìv(Q) tale che

( divp,p) = (/, ylGrad u) Af(p)ede(1u) = H-ì>2(r).

Ne deduciamo pertanto che

p(x) = >4(x)Grad u(x) f(x) = div (̂ 4(a;)Grad u(x)) = An(x)

e quindi che u soddisfa il seguente problema ai limiti

Au = /

7 ^ = 2/0 •

Se invece consideriamo / e L°°(Q), g e L2(Q), supponiamo

f(x) > A > 0 q.o. -x eQ

e definiamo

L(xìu1v) = -(A(x)vìv) + -f(x)u2+g(x)u i(y) = 0

possiamo affermare, [7], che esiste uno ed un solo u e H1,2(Q) tale che

I(u) = / L(x, n(x),Grad u(x)) Jci

ammette minimo e, applicando ancora le condizioni necessarie, si ottiene che u soddisfa l'equazione

Aw = fu + g

laU = 0 .

Se infine scegliamo / e L°°(Q) e yo e H?'2(T) e definiamo

L(x, ?i, v) = - (A(x)v, v) + f(x)u

Condizioni necessarie e soluzioni di equazioni differenziali 359

l+ +00 altrove dove E e T è un sottoinsieme di misura positiva, possiamo ancora ottenere un teorema di esistenza e applicando le condizioni necessarie, provare che esiste u e Hli2(Q) tale che

(Au = f

71* = yo su E

l >yau = 0 su T \ E .

BIBLIOGRAFIA

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Ottavio CAMGARIS Università di Torino, Sede di Alessandria Via Cavour 84, 15100 Alessandria, Italy.

Lavoro pervenuto in redazione il 7.9.1993.