Numeros Reales
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FUNDAMENTOS DE MÁTEMATICAFUNDAMENTOS DE MÁTEMATICA
LOS NÚMEROS REALES
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS
• Los Números naturales (N) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,....
• Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,....
• Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b
• Decimales exactos: a,bc
• Decimales periódicos puros: a,bcbcbc.....
• Decimales periódicos mixtos: a,bcccc....
• Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios
• Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimales no periódicos
1.1 – Clasificación de los números reales
,...7,2, 3Π
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
1.1 – Clasificación de los números reales
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL
Se efectúa la división:
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa
Natural 24
8 ⇒=
exacto Decimal 25,24
9 ⇒=
puro periódico Decimal 3,1...3333,13
4 ⇒≈=
mixto periódico Decimal 6̂1,1...16666,16
7 ⇒≈=
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
• Números decimales exactos
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa
100
238N =
N = 2,38 Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero
Simplificar la fracción, si es posible50
119N =
Despejar N100N = 238
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Números decimales periódicos puros
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa
99
236N =
N = 2,383838...
100N = 238,3838...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el mismo periodo
Restarlos
Simplificar la fracción, si es posible99
236N =
Despejar N99N = 236
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Números decimales periódicos mixtos
1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa
90
215N =
N = 2,3888...
10N = 23,888...
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puro
Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con el mismo periodo.
Simplificar la fracción, si es posible90
215N =
Despejar N90N = 215
100N = 238,888... Restarlos
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
1.3 – Números aproximados
Al expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar con una cantidad adecuada de cifras significativas.
Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste.
Para expresar una cantidad con un número determinado de cifras significativas recurrimos al redondeo, si la primera cifra que despreciamos es mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifra significativa y si es menor que cinco la dejamos con está.
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDO
1.3 – Números aproximados
Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.
El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición
Llamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que los errores con menor o igual número de cifras significativas.
Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición|
El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real
RealValor
absolutoError relativo Error =
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4.1 – DEFINICIÓN
1.4 – Notación científica
Un número puesto en notación científica consta de:
• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de las unidades).
• El resto de cifras significativas puestas como parte decimal.
• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número.
Si n es positivo, el número N es “grande”.
Si n es negativo, el número N es “pequeño”.
n10x......bcd,aN =
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
1.4 – Notación científica
• Sumas y restas: Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 para poder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro).
• Potencias: Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
• Productos y cocientes: Se multiplican (dividen) los números, por un lado y las potencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias:
baba 1010.10 += baba 1010:10 −=
( ) b.aba 1010 =
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA
1.4 – Notación científica
Parte decimal
Parte entera
Exponente de base 10
- Notación científica con 3 cifras significativas:
MODE + 8 + 3
- Quitar la notación científica
MODE + 9
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD
1.4 – Notación científica
Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños), existen algunos prefijos:
Giga Nano
Mega Micro
Kilo Mili
Hecto Centi
Deca Deci
910610
310210
110
910−
610−
310−
210−
110−
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
Los números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no se pueden poner como cociente de dos números enteros:
1.5 – Números no racionales
irracional es 2perfecto cuadradoun es no p si ,irracional es p
ésima-n potencia una es no p si ,irracional es pn
irracional es πesirracionalson periódicos no decimales números Los
En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos números irracionales.
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llama conjunto de números reales y se designa por R
1.6 – Los números reales
Cada punto de la recta corresponde a un número racional o a un número irracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.
1.6.1 - DEFINICIÓN
1.6.2 – LA RECTA REAL
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS
1.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS
0 +1 +3+2 +4 +6–5 +5–4 –3 –2 –1 –6
0 1 32 4 6–5 5–4 –3 –2 –1 –6
2 2,5 2,6 2,82,7 2,9 32,1 2,2 2,3 2,4
2,692,65 2,66 2,682,67 2,72,61 2,62 2,63 2,64 2,6
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOS
O U
1 u. 1 u.1 u.
1 u.1 u.
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5
Se divide cada unidad en tantas partes como tenga el denominador y se toman tantas como tenga el numerador.
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOS
Se utiliza el teorema de Pitágoras, donde la hipotenusa es lo que queremos dibujar.
( ) 222112 += 2
2
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.7 – Representación de números sobre la recta real
1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS
0 1 32 4 6–5 5–4 –3 –2 –1 –6
2,5 2,6 2,82,7 2,9 32,1 2,2 2,3 2,4 2
2,65 2,66 2,682,67 2,69 2,72,61 2,62 2,63 2,64 2,6
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS
1.8 – Intervalos y semirrectas
• Intervalo abierto: (a, b) = {x∈R / a < x < b}
a b
• Intervalo cerrado: [a, b] = {x∈R / a ≤ x ≤ b}
a b
Números comprendidos entre a y b
Números comprendidos entre a y b, incluidos a y b
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS
1.8 – Intervalos y semirrectas
• [a, b) = {x∈R / a ≤ x < b}
a b
• (a, b] = {x∈R / a < x ≤ b}
a b
Números comprendidos entre a y b, incluido a
Números comprendidos entre a y b, incluido b
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8.3 – SEMIRRECTAS
1.8 – Intervalos y semirrectas
• (∞, a) = {x∈R / x < a} Números menores que a
a
• (a, ∞) = {x∈R / a < x} Números mayores que a
a
• (∞, a] = {x∈R / x ≤ a} Números menores o iguales que a
a
• [a, ∞) = {x∈R / a ≤ x} Números mayores o iguales que a
a
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.8.4 – Entornos
1.8 – Entornos
• E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r)
: Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a)
• E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a}
)r,a(E −•
: Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r))r,a(E +•
a-r a+r
aa-r a+r
aa-r
a a+r
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propio número, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo.
1.9 – Valor absoluto de un número real
<≥
=0 a si a-
0a si aa
1.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Se iguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera.
{ }ba,baxbax
bax
bax
baxb|ax| +−∈⇒
−=+=
⇒
−=−=−
⇒=−
( )ba,baxbax
bax
bax
baxb|ax| +−∈⇒
−=+=
⇒
−=−=−
⇒<−
),ba[]ba,(xbax
bax
bax
baxb|ax| +∞+−−∞∈⇒
−=+=
⇒
−=−=−
⇒≥−
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
PROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS
1.10 – Potencias
1a 0 =aa1 =
nmnm aa.a +=nmnm aa:a −=
( ) n.mnm aa =
nnn )b.a(b.a =( ) nnn b:ab:a =
a
1a 1 =−
n
n
a
1a =−
n
nnn
a
b
a
b
b
a =
=
−
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.11.1 – DEFINICIÓN
1.11 – Raíces
1.11.2 – PECULIARIDADES
impar. esn si existe sólo a 0 a Si
n. sea que cualquiera existe a 0 a Sin
n
⇒<⇒≥
1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES
n
1n aa = n
mn m aa =
na bb = ⇔ = a
radical radicando
Índicen
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORA
1.11 – Raíces
":"cuadradas Raíces
"x" :Potencias y
"x" :tecla la con Raíces y
"" o "x" Tecla xy
613,4164078 "" "180" "" 180 ⇒=⇒
1919y64 7.101,84467440 71,84467440 "" "64" "x" "2" 2 ⇒⇒=⇒
211,8461943 "" )"" "5" :"" "2" ("" "483" 483 483 5
25 2 ⇒=⇒⇒
93,22710880 """5""x" "350" 350350 y
1
5
15 ⇒=⇒=
![Page 28: Numeros Reales](https://reader035.fdocuments.us/reader035/viewer/2022062419/559563141a28ab842b8b4633/html5/thumbnails/28.jpg)
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
( )n.mm n
n ppn
nn
n
nnn
nnp p
aa
aa
b
a
b
a
abb. a
r)simplifica puede (Se aa
=
=
=
==
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCES
1.12 – Propiedades y operaciones con raíces
Suma o diferencia de radicales: Tienen que ser los radicales iguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas)
Producto o cociente de radicales: Tienen que tener el mismo índice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común)
Racionalizar : Quitar las raíces del denominador
• Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para que se vaya la raíz del denominador.
• Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO
1.13 – Logaritmos
Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P.
Pa xPlog x
a=⇔=
1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1aloga =01loga =
QlogPlog)Q.P(log aaa +=QlogPlog)Q/P(log aaa −=
Plog.n)P(log an
a =
alogPlog
Plogb
ba =
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL
1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOS
1.13 – Logaritmos
Logaritmo decimal o en base 10 :
PlogPlog10 =
Logaritmo neperiano o en base e :
PlnPloge =