GUION DE ANALISIS MATEMATICO INumeros reales. Funciones reales.

1. Numeros reales: operaciones algebraicas

En R hay dos operaciones, suma y producto, respecto de las cuales es un cuerpo conmutativo.Esto significa que si a, b, c ∈ R,R1. Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c).R2. Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a.R3. Existencia de elemento neutro (cero) para la suma: Hay un numero real, que denota-

mos por 0, tal que 0 + a = a + 0 = a.R4. Existencia de elemento opuesto para la suma: Hay un numero real (y solo uno), que

denotamos por −a, tal que (−a) + a = a + (−a) = 0.R5. Propiedad asociativa del producto: (a b) c = a (b c).R6. Propiedad conmutativa del producto: a b = b a.R7. Existencia de elemento neutro (identidad) para el producto: Hay un numero real

distinto de 0, que denotamos por 1, tal que 1 · a = a · 1 = a.R8. Existencia de inverso para el producto: Si a 6= 0, hay un numero real (y solo uno) que

denotamos por a−1 o 1/a, tal que a−1 a = a a−1 = 1.R9. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a (b + c) = a b + a c.

2. Ordenacion de los numeros reales

En R hay una relacion de orden cuyas primeras propiedades son las mismas que las de la orde-nacion de los numeros racionales. Dados a, b, c ∈ R,R10. (reflexiva): a ≤ a.R11. (antisimetrica): a ≤ b y b ≤ a =⇒ a = b.R12. (transitiva): a ≤ b y b ≤ c =⇒ a ≤ c.R13. (orden total): a ≤ b o b ≤ a.R14. (relacion con la suma): a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c.R15. (relacion con el producto): Si c ≥ 0, a ≤ b =⇒ a c ≤ b c.

3. Valor absoluto de un numero real. Desigualdades basicas

El valor absoluto de un numero real a es el numero real no negativo

|a| =

{a, si a ≥ 0;−a, si a ≤ 0.

Definicion 3.1 (distancia entre numeros reales). Dados a, b ∈ R, llamaremos distancia entre ay b al numero real no negativo |a− b|.

Si a, b, t ∈ R, t ≥ 0, se verifica:1. |a| ≥ 02. |a− b| < t ⇐⇒ b− t < a < b + t.3. |a| > t ⇐⇒ a > t o a < −t4. |a b| = |a| |b|.5. desigualdad triangular |a + b| ≤ |a|+ |b|.6. desigualdad triangular “inversa”: ||a| − |b|| ≤ |a− b|.7. a2 ≤ b2 ⇐⇒ |a| ≤ |b| y a2 = b2 ⇐⇒ |a| = |b|.

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4. Supremo, ınfimo, maximo, mınimo de un conjunto

Dado un subconjunto S de R, si para algun numero real a es a ≤ s para todo s ∈ S, diremosque a es una cota inferior de S y que S esta acotado inferiormente (por a).

Si para algun numero real b fuese b ≥ s para todo s ∈ S, diremos que b es una cota superiorde S y que S esta acotado superiormente (por b).

Cuando S esta acotado a la vez superior e inferiormente, se dice que S esta acotado.Un numero real m es mınimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota inferior

del mismo. Es decir, si m ∈ S y m ≤ s para todo s ∈ S. Pondremos entonces m = mınS.Un numero real M es maximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una cota superior

del mismo. Es decir, si M ∈ S y M ≥ s para todo s ∈ S. Pondremos entonces M = maxS.Un numero real a es ınfimo de un conjunto S si es la mayor cota inferior del S. Es decir, si

a ≤ s para todo s ∈ S y cada a′ > a no es cota inferior de S, de modo que se tendra a′ > s′ paraalgun s′ ∈ S. Pondremos entonces a = inf S.

Un numero real b es supremo de un conjunto S si es la menor cota superior del S. Es decir, sib ≥ s para todo s ∈ S y cada b′ < b no es cota superior de S, de modo que se tendra b′ < s′ paraalgun s′ ∈ S. Pondremos entonces b = supS

5. Axioma del supremo (axioma de completitud de R para el orden)

R16. Completitud de R:1. Todo subconjunto no vacıo de R acotado superiormente tiene supremo.2. Todo subconjunto no vacıo de R acotado inferiormente tiene ınfimo.

6. Propiedad arquimediana de R: consecuencias

Teorema 6.1 (propiedad arquimediana de R). Dados dos numeros reales a, b, con a > 0, existealgun numero natural n tal que na > b.

Teorema 6.2 (densidad de Q en R). Dados dos numeros reales a, b, con a < b, existe algunnumero racional r tal que a < r < b.

Teorema 6.3 (densidad de R \ Q en R). Dados dos numeros reales a, b, con a < b, existe algunnumero irracional x tal que a < x < b.

7. Intervalos en R

Reciben el nombre de intervalos los subconjuntos de R definidos del siguiente modo (a, b sonnumeros reales cualesquiera):

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} (intervalo abierto acotado de extremos a, b)[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} (intervalo semiabierto–por la derecha– de extremos a, b)(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} (intervalo semiabierto–por la izquierda– de extremos a, b)[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (intervalo cerrado acotado de extremos a, b)

(a,+∞) = {x ∈ R : x > a} (intervalo abierto no acotado de origen a)[a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a} (intervalo cerrado no acotado de origen a)(−∞, b) = {x ∈ R : x < b} (intervalo abierto no acotado de extremo b)(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b} (intervalo cerrado no acotado de extremo b)

(−∞,+∞) = R.

Notese que si a > b, (a, b) = ∅, de modo que el conjunto vacıo es un intervalo.

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8. Funciones reales de una variable real. Generalidades

Definicion 8.1. Una funcion (real de variable real) es una aplicacion f : A → B con A, B ⊆ R.

Notaciona) El unico elemento de B que la aplicacion asocia a un elemento x ∈ A se denota por f(x)b) El conjunto Gf = {(x, f(x)) | x ∈ A} recibe el nombre de grafica de la funcion f .c) A recibe el nombre de dominio de definicion y se denota A = dom f ;d) f(A) = {f(x) | x ∈ A} recibe el nombre de conjunto imagen o rango de f .

Definicion 8.2. Sea f : A → B funcion.a) f se dice inyectiva si dados x, y ∈ A, con x 6= y se sigue f(x) 6= f(y)b) f se dice suprayectiva si f(A) = Bc) f se dice biyectiva si es simultaneamente inyectiva y suprayectiva.d) Si f es inyectiva, llamaremos funcion inversa de f a la funcion f−1 : f(A) → A tal que

f−1(y) = x si y solo si f(x) = y.

Definicion 8.3. Una funcion f se dice monotona no creciente si dados cualesquiera x, y ∈dom f con x < y, es f(x) ≥ f(y).

Una funcion f se dice monotona no decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f conx < y, es f(x) ≤ f(y).

Una funcion f se dice monotona estrictamente creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom fcon x < y, es f(x) < f(y).

Una funcion f se dice monotona estrictamente decreciente si dados cualesquiera x, y ∈dom f con x < y, es f(x) > f(y).

Una funcion monotona es una funcion de uno cualquiera de los tipos anteriores.

Definicion 8.4. Una funcion f esta acotada superiormente si su conjunto imagen esta acotadosuperiormente. Es decir, si existe M ∈ R tal que f(x) ≤ M para todo x ∈ dom f . M se recibe elnombre de cota superior de f .

Una funcion f esta acotada inferiormente si su conjunto imagen esta acotado inferiormente.Es decir, si existe m ∈ R tal que f(x) ≥ m para todo x ∈ dom f . m se recibe el nombre de cotainferior de f .

Una funcion esta acotada si lo esta superior e inferiormente, equivalentemente, f esta acotadasi y solo si existe un K ∈ R tal que |f(x)| ≤ K para todo x ∈ dom f .

Definicion 8.5. Sea f una funcion definida en R. Diremos que f esa) par si para cada x ∈ R se cumple f(−x) = f(x) (su grafica es entonces simetrica respecto

del eje de ordenadas);b) impar si para cada x ∈ R se cumple f(−x) = −f(x) (su grafica es entonces simetrica

respecto del origen de coordenadas);c) periodica de periodo T (T ∈ R \ {0}) si para cada x ∈ R se cumple f(x + T ) = f(x) (su

grafica puede obtenerse entonces por traslacion reiterada de la grafica en cualquier intervalode longitud |T |).

Definicion 8.6. (Operaciones con funciones) Sean f, g : A → B funciones. Se define,f + g : A → B como (f + g)(x) = f(x) + g(x).f · g : A → B como (f · g)(x) = f(x) · g(x).Si ademas g(x) 6= 0 en A, se define f

g : A → B como (fg )(x) = f(x)

g(x)

Definicion 8.7. (Composicion de funciones) Sean f : A → B y g : A′ → B′ con f(A) ⊂ A′. Sedefine la composicion de f y g como la funcion g ◦ f : A → B′, dada por (g ◦ f)(x) = g (f(x))

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9. Sucesiones de numeros reales

Definicion 9.1. Una sucesion de numeros reales es una funcion real con dominio N, o sea,una aplicacion s : N → R.

El valor que una sucesion s toma en cada n ∈ N se denota por sn. Nos referiremos a sn con elnombre de termino n-esimo . Por comodidad denotaremos las sucesiones por (sn)

Definicion 9.2. Una sucesion (sn) es convergente si existe un numero real a tal que para cadaε > 0 se puede encontrar un numero natural N = N(ε) de modo que siempre que n > N se verifique|sn − a| < ε. Se dice que el numero a es lımite de la sucesion (sn) o que (sn) converge a “a′′ y seescribe a = lım

nsn o sn → a.

Proposicion 9.3 (unicidad del lımite de una sucesion). Sea (sn) una sucesion convergente. En-tonces existe un unico valor a ∈ R al que converge.

Definicion 9.4. Diremos que una sucesion (sn) diverge a +∞, y escribiremos lımn

sn = +∞o sn → +∞, si para todo M ∈ R existe N ∈ N tal que si n > N se tiene sn > M .

Diremos que una sucesion (sn) diverge a −∞, y escribiremos lımn

sn = −∞ o sn → −∞, sipara todo M ∈ R existe N ∈ N tal que si n > N se tiene sn < M .

Una sucesion divergente es una sucesion que diverge a +∞ o a −∞. Las sucesiones que no sonconvergentes ni divergentes se denominan sucesiones oscilantes.

Proposicion 9.5. Toda sucesion convergente esta acotada.

Definicion 9.6. Una sucesion (sn) se dicea) monotona no decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≤ sn+1.b) monotona no creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≥ sn+1.c) estrictamente creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn < sn+1.d) estrictamente decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn > sn+1.e) monotona si es de alguno de los tipos anteriores.

Proposicion 9.7. Sea (sn) una sucesion.a) Si (sn) es monotona no decreciente. Entonces lım

nsn = sup{sn : n ∈ N} ∈ R ∪ {+∞}

b) Si (sn) es monotona no creciente. Entonces lımn

sn = inf{sn : n ∈ N} ∈ R ∪ {−∞}c) Las sucesiones monotonas no son oscilantes.

Proposicion 9.8 (Lımite de sucesiones y operaciones). Dada una sucesion (sn) con lımite a (finitoo infinito) y una sucesion (tn) con lımite b (finito o infinito), se tiene:

a) si a + b esta definido (en R ∪ {±∞}), (sn + tn) tiene lımite a + b.b) si a− b esta definido (en R ∪ {±∞}), (sn − tn) tiene lımite a− b.c) si a · b esta definido (en R ∪ {±∞}), (sn · tn) tiene lımite a · b.d) si a/b esta definido (en R ∪ {±∞}), (sn/tn) tiene lımite a/b.

Con los convenios dados por el cuadro adjunto.

Proposicion 9.9 (Lımite de sucesiones y orden). Sean (sn), (tn) sucesiones.a) Si sn → a ∈ R ∪ {±∞}, tn → b ∈ R ∪ {±∞} y sn ≤ tn entonces a ≤ b.

Con el convenio −∞ ≤ a ≤ +∞, a ∈ R.b) (Regla del sandwich). Si sn, tn → a ∈ R y (un) es tal que sn ≤ un ≤ tn entonces un → a.c) Si sn → +∞ y (tn) cumple sn ≤ tn entonces tn → +∞.d) Si tn → −∞ y (sn) cumple sn ≤ tn entonces sn → −∞.

Proposicion 9.10. Sean (sn), (tn) sucesiones.a) Si (sn) es acotada y tn → 0, la sucesion sn · tn → 0.b) Si (sn) esta acotada inferiormente y tn → +∞, entonces sn + tn → +∞.c) Si (sn) esta acotada superiormente y tn → −∞, entonces sn + tn → −∞.

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Ordenes de infinitud: Se tiene el siguiente orden de infinitud, donde a, p > 0 y b > 1:

(log n)p << na << bn << n! << nn (n → +∞).

Aquı, “sn << tn” significa que lımn

sn

tn= 0

Equivalencias: Sea sn → 0. Entonces,

sen(sn) ∼ sn log(1 + sn) ∼ sn tg(sn) ∼ sn

1− cos(sn) ∼ s2n/2 esn − 1 ∼ sn

donde “un ∼ rn” significa que lımn

un

rn= 1.

Teorema 9.11 (de Cantor de los intervalos encajados). Para cada n ∈ N, sea In = [an, bn] unasucesion de intervales cerrados que cumple In+1 ⊆ In y que ademas lımn(bn − an) = 0. Entonces∩n∈NIn = {x}, donde x = lım

nan = lım

nbn.

Definicion 9.12. Dada una sucesion (sn), diremos que una sucesion (tn) es una subsucesion de(sn) si existe una funcion ϕ : N −→ N estrictamente creciente, es decir,

ϕ(1) < ϕ(2) < ϕ(3) < · · · < ϕ(n) < ϕ(n + 1) < · · ·de manera que para todo n ∈ N es tn = sϕ(n).

Proposicion 9.13. Sea (sn) sucesion.a) Si sn → a ∈ R ∪ {±∞}, entonces para toda subsucesion (sϕ(n)) se tiene sϕ(n) → a.b) Si s2n → a y s2n−1 → a, entonces sn → a.

Proposicion 9.14. Toda sucesion posee una subsucesion monotona.

Teorema 9.15 (Bolzano-Weierstrass). Toda sucesion acotada posee una subsucesion convergente.

Definicion 9.16. Una sucesion (sn)∞n=1 se dice que es de Cauchy si para cada ε > 0 existe algunN ∈ N (que puede depender de ε) de modo que

n, m ≥ N =⇒ |sn − sm| < ε.

Proposicion 9.17. Toda sucesion de Cauchy esta acotada.

Proposicion 9.18. Una sucesion es convergente si y solo si es de Cauchy.

9.1. Lımite superior y lımite inferior de una sucesion. Lımites de oscilacion.

Definicion 9.19. Sea (sn) una sucesion. Se definen,

- lım supn

sn := infn

(supk≥n

sk

)= lım

n

(supk≥n

sk

)- lım inf

nsn := sup

n

(infk≥n

sk

)= lım

n

(infk≥n

sk

)Proposicion 9.20. Sea (sn) sucesion.

(sn) tiene lımite (finito o no) si y solo si lım infn sn = lım supn sn. Y en este caso, el lımite esigual al lımite superior y al lımite inferior.

(sn) es oscilante si y solo si lım infn sn < lım supn sn.

Definicion 9.21. Diremos que a ∈ R ∪ {±∞} es un lımite de oscilacion de una sucesion (sn)si a es lımite de alguna subsucesion de (sn).

Proposicion 9.22. Sea (sn) sucesion.El lımite superior (sn) es el maximo (en R ∪ {±∞}) de sus lımites de oscilacion.El lımite inferior de (sn) es el mınimo (en R ∪ {±∞}) de sus lımites de oscilacion.

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10. Lımites y continuidad de funciones.

Definicion 10.1. Sea A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞}. Diremos que a es un punto de acumulacion deA si existe una sucesion (sn) ⊆ A \ {a} tal que sn → a.

Definicion 10.2. Sea A ⊆ R, f : A → R funcion y a ∈ R ∪ {±∞} punto de acumulacion de A.Sea b ∈ R∪{±∞}. Diremos que el lımite de f cuando x tiende a a es b, y se escribe lım

x→af(x) = b,

si para toda sucesion (sn) de puntos de A \ {a} tal que lımn

sn = a se verifica lımn

f(sn) = b.

Definicion 10.3 (Definiciones equivalentes). Sean A ⊆ R, f : A → R, a, b ∈ R.a) lım

x→af(x) = b si para cada ε > 0 existe algun δ > 0 tal que todos los x ∈ A con 0 < |x−a| < δ

cumplen |f(x)− b| < ε.b) lım

x→af(x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algun δ > 0 tal que todos los x ∈ A con

0 < |x− a| < δ cumplen f(x) > M .c) lım

x→af(x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algun δ > 0 tal que todos los x ∈ A con

0 < |x− a| < δ cumplen f(x) < M .d) lım

x→+∞f(x) = b si para cada ε > 0 existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x > K

cumplen |f(x)− b| < ε.e) lım

x→+∞f(x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con

x > K cumplen f(x) > M .f) lım

x→+∞f(x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con

x > K cumplen f(x) < M .g) lım

x→−∞f(x) = b si para cada ε > 0 existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con x < K

cumplen |f(x)− b| < ε.h) lım

x→−∞f(x) = +∞ si para cada M ∈ R existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con

x < K cumplen f(x) > M .i) lım

x→−∞f(x) = −∞ si para cada M ∈ R existe algun K ∈ R tal que todos los x ∈ A con

x < K cumplen f(x) < M .

Proposicion 10.4 (unicidad del lımite). Sea A ⊆ R, f : A → R, a ∈ R ∪ {±∞} punto deacumulacion de A. Si existe lım

x→af(x) := b ∈ R ∪ {±∞} entonces ese lımite es unico.

Proposicion 10.5 (Lımite y operaciones). Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulacionde A, c ∈ R y f, g : A → R. Se tiene:

a) lımx→a

(f(x) + g(x)) = lımx→a

f(x)+ lımx→a

g(x), si estos ultimos lımites existen y su suma esta de-

finida en R ∪ {±∞}.b) lım

x→af(x)g(x) = lım

x→af(x) lım

x→ag(x), si estos ultimos existen y su producto esta definido en

R ∪ {±∞}.

c) lımx→a

f(x)g(x)

=lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x), si estos ultimos lımites existen y su cociente esta definido en R ∪

{±∞}.

Proposicion 10.6. Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulacion de A, y f, g : A → R.Si

a) f esta acotada y lımx→a

g(x) = 0, entonces lımx→a

f(x) g(x) = 0.

b) Si f esta acotada inferiormente y lımx→a

g(x) = +∞, entonces lımx→a

f(x) + g(x) = +∞.

c) Si f esta acotada superiormente y lımx→a

g(x) = −∞, entonces lımx→a

f(x) + g(x) = −∞.

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Proposicion 10.7. Sean A ⊆ R, a ∈ R ∪ {±∞} un punto de acumulacion de A y f : A → R,g : A → R, h : A → R funciones.

a) (regla del sandwich). Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),∀x ∈ A y lımx→a

f(x) = lımx→a

h(x) = b ∈ R,

entonces lımx→a

g(x) = b.

b) Si f(x) ≤ g(x),∀x ∈ A y lımx→a

f(x) = +∞, entonces tambien se tiene lımx→a

g(x) = +∞.

c) Si f(x) ≤ g(x),∀x ∈ A y lımx→a

g(x) = −∞, entonces tambien se tiene lımx→a

f(x) = −∞.

Definicion 10.8 (Lımites laterales). Sea A ⊆ R, f : A → R y b ∈ R ∪ {±∞}.a) Si a ∈ R es de acumulacion de A− = A ∩ (−∞, a), entonces diremos que el lımite de f

cuando x tiende a a por la izquierda es b, y se escribe lımx→a−

f(x) = b, si para toda sucesion

(sn) de puntos de A− tal que lımn

sn = a se verifica lımn

f(sn) = b.

b) Si a ∈ R es de acumulacion de A+ = A ∩ (a,+∞), entonces diremos que el lımite de fcuando x tiende a a por la derecha es b, y se escribe lım

x→a+f(x) = b, si para toda sucesion

(sn) de puntos de A+ tal que lımn

sn = a se verifica lımn

f(sn) = b.

Proposicion 10.9. Sea A ⊆ R, f : A → R y b ∈ R ∪ {±∞}. Sea a ∈ R de acumulacion de A− yde A+. Entonces lım

x→af(x) = b si y solo si lım

x→a−f(x) = lım

x→a+f(x) = b

10.1. Continuidad de funciones.

Definicion 10.10. Sea f : A ⊆ R → R, a ∈ A. f es continua en el punto a si para todasucesion (sn) de puntos de A convergente al punto a, se tiene que (f(sn)) converge a f(a).

Definicion 10.11 (Definicion equivalente). Sea f : A ⊆ R → R, a ∈ A. f es continua enel punto a si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualquier x ∈ A con |x − a| < δ es|f(x)− f(a)| < ε.

Definicion 10.12. Sea f : A ⊆ R → R, S ⊆ A. Diremos que f es continua en el conjunto Ssi f es continua en todos los puntos de S. Si S = A, diremos simplemente que f es continua .

Proposicion 10.13. Sea f : A ⊆ R → R, a ∈ A. Se tiene:a) si a es un punto aislado de A, entonces f es continua en a.b) si a es un punto de acumulacion de A entonces f es continua en a si y solo si existe lım

x→af(x)

y es igual a f(a).

Ejemplos. Las funciones elementales son continuas en sus dominios de definicion.

Definicion 10.14 (tipos de discontinuidades). Sea f : A → R, c ∈ A.a) Diremos que f tiene en c una discontinuidad evitable si existe lım

x→cf(x) ∈ R pero el

lımite no coincide con f(c)b) Diremos que f tiene en c una discontinuidad de salto si existen lım

x→c−f(x) y lım

x→c+f(x),

pero son distintos.

Proposicion 10.15 (Continuidad y operaciones). Sean f , g : A ⊆ R → R, a ∈ A y supongamosque f y g son continuas en a. Se tiene:

a) f + g es continua en a.b) f g es continua en a.c) si g(a) 6= 0, f/g es continua en a.

Proposicion 10.16 (Continuidad y composicion). Sean f : A ⊆ R → R, g : B ⊆ R → R, a ∈ A, ysupongamos que f(A) ⊆ B. Si f es continua en a y g es continua en f(a), entonces la composiciong ◦ f es continua en a.

Teorema 10.17 (Continuidad de la funcion inversa). Sea f una funcion continua e inyectiva enun intervalo I. Entonces f es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, y la inversaf−1 : f(I) → R es asimismo estrictamente monotona (del mismo tipo) y continua.

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Teorema 10.18 (de Weierstrass). Sea f una funcion continua en un intervalo cerrado y acotado[a, b], (donde a, b ∈ R, a < b). Entonces:

a) f esta acotada;b) f alcanza un valor mınimo y un valor maximo, es decir, existen puntos r, s ∈ [a, b] (no

necesariamente unicos) tales que para todo x ∈ [a, b] es f(r) ≤ f(x) ≤ f(s).

Teorema 10.19 (de los ceros, de Bolzano). Sea f : [a, b] → R una funcion continua (a, b ∈ R,a < b). Supongamos que f(a)f(b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) con f(c) = 0.

Teorema 10.20 (teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux). Sea I un intervalo,f : I → R continua. Entonces f tiene la propiedad de los valores intermedios: si a < b y λesta entre f(a) y f(b), es decir, f(a) < λ < f(b) o f(a) > λ > f(b), entonces existe al menos unx ∈ (a, b) tal que f(x) = λ.

Corolario 10.21. Sea I un intervalo, f : I → R continua. Entonces f(I) es un intervalo.

Definicion 10.22 (Continuidad uniforme). Sea f : A ⊆ R → R. Entonces f es uniformementecontinua en A si para cada par de sucesiones (sn), (tn) ⊂ A con sn − tn → 0, se tienef(sn)− f(tn) → 0.

Definicion 10.23 (Definicion equivalente). Sea f : A ⊆ R → R. Entonces f es uniformementecontinua en A si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para cualesquiera x, y ∈ A con |x− y| < δes |f(x)− f(y)| < ε.

Teorema 10.24 (de Heine). Si f es continua en un intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces fes uniformemente continua en [a, b].

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11. Derivabilidad de funciones.

En el capıtulo, I ⊂ R denotara siempre un intervalo.

Definicion 11.1. Sea f : I → R y a ∈ I. Diremos que f es derivable en a si existe (en R) ellımite

lımx→a

f(x)− f(a)x− a

.

El valor del lımite anterior recibe el nombre de derivada de f en a y suele denotarse por f ′(a).

Nota. Analogamente se definen, usando los lımites laterales correspondientes, las derivadas por laderecha y por la izquierda de f en a y se denotan f ′+(a) y f ′−(a).

Definicion 11.2. Sea f : I ⊆ R → R. Si S es el subconjunto de puntos de I en los que f esderivable entonces la funcion f ′ : S → R que a cada x ∈ S asocia valor f ′(x), recibe el nombre defuncion derivada de f .

Proposicion 11.3. Sea f : I → R y a ∈ I. Si f es derivable a, entonces f es continua en a.

Teorema 11.4 (Derivadas y operaciones). Sean f , g : I → R funciones derivables en a ∈ I yc ∈ R. Se tiene:

a) f + g es derivable en a, con derivada (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).b) c f es derivable en a, con derivada (c f)′(a) = c f ′(a).c) f g es derivable en a, con derivada (f g)′(a) = f ′(a) g(a) + f(a) g′(a).

d) si g(a) 6= 0, entonces f/g es derivable en a, con derivada (f/g)′(a) =f ′(a) g(a)− f(a) g′(a)

g(a)2.

Teorema 11.5 (derivacion y composicion: la regla de la cadena). Sean f : I → R y g : J → Rtales que f(I) ⊆ J . Si f es derivable en un punto a ∈ I y g es derivable en f(a), entonces lafuncion compuesta g ◦ f es derivable en a y su derivada en este punto viene dada por la regla dela cadena:

(g ◦ f)′(a) = g′(f(a)) f ′(a).

Teorema 11.6 (derivacion y funcion inversa). Sea f : I → R continua e inyectiva en I. Si f esderivable en a ∈ I y f ′(a) 6= 0, entonces f−1 es derivable en b = f(a) con derivada(

f−1)′ (b) =

1f ′(a)

.

Definicion 11.7. Sea f : I → R y c ∈ I. Diremos que f tiene un maximo relativo en c si existeun δ > 0 tal que para todo x ∈ I con |x − c| < δ es f(x) ≤ f(c) (tambien se dice que f tiene unmaximo local en c).

Diremos que f tiene un mınimo relativo en c si existe un δ > 0 tal que para todo x ∈ I con|x− c| < δ es f(x) ≥ f(c) (tambien se dice que f tiene un mınimo local en c).

Que f tiene un extremo relativo en c significa que tiene un maximo relativo o un mınimorelativo.

Proposicion 11.8. Sea f : I → R y c un punto interior de I. Si f es derivable en c y tiene en cun extremo relativo, entonces f ′(c) = 0.

Definicion 11.9. Sea f : I → R y c ∈ I. Diremos que c es un punto crıtico de f si f es derivableen c y f ′(c) = 0.

Teorema 11.10 (de Rolle). Sea f : [a, b] → R una funcion continua en [a, b] y derivable en elintervalo abierto (a, b) y supongamos que f(a) = f(b). Entonces existe al menos un x ∈ (a, b) talque f ′(x) = 0.

Teorema 11.11 (del valor medio o de los incrementos finitos). Sea f : [a, b] → R una funcioncontinua en [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe al menos un x ∈ (a, b)tal que

f(b)− f(a) = f ′(x) (b− a).

10

Corolario 11.12. Sea f : I → R un funcion continua en I y derivable en todos los puntos interioresdel intervalo.

a) Si f ′(x) = 0 en cada x interior a I, entonces f es constante en I.b) Si f ′(x) = g′(x) en cada x interior a I, entonces hay una constante c ∈ R tal que f(x) =

g(x) + c en todo punto de I.

Corolario 11.13. Sea f : I → R una funcion continua en I y derivable en todos los puntosinteriores del intervalo. Se tiene:

a) si f ′(x) > 0 en todo punto interior de I, entonces f es estrictamente creciente en I.b) si f ′(x) < 0 en todo punto interior de I, entonces f es estrictamente decreciente en I.c) f ′(x) ≥ 0 en todo punto interior de I ⇐⇒ f es monotona no decreciente en I.d) f ′(x) ≤ 0 en todo punto interior de I ⇐⇒ f es monotona no creciente en I.

Proposicion 11.14 (regla de L’Hospital). Sean I un intervalo, f, g : I → R y a ∈ R ∪ {±∞} unpunto de acumulacion de I. Denotemos mediante s uno de los sımbolos a, a+, a−. Supongamosque:

a) f y g son derivables en I \ {a} y g′(x) 6= 0 en cada x ∈ I \ {a}.b) se verifica alguna de las tres condiciones siguientes:

• lımx→s

f(x) = lımx→s

g(x) = 0.

• lımx→s

g(x) = +∞.

• lımx→s

g(x) = −∞.

c) existe lımx→s

f ′(x)g′(x)

= L ∈ R ∪ {±∞}.

Entonces, existe el lımite de f(x)/g(x) y es igual a L:

lımx→s

f(x)g(x)

= lımx→s

f ′(x)g′(x)

= L.

11.1. Desarrollos polinomicos. Teorema de Taylor-Young.

Definicion 11.15 (derivadas de orden superior). Sea f una funcion derivable en I. Dado c ∈ I,si la funcion derivada f ′ es derivable en c diremos que f es dos veces derivable en c, y a laderivada de f ′ en c, que denotaremos por f ′′(c), la llamaremos derivada segunda de f en c.Reiterando, se define para cada n ∈ N la derivada de orden n en un punto, que se escribe f (n)(c).

Teorema 11.16 (de Taylor-Young). Sea f : I → R y c ∈ I. Supongamos que f es derivable entodos los puntos hasta el orden n− 1 (n ≥ 1) y que existe f (n)(c). Entonces

lımx→c

1(x− c)n

[f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)− f ′′(c)

2(x− c)2 − · · · − f (n)(c)

n!(x− c)n

]= 0.

Definicion 11.17. Dada una funcion f derivable n veces en un punto c, se llama polinomio deTaylor en c de orden n al polinomio

Pn,c,f (x) = f(c) + f ′(c)(x− c) +f ′′(c)

2(x− c)2 + · · ·+ f (n)(c)

n!(x− c)n

(notese que se trata de un polinomio de grado menor o igual que n).

Definicion 11.18. Si f y g son dos funciones, se dice que f(x) = o(g(x)) cuando x → c si

lımx→c

f(x)g(x)

= 0.

Ası, f(x) = h(x) + o(g(x)) significa f(x)− h(x) = o(g(x)), es decir, lımx→c

f(x)− h(x)g(x)

= 0.

Con esto, la formula del teorema de Taylor-Young es

f(x) = Pn,c,f (x) + o((x− c)n), x → c.

11

Proposicion 11.19 (unicidad de la aproximacion polinomica). Sea f : I → R, c ∈ I y n ∈ N.Supongamos que existen polinomios P y Q de grado menor o igual que n tales que

lımx→c

f(x)− P (x)(x− c)n

= lımx→c

f(x)−Q(x)(x− c)n

= 0

Entonces P = Q.

Proposicion 11.20. Sea f : I → R, c ∈ I y n ∈ N. Supongamos que f es continua en I y derivableen I \ {c}. Si

f ′(x) = a0 + a1(x− c) + · · ·+ an(x− c)n + o ((x− c)n) , x → c,

entonces

f(x) = f(c) + a0(x− c) +a1

2(x− c)2 + · · ·+ an

n + 1(x− c)n+1 + o

((x− c)n+1

), x → c.

Teorema 11.21 (de Taylor). Sea f una funcion n+1 veces derivable en un intervalo I. Entonces,dados c, x ∈ I, se cumple

f(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) +f ′′(c)

2(x− c)2 + · · ·+ f (n)(c)

n!(x− c)n + Rn(x, c)

donde Rn(x, c) es una funcion que depende de x y de c y que puede expresarse de las siguientesformas:

a) Resto de Lagrange:Existe un punto s interior al intervalo de extremos c y x tal que

Rn(x, c) =f (n+1)(s)(n + 1)!

(x− c)n+1.

b) Resto de Cauchy:Existe un punto t interior al intervalo de extremos c y x tal que

Rn(x, c) =f (n+1)(t)

n!(x− c)(x− t)n.

Teorema 11.22 (condiciones para la existencia de extremos relativos). Sea f una funcion derivablen− 1 veces (n > 1) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (n)(a) y ademas

f ′(a) = f ′′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0 f (n)(a) 6= 0.

Entonces:a) n par, f (n)(a) > 0 =⇒ f tiene en a un mınimo relativo estricto;b) n par, f (n)(a) < 0 =⇒ f tiene en a un maximo relativo estricto;c) n impar =⇒ f no tiene un extremo relativo en a.

12

Definicion 11.23. Sea f : I −→ R, I un intervalo. Se dice que f es convexa en I si paracualesquiera a, b, c ∈ I tales que a < c < b se tiene

f(c) ≤ f(a) +f(b)− f(a)

b− a(c− a)

(es decir, la grafica de f esta por debajo de todas las cuerdas).Se dice que f es concava en I si para cualesquiera a, b, c ∈ I tales que a < c < b se tiene

f(c) ≥ f(a) +f(b)− f(a)

b− a(c− a)

(es decir, la grafica de f esta por encima de todas las cuerdas).

Teorema 11.24. Sea f una funcion derivable en un intervalo I (derivable lateralmente en losextremos si estos pertenecen al intervalo). Son equivalentes:

a) f es convexa en I;b) “la grafica de f esta por encima de sus tangentes”:

f(b) ≥ f(a) + f ′(a)(b− a) ∀ a, b ∈ I;

c) f ′ es no decreciente en I.

Corolario 11.25. Sea f derivable en un intervalo I (derivable lateralmente en los extremos siestos pertenecen al intervalo). Son equivalentes:

a) f es concava en I;b) “la grafica de f esta por debajo de sus tangentes”:

f(b) ≤ f(a) + f ′(a)(b− a) ∀ a, b ∈ I;

c) f ′ es no creciente en I.

Corolario 11.26. Sea f derivable dos veces en un intervalo I. Son equivalentes:a) f es convexa en I;b) f ′′(x) ≥ 0 ∀ x ∈ I.

Corolario 11.27. Sea f derivable dos veces en un intervalo I. Son equivalentes:a) f es concava en I;b) f ′′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ I.

Definicion 11.28. Sea f una funcion y sea a ∈ dom f . Se dice que f tiene en a un punto deinflexion si existe δ > 0 tal que (a−δ, a+δ) ⊆ dom f y o bien f es convexa en (a−δ, a] y concavaen [a, a + δ), o bien es concava en (a− δ, a] y convexa en [a, a + δ).

Proposicion 11.29. Sea f : D ⊆ R → R y a un punto interior de D. Supongamos que f esderivable en un intervalo abierto I ⊆ D tal que a ∈ I. Entonces, si f tiene un punto de inflexionen a y existe f ′′(a), necesariamente f ′′(a) = 0.

Proposicion 11.30 (condicion suficiente para la existencia de puntos de inflexion). Sea f unafuncion derivable n − 1 veces (n ≥ 3) en un intervalo abierto I; sea a ∈ I tal que existe f (n)(a) yademas

f ′′(a) = f ′′′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) 6= 0.

Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexion.

Corolario 11.31. Sea f una funcion derivable n− 1 veces (n ≥ 3) en un intervalo abierto I; seaa ∈ I tal que existe f (n)(a) y ademas

f ′(a) = f ′′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) 6= 0.

Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexion con tangente horizontal y no un extremolocal.

13

11.2. Representacion grafica de funciones.1) Generalidades.

a) Determinacion de su dominio.b) Simplificacion del estudio: paridad [f(−x) = f(x)] o imparidad [f(−x) = −f(x)];

periodicidad [f(x + p) = f(x)]. Otras simetrıas. Regiones planas sin puntos de lagrafica.

c) Lımites de la funcion en puntos del dominio; continuidad.d) Lımites de la funcion en los puntos de acumulacion del dominio que no pertenezcan a el.

En particular, asıntotas verticales: si para algun punto a de acumulacion del dominiode f se cumple lım

x→a−f(x) = +∞, la recta x = a es una asıntota vertical (lo mismo si

el lımite es −∞ o si el lımite es por la derecha).e) Comportamiento en el infinito: asıntotas horizontales y oblicuas.

• Si el dominio de f no esta acotado superiormente y para algun b ∈ R es lımx→+∞

f(x) =

b, la recta y = b es una asıntota horizontal.• Si existen a, b ∈ R tales que lım

x→+∞[f(x) − (ax + b)] = 0, la recta y = ax + b es

una asıntota oblicua. En este caso,

a = lımx→+∞

f(x)x

, b = lımx→+∞

[f(x)− ax].

Una asıntota horizontal es un caso particular de asıntota oblicua, con a = 0.

• Si existe a ∈ R tal que a = lımx→+∞

f(x)x

, la recta y = ax es una direccion asintotica

de la grafica (aun cuando no exista asıntota). En este caso, si lımx→+∞

[f(x)−ax] =

+∞ se dice que la grafica de f tiene una rama parabolica de direccion asintoticay = ax.

• Lo mismo para x → −∞ (si el dominio de f no esta acotado inferiormente).f) Crecimiento y decrecimiento.

2) Estudio de la derivada.a) Derivabilidad de la funcion. Puntos con tangente vertical.b) Signo de la derivada: crecimiento y decrecimiento; extremos relativos y absolutos.c) Crecimiento y decrecimiento de la derivada: convexidad y concavidad; puntos de infle-

xion.d) Puntos crıticos o singulares.

3) Estudio de la derivada segunda.a) Existencia de la derivada segunda.b) Signo de la derivada segunda: convexidad y concavidad; puntos de inflexion.

4) Otras consideraciones: valores particulares de la funcion o de sus derivadas; cortes con losejes; cortes con las asıntotas.

14

12. Integral de Riemann.

Definicion 12.1. Una particion de un intervalo [a, b] es un conjunto finito de puntos de [a, b]que incluye a los extremos.

P = {xi}ni=0 ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}.

Definicion 12.2 (sumas de Darboux). Sea f : [a, b] → R una funcion acotada y sea P una particionP ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Sean, para cada i = 1, . . . , n,

Mi = sup{f(x); x ∈ [xi−1, xi]}; mi = inf{f(x); x ∈ [xi−1, xi]}.

La suma inferior de f asociada a P se define como S(f, P ) =n∑

i=1

mi(xi − xi−1).

La suma superior de f asociada a P se define como S(f, P ) =n∑

i=1

Mi(xi − xi−1)

Lema 12.3. Sea f : [a, b] → R acotada. Si P y Q son particiones de [a, b] y P ⊆ Q (se dice en talcaso que Q es mas fina que P ), entonces

S(f, P ) ≤ S(f,Q) ≤ S(f,Q) ≤ S(f, P ),

y en consecuenciaS(f,Q)− S(f,Q) ≤ S(f, P )− S(f, P ).

Lema 12.4. Sea f : [a, b] → R acotada. Si P y Q son particiones cualesquiera de [a, b], entonces

S(f, P ) ≤ S(f,Q).

Definicion 12.5. Dada f : [a, b] → R acotada, se define su integral inferior en [a, b] como∫ b

af = sup{S(f, P ); P particion},

y su integral superior en [a, b] como∫ b

af = inf{S(f, P ); P particion}.

Teorema 12.6. Si f : [a, b] → R acotada, entonces∫ b

af ≤

∫ b

af

Definicion 12.7. Una funcion f : [a, b] → R acotada es integrable-Riemann en [a, b], o simple-mente integrable, si se cumple que ∫ b

af =

∫ b

af.

En tal caso, al valor comun de dichas integrales se le llama la integral (de Riemann) de f en

[a, b], y se escribe∫ b

af .

Teorema 12.8 (condicion de integrabilidad de Riemann). Una funcion f : [a, b] → R acotada esintegrable en dicho intervalo si y solo si para cada ε > 0 existe una particion P = Pε de [a, b] talque

S(f, P )− S(f, P ) < ε.

Definicion 12.9. Dada una particion P , su norma ‖P‖ es el maximo de {xi−xi−1; i = 1, . . . , n}.

Teorema 12.10 (condicion de integrabilidad de Riemann). Una funcion f acotada en [a, b] esintegrable si y solo si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda particion P de [a, b]

‖P‖ < δ implica S(f, P )− S(f, P ) < ε.

15

Teorema 12.11 (integrabilidad de las funciones monotonas). Toda funcion monotona en un in-tervalo [a, b] es integrable.

Teorema 12.12 (integrabilidad de las funciones continuas). Toda funcion continua en un intervalo[a, b] es integrable.

Definicion 12.13. Dada una particion P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b} y unafuncion f definida en [a, b], para cada eleccion de valores si ∈ [xi−1, xi] se dice que

S =n∑

i=1

f(si)(xi − xi−1)

es una suma de Riemann de f asociada a P .

Teorema 12.14. Sea f : [a, b] → R acotada. Si f es integrable entonces para todo ε > 0 se puedeencontrar un δ > 0 de manera que

|S −∫ b

af | < ε

para cualquier suma de Riemann S de f asociada a una particion P de norma ‖P‖ < δ.

Corolario 12.15. Sea f una funcion integrable en [a, b], (Pn) una sucesion de particiones de [a, b]tal que lım

n‖Pn‖ = 0. Si para cada n se considera una suma de Riemann Sn correspondiente a la

particion Pn y a la funcion f , entonces

lımnSn =

∫ b

af.

Teorema 12.16. Sean f y g funciones integrables en [a, b] y sea α un numero real. Entonces

(a) αf es integrable y∫ b

a(αf) = α

∫ b

af .

(b) f + g es integrable y∫ b

a(f + g) =

∫ b

af +

∫ b

ag.

(c) Si f(x) ≤ g(x) para cada x ∈ [a, b] entonces∫ b

af ≤

∫ b

ag.

(d) |f | es integrable en [a, b] y∣∣∣∣∫ b

af

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f |.

(e) la funcion producto fg es integrable en [a, b].

Teorema 12.17. Sea f : [a, b] → R funcion. Dado c ∈ [a, b], son equivalentes:(a) f es integrable en [a, b];(b) f es integrable en [a, c] y en [c, b].

En tal caso se tiene∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf.

Convenio. Pondremos∫ b

af = −

∫ a

bf y si a = b,

∫ b

af = 0.

Proposicion 12.18. Sea g una funcion integrable en [a, b], y sea f una funcion igual a g exceptoen un conjunto finito de puntos de [a, b]. Entonces f es integrable, y

∫ ba f =

∫ ba g.

Definicion 12.19. Funciones monotonas a trozos y funciones continuas a trozos. Unafuncion f : [a, b] → R se dice continua a trozos si existe una particion a = t0 < t1 < t2 < . . . <tn−1 < tn = b tal que f es continua en cada intervalo (ti−1, ti) y existen y son reales los lımiteslaterales en cada ti.

Una funcion f : [a, b] → R se dice monotona a trozos si existe una particion a = t0 < t1 <t2 < . . . < tn−1 < tn = b tal que f es monotona (de cualquier clase) en cada intervalo (ti−1, ti).

Teorema 12.20. Si f es un funcion continua a trozos o una funcion acotada y monotona a trozosen [a, b], entonces f es integrable en [a, b].

16

12.1. Teoremas fundamentales del Calculo.

Teorema 12.21 (regla de Barrow). Sea f una funcion integrable en un intervalo [a, b] y supongamosque existe otra funcion F continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que F ′(x) = f(x) para todox ∈ (a, b). Entonces, ∫ b

af = F (b)− F (a).

Teorema 12.22 (segundo teorema fundamental ). Sea f una funcion integrable en [a, b]. DefinamosF : [a, b] → R mediante

F (x) =∫ x

af.

Entonces(a) F es continua en [a, b];(b) si f es continua en algun x0 ∈ [a, b], entonces F es derivable en x0 y

F ′(x0) = f(x0).

Corolario 12.23. Sea f una funcion continua (y por tanto integrable) en el intervalo cerrado yacotado [a, b]. Existe entonces al menos un punto x0 ∈ [a, b] tal que

1b− a

∫ b

af = f(x0).

Corolario 12.24. Toda funcion f continua en un intervalo I cualquiera admite una primitiva endicho intervalo.

Corolario 12.25. Sea f una funcion definida en un intervalo I cualquiera, integrable en cualquierintervalo cerrado y acotado contenido en I y sea α : J → I derivable en x0 ∈ J . Dado a ∈ I, seaG : J → R la funcion dada por

G(x) =∫ α(x)

af.

Si f es continua en α(x0), entonces G es derivable en x0, con

G′(x0) = α′(x0)f(α(x0)

).

Teorema 12.26 (integracion por partes). Si u y v son funciones continuas en [a, b] derivables en(a, b) y sus derivadas u′ y v′ son integrables en [a, b], entonces∫ b

au v′ = u(b)v(b)− u(a)v(a)−

∫ b

au′ v.

Teorema 12.27 (cambio de variable). Sea u una funcion derivable en un intervalo abierto J talque u′ es continua y sea I un intervalo abierto tal que u(J) ⊆ I. Si f es continua en I, entoncesf ◦ u es continua en J y ∫ b

af(u(x))u′(x) dx =

∫ u(b)

u(a)f(t) dt

para cualesquiera a, b ∈ J .

17

13. Integrales impropias.

Definicion 13.1. Sea I ⊂ R intervalo. f : I → R es localmente integrable en I si f es integrableRiemann en [s, t], s, t ∈ R para todo [s, t] ⊂ I.

Definicion 13.2. Sea f : I → R localmente integrable. Denotar a = inf I, b = sup I, a, b ∈ R ∪{±∞}. Diremos que la integral impropia

∫ ba f es convergente si para algun c ∈ (a, b) existen y son

reales los lımites lıms→b−∫ sc f y lımt→a+

∫ ct f . En tal caso se escribe,∫ b

af = lım

s→b−

∫ s

cf + lım

t→a+

∫ c

tf

En caso contrario la integral impropia se dice no convergente.

Propiedades.i) El caracter y el valor de la integral impropia

∫ ba f no depende de c.

ii) La integral impropia∫ ba f es convergente si y solo si para todo c ∈ (a, b) son convergentes

∫ ca f y∫ b

c f . En tal caso,∫ ba f =

∫ ca f +

∫ bc f

iii) Si f es integrable Riemann en [a, b], a, b ∈ R entonces∫ ba f = lımt→a+

∫ ct f + lıms→b−

∫ sc f .

iv) Sean∫ ba f,

∫ ba g, integrales impropias convergentes. Entonces para todo α, β ∈ R,

∫ ba (αf + βg) es

convergente y∫ ba (αf + βg) = α

∫ ba f + β

∫ ba g.

Proposicion 13.3.

i)∫ ∞

1

dx

xpconverge si y solo si p > 1.

ii)∫ 1

0

dx

xpconverge si y solo si p < 1.

Proposicion 13.4. Sea f : I → R localmente integrable. Si∫ ba |f | converge entonces

∫ ba f tambien

converge y ademas∣∣∣∫ b

a f∣∣∣ ≤ ∫ b

a |f |. En tal caso se dice que la integral impropia∫ ba f es absolutamente

convergente.

13.1. Criterios de convergencia para funciones no negativas.

Nota. Enunciaremos los resultados para intervalos de la forma [a, b), a ∈ R, b ∈ R ∪ {−∞}. (Esdecir, cuando la razon de que sea impropia la integral este en b). Analogos resultados se tienen para(a, b], b ∈ R, a ∈ R ∪ {−∞}.

Proposicion 13.5. Sea f una funcion localmente integrable y no negativa en [a, b). La integralimpropia

∫ ba f es convergente si y solo si la funcion F (x) =

∫ xa f, x ∈ [a, b) esta acotada. En caso

contrario, la integral diverge a +∞.

Proposicion 13.6 (criterio de comparacion). Sean f , g funciones no negativas localmente inte-grables en un intervalo [a, b) tales que f(x) ≤ g(x),∀x ∈ [a, b). Si la integral impropia

∫ ba g es

convergente, entonces tambien la integral impropia∫ ba f es convergente.

Proposicion 13.7 (criterio de comparacion por paso al lımite). Sean f , g funciones no negativaslocalmente integrables en un intervalo [a, b). Supongamos que existe

lımx→b−

f(x)g(x)

= ` ∈ [0,+∞) ∪ {+∞}.

a) Si ` = 0 y∫ ba g converge, entonces

∫ ba f tambien converge.

b) Si ` = +∞ y∫ ba g diverge, entonces

∫ ba f tambien diverge.

c) Si 0 < ` < ∞, las dos integrales∫ ba f y

∫ ba g tienen el mismo caracter: o las dos son

convergentes, o las dos son divergentes.

18

14. Series de numeros reales

Definicion 14.1. Sea (an) sucesion. Una serie es una sucesion (sN ) definida por

sN = a1 + a2 + · · ·+ aN

Cada an recibe el nombre de termino n-esimo de la serie.Cada sN recibe el nombre de suma parcial N-esima de la serie.

Si lımN→∞

sN ∈ R, se dice que la serie es convergente y se denota lımN→∞

sN =∞∑

n=1

an

Si lımN→∞

sN = ±∞ se dice que la serie es divergente y se escribe lımN→∞

sN =∞∑

n=1

an = ±∞.

Si lımN→∞

sN no existe se dice que la serie es oscilante.

El valor del lımite(si existe)∞∑

n=1

an recibe el nombre de suma de la serie.

Ejemplo (series geometricas). Una serie se dice geometrica si es de la forma∞∑

n=1

rn−1. Si sN es su

suma parcial N -esima, se tiene

sN = 1 + r + · · ·+ rN−1 =

{1−rN

1−r si r 6= 1N si r = 1

.

a) si |r| < 1, la serie∞∑

n=1

rn−1 es convergente y la suma es1

1− r;

b) si r ≥ 1, la serie es divergente a +∞;c) si r = −1, la serie es oscilante;d) si r < −1, la serie es oscilante.

Ejemplo. Sea (bn) sucesion de numeros reales. Entonces la serie∑∞

n=1(bn − bn+1) (denominadaserie telescopica) es convergente si y solo si la sucesion (bn) tiene lımite real, en cuyo caso tenemos

∞∑n=1

(bn − bn+1) = b1 − lımn

bn.

Proposicion 14.2. Sean∑∞

n=1 an,∑∞

n=1 bn series convergentes. Para cualesquiera α, β ∈ R, laserie

∑∞n=1(αan + βbn) es convergente y se tiene

∞∑n=1

(αan + βbn) = α∞∑

n=1

an + β∞∑

n=1

bn.

Proposicion 14.3 (condicion necesaria para la convergencia de una serie). Si la serie∑∞

n=1 an

converge, necesariamentelımn

an = 0.

Series de numeros no negativos.

Proposicion 14.4. Sea∑∞

n=1 an una serie tal que an ≥ 0 para cada n ∈ N. Entonces∑∞

n=1 an

converge si y solo si la sucesion (sN ) de sus sumas parciales esta acotada superiormente. En casocontrario, la serie diverge a +∞.

Teorema 14.5 (criterio de comparacion por mayoracion). Sean∑∞

n=1 an y∑∞

n=1 bn dos seriescon 0 ≤ an ≤ bn. Si

∑∞n=1 bn converge, tambien converge

∑∞n=1 an. En consecuencia, si

∑∞n=1 an

diverge,∑∞

n=1 bn es asimismo divergente.

19

Teorema 14.6 (criterio de comparacion por paso al lımite). Sean∑∞

n=1 an,∑∞

n=1 bn series determinos no negativos. Supongamos que existe

lımn

an

bn= ` ∈ [0,+∞) ∪ {+∞}.

a) Si ` = 0 y la serie∑∞

n=1 bn converge, entonces la serie∑∞

n=1 an tambien converge.b) Si ` = +∞ y la serie

∑∞n=1 bn diverge, entonces la serie

∑∞n=1 an tambien diverge.

c) Si 0 < ` < +∞, entonces las dos series∑∞

n=1 an y∑∞

n=1 bn tienen el mismo caracter.

Proposicion 14.7 (criterio integral). Sea f : [1,+∞) → [0,+∞) no creciente. Entonces la integral

impropia∫ +∞

1f es convergente si y solo si la serie

∞∑n=1

f(n) converge.

1.- La constante γ de Euler .

γ = lımn

(n∑

k=1

1k−∫ n

1

1x

dx

)= lım

n

(n∑

k=1

1k− log n

)= 0, 5772156649 . . .

es un numero introducido por Euler en 1734 en el estudio de la funcion Γ.2.- El criterio integral permite comprobar que la serie

∑∞n=1

1ns converge si y solo si s > 1. La

funcion

ζ(s) =∞∑

n=1

1ns

, s > 1

se denomina funcion zeta de Riemann .

Definicion 14.8. Una serie∑∞

n=1 an se dice absolutamente convergente si la serie∑∞

n=1 |an|es convergente.

Proposicion 14.9. Toda serie absolutamente convergente es convergente y en ese caso,∣∣∣∣∣∞∑

n=1

an

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=1

|an|.

Proposicion 14.10 (criterio de la raız o de Cauchy). Sea∑∞

n=1 an una serie tal que existe

R = lımn→∞

n√|an|

a) Si R < 1, la serie∑∞

n=1 an converge absolutamente.b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie

∑∞n=1 an no es convergente.

Proposicion 14.11 (criterio del cociente o de D’Alembert). Sea∑∞

n=1 an una serie tal que existe

R = lımn→∞

|an+1||an|

a) Si R < 1, la serie∑∞

n=1 an converge absolutamente.b) Si R > 1, entonces an 6→ 0 y la serie

∑∞n=1 an no es convergente.

Teorema 14.12 (condicion de Cauchy). Una serie∑∞

n=1 an es convergente si y solo si para cadaε > 0 existe un N0 = N0(ε) tal que para cualesquiera M,N ∈ N con M ≥ N > N0 se cumple∣∣∣∣∣

M∑n=N

an

∣∣∣∣∣ < ε.

Proposicion 14.13 (criterio de Leibniz). Sea∑∞

n=1(−1)n+1an con an ≥ 0. Si (an) es una sucesionno creciente con lımite 0, entonces la serie

∑∞n=1 (−1)n+1an es convergente.

20

Reordenacion de series.

Definicion 14.14. Dada una serie∑∞

n=1 an, se dice que otra serie∑∞

n=1 bn es una reordenacionsuya si existe una aplicacion biyectiva r : N → N tal que, para cada n ∈ N,

bn = ar(n).

Lema 14.15. Dada una serie∑∞

n=1 an de terminos no negativos y una reordenacion suya∑∞

n=1 bn,se tiene:

a) si∑∞

n=1 an es convergente con suma s, tambien∑∞

n=1 bn es convergente con suma s.b) si

∑∞n=1 an es divergente a +∞, tambien

∑∞n=1 bn es divergente a +∞.

Proposicion 14.16. Si∑∞

n=1 an es absolutamente convergente entonces toda reordenacion∑∞

n=1 bn

converge y lo hace al mismo valor.

Teorema 14.17 (de Riemann). Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente,para cada ` ∈ [−∞,+∞] existe una reordenacion suya con suma `.

Series telescopicas.∞∑

n=1

(bn − bn+1) = b1 − lımn

bn.

Series aritmetico-geometricas. Si P es un polinomio, la serie∞∑

n=0

P (n) rn converge si y solo si

|r| < 1. Llamando S a su suma,

(1− r)S = P (0) +∞∑

n=1

[P (n)− P (n− 1)]rn = P (0) +∞∑

n=1

Q(n)rn

donde Q es un polinomio de grado menor que P ; reiterando, se llega a una serie geometrica.

Series hipergeometricas. Son de la forma∞∑

n=1

an conan+1

an=

αn + β

αn + γ, α > 0. La serie converge

si y solo si γ > α + β, con suma γa1

γ−α−β

Series ‘racionales’ o ‘de cocientes de polinomios’. Series del tipo∑ P (n)

Q(n), donde P y Q son

polinomios. Cuando convergen, puede hallarse a veces su suma descomponiendo P/Q en fraccionessimples y calculando la suma parcial n-esima, relacionandola con sumas de series conocidas. Puedenser de ayuda las siguientes:

• Serie armonicaHn := 1+

12

+13

+ · · ·+ 1n

= log n+γ +εn, donde γ es la constante de Euler y lımn εn = 0

• Funcion ζ de Riemann: ζ(2) =∞∑

n=1

1n2

=π2

6, ζ(4) =

∞∑n=1

1n4

=π4

90.

Reordenadas de la serie armonica alternada. En algunos casos pueden hallarse expresionessimplificadas de ciertas sumas parciales en terminos de Hn, y deducir ası el comportamiento de laserie.

Series que se reducen a la exponencial. Partiendo de que para todo x ∈ R es∞∑

n=0

xn

n!= ex, se

pueden sumar series de la forma∑ P (n)

n!xn, donde P es un polinomio de grado m, sin mas que

reescribir

P (n) = a0n(n− 1) · · · (n−m + 1) + a1n(n− 1) · · · (n−m + 2) + · · ·+ am−1n + am

para coeficientes a0, . . . , am adecuados, y observar que si n > k,n(n− 1) · · · (n− k)

n!=

1(n− k − 1)!

.

21

15. Series de potencias

Definicion 15.1. Recibe el nombre de serie de potencias toda serie de la forma∞∑

n=0

an (x− c)n.

Definicion 15.2. Dada una serie de potencias∞∑

n=0

an (x− c)n, su radio de convergencia es el

valor (finito o infinito) dado por

R = sup{|x− c| :∞∑

n=0

an (x− c)n converge}.

Lema fundamental. Si la sucesion (an (x − c)n) esta acotada, entonces para cada y ∈ R tal que

|y − c| < |x− c|, la serie∞∑

n=0

an (y − c)n es absolutamente convergente.

Teorema 15.3. Dada una serie de potencias∞∑

n=0

an (x−c)n con radio de convergencia R, se tiene:

a) Si |x− c| < R, la serie∞∑

n=0

an (x− c)n converge absolutamente.

b) Si |x− c| > R, la serie no converge y la sucesion (an (x− c)n) no esta acotada.

Nota. El dominio de convergencia de una serie de potencias es siempre un intervalo (finito oinfinito) que recibe el nombre de intervalo de convergencia . Si R es finito, no hay resultadosgenerales para la convergencia en los extremos del intervalo c + R y c−R y hay que estudiarlos encada caso particular.

Calculo del radio de convergencia . Sea∞∑

n=0

an (x− c)n serie de potencias. en la practica, para

calcular su radio de convergencia R utilizaremos el criterio del cociente (D’alembert) o bien elcriterio de la raız n-esima (Cauchy). No obstante, existe una formula general que permite expresarR en funcion de sus coeficientes. Se trata de la formula de Cauchy-Hadamard:

R =1

lım sup n√|an|

.

22

15.1. Representacion en serie de potencias.

Proposicion 15.4. Sea f una funcion con derivadas de todos los ordenes en (c − R, c + R).Supongamos que existan numeros reales no negativos A y B tales que

|f (n)(x)| ≤ B ·An siempre que |x− c| < R .

Entonces, para todo x ∈ (c−R, c + R) se verifica

f(x) =∞∑

n=1

f (n)(c)n!

(x− c)n .

Lema 15.5. Sea∞∑

n=0

an (x− c)n una serie de potencias con radio de convergencia R. Entonces las

series∞∑

n=0

n an (x− c)n−1 y∞∑

n=0

an

n + 1(x− c)n+1 tambien tienen radio de convergencia R.

Teorema 15.6 (Continuidad de series de potencias). Sea f(x) =∞∑

n=0

an (x − c)n una serie de

potencias con radio de convergencia R. Entonces,a) Interior. f es continua en |x− c| < R.b) Frontera (Abel). Si la serie converge en x = R + c, entonces f es continua en R + c es

decir,

f(R + c) =∞∑

n=0

an Rn = lımx→(c+R)−

∞∑n=0

an (x− c)n = lımx→(c+R)−

f(x).

Teorema 15.7 (Integracion de series de potencias). Sea f(x) =∞∑

n=0

an (x − c)n una serie de

potencias con radio de convergencia R. Entonces,∫ x

cf(t) dt =

∞∑n=0

an

n + 1(x− c)n+1 , |x− c| < R

Teorema 15.8 (Derivacion de series de potencias). Sea f(x) =∞∑

n=0

an (x− c)n una serie de poten-

cias con radio de convergencia R. Entonces, f es derivable en |x− c| < R y se tiene

f ′(x) =∞∑

n=1

n an (x− c)n−1 , |x− c| < R

Corolario 15.9. Sea f(x) =∞∑

n=0

an (x − c)n una serie de potencias con radio de convergencia R.

Entonces f tiene derivadas de todos los ordenes en |x− c| < R, y se cumple

f (k)(x) =∞∑

n=k

n(n− 1) · · · (n− k + 1) an (x− c)n−k .

En consecuencia, an =f (n)(c)

n!, de manera que las sumas parciales de la serie son los correspon-

dientes polinomios de Taylor de f en el punto c.

Corolario 15.10 (Unicidad). Si dos series de potencias∞∑

n=0

an (x− c)n y∞∑

n=0

bn (x− c)n tienen la

misma funcion suma f en un cierto entorno del punto c, entonces an = bn para todo n ≥ 0.