Numeros reales

MEJIA RAZA NOEMI ADA

Conjuntos numéricos

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

Es el conjunto denotado por IN cuyos elementos se emplean en la operación de contar:

𝑰𝑵 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔;……… .

Insuficiencia de IN

Resolver en IN:

𝒙 + 𝟑 = 𝟕 𝒙 + 𝟒 = 𝟐


CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Es el conjunto denotado por Z y está constituido por los números naturales y losnegativos de los mismos:

Z= … ;−𝟑;−𝟐;−𝟏; 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑;…… .

Es evidente que IN es un subconjunto de Z 𝑰𝑵 ⊂ 𝒁.El conjunto de los números enteros incluye tres subconjuntos importantes:

ENTEROS POSITIVOSDenotado por 𝑍+ y está constituido por los números naturales positivos

𝒁+ = 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕; 𝟖;…… .


ENTEROS NEGATIVOSDenotado por 𝑍− y está constituido por los negativos de los números naturales.

𝒁− = −𝟏;−𝟐;−𝟑;−𝟒;−𝟓;−𝟔;−𝟕;−𝟖;…… .

ENTEROS CERODenotado por 𝑍0 y su único elemento es el cero.

𝒁𝟎 = 𝟎

Insuficiencia de Z

Resolver en 𝑍:

𝟑𝒙 = 𝟏𝟒𝟑𝒙 = 𝟏𝟓


CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Es el conjunto denotado por 𝑸 y está constituido por todos los números que se puedenexpresar como razón de dos enteros:

Q= … ;𝟑

𝟒; −

𝟏

𝟓;𝟖

𝟑; 𝟎; 𝟒;…… .

Es evidente que se verifica 𝑰𝑵 ⊂ 𝒁 ⊂ 𝑸.

Insuficiencia de Q

Resolver en 𝑸:

𝟑𝒙 = 𝟏𝟒 𝒙𝟐 = 𝟑


CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Es el conjunto denotado por 𝑸′ y está constituido por todos los números que no puedenexpresarse como razón de dos enteros:

𝐐′ = … ;− 𝟐; − 𝟕;𝝅; 𝒆;…


CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

Es el conjunto denotado por 𝑰𝑹 y está constituido por los números racionales eirracionales:

Q= … ;−𝟒;−𝝅;−𝟑

𝟒; 𝟎; 𝟐; 𝒆;

𝟗

𝟐; 𝟓;…… .

Es evidente que se verifica 𝑰𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑸′.


CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS

REALESDEFINICIÓN AXIOMÁTICA

Se llama Sistema de Números reales al conjunto IR dotado de dos operaciones internasllamados ADICIÓN y MULTIPLICACIÓN y una RELACIÓN DE ORDEN “<” que se lee “esmenor que”.

AXIOMAS DE LA ADICIÓN

A1 LEY DE CLAUSURA O CERRADURA.La suma de dos números reales también es un número real.

𝑺𝒊 𝒂 ∈ ℝ ∧ 𝒃 ∈ ℝ ⇒ (𝒂 + 𝒃) ∈ ℝ

A2 LEY CONMUTATIVA.La suma de dos números reales no depende del orden en que se suman.

𝑺𝒊 𝒂 ∈ ℝ ∧ 𝒃 ∈ ℝ ⇒ 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂


REALES

A3 LEY ASOCIATIVA.La suma de tres o más números reales no depende del modo en que son agrupados o asociados.

𝑺𝒊 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ ⇒ 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄)

A4 AXIOMA DE EXISTENCIA YUNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO ADITIVO.Existe un elemento en IR y solamente uno denotado por “0”, tal que:

∀ 𝒂 ∈ ℝ ⇒ 𝒂 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒂 = 𝒂

A5 AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO INVERSO ADITIVO.Para cada número real “a” existe un elemento en IR y solamente uno, denotado por “-a” tal que:

𝒂 + −𝒂 = −𝒂 + 𝒂 = 𝟎


REALESAXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN


REALESAXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD

AXIOMAS DE LA RELACIÓN DE IGUALDAD


REALESDEFINICIÓN DE SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES

DEFINICIÓN DE DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

Dados dos números reales “a” y “b” se define la diferencia de “a” y “b” como la sumade “a” con el inverso aditivo de “b”, esto es:

𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + (−𝒃)

Dados dos números reales “a” y “b” se define el cociente de “a” entre “b” como elproducto de “a” con el inverso multiplicativo de “b”, esto es:

𝑎

𝑏= 𝑎. 𝑏−1 ; 𝑏 ≠ 0


REALES

TEOREMAS FUNDAMENTALES

1. TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA ADICIÓNSean a;b;c ∈ IR se cumple:

𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐

2. TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA MULTIPLICACIÓN.Sean a;b;c ∈ IR se cumple

𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎. 𝑐 = 𝑏. 𝑐

3. TEOREMA DE CANCELACIÓN PARA LA ADICIÓN.Sean a;b;c ∈ IR se cumple

𝑆𝑖 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 ⇒ 𝑎 = 𝑏

4. TEOREMA DE CANCELACIÓN PARA LA MULTIPLICACIÓN.Sean a;b;c ∈ IR se cumple

𝑆𝑖 𝑎. 𝑐 = 𝑏. 𝑐 ∧ 𝑐 ≠ 0 ⇒ 𝑎 = 𝑏

La recta real

Sobre una recta orientada L se fija un punto A, de modo que le corresponde el número“0”, y convenimos en asegurar números mayores que cero a los puntos que están a laderecha de A, (P1, P2, P3,…..,Pn) y números menores que cero a los puntos a la izquierdade A, (Q1, Q2, Q3,….., Qn), hasta que ningún punto quede sin su correspondiente númeroreal y ningún número real sin su correspondiente punto; habremos establecido unacorrespondencia biunívoca o perfecta entre los elementos de IR y los puntos de la rectaL: 𝟎 ↔ 𝑨; 𝟏 ↔ 𝑷𝟏; 𝟐 ↔ 𝑷𝟐; −𝟏 ↔ 𝑸𝟏; −𝟐 ↔ 𝑸𝟐; etc. Es decir, a cada punto de unarecta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número real lecorresponde un único punto sobre la recta.

Esta correspondencia se objetivisa de la siguiente manera:

y constituye lo que se denomina la recta real o recta numérica o eje lineal decoordenadas.

Intervalos

Los intervalos son subconjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.

TIPOS DE INTERVALOS

INTERVALO CERRADOSi a y b son números reales tales que 𝒂 ≤ 𝒃, se denomina intervalo cerrado al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃. (están incluidos los extremos a y b). Se denota por 𝒂; 𝒃 .

𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃

Tipos de intervalos

INTERVALO ABIERTOSi a y b son números reales tales que 𝒂 ≤ 𝒃, se denomina intervalo abierto al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 < 𝒙 < 𝒃. (No están incluidos los extremos a y b). Se denota por 𝒂, 𝒃 .

𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 < 𝒙 < 𝒃

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA.Si a y b son números reales tales que 𝒂 < 𝒃, se denomina intervalo semiabierto por la izquierda al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃 se denota por 𝒂, 𝒃 .

𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃

Tipos de intervalos

INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA.Si a y b son números reales tales que 𝒂 < 𝒃, se denomina intervalo semiabierto por la derecha al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃 se denota por 𝒂, 𝒃

𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃

Tipos de intervalos

INTERVALOS INFINITOSPara indicar a los conjuntos de números reales que se extienden indefinidamente por la derecha o por la izquierda de un número “a”, existen los llamados intervalos infinitos, que tienen la forma de:

Operaciones con intervalos

OPERACIONES CON INTERVALOSSiendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar con ellos laspropiedades operativas de conjuntos, como son la intersección, unión, diferencia ycomplementación.

EJEMPLO:Sean los intervalos : 𝑨 = 𝟔, 𝟏𝟐 ;𝑩 = 𝟕, 𝟏𝟔 ; 𝑪 = 𝟏𝟔, +∞ . Halla 𝑨 ∩ 𝑩 ′ − 𝑪′.

NUMEROS RACIONALES (Q)

Número decimal

Los números racionales se representan de dos maneras: como𝒂

𝒃con “b” distinto de cero o

como número decimal.Un número decimal es la representación de un racional que se obtiene al dividir elnumerador por el denominador y está conformado por una parte entera y por una partedecimal, separadas una de la otra por una coma.

Ejemplo: decimal finito o limitado

𝟔

𝟐𝟓= 𝟎, 𝟐𝟒

Parte entera Parte decimal

𝟑𝟓

𝟖= 𝟒, 𝟑𝟕𝟓


Ejemplo: decimal infinito periódico puro

𝟓

𝟑= 𝟏, 𝟔𝟔𝟔…


𝟕

𝟑𝟎= 𝟎, 𝟐𝟑𝟑𝟑…


Ejemplo: decimal infinito periódico mixto

Fracción generatriz de un número decimal

Sabemos que todo decimal, ya sea limitado o ilimitado periódico, procede de unafracción. La fracción irreductible de la que procede dicho decimal se llama fraccióngeneratriz del número decimal o simplemente generatriz.En el estudio de la generatriz de una expresión decimal, nos encontramos con trescasos:


PRIMER CASO: Cuando el número decimal es finito o limitado

Se convierte la fracción decimal donde el numerador es el número entero queresulta al quitar al número decimal la coma, y el denominador es la unidad seguidade tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Luego se simplifica hastaobtener una fracción irreductible.

Ejemplos:

𝟎, 𝟒 =𝟒

𝟏𝟎=

𝟐

𝟓

1,3=𝟏𝟑

𝟏𝟎

𝟎, 𝟒𝟓 =𝟒𝟓

𝟏𝟎𝟎=

𝟗

𝟐𝟎

𝟐, 𝟖𝟑𝟐 =𝟐𝟖𝟑𝟐

𝟏𝟎𝟎𝟎=

𝟑𝟓𝟒

𝟏𝟐𝟓


SEGUNDO CASO: Cuando el número decimal es infinito periódicopuro

Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura se ponepor numerador el período y por denominador tantos nueves como cifras tiene elperíodo. La fracción resultante se simplifica hasta obtener la equivalenteirreductible. Si el decimal tuviese parte entera, se puede utilizar la notación denúmero mixto.

Ejemplos:

𝟎, 𝟐 =𝟐

𝟗

𝟑, 𝟔 = 𝟑𝟔

𝟗= 𝟑

𝟐

𝟑=

𝟏𝟏

𝟑

𝟏, 𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟓

𝟗𝟗=

𝟏𝟐𝟒

𝟗𝟗


TERCER CASO: Cuando el número decimal es infinito periódico mixto

Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta se ponepor numerador la parte no periódica seguida del período, menos la parte noperiódica; y por denominador tantos nueves como cifras tiene el período, seguidode tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica, simplificando despuéshasta hallar la equivalente irreductible.

Ejemplos:

𝟎, 𝟑𝟖 𝟑 =𝟑𝟖𝟑 − 𝟑𝟖

𝟗𝟎𝟎=

𝟑𝟒𝟓

𝟗𝟎𝟎=

𝟐𝟑

𝟔𝟎

𝟒, 𝟐𝟑 𝟔𝟏𝟓 = 𝟒𝟐𝟑𝟔𝟏𝟓 − 𝟐𝟑

𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎= 𝟒

𝟏𝟗𝟔𝟔

𝟖𝟑𝟐𝟓

Operaciones con fracciones

Ing. Percy PEÑA MEDINA

Docente UCCI

[email protected]

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Al relacionar cantidades mediante el signo igual podemos distinguir tres

situaciones: Igualdades, identidades y ecuaciones

IGUALDAD

Es la expresión de la equivalencia de dos cantidades numéricas o literales.

Ejemplos

𝟕 + 𝟒 = 𝟏𝟏 𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟕𝒙

𝟏𝟐 + 𝟏𝟖 = 𝟑𝟎 𝟕𝒚 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎𝒚

𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟕𝒙𝟐 𝒂𝒙 + 𝟓𝒂𝒙 = 𝟔𝒂𝒙


IDENTIDAD

Es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de la variable (cantidad

desconocida).

Ejemplos:Consideremos la identidad 𝟏𝟐 + 𝒙 = 𝟏𝟐 + 𝒙 y asignemos distintos valores a la variable 𝒙.

𝟏𝟐 + 𝒙 = 𝟏𝟐 + 𝒙

𝟏𝟐 + 𝟑 ≡ 𝟏𝟐 + 𝟑

𝟏𝟓 ≡ 𝟏𝟓

𝟏𝟐 + 𝒙 = 𝟏𝟐 + 𝒙

𝟏𝟐 + 𝟕 ≡ 𝟏𝟐 + 𝟕

𝟏𝟗 ≡ 𝟏𝟗

Observamos que la identidad se cumple para cualquier 𝒙 ∈ 𝑹.


ECUACIÓN

Es una igualdad en la que hay una o más cantidades literales desconocidas

llamadas incógnitas.

Ejemplos:i) 𝟏𝟐 + 𝒙 = 𝟐𝟎 𝒊𝒊) 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟔 𝒊𝒊𝒊) 𝟒𝒖 + 𝟔𝒘 − 𝟑𝒛 = 𝟓

Las incógnitas, en general, se presentan por las letras minúsculas 𝒙; 𝒚; 𝒛; 𝒖; 𝒗;𝒘; 𝒆𝒕𝒄.El grado de una ecuación con una incógnita está determinado por el mayor exponente de dicha incógnita.

Ejemplos:

Ecuación Incógnita Grado de la ecuación

7𝑥 − 6 = 5𝑥 + 4

5𝑦2 − 2𝑦 = 10 − 3𝑦2

𝑥

𝑦

1er grado

2do. grado


ECUACIÓN

ECUACIÓN NUMÉRICAEs aquella en que la única letra queaparece es la incógnita.

ECUACIÓN LITERALEs aquella en que hay una o más letrasademás de la incógnita.

Ejemplos:

𝟔𝒙 − 𝟏𝟑 = 𝟒𝒙 + 𝟕

𝟓𝒙 + 𝟑𝒙 = 𝟐𝟎 − 𝟒

Ejemplos:

𝟗𝒙 − 𝟒𝒂 = 𝟕𝒙 + 𝟖𝒂

𝟕𝒙 − 𝟑𝒃 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒂 + 𝟗


Las ecuaciones pueden ser:

Coeficientes enteros Coeficientes fraccionarios

Ejemplos:

𝟏𝟔 + 𝟐𝒙 = 𝟕 − 𝟑

𝟏𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝟎

Ejemplo:

𝟓𝒙

𝟐− 𝟒 =

𝟐𝒙

𝟑+ 𝟔


Como toda ecuación es una igualdad de dos expresiones, comúnmente se llama primermiembro de la ecuación a lo que está a la izquierda del signo igual y segundo miembro a loque está a la derecha, cada miembro de la ecuación puede constar de uno o más términos.

Ejemplo:

𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟖𝒙 + 𝟗 − 𝒙

Primer miembro Segundo miembro

El procedimiento para encontrar el valor que satisface dicha igualdad se llama resolución dela ecuación.

Ejemplo:

Resolver: 𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝟏𝟔


Ejemplo:

Resolver: 𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝟏𝟔

La solución de esta ecuación es 𝒙 = 𝟔,ya que si se reemplaza 𝒙 por el valor de6, se verifica la igualdad.En cambio, si se sustituye la incógnita 𝒙de la ecuación anterior por cualquiervalor distinto de 6 la igualdad no sesatisface.

SOLUCIÓN O RAIZ DE UNA ECUACIÓNEs el valor de la incógnita que haceverdadera la igualdad.

Toda ecuación de primer grado con unaincógnita tiene sólo una solución.

Resolución de ecuaciones de primer grado con

una incógnita

Al resolver una ecuación, es necesario aplicar las propiedades de las operaciones y algunasde las propiedades de la igualdad en el conjunto de los números reales (R), entre las quedestacaremos las siguientes:

PROPIEDAD ADITIVA PROPIEDAD MULTIPLICATIVA

«Si a los dos miembros de una igualdad sesuma un mismo número real, la igualdad semantiene»

«Si los dos miembros de una igualdad semultiplican por un mismo número real, laigualdad se mantiene»

Resolución de ecuaciones de primer grado con

una incógnita

Entre las ecuaciones de primer grado con una incógnita, podemos distinguir lossiguiente:

Con solución Sin Solución Con infinitas soluciones (indeterminada)

𝟓𝒙 = 𝟏𝟓𝒙 = 𝟑

𝟎. 𝒙 = 𝟔 𝟎. 𝒙 = 𝟎

Ecuaciones de primer grado con coeficientes

fraccionarios

Para la resolución de una ecuación de primer grado con coeficiente fraccionario, serequiere previamente transformarla en una ecuación con coeficientes enteros

Ejemplo 01

Resolver: 𝟑𝒙−𝟏

𝟐+ 𝒙 =

𝟒 𝒙+𝟔

𝟑

Ejemplo 02

Resolver: 𝟐𝐱 −𝟑𝒙−𝟒

𝟓= 𝟑𝒙 −

𝒙−𝟐

𝟑

Ecuaciones de primer grado con coeficientes

fraccionarios

Resolver: 𝒙

𝟔+ 𝟔 =

𝟏

𝟑− 𝒙 Resolver:

𝒙−𝟏

𝟔−

𝟐𝒙−𝟑

𝟖− 𝟓 =

𝒙−𝟏𝟎

𝟒

Resolver: 𝒙+𝟑

𝟖−

𝟑+𝟓𝒙

𝟗=

𝟐𝒙+𝟏

𝟔Resolver:

𝟏𝟔𝒙+𝟑

𝟒−

𝟏𝟎𝒙−𝟏

𝟔= 𝟒𝒙 + 𝟕

Ecuaciones de primer grado con incógnita en el

denominador

Para resolver una ecuación de primer grado con incógnita en el denominador se aplicael mismo procedimiento utilizado para las ecuaciones con coeficientes fraccionarios, yademás se emplean los productos notables y la factorización de expresiones algebraicas.

Ejemplo 01

Resolver: 𝟕

𝟑𝒙+𝟐+

𝟏

𝟖= 𝟏

Ejemplo 02

Resolver: 𝟒𝒙+𝟓

𝟓𝒙−𝟑−

𝟑𝒙+𝟔

𝟑−𝟓𝒙= 𝟗

Ecuaciones de primer grado con incógnita en el

denominador

Resolver: 𝟕

𝟐𝒙+𝟑=

𝟓

𝒙+𝟑Resolver:

𝟐𝒙+𝟏

𝒙+𝟑− 𝟏 =

𝒙+𝟑

𝒙−𝟏

Resolver: −𝟏

𝒙+𝟏−

𝟐

𝒙−𝟏=

𝟑

𝒙𝟐−𝟏 Resolver: 𝒙𝟐+𝟕𝟖

𝟐𝒙𝟐−𝒙−𝟔=

𝟐𝒙+𝟒

𝒙−𝟐−

𝟑𝒙−𝟔

𝟐𝒙+𝟑

Ecuaciones literales

Hemos visto que las ecuaciones literales de primer grado son aquellas en que aparecenuna o más letras, además de la incógnita.

La resolución de ecuaciones literales de primer grado requiere de los mismosprocedimientos utilizados para las ecuaciones con coeficientes numéricos.

Ejemplo 01

Resolver: 𝒙−𝒂

𝒃+

𝒙−𝒃

𝟐= 𝟐

Ejemplo 02

Resolver: 𝒙

𝟐𝒂−

𝟏−𝒙

𝒂𝟐 =𝟏

𝟐𝒂

Ecuaciones literales

Resolver: 𝒙 −𝒙

𝒂= 𝒃 Resolver:

𝟒𝒙

𝟐𝒂+𝒃+

𝟑

𝟐= 𝟑

Resolver: 𝒂𝒙

𝒃−

𝒃 𝒙−𝒃

𝒂= 𝒂 Resolver: 𝒂 𝒙 + 𝒃 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒃 𝒙 − 𝒂

Ing. Percy PEÑA MEDINA

Docente UCCI

[email protected]

Definición

Si 𝒂, 𝒃, 𝒄 son números reales cualesquiera y 𝒂 ≠ 𝟎, diremos que:

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎Es una ecuación cuadrática en 𝒙.

Resolver una ecuación de segundo grado es hallar los valores de laincógnita 𝒙 que hacen cierta la igualdad: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎;convirtiéndola en una identidad. Estos valores que toma 𝒙 son lasraíces o soluciones de dicha ecuación.

RAIZ DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICADiremos que el numero 𝒓 (real o complejo) es raíz de la ecuacióncuadrática 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 si y sólo si 𝒂𝒓𝟐 + 𝒃𝒓 + 𝒄 ≡ 𝟎.

Resolución algebraica

Para hallar las raíces distinguiremos tres casos según el trinomio sea incompletoo completo.

CASO 01Si: 𝒃 = 𝟎, la ecuación cuadrática es de la forma:𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

Despejando 𝒙: 𝒙 = ±−𝒄

𝒂(fórmula)

La fórmula hallada nos da las dos raíces de la ecuación: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎, una consigno positivo y otra con signo negativo, se ha considerado el signo ± en lafórmula porque la raíz cuadrada de un número real tiene dos soluciones reales ocomplejas, según que el radicando sea positivo o negativo.


Ejemplo 01:Resolver la ecuación : 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎

Ejemplo 02:Resolver la ecuación : 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎


CASO 02Si: 𝐜 = 𝟎, la ecuación cuadrática es de la forma:𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

Las raíces se obtienen sacando a «𝒙» como factor común:𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝒙 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎De donde:i) 𝒙 = 𝟎ii) 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎

Luego, las raíces o soluciones de la ecuación: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

; son : 𝒙𝟏 = 𝟎 ; 𝒙𝟐 = −𝒃

𝒂


Ejemplo 01:Resolver la ecuación : 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝐱 = 𝟎

Ejemplo 02:Resolver la ecuación : 𝟑𝒙𝟐 + 𝟗𝐱 = 𝟎


CASO 03Ecuación completa: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎.

Para poder despejar «x», es preciso completar un cuadradoperfecto, lo que se consigue de la forma siguiente:


Resolver la ecuación:𝑥2 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎

Resolver la ecuación:𝑥2 − 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎

Resolver la ecuación:𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 − 𝟔 = 𝟎

Propiedades de las raíces.

De la fórmula para resolver la ecuación completa de segundo grado, separando las raíces se tiene:

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −𝒃

𝒂

Es decir: la suma de las raíces de la ecuación desegundo grado es igual al coeficiente de «𝒙» consigno contrario, dividido por el coeficiente de 𝒙𝟐.


Dada la ecuación: 𝑥2 − 𝟏𝟏𝒙 − 𝟐𝟔 = 𝟎. Calcular la suma de sus raíces.

Dada la ecuación: 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝟎. Calcular la suma de sus raíces.


𝒙𝟏. 𝒙𝟐 =𝒄

𝒂

Es decir: el producto de las raíces de la ecuaciónde segundo grado es igual al términoindependiente, dividido por el coeficiente de 𝒙𝟐.

Si multiplicamos miembro a miembro las raíces, se tiene:


Dada la ecuación: 𝑥2 + 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 . Calcular el producto de sus raíces.

Dada la ecuación: 𝟐𝑥2 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟔 = 𝟎 . Calcular el producto de sus raíces.

Formar una ecuación de segundo grado dadas sus raíces.

Al resolver una ecuación de segundo grado o cuadrática, se obtuvo como raíces: 𝒙𝟏 𝒚 𝒙𝟐 ,podríamos decir que la ecuación que dio origen a esas raíces es: 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝟎.

Desarrollando se obtiene:

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒙 + 𝒙𝟏. 𝒙𝟐 = 𝟎

Suma de raíces Producto de raíces

Luego:

𝒙𝟐 − 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒂í𝒄𝒆𝒔 𝒙 + 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒂í𝒄𝒆𝒔 = 𝟎

Formar una ecuación de segundo grado dadas sus raíces.

Dada la ecuación: 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟒 = 𝟎. Calcular la suma de las raíces.

Dada la ecuación: 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎. Calcular el producto de las raíces.

Escribir una ecuación cuyas raíces son 4 y 9. Hallar dos números que sumen 6 y cuyoproducto es 8.

Estudio acerca de la naturaleza de las raíces de la

ecuación de segundo grado o cuadrática.

DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

El número real 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 se llama discriminante de la ecuación cuadrática 𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎.

Con la letra griega ∆ (𝒅𝒆𝒍𝒕𝒂) vamos a denotar al discriminante, esto es:∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

Estudio acerca de la naturaleza de las raíces de la

ecuación de segundo grado o cuadrática.

La ecuación cuadrática 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎.

Tiene dos raíces reales diferentes, si y sólo si:∆> 𝟎Las raíces son (𝒙𝟏; 𝒙𝟐)

Tiene sólo una raíz real, si y sólo si:∆= 𝟎Las raíces son (𝒙𝟏 = 𝒙𝟐)

No tiene raíces reales, si y sólo si:∆< 𝟎Las raíces son:𝒙𝟏 = 𝒎 + 𝒊𝒏 ; 𝒙𝟐 = 𝒎 − 𝒊𝒏

Resolución de una ecuación de segundo grado con una

incógnita.

En forma general una ecuación de segundo grado con una incógnita , se resuelve:

a) Por el método de factorizaciónb) Empleando la fórmula generalc) Completando cuadrados

Método de factorización

Resolver: 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 = 𝟔 − 𝟑𝒙 Resolver: 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏𝟎𝟓 = 𝟎

Resolver: 4𝒙𝟐 − 𝟒𝟗𝒙 = −𝟏𝟐 Resolver: −𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎

Fórmula general

Resolver: 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 Resolver: 𝟓𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐 = 𝟎

Resolver: 3𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 Resolver: 𝟓𝒙 − 𝟐 𝟐 = 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟔𝟏

Completando cuadrados

Resolver: 𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 Resolver: 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟔𝒙 + 𝟖 = 𝟎

Resolver: 2𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟑𝟎 = 𝟎 Resolver: 𝒙 + 𝟐 𝟐 − 𝟔 = 𝒙 + 𝟐

Resolución de ecuaciones cuadráticas con una incógnita en

el denominador.

Resolver: 𝟐𝒙−𝟏

𝒙−𝟏−

𝒙+𝟏

𝒙−𝟐= 𝟎 Resolver:

𝟏𝟎

𝒙−𝟐=

𝟕

𝒙−𝟑−

𝟔

𝒙−𝟏

Resolver: 𝒙

𝒙+𝟏+

𝒙

𝒙+𝟒= 𝟏 Resolver:

𝒙+𝟖

𝒙−𝟖− 𝟐 =

𝟐𝟒

𝒙−𝟒

Resolución de ecuaciones cuadráticas literales.

Resolver: 𝟐𝐦𝒙𝟐 − 𝒎 − 𝟒 𝒙 − 𝟐 = 𝟎

Resolver: 𝒎+𝒙

𝒎−𝒙+

𝒎−𝟐𝒙

𝒎+𝒙+ 𝟒 = 𝟎

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