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INOI 2004, Solutions

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Question 1

Finding whether a path exists is straightforward. Start from the top left corner and, for each square, recursively explore all neighbours that are at most one unit higher or lower than the current square. A path exists provided this recursive exploration reaches the bottom right corner.

To identify a path, enhance the recursive search by recording the direction from which you came. For example, if your search takes you one square down, store the character 'u' at the new position to say that you reached this square from the up direction. In the end, you can follow the directions back from the bottom right square to reach the top left square.

Unfortunately, this provides the path that we wish to display in reverse. Rather than reversing the path, we can reverse the direction of exploration! Starting from the bottom right corner, we recursively explore all neighbours and see if we can reach the top left corner. Now, the directions that we accumulate along the way provide a path from the top left corner to the bottom right corner

● C program for this solution. ● C program to check that a solution is valid.

file:////deepspace3/w$/e_Admin/DoL/CompEx/IOI/N_2004_Sol/INOI%202004%20Solutions%20-%20IARCS.htm (1 of 3)24-Jul-07 8:13:05 AM

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This program takes an input file name and output file name as command line arguments and verifies if the solution recorded in the output file is valid for this input. For instance:

tahrcheck 1.in 1.out

checks that the data in 1.out correctly solves the input instance 1.in ● Test inputs and outputs:

❍ 4x4 grid: Input, Output. ❍ 30x30 grid: Input, Output. ❍ 50x50 grid: Input, Output. ❍ 60x60 grid: Input, Output. ❍ 100x100 grid: Input, Output. ❍ 200x200 grid: Input, Output. ❍ 300x300 grid: Input, Output. ❍ 600x600 grid: Input, Output. ❍ 1000x1000 grid: Input, Output. ❍ 1000x1000 grid: Input, Output. ❍ All test cases, zipped.

Question 2

From the problem statement, it is clear that wrestlers who win more matches should be ahead in the queue to meet the Rajah. Thus, for N wrestlers, we can compute the outcome of all N(N-1) matches and record the number of matches won by each wrestler. If we sort this list in descending order based on the number of wins, we are done.

What if a group of wrestlers have the same number of wins? How should we arrange such a group in the queue? A little analysis shows that this cannot happen. If wrestler A beats wrestler B and wrestler B beats wrestler C, then A also beats C!

To see this, let sA, sB and sC denote the strengths of A, B and C and let rA, rB and rC denote the power of their rings, respectively. If A beat B, we know that sA + rA*sB > sB + rB*sA. If we collect the sA terms on the left and the sB terms on the right, we have sA(1-rB) > sB(1-rA), or sA/(1-rA) > sB/(1-rB).

Thus if A beats B and B beats C, we have sA/(1-rA) > sB/(1-rB) and sB/(1-rB) > sC/(1-rC). It is immediate that sA/(1-rA) > sC/(1-rC), so A beats C.

From this it follows that we can directly sort the wrestlers in descending order by the value s/(1-r), without computing the outcomes of all N(N-1) matches.


http://www.iarcs.org.in/inoi/2004/inoi2004/tahr-1.in

http://www.iarcs.org.in/inoi/2004/inoi2004/tahr-1.out



















http://www.iarcs.org.in/inoi/2004/inoi2004/tahr-data.zip


● C program for this solution that uses bubble sort. ● C program for this solution that uses quicksort. ● Test inputs and outputs:

❍ 10 wrestlers: Input, Output. ❍ 20 wrestlers: Input, Output. ❍ 50 wrestlers: Input, Output. ❍ 100 wrestlers: Input, Output. ❍ 100 wrestlers: Input, Output. ❍ 200 wrestlers: Input, Output. ❍ 500 wrestlers: Input, Output. ❍ 1000 wrestlers: Input, Output. ❍ 5000 wrestlers: Input, Output. ❍ 10000 wrestlers: Input, Output. ❍ All test cases, zipped.

Copyright (c) IARCS 2003; Last Updated: 10 May 2004


http://www.iarcs.org.in/inoi/2004/inoi2004/wrestler-1.in

http://www.iarcs.org.in/inoi/2004/inoi2004/wrestler-1.out



















http://www.iarcs.org.in/inoi/2004/inoi2004/wrestler-data.zip

file:////deepspace3/w$/e_Admin/DoL/CompEx/IOI/N_2004_Sol/N_tahr.c.txt

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>

#define MAXROW 1001#define MAXCOL 1001

void search(int,int); void printpath();

int row, col;int terrain[MAXROW+1][MAXCOL+1]; /* Height matrix */char path[MAXROW+1][MAXCOL+1]; /* Information about path */

int main(){ int i,j;

scanf("%d %d",&row,&col);

for (i = 1; i <= row; i++){ for (j = 1; j <= col; j++){ scanf("%d",&terrain[i][j]); path[i][j] = '*'; /* Initially, mark all squares */ /* as being unreachable */ } }

search(row,col); /* Compute all squares reachable */ /* from bottom right corner */

if (path[1][1] == '*'){ /* If top left corner not visited */ printf("0\n"); /* there is no path */ }else{ /* else */ printf("1\n"); /* there is a path */ printpath(); /* print it */ }}

void search(int r, int c){/* Explore all squares reachable from (r,c). Record the direction from which you came in path[][]. Since the directions point backwards, explore from (m,n) rather than (1,1) to avoid having to reverse the path. */

file:////deepspace3/w$/e_Admin/DoL/CompEx/IOI/N_2004_Sol/N_tahr.c.txt (1 of 3)24-Jul-07 8:13:09 AM


/* Try up */ if (r > 1){ if (path[r-1][c] == '*' && abs(terrain[r-1][c] - terrain[r][c]) <= 1){ path[r-1][c] = 'd'; search(r-1,c); } }

/* Try down */ if (r < row ){ if (path[r+1][c] == '*' && abs(terrain[r+1][c] - terrain[r][c]) <= 1){ path[r+1][c] = 'u'; search(r+1,c); } }

/* Try left */ if (c > 1 ){ if (path[r][c-1] == '*' && abs(terrain[r][c-1] - terrain[r][c]) <= 1){ path[r][c-1] = 'r'; search(r,c-1); } }

/* Try right */ if (c < col ){ if (path[r][c+1] == '*' && abs(terrain[r][c+1] - terrain[r][c]) <= 1){ path[r][c+1] = 'l'; search(r,c+1); } }

}

void printpath(){/* Starting from (1,1), follow the directions in path[i][j] until you reach (row,col). */



int i,j;

i = 1; j = 1; while (!(i == row && j == col)){ printf("%d %d\n",i,j); if (path[i][j] == 'u'){i--;} else if (path[i][j] == 'd'){i++;} else if (path[i][j] == 'l'){j--;} else if (path[i][j] == 'r'){j++;} }

printf("%d %d\n",i,j);

}


file:////deepspace3/w$/e_Admin/DoL/CompEx/IOI/N_2004_Sol/N_tahrcheck.c.txt

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>

#define MAXROW 1001#define MAXCOL 1001

void search(int,int);int checkpathcont(int,int,int,int);int checkpathstep(int,int,int,int);void printmarks(int);

int row, col;int terrain[MAXROW+1][MAXCOL+1];char mypath[MAXROW+1][MAXCOL+1];

int main(int argc, char *argv[]){ int i,j; int exists, nowx, nowy, nextx, nexty; int marks = 0;

FILE *probfile, *solnfile;

if (argc != 3){ fprintf(stderr, "Usage: %s input-file-name output-file-name\n",argv[0]); fprintf(stderr, " (where output-file is assumed to not have blank lines).\n"); exit(0); }

probfile = fopen(argv[1],"r");

fscanf(probfile,"%d %d",&row,&col);

for (i = 1; i <= row; i++){ for (j = 1; j <= col; j++){ fscanf(probfile,"%d",&terrain[i][j]); mypath[i][j] = '*'; } }

file:////deepspace3/w$/e_Admin/DoL/CompEx/IOI/N_2004_Sol/N_tahrcheck.c.txt (1 of 5)24-Jul-07 8:13:09 AM


fclose(probfile);

search(1,1);

if ((solnfile = fopen(argv[2],"r")) == NULL){ printmarks(marks); exit(0); }

if (fscanf(solnfile,"%d",&exists) == EOF){ fprintf(stderr,"Error! No path status\n"); printmarks(marks); exit(0); }

if (mypath[row][col] == '*' && exists){ fprintf(stderr,"Error! No path, but soln reports path\n"); fclose(solnfile); printmarks(marks); exit(0); }

if (mypath[row][col] != '*' && !exists){ fprintf(stderr,"Error! Path exists, but soln reports no path\n"); fclose(solnfile); printmarks(marks); exit(0); }

marks += 3; /* 3 on 10 for identifying correctly if a path exists */

if (mypath[row][col] == '*' && !exists){ marks += 7; printmarks(marks); exit(0); }

if (fscanf(solnfile,"%d %d",&nextx,&nexty) == EOF){ fprintf(stderr,"Error! No path\n"); printmarks(marks); exit(0);



}

i = 1; nowx = nextx; nowy = nexty;

if (!(nowx == 1 && nowy == 1)){ fprintf(stderr,"Error! Path does not start at (1,1)\n"); printmarks(marks); exit(0); }

while (fscanf(solnfile,"%d %d",&nextx,&nexty) != EOF){ if (!checkpathcont(nowx,nowy,nextx,nexty)){ fprintf(stderr,"Error! Next rock not adjacent at step %d!\n",i); printmarks(marks); exit(0); } if (!checkpathstep(nowx,nowy,nextx,nexty)){ fprintf(stderr,"Error! Next rock not within one level at step %d!\n",i); printmarks(marks); exit(0); } nowx = nextx; nowy = nexty; i++; }

nowx = nextx; nowy = nexty;

if (!(nowx == row && nowy == col)){ fprintf(stderr,"Error! Path does not end at (%d,%d)\n",row,col); printmarks(marks); exit(0); }

marks+= 7; printmarks(marks); exit(1);



}

void search(int r, int c){

/* Try up */ if (r > 1){ if (mypath[r-1][c] == '*' && abs(terrain[r-1][c] - terrain[r][c]) <= 1){ mypath[r-1][c] = 'd'; search(r-1,c); } }

/* Try down */ if (r < row ){ if (mypath[r+1][c] == '*' && abs(terrain[r+1][c] - terrain[r][c]) <= 1){ mypath[r+1][c] = 'u'; search(r+1,c); } }

/* Try left */ if (c > 1 ){ if (mypath[r][c-1] == '*' && abs(terrain[r][c-1] - terrain[r][c]) <= 1){ mypath[r][c-1] = 'r'; search(r,c-1); } }

/* Try right */ if (c < col ){ if (mypath[r][c+1] == '*' && abs(terrain[r][c+1] - terrain[r][c]) <= 1){ mypath[r][c+1] = 'l'; search(r,c+1); } }

}

int checkpathcont(int nowx, int nowy, int nextx, int nexty){



if (abs(nextx - nowx) + abs(nexty-nowy) != 1){ return 0; }

return 1;}

int checkpathstep(int nowx, int nowy, int nextx, int nexty){ if (abs(terrain[nextx][nexty] - terrain[nowx][nowy]) > 1){ return 0; }

return 1;}

void printmarks(int m){ fprintf(stdout,"%d\n",m);}


file:////deepspace3/w$/e_Admin/DoL/CompEx/IOI/N_2004_Sol/tahr-1.in.txt

4 47 9 8 56 3 2 45 4 1 52 6 1 1

file:////deepspace3/w$/e_Admin/DoL/CompEx/IOI/N_2004_Sol/tahr-1.in.txt24-Jul-07 8:13:09 AM

file:////deepspace3/w$/e_Admin/DoL/CompEx/IOI/N_2004_Sol/tahr-1.out.txt

11 12 13 13 22 22 33 34 34 4

file:////deepspace3/w$/e_Admin/DoL/CompEx/IOI/N_2004_Sol/tahr-1.out.txt24-Jul-07 8:13:09 AM


30 305 6 4 5 3 6 3 4 5 7 4 5 5 3 7 6 4 3 4 5 4 4 6 5 7 5 3 5 6 5 6 3 7 5 5 6 7 5 6 4 4 5 7 6 4 7 7 5 6 7 3 3 6 4 4 3 4 6 5 3 5 4 4 3 3 7 5 4 3 4 7 6 5 7 3 5 3 7 5 7 7 6 3 5 6 4 6 6 7 6 6 4 7 7 5 3 4 6 7 5 4 4 7 7 3 3 7 6 5 4 5 5 5 5 5 4 4 3 4 4 5 3 7 7 7 3 7 4 5 5 4 4 3 7 5 5 4 5 6 4 3 4 6 7 7 6 4 5 7 6 6 7 3 6 6 3 3 7 4 6 6 3 4 4 4 3 7 6 7 6 4 3 6 3 7 7 7 7 5 4 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 4 5 3 7 4 5 4 5 6 3 5 7 4 6 3 7 5 3 6 6 6 6 4 6 7 4 7 6 6 6 6 6 4 3 7 6 6 6 7 5 5 4 7 6 3 6 3 7 5 3 7 3 3 7 7 4 7 5 5 5 7 5 5 3 7 6 4 5 6 7 6 4 6 3 5 4 3 3 4 4 3 6 3 3 4 7 4 5 6 3 6 4 5 6 7 5 5 7 3 4 5 7 7 3 6 4 6 4 4 3 6 7 3 6 7 4 7 4 5 7 6 6 6 3 3 4 4 7 3 3 7 4 5 4 5 3 4 7 6 5 5 6 5 7 7 4 3 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 5 4 4 6 5 4 3 7 7 4 7 7 4 3 5 3 6 5 3 7 6 3 7 5 7 4 4 3 7 6 5 5 5 3 3 3 5 7 3 5 6 6 6 3 7 3 7 4 7 4 5 3 7 7 7 7 6 4 3 5 3 3 5 7 7 6 3 4 5 7 6 4 7 4 7 7 5 5 4 7 4 5 6 6 7 5 6 6 6 6 4 6 6 6 6 6 6 6 3 7 5 4 6 7 3 4 6 5 7 3 6 6 6 5 6 5 4 3 5 5 4 3 6 5 7 4 3 7 4 3 7 6 5 3 6 4 5 7 5 7 6 7 5 6 6 3 4 5 6 6 7 4 3 7 7 5 3 5 7 7 7 7 3 7 6 3 5 3 6 4 7 7 5 6 5 3 6 7 7 5 3 5 3 4 7 4 5 4 5 3 5 6 4 4 7 3 3 4 5 5 7 3 4 7 5 7 6 3 6 6 5 4 3 4 4 7 4 5 6 7 4 3 5 3 4 3 4 6 5 5 5 4 7 3 5 3 5 7 3 5 7 7 7 3 4 3 6 5 6 6 4 3 7 4 5 4 3 7 5 3 7 5 6 3 6 6 6 6 5 6 7 6 5 6 5 7 4 7 3 7 6 6 3 6 7 6 5 4 6 6 3 7 5 7 7 6 5 7 6 5 5 4 5 5 3 5 4 5 3 4 5 7 4 5 4 4 4 5 3 7 3 6 3 4 4 4 5 4 7 6 4 7 6 3 6 4 3 5 5 7 5 3 4 7 4 6 5 7 5 7 7 4 5 3 4 3 6 3 6 5 7 7 4 3 7 4 3 3 7 7 6 6 6 3 5 5 5 5 3 6 7 4 6 4 6 6 7 7 6 6 7 5 5 3 6 7 3 5 7 5 4 3 5 4 6 6 6 6 3 4 3 6 5 4 6 3 3 6 3 5 7 4 4 6 3 7 6 7 4 3 3 6 6 3 4 3 7 7 3 5 4 6 5 4 4 3 3 4 3 6 3 6 4 5 5 4 7 4 3 7 5 5 7 3 6 5 6 3 6 5 3 3 6 7 7 5 5 7 5 5 3 5 7 7 6 6 4 3 6 7 5 5 6 4 6 6 7 5 5 7 3 4 5 3 5 4 5 6 5 6 4 7 6 4 6 6 6 5 7 6 4 5 3 7 6 7 6 4 4 6 3 5 4 7 7 4 3 4 6 5

file:////deepspace3/w$/e_Admin/DoL/CompEx/IOI/N_2004_Sol/tahr-2.in.txt24-Jul-07 8:13:09 AM


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file:////deepspace3/w$/e_Admin/DoL/CompEx/IOI/N_2004_Sol/tahr-2.out.txt (1 of 3)24-Jul-07 8:13:09 AM


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