FS321 Capitulo 1

FS-321

Profesor: Rafael Barahona Paz

Notas del curso

Libro de texto: Campos ElectromagnéticosRoald K. Wangsness

Libro de texto auxiliar: Introduction to ElectrodynamicsDavid Griffiths

Otros materiales utilizados: Notebooks de Mathematica:

GradientJohn B. SchneiderTomado de www.wolfram.com

DivergenceJohn B. SchneiderTomado de www.wolfram.com

Modelos en 3D y gráficos se hicieron utilizando “3D Studio Max”

FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 3

Capítulo I. Vectores

Un vector puede representarse de la forma:

zAyAxAA zyx ˆˆˆ ++=

y

z

x

A


zyx ˆ,ˆ,ˆDonde son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes “x”, “y” y “z” respectivamente.

son las componentes escalares del vector zyx AyAA ,

x

y

A

yA

xA


El módulo de lo encontramos usando:

222

zyAAAA x ++=

A

Vector unitario:

Un vector unitario en la dirección de se define como:A

222ˆ

zyAAA

A

A

Aa

x ++==


Angulos directores:

Son los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes

A

x

y

z

αβ

γ


De la figura se observa que:

A

x

y

z

α

xA

αcosAAx =

De igual forma:

βcosAAy =

γcosAAz =


Los cosenos directores se definen como:

αcos=x

βcos=y

γcos=z

A

AAA x

xx =→= αcos

zA

Ay

A

Ax

A

A

A

Aa zyx ˆˆˆˆ ++==

zyxa zyx ˆˆˆˆ ++=

1222 =++ zyx


Vector de posición:

zzyyxxr ˆˆˆ ++=

x

y

rP


Vector de posición relativa:

zzyyxxr ˆˆˆ ++=

x

y

rP'r

P’ R

zzyyxxr ˆ'ˆ'ˆ'' ++=

zzzyyyxxxR ˆ)'(ˆ)'(ˆ)'( −+−+−=


Producto escalar:

Sean dos vectores A y B:


zByBxBB zyx ˆˆˆ ++=

Entonces:

zzyyxx BABABABA ++=⋅

θcosBABA

=⋅


Graficamente:

A

B

θcosA

θ


Producto escalar de vectores unitarios:

0ˆˆ =⋅ yx

0ˆˆ =⋅ zx

0ˆˆ =⋅ zy

1ˆˆ =⋅ xx

1ˆˆ =⋅ yy

1ˆˆ =⋅ zz

Si es un vector unitario en una dirección determinada, entonces la componente de en esa direccion es:e

A

eAAe ˆ⋅=


Algunas propiedades del producto escalar:

ABBA

⋅=⋅

2AAA

=⋅

BAsiBA

⊥=⋅ ,0


Producto vectorial:

Sean dos vectores A y B:


zByBxBB zyx ˆˆˆ ++=

Entonces:

zyx

zyx

BBB

AAA

zyx

BA

ˆˆˆ

=×


Producto vectorial:

zyx

zyx

BBB

AAA

zyx

BA

ˆˆˆ

=×

...ˆ)( xBABABA yzzy −=×


Producto vectorial:

zyx

zyx

BBB

AAA

zyx

BA

ˆˆˆ

=×

...ˆ)(ˆ)( +−−−=× yBABAxBABABA xzzxyzzy


Producto vectorial:

zyx

zyx

BBB

AAA

zyx

BA

ˆˆˆ

=×

zBABAyBABAxBABABA xyyxxzzxyzzy ˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−−−=×

Ademas:

θsenBABA

=×


Producto vectorial de vectores unitarios:

zyx ˆˆˆ =×

xzy ˆˆˆ =×

yxz ˆˆˆ =×

0ˆˆ =× xx

0ˆˆ =× yy

0ˆˆ =× zz

x

y

z


Algunas propiedades del producto vectorial:

ABBA

×−=×

0=×AA

BAsiBA

,0=×

→⋅−⋅=×× )()()( BACCABCBA

Atrás del taxi


Campo vectorial.

Velocidad del viento en un huracán

zzyxvyzyxvxzyxvv zyx ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( ++=


Campo escalar

Valor de la presión atmosférica en un huracán

),,( zyxpp =


Derivada de una función

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

- 0.4- 0.2

0.20.40.60.8

1f

dxdx

dfdf

=

derivada


Gradiente

),,( zyxfu =

sdudu ⋅∇=

udeGradienteu →∇

zz

uy

y

ux

x

uu ˆˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

Potencial de un dipolo

-4

-2

0

2

4

y

-4

-2

0

2

4

z

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

V

-4

-2

0

2

4

y

-4

-2

0

2

4

z


Gradiente de una función escalar

sdudu ⋅∇=

zz

uy

y

ux

x

uu ˆˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

zdzydyxdxsd ˆˆˆ ++=

( )zdzydyxdxz

uy

y

ux

x

udu ˆˆˆˆˆ ++⋅

∂∂+

∂∂+

∂∂=



sdudu ⋅∇=

zz

uy

y

ux

x

uu ˆˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇


( )zdzydyxdxz

uy

y

ux

x


∂∂+

∂∂+

∂∂=

dzz

udy

y

udx

x

udu

∂∂+

∂∂+

∂∂=


Propiedades importantes del Gradiente

• Se aplica a funciones escalares

• El gradiente de una función es un vector

θcosdsusdudu ∇=⋅∇=

• El gradiente apunta en la dirección de máximo cambio de la función


¿ Qué información tendremos al calcular el gradiente de la presión en este caso?


)( 22

),( yxeyxf +−=

Ejemplo no. 1

Calcular el gradiente de la función:

yy

fx

x

ff ˆˆ

∂∂+

∂∂=∇

yeyxexf yxyx ˆ2ˆ2 )()( 2222 +−+− −−=∇

( ) ( )y

y

ex

x

ef

yxyx

ˆˆ)()( 2222

∂∂+

∂∂=∇

+−+−


Fig . 1

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

0

0.25

0.5

0.75

1

-2

-1

0

1

2

)( 22

),( yxeyxf +−=


=∇ ),( yxf yeyxex yxyx ˆ2ˆ2 )()( 2222 +−+− −−

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


Fig . 1

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

0

0.25

0.5

0.75

1

-2

-1

0

1

2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

),( yxf ),( yxf∇


Ejemplo no. 2


( )22),( yxsenyxf +=

yy

fx

x

ff ˆˆ

∂∂+

∂∂=∇

( ) ( ) ( ) ( ) yyxy

yxxyxx

yxf ˆcosˆcos 2

122222

12222

+

∂∂++

+

∂∂+=∇


Ejemplo no. 2



yy

fx

x

ff ˆˆ

∂∂+

∂∂=∇

( )

+=∇

2

1cos 22 yxf

( ) ( ) ( ) ( ) yyxy

yxxyxx

yxf ˆcosˆcos 2

122222

12222

+

∂∂++

+

∂∂+=∇


Ejemplo no. 2



yy

fx

x

ff ˆˆ

∂∂+

∂∂=∇

( ) ( ) 2

12222

2

1cos

−+

+=∇ yxyxf

( ) ( ) ( ) ( ) yyxy

yxxyxx

yxf ˆcosˆcos 2

122222

12222

+

∂∂++

+

∂∂+=∇


Ejemplo no. 2



yy

fx

x

ff ˆˆ

∂∂+

∂∂=∇

( ) ( ) ( ) xxyxyxf ˆ22

1cos 2

12222 −

+

+=∇

( ) ( ) ( ) ( ) yyxy

yxxyxx

yxf ˆcosˆcos 2

122222

12222

+

∂∂++

+

∂∂+=∇


Ejemplo no. 2



yy

fx

x

ff ˆˆ

∂∂+

∂∂=∇

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yyyxyxxxyxyxf ˆ22

1cosˆ2

2

1cos 2

122222

12222 −−

+

+++

+=∇

( ) ( ) ( ) ( ) yyxy

yxxyxx

yxf ˆcosˆcos 2

122222

12222

+

∂∂++

+

∂∂+=∇


Ejemplo no. 2



yy

fx

x

ff ˆˆ

∂∂+

∂∂=∇

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yyyxyxxxyxyxf ˆ22

1cosˆ2

2

1cos 2

122222

12222 −−

+

+++

+=∇

yyx

yxyx

yx

yxxf ˆ

cosˆ

cos22

22

22

22

+

++

+

+=∇

( ) ( ) ( ) ( ) yyxy

yxxyxx

yxf ˆcosˆcos 2

122222

12222

+

∂∂++

+

∂∂+=∇



-2

0

2

-2

0

2-0.5

0

0.5

1

-2

0

2


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

yyx

yxyx

yx

yxxf ˆ

cosˆ

cos22

22

22

22

+

++

+

+=∇



-2

0

2

-2

0

2-0.5

0

0.5

1

-2

0

2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

yyx

yxyx

yx

yxxf ˆ

cosˆ

cos22

22

22

22

+

++

+

+=∇


Divergencia.

Campo vectorial sin divergencia

Campo vectorial con divergencia pronunciada

Campo vectorial divergente


La divergencia calculada sobre un volumen, es diferente de cero si el número de líneas de campo que entran al volumen no es igual al número de líneas que salen.

Campo vectorial con divergencia pronunciada


Conteo de líneas: una línea que entra al volumen la vamos a considerar negativa, si sale la consideraremos positiva


Lineas que entran: 1


Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 1


La divergencia sobre el volumen es cero.


La divergencia es diferente de cero, solamente si las lineas de campo nacen o mueren en el interior del volumen considerado.


La divergencia sobre el volumen es diferente de cero.


Divergencia.

zzyxAyzyxAxzyxAA zyx ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( ++=

Consideremos una función vectorial de la forma:

La divergencia de se calcula de la siguiente manera:A

z

A

y

A

x

AA zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇


• Cuando la divergencia calculada sobre un volumen es diferente de cero, significa que en el interior de ese volumen las líneas de campo nacen o mueren.

Propiedades importantes de la divergencia

• Se aplica a funciones vectoriales

• La divergencia de una función vectorial es un escalar

+ −


Ejemplo no. 1

Calcular la divergencia de la función:

yyxyxF ˆcosˆxsen),( +=

y

F

x

FF yx

∂∂

+∂

∂=⋅∇

yxF sencos −=⋅∇


-3 -2-1 0 1 2 3 4

-3-2-101234

X

Y

X Component

-4-2

02

4X

-4

-2024

Y-1

-0.50

0.51

-4-2

02

4X

Y Component

-4-2

02

4X

-4

-2024

Y-1

-0.50

0.51

-4-2

02

4X

yyxxsenyxF ˆcosˆ),( +=



-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

Y


yxF sencos −=⋅∇

-4-2

0

2

4-4

-2

0

2

4

-2

-1

0

1

2

-4-2

0

2

4


Ejemplo no. 2


yysenxyxyxF ˆˆcos),( −=

y

F

x

FF yx

∂∂

+∂

∂=⋅∇

yyF coscos −=⋅∇

0=⋅∇ F


-3-2-10 1 2 3 4

-3-2-101234

X

Y

X Component

-4-2

02

4X -4

-2024

Y-4-2024

-4-2

02

4X

Y Component

-4-2

02

4X -4

-2024

Y-1-0.50

0.51

-4-2

02

4X




-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

Y


Ejemplo no. 3


yy

xeyxFx

ˆ4

5.0ˆ),(2

4

2

−+=

−


Ejemplo no. 3


yy

xeyxFx

ˆ4

5.0ˆ),(2

4

2

−+=

−

y

F

x

FF yx

∂∂

+∂

∂=⋅∇


Ejemplo no. 3


yy

xeyxFx

ˆ4

5.0ˆ),(2

4

2

−+=

−

y

F

x

FF yx

∂∂

+∂

∂=⋅∇

−

=⋅∇ 16

2x

eF


Ejemplo no. 3


yy

xeyxFx

ˆ4

5.0ˆ),(2

4

2

−+=

−

y

F

x

FF yx

∂∂

+∂

∂=⋅∇

−=⋅∇

−

16

216

2

xeF

x


Ejemplo no. 3


yy

xeyxFx

ˆ4

5.0ˆ),(2

4

2

−+=

−

y

F

x

FF yx

∂∂

+∂

∂=⋅∇

16

2

16

216

2

yxeF

x

−

−=⋅∇

−


Ejemplo no. 3


yy

xeyxFx

ˆ4

5.0ˆ),(2

4

2

−+=

−

y

F

x

FF yx

∂∂

+∂

∂=⋅∇

16

2

16

216

2

yxeF

x

−

−=⋅∇

−

8816

2

ye

xF

x

−−=⋅∇

−


-3-2-10 1 2 3 4

-3-2-101234

X

Y

X Component

-4-2

02

4X -4

-2024

Y0.40.60.81

-4-2

02

4X

Y Component

-4-2

02

4X -4

-2024

Y-0.5-0.2500.250.5

-4-2

02

4X

yy

xeyxFx

ˆ4

5.0ˆ),(2

4

2

−+=

−


-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

X

Y


8816

2

ye

xF

x

−−=⋅∇

−

-4

-2

0

2

4 -4

-2

0

2

4

-0.5

0

0.5

-4

-2

0

2

4


Rotacional.

El rotacional de un campo vectorial mide la circulación del campo


Campos vectoriales con rotacional pronunciado


Campos vectoriales con rotacional igual a cero


Rotacional.

zzyxAyzyxAxzyxAA zyx ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( ++=

Consideremos una función vectorial de la forma:

El rotacional de se define como:A

zyx AAA

zyx

zyx

A∂∂

∂∂

∂∂=×∇

ˆˆˆ

zy

A

x

Ay

z

A

x

Ax

z

A

y

AA xyxzyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂−

∂

∂−

∂∂

=×∇


zyx AAA

zyx

zyx

A∂∂

∂∂

∂∂=×∇

ˆˆˆ

zy

A

x

Ay

z

A

x

Ax

z

A

y

AA xyxzyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂−

∂

∂−

∂∂

=×∇

xyz

zy

A

x

Ay

x

A

z

Ax

z

A

y

AA xyzxyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇


Ejemplo no. 1

Calcular el rotacional de la función:

yxxyyxF ˆˆ),( +−=

zy

F

x

Fy

x

F

z

Fx

z

F

y

FF xyzxyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇


Ejemplo no. 1



zy

F

x

Fy

x

F

z

Fx

z

F

y

FF xyzxyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇


Ejemplo no. 1



zy

F

x

Fy

x

F

z

Fx

z

F

y

FF xyzxyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇

( ) zF ˆ1=×∇


Ejemplo no. 1



zy

F

x

Fy

x

F

z

Fx

z

F

y

FF xyzxyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇

( ) zF ˆ)1(1 −−=×∇


Ejemplo no. 1



zy

F

x

Fy

x

F

z

Fx

z

F

y

FF xyzxyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇

( ) zF ˆ)1(1 −−=×∇

zF ˆ2=×∇


Ejemplo no. 1

-3-2-1 0 1 2 3 4

-3-2-101234

X

Y

X Component

-4-2

02

4X

-4

-2024

Y-4-2024

-4-2

02

4X

Y Component

-4-2

02

4X

-4

-2024

Y-4-2024

-4-2

02

4X



Ejemplo no. 1


-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

Y


Ejemplo no. 2


( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=

zy

F

x

Fy

x

F

z

Fx

z

F

y

FF xyzxyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇


Ejemplo no. 2


( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=

zy

F

x

Fy

x

F

z

Fx

z

F

y

FF xyzxyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇

( ) zF ˆ1=×∇


Ejemplo no. 2


( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=

zy

F

x

Fy

x

F

z

Fx

z

F

y

FF xyzxyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇

( ) zF ˆ)1(1 −−=×∇


Ejemplo no. 2


( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=

zy

F

x

Fy

x

F

z

Fx

z

F

y

FF xyzxyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇

( ) zF ˆ)1(1 −−=×∇

zF ˆ2=×∇


-3-2-10 1 2 3 4

-3-2-101234

X

Y

X Component

-4-2

02

4X -4

-2024

Y0

1020

-4-2

02

4X

Y Component

-4-2

02

4X -4

-2024

Y0

1020

-4-2

02

4X

( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=


( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

X

Y


( ) ( ) yyxxyxyxF ˆˆ),( 22 ++−=

-0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

X

Y


Operador Nabla

zz

yy

xx

ˆˆˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇


Operador Nabla

zz

yy

xx

ˆˆˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

Gradiente:

zz

uy

y

ux

x

uu ˆˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

( )uzz

yy

xx

∂∂+

∂∂+

∂∂

ˆˆˆ


Operador Nabla

zz

yy

xx

ˆˆˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

Divergencia:

( )zAyAxAzz

yy

xx zyx ˆˆˆˆˆˆ ++•

∂∂+

∂∂+

∂∂

z

A

y

A

x

AA zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇


Operador Nabla

zz

yy

xx

ˆˆˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

Rotacional:

( )zAyAxAzz

yy

xx zyx ˆˆˆˆˆˆ ++×

∂∂+

∂∂+

∂∂

zy

A

x

Ay

x

A

z

Ax

z

A

y

AA xyzxyz ˆˆˆ

∂

∂−

∂∂

+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇


Laplaciano

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇


Laplaciano

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇

2

2

2

2

2

22

z

u

y

u

x

uu

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

Cuando actúa sobre una función escalar:


∂

∂+

∂∂

+∂

∂

∂∂

+∂

∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

+∂

∂

zz

A

y

A

x

A

yz

A

y

A

x

A

xz

A

y

A

x

A

zzz

yyy

xxx

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Cuando actúa sobre una función vectorial:

( )zAyAxAA zyx ˆˆˆ22 ++∇=∇

zAyAxA zyx ˆˆˆ 222 ∇+∇+∇=

=∇ A2


Propiedades importantes

0=×∇⋅∇ A

0=∇×∇ u

( ) ( ) AAA 2∇−⋅∇∇=×∇×∇


Esto exclamó el Papa al firmar la bulacon que furioso excomulgó a Lutero:La divergencia del rotacional es nulay el rotacional de un gradiente es siempre cero.

El gran fraile Alemán invoco a Diosy exclamó con su habitual vehemencia:El rotacional del rotacional mas nabla dosda el gradiente de toda divergencia.

* De Enrique Leodel Palumbotomado de: Electrodinámica: Luis Epele, Huner Fanchiotti, Carlos García Canal.


Integral de línea

A

i

f

∫∫ ⋅=⋅C

f

isdAsdA

C


Integral de línea

∫∫ =⋅CC

dsAsdA θcos

sd

A

θ


Integral de línea

θsd

A

∫∫ =⋅CC

dsAsdA θcos


Integral de línea

A

θ

sd

∫∫ =⋅CC

dsAsdA θcos


Integral de línea

sd

θ

A

∫∫ =⋅CC

dsAsdA θcos


Integral de línea

sdθ

A

∫∫ =⋅CC

dsAsdA θcos


Integral de línea

A

i

f

∫∫ ⋅≠⋅'CC

sdAsdA

C

'C

En general:


Integral de línea

( ) ( )∫∫ ++⋅++=⋅C zyxC

zdzydyxdxzAyAxAsdA ˆˆˆˆˆˆ

( )∫ ++=C zyx dzAdyAdxA

Al evaluar este integral debemos recordar que las coordenadas “x”, “y” y “z” están relacionadas entre sí por la ecuación de la curva.

i

f

x

y

dx

dy

A

i

f


Ejemplo no. 1

Calcular la integral de línea de la función desde el punto a(1,1,0) al punto b(2,2,0) a lo largo de las trayectoria (1) y (2)mostradas en figura.

yyxxyv ˆ)1(2ˆ2 ++=

1 2

y

x

1

2

a

b(2)

(1)


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)

Para el tramo horizontal:

y = 1


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)


y = 1

yxxyxxv ˆ4ˆˆ)11(2ˆ +=++=


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)


y = 1


xdxydyxdxsd ˆˆˆ =+=


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)

∫∫ ⋅+=⋅ xdxyxxsdv ˆ)()ˆ4ˆ(


y = 1




Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)

∫∫ ⋅+=⋅ xdxyxxsdv ˆ)ˆ4ˆ(


y = 1



∫2

1dx


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)



y = 1



∫2

1dx 0ˆˆ =⋅ yx


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)



y = 1



12

1=∫ dx 0ˆˆ =⋅ yx


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)

Para el tramo vertical:

x = 2


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)


x = 2

yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)


x = 2

yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=

ydyydyxdxsd ˆˆˆ =+=


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)

[ ]∫∫ ⋅++=⋅ ydyyyxysdv ˆˆ)44(ˆ2


x = 2

yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=



Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)



x = 2

yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=


0ˆˆ =⋅ yx


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)



x = 2

yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=


∫ +2

1)44( dyy


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)



x = 2

yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=


2

1

22

142)44( yydyy +=+∫


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)



x = 2

yyxyyyxyv ˆ)44(ˆˆ)1()2(2ˆ 22 ++=++=


10)42()88(42)44(2

1

22

1=+−+=+=+∫ yydyy


Trayectoria 1


1 2

y

x

1

2

a

b

(1)

∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅=⋅)2,2(

)1,2(

)1,2(

)1,1(

)2,2(

)1,1(sdvsdvsdvsdv

b

a

11101 =+=⋅∫b

asdv


Trayectoria 2


1 2

y

x

1

2

a

b(2)

En esta trayectoria:

y = x

y = x


Trayectoria 2


1 2

y

x

1

2

a

b(2)


y = x

yxxxxyxxxxv ˆ)22(ˆˆ)1(2ˆ 222 ++=++=


Trayectoria 2


1 2

y

x

1

2

a

b(2)


y = x


ydxxdxydyxdxsd ˆˆˆˆ +=+=


Trayectoria 2


1 2

y

x

1

2

a

b(2)


y = x



[ ] )ˆˆ(ˆ)22(ˆ 22 ydxxdxyxxxxsdv +⋅++=⋅ ∫∫


Trayectoria 2


1 2

y

x

1

2

a

b(2)


y = x




[ ]∫ dxx 2


Trayectoria 2


1 2

y

x

1

2

a

b(2)


y = x




[ ]∫ ++ dxxxdxx )22( 22


Trayectoria 2


1 2

y

x

1

2

a

b(2)


y = x




[ ] ∫∫ +=++2

1

222 )23()22( dxxxdxxxdxx


Trayectoria 2


1 2

y

x

1

2

a

b(2)


y = x




[ ] 10)2()12()23()22(2

1

232

1

222 =−=+=+=++ ∫∫ xxdxxxdxxxdxx


Integral de superficie

∫ ⋅S

adA

Superficie abierta

Superficie cerrada

∫ ⋅S

adA


Vector de area:

• Su magnitud es igual a la del area a la que representa.

• Es perpendicular a la superficie.


Vector de area:



• Para una superfie abierta su sentido se escoge de acuerdo a la regla de la mano derecha.


Vector de area:





Vector de area:




• Para una superficie cerrada apunta hacia afuera de la superficie.


¿ Como representamos mediante un vector de area una superficie irregular ?



∫ ⋅S

adA

Aad

θ

θcosdaAadA =⋅



∫ ⋅S

adA

A

ad

0>⋅ adA

ad

A

0<⋅ adA



∫ ⋅S

adA

( ) ( )∫ ++⋅++ zdaydaxdazAyAxA zyxzyx ˆˆˆˆˆˆ

( )∫ ++ zzyyxx daAdaAdaA


Ejemplo no. 1

Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior).

zzyyxxxzv ˆ)3(ˆ)2(ˆ2 2 −+++=

2 yx

z

2

2


Ejemplo no. 1



2y

x

z

2

2

Cara 1:

∫ ⋅1S

adv

dxdy

zdydxad ˆ=

ad


Ejemplo no. 1



2y

x

z

2

2

Cara 1:

∫ ⋅1S

adv

zdydxad ˆ=

ad ∫ ∫∫ −=⋅ dydxzyadvS

)3( 2

1


Ejemplo no. 1



2y

x

z

2

2

Cara 1:

∫ ⋅1S

adv

zdydxad ˆ=


)3( 2

1

2=z

∫ ∫= dydxy )1(


Ejemplo no. 1



2y

x

z

2

0

Cara 1:

∫ ⋅1S

adv

zdydxad ˆ=


)3( 2

1

2

2

0

== ∫∫∫ ∫

2

0

2

0

2

0

2

0)1( dyydxdydxy

[ ] 4)2()2(2

12

0

220 ==

= yx


Ejemplo no. 1



2y

x

z

2

Cara 2:

∫ ⋅2S

adv

xdzdyad ˆ=

ad

2

dy

dz


Ejemplo no. 1



2y

x

z

2

Cara 2:

∫ ⋅2S

adv

xdzdyad ˆ=

ad

∫ ∫∫ =⋅ dzdyxzadvS

22

2


Ejemplo no. 1



2y

x

z

2

Cara 2:

∫ ⋅2S

adv

xdzdyad ˆ=

ad


22

2

2=x

== ∫∫∫ ∫

2

0

2

0

2

0

2

044 dzzdydzdyz


Ejemplo no. 1



2y

x

z

2

Cara 2:

∫ ⋅2S

adv

xdzdyad ˆ=

ad


22

2

== ∫∫∫ ∫

2

0

2

0

2

0

2

044 dzzdydzdyz

[ ] 16)2()8(2

14

2

0

220 ==

= zy


Ejemplo no. 1



y

z

2

Cara 3:

∫ ⋅3S

adv

)ˆ( xdzdyad −=

ad

2

dy

dz


Ejemplo no. 1



y

z

2

Cara 3:

∫ ⋅3S

adv

)ˆ( xdzdyad −=

ad∫ ∫∫ −=⋅ dzdyxzadv

S2

3

2


Ejemplo no. 1



y

z

2

Cara 3:

∫ ⋅3S

adv

)ˆ( xdzdyad −=

ad∫ ∫∫ −=⋅ dzdyxzadv

S2

3

2

0=

0=x


Ejemplo no. 1



2

y

x

z

2

Cara 4:

∫ ⋅4S

adv

ydzdxad ˆ=

ad

2

dz

dx


Ejemplo no. 1



2

y

x

z

2

Cara 4:

∫ ⋅4S

adv

ydzdxad ˆ=

ad

∫ ∫∫ +=⋅ dzdxxadvS

)2(4

2


Ejemplo no. 1



2

y

x

z

2

Cara 4:

∫ ⋅4S

adv

ydzdxad ˆ=

ad


)2(4

2

+= ∫∫

2

0

2

0)2( dzdxx

2=y


Ejemplo no. 1



2

y

x

z

2

Cara 4:

∫ ⋅4S

adv

ydzdxad ˆ=

ad


)2(4

2

+= ∫∫

2

0

2

0)2( dzdxx

[ ] 12)2()42(22

1 20

2

0

2 =+=

+= zxx

2=y


Ejemplo no. 1



2

y

x

z

Cara 5:

∫ ⋅5S

adv

)ˆ( ydzdxad −=

ad

2

dz

dx


Ejemplo no. 1



2

y

x

z

Cara 5:

∫ ⋅5S

adv

ad

2

∫ ∫∫ +−=⋅ dzdxxadvS

)2(5

)ˆ( ydzdxad −=


Ejemplo no. 1



2

y

x

z

Cara 5:

∫ ⋅5S

adv

ad

2

∫ ∫∫ +−=⋅ dzdxxadvS

)2(5

)ˆ( ydzdxad −=

+−= ∫∫

2

0

2

0)2( dzdxx

[ ] 12)2()42(22

1 20

2

0

2 −=−−=

−−= zxx


Ejemplo no. 1



2 yx

z

2

2 201212164 =−++=⋅∫S adv


Teorema de la divergencia

( ) ∫∫ ⋅=⋅∇SV

adAdA τ


Teorema del rotacional (Stokes)

( ) ∫∫ ⋅=⋅×∇CS

sdAadA


Coordenadas rectangulares

xy

z

P

xy

y

z z

x


Coordenadas rectangulares

x

z

P

y


Coordenadas cilíndricas

x

z

P

y

ρ



x

z

P

y

ρ

ϕ



x

z

yz

ϕ



z

ϕρ

x

z

zAAAA z ˆˆˆ ++= ϕρ ϕρ



z

ϕρx

z

1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ zzϕϕρρ

0ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ ρϕϕρ zz

zˆˆ =× ϕρρϕ ˆˆˆ =× z

ϕρ ˆˆˆ =×z



ϕ

ρ

x

z

y

r



ρ

x

z

y

r z

zzr ˆˆ += ρρ

zzr ˆˆ += ρρ



ϕ ρ

x

y

ϕρ cos=x

ϕρ seny =

( 1 )

( 2 )

Dividiendo (2) entre (1):

ϕρϕρ

cos

sen

x

y =

x

y=ϕtan

Sumando el cuadraro de (1) con el de (2):

22222222 cos yxsenyx +=→+=+ ρϕρϕρ

zz = ( 3 )

zzr ˆˆ += ρρ



ϕ

ρ

x

y

zϕ

x

ϕ ϕ

zzr ˆˆ += ρρ



ρ

yϕ

x

yx yx ˆˆˆ ρρρ +=

xρyρ

ϕϕρρ coscosˆ ==x

ϕϕρρ senseny == ˆ

ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=


zzr ˆˆ += ρρ



ϕ

ρ

x

y

zϕ

x

ϕ

ϕ


zzr ˆˆ += ρρ



ϕ

x

yϕ

ϕ−90


zzr ˆˆ += ρρ



ϕ

x(+)

y

yx yx ˆˆˆ ϕϕϕ +=

ϕϕϕϕ sensenx −=−= ˆ

ϕϕϕϕ coscosˆ ==y

yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=

ϕxϕ

yϕ

x(-)ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=


zzr ˆˆ += ρρ



ϕ

x(+)

y


ϕxϕ

yϕ

x(-)ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=



yxsen ˆcosˆˆ ϕϕ

ϕρ +−=

∂∂

ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂

ysenx ˆˆcosˆ ϕϕ

ϕϕ −−=

∂∂

ρϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zzr ˆˆ += ρρ

ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂

ρϕϕ

ˆˆ −=

∂∂



ϕ

x(+)

y

ϕ

ρ

ϕ

ϕ−90ϕ

ϕx

ϕϕρϕ ˆˆcosˆ senx −=

ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂

ρϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zzr ˆˆ += ρρ



ϕ

x(+)

y

ϕ

ρ

y

ϕϕρϕ ˆcosˆˆ += seny

ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂

ρϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zzr ˆˆ += ρρ


Coordenadas cilíndricaszzr ˆˆ += ρρ

ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂

ρϕϕ

ˆˆ −=

∂∂ ρ

x

z

yrz

ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂

ϕϕρ ˆˆ dd =



ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂

ρϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zzr ˆˆ += ρρ

zdzddrd ˆˆˆ ++= ρρρρ

ρ

x

z

yrz

ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂

ϕϕρ ˆˆ dd =



ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂

ρϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zzr ˆˆ += ρρ

zdzddrd ˆˆˆ ++= ρρρρ

zdzddrd ˆˆˆ ++= ϕϕρρρ

ρ

x

z

yrz

ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂

ϕϕρ ˆˆ dd =



ρd

dz ϕd rd



ρdϕd

ϕd

ρ

ρ

ϕρ d

ϕρ d



x

ρdz

y

r

dz

ϕd

ϕρ d)()()( dzddd ρϕρτ =

dzddd ϕρρτ =



ρd

dz

ϕd


ρd

dz ϕdrd zzr ˆˆ += ρρ



ρddz

ϕd

dzdda ρϕ ±=

ρddz

ϕd

dzdda ϕρρ ±=

ϕd ρ

ϕρ d



ρddzϕd

ϕρρ dddaz ±=

ϕd ρ

ϕρ d


:),,,( entonceszfuescalarfunciónunatenemosSi ϕρ=

rdudu ⋅∇=


dzz

ud

ud

udu

∂∂+

∂∂+

∂∂= ϕ

ϕρ

ρ


:Además

:quedicegradientedelgeneraldefiniciónLa


:),,,( entonceszfuescalarfunciónunatenemosSi ϕρ=

rdudu ⋅∇=


dzz

ud

ud

udu

∂∂+

∂∂+

∂∂= ϕ

ϕρ

ρ


:Además


( ) ( )zdzddzuuudzz

ud

ud

uz ˆˆˆˆˆˆ ++⋅∇+∇+∇=

∂∂+

∂∂+

∂∂ ϕϕρρρϕρϕ

ϕρ

ρ ϕρ



( ) ( )zdzddzuuudzz

ud

ud


∂∂+

∂∂+


ϕρ

ρ ϕρ

ρρρ

ρρ ρρρ ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇ u

udu

du



( ) ( )zdzddzuuudzz

ud

ud


∂∂+

∂∂+


ϕρ

ρ ϕρ

ϕρϕρϕ

ϕϕρ ϕϕϕ ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇ 1u

udu

du

ρρρ

ρρ ρρρ ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇ u

udu

du



( ) ( )zdzddzuuudzz

ud

ud


∂∂+

∂∂+


ϕρ

ρ ϕρ

ϕρϕρϕ

ϕϕρ ϕϕϕ ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇ 1u

udu

du

ρρρ

ρρ ρρρ ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇ u

udu

du

zz

uudz

z

udzu zzz ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇


zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ

Divergencia:


( )zAAAzz

A z ˆˆˆˆˆ1

ˆ ++⋅

∂∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇ ϕρϕ

ϕρρ

ρ ϕρ

( ) +

++

∂∂⋅= zAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ

ρ ϕρ


zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ

Divergencia:


( )zAAAzz

A z ˆˆˆˆˆ1

ˆ ++⋅

∂∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇ ϕρϕ

ϕρρ

ρ ϕρ

( ) +

++


ρ ϕρ

( ) +

++

∂∂⋅ zAAA z ˆˆˆˆ

1 ϕρϕ

ϕρ ϕρ


zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ

Divergencia:


( )zAAAzz

A z ˆˆˆˆˆ1

ˆ ++⋅

∂∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇ ϕρϕ

ϕρρ

ρ ϕρ

( ) +

++


ρ ϕρ

( ) +

++


1 ϕρϕ

ϕρ ϕρ

( )

++

∂∂⋅ zAAAz

z z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ


zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ

Divergencia:


( )zAAAzz

A z ˆˆˆˆˆ1

ˆ ++⋅

∂∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇ ϕρϕ

ϕρρ

ρ ϕρ

( ) +

++


ρ ϕρ

( ) +

++


1 ϕρϕ

ϕρ ϕρ

( )

++

∂∂⋅ zAAAz


ρρρ

ρ ρρ

∂∂+

∂∂ ˆ

ˆ AA


zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ

Divergencia:


( )zAAAzz

A z ˆˆˆˆˆ1

ˆ ++⋅

∂∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇ ϕρϕ

ϕρρ

ρ ϕρ

( ) +

++


ρ ϕρ

( ) +

++


1 ϕρϕ

ϕρ ϕρ

( )

++

∂∂⋅ zAAAz


yxsen ˆcosˆˆ ϕϕϕ +−=ysenx ˆˆcosˆ ϕϕρ +=

ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =



( ) +

++

∂∂⋅=⋅∇ zAAAA z ˆˆˆˆ ϕρρ

ρ ϕρ

( ) +

++


1 ϕρϕ

ϕρ ϕρ

( )

++

∂∂⋅ zAAAz



ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

+

∂∂

+∂∂

+∂

∂⋅=⋅∇ z

AAAA z ˆˆˆˆ

ρϕ

ρρ

ρρ ϕρ



( ) +

++


ρ ϕρ

( ) +

++


1 ϕρϕ

ϕρ ϕρ

( )

++

∂∂⋅ zAAAz



ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

+

∂∂

+∂∂

+∂

∂⋅=⋅∇ z

AAAA z ˆˆˆˆ

ρϕ

ρρ

ρρ ϕρ

+

∂∂

+∂∂+

∂∂

+∂∂+

∂∂

⋅ zA

AA

AA

z ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ1

ϕϕϕϕ

ϕϕρρ

ϕϕ

ρ ϕϕ

ρρ



( ) +

++


ρ ϕρ

( ) +

++


1 ϕρϕ

ϕρ ϕρ

( )

++

∂∂⋅ zAAAz



ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

+

∂∂

+∂∂

+∂

∂⋅=⋅∇ z

AAAA z ˆˆˆˆ

ρϕ

ρρ

ρρ ϕρ

+

∂∂

+∂∂+

∂∂

+∂∂+

∂∂

⋅ zA

AA

AA

z ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ1

ϕϕϕϕ

ϕϕρρ

ϕϕ

ρ ϕϕ

ρρ

∂

∂+

∂∂

+∂

∂⋅ z

z

A

z

A

z

Az z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ



( ) +

++


ρ ϕρ

( ) +

++


1 ϕρϕ

ϕρ ϕρ

( )

++

∂∂⋅ zAAAz



ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

+

∂∂

+∂∂

+∂

∂⋅=⋅∇ z

AAAA z ˆˆˆˆ

ρϕ

ρρ

ρρ ϕρ

+

∂∂

+∂∂+

∂∂

+∂∂+

∂∂

⋅ zA

AA

AA

z ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ1

ϕϕϕϕ

ϕϕρρ

ϕϕ

ρ ϕϕ

ρρ

∂

∂+

∂∂

+∂

∂⋅ z

z

A

z

A

z

Az z ˆˆˆˆ ϕρ ϕρ

ϕ ρ−



( ) +

++


ρ ϕρ

( ) +

++


1 ϕρϕ

ϕρ ϕρ

( )

++

∂∂⋅ zAAAz



ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

+

∂∂

+∂∂

+∂

∂⋅=⋅∇ z

AAAA z ˆˆˆˆ

ρϕ

ρρ

ρρ ϕρ

+

∂∂

+∂∂+

∂∂

+∂∂+

∂∂

⋅ zA

AA

AA

z ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ1

ϕϕϕϕ

ϕϕρρ

ϕϕ

ρ ϕϕ

ρρ

z

AAAAz

z

A

z

A

z

Az zz

∂∂

+∂

∂++

∂∂

=

∂

∂+

∂∂

+∂

∂⋅

ϕρρρϕρ ϕρρϕρ 1

ˆˆˆˆ

ϕ ρ−


( )z

AAAA z

∂∂

+∂

∂+

∂∂=⋅∇

ϕρρ

ρρϕ

ρ11


( ) zA

AA

z

A

z

AAA zz ˆ

11ˆˆ

1

∂

∂−

∂∂+

∂∂

−∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=×∇ϕρ

ρρρ

ϕρ

ρϕρ

ρϕ

ρϕ

2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

++∂

∂ρρ

ρρ AA

ϕϕρϕ

∂∂

+∂

∂zAA1


Coordenadas esféricas

x

y

r

z

P

)...,(rP



x y

r

z

Pθ

z

x

y

P

)...,,( θrP



x

y

r

z

P

ϕ

ϕ

x

y

),,( ϕθrP



r

z

θ

ϕ

x

y

ϕθ ϕθ ˆˆˆ AArAA r ++=

r

rrr ˆ=



r

z

θ

ϕ

x

y

1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ ϕϕθθrr

0ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ rr ϕϕθθ

ϕθ ˆˆˆ =×r

rˆˆ =×ϕθ

θϕ ˆˆˆ =×r



rθ

x

y

θsenr

θsenr

θcosr θcosrz =



ϕ

x

yθsenr

ϕθ cossenrx =

ϕθ sensenry =

θsenr

x

y

θcosrz =



rθ

x

yx

y=ϕtan

222 zyxr ++=

z

yx 22

tan+

=θ

22 yx +x

y

ϕ



r

y

z

y

x

r

r

r



θ

z

rθθ coscosˆ =r

θcosˆ =zr

θcosˆ =zr



θ

z

r

θθ sensenr =ˆ

θcosˆ =zr



xr

y

x

ϕ

yrθcosˆ =zr θsen

ϕ

zysensenxsenr ˆcosˆˆcosˆ θϕθϕθ ++=



z

r

θ

x

y



rθ

ϕ

x

y



r

z

xr

θ

ϕ

r

y

θ

θ

θ



z

x

ϕ

r

θ

θ

θθ senˆ−

θθ senz −=ˆ

θθ senz −=ˆ



z

x

ϕ

r

θ

θ

θθθ coscosˆ =

θθ senz −=ˆ



zsenysenx ˆˆcosˆcoscosˆ θϕθϕθθ −+=

ϕ

x

yθcos

ϕθ coscos

ϕθ sencos

θθ senz −=ˆ



ϕ

x

y


ϕ






A

B

θ

θcosAAB =θcosBBA = AB BAentoncesBASi ==

ϕϕθϕθϕθ ˆˆcoscosˆcosˆ senrsenx −+=ϕϕθϕθϕθ ˆcosˆcosˆˆ ++= senrsenseny

θθθ ˆˆcosˆ senrz −=






θθϕθϕθθ

ˆˆˆcosˆcoscosˆ =−+=

∂∂

zsenysenxr

rzysensenxsen ˆˆcosˆˆcosˆ

−=−−−=∂∂ θϕθϕθ

θθ

0ˆ =

∂∂

θϕ

Derivando respecto a θ

θθ

ˆˆ =∂∂ r






ϕθϕθϕθϕ

ˆˆcosˆˆ

senysenxsensenr =+−=

∂∂

ϕθϕθϕθϕθ

ˆcosˆcoscosˆcosˆ

=+−=∂∂

yxsen

θθθϕϕϕϕ ˆcosˆˆˆcosˆ −−=−−=

∂∂

rsenysenx

Derivando respecto a ϕ

ϕθϕ

ˆˆ

senr =

∂∂

θθ

ˆˆ =∂∂ r


Coordenadas esféricasrrr ˆ=

)ˆ( rrdrd =

drrrdrrd ˆˆ +=

dzz

udy

y

udx

x

udu

∂∂+

∂∂+

∂∂=

ϕϕ

θθ

du

du

drr

udu

∂∂+

∂∂+

∂∂=

ϕϕ

θθ

dr

dr

drr

rrd

∂∂+

∂∂+

∂∂= ˆˆˆ

ˆ

ϕθϕ

ˆˆ

senr =

∂∂

θθ

ˆˆ =∂∂ r

ϕϕθθθ dsendrd ˆˆˆ +=

)ˆˆ(ˆ ϕϕθθθ dsendrdrrrd ++=


ϕϕθθθ ˆˆˆ dsenrdrrdrrd ++=

x

y

z

r

r



x

y

z

rϕd



r

θsenr

θ



ϕd

ϕθ dsenrθsenr



θθd



θdrθdr



x

r

ϕr

ϕ

θ

r

θr

y

x

y

z

x y

z z

x

y

Vista superior Vista frontal

Vista lateral



ϕθ dsenr

θdr

θdr

ϕθ dsenr

dr

)()()( drdrdsenrd θϕθτ =

θϕθτ dddrsenrd 2=



ϕθθ ddrsenrda ±=

θϕ ddrrda ±=

θdr

ϕθ dsenr

dr



ϕθθ ddsenrdar2±=

θdr

ϕθ dsenr

dr


:),,,( entoncesrfuescalarfunciónunatenemosSi ϕθ=

rdudu ⋅∇=


ϕϕ

θθ

du

du

drr

udu

∂∂+

∂∂+

∂∂=

:Además


( ) ( )ϕϕθθθϕθ

ϕϕ

θθ

ϕθ ˆˆˆˆˆˆ dsenrdrrdruuru

du

du

drr

u

r ++⋅∇+∇+∇

=∂∂+

∂∂+

∂∂

ϕϕθθθ ˆˆˆ dsenrdrrdrrd ++=


( ) ( )ϕϕθθθϕθϕϕ

θθ ϕθ ˆˆˆˆˆˆ dsenrdrrdruurud

ud

udr

r

ur ++⋅∇+∇+∇=

∂∂+

∂∂+

∂∂


rr

uudr

r

udru rrr ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇




ud

udr

r

ur ++⋅∇+∇+∇=

∂∂+

∂∂+

∂∂


θθθ

θθ θθθ ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇

r

urud

udru

1

rr

uudr

r

udru rrr ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇




ud

udr

r

ur ++⋅∇+∇+∇=

∂∂+

∂∂+

∂∂


ϕθϕθϕ

ϕϕθ ϕϕϕ ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇

senr

u

senrud

udsenru

11

θθθ

θθ θθθ ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇

r

urud

udru

1

rr

uudr

r

udru rrr ∂

∂=∇→∂∂=∇→

∂∂=∇


ϕϕθ

θθ

ˆ1ˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

senrrr

r


( ) ( )ϕθ

θθθ

ϕθ ∂

∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇

A

senrAsen

senrAr

rrA r

111 22

( ) ( )

( ) ϕθ

ϕϕθϕ

θθθ

θ

ϕθ

ϕ

ˆ1

ˆ11

ˆ1

∂∂

−∂∂+

∂∂−

∂∂

+

∂

∂−

∂∂=×∇

r

r

AAr

rr

Arr

A

senrr

AAsen

senrA

2

2

2222

22 111

ϕθθθ

θθ ∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=∇ u

senr

usen

senrr

ur

rru


Yo si entiendo la teoría, sólo que no puedo resolver los problemas.

Tomado de: Campos electromagneticos, Roald Wangsness


Problemas


Problema no. 8

Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u.


Problema no. 8


zz

uy

y

ux

x

uu ˆˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

yxu =


Problema no. 8


zz

uy

y

ux

x

uu ˆˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

yxu =

yxxyu ˆˆ +=∇


Problema no. 8


eAAe ˆ⋅=

yxxyu ˆˆ +=∇

b. Dado el vector: zyxA ˆ4ˆ2ˆ3 ++=

Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2


Problema no. 8


eAAe ˆ⋅=

yxxyu ˆˆ +=∇



22

ˆˆˆ

yx

yxxye

++=


Problema no. 8


eAAe ˆ⋅=

yxxyu ˆˆ +=∇



22

ˆˆˆ

yx

yxxye

++=

( )

++⋅++=

22

ˆˆˆ4ˆ2ˆ3

yx

yxxyzyxAe


( )

++⋅++=

22

ˆˆˆ4ˆ2ˆ3

yx

yxxyzyxAe

Problema no. 8


eAAe ˆ⋅=

yxxyu ˆˆ +=∇



22

ˆˆˆ

yx

yxxye

++=

2222

23

yx

x

yx

yAe

++

+=


Problema no. 8


eAAe ˆ⋅=

yxxyu ˆˆ +=∇



22

ˆˆˆ

yx

yxxye

++=

( )

++⋅++=

22

ˆˆˆ4ˆ2ˆ3

yx

yxxyzyxAe

2222

23

yx

x

yx

yAe

++

+=

2

3)2(3 =→=→= yyyxu


Problema no. 8


eAAe ˆ⋅=

yxxyu ˆˆ +=∇



22

ˆˆˆ

yx

yxxye

++=

( )

++⋅++=

22

ˆˆˆ4ˆ2ˆ3

yx

yxxyzyxAe

2222

23

yx

x

yx

yAe

++

+=

2

3)2(3 =→=→= yyyxu

Sustituyendo x = 2, y = 1.5:


Problema no. 8


eAAe ˆ⋅=

yxxyu ˆˆ +=∇



22

ˆˆˆ

yx

yxxye

++=

( )

++⋅++=

22

ˆˆˆ4ˆ2ˆ3

yx

yxxyzyxAe

2222

23

yx

x

yx

yAe

++

+=

2

3)2(3 =→=→= yyyxu

40.3=eA

Sustituyendo x = 2, y = 1.5:


Problema no. 9

La ecuación de una familia de elipsoides es:

Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xu ++=


Problema no. 9


u

un

∇∇=ˆ


2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xu ++=


Problema no. 9


u

un

∇∇=ˆ


2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xu ++=

zz

uy

y

ux

x

uu ˆˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇


Problema no. 9


u

un

∇∇=ˆ

zc

zy

b

yx

a

xu ˆ

2ˆ

2ˆ

2222

++=∇


2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xu ++=

zz

uy

y

ux

x

uu ˆˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇


Problema no. 9


u

un

∇∇=ˆ

zc

zy

b

yx

a

xu ˆ

2ˆ

2ˆ

2222

++=∇


2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xu ++=

zz

uy

y

ux

x

uu ˆˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

4

2

4

2

4

2 444

c

z

b

y

a

xu ++=∇

++=∇

2

1

4

2

4

2

4

2

2c

z

b

y

a

xu


Problema no. 9


u

un

∇∇=ˆ

zc

zy

b

yx

a

xu ˆ

2ˆ

2ˆ

2222

++=∇


2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xu ++=

zz

uy

y

ux

x

uu ˆˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

4

2

4

2

4

2 444

c

z

b

y

a

xu ++=∇

++

++=

−2

1

4

2

4

2

4

2

222 2

1ˆˆˆ2ˆ

c

z

b

y

a

xz

c

zy

b

yx

a

xn

++=∇

2

1

4

2

4

2

4

2

2c

z

b

y

a

xu


Problema no. 9


u

un

∇∇=ˆ

zc

zy

b

yx

a

xu ˆ

2ˆ

2ˆ

2222

++=∇


2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

xu ++=

zz

uy

y

ux

x

uu ˆˆˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

4

2

4

2

4

2 444

c

z

b

y

a

xu ++=∇

4

2

4

2

4

2

2c

z

b

y

a

xu ++=∇

++

++=

−2

1

4

2

4

2

4

2

222 2

1ˆˆˆ2ˆ

c

z

b

y

a

xz

c

zy

b

yx

a

xn

−

++

++=

2

1

4

2

4

2

4

2

222 ˆˆˆˆc

z

b

y

a

xz

c

zy

b

yx

a

xn


Problema no. 12

Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.


Problema no. 12


∫ ⋅S

adA

∫ ⋅S

adr

r


Problema no. 12


∫ ⋅S

adA

∫ ⋅S

adr

r

z

θ

ϕ

x

y

r

rrr ˆ=


Problema no. 12


∫ ⋅S

adA

∫ ⋅S

adr

rrr ˆ=

θdr

ϕθ dsenr

dr

rddsenrad ˆ2 ϕθθ=


Problema no. 12


∫ ⋅S

adA

∫ ⋅S

adr

rrr ˆ=

rddsenrad ˆ2 ϕθθ=

( ) ( )∫ ⋅S

rddsenrrr ˆˆ 2 ϕθθ


Problema no. 12


∫ ⋅S

adA

∫ ⋅S

adr

( ) ( )∫ ⋅S


( )∫S ddsenr ϕθθ3


Problema no. 12


∫ ⋅S

adA

∫ ⋅S

adr

( ) ( )∫ ⋅S



ϕθθπ π

ddsena ∫ ∫

2

0 0

3

x y

z

Pθ


Problema no. 12


∫ ⋅S

adA

∫ ⋅S

adr

( ) ( )∫ ⋅S



ϕθθπ π

ddsena ∫ ∫

2

0 0

3

x

y

r

z

P

ϕ


Problema no. 12


∫ ⋅S

adA

∫ ⋅S

adr

( ) ( )∫ ⋅S



ϕθθπ π

ddsena ∫ ∫

2

0 0

3

ϕ

x

y


Problema no. 12


∫ ⋅S

adA

∫ ⋅S

adr

( ) ( )∫ ⋅S



ϕθθπ π

ddsena ∫ ∫

=

2

0 0

3

[ ] ϕθ ππda 0

2

0

3 cos∫ −=


Problema no. 12


∫ ⋅S

adA

∫ ⋅S

adr

( ) ( )∫ ⋅S



ϕθθπ π

ddsena ∫ ∫

=

2

0 0

3

[ ] ϕθ ππda 0

2

0

3 cos∫ −=

[ ] ϕπ

da ∫ −−−=2

0

3 11


Problema no. 12


∫ ⋅S

adA

∫ ⋅S

adr

( ) ( )∫ ⋅S



ϕθθπ π

ddsena ∫ ∫

=

2

0 0

3

[ ] ϕθ ππda 0

2

0

3 cos∫ −=

[ ] ϕπ

da ∫ −−−=2

0

3 11

ϕπ

da ∫=2

0

32

)2(2 3 πa=

34 aπ=


Problema no. 12

b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados


Problema no. 12


rrr ˆ=

( ) ( )ϕθ

θθθ

ϕθ ∂

∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇

A

senrAsen

senrAr

rrA r

111 22


Problema no. 12


rrr ˆ=

( ) ( )ϕθ

θθθ

ϕθ ∂

∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇

A

senrAsen

senrAr

rrA r

111 22

( ) ( )ϕθ

θθθ

ϕθ ∂

∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇

A

senrAsen

senrrr

rrr

111 22


Problema no. 12


rrr ˆ=

( ) ( )ϕθ

θθθ

ϕθ ∂

∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇

A

senrAsen

senrAr

rrA r

111 22

( ) ( )ϕθ

θθθ

ϕθ ∂

∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇

A

senrAsen

senrrr

rrr

111 22

( ) 331 2

2==⋅∇ r

rr


Problema no. 12


∫ ∫∫ ====⋅∇v vv

rrdddr 33 4)3

4(33)3()( ππτττ

rrr ˆ=

( ) ( )ϕθ

θθθ

ϕθ ∂

∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇

A

senrAsen

senrAr

rrA r

111 22

( ) ( )ϕθ

θθθ

ϕθ ∂

∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇

A

senrAsen

senrrr

rrr

111 22

( ) 331 2

2==⋅∇ r

rr


Problema no. 12


∫ ∫∫ ====⋅∇v vv

rrdddr 33 4)3

4(33)3()( ππτττ

rrr ˆ=

( ) ( )ϕθ

θθθ

ϕθ ∂

∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇

A

senrAsen

senrAr

rrA r

111 22

( ) ( )ϕθ

θθθ

ϕθ ∂

∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇

A

senrAsen

senrrr

rrr

111 22

( ) 331 2

2==⋅∇ r

rr

34 aπ=


Problema no. 12


:quecompruebase

( ) ∫∫ ⋅=⋅∇SV

adAdA τ


Problema no. 13

Dado el campo vectorial: zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=

Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares.

Cara 1:

∫ ⋅1c

adA

zdydxad ˆ=

∫ ∫∫ =⋅ dydxxzadAc

)(1

dydxxzb a

∫ ∫

=

0 0

x

y

z

ad

a

b

c

cbadyacb 2

0

2

2

1

2

1 =

= ∫


Problema no. 13



Cara 2:

∫ ⋅2c

adA

zdydxad ˆ−=

∫ ∫∫ −=⋅ dydxxzadAc

)(2

x

yz

ad

a b

0=

z = 0


Problema no. 13



Cara 3:

∫ ⋅3c

adA

xdzdyad ˆ=

∫ ∫∫ =⋅ dzdyyxadAc

)(3

xy

z

ad

ab

c

dzdyyxc b

∫ ∫

=

0 0

cbadybac 2

0

2

2

1

2

1 =

= ∫


Problema no. 13



Cara 4:

∫ ⋅4c

adA

xdzdyad ˆ−=

∫ ∫∫ −=⋅ dzdyyxadAc

)(4

x

y

z

ad

c

b

0=

x = 0


Problema no. 13



Cara 5:

∫ ⋅5c

adA

ydzdxad ˆ=

∫ ∫∫ =⋅ dzdxzyadAc

)(5

x

y

z

ada

b

c

dxdzzya c

∫ ∫

=

0 0

2

0

2

2

1

2

1cbadxcb

a=

= ∫


Problema no. 13



Cara 6:

∫ ⋅6c

adA

ydzdxad ˆ−=

∫ ∫∫ −=⋅ dzdxzyadAc

)(6

x

y

z

ad

c

a

0=

y = 0


Problema no. 13



222

2

1

2

1

2

1cbacbacbaadA ++=⋅∫

( ) ( )cbacba ++=2

1


Problema no. 13

Evaluar: ( ) τdAV∫ ⋅∇

Sobre el volumen del paralelopípedo

zzxyyzxxyA ˆˆˆ ++=

z

A

y

A

x

AA zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇

xzyA ++=⋅∇

c

a b


Problema no. 13




z

A

y

A

x

AA zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇

xzyA ++=⋅∇

( ) ( ) dzdydxddzyxdAVV

=++=⋅∇ ∫∫ τττ ;

c

a b


Problema no. 13




z

A

y

A

x

AA zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇

xzyA ++=⋅∇


=++=⋅∇ ∫∫ τττ ;

( )∫ ∫ ∫ ++c b a

dzdydxzyx0 0 0

c

a b

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ++=c b ac b ac b a

dzdydxzdzdydxydzdydxx0 0 00 0 00 0 0


Problema no. 13




z

A

y

A

x

AA zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇

xzyA ++=⋅∇


=++=⋅∇ ∫∫ τττ ;

( )∫ ∫ ∫ ++c b a

dzdydxzyx0 0 0

c

a b

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ++=c b ac b ac b a

dzdydxzdzdydxydzdydxx0 0 00 0 00 0 0

( ) ( )cbacbacbacbacba ++=++=2

1

2

1

2

1

2

1 222


Problema no. 23

Dado el vector: ϕθ ˆ2ˆ3ˆ4 −+= rA

Encontrar su integral de línea sobre la trayectoria mostrada.

x

y

0r


Problema no. 23



x

y

0r

rdrsd ˆ=

Tramo 1:

( ) rdrrsdA ˆˆ2ˆ3ˆ4 ⋅−+=⋅ ∫∫ ϕθ

0044

0

rdrr

=∫


Problema no. 23



x

y

0r

ϕϕ ˆdrsd =

Tramo 2:

( ) ( )ϕϕϕθ ˆˆ2ˆ3ˆ4 drrsdA ⋅−+=⋅ ∫∫

00

2/

0 222 rrdr ππϕ

π−=

−=−∫

ϕ


Problema no. 23



x

y

0r

rdrsd ˆ−=

Tramo 3:

( ) ( )rdrrsdA ˆˆ2ˆ3ˆ4 −⋅−+=⋅ ∫∫ ϕθ

0044

0

rdrr

−=− ∫

0000 44 rrrrsdA ππ −=−−=⋅∫


Problema no. 18

Comprobar que en coordenadas cilíndricas:

2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ


Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ

∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ


Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ


∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ

Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =


Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

ρ2

22

∂∂=∇ u

u

∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ


∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ

Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂⋅+

∂∂=∇ z

z

uu ˆˆ

1ˆ

1ˆ2

22 ϕ

ϕρρ

ρϕρϕ

ρ


Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂⋅+

∂∂=∇ z

z

uuuuu ˆˆ

1ˆ

1ˆ2

22 ϕ

ϕρρ

ρϕρϕ

ρ

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂ ϕ

ρρ

ρϕρϕρ

ρρ

ρϕρρ

ρϕρˆˆ

1ˆˆ

1ˆ

1 uuuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ


Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

ρρ ∂∂u1

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂ ϕ

ρρ

ρϕρϕρ

ρρ

ρϕρρ

ρϕρˆˆ

1ˆˆ

1ˆ

1 uuuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂⋅+

∂∂=∇ z

z

uuuuu ˆˆ

1ˆ

1ˆ2

22 ϕ

ϕρρ

ρϕρϕ

ρ


Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

( )

−

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂ ρ

ϕϕ

ϕρϕϕ

ϕϕ

ϕρϕ

ϕϕρˆˆ

1ˆˆ

1ˆ

12

2

22

2

22

uuuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂⋅+

∂∂=∇ z

z

uuuuu ˆˆ

1ˆ

1ˆ2

22 ϕ

ϕρρ

ρϕρϕ

ρ

ρρ ∂∂u1

∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ


Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

( )

−

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂ ρ

ϕϕ

ϕρϕϕ

ϕϕ

ϕρϕ

ϕϕρˆˆ

1ˆˆ

1ˆ

12

2

22

2

22

uuuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂⋅+

∂∂=∇ z

z

uuuuu ˆˆ

1ˆ

1ˆ2

22 ϕ

ϕρρ

ρϕρϕ

ρ

ρρ ∂∂u1

2

2

2

1

ϕρ ∂∂ u

∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ


Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂⋅+

∂∂=∇ z

z

uuuuu ˆˆ

1ˆ

1ˆ2

22 ϕ

ϕρρ

ρϕρϕ

ρ

ρρ ∂∂u1

2

2

2

1

ϕρ ∂∂ u

0ˆˆ

1ˆ

1 =

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

ϕϕρϕρz

z

uz

z

uz

z

u

∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ


Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂⋅+

∂∂=∇ z

z

uuuuu ˆˆ

1ˆ

1ˆ2

22 ϕ

ϕρρ

ρϕρϕ

ρ

ρρ ∂∂u1

2

2

2

1

ϕρ ∂∂ u

0ˆˆ

1ˆ

1 =

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

ϕϕρϕρz

z

uz

z

uz

z

u

0

∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ


Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂⋅+

∂∂=∇ z

z

uuuuu ˆˆ

1ˆ

1ˆ2

22 ϕ

ϕρρ

ρϕρϕ

ρ

ρρ ∂∂u1

2

2

2

1

ϕρ ∂∂ u

0

∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ


Problema no. 18


2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ

zz

ˆˆ1

ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ ϕ

ϕρρ

ρ


ϕϕρ

ˆˆ =

∂∂ρ

ϕϕ

ˆˆ −=

∂∂

zz ˆˆ =

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂⋅+

∂∂=∇ z

z

uuuuu ˆˆ

1ˆ

1ˆ2

22 ϕ

ϕρρ

ρϕρϕ

ρ

ρρ ∂∂u1

2

2

2

1

ϕρ ∂∂ u

0

∂∂+

∂∂+

∂∂•

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇⋅∇=∇ z

z

uuuz

zuu ˆˆ

1ˆˆˆ

1ˆ2 ϕ

ϕρρ

ρϕ

ϕρρ

ρ

2

2

2

2

22

22 11

z

uuuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

ϕρρρρ


Problema no. 18

2

2

2

2

22

22 11

z

uuuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

ϕρρρρ


Problema no. 18

2

2

2

2 111

ρρρρρ

ρρρ

ρρρ

ρρ ∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂ uuuuu

2

2

2

2

22

22 11

z

uuuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

ϕρρρρ


Problema no. 18

2

2

2

2 111

ρρρρρ

ρρρ

ρρρ

ρρ ∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂ uuuuu

2

2

2

2

22

22 11

z

uuuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

ϕρρρρ

2

2

2

2

22 11

z

uuuu

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=∇

ϕρρρ

ρρ


Problema no. 25

Aplicar el teorema de la divergencia al caso especial en el cual A es constante pero arbitraria, y demostrar que el área vectorial total de una superficie cerrada es cero.

( ) ∫∫ ⋅=⋅∇SV

adAdA τ

0. =⋅∇→= ActeASi

∫∫ =→=⋅SS

adadA 00


Problema no. 25

De manera similar demostrar que:

( ) ∫∫ ⋅=⋅×∇CS

sdAadA

0. =×∇→= ActeASi

∫∫ =→=⋅CC

sdsdA 00

∫ =S

sd 0

FS321 Capitulo 1

Education

Transcript of FS321 Capitulo 1