Equacoes_Diferenciais capitulo 1

8182019 Equacoes_Diferenciais capitulo 1

httpslidepdfcomreaderfullequacoesdiferenciais-capitulo-1 150

DIFERENCIAISEQUACcedilOtildeES COM APLICACcedilOtildeES EM MODELAGEM

Traduccedilatildeo da 10a ediccedilatildeo norte-americana

Dennis G Zill



TRADUCcedilAtildeO DA 10ordf EDICcedilAtildeO NORTE-AMERICANA

EQUACcedilOtildeESDIFERENCIAIScom Aplicaccedilotildees em Modelagem







DENNIS G ZILLLoyola Marymount University

Traduccedilatildeo

MAacuteRCIO KOJI UMEZAWA

Revisatildeo Teacutecnica

RICARDO MIRANDA MARTINSBacharel em Matemaacutetica pela Universidade Federal de Viccedilosa (UFV) mestre em

Matemaacutetica pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) doutor em

Matemaacutetica pela Unicamp Atualmente eacute professor do Instituto de Matemaacutetica

Estatiacutestica e Computaccedilatildeo Cientiacutefica da Universidade Estadual de Campinas

(IMECCUnicamp)

JULIANA GAIBA OLIVEIRABacharel e licenciada em Matemaacutetica pela UFV mestre em Matemaacutetica pela

Unicamp doutoranda em Matemaacutetica Aplicada na Unicamp e professora da

Pontifiacutecia Universidade Catoacutelica de Campinas (PUC-Campinas)





SUMAacuteRIO

ixPREFAacuteCIO

1CAPIacuteTULO 1 ndash INTRODUCcedilAtildeO AgraveS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS

11 ndash Definiccedilotildees e terminologia 2

12 ndash Problemas de valor inicial 13

13 ndash Equaccedilotildees diferenciais como modelos matemaacuteticos 21

Revisatildeo do Capiacutetulo 1 34

37CAPIacuteTULO 2 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM

21 ndash Curvas integrais sem soluccedilatildeo 38

211 ndash Campos direcionais 38

212 ndash EDs autocircnomas de primeira ordem 40

22 ndash Variaacuteveis separaacuteveis 49

23 ndash Equaccedilotildees lineares 58

24 ndash Equaccedilotildees exatas 67

25 ndash Soluccedilotildees por substituiccedilatildeo 75

26 ndash Um meacutetodo numeacuterico 80


89CAPIacuteTULO 3 ndash MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM


32 ndash Modelos natildeo lineares 102

33 ndash Sistemas de equaccedilotildees lineares e natildeo lineares 114


125CAPIacuteTULO 4 ndash EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR

41 ndash Teoria preliminar equaccedilotildees lineares 126

411 ndash Problemas de valor inicial e problemas de contorno 126

412 ndash Equaccedilotildees homogecircneas 128

413 ndash Equaccedilotildees natildeo homogecircneas 133

42 ndash Reduccedilatildeo de ordem 138

43 ndash Equaccedilotildees lineares homogecircneas com coeficientes constantes 141

44 ndash Coeficientes a determinar ndash abordagem da superposiccedilatildeo 148

45 ndash Coeficientes a determinar ndash abordagem do anulador 157

46 ndash Variaccedilatildeo de paracircmetros 165



vi bull EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM APLICACcedilOtildeES EM MODELAGEM

47 ndash Equaccedilatildeo de Cauchy-Euler 171

48 ndash Funccedilotildees de Green 178


482 ndash Problemas de valor de contorno 185

49 ndash Resoluccedilatildeo de sistemas de equaccedilotildees lineares por eliminaccedilatildeo 189

410 ndash Equaccedilotildees diferenciais natildeo lineares 195Revisatildeo do Capiacutetulo 4 200

203CAPIacuteTULO 5 ndash MODELAGEM COM EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR

51 ndash Equaccedilotildees lineares problemas de valor inicial 204

511 ndash Sistemas massa-mola movimento livre natildeo amortecido 204

512 ndash Sistemas massa-mola movimento livre amortecido 208

513 ndash Sistemas massa-mola movimento forccedilado 211

514 ndash Circuito em seacuterie anaacutelogo 214

52 ndash Equaccedilotildees lineares problemas de contorno 221



245CAPIacuteTULO 6 ndash SOLUCcedilOtildeES EM SEacuteRIE PARA EQUACcedilOtildeES LINEARES

61 ndash Revisatildeo de seacuteries de potecircncias 246

62 ndash Soluccedilotildees em torno de pontos ordinaacuterios 252

63 ndash Soluccedilotildees em torno de pontos singulares 261

64 ndash Funccedilotildees especiais 271


287CAPIacuteTULO 7 ndash A TRANSFORMADA DE LAPLACE

71 ndash Definiccedilatildeo da transformada de Laplace 288

72 ndash Transformada inversa e transformada de derivadas 296

721 ndash Transformada inversa 296

722 ndash Transformada das derivadas 298

73 ndash Propriedades operacionais I 304

731 ndash Translaccedilatildeo sobre o eixo s 304

732 ndash Translaccedilatildeo sobre o eixo t 308

74 ndash Propriedades operacionais II 317

741 ndash Derivadas de uma transformada 317

742 ndash Transformadas integrais 319

743 ndash Transformada de uma funccedilatildeo perioacutedica 323

75 ndash Funccedilatildeo delta de Dirac 329

76 ndash Sistemas de equaccedilotildees lineares 332




SUMAacuteRIO bull vii

343CAPIacuteTULO 8 ndash SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM

81 ndash Teoria preliminar 344

82 ndash Sistemas lineares homogecircneos com coeficientes constantes 351

821 ndash Autovalores reais distintos 352

822 ndash Autovalores repetidos 355

823 ndash Autovalores complexos 359

83 ndash Sistemas lineares natildeo homogecircneos 365

831 ndash Coeficientes indeterminados 366


84 ndash Exponencial de matriz 372


379CAPIacuteTULO 9 ndash SOLUCcedilOtildeES NUMEacuteRICAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS ORDINAacuteRIAS

91 ndash Meacutetodo de Euler e anaacutelise de erro 380

92 ndash Meacutetodos de Runge-Kutta 385

93 ndash Meacutetodos de passos muacuteltiplos 391

94 ndash Equaccedilotildees de ordem superior e sistemas 393

95 ndash Problemas de valor de contorno de segunda ordem 398


403APEcircNDICE I ndash FUNCcedilAtildeO GAMA

Exerciacutecios do Apecircndice I 404

405APEcircNDICE II ndash INTRODUCcedilAtildeO AgraveS MATRIZES

II1 ndash Definiccedilatildeo e teoria baacutesicas 405

II2 ndash Eliminaccedilatildeo gaussiana e eliminaccedilatildeo de Gauss-Jordan 412

II3 ndash O problema de autovalores 416

Exerciacutecios do Apecircndice II 419

423APEcircNDICE III ndash TRANSFORMADA DE LAPLACE

427TABELA DE INTEGRAIS

429REVISAtildeO DE DIFERENCIACcedilAtildeO

431IacuteNDICE REMISSIVO

RESP-1RESPOSTAS SELECIONADAS DE PROBLEMAS IacuteMPARES





PREFAacuteCIO

PARA O ALUNO

Autores de livros vivem com a esperanccedila de que algumas pessoas realmente leiam suas obras Ao

contraacuterio do que vocecirc possivelmente acredita quase a totalidade do que eacute escrito em um livro de

matemaacutetica de um curso de ensino superior tiacutepico eacute escrito para vocecirc aluno e natildeo para o professor

Verdade seja dita os toacutepicos abordados no texto satildeo escolhidos de forma a serem atraentes para os

professores pois satildeo eles que tomam a decisatildeo de usar ou natildeo o livro em seus cursos mas tudo o que

eacute escrito eacute feito pensando no aluno Assim eu gostaria de te encorajar ndash natildeo na verdade eu gostaria de

pedir ndash para que vocecirc leia este livro Mas natildeo o leia como vocecirc leria um romance natildeo o leia raacutepido

e natildeo pule nenhuma parte Pense neste livro como um livro de exerciacutecios Digo isso pois acredito

que livros de matemaacutetica devem ser sempre lidos com laacutepis e papel agrave matildeo pois muito possivelmente

vocecirc teraacute que trabalhar o seu caminho atraveacutes dos exemplos e discussotildees Antes de tentar qualquer

um dos exerciacutecios trabalhe todos os exemplos da seccedilatildeo os exemplos satildeo construiacutedos para ilustrar o

que eu considero como os mais importantes aspectos da seccedilatildeo e portanto refletem os procedimentos

necessaacuterios para resolver a maior parte dos problemas de cada conjunto de exerciacutecios Eu peccedilo aos

meus alunos para cobrir a soluccedilatildeo quando analisam um exemplo copie-o em um pedaccedilo de papel

e natildeo olhe para a soluccedilatildeo no livro Tente trabalhaacute-lo entatildeo compare seus resultados com a soluccedilatildeodada e se necessaacuterio resolva quaisquer diferenccedilas Eu tenho tentado incluir quase todos os passos

importantes em cada exemplo mas se algo natildeo estaacute claro ndash e aqui mais uma vez nos valemos do laacutepis

e papel vocecirc deve sempre tentar preencher os espaccedilos em branco e passagens faltantes Isso pode natildeo

ser faacutecil mas eacute parte do processo de aprendizado O acuacutemulo de fatos seguido da vagarosa assimilaccedilatildeo

do entendimento simples natildeo pode ser atingido sem esforccedilo

Concluindo desejo-lhe boa sorte e sucesso Espero que goste do texto e do curso que estaacute prestes

a embarcar ndash como um aluno de graduaccedilatildeo em matemaacutetica este foi um dos meus preferidos porque

eu gostava da matemaacutetica com uma conexatildeo para o mundo real Se vocecirc tiver quaisquer comentaacuterios

ou se encontrar algum erro ao ler ou trabalhar o texto ou ainda se vocecirc chegar a uma boa ideia para

melhoraacute-lo sinta-se livre para contatar ou a mim ou ao meu editor na Cengage Learning

charlievanwagnercengagecom



x bull EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM APLICACcedilOtildeES EM MODELAGEM

PARA O PROFESSOR

No caso de vocecirc estar examinando este livro pela primeira vez Equaccedilotildees Diferenciais com Aplicaccedilotildees em Modelagem

deacutecima ediccedilatildeo destina-se tanto a um curso de um semestre quanto a um curso de um trimestre em equaccedilotildees

diferenciais ordinaacuterias A versatildeo mais longa do livro texto Differential Equations with Boundary-Value Problems

Eighth Edition pode ser usado tanto para um curso de um semestre ou um curso de dois semestres cobrindo equaccedilotildees

diferenciais ordinaacuterias e parciais Este livro inclui seis capiacutetulos adicionais que cobrem sistemas autocircnomos de

equaccedilotildees diferenciais estabilidade seacuteries de Fourier transformadas de Fourier equaccedilotildees diferenciais parciais lineares

e problemas de valor de contorno e meacutetodos numeacutericos para equaccedilotildees diferenciais parciais Para um curso de um

semestre presumo que os alunos tenham concluiacutedo com ecircxito pelo menos dois semestres de caacutelculo Como vocecirc estaacute

lendo este texto sem duacutevida vocecirc jaacute analisou o sumaacuterio com os toacutepicos que satildeo abordados Vocecirc natildeo vai encontrar

um ldquoprograma sugerido rdquo neste prefaacutecio Eu natildeo vou fingir ser tatildeo saacutebio para dizer o que outros professores devem

ensinar Eu sinto que haacute muito material aqui para escolher e para montar um curso a seu gosto O livro estabelece um

equiliacutebrio razoaacutevel entre os enfoques analiacuteticos qualitativos e quantitativos para o estudo de equaccedilotildees diferenciais

Quanto a minha ldquofilosofia subjacenterdquo eacute esta Um livro de graduaccedilatildeo deve ser escrito com a compreensatildeo do aluno

mantido firmemente em mente o que significa que para mim o material deve ser apresentado de forma direta legiacutevel

e uacutetil enquanto manteacutem o niacutevel teoacuterico consistente com a noccedilatildeo de um ldquo primeiro cursordquo

Para aqueles que estatildeo familiarizados com as ediccedilotildees anteriores gostaria de mencionar algumas das melhorias

introduzidas nesta ediccedilatildeobull Oito novos projetos aparecem no iniacutecio do livro Cada projeto inclui um conjunto de problemas relacionados e

uma correspondecircncia do material do projeto com uma seccedilatildeo no texto

bull Muitos conjuntos de exerciacutecios foram atualizados pela adiccedilatildeo de novos problemas ndash em especial os problemas

para dicussatildeo ndash para melhor testar e desafiar os alunos Da mesma forma alguns conjuntos de exerciacutecio foram

melhorados atraveacutes do envio de alguns problemas para revisatildeo

bull Exemplos adicionais foram adicionados a vaacuterias secccedilotildees

bull Vaacuterios instrutores tiveram tempo para me enviar e-mails expressando suas preocupaccedilotildees sobre a minha abordagem

para as equaccedilotildees diferenciais lineares de primeira ordem Em resposta a Seccedilatildeo 23 Equaccedilotildees Lineares foi

reescrita com a intenccedilatildeo de simplificar a discussatildeo

bull Esta ediccedilatildeo conteacutem uma nova seccedilatildeo sobre funccedilotildees de Green no Capiacutetulo 4 para aqueles que tecircm tempo extra em

seu curso para considerar esta elegante aplicaccedilatildeo da variaccedilatildeo de paracircmetros na soluccedilatildeo de problemas de valor

inicial e de valor de contorno A Seccedilatildeo 48 eacute opcional e seu conteuacutedo natildeo afeta qualquer outra seccedilatildeo

bull A Seccedilatildeo 51 inclui agora uma discussatildeo sobre como usar ambas as formas trigonomeacutetricas

y = A sen(ωt + φ) e y = A cos(ωt minus φ)

na descriccedilatildeo do movimento harmocircnico simples

bull A pedido dos usuaacuterios das ediccedilotildees anteriores uma nova seccedilatildeo sobre revisatildeo de seacuteries de potecircncia foi adicionada ao

Capiacutetulo 6 Aleacutem disso grande parte deste capiacutetulo foi reescrito para melhorar a clareza Em particular a discussatildeo

das funccedilotildees de Bessel modificadas e as funccedilotildees de Bessel esfeacutericas na Seccedilatildeo 64 foi bastante expandida



PREFAacuteCIO bull xi

AGRADECIMENTOS

Gostaria de destacar algumas pessoas para um reconhecimento especial Muito obrigado a Molly Taylor (editora

patrocinadora secircnior) Shaylin Walsh Hogan (assistente editorial) e Alex Gontar (assistente editorial) para orquestrar

o desenvolvimento desta ediccedilatildeo e os materiais que o compotildeem Alison Eigel Zade (gerente de projetos de conteuacutedo)

ofereceu a desenvoltura conhecimento e paciecircncia necessaacuteria para um processo de produccedilatildeo contiacutenua Ed Dionne

(gerente de projetos MPS) trabalhou incansavelmente para fornecer serviccedilos de ediccedilatildeo de alto niacutevel E finalmente

agradeccedilo Scott Brown por suas habilidades superiores como revisor acurado Mais uma vez um especialmente sincero

obrigado a Leslie Lahr editor de desenvolvimento por seu apoio ouvido simpaacutetico vontade de comunicar sugestotildees

e por obter e organizar os excelentes projetos que aparecem antes do texto principal Aleacutem disso dirijo a minha mais

sincera apreciaccedilatildeo aos indiviacuteduos que arrumaram tempo livre em suas agendas ocupadas para enviar um projeto

Ivan Kramer University of MarylandmdashBaltimore County

Tom LaFaro Gustavus Adolphus College

Jo Gascoigne Fisheries Consultant

C J Knickerbocker Sensis Corporation

Kevin Cooper Washington State University

Gilbert N Lewis Michigan Technological University

Michael Olinick Middlebury College

Concluindo no passar dos anos estes livros foram aperfeiccediloados em um incontaacutevel nuacutemero de aspectos por meio

de sugestotildees e criacuteticas de revisores Assim eacute justo concluir com o reconhecimento da minha diacutevida agraves seguintes

pessoas maravilhosas por compartilharem experiecircncias em suas aacutereas de especialidade

REVISORES DE EDICcedilOtildeES PASSADAS

William Atherton Cleveland State University

Philip Bacon University of Florida

Bruce Bayly University of Arizona

William H Beyer University of Akron

RG Bradshaw Clarkson College University

James Draper University of Florida

James M Edmondson Santa Barbara City CollegeJohn H Ellison Grove City College

Raymond Fabec Louisiana State University

Donna Farrior University of Tulsa

Robert E Fennell Clemson University

WE Fitzgibbon University of Houston

Harvey J Fletcher Brigham Young University

Paul J Gormley Villanova

Layachi Hadji University of Alabama

Ruben Hayrapetyan Kettering University

Terry Herdman Virginia Polytechnic Institute and State University

Zdzislaw Jackiewicz Arizona State University

SK Jain Ohio University

Anthony J John Southeastern Massachusetts UniversityDavid C Johnson University of Kentucky-Lexington

Harry L Johnson VPI amp SU

Kenneth R Johnson North Dakota State University

Joseph Kazimir East Los Angeles College

J Keener University of Arizona

Steve B Khlief Tennessee Technological University (retired)

CJ Knickerbocker Sensis Corporation

Carlon A Krantz Kean College of New Jersey

Thomas G Kudzma University of Lowell

Alexandra Kurepa North Carolina AampT State University

GE Latta University of Virginia

Cecelia Laurie University of Alabama

James R McKinney California Polytechnic State University



xii bull EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM APLICACcedilOtildeES EM MODELAGEM

James L Meek University of Arkansas

Gary H Meisters University of Nebraska-Lincoln

Stephen J Merrill Marquette University

Vivien Miller Mississippi State University

Gerald Mueller Columbus State Community College

Philip S Mulry Colgate University

CJ Neugebauer Purdue University

Tyre A Newton Washington State University

Brian M OrsquoConnor Tennessee Technological University

JK Oddson University of California-Riverside

Carol S OrsquoDell Ohio Northern University

A Peressini University of Illinois Urbana-Champaign

J Perryman University of Texas at Arlington

Joseph H Phillips Sacramento City College

Jacek Polewczak California State University Northridge

Nancy J Poxon California State University-Sacramento

Robert Pruitt San Jose State University

K Rager Metropolitan State College

FB Reis Northeastern University

Brian Rodrigues California State Polytechnic University

Tom Roe South Dakota State UniversityKimmo I Rosenthal Union College

Barbara Shabell California Polytechnic State University

Seenith Sivasundaram Embry-Riddle Aeronautical University

Don E Soash Hillsborough Community College

FW Stallard Georgia Institute of Technology

Gregory Stein The Cooper Union

MB Tamburro Georgia Institute of Technology

Patrick Ward Illinois Central College

Warren S Wright Loyola Marymount University

Jianping Zhu University of Akron

Jan Zijlstra Middle Tennessee State University

Jay Zimmerman Towson University

REVISORES DESTA EDICcedilAtildeO

Bernard Brooks Rochester Institute of Technology

Allen Brown Wabash Valley College

Helmut Knaust The University of Texas at El Paso

Mulatu Lemma Savannah State University

George Moss Union University

Martin Nakashima California State Polytechnic University mdash Pomona

Bruce OrsquoNeill Milwaukee School of Engineering

Dennis G Zill

Los Angeles



1 INTRODUCcedilAtildeO AgraveS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS

11 Definiccedilotildees e terminologia12 Problemas de valor inicial13 Equaccedilotildees diferenciais como modelos matemaacuteticos

Revisatildeo do Capiacutetulo 1

As palavras equaccedilatildeo e diferencial sugerem certamente algum tipo de equaccedilatildeo que envolve derivadas yprime yprimeprime Da mesma forma que em um curso de aacutelgebra e trigonometria nos quais um bom tempo eacutegasto na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees como x2

+ 5 x + 4 = 0 para a incoacutegnita x neste curso uma de nossastarefas seraacute resolver equaccedilotildees diferenciais como yprimeprime

+ 2 yprime + y = 0 para a desconhecida funccedilatildeo y = φ( x)

O paraacutegrafo acima nos fala algo mas natildeo tudo sobre o curso que vocecirc estaacute prestes a comeccedilar Nodecorrer do curso vocecirc veraacute que haacute mais no estudo de equaccedilotildees diferenciais que tatildeo somente o domiacuteniode meacutetodos idealizados por algueacutem para resolvecirc-las

Mas em primeiro lugar para ler estudar e familiarizar-se com esse assunto tatildeo especializado eacutenecessaacuterio entender a terminologia o jargatildeo dessa disciplina Esta eacute a motivaccedilatildeo das duas primeirasseccedilotildees deste capiacutetulo Na uacuteltima seccedilatildeo discutimos brevemente a relaccedilatildeo entre equaccedilotildees diferenciais eo mundo real Questotildees praacuteticas como

a velocidade de disseminaccedilatildeo de uma doenccedila ou a velocidade de uma mudanccedila em uma populaccedilatildeo

envolvem conceitos de taxas de variaccedilatildeo ou derivadas E da mesma forma explicaccedilotildees ou modelos

matemaacuteticos ndash sobre fenocircmenos experimentos observaccedilotildees ou teorias podem ser descritos por equa-ccedilotildees diferenciais



2 bull EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COM APLICACcedilOtildeES EM MODELAGEM

11 DEFINICcedilOtildeES E TERMINOLOGIA

IMPORTANTE REVISAR

bull Definiccedilatildeo de derivadabull Regras de derivaccedilatildeo

bull Derivada como taxa de variaccedilatildeobull Primeira derivada e funccedilotildees crescentes e decrescentesbull Segunda derivada e concavidade

INTRODUCcedilAtildeOVocecirc aprendeu em caacutelculo que a derivada dydx de uma funccedilatildeo y = φ( x) eacute em si uma outra funccedilatildeo φprime( x)encontrada por uma regra apropriada A funccedilatildeo exponencial y = e01 x2

eacute diferenciaacutevel no intervalo (minusinfininfin) epela regra da cadeia a a sua primeira derivada eacute dydx = 02 xe01 x2

Se substituirmos e01 x2

no lado direito daderivada pelo siacutembolo y obteremos

dy

dx= 02 xy (1)

Imagine agora que um amigo simplesmente passasse a vocecirc a equaccedilatildeo (1) ndash vocecirc natildeo faz ideia de como ela foiconstruiacuteda ndash e perguntasse qual eacute a funccedilatildeo representada por y Vocecirc estaacute agrave frente de um dos problemas baacutesicosdeste curso como resolver essa equaccedilatildeo para a desconhecida funccedilatildeo y = φ( x) O problema eacute mais ou menosequivalente ao familiar problema inverso do caacutelculo diferencial

Como resolvemos uma equaccedilatildeo diferencial proposta para a funccedilatildeo y = φ( x)

EQUACcedilAtildeO DIFERENCIALA equaccedilatildeo construiacuteda em (1) eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial Antes de prosseguir consideremos uma definiccedilatildeomais precisa desse conceito

DEFINICcedilAtildeO 111 Equaccedilatildeo diferencial

Uma equaccedilatildeo que conteacutem as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais funccedilotildees natildeo conhecidas (ou variaacuteveisdependentes) em relaccedilatildeo a uma ou mais variaacuteveis independentes eacute chamada de equaccedilatildeo diferencial (ED)

Para poder discuti-las melhor classificaremos as equaccedilotildees diferenciais de acordo com o tipo ordem e lineari-

dade

CLASSIFICACcedilAtildeO POR TIPOSe uma equaccedilatildeo diferencial contiver somente derivadas ordinaacuterias de uma ou mais funccedilotildees natildeo conhecidas com

relaccedilatildeo a uma uacutenica variaacutevel independente ela seraacute chamada de equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria (EDO) Uma equaccedilatildeoenvolvendo derivadas parciais de uma ou vaacuterias funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis independentes eacute chamada deequaccedilatildeo diferencial parcial (EDP) Nosso primeiro exemplo ilustra cada tipo de equaccedilatildeo diferencial

EXEMPLO 1 Tipos de Equaccedilotildees Diferenciais

(a) As equaccedilotildeesUma EDO pode conter maisde uma variaacutevel dependente

darr darrdy

dx+ 5 y = e x

d 2 y

dx2 minus dy

dx+ 6 y = 0 e

dx

dt +

dy

dt = 2 x + y (2)

satildeo equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias



CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO AgraveS EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS bull 3

(b) As seguintes equaccedilotildees satildeo equaccedilotildees diferenciais parciaislowast

part2u

part x2 +

part2u

part y2 = 0

part2u

part x2 =

part2u

partt 2 minus 2

partu

partt e partu

part y= minuspartv

part x(3)

Note que na terceira equaccedilatildeo que haacute duas funccedilotildees desconhecidas e duas variaacuteveis independentes na EDP Issosignifica que u e v devem ser funccedilotildees de duas ou mais variaacuteveis independentes

NOTACcedilAtildeOAs derivadas ordinaacuterias seratildeo escritas ao longo deste texto com a notaccedilatildeo de Leibniz dydx d 2 ydx2 d 3 ydx3ou com a notaccedilatildeo linha yprime yprimeprime yprimeprimeprime Usando a uacuteltima notaccedilatildeo podemos escrever as duas primeiras equaccedilotildeesdiferenciais em (2) um pouco mais compactamente como yprime

+5 y = e x e yprimeprime minus yprime+6 y = 0 Na realidade a notaccedilatildeo linha

eacute usada somente para denotar as trecircs primeiras derivadas a quarta derivada eacute escrita como y(4) em vez de yprimeprimeprimeprime Emgeral a n-eacutesima derivada eacute escrita como d n ydxn ou y(n) Embora seja menos conveniente para escrever e imprimira notaccedilatildeo de Leibniz tem sobre a notaccedilatildeo linha a vantagem de explicitar claramente as variaacuteveis dependentes eindependentes Por exemplo na equaccedilatildeo

vecirc-se imediatamente que o siacutembolo x representa uma variaacutevel dependente e t uma variaacutevel independente Vocecircdeve tambeacutem estar ciente de que a notaccedilatildeo ponto de Newton (depreciativamente conhecida por notaccedilatildeo ldquosujeira demoscardquo) eacute agraves vezes usada em Fiacutesica e Engenharia para denotar derivadas em relaccedilatildeo ao tempo Assim a equaccedilatildeodiferencial d 2sdt 2 = minus32 torna-se s = minus32 Derivadas parciais satildeo frequentemente denotadas por uma notaccedilatildeo em

subscrito indicando as variaacuteveis independentes Por exemplo com a notaccedilatildeo em subscrito a segunda equaccedilatildeo em (3)torna-se u xx = utt minus 2ut

CLASSIFICACcedilAtildeO POR ORDEM

A ordem de uma equaccedilatildeo diferencial (EDO ou EDP) eacute a ordem da maior derivada na equaccedilatildeo Por exemplo

segunda ordem

primeira ordem

d 2 y

dx2 + 5

dy

dx

3minus 4 y = e x

eacute uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria de segunda ordem No Exemplo 1 a primeira e a terceira equaccedilotildees em (2) satildeoEDPs de primeira ordem enquanto que em (3) as duas primeiras equaccedilotildees satildeo EDPs de segunda ordem Equaccedilotildeesdiferenciais parciais de primeira ordem satildeo eventualmente escritas na forma diferencial M ( x y)dx + N ( x y)dy = 0Por exemplo se noacutes assumirmos que y denota a variaacutevel dependente em ( y minus x)dx + 4 xdy = 0 entatildeo yprime

= dydx logodividindo pela diferencial d x noacutes obtemos a forma alternativa 4 xyprime

+ y = xEm siacutembolos podemos expressar uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria de ordem n em uma variaacutevel dependente na

forma geralF ( x y yprime y(n)) = 0 (4)

onde F eacute uma funccedilatildeo de valores reais de n + 2 variaacuteveis x y yprime y(n) e onde y(n)= d n ydxn Por razotildees praacuteticas e

teoacutericas daqui em diante tambeacutem consideraremos que sempre eacute possiacutevel resolver uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteriadada na forma (4) de forma uacutenica para que a derivada mais alta y(n) se escreva em termos das n + 1 variaacuteveisremanescentes A equaccedilatildeo diferencial

d n y

dxn = f ( x y yprime y(nminus1)) (5)

lowast Com exceccedilatildeo desta seccedilatildeo introdutoacuteria somente equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias satildeo consideradas nesta ediccedilatildeo A palavra equaccedilatildeo e a abreviaccedilatildeo

ED referem-se somente a EDOs




onde f eacute uma funccedilatildeo contiacutenua de valores reais eacute conhecida por forma normal de (4) Assim quando servir aosnossos propoacutesitos usaremos a forma normal

dy

dx= f ( x y) e

d 2 y

dx2 = f ( x y yprime)

para representar equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias gerais de primeira e segunda ordem Por exemplo a forma normalda equaccedilatildeo de primeira ordem 4 xyprime

+ y = x eacute yprime = ( x

minus y)4 x a forma normal da equaccedilatildeo de segunda ordem

yprimeprime minus yprime + 6 y = 0 eacute yprimeprime = yprime minus 6 y Veja (iv) nas ldquoObservaccedilotildeesrdquo no fim desta seccedilatildeo

CLASSIFICACcedilAtildeO POR LINEARIDADEDizemos que uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria de ordem n (4) eacute linear se F for linear em y yprime y(nminus1) Issosignifica que uma EDO de n-eacutesima ordem eacute linear quando (4) for an( x) y

(n)+ anminus1( x) y

(nminus1)+ middot middot middot + a1( x) y

prime + a0( x) y minus

g( x) = 0 ou

an( x)d n y

dxn + anminus1( x)

d nminus1 y

dxnminus1 + middot middot middot + a1( x)

dy

dx+ a0( x) y = g( x) (6)

Dois casos especiais observados de (6) satildeo a equaccedilatildeo diferencial linear de primeira e segunda ordem

a1( x)dy

dx+ a0( x) y = g( x) e a2( x)

d 2 y

dx2 + a1( x)

dy

dx+ a0( x) y = g( x) (7)

Da equaccedilatildeo (6) em seu lado esquerdo podemos no caso da adiccedilatildeo de EDOs lineares observar duas propriedades

bull A variaacutevel dependente y e todas as suas derivadas yprime yprimeprime yn satildeo do primeiro grau ou seja a potecircncia de cadatermo envolvendo y eacute um

bull Os coeficientes a0 a1 an de y yprime y(n) dependem quando muito da variaacutevel independente x

Uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria natildeo linear eacute simplesmente uma que natildeo eacute linear Funccedilotildees natildeo lineares davariaacutevel dependente ou de suas derivadas como sen y ou e yprime

natildeo podem aparecer em uma equaccedilatildeo linear

EXEMPLO 2 EDOs linear e natildeo linear

(a) As equaccedilotildees

( y minus x)dx + 4 xydy = 0 yprimeprime minus 2 yprime + y = 0 x3 d 3

ydx3

+ x dydx

minus 5 y = e x

satildeo respectivamente equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias lineares de primeira segunda e terceira ordem Acabamos dedemonstrar que a primeira equaccedilatildeo eacute linear na variaacutevel y escrevendo-a na forma alternativa 4 xyprime

+ y = x

(b) As equaccedilotildees

satildeo exemplos de equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias natildeo lineares de primeira segunda e quarta ordem respectivamente

SOLUCcedilOtildeESConforme afirmado anteriormente uma das metas deste curso eacute resolver ou encontrar soluccedilotildees para equaccedilotildeesdiferenciais Na definiccedilatildeo a seguir vamos considerar o conceito de soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria

DEFINICcedilAtildeO 112 Soluccedilatildeo de uma EDO

Toda funccedilatildeo φ definida em um intervalo I que tem pelo menos n derivadas contiacutenuas em I as quais quandosubstituiacutedas em uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria de ordem n reduzem a equaccedilatildeo a uma identidade eacutedenominada uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial no intervalo




Em outras palavras uma soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria de ordem n (4) eacute uma funccedilatildeo φ que tempelo menos n derivadas e para a qual

F ( x φ( x) φprime( x) φ(n)( x)) = 0 para todo x em I

Dizemos que φ satisfaz a equaccedilatildeo diferencial em I Para nossos propoacutesitos vamos supor tambeacutem que uma soluccedilatildeoφ seja uma funccedilatildeo de valores reais Em nossa discussatildeo introdutoacuteria vimos que y = e01 x2

eacute uma soluccedilatildeo dedydx = 02 xy no intervalo (

minusinfininfin

)Ocasionalmente seraacute conveniente denotar uma soluccedilatildeo pelo siacutembolo alternativo y( x)

INTERVALOS DE DEFINICcedilAtildeOVocecirc natildeo pode pensar em soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria sem simultaneamente pensar em intervaloO intervalo I na Definiccedilatildeo 112 eacute alternativamente conhecido por intervalo de definiccedilatildeo intervalo de existecircnciaintervalo de validade ou domiacutenio da soluccedilatildeo e pode ser um intervalo aberto (a b) um intervalo fechado [a b] umintervalo infinito (ainfin) e assim por diante

EXEMPLO 3 Verificaccedilatildeo de uma soluccedilatildeo

Verifique se a funccedilatildeo indicada eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial dada no intervalo (

minusinfin

infin)

(a) dydx = xy12 y = 116

x4

(b) yprimeprime minus 2 yprime + y = 0 y = xe x

SOLUCcedilAtildeOUma maneira de verificar se a funccedilatildeo dada eacute uma soluccedilatildeo eacute observar depois de substituir se ambos os lados daequaccedilatildeo satildeo iguais para cada x no intervalo

(a) Como

lado esquerdo dy

dx=

1

16(4 middot x3) =

1

4 x3

lado direito xy12= x middot

1

16 x4

12

= x middot 1

4 x2

=1

4 x3

vemos que ambos os lados satildeo iguais para cada nuacutemero real x Note que y12=

14 x2 eacute por definiccedilatildeo a raiz

quadrada natildeo negativa de 116

x4

(b) Das derivadas yprime = xe x

+ e x e yprimeprime = xe x

+ 2e x temos para cada nuacutemero real x

lado esquerdo yprimeprime minus 2 yprime + y = ( xe x

+ 2e x) minus 2( xe x+ e x) + xe x

= 0

lado direito 0

Observe ainda que no Exemplo 3 cada equaccedilatildeo diferencial tem a soluccedilatildeo constante y = 0 minusinfin lt x lt infin Asoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial identicamente nula no intervalo I eacute chamada de soluccedilatildeo trivial

CURVA INTEGRAL

O graacutefico de uma soluccedilatildeo φ de uma EDO eacute chamado de curva integral Uma vez que φ eacute uma funccedilatildeo diferenciaacutevelela eacute contiacutenua no seu intervalo de definiccedilatildeo I Assim pode haver uma diferenccedila entre o graacutefico da funccedilatildeo φ e ograacutefico da soluccedilatildeo φ Posto de outra forma o domiacutenio da funccedilatildeo φ natildeo precisa ser igual ao intervalo I de definiccedilatildeo(ou domiacutenio) da soluccedilatildeo φ O Exemplo 4 ilustra a diferenccedila

EXEMPLO 4 Funccedilatildeo versus soluccedilatildeo

O domiacutenio de y = 1 x considerado simplesmente como uma funccedilatildeo eacute o conjunto de todos os nuacutemeros reais x exceto0 Ao fazer o graacutefico de y = 1 x plotamos os pontos no plano xy correspondentes a uma amostragem criteriosa denuacutemeros tomados em seu domiacutenio A funccedilatildeo racional y = 1 x eacute descontiacutenua em zero e seu graacutefico em uma vizinhanccedilada origem eacute apresentado na Figura 111(a) A funccedilatildeo y = 1 x natildeo eacute diferenciaacutevel em x = 0 uma vez que o eixo y

(cuja equaccedilatildeo eacute x = 0) eacute uma assiacutentota vertical do graacutefico




Entretanto y = 1 x eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial linear de primeira ordem xyprime+ y = 0 (Verifique)

Mas quando afirmamos que y = 1 x eacute uma soluccedilatildeo dessa ED queremos dizer que eacute uma funccedilatildeo definida em umintervalo I no qual eacute diferenciaacutevel e satisfaz a equaccedilatildeo Em outras palavras y = 1 x eacute uma soluccedilatildeo da ED emqualquer intervalo que natildeo contenha 0 como (minus3minus1) ( 1

2 10) (minusinfin 0) ou (0infin) Como a curva integral definida por

y = 1 x nos intervalos minus3 lt x lt minus1 e 12 lt x lt 10 eacute formada por segmentos ou partes da curva integral definida

por y = 1 x em minusinfin lt x lt 0 e 0 lt x lt infin respectivamente faz sentido tomar o intervalo I tatildeo grande quanto possiacutevelPortanto tomamos I como sendo (

minusinfin 0) ou (0

infin) A curva integral em (0

infin) eacute apresentada na Figura 111(b)

FIGURA 111 No Exemplo 4 a funccedilatildeo y = 1 x natildeo eacute a mesma como a soluccedilatildeo y = 1 x

SOLUCcedilOtildeES EXPLIacuteCITAS E IMPLIacuteCITASVocecirc deve estar familiarizado com os termos funccedilatildeo expliacutecita e funccedilatildeo impliacutecita do seu estudo de caacutelculo Umasoluccedilatildeo na qual a variaacutevel dependente eacute expressa somente em termos da variaacutevel independente e das constanteseacute chamada de soluccedilatildeo expliacutecita Para nossos propoacutesitos vamos pensar que uma soluccedilatildeo expliacutecita seja da forma y = φ( x) que pode ser manipulada calculada e diferenciada por meio das regras padratildeo Acabamos de ver nosdois uacuteltimos exemplos que y = 1

16 x4 y = xe x e y = 1 x satildeo por sua vez soluccedilotildees expliacutecitas de dydx = xy12

yprimeprime minus 2 yprime + y = 0 e xyprime

+ y = 0 Aleacutem disso a soluccedilatildeo trivial y = 0 eacute uma soluccedilatildeo expliacutecita de todas as trecircs equaccedilotildeesQuando de fato formos resolver uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria veremos que os meacutetodos de soluccedilatildeo nem semprenos levam diretamente a uma soluccedilatildeo expliacutecita y = φ( x) Isso eacute particularmente verdadeiro quando tentamos resolverequaccedilotildees diferenciais natildeo lineares de primeira ordem Em geral temos de nos contentar com uma relaccedilatildeo ou expressatildeo

G( x y) =

0 que define implicitamente uma soluccedilatildeo φ

DEFINICcedilAtildeO 113 Soluccedilatildeo impliacutecita de uma EDO

Dizemos que uma relaccedilatildeo G( x y) = 0 eacute uma soluccedilatildeo impliacutecita de uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria (4)em um intervalo I quando existe pelo menos uma funccedilatildeo φ que satisfaccedila a relaccedilatildeo bem como a equaccedilatildeodiferencial em I

Estaacute aleacutem do escopo deste curso investigar as condiccedilotildees sob as quais a relaccedilatildeo G( x y) = 0 define uma funccedilatildeodiferenciaacutevel φ Assim vamos supor que se a implementaccedilatildeo formal de um meacutetodo de soluccedilatildeo levar a uma relaccedilatildeoG( x y) = 0 haveraacute pelo menos uma funccedilatildeo φ que satisfaccedila tanto a relaccedilatildeo (isto eacute G( x φ( x)) = 0) quanto a equaccedilatildeo

diferencial em um intervalo I Se a soluccedilatildeo impliacutecita G( x y) = 0 for bem simples poderemos resolver y em termosde x e obter uma ou mais soluccedilotildees expliacutecitas Veja (i) nas ldquoObservaccedilotildeesrdquo

EXEMPLO 5 Verificaccedilatildeo de uma soluccedilatildeo impliacutecita

A relaccedilatildeo x2+ y2

= 25 eacute uma soluccedilatildeo impliacutecita da equaccedilatildeo diferencial

dy

dx= minus x

y(8)

no intervalo minus5 lt x lt 5 Por diferenciaccedilatildeo impliacutecita obtemos

d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0




Resolvendo a uacuteltima equaccedilatildeo para o siacutembolo dydx obtemos (8) Aleacutem disso resolvendo x2+ y2

= 25 para y emtermos de x obtemos y = plusmn

radic 25 minus x2 As duas funccedilotildees y = φ1( x) =

radic 25 minus x2 e y = φ2( x) = minus

radic 25 minus x2 satisfazem

a relaccedilatildeo (isto eacute x2+ φ2

1 = 25 e x2

+ φ22 = 25) e satildeo soluccedilotildees expliacutecitas definidas no intervalo minus5 lt x lt 5 As

curvas integrais apresentadas nas Figuras 112(b) e (c) satildeo partes do graacutefico da soluccedilatildeo impliacutecita apresentada naFigura 112(a)

FIGURA 112 Uma soluccedilatildeo impliacutecita e duas expliacutecitas de (8) no Exemplo 5

Toda relaccedilatildeo da forma x2+ y2minusc = 0 satisfaz (8) formalmente para toda constante c Poreacutem deve ser entendido que

a relaccedilatildeo tem que fazer sentido no conjunto de nuacutemeros reais dessa forma por exemplo se c = minus25 natildeo podemosdizer que x2

+ y2+ 25 = 0 eacute uma soluccedilatildeo impliacutecita da equaccedilatildeo (Por que natildeo)

Uma vez que uma soluccedilatildeo expliacutecita e uma impliacutecita satildeo facilmente diferenciadas natildeo nos estenderemos sobre esteponto dizendo ldquoeis aqui uma soluccedilatildeo expliacutecita (impliacutecita)rdquo

FAMIacuteLIA DE SOLUCcedilOtildeESO estudo de equaccedilotildees diferenciais eacute anaacutelogo ao de caacutelculo integral Em alguns textos a soluccedilatildeo φ eacute agraves vezes chamadade integral da equaccedilatildeo e seu graacutefico eacute chamado de curva integral Em caacutelculo quando computamos uma antiderivadaou integral indefinida usamos uma uacutenica constante de integraccedilatildeo c Da mesma forma quando estivermos resolvendo

uma equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem F ( x y yprime) = 0 obteremos usualmente uma soluccedilatildeo contendo uma uacutenicaconstante arbitraacuteria ou um paracircmetro c Uma soluccedilatildeo contendo uma constante arbitraacuteria representa um conjuntoG( x y c) = 0 de soluccedilotildees chamado famiacutelia de soluccedilotildees a um paracircmetro Quando estivermos resolvendo umaequaccedilatildeo diferencial de ordem n F ( x y yprime y(n)) = 0 procuraremos uma famiacutelia de soluccedilotildees a n paracircmetros

G( x y c1 c2 cn) = 0 Isso significa que uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial tem um nuacutemero infinito de soluccedilotildeescorrespondentes ao nuacutemero ilimitado de opccedilotildees dos paracircmetros A soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial que natildeodependa de paracircmetros arbitraacuterios eacute chamada soluccedilatildeo particular

EXEMPLO 6 Soluccedilotildees Particulares

(a) a famiacutelia a um paracircmetro y = c x

minus x cos x eacute uma soluccedilatildeo expliacutecita da equaccedilatildeo linear de primeira ordem

xyprime minus y = x2 sen x

no intervalo (minusinfininfin) (Verifique) A Figura 113 mostra os graacuteficos de algumas soluccedilotildees particulares desta famiacuteliapara vaacuterias escolhas de c A soluccedilatildeo y = minus x cos x o graacutefico azul na figura eacute a soluccedilatildeo particular correspondente ac = 0

(b) A famiacutelia a dois paracircmetros y = c1e x+ c2 xe x eacute uma soluccedilatildeo expliacutecita da equaccedilatildeo linear de segunda ordem

yprimeprime minus 2 yprime + y = 0

na parte (b) do Exemplo 3 (Verifique) Na Figura 114 noacutes haviamos mostrado sete dos duplos infinitosdas soluccedilotildeesna famiacutelia As curvas de soluccedilatildeo satildeo os graacuteficos de uma soluccedilatildeo particular y = 5 xe x (cl = 0 c2 = 5) y = 3e x (cl = 3

c2 = 0) e y = 5e x minus 2 xe x (c1 = 5 c2 = 2) respectivamente




FIGURA 113 Algumas soluccedilotildees de ED na parte(a) do Exemplo 6

FIGURA 114 Algumas soluccedilotildees de ED na parte(b) do Exemplo 6

Agraves vezes uma equaccedilatildeo diferencial tem uma soluccedilatildeo que natildeo eacute membro de uma famiacutelia de soluccedilotildees da equaccedilatildeondash isto eacute uma soluccedilatildeo que natildeo pode ser obtida atribuindo valores particulares aos paracircmetros na famiacutelia de soluccedilotildeesTal soluccedilatildeo extra eacute chamada soluccedilatildeo singular Por exemplo vimos que y =

116

x4 e y = 0 satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeodiferencial d ydx = xy12 em (minusinfininfin) Na Seccedilatildeo 22 vamos demonstrar de fato resolvendo-a que a equaccedilatildeo dife-rencial dydx = xy12 tem uma famiacutelia de soluccedilotildees a um paracircmetro y = ( 1

4 x2

+ c)2 Quando c = 0 a soluccedilatildeo particularresultante eacute y =

116

x4 Observe poreacutem que a soluccedilatildeo trivial y = 0 eacute uma soluccedilatildeo singular uma vez que natildeo eacute ummembro da famiacutelia y = ( 1

4 x2

+ c)2 natildeo haacute nenhuma forma de atribuir um valor agrave constante c para obter y = 0

Em todos os exemplos precedentes usamos x e y para denotar respectivamente as variaacuteveis independente edependente Mas vocecirc deve se acostumar a ver e a trabalhar com outros siacutembolos para denotar essas variaacuteveis Porexemplo podemos denotar a variaacutevel independente usando t e a dependente x

EXEMPLO 7 Usando siacutembolos diferentes

As funccedilotildees x = c1 cos 4t e x = c2 sen 4t onde c1 e c2 satildeo constantes arbitraacuterias ou paracircmetros e satildeo ambas soluccedilotildeesda equaccedilatildeo diferencial linear

xprimeprime + 16 x = 0

Para x = c1 cos 4t as duas primeiras derivadas em relaccedilatildeo a t satildeo xprime = minus4c1 sen 4t e xprimeprime

= minus16c1 cos 4t Substituindo xprimeprime e x obtemos

xprimeprime + 16 x = minus16c1 cos 4t + 16(c1 cos 4t ) = 0

Da mesma forma para x = c2 sen 4t temos xprimeprime = minus16c2 sen 4t e portanto

xprimeprime + 16 x = minus16c2 sen 4t + 16(c2 sen 4t ) = 0

Por fim eacute faacutecil constatar que a combinaccedilatildeo linear de soluccedilotildees ou a famiacutelia a dois paracircmetros x = c1 cos 4t +

c2 sen 4t eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencialO exemplo seguinte mostra que uma soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial pode ser uma funccedilatildeo definida por partes

EXEMPLO 8 Uma soluccedilatildeo definida por partes

A famiacutelia a um paracircmetro dos monocircmios de quarto grau y = c x4 eacute uma soluccedilatildeo expliacutecita da equaccedilatildeo linear de primeiraordem

xyprime minus 4 y = 0

no intervalo (minusinfininfin) (Verifique) As soluccedilotildees mostradas nas curvas azul e vermelha da Figura 115(a) satildeo os graacuteficosde y = x4 e y = minus x4 e correspondem agraves escolhas c = 1 e c = minus1 respectivamente

A funccedilatildeo diferenciaacutevel por partes definida

y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0

tambeacutem eacute uma soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo mas natildeo pode ser obtida a partir da famiacutelia y = cx4 por meio de umaescolha de c a soluccedilatildeo eacute construiacuteda da famiacutelia escolhendo-se c =

minus1 para x lt 0 e c = 1 para x

ge 0 Veja a

Figura 114(b)




FIGURA 115 Algumas soluccedilotildees de xyprime minus 4 y = 0

SISTEMAS DE EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAISAteacute agora discutimos uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial contendo uma funccedilatildeo desconhecida Mas frequentemente nateoria bem como em muitas aplicaccedilotildees devemos lidar com sistemas de equaccedilotildees diferenciais Em um sistema

de equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias duas ou mais equaccedilotildees envolvem as derivadas de duas ou mais funccedilotildeesdesconhecidas de uma uacutenica variaacutevel independente Por exemplo se x e y denotarem variaacuteveis dependentes e t denotara variaacutevel independente um sistema de duas equaccedilotildees diferenciais de primeira ordem seraacute dado por

dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)

Uma soluccedilatildeo de um sistema como (9) eacute um par de funccedilotildees diferenciaacuteveis x = φ1(t ) y = φ2(t ) definidas em umintervalo comum I que satisfazem cada equaccedilatildeo do sistema nesse intervalo

OBSERVACcedilOtildeES

(i) Algumas palavras finais sobre soluccedilotildees impliacutecitas de equaccedilotildees diferenciais satildeo necessaacuterias No Exemplo3 foi possiacutevel resolver a relaccedilatildeo x2

+ y2= 25 para y em termos de x a fim de obter duas soluccedilotildees

expliacutecitas φ1( x) =radic 25 minus x2 e φ2( x) = minus

radic 25 minus x2 da equaccedilatildeo diferencial (8) Mas natildeo tire muitas

conclusotildees desse exemplo A menos que seja simples importante ou que seja solicitado normalmentenatildeo existe necessidade de encontrar a soluccedilatildeo impliacutecita G( x y) = 0 para y explicitamente em termos de

x Tambeacutem natildeo interprete erroneamente a segunda sentenccedila da Definiccedilatildeo 113 Uma soluccedilatildeo impliacutecitaG( x y) = 0 pode perfeitamente definir uma funccedilatildeo diferenciaacutevel φ que seja uma soluccedilatildeo da ED ainda quenatildeo possamos resolver G( x y) = 0 usando meacutetodos analiacuteticos ou algeacutebricos A curva integral de φ podeser um pedaccedilo ou parte do graacutefico de G( x y) = 0 Veja os problemas 45 e 46 nos Exerciacutecios 11 Leiatambeacutem a discussatildeo que se segue ao Exemplo 4 na Seccedilatildeo 22

(ii) Apesar da busca de uma soluccedilatildeo ter sido enfatizada nesta seccedilatildeo o leitor deve saber que uma ED natildeopossui necessariamente uma soluccedilatildeo Veja o problema 39 nos Exerciacutecios 11 A questatildeo da existecircncia deuma soluccedilatildeo seraacute abordada na proacutexima seccedilatildeo

(iii) Na forma diferencial M ( x y)dx + N ( x y)dy = 0 pode natildeo ser oacutebvio se uma EDO de primeira ordem eacutelinear ou natildeo uma vez que nada nessa foacutermula nos diz qual dos siacutembolos denota a variaacutevel dependenteVeja os problemas 9 e 10 nos Exerciacutecios 11

(iv) Pode parecer pouco importante supor que F ( x y yprime y(n)) = 0 possa ser resolvida para y(n) masdevemos ter cuidado neste caso Haacute exceccedilotildees e certamente haacute alguns problemas ligados a essa hipoacuteteseVeja os problemas 52 e 53 nos Exerciacutecios 11

(v) Vocecirc pode encontrar as palavras ldquosoluccedilotildees em forma fechadardquo em textos de ED ou em cursos sobreequaccedilotildees diferenciais Traduzindo essa frase em geral se refere a soluccedilotildees expliacutecitas que satildeo expressasem termos de funccedilotildees elementares (ou familiares) combinaccedilotildees finitas de potecircncias inteiras de x raiacutezesfunccedilotildees exponenciais e logariacutetmicas e funccedilotildees trigonomeacutetricas diretas e inversas

(vi) Se toda soluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo diferencial ordinaacuteria de ordem n F ( x y yprime y(n)) = 0 em um intervalo I puder ser obtida de uma famiacutelia a n paracircmetros G( x y c1 c2 cn) = 0 por meio de uma escolhaapropriada dos paracircmetros ci i = 1 2 n dizemos que a famiacutelia eacute a soluccedilatildeo geral da equaccedilatildeodiferencial Na resoluccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais lineares devemos impor restriccedilotildees relativamente

simples aos coeficientes da equaccedilatildeo com essas restriccedilotildees podemos nos assegurar natildeo somente de que




haacute uma soluccedilatildeo em um intervalo mas tambeacutem de que uma famiacutelia de soluccedilotildees produz todas as soluccedilotildeespossiacuteveis EDOs natildeo lineares com exceccedilatildeo de algumas de primeira ordem em geral satildeo difiacuteceis ouimpossiacuteveis de ser resolvidas em termos de funccedilotildees elementares Aleacutem disso obter uma famiacutelia desoluccedilotildees para uma equaccedilatildeo natildeo linear natildeo significa que essa famiacutelia conteacutem todas as soluccedilotildees Do pontode vista praacutetico entatildeo a designaccedilatildeo ldquosoluccedilatildeo geralrdquo aplica-se tatildeo somente agraves EDOs O leitor natildeo devepreocupar-se com esse conceito neste momento mas manter as palavras ldquosoluccedilatildeo geralrdquo em mente paraque este assunto seja novamente abordado na Seccedilatildeo 23 e no Capiacutetulo 4

EXERCIacuteCIOS 11

As respostas aos problemas iacutempares estatildeo no final do

livro

Nos problemas 1-8 afirma-se a ordem de uma dada equa-ccedilatildeo diferencial ordinaacuteria Determine se a equaccedilatildeo eacute li-near ou natildeo linear atraveacutes de (6)

1 (1 minus x) yprimeprime minus 4 xyprime + 5 y = cos x

2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)

3 t 5 y(4) minus t 3 yprimeprime + 6 y = 0

4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2

6 uml x minus1 minus ˙ x2

3

˙ x + x = 0

7 (sen θ ) yprimeprimeprime minus (cos θ ) yprime = 2

8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2

Nos problemas 9 e 10 determine se a equaccedilatildeo diferen-cial de primeira ordem dada eacute linear na variaacutevel depen-

dente indicada atraveacutes da primeira equaccedilatildeo diferencialdada em (7)

9 ( y2 minus 1)dx + xdy = 0 em y em x

10 udv + (v + uv minus ueu)du = 0 em v em u

Nos problemas 11-14 verifique que a funccedilatildeo indicada eacuteuma soluccedilatildeo expliacutecita da equaccedilatildeo diferencial dada Ad-mita um intervalo de definiccedilatildeo apropriado I

11 2 yprime + y = 0 y = eminus x2

12 yprimeprime + y = tg x y = minus(cos x) ln(sec x + tg x)

13 yprimeprime minus 6 yprime + 13 y = 0 y = e3 x cos 2 x

14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t

Nos problemas 15-18 verifica-se que a funccedilatildeo indicada

y = φ( x) eacute uma soluccedilatildeo expliacutecita da equaccedilatildeo diferen-cial de primeira ordem dada Faccedila como apresentadono Exemplo 2 considerando φ simplesmente como uma funccedilatildeo apresente seu domiacutenio Depois considerando φcomo a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial determine aomenos um intervalo I da definiccedilatildeo

15 ( y minus x) yprime = y minus x + 8 y = x + 4

radic x + 2

16 2 yprime = y3 cos x y = (1 minus sen x)minus12

17 yprime = 2 xy2 y = 1(4 minus x2)

18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x

Nos problemas 19 e 20 verifique que a expressatildeo in-dicada eacute uma soluccedilatildeo impliacutecita da equaccedilatildeo diferencialdada Encontre pelo menos uma soluccedilatildeo expliacutecita y =

φ( x) em cada caso Use um programa de criaccedilatildeo de graacute-ficos para obter os graacuteficos das soluccedilotildees expliacutecitas En-contre o intervalo de definiccedilatildeo I de cada soluccedilatildeo φ

19 dX

dt = ( X minus 1)(1 minus 2 X ) ln

2 X minus1 X minus1

= t

20 2 xy dx + ( x2 minus y)dy = 0 minus2 x2 y + y2 = 1

Nos problemas 21-24 verifique que a famiacutelia de fun-ccedilotildees indicada eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencialdada Admita um intervalo de definiccedilatildeo I apropriadopara cada soluccedilatildeo

21 dP

dt = P(1 minus P) P =

c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2

y = c1 xminus1 + c2 x + c3 x ln x + 4 x2




23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy

dx+ 2 xy = 1 y = eminus x2

x

0 et 2dt + c1eminus x2

25 Verifique que a funccedilatildeo definida por partes

y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0

eacute a soluccedilatildeo de xyprime minus 2 y = 0 no intervalo (minusinfininfin)

26 No Exemplo 5 vimos que y = φ1( x) =radic 25 minus x2

e y = φ2( x) = minusradic 25 minus x2 satildeo soluccedilotildees da equaccedilatildeo

diferencial dydx = minus x y no intervalo (minus5 5) Ex-plique por que a funccedilatildeo definida por partes

y = radic 25 minus x2 minus5 lt x lt 0

minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5

natildeo eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial no inter-valo (minus5 5)

Nos problemas 27-30 encontre os valores de m de formaque a funccedilatildeo y = emx seja a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferen-cial dada

27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y

29 yprimeprime minus 5 yprime + 6 y = 0

30 2 yprimeprime + 7 yprime minus 4 y = 0

Nos problemas 31 e 32 encontre os valores de m deforma que a funccedilatildeo y = xm seja soluccedilatildeo da equaccedilatildeo di-ferencial dada

31 xyprimeprime + 2 yprime

= 0

32 x2 yprimeprime minus 7 xyprime + 15 y = 0

Nos problemas 33-36 use o conceito de que y = cminusinfin lt x lt infin eacute uma funccedilatildeo constante se e somente se yprime

= 0 para determinar se a dada equaccedilatildeo diferencialpossui soluccedilotildees constantes

33 3 xyprime + 5 y = 10

34 yprimeprime + 4 yprime

+ 6 y = 10

35 ( y minus 1) yprime = 1

36 yprime = y2 + 2 y minus 3

Nos problemas 37 e 38 observe que o par de fun-ccedilotildees dado eacute uma soluccedilatildeo do sistema de equaccedilotildees dife-renciais dado no intervalo (minusinfininfin)

37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t

y = minuseminus2t + 5e6t

38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et

y = minuscos2t minus sen2t minus 15

et

PROBLEMAS PARA DISCUSSAtildeO

39 Construa uma equaccedilatildeo diferencial para a qual natildeohaja nenhuma soluccedilatildeo real

40 Construa uma equaccedilatildeo diferencial que vocecirc acre-dite ter somente a soluccedilatildeo trivial y = 0 Expliqueseu raciociacutenio

41 Que funccedilatildeo vocecirc conhece do caacutelculo que eacute igual agravesua derivada Cuja derivada primeira seja k vezesela mesma Escreva cada resposta na forma de umaequaccedilatildeo diferencial de primeira ordem com uma so-luccedilatildeo

42 Que funccedilatildeo ou funccedilotildees vocecirc conhece do caacutelculocuja derivada segunda seja igual a ela mesma Cujaderivada segunda seja o negativo dela mesma Es-creva cada resposta na forma de uma equaccedilatildeo dife-

rencial de segunda ordem com uma soluccedilatildeo

43 Dado que y = sen x eacute uma soluccedilatildeo expliacutecita daequaccedilatildeo de primeira ordem dy

dx =

1 minus y2 encontre

o intervalo I da definiccedilatildeo [ Dica I natildeo eacute o intervalo(minusinfininfin)]

44 Discuta por que eacute intuitivo supor que a equaccedilatildeo di-ferencial linear yprimeprime

+2 yprime+4 y = 5sen t tem uma solu-

ccedilatildeo da forma y = A sen t + B cos t em que A e B satildeoconstantes Em seguida encontre as constantes A e B para as quais y = A sen t + B cos t eacute uma soluccedilatildeo

particular da ED




Nos problemas 45 e 46 a figura representa o graacuteficode uma soluccedilatildeo impliacutecita G( x y) = 0 da equaccedilatildeo di-ferencial dydx = f ( x y) Em cada caso a relaccedilatildeoG( x y) = 0 define implicitamente vaacuterias soluccedilotildees daED Reproduza cuidadosamente cada figura em uma fo-lha Use laacutepis coloridos para marcar segmentos ou par-tes em cada graacutefico que correspondam a graacuteficos de so-

luccedilotildees Tenha em mente que uma soluccedilatildeo φ deve seruma funccedilatildeo diferenciaacutevel Use a curva integral para es-timar o intervalo de definiccedilatildeo I de cada soluccedilatildeo φ

45

FIGURA 116 Graacutefico para o Problema 45

46


47 Os graacuteficos dos membros da famiacutelia a um paracircme-tro x3

+ y3= 3cxy satildeo chamados foacutelios de Descar-

tes Observe que essa famiacutelia eacute uma soluccedilatildeo impliacute-cita da equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem

dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)

48 O graacutefico na Figura 117 eacute um membro da famiacuteliade foacutelios do Problema 47 correspondente a c = 1Discuta como a equaccedilatildeo diferencial no Problema

47 pode ajudaacute-lo a encontrar pontos no graacutefico de x3

+ y3= 3 xy para os quais a reta tangente eacute vertical

Como o conhecimento de onde uma reta tangente eacutevertical pode ajudaacute-lo a determinar um intervalo I

de definiccedilatildeo de uma soluccedilatildeo φ de ED Leve a termosuas ideias e compare com suas estimativas dos in-tervalos no Problema 46

49 No Exemplo 5 o maior intervalo I no qual as so-luccedilotildees expliacutecitas y = φ1( x) e y = φ2( x) satildeo defini-das eacute o intervalo aberto (minus5 5) Por que o intervalo I natildeo pode ser definido como o intervalo fechado

[minus5 5]

50 No Problema 21 uma famiacutelia de soluccedilotildees com umuacutenico paracircmetro da ED Pprime

= P(1 minus P) eacute dadaAlguma das curvas das soluccedilotildees passa pelo ponto(0 3) Alguma das curvas das soluccedilotildees passa peloponto (0 1)

51 Discuta e ilustre com exemplos como resolver

equaccedilotildees diferenciais da forma dydx =

f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)

52 A equaccedilatildeo diferencial x( yprime)2 minus 4 yprime minus 12 x3= 0 tem

a forma geral dada em (4) Determine se a equa-ccedilatildeo pode ser colocada na forma normal dydx =

f ( x y)

53 A forma normal (5) de uma equaccedilatildeo diferencialde ordem n seraacute equivalente a (4) todas as vezesque ambas tiverem exatamente as mesmas soluccedilotildeesConstrua uma equaccedilatildeo diferencial de primeira or-dem na qual F ( x y yprime) = 0 natildeo seja equivalente agrave

forma normal dydx = f ( x y)54 Ache uma equaccedilatildeo diferencial linear de segunda

ordem F ( x y yprime yprimeprime) = 0 para a qual y = c1 x +

c2 x2 seja uma famiacutelia a dois paracircmetros de solu-

ccedilotildees Assegure-se de que sua equaccedilatildeo natildeo contenhaos paracircmetros arbitraacuterios c1 e c2

Informaccedilotildees qualitativas sobre a soluccedilatildeo de uma equa-ccedilatildeo diferencial podem ser frequentemente obtidas naproacutepria equaccedilatildeo Antes de trabalhar nos problemas 55a 58 relembre o significado geomeacutetrico das derivadasdydx e d 2 ydx2

55 Considere a equaccedilatildeo diferencial dydx = eminus x2

a) Explique por que a soluccedilatildeo da ED necessaria-mente eacute uma funccedilatildeo crescente em qualquer in-tervalo do eixo x

b) Quais satildeo os limites lim xrarrminusinfin

dydx e lim xrarrinfin

dydx

O que isto implica a respeito da curva da solu-ccedilatildeo quando x rarr plusmninfin

c) Determine um intervalo no qual a soluccedilatildeo y =

φ( x) tem concavidade para baixo e um intervalono qual a curva tem concavidade para cima

d) Esboce o graacutefico da soluccedilatildeo y = φ( x) da equa-ccedilatildeo diferencial na qual a forma eacute sugerida naspartes (a) a (c)

56 Considere a equaccedilatildeo diferencial dydx = 5 minus y

a) Atraveacutes de inspeccedilatildeo ou pelo meacutetodo sugeridonos problemas 33-36 encontre uma soluccedilatildeo daED constante

b) Usando apenas a equaccedilatildeo diferencial encontreintervalos no eixo y em que uma soluccedilatildeo natildeoconstante y = φ( x) eacute crescente Encontre inter-

valos no eixo y em que y = φ( x) eacute decrescente




57 Suponha que y = φ( x) seja uma soluccedilatildeo da equa-ccedilatildeo diferencial d ydx = y(a minus by) onde a e b satildeoconstantes positivas

a) Atraveacutes de inspeccedilatildeo ou pelo meacutetodo sugeridonos problemas 33-36 encontre duas soluccedilotildeesda ED constantes

b) Usando somente a equaccedilatildeo diferencial encon-tre intervalos no eixo y nos quais uma soluccedilatildeonatildeo constante y = φ( x) seja crescente Encontreintervalos nos quais y = φ( x) seja decrescente

c) Usando somente a equaccedilatildeo diferencial expli-que por que y = a2b eacute a coordenada y de umponto de inflexatildeo do graacutefico de uma soluccedilatildeo natildeoconstante y = φ( x)

d) No mesmo sistema de eixos coordenados es-boce os graacuteficos das duas soluccedilotildees constantesencontrados no item (a) Essas soluccedilotildees cons-tantes dividem o plano xy em trecircs regiotildees Emcada regiatildeo esboce o graacutefico de uma soluccedilatildeonatildeo constante y = φ( x) cujo aspecto seja suge-rido pelos resultados nos itens (b) e (c)

58 Considere a equaccedilatildeo diferencial yprime = y2

+ 4

a) Explique por que natildeo existe uma soluccedilatildeo cons-tante para a ED

b) Descreva o graacutefico de uma soluccedilatildeo y = φ( x)Por exemplo a curva de uma soluccedilatildeo pode teralgum maacuteximo relativo

c) Explique por que y = 0 eacute a coordenada y de umponto de inflexatildeo da curva de uma soluccedilatildeo

d) Esboce o graacutefico de uma soluccedilatildeo y = φ( x) deuma equaccedilatildeo diferencial com a forma sugeridanas partes (a) a (c)

TAREFAS PARA O LABORATOacuteRIO DE INFORMAacuteTICA

Nos problemas 59 e 60 use um SAC (Sistema Algeacute-brico Computacional) para computar todas as derivadase fazer as simplificaccedilotildees necessaacuterias agrave constataccedilatildeo deque a funccedilatildeo indicada eacute uma soluccedilatildeo particular da equa-ccedilatildeo diferencial dada

59 y(4)

minus 20 yprimeprimeprime + 158 yprimeprime minus 580 yprime + 841 y =

0 y = xe5 x cos2 x

60 x3 yprimeprimeprime + 2 x2 yprimeprime

+ 20 xyprime minus 78 y = 0

y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x

12 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

IMPORTANTE REVISAR

bull Forma normal de uma EDbull Soluccedilatildeo de um EDbull Famiacutelia de soluccedilotildees

INTRODUCcedilAtildeOFrequentemente nos interessamos por problemas em que procuramos uma soluccedilatildeo y( x) para uma equaccedilatildeodiferencial de modo que y( x) satisfaccedila determinadas condiccedilotildees de contorno isto eacute as condiccedilotildees impostas a umafunccedilatildeo desconhecida y( x) e suas derivadas no ponto x0 Em algum intervalo I contendo x0 o problema de resolver

uma equaccedilatildeo diferencial de n-eacutesima ordem sujeita a n condiccedilotildees de contorno especificadas em x0 Resolver

d n y

dxn = f ( x y yprime y(nminus1))

Sujeita a y( x0) = y0 yprime( x0) = y1 y(nminus1)( x0) = ynminus1

(1)

onde y0 y1 ynminus1 satildeo constantes reais especificadas eacute chamado de problema de valor inicial (PVI) Osvalores de y( x) e suas n minus 1 derivadas em um uacutenico ponto x0 y( x0) = y0 yprime( x0) = y1 y(nminus1)( x0) = ynminus1 satildeochamados de condiccedilotildees iniciais

Resolver um problema de valor inicial de ordem n como (1) em geral envolve o uso de uma famiacutelia a n

paracircmetros de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial dada e em seguida usando as n condiccedilotildees iniciais de x0 paradeterminar as n constantes na famiacutelia A soluccedilatildeo particular resultante eacute definida em algum intervalo I contendo oponto inicial x0




INTERPRETACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA DO PVIOs casos n = 1 e n = 2 em (1)

Resolver dy

dx= f ( x y)

Sujeita a y( x0) = y0

(2)

e

Resolver

d 2 y

dx2 = f ( x y yprime)Sujeita a y( x0) = y0 yprime( x0) = y1

(3)

satildeo problemas de valor inicial de primeira e segunda ordem respectivamente Esses dois problemas satildeo faacuteceis deser interpretados em termos geomeacutetricos Em (2) procuramos uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial yprime

= f ( x y) em umintervalo I contendo x0 de tal forma que o seu graacutefico passe pelo ponto ( x0 y0) prescrito Uma soluccedilatildeo eacute apresentadaem negrito na Figura 121 Em (3) queremos encontrar uma soluccedilatildeo y( x) da equaccedilatildeo diferencial yprimeprime

= f ( x y yprime) emum intervalo I contendo x0 de forma que o graacutefico natildeo somente passe por um ponto ( x0 y0) mas tambeacutem o faccedila detal forma que a inclinaccedilatildeo da curva nesse ponto seja y1 Uma curva para a soluccedilatildeo eacute apresentada na Figura 112 Otermo condiccedilatildeo inicial vem de sistemas fiacutesicos em que a variaacutevel independente eacute o tempo t e em que y(t 0) = y0 e yprime(t 0) = y1 representam respectivamente a posiccedilatildeo e a velocidade de um objeto no instante inicial t 0

FIGURA 121 PVI de primeira ordem FIGURA 122 PVI de segunda ordem

EXEMPLO 1 Dois PVI de primeira ordem

FIGURA 123 Curva deSoluccedilotildees de dois PVIs noExemplo 1

(a) No Problema 41 da seccedilatildeo Exerciacutecios 11 solicitou-se deduzir que y = ce x eacute umafamiacutelia de soluccedilotildees de um paracircmetro da equaccedilatildeo de primeira ordem yprime

= y Todasas soluccedilotildees nesta famiacutelia satildeo definidas no intervalo (minusinfininfin) Se impusermos umacondiccedilatildeo inicial digamos y(0) = 3 entatildeo substituindo x = 0 e y = 3 na famiacuteliadeterminamos a constante 3 = ce0

= c Assim y = 3e x eacute uma soluccedilatildeo do PVI

yprime = y y(0) = 3

(b) Se exigirmos agora que a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial passe pelo ponto (1minus2)em vez de (0 3) entatildeo y(1) = minus2 daraacute lugar a minus2 = ce ou c = minus2eminus1 Neste caso afunccedilatildeo y = minus2e xminus1 eacute uma soluccedilatildeo do problema de valor inicial

yprime = y y(1) = minus2Os graacuteficos dessas duas funccedilotildees satildeo apresentados na Figura 123

O proacuteximo exemplo ilustra outro problema de valor inicial de primeira ordem Neste exemplo percebemos comoo intervalo I da definiccedilatildeo da soluccedilatildeo y( x) depende da condiccedilatildeo inicial y( x0) = y0

EXEMPLO 2 Intervalo I da definiccedilatildeo da soluccedilatildeo

O Problema 4 dos Exerciacutecios 22 mostra que uma famiacutelia de soluccedilotildees de um paracircmetro da equaccedilatildeo diferencial deprimeira ordem yprime

+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2

+ c) se imposta a condiccedilatildeo inicial y(0) = minus1 entatildeo substituindo x = 0 e y =

minus1 para a famiacutelia de soluccedilotildees temos

minus1 = 1c ou c =

minus1 Assim temos y = 1( x2

minus1) Vamos agora destacar as

trecircs seguintes consideraccedilotildees




bull Considerando como uma funccedilatildeo o domiacutenio de y = 1( x2 minus 1) eacute o conjunto de nuacutemeros reais x para os quais y( x)

eacute definida esse eacute o conjunto de todos os nuacutemeros reais exceto x = minus1 e x = 1 Veja a Figura 124(a)bull Considerando como uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial yprime

+2 xy2= 0 o intervalo I da definiccedilatildeo de y = 1( x2 minus1)

pode ser tomado como qualquer intervalo no qual y( x) eacute definido e diferenciaacutevel Como pode ser constatado naFigura 124(a) o maior intervalo no qual y = 1( x2 minus 1) eacute uma soluccedilatildeo eacute (minusinfinminus1) (minus1 1) e (1infin)

bull Considerando como uma soluccedilatildeo para o problema de valor inicial yprime + 2 xy2

= 0 y(0) = minus1 o intervalo I dadefiniccedilatildeo de y = 1( x2

minus 1) pode ser tomado como qualquer intervalo no qual y( x) eacute definido diferenciaacutevel e

contenha o ponto inicial x = 0 o maior intervalo para o qual isto eacute verdade eacute (minus1 1) Veja a curva em negrito naFigura 124(b)

FIGURA 124 Graacuteficos da funccedilatildeo e soluccedilatildeo do PVI no Exemplo 2

Veja os problemas 3-6 nos Exerciacutecios 12 para a continuaccedilatildeo do Exemplo 2

EXEMPLO 3 PVI de segunda ordem

No Exemplo 7 da Seccedilatildeo 11 vimos que x = c1 cos 4t + c2 sen 4t eacute uma famiacutelia a dois paracircmetros de soluccedilotildees de xprimeprime

+ 16 x = 0 Ache uma soluccedilatildeo do problema de valor inicial

xprimeprime + 16 x = 0 x

π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO

Primeiramente vamos aplicar x(π2) = minus2 agrave famiacutelia dada de soluccedilotildees c1 cos 2π + c2 sen 2π = minus2 Uma vez quecos2π = 1 e sen2π = 0 verificamos que c1 = minus2 Em seguida aplicamos xprime(π2) = 1 agrave famiacutelia a um paracircmetro x(t ) = minus2cos4t + c2 sen 4t Diferenciando-a e fazendo-se t = π2 e xprime

= 1 obtemos 8 sen 2π+ 4c2 cos 2πminus 1 de ondevemos que c2 =

14

Logo x = minus2cos4t + 14 sen4t eacute uma soluccedilatildeo de (4)

EXISTEcircNCIA E UNICIDADE

Duas questotildees fundamentais surgem ao considerar um problema de valor inicial A soluccedilatildeo desse problema existe

Se existir eacute uacutenica

Para o problema de valor inicial de primeira ordem (2)

Existecircncia

A equaccedilatildeo diferencial dydx = f(x y) tem soluccedilatildeo

Alguma curva integral passa pelo ponto ( x0 y0)

Unicidade Quando podemos estar certos de que existe precisamente

uma curva integral passando pelo ponto ( x0 y0)




Observe que nos exemplos 1 e 3 a frase ldquouma soluccedilatildeordquo eacute usada no lugar de ldquoa soluccedilatildeordquo do problema O artigoindefinido ldquoumardquo eacute deliberadamente usado para sugerir a possibilidade de que possa haver outras soluccedilotildees Ateacute agoranatildeo foi demonstrado que haacute uma uacutenica soluccedilatildeo para cada problema O exemplo seguinte apresenta um problema devalor inicial com duas soluccedilotildees

EXEMPLO 4 Um PVI pode ter vaacuterias soluccedilotildees

FIGURA 125 Duascurvas de soluccedilotildees domesmo PVI noExemplo 4

Cada uma das funccedilotildees y = 0 e y = 116

x4 satisfaz a equaccedilatildeo diferencial d ydx = xy12 e acondiccedilatildeo inicial y(0) = 0 portanto o problema de valor inicial

dy

dx= xy12 y(0) = 0

tem pelo menos duas soluccedilotildees Conforme ilustrado na Figura 125 os graacuteficos das duasfunccedilotildees passam pelo mesmo ponto (0 0)

Dentro dos limites seguros de um curso formal de equaccedilotildees diferenciais podemos ficarmoderadamente confiantes de que a maior parte das equaccedilotildees diferenciais teraacute soluccedilotildeese que as soluccedilotildees do problema de valor inicial seratildeo provavelmente uacutenicas A vida real

poreacutem natildeo eacute tatildeo idiacutelica Portanto eacute desejaacutevel saber antes de tentar resolver um problema de valor inicial se haacute umasoluccedilatildeo e quando houver se eacute a uacutenica soluccedilatildeo do problema Uma vez que estudaremos equaccedilotildees diferenciais deprimeira ordem nos dois capiacutetulos seguintes vamos enunciar aqui sem demonstraccedilatildeo um teorema simples que daacutecondiccedilotildees suficientes para garantir a existecircncia e a unicidade de uma soluccedilatildeo do problema de valor inicial de primeiraordem da forma apresentada em (2) No Capiacutetulo 4 abordaremos a questatildeo da existecircncia e unicidade de um problemade valor inicial de segunda ordem

TEOREMA 121 Existecircncia de uma uacutenica soluccedilatildeo

Seja R uma regiatildeo retangular no plano xy definida por a le x le b c le y le d que conteacutem o ponto ( x0 y0) Se f ( x y) e part f part y satildeo contiacutenuas em R entatildeo existe algum intervalo I 0 x0 minus h lt x lt x0 + h h gt 0 contido ema

le x

le b e uma uacutenica funccedilatildeo y( x) definida em I 0 que eacute uma soluccedilatildeo do problema de valor inicial (2)

O resultado precedente eacute um dos teoremas de existecircncia e unicidade mais populares de equaccedilotildees lineares deprimeira ordem pois os criteacuterios de continuidade de f ( x y) e part f part y satildeo relativamente faacuteceis de ser verificados Ageometria do Teorema 121 estaacute ilustrada na Figura 126

FIGURA 126 Regiatildeo R retangular

EXEMPLO 5 Revisatildeo do Exemplo 4

Vimos no Exemplo 4 que a equaccedilatildeo diferencial dydx = xy12 tem pelo menos duas soluccedilotildees cujos graacuteficos passampor (0 0) Uma anaacutelise das funccedilotildees

f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12




mostra que elas satildeo contiacutenuas no semiplano superior definido por y gt 0 Assim o Teorema 121 nos possibilitaconcluir que em qualquer ponto ( x0 y0) y0 gt 0 no semiplano superior haacute algum intervalo centrado em x0 no quala equaccedilatildeo diferencial dada tem uma uacutenica soluccedilatildeo Logo por exemplo mesmo sem resolvecirc-la sabemos que existealgum intervalo centrado em 2 no qual o problema de valor inicial dydx = xy12 y(2) = 1 tem uma uacutenica soluccedilatildeo

No Exemplo 1 o Teorema 121 garante que natildeo haacute outra soluccedilatildeo para os problemas de valor inicial yprime = y y(0) = 3

e yprime = y y(1) = minus2 diferente de y = 3e x

e y = minus2e xminus1

respectivamente Isso se justifica pelo fato de f ( x y) = y epart f part y = 1 serem funccedilotildees contiacutenuas em todo o plano xy Eacute possiacutevel mostrar ainda que o intervalo I no qual cadasoluccedilatildeo eacute definida eacute (minusinfininfin)

INTERVALO DE EXISTEcircNCIAUNICIDADE

Suponha que y( x) represente uma soluccedilatildeo do problema de valor inicial (2) Os trecircs conjuntos seguintes da reta realpodem natildeo ser os mesmos o domiacutenio da funccedilatildeo y( x) o intervalo I sobre o qual a soluccedilatildeo estaacute definida ou existe e ointervalo I 0 de existecircncia e unicidade O Exemplo 2 da Seccedilatildeo 11 ilustra a diferenccedila entre o domiacutenio de uma funccedilatildeoe o intervalo I de definiccedilatildeo Vamos supor agora que ( x0 y0) seja um ponto no interior da regiatildeo retangular R noTeorema 121 Ocorre que a continuidade da funccedilatildeo f ( x y) em R por si proacutepria eacute suficiente para garantir a existecircnciade pelo menos uma soluccedilatildeo de d ydx = f ( x y) y( x0) = y0 definida em algum intervalo I Considera-se geralmentecomo intervalo I de definiccedilatildeo para esse problema de valor inicial o maior intervalo contendo x0 sobre o qual a soluccedilatildeo y( x) estaacute definida e pode ser diferenciada O intervalo I depende de f ( x y) e da condiccedilatildeo inicial y( x0) = y0 Veja osproblemas 31 a 34 nos Exerciacutecios 12 A condiccedilatildeo extra de continuidade da primeira derivada parcial part f part y em R

possibilita-nos afirmar que a soluccedilatildeo natildeo somente existe em algum intervalo I 0 contendo x0 mas tambeacutem eacute a uacutenica

soluccedilatildeo que satisfaz y( x0) = y0 Contudo o Teorema 121 natildeo daacute nenhuma indicaccedilatildeo do tamanho dos intervalos I e I 0 o intervalo I de definiccedilatildeo natildeo necessita ser tatildeo grande quanto a regiatildeo R e o intervalo I 0 de existecircncia e unicidade

pode natildeo ser tatildeo grande quanto I O nuacutemero h gt 0 que define o intervalo I 0 x0 minus h lt x lt x0 + h pode ser bempequeno portanto eacute melhor pensar que a soluccedilatildeo y( x) eacute uacutenica em um sentido local ndash isto eacute uma soluccedilatildeo definida nasproximidades do ponto ( x0 y0) Veja o Problema 50 nos Exerciacutecios 12


(i) As condiccedilotildees no Teorema 121 satildeo suficientes mas natildeo necessaacuterias Isto significa que quando f ( x y) epart f part y satildeo contiacutenuas em uma regiatildeo retangular R deve-se sempre concluir que haacute uma uacutenica soluccedilatildeo para (2)quando ( x0 y0) for um ponto interior de R Poreacutem se as condiccedilotildees dadas na hipoacutetese do Teorema 121 natildeoforem satisfeitas qualquer coisa pode ocorrer o Problema (2) pode ainda ter uma soluccedilatildeo e essa soluccedilatildeo pode ser uacutenica ou (2) pode ter vaacuterias soluccedilotildees ou ainda natildeo ter nenhuma soluccedilatildeo Uma releitura do Exemplo5 revela que as hipoacuteteses do Teorema 121 natildeo estatildeo satisfeitas sobre a reta y = 0 para a equaccedilatildeo diferencialdydx = xy12 Portanto natildeo eacute surpreendente como vimos no Exemplo 4 desta seccedilatildeo que haja duas soluccedilotildeesdefinidas em um intervalo comum minush lt x lt h satisfazendo y(0) = 0 Entretanto as hipoacuteteses do Teorema121 natildeo se aplicam agrave reta y = 1 para a equaccedilatildeo diferencial dydx = | y minus 1| Natildeo obstante pode ser provadoque a soluccedilatildeo do problema de valor inicial dydx = | y minus 1| y(0) = 1 eacute uacutenica Vocecirc pode conjecturar qual eacuteessa soluccedilatildeo

(ii) Encorajamos vocecirc a ler pensar sobre trabalhar e por fim ter em mente o Problema 49 nos Exerciacutecios 12

(iii) Condiccedilotildees iniciais satildeo determinadas num uacutenico ponto x0 Mas noacutes estamos interessados em resolverequaccedilotildees diferenciais que satildeo sujeitas a condiccedilotildees especificadas em y( x) ou suas derivadas em dois pontosdistintos x0 e x1 Condiccedilotildees tais que

y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1

satildeo chamadas condiccedilotildees de contorno Uma equaccedilatildeo diferencial com condiccedilotildees de contorno eacute chamadaproblema de valor de contorno (PVC) Por exemplo

yprimeprime + λ y = 0 yprime(0) = 0 yprime(π) = 0

eacute um problema de valor de contorno Veja os Problemas 39-44 nos Exerciacutecios 12




Quando noacutes comeccedilarmos a resolver equaccedilotildees diferenciais no Capiacutetulo 2 noacutes vamos resolver somenteequaccedilotildees de primeira ordem e problemas de valor inicial de primeira ordem A descriccedilatildeo matemaacutetica demuitos problemas em ciecircncia e engenharia envolvem PVIs de segunda ordem ou PVCs de dois pontos Noacutesexaminaremos alguns desses problemas nos Capiacutetulos 4 e 5

EXERCIacuteCIOS 12


livro

Nos problemas 1 e 2 leve em conta que y = 1(1+c1eminus x)

eacute uma famiacutelia a um paracircmetro de soluccedilotildees da ED deprimeira ordem yprime

= y minus y2 Encontre a soluccedilatildeo para oproblema de valor inicial que consiste na equaccedilatildeo dife-rencial e na condiccedilatildeo inicial dada igual do enunciadoabaixo

1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2

Nos problemas 3-6 y = 1( x2+ c) eacute uma famiacutelia a um

paracircmetro de soluccedilotildees da ED de primeira ordem yprime +

2 xy2= 0 [Encontre a soluccedilatildeo de primeira ordem PVI

consistindo nessa equaccedilatildeo diferencial e na condiccedilatildeo ini-cial dada] Indique o maior intervalo I para o qual a so-luccedilatildeo eacute definida

3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4

Nos problemas 7-10 use o fato de que x = c1 cos t +

c2 sen t eacute uma famiacutelia a dois paracircmetros de soluccedilotildees de xprimeprime

+ x = 0 Encontre uma soluccedilatildeo para a PVI de segundaordem consistindo nesta equaccedilatildeo diferencial e nas con-diccedilotildees iniciais dadas

7 x(0) = minus1 xprime(0) = 8

8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0

10 x(π4) = radic 2 xprime(π4) = 2 radic 2Nos problemas 11-14 y = c1e x

+ c2eminus x eacute uma famiacuteliaa dois paracircmetros de soluccedilotildees da ED de segunda ordem yprimeprime minus y = 0 Encontre uma soluccedilatildeo para o problema devalor inicial que consiste na equaccedilatildeo diferencial e nascondiccedilotildees iniciais dadas

11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e

13 y(minus1) = 5 yprime(minus1) = minus5

14 y(0) = 0 yprime(0) = 0

Nos problemas 15 e 16 determine por inspeccedilatildeo pelomenos duas soluccedilotildees do PVI de primeira ordem dado

15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0

Nos problemas 17-24 determine uma regiatildeo do plano xy na qual a equaccedilatildeo diferencial dada tenha uma uacutenica

soluccedilatildeo cujo graacutefico passe pelo ponto ( x0 y0) nessa re-giatildeo

17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x

21 (4 minus y2) yprime = x2

22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2

24 ( y minus x) yprime = y + x

Nos problemas 25-28 determine se o Teorema 121 ga-

rante que a equaccedilatildeo diferencial yprime = y2 minus 9 tem uma

uacutenica soluccedilatildeo que passa pelo ponto dado

25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)

29 a) Determine por inspeccedilatildeo uma famiacutelia a umparacircmetro de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial xyprime

= y Verifique que cada membro da famiacute-lia eacute uma soluccedilatildeo do problema de valor inicial

xyprime = y y(0) = 0




b) Explique o item (a) determinando uma regiatildeo R

no plano xy para a qual a equaccedilatildeo diferencial xyprime

= y teria uma uacutenica soluccedilatildeo que passassepor um ponto ( x0 y0) em R

c) Verifique que a funccedilatildeo definida por partes

y =0 x lt 0

x x ge 0

satisfaz a condiccedilatildeo y(0) = 0 Determine se essafunccedilatildeo eacute tambeacutem uma soluccedilatildeo do problema devalor inicial dado no item (a)

30 a) Verifique que y = tg( x + c) eacute uma famiacutelia a umparacircmetro de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial yprime

= 1 + y2

b) Uma vez que f ( x y) = 1 + y2 e part f part y = 2 y satildeocontiacutenuas a regiatildeo R do Teorema 121 pode ser

tomada como o plano xy Use a famiacutelia de solu-ccedilotildees do item (a) para encontrar uma soluccedilatildeo ex-pliacutecita do problema de valor inicial de primeiraordem yprime

= 1 + y2 y(0) = 0 Mesmo estando x0 = 0 no intervalo minus2 lt x lt 2 explique porque a soluccedilatildeo natildeo estaacute definida nesse intervalo

c) Determine o maior intervalo I de definiccedilatildeoda soluccedilatildeo do problema de valor inicial doitem (b)

31 a) Verifique que y = minus1( x + c) eacute uma famiacutelia a

um paracircmetro de soluccedilotildees da equaccedilatildeo diferen-cial yprime = y2

b) Uma vez que f ( x y) = y2 e part f part y = 2 y satildeo con-tiacutenuas a regiatildeo R no Teorema 121 pode ser to-mada como todo o plano xy Ache uma soluccedilatildeoda famiacutelia no item (a) que satisfaccedila y(0) = 1Entatildeo ache uma soluccedilatildeo da famiacutelia no item (a)que satisfaccedila y(0) = minus1 Determine o maior in-tervalo I de definiccedilatildeo da soluccedilatildeo de cada pro-blema de valor inicial

c) Determine o maior intervalo I de definiccedilatildeo para

o problema de valor inicial yprime = y2 y(0) = 0

32 a) Mostre que uma soluccedilatildeo da famiacutelia na parte (a)do Problema 31 que satisfaz yprime

= y2 y(1) = 1 eacute y = 1(2 minus x)

b) Mostre que uma soluccedilatildeo da famiacutelia na parte (a)do Problema 31 que satisfaz yprime

= y2 y(3) = minus1eacute y = 1(2 minus x)

c) As soluccedilotildees das partes (a) e (b) satildeo as mesmas

33 a) Verifique que 3 x2

minus y2

= c eacute uma famiacutelia de so-

luccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial y dydx = 3 x

b) Esboce agrave matildeo o graacutefico da soluccedilatildeo impliacutecita de3 x2 minus y2

= 3 Ache todas as soluccedilotildees expliacutecitas y = φ( x) da ED do item (a) definidas por essarelaccedilatildeo Decirc o intervalo I de definiccedilatildeo de cadasoluccedilatildeo expliacutecita

c) O ponto (minus2 3) estaacute sobre o graacutefico de 3 x2 minus y2

= 3 mas qual das soluccedilotildees expliacutecitas no item(b) satisfaz y(minus2) = 3

34 a) Use a famiacutelia de soluccedilotildees do item (a) do Pro-blema 33 para encontrar uma soluccedilatildeo impliacutecitado problema de valor inicial y dydx = 3 x y(2) = minus4 Entatildeo esboce agrave matildeo o graacutefico da so-luccedilatildeo expliacutecita desse problema e decirc o seu inter-valo I de definiccedilatildeo

b) Existe alguma soluccedilatildeo expliacutecita de y dydx =

3 x que passe pela origem

Nos problemas 35-38 o graacutefico de um membro da famiacute-lia de soluccedilotildees de uma equaccedilatildeo diferencial de segundaordem d 2 ydx2

= f ( x y yprime) eacute dada Encontre a curvaintegral com pelo menos um par das condiccedilotildees iniciaisindicadas

a) y(1) = 1 yprime(1) = minus2

b) y(minus1) = 0 yprime(minus1) = minus4

c) y(1) = 1 yprime(1) = 2

d) y(0) = minus1 yprime(0) = 2

e) y(0) = minus1 yprime(0) = 0

f) y(0) = 4 yprime(0) = minus2

35


36





37


38


Nos Problemas 39-44 y = c1 cos 2 x + c2 sen2 x eacute umafamiacutelia de soluccedilotildees com dois paracircmetros da ED de se-gunda ordem yprimeprime

+ 4 y = 0 Se possiacutevel encontre uma so-luccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial que satisfaccedila as condiccedilotildeesde contorno dadas As condiccedilotildees especificadas em doispontos distintos satildeo chamadas condiccedilotildees de contorno

39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0

41 yprime(0) = 0 yprime(π6) = 0

42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2

44 yprime(π2) = 1 yprime(π) = 0


Nos problemas 45 e 46 use o Problema 51 no Exerciacutecio11 e (2) e (3) desta seccedilatildeo

45 Encontre uma soluccedilatildeo para a funccedilatildeo y = f ( x) paraa qual o graacutefico em cada ponto ( x y) tenha a incli-naccedilatildeo dada por 8e2 x

+ 6 x e tenha a intersecccedilatildeo em y (0 9)

46 Encontre uma funccedilatildeo y = f ( x) para a qual a se-gunda derivada seja yprimeprime

= 12 x minus 2 em cada ponto( x y) em seu graacutefico e y =

minus x + 5 seja tangente ao

graacutefico no ponto correspondente a x = 1

47 Considere o problema de valor inicial yprime = x minus 2 y

y(0) = 12

Determine qual das duas curvas mostra-das na Figura 1211 eacute a uacutenica curva integral plausiacute-vel Explique o seu raciociacutenio


48 Determine um valor plausiacutevel de x0 para o qual ograacutefico da soluccedilatildeo do problema de valor inicial yprime

+

2 y = 3 x minus 6 y( x0) = 0 seja tangente ao eixo x em( x0 0) Explique seu raciociacutenio

49 Suponha que a equaccedilatildeo diferencial de primeiraordem dydx = f ( x y) tenha uma famiacutelia a umparacircmetro de soluccedilotildees e que f ( x y) satisfaccedila as hi-poacuteteses do Teorema 121 em alguma regiatildeo retan-gular R do plano xy Discuta por que duas curvasintegrais diferentes natildeo podem se interceptar ou sertangentes uma agrave outra em um ponto ( x0 y0) em R

50 As funccedilotildees

y( x) =1

16 x4 minusinfin lt x lt infin e

y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0

possuem o mesmo domiacutenio mas satildeo claramentediferentes Veja as figuras 1212(a) e 1212(b)respectivamente Mostre que ambas as funccedilotildees satildeosoluccedilotildees do problema de valor inicial dydx =

xy12 y(2) = 1 no intervalo (

minusinfin

infin) Resolva a apa-

rente contradiccedilatildeo entre esse fato e a uacuteltima sentenccedilano Exemplo 5

FIGURA 1212 Duas soluccedilotildees do PVI no Problema 50




MODELO MATEMAacuteTICO

51 Crescimento populacional Iniciando na proacuteximaseccedilatildeo veremos que equaccedilotildees diferenciais podemser usadas para descrever ou modelar diversossistemas fiacutesicos Neste problema supomos que omodelo de crescimento populacional para uma pe-

quena comunidade eacute dado pelo problema de valorinicial

dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100

onde P eacute o nuacutemero de indiviacuteduos na comunidadeno instante t medido em anos Qual eacute a taxa decrescimento da populaccedilatildeo em t = 0 Qual a taxade crescimento quando a populaccedilatildeo atinge 500indiviacuteduos

13 EQUACcedilOtildeES DIFERENCIAIS COMO MODELOS MATEMAacuteTICOS

IMPORTANTE REVISAR

bull Unidades de medida para peso massa e densidadebull Segunda lei de Newtonbull Lei de Hooke

bull Leis de Kirchhoff bull Princiacutepio de Arquimedes

INTRODUCcedilAtildeONesta seccedilatildeo introduzimos a noccedilatildeo de equaccedilotildees diferenciais como um modelo matemaacutetico e discutimos algunsmodelos especiacuteficos em biologia quiacutemica e fiacutesica Uma vez estudados alguns meacutetodos de resoluccedilatildeo de EDs noscapiacutetulos 2 e 4 retornaremos e resolveremos alguns destes modelos nos capiacutetulos 3 e 5

MODELOS MATEMAacuteTICOS

Eacute frequentemente desejaacutevel descrever o comportamento de algum sistema ou fenocircmeno da vida real em termos

matemaacuteticos quer sejam eles fiacutesicos socioloacutegicos ou mesmo econocircmicos A descriccedilatildeo matemaacutetica de um sistemaou fenocircmeno chamada de modelo matemaacutetico eacute construiacuteda levando-se em consideraccedilatildeo determinadas metas Porexemplo talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo docrescimento de populaccedilotildees de animais nesse sistema ou datar foacutesseis por meio da anaacutelise do decaimento radioativode uma substacircncia que esteja no foacutessil ou no estrato no qual foi descoberto

A construccedilatildeo de um modelo matemaacutetico de um sistema comeccedila com

(i) a identificaccedilatildeo das variaacuteveis responsaacuteveis pela variaccedilatildeo do sistema Podemos a princiacutepio optar por natildeoincorporar todas essas variaacuteveis no modelo Nessa etapa estamos especificando o niacutevel de resoluccedilatildeo do modelo

A seguir

(ii) elaboramos um conjunto de hipoacuteteses razoaacuteveis ou pressuposiccedilotildees sobre o sistema que estamos tentandodescrever Essas hipoacuteteses deveratildeo incluir tambeacutem quaisquer leis empiacutericas aplicaacuteveis ao sistema

Para alguns propoacutesitos pode ser perfeitamente razoaacutevel nos contentarmos com um modelo de baixa resoluccedilatildeo Porexemplo vocecirc provavelmente jaacute sabe que nos cursos baacutesicos de Fiacutesica a forccedila retardadora do atrito com o ar eacute agravesvezes ignorada na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfiacutecie da Terra mas sevocecirc for um cientista cujo trabalho eacute predizer precisamente o percurso de um projeacutetil de longo alcance teraacute de levarem conta a resistecircncia do ar e outros fatores como a curvatura da Terra

Como as hipoacuteteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variaccedilatildeo de uma ou mais variaacuteveisa descriccedilatildeo matemaacutetica de todas essas hipoacuteteses pode ser uma ou mais equaccedilotildees envolvendo derivadas Em outraspalavras o modelo matemaacutetico pode ser uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais

Depois de formular um modelo matemaacutetico que eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciaisestaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvecirc-lo Se pudermos resolvecirc-lo julgaremoso modelo razoaacutevel se suas soluccedilotildees forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o

comportamento do sistema Poreacutem se as prediccedilotildees obtidas pela soluccedilatildeo forem pobres poderemos elevar o niacutevel de




resoluccedilatildeo do modelo ou levantar hipoacuteteses alternativas sobre o mecanismo de mudanccedila no sistema As etapas doprocesso de modelagem satildeo entatildeo repetidas conforme disposto no diagrama da Figura 131

FIGURA 131 Etapas no processo de modelagem com equaccedilotildees diferenciais

Naturalmente aumentando a resoluccedilatildeo aumentaremos a complexidade do modelo matemaacutetico e assim a probabi-lidade de natildeo conseguirmos obter uma soluccedilatildeo expliacutecita

Um modelo matemaacutetico de um sistema fiacutesico frequentemente envolve a variaacutevel tempo t Uma soluccedilatildeo do modelo

oferece entatildeo o estado do sistema em outras palavras os valores da variaacutevel (ou variaacuteveis) para valores apropriadosde t descrevem o sistema no passado presente e futuro

DINAcircMICA POPULACIONALUma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio da matemaacutetica foifeita pelo economista inglecircs Thomas Malthus em 1798 Basicamente a ideia por traacutes do modelo malthusiano eacute ahipoacutetese de que a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo de um paiacutes cresce em um determinado instante eacute proporcionaldagger

agrave populaccedilatildeo total do paiacutes naquele instante Em outras palavras quanto mais pessoas houver em um instante t maispessoas existiratildeo no futuro Em termos matemaacuteticos se P(t ) for a populaccedilatildeo total no instante t entatildeo essa hipoacutetesepode ser expressa por

dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)

onde k eacute uma constante de proporcionalidade Esse modelo simples embora natildeo leve em conta muitos fatores quepodem influenciar a populaccedilatildeo humana tanto em seu crescimento quanto em seu decliacutenio (imigraccedilatildeo e emigraccedilatildeopor exemplo) natildeo obstante mostrou-se razoavelmente preciso na previsatildeo da populaccedilatildeo dos Estados Unidos entre osanos de 1790 e 1860 As populaccedilotildees que crescem agrave taxa descrita por (1) satildeo raras entretanto (1) eacute ainda usada paramodelar o crescimento de pequenas populaccedilotildees em um curto intervalo de tempo (crescimento de bacteacuterias em umaplaca de Petri por exemplo)

DECAIMENTO RADIOATIVOO nuacutecleo de um aacutetomo consiste em combinaccedilotildees de proacutetons e necircutrons Muitas dessas combinaccedilotildees satildeo instaacuteveis ndash istoeacute os aacutetomos decaem ou transmutam em aacutetomos de outra substacircncia Esses nuacutecleos satildeo chamados de radioativos Porexemplo ao longo do tempo o altamente radioativo elemento raacutedio Ra-226 transmuta-se no gaacutes radocircnio radioativoRn-222 Para modelar o fenocircmeno de decaimento radioativo supotildee-se que a taxa de d Adt segundo a qual o nuacutecleode uma substacircncia decai eacute proporcional agrave quantidade (mais precisamente ao nuacutemero de nuacutecleos) A(t ) de substacircnciaremanescente no instante t

dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)

Naturalmente as equaccedilotildees (1) e (2) satildeo exatamente iguais a diferenccedila reside apenas na interpretaccedilatildeo dos siacutembolose nas constantes de proporcionalidade Para o crescimento conforme esperamos em (1) k gt 0 e para o decaimentocomo em (2) k lt 0

O modelo (1) para o crescimento tambeacutem pode ser visto como a equaccedilatildeo dS dt = rS que descreve o crescimentodo capital S quando uma taxa anual de juros r eacute composta continuamente O modelo (2) para o decaimento tambeacutemocorre em aplicaccedilotildees bioloacutegicas como a determinaccedilatildeo da meia-vida de uma droga ndash o tempo necessaacuterio para que

dagger Se duas quantidades u e v forem proporcionais escrevemos u prop v Isso significa que uma quantidade eacute um muacuteltiplo constante da outra u = kv




50 de uma droga seja eliminada de um corpo por excreccedilatildeo ou metabolismo Em quiacutemica o modelo de decaimento(2) aparece na descriccedilatildeo matemaacutetica de uma reaccedilatildeo quiacutemica de primeira ordem A questatildeo eacute que

Uma uacutenica equaccedilatildeo diferencial pode servir como um modelo matemaacutetico para vaacuterios fenocircmenos diferentes

Modelos matemaacuteticos satildeo frequentemente acompanhados por determinadas condiccedilotildees laterais Por exemplo em(1) e (2) esperariacuteamos conhecer por sua vez a populaccedilatildeo inicial P0 e a quantidade inicial da substacircncia radioativa A0Se considerarmos t = 0 como instante inicial saberemos que P(0) = P0 e A(0) = A0 Em outras palavras um modelo

matemaacutetico pode consistir ou em um problema de valor inicial ou como veremos posteriormente na Seccedilatildeo 52 emum problema de contorno

LEI DE NEWTON DO ESFRIAMENTOAQUECIMENTODe acordo com a lei empiacuterica de Newton do esfriamentoaquecimento a taxa segundo a qual a temperatura de umcorpo varia eacute proporcional agrave diferenccedila entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia denominadatemperatura ambiente Se T (t ) representar a temperatura de um corpo no instante t T m a temperatura do meio que orodeia e d T dt a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia a lei de Newton do esfriamentoaquecimento eacuteconvertida na sentenccedila matemaacutetica

dT

dt prop T minus T m ou

dT

dt = k (T minus T m) (3)

onde k eacute uma constante de proporcionalidade Em ambos os casos esfriamento ou aquecimento se T m for umaconstante eacute loacutegico que k lt 0

DISSEMINACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilAUma doenccedila contagiosa ndash por exemplo o viacuterus de gripe ndash espalha-se em uma comunidade por meio do contatoentre as pessoas Seja x(t ) o nuacutemero de pessoas que contraiacuteram a doenccedila e y(t ) o nuacutemero de pessoas que aindanatildeo foram expostas Eacute razoaacutevel supor que a taxa dxdt segundo a qual a doenccedila se espalha seja proporcional aonuacutemero de encontros ou interaccedilotildees entre esses dois grupos de pessoas Se supusermos que o nuacutemero de interaccedilotildees eacuteconjuntamente proporcional a x(t ) e a y(t ) ndash isto eacute proporcional ao produto xy ndash entatildeo

dx

dt = k xy (4)

onde k eacute a constante de proporcionalidade usual Suponha que uma pequena comunidade tenha uma populaccedilatildeo fixade n pessoas Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade pode-se argumentar que x(t ) e y(t ) estatildeorelacionados por x + y = n + 1 Usando essa uacuteltima equaccedilatildeo para eliminar y em (4) obtemos o modelo

dx

dt = k x(n + 1 minus x) (5)

Uma condiccedilatildeo inicial oacutebvia que acompanha a equaccedilatildeo (5) eacute x(0) = 1

REACcedilOtildeES QUIacuteMICASA desintegraccedilatildeo de uma substacircncia radioativa governada pela equaccedilatildeo diferencial (1) eacute chamada de reaccedilatildeo de

primeira ordem Em quiacutemica algumas reaccedilotildees seguem essa mesma lei empiacuterica se as moleacuteculas da substacircncia A

decompuserem-se em moleacuteculas menores eacute natural a hipoacutetese de que a taxa segundo a qual essa decomposiccedilatildeo se daacuteeacute proporcional agrave quantidade da primeira substacircncia ainda natildeo convertida isto eacute se X (t ) for a quantidade de substacircncia A remanescente em qualquer instante dX dt = kX onde k eacute uma constante negativa jaacute que X eacute decrescente Umexemplo de reaccedilatildeo quiacutemica de primeira ordem eacute a conversatildeo de t -cloreto butiacutelico (CH 3)3CCl em t -aacutelcool butiacutelico(CH 3)3COH

(CH 3)3CCl + NaOH rarr (CH 3)3COH + NaCl

Somente a concentraccedilatildeo do t -cloreto butiacutelico controla a taxa de reaccedilatildeo Mas na reaccedilatildeo

CH 3Cl + NaOH rarr CH 3OH + NaCl

uma moleacutecula de hidroacutexido de soacutedio NaOH eacute consumida para cada moleacutecula de cloreto metiacutelico CH 3Cl formandoassim uma moleacutecula de aacutelcool metiacutelico CH 3OH e uma moleacutecula de cloreto de soacutedio NaCl Nesse caso a taxa

segundo a qual a reaccedilatildeo se processa eacute proporcional ao produto das concentraccedilotildees remanescentes de C H 3Cl e NaOH




Para descrever essa segunda reaccedilatildeo em geral vamos supor que uma moleacutecula de uma substacircncia A combine-se comuma moleacutecula de uma substacircncia B para formar uma moleacutecula de uma substacircncia C Se denotarmos por X a quantidadede substacircncia C formada no intervalo de tempo t e se α e β representarem por sua vez a quantidade das substacircncias A e B em t = 0 (a quantidade inicial) as quantidades instantacircneas de A e B que natildeo foram convertidas em C seratildeoα minus X e β minus X respectivamente Assim a taxa de formaccedilatildeo de C eacute dada por

dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)

onde k eacute uma constante de proporcionalidade Uma reaccedilatildeo cujo modelo eacute a equaccedilatildeo (6) eacute chamada de reaccedilatildeo de

segunda ordem

FIGURA 132 Misturador

MISTURASA mistura de duas soluccedilotildees salinas com concentraccedilotildees diferentes daacute origem a uma equaccedilatildeo diferencial de primeiraordem para a quantidade de sal contida na mistura Vamos supor que um grande tanque de mistura contenha 300

galotildees de salmoura (isto eacute aacutegua na qual foi dissolvida uma determinada quantidadede libras de sal) Uma outra salmoura eacute bombeada para dentro do tanque a uma taxa detrecircs galotildees por minuto a concentraccedilatildeo de sal nessa segunda salmoura eacute de 2 libraspor galatildeo Quando a soluccedilatildeo no tanque estiver bem misturada ela seraacute bombeadapara fora agrave mesma taxa em que a segunda salmoura entrar Veja a Figura 132 Se A(t ) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t a taxasegundo a qual A(t ) varia seraacute uma taxa liacutequida

dA

dt = (taxa de entrada de sal) minus (taxa de saiacuteda de sal) = Re minus Rs (7)

A taxa de entrada Re do sal no tanque eacute produto da concentraccedilatildeo de sal no fluxode entrada de fluido Perceba que Re eacute medido em libras por minuto

taxa de entradade salmoura

concentraccedilatildeode sal no fluxo

de entrada

taxa deentradade sal

Re = (3 galmin) middot

(2 lbgal) = 6 lbmin

Uma vez que a soluccedilatildeo estaacute sendo bombeada para fora e para dentro do tanque agrave mesma taxa o nuacutemero de galotildeesde salmoura no tanque no instante t eacute constante e igual a 300 galotildees Assim a concentraccedilatildeo de sal no tanque assimcomo no fluxo de saiacuteda eacute de A(t )300 lbgal e a taxa de saiacuteda de sal RS eacute

taxa de saiacutedade salmoura


de saiacuteda

taxa desaiacutedade sal

RS = (3 galmin) middot ( A(t )

300 lbgal) = A(t )

100 lbmin

A variaccedilatildeo liquiacuteda (7) torna-se entatildeo

dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)

Se r e e r s denotam as taxas de entrada e saiacuteda das soluccedilotildees salinasDagger entatildeo existem trecircs possibilidades r e = r sr e gt r s e r e lt r s Na anaacutelise que leva a (8) supomos que r e = r s Nestes uacuteltimos dois casos o nuacutemero de galotildees desoluccedilatildeo salina no tanque eacute ou crescente (r e gt r s) ou decrescente (r e lt r s) com a taxa liacutequida r e minus r s Veja os problemas10-12 nos Exerciacutecios 13

DRENANDO UM TANQUEEm hidrodinacircmica a lei de Torricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de aacutegua em um buraco com bordas nabase de um tanque cheio ateacute a uma altura h eacute igual agrave velocidade que um corpo (no caso uma gota drsquoaacutegua) adquiririaem queda livre de uma altura h ndash isto eacute v =

2gh onde g eacute a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade Essa uacuteltima expressatildeo

Dagger Natildeo confunda estes siacutembolos com Re e R s que satildeo as taxas de entrada e saiacuteda do sal




FIGURA 133Tanque de dreno

origina-se de igualar a energia cineacutetica 12

mv2 com a energia potencial mgh e resolver para vSuponha que um tanque cheio drsquoaacutegua seja drenado por meio de um buraco sob a influecircncia dagravidade Gostariacuteamos de encontrar a altura h de aacutegua remanescente no tanque no instante t Considere o tanque mostrado na Figura 133 Se a aacuterea do buraco for Ah (em peacutes quadrados) ea velocidade de saiacuteda da aacutegua do tanque for v =

2gh (em peacutess) o volume de saiacuteda de aacutegua

do tanque por segundo eacute Ah

2gh (em peacutes cuacutebicoss) Assim se V (t ) denotar o volume de aacutegua no

tanque no instante t dV

dt = minus Ah

2gh (9)

onde o sinal de subtraccedilatildeo indica que V estaacute decrescendo Observe aqui que estamos ignorandoa possibilidade de atrito no buraco que possa causar uma reduccedilatildeo na taxa de fluxo Agora seo tanque for tal que o volume de aacutegua em qualquer instante t possa ser escrito como V (t ) = Awh onde Aw (empeacutes quadrados) eacute a aacuterea constante da superfiacutecie superior de aacutegua (veja a Figura 133) entatildeo dV dt = Awdhdt Substituindo essa uacuteltima expressatildeo em (9) obtemos a equaccedilatildeo diferencial desejada para a altura de aacutegua no instante t

FIGURA 134 Siacutembolosunidades e tensotildeesCorrente i(t ) e carga q(t )

satildeo medidas em amperes(A) e coulombs (C)

respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)

Eacute interessante notar que (10) permanece vaacutelida mesmo quando Aw natildeo for constanteNesse caso devemos expressar a superfiacutecie superior da aacutegua como uma funccedilatildeo de h ndashisto eacute Aw = A(h) Veja o Problema 14 nos Exerciacutecios 13

CIRCUITO EM SEacuteRIE

Considere o circuito em seacuterie de malha simples mostrado na Figura 134(a) contendoum indutor resistor e capacitor A corrente no circuito depois que a chave eacute fechada eacutedenotada por i(t ) a carga em um capacitor no instante t eacute denotada por q(t ) As letras L C e R satildeo conhecidas como indutacircncia capacitacircncia e resistecircncia respectivamente eem geral satildeo constantes Agora de acordo com a segunda lei de Kirchhoff a voltagemaplicada E (t ) em uma malha fechada deve ser igual agrave soma das quedas de voltagem namalha A Figura 134(b) mostra os siacutembolos e as foacutermulas para a respectiva queda de

voltagem em um indutor um capacitor e um resistor Uma vez que a corrente i(t ) estaacuterelacionada com a carga q(t ) no capacitor por i = dqdt adicionando-se as trecircs quedasde voltagem

indutor resistor capacitor

L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q

e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas obteacutem-se uma equaccedilatildeo diferencial desegunda ordem

Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)

Examinaremos detalhadamente uma equaccedilatildeo diferencial anaacuteloga a (11) na Seccedilatildeo 51

CORPOS EM QUEDA

Para construir um modelo matemaacutetico do movimento de um corpo em um campo de forccedilaem geral iniciamos com as leis de movimento formuladas pelo matemaacutetico inglecircs Isaac

Newton (1643-1727) Relembre da fiacutesica elementar que a primeira lei de movimento

de Newton diz que um corpo iraacute permanecer em repouso ou continuaraacute a se mover comvelocidade constante a natildeo ser que sofra a accedilatildeo de uma forccedila externa Neste caso issoequivale a dizer que quando a soma das forccedilas F =

F k ndash isto eacute a forccedila liacutequida ou

resultante ndash agindo no corpo eacute zero entatildeo a aceleraccedilatildeo a do corpo eacute zero A segunda

lei do movimento de Newton indica que quando a forccedila liacutequida que age sobre o corpofor diferente de zero essa forccedila liacutequida seraacute proporcional agrave sua aceleraccedilatildeo a ou mais

precisamente F = ma onde m eacute a massa do corpo




FIGURA 135 Posiccedilatildeo da pedramedida a partir do niacutevel do chatildeo

Suponha agora que uma pedra seja jogada para cima do topo de um preacutedio conforme ilustrado na Figura 135Qual eacute a posiccedilatildeo s(t ) da pedra em relaccedilatildeo ao chatildeo no instante t A aceleraccedilatildeo da pedra eacute a derivada segunda d 2sdt 2

Se assumirmos como positiva a direccedilatildeo para cima e que nenhuma outra forccedilaaleacutem da gravidade age sobre a pedra obteremos a segunda lei de Newton

md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)

Em outras palavras a forccedila liacutequida eacute simplesmente o peso F = F 1 = minusW da pedra proacuteximo agrave superfiacutecie da Terra Lembre-se de que a magnitude do pesoeacute W = mg onde m eacute a massa do corpo e g eacute a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidadeO sinal de subtraccedilatildeo foi usado em (12) pois o peso da pedra eacute uma forccediladirigida para baixo oposta agrave direccedilatildeo positiva Se a altura do preacutedio eacute s0 e avelocidade inicial da pedra eacute v0 entatildeo s eacute determinada com base no problemade valor inicial de segunda ordem

d 2s

dt 2 = minusg s(0) = s0 sprime(0) = v0 (13)

FIGURA 136 Corpo emqueda com massa m

Embora natildeo estejamos enfatizando a resoluccedilatildeo das equaccedilotildees obtidas observe que (13) pode ser resolvidaintegrando-se a constante

minusg duas vezes em relaccedilatildeo a t As condiccedilotildees iniciais determinam as duas constantes

de integraccedilatildeo Vocecirc poderaacute reconhecer a soluccedilatildeo de (13) da fiacutesica elementar como a foacutermula s(t ) = minus12

gt 2 + v0t + s0

CORPOS EM QUEDA E RESISTEcircNCIA DO ARAntes do famoso experimento do matemaacutetico e fiacutesico italiano Galileu Galilei (1564-1642) na torre inclinada de Pisaera amplamente aceito que objetos pesados em queda livre como uma bala de canhatildeo caiacutea com maior aceleraccedilatildeo queobjetos leves como uma pena Obviamente uma bala de canhatildeo e uma pena quando soltas simultaneamente de umamesma altura iratildeo cair em diferentes velocidades mas natildeo porque uma bala de canhatildeo eacute mais pesada A diferenccedila

nas velocidades eacute devida agrave resistecircncia do ar A forccedila de resistecircncia do ar foi ignorada nomodelo dado em (13) Sob algumas circunstacircncias um corpo em queda com massa mcomo uma pena com baixa densidade e formato irregular encontra uma resistecircncia do arproporcional agrave sua velocidade instantacircnea v Se nessas circunstacircncias tomarmos a direccedilatildeo

positiva como orientada para baixo a forccedila liacutequida que age sobre a massa seraacute dada porF = F 1+F 2 = mg minuskv onde o peso F 1 = mg do corpo eacute a forccedila que age na direccedilatildeo positivae a resistecircncia do ar F 2 = minuskv eacute uma forccedila chamada amortecimento viscoso que age nadireccedilatildeo oposta ou para cima Veja a Figura 136 Agora como v estaacute relacionado com aaceleraccedilatildeo a atraveacutes de a = dvdt a segunda lei de Newton torna-se F = ma = mdvdt Substituindo a forccedila liacutequida nessa forma da segunda lei de Newton obtemos a equaccedilatildeodiferencial de primeira ordem para a velocidade v(t ) do corpo no instante t

FIGURA 137 Cabos suspensos

entre suportes verticais

mdv

dt = mg minus kv (14)

Aqui k eacute uma constante de proporcionalidade positiva Se s(t ) for a distacircnciado corpo em queda no instante t a partir do ponto inicial entatildeo v = dsdt ea = dvdt = d 2sdt 2 Em termos de s (14) eacute uma equaccedilatildeo diferencial de segundaordem

md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)

CABOS SUSPENSOSSuponha um cabo flexiacutevel fio ou corda grossa suspenso entre dois suportesverticais Exemplos reais desta situaccedilatildeo podem ser um dos cabos de suporte deuma ponte suspensa como na Figura 137(a) ou um longo cabo de telefoniaancorado entre dois postes como na Figura 137(b) Nosso objetivo eacute construirum modelo matemaacutetico que descreva a forma assumida pelo cabo fio ou corda

nas condiccedilotildees citadas




FIGURA 138 Elemento do cabo

Para comeccedilar vamos examinar somente uma parte ou elemento do cabo entre o ponto mais baixo P1 e umponto arbitraacuterio P2 Como indicado na Figura 138 este elemento do cabo eacute a curva em um sistema de coordenadasretangular com o eixo y escolhido de forma a passar pelo ponto mais baixo P1 na curva e o eixo x escolhido a unidadesabaixo dos pontos P1 e P2 Seja T 1 = |T1| T 2 = |T2| e W = |W| a magnitude destes trecircs vetores Agora a tensatildeoT2 pode ser solucionada em termos de um componente vertical e um horizontal(quantidades escalares) T 2 cos θ e T 2 sen θ

Por conta do equiliacutebrio estaacutetico podemos escrever

T 1 = T 2 cos θ e W = T 2 sen θ

Dividindo a uacuteltima equaccedilatildeo pela primeira eliminamos T 2 e obtemos tg θ = W T 1No entanto como dydx = tg θ determinamos que

dy

dx=

W

T 1 (16)

Esta equaccedilatildeo diferencial de primeira ordem simples serve como modelo tanto para a forma de um cabo flexiacutevelcomo um cabo telefocircnico pendurado sobre seu proacuteprio peso quanto para os cabos que suportam as pistas de umaponte pecircnsil Voltaremos agrave equaccedilatildeo (16) nos Exerciacutecios 22 e na Seccedilatildeo 53

O QUE VEM PELA FRENTE

Ao longo deste texto vocecirc veraacute trecircs tipos diferentes de abordagem ou anaacutelise das equaccedilotildees diferenciais Por seacuteculosas equaccedilotildees diferenciais tecircm em geral se originado dos esforccedilos de um cientista ou engenheiro para descrever algumfenocircmeno fiacutesico ou para traduzir uma lei empiacuterica ou experimental em termos matemaacuteticos Consequentementecientistas engenheiros e matemaacuteticos muitas vezes gastam muitos anos da proacutepria vida tentando encontrar as soluccedilotildeesde uma ED Com a soluccedilatildeo em matildeos segue -se entatildeo o estudo de suas propriedades Esse tipo de estudo sobresoluccedilotildees eacute chamado de abordagem analiacutetica das equaccedilotildees diferenciais Assim que compreenderam que soluccedilotildeesexpliacutecitas satildeo na melhor das hipoacuteteses difiacuteceis e na pior impossiacuteveis de obter os matemaacuteticos entenderam quea proacutepria equaccedilatildeo diferencial poderia ser uma fonte valiosa de informaccedilotildees Eacute possiacutevel em alguns casos obterdiretamente da equaccedilatildeo diferencial respostas para perguntas como de fato haacute uma soluccedilatildeo para a ED Se houver

uma que satisfaccedila uma condiccedilatildeo inicial ela seraacute a uacutenica soluccedilatildeo Quais satildeo algumas das propriedades das soluccedilotildeesdesconhecidas O que pode ser dito acerca da geometria das curvas integrais Essa abordagem eacute chamada anaacutelise

qualitativa Finalmente se uma equaccedilatildeo diferencial natildeo puder ser resolvida por meacutetodos analiacuteticos ainda queprovada a existecircncia de soluccedilatildeo a indagaccedilatildeo loacutegica seguinte seraacute podemos de alguma forma aproximar os valoresde uma soluccedilatildeo desconhecida Agora entramos nos domiacutenios da anaacutelise numeacuterica Uma resposta afirmativa para auacuteltima questatildeo origina-se do fato de uma equaccedilatildeo diferencial poder ser usada como fundamento para a construccedilatildeo dealgoritmos muito precisos de aproximaccedilatildeo No Capiacutetulo 2 comeccedilamos com consideraccedilotildees qualitativas das EDOs de

FIGURA 139 Diferentes abordagens ao estudo das equaccedilotildees diferenciais




primeira ordem entatildeo examinamos os estratagemas analiacuteticos para a resoluccedilatildeo de alguns tipos especiais de equaccedilatildeode primeira ordem e concluiacutemos com uma introduccedilatildeo a um meacutetodo numeacuterico elementar Veja a Figura 139


Todos os exemplos nesta seccedilatildeo descreveram um sistema dinacircmico ndash um sistema que varia ou evolui ao longo

do tempo t Tendo em vista que o estudo de sistemas dinacircmicos eacute um ramo em voga na matemaacutetica atualmencionaremos ocasionalmente a terminologia desse ramo na discussatildeo em pautaEm termos mais precisos um sistema dinacircmico consiste em um conjunto de variaacuteveis dependentes do tempo

chamadas de variaacuteveis de estado com uma regra que nos possibilita determinar (sem ambiguidade) o estadodo sistema (o qual pode ser um estado passado presente ou futuro) em termos de um estado prescrito em alguminstante t 0 Sistemas dinacircmicos satildeo classificados como sistemas discretos no tempo ou contiacutenuos no tempoNeste curso estamos interessados somente em sistemas dinacircmicos contiacutenuos no tempo ndash sistemas nos quaistodas as variaacuteveis estatildeo definidas em um intervalo contiacutenuo de tempo A regra ou o modelo matemaacutetico emum sistema dinacircmico contiacutenuo no tempo eacute uma equaccedilatildeo diferencial ou um sistema de equaccedilotildees diferenciais Oestado do sistema no instante t eacute o valor da variaacutevel de estado naquele instante o estado do sistema no instantet 0 eacute especificado pelas condiccedilotildees iniciais que acompanham o modelo matemaacutetico A soluccedilatildeo do problema devalor inicial eacute denominada resposta do sistema Por exemplo no caso da desintegraccedilatildeo radioativa a regra eacute

dAdt = k A Se a quantidade de substacircncia radioativa em algum instante t 0 for conhecida digamos A(t 0) = A0entatildeo resolvendo a equaccedilatildeo descobrimos que a resposta do sistema para t ge t 0 eacute A(t ) = A0e(t minust 0) (veja aSeccedilatildeo 31) A resposta A(t ) eacute a uacutenica variaacutevel de estado para esse sistema No caso da pedra jogada do topode um preacutedio a resposta do sistema ndash a soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial d 2sdt 2 = minusg sujeita ao estado inicials(0) = s0 sprime(0) = v0 ndash eacute a funccedilatildeo s(t ) = minus 1

2gt 2 + v0t + s0 0 le t le T onde T representa o instante no qual

a pedra atinge o solo As variaacuteveis de estado satildeo s(t ) e sprime(t ) as quais satildeo respectivamente a posiccedilatildeo vertical dapedra acima do solo e a respectiva velocidade no instante t A aceleraccedilatildeo sprimeprime(t ) natildeo eacute uma variaacutevel de estado umavez que precisamos saber somente a posiccedilatildeo e a velocidade iniciais no instante t 0 para determinar unicamentea posiccedilatildeo da pedra s(t ) e a velocidade sprime(t ) = v(t ) em qualquer instante no intervalo t 0 le t le T A aceleraccedilatildeosprimeprime(t ) = a(t ) eacute naturalmente dada pela equaccedilatildeo diferencial sprimeprime(t ) = minusg 0 lt t lt T

Um uacuteltimo ponto nem todo sistema estudado neste texto eacute um sistema dinacircmico Vamos examinar tambeacutemalguns sistemas estaacuteticos nos quais o modelo eacute uma equaccedilatildeo diferencial

EXERCIacuteCIOS 13


livro

DINAcircMICA POPULACIONAL

1 Sob as mesmas hipoacuteteses subjacentes ao modelo em(1) determine a equaccedilatildeo diferencial que governa ocrescimento populacional P(t ) de um paiacutes quando osindiviacuteduos tecircm autorizaccedilatildeo para imigrar a uma taxaconstante r gt 0 Qual eacute a equaccedilatildeo diferencial quandoos indiviacuteduos tecircm autorizaccedilatildeo para emigrar a umataxa constante r gt 0

2 O modelo populacional dado em (1) natildeo leva emconta a mortalidade a taxa de crescimento eacute igualagrave taxa de natalidade Em um outro modelo de varia-ccedilatildeo populacional de uma comunidade supotildee-se que

a taxa segundo a qual a populaccedilatildeo varia eacute uma taxa

liacutequida ndash isto eacute a diferenccedila entre a taxa de natali-dade e a taxa de mortalidade na comunidade Deter-mine um modelo para uma equaccedilatildeo diferencial quegoverne a evoluccedilatildeo da populaccedilatildeo P(t ) se as taxas denatalidade e mortalidade forem proporcionais agrave po-

pulaccedilatildeo presente no instante t gt 0

3 Usando o conceito de taxa liacutequida introduzido noProblema 2 determine uma equaccedilatildeo diferencial quegoverne a evoluccedilatildeo da populaccedilatildeo P(t ) se a taxa denatalidade for proporcional agrave populaccedilatildeo presente noinstante t mas a de mortalidade for proporcional aoquadrado da populaccedilatildeo presente no instante t

4 Modifique o modelo do Problema 3 para a taxa liacute-quida com a qual a populaccedilatildeo P(t ) de um certo tipode peixe muda supondo que a sua pesca eacute feita a uma

taxa constante h gt 0




LEI DE NEWTON DO ESFRIAMENTOAQUECIMENTO

5 Uma xiacutecara de cafeacute esfria de acordo com a lei do es-friamento de Newton (3) Use os dados do graacuteficode temperatura T (t ) da Figura 1310 para estimaras constantes T m T 0 e k em um modelo da formade um problema de valor inicial de primeira ordem

dT dt =

k (T minus T m) T (0) =

T 0

FIGURA 1310 Curva de resfriamento do Problema 5

6 A temperatura ambiente T m em (3) pode ser umafunccedilatildeo do tempo t Suponha que em um ambienteartificialmente controlado T m(t ) eacute perioacutedica comuma fase de 24 horas conforme ilustrado na Figura1311 Construa um modelo matemaacutetico para a tem-peratura T (t ) de um corpo dentro desse ambiente

FIGURA 1311 Temperatura ambiente do Problema 6

PROPAGACcedilAtildeO DE UMA DOENCcedilA OU DE UMATECNOLOGIA

7 Suponha que um estudante portador de um viacuterus dagripe retorne para um campus universitaacuterio fechadocom mil estudantes Determine a equaccedilatildeo diferen-cial que descreve o nuacutemero de pessoas x(t ) que con-trairatildeo a gripe se a taxa segundo a qual a doenccedila seespalha for proporcional ao nuacutemero de interaccedilotildeesentre os estudantes gripados e os estudantes que

ainda natildeo foram expostos ao viacuterus

8 No momento t = 0 uma inovaccedilatildeo tecnoloacutegica eacute in-troduzida em uma comunidade com uma populaccedilatildeofixa de n indiviacuteduos Determine a equaccedilatildeo diferen-cial que descreve o nuacutemero de pessoas x(t ) que ado-taram a inovaccedilatildeo no instante t se for suposto que ataxa segundo a qual a inovaccedilatildeo se espalha na comu-nidade eacute conjuntamente proporcional ao nuacutemero de

pessoas que a adotaram e ao nuacutemero de pessoas quenatildeo a adotaram

MISTURAS

9 Suponha que um grande tanque para misturas con-tenha inicialmente 300 galotildees de aacutegua no qualforam dissolvidas 50 libras de sal Aacutegua pura eacutebombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3galmin e quando a soluccedilatildeo estaacute bem misturada elaeacute bombeada para fora segundo a mesma taxa De-termine uma equaccedilatildeo diferencial para a quantidade

de sal A(t ) no tanque no instante t gt 0 Qual eacute o A(0)

10 Suponha que um grande tanque para misturas con-tenha inicialmente 300 galotildees de aacutegua no qual fo-ram dissolvidas 50 libras de sal Uma outra solu-ccedilatildeo de sal eacute bombeada para dentro do tanque a umataxa de 3 galmin e entatildeo quando a soluccedilatildeo estaacutebem misturada eacute bombeada para fora a uma taxamenor de 2 galmin Se a concentraccedilatildeo da soluccedilatildeoque entra for de 2 lbgal determine uma equaccedilatildeodiferencial para a quantidade de sal A(t ) no tanque

no instante t gt 0

11 Qual eacute a equaccedilatildeo diferencial no Problema 10 sea soluccedilatildeo bem misturada eacute bombeada a uma taxamais raacutepida que 35 galmin

12 Generalize o modelo dado pela equaccedilatildeo (8) napaacutegina 23 supondo que o tanque grande conteacuteminicialmente N 0 galotildees de soluccedilatildeo salina r e e r s satildeoas taxas de entrada e saiacuteda respectivamente (medi-das em galotildees por minuto) ce eacute a concentraccedilatildeo desal no fluxo de entrada c(t ) eacute a concentraccedilatildeo de sal

no tanque assim como no fluxo de saiacuteda em um ins-tante t qualquer (medido em libras de sal por ga-latildeo) e A(t ) eacute a quantidade de sal no tanque em uminstante t gt 0 qualquer

DRENANDO UM TANQUE

13 Suponha que a aacutegua esteja saindo de um tanque porum buraco circular em sua base de aacuterea Ah Quandoa aacutegua vaza pelo buraco o atrito e a contraccedilatildeo dacorrente nas proximidades do buraco reduzem o vo-lume de aacutegua que estaacute vazando do tanque por se-

gundo para cAh 2gh onde c (0 lt c lt 1) eacute uma




constante empiacuterica Determine uma equaccedilatildeo dife-rencial para a altura h de aacutegua no instante t para umtanque cuacutebico como na Figura 1312 O raio doburaco eacute 2 pol e g = 32 peacutess2

FIGURA 1312 Tanque cuacutebico do Problema 13

14 Um tanque com formato de cone circular reto eacutemostrado na Figura 1313 Dele vaza aacutegua por umburaco circular na base Determine uma equaccedilatildeo di-ferencial para a altura h de aacutegua no instante t gt 0

O raio do buraco eacute 2 pol g = 32 peacutess2 e o fa-tor atritocontraccedilatildeo introduzido no Problema 13 eacutec = 06

FIGURA 1313 Tanque cocircnico do Problema 14

CIRCUITOS EM SEacuteRIE

15 Um circuito em seacuterie conteacutem um resistor e um in-dutor conforme a Figura 1314 Determine umaequaccedilatildeo diferencial para a corrente i(t ) se a resistecircn-cia for R a indutacircncia for L e a voltagem aplicadafor E (t )

FIGURA 1314 Circuito RL em seacuterie do Problema 15

16 Um circuito em seacuterie conteacutem um resistor e um ca-pacitor conforme a Figura 1315 Determine umaequaccedilatildeo diferencial para a carga q(t ) no capacitorse a resistecircncia for R a capacitacircncia for C e a volta-

gem aplicada for E (t )

FIGURA 1315 Circuito RC em seacuterie do Problema 16

CORPOS EM QUEDA E RESISTEcircNCIA DO AR

17 Para um movimento em alta velocidade no ar ndash talcomo o paraquedista mostrado na Figura 1316caindo antes de abrir o paraquedas ndash a resistecircnciado ar estaacute proacutexima de uma potecircncia da veloci-dade instantacircnea Determine uma equaccedilatildeo diferen-cial para a velocidade v(t ) de um corpo em quedacom massa m se a resistecircncia do ar for proporcio-nal ao quadrado de sua velocidade instantacircnea

FIGURA 1316 Resistecircncia do ar proporcional ao quadradoda velocidade do Problema 17

SEGUNDA LEI DE NEWTON E PRINCIacutePIO DEARQUIMEDES

18

FIGURA 1317 Movimento do barril flutuante doProblema 18

Um barril ciliacutendrico de s peacutes de diacircmetro e w li-bras de peso estaacute flutuando na aacutegua como mostradona Figura 1317(a) Depois de afundado o barrilmovimenta-se para cima e para baixo ao longo deuma reta vertical Usando a Figura 1317(b) de-termine uma equaccedilatildeo diferencial para o desloca-mento vertical y(t ) se a origem for tomada sobreo eixo vertical na superfiacutecie da aacutegua quando o bar-ril estiver em repouso Use o princiacutepio de Arqui-

medes todo corpo flutuando sofre a accedilatildeo de uma




forccedila da aacutegua sobre si mesmo que eacute igual ao pesoda aacutegua deslocada Suponha que o sentido seja po-sitivo para baixo a densidade da aacutegua seja de 624lbpeacutes3 e que natildeo haja resistecircncia entre o barril e aaacutegua

SEGUNDA LEI DE NEWTON E LEI DE HOOKE19 Depois que uma massa m eacute presa a uma mola essa

eacute estendida s unidades e entatildeo chega ao repousona posiccedilatildeo de equiliacutebrio como mostrada na Figura1318(b) Depois de colocada em movimento seja x(t ) a distacircncia do sistema massamola agrave posiccedilatildeode equiliacutebrio Como indicado na Figura 1318(c)suponha que o sentido para baixo seja positivo omovimento se decirc em uma reta vertical que passapelo centro de gravidade da massa e as uacutenicas for-ccedilas que agem sobre o sistema sejam o peso damassa e a forccedila restauradora da mola esticada Usea lei de Hooke a forccedila restauradora de uma mola eacuteproporcional agrave sua elongaccedilatildeo total Determine umaequaccedilatildeo diferencial para o deslocamento x(t ) noinstante t gt 0

FIGURA 1318 Sistema massamola do Problema 19

20 No Problema 19 qual eacute a equaccedilatildeo diferencial parao deslocamento x(t ) se o movimento tiver lugar emum meio que exerce sobre o sistema massamolauma forccedila amortecedora proporcional agrave velocidadeinstantacircnea da massa e age no sentido oposto ao domovimento

SEGUNDA LEI DE NEWTON E MOVIMENTO DE FO-GUETES

Quando a massa m de um corpo muda com o tempo asegunda lei de movimento de Newton fica

F =d

dt (mv) (1)

onde F eacute a forccedila liacutequida atuando no corpo e mv eacute seumomento Use (17) nos Problemas 21 e 22

21 Um pequeno foguete de um estaacutegio eacute lanccedilado ver-ticalmente como mostrado na Figura 1319 Uma

vez lanccedilado o foguete consome seu combustiacutevel e

assim sua massa total m(t ) varia com o tempo t gt 0Se assumirmos que a direccedilatildeo positiva eacute para cimaa resistecircncia do ar eacute proporcional agrave velocidade ins-tantacircnea v do foguete e R eacute um empurratildeo para cimaou forccedila gerada pelo sistema de propulsatildeo construaum modelo matemaacutetico para a velocidade v(t ) dofoguete [Sugestatildeo Veja (14) na seccedilatildeo 13]

FIGURA 1319 Foguete de um estaacutegio do Problema 21

22 No Problema 21 a massa m(t ) eacute a soma de trecircs di-ferentes massas m(t ) = m p +mv +m f (t ) onde m p eacutea massa constante de carga mv eacute a massa constantedo veiacuteculo e m f (t ) eacute a quantidade variaacutevel de com-

bustiacutevel

a) Mostre que a taxa com que a massa total m(t ) dofoguete muda eacute a mesma taxa com que a massam f (t ) do combustiacutevel muda

b) Se o foguete consome seu combustiacutevel numataxa constante λ ache m(t ) Entatildeo reescreva aequaccedilatildeo diferencial no Problema 21 em termosde λ e da massa inicial total m(0) = m0

c) Sob o pressuposto do item (b) mostre que otempo de queima t b gt 0 do foguete ou o

tempo na qual todo o combustiacutevel eacute consumidoeacute t b = m f (0)λ onde m f (0) eacute a massa inicial decombustiacutevel

SEGUNDA LEI DE NEWTON E LEI DA GRAVITACcedilAtildeOUNIVERSAL

23 Pela lei da gravitaccedilatildeo universal de Newton a ace-leraccedilatildeo de um corpo em queda livre tal como osateacutelite da Figura 1320 caindo de uma grande dis-tacircncia natildeo eacute a constante g Em vez disso a acelera-

ccedilatildeo a eacute inversamente proporcional ao quadrado da




distacircncia ao centro da Terra a = k r 2 onde k eacute aconstante de proporcionalidade Leve em conside-raccedilatildeo o fato de que na superfiacutecie da Terra r = R

e a = g determine k Supondo que o sentido posi-tivo seja para cima use a segunda lei de Newton esua lei da gravitaccedilatildeo universal para encontrar umaequaccedilatildeo diferencial para a distacircncia r

FIGURA 1320 Sateacutelite do Problema 2324 Suponha que um buraco tenha sido feito atraveacutes do

centro da Terra atravessando-a de ponta a ponta euma bola de boliche com massa m seja jogada noburaco conforme mostra a Figura 1321 Construaum modelo matemaacutetico que descreva o movimentoda bola Em um dado instante t seja r a distacircncia docentro da Terra ateacute a massa m M a massa da Terra M r a massa da parte da Terra dentro de uma esferade raio r e δ a densidade constante da Terra

FIGURA 1321 Orifiacutecio atraveacutes da Terra do Problema 24

MODELOS MATEMAacuteTICOS ADICIONAIS

25 Teoria de aprendizagem Na teoria de aprendiza-

gem supotildee-se que a taxa segundo a qual um as-sunto eacute memorizado eacute proporcional agrave quantidade aser memorizada Suponha que M denote a quanti-dade total de um assunto a ser memorizado e A(t )

a quantidade memorizada no instante t gt 0 De-termine uma equaccedilatildeo diferencial para a quantidade A(t )

26 Esquecimento No Problema 23 suponha que ataxa segundo a qual o assunto eacute esquecido sejaproporcional agrave quantidade memorizada no instantet gt 0 Determine uma equaccedilatildeo diferencial para A(t )

levando em conta o esquecimento

27 Injeccedilatildeo de um medicamento Uma droga eacute inje-tada na corrente sanguiacutenea de um paciente a umataxa constante de r gramas por segundo Simul-taneamente a droga eacute removida a uma taxa propor-cional agrave quantidade x(t ) de droga presente no ins-tante t Determine uma equaccedilatildeo diferencial que go-verne a quantidade x(t )

28 Tratriz Uma pessoa P comeccedilando na origemmove-se no sentido positivo do eixo x puxando umpeso ao longo da curva C chamada de tratriz con-forme mostra a Figura 1322 O peso inicialmentelocalizado sobre o eixo y em (0 s) eacute puxado poruma corda de comprimento constante s a qual eacutemantida esticada durante todo o movimento Deter-mine uma equaccedilatildeo diferencial da trajetoacuteria do pesoSuponha que a corda seja sempre tangente a C

FIGURA 1322 Curva tratriz do Problema 28

29 Superfiacutecie reflexiva Conforme ilustrado na Figura

1323 raios de luz atingem uma curva plana C de tal maneira que todos os raios L paralelos aoeixo x satildeo refletidos para um uacutenico ponto O (si-tuado na origem) Supondo que o acircngulo de inci-decircncia seja igual ao acircngulo de reflexatildeo determineuma equaccedilatildeo diferencial que descreva o formatoda curva C O formato da curva C eacute importantena construccedilatildeo de telescoacutepios antenas de sateacutelitesfaroacuteis de automoacuteveis coletores solares etc [Suges-

tatildeo Uma inspeccedilatildeo da Figura 1323 mostra quepodemos escrever φ = 2θ Por quecirc Use agora umaidentidade trigonomeacutetrica apropriada]

FIGURA 1323 Superfiacutecie reflexiva do Problema 29





30 Releia o Problema 41 nos Exerciacutecios 11 e decirc umasoluccedilatildeo expliacutecita P(t ) para a Equaccedilatildeo (1) Acheuma famiacutelia a um paracircmetro de soluccedilotildees de (1)

31 Releia a sentenccedila que se segue agrave Equaccedilatildeo (3) Su-pondo que T m seja uma constante positiva forneccedilaas razotildees de por que devemos esperar k lt 0 em(3) tanto no caso de esfriamento como no de aque-cimento Vocecirc pode primeiramente interpretar di-gamos T (t ) gt T m graficamente

32 Releia a discussatildeo anterior agrave Equaccedilatildeo (8) Supondoque o tanque contenha inicialmente digamos 50 lbde sal eacute evidente que A(t ) deve ser uma funccedilatildeo cres-cente pois o sal estaacute sendo adicionado ao tanquecontinuamente para t gt 0 Discuta como vocecirc po-deria determinar com base na ED sem resolvecirc-lao nuacutemero de libras de sal no tanque apoacutes um longo

periacuteodo

33 Modelo populacional A equaccedilatildeo diferencial d P

dt =

(k cos t )P onde k eacute uma constante positiva eacute ummodelo de populaccedilatildeo humana P(t ) de uma determi-nada comunidade Discuta uma interpretaccedilatildeo paraa soluccedilatildeo dessa equaccedilatildeo Em outras palavras quetipo de populaccedilatildeo vocecirc imagina que a equaccedilatildeo di-ferencial descreve

34 Fluido rotacional Como mostrado na Figura1324(a) um cilindro circular preenchido comfluido eacute rotacionado com uma velocidade angularconstante ω em torno de um eixo y vertical posicio-nado no seu centro O fluido forma uma superfiacuteciede revoluccedilatildeo S Para identificar S primeiramenteestabelecemos um sistema de coordenadas consis-tido de um plano vertical determinado pelo eixo y eum eixo x desenhado perpendicularmente ao eixo y

de modo que o ponto de intercecccedilatildeo dos eixos (ori-gem) eacute localizado no ponto mais baixo da superfiacute-cie S Entatildeo procuramos uma funccedilatildeo y = f ( x) querepresente a curva C da intersecccedilatildeo da superfiacutecie

S e a coordenada vertical do plano Definamos oponto P( x y) como a posiccedilatildeo de uma partiacutecula dofluido de massa m no plano coordenado Veja a Fi-gura 1324(b)

a) Em P existe uma forccedila de reaccedilatildeo de magnitudeF causada por outras partiacuteculas do fluido queeacute normal agrave superfiacutecie S De acordo com a leide Newton a magnitude da forccedila liacutequida agindoem uma partiacutecula eacute mω2 x Qual eacute esta forccedilaUse a Figura 1324(b) para discutir a naturezae a origem das equaccedilotildees

F cos θ = mg F sen θ = mω2 x

b) Use a parte (a) para encontrar a equaccedilatildeo dife-rencial de primeira ordem que define a funccedilatildeo y = f ( x)

FIGURA 1324 Fluido rotacional do Problema 34

35 Corpo em queda No Problema 23 suponha quer = R+ s onde s eacute a distacircncia da superfiacutecie da Terraao corpo em queda O que aconteceraacute com a equa-ccedilatildeo diferencial obtida no Problema 23 quando s for

muito pequeno comparado a R [Sugestatildeo Pensenas seacuteries binomiais para

( R + s)minus2= Rminus2(1 + s R)minus2]

36 Em meteorologia o termo virga refere-se aos pin-gos de chuva ou partiacuteculas de gelo que se evaporamantes de atingir o solo Suponha que uma gota dechuva comum tenha a forma esfeacuterica Comeccedilandoem algum instante o qual designaremos por t = 0a gota de chuva de raio r 0 cai do repouso de umanuvem e comeccedila a evaporar-se

a) Supotildee-se que uma gota de chuva evapora de talforma que seu formato permaneccedila esfeacuterico por-tanto tambeacutem faz sentido supor que a taxa se-gundo a qual a gota de chuva se evapora (isto eacutea taxa segundo a qual a gota perde massa) sejaproporcional agrave aacuterea de sua superfiacutecie Mostreque essa uacuteltima hipoacutetese implica que a taxa se-gundo a qual o raio r da gota de chuva decresceeacute uma constante Ache r (t ) [Sugestatildeo Veja oProblema 51 nos Exerciacutecios 11]

b) Se o sentido positivo for para baixo construa

um modelo matemaacutetico para a velocidade v de




uma gota de chuva caindo no instante t gt 0 Ig-nore a resistecircncia do ar [Sugestatildeo Use a formada segunda lei de Newton dada em (17)]

37 O ldquoproblema do removedor de neverdquo eacute um claacutessicoe aparece em diversos textos sobre equaccedilotildees dife-renciais Mas provavelmente ele se tornou famoso

por meio de Ralph Palmer Agnew

Um dia comeccedilou a nevar pesada e constan-

temente Um removedor de neve comeccedilou a

trabalhar ao meio-dia percorrendo 2 milhas

na primeira hora e 1 milha na segunda hora

Quando comeccedilou a nevar

38 Releia a Seccedilatildeo 13 e classifique cada modelo mate-

maacutetico como linear ou natildeo linear

REVISAtildeO DO CAPIacuteTULO 1


livro

Nos problemas 1 e 2 preencha os espaccedilos em brancoe depois escreva o resultado como uma equaccedilatildeo dife-rencial linear de primeira ordem sem o siacutembolo c1 da

forma dydx = f ( x y) Os siacutembolos c1 e k representamconstantes

1 d

dxc1e10 x

=

2 d

dx(5 + c1eminus2 x) =

Nos problemas 3 e 4 preencha os espaccedilos em branco edepois escreva o resultado como uma equaccedilatildeo diferen-cial linear de segunda ordem sem os siacutembolos c1 e c2 daforma F ( y yprimeprime) = 0 Os siacutembolos c1 c2 e k representam

constantes

3 d 2

dx2(c1 cos kx + c2 sen kx) =

4

d 2

dx2c1 cosh kx + c2 senh kx

=

Nos problemas 5 e 6 calcule yprime yprimeprime e combine estas deri-vadas com y com uma equaccedilatildeo linear de segunda ordemsem os siacutembolos c1 e c2 da forma F ( y yprime yprimeprime) = 0 Ossiacutembolos c1 e c2 representam constantes

5 y = c1e x+ c2 xe x

6 y = c1e x cos x + c2e x sen x

Nos problemas 7-12 associe cada uma das equaccedilotildees di-ferenciais com uma ou mais das seguintes soluccedilotildees (a)

y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2

9 yprime = 2 y minus 4

10 xyprime = y

11 yprimeprime + 9 y = 18

12 xyprimeprime minus yprime = 0

Nos problemas 13 e 14 determine por inspeccedilatildeo pelomenos uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial dada

13 yprimeprime = yprime

14 yprime = y( y minus 3)

Nos problemas 15 e 16 interprete cada afirmativa comouma equaccedilatildeo diferencial

15 Sobre o graacutefico de y = φ( x) a inclinaccedilatildeo da retatangente em um ponto P( x y) eacute o quadrado da dis-tacircncia de P( x y) agrave origem

16 Sobre o graacutefico de y = φ( x) a taxa segundo a quala inclinaccedilatildeo varia em relaccedilatildeo a x em um pontoP( x y) eacute o negativo da inclinaccedilatildeo da reta tangenteem P( x y)

17 a) Decirc o domiacutenio da funccedilatildeo y = x23

b) Decirc o intervalo I de definiccedilatildeo sobre o qual y = x23 eacute uma soluccedilatildeo da equaccedilatildeo diferencial3 xyprime minus 2 y = 0

18 a) Observe que a famiacutelia a um paracircmetro y2 minus 2 y = x2 minus x + c eacute uma soluccedilatildeo impliacutecita daequaccedilatildeo diferencial (2 y minus 2) yprime

= 2 x minus 1

b) Encontre um membro da famiacutelia de um paracircme-tro da parte (a) que satisfaccedila a condiccedilatildeo inicial y(0) = 1

c) Use seu resultado do item (b) para encontraruma funccedilatildeo expliacutecita y = φ( x) que satisfaccedila y(0) = 1 Decirc o domiacutenio de φ A funccedilatildeo y = φ( x)

eacute uma soluccedilatildeo do problema de valor inicialSe afirmativo decirc o seu intervalo I de definiccedilatildeo

caso contraacuterio explique




19 Dado que y = x minus 2 x eacute uma soluccedilatildeo da ED xyprime

+ y = 2 x encontre x0 e o maior intervalo I parao qual y( x) eacute uma soluccedilatildeo do PVI de primeira or-dem xyprime

+ y = 2 x y( x0) = 1

20 Suponha que y( x) denote a soluccedilatildeo do PVI de pri-meira ordem yprime

= x2+ y2 y(1) = minus1 e que y( x) pos-

suiacutea pelo menos uma segunda derivada em x = 1nas proximidades de x = 1 Use a ED para determi-nar se y( x) eacute crescente ou decrescente e se o graacutefico y( x) tem concavidade para cima ou para baixo

21 Uma equaccedilatildeo diferencial pode ter mais de uma fa-miacutelia de soluccedilotildees

a) Plote diferentes membros das famiacutelias y = φ1( x) = x2

+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2

b) Verifique que y = φ1( x) e y = φ2( x) satildeo duas so-luccedilotildees da equaccedilatildeo diferencial natildeo linear de pri-

meira ordem ( yprime)2=

4 x2

c) Construa uma funccedilatildeo definida por partes que

seja uma soluccedilatildeo da ED natildeo linear do item (b)mas natildeo seja um membro da outra famiacutelia desoluccedilotildees do item (a)

22 Qual eacute a inclinaccedilatildeo da reta tangente ao graacutefico dasoluccedilatildeo de yprime

= 6radic

y + 5 x3 que passa por (minus1 4)

Nos problemas 23-26 verifique que a funccedilatildeo indicada eacuteuma soluccedilatildeo particular da equaccedilatildeo diferencial dada Decircum intervalo de definiccedilatildeo I para cada soluccedilatildeo

23 yprimeprime + y = 2cos x minus 2sen x y = x sen x + x cos x

24 yprimeprime + y = sec x y = x sen x + (cos x) ln(cos x)

25 x2 yprimeprime + xyprime

+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)

y = cos(ln x) ln(cos(ln x)) + (ln x) sen(ln x)

Nos problemas 27-30 verifique que a expressatildeo indi-cada eacute uma soluccedilatildeo impliacutecita da equaccedilatildeo diferencialdada

27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1

29 yprimeprime = 2 y( yprime)3 y3

+ 3 y = 1 minus 3 x

30 (1 minus xy) yprime = y2 y = e xy

Nos Problemas 31-34 y = c1e3 x+ c2eminus x minus 2 x eacute uma fa-

miacutelia de dois paracircmetros da ED de segunda ordem yprimeprime minus2 yprime minus 3 y = 6 x + 4 Encontre uma soluccedilatildeo para o PVI desegunda ordem consistindo desta equaccedilatildeo diferencial e

as condiccedilotildees iniciais dadas

31 y(0) = 0 yprime(0) = 0

32 y(0) = 1 yprime(0) = minus3


34 y(minus1) = 0 yprime(minus1) = 1

35 O graacutefico de uma soluccedilatildeo do problema de valorinicial de segunda ordem d 2 ydx2

= f ( x y yprime) y(2) = y0 yprime(2) = y1 eacute dado na Figura 1R1 Use ograacutefico para estimar os valores de y0 e y1

FIGURA 1R1 Graacutefico para o Problema 35

36 Um tanque com a forma de um cilindro circularreto com raio de 2 peacutes e altura de 10 peacutes estaacute na ver-tical sobre uma das bases Se o tanque estiver inici-

almente cheio de aacutegua e ela vaza por um buraco cir-cular em sua base inferior com raio de 1

2 pol deter-

mine a equaccedilatildeo diferencial para a altura h da aacuteguaem um instante t gt 0 Ignore o atrito e a contraccedilatildeoda aacutegua no buraco

37 O nuacutemero de camundongos campestres em umcerto pasto eacute dado pela funccedilatildeo 200 minus 10t em quet eacute dado pelo nuacutemero de anos Determine a equa-ccedilatildeo diferencial que governa uma populaccedilatildeo de co-rujas que se alimentam dos camundongos se a taxa

de crescimento da populaccedilatildeo de corujas eacute propor-cional agrave diferenccedila entre o nuacutemero de corujas emum dado instante t e o nuacutemero de camundongos nomesmo instante t gt 0

38 Suponha que dAdt = minus00004332 A(t ) representeum modelo matemaacutetico para a desintegraccedilatildeo ra-dioativa do raacutedio-226 em que A(t ) eacute a quantidadede raacutedio (medida em gramas) restantes em um dadoinstante t (medido em anos) Quanto da amostrade raacutedio resta em um dado instante t quando aamostra estaacute sofrendo desintegraccedilatildeo a uma taxa de

0002 gano





Esta obra estabelece equiliacutebrio entre as abordagem analiacutetica qualitativa e quantitativa no estudodas equaccedilotildees diferenciais

Equaccedilotildees diferenciais com aplicaccedilotildees em modelagem possui diversos recursos pedagoacutegicos inclu-indo exemplos que ilustram o que o autor considera mais importante em cada seccedilatildeo aleacutem disto ouso de sistemas de computaccedilatildeo algeacutebrica eacute estimulado em muitos problemas incluindo instruccedilotildeese comandos necessaacuterios

Aborda desde equaccedilotildees diferenciais ordinaacuterias em dimensatildeo 1 ateacute sistemas de n equaccedilotildees diferen-

ciais lineares explicitando os meacutetodos de soluccedilatildeo em cada caso O uacuteltimo capiacutetulo apresenta vaacuteriosmeacutetodos numeacutericos que podem ser utilizados para resolver equaccedilotildees diferenciais

Nesta ediccedilatildeo foram incluiacutedos oito novos projetos muitos exerciacutecios foram atualizados assim comonovos foram inseridos a Seccedilatildeo 23 Equaccedilotildees Lineares foi reescrita de modo a simpli983142icar a dis-cussatildeo o capiacutetulo 4 apresenta uma nova seccedilatildeo sobre Funccedilotildees de Green

APLICACcedilOtildeES Indicado a estudantes de cursos de ciecircncias exatas (matemaacutetica fiacutesica etc) e tam-beacutem de engenharias nas disciplinas que envolvem equaccedilotildees diferenciais


Dennis G Zill













Traduccedilatildeo







(IMECCUnicamp)








SUMAacuteRIO

ixPREFAacuteCIO











































































































PREFAacuteCIO

PARA O ALUNO





























PARA O PROFESSOR






































AGRADECIMENTOS































































































Dennis G Zill

Los Angeles


















IMPORTANTE REVISAR







dy

dx= 02 xy (1)







dade





darr darrdy

dx+ 5 y = e x

d 2 y

dx2 minus dy

dx+ 6 y = 0 e

dx

dt +

dy

dt = 2 x + y (2)






part2u

part x2 +

part2u

part y2 = 0

part2u

part x2 =

part2u

partt 2 minus 2

partu

partt e partu

part y= minuspartv

part x(3)









segunda ordem

primeira ordem

d 2 y

dx2 + 5

dy

dx

3minus 4 y = e x







d n y








dy

dx= f ( x y) e

d 2 y







(n)+ anminus1( x) y



g( x) = 0 ou

an( x)d n y

dxn + anminus1( x)

d nminus1 y


dy

dx+ a0( x) y = g( x) (6)


a1( x)dy

dx+ a0( x) y = g( x) e a2( x)

d 2 y

dx2 + a1( x)

dy

dx+ a0( x) y = g( x) (7)









ydx3

+ x dydx

minus 5 y = e x


+ y = x













minusinfininfin





minusinfin

infin)

(a) dydx = xy12 y = 116

x4



(a) Como

lado esquerdo dy

dx=

1

16(4 middot x3) =

1

4 x3


1

16 x4

12

= x middot 1

4 x2

=1

4 x3




x4






= 0

lado direito 0


CURVA INTEGRAL













minusinfin 0) ou (0








G( x y) =









dy

dx= minus x

y(8)


d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0










1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill






SUMAacuteRIO

ixPREFAacuteCIO











































































































PREFAacuteCIO

PARA O ALUNO





























PARA O PROFESSOR






































AGRADECIMENTOS































































































Dennis G Zill

Los Angeles


















IMPORTANTE REVISAR







dy

dx= 02 xy (1)







dade





darr darrdy

dx+ 5 y = e x

d 2 y

dx2 minus dy

dx+ 6 y = 0 e

dx

dt +

dy

dt = 2 x + y (2)






part2u

part x2 +

part2u

part y2 = 0

part2u

part x2 =

part2u

partt 2 minus 2

partu

partt e partu

part y= minuspartv

part x(3)









segunda ordem

primeira ordem

d 2 y

dx2 + 5

dy

dx

3minus 4 y = e x







d n y








dy

dx= f ( x y) e

d 2 y







(n)+ anminus1( x) y



g( x) = 0 ou

an( x)d n y

dxn + anminus1( x)

d nminus1 y


dy

dx+ a0( x) y = g( x) (6)


a1( x)dy

dx+ a0( x) y = g( x) e a2( x)

d 2 y

dx2 + a1( x)

dy

dx+ a0( x) y = g( x) (7)









ydx3

+ x dydx

minus 5 y = e x


+ y = x













minusinfininfin





minusinfin

infin)

(a) dydx = xy12 y = 116

x4



(a) Como

lado esquerdo dy

dx=

1

16(4 middot x3) =

1

4 x3


1

16 x4

12

= x middot 1

4 x2

=1

4 x3




x4






= 0

lado direito 0


CURVA INTEGRAL













minusinfin 0) ou (0








G( x y) =









dy

dx= minus x

y(8)


d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0










1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill














































































PREFAacuteCIO

PARA O ALUNO





























PARA O PROFESSOR






































AGRADECIMENTOS































































































Dennis G Zill

Los Angeles


















IMPORTANTE REVISAR







dy

dx= 02 xy (1)







dade





darr darrdy

dx+ 5 y = e x

d 2 y

dx2 minus dy

dx+ 6 y = 0 e

dx

dt +

dy

dt = 2 x + y (2)






part2u

part x2 +

part2u

part y2 = 0

part2u

part x2 =

part2u

partt 2 minus 2

partu

partt e partu

part y= minuspartv

part x(3)









segunda ordem

primeira ordem

d 2 y

dx2 + 5

dy

dx

3minus 4 y = e x







d n y








dy

dx= f ( x y) e

d 2 y







(n)+ anminus1( x) y



g( x) = 0 ou

an( x)d n y

dxn + anminus1( x)

d nminus1 y


dy

dx+ a0( x) y = g( x) (6)


a1( x)dy

dx+ a0( x) y = g( x) e a2( x)

d 2 y

dx2 + a1( x)

dy

dx+ a0( x) y = g( x) (7)









ydx3

+ x dydx

minus 5 y = e x


+ y = x













minusinfininfin





minusinfin

infin)

(a) dydx = xy12 y = 116

x4



(a) Como

lado esquerdo dy

dx=

1

16(4 middot x3) =

1

4 x3


1

16 x4

12

= x middot 1

4 x2

=1

4 x3




x4






= 0

lado direito 0


CURVA INTEGRAL













minusinfin 0) ou (0








G( x y) =









dy

dx= minus x

y(8)


d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0










1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill





PARA O PROFESSOR






































AGRADECIMENTOS































































































Dennis G Zill

Los Angeles


















IMPORTANTE REVISAR







dy

dx= 02 xy (1)







dade





darr darrdy

dx+ 5 y = e x

d 2 y

dx2 minus dy

dx+ 6 y = 0 e

dx

dt +

dy

dt = 2 x + y (2)






part2u

part x2 +

part2u

part y2 = 0

part2u

part x2 =

part2u

partt 2 minus 2

partu

partt e partu

part y= minuspartv

part x(3)









segunda ordem

primeira ordem

d 2 y

dx2 + 5

dy

dx

3minus 4 y = e x







d n y








dy

dx= f ( x y) e

d 2 y







(n)+ anminus1( x) y



g( x) = 0 ou

an( x)d n y

dxn + anminus1( x)

d nminus1 y


dy

dx+ a0( x) y = g( x) (6)


a1( x)dy

dx+ a0( x) y = g( x) e a2( x)

d 2 y

dx2 + a1( x)

dy

dx+ a0( x) y = g( x) (7)









ydx3

+ x dydx

minus 5 y = e x


+ y = x













minusinfininfin





minusinfin

infin)

(a) dydx = xy12 y = 116

x4



(a) Como

lado esquerdo dy

dx=

1

16(4 middot x3) =

1

4 x3


1

16 x4

12

= x middot 1

4 x2

=1

4 x3




x4






= 0

lado direito 0


CURVA INTEGRAL













minusinfin 0) ou (0








G( x y) =









dy

dx= minus x

y(8)


d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0










1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill





AGRADECIMENTOS































































































Dennis G Zill

Los Angeles


















IMPORTANTE REVISAR







dy

dx= 02 xy (1)







dade





darr darrdy

dx+ 5 y = e x

d 2 y

dx2 minus dy

dx+ 6 y = 0 e

dx

dt +

dy

dt = 2 x + y (2)






part2u

part x2 +

part2u

part y2 = 0

part2u

part x2 =

part2u

partt 2 minus 2

partu

partt e partu

part y= minuspartv

part x(3)









segunda ordem

primeira ordem

d 2 y

dx2 + 5

dy

dx

3minus 4 y = e x







d n y








dy

dx= f ( x y) e

d 2 y







(n)+ anminus1( x) y



g( x) = 0 ou

an( x)d n y

dxn + anminus1( x)

d nminus1 y


dy

dx+ a0( x) y = g( x) (6)


a1( x)dy

dx+ a0( x) y = g( x) e a2( x)

d 2 y

dx2 + a1( x)

dy

dx+ a0( x) y = g( x) (7)









ydx3

+ x dydx

minus 5 y = e x


+ y = x













minusinfininfin





minusinfin

infin)

(a) dydx = xy12 y = 116

x4



(a) Como

lado esquerdo dy

dx=

1

16(4 middot x3) =

1

4 x3


1

16 x4

12

= x middot 1

4 x2

=1

4 x3




x4






= 0

lado direito 0


CURVA INTEGRAL













minusinfin 0) ou (0








G( x y) =









dy

dx= minus x

y(8)


d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0










1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill













































Dennis G Zill

Los Angeles


















IMPORTANTE REVISAR







dy

dx= 02 xy (1)







dade





darr darrdy

dx+ 5 y = e x

d 2 y

dx2 minus dy

dx+ 6 y = 0 e

dx

dt +

dy

dt = 2 x + y (2)






part2u

part x2 +

part2u

part y2 = 0

part2u

part x2 =

part2u

partt 2 minus 2

partu

partt e partu

part y= minuspartv

part x(3)









segunda ordem

primeira ordem

d 2 y

dx2 + 5

dy

dx

3minus 4 y = e x







d n y








dy

dx= f ( x y) e

d 2 y







(n)+ anminus1( x) y



g( x) = 0 ou

an( x)d n y

dxn + anminus1( x)

d nminus1 y


dy

dx+ a0( x) y = g( x) (6)


a1( x)dy

dx+ a0( x) y = g( x) e a2( x)

d 2 y

dx2 + a1( x)

dy

dx+ a0( x) y = g( x) (7)









ydx3

+ x dydx

minus 5 y = e x


+ y = x













minusinfininfin





minusinfin

infin)

(a) dydx = xy12 y = 116

x4



(a) Como

lado esquerdo dy

dx=

1

16(4 middot x3) =

1

4 x3


1

16 x4

12

= x middot 1

4 x2

=1

4 x3




x4






= 0

lado direito 0


CURVA INTEGRAL













minusinfin 0) ou (0








G( x y) =









dy

dx= minus x

y(8)


d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0










1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill



















IMPORTANTE REVISAR







dy

dx= 02 xy (1)







dade





darr darrdy

dx+ 5 y = e x

d 2 y

dx2 minus dy

dx+ 6 y = 0 e

dx

dt +

dy

dt = 2 x + y (2)






part2u

part x2 +

part2u

part y2 = 0

part2u

part x2 =

part2u

partt 2 minus 2

partu

partt e partu

part y= minuspartv

part x(3)









segunda ordem

primeira ordem

d 2 y

dx2 + 5

dy

dx

3minus 4 y = e x







d n y








dy

dx= f ( x y) e

d 2 y







(n)+ anminus1( x) y



g( x) = 0 ou

an( x)d n y

dxn + anminus1( x)

d nminus1 y


dy

dx+ a0( x) y = g( x) (6)


a1( x)dy

dx+ a0( x) y = g( x) e a2( x)

d 2 y

dx2 + a1( x)

dy

dx+ a0( x) y = g( x) (7)









ydx3

+ x dydx

minus 5 y = e x


+ y = x













minusinfininfin





minusinfin

infin)

(a) dydx = xy12 y = 116

x4



(a) Como

lado esquerdo dy

dx=

1

16(4 middot x3) =

1

4 x3


1

16 x4

12

= x middot 1

4 x2

=1

4 x3




x4






= 0

lado direito 0


CURVA INTEGRAL













minusinfin 0) ou (0








G( x y) =









dy

dx= minus x

y(8)


d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0










1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill






part2u

part x2 +

part2u

part y2 = 0

part2u

part x2 =

part2u

partt 2 minus 2

partu

partt e partu

part y= minuspartv

part x(3)









segunda ordem

primeira ordem

d 2 y

dx2 + 5

dy

dx

3minus 4 y = e x







d n y








dy

dx= f ( x y) e

d 2 y







(n)+ anminus1( x) y



g( x) = 0 ou

an( x)d n y

dxn + anminus1( x)

d nminus1 y


dy

dx+ a0( x) y = g( x) (6)


a1( x)dy

dx+ a0( x) y = g( x) e a2( x)

d 2 y

dx2 + a1( x)

dy

dx+ a0( x) y = g( x) (7)









ydx3

+ x dydx

minus 5 y = e x


+ y = x













minusinfininfin





minusinfin

infin)

(a) dydx = xy12 y = 116

x4



(a) Como

lado esquerdo dy

dx=

1

16(4 middot x3) =

1

4 x3


1

16 x4

12

= x middot 1

4 x2

=1

4 x3




x4






= 0

lado direito 0


CURVA INTEGRAL













minusinfin 0) ou (0








G( x y) =









dy

dx= minus x

y(8)


d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0










1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill






dy

dx= f ( x y) e

d 2 y







(n)+ anminus1( x) y



g( x) = 0 ou

an( x)d n y

dxn + anminus1( x)

d nminus1 y


dy

dx+ a0( x) y = g( x) (6)


a1( x)dy

dx+ a0( x) y = g( x) e a2( x)

d 2 y

dx2 + a1( x)

dy

dx+ a0( x) y = g( x) (7)









ydx3

+ x dydx

minus 5 y = e x


+ y = x













minusinfininfin





minusinfin

infin)

(a) dydx = xy12 y = 116

x4



(a) Como

lado esquerdo dy

dx=

1

16(4 middot x3) =

1

4 x3


1

16 x4

12

= x middot 1

4 x2

=1

4 x3




x4






= 0

lado direito 0


CURVA INTEGRAL













minusinfin 0) ou (0








G( x y) =









dy

dx= minus x

y(8)


d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0










1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill









minusinfininfin





minusinfin

infin)

(a) dydx = xy12 y = 116

x4



(a) Como

lado esquerdo dy

dx=

1

16(4 middot x3) =

1

4 x3


1

16 x4

12

= x middot 1

4 x2

=1

4 x3




x4






= 0

lado direito 0


CURVA INTEGRAL













minusinfin 0) ou (0








G( x y) =









dy

dx= minus x

y(8)


d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0










1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill










minusinfin 0) ou (0








G( x y) =









dy

dx= minus x

y(8)


d

dx x2+

d

dx y2=

d

dx 25 ou 2 x + 2 y

dy

dx = 0










1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill











1 = 25 e x2


























116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill








116


4 x2


116


4 x2


















y =

minus x4 x lt 0

x4 x gt 0



ge 0 Veja a

Figura 114(b)







dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill








dx

dt

= f (t x y) dy

dt

= g(t x y) (9)



















EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill






EXERCIacuteCIOS 11


livro



2 d 2u

dr 2 +

du

dr + u = cos(r + u)


4 xd 3 y

dx3 minus

dy

dx

4+ y = 0

5 d 2 y

dx2

= 1 + dy

dx2


3

˙ x + x = 0


8 d 2 R

dt 2 = minus k

R2









14 dy

dx+ 20 y = 24 y =

6

5 minus 6

5eminus20t




radic x + 2



18 yprime = 25 + y2 y = 5 tg5 x



19 dX


2 X minus1 X minus1

= t



21 dP


c1et

1 + c1et

22 x3d 3 y

dx3 + 2 x2

d 2 y

dx2 minus x

dy

dx+ y = 12 x2





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill





23 d 2 y

dx2 minus 4

dy

dx+ 4 y = 0 y = c1e2 x

+ c2 xe2 x

24 dy


x



y =

minus x2 x lt 0

x2 x ge 0






minusradic 25

minus x2 0

le x lt 5



27 yprime + 2 y = 0

28 5 yprime = 2 y





= 0




33 3 xyprime + 5 y = 10


+ 6 y = 10




37 dx

dt = x + 3 y

dy

dt = 5 x + 3 y

x = eminus2t + 3e6t


38 d 2 x

dt 2 = 4 y + et

d 2 y

dt 2 = 4 x minus et

x = cos 2t + sen2t + 15

et


et








dx =

1 minus y2 encontre





particular da ED






45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill







45


46





dy

dx=

y( y3 minus 2 x3)

x(2 y3 minus x3)







[minus5 5]





f ( x) ed 2 ydx2= f ( x)



f ( x y)











dydx


















+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill











+ 4







59 y(4)


0 y = xe5 x cos2 x



y = 20cos(5 ln x)

xminus 3

sen(5 ln x)

x


IMPORTANTE REVISAR




d n y



(1)








Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill






Resolver dy

dx= f ( x y)


(2)

e

Resolver

d 2 y


(3)










yprime = y y(0) = 3






+ 2 xy2= 0 eacute y = 1( x2



minus1 = 1c ou c =





















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill



















π

2

= minus2 xprime

π

2

= 1 (4)

SOLUCcedilAtildeO



14






Existecircncia













dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill










dy

dx= xy12 y(0) = 0






le x






f ( x y) =

xy

12

e

part f

part y=

x

2 y12


















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill



















y(1) = 0 y(5) = 0 ou y(π2) = 0 yprime(π) = 1








EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill






EXERCIacuteCIOS 12


livro




1 y(0) = minus13 2 y(minus1) = 2





3 y(2) = 13

4 y(

minus2) = 1

2

5 y(0) = 1

6 y 12 = minus4





8 x(π2) = 0 xprime(π2) = 1

9 x(π6) = 12 xprime(π6) = 0



11 y(0) = 1 yprime(0) = 2

12 y(1) = 0 yprime(1) = e


14 y(0) = 0 yprime(0) = 0


15 yprime = 3 y23 y(0) = 0

16 xyprime = 2 y y(0) = 0



17 dy

dx= y23

18 dy

dx=

radic xy

19 xdy

dx= y

20 dy

dx minus y = x


22 (1 + y3) yprime = x2

23 ( x2+ y2) yprime

= y2





25 (1 4)

26 (5 3)

27 (2minus3)

28 (minus1 1)











y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill









y =0 x lt 0

x x ge 0



= 1 + y2
















minus y2














c) y(1) = 1 yprime(1) = 2




35


36





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill





37


38




39 y(0) = 0 y(π4) = 3

40 y(0) = 0 y(π) = 0


42 y(0) = 1 yprime(π) = 5

43 y(0) = 0 y(π) = 2











y(0) = 12




+




y( x) =1


y( x) =

0 x lt 0116

x4 x ge 0



minusinfin










dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill








dP

dt = 015P(t ) + 20 P(0) = 100



IMPORTANTE REVISAR









A seguir
















dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill












dP

dt prop P ou

dP

dt = k P (1)



dA

dt prop A ou

dA

dt = k A (2)












dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill










dT


dT




dx

dt = k xy (4)


dx















dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill






dX

dt

= k (α

minus X )( β

minus X ) (6)


segunda ordem




dA





de entrada



(2 lbgal) = 6 lbmin




de saiacuteda



300 lbgal) = A(t )

100 lbmin


dA

dt = 6 minus A

100 ou dA

dt +1

100 A = 6 (8)















dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


Ld 2q

dt 2 + R

dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill












dt = minus Ah

2gh (9)




respectivamente

dh

dt = minus Ah

Aw

2gh (10)






L didt = L

d 2q

dt 2 iR = R

dq

dt e 1

C q


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dq

dt +

1

C q = E (t ) (11)


CORPOS EM QUEDA














md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill








md 2s

dt 2 = minusmg ou

d 2s

dt 2 = minusg (12)


d 2s






gt 2 + v0t + s0






mdv



md 2s

dt 2 = mg minus k

ds

dt ou m

d 2s

dt 2 + k

ds

dt = mg (15)











dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill










dy

dx=

W

T 1 (16)



















EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill














EXERCIacuteCIOS 13


livro















dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill







dT dt =


T 0









MISTURAS




no instante t gt 0




DRENANDO UM TANQUE





















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill




















18














F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill












F =d

dt (mv) (1)







bustiacutevel




































periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill






























periacuteodo


dt =































livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill

















livro



1 d

dxc1e10 x

=

2 d



constantes

3 d 2


4

d 2


=





y = 0 (b) y = 2 (c) y = 2 x (d) y = 2 x2

7 xyprime = 2 y

8 yprime = 2


10 xyprime = y












= 2 x minus 1










+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill







+ y = 2 x y( x0) = 1






+ c1 e y = φ2( x) = minus x2+ c2



4 x2




= 6radic






+ y = 0 y = sen(ln x)


+ y = sec(ln x)



27 x dydx + y = 1

y2 x3 y3= x3

+ 1

28

dy

dx

2+ 1 = 1

y2 ( x minus 5)2 + y2= 1


+ 3 y = 1 minus 3 x





31 y(0) = 0 yprime(0) = 0









2 pol deter-





0002 gano












Dennis G Zill













Dennis G Zill


Equacoes_Diferenciais capitulo 1

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