Estadistica 2013
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Estadística diferencial
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5/19/2018 Estadistica 2013
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Ing
Civil Ricardo M Bach
.~
~----
ESTADISTICA DESCRIPTIVA
TEORIA
EJEMPLOS
.... _ -t, ,__ _
j
.
o-ooo-.o
.. .. .
.
o
~
.: .
.
~
robabilidad
y:;
stad tica
61 06 I
_ o . J :
~
.
61 6 3
0 _ - _
o _
O . . . . ._
. .. _. , ..... ~...... :.. ..~. .. - ., __o.~ ......
-
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i1ll
l as f ormas ms f ec ) . l ndasque puede adqui r i r una t abul aci 6n. El pr i
r ner paso par a cons t rui r est e t i po de t abl as consi st e en un o~dena-
d st i co de dat os, l a l l ~~ada di st r i buci n de f r ecuenci as es ~na de
: Desde el punt o de vi st a mat emt i co del anl i si s est a
ment e por
det erm nado puent e, et c.
ponent es el ect r 6ni cos, el n( ~er o
de
vehcul os que ci r cul an di ar i a-
anuaj _es 8:1
una
det erm nada C' . l enca, l as hor as
de
vi da de
ciertos
8cm
una l i st a or denada
a
l f
ab
t . a ar aente
las
pr eci pi t aci ones de
lluvia
j ~nto de l as al t ~r as de i ndi vi duos del sexo mascul i no obt eni dos de
sor . si nt et i zados en f or : oa si st emt i ca.
\JI: e
er np
Lo sera el
con -
ment e
y
~o dar~~ una i dea cl ara de l o ~ue el l Gs si gni f i ca~ si no
yen la
i . ' l f oI maci f u
el
at r i but o
en
est udi o
con respecto
a l os i ndi vi duos
o el~
l Ent osde un cierto ccnjunto los m srrosno h n s i do an orga' i i zadcsnUrr er i ca-
os d t o s
or i gi nal es
s on s d t o s
r egi st r ados
que
CCD~t i t u-
Di st r i buci ones de f r ecuenci a
E:stad:tstic:a
l a apl i caci n de l os. mt odos conoci dos como pr opi os de
la
I nf er enci a
ci n ' : . 'v l . uac
n como as t ambi n t odo ul t er i or est udi o que i mpl i que
zac
n pr esent aci n y r educci n de datos , ~uef aci l i tan su nt er ?n: : t a -
~ ~ ~or t a~~o v~r ' o- ~S~~d~c ~ara la OPca~-
x_s_en : . _ .. __ . . . . . . ~ ~ ht ;
Li ~ _ _ _ ~
e que o
t
rc s
t r o de di cho r ango al gunos val or es pueden ocur r i r ~5 f recuent emen-
r r i ent enent e un r ango de val or es medi dos
t
observados; adem~s cen-
r ent ement e i dnt i cas condi ci ones) . En ot r as pal abr as, exi st e co-
mente de un exper i ment o ot r o ( an
i
cuando sean r eal i zados b jo p~
dos medi ant e obser vaci ones exper i ment al es que di f i er en i nvar i abl e-
e: : l al guna medi da i mpredeci bl es. Tal es f en6menos est n caract er i za
di ent e de al eat or i edad, es deci r que l os ver dader os r esul t ados son
nmenos o pr ocesos de i nters pur a los i ngeni er os contcnen
1::1
Lriqr e
es una i nves t i gaci n de l os dat es di s?oni ~ es par a i ndagar
nat~
r al eza y gr ado de i ncer t i dumbr e de l os m smos. En ef ect o muc~os f e
Un pr i mer paso en cual qui er campo de l a i ngeni er a
I nt r oducci n
ESTADI STI CA DESCRI ~TI VA
~
~: :St: : :~
-
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_ ...r:..
~ :.:
tot
2 3
t
,J
]
5
5, 75
18
20, 70
29
33, 33
23 26, 44
10
11, 49
2
2, 29
87
100
- -
r
I nt er val o
t
horas
i
,
- - - 150
15 - - - 300
300 - - - 45 0
45 0 - - - 600
600
- - - 750
750
- - - 900
TABLA I
as i pr es ent ados s e l os 11a1: \ adat es aq r upados
al ent er o ms c er c ano ver t abl a I )
LO :5 c at os
ec c i onados al az ar de un a c i er t a pr odu c c i n
i eos sas oc i a dos a l os t i em~os de v i da e 87 c omponent es el ec
t abl a de dl . s t r i b~c i n de f r ec uenc i as c or . l os dat os
unamodo de ej empl o s upongamos haber
c ue nc i a de l a c l as e.
t abul ar de l os dat os po r c l as es j unt o c c n l a c or r es ,
denam ent o
na di s t r i bu c i 6n de f r ec ue nc i as
1 :
L t
. ]
~t.
) 2
.:::::x .
1
6 t
t. ]
J 2
am? l i t ud At
jl
expr e s ado por
de
l o J
j - s i ma
medi os de-
n K i n
t er -
val os de l ongi t u de s A tI A t 2 . . A t K c uy os pun t
s i gna r emos
t
t
t
K
donde K n) .
El n~~er o de obs e=vac i one s f~
i nd i c a el nmer o de obs er vac i ones que per t enec e al i n
s~ongamos t ener ~ obs er v a c i one s
l ~2
Di v i d i mos un i nt er val o que cont eng a
n~:que
s e
ar el n mer o de el l os dat os ) que
pe.r t
ene c e a
c onoc e c omo l a f r ec uenci a de l a c l as e.
y q. et er : nf .
os , es t i l di s t r i bui r l os m s mos en c l as es o
de l os dat os s e denom na r a n a o, amnl i t ud o r ec or ~i do
da
una
i d ea de
l a
v ar i abi l i dad de l os dat es .
~l men or
s e~i e. y
,
dent e de magni t u d. L a di f e r enc i a numr i c a ent r e
des een
ent o numr i c o de. l os dat os or i gi nal es en or den
da -
ua ndo s e f i s po nede
unaicen
t . da d
-
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;
I
1. - Det erm nar 5 val or es mxi mo y m ni mo en l os dat os o gi n4l eS y
hal l ar el r ango.
Regl as gener al es par a f ormar di st r i buci ones de f r ecuenci as
t er val o de cl ase 300- 450 se consi derarn 375.
Por l o tanto t odas l as r r : edi~s eri el i n-
I
de n co~ l a seal de l a c l as e.
l i nt r Va l O
i n edor
y
~
pOO 450
es:
~odas l as ob
I
~ue qoi r ci -
r i mer a)
n l j mplo
f
al OS abi er -
t r ac a es t a
qu~er e
ser vaci ones ~er t eneci ent es a un i nt er val o dado se acept ar
Con prop6s i t~s de un ul t er i or anl i si s mat emt i co
En el ej empl o, l a seal
de l a c l as e
de i nt er val o,
375 Tambi n se conoce como el punto medi o de l a cl ase .
super i or de l a cl ase.
de l a cl ase y se obt i ene hal l ando el promedi o de l os l m t
La seal o mar ca de l a cl ase es el punto medi o de
y/ e enunci ar l a l t i ma como ~ayor de 750 hor as.
se puede ut i l i zar l a cl ase abi er t a menor de 150 hor as ( l a
asegur ar sobre t odo en cl ases ext r emas de baj a f ecuenci a.
t os es l a de pr ot eger en el anoni mat o a cual qui er ent e r eg
d st i cament e, dependi endo el l o de l a r eser va que a veces s
r. a razn por
l a
que al gunas veces se el i gen i nt e
val o de cl ase abi er t o.
U
1 d 1 ~ :
n ~nt er va o e c ase que, a~ menos t eor~c~~ent e)
r
t i ~ne 14
m t e de cl ase super i or o no t i ene l m t e de cl ase i nf er i or es Un i nt er -
l adas.
pI o s i un dat o es
450
hs. per t enecer a l a cl ase 300 450
o ai l a 450 600
No dej a de_ser : una. . . ; convenci 6npar a deci di r sobre si t uaci on i ncl et erm -
10 s cerrado en su ext r emo sup r . o y abi er to en el Ln fer: r . ; Por ej em
el : i nt er va
e cl ase no hay duda en cual de el l as se debe i ncl ui r ya q
Por l a desi gual dad ( 1) si al gun dat o coi nci de co un l i m t e
o l
ancho
er~Or su
Los
col urn
de l a cl ase.
per i or de
l a
cl ase y l a di f er enci a ent r e ambos, val edeci r
nmer os ext r emos, por ej empl o, 300 y 450 son l os l f m t es i
La nocaci 6n numr i ca que def i ne una cl ase t al com en ~a
ha 1 de l a t abl a anter i or se l a denorr i na un i n~er val o de
e
pse.
( 3)
-
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i
es gener al -
ps er v , ar oen
t
0 1
;
l
....~_.
l a col umna 3 de l a t abl a r.
nent e expr esada como un por cen t aj e, cuyo cl c ul o s e puede
Fr ecue: ' l c i ar el at i va de una c l as e es l a f r ecuenc i a ~e l ~ c l a ? e . .
di vi di da po r el t ot al de l a f r ecuenc i a de t odas l as c l as es
Di s t r i buc i one s
de recuencia relativa lIistocrama y
po l ql
~os
de
frecuen
l ~ad~i nt er
~ d~J l e an-
~a. ' - na~osmedi
p . l r vaana l
de c : i run -
r
r an~e como
l a di s t r i bu
model o mat emt i ca pr obabi l s t i c o.
t i ca ( de aj us t e) que l a r epr es ent e l o mej or po s i bl e, e
das par a poder compar ar l os c on ot r as 2 encont r ar ' . l na
l i s i s : o 1 car ac t er i z ar s u es t r u c t ur a medi ant e n r r . ~r os
La s er i e
o
di s t r i buc i n de f r ecuenc i as conduce a
val o de c l as e, es dec i r ha l l ar l as f r e c uenc i as de c l a
J . -
Det er m nar el nmer o de obs er vac i ones que cor r es ponde
c i r . .
par a hacer de s aparece~ car ac t er s t i cas f undamen t al es d
f r ec uent ement e l a obj e c i n a l a t abl a or i g i nal ) ni t an
J
El nI ner o de i nt er val os en def i ni t i va
o
debe s er ~an Ej equeo
como par a r evel ar demas i ado det al l e que conf unda al ob ~r vador ( es o
E s t o t i ende a di sm nui r el l l af f i adoer r or de agr upam en
p
Los
i nt er val os de c l as e s e el i gen
~e
modo t al que os pun t os
medi os de l as c l as es
co
. n . d
n
con l as dat os r ea l ment e
bbs
ezvados
dade s
Usar . Se t r at a en gener al que l a ampl i t ud de l ' nt ~. r , v al os ea
m61t i pl o de di c ha uni dad de medi da
~ t ambi n depende del t i po de f en6meno en es t udi o
de l as uni
val o~ de
n
i
r m~l a.
En gener al , cuando
N>100
s e r e c cm . enda t omar u
mayor que que r e sul t a de l a s i mpl e apicac tn de l a
n ~ n
de i nt er val os ~ l
3, 3 pg
N
donde N nOde i ndi vi duos .
St ur ges r ecom enda el us o
de
l a s i gui ent e f r mul a.
i
t er val os de di f er ent es medi das o i n t er v al os de c l as e
a
- er t os .
El nmer o de i nt er val oS. de c l as e s e t oma gener l ment e e r e _ i y
20
depend i endo de l os dat os .
de c l as e
o
us aZ n i n-
_
- -
Si
e l l o no es f ac t i bl e, s
ue t engan l a m sma medi da .
2. - Di v i di r el r ango en un nmer o conveni : nt : ede i nt er val q
-
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J
... 't,)iH'~1'~,, I''''''3'''''';-ffCSli''''':J.?;Uiijjr~~~~''''~ifi~~A : a n : ~ ~ ; tW 1:~ ::
ser vaci ones ( Ver f i g. 1) .
En un hi s togr a~a una uni dad de su~er f i ci e r epr esent a el ~ smo nmer o de ob
i nt er val o caer ar . s10 un n~~ero pequeo de obser vaci ones v s i l os~t , son de
- ; - J
masi ado gr andes se di st or si onan l as car act er st i cas de l a di st r i buci 6n.
son pequeos, est as l t i ~as ~endr n pre90ndera~ci a en razn de que en di cho
t :
Si 10s, 6t ,
J
buci n y que ?asen desaper ci bi das l as var i aci ones al eat or i as.
COIT O ya
se
ha
di cho, al el egi r ar bi t r ar i ament e
~a
l ongi t ud~~
10 que se pr et ende es hacer r esal t ar l os r asgos f undamental es de l a di st r i -
i nt er val os de cl ase nc son i gual es l a f unci n debe ser r epr esent ada segn ( 2) .
ci as r e1at i vas est an r epr esentadas por r eas. Recor dar ent onces c: : uesi l os
conOce cor no hi st ogr amas
y
su ?r i nci pal ?r opi edad es l a de que l as f r ecuen
co~o or denada a l os e ect os de r epresent aci 6n. A est os di agr amas se l os
estar
J
si no el l a di vi di da por l a l cngi t ud de l a cl ase. Por l o t ant o
r e?r esentada por
el
r ea de un r~ct &ngul o
A
t , .
f
A
t. .
J J
En caso de ser i gual es l os~t , se puede usar di r ect ament e f.
J
J
Es deci r que como or denada' ' n6' se'
lleva
l a' ' f r ' ecuenci a r el at i va
2
(2 )
-
.. :t. :
-
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_ _
L _
. L . : J . _ _
.
':':.
. ~
I -
a c4>nt i nua -
or f ~er a 900
una
unoi de a s al
(3 )
acuer
~aCi ~nes
kada
de
I
. ; n-1
or ce
l . esmenor es o
I hast ae i nc l u
I
j
c i 6n que re sponde a l a f unc i n ( 3) . ( Ver t abl a I r )
y
el ~enor 80 ~or as , s e gene r ar f a una t abl a como l a
t uvi r amos
5
87 dat os del ej empl o or de 1ados , donde el
t os cuy a al t ur a es 1
n
Obs er var que x( i l es el da t o que ocupa el l uga r
vez que han s i do or denados l os val or es de mer i or a may or
Es es t a una : f unc i n es cal e r a que c r ece de cer o
para x.> x n
2
ar a x
( .)~
x( xCi +l )
n
o ~ar a x
xl i )
Sean x l , x( 2) ' . . . x n un nmer o n de obs e
nadas s egn l a magni t ud. La f unc i n H( x) de f r ecuenc i a ac
do a l a de f i ni c i n dada es t a dada por
yendo di cho val or .
i gua l es que uno dado, s e l a denom na l a f r ecuenc i a acumul ad
A
l a f r ecuenc i a r el at i va t ot al de t odos l os val
Di s t r i buc i one s de f r ecuenc i a acumul adas
Si
s e es t u di an var i os at r i but os
de
un m smo f en eno s e cons t r ui
r un hi s t ogr ama o pol i gono par a cada uno de el l os .
f r ecuen
en el
I
~eneI l f r ecuen
s de] l as c l a
1 6 ~
r
n s t r b do t o-
l os ~ect ngU
f -
c a
y
el ej e X
hi s t ogr ama es i gua l al t ot al del r ea l i m t ada por el pol g
En di cho cas o l a s uma de l as r eas de l os r ec t
c i a nul a.
s es i nmedi at ament e i nf er i or y 5u~er i or r es pec t i vament e, que
Es us ual pr o l o ngar PQ
y
RS has t a l os pun t os med
l os
del hi s t o g r ama.
mando como r e f e r enc i a l os pun tos medi os del l ado s uper i or d
Un
pol gono de f r e c uenc i a
es
un gr f i c o l i ne al
-- - ------ ------ - -- -=- -- :-;C _ -:; ;:;:~;; ;C , __ __ ,, , __= . . . . . . . , . . . . . . . . . . , _ ~ ~
-
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t i e m o
f. a c uI 1 ul a da
( hor a s )
H.
]
~
O
0
~ 150
5, 75
~ 300
26,45
~ 45
59 , 78
~ 600
86,22
~ 750
9771.
~ 3CO
OC
TABLA
rr.r
c i a s ha s t a c a da
punto de d i v i s i 6n del i nt e r va l o .
J .
pa r a el e
j
ernpLo dado ( t ab2. a : I D: ' .Es obt eni da de l a d i s t r : : ' buc i n de frecuen
Se i nd i c a a cont.nuac.n la tabla de f::cecuencias acumuladas
- - -
5: el
ej empl o ant er i o r
la
frecuencia
a c umu
Lada
aa s
t
a
e
inclu
yendo la clase (300 - 450)es 5,75 + 20,70 33,33
= =
58,78 ,
signifira2
do que el 58, 78 de l a s med i da s s o n mener es o iguales a 450 .
el l m t e s upe r i o r de l a c l a s e.
otal ..de t o o s los valores meneres que
e
i nc l ~ye : : : l do
l
i nt er va l o de es a c l a s e dada , ser l a f r ec uenc i a r el a t i va
:
Tr a ba j ando c on da t o s ag r u pado s { l a frecuencia a c umu l a da ha s t a
escalera c uyo s saltos t i enen una magni t u d de 1 / 87 .
La r epresent.ac
n grfica ser c o r n ose ha d i c ho una
unc.n
para x ~ 9CJ
para
840~
x
< 300
par a 7 SO :: ; x < - 840
para
80~ x < 100
para
lOO~ x
-
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l a
La dec i s i n s obr e s i un conj unt o. de dat os emp1r i
an cor no as o
ul ada s s on a s u vez l as r epre s ent ac i ones empi i i c as
c i ad~s a l a f unc i 6n de di s t r i buc i 6n t er i ca.
Los po l go nos de f r ueno
a acu- l e) de l mode l o que r i ge el f enmeno.
mas
o menos di s t or s i onada s ( en r az n de l nmer o de dat os
f
o : mgenes
i
i t a di s poni
-
r na t emat i co- pr obabi l i s t i cOs . Los hi s t og r ar r . ass on por lo t
o mode l os -
as f or mas car ac t er s t i c as denow. i nada s f unc i ones de dens i d
Las cur vas de f r ecuenc i a que a?8r eCen en l a pr &c ~ca ~oman c i er
Ti po s de Cur va de f r ec~enc i a
mues t r a, aument ando l a apr oxi ~ac i 6n cuando l a medi da de l a ues t r a c r ece
apr oxi madas por ?ol . go: - 1oSe f r ecuenc j . a ( e de f : : : - e cuenc i q
)
puedan ser
mul ~da ) de
s uponer que. t al es cur vas t er i c a
s r az onabl e
cuenc i a r el at i va.
f r e
en t os l i neal es que enc i er r en c~r vas apr oxi madas l l amadas
s eg_
r ecuenc i a r el a t i va oar a una q r an pobl ac i n es t f or mado
cai ga dent ~o de l a c l as e.
~
~odr es~er ar ent onc es que e
de c l as e muy pequeos y an as i ob t ener un nVroer o de obs e
t ambi n es pos i bl e t e6r ~camer . t e ( ? a r a dat os cor . . t i nuo s )el e
t enec i ent es a una m~es t r a ext r a da de una pobl ac i 6n. Des d
en una pobl ac i 6n gr ande, exi s t e l a po s i b i . l i dad de r eal i z : ar
Los dat os ~eco~i dos pueden en ge r . e~al s er c cns i
Cur vas de f r ecuenc i a
cons i de r ada en el ej empl o ant er i or , s e des i gna di s t r i ~uCi
' nor que . Una es f ac i l ment e obt eni da de l a ot r a.
s e des i gna di s t r i buci 6n acumul ada mayor que .
s t a
a cl $ul ada me-
: do nos al ej empl o) consi der amos val or es de hor as de cer o o
I
S S O qms
etc
y
I
ent r ~s que l a - :
En es t e cas o ( r ef i ~i n
Pa r a a l gunos pr ops i t os , puede que s e des ee con i l de r i r una di s
t r i b uc i 6n de f r ecuenc i as acumul ada s de t odos l os val or es ma or es o i gual es
:
l aS S que en
f i guf a 2) .
nos s ens i bl e a l as var i ac i ones de l as l ong i t udes
de l asJ
el . caso deo:l os hi s t ogr amasi
y
' l ol go l ' ose f r e~uen: c a ( Ver
nadas.
Los
punt os s e unen po r r ec t as , y el cor r es pond i ent e r f i c o es me-
pr es ent a r t ambi n por un pol gono de f r ecuenc i as acumul adas
t e r a s de c l as e t .
1 t 2
s on u
t
l i z ado s como abs c i s as y' l o
J .
Es dec i r que l a di s t r i buc i 6n de da t os agr upados
s e ~a puede r e
donqe l as f r on
i
H. como or de
J
que el 11m t e i nf er i or d: . cada i nt er v al o de c l as e.
_
.
. ...._ _ : _ .-..~._
:.: ~
.
_
;~ .. :
-
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~ o .
: .
.
f ) l a mul t i modal t i ene ms de dos mxi mos.
d) La cur va U t i ene mxi mo en ~, mos ext r emos.
l La bi ~~al t i ene dos mx . mo ,
~ empl o: l a cur va expcnenc . a neq . va
t r emo.
Ej empl o: l a curva l ogar t m ca normal .
t e) Ot r o t i po. es l a cur va donde el mxi mo de l a cur va apar ece en el ex
t r i cas haci a l a i zqui er da ( aSi met r a negat i va) .
Pueden ser
as n
r
cas
hacia
l a
de
r echa ( asi met r a
pc
s
ava
l
o asi m-
mxi mo cent r al .
curva de un l ado s~~xt i ecde ms que el del ot r o r espect o del val er
b) En l as cur vas de f r ecuer . ci a asi mt r i cas y moder adas, el ext r emo de l a
ci a. Un ej empl o i m?or t ant e es l a cur va normal
obser vaci ones equi di st ar . t es del mxi mo cent r al t i enen l a m sma f r ecuen
a) La f er ma si mt r i ca o de campana se car act er i za por el hecho. de que l as
seca de l a i nvest i gaci 6n.
f er ent es mecani smos de gene~aci 6n de l os dat os y a ~a na~ural eza i : 1t r i n-
model os, ~er eci endo dest acar se que exi sten muchos ot r as que obedecen a di
En l a f i gura se i l us t r an al gunas dl st r i buci o: 1es ms comunes o
t os emp r i cos.
f recuenci as par ecer a a pr i mer a vi st a no. pr esentar si gni f i cant es di st or
si ones r espect o de un model e gaussi ane o normal ~udi endo ent ences di r i gi ~
se l a i nvest i gaci 6n est ad st i ca haci a el ~ ast e de di cho medel o a l os da-
n el caso del ej empl o. desar rol l ado el hi st ogr ama o pol gono. de
l eza de l a var i abl e en ebser vaci n.
r os pases ori ent ador es en l a bOsqueda de model os par a el f en6meno o at r i
but o gue es ebj et e de est udi o, ayudando t ambi n en su sel ecci n l a nat ur a
j o de l os dat os medi a~t e l a estad st i ca descr i pt i va es uno de l os pr i me-
puede ser acept ado. cor no gener ado de un det erm nado model o t eri co ( pobl ~
c i n es mat er i a de l a estad1st i ca i nf er enci al que apor t a di ver sos r ot o
~os par a r echazar o acept ar hi pt esi s pl ant eadas al r espect o. El mane -
- 9-
-
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11/38
5
4
2
102
8 ~
144 0, 00
74
0, 55
28
7, 78~
I
10
2, 78~
2
O 6~
360
100
por es t ac i 1
f r e cuenci a
Tabl a I V
t abl a nOr V) y el hi s t o g r ama ( Ver f i gur a N4.
di chos dat os s ha ccns t r u do l a di s t r i bu c i 6n de f r e
anl i s i s de
r es~e c t i va ( Ver
l os s i gui ent es dat os en l a r ed de es t ac i ones de r egi s t r o .
En es t udi os de t or ment as de l l uv i a
qbs er va ronj emp l o
val or de l a var i abl e.
l os de ancho uni t a r i o
y
punt medi o de l a bas e en cor r e s ? on
r ec t . t ng' . le di buj a como
C01_ l
val or de l a var i abl e. A ve.
l i neal es
a di s t r i buci n de f r ecue nc i ~s puede gr af i c ar s e l l evando ba
propor c i onal es a l as f r ecuen i as r el at i vas en cor r espondenc
. di s c r et as
;
En el c as o de t : : - abaj a rcon var i abl es cuant i t a
de f r ecuenc i a r es pec t i vo.l hi s t ogr ~~a o pol gono
: r eal i z
-
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_
_
.
_
_._
oli~ono e fl ecuen cia5 a C l J T uJ a d a 5
15 0
~ R S
recuenc
ac u m uiada
rela t a
FI GUR
10 0
e c o JOO 5 6 7 a 9
HOR '>
s
pol gono de f r ecuenci as
I IGURA 1
~ : : : :
-
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__ 0
e
_ ~__ J _
~__ ___~_ _
_ _
\
l
h
r:T~
F I GURA 4
2
FI GUR
_ _
-
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pr obabi l i dad el val o r de l a medi a de l a po~: ac i n, aun cuando el l a no s e
: ' ant e : l e ;Jas l as 9 : or - i edade sa c r u e e L l a per m t e aoot ar en l engua j e de
3 )
Las medi as ar i t mt i c as de l as mues t r as de medi da uni f or me ext r a das de
una pobl ac i n t i enden a di s t r i bui r se nor mal ment e pr es c i endi endo del t i po
de di s t r i b uc i n a que r espo nde di cha pobl a c i 6n. Es
qUi zs
l a ms i mpoE_
de l a cual ha s i do ext r a da l a mues t r a al eat or i ament e.
2 ) Es
mej or es t i mac i n de l a medi a ar i t n t i c a, de l a pobl ac i n o. model o
cul t ad.
cont r i buye con i gual pe s o, y. puade s er t r a t e . da al gebr ai cament e s i n di : 1
1 Su cl cul o es f c i l , de compr ens i 6n s enc i l l a, cada obs er vac i n o dat o
Las vent 3. i as de l a nedi a ar i t mt i ca r es i en en:
necer al dom ni o de l a var i abl e en es t ~di o.
Convi ene ac l a r a r que ~n pr omedi o p~ede no per t e-i ana, moda. et c . . .
mt i ca, aunque habl ando es t r i c t a . ' 1 ' l ent e,x i s t en ot r os t i [ . >osde pr omedi o ( H~
Es f . : : - ec ue~t es ar el t r m no pr omedi o como s i n6ni ~0 de- medi a ar ~t
1 )
x.
~ x
n
X
n es t def i Di da ~or l a expr es i n:
~
camano .
o una mues t r a de
ex~er i ment o o es t udi o
y
en donde di cha n- up l a de val or es s e l e denom na co-
El s mbol o xj c i es i gna c ual qui er a de Los n va Lo r e s xl ' x2
xn
que puede as u r nar una var i abl e X
j
1, 2 . n ) as oc i ada a un det er m : : ' nado
pr omedi o pr opor c i one una i mpr es i n e~gaos a
y
no r epr es ent at i v a.
__
l os da t os y de l os pr ops i t os que s e pe r s i guen t r at ando de evi t ar que el -
t i ene vent aj as y des vent aj as , dependi endo s u uso de l as car ac t er s t i c as de
~, l a r a oda , l a medi a ; eomt r i c a, y l a medi a ar mni c a. Cada uno de el l os
nados s egn s u magni t ud. Los m s comunes s on: l a medi a ar i t mt i ca, l a me-
p : i : ' c osi enden a ubi car s e cent r a l men t e dent r o de un conj un t o de dat os or de
di das de pos i c i n o medi das de t endenc i a cent r al , ya que t al es val or es
s i mpl e
y
conc i s a a l a vez . A l os pr omed. . o t ambi n s e l os conoc e como : ne-
es un val or t pi c o o r epr es ent at i vo de l os m smos , expr es ado en una f or ma
Un pr omedi o de un conj unt o de dat os homogneos e i ndi vi dual es ,
Par met r os de pos i c i n o medi das de t endenc i a cent r a l
t or ment a, en 144 una, en 74 dos , et c .
Obser vaci n: s e debe i nt e r pr et ar que en
2
es t a c i ones no ocur r i 6 ni nguna
L L
-
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I
s l a nedi a
par a t r es -
de du
i
I
I
I
I
I
6 )
Fmo:
I
I
- l es t oen su
i
f
operac i ones
a par a
expr : : : _
r go
de l a j oE.
r t anc i a at r i
i an f ac t o r e s
5
f.
J
./
T
p
oper aci ones y
t
,
t
2,
t
3 l os t i empo s de d~r ac i 6n de l as
ponderada es t ar a expresada por :
S
i
l l amamos T l T2 I T 3 a l as t er : r ? e r at ur as
de
expos jf
r ac i n de cada
oper ac i 6n
que
l
m smo r ea l i z a pedr a cons i der ar s e l a medi a pon4er
sar l a t emper at ur a
pr omedi o q~e
af ect a a
di cho obr er o a i o
i
,
nada
de t r abaj o
y
donde l os f ac t or es de
ponder aci 6n
s on ~os
: w
Por ej emp l o, s i un
t r abaj ador
met al r gi co s e ha l l a ex
,
j or nada
de t r aba j o a t . emce a t . u as que va r an de
acuer do
1
W
K
bui da a l os dat os numr i cos . La medi a
Wk
que dependen
de l s i ~ni f i c ado o i m
i
cal cul a ent onc~s
s ej as
i er t os cas os a l os val o r es Xl x2
n
Medi a ar i t mt i ca ponder ada
1
o nmer o
t ot al de da t os
1
i
I
S i endo
n
t
la
frecuencia
J
1 < =
:::1
2 . . . ~k
~~ + .
f. x.
:L :]
J
l
k
X
mt i ca s er a:
nes mar c adament e as i mt r i c as no es r e pr es ent a t i v a, por p e su, us o no es
aconsej abl e en ~s t os
casos ,
pese a su
e xa ct i t ud ma t em t i ~a.
l ,
Si los val or e s numr i c os Xl x2 xk ocur r en
l f
2, fk
veces r es ~ec t i vament e ( es dec i r apar ecen con f r e cuenc i a
tl
l a m edi a ar i t
I
i J
v
j u s t ame : _
a di ~t r i buc i o-
,
ra, ~a
di s t r i -
al
~ ~@
6 iI
.
,
I
t e
i nf l uenc i ada por
l os
val or e s ext r emos ,
y
en gener a l ,
p
Una des vent aj a de l a
r r . edi a
ar i t mt i ca es que la
E ffiLcdiara
buc6n de las medi as ser rr.s pr x i ma a la di s t r i buc i n
no
i
aujsm
Es de
hacer not a r
que
c uant o mayo r
sea
el t amao
de
l a
du e
hal l e nor mal ment e di s t r i bui da.
-
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. r
8)
n
x
Por t an t o:
d.o: :
x.-1\,
J J
Sea un conj unt o de dat os x . e i . ndi quemos por d. l as des vi ac i ones
J J
r es pec t o de un nmer o A f i j o ( que puede ser uno de l os x . ) es deci r
J
e) pr opi edad de l a t r as l at i v i dad de l a ~ed~a
n
z
-
+ y
(x + y
En ef ec t o:
es Z ; : x . . .y
v
-n
n
.~
dl Pr opi edad de l a adi t i v i dad de l a medi a
r n r i cos
es :
,
,-
,
-
If~
xl
+ fZ
x
2
+
+
f
X k ,
x
1
. k
x
=
=:
7)
,
,
+ f2
+
.
.
f
2.
f~
t
dec i r , eue es una medi a ar i t mt i ca ponder ada de t odas l as I r : edi as .
.
,
e) Si fl dat os numr i c os t i enen medi a x l f2 dat os t i ener . medi a x2
y
en
gener al f at es t i enen medi a xk ent onces ~a medi a de t odos l os cat os ~u
k
Se demues t r a apl i c ando l a condi c i 6n del m1~i r no de l an l i s i s mat emt i co.
Es dec i r
X
j a)
2
m ni mo s i a x
a = x
num r icos x r es pec t o de cual qui er nme r p a es un m ni mo ~) i y s ol o s i
J
b La
suma
de l os cuadr ados de Las de s vi ac i ones de un conj unt o de dat os
s er d. = ~ ( x . -
~ J
_
J
o
=1
x . - n X.
J
x~ -:2.x~
x --:l:.
nn
al La suma al gebr ai ca de l as des vi ac i ones de J n conj unt e de nmer os r es pe~
t o de su medi a ar i t mt i ca es cer o. En ef ec t o, s ean l as des vi ac i ones
pr . opi edades de l a medi a ar i t mt i ca
I
lp
1
-
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lt\\
di ana es t d~
. l oque prese
el nmer o y el
i
I
I :
c i a t ; {ue os me
r f am~s que l os
c on t ar c on un
s i n es i mpa r
segfu s u rn ag_
i
I
r o t ~ene mayor
jus c adc
c al c ul ar el emen
~q
~ sen co
c4l cul o de
ho , pueden con .
l
~ medi o del i n
rada
' : c s agr : -
~ c l as e, i
i
ase cuaLqu .e
c
~. . edi ana
~
Se denom na medi ana de un conj un t o de da t os or den~do
J
i
ni t udf al val or medi o ( equi di s t ant e de l es ext r emos ) x( nTl
o l a medi a a r i t mt i ca de l os dos ' Tal ar es medi os
n6mer o par de da t o s ( ~n/ 2) +7n 2+11) En ot r as pal abr ar
val or e s mayor e s que l a medi ana ocur r en con l a m sma f r er u
no res a el l a, es dec i r que l a medi ana es t det er m nada r o
d ~ ~ ~ ~ b ~ ~ ~ l ~ r n ~ r c
do por l a s i gu i ent e f 6r mul a;
t al es .
cua ndo el c l c ul o s e r eal i z a manua l ment e o c on nqui nas de
Ac t ua l ment e, con el us o de l as mqu~nas comput ado t as
s ent i do des ar r ol l ar en de t a l l e el mt odo abr evi ado, mt ~do
_
r es pec t i vament e, pt r a
I
noc i dos c omo el m t odo l ar go
y
cor t o
l a medi a pa r a dat os aqr upados .
r a y dj xj A l as de s v i ac i ones xj c on r es pec t o a A.
pado s s i s e i nt er pr et a a x. como la s eal o punt o medi o de
J
su cor r es po ndi ent e f r ecuer . c i a de c l as e, A' l a s ea l de uJ a
La r eal i z ac i 6n de l os cl cul os us ando l as f 6r mul as
Ii
rs
i
t odos l os val or es que pe r t e n ecen a un i nt er val o de c l as~ d
I
s i de rar s e como coi nc i de nt es con l a s eal de l a c l as e o gun
I
t er val o. Las f 6r mul as ~ y 9
son
vl i das par a el cas o
Cuando l os dat os s on pr esent ados e: 1 una di s t r i buc l i . 6n
e
f r i ec \ J . enc i a,
;
[
Medi a ar i t mt i c a c al c ul ada de dat os agr ucados
ya que . : l E
fJ
n
J
d.
]
or t ant o x
_ f
x
x ] ]
veces , et c . , s e t endr
Anl ogament e, s i en el
Si n. t et i z ando : x = A d
- .,-. .... .,., _. -----_.
-
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propi edad o
E~~~
ser medi das cuant i t at i vament e per o pueden ser or denadas conf orme a al guna
Adems es el pr cmedi o i ndi cado cuando l as observaci ones no 9ueden
ocur r e con l a medi a ar i t mt : : . ca.
nes de f r ecuenci a con cl ases abi er tas en uno
y
ot r o ex t : : : : - e r r . ocosa que no
La medi ar . a t i ene l a vent aj a de poder ser ca. l cul ada para di st r i buci o-
t i e~e mayor uso en el caso de di st r i buci o~es marcadament e asi mt r i cas.
cent r o del r ea del i m t ada por el ~ st cgr a~a. La medi ana, como promedi o,
rea, m ent r as ~ue l a medi a ar i t mt i ca cor r esponde a l a absci sa del bar i -
ponde a l a ver t i cal qt : e di vi : : : ' el hi st cgr ar na en des partes q- . : . ei e: : 1eni gual
( absci sa) que corres-
eomt r i cament e l a medi ana es el val or de x.
J
sa de l a medi ana, l e cor r esponde l a or denada 0, 5 o 50
ci 6n l i ~ea~. En el pol gono de f r ecuenci as r el at i vas ac~~ul adas, a l a absci
Es evi dent e que el val or de l a. medi ana ha si do cal cul ado por i nt erpol a-
Reempl azando 8: l a expr esi n anter i or se j ust i f i ca l a f 6rmul a ( l O)
y AE c
1/2 l
. . .
e
I
clase medi ana
y
si endo ~ : f recuenci a de l a
I
ya que x
Ll
ser
x~
Ll
B b
AE
CE
C
( suponi endo r ect a GA)
_._ _
FI GURA 5
observa que:
Del l gr f i co de l a f i gura NS. cor r espondi ent e a un pol gono de f r e-
cuenci a acumul ada, se
X l
5 _
I
.
~~pl i t ud de l a cl ase de l a medi ana.
f ~ f r ecuenci a r el at i va de l a cl ase que cont i ene - a : nedi ana.
f
suma de l as f r ecuenci as r el at i vas de t odas l as cl ases i nf er i ores
a l a cl ase de l a nedi ana.
Ll l i m t e i nf er i or de l a cl ase que cont i ene l a medi ana
donde:
-
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I
t r : i ngul os
I
QRP Y PST, medi ant e l a pr opor c i 6n
s i gui ent e
L a
j us t i f i c ac i 6n
s e ha l l a
ana l i z and o
l a
s emej anz a
F i gu r a N 6
De un hi s t ogr ama, puede ub i c ar s e gr f i c ament e l a mqda en l a f o r ma
q~e se i nc i c a en l a f i gur a
de
l a
c l as e
de
l ~
c l as e
11
val ot ce x
J
expr es i 6n de
una -
es un i mo-
el
ntl
A v ec es ,
val or
e medi da del i nt er v al o de l a ' c l as emodal .
L l
l i m t e i nf er i or de
l a
c l as e
modal ,
D x
exc es o de l a f r ec uenc i a
modal s obr e
l a
f r ec uenbi
i nmedi at a i n f e r i or .
~A
exc es o de l a
f r e c u enc i a
modal s obr e l a f r ec uenJ c i
1 .
i nmedi at a
s uper i or .
t
donde:
x Moda =
l a meda s er :
( o v al or es de x. ) c or r e s pondi ent e al mxi mo de l a c ur v a, ]
Por l o t a n t o en el c as o de dat os agr upados , s i s e
c ur v a de f r ec uenc i a de ac uer do a l os dat os , l a moda s er e
nes di s c r e t a s s e l a l oc a l i z a r pi dament e.
En gener al es ms us ado en es t adl s t i c a econm ca
al ) .
que oc ur r e c on mayor f r e c uenc ~ , dec i r , e l va l or ms :
n
l as s er i es emp r i c a s ,
no
es t ni t i dam~nt e P i f er enc i adf '
mer o de dat os es pequeo o bi en el v al or ' modal no es ni ~o
L a moda o el modo de un c onj unt o de dat os n u r nr i c o~
Moda
-
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20/38
,
. ~{__l:.~_ :. - _ . ~; 0_ -q a :
\ ..
.
:~~: '::-..~---=-= -.;~
::;-.7 -:.-.~ .. - .
T
l 3)
< ; ~ l ag x
l ag x =~~ i
g ~ =
6
,
x
n apa~ecen cen f r ecuenci as
f
li l os dat os
m:... r cos
xl x
f
,
f
2,
fk
l a
medi a geomt r i ca ser :
\/
f
f
x
1
2
= =
Xl
x
g
12
x
T
x
g
x l a medi a geom~t r i ca est
n
ado un conj ur ; t o de dat es x~ , x
21
dada por :
~edi a qeomt r i ca
Exi sten ot r o t i po de pr omedi os que l os
la
i r . . di cadosant er i or ment e. A
cont i nuaci n se i ndi can al gunos de el l os.
Ot r os or omedi os
coi nci di r ~n con l a medi ana.
Es evi dent e que t ant o el qui nt o deci l como el ci ncuentavo per cent i l
coso
LoS dec .Les se usan pr ef er ent ement e en t r abaj os educaci onal es y ps . coLq.>
segundo :3 eci1 et C 1 o bi en pr i mer per cent i l , segundo per cent i l , et c.
t i vament e i gual es r espect i vament e,
y
de ese modo se t endr 1 el ?r i mer deci l ,
que co~si st e en di vi di ~ el conj unt o de dat os en l a
y
100 ~ar t es cuant i t a-
Otras medi das de posi ci n est n dados por l os deci I es y per cent i l es,
val or numr i cc de l os dat os en. est udi o.
Ext endi endo l a i dea o concept o de la medi ana, puede di vi di r se el cc ,.
j unt o de dat os or denados s egn su magni t ud, en cuat r o par t es i gual es que
desi gnar emos con l as l et r as qI Q2 q3
y
q4 r espect i vament e.
ql se denom na pr i mer cuar t i l ,
q2
segundo cuar t i l o medi ana,
qJ
t e~
cer cuar t i l
q~
cuart o cuart i l est e l t i mo, l gi cament e, es el mxi ~o -
Cuar t i l es, deci l es y per cent ~ es.
l a var i abl e consi der ada) .
J e acuer do a l o vi st o, par a una di st r i buci n eon i nt ~r val os de cl a
s e desi gual es l a cl ase modal ser l a de mayor f r ecuenci a r uni dad de x
Lgi ca~ent e par a di s t r i buci ones per f ect ament e si nt r i cas un modal es,
l os val or es de l a medi a, y medi ana coi nci den con l a noda.
-
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l a ~r oduc c 6 n ( ~. a. 12~
i ~amos
-
Si
un
dade s )
y
~~ _ j, ; :~ :~
na. Su pr i nci pal apl i caci 6n est ad s t i ca r esul t a cuando apat ecen desvi a
I
ci ones gr andes
y
er r t i cas, ya que en est e caso l a desvi aci 6n e~andar
( que es l a medi da de di sner si ~ ms usual ) l as aument a an ms.
j =
\ x
J
A \ es m ni m i si A
= =
medi a
:
h
Una propi edad i nt er esant e es u
l ugar de l a medi a.
de l as desvi aci cnes absol ut as r espect o de l a medi ana u ot r os ?r omedi os en
f
sent an seal es de cl ase y l as f. l as cor r espondi ent es f r ecuenci as de cl ase.
J
Sl o ocasi onal ment e l a desvi aci n medi a est defLn da en t r ni nos -
E5ta l t i ma f orma es usual par a dat os agr upados donde l as x~ r epr e-
~
k
n
=
fj
j:::l
16) ,
k. _
~l fj
I
x
j -)(
n
~
M
j::l
n
x ocur r en con f r ecuenci as f ~, f2 ,
k ~
i Xl
x
2 3
15)
I x ]
M ea
_ _
x dat os num~r i cos se def i ne por :
n ,
esvi aci n medi a de Xl x2,
r es de 5 uni dades.
cont r ol de cal i dad por su si n91i ci dad
y
con muest r as en gener al no mayo -
r ango) :: 0 cua l, :0 hace de di f i ci l t r at a; ni ent o mat emt i co. Es usado en el
muest r as de l a m sma pobl aci n pueden t ener grandes di f er enci as en su
Adems
es muy sensi bl e a l as fLuot . uac . ones del muest r eo ( di f er ent es
r espect o del val or cent r al .
de l a di st r i buci 6n de l os m smos ent r e esos ext r emos o su concent r aci 6n
t r emas, l o que puede ser purament e acci dent al y no nos di ce nada acer ca
Aunque el r ango nos propor ci ona al guna i nf or maci 6n acer ca de l a di sper si 6n
:I
de l os ~at os r espect o del pr omedi o, l depende uni cament e de l os dat os ex
f r onter a i nf er i or de l a cl ase ext r ema i nf er i or .
di f er enci a ent r e l a : ront er a super i or de l a cl ase extrema super i or
l a
val os de cl ase ext r emos, cor r esponde par a hal l ar el r ango, establ ecer l a
al de l a cl ase menor . Si exi st e U~ nade dat os apr eci abl e en l os i nt er -
~: Es l a di f er enci a ent r e el mayor y el menor de l os dat os numr i cos.
Par a dat os agr upados es i gual a l a seal de l a cl ase mayor menos l a se-
21 @
-
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-
..
. ..
_ - - _ : --
;
t nac i 6n. Por
I
~ ~. : , l a -
r e~~n~r -
~i dad
podr a-
f
e
q
e es una
e~ en de-
diferencia e
I
r pr . e: obt eneE_
hi c i n
por
el
mas
dec i r que no es
l a
des vi a ci n
es t nda' r
de l a mues t r a~ s
i
mej or
es t i mac i 6n
de
l a
des vi ac i n
es t ndar
de
PObl ac i ~n
f i n i t i va
l o que i nt er es a
i
c ono c er .
Es t e as pec t o s e ac l ar a
al
es t udi ar
l a
t e o r a
de l a
es t
es t a
raz6n
muc ho s aut or es
en-::re
e2. 105
Fisl.er
han
p
r opue. ac o
des vi ac i 6n es t andar c on n- l en el denom nador aunc ; : ue
en
r e
/ _ c _ _ n
n
1
f ac t or
l a mul t i p l i c ando l a ~ c omput a da de ac uer do a l a pr i mer a def
Cuando s ea nec es ar i a una mej or aprec i ac i 6n s e pod r i s i
~
t r e l as dos
definiciones.
Par a val or es gr andes de n ( n ~30 no hay pr ac t i ca rnent
mado l a mues t : : c a .
I
una mej or
e
st r r . ac
n de la
des vi ac i n de 1a pobl ac i n
de la
que s e ha t o
con n -
1
;
r eo: r l es ent a
18
A
vec es , par a l os dat os de una mue s t ~a, s s er def t ni
I
en l ugar de n en el denom nador , a c aus a de que el r eSUl t ad
t
2
f. x. - x
J
J
s
Par a dat o s agr upados s e r :
oec t o de l a medi a.
:, ,
po r lo t ant o s es la r a z c uadr . t i c a medi a de l as di s v l ac i or l l eses -
17,
i
n
- 2
x. -
X
J
j =l
Xl ' x2 . . xn es t expr e s ada por
de dat o s
Pear s on) de un
e
nj unt o
i
i
La Des vi ac i 6n es t andar ( as denom nada por
y el r ango per c ent i l
10 90
cuy a ex _ ) r es i nes
p P90 f l O
2
go s em - i nt er cuar t i l expr es ado po r
Ot r os par ~met r os de des vi ac i n , en gene r a l po c o
Cl ] - ql
q
~-----~- -'-'--'-'-
-
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~_
t
.
2
2
. _ 2
x
2
2
2,
x~- xl
-
x:x
Xj
s
d
n
n
. .
-2
x;
x~
-
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000
dnnc tpoox
>
-
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~.-----~
..
~ .. .,.,
..
- ,~ : : --- -: --
_ ~ _
_
_. . _
est udi o de l a di st r i buci n. Par a muest r as pequeas, en gen r al el er r or
Es evi dent e que en t odos. l os casos, ant es de apl i car l a hay ue hacer un
er r ores exi stent es por ot r os nuevos que sur j an de apl i car 1 cor r ecci n.
OS
est adf sgr af cs di scr epan acer ca de cuando
y
si l a c r r ecci 6n debe
ef ect uar se, ar gument ando al gunos de e11, 05el pel i gro de r ee pl azar l os
donde l os ext r emos t i enden gradual ment e a cer o en ambas di r cci ones.
La m sma es ut i l i zada par a di st r i buci ones de var i abl es cont i nuas
medi da del i nt erval o de l a cl ase.
var i anci a de l os dat os agrupados.
var i anci a cor r egi da.
donde:
v
e
23)
Sheppar c
en el caso
por l o t an
6Q 60
Se ver i f i ca =ci l ment e que f x es
4
en ambos casos~
t o el cl cul o de
x
no suf r e ~odi f i caci n.
~ 11
in embar go, ~ f x cr ece de 17 en el caso fA) a 174
B) , l o que hace que l a var i anci a s var e de 1, 92 a 2, 25.
rneutrl r este efecto se plic l correccin d~
cuya expresi n es l a s i gui ente. 1
I
I
dat os agrupados
B)
x
2 5
Dat os
no ag::: ;:pados
A)
x
1 2 3 , 4 5
fIlO 2 3 3 2 1
ci l l a:
Para vi sual i zar est e concept o, est udi emos el si gui ent e j emp10 sen-
ms gr oser o es el agr upament o ef ect uado.
se t r at adel cl cul o de l a desvi aci 6n est.ndaz y ms se man i est a cuant o
agr upament o no i nt r oduce un er r or apreci abl e, no sucede l o i smo cuando
Si bi en en el c~ cul o de l a medi a par a dat os agr upados, el er r or de
Cor~ecci 6n de Sheppard
ponderada de l as var i anci as de l os subconj unt os y l a ot r a es l a var i anci a
~e sus medi as . Est a pr opi edad es de gr an i mpor t anci a en el nl i si s de
l a var i anci a y es posi bl e general i zar l a a ms de 2 conj unt os.
una
s l
medi a
a var i anci a t ot al puede ser descompuest a en 2 par t es
-v ,
25
-
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que l a di str i buci n de
t i c a que 9uede ser desc= pt a ent erament e en f orma mat er o
ent j e hi pot
i
A
Como se ver l uego, l os moment os ce mayor
dos pr i nci pal ment e par a car act er i zar pobl aci ones ms ~ue
, l a def i ni ci 6n
pobl aci n, cabe agr egar l a pObl aCi ~nl pu
;
so~ ut i l i za-oment os.
l os -
dre
drd
vante cont eni da en l os dat os or i gi nal es .
t ant o como sea posi ~ e ( i deal ment e l a t ot al i dad) de l a
da por un conj unt o r el at i vament e pequer , o de nmer os que
~ de corrt e ner
I ~
or mac~on r el e
Entr e est os nl 1mer cs r epr esentat i vos f i guran
i
si n puede ser Lncapaz de ser r et eni da en l a ment e, debe ker : : : - ; eempl aza_
E:1
pal abr as de
RA Fisne=
una can t i dad de dat os que
po
r al es de l a est ad st i ca es si nt et i zar y car act er i zar dat
_
_ _ ~_ _
,lcble~as
gene-
mer a expr~
Como ya se ha expresado anter i ormente uno de l os
di da sean di ferent es.
Momentos - - - - - - -
muy t i ~ en l a compar aci 6n de di st r i buci ones donde l as u, dades de me-
j iC:lO coef i ci ent e es un nmer o adi mensi onal ,
y
po esta. r az6n es
s
y que CODunment e es ex~r esado en por centaj e.
Di sper si n Absol uta
E:: el caso que l a d spez s In absol ut a sea la de~.V t Ci n, es~ndar
el
pr omedi o sea
l a
medi a
el
coef i ci ent e ant er i o r denpmna-
ccef i ci e: 1t e de var i aci n y se exor esar . oar :
ci ent e de di sper si n r el at i va dado Dor :
Pr omedi o
~l
coef i -
l a m sma desvi aci n r ef er i da a un ~r omedi o de 200
em
s por el l o que est a apr eci aci n se l ogr a dar m~d
t o de un val or pr omedi o de 1000 cm es di f er ent e en s u
que
l uta. Es de hacer not ar si n embarso, que una di sper si ~n e 10~cm r espe~
abso-
st os parecen depender en al guna maner a del val or de
descr i pt o de l a desvi aci n est ndar es una medi da
l o que
cl cu
l o de l a medi a si no t ambi n en el cl cul o de l as desvi ~ci
en el cl cu
~ _ M .:-_ ~ __ __ ~
Di sper si n absol ut a y r el at i va
magni t ud de l os dat os r egi st r ados no sl o
-
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. ~ H
I I I I
P ' . I .X ',~ , u . . , . , ,, ~ , - - - - - - , , . .~ - : _ . _ _ . _ . - , - . . ~ . . . .: _ ; . - ; - . .. . ~ . . _ . _ - : . _ _ . _ . _ ~ ~ . r.._.,._.~-::.--::- 1~n-- : ; : . J ) j ; ; (
~K ~.~,_: __ -.;..
_ ~ < r I o . : I: . . . _ .
. ~ o i W o :
...... .
donde
n
n
.
::
f x ,
- x
r = . c : : . ;
( 28)
- r
- x
m
r
f 6rmul as
~as
Moment os par a dat os agr upados
apare
I
I
cl ases)
. . xk ( seal es de l as r espect i vas
.
,
f Z . fk, l os moment os dados por
Si Xl ' 2'
:
f
cen con _r ecuenc~a5 l '
que dar expr es ados por :
Si
r
=
1
ml
e
vri nci
= =
m
s
=
n
( 26)
el de mayor
1, xr es l a medi a ar i tmt i ca
El mo: nent ode or den r con zespec t.o a l a medi a
x
e r
i mpor t anci a en l a t eor a est ad st i ca,
y
est def i ni do
p r I
Par a r
...
r
+
r
r
x
. .
Xl
x2
~
x
;:
T
25
n
1
- .
x, se denom na monent o er r es i mo (con or i gen cer o) a l a expr es 6n:
gan un
papel
i mpor t ant e.
En l os m~t odos mas comunes de cur vas de aj ust e, 1s moment os j u~
. x datos num r i cos as~~ dos, p r una var i abl e
n
que t i ene l as car act er st i cas de : ' adi s t r i buci nIfatemtica.
I .,.
r.
car acter st i cas. Si el aj ust e es sat i sf act or i o ( cosa que se uede j uzgar m~
di ant e una pr ueba de si gni f i canci a est ad st i ca) , ent onces est a emos en condi -
ci ones de consi der ar l a muest : : : abser vada como proveni ent e de una pobl aci 6n
por una di st r i b1. . : ci 6nescr i pt a mat emt i cament e,
que
parece t e. er 5i m l ar es
r eemp[ aza l a di str i buci 6n empr i ca a l os ef ect os de una ul t er or di scusi n
Cuandp se r eal i za un aj ust e t er i co de un conj unt o de datos e per i ment al es, se
f 6r , muf a mat emt i ca.
-
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31/38
/
pa r a I car ac~er i z ar l as .
( y a que m
O; m2 = s ) y es t o s ucede
l a ~i s t =i buc i 6n en es t udi o ?Or l o que di chos moment os
I
i nde~en~~ E nt ~ent e de
u t i l i dad
29)
m
a
r r
r
~
s
Por ej empl o:
al
O
=
1
medi a nt e l a s i gui ent e expr es i n.
ad ne n s i onal ,
i
i
i
c i ones de f r ec uenc i as i nt e r es a expr esar l os moment os en
l as d .st Lbu
A l as ef ec t os de medi r c i er t as car ac t er s t i c a~
ant er i o : : : -ac i endo t ender
n
ao no t i enen mayor i n c i denci a
f r mul as
par met r o
ellos
di g~
ef i r i e como es t i mador es s i n des v o, ya que s i por ej em~l o
.A
mos ? : ) , fue r a c al c ul ado pa r a un gr an nmer o de mues t r as
A
moment os cono c i dos , l a medi a de t odos l os val or es de~3
~3
es
dec i r el par met r o moment o de 3er or den par a l a
Par a s uf i c i ent e~ent e gr ande ( c omo s e
Se l os
n-2) Tl-3)
n-2).
El l os s on
A
m x
A
c r2 = n s2/ n1
=
ca que a cont i nuac i n s e i nd i c a:
es t ad s t i -o s on gr andes , s e obt i enen mej or es apr oxi mac i one s
. . _ ,
c i ones de l os moment os de l a pobl ac i n per o s e
Los cor r e spo nd i ent es moment os ~ar a l as mues t r as
i a cornun-et r ~ que apar ec en en l as ecuac i one s de var i as c ur vas
ment e, us adas .
s on par , -
de una
y s on c ons t ant e s de s conoc i da s que apa r ecen en l a ec uac i 6n e
c uenqi a que s e pr e s ume r epr es e~a l a di s t r i buc i 6n, per o q~e
~
di s t r i buc i n del m smo t i po a ot r a. Los moment os de
una
P1 rmet r o s ,
de f r e
Reco rdemos que una es t ad s t i c a es un nmer o
.;i
obs e r v ac i ones de una mues t r a
y
~t i l i z ado pa r a
es t i mar
de l a pobl ac i n r es pect i va. Es~as car ac t e r s t i c as se
modi
f i c ados medi ant e l a cor r es pond i ent e es t i mat i va.
Si n embar go, s i s e qui er en eS~i r nar moment os p4 r a
l os c or r e spond i ent es de una mue s t r , c or r es po nde ca
I
i
I
a pabl ac i 6n
s
l as
1
S
1
I
ado : de
medi al nt e
_
_ ..
_ _ _
_
_
~- _.:
.::.:.:.~ _ _ : _ .: .~ .: _ - --_..
-
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u. . . __ ..
i
27
4~
- : 5
x
75
18 X 225
+
29
x
375
+ .. +
2 S25 ~ ho r as
x
= ----------~--~~~--~--~~~----~~~------~
a)
media
r
tmtica (a~Hcando la f6rmula - 5
s i gui entes est ad1st i cas ~ar a dat es agr u~ado s
De l a
~abla
I
de distribuci6n
de
frec~encias
Duece c al c c l ar s e l as
Ej emnl c N l
32~
que par a l a di s t r i buc i 6n nor mal es ? 4 = 3. Por di c ha z az n 1
coeficiente
c ur t os i s s e define a vec es por :
. (31)
el moment o cu r
t
. c o aclimensional.
mente, a l a distribuci6n no r mal . Una :: .,,,diaa de m s ma s e btier.e med . ant ; e
Analiza
l a
magnitud
cuso
.deL
de
una distribuci6n referida usual
CURTOSI S ( Pal ab r a de or i gen gr i ego que s i gn i f i c a gi ba o
j rcba ).
menor que cer o s i l a asi met r a es hacia l a i z qui er da.
Par a l a mayo r i a de l as distribu.ciones - 2~ 4 : ;.
_ tribucin ncrma.l, a3 es nulo.
Si l a
as i met r a
es
ha c i a l a derecha ,
a_ ser~ may
5
que ceLo
y
r
di s t r i buc i ones per f e c t ament e s i mt r i c a s ,
que pr et ende r ~ es t i mar
e~3
de
la
pobl aci 6n.
. J O
111ffi:l ) 3
r2
a =
3
di da ~
v~ria5
f ormas, s i endo una de el l a s , pr ec i s ament e ( ~l r ome 1t o adi men
. l.
s i onal
e r e ; 3er orden.
puede s er m~
f r ecuenci as
Asi met r a
La magnitud de la asirr~tra de una distribuci6~ d~
~
ya s ea f st a asimAtrica hacia l a der echa o hac i a l a i zqui e~dat
n
de la variable estandarizada
,=
x-x)r
zr
es de c i r
x
z ,.
Lo s momen tos adirr.ensionales surgen de c ons . de a r
-
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33/38
bt er r n eo par a
s e ~eal i z ado
r on
er :
~ ~ ~ u ;: :
I
medi ana se
2,~
4
haci a
;
;
20 m no
x .. x n/2 + 1
Cu~l ser~ l a medi ana?
Respuest a
Ej empl o 2: s ear . l os s i gui ent e s I l os t i empos
-
5/19/2018 Estadistica 2013
34/38
-------
anl i si s de cor r el aci n y r egr esi n ent r e var i abl es es Un i m p~tant e cap t ~
l o de' l a est ad st i ca, hab ' i ndoseexpl i cado a
-
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35/38
.. _ .. ~ .--_ .. ...............~. _ . _. _ .. 1. .
I
~n de : caT\ er as
f or es ; ent a con-
. I
t
s ever as , _ de
suavea y de
, pr Qyec t ada
La r es i s t i v i dad del s uel o es ut i l i z ada en es t ud i os de cor r os
ent er r adas . Por ej empl o una r e s i s t i vi dad de
O
400
ohms / dm
di c i ones de cor r os i n ext r emada : nent e s ever as , de 400 a 900 r
900 a 1500 s ever as , de 1500
a
3000 moder adas ; de 3000 a 8000
8000 a 20000 l evemen t e r i es gos as . En vi s t as a una cons t r uc c i
s e ha hecho 32 medi c i ones de acuer do al s i gui ent e de t al l e:
PROBLE. MA N l
E~ERCI C OS PROPUESTOS
c i 6n l i ne al .
SaO
de
di a gr amas de di s per s i 6n con el cor r es pondi ent e co e f i c
En l a f i gur a N 8 al , b)
el , dl , el fl s e i nd i ca
(2,593) . 2, 449
S
x
y
I
di f e r e n t es ca
r nt e : de cc r r el a
0, 558
3,545
x, y
=
Par a
el
cl cul o cel c oef i c i ent e de cor r e l ac i n s e di s pone
I
\_
n
=
11
S
3, 545
( apl i c ando f r mul a
l
, y
59 S
2,593
( a~l i c a 1 dc
.f ~
7;;
l ~
J orrru
x
I
x
2
64
S
2 , 449
( a? l i c ando
f 6: - mu: : a
< 1 7
y
Por l o
t ant o
at : l l i c ando
a
f r mul a 3~
s e
t i ene
qu~
69 64 65 63 65 64 66 59 62 62 65
2 (mg/ll
71 68 66 67 70 73 72 65 66 71 70
l (:ng/l
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
.
gr a mos por l i t r o)
Ej emol o: Sup6ngase s e qui er e cuant i f i c ar l a cor r e l ac i 6n l i r e ex i ~t ent e en
t r e dos Da r rne t r o s ( po r ej empl o s ul f ~t os
y
el Or ur ps ) i nd~cador es
de l a compos i c i 6n qu m ca del agua de un poz o de
x
acc i 6n de agua
subte r r nea en c i er t a z ona ( l as concent r ac i ones e~t dadas en m l i
~
unda4t ent os
edi da de l a cor r e l ac i n l i neal , s i n ent r ar a cons i der ar
5tl.:.
\ J
t e6r i pos que es capan al obj et i vo de es t e cap t u l o.
-
5/19/2018 Estadistica 2013
36/38
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J Ij ~ : I ~ I' .I J . . J ' I '_ ' ' ' ' ' - - _ _ ' ' ' - ~ ' ' ' ' ' ' ; :: : . ; . .: _ . : . . . ; . -.
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-
5/19/2018 Estadistica 2013
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CI T ?onent es
r/v~hlculo sean
6n.l~neal entre
I
I
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forrnu
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de
c;las
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I
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d
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I
l 61
1
l l l O
I
h ~ o
i
II :
1
I
1340
h ao
~550
7500
:2300
124
~O6
18BO
6550
iiao
176
-
. . e
~
Exi st e al gn i ndi cador
de
que
algunas COm ,)inacicnescon~uc
1
r nf i s r ~pi s que
otras?
(estudiar si
existe alguna correlac
e~ tiempo c e t.ransporte : r el tiempo ce retorno).
Compara~ la cesviacin st ~Card o e la su~a con 3S de l~s
l dem par a el coef i ci ent ~ ce var i aci 6n
Calcular la media la mediana
y
la 1:100a
Il_led
l~' pa.iil dz
t.o
s 3g1'Upaaos.
.
.
..cons't.zu
.r '
un 901ig'oilo-de .fr~cuen~ias acumu.La
Cons.truir
t e .
:hi_~'tograma utilizando las banda
cin enu_c.~ad~s
como
in
tervalos.
1370
: .260
15
16
l HO
12
13
14 '
,
, 1
.L~
124
81
91
84
1340
6
7
9
1
:
, .
22.
23
2~
25
26
27
28
29
3
3i
?
2300
') 1
r
5W
11'70
5nO
:,
1
:')
'.)
O
7
,13
9
7
1 0
%0
2
3
1
I
-~
j . .
'En.operaciones de construccin ..pesada los tiempos deLcicl
I que curnoLen
los
vehiculos causan
at~ascs
e~ el
~rocesc
total. Hallai 1
b
medias' de
las muestras, las desviaciones stndards y los coeficiente
I
ce variaci6n
para caca Una de las s.qu entes etao2S del ciclo y pa.ra .el f.iem~o total..
Cuales
_etapas
,5'::1 ms
v
ar
abLes? Ct::ales
con
tr .buyen ms
s
~iarnen't~ ~
la
~a~iaci6n del tiemDo total? .
-
5/19/2018 Estadistica 2013
38/38
i
.
, ..~.
. o . : ~ ~ _ _ _ _ _ - - _ - _ .- - - - - - - - . - - _ . . . -
a s i met r a
y
e l coeficie::.: e d.3 curtosi.s .
EaIlar la media de la muestra , su de s v e
s~:1da : d,
el coef i.c :1::eo.e
30
l a
17
24
20
20
16
24
25
19
24
28
23
23
23
17
l a
l 8
Los t.iempos observados del cicle t ot a l de carr.Lone s de t.r ansoo te de c erto
material fueron
105
siguientes: (en
m nut os
PROLE-1A N 3
t
@
I
I
Tot a l
Es per a
Ca r g a
. l . r a n sp or t e
Des c ar ga : : 1 . e t o f no
0 00
1 58
2, 08
0 46
2 F 5
6, 67
,
-
0 00
1 , 72
1, 95
0 53
~5
6 65
0 00
2 , 52
2 18
O, ~O
3,13
8 23
0, 51
1, 84
2, 08
0,53,
2
7, 49
I
~
1, 02
1, 47
2, 15
0, 61 2, ~4
8; ,06
0 00
7
2, 20
0, 63 , ~2
7: , 06
2 17
0 49
I
1 71
1 80
2,;51
8 68
2, 35
1, 67
2 25
0 64
21 46
9 37
1 12
2 38
1 99
0, 69
2 152
8; , 70
2, 06
2,07
0 41
7. , 48
0, 50
2, \ 44
1, 29
1, 9 2
2 l B
0, 54
2, 36 8, 29
0 00
2, 03
2, 17 0 59
2 69
7,48
0 83
1 85
1 96
0, 60
i5
7.,76
0, 46
2 23
2 16 0 55
2, : 47
7,87
1 05
1 94
99
0 57
A9
8 04
. . . . , . .
0 77
2 00
2 13
0 60 2~68
8 18
o o
1, 88
2 03
0 80
2 35
7 06
1,32
1 93
1, 99
0,50
2 36
8 10
