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FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE METODOLOGIA DE INVESTIGACION
TITULO:
“MODELO PROBABILISTICO Y REGIONAL DE LAS DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS DEL RIO SANTA EN LA REGION ANCASH”
TESIS PARA OPTAR EL TITULO DE:
INGENIERO CIVIL
AUTOR:
Abelardo Manrique Díaz Salas
HUARAZ, FEBRERO DEL 2011
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE METODOLOGIA DE INVESTIGACION
2
TITULO:
“MODELO PROBABILISTICO Y REGIONAL DE LAS DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS DEL RIO SANTA EN LA REGION ANCASH”
Aprobado por:
_______________________
PRESIDENTE DE JURADO
Ingº Rafael Asunción Seminario Vásquez
______________________ ________________________
MIEMBRO DE JURADO MIEMBRO DE JURADO
Ingº Gilberto Régulo Sánchez Gamarra Ingº Miguel Ángel Chang Heredia
Agradecimiento
A la Universidad los Ángeles de Chimbote por darme la
oportunidad de seguir la segunda profesionalización. A mis
padres Pablo y Teodora.
4
Dedicatoria
A nuestro Divino Creador.
A mi esposa Flor y a mis hijos Abelardo y Pablo, a quienes le he
sacrificado su tiempo.
6
INDICE
INTRODUCCION 12
1. PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACION 13
1.1. Planteamiento del problema 13
1.1.1 Problema 13
1.2. Objetivos de la investigación 13
1.2.1 Objetivo general 13
1.2.2 Objetivos específicos 13
1.3. Justificación de la investigación 14
2. MARCO TEORICO 15
2.1. Antecedentes 15
2.1.1 Antecedentes internacionales 17
2.1.2 Antecedentes nacionales 17
2.1.3 Antecedentes regionales 18
2.2. Bases teóricas de la investigación 18
2.2.1 Descarga 19
2.2.2 Descargas máximas 19
2.2.3 Evaluación de las descargas máximas 19
2.2.4 Modelos probabilísticos usados frecuentemente en el estudio
de las descargas máximas 19
a.i.1.a.i. Distribución normal 20
a.i.1.a.ii. Distribución log – normal 22
a.i.1.a.iii. Distribución exponencial 24
a.i.1.a.iv. Distribución Gamma 25
a.i.1.a.v. Distribución Pearson Tipo III 28
a.i.1.a.vi. Distribución Gumbel 30
2.2.5 Definición del modelo probabilístico adecuado en el estudio
de las crecidas 32
i. Prueba de ajuste de chi – cuadrado 33
i.1 Criterio de decisión 35
2.2.6 Tiempo de retorno 36
2.2.7 Relación entre el periodo de retorno y la probabilidad 39
2.2.8 Relación entre el periodo de retorno y función de distribución
acumulada 39
2.2.9 Modelo regional para las descargas máximas instantáneas 40
3. METODOLOGIA 44
3.1 Tipo y nivel de investigación 44
3.2 Diseño de investigación 44
3.3 Población y Muestra 45
3.3.1 Población 45
3.3.2 Muestra 45
3.4 Definición y operacionalización de variables 45
3.4.1 Definición de variables 45
i. Variables independientes 45
ii. Variables dependientes 45
3.4.2 Operacionalización de variables 45
3.5 Técnicas e instrumentos 47
3.5.1 Técnicas 47
3.5.2 Instrumentos 47
3.6 Procedimiento de recolección de datos 48
3.7 Procesamiento de la información recopilada 48
3.7.1 Algoritmo de cálculos 48
3.7.2 Diagrama de flujo 49
3.8 Modelo regional de las descargas máximas instantáneas Anuales 49
8
3.8.1 Parámetros regionales de la ecuación o modelo de Fuller 49
4. RESULTADOS 52
4.1 Descripción de la cuenca del río Santa 52
4.2 Información recopilada 52
4.3 Modelo probabilístico adecuado 57
4.3.1 Modelo regional para las descargas máximas 58
i. Estimación de parámetros del modelo de Fuller 56
5. DISCUSION 61
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 62
6.1 Conclusiones 62
6.2 Recomendaciones 62
7. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 63
ANEXOS 64
INDICE DE CUADROS
N° DESCRIPCION PAG.
2.1 NUMERO DE PARÁMETROS DE LOS MODELOS (h) 36
2.2 RESUMEN DE FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA LA ESTIMACIÓN DE AVENIDAS
MÁXIMAS 42
3.1 DISEÑO DE INVESTIGACION 44
3.2 DISPONIBILIDAD DE INFORMACION HIDROMETRICA EN LA CUENCA DEL
RIO SANTA 46
3.3 OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES 47
4.1 ESTADO ACTUAL DE LAS ESTACIONES HIDROMETRICAS DE LA CUENCA
DEL RIO SANTA 55
4.2 DESCARGAS MAXIMMAS INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA
DEL RIO SANTA 56
4.3 AREA DE LAS CUENCAS Y EL PROMEDIO DE LAS DESCARGAS MAXIMAS
INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA DEL RIO SANTA 57
4.4 RESULTADOS DE LA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHI-CUADRADO 57
4.5 CAUDALES PROMEDIOS DE LAS MAXIMAS INTANTANTANEAS OBSERVADOS
10
Y ESTIMADAS 58
INDICE DE FIGURAS
N° DESCRIPCION PAG.
3.1 ALGORITMO PARA OBTENER EL MODELO REGIONAL DE LAS DESCARGAS
MAXIMAS INSTANTANEAS ANUALES-MODELO DE FULLER 50
4.1 CAUDALES PROMEDIOS DE LAS MAXIMAS INSTANEAS ANUALES OBSERVADOS Y
ESTIMADOS 59
4.2 CAUDALES MAXIMOS INSTATANEOS ANUALES OBSERVADOS Y ESTIMADOS PARA
DIFERENTES PERIODOS DE RETORNO 59
12
INDICE DE PLANOS
N° DESCRIPCION PAG.
4.1 CUENCA DEL RIO SANTA 53
4.2 RED DE ESTACIONES HIDROMETEOROLÓGICAS DE LA CUENCA DEL RÍO
SANTA 54
INDICE DE ANEX0S
N° DESCRIPCION
A1 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO NORMAL 65
A2 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO MODELO
LOG-NORMAL 69
A3 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO
EXPONENCIAL 73
A4 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO GAMMA 77
A5 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO
PEARSON III 81
14
A6 PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHICUADRADO APLICADO AL MODELO GUMBEL 86
INTRODUCCION
Para el diseño de las obras hidráulicas es necesario conocer el caudal de diseño. Existen
varios métodos para estimar el caudal de diseño como los métodos probabilísticos,
métodos hidrológicos, métodos empíricos etc., En el presente trabajo se ha determinado
un modelo regional usando métodos probabilísticos y empíricos. Mediante este modelo
regional se puede estimar el caudal de diseño conociendo el área de la cuenca y para un
periodo de retorno. Por las consideraciones indicadas el caudal de diseño en la cuenca del
río Santa se pude estimar en cualquier punto, mediante el modelo regional modificado de
Fuller.
El modelo probabilístico adecuado para interpretar el comportamiento de las descargas
máximas instantáneas anuales es el modelo de Gumbel, lo cual se ha definido mediante la
prueba de ajuste de Chi-cuadaro.
Para obtener el modelo regional se ha trabajado con las descargas máximas instantáneas
anuales proyectadas según la Ley de Guimbel y el promedio de las descargas máximas
instantáneas anuales proyectadas con la ecuación regional, que es una ecuación en
función del área de la cuenca.
En el presente trabajo se establece una metodología que permite hallar modelos empíricos
para estimar el caudal de diseño.
En el capítulo 2 se presenta el marco teórico relacionadas a la descargas máximas
instantáneas anuales, trabajos anteriores relacionadas al modelamiento, se describe los
principales modelos probabilísticos usados en la hidrología. En el capítulo 3 se desarrolla
la metodología para la obtención del modelo regional de las descargas máximas. Luego en
el capítulo 4 se presenta los resultados y la aplicación del estudio en la cuenca del río
Santa. En el capítulo 5 se discuten los resultados. Finalmente en el capítulo 6 se
presentan las conclusiones y recomendaciones.
16
1. PLANTEAMIENTO DE LA INVESTIGACION
1.1. Planteamiento del problema
Para diseñar diferentes tipos de estructuras hidráulicas, es necesario
conocer las descargas máximas instantáneas para diferentes periodos de
retorno en un punto de un río o de una cuenca, donde no existen estaciones
de aforo. Para estimar la descarga máxima instantánea en puntos no
aforados de un río o quebrada es necesario tener modelos regionales de
descargas máximas.
En el presente trabajo de investigación se buscará el modelo o modelos
probabilísticos adecuados para los registros de las estaciones hidrográficas
de la cuenca del río Santa. Luego se buscará modelos regionales que
relacionen los parámetros físicos de la cuenca y periodo de retorno con las
descargas máximas instantáneas.
Utilizando el modelo o modelos regionales se puede estimar las descargas
máximas instantáneas en cualquier punto de la cuenca.
1.1.1 Problema
¿En qué medida el modelo regional o modelos regionales de las
descargas máximas instantáneas permitirán estimar las descargas
máximas en cualquier punto de la cuenca?
1.2. Objetivos de la Investigación
1.2.1. Objetivo general
Buscar el modelo regional adecuado para estimar las descargas
máximas instantáneas en la cuenca del río Santa.
1.2.2. Objetivos específicos
• Determinar el modelo o los modelos probabilísticos adecuados
para las descargas máximas instantáneas en la cuenca del río
Santa.
• Determinar el modelo regional de las descargas máximas
promedios en función del área de la cuenca.
• Determinar la descarga máxima instantánea anual en un punto de
la cuenca del río Santa, para un determinado periodo de retorno
con lo cual se podrá diseñar infraestructuras hidráulicas que no
fallen ante estos eventos como: puentes, obras de defensa
rivereña, presas para regular las avenidas, bocatomas, cunetas de
las carreteras, alcantarillado pluvial, vertederos de excedencias,
etc.
1.3. Justificación de la investigación
Las estructuras hidráulicas como puentes, bocatomas, vertedero de
demasías, etc. deben ser diseñadas para no fallar ante el suceso de las
descargas máximas instantáneas. Para estimar la ocurrencia de estos
eventos es necesario contar con un modelo regional que explique el
comportamiento espacial y temporal. Con la realización de este trabajo de
investigación se formulará un modelo regional que relacione las descargas
máximas instantáneas con uno o varios parámetros físicos de la cuenca y el
tiempo de retorno.
18
2. MARCO TEORICO
2.1. Antecedentes
2.1.1 Antecedentes internacionales
El caudal de diseño puede ser estimado empleando diversos métodos
que como son 1:
• Métodos probabilísticos: Distribución Gumbel, distribución Pearson
Tipo III, distribución exponencial, distribución gamma y distribución
log-normal.
• Métodos Hidrológicos: método racional, método del hidrograma
unitario y método del hidrograma unitario sintético.
• Métodos empíricos: fórmula de Creager, fórmula de Iskowski,
fórmula de Possenti, fórmula de Turazza, fórmula de Mac-Math y la
fórmula de Heras.
• Método de área - pendiente.
En el libro de Diseño Hidráulico 2 indica que hay diferentes métodos
para determinar las crecientes usando fórmulas empíricas como:
fórmula racional, fórmula de Myers, fórmula de Creager, fórmula de
Fuller, fórmula de Sokolvske, y la fórmula de INERHI,
1 Instituto Tecnológico de Costa Rica. Departamento de Ingeniería Agrícola. 1980. Estudios hidrológicos, págs. 179-276.
2 Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, págs.365-367.
En el libro Hidrología en la Ingeniería 3: recomienda diferentes
métodos para la estimación de crecientes como son:
• Método de pronósticos de crecientes: Hidrograma unitario, fórmula
racional.
• Pronóstico mediante el uso de fórmulas empíricas: fórmula de
Barkli-Zigler, fórmula de Kresnick, fórmula de Creager, y la fórmula
de Baird y Mclllwrsith.
• Métodos de distribución de caudales máximos (distribución normal,
distribución log.-normal, distribución Gumbel, distribución Pearson
Tipo III, distribución Log-Pearson tipo III.)
• Método de Fuller. (modelo que permite regionalizar el
comportamiento de las descargas máximas).
El Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de
España en el año 1997 en la publicación de Guías Técnicas de
Seguridad de Presas en la guía N°4 presenta el estudio de Avenida
del Proyecto.4 donde recomienda los métodos de estimación y cálculo
de avenidas, basado en la aplicación del Reglamento Técnico Sobre
Seguridad de Presas y Embalses. En esta publicación se indica que
existen dos métodos de estimación de avenidas: los de tipo
determinístico y los del tipo probabilístico. En los del tipo
determinístico se calculan en forma unívoca los caudales de la
máxima avenida en base a los datos hidrometeorológicos y entre ellos
destaca el método de la “Avenida Máxima Probable”. En los métodos
de tipo probabilístico se realiza en base a datos disponibles (lluvias y/o
3 Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, págs. 225-239.
4 Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. 1997. Avenida de Proyecto. Madrid, págs. 138 p.
20
caudales). Se ajustan diversas leyes extremas para determinar por
extrapolación estadística los caudales punta y los hidrogramas de
avenidas para diferentes periodos de retorno. Finalmente recomienda
el uso de métodos probabilísticos para calcular las avenidas del
proyecto en el estudio de presas y embalses. Los modelos
probabilísticos recomendadas para la estimación de avenidas son:
modelo de Gumbel, modelo de valor extremo tipo II, modelo log
Gumbel, modelo Gamma, modelo exponencial, modelo log normal de
2 parámetros, modelo de valor extremo general, modelo de Pearson
tipo III, modelo de Weibull, modelo log normal de 3 parámetros,
modelo loglogística, modelo logística generalizada, modelo log
Pearson tipo III y modelo de Wakeby.
En el libro de Hidrología 5, presenta métodos para el cálculo de caudal
máximo como son:
• Método directo: aplicación de la fórmula de Manning.
• Métodos empíricos: método racional, método de Mac Math
• Método de número de curva.
• Métodos estadísticos: método de Gumbel, método de Nash, método
de Lebediev.
2.1.2 Antecedentes nacionales
En el estudio de la Hidrología del Perú.6 . Trata de la evaluación de los
caudales máximos y de las escorrentías que pueden ocurrir en una
sección genérica para eventos de máxima intensidad con una
determinada probabilidad. Para el caso de la cuenca del río Santa no se
5 Villón Béjar,M. 2002. Hidrología. Lima,PE, págs. 241-304..
6 Servicio Nacional de Meteorologia e hidrologia, Instituto Italo – Latinoamericano y la Universidad Nacional de Ingenieria.1982 Estudio
de la Hidrología del Perú. Lima, PE. Volumen III, págs..111.
detallan los resultados ni modelos que permitan estimar las descargas
máximas.
Publidrat 7publicó el tema: Análisis de Máximas Avenidas, donde indica
que podrían usarse tres tipos de métodos para la determinación de la
descarga del proyecto de una obra, como son:
• Métodos estadísticos: distribución log- normal, distribución Gumbel,
distribución log Gumbel, distribución Pearson III, distribución log-
Pearson III, método de Foster y el método de Fuller.
• Uso de factores de frecuencia en el análisis de máximas avenidas.
• Métodos hidrometeorológicos: método racional, hidrograma unitario
sintético, hidrograma unitario SCS.
• Otros métodos, en este caso recomienda el uso de fórmulas
empíricas como: fórmula de Isakowski, Fómula de Barkli – Ziegler,
fórmula de George Ribeiro y la fórmula de Francisco Aguilar.
2.1.3 Antecedentes regionales
En el Estudio Integral Para el Aprovechamiento de la Cuenca del Río
Santa presenta los datos procesados de las descargas máximas
instantáneas en las diferentes estaciones hidrográficas de la cuenca
del río Santa 8.
En el presente trabajo la estimación de los caudales máximos se ejecutará
utilizando los métodos probabilísticos y empíricos.
7 Mejía Marcacuzco, JA. 1999. Análisis de Máximas Avenidas. Universidad Nacional Agraria La Molina. Publidrat. Lima, PE. S.e. 28 p.
8 Electroperú - Hidroservice. 1985. Estudio Integral para el Aprovechamiento de la cuenca del río Santa. Lima, PE, Se. anexo G, págs.
61-76.
22
2.2. Bases teóricas de la investigación
2.2.1. Descarga
La descarga o caudal, es el volumen de escorrentía superficial por unidad de
tiempo, Q=V/t, es la principal variable que caracteriza la escorrentía
superficial. Se expresa en o l/s.9
Las descargas son evaluadas usando diferentes métodos de aforo, con los
datos de aforo se obtienen las curvas de descargas los que a su vez son
utilizados para estimar las descargas para diferentes niveles de agua que ha
ocupado a través del tiempo en una determinada sección hidrométrica, éstos
datos al ser ploteados en coordenadas cartesianas se denominan como
hidrogramas. Un río presenta un régimen de descarga que puede expresarse
de diferentes formas, pudiéndose obtener los siguientes datos representativos:
máximas instantáneas, mínimas instantáneas, promedio de mínimas,
promedio de máximas, descarga promedio diario, descarga mensual
promedio, módulo anual, descarga mensual del año promedio, caudal
específico, etc.
En el presente estudio se evaluará las descargas máximas instantáneas
anuales, para la cual el año es considerado como el año hidrológico
comprendido del 1° de Setiembre hasta el 31 de Agosto del año calendario
siguiente. Para la obtención de las descargas máximas instantáneas anuales
es necesario contar con los datos limnigráficos.
2.2.2. Descargas máximas
Es el caudal de valor alto de un río en comparación a las descargas
habitualmente observadas. Estos caudales son causantes de daños a las
9 Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, pág. 179
obras y propiedades. Para prevenir estos daños es que se hace necesario una
evaluación cuantitativa de las crecidas. Por eso es importante diseñar obras
hidráulicas que permitan el paso de las crecientes sin sufrir daño10.
2.2.3. Evaluación de las descargas máximas
Existen varios métodos para estimar las crecidas o las descargas
máximas; como son: métodos probabilísticos, métodos hidrológicos,
métodos empíricos, método de área-pendiente etc. El método a
emplear básicamente depende de los datos que se tienen a disposición
del proyectista. En el presente trabajo se va estudiar el comportamiento
de los caudales máximos instantáneas de la cuenca del río Santa
mediante métodos probabilísticos, luego se busca los modelos
regionales en función de los parámetros físicos de la cuenca.
En algunas aplicaciones prácticas de la Ingeniería Hidráulica es necesario
conocer el comportamiento espacial y temporal de los caudales de avenida
(Diseño de vertedero de la represa), en estos casos son empleados los
métodos de tránsito de avenidas. En otros casos la Ingeniería Hidráulica sólo
necesita conocer el comportamiento temporal de las crecidas anuales, es
decir es necesario conocer valores de las descargas máximas instantáneas
anuales. Con los datos de crecidas anuales se determinan el caudal de
avenida extraordinaria, también llamado como caudal de diseño.
2.2.4. Modelos probabilísticos usados frecuentemente en el estudio de
las de descargas máximas.
Los modelos probabilísticos consideran a las descargas máximas
instantáneas anuales, como variables aleatorias independientes en el tiempo,
es decir no se toma en cuenta la secuencia en el tiempo (serie histórica).
10 Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, pág.363.
24
En los métodos estadísticos o probabilísticos se considera que el caudal es
una variable aleatoria que está sujeta al análisis frecuencial y que por lo tanto
puede ser estudiada mediante diversas leyes estadísticas de fenómenos
extremos11.
Al utilizar los modelos probabilísticos primero se busca el modelo
probabilístico adecuado para los datos de los caudales máximos instantáneos.
En este caso el análisis se hace en cada estación, la prueba estadística usada
para probar la bondad de ajuste es la prueba de Chi-cuadrado. Para estimar
los valores de los caudales estimados para una determinada probabilidad es
necesario estimar los parámetros de los modelos probabilísticos.
En el libro de Hidrología aplicada12. Indica una serie de modelos
probabilísticos o de distribuciones de probabilidad comúnmente
utilizados para variables hidrológicas, como son: distribución normal,
distribución lognormal, distribución exponencial, distribución gamma,
distribución Pearson tipo III, distribución log Pearson tipo III y
distribución de valor extremo tipo I.
Las leyes de probabilidad para explicar el comportamiento temporal de
caudales máximos son: distribución normal, distribución log normal,
distribución Gumbel, distribución log – Gumbel, distrución Pearson tipo
III y distribución log – Pearson tipo III 13.
i. Distribución normal
11 Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. 1997. Avenida de Proyecto. Madrid, pág. 33.
12 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, págs. 382-384
13 Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, págs. 119-127.
La función densidad de la distribución está dada por la siguiente ecuación:
( ) ∞<<∞−=
−
−xexf
x 2
2
1
2
1 σµ
σπ (2.1)
Donde:
( ) =xf función densidad de probabilidad
=x variable aleatoria
desviación estándar de la población
media poblacional
En la ecuación (2.1) σµ y son parámetros de la distribución normal, los
cuales se estiman mediante el método de momentos o de máxima
verosimilitud y son iguales al promedio y desviación estándar de la
muestra (datos). Se estiman mediante las siguientes ecuaciones14 :
( ) µ== xEx (2.2)
( ) σµ =−= 2xEs (2.3)
Donde:
=x promedio aritmético de la muestra
=s desviación estándar de la muestra
La función acumulada de la distribución normal está dada por la siguiente
ecuación:
( ) ( )dxxfxFx
∫ ∞−=
(2.4)
14 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, págs. 383-384
26
Las ecuaciones (2.1) y (2.4) se simplifican definiendo una nueva variable
aleatoria llamada z (variable normal estándar) que se expresa mediante la
siguiente ecuación:
σµ−= x
z(2.5)
dzdx σ= (2.6)
La variable z, tiene media cero ( )0=µ , y la desviación estándar uno
( )1=σ . Reemplazando la ecuación (2.5) en (2.1) se obtiene, la función
de densidad de la variable normal estándar.
( )2
2
1
2
1 zezf
−=
π (2.7)
La función de distribución acumulada de la variable normal estándar se
expresa mediante la siguiente ecuación:
( ) ( )dzzfzFz
∫ ∞−=
(2.8)
La ecuación (2.8) como la ecuación (2.4) no es integrable analíticamente.
Los valores de la ecuación (2.8) se obtienen de tablas de distribución
normal estándar, o se pueden obtener mediante las técnicas de métodos
numéricos (integración numérica), o se pueden aproximar mediante el
polinomio de Abramowitz y Stugen, dada por la siguiente ecuación15:
[ ] 4432019527.0000344.0115194.0196854.01
2
1 −++++= zzzzB
(2.9)
Donde:
=zvalor absoluto de z
15 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, pág. 365
( ) BzF = para 0<z (2.10)
( ) BzF −= 1 para 0≥z (2.11)
Los valores de según el modelo probabilístico normal se obtiene
reemplazando el valor de z obtenido mediante la ecuación (2.10) o (2.11)
en la ecuación (2.5), dada por la siguiente expresión:
(2.12)
Donde:
valor ajustado a la distribución normal
=x promedio de la muestra
=xσdesviación estándar de la muestra
ii. Distribución log – normal
Las variables físicas de interés en hidrología (precipitación, evaporación y
otras) son generalmente positivas, por lo cual es usual que presenten
distribuciones de frecuencias asimétricas. Por ello, algunos investigadores
han propuesto aplicar una transformación logarítmica a la variable de
interés y luego utilizar el modelo de distribución normal para la variable
transformada. La distribución así obtenida se denomina logarítmico-
normal16.
Si X es una variable aleatoria, con funciones de densidad de probabilidad
asimétricas y si se define una nueva variable como LnXY = , que
presenta una distribución normal (simétrica) con media y y variancia 2yσ,
16 Varas C, E, et al. Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile. Pág.39.
28
entonces se afirma que la variable X tiene una distribución logarítmico-
normal. Las ecuaciones de esta distribución son:
LnXY = (2.13)
La función de densidad de y es:
( ) ∞<<=
−−
yeyf y
yy
y
02
12
2
1
σ
µ
σπ(2.14)
Donde:
Lnxy =µ(2.15)
Lnxy σσ =(2.16)
La función de densidad de x es:
( ) ∞<<=
−−
xex
xf y
yy
y
02
12
2
1
σµ
σπ(2.17)
La función distribución acumulada está dada por la siguiente ecuación:
( ) ( )( )
dyyfyFx
xLn∫ >=
0 (2.18)
La ecuación (2.17) analíticamente no es integrable. Las ecuaciones (2.17)
y (2.18) se simplifican definiendo una variable llamada z (variable normal
estándar) expresada mediante la siguiente ecuación
y
yyz
σµ−
=(2.19)
dzdy yσ=(2.20)
Esta variable como se ha indicado anteriormente tiene media cero y la
desviación estándar uno. Reemplazando la ecuación (2.19) y (2.20) y las
propiedades de ( )1,0→z en la ecuación (2.18) se obtiene la siguiente
ecuación:
( ) dzezFz
z
∫ ∞−
−
= 2
2
2
1
π (2.21)
La ecuación (2.21) es igual a la ecuación (2.8). Los valores de según la
distribución normal se obtiene de la ecuación (2.19):
(2.22)
donde:
valor ajustado a la distribución normal
=y promedio de los logaritmos (logaritmos de x) de la muestra
=yσdesviación estándar de los logaritmos (logaritmos de x) de la
muestra
Los valores de según el modelo probabilístico es obtenida a partir de la
ecuación (2.13).
(2.23)
Donde:
valor de la variable aleatoria ajustada a la distribución logarítmico normal.
iii. Distribución exponencial
Algunas secuencias de eventos hidrológicos como la ocurrencia de
precipitación, pueden considerarse como procesos de Poisson, en
los cuales los eventos ocurren instantánea e independientemente
en un horizonte de tiempo El tiempo entre tales eventos está
30
descrito por una distribución exponencial cuyo parámetro es la tasa
media de ocurrencia de los eventos 17
La función densidad de un modelo probabilístico exponencial está dada
por:
( )
<≥
=−
0,0
0,
x
xexf
xλλ
(2.24)
Donde:
=λ parámetro de la distribución exponencial
La función de distribución acumulada está dada por la siguiente ecuación:
( ) ∫ −− −==x xx edxexF
01 λλλ
(2.25)
El valor de (valor ajustado a la distribución exponencial) se obtiene a
partir de la ecuación (2.25).
(2.26)
Mediante el método de máxima verosimilitud o el método de momentos se
demuestra que el parámetro λ se estima mediante la siguiente ecuación:
X
1=λ(2.27)
Reemplazando la ecuación (2.27) en (2.26) se obtiene:
(2.28)
iv. Distribución Gamma
El tiempo que toma la ocurrencia de un número de eventos en un
proceso de Poisson está descrito por la distribución gamma, la cual es la
distribución de una suma de variables aleatorias independientes e
17 Ven, TC; et al. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá, pág. 385.
idénticas, distribuidos exponencialmente. La distribución gamma es muy
útil para la descripción de variables hidrológicas asimétricas sin el uso de
la transformación logarítmica. La distribución gamma incluye la función
gamma .
La distribución Gamma, tiene la función de densidad definida por:
( ) ( ) 01
≥Γ
=−
−
xex
xf
x
αβ α
βα
(2.29)
Donde:
=βα , parámetros positivos
( ) =Γ α función gamma de α
( ) ∫∞ −− >=Γ0
1 0αα α paradxxe x
(2.30)
Integrando por partes la ecuación (2.30) se obtiene18:
( ) ( )ααα Γ=+Γ 1 (2.31)
Las propiedades principales de la función Gamma son:
a. (2.32)
b. ( ) ( ) 121 =Γ=Γ (2.33)
c. ( ) ( )πΓ=Γ 2/1 (2.34)
d. ( ) ∞=Γ 0 (2.35)
En general para calcular ( )αΓ , se pueden utilizar los siguientes criterios:
1. Para 0<α la función ( )αΓ se calcula transformando la ecuación
(2.31) a la siguiente ecuación:
18 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 195.
32
( ) ( )α
αα 1+Γ=Γ(2.36)
La función gamma establecida mediante la ecuación (2.30) para
0<x no converge; mediante la ecuación (2.36) se pueden calcular
la función gamma para todos números reales y complejos, excepto
para ,21,0n,n −−=−=α , en consecuencia la ecuación (2.36) es
válida sólo cuando n−≠α Para 10 ≤≤ α la función ( )1+Γ α se
calcula mediante la aproximación polinomial de octavo grado19.
( ) 88
77
66
55
44
33
2210!1 ααααααααααα aaaaaaaa ++++++++==+Γ
(2.37)
Donde:
=0a1.00
=3a-0.897056937
=6a0.482199394
=1a-0.577191652
=4a 0.918206857=7a
-0.193527818
=2a0.988205891
=5a-0.756704078
=8a0.035868343
2. Para 1>α la función ( )1+Γ α , se calcula mediante la ecuación
( ) ( ) ( )11 −Γ−=Γ ααα o mediante la aplicación del ajuste polinomial
por la serie asintótica de Sterling:
( )
+
α−
α−
α+
α+
απα=αΓ α−α
432 2488320
571
51840
139
288
1
12
11
2e
(2.38)
3. Para valores de α grande y positiva la función ( )1+Γ α se puede
calcular con la aproximación factorial de Sterling:
( ) αααπααα −≅=+Γ e2!1(2.39)
La función de distribución gamma acumulada está dada por la siguiente
ecuación:
19 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 346.
( ) ( )dxex
xFx
x
∫ Γ=
−−
0
1
αβ α
βα
(2.40)
La ecuación (2.40) no es directamente integrable, sus valores se calculan
mediante las técnicas de integración numérica y existen tablas de esta
distribución denominadas “Función Gamma Incompleta”, llamada así
porque los valores en tabla son sólo para valores enteros positivos de .α
Sí α es un número natural, la función de distribución acumulada puede
determinarse mediante la siguiente ecuación:
( )( )
0;
!1
1
!3
1
!2
111
0,0
132 >
−
++
+
++−
≤
=
−−
xexxxx
x
xF
x
βα
βαβββ
(2.41)
Haciendo un cambio de variable se tiene:
βx
Y =(2.42)
Reemplazando la ecuación(2.42) en (2.40) se obtiene:
( ) ( ) dyeY
yGy
Y
∫ Γ=
−−
0
1
α
α
(2.43)
Reemplazando la ecuación (2.43) en la ecuación (2.41), se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0;
!1
1
!3
1
!2
111
0,0
132 >
−
+++++−
≤= −
− xeYYYY
x
YG Yα
α
(2.44)
Los valores de ajustados a la distribución Gamma se obtiene de la
ecuación (2.42):
(2.45)
34
Los valores de Y se halla de la ecuación (2.44) para diferentes
probabilidades, los valores de β se estiman mediante el método de
momentos20:
( ) αβ== xEX (2.46)
αβ 22 =S (2.47)
v. Distribución Pearson tipo III
La distribución Pearson III posee la característica de ser asimétrica
y no negativa, lo que lo hace adecuada para describir los caudales
máximos. Es una distribución de tres parámetros 21.
La función densidad de probabilidades de la distribución Pearson Tipo III,
está definida por la siguiente ecuación:
( ) ( )( )
( )αβ α
βα
Γ−=
−−−
0
10
xx
exxxf
(2.48)
Para:
∞<<∞<<
∞<<∞−∞<≤
αβ
0
0
;
0
0
x
xX
(2.49)
La función de distribución acumulada está dada por la siguiente ecuación:
20 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 200.
21 Mejía Marcacuzco, JA. 1999. Análisis de Máximas Avenidas. Universidad Nacional Agraria La Molina.
Lima, PE. S.e. pág. 13.
( ) ( )( )
( ) dxexx
xFx
x
xx
∫ Γ−=
−−−
0
0
10
αβ α
βα
(2.50)
Donde:
=x variable aleatoria
=0x origen de la variable x, parámetro de posición (valor inicial)
=β parámetro de escala
=α parámetro de forma
Haciendo cambio de variable se tiene:
( )β
0xxY
−=(2.51)
Reemplazando la ecuación (2.51) en (2.48) se obtiene:
( ) ( )αβ
α
Γ=
−− YeYyf
1
(2.52)
La función de distribución acumulada está dada por la siguiente ecuación:
( ) ( ) dyeY
yFY
y
∫ Γ=
−−
0
1
α
α
(2.53)
La ecuación (2.53) tiene parámetro α cuya variable tiene origen en
.,0 0xxenóY ==
La ecuación (2.53) es igual a la ecuación (2.43) lo cual se resuelve
usando tablas o mediante métodos numéricos. La solución de la ecuación
(2.53) permite encontrar el valor de Y para diferentes valores de F(y).
Los parámetros de la distribución Pearson Tipo III estimados por el
método de momentos son22:
22 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 209.
36
(2.54)
αβ 22 =S (2.55)
α2== gCs
(2.56)
Donde:
promedio de la muestra
=2s variancia de la muestra
=g coeficiente de sesgo de la muestra
Resolviendo las ecuaciones (2.54), (2.55) y (2.56) se obtiene23:
2
4
g=α
(2.57)
2
gS=β(2.58)
(2.59)
El valor de x̂
ajustado al modelo de Pearson Tipo III para una
probabilidad determinada se halla mediante la siguiente ecuación.
0xYx̂ +β=(2.60)
vi. Distribución Gumbel
Es también conocido con el nombre de distribución de valores extremos
tipo I. Este modelo representa la distribución límite del mayor valor de n
23 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 203.
valores xi, independientes e idénticamente distribuidos con una
distribución de tipo exponencial a medida que n crece indefinidamente24.
Este modelo probabilístico es de la distribución de valores extremo, de
tipo doblemente exponencial, la función de densidad se expresa
matemáticamente por:
( )
αβ−−
−
αβ−−
α=
x
ex
ee1
xf(2.61)
( )
αβ−−
−
αβ−−
α=
x
ex
e1
xf(2.62)
Donde:
=x variable aleatoria
=βα , parámetro de la distribución de valores extremos Tipo I o
doblemente exponencial.
∞<<∞− x
=∞<< α0 parámetro de escala
=∞<<∞− β parámetro de posición, llamado como moda.
Haciendo cambio de variable se tiene:
αβ−= x
w(2.63)
dwdx α= (2.64)
(2.65)
24 Varas C, E, et al. Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile. Pág.47.
38
La función de distribución acumulada se obtiene integrando la ecuación
(2.64)
( ) ( ) www ew
ew e eeedxXPwF−−− −
∞−
−
∞−
− ===≤= ∫ (2.66)
Los estimadores de los parámetros de la distribución Gumbel obtenidos
mediante el método de momentos son25:
(2.67)
xσα 78.0=(2.68)
Donde:
=x̂ promedio de la muestra
=xσdesviación estándar de la muestra
El valor de x̂
ajustado al modelo Gumbel para una probabilidad
determinada se halla mediante la siguiente ecuación (ecuación obtenida de
2.63):
wx̂ α+β= (2.69)
2.2.5. Definición del modelo probabilístico adecuado en el estudio de
crecidas
El único procedimiento para verificar el comportamiento de un modelo
matemático, ya sea probabilístico o determinístico, es comparar las
predicciones efectuadas por el modelo con las observaciones de la
realidad. Si el modelo fuese determinístico, y no existiese error
experimental, entonces la comparación con los valores observados
sería simple y concluyente. Sin embargo en el caso de modelos
25 Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, pág. 213.
probabilísticos, debido a la naturaleza misma del modelo, las
observaciones son sólo una muestra de la realidad, y en consecuencia
una repetición del ensayo puede dar un resultado diferente. Resulta
pues poco probable encontrar una correspondencia exacta entre
modelos (datos generados) y la realidad (datos observados), aún
cuando las hipótesis sean válidas. Por ello, es necesario definir la
magnitud de la discrepancia que puede obtenerse sin que sea
necesario desechar la hipótesis estudiada26
Para la definición del modelo probabilístico adecuado para el estudio de
las descargas máximas instantáneas existen varias pruebas de bondad
de ajuste como las pruebas gráficas y estadísticas. Estas pruebas
consisten en comprobar gráficamente y estadísticamente, si la
frecuencia empírica de la serie analizada, se ajusta a una determinada
función de probabilidades teórica seleccionada a priori, con los
parámetros estimados a partir de los datos muestrales.27.
El modelo probabilístico adecuado para los datos de la muestra se define
mediante método gráfico y estadístico. En cada estación hidrográfica se hace
la prueba. En el método estadístico existen dos alternativas: la prueba de
bondad de ajuste de chi-cuadrado y la prueba de Kolmogorov – Smirnov. En el
presente trabajo se ha empleado el método estadístico de chi-cuadrado.
i. Prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado
En el presente estudio se describe este método porque es el método que
se ha optado dado que se puede programar de una forma sencilla y por
26 Varas C, E, et al Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile. Pág.77.
27 Villón Béjar,M. 2002. Hidrología Estadística. Lima,PE, págs. 141-162.
40
tanto se simplifican el tiempo del proceso. La prueba de chi-cuadrado
consiste en comparar las frecuencias observadas y esperadas
(frecuencias teóricas), con la finalidad de comparar la bondad de ajuste de
la distribución empírica a una distribución teórica conocida. Existen dos
maneras de realizar esta prueba:
1. Estableciendo celdas (intervalos de clase) de igual tamaño, en la
que las frecuencias esperada (frecuencia teórica) de cada una
intervalo de clase son en general diferentes. El procedimiento para
realizar la prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado, con celdas
con diferente frecuencia esperada es:
a. Dividir la serie de datos en k celdas (intervalos de clase), de
preferencia se debe escoger .5≥k El tamaño de la serie
histórica viene a ser el tamaño de la muestra.
b. Calcular la frecuencia observada. La frecuencia observada
( )ifo es el número de datos que están comprendidos en cada
intervalo de clase (de igual tamaño en este caso).
c. Calcular la frecuencia esperada (frecuencia teórica), en cada
intervalo de clase con la siguiente ecuación:
( )zPNfei *=(2.70)
Donde:
=N número de datos observados (tamaño de la muestra)
( ) =zP Probabilidad esperada o teórica para el límite superior
de cada intervalo de clase. El valor de ( )zP es
determinado para cada modelo probabilístico que se
está trabajando.
d. Calcular el chi-cuadrado calculado, con la siguiente ecuación:
( )∑=
−=m
i i
iic fe
fofeX
1
22
(2.71)
Donde
=2cX
Chi-cuadrado calculado
=fo frecuencia observada o empírica
=fe frecuencia esperada o teórica
=m número de intervalos de clase o número de celdas.
2. Otra manera de realizar la prueba de bondad de ajuste de chi-
cuadrado es estableciendo que cada celda (intervalo de clase)
tenga la mis frecuencia esperada (frecuencia teórica), en este caso
los tamaños del intervalo de clase son diferentes. El procedimiento
para realizar la prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado, con
celdas con igual frecuencia esperada es:
a. Dividir la serie de datos en k celdas (intervalos de clase), de preferencia se debe escoger .5≥k El
tamaño de la serie histórica viene a ser el tamaño de la muestra.
b. Calcular la probabilidad esperada de cada intervalo de clase mediante la siguiente ecuación:
kPi
1=(2.72)
c. Calcular la frecuencia esperada (frecuencia teórica), de cada
intervalo de clase con la siguiente ecuación:
=k
NNPi1
(2.73)
Donde:
=k número de intervalos de clase o número de celdas.
42
=N número de datos observados (tamaño de la muestra)
d. Identificar el valor de variable ajustada al modelo
^
iX para
las probabilidades acumuladas, de la relación siguiente:
( ) ( )dxxfXXPPxFiX
ii ∫ ∞−=
≤==
^^
(2.74)
e. Calcular la frecuencia observada ( )iN
. La frecuencia observada es el número de datos que está
comprendido entre dos valores de iX^
encontrados en el paso anterior.
f. Calcular el chi-cuadrado calculado mediante la siguiente ecuación:
( )∑=
−=m
i i
iic NP
NPNX
1
22
(2.75)
i.1 Criterio de decisión
Para definir el modelo probabilístico adecuado para los datos observados,
es necesario comparar el chi-cuadrado calculado con los valores de chi-
cuadrado tabular. El chi-cuadrado tabular se calcula de la distribución chi-
cuadrado a partir de las tablas. Para calcular el valor de chi-cuadrado
tabular 2tX
es necesario definir los siguientes criterios:
a. Calcular los grados de libertad (v), con la siguiente ecuación:
1−−= hkV (2.76)
Donde:
=V grados de libertad
=h número de parámetros del modelo
=k número de intervalos de clase o celdas
Los valores de h para los modelos usados en el presente estudio se
muestran en el siguiente cuadro:
CUADRO N° 2.1
NUMERO DE PARÁMETROS DE LOS MODELOS (h)
MODELO PROBABILISTICO PARAMETROSNUMERO DE
PARAMETROS
NORMAL σµ, 2
LOGARITMICO NORMALYY σµ , 2
EXPONENCIAL λ 1
GAMMA βα , 2
PEARSON TIPO III βα ,,0x 3
LOG-PEARSON TIPO III
GUMBEL βα , 2
LOG-GUMBEL
b. Asumir el nivel de significación de la prueba estadística.
Generalmente se asume 05.0=α . Con el nivel de
significación asumido y grados de libertad se encuentra el
valor de 2tX
en la tabla de distribución de 2X .
c. Establecer el criterio de aceptación del ajuste. La aceptación
del ajuste depende de:
Sí 2
05.02 XX c ≤
, se afirma que el modelo probabilístico es
adecuado para explicar el comportamiento de los datos
muestrales.
44
Sí 2
05.02 XX c >
, se afirma que el modelo probabilístico no es
adecuado para explicar el comportamiento de los datos
muestrales.
2.2.6. Tiempo de retorno
Es el tiempo promedio en años entre eventos o sucesos que igualan o
exceden a una magnitud dada, a este tiempo promedio se denomina como
tiempo o periodo de retorno.
Si X es una variable aleatoria, la probabilidad de igualar o exceder a un valor
determinado x se puede expresar matemáticamente mediante la siguiente
ecuación:
( ) pxXP =≥ (2.77)
Para cada observación o experimento existen dos posibilidades (proceso
Bernoulli).
• xX ≥ (éxito), su probabilidad es p
• xX < (falla) su probabilidad es p−1
Entonces p es la probabilidad de éxito y pq −= 1 es la probabilidad de
fracaso en cada ensayo. Entonces el primer éxito ocurrirá en t-ésima intervalo
de recurrencia si:
• Las primeras t-1 intervalos de recurrencias son fracasos que ocurre con
un probabilidad de ( ) 1tp1 −−
• Y la t-ésima intervalo de recurrencia es un éxito que ocurre con una
probabilidad de p.
Al multiplicar las dos probabilidades de dos eventos independientes se obtiene
la función masa de probabilidad de la distribución geométrica, por tanto la
probabilidad de un intervalo de recurrencia de duración t de obtener el primer
éxito es:
( ) ( ) 1,2, tpara pp1p,tf 1t =−= −
(2.78)
La ecuación (2.78) es la función masa de probabilidad de la distribución
geométrica y está dada por la siguiente ecuación:
( ) ( ) ,2,1xparap1pp,xg 1x =−= −
(2.79)
Donde la variable aleatoria es x=t.
En la ecuación (2.79) o en la ecuación (2.78) la función masa de probabilidad
tiene un solo parámetro p. Aplicando el criterio de máxima verosimilitud, se
puede hallar el valor esperado de la distribución geométrica. La función de
verosimilitud está dada por la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑−=−=−−−= =
−
=
−−−− ∏n
1iiin21 1xn
n
1i
1x1x1x1x p1pp1pp1pp1pp1pL (2.80)
El logaritmo de esta función está dad por la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑−+=
∑−=
−= ==
−−
=
−∏n
1ii
n
1ii 1xn1xn
n
1i
1x p1lnplnp1plnp1plnLln
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑==
−−+=−−+=n
1ii
n
1ii p1ln1xplnn p1ln1xplnnLln
( ) ( ) ( )p1ln nxplnnLlnn
1ii −
−+= ∑
= (2.81)
Aplicando los criterios de la estimación parámetros mediante el método de
máxima verosimilitud se obtienen las siguientes ecuaciones:
( )( ) ( )( ) ( ) 0p1ln nxp
plnnp
Llnp
n
1ii =
−
−
∂∂+
∂∂=
∂∂ ∑
=
( )( ) ( )( ) 0p1lnp
nxplnp
nn
1ii =−
∂∂
−+
∂∂ ∑
=
46
( )( ) ( )( )p1lnp
nxplnp
nn
1ii −
∂∂
−−=
∂∂ ∑
=
( )p1pp1
1 nx
p
1n
n
1ii −
∂∂
−
−−=
∑=
−
−=
∑= p1
1 nx
p
1n
n
1ii
−=− ∑
=
n
1ii nx
n
1
p
p1
n
n
n
x
p
p
p
1
n
1ii
−=−∑
=
n
x
p
1
n
1ii∑
==
p
1x =
(2.82)
Entonces el promedio o la esperanza de una distribución geométrica es 1/p.
Donde p es la probabilidad de que un evento sea superado o igualado. En la
ecuación (2.82) T es periodo o tiempo de retorno en años.
2.2.7. Relación entre el periodo de retorno y la probabilidad
Sea X una variable aleatoria. La probabilidad de igualar o exceder a un valor
determinado tx
puede expresar matemáticamente mediante la siguiente
expresión (ver ecuación 2.82):
( )txXPp ≥=(2.83)
( )p
TtE1==
(2.84)
La ecuación (2.84) significa que la probabilidad de ocurrencia en ser igualado
o excedido a un valor determinado de un evento en cualquier variable
hidrológica es el inverso de su periodo de retorno, lo cual matemáticamente se
representa mediante la siguiente ecuación:
( )T
xXP t
1=≥(2.85)
2.2.8. Relación entre el periodo de retorno y la función de distribución
acumulada
Las ecuaciones de la función de distribución acumulada ( )xF , se representan
mediante la siguiente ecuación:
( ) ( ) ( )dxxfxXPxFx
∫ ∞−=<=
(2.86)
La ecuación (2.86) expresa una probabilidad de que el suceso no ocurra. En
este caso el periodo de retorno (T) se calcula mediante la siguiente expresión:
( ) ( ) ( )xFxXPXxPT
−=
>−=
≥=
1
1
1
11
(2.87)
En la ingeniería los diseños se hacen para soportar los eventos máximos es
decir que un determinado evento no sea superado, en un periodo de retorno
determinado, por lo tanto los diseños se realizan para periodos de retorno
dado por la ecuación (2.87). Es decir los valores de ( )xF , se estiman para un
tiempo de retorno dado mediante la siguiente ecuación:
( )T
xF1
1−=(2.88)
2.2.9. Modelo regional para las descargas máximas instantáneas
48
Hasta hace poco, los esfuerzos para pronosticar avenidas centraban su
interés únicamente en la descarga máxima de la avenida, relacionando la
ocurrencia del gasto pico con los parámetros meteorológicos y fisiográficos de
una cuenca. En la actualidad se cuenta con métodos más completos que
consideran la presencia de distintas condiciones meteorológicas. La principal
utilidad de los métodos para la predicción de avenidas, radica en que al tener
una idea anticipada de las avenidas que están por ocurrir, es posible
aprovechar al máximo los mecanismos de control, como en el caso de presas.
La avenida que más interesa conocer para la protección de las obras
hidráulicas y asentamientos en los valles que atraviesa un río, es la máxima
instantánea. Se entiende por forma de la avenida, la distribución de los
porcentajes respecto al gasto máximo de los gastos correspondientes a los
tiempos transcurridos a partir del momento en que se inicia la avenida, el
período de retorno (Tr), sirve para conocer el gasto máximo con el cual se
proyectarán las obras hidráulicas mencionadas a lo largo del curso, eligiendo
el período de retorno más adecuado tomando en cuenta la vida útil de la obra,
así como su aspecto económico. Para la estimación de una avenida máxima
se dispone de variadísimos métodos de cálculo, los mismos que pueden ser
agrupados en términos generales en orden de importancia creciente
(garantía), como sigue 28:
• Métodos Empíricos
• Métodos Históricos.
• Métodos de Correlación Hidrológica de Cuencas.
• Métodos Estadísticos o Probabilísticos.
El modelo regional para las descargas máximas instantáneas anuales se
estimará mediante fórmulas empíricas. Este método es más antiguo y consiste
en establecer un relación funcional entre la magnitud de una creciente y una o
más variables de las que depende29.
28 Pérez Morales, GB et al. 2009. Hidrología Superficial (en línea). Consultado 20 de diciembre 2010. Disponible en
http://www.fic.umich.mx/~bperez/HIDROLOGIA-SUPERF.pdf
29 Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, pág.365.
El inconveniente principal que presentan los resultados obtenidos de la
aplicación de las Fórmulas Empíricas, deriva del hecho de que éstas se están
utilizando en cuencas distintas a aquellas en las que fueron deducidas, por lo
que sus coeficientes deberían ser ajustados, lo cual resulta sumamente difícil.
Sin embargo, debido a la correlación que existe entre la magnitud de cuenca y
el gasto máximo, los resultados obtenidos con las fórmulas empíricas podrán
servir para acotar la magnitud de las Avenidas de Proyecto. De preferencia se
deben de utilizar todos aquellos que por sus restricciones, puedan ser
utilizados y de sus resultados, evidentemente diferentes y algunos hasta
absurdos, se concluirán los valores probables de las Avenidas de Proyecto, ya
que estos métodos sirven como un marco de referencia. En el siguiente
cuadro, se presenta un resumen de 15 fórmulas empíricas de los diversos
tipos que a continuación se describen30:
Las fórmulas empíricas pueden ser clasificadas en dos grandes grupos:
1. Fórmulas que incluyen el concepto de probabilidad. Se consideran
las mejores, por ejemplo Gete, Fuller, Creager, etc.
2. Fórmulas que no incluyen el concepto de probabilidad. Pudiéndose
dividir en los cuatro siguientes subgrupos:
i. Fórmulas de función monomio de la magnitud de la cuenca de
la forma: , por ejemplo Rynes, Valentini, Myer, etc.
ii. Fórmulas de función sencilla de la magnitud de la cuenca, es
decir de la forma: , por ejemplo Pagliaro, Giandotti, Kuichling,
etc. En gasto general sólo válidos para cuencas menores a
1000.
iii. Fórmulas de la función compleja de la magnitud de la cuenca
por ejemplo Creager, Hyderabad, Hoffman. Etc.
30 Pérez Morales, GB et al. 2009. Hidrología Superficial (en línea). Consultado 20 de diciembre 2010. Disponible en
http://www.fic.umich.mx/~bperez/HIDROLOGIA-SUPERF.pdf.
50
iv. Fórmulas en función de la magnitud de la cuenca y de la lluvia
por ejemplo Posseni, Heras, etc.
CUADRO N° 2.2
RESUMEN DE FÓRMULAS EMPÍRICAS PARA LA ESTIMACIÓN DE AVENIDAS MÁXIMAS31
N°AUTOR PAIS FORMULA
LIMITACIONES DE LAS
FORMULAS
1 GETEFórmula generalizada en
España.
2
MORGAN ESCOCIA C=1.000 Tr=500 años, C=0.464, Tr=50 años
C=0.585, Tr=100años, C=0.215, Tr= 5 años.
3
FULLER U.S.A
4BRANSBY
WILLIAMSINGLATERRA
Areas mayores a 26
5FRANCIA
Grandes lluvias,400
6FRANCIA
7RYVES INDIA
8VALENTINI ITALIA
9SCIMEMI ITALIA
Areas menores de 1000
31 Pérez Morales, GB et al. 2009. Hidrología Superficial (en línea). Consultado 20 de diciembre 2010. Disponible en
http://www.fic.umich.mx/~bperez/HIDROLOGIA-SUPERF.pdf
10BARATTA ITALIA
Cuencas montañosas
11GIANDOTTI ITALIA
Cuencas montañosas
12FORTI ITALIA
Lluvias máximas de 200
mm en 24 horas
13KUICHLING U.S.A
Avenidas poco frecuentes
14HYDERABAD INDIA
Río Tungobhadra
15CREAGER U.S.A
Avenidas normales
En las fórmulas anteriores se tiene:
A= área de la cuenca en
Tr= periodo de retorno en años
Gasto de avenida máxima para un Tr, en
valor medio de los gastos medios instantáneos
q = valor medio de los gastos máximos diarios, en .
gasto de avenida máxima, en
Q= gasto de avenida normal, en
52
3. METODOLOGIA
3.1. Tipo y nivel de la investigación
Tipo: Explicativo, No experimental y de corte longitudinal pretérito.
Es no experimental porque son fenómenos que no se pueden manipular.
Es de corte longitudinal pretérito porque las descargas máximas instantáneas
son fenómenos que han sucedido a través del tiempo.
Es de nivel explicativo porque es una investigación cuantitativa que estudia el
comportamiento de las descargas máximas.
3.2. Diseño de investigación
El presente trabajo de investigación es por objetivos, el cual se desarrollará
mediante el siguiente diagrama de flujo.
M --------------- O ------------ A -------------- C
M - muestra O - observacion A - analisis C - comparacion
( Ver EL SIGUIENTE CUADRO)CUADRO N° 3.1
DISEÑO DE INVESTIGACION
54
3.3. Población y muestra
3.3.1. Población
Para el presente estudio se considerara como población al total de las
de descargas máximas instantáneas anuales de la cuenca del río
Santa en cada estación de aforo (16 estaciones limnigraficas)
3.3.2. Muestra
Para el presente estudio se considera muestra el conjunto de datos
recopilados de cada estación de aforo. Estos datos son considerados
como muestreo aleatorio. Los datos a ser recopilados son las
descargas máximas instantáneas correspondientes a los años y
estaciones que se muestran en el cuadro N°3.2.
3.4. Definición y operacionalización de las variables
3.4.1. Definición de variables
i. Variables independientes.
• Características físicas de la cuenca: Estas características
como el área, altitud media, o la altitud de la estación de aforo
se obtienen de planos digitalizados por el Instituto Nacional
Geográfico que están digitalizados en Autocad.
ii. Variables dependientes.
• Descargas máximas instantáneas: Las descargas máximas
instantáneas son datos aleatorios que se recopilan de cada
estación de aforo de la cuenca en estudio. Estos datos son
variables en el tiempo y en el espacio.
3.4.2. Operacionalización de variables
La operacionalización de las variables, se muestra en el cuadro N°3.3:
56
CUADRO N° 3.2
DISPONIBILIDAD DE INFORMACION HIDROMETRICA EN LA CUENCA DEL RIO SANTA
Fuente: Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa
CUADRO N° 3.3OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES
VARIABLES
DEFINICION CONCEPTUAL
DIMENSIONES
DEFINICIÓN OPERACIONAL
INDICADORES
Descargas
máximas
instantáneas
anuales y
descargas
promedios
anuales
Es el caudal de valor alto de un río en comparación a las descargas habitualmente observadas. Es el caudal máximo en un año
Volumen por unidad de tiempo
Se obtienen del SENAMHI registrados para cada estación de aforo hidrográfico o del estudio hecho por HIDROSERVICE
Area de la cuenca
Es el área plana (proyección horizontal) incluida entre su divisoria topográfica Unidades de
superficie
se obtienen empleando Autocad a partir de los planos digitalizados del Instituto Geográfico Nacional.
Tiempo de retorno
Intervalo de tiempo promedio, dentro del cual un evento de cierta magnitud, puede ser igualado o excedido por lo menos una vez en promedio.
Unidades de tiempo en años
Se obtienen de las leyes de probabilidad de excedencias.
Años
3.5. Técnicas e instrumentos
3.5.1. Técnicas
La técnica a emplear viene a ser la comparación de datos observados
con datos generados con los modelos probabilísticos teóricos para
eventos extremos. El modelo adecuado se definirá mediante la prueba
estadística de ajuste de chi-cuadrado. El modelo regional se buscará
correlacionando las descargas máximas instantáneas con los
promedios de las descargas máximas instantáneas anuales y el
periodo de retorno. El promedio de las descargas máximas
instantáneas anuales se correlacionará con el área de la cuenca.
3.5.2. Instrumentos
Equipo de cómputo implementado con software y hardware
especializado de análisis estadístico como el Excel, etc.
3.6. Procedimiento de recolección de datos
a) Recopilación de la información bibliográfica relacionado a los modelos
probabilísticos y modelos empíricos que permiten interpretar el
comportamiento de los eventos extremos.
b) Recopilación de datos de descargas máximas instantáneas anuales de
las estaciones de aforo en diferentes puntos de la cuenca del río Santa y
de sus afluentes.
c) Recopilación de los datos del área de cuenca aguas arriba de las
estaciones de aforo.
3.7. Procesamiento de la información recopilada.
3.7.1 Algoritmo de cálculos
a) Procesar la información recopilada, buscando el modelo
probabilístico adecuado para el conjunto de datos de cada
estación de aforo. El ajuste del modelo con los datos observados
se realizará a través de la prueba de ajuste de chi.cuadrado.
b) Con el modelo probabilístico adecuado se generan descargas
máximas instantáneas anuales para diferentes periodos de
retorno.
c) Definir modelos que relacionen el promedio de las descargas
máximas instantáneas anuales en función del área de la cuenca.
d) Se adimensionalizarán las descargas, dividiendo las descargas
máximas instantáneas anuales generadas para diferentes
periodos de retorno entre el promedio de las descargas máximas
instantáneas anuales. La adimensionalización se realiza en cada
estación.
e) Los valores adimensionalizados se correlacionan con el periodo
de retorno y el área de la cuenca. El grado de correlación se
define mediante el coeficiente de correlación. Se genera el
modelo regional para los valores adimensionalizados. Luego se
define el modelo regional para las descargas máximas
instantáneas anuales en función del promedio de las descargas
máximas instantáneas anuales, del periodo de retorno y del área
de la cuenca.
f) Generar descargas máximas instantáneas anuales con el modelo
regional.
g) Comparar las descargas máximas instantáneas anuales
correspondientes para diferentes periodos de retorno (acorde al
modelo probabilístico adecuado) y las descargas máximas
instantáneas anuales generadas mediante el modelo regional.
3.7.2 Diagrama de flujo
El diagrama de flujo para obtener el modelo regional de las descargas
máximas instantáneas anuales se muestran en la figura N°3.1.
3.8 Modelo regional de las descargas máximas instantáneas
El modelo regional de las descargas máximas instantáneas anuales se obtiene
estimando los parámetros o constantes de la ecuación de Fuller.
3.8.1 Parámetros regionales de la ecuación o del modelo de Fuller
Para definir las constantes regionales del modelo de Fuller que es un modelo
para las descargas máximas instantáneas anuales de la cuenca del Río
Santa se ha seguido el siguiente procedimiento.
1. Encontrar los parámetros del modelo propuesto por Fuller dada por la
siguiente ecuación:
(3.1)
(3.2)
Donde:
=TQmax, descarga máxima instantánea anual para el periodo de retorno
(T) en ./3 segm
=MAXQpromedio de las descargas máximas instantáneas anuales en
./3 segm
FIGURA N° 3.1ALGORITMO PARA OBTENER EL MODELO REGIONAL DE LAS DESCARGAS MAXIMAS
INSTANTANEAS ANUALES-MODELO DE FULLER
OBTENCION DE MODELO REGIONALE QUE RELACIONE LAS LOS VALORES ADIMENSINALES DE LAS DESCARGAS CON EL
PERIODO DE RETOR
logaritmo en base a 10
=T periodo o tiempo de retorno en años
parámetros de los modelos
A = área de la cuenca en .
Los valores de son estimadas mediante la ecuación (3.2)
2. Generar los valores de según el modelo probabilístico adecuado.
3. Mediante el análisis de regresión se estiman los parámetros de la
ecuación (3.2) lo cual se decide por el coeficiente de correlación
significativa.
4. Generar los valores de mediante la ecuación (3.2)
5. Se adimensionalizan las descargas mediante la siguiente relación:
(3.3)
Correlacionar los valores adimensionalizados de la ecuación
(3.4)
6. Los parámetros de la ecuación (3.4) se obtienen mediante el análisis
de regresión, lo cual se decide por el coeficiente de correlación
significativa.
7. La ecuación (3.1) se puede expresar de la siguiente forma:
(3.5)
4. RESULTADOS
4.1 Descripción de la cuenca del río Santa
Políticamente la cuenca del río Santa está comprendida en los departamentos de Ancash
(provincias de Recuay, Huaraz, Carhuaz, Yungay, Huaylas, Corongo, Pallasca y Santa) y la
Libertad (provincias de Virú y Santiago de Chuco). Limita por el norte con parte de las
Cuencas de Chao, Virú, Moche y Crisnejas; por el Sur con parte de la cuenca Lacramarca,
Pativilca y Fortaleza, por el Este con la línea de cumbres de la Cordillera Blanca que
constituye la divisoria de las aguas con la cuenca del Marañón, y por el oeste con las
cuencas Nepeña, Casma, Huarmey y el océano Pacífico32. La cuenca del río Santa, tiene
una altitud máxima: 6768 m.s.n.m que es el nevado del Huascarán, altitud media de 2100
m s.n.m (Caraz) y mínima de 0,000 en la desembocadura en el mar. El río Santa tiene una
longitud aproximada de 294 km. La cuenca del río Santa está ubicada en el Norte del País
32 Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de
Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa, págs. 9, 11.
y forma parte de la Cordillera Blanca y Negra de la Vertiente Occidental del Pacífico. Sus
coordenadas geográficas están comprendidas entre los paralelos 10º08´ y 8º04´ latitud Sur
y los meridianos 78º38´ y 77º12´ longitud Oeste.
La cuenca del río Santa tiene una extensión de 12200 km² de la cual el 83 %, o sea 10 200
km² corresponden a la cuenca húmeda, denominada así por encontrarse encima de los
2000 m.s.n.m, cota fijada como límite del área de escurrimiento superficial. La topografía es
plana en la parte baja con pendientes menores al 15%, ondulado, empinado y/o escarpado
en la cordillera de los Andes con pendientes mayores del 15%, en los valles interandinos de
la parte media y alta existe áreas planas y colinosas con pendientes de 15% a 45%. En la
parte baja tiene un valle, denominado Santa, muy importante por su contribución a la
economía de la Región.
4.2 Información recopilada
La información recopilada son las descargas máximas instantáneas anuales de las
diferentes estaciones hidrográficas de la cuenca del río Santa procesadas por
HIDROSERVICE. El área de las cuencas, la ubicación de las cuencas se muestran
en los cuadros y planos siguientes:
PLANO N° 4.1 CUENCA DEL RIO SANTA
Fuente: Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa.
Plano N° 4.2 Red de estaciones hidrometeorológicas de la cuenca del Río Santa.
Fuente: ELECTROPERU
CUADRO N° 4.1
ESTADO ACTUAL DE LAS ESTACIONES HIDROMETRICAS DE LA CUENCA DEL RIO SANTA
Nombre Tipo Nomb. Subcuenca Río Area km2 Ubi-Geog. Ubi-UTM Dpto Prov Dist Inicio Fin Dura- Estado_Ubic
ación
Observaciones
Cuenca Lat Long Alt Este Norte ción
CONDORCERRO LIMNIGRAFICA SANTA SANTA 10413 8º 39´ 40´´ 78º 15´ 00´´ 450 802689.66 9041508.95 ANCASH SANTA SANTA 1956 2001 41 BUENA UBICACIÓN CORREGIDO / DATOS SENAMHI E INADE SON LOS
MISMOA, AQUELLOS DE LA DGA DISCREPAN
MUCHO.UTILIZAR SERIE INADEI 1956-1994. OPERATIVA
CHUQUICARA LIMNIGRAFICA SANTA CHUQUICARA 3192 8º 37´ 48´´ 78º 13´12´´ 500 806019.95 9044928.35 ANCASH PALLASCA SANTA ROSA 1954 1997 36UBICACIÓN INCORRECTA EN EL
SIG PERO CONOCIDAPARALIZADA
QUITARACSA LIMNIGRAFICA SANTA QUITARACSA QUITARACSA 383 8º 46´ 48´´ 77º 51´ 00´´ 1480 846656.65 9028003.91 ANCASH HUAYLAS HUALLANCA 1953 1999 43UBICACIÓN INCORRECTA EN EL
SIG PERO CONOCIDAOPERATIVA
LOS CEDROS LIMNIGRAFICA SANTA Q.LOS CEDROS LOS CEDROS 112 8º 51´ 00´´ 77º 49´ 12´´ 1990 849896.07 9020225.55 ANCASH HUAYLAS HUALLANCA 1954 2001 44 BUENA UBICACIÓN OPERATIVA
COLCAS LIMNIGRAFICA SANTA Q. YURAMACYO COLCAS 226 8º 55´ 12´´ 77º 49´ 48´´ 2050 848728.05 9012484.53 ANCASH HUAYLAS STA. CRUZ 1954 1998 42 BUENA UBICACIÓN OPERATIVA
BALSA LIMNIGRAFICA SANTA SANTA 5124 8º 53´ 38´´ 77º 50´ 24´´ 1850 847651.38 9015384.98 ANCASH HUAYLAS HUALLANCA 1954 2001 43 BUENA UBICACIÓN OPERATIVA
PUENTE
CARRETERALIMNIMETRICA SANTA SANTA 11910 8º 57´ 58´´ 78º 37´ 12´´ 18 761719.06 9008035.89 ANCASH SANTA SANTA 1931 1997 67 BUENA UBICACIÓN
CORREGIDO / DATOS IGUALES. UTILIZAR SERIE SENAMHI
1931-1955. AGREGAR SERIE INADE 1956-1994 Y SERIE
DGA 1995-1997. PARALIZADA
PARON LIMNIGRAFICA SANTA PARON 8º 58´ 48´´ 77º 40´ 48´´ 4100 865190.7 9005695.15 ANCASH HUAYLAS CARAZ 1953 1995 43UBICACIÓN INCORRECTA EN EL
SIG PERO CONOCIDAEN PROCESO DE REACTIVACION
LLANGANUCO LIMNIGRAFICA SANTA LLANGANUCO 9º 4´ 12´´ 77º 39´ 00´´ 3850 868403.4 8995698.52 ANCASH YUNGAY YUNGAY 1953 1997 43 BUENA UBICACIÓN EN PROCESO DE REACTIVACION
CHANCOS LIMNIGRAFICA SANTA Q.HONDA QDA. HONDA 210 9º 19´ 12´´ 77º 33´ 00´´ 2940 879148.85 8967907.56 ANCASH CARHUAZ MARCARA 1953 1999 43UBICACIÓN INCORRECTA EN EL
SIG PERO CONOCIDAEN PROCESO DE REACTIVACION
QUEROCOCHA LIMNIGRAFICA SANTA QUEROCOCHA 9º 40´ 12´´ 77º 30´ 00´´ 3980 884260 8929088.07 ANCASH RECUAY TICPAMPA 1953 1998 43UBICACIÓN INCORRECTA EN EL
SIG PERO CONOCIDAEN PROCESO DE REACTIVACION
PACHACOTO LIMNIGRAFICA SANTA PACHACOTO PACHACOTO 198 9º 49´ 48´´ 77º 24´ 00´´ 3700 895066.39 8911250.23 ANCASH RECUAY CATAC 1953 1997 43UBICACIÓN INCORRECTA EN EL
SIG PERO CONOCIDAPARALIZADA
RECRETA LIMNIGRAFICA SANTA SANTA 10º 1´ 48´´ 77º 19´ 48´´ 3990 902514.9 8889010.92 ANCASH BOLOGNESI CHIQUIAN 1952 1996 44 BUENA UBICACIÓN PARALIZADA
MANTA LIMNIGRAFICA SANTA MANTA MANTA 543 8º 36´ 00´´ 77º 52´ 48´´ 1920 843515.6 9047960.12 ANCASH CORONGO LA PAMPA 1970 1997 28 BUENA UBICACIÓN PARALIZADA
OLLEROS LIMNIGRAFICA SANTA OLLEROS OLLEROS 175 9º 40´ 12´´ 77º 27´ 00´´ 3550 889757.6 8929031.21 ANCASH HUARAZ OLLEROS 1970 1998 26 BUENA UBICACIÓN EN PROCESO DE REACTIVACION
QUILLCAY LIMNIGRAFICA SANTA QUELLCAY QUILLCAY 249 9º 31´ 12´´ 77º 31´ 12´´ 3052 882229.73 8945724.05 ANCASH HUARAZ HUARAZ 1970 1998 26 UBICACIÓN INCORRECTA EN EL EN PROCESO DE REACTIVACION
HUANCA SIG PERO CONOCIDA
CHUQUICARA LIMNIGRAFICA SANTA TABLACHACA 8º 40´ 12´´ 78º 15´ 00´´ 2300 802682.53 9040525.14 ANCASH HUARAZ HUARAZ BUENA UBICACIÓN PARALIZADA
MIRAFLORES LIMNIGRAFICA SANTA SANTA 9º 29´ 24´´ 78º 31´ 48´´ 3000 881163.11 8949057.74 1987 1998 9 BUENA UBICACIÓN PARALIZADA
Fuente: Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión Santa.
CUADRO N° 4.2DESCARGAS MAXIMMAS INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA DEL RIO SANTA
AÑO
HIDROLOG
ICO
ESTACION
RECRETAPACHACO
TO
QUEROCO
CHAOLLEROS QUILLCAY CHANCOS
LLANGAN
UCOPARON COLCAS
LOS
CEDROSLA BALSA
QUITARAC
SAMANTA
CHUQUICA
RACONDORCERRO
1953 1954
1
8.
4 27 6.94 29 9.9 2.95 15.82 13.71 750.7 60.4 180
1954 1955
3
8.
2 41 7.95 7.2 2.54 17.2 8.58 1093.1 64 188
1955 1956
2
3.
5 23 6.5 6.2 2.34 18.4 8.7 574.54 55.36
1956 1957
2
3 26.3 6.77 37 8.8 14 6.57 376.04 60.24 119
1957 1958
2
1.
5 24.2 6.39 33.6 5.88 3.25 13.67 11.68 627.68 65.72
112.
86
1958 1959
3
8 23.5 6.26 28.5 6.4 3.75 14.72 11.55 257.6 69.44 887.5
1959 1960
2
5.
7
8 25.4 8.9 34.6 7.2 2.75 14.2 5.15 592 1110
1960 1961
2
1.
4
8 26.6 8 34.6 4.2 3.25 22.74 15.07 700 66.05 1330
1961 1962
3
7.
6 36 9.4 36.3 8.8 2.75 27.4 17.96 45.2
1962 1963
3
4.
1 34.96 7.56 40.5 8.28 2.45 23.4 14.24 562 60 1260
1963 1964
2
7.
0
1 24.4 5.88 27.7 5.45 3.35 16.85 570 45 588
1964 1965
2
1.
9
7 15.88 9.1 29.7 4.45 1.86 15.72 12.13 435 33.34
1965 1966
1
7.
0
8 23.6 6.52 22.3 5.45 2.37 18.7 9.1 324.8 38.6 482
1966 1967 2
9.
34 9.8 32.3 5.93 2.37 28.5 17.19 830 53 273 925
0
9
1967 1968
8.
8 17.9 4.93 21.22 4.45 2.2 18.7 8.41 218 38.4
93.
3 403.5
1968 1969
1
3.
2 18.16 3.98 27.2 5.45 2.91 27.2 11.04 272 84.4 93.2 922
1969 1970
3
9.
9 33 6.87 28.9 5.85 26.4 12.81 535.6 1186
1970 1971
4
0 31.28 6.7 24 60 5.86 3.06
270
.8
1971 1972
5
3.
5
5 57 8.9 38.4 31.1 37.22 5.57 2.85 10.25 404 63.2 61.15
266
.5
1972 1973
2
6.
9
6 23.58 5.8 28.8 19.68 34 8.63 3.53 22.67 19 392.2 59.8 41.56
285
.6
1973 1974
4
0.
3
5 41 7.48 42 31.16 4.45 2.36 34 9.5 688.6 81.6 75.4 230
1974 1975
2
7.
6
5 18.15 10.72 48 26 48 6.65 2.19 39 16 534.4 77 74 600 900
1975 1976 3 21.68 10.21 47.84 29 5.98 2.81 19 10.92 540 54.6 51.48 328
1.
2
6 .6
1976 1977
2
5.
1
9 26.7 8.97 30 5.86 2.83 26 10 458.3 48.14 60 396 1130
1977 1978
1
1.
9 21.5 8.13 26.42 17.04 45.72 6.4 3.11 30 7.88 360.8 40.84 17.92
95.
2
1978 1979
2
3.
1 27 8.96 37.76 26.5 44 6.76 4.23 24.4 21.56 618 62 43.78
291
.6 730
1979 1980
6.
1
7 17.16 4.89 31.88 56 3.88 11.62 5.56 205.5 30.4 36.44
110.
8 336.6
1980 1981
5
4.
7 52 9.4 30.8 40.3 42.4 8.97 3.82 23.53 11.16 72.2 440
1981 1982
3
8.
8 10.78 33.4 36.2 44.2 8.97 3.18 13.76 8.3 780 42.7
188
.74
PROMEDIO
QMAX
2
8
.
2
2 28.28 7.68
35.3
9 28.42 36.24 6.57 2.92 21.39 11.63 526.96 56.60 55.49
248
.33 870.76
N
2
9 28 29 11 9 25 28 27 27 27 26 26 10 18 14
S
1
1.
9
5
9 10.012 1.789 8.145 7.307 9.589 1.580 0.586 6.866 4.123
208.31
4 14.492 21.947
134
.39
1 321.952
alfa
9.
3
2
8 7.809 1.395 6.353 5.699 7.479 1.232 0.457 5.356 3.216
162.48
5 11.304 17.119
104
.82
5 251.122
beta
2
2.
8
3
4 23.779 6.874
31.72
6 25.136 31.930 5.860 2.660
18.30
3 9.775
433.21
5 50.080 45.617
187
.85
7 725.879
Fuente: Electroperú - Hidroservice. 1985. Estudio Integral para el Aprovechamiento de la cuenca del río Santa. Lima, PE, Se. anexo G. 145 p.
CUADRO N° 4.3AREA DE LAS CUENCAS Y EL PROMEDIO DE LAS
DESCARGAS MAXIMAS INSTANTANEAS ANUALES DE LA CUENCA DEL RIO SANTA
ESTACION SUBCUENCA AREA (KM2)
QPROM MAX OBS
(M3/S)
CONDORCERRO SANTA 10413 870.76
CHUQUICARA TABLACHACA 3192 248.33
QUITARACSA QUITARACSA 383 56.60
LOS CEDROS LOS CEDROS 112 11.63
COLCAS COLCAS 226 21.39
BALSA SANTA 5124 526.96
PARON PARON 53.3 2.92
LLANGANUCO LLANGANUCO 89.4 6.57
CHANCOS QDA. HONDA 210 36.24
QUEROCOCHA QUEROCOCHA 62.7 7.68
PACHACOTO PACHACOTO 198 28.28
RECRETA SANTA 289.5 28.22
MANTA MANTA 543 55.49
OLLEROS OLLEROS 175 11.63
QUILLCAY QUILLCAY 249 28.42
4.3 Modelo probabilístico adecuado
El modelo probabilístico adecuado como se ha indicado ha sido definido mediante la
prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado, cuyos resultados se muestran en el cuadro
N 4.4.
CUADRO N° 4.4
RESULTADOS DE LA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE CHI-CUADRADO
MODELO
ESTACIONNORMAL LOG—NORMAL EXPONENCIAL GUMBEL GAMMA PEARSON TIPO III
RECRETA SI SI N0 SI NO NO
PACHACOTO SI SI N0 SI NO NO
QUEROCOCHA SI SI N0 SI SI NO
OLLEROS SI SI N0 SI SI SI
QUILLCAY SI SI N0 SI SI NO
CHANCOS SI SI N0 SI SI SI
LLANGANUCO N0 N0 N0 SI SI SI
PARON SI SI N0 SI SI NO
COLCAS SI SI N0 SI SI NO
LOS CEDROS SI SI N0 SI SI NO
LA BALSA SI SI N0 SI SI NO
QUITARACSA SI SI N0 SI SI NO
MANTA SI SI N0 SI SI NO
CHUQUICARA SI SI N0 SI SI NO
CONDORCERRO SI SI N0 SI SI NO
Del análisis estadístico de los datos de las descargas máximas instantáneas anuales se
asume que el modelo probabilístico adecuado es el modelo Gumbel.
Los cálculos respectivos se muestran en el anexo A-1.
4.3.1 Modelo regional para las descargas máximas
a.i. Estimación de parámetros del modelo de Fuller
Siguiendo la metodología descrita los parámetros estimas de la ecuación de
Fuller son:
(4.1)
76
(4.2)
Donde:
descarga máxima instantánea anual en para un periodo de retorno de T años.
promedio de las descarga máximas instantáneas anuales en
área de la cuenca en
periodo de retorno en años.
La correlación existente entre el caudal promedio de las máximas con el área
de la cuenca de muestra en la figura y cuadro siguiente:
CUADRO N° 4.5
CAUDALES PROMEDIOS DE LAS MAXIMAS INTANTANTANEAS OBSERVADOS Y ESTIMADAS
ESTACIONSUBCUENCA
AREA (KM2)
A
QPROM MAX OBS QPROMAX EST
CHUQUICARA TABLACHACA 3192 10188864 1.05774E+21 248.33 248.3
QUITARACSA QUITARACSA 383 146689 3.1564E+15 56.60 45.5
LOS CEDROS LOS CEDROS 112 12544 1.97382E+12 11.63 11.7
COLCAS COLCAS 226 51076 1.33245E+14 21.39 27.8
PARON PARON 53.3 2840.89 22927845901 2.92 2.5
LLANGANUCO LLANGANUCO 89.4 7992.36 5.10535E+11 6.57 8.2
CHANCOS QDA. HONDA 210 44100 8.57661E+13 36.24 25.7
QUEROCOCHA QUEROCOCHA 62.7 3931.29 60758248385 7.68 4.0
PACHACOTO PACHACOTO 198 39204 6.02547E+13 28.28 24.1
RECRETA SANTA 289.5 83810.25 5.88696E+14 28.22 35.5
MANTA MANTA 543 294849 2.5633E+16 55.49 58.5
OLLEROS OLLEROS 175 30625 2.87229E+13 11.63 20.9
QUILLCAY QUILLCAY 249 62001 2.3834E+14 28.42 30.7
El coeficiente de correlación de la ecuación (4.2) es:
0.9953339
para
Como la ecuación 4.2 es adecuada.
En la siguiente figura se muestran los valores de las descargas máximas
instantáneas obtenidas mediante el modelo probabilístico de Gumbel ( y los
valores de las descargas máximas instantáneas obtenidas mediante el modelo
regional de encontrado que es una modificación del modelo de Fuller (ecuación
4.1)
El coeficiente de correlación de las descargas adimensionalizadas y ) es:
0.647366393
para
Como la ecuación 4.1 es adecuada.
78
5 DISCUSION
1. Al realizar la prueba de bondad de ajuste de chi –cuadrado se ha encontrado datos
faltantes en algunas estaciones hidrográficas, en estos casos se ha considerado
como registro completo, considerando sólo los datos registrados.
2. En el análisis de ajuste de modelos se ha encontrado que el modelo probabilístico
de Gumbel es el modelo adecuado para explicar el comportamiento de las
descargas máximas instantáneas adecuadas de la cuenca del río Santa.
3. En el análisis de correlación de los promedios de las descargas máximas
instantáneas anuales con las áreas de las cuencas se ha descartado las cuencas
aguas arriba de las estaciones hidrográficas de la Balsa y Condorcerro ubicadas en
el cauce del río Santa, porque al considerar estos datos se cometen errores de
sobrestimación de descargas.
4. El periodo de retorno considerado como máximo es de 100 años dado que el
modelo regional es adecuado para calcular caudales de diseño para
infraestructuras medianas.
5. Se ha modificado el modelo original de Fuller, agregando un factor de influencia
directa que es el área de la cuenca.
6. El modelo regional encontrado es válido para periodos de retorno hasta de 100
años y áreas de las cuencas comprendidas entre 53 y 3192
6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
6.1 Conclusiones
• El modelo probabilístico de Gumbel es el modelo adecuado para explicar el
comportamiento de las descargas máximas instantáneas anuales de la cuenca
del río Santa.
• El modelo regional modificado de Fuller permite hallar las descargas máximas
instantáneas anuales en cualquier punto de la cuenca del río Santa, para un
periodo de retorno fijado por el proyectista.
• El modelo regional de Fuller es aplicado para cuencas con área comprendas
entre 53 y 3192 y para periodo de retorno de 100 años como máximo.
• Para estimar las descargas máximas anuales en la cuenca del río Santa es
necesario conocer sólo el área de la cuenca y fijar el periodo de retorno de
diseño.
6.2 Recomendaciones
80
• Realizar trabajos relacionados con la obtención de las descargas máximas
instantáneas anuales para mayor número de años dado algunas estaciones de
aforo siguen registrando datos o que muchos de ellos han funcionado hasta el
año 2000.
• No usar el modelo de Fuller modificado fuera de los rangos indicados del área
y del tiempo de retorno. Es decir usar este modelo para áreas cuenca de 53 a
3192 y para periodos de retorno de hasta 100 años como máximo.
7 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
1. Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. 1997. Avenida de Proyecto.
Madrid, ES. Vol. 4. 138 p.
2. Crochín, Sviatoslav. 1983. Diseño Hidráulico, EC, 2 ed. S.l. S.e. 429 p.
3. Electroperú - Hidroservice. 1985. Estudio Integral para el Aprovechamiento de la
cuenca del río Santa. Lima, PE, Se. anexo G. 145 p.
4. Instituto Tecnológico de Costa Rica. Departamento de Ingeniería Agrícola. 1980.
Estudios hidrológicos. Cartago, CR, S.e, 531p.
5. Mejía Marcacuzco, JA. 1999. Análisis de Máximas Avenidas. Universidad Nacional
Agraria La Molina. Publidrat. Lima, PE. S.e. 28 p.
6. Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Instituto Nacional de
Desarrollo.2002. Plan de Gestión de Oferta de Agua en la Cuenca de Gestión
Santa. Lima PE, S.e. 2 volúmenes.
7. Monsalve Sáenz, G. 1995. Hidrología en la Ingeniería. Santa Fé de Bogotá, CO.
Tercer Mundo Editores. 358 p.
8. Pérez Morales, GB y Rodríguez Castro, A. 2009. Hidrología Superficial (en línea).
Consultado 20 de diciembre 2010. Disponible en
http://www.fic.umich.mx/~bperez/HIDROLOGIA-SUPERF.pdf.
9. Servicio Nacional de Meteorologia e hidrologia, Instituto Italo – Latinoamericano y la
Universidad Nacional de Ingenieria.1982 Estudio de la Hidrología del Perú. Lima,
PE. S.e. Volumen III . 111 p.
10. Ven, TC; Maidment, DR; Ways, LW. 1994. Hidrología Aplicada. Santa Fé de Bogotá,
CO.McGraw-Hill Interamicana. 584 p.
11. Varas C, E y Bois, P. Hidrología Probabilística. CL. Universidad Católica de Chile.
156 p.
12. Villón Béjar, M. 2002. Hidrología. Lima, PE. 2ed. Villón. 433 p.
13. Villón Béjar, M. 2002. Hidrología Estadística. Lima, PE. Villón. 377 p.
82
ANEXO A
CUADRO N A-1
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO
MODELO PROBABILISTICO NORMAL
α =0.05
G.L. =2.00
Xt2 = 5.99
ESTACION RECRETA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
18.14575382 5 5.8 0.110344828
25.18446908 7 5.8 0.248275862
31.24587574 6 5.8 0.006896552
38.28459101 5 5.8 0.110344828
85.55979172 6 5.8 0.006896552
0.482758621
Se Ajusta
ESTACION PACHACOT
O
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
19.85434755 5 5.6 0.064285714
25.74678514 9 5.6 2.064285714
30.82107201 5 5.6 0.064285714
36.71350959 5 5.6 0.064285714
76.2897901 4 5.6 0.457142857
2.714285714
Se Ajusta
ESTACION QUEROCOC
HA
84
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
6.172664089 5 5.8 0.110344828
7.225597459 8 5.8 0.834482759
8.132333575 5 5.8 0.110344828
9.185266946 5 5.8 0.110344828
16.25724451 6 5.8 0.006896552
1.172413793
Se Ajusta
ESTACION OLLEROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
28.53323057 2 2.2 0.018181818
33.32687839 3 2.2 0.290909091
37.45493979 1 2.2 0.654545455
42.24858761 3 2.2 0.290909091
74.4448982 2 2.2 0.018181818
1.272727273
Se Ajusta
ESTACION QUILLCAY
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
22.27223725 2 1.8 0.022222222
26.57274718 2 1.8 0.022222222
30.2761417 2 1.8 0.022222222
34.57665164 1 1.8 0.355555556
63.46082476 2 1.8 0.022222222
0.444444444
Se Ajusta
ESTACION CHANCOS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
28.17127571 4 5 0.2
33.81482287 7 5 0.8
38.67477713 6 5 0.2
44.31832429 4 5 0.2
82.22294386 4 5 0.2
1.6
Se Ajusta
ESTACION LLANGANU
CO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
5.2409879 4 5.6 0.457142857
6.170741604 10 5.6 3.457142857
6.971401253 5 5.6 0.064285714
7.901154957 2 5.6 2.314285714
14.14580207 7 5.6 0.35
6.642857143
No Se Ajusta
ESTACION PARON
86
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
2.430711002 7 5.4 0.474074074
2.775322285 4 5.4 0.362962963
3.072085123 6 5.4 0.066666667
3.416696405 5 5.4 0.02962963
5.731261907 5 5.4 0.02962963
0.962962963
Se Ajusta
ESTACION COLCAS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
15.61147675 6 5.4 0.066666667
19.65258677 8 5.4 1.251851852
23.13259842 2 5.4 2.140740741
27.17370843 5 5.4 0.02962963
54.31563418 6 5.4 0.066666667
3.555555556
Se Ajusta
ESTACION LOS
CEDROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
8.158605715 4 5.4 0.362962963
10.58543529 8 5.4 1.251851852
12.67530545 6 5.4 0.066666667
15.10213503 4 5.4 0.362962963
31.40182198 5 5.4 0.02962963
2.074074074
Se Ajusta
ESTACION LA BALSA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
351.5584812 5 5.2 0.007692308
474.164793 6 5.2 0.123076923
579.7475147 6 5.2 0.123076923
702.3538265 5 5.2 0.007692308
1525.833365 4 5.2 0.276923077
0.538461538
Se Ajusta
ESTACION QUITARACS
A
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
44.39897444 6 5.2 0.123076923
52.92853011 3 5.2 0.930769231
88
60.27377758 6 5.2 0.123076923
68.80333325 6 5.2 0.123076923
126.0916935 5 5.2 0.007692308
1.307692308
Se Ajusta
ESTACION MANTA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
37.01379558 2 2 0
49.93111121 2 2 0
61.05488879 2 2 0
73.97220442 1 2 0.5
160.7307486 3 2 0.5
1
Se Ajusta
ESTACION CHUQUICAR
A
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
135.1781157 5 3.6 0.544444444
214.2757667 3 3.6 0.1
282.3909 4 3.6 0.044444444
361.4885509 3 3.6 0.1
892.7442112 3 3.6 0.1
0.888888889
Se Ajusta
ESTACION CONDORCE
RRO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
599.6782599 4 2.8 0.514285714
789.167559 1 2.8 1.157142857
952.3467267 4 2.8 0.514285714
1141.836026 2 2.8 0.228571429
2414.532009 3 2.8 0.014285714
2.428571429
Se Ajusta
90
CUADRO N A-2
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO
MODELO PROBABILISTICO LOGARITMO NORMAL
α =0.05
G.L. =2.00
Xt2 = 5.99
ESTACION RECRETA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
16.62921739 4 5.8 0.55862069
22.35982507 5 5.8 0.110344828
28.85424176 8 5.8 0.834482759
38.79772469 6 5.8 0.006896552
283.4779101 6 5.8 0.006896552
1.517241379
Se Ajusta
ESTACION PACHACOT
O
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
20.48496589 5 5.6 0.064285714
24.74325805 8 5.6 1.028571429
29.11320494 6 5.6 0.028571429
35.16508383 4 5.6 0.457142857
125.0276732 5 5.6 0.064285714
1.642857143
Se Ajusta
ESTACION QUEROCOC
HA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
6.057925569 5 5.8 0.110344828
7.009948501 8 5.8 0.834482759
7.948845381 2 5.8 2.489655172
9.198032581 8 5.8 0.834482759
24.51641195 6 5.8 0.006896552
4.275862069
Se Ajusta
ESTACION OLLEROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
28.46292248 2 2.2 0.018181818
32.59261832 3 2.2 0.290909091
36.62597992 1 2.2 0.654545455
92
41.94005674 2 2.2 0.018181818
104.1893923 3 2.2 0.290909091
1.272727273
Se Ajusta
ESTACION QUILLCAY
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
21.9014535 2 1.8 0.022222222
25.70660916 0 1.8 1.8
29.50915457 3 1.8 0.8
34.63607123 2 1.8 0.022222222
101.5791876 2 1.8 0.022222222
2.666666667
Se Ajusta
ESTACION CHANCOS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
28.25677894 4 5 0.2
32.88072329 6 5 0.2
37.46461742 7 5 0.8
43.5953341 2 5 1.8
120.6447076 6 5 0.2
3.2
Se Ajusta
ESTACION LLANGANU
CO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
5.23571688 4 5.6 0.457142857
6.020803232 10 5.6 3.457142857
6.790592689 5 5.6 0.064285714
7.80882988 2 5.6 2.314285714
19.95854057 7 5.6 0.35
6.642857143
No Se Ajusta
ESTACION PARON
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
2.422730781 7 5.4 0.474074074
2.72597022 2 5.4 2.140740741
3.017351088 7 5.4 0.474074074
3.39501577 6 5.4 0.066666667
7.496030064 5 5.4 0.02962963
3.185185185
Se Ajusta
94
ESTACION COLCAS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
15.64742701 6 5.4 0.066666667
18.82898476 7 5.4 0.474074074
22.08257701 1 5.4 3.585185185
26.57258 7 5.4 0.474074074
92.11468731 6 5.4 0.066666667
4.666666667
Se Ajusta
ESTACION LOS
CEDROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
8.094091448 4 5.4 0.362962963
9.995709828 6 5.4 0.066666667
11.98765989 7 5.4 0.474074074
14.80402965 4 5.4 0.362962963
61.08194672 6 5.4 0.066666667
1.333333333
Se Ajusta
ESTACION LA BALSA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
341.5325709 5 5.2 0.007692308
437.350187 5 5.2 0.007692308
541.1462654 4 5.2 0.276923077
692.9658854 7 5.2 0.623076923
3647.875736 5 5.2 0.007692308
0.923076923
Se Ajusta
ESTACION QUITARACS
A
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
43.5409909 6 5.2 0.123076923
51.08054458 3 5.2 0.930769231
58.61147461 3 5.2 0.930769231
68.76063175 9 5.2 2.776923077
200.9899331 5 5.2 0.007692308
4.769230769
Se Ajusta
96
ESTACION MANTA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
34.2698971 1 2 0.5
45.18563668 3 2 0.5
57.33425026 1 2 0.5
75.5965095 4 2 2
484.2442918 1 2 0.5
4
Se Ajusta
ESTACION CHUQUICAR
A
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
136.6247091 5 3.6 0.544444444
188.5037137 2 3.6 0.711111111
248.7144257 2 3.6 0.711111111
343.1560309 6 3.6 1.6
2981.185806 3 3.6 0.1
3.666666667
Se Ajusta
ESTACION CONDORCE
RRO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
556.6748454 3 2.8 0.014285714
720.2086267 1 2.8 1.157142857
899.0503313 2 2.8 0.228571429
1163.163397 5 2.8 1.728571429
6560.261478 3 2.8 0.014285714
3.142857143
Se Ajusta
CUADRO N A-3
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO
MODELO PROBABILISTICO EXPONENCIAL
α =0.05
G.L. =3.00
Xt2 = 7.82
98
ESTACION RECRETA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
6.296033773 1 5.8 3.972413793
14.41303305 3 5.8 1.351724138
25.85330098 10 5.8 3.04137931
45.41056819 13 5.8 8.937931034
324.839177 2 5.8 2.489655172
19.79310345
No Se Ajusta
ESTACION PACHACOT
O
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
6.311376267 0 5.6 5.6
14.44815546 0 5.6 5.6
25.91630161 14 5.6 12.6
45.52122696 12 5.6 7.314285714
325.6307615 2 5.6 2.314285714
33.42857143
No Se Ajusta
ESTACION QUEROCOC
HA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
1.713511636 0 5.8 5.8
3.92261235 0 5.8 5.8
7.036164934 13 5.8 8.937931034
12.35881823 16 5.8 17.93793103
88.40735765 0 5.8 5.8
44.27586207
No Se Ajusta
ESTACION OLLEROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
7.897253139 0 2.2 2.2
18.07858321 0 2.2 2.2
32.42836199 5 2.2 3.563636364
56.95947085 6 2.2 6.563636364
407.4528985 0 2.2 2.2
16.72727273
No Se Ajusta
ESTACION QUILLCAY
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
6.342731477 0 1.8 1.8
14.51993456 0 1.8 1.8
26.045055 3 1.8 0.8
45.74737853 6 1.8 9.8
327.2485103 0 1.8 1.8
16
No Se Ajusta
100
ESTACION CHANCOS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
8.087793389 0 5 5
18.51477257 0 5 5
33.21077432 10 5 5
58.33375525 14 5 16.2
417.2836809 1 5 3.2
34.4
No Se Ajusta
ESTACION LLANGANU
CO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
1.466292215 0 5.6 5.6
3.356671661 0 5.6 5.6
6.021011848 14 5.6 12.6
10.57573148 14 5.6 12.6
75.65225558 0 5.6 5.6
42
No Se Ajusta
ESTACION PARON
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
0.652405627 0 5.4 5.4
1.493502768 0 5.4 5.4
2.678962606 9 5.4 2.4
4.705519585 18 5.4 29.4
33.66038282 0 5.4 5.4
48
No Se Ajusta
ESTACION COLCAS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
4.773619083 0 5.4 5.4
10.92788446 0 5.4 5.4
19.60183432 14 5.4 13.6962963
34.43004956 12 5.4 8.066666667
246.291324 1 5.4 3.585185185
36.14814815
No Se Ajusta
ESTACION
102
LOS CEDROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
2.595242148 0 5.4 5.4
5.941091199 2 5.4 2.140740741
10.65680058 10 5.4 3.918518519
18.71835901 13 5.4 10.6962963
133.8995872 2 5.4 2.140740741
24.2962963
No Se Ajusta
ESTACION LA BALSA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
117.5868676 0 5.2 5.2
269.182706 3 5.2 0.930769231
482.8450399 8 5.2 1.507692308
848.1032122 14 5.2 14.89230769
6066.806923 1 5.2 3.392307692
25.92307692
No Se Ajusta
ESTACION QUITARACS
A
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
12.63018248 0 5.2 5.2
28.91331972 0 5.2 5.2
51.86311268 9 5.2 2.776923077
91.09604289 17 5.2 26.77692308
651.6448655 0 5.2 5.2
45.15384615
No Se Ajusta
ESTACION MANTA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
12.38290509 0 2 2
28.34724634 1 2 0.5
50.84772158 3 2 0.5
89.31253807 5 2 4.5
638.8867728 1 2 0.5
8
No Se Ajusta
ESTACION CHUQUICAR
A
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
104
55.41398191 0 3.6 3.6
126.8550299 5 3.6 0.544444444
227.5455317 3 3.6 0.1
399.6770816 8 3.6 5.377777778
2859.043157 2 3.6 0.711111111
10.33333333
No Se Ajusta
ESTACION CONDORCE
RRO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
194.3038412 0 2.8 2.8
444.8050606 2 2.8 0.228571429
797.8666997 3 2.8 0.014285714
1401.429558 9 2.8 13.72857143
10024.96208 0 2.8 2.8
19.57142857
No Se Ajusta
CUADRO N A-4
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO
MODELO PROBABILISTICO GAMMA
α =0.05
G.L. =2.00
Xt2 = 5.99
ESTACION RECRETA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
25.71429088 6 5.8 0.006896552
26.22842391 7 5.8 0.248275862
26.8496643 1 5.8 3.972413793
32.94806783 5 5.8 0.110344828
105.9328207 10 5.8 3.04137931
7.379310345
No Se Ajusta
ESTACION PACHACOT
O
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
106
20.90905641 5 5.6 0.064285714
22.10683507 2 5.6 2.314285714
23.03435821 1 5.6 3.778571429
30.12185304 11 5.6 5.207142857
92.14193759 9 5.6 2.064285714
13.42857143
No Se Ajusta
ESTACION QUEROCOC
HA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
5.952802895 5 5.8 0.110344828
6.918740503 7 5.8 0.248275862
7.826806082 3 5.8 1.351724138
8.971805236 7 5.8 0.248275862
17.70067032 7 5.8 0.248275862
2.206896552
Se Ajusta
ESTACION OLLEROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
26.58961168 2 2.2 0.018181818
31.03916332 2 2.2 0.018181818
35.23135177 2 2.2 0.018181818
40.51776158 2 2.2 0.018181818
80.50755355 3 2.2 0.290909091
0.363636364
Se Ajusta
ESTACION QUILLCAY
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
21.88841378 2 1.8 0.022222222
25.75760562 0 1.8 1.8
29.42944571 3 1.8 0.8
34.10089783 2 1.8 0.022222222
70.70180301 2 1.8 0.022222222
2.666666667
Se Ajusta
ESTACION CHANCOS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
27.21315742 3 5 0.8
32.30551671 7 5 0.8
37.15047832 6 5 0.2
43.32665172 3 5 0.8
91.96629311 6 5 0.2
2.8
Se Ajusta
ESTACION LLANGANU
CO
108
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
5.091514867 4 5.6 0.457142857
5.939004658 9 5.6 2.064285714
6.7378552 5 5.6 0.064285714
7.747831772 3 5.6 1.207142857
15.5144643 7 5.6 0.35
4.142857143
Se Ajusta
ESTACION PARON
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
2.313463073 3 5.4 1.066666667
2.637828711 6 5.4 0.066666667
2.939383882 6 5.4 0.066666667
3.315374601 6 5.4 0.066666667
6.074063894 6 5.4 0.066666667
1.333333333
Se Ajusta
ESTACION COLCAS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
13.71825423 2 5.4 2.140740741
17.36771032 8 5.4 1.251851852
20.93679746 4 5.4 0.362962963
25.5655353 5 5.4 0.02962963
63.41970824 8 5.4 1.251851852
5.037037037
Se Ajusta
ESTACION LOS
CEDROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
6.435702455 2 5.4 2.140740741
8.623759406 5 5.4 0.02962963
10.84745019 5 5.4 0.02962963
13.73894199 8 5.4 1.251851852
37.66283465 7 5.4 0.474074074
3.925925926
Se Ajusta
ESTACION LA BALSA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
310.3071814 4 5.2 0.276923077
416.6999581 5 5.2 0.007692308
523.1480643 2 5.2 1.969230769
110
664.4285897 9 5.2 2.776923077
1906.035619 6 5.2 0.123076923
5.153846154
Se Ajusta
ESTACION QUITARACS
A
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
43.17981873 6 5.2 0.123076923
50.8950723 3 5.2 0.930769231
58.21091102 3 5.2 0.930769231
67.51026265 9 5.2 2.776923077
140.1707646 5 5.2 0.007692308
4.769230769
Se Ajusta
ESTACION MANTA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
32.64508128 1 2 0.5
43.83368788 3 2 0.5
55.03491312 1 2 0.5
69.90871242 2 2 0
200.7225357 3 2 0.5
2
Se Ajusta
ESTACION CHUQUICAR
A
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
93.59187717 1 3.6 1.877777778
160.4650245 4 3.6 0.044444444
231.0088766 4 3.6 0.044444444
327.526576 5 3.6 0.544444444
1262.252941 4 3.6 0.044444444
2.555555556
Se Ajusta
ESTACION CONDORCE
RRO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
551.8977352 3 2.8 0.014285714
716.3326957 1 2.8 1.157142857
879.2314664 1 2.8 1.157142857
1094.091602 4 2.8 0.514285714
2952.45035 5 2.8 1.728571429
112
4.571428571
Se Ajusta
CUADRO N A-5
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO
MODELO PROBABILISTICO PEARSON III
α =0.05
G.L. =1.00
Xt2 = 3.84
ESTACION RECRETA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
16.30623397 4 5.8 0.55862069
23.20646626 7 5.8 0.248275862
35.40964108 9 5.8 1.765517241
36.69763508 0 5.8 5.8
90.15304202 9 5.8 1.765517241
10.13793103
No Se Ajusta
ESTACION PACHACOT
O
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
18.69178554 5 5.6 0.064285714
22.98386249 2 5.6 2.314285714
27.78377281 12 5.6 7.314285714
34.81680663 3 5.6 1.207142857
113.340605 6 5.6 0.028571429
10.92857143
No Se Ajusta
ESTACION QUEROCOC
HA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
114
ESTACION OLLEROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
27.704428 2 2.2 0.018181818
32.48548324 3 2.2 0.290909091
36.31659651 1 2.2 0.654545455
41.44118777 2 2.2 0.018181818
78.60842087 3 2.2 0.290909091
1.272727273
Se Ajusta
ESTACION QUILLCAY
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
ESTACION CHANCOS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
27.23611025 3 5 0.8
32.00690742 6 5 0.2
36.79625233 6 5 0.2
43.19221486 4 5 0.2
115.5531298 6 5 0.2
1.6
Se Ajusta
ESTACION LLANGANU
CO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
4.939519092 4 5.6 0.457142857
5.788900692 4 5.6 0.457142857
6.597255743 9 5.6 2.064285714
7.626441032 4 5.6 0.457142857
15.66807099 7 5.6 0.35
3.785714286
Se Ajusta
ESTACION PARON
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
1.961508937 1 5.4 3.585185185
1.997789196 0 5.4 5.4
2.114513401 0 5.4 5.4
116
2.4151863 6 5.4 0.066666667
6.089197538 20 5.4 39.47407407
53.92592593
No Se Ajusta
ESTACION COLCAS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
13.55742029 1 5.4 3.585185185
17.15763652 8 5.4 1.251851852
20.74042862 5 5.4 0.02962963
25.44450185 5 5.4 0.02962963
65.15324932 8 5.4 1.251851852
6.148148148
No Se Ajusta
ESTACION LOS
CEDROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
8.023154413 4 5.4 0.362962963
10.11900604 7 5.4 0.474074074
12.16983185 7 5.4 0.474074074
14.85016903 1 5.4 3.585185185
37.47508417 8 5.4 1.251851852
6.148148148
No Se Ajusta
ESTACION LA BALSA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
301.5784343 4 5.2 0.276923077
412.4213299 5 5.2 0.007692308
519.9321215 2 5.2 1.969230769
658.776283 9 5.2 2.776923077
1784.198932 6 5.2 0.123076923
5.153846154
No Se Ajusta
ESTACION QUITARACS
A
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
118
ESTACION MANTA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
ESTACION CHUQUICAR
A
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
83.77841678 0 3.6 3.6
152.0414622 5 3.6 0.544444444
224.7637133 3 3.6 0.1
323.1265633 6 3.6 1.6
1254.540422 4 3.6 0.044444444
5.888888889
No Se Ajusta
ESTACION CONDORCE
RRO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
391.3246398 1 2.8 1.157142857
1081.288791 8 2.8 9.657142857
1104.894126 0 2.8 2.800000000
1257.563752 3 2.8 0.014285714
1525.245715 2 2.8 0.228571429
13.85714286
No Se Ajusta
120
CUADRO N A-6
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI - CUADRADO
MODELO PROBABILISTICO DE GUMBEL
α = 0.05
G.L. = 2.00
Xt2 = 5.99
ESTACION RECRETA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
18.39444944 5 5.8 0.110344828
23.64904227 7 5.8 0.248275862
29.09951498 6 5.8 0.006896552
36.82518749 2 5.8 2.489655172
130.2274989 9 5.8 1.765517241
4.620689655
Se Ajusta
ESTACION PACHACO
TO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
20.06254228 5 5.6 0.064285714
24.46140757 8 5.6 1.028571429
29.02425307 6 5.6 0.028571429
35.49177468 4 5.6 0.457142857
113.6832159 5 5.6 0.064285714
1.642857143
Se Ajusta
ESTACION QUEROCO
CHA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
6.209866889 5 5.8 0.110344828
6.995910354 8 5.8 0.834482759
7.811255823 2 5.8 2.489655172
8.966952295 6 5.8 0.006896552
22.93916268 8 5.8 0.834482759
4.275862069
Se Ajusta
ESTACION OLLEROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
28.70260228 2 2.2 0.018181818
32.28119105 3 2.2 0.290909091
35.9931819 1 2.2 0.654545455
41.25467519 2 2.2 0.018181818
122
104.865401 3 2.2 0.290909091
1.272727273
Se Ajusta
ESTACION QUILLCAY
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
22.42418515 2 1.8 0.022222222
25.63463305 0 1.8 1.8
28.96475952 2 1.8 0.022222222
33.68498617 3 1.8 0.8
90.75187307 2 1.8 0.022222222
2.666666667
Se Ajusta
ESTACION CHANCOS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
28.37067651 4 5 0.2
32.58373831 6 5 0.2
36.95385396 5 5 0
43.14819419 4 5 0.2
118.0369102 6 5 0.2
0.8
Se Ajusta
ESTACION LLANGAN
UCO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
5.273838451 4 5.6 0.457142857
5.967924937 9 5.6 2.064285714
6.687885469 5 5.6 0.064285714
7.708380313 3 5.6 1.207142857
20.04602173 7 5.6 0.35
4.142857143
Se Ajusta
ESTACION PARON
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
2.442886991 7 5.4 0.474074074
2.700148708 2 5.4 2.140740741
2.967000586 7 5.4 0.474074074
3.345244883 5 5.4 0.02962963
7.918166088 6 5.4 0.066666667
3.185185185
Se Ajusta
ESTACION COLCAS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
15.75425939 7 5.4 0.474074074
18.77105818 6 5.4 0.066666667
21.90031672 1 5.4 3.585185185
124
26.33582681 6 5.4 0.066666667
79.96052987 7 5.4 0.474074074
4.666666667
Se Ajusta
ESTACION LOS
CEDROS
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
8.244351744 4 5.4 0.362962963
10.05604618 7 5.4 0.474074074
11.93527668 6 5.4 0.066666667
14.59895746 4 5.4 0.362962963
46.80248942 6 5.4 0.066666667
1.333333333
Se Ajusta
ESTACION LA BALSA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
355.8904724 5 5.2 0.007692308
447.4194265 5 5.2 0.007692308
542.3603826 4 5.2 0.276923077
676.9326983 6 5.2 0.123076923
2303.89337 6 5.2 0.123076923
0.538461538
Se Ajusta
ESTACION QUITARAC
SA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
44.70034523 6 5.2 0.123076923
51.06789106 3 5.2 0.930769231
57.67280525 3 5.2 0.930769231
67.03481966 9 5.2 2.776923077
180.2202782 5 5.2 0.007692308
4.769230769
Se Ajusta
ESTACION MANTA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
37.47019702 2 2 0
47.11332528 2 2 0
57.11592856 1 2 0.5
71.29393499 2 2 0
242.7040705 3 2 0.5
1
Se Ajusta
126
ESTACION CHUQUICA
RA
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
137.9728359 5 3.6 0.544444444
197.0213886 3 3.6 0.1
258.271144 1 3.6 1.877777778
345.0884856 6 3.6 1.6
1394.69813 3 3.6 0.1
4.222222222
Se Ajusta
ESTACION CONDORC
ERRO
L.C.S. F.O. F.E. Xc2
606.3733964 4 2.8 0.514285714
747.8323237 1 2.8 1.157142857
894.5645347 1 2.8 1.157142857
1102.547414 3 2.8 0.014285714
3617.031642 5 2.8 1.728571429
4.571428571
Se Ajusta