Estadistica Libro

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE CD. JUREZ

INSTITUTO DE INGENIERA Y TECNOLOGA

DEPARTAMENTO DE INGENIERA CIVIL Y AMBIENTAL

MTODOS ESTADSTICOS PARA LA INGENIERA AMBIENTAL Y LA CIENCIA

DR. HCTOR ADOLFO QUEVEDO URIAS

AGOSTO DE 2006

Copyright 2006. Mtodos Estadsticos para la Ingeniera Ambiental y la Ciencia. Hctor Adolfo Quevedo Uras Es propiedad del autor. Queda hecho el depsito que marca la ley. Advertencia Prohibida la reproduccin de este libro, adems de los esquemas e ideas originales del autor que se hallan en este texto, ya sea por medios electrnicos, mecnicos, fotocopiado o de cualquier otra forma, puesto que todo esto pertenece al dominio de la propiedad intelectual y est protegido por la ley. Para revisores, crticos o reseadores literarios, a quienes se les asigne la tarea de hacer revisiones literarias de esta obra, lo pueden hacer, previo acuerdo con el autor. Impreso en Cd. Jurez, Chihuahua, Mxico Library of Congress Cataloging in Publication Data Hctor Adolfo Quevedo Uras Este libro fue publicado en el Internet en Enero de 2006 por la Biblioteca Virtual de la Universidad Autnoma de Cd. Jurez. La direccin electrnica del libro es: http://bivir.uacj.mx/LibrosElectronicosLibres/UACJ/ua00001.pdf

CONTENIDO Pgina Introduccin i Captulo 1 Estadstica Descriptiva 1-1 Definicin de estadstica.- Poblacin y muestra.- Estadstica inductiva y de inferencia.- Estadstica descriptiva.- Variables continuas y discretas.- Medidas de tendencia central.- Medidas de dispersin.- La variable aleatoria estandarizada z.- Las desviaciones del promedio.- El rango.- Sesgo y kurtosis.- Distribuciones de frecuencia.- Diagramas de tallo y hoja. Captulo 2 Probabilidad 2-1 Probabilidad de frecuencia relativa.- Probabilidad subjetiva.- Axiomas y propiedades bsicas de la probabilidad.- Diagramas de Venn y lgebra de conjuntos.- Tcnicas de conteo: Regla de producto para pares ordenados, la regla de multiplicacin ms general, regla factorial, diagramas de rbol, permutaciones y combinaciones.- Regla multiplicativa para eventos dependientes e independientes.- Regla aditiva para eventos mutuos excluyentes y eventos no mutuos excluyentes.-

Captulo 3 Distribucin Binomial e Hipergeomtrica 3-1 Aplicaciones generales de la distribucin binomial.- Relacin entre la distribucin normal y la distribucin binomial.- Relacin entre la distribucin binomial y la distribucin de Poisson.- La distribucin hipergeomtrica.- Suposiciones y propiedades de la distribucin hipergeomtrica.- Captulo 4 Distribucin de Poisson 4-1 Aplicaciones de la distribucin de Poisson.- Condiciones que se requieren para aplicar la distribucin de Poisson.- Funciones probabilsticas de la funcin de Poisson.- Aplicacin de la distribucin de Poisson dentro de sus propios trminos y como una aproximacin a la distribucin binomial.- Propiedades de la distribucin de Poisson.- Problemas de la distribucin de Poisson usando el programa Minitab. Captulo 5 Distribuciones de Probabilidad Continua 5-1 Funcin de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X.- Frmula fundamental del clculo.- Distribucin normal y sus caractersticas.- Relacin entre la curva normal y la binomial.- reas bajo la curva normal.- Distribucin exponencial.- Distribucin Gamma.- Distribucin Weibull.- Intervalos de confianza para .- Estadstica de inferencia:

teora de decisin estadstica y pruebas de hiptesis.- Pruebas de hiptesis estadsticas. Hiptesis nula (Ho:) e hiptesis alternativas (H1:, H2:, H3:).- Tipos de errores I (alfa) y II (beta).- Pruebas de hiptesis no tradicionales usando el valor de la probabilidad p.- Pruebas de hiptesis para uno y dos promedios poblacionales (1, y 2).- Pruebas de hiptesis para las diferencias de dos promedios poblacionales (1 2), para muestras grandes (n 30) usando la distribucin normal, con varianzas conocidas e iguales (21 = 22).- Intervalos de confianza para dos promedios poblacionales.- Pruebas de hiptesis e intervalos de confianza para proporciones.- Captulo 6 Distribuciones de t de Estudiante, JI Cuadrada y F 6-1 Propiedades de la distribucin de t de Estudiante.- Intervalos de confianza para el promedio poblacional .- Prueba de hiptesis para .- Prueba de t pareada para detectar diferencias entre dos tratamientos.- Prueba de t para probar la hiptesis de dos promedios, cuando las varianzas son iguales.- Prueba de t para probar la hiptesis de dos promedios cuando las varianzas son desiguales.- Mecanismos para calcular el valor de p cuando se hacen pruebas de hiptesis no tradicionales.- Intervalos de confianza y pruebas de hiptesis con la JI cuadrada, (2).- Aplicacin de la JI cuadrada en cuanto a la prueba de bondad de ajuste comparando las frecuencias observadas y las frecuencias tericas.- Distribucin F y su aplicacin en la comparacin de varianzas muestrales.- Captulo 7 Anlisis de Varianza 7-1 Diseos de anlisis de varianza completamente aleatorizados y diseo de bloques aleatorizados.- Mtodo de comparaciones mltiples para saber cuales poblaciones son iguales y cuales son desiguales.- Anlisis de varianza de diseo de bloques aleatorizados.- Suposiciones del modelo de bloques aleatorios completos.- Anlisis de varianza en dos sentidos.- Interaccin con ANOVA de dos factores.- Anlisis de varianza en tres sentidos: diseo completamente aleatorio.- Interaccin con ANOVA de diseos factoriales de tres clasificaciones.- Ejemplos de ANOVA usando el programa Minitab.- Captulo 8 Regresin Lineal Simple y Mltiple 8-1 Suposiciones del modelo de regresin lineal.- Ecuaciones normales para calcular el intercepto en la ordenada a y la pendiente b de la curva o lnea de regresin.- Coeficiente de determinacin R2 de la muestra que estima a 2 el coeficiente de determinacin poblacional.- Coeficiente de correlacin R de la muestra que estima a , el coeficiente de correlacin poblacional.- Intervalo de confianza para el coeficiente poblacional componente de la lnea de regresin Y|X = + X, estimado por b, la pendiente de la lnea.- Intervalo de confianza para el parmetro poblacional , el intercepto de la ordenada de la lnea de regresin Y|X = + X, cuyo estimador es a.- Hiptesis nula de Ho: = o contra las hiptesis alternativas de H1: < 1 y H2: > 1.- Hiptesis nula de Ho: = o contra las hiptesis alternativas de H1: o, H2: > o, y de H3: < o.- Intervalo de confianza para Y|X de la lnea poblacional estimada por Y.- Regresin y correlacin

mltiple.- Mtodos para validar el modelo de regresin lineal simple y mltiple: a travs de estadstica de inferencias y a travs del anlisis grfico de los residuales estandarizados. Procedimiento de regresin mltiple usando el programa Minitab.- Captulo 9 Regresin Polinomial 9-1 Modelos polinomiales de segundo orden (k = 2) con una variable independiente.- Modelo de polinomios de tercer orden (k = 3), con una variable independiente.- Modelo de segundo orden (cuadrtico) con interaccin.- Modelo polinomial (de segundo orden o cuadrtico), con tres variables independientes con interaccin.- Evaluacin de los modelos de regresin.- Prueba estadstica para comparar la suma de los cuadrados del error (SSe) de cada modelo probado, para saber cual modelo es superior.- Modelos de regresin no lineales y de regresin logstica.- Modelos de regresin exponenciales paramtricos, con una sola variable independiente.- Procedimientos para la Identificacin de valores atpicos extremos. Diagnstico y mitigacin de multicolinealidad.- Medidas para corregir multicolinealidad severa.- Ejemplos de problemas de regresin polinomial usando el programa de computadora Minitab.- Autocorrelacin en datos de series de tiempo.- Heteroscedasticidad y homoscedasticidad.- Prueba de White para el problema de heteroscedasticidad.- Captulo 10 Estadstica no Paramtrica. El modelo de Distribucin de ANOVA Libre 10-1 Ventajas de los mtodos no paramtricos.- Desventajas de los mtodos no paramtricos.- Prueba de H de Kruskal-Wallis para anlisis de varianza por rangos.- Pruebas de hiptesis con las funciones no paramtricas.- Procedimientos de pruebas de Kruskal-Wallis para ANOVA simple.- Pruebas de hiptesis no tradicionales, para la prueba de Kruskal-Wallis, es decir, usando el valor de la probabilidad p.- Captulo 11 Series de Tiempo 11-1 Clasificacin de los movimientos de las series de tiempo.- Tendencias a largo plazo.- Componentes cclicos de series de tiempo.- Variaciones estacionales.- Variacin irregular.- Mtodos para encontrar lneas de tendencia.- Lnea de los cuadrados mnimos y parbolas de los cuadrados mnimos.- Captulo 12 Seleccin del Tamao de la Muestra 12-1 Derivacin de la frmula para estimar el tamao ms apropiado de la muestra para el promedio.- Seleccin del tamao de la muestra para dos poblaciones.- Apndices Apndice A Lista de Tablas Estadsticas Apndice-A

Apndice B Bibliografa Apndice-B Apndice C Papel de grfica Apndice-C Apndice D ndice Apndice-D

i

Introduccin La estadstica y los mtodos probabilsticos o estocsticos juegan un papel muy

importante en todas las fases del comportamiento humano. El uso de la probabilidad y

de la estadstica se ha extendido, no tan solo a las reas tradicionales universitarias o

escolsticas, sino tambin a todos los campos de la ingeniera, la agricultura, la

biologa, la qumica, las comunicaciones, la economa, la electrnica, la medicina, la

fsica, las ciencias polticas, la psicologa, la sociologa, las encuestas polticas, la

mercadotecnia, la ecologa, la meteorologa, y as sucesivamente.

Este texto de probabilidad y de estadstica, est diseado para cursos de

postgrado de la Ingeniera Ambiental y la Ciencia. Este libro es una compilacin de

ms de 25 libros de referencias bibliogrficas de probabilidad y de estadstica

orientados, no tan solo a la ingeniera ambiental, sino tambin a la ingeniera en

general, la economa, la qumica, la fsica, la agricultura, la medicina, etc. Este texto

consta de ms de 700 pginas que incluyen conceptos tericos, muchos ejemplos

prcticos y muchos ejercicios. El autor de este texto, sin intenciones de ufanarse,

incluye un diseo de una frmula (que no aparece en los libros de estadstica) para

interpolar, manualmente, valores y estimar la probabilidad p.

En verdad, el propsito de este texto es el de ayudar al lector a entender los

conceptos, ideas y funciones de la probabilidad y de la estadstica aplicados a

problemas de la ingeniera ambiental y a la ciencia. Este texto deber ser tambin til

para aquellos estudiosos quienes deseen hacer aplicaciones de la probabilidad y de la

estadstica a problemas de la ingeniera en trminos generales, as como tambin a la

investigacin.

Cada captulo se inicia con definiciones pertinentes y claras, teoremas y

ii

principios, con material abundante de grficas, de materiales descriptivos y de

muchos ejemplos y ejercicios.

Por ejemplo, el Captulo 1 da la introduccin a la estadstica clsica. Este

captulo da una clara distincin entre lo que es una poblacin y una muestra. Este

captulo habla, adems, de estadstica descriptiva y de distribuciones de frecuencia.

Ms adelante, el Captulo 2 habla de la teora de probabilidad y todo lo relacionado

con la probabilidad clsica. Despus, los Captulos 3 y 4 hablan de las distribuciones

discretas, como la binomial, la hipergeomtrica y la Poisson. Aqu se incluye el

concepto de la lgica deductiva, la cual es un concepto de difcil entendimiento. El

Captulo 5 describe las funciones continuas de probabilidad, especialmente la

distribucin normal, adems, de las distribuciones Weibul, exponencial, Gamma, etc.

El Captulo 6 habla de la teora de muestreo pequeo como la t de Estudiante, JI

cuadrada y la distribucin F. En este rengln, en las pruebas de hiptesis, para el

control de calidad, se habla de la lgica inductiva, que es un concepto de difcil

entendimiento y discutido en poqusimos libros de estadstica. Adems, el Captulo 7

est relacionado con diseos de anlisis de varianza completamente aleatorizados y

diseos de bloques aleatorizados. Este captulo tambin discute modelos factoriales

de dos y tres clasificaciones. El Captulo 8 est relacionado con regresin lineal

simple y mltiple. El Captulo 9 est relacionado con regresin polinomial, el cual

incluye modelos polinomiales de segundo y tercer orden, con una variable

independiente y con ms de dos variables regresivas. Este captulo habla tambin de

modelos de regresin no lineales de regresin logstica y de modelos exponenciales

paramtricos, con una sola variable independiente. Ms adelante, el Captulo 10 habla

de pruebas no paramtricas. Otros, el Captulo 11 habla de las series de tiempo.

Finalmente, el Captulo 12 habla de mtodos para seleccionar el tamao de muestra

iii

ms apropiado.

Este texto, adems, incluye varios apndices con tablas de las distribuciones

binomiales, de Poisson, normal, de t de Estudiante, de F, de JI cuadrada, etc.

Igualmente, este texto incluye una serie de referencias bibliogrficas. Finalmente, este

libro de estadstica incluye una seccin que contiene ms de 340 ejercicios

relacionados con cada captulo y ejemplos usando el programa de computadora

Minitab y Excel. En este contexto, este texto de estadstica da muchos ejemplos de

problemas usando el paquete de computadora Minitab, es decir, describiendo el uso

del Minitab con minuciosidad de detalles; situaciones presentadas por muy pocos

libros de estadstica.

Para concluir, debo decir que este es un texto de estadstica diseado para los

estudiantes de ingeniera ambiental de posgrado y de la ciencia en general. Es decir,

para aquellos investigadores quienes deseen encontrar, prcticamente, todos los

conceptos de la probabilidad y de la estadstica, que les pueda ayudar en el desarrollo

de su profesin de ingeniera, en la investigacin o en cualquier otra rea de la

ciencia en general.

Dr. Hctor Quevedo Uras

1-1

CAPITULO 1

Estadstica Descriptiva Definicin de estadstica.- Poblacin y muestra.- Estadstica inductiva y de

inferencia.- Estadstica descriptiva.- Variables continuas y discretas.- Medidas

de tendencia central.- Medidas de dispersin.- La variable aleatoria

estandarizada z.- Las desviaciones del promedio.- El rango.- Sesgo y kurtosis.-

Distribuciones de frecuencia.- Diagramas de tallo y hoja. Estadstica es el estudio de los mtodos para coleccionar, resumir, organizar,

presentar y analizar informacin de datos. El trmino estadstica tambin se refiere a

la derivacin de conclusiones vlidas y a la formacin de decisiones razonables, en

base a semejantes anlisis. En la coleccin de datos de un grupo de observaciones, a

menudo es imposible o imprctico observar toda la poblacin. De manera qu, en

lugar de examinar el grupo en su totalidad, llamado la poblacin o universo, es

conveniente examinar solamente una parte de la poblacin llamada muestra.

Poblacin se refiere a un grupo de tems que tienen una caracterstica en

comn. Una poblacin puede ser definida como un grupo de individuos, como por

ejemplo, una persona, un animal, un objeto o una medicin. Adems, una poblacin

puede ser finita o infinita. Por ejemplo, la poblacin consistente de todos los tornillos

producidos en una fbrica, en un da, es finita. En contraste, la poblacin consistente

de todos los posibles resultados (caras o guilas) de los lanzamientos sucesivos de una

moneda es infinita. A menudo la poblacin no existe pero, sin embargo, es de

importancia. Por ejemplo, al estudiar un nuevo colorante para telas de algodn

podemos probar el nuevo colorante, con solamente 10 piezas de un metro del material


1-2

y hacer mediciones de la resistencia del colorante. La muestra consiste de 10 piezas

de algodn tratadas con el colorante. La poblacin consiste de todas las piezas de

algodn posibles de un cierto tipo que pudieran ser tratadas con el nuevo colorante.

Esta poblacin no existe. Sin embargo, la poblacin total nos la podemos imaginar al

estudiar las 10 piezas de algodn con el objeto de hacer inferencias.

En el caso de una muestra, esto se refiere a una estadstica y es un estimador de

un parmetro de poblacin. Por ejemplo, si X denota el promedio aritmtico

estadstico de una muestra, entonces, X es el estimador del parmetro de todo el

conjunto o poblacin. Sin embargo, en contraste como se dijo antes, es imprctico o

imposible observar toda la poblacin, por esta razn se examina una pequea parte

del grupo o poblacin llamada muestra estadstica. Aqu, es conveniente introducir

trminos tales como muestra aleatoria o al azar, muestreo, estadstica inductiva o de

inferencia y estadstica descriptiva. Tambin es muy crtico distinguir entre los

trminos parmetros (donde se usan smbolos griegos) versus estadsticas. Los

parmetros se refieren a poblaciones infinitas o finitas. Sin embargo, las estadsticas

ser refieren a una muestra. Por ejemplo, si una muestra es representativa de una

poblacin se pueden sacar conclusiones importantes acerca de esta poblacin. Sin

embargo, es importante notar que la muestra debe ser aleatoria, porque de otra

manera, la inferencia acerca de la poblacin ser invlida.

Con respecto a la estadstica inductiva y a la estadstica de inferencia, stas se

refieren al proceso de inferir conclusiones acerca de una poblacin basndose en un

muestreo aleatorio (al azar), de tal manera que la probabilidad de tener una inferencia

correcta puede ser determinada de acuerdo con varias hiptesis concerniendo la

poblacin bajo estudio. Dicho en otras palabras, debido a que semejante inferencia no

puede ser absolutamente cierta, el lenguaje de probabilidad es, a menudo usado en la


1-3

presentacin de los resultados o conclusiones.

En contraste, la fase de estadstica que busca nicamente describir y analizar

datos de una distribucin continua (como la normal), sin sacar ninguna conclusin o

inferencia acerca de la poblacin o universo, se denomina estadstica descriptiva.

Aqu se incluyen trminos como coleccin de datos sin procesar, formacin de datos

en orden descendiente o ascendente (cuya diferencia entre el mayor y menos se

denomina rango), distribuciones de frecuencia, que es un trmino para describir el

arreglo relativo de un conjunto de elementos de los valores de una variable y de las

frecuencia de ocurrencia de cada valor (la ms importante llamada curva normal y t

de estudiante). Otros trminos usados en estadstica descriptiva son promedios

aritmticos, promedios geomtricos, promedios armnicos, medianas, modas,

percentiles, desviaciones estndar, varianzas, etc., pero, sin sacar inferencias del

grupo que provienen.

Sin embargo, con relacin a la estadstica descriptiva y la estadstica de

inferencia, en el caso de la estadstica descriptiva, este tipo de estadstica incluye la

presentacin de conjuntos de observaciones, de tal manera que puedan ser

comprendidas e interpretadas y sirven para resumir o describir datos. En cambio, la

estadstica de inferencia se relaciona con estimaciones de magnitudes de poblaciones

y pruebas de acerca de las caractersticas de la poblacin. Ambas son tiles para

determinar cual entre dos a ms cursos de accin se siguen cuando el curso correcto

es determinado por una caracterstica particular o desconocida de la poblacin.

En el campo de la ingeniera (como en la ingeniera ambiental) y ciencias

experimentales el uso de la estadstica es requerido en el diseo de plantas de aguas

residuales e industriales, en el diseo de chimeneas industriales, en el diseo del

equipo de control de la contaminacin, en pruebas de rutina de laboratorio, en


1-4

trabajos de investigacin y en la produccin de calidad y construccin. Por ejemplo,

en el laboratorio si el muestreo es preciso o si la variabilidad de nuestros resultados es

mayor de lo esperado, entonces hay que corregir la variacin refinando las tcnicas de

laboratorio o incrementando el tamao de la muestra.

En el campo de la investigacin tal vez estemos interesados en saber si un

cambio es un ingrediente que afecta las propiedades del material resultante, para

comparar la eficiencia de procesos o de mquinas probadoras; para determinar si los

resultados obtenidos encajan en una forma postulada o sospechada. Otra aplicacin

muy importante es el control de la calidad en la ingeniera industrial.

Con relacin a las variables continuas y discretas, en este caso se dice que una

variable aleatoria es una funcin que asigna un valor numrico a cada evento simple

en un espacio de la muestra. As, una variable aleatoria continua puede asumir una

figura innumerable y, tericamente, puede asumir cualquier valor entre dos valores

dados. Por ejemplo las alturas de una persona pueden ser 62.0 pulgadas, 63.8

Pulgadas, 65.8456 Pulgadas, etc. En contraste, una variable es discreta si puede

asumir, solamente, un nmero contable de posibles valores.

Medidas de tendencia central o de localizacin: el promedio, la mediana y la moda. Smbolos usados en las sumatorias de estadstica: n El smbolo Xj se usa para denotar la suma de todas las j=1 Xjs, desde j = 1 hasta j = N. n Ejemplo #1. Xj = X1 + X2 + X3 + ... + Xn j=1


1-5

n Ejemplo #2. XjYj = X1Y1 + X2Y2 + X3Y3 + ...+ XNYn j=1 n Ejemplo #3. aXj = aX1 + aX2 +...+ aXn j=1 n = a(X1 + X2 +,..,+ Xn) = a Xj j=1 Ntese la diferencia entre X 2 y (X)2

La suma de los cuadrados (SS), es decir, la suma de las desviaciones al cuadrado de X

de su promedio X se denota como:

kn La suma total de los cuadrados = (Xi - X )2 = SS (1-1) i=1 = X 2 - (X)2/n El promedio aritmtico

El promedio aritmtico es un valor el cual es tpico o representativo de un conjunto de

datos de distribuciones continuas. Existen diferentes tipos de promedios. Los ms

comunes son el promedio aritmtico, la mediana, la moda, el promedio geomtrico, el

promedio harmnico, etc. Cada uno tiene sus ventajas y desventajas dependiendo de

los datos y el propsito a seguir. El promedio aritmtico no se debe usar como

sinnimo de promedio o media, porque hay otros tipos de promedios.

El promedio aritmtico es un valor que representa un conjunto de datos; es una

medicin de tendencia central. El promedio aritmtico es el estimador del parmetro


1-6

de poblacin, y se define como:

X = (X1 + X2 + X3 +...+ Xn) / n = Xj / n = X/n (1-2)

Si los nmeros X1, X2, X3,,Xk ocurren f1, f2,,fk veces, es decir, con datos

agrupados, entonces:

X = fXi / n (1-3)

Con las distribuciones continuas, es de notarse qu, el promedio aritmtico, X

es un estimador de , es decir, del parmetro de poblacin. En muy raras ocasiones se

conoce (toda la poblacin), siendo as, entonces, se calcula directamente. Ejemplo #4. El promedio de una muestra de observaciones de ciertos anlisis de

aguas, cuyos valores son 8, 3, 5, 12, 10, es:

X = (8 + 3 + 5 + 12 + 10)/5 = 38/5 = 7.6 Ejemplo #5. Calcular X , de una muestra de 5, 8, 6, y 2 casos que ocurren con una

frecuencia de de 3, 2, 4, y 1.

X = [(3)(5) + (2)(8) + (4)(6) + (1)(2)]/(3+2+4+1) = 5.7

La mediana

La mediana, X~ es el valor de en medio de un grupo de nmeros u observaciones

(puestas en forma ascendente) o el promedio aritmtico de los dos valores de en

medio. Geomtricamente hablando, la mediana es el valor de X (abscisa)

correspondiente a esa lnea vertical que divide a un histograma en dos partes teniendo

reas iguales. La mediana es una posicin de promedio, mientras que el promedio

aritmtico es un promedio calculado.


1-7

Ejemplo # 6. La muestra de observaciones 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 10 tiene una mediana de

X~ = (5+6)/2 = 5.5.

Ejemplo #7. La muestra de observaciones 5, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 18 tiene una

mediana de X~ = 11.

La moda La moda es una estadstica que demuestra el valor que ocurre con ms frecuencia en

una muestra (poniendo los datos en forma ascendente). Una distribucin puede tener

una moda, puede ser bimodal, etc. Este valor se denota por X . Sin embargo, algunas

ocasiones la moda no existe.

Ejemplo #8. La muestra de observaciones 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 tiene

una moda de X = 9, es decir, el valor que ocurre con ms frecuencia.

Ejemplo #9. Los valores 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 no tienen moda.

Ejemplo #10. La muestra de observaciones 2 ,3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tiene dos

modas, 4 y 7 y es bimodal, es decir, X = 2.


1-8

Relacin entre el promedio aritmtico, la mediana y la moda

Si el promedio, la mediana y la moda coinciden, entonces la distribucin es simtrica;

de otra manera, la distribucin es asimtrica con sesgo a la derecha o la izquierda. Ver

figuras de abajo.

Figura 1.0. Distribucin oblicua Figura 1.1. Distribucin oblicua

a la derecha (sesgo positivo). a la izquierda (sesgo negativo)

(Elaboracin propia) (Elaboracin propia)

Ejemplo #11. Encontrar el promedio aritmtico, la mediana y la moda para una

muestra de anlisis de aire de Pb cuyos valores son: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 partes

por milln (ppm).

Solucin:

X = 5.1 ppm

X~ = (5+5)/2 = 5

X = nmero que ocurre con ms frecuencia = 5 Ejemplo #12. Encontrar el promedio, la mediana y la moda de los casos 48.7, 48.8,


1-9

49.5, 50.3, 51.6.

Solucin:

X = 49.8, X~ = 49.5, X = no existe

El promedio geomtrico

El promedio geomtrico se usa como un disfraz de transformacin logartmica. Es til

para promediar tasas de crecimiento (aumento o decremento) de una muestra

estadstica. La frmula es:

G = n n321 xxxx ... (1-4) Ejemplo #13. Encontrar el promedio geomtrico de los valores 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12

Solucin:

G = 7 12)6)(7)(10)((3)(5)(6)( = 7 453,600

log G = 1/7 log(453,000) = 0.8081 y antilog 0.8031 = 6.43

Existen otros promedios como el promedio harmnico, el promedio cuadrtico,

etc. Tambin hay otras medidas de localizacin ms finas que dividen los datos en

ms de dos partes. Por ejemplo, los cuartiles dividen el conjunto de datos en cuatro

partes iguales. Por ejemplo, el tercer cuartil (Q3) describe la cuarta parte superior del

conjunto de datos. El segundo cuartil (Q2) es idntico a la mediana. El primer cuartil

(Q1) separa la cuarta parte inferior de las tres cuartas partes superiores. Adems, los

percentiles pueden dividir los datos en 100 partes iguales. Por ejemplo, el 99avo

percentil separa el 1% ms alto del 99% restante, etc.

Otra forma de ver la simetra de los datos es usando diagramas de caja.

Tambin hay lo que se llama diagramas de punto, que ayudan, visualmente, a revisar

la simetra de los datos.


1-10

La varianza La varianza, s2 es una medida de dispersin y nos dice, qu tanta variacin existe de

una observacin a otra (o del promedio) o de una muestra a otra. Una s2 grande tiene

ms casos diversificados, que una con una varianza pequea. La varianza s2 de una

muestra estadstica (o de varias muestras) es el estimador del parmetro de la

varianza, 2 de una poblacin o poblaciones. La frmula de la varianza es:

n s2 = (X - X )2/(n-1) = [X 2 (X)2/n]/(n - 1) (1-5) i=1

= SS/(n 1)

Ejemplo #14. Calcular la varianza y la desviacin estndar de la muestra 2, 4, 6.

Solucin:

Calculando X = 4 y usando el mtodo largo nos da:

s2 = [(2 - 4)2 + (4 - 4)2 + (6 - 4)2]/(3 - 1)

= 8/2 = 4

Usando el mtodo corto:

Varianza = s2 = [X2 (X)2/n]/(n 1) nos dara:

s2 = [X2 (X)2/n]/(n 1)

= (56 48)/2

= 4

La desviacin estndar

La desviacin estndar, s es una forma especial de la desviacin promedio de la

media. Es una medida de dispersin. A medida que aumenta la desviacin estndar o

la varianza, mayor diversidad habr entre las observaciones de una muestra. Esta


1-11

estadstica se da como:

s = [X 2 (X)2/n] / (n 1) (1-5a) Para datos agrupados, la desviacin estndar es:

s = [fj X 2 (X)2/n] / (n 1) (1-5b) Ejemplo #15. Para el ejemplo de arriba, calcular la desviacin estndar.

Solucin:

Si la varianza, s2 = 4, por lo tanto, la desviacin estndar, s es:

s = 2s = 4 = 2

Ejemplo #16. Encontrar X , s, s2, la mediana, el error estndar del promedio, el sesgo

y la kurtosis de una muestra al azar de 36 anlisis de fosfatos (PO4-3), en mg/L. Qu

tanta fidelidad hay en los datos? La tabla de abajo da la informacin.

__________________________________________________________________ Valores de X | 61 64 67 70 73 69 68 70 Frecuencia | 5 8 4 5 5 4 3 2 Solucin:

Usando un paquete de computadora da: X = 67.27, s = 3.78, s2 = 14.31, mediana =

68, sesgo = -0.22 y kurtosis = -0.95. Al juzgar por los resultados, hay una buena

aproximacin a la distribucin normal, puesto que X y la mediana son parecidos.

Adems el valor del sesgo no difiere mucho de 0. Se le pide al lector usar la frmula

(15-b) para corroborar los resultados computarizados obtenidos. Propiedades de la desviacin estndar Para una distribucin normal el 68.27% de todas las observaciones estn incluidas

entre ( X - s) y ( X + s), esto es, una desviacin estndar a cualquier lado del

promedio. Similarmente, el 95.45% de todos los casos se incluyen entre ( X - 2s) y


1-12

( X + 2s), esto es entre z = 2. Adems, en el 99.73% de todos los casos se incluyen entre ( X - 3s) y ( X + 3s), esto es, entre z = 3.

Figura 1.2. Distribucin normal mostrando las reas para diferentes percentiles de la

variable estandarizada z (Spiegel, 1961).

Variable aleatoria estandarizada z Esta variable aleatoria estandarizada z mide las desviaciones del promedio en

unidades de desviacin estndar y se da como:

z = (X - X ) / s. (1-6)

Su parmetro respectivo es:

Z = (X - )/ (1-7)

Ejemplo #16. Calcular las siguientes probabilidades:

(a) P(z 1.25)

(b) P(z > 1.25)

(c) P(z -1.25)

(d) P(-.38 z 1.25)

Solucin:

(a) Para esto, buscamos en la tabla de la distribucin normal del rengln marcado con


1-13

1.2 y la columna .05 y da .8944; por lo cual, P(X 1.25) = .8944.

(b) P(z > 1.25) = 1 P(z 1.25) = 1 - .8944 = .1056

c) P(z -1.25) = .1056. Por simetra de la curva normal, es la misma respuesta que en

el inciso (b)

(d) P(-.38 z 1.25) = (rea de - a z = 1.25) (rea de - a z = -.38) = .8944 -

.3520 = .5424 (de la tabla de z)

Otra manera de ver lo mismo es usando anotacin de probabilidades:

P(-.38 z 1.25) = P(z 1.25) P(z -.38)

= .8944 - .3520 = .5424

Las desviaciones del promedio Las desviaciones del promedio son otras medidas de dispersin. Matemticamente....

n Desviacin del promedio = |Xj - X |/N (1-8) j=1

Ejemplo #17. Encontrar la desviacin promedio de los valores 2, 3, 6, 8, 11.

Solucin:

El promedio aritmtico es X = 6

La desviacin promedio = (|2-6|+|3-6|+|6-6|+|8-6|+|11-6|)/5

= 2.8

El rango

El rango de las observaciones de una muestra es la diferencia entre el nmero ms

grande y el ms pequeo. Aqu, es de notarse qu, entre ms grande sea la diferencia,

ms dispersin habr, es decir, la varianza y la desviacin estndar sern ms grandes.

Ejemplo #18. Encontrar el rango de 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12.

Solucin:


1-14

El nmero ms pequeo es el 2 y el ms grande es el 12, esto es, 12 - 2 = 10

Nota: Existen otras funciones de dispersin como la dispersin relativa y absoluta o el

coeficiente de variacin, etc.

Sesgo y kurtosis

El sesgo de una distribucin mide el grado de la simetra. Si la curva de frecuencia de

una distribucin tiene un extremo ms largo a la derecha del mximo central que el de

la izquierda, la distribucin es oblicua hacia la derecha o con sesgo positivo. Lo

contrario es correcto y se dice que es oblicua hacia la izquierda o de sesgo negativo.

Esta condicin se denomina el primer coeficiente de sesgo de Pearson. El sesgo de la

distribucin normal es igual a 0.

Ya se explic que, la relacin entre el promedio, la mediana y la moda pueden

dar una indicacin del grado de simetra de los datos de una distribucin. Por ejemplo,

si el promedio es mayor que la mediana, mayor que la moda, entonces, la distribucin

es asimtrica con sesgo positivo hacia la derecha. De otra manera, la distribucin

tiene sesgo negativo hacia la izquierda.

La kurtosis de una distribucin mide lo puntiagudo de una distribucin normal.

Una distribucin que tiene una cima o pico relativamente alta se llama leptokrtica,

mientras que aqulla que est achatada se llama platykrtica. La curva normal que no

est picuda ni achatada se llama mesokrtica. La kurtosis de la curva normal es igual

a 3.

Error estndar

Adems de reportar el valor de una estimacin puntual, tambin debe indicarse su

precisin. La medida de precisin usual es el error estndar del estimador usado. Por

ejemplo, los errores estndares de algunas distribuciones de la muestra son los del

promedio, de proporciones, de desviaciones estndar y de medianas.


1-15

As, de esta manera, los errores estndares del promedio, de las proporciones o

la mediana es, respectivamente:

X = N (1-9) p = pq/N (1-9a)

s = 2N (para poblaciones normales) (1-9b)

med.= 2N

(para n 30) (1-9c)

Trminos importantes Parmetros. Se refieren a valores poblacionales. Se usan los smbolos griegos para

denotarlos.

Estadstica. Se refiere a una muestra tomada de una poblacin. Es un estimador de los

parmetros de poblacin.

Promedio aritmtico. Si se conoce toda la poblacin se usa la variable . Si se refiere

a una muestra estadstica, se usa la variable X . De cualquier manera el promedio

aritmtico es la sumatoria de un grupo de observaciones dividido entre el total de los

casos.

Promedio. En general un promedio se refiere a una medida de tendencia central.

Ejemplos son el promedio aritmtico, la mediana y la moda. Hay tambin promedios

geomtricos, armnicos, etc.

Mediana. Es el valor del tem central cuando los datos son agrupados por tamao

( X~ ).

Moda. Es el valor que ocurre con ms frecuencia ( X ).

Distribucin bimodal. Se refiere a una distribucin con dos modas.


1-16

Medidas de dispersin. Se refiere al grado de dispersin de los datos numricos del

promedio. Los ms comunes son: el rango, la desviacin estndar, la variancia, la

desviacin promedio, desviacin de cuartiles, etc.

Varianza. Es una medida de dispersin. Se denota como 2 para describir toda la

poblacin. Sin embargo, si se refiere a la varianza de la muestra, se usa el smbolo s2 y

se describe como la suma de los cuadrados dividida entre el nmero de valores de la

muestra menos uno. Se usa el smbolo s2 que es el estimador del parmetro

poblacional 2.

Desviacin estndar. Se obtiene sacando la raz cuadrada de la varianza poblacional o

de la varianza de la muestra.

Coeficiente de variacin. Es la relacin matemtica de la desviacin estndar divida

entre el promedio aritmtico. Generalmente se expresa como porcentaje. Es til para

comparar distribuciones donde las unidades puedan ser diferentes.

Variables discretas. Variables discretas se refieren a caractersticas tales como color,

sexo, religin, etc., que se pueden expresar en clasificaciones o categoras cualitativas.

Por ejemplo, el nmero n de una familia de nios asume valores de 0, 1, 2, 3,..., pero

que no puede asumir valores de 2.5 o de 3.856.

Variables continuas.- Se refiere a variables que, tericamente, pueden asumir

cualquier valor entre dos valores dados. Se pueden expresar en clasificaciones o

categoras cuantitativas. Por ejemplo, la altura h de un individuo, la cual puede ser

63.9 pulgadas, 65.9945 pulgadas, es una variable continua.

Sesgo. Mide la simetra de una distribucin. El sesgo puede ser positivo (oblicuo

hacia la derecha) o negativo (oblicuo hacia la izquierda). Si es sesgo es positivo,

entonces X > X~ > X . Sin embargo, si el sesgo es negativo, entonces, es el reverso.

La kurtosis mide lo achatado o puntiagudo de la distribucin.


1-17

Variable estandarizada. Mide la desviacin del promedio en unidades de desviacin

estndar, simplemente, se refiere al nmero de desviaciones estndar de una

observacin que est abajo o arriba del promedio de la distribucin.

Mtodos grficos y tabulares usados en estadstica descriptiva

Otras tcnicas visuales, que son muy tiles en la probabilidad y la estadstica de

inferencia, son el uso de desplegados de tallo y hojas. Otros ms son los diagramas de

punto (explicados posteriormente) y los histogramas. Por ejemplo, para construir un

diagrama de tallo y hoja, esta situacin se explica en el tpico de diagramas de tallo y

hoja. Los diagramas de tallo y hoja son parecidos a los histogramas y sirven el mismo

propsito. Esto es, porque los diagramas de tallo y hoja revelan el rango de los datos,

muestran donde ocurre la concentracin ms alta de valores, proveen informacin

acerca de la presencia o ausencia de simetra y, pueden indicar el grado de simetra en

la cual los datos son homogneos.

Distribuciones de frecuencia

Cuando se estn procesando grandes cantidades de datos es conveniente distribuirlos

dentro de clases o categoras, para determinar el nmero de observaciones que

pertenecen a cada clase llamada frecuencia de clase. As, un arreglo tabular de datos

por clases junto con las frecuencias de clases correspondientes se llama distribuciones

de frecuencia o tablas de frecuencias.

Definicin de trminos

rdenes.- Un orden es un arreglo de datos numricos sin procesar en orden de magnitud ascendente o descendente.

Intervalo de clase.- Es un arreglo que define una clase digamos de 60-62 la cual se

llama intervalo de clase. Los nmeros terminales 60 y 62 se llaman lmites de clases o

lmites de clase inferior y superior. El intervalo 60-62 incluye, tericamente, las


1-18

mediciones 59.5-62.5 y se llaman lmites de clases. Estos se obtienen sumando el

lmite superior de un intervalo con el lmite inferior del siguiente intervalo de clase y

dividiendo entre 2.

Clases de punto intermedio o marcas de clases.- Las clases de punto intermedio o

marcas de clases son el punto medio de un intervalo de clase que se obtiene sumando

los lmites superiores e inferiores y dividiendo entre dos. Por ejemplo, el punto medio

del intervalo 60-62 es (60 + 62)/2 = 61 y, as sucesivamente.

Tamaos de intervalos de clase. El tamao de un intervalo de clase es la diferencia

entre los lmites o linderos superiores e inferiores.

Reglas para hacer distribuciones de frecuencia

1. Determinar los nmeros ms pequeos y ms grandes de los datos sin procesar.

2. Dividir el rango en un nmero conveniente de intervalos de clases que tengan el

mismo tamao. Si esto no es posible, usar intervalos de clase de diferentes tamaos.

3. Determinar el nmero de observaciones que caen dentro de cada uno de estos

intervalos de clases.

4. Los lmites de clases no deben de coincidir con los datos reales. La frmula para

calcular el tamao de clase de una distribucin de frecuencia es:

i = (h - l) / k (1-10)

Donde:

i = el tamao del intervalo de clase

h = el valor del tem ms alto

l = el valor del tem ms bajo

k = nmero de clases

Tipos de curvas de frecuencia

1. Curva de frecuencia simtrica o en forma de campana. Un ejemplo importante es


1-19

la curva normal.

2. Curva asimtrica u oblicua cuyos extremos de la curva estn al lado derecho o al

izquierdo del mximo central.

3. Curva de frecuencia en forma de J.

4. Curva de frecuencia en forma de U.

5. Curva de frecuencia bimodal que tiene dos mximos.

6. La curva de frecuencia multimodal que tiene ms de dos mximos.

Figura 1.3 Grficas mostrando los tipos de curvas de frecuencia (Spiegel, 1961). Histogramas y polgonos de frecuencia


1-20

La forma ms comn de representacin grfica de una distribucin de frecuencia es el

histograma. Estos histogramas consisten en rectngulos adyacentes, las alturas de los

cuales representan las frecuencias de clases, mientras que sus bases se extienden entre

sucesivas fronteras de clases. Esto quiere decir que tienen bases sobre la abscisa con

centros en las marcas de clases y con las longitudes igual a los intervalos de clases.

Por otro lado, los polgonos de frecuencia son grficas de lneas de frecuencias

de clases que se grafican contra las clases de marcas. Se obtienen conectando los

puntos medios de arriba de los rectngulos en los histogramas.

Figura 1.4. En los histogramas y polgonos de frecuencia se acostumbra a sumar las

extensiones pq y rs para la siguiente marca de clase ms baja y ms alta que tienen la

correspondiente clase de frecuencia de cero. En tales casos, la suma de las reas de

los rectngulos es igual al rea total circundada por el polgono de frecuencia y el eje

de las equis. (Elaboracin propia)

Distribuciones de frecuencia relativa

La frecuencia relativa de un intervalo de clase es la frecuencia de la clase dividida

entre la frecuencia total de todas las clases y se expresa como porcentaje.


1-21

Ejemplo #20. Hacer una tabla de distribucin con intervalos de clase y la frecuencia

relativa para las alturas de 100 estudiantes de una universidad.

TABLA 1.0. Alturas de los estudiantes. (Spiegel, 1961).

___________________________________________________________________ Distribucin de las alturas Frecuencia relativa

por intervalos de clase de estudiantes (%)

___________________________________________________________________

60 - 62 pulgadas 5 %

63 - 65 18 %

66 - 68 42 %

69 - 71 27 %

72 - 74 8 %

_________________________________________________________

Total 100 %

Distribuciones de frecuencias acumuladas y distribuciones de frecuencias

relativas acumuladas

Aqu se discutirn las distribuciones de frecuencias acumuladas y la frecuencia

relativa acumulada que se obtiene dividiendo la frecuencia acumulada por la

frecuencia total.

Ejemplo #21. Tabular los valores de la tabla de frecuencia de 500 observaciones

formando una tabla con los intervalos de clase ms apropiados, con la frecuencia, la

frecuencia relativa (%), la frecuencia acumulada y la frecuencia relativa acumulada.

Usar papel de probabilidad y encontrar el promedio aritmtico y la desviacin

estndar. Confirmarlos grficamente y calcularlos.


1-22

TABLA 1.1. Frecuencias de 500 observaciones de fosfatos (mg/L). (Elaboracin

propia).

_____________________________________________________________ X f X f X f X f _____________________________________________________________ 20 1 - - - - - - 21 0 36 7 51 20 66 6 22 0 37 9 52 19 67 5 23 1 38 10 53 19 68 4 24 1 39 11 54 18 70 3 25 1 40 12 55 18 70 3 26 1 41 13 56 17 71 2 27 1 42 14 57 16 72 2 28 2 43 16 58 14 73 1 29 2 44 17 59 13 74 1 30 3 45 18 60 12 75 1 31 3 46 18 61 11 76 1 32 4 47 19 62 10 77 1 33 5 48 19 63 9 78 0 34 6 49 20 64 7 79 0 35 6 50 20 65 6 80 1 __________________________________________________________________


1-23

TABLA 1.2. Tabla de frecuencias de 500 casos de fosfatos. (Elaboracin propia) _________________________________________________________________ Intervalo de clase f f. r.(%) f. a. f. r. a. (%) ________________________________________________________________ < 30.5 13 2.6 13 2.6 30.5-35.5 24 4.8 37 7.4 35.5-40.5 49 9.8 86 17.2 40.5-45.5 78 15.6 164 32.8 45.5-50.5 96 19.2 260 52.0 50.5-55.5 94 18.8 354 70.8 55.5-60.5 72 14.4 426 85.2 60.5-65.5 43 8.6 469 93.8 65.5-70.5 21 4.2 490 98.0 > 70.5 10 2.0 500 100.0 _______________________________________________________________ Total 500


1-24

Figura 1.5. Papel de probabilidad mostrando las 500 observaciones de fosfatos

relacionadas con la TABLA 1.2. (Elaboracin propia)

Analizando la Figura 1.5, se puede ver qu, para calcular el promedio localizamos

.50 en la ordenada y por interpolacin calculamos el valor de 50. Igualmente, para

calcular la desviacin estndar , nos movemos a .84 y por interpolacin calculamos

el valor de 10, que est entre 50 y 60.

Ejemplo #22. Para los siguientes 40 datos de anlisis de agua de concentraciones de

calcio, en mg/L, contestar las siguientes preguntas:

(a) Construir una tabla de frecuencias con intervalos de 5 y estimar el punto

intermedio o marca de clase.

(b) Construir otra tabla ms con intervalos de tamao 9 y estimar el punto intermedio


1-25

o marca de clase.

(c) Para ambos casos construir un histograma y un polgono de frecuencia y tambin,

en funcin de frecuencia relativa.

(d) Para ambos casos, construir una grfica de frecuencia acumulada y frecuencia

relativa acumulada.

(e) Usar papel de probabilidad para estimar el promedio aritmtico y la desviacin

estndar. Comparar estos resultados con el clculo del promedio y la desviacin

estndar usando las frmulas estadsticas.

TABLA 1.3. Tabla mostrando las concentraciones de calcio de 40 anlisis de agua. (Elaboracin propia) 138 164 150 132 133 125 149 157 146 158 140 147 136 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145 128 Solucin: El rango es de 176 - 119 = 57 mg/L Si se usan intervalos de clase de tamao 5, los intervalos de clase son 57/5 = 12,

aproximadamente. Sin embargo, si se usan intervalos de clase de tamao 9, los

intervalos de clase son 57/9 = 6, aproximadamente. Las tablas de abajo muestran estas

estimaciones.


1-26

TABLA 1.4. Tabla de frecuencias de las concentraciones de Calcio (Ca) usando un

intervalo de tamao 5. (Elaboracin propia)

_________________________________________________________________ Intervalo de clase Marca de clase f f.a. f.r. f.r.a. _________________________________________________________________ 118 - 122 120 1 1 2.5% 2.5% 123 - 127 125 2 3 5.0% 7.5% 128 - 132 130 2 5 5.0% 12.5% 133 - 137 135 4 9 10.0% 22.5% 138 - 142 140 6 15 15.0% 37.5% 143 - 147 145 8 23 20.0% 57.5% 148 - 152 150 5 28 12.5% 70.0% 153 - 157 155 4 32 10.0% 80.0% 158 - 162 160 2 34 5.0% 85.0% 163 - 167 165 3 37 7.5% 92.5% 168 - 172 170 1 38 2.5% 95.0% 173 - 177 175 2 40 5.0% 100.0% __________________________________________________________________ Total 40 TABLA 1.5. Tabla de frecuencias de las concentraciones de Ca usando un intervalo

de tamao 9. (Elaboracin propia)

_________________________________________________________________ Intervalo de clase Punto intermedio f f.a. f.r. f.r.a. _________________________________________________________________ 118 - 126 122 3 3 7.5% 7.5% 127 - 135 131 5 8 12.5% 20.0% 136 - 144 140 9 17 22.5% 42.5% 145 - 153 149 12 29 30.0% 72.5% 154 - 162 158 5 34 12.5% 85.0% 163 - 171 167 4 38 10.0% 95.0% 172 - 180 176 2 40 5.0% 100.0% __________________________________________________________________ Total 40 Los incisos (c), (d) y (e) se reservan para que el estudiante los haga.


1-27

Tambin se puede calcular el promedio aritmtico de una distribucin de

frecuencia, cuando se dan los intervalos de clase y las frecuencias. La frmula para

tales casos es:

X = fX / f = fX / n (1-11)

Ejemplo #22. Se dan los siguientes datos de temperaturas ambientales en grados

Fahrenheit (oF) en la tabla de abajo. TABLA 1.6. Tabla mostrando los datos. (Elaboracin propia) Temperaturas (oF) Marca de clase (X) f fX 60 62 61 5 5 x 61 = 305 63 65 64 18 64 x 18 = 1152 66 68 67 42 67 x 42 = 2814 69 71 70 27 70 x 27 = 1890 72 74 73 8 73 x 8 = 584 N = f = 100 fX = 6745 Por lo tanto, X = fX / f = fX / N = 6745 / 100 = 67.45 oF Diagramas de tallo y hoja usando el programa Minitab Ejemplo # 23. Para ilustrar la construccin de una grfica de tallo y hoja, considrese la tabla de abajo, la cual muestra las mediciones de 40 observaciones. TABLA 1.7. Tabla mostrando las mediciones de 40 objetos. (Elaboracin propia). 2.2 4.1 3.5 4.5 3.2 3.7 3.0 2.6 3.4 1.6 3.1 3.3 3.8 3.1 4.7 3.7 2.5 4.3 3.4 3.6 2.9 3.3 3.9 3.1 3.3 3.1 3.7 4.4 3.2 4.1 1.9 3.4 4.7 3.8 3.2 2.6 3.9 3.0 4.2 3.5 _____________________________________________________________ Procedimiento:

Para formar el diagrama de tallo y hoja, se separa cada observacin en dos partes


1-28

consistentes de un tallo y una hoja. Siendo as, el tallo representa el dgito que

precede al punto decimal y, la hoja, corresponde al dgito a la derecha del punto

decimal. Por ejemplo, con el nmero 3.7, el dgito 3 representa el tallo y el dgito 7

representa la hoja. De acuerdo a los datos de la TABLA 1.8 hay cuatro tallos, es

decir, 1, 2, 3, 4. Una vez hecho esto, se identifican los nmeros a la derecha del

punto decimal correspondientes a cada tallo. Por ejemplo, para el tallo 1 hay dos

hojas, 6 y 9; para el tallo 2 hay 5 hojas, es decir, 2, 5, 6, 9 y 5, etc. La TABLA 1.8

de abajo representa la grfica de tallo y hojas para este problema.

No obstante, para poder construir la TABLA 1.8 se puede usar el Minitab de

acuerdo a las siguientes indicaciones:

Graph Stem-and-leaf

En el recuadro que aparece poner las variables de la columna C1 en la ventanilla de

Stem-and-leaf y en la ventanilla de Increments poner 1. Esto produce los datos

de la TABLA 1.8 mostrada abajo.

TABLA 1.8. Tabla mostrando los resultados de tallo y hoja correspondientes a las observaciones de la TABLA 1.7. __________________________________________________________________ Stem-and-Leaf Display: Mediciones de 40 objetos Stem-and-leaf of Mediciones de 40 objetos N = 40 Leaf Unit = 0.10 Frecuencia Tallos Hojas 2 1 69 7 2 25669 (25) 3 0011112223334445567778899 8 4 11234577 __________________________________________________________________


1-29

Sin embargo, los resultados de la TABLA 1.8 no dan un panorama adecuado de la

distribucin de los datos. Para remediar esta situacin se necesita aumentar el

nmero de tallos en la grfica. Una manera simple de hacerlo es doblando cada

tallo. Para esto, nuevamente introducir los datos como se hizo anteriormente y en la

ventanilla de Increments poner .5. Esto produce la tabla de abajo.

TABLA 1.9. Tabla mostrando los tallos dobles y de hojas.

Stem-and-Leaf Display: Mediciones de 40 objetos Stem-and-leaf of Mediciones de 40 objetos N = 40 Leaf Unit = 0.10 Frecuencia Tallos Hojas 2 1 69 3 2* 2 7 2 5669 (15) 3* 001111222333444 18 3 5567778899 8 4* 11234 3 4 577 __________________________________________________________________

Las tablas de las distribuciones de tallo y hoja se pueden usar para estimar los

intervalos de clase cuando se hacen distribuciones de frecuencia. El procedimiento

es como sigue:

1. Primero se saca el rango de los datos. Por ejemplo, de la TABLA 1.7 el valor

mximo es 4.7 y el valor mnimo es 1.6, o sea: rango = 4.7 1.6 = 3.1.

2. Enseguida se estima el ancho del intervalo dividiendo el rango entre el nmero

de tallos (7 en este caso), es decir, 3.1 / 7 = .4.

3. Ahora, para estimar el primer intervalo de clase empezamos con 1.5 y le


1-30

sumamos .4 para dar 1.9. El siguiente intervalo de clase es 2.0 ms .4 para dar 2.4.

El siguiente intervalo de clase es 2.5 ms .4 para dar 2.9 y as sucesivamente, como

se muestra en la TABLA 1.10 de abajo.

TABLA 1.10. Tabla mostrando los intervalos de clase, el punto medio, la

frecuencia, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada.

Intervalo de Punto Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa

clase medio (f) relativa (f.r.) acumulada (f.r.a.)

1.5 1.9 1.7 2 0.050 0.050

2.0 2.4 2.2 1 0.025 0.075

2.5 2.9 2.7 4 0.100 0.175

3.0 3.4 3.2 15 0.375 0.550

3.5 3.9 3.7 10 0.250 0.800

4.0 4.4 4.2 5 0.125 0.925

4.5 4.9 4.7 3 0.075 1.000

Por otro lado, con los datos de la TABLA 1.10 se pueden hacer histogramas

de frecuencia relativa, con curvas normales sobrepuestas y curvas de frecuencia

relativa acumulada para calcular medidas de localizacin como cuartiles o

percentiles. Por ejemplo, los cuartiles dividen el conjunto de datos en cuatro partes

iguales. Siendo as, el primer cuartil o .25 fractil (Q1) separa la cuarta parte inferior

de las tres cuartas partes superiores, esto es, el 25% de las mediciones de abajo. El

segundo cuartil o .50 fractil (Q2) es idntico a la mediana o sea que la mitad de las

observaciones estn debajo de este valor. Las observaciones arriba del tercer cuartil

o .75 fractil (Q3) son la cuarta parte superior del conjunto de datos. Finalmente, los


1-31

intercuartiles miden la diferencia entre los cuartiles Q1 y Q2.

De la misma manera, el conjunto de datos de la muestra se puede dividir en

100 partes iguales por medio de percentiles. Por ejemplo, el 99avo percentil separa

el 1% ms alto del 99% restante; el 84avo percentil separa el 16% ms alto del

84% restante. Bajo estas condiciones, el 84avo percentil correspondiente al valor

de la variable aleatoria z de la distribucin normal es, aproximadamente, z = +1 y

por simetra es z = -1.

Los cuartiles y percentiles junto con la estadstica descriptiva se pueden

calcular con el programa Minitab usando el mandato:

Stat Basic statistics Display Descriptive Statistics

Igualmente, los cuartiles y percentiles tambin se pueden calcular de una grfica de

frecuencia relativa acumulada vs. valores de X.

Usando los datos de la TABLA 1.7 vamos a proceder a hacer los clculos de la

estadstica descriptiva, los cuales se dan en la tabla de abajo.

TABLA 1.11. Tabla mostrando la estadstica descriptiva del ejemplo #23.

Descriptive Statistics: Mediciones de 40 objetos

Variable N N* CumPct Mean SE Mean StDev Variance CoefVar

Mediciones 40 0 100 3.413 0.111 0.703 0.494 20.60

Variable Minimum Q1 Median Q3 Maximum Range

Mediciones 1.600 3.100 3.400 3.875 4.700 3.100

__________________________________________________________________


1-32

Mediciones de 40 objetosFr

eque

ncy

4.84.03.22.41.6

12

10

8

6

4

2

0

Mean 3.413StDev 0.7028N 40

Histogram (with Normal Curve) of Mediciones de 40 objetos

Figura 1.6. Figura mostrando el histograma de frecuencia con curva normal

sobrepuesta.

Ahora, el procedimiento para hacer una grfica de frecuencia relativa acumulada en

funcin de los valores de X se procede de la siguiente manera:

1. Irse a:

Calc Probability Distribution Normal

2. En el recuadro que aparece puntear Cummulative distribution y almacenar los

datos de la distribucin de frecuencia acumulada en C2.

3. Para hacer la grfica de frecuencia relativa acumulada vs. valores de X, irse a:

Graph Scatterplot With connect line

4. En la ventana de Scatterplot with connect line introducir los datos de la

distribucin de frecuencia acumulada (de la columna C2) vs. los valores de X.

5. En la ventanilla de Scatterplot-Scale, llenar todos los recuadros.

De esta manera, para calcular la distribucin de frecuencia acumulada proceder

como en el paso 1 de arriba. Todas estas rdenes producen la tabla conteniendo los

valores de X (no se muestra aqu). La grfica de las frecuencias relativas


1-33

acumuladas y valores de las observaciones se hace como en el paso 3 de arriba.

De la grfica de abajo se pueden leer todos los cuartiles y percentiles

deseados.

Mediciones de 40 objetos

Dis

trib

ucio

n de

f.r

.a.

5.04.54.03.53.02.52.01.5

5.04.54.03.53.02.52.01.5

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Figura mostrando la grafica de f.r.a. y valores de X

Figura 1.7. Figura mostrando la grfica de la frecuencia relativa acumulada versus

valores de X.

Ejemplo #24. Encontrar los cuartiles (Q1, Q2 y Q3) de una muestra de 15

mediciones de slidos suspendidos, en unidades de mg/L, de una muestra de agua

residual.

7 19 12 5 17 29 8 19 4 27 30 1 4 10 21 __________________________________________________________________ Solucin:


1-34

Primero se arreglan los datos en forma ascendente, esto es: 1, 4, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 17, 19, 19, 21, 27, 29, 30 Q1 Q2 Q3 El primer cuartil (Q1) es 5. El segundo cuartil (Q2) o la mediana es 12 y el tercer cuartil (Q3) es 21.


1-35

Ejercicios Captulo 1 1.1. Calcular el promedio, la varianza y la desviacin estndar de las observaciones de

la muestra: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5. (9.5, 27.1, 5.2)

1.2. Encontrar la desviacin estndar y el promedio de los valores: 3, 6, 2, 1, 7, 5. De

acuerdo a la relacin de los valores obtenidos del promedio y la desviacin estndar o

varianza. Qu conclusiones se pueden sacar?

1.3. Escribir los siguientes trminos usando anotacin de sumatoria.

10 (a) X 21 + X 22 + X 23 + ...+ X 210 ( Xi) x=0 5 (b) (X1 + Y1) + (X2 + Y2) + .... + (X5 + Y5) ( Xi+Yi) x=0 (c) f1 X1Y1 + f2 X2Y2 + f3 X3Y3 + f4 X4Y4 1.4. Encontrar la desviacin promedio de:

(a) -3, 7,-9,5

(b) 2.4, 1.6, 3.8, 4.1, 3.4

1.5. El rango de los nmeros 5, 3, 8, 4, 7, 6, 12, 4, 3 es: (9)

1.6. De 50 mediciones la ms grande es 8.34 Kg. Si el rango es .46, encontrar la

medicin ms pequea.

1.7. Convertir las siguientes observaciones a unidades de desviacin estndar: 6, 2, 7,

5. (z6=0.46, z2=-1.39, z7=0.93, z5=0)

1.8. Escribir los siguientes trminos en forma de sumatoria.

6 (a) Xj

j=1


1-36

4 (b) (y1 - 3) 2

j=1

5 (c) fkxk k=1 1.9. Usando el programa de computadora Minitab, EXCEL o una calculadora de

bolsillo, encontrar:

(a) El promedio aritmtico (95.84)

(b) La desviacin estndar

(c) El error estndar del promedio

(f) La varianza (106.49)

Tabla mostrando los datos del problema. (Elaboracin propia) Observacin x | 70 74 78 82 86 90 94 98 102 106 110 114 118 122 126 _______________________________________________________________________________ Frecuencia f| 4 9 16 28 45 66 85 72 54 38 27 18 115 _______________________________________________________________________________ 1.10. En una distribucin, si el promedio es 5.0, la mediana es 7.0 y la moda es 9.0,

contestar a los siguientes enunciados:

(a) Qu tipo de sesgo tiene esta distribucin?

(b) Dnde se encuentra la mayor concentracin de valores?

1.11. En una distribucin, si el promedio es de 10.0, la mediana es de 8.0 y la moda es

de 5.0, contestar las siguientes preguntas:

(a) Qu tipo de sesgo tiene esta distribucin? (Sesgo positivo)

(b) Dnde se encuentran la mayor concentracin de valores?

1.12. En un examen final de estadstica, los grados fueron: 100, 100, 66, 65, 64, 60,

59, 57, 58, 50.


1-37

Es esta distribucin oblicua hacia la derecha o hacia la izquierda? Justificar el

argumento usando la relacin del promedio, la mediana y la moda.

1.13. Encontrar el promedio geomtrico de una muestra aleatoria de de observaciones

10, 12, 16. (12.43)

1.14. Si el promedio aritmtico de una muestra de 30 casos es igual a 10 y la

desviacin estndar es igual a 2, calcular la variable estandarizada correspondiente al

valor de X = 15.

1.15. La tabla de abajo muestra los coeficientes de inteligencia de 550 nios de una

escuela elemental. Encontrar:

(a) El promedio aritmtico. (97.03)

(b) La desviacin estndar. (13.22)

(c) El error estndar del promedio (0.56)

Tabla mostrando los datos del problema. (Elaboracin propia) ___________________________________________________________________ Marca de | 75 78 78 82 86 91 94 98 102 106 110 114 118 122 126 clase (X) Frecuencia (Y) | 53 5 10 20 45 60 85 72 54 38 27 18 11 50 2 1.16. Los siguientes datos estn relacionados con las temperaturas, en oC, de 10

regiones de Mxico. La tabla de abajo muestra esta situacin:

Tabla mostrando los datos del problema. (Elaboracin propia) __________________________________________________________________ Temp. Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa (oC) acumulada relativa (%) acumulada __________________________________________________________________ 20 3 3 30% 30% 21 22 2 9 20% 90% 23 1 Total 10


1-38

(a) Completar la tabla de arriba.

(b) Hacer grficas de frecuencia versus frecuencia relativa.

(c) Hacer grficas de frecuencia acumulada (f.a.) vs. frecuencia relativa acumulada

(f.r.a.).

1.17. Se saca una muestra aleatoria de anlisis qumicos de compuestos de cloruros

(Cl-) expresados en unidades de mg/L procedentes de una muestra de aguas

residuales. Estos anlisis se hicieron usando el mtodo de nitrato de mercurio descrito

en el texto Mtodos Estndares. La tabla con los valores de los cloruros se da abajo:

Tabla mostrando los datos del problema. (Elaboracin propia) ___________________________________________________________________ 17.2, 17.1, 17.0, 17.1, 16.9, 17.0, 17.1, 17.0, 17.3, 17.2, 16.9, 17.0, 17.1, 17.3, 17.2, 17.4, 17.1, 17.1, 17.0, 17.1 (a) Encontrar el promedio. (17.11)

(b) Encontrar la varianza. (0.017)

(c) Encontrar la desviacin estndar. (0.132)

(d) Hacer una tabla de frecuencia mostrando la frecuencia, la frecuencia relativa y la

frecuencia relativa acumulada. (el lector lo deber hacer)

(e) Hacer un histograma. (el lector lo deber hacer)

(f) Hacer un polgono de frecuencia. (el lector lo har)

(g) Qu tanta simetra hay en esta distribucin? (el lector responder a esto)

1.18. Completar la tabla de abajo y hacer una grfica en funcin de los intervalos de

las concentraciones de DBO, de la frecuencia (f) y de la frecuencia relativa acumulada

(f.r.a.).


1-39

Tabla mostrando los datos. (Elaboracin propia) __________________________________________________________________ Intervalos Nmero de Puntos Frecuencia (Conc. DBO) anlisis intermedios relativa (%) __________________________________________________________________ 50.00 - 59.99 8 60.00 - 69.99 10 70.00 - 79.99 16 80.00 - 89.99 14 90.00 - 99.99 10 100.00 - 109.99 5 10.00 - 119.99 2 1.19. Una organizacin caritativa que ayuda a damnificados por huracanes ha hecho

una lista de donaciones recibidas durante el presente ao, en miles de pesos. El

propsito de este ejemplo es el de hacer una tabla de distribucin de frecuencia

encontrando los intervalos de clase ms apropiados usando la tcnica de diagramas de

tallo y hoja. La tabla de abajo muestra los datos. Para esto hacer lo siguiente:

(a) Calcular el promedio y la mediana. (139, 135)

(b) Hacer una tabla de distribucin de frecuencia usando un diagrama de tallo y hoja.

Encontrar los puntos intermedios, la frecuencia, la f. r. y la frecuencia relativa

acumulada y construir un histograma y una grfica de f. r. a. contra valores de X.

Tabla mostrando los datos del problema (Elaboracin propia). ___________________________________________________________________ 253.0 173.4 117.0 191.2 151.4 182.0 132.0 162.0 212.9 155.9 221.0 158.0 135.0 124.4 68.9 89.7 95.6 84.1 135.1 123.2 101.0 126.5 142.8 20.2 119.0 ___________________________________________________________________


1-40

1.20. La siguiente tabla da las emisiones de xidos de azufre (SO2 en toneladas

mtricas) provenientes de 200 plantas siderrgicas localizadas en cierta regin

industrial.

Tabla mostrando los datos. (Elaboracin propia) ___________________________________________________________________ Emisin de SO2 (ton) Nmero de plantas ___________________________________________________________________ 1.00 - 1.02 6 1.02 - 1.04 26 1.04 - 1.06 52 1.06 - 1.08 58 1.08 - 1.10 39 1.10 - 1.12 15 1.12 - 1.14 5 1.14 - 1.16 1 (a) Calcular el promedio aritmtico de la distribucin.

(b) Calcular la desviacin estndar.

(c) Calcular la mediana y la moda de la distribucin.

1.21. Se dan los siguientes datos en la tabla de abajo.

Tabla mostrando los datos de este problema. (Elaboracin propia) __________________________________________________________________ Altura (pulgadas) Marca de clase (x) Frecuencia f x 60 - 62 61 5 5 x 61 = 305 63 - 65 64 18 64 x 18 = 1152 66 - 68 67 42 67 x 42 = 2814 69 - 71 70 27 70 x 27 = 1890 72 - 74 73 8 73 x 8 = 584 __________________________________________________________________ (a) Calcular el promedio aritmtico. Sugerencia: usar la funcin del promedio igual a

f X/f


1-41

1.22. Se da la siguiente tabla de distribucin de datos (intervalos de clase) de

emisiones de partculas atmosfricas menores de 10 micras provenientes de varias

industrias. (Elaboracin propia)

___________________________________________________________________ Mediciones de partculas Nmero de industrias ___________________________________________________________________ 50.00 - 59.99 8 60.00 - 69.99 10 70.00 - 79.99 16 80.00 - 89.99 14 90.00 - 99.99 10 100.00 - 109.99 5 110.00 - 119.99 2 __________________________________________________________________ (a) Calcular la marca de clase X.

(b) Calcular el promedio aritmtico.

(c) Calcular la frecuencia relativa (f.r.) y la frecuencia relativa acumulada (f.r.a.).

(d) Hacer un histograma.

(e) Usar papel de probabilidad para ver que tanta uniformidad hay en los datos.

1.23. Completar los faltantes de la tabla de abajo, de una distribucin de frecuencia de

las vidas de 400 tubos de radios. Adems, hacer los clculos pedidos abajo.

(a) Encontrar el lmite superior de la quinta clase. (799)

(b) Encontrar el lmite inferior de la octava clase. (1000)

(c) Encontrar la marca de clase de la sptima clase. (949.5)

(d) Encontrar los lmites de la ltima clase. (1099.5-1199.5)

(e) Encontrar el tamao del intervalo de clase. (100)

(f) Encontrar la frecuencia de la cuarta clase. (76)

(g) Encontrar la f.r. de la sexta clase. (15.5%)


1-42

(h) Encontrar el % de los tubos cuyas vidas sean < 600 horas. (29.5%)

(i) Graficar los datos en papel de probabilidad y leer el promedio aritmtico y la

desviacin estndar de la grfica.

(j) Hacer una grafica de frecuencia relativa acumulada versus puntos medios y

calcular los percentiles Q1, Q2 y Q3.

Tabla mostrando los datos del problema. (Elaboracin propia) ___________________________________________________________________ Vida de los No. de (f) f.r. f.a. f.r.a. Punto tubos tubos medio ___________________________________________________________________ 300 - 399 14 400 - 499 46 500 - 599 58 600 - 699 76 700 - 799 68 800 - 899 62 900 - 999 48 1000 - 1099 22 1100 - 1199 6 __________________________________________________________________ 1.24. Se da la tabla de debajo consistente en una muestra aleatoria de mediciones de

xidos de nitrgeno (NO2), procedentes de una planta de tratamiento de aguas

residuales. La tabla con los datos se da abajo.


1-43

Tabla con los datos. (Elaboracin propia) Mediciones de NO2 Frecuencia Ma

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