[ l [ M[ NT0S

O[ C

Al

Dlf[R[NCIAl [ INT[

TRADUZIDO DO INGLES POR

J.

ABDELHA Y

PROFESSOR DA UNIV. DO BRASIL

EDITORA CIENTIFICARIO DE JANEIRO

Ginn and Company Boston, New York, Chicago, London, Atlanta Dallas, Columbus, San Francisco

COPYRIGHT BY GINN AND COMPANY OF BOSTON

Direitos exclusivos da traduO

+ h)h

- j (x

19. - Infinitesimo. Uma variavel v que ten um injinitesimo, ou urn infinitamente pequeno. Eslim v =

ou

v ---+ 0,

e significa que os valores sucessivos de v se aproxi modo tal que a partir de dado momento 0 valor ab na-se e permanece menor do que urn n11mero qu ainda que muito pequeno. Se lim v = l, entao lim (v - l) = 0, isto e, a dije ridvel e seu limite e um injinitesimo. Reclprocam re~a entre uma varidvel e uma constante e um injin varidvel tende d constante.

20. - Teoremas relativos aos infinitesimos considera~oes a seguir, supoe-se que tOdas as vanave de ~ma mesma variavel independente e que tendem limites, quando esta variavel tende a um valor fixo E e tun D11mero positivo prefixado, tao pequeno qu mas nao zero. Demonstraremos primeiro quatro teoremas sob

I. Uma soma algebrica de n injinitesimos e um in n um numero Jixo. Realmente, 0 valor absoluto da soma fica e pe do que E quando 0 valor absoluto de cada infinites

manece menor do que - . n

E

menor que que - .f

f,

quando

0

valor absoluto do infinitesi

lei

III. 0 produto de n injinitesimos e um injinitesim numero jixo. Realmente, 0 valor absoluto do produto ficara menor que f, quando 0 valor absoluto de cada infinite manecer menor que a raiz n-egesima de f.IV. Se lim v = l e l e dijerente de zero, entao injinitesimo i por v e tambem um injinitesirrio.0

q

De fato, podemos escolher um nllinero positivo tal que Iv I se tome e permaneo

+v -

w) = A

+B -

C.

De (1) deduzimos u = A + i, v=B AB de membro, obtemos(4)

+ j.

Multiplican

uv - AB = Aj0

+ Bi + ij.

Pelos teoremas I-III acima, logo(5)"'....0

segundo membro e uAB.

lim uv

=

22

VARIAVEIS, FUNQOES E L?lITES

A demonstraQao se estende facilmente ao produto Finalmente, podemos escrever(6)

u -; -

AB

A

= B

+i +j

AB

Bi - Aj

= B (B

+ j)

numerador Bi - Aj e um infinitesimo, pelos t Por (3) e (4), lim B (B + j) = B2; logo, pelo teorem membro de (6) e um infinitesimo, e portanto(7)

o

Conseqiientemente as

afirm~oes

do 16 estao de

21. - Introdu~ao. Vamos agora investigar 0 m func;ao muda de valor quando a variavel indepen problema fundamental do Calculo Diferencial e estab dida para a variac;ao da func;ao com precisao m investigando problemas desta natureza, lidando com variam com continuidade, que Newton* foi conduz dos principios fundamentais do Calculo, 0 mais cien instrumento do Mcnico moderno.

22. - AcrescUnos. Acrescimo de uma variave um valor numerico para outro e a diferenc;a entre es e 0 primeiro. Um acrescimo de x e indicado pelo s se l~ "delta x". Observe 0 leitor que 0 simbolo D.:x um produto e portanto nao e "delta vezes x". Um acrescimo pode, evidentemente, ser positivo e positivo se a variavel cresce, negativo se decresc mente, D.y indica urn acrescimo de y, D.rP indica um acrescimo de rP, D.J (x) indica urn acrescimo de J (x), et

Se em y = J (x) a variavel independente x tom D.:x, entao D.y indicara 0 correspondente acrescimo (ou da varia.vel dependente y). o acrescimo D.y e, pois, a diferenc;a entre 0 val toma em x D.:x e 0 valor da func;ao em x. Por

+

Isaac Newton (1642-1727) nasceu na Inglaterr&. Foi um bomem de Deeenvolveu a ci~naia do cAlculo sob 0 nome de Fluxions. Embora tenha d& nova ci~ncia po. volta de 1670, ""u primeiro trabalho sobre 0 aaounto com 0 titulo de "Philoeophiae N aturali8 Principia Mathematica". Eate f de Newton. D~e w- Laplace: """.A ""mpre uma obra proeminente ent atr 0 engenbo humano". V. fronteepfcio Alguna autorea chamam um ac.tl8cimo negattvo de um decriacimo

23

Supondo que x cresc;a para x entaoy cresce para y

= =

12, isto

e,

Llx

144, e Lly

=

4

Supondo que x decresc;a para x entao

= 9,

isto e, Llx

y decresce para y = 81, e Lly =

Neste exemplo, y cresce quando x cresce e y de decresce. Os correspondentes valores de Llx e Lly sinal. Pode acontecer tambem que y decresc;a q ou 0 contrario; em ambos os casos Llx e Lly terao s

23. (1)

COInpara~ao

de acrescimos.

Conside

Tomemos um valor inicial para x e demos a este cimo Llx. Entao y recebera um acrescimo corres temos y + Lly = (x + Ll.'l:)2, au y + Lly = x 2 + 2x. Llx + (LlX Subtraindo (1), y = x2(2)

---------2 x . Llx + (Llx Lly =

abtemos

0

acrescimo Lly em termos de x e Llx.

Para achar a razao entre os acrescimos, divid membros de (2) pOl' Llx; temos

Se

0

valor inicial de x

e 4,

e evidente ( 16)

~~=8.Observemos

x e y quando

0

0 comportamento da razao entre acrescimo de x decresce.

4 4 4 4 4 4 4

5,0 4,8 4,6 4,4 4,2 4,1 4,01

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,1 0,01

16 16 16 16 16 16 16

25, 23,04 21,16 19,36 17,64 16,81 16,0801

9 7 5 3

0 0

Ve-se logo que D.y decresce quando D.x decresce

~

toma os valores sucessivos 9; 8,8; 8,6; 8,4; 8,2; 8

. d e 8 tanto quanto se tran d 0 que D.1I ~ se aprOXlIlla

se toma D.x suficientemente pequeno.

Logo

D.y = 8 1 ~D.x .

24. - Derivada de Ulna fun!;ao de uma var niyao de derivada, fundamental no Calculo Diferencia

Derivada de uma jun~ao e 0 limite da razao do acre para 0 acrescimo da varidvel independente, quando e a zero.

Quando existe 0 limIte mencionado, diz-se que a vdvel ou que possui uma derivada. Derivada de uma funyao(1)

y = 1(x)0

e, pois,

seguinte.

Supondo que x tenha urn valor fixo, da-se a x ur entao a funyao y recebe urn acrescimo D.y, e se tern(2)y

+ D.y = j (x + D.x),= j (x

ou seja, tendo (1) presente,'"!)

D.y

+ D.x) -

1(x).

que e a razao entre os acrescimos Ay e Ax. 0 lim quando Ax ~ 0 e, pol' definic;ao, a derivada de J (x)y, e se indica pelo simbolo : '

Portanto

(A)

dy = lim dx ~

J (x

+ Ax) Axrela~ao

J (x)a x.

define a derivada de y (ou J (x) ) em De (4) obtemos tambemdy dx

~Ax

, !J.y 1m 1

Semelhantemente, se u e uma func;3.o de t, ent

du Au = d ' ad a d e u em re1aQ[ -d = I' 1m -A env

t

At-+O

t

o

deriv~iio

processo para se achar a derivada de uma f ou diJerencia~iio,

25. - Shnbolos para as derivadas. Como A meros, a razao !J.y

&:e0

quociente de Ay par !J.x, 0 simbolody

dx '

contudo, nao representa um quociente; ele e

0

valor

quando Ax tende a zero. Em muitos casos 0 simb como se fosse urn quociente e a razao disto sera v tenha-se presente, pOl'em, que, pOl' ora, deve ser tornado como um todo.

~

nAo e u

podemos escrever: =

J' (x),

que se 1~ "derivada de y em re1aO

lim tg cP = tg T,

coeficiente angular da reta ta

Obtivemos, assim,TEOREMA.

0

importante

curva

e igual

0 valor da derivada na abscissa de u ao coeJiciente angular da tangente a cu

Foi este problema da tangente q'ue conduziu Le berta do Calculo Diferencial.

Exemplo ilustrativo. Achar os coeficientes angulares das bola y = z2 no vertice e no ponto onde x = ! .SOLU (x), a derivada de y em rel ao produto da derivada de y em 'relat;ao a v pela deri lat;ao a x.

39. - Deriva~ao das fun~oes inversas. Sejy

=

j (x)

e suponhamos, 0 que sucedera com muitas das fun9 neste livro, que a equa9ao Y = j (x) permita exprim de y. x = c/> (y); Supondo

t..

;>< 0 (N. T.).

e a partir deIa construirnos (j> (y), costuma-se tam f (x) e a fU~fio direta e (j> (y) a Jun~fio inversa. Es e usada somente quando hi interesse em distinguir foi dada a principio. Assim, nos exemplos que s inicialmente as fun90es da primeira coluna, as co segunda sao as fun90es inversas.y y= =

x2

+

1,

x

= .yy

a"',sen x,.

x = log,. y. x= arc sen

y =

Pela Regra Geral derrvemos, simultaneamente versas y = f (x) e x = (j> (y). Temos, sendo f:.x arbitnhio,PRIMEIRO PASSO.

y+.iy= f (x+f:.x)

x+.1.'t= (

~EGUNDO

PASSO. y+.iy= f (x+&;)y

x + f:.x = (j

_ --:-_=~(j>:-,-(y = f(x ) x .iy= f(x+ tix) -f(x) f:.x = (j .iy f(x+f:.x)-f(x) f:.x= f:.x f:.x ( l1y =

TERCEJRO P ASSO.

Tem-se, pois, multiplicando membro a membrf (x

+ f:.x)f:.x

- f(x) . (j>(y

+ .iy) -

(j> (y) l1y.

PASSO. Fa9amos f:.x -. O. 6 derivavel, e se tem:QUARTO

Entao l1y

* Supondo

t:..11 "" 0 (N. T.).

(D)

l' (x) = et>' ~y)

.

A derivada da jun (x) pode ser obtido como segue o grafico de - f (x) e fazendo-o girar em volta da ori ante-horario, de um angulo de 90.OUfROS1.

PROBLEMAS

0 vertice da parabola y2 = 2 px

o foco da parabola e um extremo de um dos eLxos prin

e0

centro

A parabola e a elipse cortam-se ortogonalmente. A da elipse. Resp. 4

2. Uma circunferencia de centro em (2 a, 0) c mente a elipse b2 x 2 + a 2y2 = a 2 b2. Achar 0 raio da Resp. r 2

3. De um ponto P de uma elipse trar;am-se pelos focos. Prove que estas retas fazem angulos com a normal a elipse no ponto P.

4. Prove que a reta Bx b2x 2 + a 2y2 = a 2b2 se, e somente 5.

+ Ay =SE',

AB e tan B2a 2 + A 2b 2 =

Ache a equar;ao da tangente a curva xm ponto qualquer. Prove que a parte dela compree eixos e dividida pelo ponto de contato na razao min. Resp. my I (x - X1) + nXl (y

6. Se k e 0 coeficiente angular de uma t.ange 2 2 2 y b x - a 2 = a 2b2, provar que y = kx Va 2k 2 deJa e que 0 lugal' dos pontos de interser;ao das tan diculares e x 2 + y2 = a 2 - b2

42. -

Dire~ao

de uma curva.y

Viu-se no

= f (;x)

e a equar;ao de uma curva (ver figura), entaodV j' . l d~ = coe tCtente angu ar

da tangente d curva

no ponto P (x, y). A direr;iio de uma curva em urn ponto qualquer e, por defini 1,j'(x) = 5(+) (+)2(+) = +. Logo, quando x = 1 a funyao tem um mlnimo } (1) = 0 Examinemos agora0

valor crftico x =

~

(B, no. figura

Portanto, quando x = denada de B)

~,

a funQiio tem um ma.ximo f (0

~

Examinemos finalmente

valor critico x = - 1 (A na f

Quando x < -l,f' (x) = 5 (-) (_)2 (-) = Quando x> - 1,f' (x) = 5 (_) (+)2 (-) = Consequentemente, quando x = - 1, a funQao nao tem minimo.

48. - Maxhno ou rn.inirn.o quando l' (x) e i continua. Consideremos 0 grafico da figura abaix G, 1 (x) e continua e tern urn maximo, mas 1 '(x) e

Fig. d

tangente em B e paralela ao eixo dos yy. Em E, 1 nimo e l' (x) e infinita. Na pesquisa dos maximos J (x), devemos, pois, incluir como valores crUicos os va os quais l' (x) e infinita, ou, 0 que e a mesma coisa, va fazendo(1)

l' (x)

1

= O.

o SEGUNDO PASSO da regra do paragrafo preced ser ampliado, devendo-se considerar tambem a eq outros passos nao sofrem modifica~ao.maS a fun~ao

Na figura d acima, observe que J' (x) e tambern nao e nem maxima nem minima na absci

2b I'(x) = - ----=:...:--1-

3 (x - C)31

o

1 3(x -- c)1I J'(x) = -2b Como x = c

e um valor crftico no qual l' ~x) =

0, mas

infinita, examinemos a funQao no que concerne a maxim.o x = c. Quando x < c, }' (x) = Quando x > c, l' (x) = - .

+

Logo, quando x = c = OM, a fun9ao tern urn

=a =

MP.PROBLEMAS

Examine cada uma das seguintes fun90es no q maximos e minimos.1.2. 3.

x3

-

6x

2

+ 9 x.3x 2-

Resp.2x3

10

+ 12x + +4 -

4. 5.

2x3 3 x 2 12 x - 4. 3 x 2 x 2 - 15 x - 20. 2x 2 - x 4

+

x = 1, d x = 3, d X = 1, d x = -2,d Nem ma

X = 0, d x = 1 x = 1, d

6.

x4

7.8.

x

4

3x

x 2 + 1. 4 x 3 - 12 x 2

4x.

x = -1, x = 0, d x = 2, d

9.10.

x5

-

5x 4 -

X = 0, d x = 4, d

3 x5 x'

11.

+-'

20 x 3 2al x

x = a, d

14.

ax x2

+a2

2

Resp.: x = - a, da m x = a, da max.

15.

x x+a x2

16.

17. 18. 19. 20. 21. 22.

+a x + 2a x +a (2 + (l (2 + xF (1 x2 2 2 2 22

X)2

X)2.

x?!

b + c (x - a)l.1

x = a, da min.

a - b (x - c)T.(2 + x)3 (l-x)l. Resp.:1 2

N em max. nem

x = 1, da min. x = -1, da m

23.

x (a

+ X)2 (a -

X)3.

x = - a., da m x = - ! a, da -1. d' 3 a, a ma X 2

x = a, da nenh1

24.

(2 x - a)T (x - a)T.

2 a, d" = 3" a ma x = a, da min. x = ! a, da nenX

25.

x+2 x + 2x + 4'2

x = 0, da max. x = - 4, da m

26.

x2 +

X

+4

x+l

x = - 3, da m x = 1, da min.

27.

x2 + x + 4 x 2 + 2 x + 4'

x = - 2, da m x = 2, da min.

x

a- x

a2 x = - - da m a - b'30.

(a - X)3

a - 2xx2 xt

x =

4'

a

da min.

31.

+ x-IX

+

1

49. - Valores maximo e minimo. Problca~ao.

Em muitos problemas devemos, primeiro dadas condic;oes, a func;ao cujos valores maximo e curam, como foi feito nos dois exemplos desenvo lsto, algumas vezes, e muito dificil. Nao ha regra todos os casos, mas em muitos problemas podemos seguintes

Diretrizes gerais.

(a) Na rel~ao que envolve as grandezas do pro destaque a Jun~ao cujos valores maximo ou minimo

(b) Se a rela~ao contem mais de uma variavel, p mir em Ju~ao de uma unica delas todas as demais m as cond~oes dadas pelo problema;

(c) Aplicamos para a Ju~iio obtida, de uma so jd, vista ( 47) para achar os valores maximo e mini nos problemas prdticos e usualmente Jdcil dizer qual do dd um maximo equal dd um minimo, de modo que 00 sario aplicar 0 tcrceiro passo.

(d)

Tr~amos 0

grdJico da

Ju~iio

para controle

o trabalho de achar m8.ximos e minimos pode ser simplificado com a ajuda dos seguintes principio tam logo do nosso estudo sobre 0 assunto.(a) Os valores maximo e minimo de uma JU~{io alternadamente.

determinar;ao dos valores criticos de x pode-se, pois, fator constante.Quando c e negativa, cf (x) procamente.

e maxima quando f (x)

(c) Se c e uma constante, f (x) e c valores para os me81lws valores de x.

+ f (x)

tem m

PROBLEMAS1.

Quer-se fazer uma caixa sem tampa de urn de lata, cnjo lado mede a, cortando-se dos cantos dOB iguais e depois dobrando convenientemente Qual deve ser 0 lado dos qnadrados cortados afim encerre 0 maximo volume?BOLUgAO. Beja. z = lade do q = altura da enta~, a - 2 z = lade do o fundo da

portanto V = (a - 2 x)2 z e Eata e a fun~ao cujo maximo se pro regra, 47, temos

Primeira Pa880.Segundo Pa880.

dV

dz = (a - 2 Z)2 - 4 z(a - 2 z) = a

A

resolu~o

de a2 - 8 az

+ 12 z2 =

0

cdticos z

=

~ e ~.

2

6

:f; evidente que x = ; deve dar um minimo, pois neste

cortada nao !:'obrando material para fazer a caixa. 0 outro v fornece0

"olume maximo

2a 3

27 '

como se pode comprovar

pem

Logo, 0 lado do quadrado a sar cortado de cada canto d do lado da lata.

Deixa-se ao leitor neste, e nos problemas segu do grMico da iunr;ao.

tente possivel?

SOLUQAO. Se x = largura e y = profundidade, entao a v teni maxima resistencia quando a func;iio xy2 for um maximo. figura, y2 = d2 - x 2; logo, devemos examinar a fun9aOj (x) =X

(d 2

-

:r?) .

Primeiro Passo. j'(x) = Segundo Passo.

2:r?=

+ d2 -

:r?x =

= ~ -

3 :r?

~

-

3:r?

o. .'.

V3

d_ = valor

maximo.

Portanto, se a viga for serrada de modo que Profundidade =

~f do ~ do

diametro do tronco, diametro do tronco,

e

Largura

=

ela tera a maxima resistencia.

3. Qual a largura do retangulo de maXIma ar insllrito num dado segmento 0.1.1' de uma parabol

Sugeswo. Se OC = h, BC = h-x e PP' = 2 y, entao a area do retangulo PDD'P' e2 (h - x) y.

Y

Mas como Pesta sobre a parabola y2 =2 px, a func;ao a ser examinada ej (x) = 2 (h - x) V2 px

a

Resp.

Largura =

2 "3 h.

4. Achar a altura do cone de maximo volume esfera de raio r.Sugestao.1 Volume do cone = "37r:r?y.

Mas

:r? = BC X CD = y (2r - y) ; logo, a func;ao a ser examinada ef (y)

=

7r "3 y2 (2r

- y).

Resp.

Altura do c

5. Achar a altura do cilindro de maximo volum dado cone circular reto.

Logo, a

fun~ao

a ser examinada Ii(y) =

r y (h hi

- y)

Resp.6.

Qual

0

Cada urn dos tres lados de urn trapezio e comprimento do quarto lado para que a are

7. Qual a razao entre os lados de um terreno re dada para que ao mura-Io e a seguir dividi-Io em do paralelo a um dos lados, seja minimo 0 comprim muros.

8. Quais devem ser as dimens5es de um jardim 432 m 2 de area para que ao mura-lo gaste-se 0 m sabendo-se que 0 vizinho do lado paga a metade pelo sua propriedade. Resp. 18

9. Um fabricante de radio acha que pode ven por semana a p cruzeiros cada, onde 5x = 375 da prodUl~ao e (500 + 15 x + x~) cruzeiros. M obtem 0 maximo lucro quando a produc;ao e aprox 30 aparelhos por semana.

t

10.

Supondo-se no problema anterior que a rel

sejax

=

100 - 20

~:

'0

mostrar que 0 maximo lucro e obtido quando aproximadamente 25 aparelhos por semana.11.

fa

Suponha-se no problema 9 que a relac;aox2

= 2500 -

20p.

Quantos instrumentos devem se produzidos semanal haja maximo lucro?

x13.

=

2 -=---------'''---~--

v'a

3 a ({3 - b) - a 3a

No problema 9 suponhamos que incida sobr um imposto de t cruzeiros. 0 fabricante acrescent custo de produyao e determinaa produyao e 0 custo diyoes. (a) Mostre que imposto. (b)0

prevo cresce pouco menos q

Exprima a receita proveniente do impasto

t e determine t para que ela seja maxima.

(c) Mostre que 0 preyo aumenta aproximadame quando vigora 0 imposto t determinado em (b).

0 custo total de produyao de x artigos pOl' cruzeiros, incluidos os impostos de t cruz o preyo (p cruzeiros) de venda de cada artigo e p = { que 0 imposto fornece a maxima receita quando que 0 aumento no prevo e sempre menor que 0 im

+ bx + c)

14.

Nota.

Nas aplica90es em Economia a, b, c, a e {3 sao

15. Uma siderurgica pode produzir X tonelada de baixo teor e y toneladas pOl' dia de avo de alto 40-5x . 10 _ x Se 0 preyo no mercado do de balX

que 0 de alto teor, mostrar que aproximadamente de baixo teor e a produyao diaria que fornece a ma

16. Uma companhia telefonica acha que tern lucro Hquido pOI' aparelho se tem 1 000 assinantes o tayao. Se ha mais de 1 000 assinantes, 0 lucro pOI' a de 20 centavos para cada assinante acima daquele nu assinantes dara 0 maximo lucro liquido?17. 0 custo da manufatura de urn dado artig o numero de artigos que pode ser vendido varia

18. Qual deve ser 0 diametro de uma panela d capaeidade de 58cm3 , euja constI1l9ao requer 0 mini (a) se a panela nao tem tampa, (b) se tem tampa.

Resp.

(a)

~ 4~4

= 5,29 em;

(b)

~ 2~2

19. A area lateral de urn cilindro circular cilindro corta-se urn hemisferio eujo diametro e ig ....1 eilindro. Aehar as dimensoes do eilindro para :e tante seja maximo ou minimo. Determinar se urn minimo. Resp. Raio = 1 em, altura = ~

20. Dentre os retangulos de lados paralelos aos dos e inscritiveis na figura limitada pelas duas parab - x 2 , 6 y = x 2 - 12, achar a area do de maxima area 21.

Dois vertices de urn retfingulo estao sobr os outros dois sobre as retas y = 2 x e 3 x + y = valor de y sera maxima a area do retangulo?

22. Uma base de um trapezio is6sceles e 0 diam culo de raio a e as extremidades da outra base estao ferencia do circulo. Achar 0 comprimento da outra e maxima.

23. Um retangulo e inscrito num segmento p um dos lados sobre a base do segmento. Mostrar q a area do r-etangulo de area maxima e a are 1

e V3'

24. A resistencia de uma viga retangular varia da largura e do quadrado da altura. Achar as dim mais resistente que pode ser constI1lida com um tr cuja se9ao transversa e uma elipse de semi-eixos a

Resp.

Largura = 2b

~ ~;

altura

26,

.'"1.

Ad'

,. d b I ~ equagao a traJetona e uma a a t: y=m

onde a origem e a ponto do qual a bola e langada e angular da curva na origem. Para que valor de m (a) a maxima distlneia sabre a mesmo nivel horizont altura sabre uma parede vert,ieal distante de 300 p Resp.27.

Uma janela de perimetro p tern a forma d eneimado par urn triangulo retangular isosceles. 1uz pela janela e maxima, quando as lados do reta aos lados do tria-ngulo.

28. Dada a soma das areas de uma esfera e ur que a soma dos seus volumes sera minima quando esfera for igual a aresta do cuba. Quando e que e dos volumes?

29.

Achar as dimens5es do maior retangulo ins2

~ a2

2

+ -'" b =]30.

?/2

Resp.

a

V

Dentre todos as retangulos com base sabr

e com dais vertices sabre a CUl'va de equagao y =

figura no Capitulo XXVI), achar a de maxima are Re31.

Achar a razao entre a area da menor elip circunscrita a urn retangulo e a area do retangulo. e1ipse e 7ra9, onele a e b sao as semi-eixos.

32. 0,3 dais vertices inferiores de urn trapezia pontos (- 6, 0) e (6, 0). Os dais vertices superiore curva x 2 4 y = 36. Achar a area do maximo eondigoes.

+

33. A distancia entre as centros de duas esfer respectivamente e c. Achar de que ponto P sabre

a"2+bT

34. Achar as dimensoes do maximo paralelep quadrada que pode ser cortado de uma esfera de raio

Resp.

35. Dada uma esfera de raio 6, calcular a alt dos seguintes s6lidos:

(a)

cilindro circular reto de maximo volume in

(b) cilindro circular reto de maxima area t esfera; (c)

cone reto de minimo volume circunscrito Resp. (a) 4 V3; (b

Prove que uma barraca conica de dada c sita do minimo de fazenda quando a altura e y2 vez Mostre que quando a fazenda e estendida no chao 'culo do qual se cortou um setor de 1520 9'. Quanta saria para Uilla barraca de 10 pes de altura? Resp. 2736.

37. Dado urn ponto sobre 0 eixo da parabola Mncia a do vertice, achar a abscissa do ponto so Re e 0 mais pr6ximo do ponto dado. 38. Achar sabre a curva 2 y ponto (4, 1).

=

x 2 0 ponto m

39. Sendo PQ 0 maior ou 0 menor segmento q (,lado do ponto P (a, b) a curva y = j (x), provar q perpendicular a tangente a curva em Q.

40.

Vma f6rmula de eficiencia de urn parafu,so e0

onde () e 0 angulo de fric(,lao e h maxima eficiencia.

passo do parafuso Resp.

41. A distancia entre duas fontes de calor A doades a e b respectivamente, e l. A intensidade tot

onde x e a distancia de P a A. Para que posic;ao de P sera mais baixa a temperatura?Resp. x

=

42. A base inferior de um trapezio is6sceles e uma elipse; as extremidades da base superior sao p Mostrar que 0 maximo trapezio deste tipo e tal que da base superior e metade do da base inferior.

43. Dentre todos os triangulos is6sceles de ve inscritos na elipse b2x 2 a 2y 2 = a 2b 2 , achar a base xima. Resp

+

Achar a base e a altura do triangulo is6sce nima que circunscreve a elipse b2x 2 + a 2y2 = a 2b2 e c Resp. Altura 3 b lela ao eixo dos xx.44.

Seja P (a, b) um ponto do primeiro quadran P tracemos uma reta cortando os serni-eixos positivo pontos A e B respectivamente. Calcular os segmento sabre OX e OY nos seguintes casos:45.

(a) (b) (c)

quando a area OAB e minima; quando 0 comprimento AB e minimo; quando a soma dos segmentos determi semi-eixos e minima;I 2

(d)

quando a distancia de 0 a AB e max(a)(c) a

Resp.

2 a, 2 b; (b) a

+ aT b"3, b + aa2

2

+ V"(;b, b + vab;COIDO

(d) a

+ b a

50. - Derivada relac;ao funcional(1)

velocidade de varia!ra

y = x2Ay

deu como razao entre os correspondentes acrescimos(2)

/1x=2x+Ax.

Dizemos, entao, que a velocidade me 0; e decrescente, se a < 0;

= 0; tern urn maximo valor, se a < 0 e v = 0; v tem urn maximo (urn minimo) va,lor, se a = de + para - (de - a +) quando t passa por to. No movimento retilineo unifol'memente acelerad Assim, no caso da queda livre (por ac;ao da grav a = 9,80 m por segundo quadrada. Precisamente,s tern urn minimo valor, se a> 0 e v

ds v=-=98t dt "

a

= 9,8

t

= tempo em segundos. Achar a velocidade e a em cada instantej (b) no fim do primeiro segundo quinto segundo.SOLUQAO.

(1)

(a) Derivando ou, de (C), 51, Derivando de novo ou, de (A) acima,(3)(2)

s = 4,9t2 ds dt = 9,8 t,

v = 9,8 t m. por segund

dt =

dv

9,8,

a = 9,8 m. por (seg.)2,

que nos diz ser constante a acelera;ao em queda livre; em velocidade cresce 9,8 em por segundo em cada segundo do (b) Para achar v e a no fim do primeiro segundo, faz-se Portanto v = 9,8 m por segundo, a = 9,8 m por (seg.? (c) Logo Para achar v e a no fim do quinto segundo, faz-se

v

=

49 m por segundo, a = 9,8 m por (seg.)2.

Dadas as seguintes equa;oes de movimento linear, ach cidade e acelera;iio no instante indicado.

2.

3.

4.5.

Rcsp. s = 4, v = = 2. s = 224, v 8 = 120 t - 16 t = 4. x = 32, v = x = 32t-8t 2 j t = 2. y = 6t 2 -2t3 j t = l. y = 4, v = s = 4 t2-

6 tj t

t 2j

s=i7. 8.

+1

t

; t

= 2.tt

8

=

"3, v

2

x

= 16 t 2 - 20 t + 4j y = 100 - 4 t - 8 t 2 j

= 2. = 3.

8

= v 5t+= ~3 t

_ /-

v5tt

_/- j

10

t

= 5.

10.

8

+ 2;

= 2.Rcsp. - 32.6.13.

N as problema s3guintes achar a aceleragao no in11. 12.

v=80 -32 tj t=O. v=4t L lO;t=2.

v=

15.

8

= 120t - 16t 2

16.8=3c 2t-t3

17.8=5t+

18. UillJ. bola atirada verticalmente para ci gundo a lei. s = 80 t - 16 t 2

Achar (a) a posi93.0 e a velocidade dep,ois de depois de 3 seg.; (b) qual a altura que atinge; (c) q quarto segundo.19.

Se a equa9ao de urn movimento retilineo mostre que a acelera9ao e negativa e proporcional a cidade.

20. A altura (8 em) alcan9ada em t segundos projetado verticalmente para cima com uma velocida seg. e dada pela f6rmula S = v1t - ! gt 2. Achar a maxima altura atingida pelo corpo.

Supondo no problema precedente VI = achar: (a) a velocidade no fim de 4 seg. e no fim de tancia percorrida durante 0 quarto seg. e durante 021.

22. Um carro faz uma viagem em 10 min., gundo a lei s = 250 t 2 t4, onde t e medido em pes. Pergunta-se: (a) qual a distancia que percorre; cidade maxima; (e) qual a distancia percorrida qu vebcidade e a tingida.

t

Re8p.

(a) 12.500 pes; (c) 6.9-14 pes.OUI'ROS

(b) 1924 pes pO

PROBLEMAS

Trace a curva (4 - 2 x + x 2) y = 2 x - x 2 90es da tangente e da normal em cada ponto de infle Re8p. Mix. (1, Ponto de inflexao ( x - 2y = 0; normal, 2x + y = O. flexa~ (2, 0); tangent.c, x + 2 y 2x - y - 4 = O.1.

t).

104

DERIVAI;XO SUCESSIVA E APLICAQOES

2. UIIl..a certa curva (a tratoria) e tal que 0 cadlJ: tangente (distancia do ponto de contato a in eixo dos xx) e constante = c. Mostrar que

(a)

dy =dx

Vc~_y2'

Y

3. Determine k afim de que as normais no flexao da curva y = k (x 2 - 3)2 passero pela orige

Resp.

k

DERIVACAO DAS FUNCOES TRANSCEN APLICACOESConsideraremos agora funoes como sen 2x, 3%, log (1 chamadasJun~i5es

+x

2

),

transcendentes.

60. - F6rxnuIas de deriva~ao; segunda list abaixo serao deduzidas neste capitulo, e, com as f6 compreendem todas as formulas de deriva9ao usadadv d dx 1dv dx (In v) = -v- = -; dx .

xXa

(In

.!!:.... (log v) = log e dv .v dx dx d dv - (a-) = a-Ina - . dx dx dv d dx (e-) = e dx .d - (u-) dx

XI

XIaXII XIII

= vu--1 -

du dx

dv + In u . u -dx . dv ax

d -d (sen v) x

= cos v -,- .dv d.'r.

XIVXV XVI

-(cosv) = - sen v - .d () du dx tg v = sec v dx .d dv dx (ctg v) = - cossec 2 v dx .

d dx

105

XIX

dx (vers v) = sen v dx .d dx (arc sen V) = dv dx

d

dv

xxXXI

VI _ v 2dv dx

d -(arccosv).= -

ax

VI +

v2

XXII

dv d dx dx (arc tg v) = 1 v2 dvd -d (arc ctg v) x

XXIII

=

dx1

+v

2

XXIV

d

dx (arc sec v) = v d -d (arc cossec v)x

VV2 _ 1dv dx

dv dx

XXV

XXVI

v VV~ - 1 dv d dx dx (arc versv) = V2 v _ v 2

=

61. - 0 numero e. importantes limites e(1)

Logaritmos naturais.1

lim (1",-+0

+ x)'X = 2,71828 ....

Este limite se indica por e. Uma demonstra que 0 mencionado limite existe esta fora do alcan Contentar-nos-emos, por isto, em mostrar, graficam1

do x - 0, a fun9B.O (1 + x)'X ( =y) toma valores pr6 isto ~e, e = 2,718 ... aproximadamente.

I10 5 2 1 0,5 0,1 0,01 0,001 1,2710 1,4310 1,7320 2,0000 2,2500 2,5937 2,7048 2,7169

I-0,5 -0,1 -0,01 -0,001

I4,0000 2,8680 2,7320 2,7195

expresso em (1) e usado no G3. Quando x ~ + ex> , Y tende a 1; quando x ~ y tende a + ex>. As retas y = 1 e x = - 1 sao a No Capitulo XX veremos como se calcula 0 val numero qualquer de decimais. Logaritmos na~urais, ou neperianos, sao os que por base. Estes logaritmos t2m uma importancia em Matematica. Para distinguir entre logaritmos ritmos comuns usaremos a nota-1 -

d + In u . u" -d

A. derivada de uma junr;ao com expoente varidve dos dois resultados que se obtem quando se deriva, p rando 0 expoente como constante (por VI) e depois consi como constante (por XI). Seja v igual a uma constante qualquer n; neste casd du - (un) = nun-1 dx ax

SOLU9AO.

dy

dx =(v =

a; (z2 + a) z2 +az2

+ a].Resp.

= x2

2x

+a

Exemplo ilusteativo 2. DerivarSOLU9AO.

2x y = log - - .

1+x2

Por (2), p. 1, tem08 y = log 2 x - log (1

Donde

dy

dx

=

log e .! 2 x _ 2x dx l+x dx

+ z2) . log e .! (1 + z2) 2;I:

p

1 = log e ( -; - 1

+

2X) = log e;1:2

I-x (1 +

Exemplo ilusteativo 3. Derivar y = a3:e'.SOLU9AO.

dy ') - = In a . aao: - d (3 r' dx dx=

6 x In a . a3:e'.

Resp.

Exemplo ilusteativo 4. DerivarSOLu9AO.

y = be"'+:l:'.

dx

dy = b

dx

_~

(ec'+z')

= bec'+Z'=

dx

.! (r? + z2)Resp.

2 bxe"'+:l:'.

Exemplo ilusteativo 5.SOLU9AO.

Derivar y = x"'" (x)

~; = e"'X''''-l d~=e"'x""'-l

+ x"'" In x ~. e'"

(e"')

+ x"'" In x

= e"'x"'"

(~ + In x).

Resp.

66. - Deriva!;ao logaribnica. Na derivac;ao da ritmicas deve-se, antes de aplicar X e Xa, verificar sivel simplificar os calculos com 0 uso conveniente

segue:y =

! In (1dX-

-

ill.2 3 )

d

Da!

dy 1 dx="21

(I I - il

=Exemplo ilusttativo 2.SOLUQAO.

"2 1 _ x2

2x

=

x2 _ l '

x

Resp.2

Derivar

y = In

"I-il

~ /1 + x

Aplicando (2), p. 1,y =ddy _.! [ dx- 2

!(1

[In (1

+ x 2) d_

In (1 - x 2)]. -

Donde

d;

+ x 2)x

dX (12x

ill ]

I+x2x

I-il

=-+-=--. 2 2I+x I-x I-xi

Na derivar;ao de uma funr;ao exponencial, especi de uma variavel com expoente variavel, 0 melhor c primeiro os logaritmos naturais da funr;ao e depois d o Exemplo Ilustrativo 5, 65, e resolvido de modo como segue:Exemplo ilustrativo 3. Derivar y = :r;ex.SOLUQAO.

Tomando os logaritmos naturais In y = eX In x.

Derivando ambos os membros em rela9ii.o a xdy d dx = eX dx (In x) y

d + In x dx

(eX)

=e X

,

:!-+Inx.exx

'

Exemplo ilusttativo 4. Derivar y = (4:r? _ 7)2 +

vr - 5

SOLUgAO. Tomando os logaritmos naturaisIn. y = (2

+ V:r?8 4x2 -7

- 5) In (4 :r? - 7) rela~ii.o

Derivando ambos os membro em

a x.7) .

.!.- dy

ydx

= (2

+ vx2 _ 5)

x + In (4:r? _4:r?-7

--==

V:

dy = x (4 z2 dx

_

7)2 + v:' -:- 5 [8 (2

+ V~ + In (4 :r? -

vz2-

No caso de uma fUllrmula XIII,dy dx

= cos (~ 2

v) 3:.. (~ - v) dx 2.

= - sen v dx

dv

[POiS cos ( ; - tI) = sen tI,XIV-

por (3), p. 2

d

dx

(cos v)

= - sen v - .dx

dv

72. -

DelIlonstra~oes

das f6rlIlulas XV-XI

las podem ser facilmente obtidas exprimindo-se a f em termos de outras fun-+O

PROBLEMAS

Derivar as func;oes1.

y

=

sen ax 2 dy d = cos ail - (ax 2) dx dx[v ...

SOLuQlo.

a.:c2]. = 2 acos

ar-.

Resp.

2.

y=tg~.

SOLUQAO.

~JLdx=

=

sec 2 VI. [v =

- x~ (1 dxxl.

-

x)t

VI -

sec2 VI - x . (I-x)-t (- 1) sec 2 VI - x

t

= -

. Resp.

2 VI - x3.

Y

=

cos3 x.Podemos tambem escreverY = (cos X)3.ddY = 3 (cos x [v = cos x=X)2 _

SOLUQAO.

dx

~

(cos x)

e n = 31. 3 C08 2 X ( - sen x) = - 3 sen x cos 2 x. Reap.

= sen nx . n (sen x)n-l -d (sen x)dxd + aeon x cos nx dx(nx)

n sen nx senn- 1 x cos x n senn x cos senn- 1 t: (sen nx cos x cos nx sen x = n senn- 1 x sen (n 1) X. Re8p.= n

+

+ +

5. 6. 7. 8. 9. 10.

Yy

= sen ax. = 3 cos 2x.

Resp. y' = a cos ax.y' s'-

= -

6 sen 2 x

s = tg 3 t.v u = 2ctg-Yp y

= 3 sec 2 3 t.

=

2 sec 4x.

du = - cossec 2 dv y' = 4sec4xtg

= a cossec2 be. = t sen2 x.

p' = ab cossec2 b

11.12. 13.

s= vcos 2 t.P

y' = sen x cos x. ds - sen2 dt = vcos2

=

~--

tg3 O.4

dp

sec 2 3 0

dO = (tg 3Oyidy = - 2tgx dx .~ y' = cos X - x

14.15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

y=

Y

=

~x cosx.

J (0) = tg 0 - O.p=--'

l' (0) =

sen 0 0

tg 2 O. dp 0 cos 0 dO = 02

Y Yy

= sen 2 x cos x.

y' = 2 cos 2x co

= In sen ax. = In y~os 2;1} =(;tu

y'y'

=

a ctg ax.

= - tg2x.

Y

sen bx.

y' = eo" (a se~

s = e-I cos 2 t.

s' = - e- t (2 se

25.26.27.28.

}(O) =sen (O+a) cos (O-a). }' (0) = cos 2 O.} (x) = sen 2 (1r - x).

}'(x) = - 2 sen (1

P = -} tgJ 0 - tg 8 Y7j

+ O.

p'=tg40.

= =

x ell %.(cosx)%.

dy = x ell % (Ren - :1:

ax

29.

y' = y (In cos x

Ache a derivada segunda de cada uma das func30.

y

=

sen lex. Resp.

d 2y -dx.J

= - lc 2 sen lex.cos 2 8.

31.32. 33. 34. 35. 36. 37.

p =

i

cos 2 O.

d 2p

dfj2 = -

uY

=

tgv.

d 2u dv 2 = 2 sec 2 v tg v. d 2y -d' = - 2 sen x _. x 2x

= :l.:.cos x.

sen x y=-x-'

d 2y 2 sen x - 2 x c dx 2 = xd 2s dt 2

s sY

= et cos t. = e-t sen 2 t. = ea sen bx.%

= - 2 d sen t.= -

d 2s dt 2-

e- t (3 sen 2 t

d 2y = (P%[(a 2 -b 2 )sen dx 2

Ache38. 39. 40.

dydx y =

para cada uma das func;:oesCQS

(x - y)

Resp. dxdx

dy

sen (x

ell = sen (x

+ V).

= sen (xcos (x dy =dy dx1 + (x

ell - cos

cos y = ln (x

+ V).

-

42.

Y =

x x sen 2 e'" x

;x =

2.

.

y' y'

43. 44.

Y Y

= In cos x; x = 0,5.

= - ; x = - 0,5. = sen x cos 2 x; = in Vtgx;xx

Resp. y'

45.46.

yy y y

= 1.i7r.

y'

=

y'

47.48. 49.

= c"senx; x = 2. = 10 eX cos 7rX;X

y'

x

= 1.= 2.

y' y'

1'J = ,

5 e 2 sen - :z ,. xX

7rX

50.

y

= 10 e

10

sen 3 x; x

= 1.

y'

74. (1)

Func;oes trigonom.etricas inversas.

y = sen x,

diz que "x e a medida de urn augulo em radianos c a y". Para urn angulo celltrico de urn circulo com x e tambfm igual ao arco interceptado (V. 2). cscreve-se (2)

x

= arc sen y,As fun + b'= COB'

4>

+ sen' 4>

= 1,

equacao retangu!ar da elipsc; 4> chama-se algumas \'czeS ftngulo t'xc(lntrj,o do porllo P oa clipsc.

t bVZ (- ~)tbV2(-~)Exemplo iIustrativo 2. IDetrica(4){

- ! a ,/2 =-

comprimento d

- - - = comprimento d

b2 .y2 2a

Dadas as equa90es da cicl6ide*X

=

a (0 - sen 0) ,

y = a (1 - cos 0) ,

Bendo 0 0 parametro, achar os comprimentos da subtang normal no ponto (Xl Yl) onde 0 = 01.dx = a ( 1 - cos O)'"dif d!l = a sen d0, "dif g OLU - - ' 2 (1 + tg c/ x 2.VI

3. Urn projetil e lanc;ado numa direc;ao inc1ina vamente a horizontal com uma velocidade inicial segundo. Achar (a) as componentes da velocidade gundo e do quarto segundos; (b) a velocidade e a d mento nos mesmos instantes. (*)

Resp.

(a)

Quando t = 2, V", = 113,1 pes = 48,7 pes pOI' seg.; quando t pes pOI' seg., VII = - 15,7 pes

(b)

Quando t= 2, v= 123,1 pes pOI' quando t=4, v= 114,2 pes pOI'

4. Com os dados do problema 3 achar a maxi c;ada pelo projetil. Se 0 projetil cai sobre solo horizontal com que foi atirado, achar 0 tempo de p gulo de impacto.

5. Urn projetil com a velocidade inicial de 48 numa parede vertical a 144 m de distancia. Most mais alto da parede que pode ser atingido pelo proje de altura relativamente ao eixo dos xx. Qual e c/> p Resp. c/>6. Se urn ponto move-se relativamente a um denadas retangulares segundo a lei

x = a cos t

+ b,

y

=

a sen t

+c,

mostre que sua velocidade tem grandeza constante7.

Se a trajetoria de urn ponto movel e a cu

x=at, { y = b sen at,*9,8 metros = 32,2p~s

(N. T.).

achar a equayao da trajet6ria em coordenadas r desenhar a trajetoria com os vetores velocidade e t = t, t = 1 e t = 2; (c) para que valores do tem velocidade? (d) onde esta 0 ponto quando sua velo POI' segundo? Resp.9.

(a) Parabola, xi

+ yi

= 1; (c) t

No movimento uniforme (velocidade cons circulo, mostrar que a acelera9ao em cada ponto P grandeza e dirigida, ao longo do raio, de P para 0 c10.

As equa90es de urn movimento curvilineo s 0 ponto movel oscila da parabola 4 y2 - 9 x - 18 = O. Desenhar a cu nhar os vetores acelera9ao nos pontos onde v = O o vetor velocidade no ponto onde a velocidade e maY

= 3 cos t. (a) Mostrar que

Dadas as seguintes equayoes de movimento c no instante dado, v"' Vl./' v, a,. , Ci.y, a; posi9ao do pont dir.eyao do movimento. Achar tambem a equa9ao d coordenadas retangulares.11.

x = t 2 , Y = 2 t; t = 2. x

12.13.

= 2 t,

Y =

t3 ; t

= 1.

x = t3, Y = t 2 ; t = 2. x = 3 t, Y = t 2-

14.15.16.

3; t

=;

3.

x = 2 - t, Y = 1

+t

2

t

= O.

x = a cos t, y = a sen t; t = x = 4 sen t, Y x = x =

t 1r.

17.

18.19.

20.

x

=

t 7r sen 2 t, Y = 2 cos t; t = t 7r. 2 sen t; y = cos 2 t ; t = t 7r tg t; Y = ctgt; t = i 7r = 2 cos t; t=

a equaO p + D.p - p cos !:if}

Para obter esta fra~,.- F (x)

lim lJxl. = lim [(x = lim - 5 sen 5 x z-..>!,,- F' (x %->1,.- - 3 sen 3 x

122. -

TransforIIla!;aO da {orIlla indeterII

Em geral

e

possivel transformar a forma indete

em uma das duas outrasExemplo ilustrativo.

0' -;-.z->i,.1f' =

o

co

Provar que lhn (sec x - tg x) = tg t

SOLU9AO. Temos sec ~ 1f'

-

co -

co.

.'.

ind

1 sen x I-senx Por (2), p. 2, sec x - tg x = - - - - - = cos x cos x cos x Seja f (x) = 1 - sen x, F (x) = cos x Logo, por (E), Entao

f (j 1f')

lim f (x) = lim l' (x) = lim - cos x = %->1,.- F (x) z->i,.- F' (x) z->i" - sen x

.

2.

rI m ctg x --.",-+0

ctg 2 x tg 8

2.1

16. lim [11-+1

y-

~+ Inx

3. lim tg 38.8 1r ~

3'

" [1 17. 1' 1m - 2 - -".,....0

sen x

4.

r1m-. x3 z-+CD L'". 6

O.CXl

18. lim

x

z-+CD

x Inx

5. hm 1-' ",-+CD n x6.

19. lim 8 cossec 288-+0CXl

ctgx 1m -1-' z-+O n x In sen 2:t 7. lim :-+0 In sen x:....0

r

-

1m T3' 20. z-+Ocg x21. lim (a 2~-

r

ctg 2 x

1.

2)

8. lim x In sen x.

O.

22. lim (sec 5 8 ~2

9. 10.

q,...-..oq>

r1m

7r"7

tg"2'

7r

! 7ra.2.1.

2

.

23. lim L7r x z-+O 24. limz-iO

2x

r1m x sen-. a X :-+CD

[:2 - x.tx2-

11. lim (7r - 2 x) tg x.

... r--z-

25. 1m; [x tg x z~

12. lim (1 - tg 8) sec 2 fJ.~ 4

26. hm

.

4

- - 2-

:-->2

X

tg "

7

13. lim [x 2 :-+1

~ 1 - x ~ J.l:J

--2' 27. lim Log (11 %-+0

1

+

14. lim :-+1

[~x -

-1. 28. lim:-+0

[+x sen

123. - Sabre as form.as indeterminadas 0,que a fun/tao

J (x)~)

ou Seja

} (x)

=

CD,

if> (x) = 0, dandsa

y = f{x)4>~).

TQmando os logaritmos naturais de ambos os mIn y

= if> (x) In} (x).

Em qualquer dos casos acima, a func;ao In y to a forma indeterminada. 0.CD.

Calculada esta pelo modo ilustrado no 121, o do logaritmo da fun1 =! 71" cossec 2 e

!

7I"X

Logo

x~

lim lny =

~,T

lim y = lim (2 z~l x~l

Exemplo ilustrativo 3. SOLU9AO. Sejaenta~

Prove que lim (ctg :t)senz = 1.. z-oO00

A fun1

z.

1

10.

4. lim (1+ z->a>

5. lim (1z->o

+ sen x)Ctgz. + x)'".1

:r1

C

:t->a>

lim

(

eC 11. lim (ez-lO

e. e2 en.

12. lim (xx-lO

6. lim (e"x->o

13. lImx-lO

.

(

7. lim (1 + nt) tt->O

14. lim (1x-lO

Seja F (x) a fund4>.

Quando e quando

x

= 0,

4>

=! ro.

x = a,

4> =

Substituindo-se em (1), temos Area -- =4

ill0

ydx = -

1

0

i..-

7l"ab absen2 4>d4>= -.

4

Logo, a area" toda e igual a 1rab.

Resp.

PROBLEMAS

Achal pOl' integrac;ao a area do triangulo lim y = 2 x, 0 eixo dos xx e a ordenada x = 4. Verifi achando a area como a metade do produto da base1.2.

Achar pOl' integrac;ao a area do trapezio li 10, 0 eixo dos xx e as ordenadas x = 1 e car 0 resultado achando a area como a metade da pela altura.x

+y=

Achar a area limitada pela dada curva, ordenadas.3.4. 5.6. 7. 8.9.10.11."

0

eixo dResp.

Y

= x 3;x3

X

= 0, x = 4.x 2; X2

y = 9y =

= 0, x = 3.

y

+ 3 x + 2 x; x = - 3, x = = x 2 + X + 1; x = 2, x = 3.X

3.

xy = k 2 ;

= a, x = b.

Y

= 2x

1 + -;; x-

x;

= 1,x

x

= 4.x= 5.

y =

10

Vx+4-

= 0,

ay = x Va 2y2

2 X j

x = 0, x = a.

12.

= OJ x = - 1, x = O. y2 = 4 x + 16j x = - 2, x = 0.

+4x

Achar a area limitada pela dada curva, retas.17.18.19.

0

eixo d

y2

= 4 x;

Y

= 0,

Y

= 4.

Y =4 - x 2 ; y = 0, y = 3.

x=9 y_y3; y=O, y=3. xy

21. 22.

y3=a 2 x; ay2=X3;

20.

= 8; y = 1, y = 4.

Desenhe cada uma das curvas seguintes e ache 1123. 24. 25. 26. 27.

Y

= 2 cos x. = 2 sen! 7rX. = cos 2 x.

yY

Y = sen

i

x.

Ache a area limitada pelos eixos coorde

bola ~28.

+ VY

= V~.

Prove que a area de um segmento de pa nado por uma corda perpendicular ao eixo da parab teryos do retltngulo que 0 circunscreve.

29. P e Q sao dois pontos da hiperbole xy = a area limitada pelo arco PQ, as ordenadas de P e xx e igual a. area limitada por PQ, as abscissas de dos yy.30.

Achar a area limitada pela catenaria y =Resp.

'0

eixo dos xx e as retas x = a e x = - a.

31. Achar a area compreendida entre as y2 = 2 px e x 2 = 2 py.

yao

e 4 y2 =34.

x 2 (4 - x).

Resp.

Achar a area limitada pela curva de equaya

e pela reta x35.

= 2.

Resp.

Achar a area compreendida pelo layo da cResp.

y2

=

x 2 (9 - x).

36.

Achar a area limitada pela curva de equayResp.

e pela reta x = 2.37.

Achar a area compreendida pelo layo da cResp.

y2 = X (x - 2)2,38.

Achar a area compreendida pelo layo da cResp.

4 y2

=

x' (4 - x).

Achar a area limitada pela hiperbole x 2 reta x = 2 a. Resp. a 2 [2 V3 - In (2 +39.

Achar a area limitada pela hiperbole pela reta x = 6.40. 41.

x = a (0 - SGn 0), y = a (1 - cos 0) e42.

Achar a area limitada pOl' um arco da c 0 eixo dos x. Achar a area da cardi6ideY

x = a (2 cos t - cos 2 t), = a (2 sen t - sen 2 t).

43.y

A figura abaixo representa parte de u mada cicl6idinha) cu

x = alJ, y = a (1a

X {

=

a cos

e,e.

y = a sena

3 7ra ou seJa, t res Oltavos d R esp. -8-' a' area d 0 ci lCA'

2

147. - Representac;ao geOInetrica de uma i nos precedentes que a integral definida e urn m tando a medida de uma regiao (uma area). Isto nao sariamente, que toda integral definida seja uma ar preta~ao fisica do resultado depende da natureza representadas pela abscissa e pela ordenada. Assi consideradas simplesmente como coordenadas de u a integral em (B), 145, e na realidade uma area. mas que a ordenada represente a velocidade de urn a correspondente abscissa 0 tempo no qual 0 pont cidade; entao 0 grafico e a curva da velocidade do area sob ela, compreendida entre duas ordenadas distancia percolrida pelo movel no corresponden tempo. Portanto 0 numero que indica a area e i que indica a distancia (ou valor da integral). S uma integral definida fornecendo urn volume, um de uma superficie qualquer, uma for~a, etc. pode geometricamente pela area de uma superficie plana

148. - Integrac;ao aproximada. Regra do mos demonstrar agora duas regras para 0 computo

(1)

l

b

f

(x) dx.

Estas regras sao l1teis quando a integra~ao de (1) sivel em termos de fun~oes elementares.

e

e x = b. Esta area pode ser calculada aproximadamente somando-se areas de trapeziof;1, (lomo segue. Dividamos 0 segmento (a, b) 0 a de OX em n partes iguais, cada uma de comprimento Llx. Sejam Xo (= a), sucessivas abscissas dos pontos de divisao e

Xl,

xz,

as correspondentes ordenadas da curva (2).

Unamos as extremidades consecutivas das orde mentos de retas, obtendo, assim, trapezios. Cada uma area expressa pelo produto da semi-soma das ba e, portanto

! (Yo + Yl) Llx = area ! (Yl + Y2) Llx = area ! (Yn-l + Yn) Llx =

do primeiro trapezio

do segundo trapezio

area do n-egesimo trapez

Somando, obtemos a regm do trapezio Area =

(T)

C! Yo + YI + Yz + ... + Yn-I + ! Y

E claro que quanto maior 0 numero de intervalos Llx), mais pr6xima e a soma das areas dos trapezio a curva.

a cueva y =:r? Substituindo as abscissas x = 1,2,3, ., ., obtemos as ordenadas Y = 1,4,9, ... , 144. Logo, de (T), Area = (~ + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100

Por integrar;:1io,

"a regra do trapezio dli. um resultado com erro menor que 1/3%.

11

12

:r? dx =

[x1 3

J12 1

= 575

t.

Portan

y

Exemplo ilusttativo 2. Achar 0 valor aproximado de

1=

1

2

V4+x1dx

tomando n = 4. SOLU9AO. Seja

Y=~.

2,000 = Yo 0,5 2,031 = YI Temos ~x = 1 2,236 = Y2 = 0,5. Far;:amos 1,5 2,716 = Ya uma tabela dos vn.2 3,464 = Y4 lores de x e Y como a que apresentamos. Aplicando (T), I = (1,000

x

Y

o

+ 2,031 + 2,236 + 2,716 + 1,732) X 0,5 =PROBLEMAS

Se tomassemos n = 10, teriamos I = 4,826, uma aproxim

Calcule os valores aproximados das seguintes cando a regra do trapezio para os valores indicaqos os resultados efetuando as integrac;oes.1.

2.1

j

IOd.r;

-~- ;5 X

n = 7.

"l2.j-x 2 dx; n = 10.

3.1 VM ,1.1 +83

V16

6.1 VI +2

x 3 dx, n

=

4. 3,283.

11.

12x2 V6

7.

8.

J0 1 J5 V126-x 3 dx;

[10 Vi125-x2 dx; n=5. 44,17.n=4.34,78.

12.

13.

9.

1 Vi8

2

xdx n 4+x 2

=

6.

9,47.

14.

1 1 VlO 1 Vi4I

Vix

4

2

149. - Regra de Sixnpson (regra parabolica) ligar as extremidades sucessivas das ordenadas por retas, obtendo, pois, trapezios, podemos eonseguir um melhor da area ligando as aludidas extremidades pOl bolas e somando as areas das figuras que assim se mente, por tres pontos quaisquer de uma curva e sempre y possivel fazer passar uma parabola com eixo vertical (de fato, a equaQao de uma tal parabola se obtem da equaQao (1) do exemplo ilustrativo 3, 145, determinando-se as eonstantes a, bee de modo que ela passe pelos tres o pontos), e uma sueessao de areos de tais parabolas, convenientemente eseolhidos, se aproxima mals da eu sueessao de segmentos de retas. Dividamos 0 intervalo de extremos x = a = OMo num nl1mero par (= n) de partes, cada uma igual a dos conjuntos sucessivos de tres pontos Po, PI, P 2 ; P tracemos arcos de parabolas com eixos vertieais. Se

trativo 3 do 145. A area de cada uma destas dada pela formula

u =deste exemplo. Para a primeira, h

-p (y + 4 y' + y")

= Llx, Y = Yo,

y' = YI, Y" =

Area da primeira faixa dupla M o Po PI P2 M 2 =LlX

3" (YSemelhantemente, area da segunda faixa area da terceira faixa

=

~x (

= ~x (Y

, d . f ' area a' ultlma alxa =

/).x ( 3

+4Somando, obtemos a regra de Simpson (senda (8) areat

=

Llx 3" (Yo + 4 YI + 2 Y2 + 4 Ys + 2 Y4 +

Como no caso da regra do trapezia, quanta ma partes em que se divide M o M n , tanto maior a aprox ~ado da area sob a curva.Exemplo ilustrativo 1.10 intervalos parciais.

Calcular

1

10

x3 dx pela regra

SOLUgAO.

. b- a 10 - 0 AqUi - n - = -W- = 1 =

~x.

A area

sob a curva y = x3. Substituindo as absciss:1s x = 0,1,2, obtemos as ordenadas y = 0, 1,8,27, ... , 1000. Logo, por ( Area ~

t (0+4+16+108+128+500+432+1372+1024+291

tomando n = 4. SOLU+ '"

lim

J 1b~x.1

+"'d

...!.. x2lim [ - xl

1

x2

=

b-->+ '"

=

~ '" [ - ~

Exemplo ilustrativo 2.

Achar }

[+'"0

=

1>--+ '"2 .

lim

= lim

b-->+'"

[4

a 2 arc tg

2a

J!...-] = 4a

Interpretemos este resultado geometricamente. 0 grafico de nossa fun"ao e 0 lugar geomHrico dos ponto& que satisfazem a equa"ao

y

= x2 + 4a2t luea OPQb =

Ora,

10

b

x2

8a3 dx = 4 a2 arc tg + 4 a2 2

1

SOLU9AO.

11

+0>

dx

x

= lim 1>-++

jb0>

x

dx

1

x

= lim (In 1>-++0>

o limite de In b quando b eresee indefinidamente nao gral nao tem sentido n~te caso.

e

154. - Integrais improprias. Quando y = tlnua. Consideremos agora casos em que a funyao seja desc~:mtinua para valores iS0lados da variavel mites de integra9ao.

Consideremos primeiro 0 caso de ser a func;ao todos os valores de x compreendidos entre a e b, x = a. Se a(1)

< beE e positivo,

pOl'emos, por

deJini~a

Ij

b

1; (x) dx = lima ......0

l

b

1; (x) dx.a+E

Semelhantemente, quando 1; (x) deJinimos(2)ae->O

e continuaa

exc

b Ib-E 1; (:1') dx, 1; (x) dx = lion

posto que os limites existam e sejam finit.os.Exemplo ilustrativo 1. Achar

f

a

d

o

",/ a2 -

x. x2X =

SOLUc;AO.

Aqui,

6 infinita p~ra

a.

Lo

l

a

o

dx /,a-E -===-=c::: va x = lim j2 2

d

E--+O

0

'\/ a 2 -

x

x2

=

limE--+O

[

arc

= ar y sen

} 0

{1~.x

= lim.-.0

1 ~. (l.. _1).1

:J?

= lim

,->0

e

N-.ste caso

0

limite nao

e fin ito

e portanto a integral n

Se c esta comprcendido entre a e beet> (x) e continua entao, sendo e e E' n(lmeros positivos, a integral entre a e b

(:3)

Jba

cf> (x) dx =

E'---?O

1imlc-.a

cf> (;l;) dx

+

:'---70

li"pam

posta que cada urn dos limitcs exista e s~j0 lim [32 2 2

..y8a~ - 3

=3a 3 +6a8 =!la8Para interpret::rr islo geometrieamente traeemos 0 gr3.fiw deY = ---'-----,2:(Xl - a 2 )3' 2x

Resp.

[' llotemos quP. x = a 6 uma assintota.

=

3 ~ej~

-

,,~

+ :-la3

2

.

2

tende a 6 a ~ quando QE' move-se para a esquerda telldend2

,}, quando

lO' ......

O.

Soma11do os resultados, obternos 9 a 3

.

Exemplo ilustrativo 4.

Achar } 0

{2a

d(:I; _ x )2 a

SOLU (x) dx.

Esta igualdade foi obtida fazendo uso da n09ao ajuda da intui9ao. Ela estabelece um resultado analise matematica, precisamente 0 teorema seguinte

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO IN

Seja cf>(x) uma fun9ao continua no intervalo [a, este em n subintervalos e sejam Ax!, AX2' ... , AXn destes. Em cada um dos subinterval~s escolham . sejam Xl' X2, ... , Xn as abscissas dos pontos escol da soma(2)

cf>(XI) AXl

+ cf>(X2) AX2 + ... + cf>(x n ) AXn =

quando n tende ao i.nfinito de tal modo que cada su a zero, e igual ao valor da integral definida

A igualdade (.4.) pode ser abreviada como segu

(3)

f

b

n

cf>(x) dxa

= limn-tolZ)

~i-I

cf> (x,;) Ax,.

Cada um deles chama-se um elemento da grandeza cular. A regra abaixo e utH na aplicayao do teorema problemas pntticos.TEORIA FUNDAMENTAL. REGRA

PRIMEIRO PASSO. Divida a grandeza que quer c tais que 0 resultado desejado p(lssa ser obtido tomand uma soma de tais partes.

SEGU~DO PASSO. Ache expressues para as gran de modo a que a soma dela.s seja do tipo (2).

TERCEIRO PASSO.

x

= a e

:1:

= b, aplique

0

Tendo escolhido conveniente teorema fundamental

lim I (Xi)n-'= i-I

n

~hi

=

jba

(x) dx

e integre.

157. - Demonstra!;ao analltica do teorema Dividamos, como no parigrafo precedente, 0 inter numero qualquer n de subintervalos, l' nao necessariamente iguais, e indiCjuemos as abscissas dos pontos de divisao por bj , b2 , , bn - 1 e os cornprimentos dos subintervalos pOl' Llxj, LlX2, ... , Llxn :' Em cada um dos subintervalos escolhamos um ponto dos Cjue sao determinados pelo teorerna do valor medio ( 116) quando aplicado a f (x) f f f = (x) e, sendo x h x 2, . . . , x n esses pontos, leva perpendiculares a OX. Pelos pontos de encontro diculares com a curva tracemos perpendiculares ao

Semelhantemente, obtemos, aplicando (B) do 1 subintervalos:

f (b 2)

-

f (b 1) = cf>(x' 2) ~X2, para~xs,

0

segundo

f (b s) - f (b 2 ) = cf> (x's)f (b) - f (b n-1) = cf>(:c' n)

para

0

tel'ceiro i

~Xn,

paru

0

n-egcsim

Somando membro a membro:

Mas,cf>(X'l) cf>(x' 2)

~X1 =

area do pl'imeiro reb1ngulo, do segundo retangulo, etc.

~.'l:2 = ~rea

Logo, a soma no segundo membra de (1) e igual a dos retangulos. Mas, pOI' (1), 156, 0 primeiro m igual a area sob a curva y = cf>(x). Logo, a soma(2)

L: (X'i) ~Xi i=lsob aCUl'Vll.

n

e igual a areaA soma(3)

L: cf>(Xi) ~Xi ;=1

n

(onde Xi

e

qualquer do subinterval

em valor absoluto, menor ou igual a diferentta ent minima ordenadas da curva em t.Xi. Alem disso sivel* tornar estas diferenttas, em valor absoluto, m quer numero positivo E prefixado, escolhendo n de t que ca.da subintervalo tenha urn comprimento suf queno. Para uma tal escolha de n, a diferentta en e (3) sera, pois, em valor absoluto, menor que E menor que urn numero qualquer prefixado, ainda queno. A diferentta tende, portanto, a zero quan infinito de modo que cada subintervalo tenda a ze b (2) e igual a cP (x) dx; logo,

I

sendo os t.Xi os comprimentos dos subintervalos e dido [a, b1e Xi pontos arbitrariamente escolhidos em subintervalas.

158. - Areas das curvas planas; coordenada Como ja foi visto, a area compreendida entre a c o eixo dos xx e as retas x= a e X= b, y e dada pela formula(B)

Area =cP (x),

I

b

y dx,

sendo y

=

A igualdade (B) pode ser memorizada facilment que urn elemento de area e urn retangulo (como C altura y. A area que se quer ABQP e 0 limite das de tais retangulos compreendidos entre os segmento Como ae m08tra em Ii vro. de c&1culo maia adiant&do

PRIMEIRO PASSO. Construamos os n retangulos como na figura. A area pedida e 0 limite da soma das areas destes retangulos quando n cresce indefinidamente de modo tal que 0 comprimento de cada interva10 tenda a zero.

o

SEGUNDO PASSO. Indiquemos as alturas por Tomemos urn ponto em cada subintervalo, por exem dade superior, e indiquemos os pontos assim obtidos As bases sao, entao, cP(Yl), cP(Y2), etc., e a soma da tangulos e, pois,n

+ cP(Yn) !::.Yn = i-1 L:TERCEIRO PASSO. Apliquemos0

teorema fund

Logo, a area compreendida entre uma curva, zontais y = c e Y = d e dada pela f6rmula(C)

0

eixo d

Area =

jd X

dy,

onde x deve ser substituido pela expressao, em termos de Y, que provem da equaQao cia curva. A f6rmula (C) pode ser memorizada pela observaQao de que ela mite da soma dos retangulos horizontais internos sendo x e dy, respectivamente, a base e a altura d generico. Urn tal retangulo e urn elemento da area

quente (8) dara uma area precedida do sinal negativo que a figura esM. abaixo do eixo dos X.'l:.Exemplo ilustrativo 1. Achar a area de urn arco da sen6ide y = sen x. SOLUQAO. Pondo y = 0 e achando x, ternosx = 0, -rr, 2-rr, etc.

Substituindo em (B),

Area OAB =

jbjba

ydx

=

1"J27r"

senxd

Temos tambern

Area BCD -

y dx'"

sen x d

Exemplo ilustrativo 2. Achar a area limitada pela parabola semi-cubica ay2 = x3, 0 eixo dos yy e as retas y = a e y = 2 a. SOLUQAO. Pela (C) acima e a figura,1 2

yr:-

0

ele-

mento de area. xdy e igual a a3 y 3 dy, tendo-se tirado 0 valor de x da equac;ii.o da curva. Logo Area BMNC =

f

2a

1

2y3

a

a3

dy

=

i

a2 (~

-

I) = 1,304 a2

Resp.

Note que a 2 = area OLMB.

Na 'area dada por (B) uma fronteira e 0 eixo uma fronteira e 0 eixo dos yy. Consideraremos ag tada por duas curvas.

Exemplo ilustrativo 3. Achar a arca limitada pela para reta x - y = 4.

xa da figura cujo !ado superior tem (:"'11 y), (z:z, y) por extremidades, Destas tracemos perpendiculares ao lado inferior; obtemos um retangulo cuja area e

Ort-----/

Este e 0 elemento de area, pois a y' area pedida e, obviamente, 0 limite da soma de tais retiIDgulos. Pelo teorema fundamenta

oJ1de Xl e X2 sao fun~6es de y deteI'JDinadas pelas equa~6es da Logo, neste exemplo, de X - Y = 4 acharoos x = X2 = 4 + y mos x = Xl = ! y2, Temos, pois, por (I),(3)

dA = (4

+ y - ! y2) dy .

Esta f6rmula serve para cada um dos retangulos que se po acima considerado. Como os limites sao c = - 2 (em A) e d Area =~

J

4

(4

+y -

'i y-) dy =

1

18.

-2

este exemplo a area pode tambem ser dividida em fai OY. Supondo que estas sejam equidistantes e que Ax seja duaa consecutivas, podemos proceder como acima, notando, poY rem, que enquanto 0 extremo superior de cada lado esta sabre 0 ,arco OB, 0 inferior esta sabre OA quando 0 lado nao esta a direita de A e eata sobre a reta quando 0 lado nao esta a esquerda de A,

I

Se (x, Y2) e 0 extremo superior e (x, Yl) 0 inferior, 0 retangulo de area igual a

Deve-se, pois, num problema qualquer, construir as faixa uniea f6rmula seja bastante para exprimir 0 elemento de are e usada quando as faixas sao eonstruidas pelo trayado de parale

No teorema fundamental algumas ou todas as pa podem ser negativas e portanto 0 limite da soma d definida) pode ser nula ou negativa. POl' exem = sen x, a = 0, b = 27r, a integral definida (3), interpretayao deste resultado pelas areas e imediat ilustrativo 1 acima.PROBLEMAS1.

Achar a area limitada pela hiperbole xy = xx e as retas x = a e x = 2 a. Resp.

2. Achar a area limitada pcla" curva y = In e a reta x = 10. Resp.

3. Achar a 41'ea limit-ada pela curva y = xex e a reta x = 4. Resp

Achar a area limitada pela para.bola e os eixos coordenados. Resp.4.

.v

t

5.

Achar a area encerrada pela hipocicl6ide x

R esp

Achar a area limitada pelas curvas abaixo. em cada caso., mostrando 0 elemento de area.6. 7.8.9.

D

y2=6x, x 2 =6y. y2=4 x, x 2 = 6 y.

Resp. 12.

10. 11. 12.2

y2=2

8. 9.10'3

y=6x y=x 3

y2=4 x, 2x-y=4". y=4-x 2, y=4-4 X.

13.

y2=4x

Achar a area limitada pela hiperbole equil o eixo dos xx e uma reta trayada da origem ao ponto16.

Resp.17. 4.18.

a; in

Achar a area limitada pela curva y = x (1

X

=

y =

Achar a area limitada pela curva x 2y = x I, x = 1 e x = 4.

Achar a area limitada pela curva y=x 3 o eixo dos yy e a reta y = 29.19.

Pelo ponto (I, 1) trayam-se paralelas aos eix obtendo-se, assim, um quadrado. Achar a razao en menor das areas em que ele e dividido POI' cada um curvas:20. 21. 22. 23. 24.25.

= x 2 Resp. Y = x 3 Y = x 4Yy3= x2.

2.3.

26.

Y = sen 2Y

7T'X

4.3

27.

=

Xc'.-l.

2'

y';+Vy=1.

5.

28. 29.

Y

= tg 4

7T'X

xa

1

+ ya =

1

Para cada uma das curvas abaixo achar a area vai desde a interseyao com OY ate a primeira das OX, a direita da origem.30. 31. 32.3:;.X

+ y + y2 = 2.-

Resp. 16 ,

1

34.

Y Y

= =

y = x3

8 x2

+ 1.5 x.12,07.

35.36.

y = e" sen x.y2 = (4 - X)3.

y =

p = 1(8)

a equa9ao da curva e OP l e OD os dais raios vetores. Sejam a e (3 os angulos que os raios vetores formam com 0 eixo polar. Apliquemos 0 teorema fun- 0 damental, 156. PRIMEIRO PASSO. A area lares como as da figura.

e0

limite da soma d

SEGUNDO PASSO. Se 1::.8 1 ,6.8 2 , etc., sao os angul sucessivos setores e Pl, P~, etc., os raios, a soma d tores en

+ ! Pn 6.e n = iLt21

pois a area de urn setor circular e igual ao produt raio pelo arco e 0 arco e 0 produto do raio pelo anguT~I1CEIRO

PASSO.

Aplicando

0

teorema funda

Portanto a area descrita pelo raio vetor da curva posi9ao OP l para a posic;ao OD e dada pela f6rmula

(D)

Area = !

le,

f3

P~ de ,

onde P, express:) em termos de

provem da equac;

elemento de area para (D) e um setor circu ungulo centrico de, portanto urn setor de area! p 2

o

Como p = 0 quando 0 =

7r

4" '

vemos que -t----~.ql

se (} varia de 0 a : ' 0 raio vetor OP descreve a area OAB. Logo, substituindo em CD),

area = 4 X area OAB = 4 . t isto e, a area de ambos os la90S OA como lado.

l

,..f3

p2 dO = 2 a214 c

e igual a.

area de urn quadrad

PROBLEMAS1.

() = 0 e () = 60.2.

Achar a area limitada pelo circulo p = a Re

Achar a area encerrada pela curva p = a sen

Calcular a area encerrada pOl' cada uma das s3. 4. 5.

p2= 4 sen 2 (). P = a cos 3 ().

Resp. 4.

10.

p= 3 p =

-t7ra 2 2 7ra -.3?

II.

p = a(l- cos()). p = 2 - cos (). p = sen 2 P=()-.

6.

z7rg7r.3

9

12.

P= P=

7.8.

t

2 + cos 2 ().

13. 14. 15.

A 4 7r .2 7r 9

P= P=

9.

P = 2 + sen 3 ().

16. Achar a area limitada pela parabola p (1 + linhas 0 = 0 e () = 120. R

Achar a area limitada pela hiperbole p2 linhas () = 0 e 0 = 30. Resp.17.

to euja corda passa pelo foco e

e perpendicular ao ei

20. IVlostre que a area limitada por dois raio piral hiperb6lica p8 = a e proporcional a diferenc;a mentos desses raios. a t b2 Ache a area da elipse p2 = ----:-21. 2 0. sen 2 8 + b R 22.

Ache a area encerrada pela curva p = a (s Res Ache a area abaixo de OX encerrada pela c

23.

24.

Ache a area limitada pOl' pt

=

0. 2

sen 4 8

Ache a area limitada pelns seguintcs curvas e25.26.

P

= tg 8; 8 = 0, () = 1- 71'.~O =

P =

1- 71', e = !

71'.

27.28.

P = sec 0P

+

tg 0; 0 = 0, 0 =

1- 71'.

= asenO + beosO; 0 = 0,0 = !1T.

Calenle a area da parte eomum as partes ence um dos seguintes pares de eurvas.29. 30. 31. 32. 33.

P = 3 cos 0, p= 1 + cos O. p= 1 + cos 0, p= 1. p= 1 - cos 0, p= sen

Resp.

4

5

fO.

~

p2=2cos20, p= 1. p:= cos20,

j20.

p2

= sen

1

Ache a area interna ao circulo 3 p = V 'If 'If lac;:o da curva p = cos 2 0 de 0 = - "4 a 0 = "4 .37. 38.

3p = V6sen20, p2 = cos20.

39. Ache a area do lac;:o interior da trissetriz p Para figura, vel' limac;:on, Capitulo L""CVI. Resp. t a

160. - Volumes dos s6lidos de revolu~ao. S do solido gerado pela revoluc;:iio, em tOrno de OX, da ABCD e sejay = j (x)

a equa9ao da curva plana DC.

y

PRIMEIRO PASSO. Dividamos a segmento AB em n partes de comprimentos .Ci.Xl' .Ci.X2' ... , .Ci.x n e tracemos urn plano perpendicular a OX par cada urn dos pontos de --;;:H~f~f'L':!(t) ,

e conveniente usar(3)

s =

!(dX + dy2~12

=

it:.

[1'2 (t)

+ (1/2

pois, de (2), dx =

l' (t) dt,

dy

= 1>' (t) dt.

Substituindo em (G),

.,...----:

Arco BA =

=Pusemoa Ii' [ afim de rer= ,.. 0

l'[ .~ J! 1 J!1

+

dx2

r

o

[

y2

+ 2 xy

2

dx

= iT [0

r-:z;-

r? 2

Ji

d

x'. que resulta da equa~iio do e!reulo, ] integrando em ~rmos de x.

.'. arc BA Logo,

=

r

ix

T

d

o Vr 2

x-

x2

7rr 2'

(Ver exemplo il Resp.

0

comprimento total e igual a 27rr. Achar0

Exemplo ilustrativo 2.=

eomprimento de um arey=

a (0 - sen 0),

a (1 - cos 0)

Ver exemplo ilustrativo 2, 81. SOLU9AO.

dx = a (1 - cos 0) dO,

dy = a sen 0 dO .

Dsando (3),

S =

J

{?1r0

2 a sen

t 0 dO

=

8 a.

Resp.

Os lirnites siio 05 valoree de 0 em 0 e D (ver figura, exe 81), isto e, (J = 0 e (J = 27r. Exemplo ilustrativo 3. de x = 0 a x = 2. SOLU9Ao.(4)

Achar

0

comprimento do areo d3

Derivando, y' =

t x2

Logo, por (G),

S =

1

2

(1

+ t x 3)! dx = t

12

(4

+ x 3)

0 0 .

A integral em (4) foi ealeulada (aproximadamente) no ex 148, pela regra do trapezio e tambem no exemplo ilustrat regra de Simpson. Tomando 0 ultimo valor, s = .4,82

t

linearu. Resp.

onde p e

~;

devem figurar em termos de B e

provem da dada equayao da curva. No caso de ser mais conveniente usaI' p como v dente, e a equayao na forma

B = cf> (p),entao dB = cf>' (p) dp = dB dp . dp

Substituindo isto em [p2 dB2 temos

+ dp2]i,

LogQ, se Pi e P2 sao os Gorrespondentes limites d pendente p, obtemos a formula para 0 eomprimento

(J)onde

s =

1.

p ,

[p2

(~: + 1

rr

dp

~~

em termos de p deve ser obtido da equayaoAchar0

Exemplo ilustrativo.

perfmetro da cardi6ide p

. dp SOLU9Ao. A qUi dO- =

Fazendo () variar de 0 a crevera. metade do perfm em (1),----,~-----t-x

.!2

=

(.

[a 2 (1

Jo

+ cos 0)2

= a Jo

("

(2+2cosO)idO=&Sp.

. '.

s = Sa.

2.

Achar

0

comprimento do arco da parab

ay' =

x 3 desde a origem ate x = 5 a.3.

Achar

0

comprimento da curva y ponto onde x

=

"6

x3

onde x

= 1 ate

0

= 3.p.y2

4. Achar 0 comprimento do arco da parabo vertice a uma das extremidades da corda focal perpe

Resp. - 2 5.

+2

onde x =6.

ao ponto onde x i.=

Achar

0

comprimento do arco da curva' y

Achar 0 comprimento do arco da parab origem ao ponto (4, ~).7. Aproxime com a regra de Simpson arco da curva 3:y = x 3 da origem 810 ponto (1,8.0

t)-

Calcular

0

eomprimento do arco da curva

origem ao ponto (; , In2).

Resp

9. Calcular 0 comprimento do area da hiperb de (3,0) a (5,4) (use a regra de Simpson).

10. Calcular 0 comprimento do arco da parab que esta acima do eixo dos xx. Re

11.

Achar

0

comprimento da hipocicl6ide xa

t

12.

Retificar a catenaria y =

~ (e~ + e -~)Resp.

(x,y).

~ (e

dy

v2ry _ y2

14.

Retifique a curva 9 ay2

= X (x

- 30.)2 de x

Res15.

Ache

0

comprimento, em urn quadrante, daR esp. 0.2

1 + ( JL)f_ b -. Ache0

comprimento de x = a a x = b e2b - 1 Resp.ln 2a 1 + a - b. e -

17.

As equaQoes da involuta de urn circulo sX {

= a (cos ()

+ () sen (),

y

=

a (sen () - () cos ().

Ache

0

comprimento do arco de () = 0 a () = ()l. Re Ache0 a ()0

18.

0

comprimento do arco da curvaResp.

de ()

=

=

7r 2".

Ache19.20.

comprimento do arco de cada uma das s

yYY

= In (1 = 4"" x2

x 2) de x

=0 a

x

=x

t.= 2.7r

2" In

1

x de x x

= 1a7r 6

21.22. 23.

= In cossec x de

=

a x

=

2 .

3 x 2 = y3 de y

= 1 a y = 20.

Urn arco da curva y = sen x.

Achar 0 cornprimento da espiral de Arc desde a origem ate 0 fim da primeira revoluQao.24.

Resp.

7ra

VI + 4 7r 2 +

~ In (2 7r+

B

D

p = a sec 2 2 deResp.

e

e=

0

h/2+

c

27. Ache 0 comp da parabola

P=Ache

1 + cos (J

2

de

e=

0

28.

0

a (Pz, ez).Resp.

Resp. y2 + In (y2 + 1 comprimento da e~piral hiperb61ica

va! + Pl2 - ya +2

P22

+ aIn Pl (a + yaP2

2 2

(a

29.

Mostre que 0 compnmento da curva P= a

.

+ ya

Mostre que OA, AB, BC (ver figura) estao em progre30.

Ache(J

0

eomprimento do area da eiss6ide1f"

de

(J

=0 a31.

= ""4'

Aproxime 0 perfmetro de um ramo da e

164. - Areas das superficies de revolu!;ao. de revoluyao e gerada pela revoIUdx . 1 + 2 sen x21.

dct>

18.

/

da + sen a23.

19.

dt /5 sec t - 4

l

/

20. /

sen 0 dO 5 + 4 sen 0 .

22.

1

1t' dx _ . o 0+3 cosx

2

24.

1

172. - Outras substitui~Oes. Ate agora as su das conduziram a integra-1

Apliquemos a formula (A) ao ultimo termo de (3) na f6rmula m pOl' m + n e p pOl' P - 1. Temosh

f

xm+n (a

+ bX,,)p-l dx =a(m 1) ' np m 1

Xm+l (anp

+ bx')1' +m+1(a

--

+ + +

f

.l:m

+ bX,,)p-l dx .

Substituindo isto em (3) e reduzindo os term obtemo8 a f6rmula (B).

Cada aplicac;ao da f6rmula (B) diminui p de u formula (B) falba no mesmo caso em que (A.). III.Dedu~ilo

de (C).

Tirando da f6rmula (A.

f.r;m-n (a + bx")p dx ,e substituindo m pOl' m

+ n,

obtemos (C).

Cada vez que aplicamos (C), m e substituido pOl' m + 1 = 0, a formula (C) alba, mas nsete caso a ser tratada pelo metoda do 169 e portanto a form saria.

e substituindo p por p

+ 1,

obtemos (D).

Cada aplicayao de (D) aumenta p de uma unid mente, (D) falha quando p 1 = 0, mas entao p pressao e racional.

+

A f6rmula (5) do Caso IV, 167, e urn caso qua.ndo m = 0, p = - 11-, n = 2, a = a 2 , b = 1.Exemplo tlustratlvo 1.

, , fAqui m=

z3dx vI - z3

= -

- 1 (r-+2) (

3

SOLUI;AO.N~ste

3, n = 2, p = "

t,

a = 1, b = -

caso aplicamos a f6rmula de reduy8.o (A) porque a

duzida A de

f

x (1 - z3)-1 dx, A qual pode-se aplicar e. f6r

Portanto, substituindo em (A), obtemos

f

z3 (1 - z3)

-I

- z3-2+1 (1 - x2)-i+1 dx - _ 1 (_ 1 + 3 + 1) -

-

_ 1 (_ 1

1 (3 - 2

1) ++ 3 + 1)

f

- - i- z3 (l ~

x2)1 - { (1 - x2)i

+C

- "3 (x2

1

+ 2) (1

- x2)i

+ C.

'I ustratlvo . 2. Exemp I0 1

f

( 4" 1 x.., _ x 2)i = (a 2x4dx

3 +S

3 4 +a arcs 8

+ 2" IIISugestiio.

a

(x

+ Va2 + x2) +

Aqui m = 0, n = 2, p =

t, a =1

~2, b = 1.--'-~--'-

Apl

Excmplo ilustrativo 4.Sugestiio.

f

xavI x2 -

dx

(x,2 - 1)+

2x2

+-

Apliquc (C) uma vez. PRODLEMAS

Caleule eada uma das seguintes integrais.1.

2.3.

5.6.

8.

10.

Sugestao

12.

ff

fV

x2dxV2ax - x 2

=

f~ x 2 (2a1

-

x)-'dx. Apliqu--

,

_/

y3dy 4y_ y 2

= -

:-(y~+5y+30)V4y-y2 +

3

+ 20 arc co13.

14.15. 16.

f f

ds s 38 (a 2 +s 2 )3 = 4a 2(a 2 +s 2)2 +8a4(a2+s 2) +8 y2 d'/j 1 _ /-9 " = - - YV 9-4y2 + - arc V9-4 y 2 8 163

Vl+4t 2

t

dt

=

_1 (2

24

t~

-

1)

VI + 4 t 2 +

fY~V4-9y2dy=_1 y(9y 2_2)V4-9 y 2+ . 36

17.

18.

Calcule cada uma das integrais

23.

fV~dx.x

175. - Formulas de redu1.Se Ir e

I < 1, entao r n decrescen-->=

em valor absoluto

lim (rn ) = O. Pela formula (2) vemos pOl-tanto que ( 16)(3)

. .n~CC1

limSn = - 1 a .-

r

Logo, se I r I < 1, a soma S" de uma serie geo urn limite quando 0 nlirnero n de termos da serie c mente. Diz-se, neste caso, que a serie e convergent

(4)

a -" a

+a-

a

+a-

a ,,, .

Se n e par, a soma Sn e zero; se n e impar, a som quando n cresce indefinidamente, a soma Sn nao limite. Uma tal serie diz-se oscilante.Exemplo ilustrativo. Consideremos a serie geometrica,

a=l, r=!,(5)

8n

=I+2'+"4+1 __1_ Sn = _--:2=-n_ = 2 _1 -

1

1

+ 2n- 1

1

Ac4amos, por (2), que

'!

2n - 1

Entao,(6)

..-.",

lim Sn=

=

2,

resultado que concorda com (3) para a

1,

T

=

!.1

E interessante examinar (5) geometricamente. 0 Para isto, marquemos va- I lores sucessivos de 8" sobre uma reta, como na figura.

l.s~

n

11

2

I..!.2

3 11.4

4

etc.

1 !-.8

et c.

Cada ponto assim obtido e ponto medio do segmento com ponto precedente e 0 ponto 2. Logo, (6) e 6bvia..

PROBLEMAS

Em cada uma das seguintes series (a) descub mar;ao; (b) escreva mais tres termos; (c) ache 0 n (termo geral).1.

2

+ 4 + 8 + 16 +

Resp.

n-eges(-

2.

5. v' X + _ X _ +-2246.

X.y;

2.4.6

+

x 2468

2

+.

---+---+ 3 5 7 9

a2

a3

a4

as

Escreva os quatro primeiros termos da serie termo e 0 dado abaixo.7.8.9.

2 n- 1

v'n' n+2 2n - 1 n3n - 1

Resp.

1+ -=+-=+ v'2 v'34 52 3

24

3+ -+-+3 5 7

6

1+-+-+3 9 2X

4

xn - 110.

v'n'(_ l)n- 1x 2n- 1

1+--+--=+ v'2 v'3x3xS

x2

II.

/2n-1(x-a)n-l

x-_+---

X

I! I!

I

12.

I~Series convergentes e divergentes.

184. -

A soma

e uma func;3.o de n. Fazendo 0 nllmero de termo indefinidamente, dais casas podem-se dar.CASO

1.

S" tende a urn limite, digamos u, isto

(1)

lim Snn-+a>

=

U.

Neste caso diz-se que a serie e convergente e que c valor u, ou ainda que tem 0 valor U

1+2+:3+4+5+ 1-1+1-1+ ....

Como se clisse acima, para uma serie convergente e 0 numero u (algumas vezes chamado soma da se (1). Uma serie nao convergente nao tern soma.

N as apJicagoes das series, as convergentes sao importancia. POl' isto, e essencial tel' meios para serie no que concerne a convergencia ou nao.

185. - Teorem.as gerais. Antes de dar m para 0 exame de uma serie no que conccrne a co mamas a atengao para as seguintes teoremas, cuja sao omitidas.

Teore01a I. 8e 8 n e uma varidvel que cresce cresce, mas nao e nunca maioi' que um numero fixo n tende ao infinito, 8 n tende a um limite u que nao

A. figura ilustra a afirmag3.o. Os pontos det valores 8 1 , 82, 8 3 , etc., aproximam-se do ponto v, lim 8 nn-to>

=

u,

cue nao maior que A.Exemplo ilustrativo.(I)

Mostre que a serie

+-+I~

1

c convergen!e.SOLU -

1.

1. 64

4>" -

0

1.536

61

4>

Para as seguintes fun90es achar todos os termo envolvem potencias de x menores que x 5

21. e

5

'" sen x.

24. 25.

22. e'" C05 ~ 23.

V;.

sen x -cos 2 x

26.

V3 + e-, ITl (1 + x) V 1. + x V5- cosx.

pode ser derivada termo a termo em cada valor de entre os extremos do intervalo de convergencia e a e tambem convergente. POl' exemplo, da serie sen x = x obtemOl'l, pOl' derivaQ8.o, a serie abaixo x2 cos X = 1 - x x +- +4 6

I~

Ii.-

I~

As duas series convergem para todos os valor Problemas 6 e 7, 191).

A serie (1) pode tambem ser integrada termo a t tes de integraQao estao dentro do intervalo de co serie resultante e convergente.

Exemplo ilustrativo 1. Achar, por integra

II.

f

x 2 ~.3 cosvxdx=C+x-~4+'~,'2' 15.

-

.

c(Jsen(

198. - Serie de Taylor. Uma serie de poten vergente serve para calcular 0 valor da funQao qu em pontos x suficientemente proximos do zero. valor de uma fungao num ponto x proximo de um series de potencias em x - a (vel' 193). Vam volver uma funQao em serie de potencias de x - a, mero fixo.Admitamos que(1) f (x) = bo + b1 (x- a)

+b

2

(x- a)2

+ ... +

e que a serie represente a fungao. A forma que, dcvem tel' os coeficientes bo, b1 , . . . , bn , etc., obte 1D-1, isto e, derivamos (1) em relaQao a x, admitin

etc.

Pondo x = a nestas equa90es e em (1) e tirand bo, bl , b.2, "', temos 1" (a) bo=j(a), bl=J'(a), b2 = bn = 2 "'"

1

Substituindo estes valores em (1), vem(B)

j (x) = J (a)

+ j' (a) x I~ a + 1" (a)

(x

ii

+ fen) (a) (x _. a)n + I!:..A serie obtida diz-se sbie de Taylor. *

Examinemos (E).b

Tendo presente (G), 124,a)

= x, temos(2)

j (x) = j (a)

+ l' (a) (x -

I~

+ ... + f(n-I) (a

onde

R = fen) (XI) (x ~a,)n0

(a

o

termo R diz-se

resto depois do n-egesimo termo.

A serie do segundo membro de (2) difere da som meiros termos da serie de Taylor pelo nllinero R, ij (x)

= Sn

+ R,

ou j (x) - Sn = R

Admitamos agora que, para urn valor fixo x tenda a zero quando n tende ao infinito. Entao(3) lim SnXo

= f (xo) ,

e (B) converge em x =1715i.

e sen valor neste ponto"I\Ietbodus Inc

* Publiaada pelo Dr. Brook Taylor (1685-1731) no seu

tende a zero quando n tendo ao infinito, entao para x a serie nao converge para 0 valor j (x).

E usualmente mais facil determinar 0 intervalo d da serie do que os valores de x para os quais 0 resto mas, nos casas simples este conjunto de pontos e 0 cidem.

Quando os valores de uma func;:ao e os de suas d sivas sao conhecidos e finitos para algum valor fix pOl' exemplo para x = a, entao (B) e usada para ac func;:ao para valores de x proximos de a. A formula (B) e tambem chamada de desenvolv numa vizinhanr;a de x = a.

Exemplo ilustrativo 1. Desenvolver In x em serie de po SOLU sao oxpt'e~s(;s em TJ.dianoG. (8 = cnn~j_ante) estu,o l'f~PI'P~P'~1(.o,1l0R J13. C:'l.;'la, ;;::1\11' ao erxo dos Y?i, os paralelfJs ( = c-onst.an tp) pOl ao 01XO dos :1:.l+C:J., varia proporcionaJ

Ao lungo de UIlla loxodromica , d por J """" (dcf>2 + cos 2 cf> rando com 0 Problema 2, temos dS l 2 = a 2 cos 2 cf> ds Z3.

cu~as

Achar 0 comprimento de uma loxodramic latitudes diferem de tJ.cf>. Resp. a cossec a Terra).4.

5. Mostrar que as quatro primeiras f6rmulas (D), (E), 213, subsistem quando x, y, v e w sao s

numeros complexos (Use as definic;oes (5)).6. Demonstre as f6rmulas do Problema 6, p. resultados do Problema 5 e (L).

7.

.. senh 2 x + i sen Prove que tgh(X+2Y) = cos h2 x + cos 2

8. Deduza a f6rmula para tg (x blema precedente.

+ iy)

do res

224. - Fun~oes de diversas variaveis. Nos dentes estudou-se 0 calculo para funyoes de uma v agora estudar funyoes de mais de uma variavel ind matematica elemental' encontramos exemplos simp yoes. Assim, 0 volume de um cilindro circular reto(1)

e

(= altura).

uma funyao das duas variaveis independentes A area de um triangulo(2)

u = txysena

e uma funyao das tres variaveis independentes x, y tando, respectivamente, dois lados e 0 Angulo com eles.

Tanto em (1) como em (2) os valores que podem as variaveis do segundo membro sao, evidentemente um do outro. A relayao(3)

z = j (x, y)

pode ser representada graficamente pOl' uma superf metrico da equayao (3), interpretando-se x, y e z co retangulares, como na geometria analitica do espa.

Resp.

acf> = 7. P =

ap atJ = ap

2 cos 2

3 se

e9+ tP cos (fJ - cf.

Resp.

acf> = e8+'1' {cos (fJ - cf - sen (fJa

ap

...

ap

=-

e8+'1' {cos (fJ - )4 x 3y

...

+ sen (fJ -

8.9.

j (x, y)

=

3 x4

+ 6 X 2y 2.

10.

X + 2y u=y+2z' .., y z=e"ln-'--.

x

11.12.13.

j (x, y) = (x

+ 2 y) tg (2 x + V).

p = tg 2 fJ ctg 4 cf>.

p =

e-6

cos --;j;

o+ 4 y2,mostre

14.

Se j (x, y) = 2 x~ - 3 xy

= - 1, j1/ (2, 3) = 18.15.

2x Se j(x, y) = - - , mostre que

x-v

1. (3, 1) = -

17.

au Se u=Ax 4+2Bx 2y 2+Cy4, mostre que x ay

18.

Se u =

X~2 -+ ,mostre x y

au que x ~uX

au +y~ uy au ax

19.

Se u = x 2y

+ y2 z + Z2 X, mostre que

+

=20.

Axn + Byn au Se u = Cx 2 + D y 2 ' mostre que x ax

+y

21. A area de urn triangulo e dada pela f6rmul Dados b = 10 polegadas, e = 20 polegadas, A = 60 (a) achar a area;

(b) achar a velocidade de varia98.0 da area em b se e e A permanecem constantes;

(c) achar a velocidade de varia98.0 da area em gulo A se bee permanecem constantes; (d) usando a velocidade achada em (e), calcu mente a varia98.0 da area quando 0 angulo e acresci

(e) achar a velocidade de varia9ao de e em r area e 0 angulo permanecem constantes.22.

A lei dos cossenos para urn triangulo e - 2 be cos A. Dados b = 10 polegadas, e = 15 pole (a) achar a; (b) achar a velocidade de varia9ii.o de a em rel A permanecem constantes;

(c) usando a velocidade achada em (b), calcu mente a varia98.0 de a se b decresce de uma polega

c

permalll~cem

(d) achar a velocidade de varia98.0 de a em rela constantes;

.(e) achar a velocidade de varia98.0 de c em rel b permtPlCCem constantes.

a diferencial e(1)

dy

=J0

I

(x).::lx

=

dy

dx

dy .::lx = dx dx .

Vamos agora ver variaveis.

que

e diferencial

de uma f

Considel'emos a fun = ! 7r, de = 0,2 e dcp = - 0,2.12.

e

228. - Valor aproximado do acrescimo. Pe As formulas (B) e (C) sao usadas para calcular Au ap Quando os valores de x e y sao determinados por experiencia e portanto estao sujeitos a erros pequeno aproxima9ao sensivel do erro em u pode ser achado fronte 92 e 93).

Exemplo ilustrativo. Achar, aproximadamente, 0 volum que ~ feita uma panela sem tampa de forma ciHndrica, sabe tro interior e a altura sao, respectivamente, 6 polegadas e a espessura do material Ii de80LUgAO.

~

.de polegada.

0 volume v de urn cilindro circular reto comv=t7rX2y.

tura y

~

(1)

Obviamente,

0

volume do material Ii a diferen9a t.v entre o0

cilindros, um para

qual x = 6i, y =

st e outro para

0

q

('Almo se quer apenaR um valor aproximado, podemos calcular

dll

=7 ~

r

=

22,4 polegadas cubic

o

villor exato e All

= 23,1

polegadas cubicas.

Exemplo ilustrativo 2. Mediu-se dois lados de um triA compreendido entre eles e achou-se, respectivamente, 63 pes, medidas estao sujeitas a um erro maximo de 1 pe em ca 1.0 no Angulo. Achar 0 mitximo erro aproximado e 0 erro pOl do terceiro lado, usando estas medidas. SOLuc;:lo.(3)

Usando a lei dos cossenos 7), 2),

onde x, y sao os lados, a Os dados sao(4)

0

Angulo compreendido entre elea7f'

x = 63, y = 78, a = 60" =

"3'

dx

=

dy

= 0,1,

dy

=

Derivando (3), vemau

ax

x - ycosa=1.1

, ay

au=

y- x cos a1.1 '

au

aa

xy =--

Logo, usando (C),du

= (x-y cos a) dx + (y-x cos a) dy + xy sen1.1

Substituindo os valores de (4), acham08 du =2,4

+ 4,657+ 74,25 = 1,1 3 p". 71,.t.

R esp.

o

erro per centum e 100 -

du1.1

=

1,6

%.

Resp.

PROBLEMAS1.

Mediu-se os catetos de um triangulo reta 6 pes e 8 pes com erros maximos em cada um de

2. No problema precedente achar, usando as o angulo oposto ao maio I' lade e calcular 0 maximo nesse angulo em radianos e em graus.3.

Os ra.ios das bases de urn tronco de co foram medidos e se achou 5 polegadas e 11 poleg tambem a geratriz e esta acusou 12 polegadas. 0 cada medida e 0,1 de polegada. Achar 0 erro apro per centum calculando, com estas medidas, (a) a altu (ver (12), 1). Resp. (a) 0,23 polegadas, 2,2%; (b) 24,47r polegadas cubica

4. Urn lade de urn triangulo mede 2 000 pes e centes medem 30 e 60, com urn maximo erro em 30'. 0 maximo erro na mE.ldida do lade e 1 pe ximo erro aproximado e 0 erro per centum, calcu estas medidas (a) a altura relativa ao dado lade; (b angulo. Resp. (a) 17,88 pes; 2,1%

5. 0 diametro e a altura de urn cilindro circu com um erro provavel de 0,2 polegada em cada m vamente, 12 polegadas e 8 polegadas. Qual e, apro maximo erro possivel no calculo do volume? Resp. 16,87r polegadas c

6. As dimensoes de uma caixa foram obtida provavel de 0,05 pe na medida; achou-se 6, 8 e 12 pe (a) qual e, aproximadamente, 0 maximo erro possi do volume? (b) qual e 0 erro per centum?

Resp.7..

(a) 10,8 pes cubicos;

' . z = x - y ,se no pont Dada a superf lCle x y x e y sao acrescidos de qual e a variac;ao aproxim

-+

to,

no peso de w, tomando-se P = 8 e w = 1, (a) se am positivos, (b) se um erro e negativo; (c) qual e, apro maximo erro per centum? Resp. (a) 0,3; (b) 0,5; (c

9. 0 dilimetro e a geratriz de urn cone circu respectivamente 10 polegadas e 20 polegadas. Se h vavel de 0,2 polegada em cada medida, qual e, ap o maximo erro possivel no cal