Cálculo diferencial e integral de una variable 1 Integrales Clase 9.1.

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Integrales

Clase 9.1

22


33


Supongamos que se conoce con que velocidad V(t) viaja un avión en cada instante de tiempo y se quiere encontrar el espacio recorrido en cada instante de tiempo (función de posición). Su posición inicial es S(0)= 9 m

643 2 tttV )(

44


Definición: Una función F se llama primitiva o antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.

Observación:

De la definición se ve que F no es única.

Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.

Observación:

De la definición se ve que F no es única.

Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.

Primitivas o Antiderivadas

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Teorema:

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+ c, donde c es una constante arbitraria.

Teorema:

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+ c, donde c es una constante arbitraria.

Teorema

Si dos funciones P y Q son primitivas de una función f en un intervalo I entonces P(x) = Q(x) + C, (C constante) para todo x en I.

cxFdxxf

66


Ejemplo 1

Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.

2

2

2

( 1)

1

cos

sen

sec

1

11

1

n

x

x n

x

e

x

x

x

x

x

cxFdxxf

77


Interpretación geométricaInterpretación geométrica

88



99



1010


Problemas1. Una lancha de motor se aleja del muelle describiendo una trayectoria rectilínea, con una aceleración en el instante t, dada por

En el instante t = 0, la lancha tenia una velocidad de 8 m/s y se encontraba a 15 metros del muelle. Determinar la posición de la lancha S (t ) respecto al embarcadero al cabo de t segundos.2. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 1600 pies/seg. Despreciando la resistencia del aire, calcule su altura s (t ) en el instante t. ¿Cuál es su altura máxima?

1111


Resolver: 11, 12, 18, 35, 60, 62, 65, 68.

Pág.. 356

1212


ÁREAS

A2

A4

A3

A1

1313


1414


x

Definición 2: El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:

xxfxxfxxfAA nn

ii

n

...limlim 211

http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/index.html

1515


f continua definida .

Dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho

Elegimos las muestras x1*, x2

*,..., xn*

Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es:

bxa

n

abx

*

1

( ) lim ( )Δb n

i inia

f x dx f x x

Definición de Integral definida

1616


Notas 1Leibniz introdujo el símbolo

b

a

dxxf )(

Integrando

Limite

Inferior

y superior

No tiene significado, indica respecto a que variable se integra.

El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración.

1717


Nota 2: La integral definida es un número.

Nota 3: Debido a que hemos supuesto que f es continua, se puede probar que el límite de la definición siempre existe y da el mismo valor sin importar cómo elijamos los puntos muestras.

Nota 4: Se llama suma Riemann,

en honor al matemático alemán y si f es positiva, esta suma se puede interpretar como un área.

*

1

( )Δn

i ii

f x x

1818


Propiedades página 385

Nota 5: Aun cuando la mayoría de las funciones son continuas, el límite de la definición también existe si f tiene un número finito de discontinuidades removibles o por saltos (pero no discontinuidades infinitas).

1919


Definición:Sea f una función continua tal que:• f(x) 0 en [a, b] y• S={(x, y)/ a x b, 0 y f(x)}

Se denota por a(S) y se llama área bajo la curva y = f(x) al número dado por:

( ) ( )b

aa S f x dx

Propiedad 1

2020


A partir del ejemplo anterior se tiene que:

)ab(hdxhb

a

que es el área de un rectángulo de alturah y longitud de base (b – a).

Propiedad 2

2121


Si f y g son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene:

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()())()((

Propiedad de linealidad

Propiedad 3

2222


Si existen dos de las integrales siguientes, también existe la tercera y se tiene:

c

a

b

a

b

cdxxfdxxfdxxf )()()(

Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración

Propiedad 4

2323


La propiedad anterior es aplicadacuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua.

Ejemplo:Si

y se quiere hallar:

31 1 -

10 x )(

2

xx

xxf

3

0

1

0

3

1

2 )1()( dxxdxxdxxf

2424


Si f y g son integrables en [a, b] y g(x) f(x) para todo x [a, b], se tendrá:

b

a

b

a

dxxfdxxg )()(

Teorema de comparaciónPropiedad 5

2

0

2

0

32 sensen

dxxdxx

Demuestre que

2525


Sin calcular la integral, estime entre qué valores se encuentra:

4

1dxx

Ejemplo

2626


b

a

0 dxf(x) entonces

b,xa cuando 0,f(x) Si

b

a

a)-M(b dx f(x) a)-m(b

b,xa cuando M, f(x) m Si

Propiedad 6 y 7

2727


DEFINICIONES:Sea f una función integrable en[a, b], entonces:

a

adxxf 01 )(.

b

a

a

bdxxfdxxf )()(.2

2828


1° Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f una función continua en [a, b], y la función F(x) definida por:

( ) ( )x

aF x f t dt a x b

Entonces F(x) es derivable en [a, b] yF’(x) = f(x)

2929


1. Determine la derivada con respecto a x de las funciones:

2

0) ( ) 1

xa g x t dt

Ejemplos

2. Aplique la regla de L’Hôpital para calcular:

x

dtt

ex t

x

0

0

1

lim

4

0

sec)x

dttb

3030


2° Teorema Fundamental del Cálculo

Si f es una función integrable en [a, b]y F una primitiva de f en [a, b], entonces:

Esta regla convierte al calculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de primitivas y evaluación.

( )( ) ( ) ( )bb

a aF xf x dx F b F a

3131


Evaluar las integrales

01. (1 cos )x dx

3 3

03. x dx

1

202.

1

dt

t

Ejemplos

4. Hallar el área de la región que se muestra en la figura.

3232


Regla de sustitución

Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, y f es continua sobre I, entonces:

duufdxxgxgf

dxxxe

xdxd

dxx

xc

dxxxb

dxxxa

25

2

43

2

1)

tan)

1

arctan)

2sen)

3)

Evaluar las siguientes integrales:

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