11

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problemas de

optimización

22

Cálculo diferencial e integral de una variable

Habilidades

1. Identifica los tipos de problemas de optimización.2. Resuelve problemas de optimización, siguiendo instrucción heurística.

33

Cálculo diferencial e integral de una variable

h

r

Problemas de optimización

Se va a producir una lata para que contenga 1L de aceite. Encuentre las dimensiones que minimicen el costo del metal para fabricar la lata.

V = 1000 cc

44

Cálculo diferencial e integral de una variable

Algunas combinaciones

Radio (cm) Altura (cm)

3.18

79.62

10

468

19.98.864.97

55

Cálculo diferencial e integral de una variable

Latas de un litro

r = 2

r = 4r = 6 r = 8 r = 10

66

Cálculo diferencial e integral de una variable

Fabricación de la lata

h

r

r

2r

77

Cálculo diferencial e integral de una variable

Material requerido

S (cm2)

1025r (cm)

2h (cm)

79.60600 560 652 828

8.84 4.97 3.18

19.904 6 8

10S(r) = 2000/r + 2r2

Usando Derive para ver la gráficaUsando Derive para ver la gráfica

88

Cálculo diferencial e integral de una variable

99

Cálculo diferencial e integral de una variable

Estrategia

1. Introducir variables en la figura que permitan describir las diferentes alternativas del problema.

2. Plantear la función objetivo.

3. Expresar la función objetivo en términos de las variables antes definidas (ecuación de enlace).

4. Hallar relaciones entre las variables que permitan expresar la función objetivo en términos de una variable.

5. Precisar el intervalo de decisión.

6. Análisis en los extremos del intervalo.

7. Análisis en el interior del intervalo.

8. Precisar el intervalo de decisión.

9. Valor optimo.

10. Respuesta con su respectiva unidad.

1010

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema2

1. Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar uncampo rectangular que limita con un río recto. No necesitacercar a o largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones delcampo que tiene el área más grande?

Área x

y

x

1111

Cálculo diferencial e integral de una variable

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION DE UNA PROBLEMAS DE OPTIMIZACION DE UNA VARIABLEVARIABLE

Una función objetivo

Se tratan de problemas en lo cuales se desea encontrar la solución optimala solución optima

Una o más ecuaciones de enlace

Un intervalo de decisión

1212

Cálculo diferencial e integral de una variable

Una figura que ilustre las condiciones del problema

Encontrar el radio de la base del cilindro de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio R. ¿Cuál es el volumen máximo?

Problema 3

1313

Cálculo diferencial e integral de una variable

respuesta

y el volumen máximo esvolumen máximo es :

9R34

V3

max

El radio que produce el cilindro de volumen máximo es :

3/2Rr

1414

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 4

5. Encuentre el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r.

(x,y)

x

y

O r-r

y

2x

Área

visualcalculus

1515

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 4

5. Encuentre el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r.

O

r

rcosΘ

rsenΘ

Θ

Área

1616

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 5

Un hombre se encuentra en un bote a 2 millas de una costa rectilínea y quiere llegar a una choza ubicada en la costa que se encuentra a 6 millas del punto de la costa más próximo al bote. Se sabe que la mayor velocidad que este hombre puede alcanzar remando es de 3 mi/h, pero caminando puede ir a 5 mi/h. Se quiere determinar la trayectoria que le permite llegar al pueblo en el menor tiempo.

1717

Cálculo diferencial e integral de una variable

6 millas

2 m

illas

- -

1818

Cálculo diferencial e integral de una variable

Posibles trayectorias

6 millas

2 m

illas

1919

Cálculo diferencial e integral de una variable

Respuesta

El hombre debe remar hasta un punto de la costa a 4.5 millas del pueblo y continuar a pie por la costa.

2020

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 6

3,0 02 yx

Una partícula se mueve describiendo una trayectoria , determine el punto de la parábola más cercano al punto

2121

Cálculo diferencial e integral de una variable

Ejercicio 7

Dos postes de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies. Hay que conectarlos mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre ellos. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor cantidad de cable posible?

2222

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 8

• La resistencia de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cuadrado de su espesor. Determine las dimensiones de la viga de mayor resistencia que pueda cortarse de un tronco con forma de cilindro circular recto de radio 72 cm.

72 cm

2323

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 9

Un trozo de alambre de 10 pies de longitud se corta en dos partes. Con una parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. ¿Cómo debe cortarse el alambre de modo que:a) El área total de las dos figuras sea la mínima posible.b) El área total sea la máxima posible.

2424

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 10

En una fábrica se elaboran dos productos A y B si el costo total de producción al día es C = 3x2 + 42y, donde x es el número de máquinas usadas en la producción de A, y es el número de máquinas usadas en la producción de B y el total de máquinas es 15. ¿Cuántas máquinas deben usarse en la elaboración de A y B para que el costo total sea mínimo?

2525

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 11

Dos aviones A y B vuelan a la misma altura horizontalmente tal como lo muestra la figura. Si la velocidad de A es 16 km/min y la de B es 20 km/min, determine en cuántos segundos los aviones estarán lo mas cerca posible y a qué distancia.

20 km

20 km

B

AN

E

S

W

2626

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 12• Un generador de corriente directa tiene una

fuerza electromotriz de E voltios y una resistencia interna de r ohms, donde E y r son constantes. Si R ohms es la resistencia externa, entonces la resistencia total es (R+r) ohms y la potencia P watts será:

• Demuestre que el consumo máximo de potencia ocurre cuando R = r.2

2

)Rr(

REP

2727

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 13

En una comunidad particular, cierta epidemia se propaga de modo que x meses después del inicio de la epidemia, P es el porcentaje de la población infectada donde:

¿En cuántos meses se infectará el número máximo de personas y qué porcentaje de la población será este?

22

2

)x1(

x30P

2828

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 14

Un hotel cobra $ 80 por habitación, y da precios especiales a grupos turísticos que reserven entre 30 y 60 habitaciones. Si se ocupan más de 30 cuartos, el precio por habitación disminuye en $ 1 por cada cuarto arriba de los 30. ¿ Cuál es el tamaño del grupo que aporta al hotel una ganancia máxima si cada cuarto ocupado le cuesta al hotel $ 6 cada día por limpieza y mantenimiento?

2929

Cálculo diferencial e integral de una variable

Problema 14

Para que un paguete pueda enviarse, por correo es necesario que la suma de su altura con perímetro de su base no exceda 108 pulgadas. Halle las dimensiones de la caja con base cuadrada de mayor volumen que se pueda enviar por correo.

3030

Cálculo diferencial e integral de una variable

Para la construcción de una obra, hay que llevar tramos de tuberías a través de un pasillo cuya vista en planta se acompaña. Para minimizar el número de empates posteriores, se quiere que los tramos de tubo sean los mayores posibles.¿ Qué longitud deben tener?

3 m

2 m

Problema 15

3131

Cálculo diferencial e integral de una variable

Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Cuarta edición

James Stewart

Sección 4.7

Ejercicios 4.7 pág 334:7, 8, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 31, 32.