MATE MATICA SUPERIORPR0BLEMA5RESUELTOS

I. I. Liashko, 4. K. Boiarchuk Id. C. Gai, G. R Colovath Analisis matematicoIntroduction i l analisisCalculo diferencial parahinciones de una variable

TEMATI/IKAURSS

M, HJiuitiM), A. K lioup'iyK, M. f. I . Jl. I oiroim'iCii|M»o*nmu uocofine iio iibicmcti MaTCivurriiKc* rIV>M I. Macii> 1.M h t c m s i t h m c c k h M i imiuiifi: iiiicjieiiHi 11 u i i u j i h 3 , npoH3uo;uiitH

L L L i t i s h k f i , A, K. Haiti relink, hi, G, Gai, G. R Golovach

Matemitica superior Problemas resueltos. Tonio 1. Analisis matematico:introduccidn al anjlisis y calculo diferencial para funriones de una variable

Traduction de la cuarta edition rusa (1997)

Esta serie consta de ocho volumenes- Los cuatro primeros tomos con Jos que se abre esta obra,cstan dedicados al estudio practico de las funriones, las sucesiones, las series, el calculo diferencial e integral de las f unciones de una y varias variables; en ellos se presentan soluciones completamentedetalladas de los problemas expuestos en el famoso libra de B. P. Demidovich.

En los tomos 5 y 6, aparte de una detaliada exposition de la teorfa de las funciones de variablecompleja, se resuelven escrupulosamente cerca de 400 problemas, muchos de los cuales aparecen enla inmortal coleccion del matematico sovietico L. L Volkoviski Ademas de los temas caractensticosde los cursos de este tipo, en esta parte de la obra se hallan cuestiones menos comunes como son laintegral de Newton—Leibniz y la derivada de Fermat—Lagrange. Se presta una especial a tend on a las aplicaciones conformes.En aproximadamente 800 problemas resueltos paso a pa so, los tomos 7 y 8 abarcan todos los topicosdel curso habitual de la teona de las ecuaciones diferenciales. En cada seccion se expone el nunimoteorico estrictamente necesario para la resoluci6n de los problemas correspondientes; muchos deestos aparecen en la genial coleccion de A. F.Filfppov. Asimismo, en estos volumenes se analizantoda una serie de temas bastante atlpicos para libros de esta clase (teona de la prolongation de lasolution del problems de Cauchy, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer ordenno lineales, algunos metodos numericos para la resolution de ecuaciones diferenciales, aplicacion delos criterios de existencia de los ciclos limites en el piano fasico, etc.).

En la edicion de este libro participaron;

DirectorVicedirectorDirector de productionDirector de sistemasTraductionDisenoEnmaquetacionProcesamiento de textoCorrectionRealization tecnica

Domingo Marin Ricoij Natalia Finoguienova Irina Makieeva Viktor Romanov Viktoria Malishenko, Konstantin Miedkov y Maria Andridnova Viktor Romanov y Vasili Podobied Natalia Beketova Svietlana Bondarenko y Anna Tiiirina Igor Korovin, Larisa Kirdidshkina y Luis Rodriguez Garcia Natalia Arincheva y Elena Logvinova

Rcservados todos los derechos en todos los idiomas y en todos los pafees del mundo. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacion escrila del titular del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes,la reproduction total o partial de esia obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografiay el tratamiento in forma tico, y la distribution de ejemplares de ella mediante alquiler o prestamo publico.

Editorial URSShttp:// urssjsa.ac.ru

ISBN 5-88417-183-8 (Obra completa)5^88417-184-6 (Tomo 1)

€> Editorial URSS, 1999

De la editorial Los cuatro prinieros iomos que abren la seric

"Ma tenia lica superior. Problemas resueltos", soil

la traduccion al castellano de la obra "Manual

de cons Li It a de analisis matemitico", bautizadn

por los estudiantes sovieticos con el seudotitulo

de "Anti-Demido vich".

Las dos prim eras ediriones fueron rcali-

zadas durante la existencia de la Union Sovietiea

con una tiiada total de mas dc 200 mil ejern-

plares. tin 1995, tras un gran intervalo de a us en-

da en li brer fas y bibliotecas, Editorial URSS y

el colectivo de autores acordaron no s61o limi-

tar.se a llevar a cabo la tcrcera edition (revisada

y ampliada) del "Anti-Demidovich", sino crear

ademAs un proyecto que de algiin modo de-

sarrollase en otras rainas de ia matematica el

camino ma read o por el "Anti-Demidovich". Asf

nacio la serie "Mateniatiea superior. Problemas

resueltos", la cual asimismo incktye, por a bo-

ra, dos lomos sobre la teorfa de la variable

compleja y dos tomos sobre la feorfa de las

ecuaciones diferenciales. li.stas partes de !a serie

ban sido denominadas, respect iv a mcnte, "Anti-

Voikoviski" y "Anti-Filfppov" no solo debido a

que muchos de los problemas que en el las se

presentan aparecen enunciados en las magnifi-

cas colecciones de problemas de L. 1. Volkoviski

y A. F. Fitfppov, sino tambicn como un sfmbolo

de reconocimiento a cstos autores.

Moscil 1999

C a p i t u l o 1

Introduccion al analisis

§1. Elementos de la teoria de conjuntos1.1, Sfmbolos logicosFrecuentemente, en las matenititicas algunas exprcsiones verba tes se sustituyen

por sfmbolos. Asf, por ejcmplo, el snnbolo V sustituye a la expresion "para to do" o "t ualquiera que sea", y el simbolo 3, a la expresi6n "existe". Los sfmbolos V y 3 se llamanfiumtificadores.

La notacion A B (implication) quiere deck que la validez del enunciado A predetermina la validez del enunciado B. Si, ademas, de la.validez del enunciado B sededuce la validez de A, cscribimos A & B. Si A B, el enunciado B es condicionneeesaria y sufiricntc para que se cumpla la afirmacion A.

Si las a firmadones A y B son simullAneamente validas, so cscribe A A B. Si a I menos una de las a firmadones es valida, se denota A V B.

1.2. Opcraciones con conjuntosEl concepto matemitico de conjunto de elementos se considers ra intuitive. Un

conjunto se define por una regla o un criterio con forme al cual se determina si un elementodado perlencce o no al conjunto.

Los conjuntos se designan mediante el sfmbolo A = {a:}, dortde x es la notaciongeneral para todos los elementos del conjunto A, Frecuentemente los conjuntos suetenescribirse de la forma A — {a, fe, . . } , donde entre Ilaves van indieados sus elementos.

Usaremos las notaciones siguientes:

N, conjunto de los numeros naturales;%, conjunto de los numeros enteros;Q, conjunto de los numeros racionales;R, conjunto de los numeros rcales;C, conjunto de los numeros complejos;Zn, conjunto de los numeros enteros no negativos.

La notacidn a C. A (o A 3 a) significa que el elemento a pertenece al conjunto A. La notacion a g A {o A 2 a) significa que el elemento a no pertenece a I conjunto A. Si cada uno de los elementos dt; un conjunto B, pertenecen a un conjunto A, se dice

que B es un subamjunto del conjunto A, y en ese caso se escribe B C A {o A D B) (fig, 1).N6tese que VA se verifica que A C A, pues, naturalmente, todo elemento del conjunto A

6 Gipilulo I. I i i L i o c U k c i o i i «i1 <111 i l l is is

pcTtenive a A. lil conjunto vaeio, es decir, el conjunto quo no contiene ningun elemento,se dcnotnrd con el simbolo 0 . Cualquier con junto contiene a I conjunto vacio como uno desus subconjuntos*

Be. A Fig.l Fig. 2.

Definition 1, Si A C B A B C A, los conjuntos A y B se denominan conjuntos

iguales, y se escribe A — B.

Definicion 2, Sea A C J - El conjunto de elementos del conjunto J no pertenecien-tes a A, se llama complemento del conjunto A respecto al conjunto J (fig. 2).

El complemento del conjunto A respecto al conjunto J se designa con el simboloCjA; tambi^n puede escribirse de forma mas simple, CA, siempre que se sepa respecto a que conjunto se toma el complemento. De este mo do,

C j A = ^ { x : x € J Ax £ A } ,

Si A C J y B C J , el complemento del conjunto B respecto al conjunto A se llama,a veces, diferencia de los conjuntos A y B y se representa por A \ B (fig. 3), es decir,

A \ B ^ = { x : x G A Ax g B } .

Sean A y B subconjuntos del conjunto J. Definicion 3. Se denomina union de los conjuntos A y B al conjunto (fig. 4)

A U B = { x : x e A V x £ B } .

Fig. 3.AuB AnB

Fig. 4. Fig. 5.AAB

Fig. 6.

Por analogia, si Ajf j — nt son subconjuntos del conjunto J , la union de losmismos es el conjunto

n( I Aj - { x : X e Al V X e A2 V . . . V as G A n } .

j-1

Definicion 4, Se denomina intersecciim de los subconjuntos A y B al conjunto

fj 1. IdemontoM do la leorfa <lc (onjuulnr. 7

11Por analogfa, nn\liante el simbolo f ) 4/ se designs! Li intersecdon do los mi boon

i .1juntos Aj C J , j — 1,11, es decir, el conjunto

itAj = {a;: x G Ai A x £ A-> A . . . A a; 6

j=i

Si cada elemento / t f M s e pone en correspond enda con un cierto conjunto Afl, sedice que esta definida una familia de conjuntos {Ajt}, ji € M. En este caso, el conjunto(J Ap = {todos los x tales que x t A(1 al menos para algdn [i € M } se denomina unidn

K M de la familiu de conjuntos {A^}, ft <?_ M; el conjunto — [x : x F Afl V/j. Q M } yellama intersection de esta familia.

Definicion 5. Se denomina diferencia simehiai de dos conjuntos A y B al conjuntodeterminado por la uni6n de Lis diferencias A\B y B \ A (fig. 6).

La diferencia simetrica se denola con el simbolo A A B. Definicl6n 6. Dos elementos a y ft se denominan par ordenado, si se indica cuSI

de dichos elementos es el primero y cual es el segundo, y, ademas, se verifica que{{a, b) = (c, (J)) (a ~cAb~ d).

Un par ordenado de elementos a y b se denota con el simbolo (a, 6).De modo analogo se define un sistema ordenado de n elementos a.\, «2) • • •, a„,

el cual se designa con el sfinbolo {(iiT<i2,..., a,,)- Los elementos «i, a j , . . . , an se llamancoordenadas del sistema ordenado (flj, a2,..., a,J,

Definicion 7. El conjunto de todos los pares ordenados posibles (a, 6), dondea G A, b EE B, se denomina producto de los conjuntos A y B y se designa con el simboloAxB.

Analogamente, mediante el simbolo A\ X A2 X • • • X Atl se designa el producto dclos conjuntos Aj C J , j = 1. n, es dedr, el conjunto dc todos los sistemas ordenadosposibles (oi, a ? , . . . , an), donde a j £ Aj, j = 1, n.

1.3. Algebra tie BooleSean A, B y D subconjuntos arbitrarios del conjunto J . De esta forma, de

las definiciones de union, intersection y complemenlo se deducen iumediatamente lasafirmaciones siguientes:

1) A u B C J , A n B C J {caracter interno de las operationes de union e interseccion);

2) A U B — B U A, A n B = B n A (conmutatividad de las operaciones de unione interseccion);

3) A U (B U D) = (A U B) U D, A n (B H D) - (A n B) n D (asociatividad do lasoperaciones de union c interseccion);

4) A U (B n D) = {A U B) n (A U D) (distributividad de la operation de unionrespecto a la operation de interseccion);

A ft {B U D) = (A D B) U (A n D) (distributividad de la operation deinterseccion respecto a la operation de nmon);

5) ADA — A n >4 - A; 6} 0 U S = S ) # ( A n £ # A ) ;7) A U 0 = A, A n J - A, A n 0 = 0, A U J = J )8) A U CA ~ J , An QA — 0.

K C'iipftuJo I. (ntroduccion al aruilisis

Si para los elementos de un conjunto a = {A, B} C , . * . } estan definidas lasoperaciones de union U y do intersection n, las cuales verifican las relaciones l)-8), lalema (cr, U, n) se denomina algebra de Boole. De este modo, si cr es una familia de todaslas partes del conjunto J , entonces U, Pi) es un algebra de Boole.

1.4. Principio de dualidadPara cualquier par de conjuntos Ay B del conjunto J se verifican las igualdades

C (A U B) = CA fl CBt C(Af)B) = CA U CB. (1)

Las propiedades expresadas por las igualdades (1) se denominan principio de duali-dad. Verbalmente dichas igualdades pueden enunciarse del modo siguiente: el complemento de la union de los conjuntos es igual a la interseccion de sus complements, y el complemen-to de la interseccion de los conjuntos es igual a la unidn de sus complementos. El principiode dualidad se extiende sin dificultad alguna a un numero arbitrario de subconjuntos A^;en este caso se escribe

/t fi $ p

Es decir, al intercambiar entre si el orden en que se escribe el simbolo de complemento C y elsimbolo U (o bien el fl), este ultimo se transforms en el fl (en el U, correspondientemente),

1.5* Algebra de conjuntosSea J un conjunto y P ( J ) , el sistema de todos los subconjuntos del conjunto J .Definicion 1. Una familia no vacfa R C P{J) en donde la union, interseccion y

diferencia de conjuntos son operaciones internas, se denomina anillo de conjuntos. Definicion 2* Un conjunto E se llama unidad de la familia de conjuntos £ si E £ S

y VA G 2 se verifica la igualdad A n E ~ A. Definicion 3. Un anillo de conjuntos que contiene a la unidad como uno de sus

elementos se denomina algebra de conjuntos* Definicion 4. Una familia de conjuntos S C P{J) se denomina semianillo si

contiene al conjunto vacio y V4 G S y VAi C A existen conjuntos A2, .., An G S talesque

A = At U A2\J . •. U 4donde el simbolo U designa la union de conjuntos disjuntos.

1* Demostrar la validez de las afirmaciones l)-8) del p. 1.3.

Solucion. 1) Conforme a la definicion 3 del p. 1.2 se tiene

AUB ^{xe J :x € AV x € B}, y, por consiguiente, de la inclusion x G A U B se deduce que x G J , es decir, A U B C J .

Analogamente, segun la definicion 4 del p, 1.2

Af)B = {x € J :x e AAx £ B},

por lo cual de la inclusion x G A fl B resulta la inclusion A fl B C 3. 2) Dado que la afirmacion x Q Av x € B e s estrictamente equivalente a la afirma-

cion x £ B\f x G A, resulta

A\jB = {xeJ:xeAVx£B} = {xeJ:x€BVx€A}=BuA. La seeunda imialdad se demupstra de modn analnpn.

fi i. ElomcntiK) tie l.i teorfn de mnjuiKnu

3) En virhid de las propiedades del sfmbolo fftgicti v, se lieru*

A l J {B U D) = fit G J : x G A V x G {B U D)} .|g £ J : m fc A V (a 6 BV x G D ) } -

{.r £ J : (x € 4 V at G If) V x £ D) = 6 J : a; 6 ( 4 U fl) V ar £ D> = (.A U B) U O.

I a sejjunda igualdad de 3) se dcmuestra de modo ana logo.4) Tenemos que

A U {B D D) = {x € J : x £ A V X £ (B n D)} = {.r £ J : x £ A V (a; 6 B A x £ £>)> = {a; £ J : (as G A V a; G B) A {a £ A V x £ £>)} ~

= { « € J : (x € U B) A (a: 6 >1 U D)} = {A U B) fl [A U D).

I ,a segunda igualdad se dcmuestra de modo analogo.5) Sea x £ A U A, entonces ai G A A x G A, es decir, x € A y, por tanto, se verifica

la inclusion A U A C A. La inclusion invcrsa A C A U A se deduce inmediatamente de Indefinition dc union. De las dos ultimas inclusiones se obticne la igualdad A U A = A.

La igualdad A n A = A se dcmuestra dc modo analogo.6) Supongamns Ucita la igualdad A n B = A. Entonces

(A n B = A) m (A C A n fl) s> (A C fl).

IJtilizando la inclusion obtenida hallamos que

A U B ^ {X e J : x £ AV x € B} C {x € J : x <E B V x £ B} = B,

y, como A U fl J B, vemos que A U B = B, Dc este modo,

(A n B - A) => (AU B = B). (I)

Sea ahora A U B = B. Oil este caso son v,ilidas las implicaciones

{A U fl = fl) => (A U B C B) ^ (A C B).

limpleando la inclusion A c fl obtenemos

A n B = € J : x e A Ax e 3 { « G 3 : X G A A x = A.

Dado que tambien es v<5Iida la inclusion inversa A D fl C A, entonces A fl B = A y, porconsiguiente,

(A U B — B) (A n B = A). (2)

De (1) y (2) se deduce que (A n B - A) (A U B = B). 7) Si x £ A IJ 0 , se tiene que a.1 € A V x £ 0 . Dcbido a que el conjunto 0 no

contiene ningun elemento, dc x € A U 0 sc deduce que a; G A, es decir, A U 0 C A, li>cual conjuntamente con la inclusion A u 0 J A es equivalence a la igualdad A u 0 ~ A.

De0CAD0C0se deduce directamente la igualdad Afl0 = 0. Dado que A C 3, Lencmos A n J =-- {x € J : x £ A A x £ J ) D (at £ J :

x G A A x C A) = A, lo cual junto con la inclusion A n J C A conduce a la igualdadAC\ J — A.

Finalmente, a partir de las inclusiones J C A U J C J se deduce directamente laigualdad A U J = J .

8) De acuerdo con la propicdad 1)

A 11 C A f .1 M

10 CiipiLulo I. Iti(ruducti6n a I iinalisis

Sea x G J ; entonces, si x G A tendremos que x E A U CA; por otra parte, si x A, resulta que x £ CA yf do nuevo, x G A U CA. De este modo, de x & J se deduce quex G A u CA, es decir,

J C A U CA. (4)

De (3) y (4) se obtiene la igualdad

A U CA = J . (5)Para demostrar la igualdad A fl CA = 0 probemos que el conjunto A fl CA no

contiene ningiin eleme.nto, En e fee to, de acuerdo con la igualdad (5) cualquier elementodel conjunto J pertenece bien a A bien a CA, Si x G At entonces x CA yr por tanto,x g A D CA. Por otro lado, si x G CA, se tiene que x A (pues si fuera x G At resultarfaque x £ CA), y, de nuevo, x g? A Pi CA. Dado que el conjunto A n CA no contiene ningunelemento, este conjunto es vacio, o sea, A fl CA = 0. •

• • • • • • •

2* Demostrar el principio de dualidad:

Cf lU^B) - CA n CB, (1)C (A n B) = CA U CB (2)

(veanse las igualdades (1) del p. 1.4),

M Solution. Demostremos la igualdad (1) (la (2) se demuestra analogamente).Sea x G C (A U B), entonces de acuerdo con la igualdad (5) del problema anterior,

x S? A U B, es decir, x g A Ax $ B, de donde x G CA Ax G CB, y, por tanto, x G CA (1CJ3.De este modo>

C (A U B) C CA n CB. (3)Supongamos ahora que x G C4 fl CB. Entonces x £CAAx G CB, es decir, x $ A Ax $ B f

y, consecuentemente, xgAUB yx EC (A 1) B). Por lo tanto,

C ( i U J 3 ) c C A n C J B . (4)

De las inclusiones (3) y (4) se deduce la igualdad (1). • • •• • •• • •• •_U

3 . Demostrar las igualdades:

AU(AnB) = An{A\jB) = A. (1)

^ Solution. Utilizando las propiedades 4) y 5) del problema 1 obtenemos la primera de lasigualdades (1):

A U (A H B) = (A U A) n {A U B) = A n (A U B).

Queda por demostrar que An (A I) B) — A. Si & G A fl (A U B), resulta x £ A Ax £ A U B y, por consiguiente,

An(AUB)C A. (2)Pero si x G A, tendremos x G A U B, y, por tanto, a ; G i O ( i U B), es decir,

AcAn(AU B). (3)

De las inclusiones (2) y (3) se deduce la segunda de las igualdades (1).

4 . Demostrar las igualdades:a) C C j I = A; b) CJ = 0; c) C 0 = J .

S I. llomcnlo* ili' Id ti'fllf<i ih< ruiffimliM

Solut ion. a) Si x t' C.'OI, rcMilhi ijiir it) / I'A, pin' lit ciiitl ;r < A y es Bdta la inclusion(('/) ( A. Vioeversa, si a! ( A, I'titttfuvu J' </ (VI, y, pur l.mlo, x { CCji y <a> v;1lida lainclu skill A C C C j I . I3e law iiulusio 10* ik-inoHlnntii.H sc deduce la igualdad a).

L>) El conjunto CJ es vado, pneslu qui: la negation <? CJ es licitn V® € J.c) Si x G J , se ticnc x 0 , y, por ;t; € C 0, por lo cual J C C 0 . Dado que

jhi-mpro ticnc lugar C 0 C 3, de las ultimas dos inclusiones se deduce la igualdad e). •

5 . Demostrar la validez de la inclusion

(A\B)C(A\D)n(D\B).

Solution. Sea x £ (A \ B), entonces x £ A A x g B. Si, ademas, x £ D, resulta quo.»• < (,'1 \ D) y, por consiguiente, x € (A \ D) U (D \ B). Si, por lo contrario, x G D, iiilunces, Co mo x g B, vemos que x £ (D \ B), y, por eso, x £ (A \ D) U (D \ B). De esteinoili), tanto para x £ D como para X G D de la con die ion x Q (A \ B) se deduce que.<• i {/I \ D) U (D \ B), lo que es equivalents a la inclusion que se demuestra. •

Definir los conjuntos A U B, A 0 B, A \ B, B \ A, A A B si;a) = b) A ^ {x : x2 - 3x < 0}, B = {x : x2 - 4x + 3 > 0};c) A = {x : |x - l j < 2}, B = {x : jx - 1| + [a: - 2| < 3}.

Nohieidn. Haciendo uso de las definiciones de union, interseccion, diferenria y diferenciauinietrica de conjuntos hailamos

a) A U B = { x : (0 < x < 2) V (1 ^ x < 3}} = { x : 0 < x ^ 3} ; J l n 5 = { i : ( 0 < a ; < 2 } A ( H a ; q ) ) = { s : U i < 2 } ;A \ B = {a; : (0 < X < 2) A x [1,3]} = {x : 0 < a: < 1};B \ A = {x : (1 < x ^ 3) A x <£ JO, 2[} s= { x : 2 < x < 3>;A A B = {x : (A \ B) U (B \ 4 ) } = {a; : (0 < x < 1) V (2 < x < 3)}.

b) Dado que x2 -- 3x < 0 para 0 < x < 3, lendremos A — ( i ; 0 < a; < 3}. f,adesiguddad x2 — 4x + 3 p 0 se verifica para —00 < a; S 1 y 3 < i < +oo, DesignemosI) ~ {a; : - o o < x < 1}, E = fx : 3 < x < -foe}, entonces B = D U fl. Empleando lasj)iopiedades de las operaciones con conjuntos obtenemos

AUB = AU(DUE)=AUDUE — {x: (Q<x< 3) V V ( - 0 0 < a ? < l ) V ( 3 < » < +oo)} = {x : - o o < x < -too};

A n & = A n ( d u iE) - (A n jD) u {A n - { » : (0 < x 4X) v'w e 0} =>= {x:0<x^ 1};

A = A\(P U^ = {x ! jE ^ A A (» % D Vx £&)} = = {x : {a; € A A X € D) V (x G A A X £ ft1)) = ( 4 \ D ) U U \ = = {x:l<x<3};

B\A = (DuE)\A = {x:(x£ DVx£E)Ax<?' A} = = {x : (x G D A x g A) V [x € E A x £ J ) } = {D \ A) U (E \ A) = = {x : ( - o o < x < 0 ) v ( 3 ^ x < foo)};

AAB = AA{DUE)~(A\(D tj E)) U ((D UE)\A) = = [x : (1 < x < 3) V ( - c o < x < 0 ) V ( 3 ^ x < +oo)} = = (x : (—oo < x sZ. 0W(1 < x < +ooH.

\2 C'apitulo I. InlmduiTtrtii a I anrilisis

Fig. 7. Fig. 8. Fig. 9.

c) De forma mas explfcita, A = {% : - 2 < x — 1 < 2} = {x : - 1 < x < 3}, Resol-viendo la desigualdad \x — 1| -f \x — 2| < 3 hallamos la expresion explfcita tambien para econjunto B = {x : 0 < x < 3}. De este modo,

A U B = {x : ( - 1 < x < 3) V (0 < x < 3)} - {x : - 1 < x < 3};

A fl B = {x : ( - 1 < X < 3) A (0 < x < 3)} = {x : 0 < x < 3};A \ B = {x ; ( - 1 < x < 3) A x g ] 0,3 [} = {x : - 1 < x ^ 0};

B\A = {x\(Q<x <3)Axg ]—1,3 [} = 0; AAB = (A\B)U{B\A)^A\B = {x:-l<x^O}. •

••••• •!—"r- n—•—i n

7 . Dados los conjuntos A = {(a;, y): |ar| -f < 6}(fig. 7), B = {(z,y) : y^Tf < 5} (fig. 8), D = {(a?,y) : max{|x|, |y|} < 6} (fig. 9). Demostrar queAC BCD.

Vi3

M Solution, Sea (x,y) € A, entoncespues,

x + \y\ < 6. Asf1

B

\fx2 + y2 ^ ^x2 + 2\x\ \y\ +y2 = \x\ + \y\ < 6,

es decir, y) € Bf lo que a su vez implica el que severifique la desigualdad

0Fig. 10.

max{|ar|, |y|} < \Jx2 + y2 < tf, y, por consiguiente, la inclusion (a?, y) G D. Por lo tanto, A C B G D. •

• • ii• ••i• — P W ^ n " _

{y - 1 ^ y ^ 3}- Representar en el piano xOy el

A x B = 4,

8 , Sea A = {x : 2 ^ x < 4}, B = conjunto de puntos A x B.

Solucion. Dado que A x B — {(a;, y) : (2 ^ # ^ 4) A (1 ^ 2 / ^ 3 ) } , entonces A constituye el conjunto de los puntos del rectangulo limitado por las rectas x — 2, x y ~\ f y —Z (fig. 10). •

9 , Demostrar que una familia R en donde la union y la diferencia estan definidascomo operaciones internas, es un anillo.

Solucion. Sean Ay B conjuntos arbitrarios de la familia R. Dado que AfiJ3^J 4\( J 4\ J B)y A C It,, A \ B C R/ entonces A n B C R> Por consiguiente, las operaciones de union,iiUeiHeci-inn y diferencia son operaciones internas en R, o sea, la familia R es un anillo. •

•• • — j j -

ti I. tileninitiM ile Id tMirln iU» riittJmiliiH

10 . Demostrnr que una ImiiDia It — {ir, t*otitj>iJt*Mfn por nil wuijurito no vacfo « y elconjunto vacfo 0 , forma un iinllln. j.lto I'nte (inilli) un illgebra?

Solution, La union a U 0 a y las difi'ivutiim <x\0 — a, 0 \a =3 0 son tambiencle men los de la familia R. l-s decir, la union y la diferencia son operaciones interims en fl, o sen, segun el ejemplo anterior, es un anillo. Dado que el elemento a £ R contiene a todosIns demas conjuntos de la familia It, a es la unidad de la familia, y R, un algebra.

1 1 . Sea un conjunto J = {« . fl, 7 } que se compone de tres elementos, y sea P(J) la familia de todos Jos subconjuntos del conjunto J . A partir de los elementos delconjunto P{3) describir

a) todas las algebras que puedan construirse, indicar sus unidades;b) todos los anillos que puedan construirse,c) todos los semianillos que puedan construirse y que no sean anillos.

Solucion. a) Las algebras mas simples son: la familia {0}, compuesta s6lo por el conjuntoviH'fo; tres Algebras

{ { « } ( 0 } t 0 } , {{7h0}, eompuestas de dos elementos uno de los cuales ei conjunto vacfo y el otro, la imidad: { « } ,(/fh {7 } , respeclivamente (v. ej. anterior); seis algebras

{ { « , fih { a } , i f lh £5 } , { { « , 7} , { « } , {7} , 0 } ,

{ W j J . W . W ^ l {{<*,()},0}, { { a , 7 } ( 0 } , {{/?, 7 1 , 0 } ,euyas unidades son, respectivamente, los conjuntos {of, fl], {a, 7 } , {(}, 7} , {a , fl}, {a , 7 } ,

7} . Es fadl ver que en cualquiera de estas famllias la union y 5a diferencia sonoperaciones internas; cuatro Algebras

{ J , {«>P), {7} , 0 }, { j , {«• 7 > » i p } > 0 }- { j , 7 } , { « } , 0 } , { J , 0 }, la unidad de las cuales es el conjunto J . Finalmente, la union de todas las Algebrasenumeradas

{ J , {«,/?>, {a , 7 } , { £ , 7 } , { a } , {/J}, {7} , 0 } tambien es un algebra cuya unidad es 3 •

b) Fvidentemente, todas las algebras consideradas en el apartado a) son anillos.Otros anillos 110 existen.

c) Todo anillo es un semianillo. Kfectivamente, la condition de que A y Ai C A pertenezcan a un anillo R implica que

A=A\UA2, donde = ii \ -4i C -R

A demas, en esle caso, podenios construir ejemplos de semianillos que no son anillos. Porejemplo, las familias

{{«}, {Ph 0}. {{«>, fr>> 0 } , {{/n> {7)1 0 },

{ { « , / ? } , { { « , 7 i A P } , 0}i { { A 7 > , { « } , 0 } .Efectivamentc, en cada ima de las seis familias la interseccion de dos elementos

cualesquiera de la familia pertenece a dicha familia. Cada elemento no vacfo de la familiatiene como sub conjunto solo el propio conjunto, dc donde, por ejemplo, para la familia{(Pi 7} . 0 } sc tiene

{P, 7 } = iP, 7 } u 0 - { 0 , 7 } , {a} = { « } U 0 = {a } ,

14 QipiLuk) J. Introduction a I an a lis is

es dt'rir, so vorrHra el segundo requisilo do Jo definition de semianillo. Tod a familia quecontenga {/*}, {()}, {7} , 0 y que no coincida con P{J) constituye un semianillo

{ { « , £ } , { « } , { W , ( 7 ) , 0 }i { f a l h W A P h i l } , ® } , etc.

Por ejemplo, mostremos que la familia S — {{a, j3}, {a}^ {/?}, {7} , 0 } es un semianillo.En efecto, la interseccion de dos elementos cualesquiera de la familia S vuelve a ser unelemento de S. Para todo elemento de S es valida la descomposicion en conjuntos disjuntos{a, (3} - { a } U {/?}, {a} = { a } , {/?} = {/?}, { 7 } — { 7 } . Asf pues, la familia S es unsemianillo. •

1 2 .Supongamos que tres numeros a, b y c satisfacen las desigualdades a < c < b,

Demostrar que la familiaS = {[a, 6], [a, cj, [c, 6], [a, c[, [c, cI ]c, ft], 0 } ,

compuesta de los segmentos y semisegmentos formados por los puntos a, b y c es unsemianillo, mas no un anillo.

^ Solution. La intersection de dos elementos cualesquiera de S es tambien un elemento defamilia, es decir, la interseccion es una operation interna en S, Todo elemento de S admiteuna descomposicion en partes disjuntas pertenecientes a 5 . Por ejemplo,

[a, b] = [a, c] U ]c, 6] = [a, c[ U [c, c] U ]c, 6] = [a, LI [c, [a, c] — [a, c[ U [c> c], etc.

La familia £ no constituye un anillo, pues la union no es una operation interna en S, Porejemplo, [a, c[ U ]c, fe] no pertenece a • • ^ • ••• I • •• 1 •

1 3 . Demostrar que

(Ar\B)x(Dr\E) = (AxD)n(Bx E). (1)

< Solution, Sea (a?, y) e (A D B) x (D C\ E), entonces xeAOB eyeDnE, lo que esequivalente a que x £ A A x £ B eytDAyEE. Dado que x£AAy£D,se tiene

y) G A x D. Analogamente, d e x G ^ A y G J ^ s e deduce (xf y) G B x E* De este modo,{.x, ?/) E ( 4 x D) n x £ ) y

( i n B ) x ( D n ^ ) c ( i x f l ) n ( 5 x (2)

Supongamos ahora que (x7 y) G ((A x D) n (B x £?)). En este caso, (x, j/) G ( A X D ) A (a?, y) 6 (ff x 2?) y, por consiguiente, x E A Ay E D y x E B Ay E E. Por tanto,xEAr\Bey£DnE,es decir, (ar, y) G ((4 fl B) x (Z) fl £?)) y se verifica la inclusion

(A x I ? ) n t B X E) C n B) X (D n E). (3 )

De las inclusiones (2) y (3) se obtiene (1).

Ejercicios1. Demostrar las igualdades:

a) = b ) =

(veanse las igualdades (2) del p. 1.4), donde /i pertenece a un conjunto arbitrario.2, Sean A C B y D conjuntos arbitrarios. Demostrar la valhlez de las inclusiones:

a) A n D C B n D; b) A U D C B U D.

J} I. liliHBeiitoa dl" la li'iirtu dr luhjintluu If)

I Jomoslr.ir que si <1 f It A A (. I), entoiKVM A < II11 If. 4. ! Jcmtwtrar i[m? si A i I) a // L I), uiiIoihvh /li J It.< It

IXnTsoslnir h validez dc las Iguaidsdcs:a) A AS ~{AuB)\(A n B); b) A u H (A A H)A(4nW); i1) A\B=*AA{A n «).

it. I >cmostrar que para b diferencia simdrica se vrriiVa Ja inclusion

A&BC ({AAD)U(BAD)).

7. Demostrar la validez de las indusiones;.1) Mi U Aj)\ (», U Bi) C {A, \ Bi) U {Ai \ B2);l>) (CA, U C4t) A (CBt UCB;) C C((CA, ACfl,)n(CA2 ACB2)),donde Ai, Aj, Bt, B: son subconjuntos del conjunto J .

II. I temestrar: :>) (A, U An) A(JJ] UBi) C (A- AB,)U(yli AB2);1.) (A, n A.) A (i/j ntf.) C (>1[ A « i ) n ( 4 ; A B?);0 (/li \ A7) A (B.r \ B2) C (Aj A B,) \ (A, A B2),donde A], A2, B\, Bt son subconjuntos del conjunto J ,

•I. I kterminar los conjuntos A U B, A ft B, A\B, S \ A , A A if si:,i) A = {x:-4&&.M 1J( B 0 <k < 4);I.) A = (x : ar1 -x-2> 0}, B = {x : bx - x2 ^0}; e) A == {x : sen wx - 0), B = : cos " = 0}>

lit. I )e terminal los conjuntos A U B, A n B, A \ B, B \ A, A A B sir.1) A = {(*, y) B = {(x, y): \zs| +|y|<l } ;It) A = {(x, y) - mSx(|at|, M) < l } , f l = {(at, y): js| + M ^ I>Je) A = {(s, y): W + |y| < 2} , B = { (at, y): y ^ - 2)' + (y-2f<2}, d) A~ \(x,y)-. y/&Tt?£2}r B= {(a,y):inax(ljt + l|>|ff + l|) ^ 2} .

I I. Determinar el conjunto A x B si:a) A = { * : - 2 < ; c < l > , S = { y : - 3 ^ if < 1};b) A = {as: 0 ^ w ^ 1}, B = D x B, donde D « ft : 0 ^ y £ 2 } , K = [z : 0 < z ^ 3};c) A — {a: : -fX> < x < +oq}, B ~ (y; sen Try = 0};d) >1 = {t : sen ^^ = 0}, B = {y : -oo < y < -t-oo),

12. Sea J un conjunto compuesto de cuatro elementos n, fl, 7, 6, y la fanriiia de todos lossubconjunlos del conjunto J , incluido tambien el conjunto vacio.a) Constrnir ejemplos de algebras cuyas unidades scan, iiespectivaiTieiite, los conjuntos {ctj,

b) Cotisitruir un ejtmplo de anillo que contenga como elementos a los conjuntos /3,7, (5),{n}, {,3}, {7}, {&). iEs este anillo uli algebra?c) Coastruir un ejemplo de scmianiJlo (que no sea anitlo) que contenga al conjunto (a, /?, 7,6} .

13. Dcmoslrar que el conjunto de todos los segmentos, sentisegmentos e intervales eti una rectanumerica cons tit uyf un semiartillo, pero no es un anillo.

14. Demostrar que la famifia de todos los rectangulos de la forma

II- {(2,y):«<*<&, C<y^d],

donde u, b, c y d son numeros rsales a < b, c < d, constituye un semianillo, pero no es unanillo.

15. ^Clinics son los conjuntos que se deben aftadir a l.i familia considerada en el problema 14 paraque feta se convierta en un anillo?

ifi. Demostrar:a) ( , 1 U 1 ? ) X D = ( / I X J ) 1 U ( U X D); b) A x (B U D) - (A x B) U (A X D).

L7. Demostrnr:a) (A\B)x D-{Ax D)\(Bx D); b) i x ( B \ f l ) = ( J x B ] ^ J ( x D).

18. Demostrar: (AuB)x (D U E) = (A x D) U (B X D) U (A x E) U (B x E).

L'NiVcRStEM©AUl'OHCMA. DE

B;:<!.iC'- caOfNr.-tAS

16 Lnpflulo I, lulioihittiriu al an^JLsis

§2. Funciones. Aplicaciones2.1. FuncionesDefinicion. Se denomina aplicacion de un conjunto E en un conjunto F (o funcion

definida en E y de valores en J1) a una regla o ley / que a todo elemento x G E le poneen correspondencia un determinado elemento f[x) G F*

El elemento x G E se llama variable independiente o argumento de la funcion /, elelemento f(x) G F se llama valor de la funcion f o imagen; el elemento x G E tambien sedenomina preimagen del elemento f{x) G F.

Una aplicacion (funcion) suele designarse con la letra / o con el simbolo f : E -+ F, que muestra que / aplica el conjunto E en F. Tambien se emplea la notacion x f(x) queindica que al elemento x le corresponde el elemento f(x). En la mayoria de los casos lasfunciones se definen mediante igualdades, las cuales describen la ley de correspondencia.Por ejemplo, se puede decir que "la funcion / esta definida mediante la igualdadf(x) = s/x1 + x G [«) b]'r. Si "y" es la notacion general de los elementos del conjunto F ro sea, F = { y } , la aplicacion f : E F se escribe en forma de la igualdad y = f(x), y suele decirse que la aplicacion esta dada explicitamente.

2.2« Imagen y preimagen de un conjunto para una aplicacion dadaSean una aplicacion f : E F y un conjunto DC E. Definicion 1. Sea un conjunto de elementos de F cada uno de los cuales es la

imagen mediante la aplicacion / de por lo menos un elemento de D. Este conjunto sedenomina imagen del conjunto D y se designa mediante f(D).

Evidentemente,f(D)^{f(x)eF.xED}.

Sea dado, ahora, un conjunto Y C JP.Definicion 2. Un conjunto de elementos x G Ef tales que f(x) G Y, se llama

preimagen del conjunto Y para la aplicacion / y se designa mediante f ^(Y), Es obvio que

f"}(Y) ~ {x £ E : f(x) G Y"}.

Si y G F, entonces f~l(y) = {x G E : f(x) = y}. Si para cada y G F el conjunto f^l(y)se compone como maximo de un solo elemento x G E, entonces / se denomina aplicacion biumvoca de E en F. Se puede definir tambien una aplicacion biunivoca / del conjunto E sobre F.

Definicion 3, Una aplicacion f : E F se denomina:aplicacion inyectiva (inyeccion, o aplicacion biumvoca del conjunto E en F)f si

{x ^ a?') (/(x) ^ /(#')), o bien si Vy G F la ecuacion f(x) — y tiene no mas de unasolution;

aplicacion sobreyectiva (sobreyeccion, o aplicacion del conjunto E sobre F), sif(E) — F, o bien si V?/ G F la ecuacion f(x) — y tiene al menos una solution;

biyectiva (biyeccidnf o apIi acion biunivoca del conjurio E sobre F)f si la aplicaciones inyectiva y sobreyectiva, o bien si Vy G F la ecuacion f(x) = y tiene solution linica,

2.3. Superposici6n de aplicaciones.Aplicaciones inversa, param6trica e implicita

Definici6n 1. Sean / ; E —> F y <j : —> G. Dado que f(E) C F, a todo elementf(x) G f(E) C F La aplicuci6n g asigna un elemento determinado g(f(x)) G G,

De este mo do, por medio de la regla go f cada x G E se pone en correspondenciacon un elemento (*/ o /)(:*;) y(f(x)) G G. Asi pues, queda definida una nueva aplicacion

fj L I'll lie ill lltfl, Apllritfliiiii'h 17

(n una nueva funcion) qui; hc denomina annjttmicWftt, o him tiu^frpoMat'm de tipliaiiiomw, ^Iitoii aplicacuiti a>nii>iii'xtn,

Definicion 2. Sea / J E -+ F una aplicaeirtn biyccfrva y F = {y}. fur ser / IriytTtiva, a todo y € F le corresponde una sola imagen x, que designarcmos / '(;;),lal que f(x) — y. fie define de este modo la aplicacion / _ l : F —* E que so denominaiijiliaicum inversa de la aplicacion f , o funcion inversa de la funcidn /.

livid en temente, la aplicacion / es inversa a la aplicacion J ~ l . Por eso, las apliea-i ioues / y / 1 se denominan aplicaciones reciprocamentc inversus. Para dichas aplicaciones»ie verifican las relaciones:

nr\y)) ^ V s e f ; r\j(x)) = % Vz e E.

Definicion 3. Sean >p : Q X, $: Si -* Y, y supongamos que al menos una decNlas .ip lien clones, por ejemplo, es biyectiva. En este caso existe la aplicacion inversaV 1 : X —* Q, y, por tanto, ipoip 1 : X —* Y.

Se dice que una aplicacion definida de este modo esta dada parametricamenlomediante Ins aplicaciones ip; fl —»X, i>: SI —• Y; ademds, la variable correspond iente a U iie llama yanunetro.

Definicion 4. Supongamos que en un conjunto G = X X Y esta definida unaiiplicacion T : G — A , donde cl conjunto A contiene al elemento neutro. Adcmrts,mipongamos que existen conjuntos E C X, D C Y tales que \fx 6 E fijo, la ecuacion

(/) = 0 tiene una solucion linica y & B. En este caso, en el conjunto E se puede definir(iii.i aplicacion /;£?—» B que a todo x G E le ponga en correspondencia aquel valorII < B que, para el x dado, sea la solucion de la ecuacion Fix, y) = 0,

En lo que respecta a la aplicacion y ~ fix), x € E, y £ B, que acabamos de definir,M- dice que la mismo vicne dada impUcilamente. por medio de la ecuaci6n F(z, y) = 0.

Definici6n 5. Una aplicacifin F se denomina prolongation de la apli-cacion (j : D —* F, y g se llama restriction de la aplicacion / si E D D y f(x) — g(x)\fx £ D.

La rcstriccion de la aplicacion / : E —+ F al conjunto D C E sc designa a veces conel simbolo f\o.

Definicion 6. Se denomina grdfica de la aplicacion / : E —» F al conjunto

G={{x, f(x)):x£E, f(x)£F}. Eviden temente, G C E X F.

14. Determinemos la aplicacion / : R - * [ - 1 , 1 ] mediante la expresion f(x) = sen x.

Hallar: a) /(£)}; b) / ( f ) ; 0 / ( § ) ; d) / ( f ) ; e > / ( [ - f , § ] ) ;

0 / { ] - | | [ ) ; s ) / ( [ o , f ] ) ; h) /CO0,2.]); i) f%0); j) r x ( | ) | k ) r ' ( f ) ;

I) r'd-hU); n) / - 1 ( M , 1 [ ) ; ft) / - ' ( [ o , ! ] ) .

Sol ucion. Haciendo uso de las tab las de funciones trigonometricas o bien de la calculadorahallamos

a) /(0) = sen 0 = 0; b) / ( f ) = sen f =

c) / ( £ ) = s e n i - f ; d ) / ( f ) = « e n | - f .e) Tenemos / ( - - j ) = " t r / ( ' ) — U n6tese que cuando el argumento del seno

adopta valores en el irtfervalo [~"f ) f ] * I118 valorem del seno varian en [—!,+'!]. Porconsiguiente, f ( [ - | j |]) = {sen x : —^ <i |} — [—1,1]. Anaiogamente hallamos

1H ('anfliilo I. Introducdrtn al au<ili»is

f) / ( j - §, § [) ••= {sen ® : « 6 j - f , f [ } = J—I, 1[;8) / ( [ 0 , | ] ) = { K n ® : « € [ 0 , f ] } = [ 0 , | ] ;h) /(fl), 2jtJ) = { sen x : x 6 [0,2x]} = [ -1 ,1] .i) Dado que sen x — 0, para x = kir, k 6 Z, tenemos

f'\Q) -{x.senx- 0}.

r 1 (I)j) Si sen x = \, resulta que x = (-l)narcsen \ + nic = ( - I f f + nn, n g Z. Por eso

( - I f f + »* , n e Z .Analogamente a lo anterior obtenemos

f = | } = ( - l ) " J + » ^ r i £ Z ;sen x k) / - ! (

1)m) Segun la definicion 2 del p. 2.2

sen x ( - I f f + wr, n e Z.

/ " 1 ( [ — l i 1]) = { ® : / ( a : ) = sena?G [ -1 ,1 ] } -

Mostremos que / _ 1 ( [ -1 ,1 ] ) = R. En efecto, sea x G / _ 1 ( [ -1 ,1 ] ) y a = senx, entonces/(#) = a , a € [-1,1]/ por lo cual x = ((-1)" arcsen a + nn), x G TR, y, consecuentemente,/ ^ ( [ - l , 1]) C R. Si ar € M, entonces sen a: G [ - 1 , 1 ] y x G /_1([—1,1]), es decir,® C Z"1 ( [ - l f 1]). De este modo, f"1 ( [ -1 ,1] ) = K.

n) A partir de las igualdades sen a: — ±1 obtenemos facilmente el conjuntoA — {x :x = | -f nic, n G Z } de valores de a? que no pertenecen a / (]—1,1[). Por eso,en virtud del apartado anterior, / ( ] - 1 , 1 [ ) = E \ j 4 .

n) Tenemos f~l ([0, - ] ) = {x : senx G [0, f ] }• Sea x G f ^ ([0, ) y a = sen x; en este caso a G [0, y a? = (*- I f arcsen a: + mtf n G Z.

Sea un rc = 2fe fijo, entonces a; = arcsen a + 2k?r, y a medida que a varia de 0 a \f

la variable x varia desde 2 f o r hasta (2fc + t t , es decir, ar G 2&7T , (2& + t t ] . Sea un n = 2fc + 1 fijo; entonces a?

variable a: varia desde (2k + l)sr hasta {2k + 6

De este modo,

arcsen a + (2k + l)?r, y si a varia de 0 a , la5 ) 7T, es decir, x G [(2k + |) tt, (2ft + 1)tt] .

/ -l C ?7Tt fefe + 2fe?r 16 U (2^ + |)7r)(2fc + l)7r

Tambien se verifica la inclusion inversa, puesto que para x G [2&7T, (2k + 7) x] o ® G [(2fe + |)tt, (2ft + 1)tt] el valor de sen x G [0f • Por eso,

/ -1 0,12\ iez

2fc?r u 2k + (2k + 1)*- •

1 5 . Demostrar que si f:E^>Fy AC E,BcE, entonces se verifica la igualdad

f(A U B) = f(A) U f{B). ���

£}2. I ' l l l l C H I I H ' H . A|lll« I I I i l l t u ' K J "

4 Kuluctrin. IX1 aeuerdocoii la definicirtn I tie! p. «<• ilcpn-/(A U fl) {/(* ) ;ie t AH /!}.

IliM /(:i:) C: /(A U if), entonces x £ (A U fl), es decir, a: <: /( V a: | fl. Pcro si a: ( AVU! ( M, vcmos quo f (x) 6 /(A) V f(x) £ f(B) y J(x) C: (f(A) U f(B)). Dc? este modo,i|iu'iia demostrada la indusi6i\

/(A U B ) C (/(A) U /(B)). (2)

Sea /{:r.) G (/(A) U /{fl)), entonces f(x) G f(A) V f(x) £ f(B), de donde-r i A V x £ B, es decir, a: G (A U B), por lo cual f(x) £ f(A U B) y

(J(A) U /(fl)) C /{A U B). (3)I It' ('/) y (3) se deduce directamente (1). •

I <). Demostrar que si / : B -+ F y A C F, B C F, entonces se verifican las igualdadcsa) f 1 (AH B) = f~'(A) nrl(B); b) / '(A \B)= fA(A) \ f~l(B);c) r\AuB)*-f \A)Uf l(B).

4 Solucion. a) Dado x 6 /_1(A D B), entonces f(x) G (A n fl), es decir, f(x) G A A /(;«)< [}. Pero en este caso x G /_1(A) A ^ 6 /~'(fl), y, por consiguiente, x G (/ ](A) n f '(If)) . De este modo qucda demostrada la inclusion

J-\AnB)c {f \A)nr\B)).

Para demostrar la inclusion inversa supongamos que x G (/ '(A) n f~l(B)). Asfpnes, a,' G / *(A) Aa £ /_ 1(fl) de donde }(x) G A A f(x) £ B, por lo cual f(x) G (A n B) y x t f~ (A fl B). Por consiguiente,

( r 1 ( A ) n / " , ( U ) ) c / - 1 ( A n f l ) .I h- las inclusiones demostradas se deducc la igualdad a).

b) Sea x £ f~\A\ B), entonces f(x) £ (A \ B), cs decir, /(«) G A A f(x) g B. Peroen eso caso x e f ' l{A) A x & /~l(fl), y, por consiguiente, x G (/"'(A) \ / ' ' (£ ) ) . De estemodo,

rliA\B)c(rl(A)\r\Bj).Si x G (/_1{A) \ f~\B)), se tiene x £ f'\A) Ax g f l(fl), de donde f(x) £ A A

f(x) (/ B, es decir, f(x) G (A \ B). Pero entonces x £ f l(A \ B), io que dcmuestra lavalidez de la inclusion

{r\A)\fl(B))cr\A\B),i|iia es la inversa a la demostrada anterlormenle, De estas inclusiones se deduce laij>naldad b).

c) Si x £ f~[(A u B), entonces f(x) £ (A IJ fl). Por tanto, f(x) G A V f(x) £ fl, y 11logo x G /-1(A) V x £ f '(fl), es decir, x £ (/-1(A) U /~1(B)). Deeste modo,

r\A\jB)c(r\A)ur\B)).

Si se supone que x G (/_1(A) u /~](fl)), entonces x £ /_1(A) V x G f~\B) y f(j:) £ A V f(x) G fl, o bien /(x) £ (A U fl), dc donde at £ f~l(A U fl). Par consiguiente,

(f lU) u f~\B)) C f~\A U B), lo que junto con la inchisidn inversa, equivale a b). •

20 t'apiluln L Introduction al andlisis

1 7 . Sim / : /V ••> /'', y sea P una familia de subconjuntos del conjunto PJ, y Q unaamiliu de subconjuntos del conjunto F, Designemos:

f(P) - {f(A) £ Q : A€ P } , J~\Q) = {S~\B) G P : 5 € Q}.

2

Demostrar que: a) si Q es un anillo, lo serd tambien / (Q); b) si P es un anillo,f(P) no es necesariamente tambien un anillo,

-4 Solucion. a) Si Q es un anillo, a partir de B\ G Q, B2 G Q se deduce que (I?i U B2) G Q,(B\ \ B2) G Q. Por tanto, de acuerdo con el ejemplo anterior,

r\B,) u r\B2)=r\By u B1)E r l m r t o n r 1 ^ ) = r ^ A f t ) G r l m

o sea, f (Q) es un anillo,b) Dado E = {a, ft, c, d], F = {a', ft', d1}, f(a) = a', /(ft) = /(c) = ft', f(d) = d\

La familiaP = { { a , 6 l c , d } 1 { f l J 6 } J { c , d } , 0 }

es un anillo, pero / ({a, ft}) \ /({c, d}) = {a\ ft'} \ {&', d'} - {a1} <2 f(P) - { {a ' , ft', d'},{a', ft'}, {&', c'}, 0 } , 0 sea, f(P) no es un anillo. •

• I

1 8 . ^Cual de las funciones / : [0,1] —* [0,3] siguientes:

a) a; 3 sen b) a?i->tg™; c)d) ; e) a? »-> 3 - f (x - |) 2 ; f) x ^ 2 | z + 2 | - 3

son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas? Construir las graficas de estas funciones.

< Solucion- a) Dado que para y G [0, 3] arbitrario la ecuacion y = 3 sen y- tiene una solucionunica x = |arcsen | en el segmento [0,1], la funcion x ^ 3 sen -f es biyectiva (fig. 11).

b) Sea y G [0,1], Entonces, la ecuacion

KX2/ = t g T ���

tiene una solucion unica x — ™ arctg yf en el segmento [0,1], siempre que y G [0,1], Perosi y G ]1> 3], la ecuacion (1) no tiene soluciones en [0,1]. Por consiguiente, Vy G [0,3] laecuacion (1) tiene no mas de una solucion x G [0,1], por lo cual la funcion x 1-+ tg ^ esinyectiva (fig, 12).

c) Si y G [0,3], la ecuacion y ~ 3>x tiene no mas de una solucion x G [0, 1], A saber,para y G [1,3] la solucion es x ~ log3y; para y G [0,1[ no hay soluciones. Por consiguiente,x 1 > 3;r es una inyeccion (fig. 13),

d) De la ecuacion y = 12 {x— , y G [0,3], se obtlene que x\ — \ ~ \

u'2 \ I Ademas, si 0 < y < 3, las dos raices se encuentran en ]0,1]; si y = 0, las

a fees coincidun X\ — x2 — \ y se hallan en [0,1], Por consiguiente, Vj/ G [0, 3J la ecuaciony 12 (;r ) liene al. menos una solucion en [0.1]. Por eso, la funcion en consideration

sobtvvectiva (fig, 14).

ti2. 1''unci on en. Aplltntli 2!

e) Sen y £ [0,3], La ecuacion y = 3 - ~ (at - j ) " liene las soluciones siguientes:

\ - l-v^Sy, g < $ 0 , e n [0, y xz - { + 0 < y < 3, en [ j , l ] . Dei"ill* modo, \/y G [(J, 3] existen una o dos preimagenes, por lo cual la funcion es sobreyectiva(»iiv ir>).

f) Sea y £ [0,3], Para y f. [1,3] la ecuacion y — 2\x -f 2| — 3 liene una solucionUlrica i •

2]x + 2j — 3 es una inyecdon (fig. 36). • X - 'y - ; si y € [0,1[, esta ecuacion no tiene soluciones en el segmento [0, 1]. Por

iitnsiguiente, x

I 1 ) , Sea la funcion /(x) — tgx, ~ < x < y . Hallar la funcion inversa,

Solucion. Mostremos que la funcion dada es una biyeccifin / : ] y , [ -> K. Con este findesignemos x ~2ir + t , < r < j, Por lanto, Vy £ E la ecuaci6n y = tg x adopta la11Minn y — t g r , t £ \ § [ / de donde t — arctg y. Teniendo en cuenta que x — 2x + t h.illamos x - lis \ arctgy; ademds, si y £ K, resulta que x £ ] y > y [ j es decir, labiyeccion de la funcion queda establecida. Dado que a todo y £ IS le corresponde unitfritro valor x £ ] y , y [ , la funcion inversa f~l : S —• ] y , y [ esta determinada por laeorivspondencia y 2n I arctg x, x £ ] y , y [.

2 0 . Escribir las expresiones explfcitas dc las funriones dadas en forma parametrica:

a ) x = ccosrf, j/ = ascn£, 0 ^ t ^ tt;b) x = a cos t, y — a sen t, ^ t < 2ir (a > 0).

Solucion. a) Dado que la funcion t a cos it, t. £ [0, v], es una biyeccidn [0, ff] —* [—a, a|,entonces Var £ [—fl, de la igualdad x ~ a cos t se determina el valor unico del pant metroI - arccos | en el segmento [0, tt] . Al sustituir este valor en la segimda igualdad obtenemos

y ~ a sen ^arccos ^ = a\j 1 - cos3 (arccos j — a\j 1 ~ -y,

es decir, y — Va2 ~ x2, x £ [ - a , a],b) Deslgncmos x + # = t. Si r € [0, ;rj, entonces t £ [it, 2k], y, en este caso, la

prim era igualdad se reduce a la forma x — -a cos r .La lunci6n t h - b cos r es una biyeccion [0, tt] —> [—a, a], por lo cual Vx £ [—a, kJ

hallamos r = arccos ( — — x — arccos' v ( = 2rr — arccos - . Al sustituir el valor

{'.ijii'luJu J. Introduction a I jiiillittis

delri miMiulo de L en la segunda igualdad obtendremos

V y a2 — x x E [—a, a]. • r i m rnn i hi—•••• •—n !• i •in—m

2 1 . I fill tar la expresion explicita para la funcion / : implfcitamente mediante la igualdad

3?r 5tt. y l_l_l

L 2 ' 2 J [4?r, 5tt] definida

sen x — cos y — 0, x E 3-tt 5TT-Y' Y. y E [4ff, 5tt]. ���

Solucion. Como V# E [ y , y ] fijo se tiene sen a; = equivalente a la ecuacion cos y ~ q, que en el segmentoeste modo, queda demostrada la existencia de la funcion

q, q E [—1,1], entonces (1) es[47T, 5tt] tiene solucion unica. De

3?r 57T• • — • • • •

L 2 ' 2 J [47T, 5?T]

Para escribir otra expresion para la funcion / transformemos la igualdad (1)reduciendola a la forma

sen x — sen y o

de dondeJT

z - j + y « + f2 sen r cos — y

2 — 2 Igualando a cero cada factor hallamos dos valores para y:

0.

y = X 7T2

+ 2717T, n E Z,

y7T

x + — +2wr} n E Z.

���

(3)

En el caso (2), de la condici6n x 6 [y> y ] s e deduce que y € [(2n + 1)tt, (2n + 2)7r]y no pertenece a [4?rT 5?r] v n E Z, es decir, y — x — + 27i7r no es un valor de lafuncion / para ningun n E Z. En el caso (3), de la condition x £ [ f , f ] se deduce queV € [(2n 2)tt, (2n — 1)ttJ C [47r, 5tt] para w — 3. Para este valor de n a partir de (3) seobtiene la expresion explicita de la funcion / :

y, 13?r x E

! ! • •• I I III • MB

3 7T 5TT

Ejercicios19, La aplicacion / : R —* [—1,1] viene dada por la igualdad /(#) = cos a;.

Hallar: a) /<0); b) / ( | ) ; c) / ( f ) ; d) / ( f ) ; e) / ( [ - § , § ] ) ; f) / ( ] - f , f [ ) ;

g) / ([0, f ] ) ; h)/([0,2?r]); i) /_1{0); j) k ) / _ 1 ( f ) ; D / _ 1 ( t ) ; m) Z"1 (1-1,01);n) / " ' ( [ O , ! ] ) ; n) ( [ £ ^ 2 ' 2

20. Sea / : [O, |] —• R una aplicacion definida mediante las igualdades:

a) f(x) = tg x; b) /(a;) = ctg x. Hallar:

0,7r6 J

/

7T4

7T 7T6' 3 Z"1 (]0,1]) s

if -i

fiX Ni'itncroM it'iili'H 2 J

) i 1 Vmtwtmr que si / : U — > F, A C M, If c. I'l, enlojiivn:•'} f(A n //) c {[(A)n /(fl)); b) {/<4)\/<«)} t /M WO-

)). Sim / : H - F , A C fl C F . Demostrar que Hi .4 £ I f , cn tunas / '{/I) C / 1 (fl).11. I Vimwlrar que si / : E -* F y A C E, If C F, cnfoncew:

c) 4 C / - ' ( M ) ; b) / < / " ' ( » ) ) - f l ; 4 / ( A ) n 5 a / ( i n r ' ( B ) ) ;.!) (/(A) r ' ( f l ) = « ) ; e) (/M) c fl) { a c r ' ( f l ) ) -

J'l. ,'( it,iles de las funriones / : [ -1,1] -»[0,1]:

a) m f f l s y ; b) a; h» — x1 -|-1; c) a: t-* |as|;j j a M i±l. e) f) X ~

•.on inyectivas, sobreyectivas o biyectivas? Conslruir las graficas.J'i I liiltar la restriction biyectiva de las fundones:

a) f(x) = J ! , s e R b) f(x) = sen x, x £ K; e) f(x) = costl) /(ar) = sen j , a: > 0; e) f(x) = 101, x fc" Ej 0 /(*) = + * + 1, * £ BU

Hi ) i.ill.ir l;is fund ones inversas corrcspondientes a las funriones:

a) /(z) = sen :r, S C f - ^ - f ] ; b) f ( x ) = x n m * e [ f , y ] ;C) f(x)~cosx, T £ [2a", 3jt]; d) / W ^ c o s i , x £ |-7nr, -6ir];e) = a t e ] + | , f [ ; 0 / t « ) - c tg*, are]"7r,0I.

.'7 I la liar la expresion exph'cita de las fundones definidas parametricamenle:

"> * t & , y - ?T&< 0 ^ t < b) x - y = -oo < t $ 0 (« > 0)..'H I la liar la expresion explidta de la fundtin / : [sr, 2jt] —» [y , y ] definida implfdtamente

COB(t+senjf = 0, i f [jr,2jrJ, y e [ f , y ] ,

I tnliar la expresiyn de la funcion / : [?r, 2ir] —> definida implicitaraenle

cosx I sen3/ = 0, a; £ [it, 2tt], y 6 [§, y ] .

§ 3. Numeros reales3.1. ltelaciones binarias y operaciones binariasDefinicion 1. Se denomina retncidn binaria en im conjunto E a todo subconjnnto fl

del producto E x E. Definicion 2. Una relaei6n binaria 1Z se denomina relation de equivalenaa en el

• onjunto E si el subconjunto R es:a) reflexive: (a, a) € K V« £ E; b) simetrico: ({«, t) e K) => ((6, a) € H);C) transitivo: ((«, 6) € R A {b, c) t Tl) -> {(a, c) £ 7t).Rn lugar de («, b) £ TZ a menudo se escribe a ~ b, o bien a = b. Definkidn 3. Una relacion binaria fl se denomina relation de orden en el conjunto E,

m la relacion es:a) reflexiva: {a, a) € fl Va £ E; b) transitiva: ((a, b) £ ft A (6, c) £ £2) ((a,c) £ fl);

int-iLflmilT-; -.!. (<n M C (1 A Ih /tl C. O -S. (n — K\

24 CJupilulo I. Introduction al ainlljsis

\ln este caso se dice que ft introduce un orden en E . En lugar de (a, ft) E ft seescribe frecuen temente a ^ b 6 a C b.

Si Va, b E E se tiene que bien (a, 6) E ft bien (ft, a) E ft, se suele decir que elconjunto E esta totalmente ordenado.

Definicion 4. Se denomina operation binaria interna en el conjunto E a todaaplicacion / :E x E —» E.

Sean los conjuntos E y F. Definicion 5. Se denomina operation binaria externa en el conjunto E a toda

aplicacion / : E x F E. Definicion 6* Un conjunto E que posee una operation binaria interna T se dice

que es un grupo, si:1) la operacion es asociativa: (a T b) T c ~ a T (ft T c) Va, ft, c E E; 2) existe un elemento neutro: 3 e E E tal que Va E E se verifica la igualdad

a T e = e T a = a;3) todo elemento tiene elemento simetrico: Va E E 3 a E E tal que a T a = a T

a — e. Si, ademas,4) la operacion T es conmutativa, el grupo se denomina conmutativo o abeliano. Si la operacion T es la adicion, el grupo se denomina aditivo, si T es la multiplication,

el grupo se denomina muUiplicativo. 3.2. Axiom as del campo de los numeros realesDefinicion 1, Un conjunto M — {a, ft, c , . . . } se denomina campo de los numeros

reales, si entre sus elementos se establecen relaciones binarias que satisfacen los axiomassiguientes.

Axiomas de la adicionA.O. En el conjunto M esta definida una operacion binaria interna, la adici6n

M x 3R -+ K : (a, 6) ^ a + ft,

la cual pone todo par de elementos a, ft E M en correspondencia univoca con un ciertoelemento del conjunto IR, su suma, que se designa mediante el simbolo a + 6. En este casose cumplen los axiomas siguientes:

A.l. (a + ft) + c = a + (ft + c) (ley asociativa).A.2. En 11 existe un elemento denominado cero, y que se designa con el simbolo 0

tal que Va E R a + 0 = a.

A,3. Va E R existe un numero (—a) E M que satisface la igualdad

a -f (—a) — 0.

A.4. Va, b E R a -f ft — ft + a.

Asi pues, el conjunto R es un grupo abeliano aditivo. Axiomas de la multiplicacionM,0. En el conjunto E esta definida una operacion binaria interna, la multiplicacion

IxR^R a b,

tj'L NiimrntH wiilwt

Li <ual pone eadn par do elementos a j i ( IK en rorrrrtpondeiiii.i unfvoca con un cieitocli'mento del conjunto M, su producto, quo #»• denigiiii con el tfmbolo a • b. Jin este caso sefuilisfaccn los axiomas siguientes:

Ml . (« • b) • c - a • (b • c) Va, 0, c € IK (ley asociativa).M.2. En ER existe elemento unidad, que se designa con el simbolo 1, el cual Vtt C lit

verifica la igualdada • 1 = a,

M,3. V<t £ R \ {0} existe un elemento u - 1 £ K, el elemento inverse del numero « lal que

a • a-1 = 1.

M.4. a $ = b a Va,6 € IS.Por consiguiente, cl conjunto de elementos no nulos del conjunto R es un grupa

idu'liimo muHiplicativo. D.3. La operaci6n de multiplicaci6n es distributiva respecto a la adicidn, es decir,

a - (b + c) - a • b + a • c V<t, c £ 1R.

Un conjunto {a, b, c,... } que satisface los axiomas A, M y D se denomina catnpo iiintierico. Si este conjunto no satisface el axioma M.4 se denomina cuerpo.

Axiomas de or denO.D. En R se define una relaci6n ^ que ordena totalmente R:0,1. a ^ a VaGK (reflexividad),O.2. (a ^ b A b ^ a) => (a — 6) (antisimetria).O.3. (a < b A b < c) =S- {a < c) (transitividad).OA. Va, b G R bien o ^ b, bien b ^ a, bien am bos simultaneamente.Los dos axiomas siguientes ligan la relacion de orden y las operaciones binarias:OO.l. Si a, b, c G 3R y ft ^ b, entonces a + c < b + c. (X).2. U e 0 ^ a y 0 < 6 s e deduce que 0 ^ ab Vn, 6 £ R .Axioma de la cota superiorDefinicidn 2. Un conjunto i C R se dice que esta superionnente acofado, si existe

un elemento M C IE tal que a ^ M Va G A. El numero M se denomina cota superior delconjunto A.

Dcfinicion 3. Una cota superior M~ del conjunto A se denomina supremo delconjunto A, si cualquier otra cota superior M del conjunto /I no es menor que eluiiinero M*.

El supremo del conjunto A se designa con el simbolo sup 4 .S.O. Todo conjunto supeiiormente acotado A C R tiene supremo.

3.3. Ampliacidn del conjunto de los numeros realesDefinici6n. El conjunto IK = R U {-oo, -t oo}, compuesto de los elementos del

conjunto R y de los simbolos —oo y +oo, se denomina ampliation del conjunto de los numeros reales; ademas, se verifican las condiciones siguientes:

a) — oo < u < +oo,

a — oo — -oo, a + oo = +oo, — = — = 0 Vu G R;-OO + 0 0

b) si a > 0, se tierie a • (-oo) = -oo, a • ( |-oo) — -i-oo;c) si ft < 0, se tiene a • ( -oo) = |-oo, a (+co) - -oo,Rt cfnnholn —rvif4.no) sp denomina menos (mas) infinite).

i'api'Uilo L Introduction ill mWilisis

3.4. Caracteristicas principals de un numero realEn aras de la simplicidad, mediante M designaremos, segun el contexto, bien el

conjunto de todos los numeros reales, bien el espacio ordenado de los numeros reales o bien el campo ordenado de los numeros reales, Por ejemplo, si se escribe x E R, se hace referendaal conjunto de los numeros reales. Si se dice que a: ^ y en R, por M se entiende el espacioordenado de los numeros reales. Por ultimo, si escribimos x -f y < z en M, en ese caso R designa el campo ordenado de los numeros reales. Si el contexto no esta completamenteclaro, utilizaremos una notacion mas sofisticada.

Introduzcamos las siguientes caracteristicas de un numero real x : \x\ es el modulode x, sgn# es el signo de x, x+ es la parte positiva de x y x~, su parte negativa. Dichascaracteristicas se definen mediante las reglas siguientes:

x si x ^ 0,x — s . —x si

1 si x > 0, sgn x = ^ 0 si x -••• 0,

si x < 0;, ' sgn x = < u

x < 0; 6 \ - 1

-i- f x si x > 0, - f 0 si x 0,X = i „ . ^ r! X — 9

0 si x < 0; I -x si x < 0.Entre estas caracteristicas, Va? E M se verifican de forma evidente las expresiones

siguientes:x = jx| sgn \x\ — x sgn x1 . x — x^ - x ,

+ _ + \x\ — x COjS/J — £E £C -j 3? — ^ 2 7 2

En la practica se emplean frecuentemente las desigualdades

^x > 0, x > 0, (2)

Ademas de las caracteristicas mencionadas tambien es util examinar las funcionesR —* R : x ^ \x\, x ^ sgn a;, x x*, x >-»• x~t cuyas graficas se dan en las figs, 17-20Las dos primeras funciones son aplicaciones multiplicativas, pues de la definicion de estasfunciones se deducen las igualdades:

\xy\ = M I f f s g n (xy) = (sgn ar)(sgn y) V(a? E R, y E R).Cada una de dichas funciones, a exception de "sgn", posee la propiedad siguiente:

el conjunto de puntos colocados por encima de su grafica es convexo, es decir, si dos puntosen el piano estan situados por encima de la grafica de la funcion, entonces todos los puntosdel segmento que los une tambien lo estan. Tales funciones se denominan concavas. Si unafuncion / esta definida en la recta numerica K y es concava, entonces V(#i E R, x2 E R)se verifica que

f ^ /(^i) + f f a )2 (3)

Esta desigualdad es obvia: su primer miembro es la ordenada del punto de la graficade abscisa el segundo, la ordenada del punto del segmento situado por encimade la grafica (fig, 21) correspondiente a la abscisa mencionada. Las funciones concavas seestudiaran detalladamente en el § 5 del cap- 7.

Al aplicar la desigualdad (3) a las funciones concavas x ^ x x^, x ^ x" f

obtenemos una serie de estimaciones muy utiles:

® + ^ N-HIs/I, + <®+ + J/fi {v + y)~ +y~t (4)1 K — T T T i . . ^ T T T ) ^

fj;i, Niiiih'KIH ri'iiif! 27

%

0 X

Fig. 17. Fig. 18.

Vi

X0 'x

M„

M

Fig. 19. Fig. 20.

X, T.+ X-, X,

Fig. 21.

i)e todas las caiacterfstkas del numero real mencionadas la mas importante es sumodulo, Las principles propiedades del modulo de un numero son:

I) Vz £ IK <)a:| = 0) => (x = 0);?.) V(A € IK, x £ K) |Arc| — jA| |»|;3) V(at € R, y € R) \x + y\ sf \x\ + \y\. I-a ultima desigualdad se denomina desigualdad triangular, puesto que tiene una

iiiliTprebcion geometrica si a: € C, y <E C (v, § 4).

3.5. Me to do de induccion matcinaticaSea A(k) uiiii notacion para indicarque la afirmaci6n A es verdadera para el k £ N

iI.ilIo. La esencia del metodo de induction mntem.ilica consiste en lo siguiente:

(4(1) A (A{k) Vfc e N)) ( i l (» ) Vrc G N),

22. Demostrar que en el conjunto R hay solo un cero y solo una unidad.

Solucion. Supongamos que en el conjunto K hay a dus cents Oj y Qj. Entonces, de acuerdot on los axiomas A.2 y A.4 tenemos

0t - Oj + 0 2 = 02 + 0]

Analogamente, si 11 y U son unidades de 1?, segiin M.2 y M.4 tenemos

h = 1i = 1 2 - l i = h , >

2 3 . Demosti'ar que: a) la ecuacion a-r x — b tiene la solucion unica x — —a + f>; b) laecuacion ax — b tiene la solucion unica x — —a ]b.

Solution. a) El numero -a -\-b satisface la ecuaddn a + x = b. En efecto, a + + b) -{a i ( a)) + b - 0 + 6 — b. No hay otras soluciones. Efectivamente, si a; 8 IK es otra solucion,entonces:

-a + b — -a + b, ~a + (a + .r) - -a + b, (-a + a) -I- x = — a + b,

04-ar = x = —a-t b.

2H Ciipiluk) I. Iiitroducci6n al antilisit*

b) Andlognmente, cl numcro a b satis face la ecuacion ax = b:

a(a~xb) = (a • a_1)6 = 6 =

Si x G R es otra solucion de la ecuacion ax ~ b, entonces:

a b ~ a 6, a~1(ax) = a_ I6, (cTla)x = a 6 ,1 • x = a~6, a; — a b. p>

••••• 1 1 • • III 1

2 4 . Un elemento a £ E se denomina regular respecto de una operacion binaria internaT si Vx,yEE

(aT x = aT y) A (x T a — yT a) •

Demostrar que todo elemento c G R es regular respecto a la a did on, y que todoelemento no nulo c e R e s regular respecto a la multiplication.

M Solucion. Demostremos que un elemento arbitrario c G i e s regular respecto a la adicion.Por ser la adicion conmutativa tenemos (c + a = c + 6 ) o ( a + c = 6 + c). Por ello, bastademostrar que (c + a = c + b) (a = b).

Del ejemplo anterior y de la asociatividad de la adicion, podemos escribir

a =: -C + (c + b) � � � � + c) + b = 0 + b = b.

Analogamente se demuestra que Vc G M \ {0} es regular respecto a la multipli-cation. •

2 5 . Sea E = {/} un conjunto de funriones / : A —> A, A C R, en el que esta definidala operacion binaria interna

ExE-*E;(f,g)^ fog.

a) Demostrar que esta operacion es asociativa.

b) Determinar los elementos regulares de esta operaci6n,

<4 Solucion. a) Para demostrar la igualdad

(/ og)oh = f o oft)es suficiente demostrar que las imagenes de cualquier elemento x G A coinciden. Seax G At u = h(x), v = g(u). Tenemos

((/ («) = (/ og)(h(xj) = (/ Og)(u) = f (g(u)) = f(v), (g o k)(x) - g(h(x)) = g(u) - v,

por consiguiente, (f G(g o ft)) (a;) = f((go h)(x)) — /(v), es decir, las imagenes de todoelemento x coinciden y la asociatividad queda demostrada.

b) Una aplicacion / se llama regular por la izquierda, si (/ o g = / o ft) [g = ft), y regular por la derecha, si (g o / = ft o /) (g = ft), Y, evidentemente, una aplicacion sedice regular, si es regular por la izquierda y por la derecha.

Ante todo demostremos que la aplicacion / es regular por la izquierda si y solo si / es inyectiva.

En efecto, si / es inyectiva y f ° g = f o h, entonces Vo; G A se tiene

f / t o ) = /fWaO)) =» (six) - h(x)) => fa - ft).

f ix Numeros ro.iIcm

Si / no es inyecliv.i, en el conjunto A ex is ten Humerus distintos x v y euyjW11 mi genes coineidon: f(w) f(y). Scan g y h aplicacioneH talcs que //(«) x, h(a) y para un cierto a £ A. Dado que x y, de fog— f oh no se deduce la igualdad g A,es decir, / no es regular por la izquierda.

Demostremos ahora que / es regular por la derecha si y s61o si la funci6n / e.stiuhrcyecliva.

Si / es sobreyectiva, entonces Vs £ A existe un u G A tal que f(u) = x. De estemodo,

( J ? o / = h o / ) 4 (g(x) = h(x)) Va; 6 A.

Si / no es sobreyectiva, entonces g ° f — h o f para aquellas aplicaciones g y A i nyas restricciones roinciden en el conjunto }{A). Sin embargo, las aplicaciones g y A pin-den ser distintas, puesto que pueden tomar va lores diferentes en el conjunto A \f(A).

De este modo, para que la aplicacion f sea regular es necesario y suficiente que lamis ma sea biyectiva.

2 6 . Un conjunto A C IK se dice que esta inferiormente acotado, si 3 m £ H tal queV« £ A se verifica ia desigualdad m ^ a; en tal caso, el numero m se llama COta inferior. (Jnn cota inferior in* del conjunto ,4 se denomina infimo del conjunto A, si cualquier utracola inferior rn del conjunto A no es mayor que m'. El frifimo del conjunto A sc designaeon el simbolo inf A.

Demostrar que cualquier conjunto A que este inferiormente acotado tiene infimo, y que, adem&s, inf A ~ - sup{--vi}, donde - A = { - a : } , x £ A.

4 Solucion. Segrin el enunciado 3 m 6 IB. tal que x ^ m Va G A, de donde -x K- ~m, es decir, el conjunto —A esta superioimente acotado. De acuerdo con el axioma S.t),Isup{-v4} = M*. En este caso, —x < Mr Va; £ A, por lo que -M* < x Va; £ A, y,

consecuentemente, ~M* es la cota inferior del conjunto A. Si N es cualquier otra cotainferior del conjunEo \-A, entonces —JV es la cota superior del conjunto —A, y, por eso,

/V ^ M* = sup{j4}, de donde N < ~M. Asi pues, —M* = - sup{- j4} es el supremodel conjunto A. •

2 7 . Demostrar el teorema de Arquimedes: si a > 0 y b es tin numero real arbitrario, entonces 3 n £ Z tal que (n — l )a ^ b pero na > b,

4 Solucion. En primer lugar, demostremos que 3 n £ Z tal que w<t > b. Para e I lo supongamoslit contrario, es decir, ka ? 6 Vk 6 En tal caso el conjunto {Act} estani superior men teacotado y conforme al axioma S.O tendni supremo sup{fca} = M' ^ b. Dado que elnumero M* — a no es la cota superior del conjunto {ka}, entonces 3 pa <= {ka} tal quoW — a < pa ^ M 1 . Por lo tanto, (p + l)a > M*, (p + l) € lo cual se contradice conla definici6n de M4. EI origen de la contradiction reside en la suposicion de que ka <. I> Vfc G Por consiguiente, existe un numero k € Z tal que ka > b.

Analogamente sc demuestra que 3 m G 7/J tal que ma < b. Un segmento [mil,que contiene af punto b se divide cn k~ m segmentos mediante los puntos (in + 'L)u,(m + 2 ) a , . . . , (k — l)(t; a uno de estos segmentos pertenece el punto b. Por consiguiente,existe un n £ 'L tal que (n - l)a < b < na. •

2 8 . Demostrar que para todo numero real positive £ 3 n £ N tal que;

- <e. n

'H) ( <i|Ululn I. Jnlmdumrtn al analisin

< Soluci6n. I hiciendo on cl teorema dc Arquimedes 6 -- a — I, obtenemos la desigualdadi .. . ^ ry/ . j... I £ t 1 la desigualdad n > «o > o bien - < e. •

n0 * 1 > no C: K. Dado que - > 0, entonces no £ N. Por tanto, Vn > n$r n £ N, es valida

n

2 9 . Sean a y /? numeros reales arbitrarios dados, a < f3r Demostrar que existe unnumero racional r comprendido entre los numeros a y /?,Solucion* Designemos ft = (3 - a . Segun el ejemplo anterior, 3 n G N tal que

- < ft. n ���

De acuerdo con el teorema de Arquimedes, 3 m G % tal quem , 7?i -hi < (X < n n

A partir de esta expresi6n y de la desigualdad (1) obtenemos^ m • | - 1 m l . , ^ aa < = 1— <a + h~a + p- a=j3, n n n

De este modo, a = ^ < • M M l || . ! • • M I

3 0 . Demostrar que en el conjunto de las fracciones racionales propias -r (m5 n G N y 0 < m < n) no existe ni un elemento que sea el mihimo ni uno que sea el maximo. Hallarel supremo y el infimo de este conjunto.

< Solucion. Sean m y n (0 < rn < n) numeros naturales arbitrarios. La primera parte delproblema se deduce inmediatamente a partir de las evidentes desigualdades

m 2m 2m - 1 n m _ 2rn 2m +1 1— - — > —_ > u, — — —— < < i.n 2n In ' n 2n 2 n

Demostraremos que inf { ™ } — 0 y sup { — } = 1.Segun el teorema de Arquimedes para e > 0 y m G N arbitrariamente dados3 n G N, n > mf tal que n > Por tanto, — < e, De esta desigualdad y de — > 0 se deduce que inf { — } = 0. Analogamente, para e > 0 y p G N arbitrariamente dados,3 m G N tal que m > ~ * Asi pues, > I - e, es decir, para n = p + m se tiene

> 1 - e, lo que conjuntamente con la desigualdad ~ < 1 implica que sup { ^ } — 1. • mn

^ ^ m 1 1 • "•

3 1 . Sea {x + y} el conjunto de todas las sumas x + yf donde x £ {x} e y £{?/}-Demostrar las igualdades:a) inf{# + y} = inf{a?} + inf{y}; b) sup {x + y} = sup{#} -f sup{i/}.

< Solucion. a) Dado que de x > m, x G {x}, y de y ^ mi, y G {y}, se deduceque x + y ^ m + m^ (x + y) G {x + y}, entonces la existencia de inf {a?} = m* y deinf{j/} = m* implica la existencia de inf{sc + y}. Evidentemente x + y ^ m* +m*. Para un5 > 0 arbitrario existe un elemento (xf + y') G {ar + j/} tal que

m* + m* ^ -f y < m* + mj 4- e:,puesto que existen a;' G e y* G {i/} tales que m* ^ a;' < m3* + | y mj ^ yf < m* + Por consiguiente,

inf{x + = x + y = inf{a;} + Dejamos a cargo del lector la demostracion de la igualdad b). •

fM, iN 11 111 01 < IN iVrilfH

3 2 . Sea \xyJ cl conjunto do todos los pnnlueUw xy, domic x < y (-{y}, y x > 0,1/ 0, I JemoHtrar las igualdades:

a) inf{x;y} = inf{a;} i n f f v } ; b) H u p ( j : ; / | H U p | t f | s u p { t / | .

4 Solution. Demostremos la igualdad L>) {propone mo,4 al lector demostrar la igualdad a)).Hidu que x ^ M, x € { £ } , x J 0, o j < M\, y (i {?/}, y ^ 0 implica que xy ^ MMX,nnlonees cie la existencia de sup{ i } = M* y de sup{j/j - M* se deduce la existencia deimpl xy}. Oe las desigualdades M* - ei < w M*, M* — < V ^ M* se oblicnt1 quoM'M* -{£XM*+€2M* si£2) < xy < M*M*. El valor de la exprestfn CiM," +e2M* - e , f z

I nit-do sex arbitrariamente pequerio y, por eilo, supl^t/} ~ M*Mf = sup {a:} sup{j/}. •

33. Sea X = ± 2 tH~i} ' " £ D t : r n o s t r a r <iUQ = 0 y sup X =•• 1.

4 Solucion. Sea £ > 0 un mimero arbitrario dado. Dc las desigualdadcs

valid as Vn > ^ r , s e deduce que inf X = 0 y sup X = 1. •

Demostrar las desigualdades:a) \x-y\> ||s|b) \x + xl + x2 + --- + Zn\> - (l^ll + + -'!<5»l).

4 Solucion. a) Apllcando a la suma (x — y) + y la desigualdad triangular obtenemos la11 i*!figualdad

l » l = | ( s e -y) | a r - y\ + de donde hallamos

0 )

Jnlereambiando de lugar x e y obtenemos

de dondelast - \y\- (2)I )e las igualdades (1) y (2) se deduce a).

b) Haciendo uso de la desigualdad triangular obtenemos

1#j - + xt + x2 + - • • + - {li + xi + • • • + x„)| ^ < + X] 4- x2+ • • • + x„\ + ja!! + x2 + • - • + a;nj ^

^ |re + xi + x2 + • • • + x„\ + |j;ii +• \x2\ -r • • • +

de donde se deduce inmediatamente la desigualdad b). *>

3 5 . Kesolver la ecuacion

Jffil l - i » - l ) + | r - 2 | - 2 , 5 = 0 .

32 Cap ilult) I. In trod uccitfn a I analisig

M Solucion. Tenemos

\x\ + \x-l\ + \x-2\ -2,5 3a? + 0.5 = 0 si x E ]~oo, 0[,-x + 0,5 - 0 si x E [0,1[,

x - 1 , 5 = 0 si x E [1,2[,3a; — 5,5 = 0 si x E [2, +oo[.

Por consiguiente, en los intervalos ] — oo, 0[, [2, +oo[ no hay soluciones; en el intervalo[0,1[ se tiene la raiz x = 0,5, y en el intervalo [1,2[, la raiz x = 1,5. •

1 % • • • • •

3 6 . Hallar la suma1 1 1 1 Sn = arctg - + arctg - + arctg — H b arctg

18 In2

Solucion. Apliquemos el me to do de induccidn matematica. Dado que

S- 1 1 1arctg |, >S2 = arctg ^ I arctg arctgi + i 2 8

1 _ I . I 2 8

. 2 arctg - ,

&2 1 ? + ~ arctg - + arctg — = arctg _ 2

3 ' 18arctg 3

4 }

podemos sup oner queSn = arctg -

nn + V n e N. ���

Como

Sn+i = arctg nn +1 + arctg 1

n +2 (n + 1)2

arctg 1 2 (n+l)J• • • • • • _ •

1 ii arctgn+I 2 (ra+l):

n +1 n + 2

y la expresion (1) se verifica para 1, entonces, por induccion, esta se verifica Vra. • • i • • • • i •

— •

3 7 . Mediante el metodo de induccion matematica, demostrar que para cualquier numeronatural n se verifican las igualdades siguientes:

2 _ n(n + 1)(2n + 1)aa) l 2 + 22 + i i ^ -f n 6

b) 1 + 2 H h n — (1 + 2 + {- ?i)\Solucion. a) Evidentemente, para rt = 1 la igualdad es valida. Suponiendo la validez dela igualdad para un n arbitrario demostremos su validez para n + 1, En efecto,

l 2 + 22 + 4- 4 + n 2 + (n + I)2 = n<w + 1 ) ( 2 " + *> + ( » + I)2 = + 2 ) < 2 n + 6 >

que es lo que habia que demostrar.b) Si n — 1, la validez de la igualdad es evidente, A partir de la suposicion de su

validez para un n arbitrario se deduceI 3 + 23 + ^ . + n 3 + (n + l ) 3 = (1 + 2 + i * • + nf + {n + l)3 =

(1 + 2 + * • - + nf + 2 — (» + ! ) + ( » + I)2-

Teniendo en cuenta la igualdad 1 + 2 + — • + n = 2hl*, obtenemosI3 + 23 + - - + n3 + (n + l)3 = ( 1 + 2 + - - • + n + (n +1))2,

es decir, la formula tambien se verifica para n + 1. •

J}>1, NiiitiortM reales .'U

IJemostrar la formula del hint)into de Newton

1 . I W \ ^ frlH II Will){a + 6) = 2 _ j 11 b ' m=U

• finiilc C'" -- ————— (numero decombinationes de n elementos tornados do m en vi), m!(n - my.

I • 2 • • • k, y se supone 0! = 1.

4 Solution. Si n — 1 tenemos

(« + ft) = £ C?a}-mbm = ^ a + = a + nt-0

i Hioti.i por demostrar que de la validez de la formula para n se deduce quen+i

(0 +6) = C n - i a 6 • m=l

Kill livainente,n

[a I ft)"11 = (a + 6)(a + 6)" = {a + b) £ C^V'-V/" -m-0

it » n 71+1V + J ] Cn<i"~mbm+l = C ^ 1 " " ! ' " + X] C

r!)=U m-U nt=l

= -I- + C™-1 )a'!+1"m6"i + ft"11.rn-1

I l.ieiendo uso de las relaciones-m-i _ n\ w! (ft + 1)' _ wii

" ~ m! {Ti - m)! (m - 1)1 (n + 1 - m)! ~ ml ( n + l - n x ) ! ~ n+1<

CO _ wi (-1 * n-t-l ~ — A>

ii'iirinos definitivamente quen n+i

/_ . k\"+l „"+! i V ^ rint n+l-™i m .in 1 \ ^ ,71-fl - Bi.tn(B + 0) — a + 0 + 0 — 'i 1-1 0 > 111=1 TJI=0

Demostrar la desigualdad de Bernoulli

(1 + aj)( l + ®a) - - • (1 + aO ^ 1 + + + •- - + «n,

ill>nde , . . , son numeros de igual signo y superiores a - I -

4 Solucion. Para n = 1,2 la desigualdad es obvia. Supongamos que la desigualdad soveriiica para n. Demostremos su validez para n + 1 . Tenemos (para Xi > - 1 )

II I *i)(l + S2);,»-(l + + « * « ) (1 + % + ^• + «»)tt + = = 1 + a;, + x 2 + \x„ I- a ; , 1 + t + (xi + x2 H f- *») *n+i >

^ 1 -I X\ + X2 + 1 xn + «„.|4-

Aqirf se utilizo la desigualdad

v iipiuiio I, i m r o u m c i o n .11 a n a n u t s

\ I -l-®„)a;fl,_i 3s U,iicila para cualesquiera Xj dc igual signo,

4 0 . Demostrar quo si x > — 1, se verifica la desigualdad(1+x) n> 1,

donde la igualdad tiene lugar solo para x = 0.

M Solucion. La desigualdad requerida se deduce directamente del ejemplo anterior, si sepone xi = X2 = -'• = xn = x. Si x = G, Vn > 1 se tiene el signo de igualdad. Demostremosque para n > 1 y x > —1 se obtiene la desigualdad (1 + x)n > 1 + nx. Para n = 2 esto esevidente: (1 + xf = 1 + 2x + x2 > 1 + 2®, Si (1 + xf > 1 + nx, tenemos

(1 + = (1 + x)n(l + x) > (1 + nx)( 1 + as) = 1 + nx + x + nx* > 1 + (n + l)x. •

4 1 . Demostrar que si X( > 0 Vs = 1, n y X1X2 ... xn = entoncesxi+x2-\ K xn > n, (1)

siendo

2

(a j + a:2 -I h = n) ^ (a?* = 1 Vi = 1, ra). Solucion. Para demostrarlo apliquemos el metodo de induction matematica. Para n — 1 la desigualdad (1) es valida y solo tiene lugar el signo de igualdad. Si n — 2 y x\x2 = 1,uno de los factores, por ejemplo, el primero es x1 J* 1, y el otro x2 < I. De este modo, dela evidente identidad

xi + x2 = x\x2 -\-l + (xi~ 1)(1 - x2) ���y de la condicion X[X2 = 1 se deducen la desigualdad x\ + x2 ^ 2 y la condition(x\ + #2 — 2) <=> (a?i — x2 — 1).

Supongamos ahora que para k numeros positivos arbitrarios X\, x2,... t x^ cuyok

producto es igual a la unidad, se verifica la desigualdad Y l x i ^ siendoi=1

mK[ J ] x, = k\ <•> (Xi = 1 Vi = 1, fe).

1=1

Consideremos el producto de k + 1 numeros positivos x2}..., acj .i, para los cuales- • * xk+1 = 1- Si no todos los a?,- son iguales a uno, se encontraran numeros tanto

superiores como inferiores a la unidad. Sin perdida de generalidad supondremos quex\ > 1, x2 < 1. Entonces, para los k numeros positivos (X\X2) , . . , asjt+i, cuyo productoes igual a la unidad, sera valida, segun las condiciones de partida, la desigualdad

(xxx2) + x3 + -- + xM �� ���

verificandose tambien

(X1X2 h £jfc+i = fc) ^ {X\X2 ~ x3 = * • • = xk + i - 1). (4Sumando la identidad (2) y la desigualdad (3) obtenemos la desigualdad

xi + x2 + • + xk+i + 1 + (a?i - 1)(1 - x2) A; + 1 y la condicion

(xi + x2 + • • * + xM = k +1 4- (Xi - 1)(1 - x2}) & {{X1X2) = as3 = * - = xM - l ) ,de la cual se deduce que

n r m i - M T r ^ B r w T T r m T

+ x2 + - •' + xk+i = k + 1) o (Xi = 1 Vi = 1, fe + 1). • ••••••• • • I •• I • I I I ••!••! • • • • • •••• I •• • I

fc};l. NilIIH"ItW t'l'dll'B

4 2 . Sim Xi > 0, Xi ( K, V-i 1,n, y

7„ -- —r 1 — - — (media iirmrtnitr.ijjT + Z + 1 * ' I ,

</„ — v^i] Jh VTZx,, (media geomfHricft),

& = + ' " + (media aritm^tka),

I MiuKtfnir quo % < r;„ < & y, ademas, (T« =Vn=> 6>)<=> (x1-xz = -- - =

4 ^nlneidn. Ill producto de ft numeros posilivos

. . , . § » = 1J?.. % % 1

(un fjrit, lie acuerdo con el ejemplo anterior, su suma

a + s ^ . + a . * * ,Vn Vn V"

ite di un le ifii ^ La igualdad tiene lugar si y solo si = = * • • = ^ = »ii i, -.)•; ==-•• = Segun lo que acabamos de demostrar

i . „ r i i r . 1 1 -I- . u 1T — T " * * - - — |

« 7»'

lie diinde 7„ ^ 17,, y 7„ = jjn si | = ^ = • • • = J - = 1, es decir, t , = x2 =

' l l I lemostrar !a desigualdad de Cauda/—Buniakovski

t=1 i - l i=l

diimle a1/, iji £ M (i = 1, n). ^Cuando tiene lugar !a igualdad?

4 Solution. De la evidente desigualdad + y,)2 > 0 obtcncmos el trinomio de segtuido" n " A« / J' ir

j'.i.ido t1 £ x) + 2t E xiVi 0/ que es no negativo para cualquier valor de • t i- i i=i

i* I Eu, (i>»)5-(£»0(:c»0<tti=1 i=l i=l

i igualdad tiene lugar si y solo si x,t + yj - 0, i ~ 1, n, es decir, cuandoexiste un " ™ \ / 0 tat que y< = As,-, > = X^n, o bien cuando todos los I f , i = 1, n, Q todos los y,, i t, vi, son nu los. •

H( I lemostrar las desigualdades:

4 4 . a) »! < ii > 1; b) ( n f < ( < - + « > 1;

, 1 3 27i - 1 1 c> ^ ' 3 < 2 4 2/t V 5 T + T

:u t \i[>il111<> I. liUr<»cluci'ion al analisis

< Solucion. Las desigualdades a) y b) se dcduceti dt recta me nte a paL'lir de la desigualdad7jn < del problem a 42 sin mas que hacer xk -- k y •- k (k ^ T? n), rcspecLivamente.

Demostraremos la desigualdad c) utilizando el metodo de la induction matematica.Para n — 1, la desigualdad es obvia. Suponiendo que la misma es valida para n,demostremos su validez para n + 1. En efeeto,

1 ^ 2 " 4

In - 1 In + 1 * +

In < -

1 271 + 1 2n + 2 V2n + 1 2n + 2

1 V2n + 3 2n + l 1y/2n + 3 V5n + 1 2ft+ 2 V2n + 3 V 4n2 + 8ft + 4 V2n + 3 *

4n2 -f 8ft + 3 < 1

45 l l 1 1 1 L + V2 V5

+ t-

1i- > xfn, n 2

V ft

-4 Solucion. Para ft ^ 2 tenemos1 1

+ V2 +

1 1 + — > ft y/n \/n

4 6 . ntt-f-1> (ft + l)n, ft ^ 3 Solucion. Para ft = 3 la desigualdad es evidente. Suponiendo que la desigualdad se verifica.para n demostremos su validez para ft -f 1; es decir, demostremos que si nn+1 > (n +1)",entonces (ft + 1)I?+2 > (ft + 2)n+1.

Al multiplicar ambos miembros de la ultima desigualdad por tenemos

(ft + i y m > n+2 ��� � ��2(n-f-l)

ftfi+1

Dado que V n ) Jt+l

> (ft + 2)n+1, la desigualdad que buscabamos.queda demostrada.

714 7 . sen

r—\

jt=i< sen Xk, 0 ^ Xk ^ 7r, fc = 1, n

^ Solucion. Para ft = 1 la desigualdad es valida. Demostremos que

suponiendo que sea licita la desigualdad de partida.En efecto, vemos que para 0 ^ xk ^ it se verifica

ra+lsen Y, xk

k=1

ft nsen xk

fe=isen ^ x y cos xn+i + cos I j xk j sen xB+1

k=i k-i <

<n

sen } ^ xk | -fe=1

71COS ®„+i + cos XJ3*

fc=lsena?n^i <

n n< sen Xf. + sen xn.Y\ ^ V j sen -f sen xn±i

n+1

tt+1sen a;*. •

k=l

Niiitu'mh ri'iilt'K '>7

'18. {Inf, < («!)", w i t .

Mnlinioii. I'iira 71. ss 2 la desigualdad OM evidenle. I'nrtiendn do In suposicidu de qui"t>i di"ii|-iialdad se verifier para u de most return que fa desigualdad es valida tambienjjhii'ii » | I. Tenemos

Un l .')! (2n)< (2n + 1)(2n + 2)< 22n(n!)2(2n 4 l)(2n. -f 2) < < 27,l(n\)2(2n + 2)1 = 2Zn l2{(« + I}!)2. >

l'|i'nicios

III. Sim { e] conjunto de los numeros opuestos a las numeros x £ {a;}. Demostrar:,i) in!'{ — as) == —sup{i}; b) sup{ a;} — -inffa:).

il Aplicando el me todo de irtiuociAn matemSttea demostrnr las design a Id ad es:

,i) »! > n'i, n > 2; b) (2n - I)! < li2""1, n > 1; c) < p € K

it ,i) Demostrar que para cualquier n-Sgono convexo se verifica la igualdad Dn --donde D„ es el niimero dc diagonal es,l>) Demostrar que para eualquier poliedro convexo se verifica la expresi6n n 4 - P„ 2,ilonde es el numero de vertices, P„ es e! numero de aristas y n es el n u mem de caras.

11, 1 Icmostiar las design aldades:

b> <a>L + • • + + ^ + " "f* > n2> > 0, i = T7«;

fcl » alcular las sumas;a) I • 1I + 2-2I + - • +n-n\; b) I1 + 24 + • • • + c) l5-f-2" +• • • • + rts.

t'i I himostrar (jne

£ k (k + 1) • • • (fc + m- 1) = ^n [» i 1) - • • (n + m),k-1

donde m es un niimero natural, Utiiizando esta formula calcular las sumas:a) i - 2 + 2-3 + --- + n(n + l)j b) 1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + • • - + n(n + l)<n + 2);c) 1 •2-3-4+2-3-i-5 I I-n(n + 1)(ji + 2)(n + 3).

Hi. Demostrar que

V .'•••. = 1 (X L 1 ^ H)...(!'+m) "I (BH)|B+2)...(S-| IB-tW ' i-v.J

donde m es un numero natural. Uttlizando esta formula calcular las sumas;"} "pj + jg -I I- b) ^ + ^ + * • • + n(„+i)(n+2i>4 TTiTJ "f" 2-J4-:, I nlnllXsMKn-J) '

(7. Kesolvrr las ecuadones:;i) +1| + |a?| + |jf — 1| = 6;. b) x\xi2]-\x-\ i| - (s + l)lx! + 1 - 0.

•>S C'.ipilulo 1. hitkkIiiiiicVn ;il antfI\his

§4, Numeros complejos4.1. Numeros complejos y operaciones con ellosDefinicion. Se denomina numero complejo z al par ordenado (a:, y) de numeros

reales x e La igualdad, la suma y el producto de pares ordenados, asi como leidentification de ciertos pares ordenados con numeros reales, se define de la manercsiguiente:

1) dos mimeros complejos Z\ — y\) y z2~ {x2y jfcLse dicen que son iguales = e jfi = i t ;

2) se llama suma de numeros complejos z\ y z2 al numero complejo

* = (®i + x2y + jfe); 3) se llama producto de numeros complejos Z\ y z2 al numero complejo

2 = {xxx2 - yty2, x^y2 + x2yi)}-k

4) el conjunto de numeros complejos 0), x G M, se identifica con el conjunto delos numeros reales R.

Se denomina diferencia de dos numeros complejos z\ y z2 a un numero complejo ztal que z2 + z = z\, de donde se obtiene z — Z\ — z2 = — x2, ^ — 3/2)-

Se denomina cociente de dos numeros complejos zi y z2 a un numero complejo £tal que z2 - z — Z\. Asi pues,

f + gijfa x2y\ -sijfe^ 'i V « Z + VL ' + » 2 / *

El numero complejo (071) se denota con el simbolo i — (0,1). Observese que setiene (031) • (071) = (—1, 0), es decir, i — —1. Un numero complejo arbitrario z puede sexescrito en la forma

z = (x, y) = (xt 0) + (0, y) - (x, 0) + (0, l)(y, 0) = x + iy,

que recibe el nombre de forma algebraica del numero complejo. El numero complejcz = (ar, — y) = x — iy se llama conjugado del numero complejo z = (x1 y) = x + iy.

4.2* Interpretacion geometrica de los numeros complejosTodo numero complejo z = (x}y) puede representarse como punto de un piano coi

coordenadas x e y. El piano en el que se representan los numeros complejos se denomin<piano complejo. El eje Ox se llama eje real, y el Oyf eje imaginario.

La distancia r entre los puntos £ y cero, es decir, el numero r = y/x2 + y1 == \/zi se denomina modulo del numero complejo z y se denota con el simbolo \z\.

El numero

0

1X

Varctg £ si x > 0,

arctg J + 7r si x < 0, y > 0,arctg £ - 7T si x < 0, y > 0,

fsgn y si a;—0

se denomina argiimento del numero complejo z y se d esigna con el simbolo 0 — arg z Para an r dado los angulos que se diferencian en 2nx, n £ 2 , corresponden a un mismnumero. Esto ultimo se represents mediante la expresion Arg z — arg z + 2nn, n £ S; argse ronncr con el nombre de valor principal del argumento.

JH- N m n o o r t e imip fe | i iH ii*i

I .lis mimeros j' y 0 sc dononiin,in iwnit'itwhir* iwUmw del lilimefo complejo X. Asf[•til".,

z {x7 y) — (r tttft 0, r urn 0) r(i os 0 i sen 0) in) ]n lliimada forma trigonometries del iitiincro complejo.

z\ = (rj cosfli, sen 6\), Zj, (r2 cos ftj, Ti sen Of), entonces:

= (r1j-2cos((?[ +02),rir2 sen(0i + 0;)),

a = ( I I cos(0, - 02), & sen<0, -Z2 \T2 fz /

['am elevar a una potencia un numero complejo z ~ (r cos 0, r sen 0) se US3 laileiiiiiitiiiada/drm«iii de Moivre

z" — (r" cos n$, r" sen nO).

111 mi/ n-esima de un numero complejo z se determina mediante la formula

vz — \ yrcos ^rsen — I, k 0 ,n — 1. (I)V. n n /

Demostrara) ~z\ + z-i = z\ -r zi~, b) z-\z2 = • z2; c) {zn) = z", n € N.

Solucion. Sean Z\ - J/i), z2 = (x2, y2).a) Segun la definicion de numero conjugado tenemos

• i fzi = + yi + jfe) = (ati + x2, ~yx - y2) = (xu + (®2, - jfe) - zx + %

l>) Tenemos = (JCi«2 - ViVi, x\Vz + ®2jfi) = - 3/12ft, - fcajfi) I ' l l —Jfe) = *

c) tscrihircmos el numero complejo z en forma trigonometric a z — (r cos 0, r sen 0). t >e ejile modo, z — (r cos{-0), r sen(—5}) . Utilizando la formula de Moivre

(•)" (rB cos(- nW), r " scn(- n$)) =

— {rn cos nO, ~r" sen uO) — (r" cos n9, r" sen 116} — (z"). K

SO. Etectuar las siguientes operaciones:

a) (2 - 0(2 + if - {3 - 2i) $ 7; b) (1 I i)4; c) (MSolution. l as operaciones de adicion, sustraccion y multiplicacion con numeros complejosr.MTitos en forma algebraica pueden realizarse de la misma forma qiie las operaciones1 mi biuomios reales; ademas, ha de tenerse en cuenta que i = - 1 , i3 = i2 • i —i, 1' i^i = - P - 1, etc.

a) Tenemos

(.' i)(2 + if - (3 - 2i) + 7 = (2 - i)(2 + if + 4 + 2i = - (2 + i)((2 - i)(2 + i) + 2) = (2 x i)(4 + 1 + 2) = 14 + ft.

b) l")t! acuerdo con la formula del binomio cle Newlon,

(1 + = 1 + 4i H 6i2 + 4i3 + 4 =>. 1 + 4i - 6 - Ai h 1 = - 4 .

„\ , A 6 » , ,-5W5 135 ,-60 3 , 45 1 -6V3 1 , C> \ M M 64 64 6J ~ ^

4t) t'apiluJo I. Introduction a I analisis

5 1 . Ha I tar el cociente de los numeros complejos:

, 1 . , 1 , \ + i fa ) b ) i + i ; c ) t — i "

2 ' 2

4 Solucion. Escribamos la formula del cociente entre z\ y z2 en la forma siguiente

= Z i * z 2 _ Zi >z2

z2 z2 * z2 lz2t2 * Utilizando esta formula hallamos

. 1 —i . 1 _ 1 — i _ 1 — i _ 1 i a) i ~ W ^ 1 + i " jlTTF " ~ 2 2;

c > 7-i—in—it

i f | i _ W l I2 1 2 2 2 2 2 " I 1 • • • • • W ^ I • • I I •• • 1 1 I I I . • • I I 1

5 2 . Representar en forma trigonometrica los numeros complejos:a) - 3 ; b) - i ; c) 1 + i; d) - l + i\/3.

•4 Solucion. Tenemosa) | — 3| — 3, 9 = 7r, — 3 = 3 (cos ft + i sen t t ) ;b) | - t| = 1,9 = -§, -i = cos ( - f ) + i sen ( - § ) ;c) |1 + i\ = y/2, 9 = \, 1 + i = V2 (cos f + i sen f ) ;d) | - l + iVS| = 2 , 0 = f , - 1 + »V5 = 2 ( c o s f + i s e n f ) . •

5 3 . Calcular:/1 _ 12

a) (1 + iV3)30; b) (V2 - i V2)20; c) ' 1 + *

d) (vl^3 ' ; e)(2 + 2i)41; Ot^- i ) 7 .^ Solucion, a) Representemos en forma trigonometrica el numero complejo

1 + iy/3 = 2 ^cos ? -M ^ n

aplicando ahora la formula de Moivre obtenemos

ft I ' o 3 0 / 307r . 3 0 t t \ o 3 0(1 + iV3) — 2 ^cos ——h z sen J — 2 .

b) Analogamente a como se hizo en el caso anterior obtenemos

v G - . V 5 = 2 ( e o s ( - J ) + i s e n ( - * ) ) ;

(a/2 - iV2f = 220 ( c o s ( - ^ ) + i sen ( - = - 2

c) Representando el numerador y denominador de la fraccion en forma trigonometri-ca calculamos el cociente

l - i Vl (cos ( ~ f ) + * sen (—f)) / ir\ , . / x TTi = , V2. (cos f +»sen |) = C0S ( " 2 ) + , 8 e n ( ~ 2

tj 1. Niinu'iiM ntMi|'li |in. 41

Inii iriidi) rthora uso do la formula do Moivie Imllntinvt

14-i _ v^(cosS-i-iHL-n^) j _\/Z - ii ~ (cos ( - § ) + i sen { — § ) ) ~ V 5

( 1 4 - i V 1 1 / 7 7 * , . 7 7 x \

i v f i j ~ 6V§ \cm 12 4 sen

= 1 U g 4- i sen f ) » > f ^ p 1 + ' ) .6 5 V 6 V 12 12 / 6 5 • 4 \ \/3 V S /

.•) (2 4- 2i)41 = (\/8)'n ('cos 1 4 - i sen ^ -

0 ( -3 - i ) 7 = 27 (cos + isen = 0 = f (cos ( - ^ ) + f s e n ( - M * ) )

1 lallar todos los valores de las r a feesa) </l) b) V - l «V5.

iiiilm ii'm. a) Escribamos cl numero complcjo 1 en forma trigonometrica

1 = cos � 4- i sen ��

K|ilit';mdo la formula (1) del p.4,2 hallamosv-T _ cos ^ 4- i sen ~ > Jfc = 0,1 f 2, 3.

4 4 I'or consiguiente,

v'"T = cos 0° + i sen 0° = 1 para k = 0, vT — cos | + i sen | = i para k = 1,\/l = cos jr + -i sen tt — 1 para k = 2, v l = cos + i sen ~ — —i para k = 3.b) Al escribir el numero complejo —1 — iy/% en forma trigonometrica

- l - i V 3 - 2 ( c o s ( - f ) + i s e n ( ~ f ) ) :

ohlenemos

J / T ^ */xf ZT* + 2fesr . 4 T + \ V - 1 tV5 = V2l cos + j sen —• - — J , fe = 0,1,2,

ili' donde

< / - ! - b M ^ m (cos ( - f ) sen ( - £ ) ) , k = 0,

- iV5 = (cos ( f ) + i sen ( f ) ) ,

iV3 = ^ (cos ( f ) + i sen * = 2. •

I 0 0 8 12 12 J'

42 Capituln f. hihuduccion al anafisis

55, Resolver la coiiation z j 1 — ().Solucion, Tenemos £ -- v^-1. Para calcular todos los valores de la rafz \/- i apliquemoila formula ( I) del p. 42,

I 2&7T , . -7T + 2kn , ^ zk = v - I ~ cos 7 1- % sen , k — 0, 5,6 6

de dondef 1r\ . / tt\ a/3 i 7T , . ?r F a z0 = c o s ( - - j + * s e n ( - - J = T - - , z, = cos - + , sen - = — + 2'7T . „ 7T 5tt . . 5tt VS £

= cos — 4-1 sen — = z3 — cos •••• + % sen - - • - ----- | 2 2 6 o I I 7n . 7n V3 i 9tr . 9tt= cos — + % sen — — — - = cos — + i sen —- — • 6 6 2 2 6 6

Ejercicios38, Demostrar: a) Z\ - — - b) ( ~ ) = c) P(z) = donde ^ ^ es uri

polinomio algebraico de coeficientes reales.39. Efectuar las operaciones siguientes:

a) (1 + iy/Sf; b) c) + j,2 + 0).40* Hatlar las partes real e imaginaria de los siguientes numeros complejos:

41. Demostrar que el conjunto de los numeros complejos en el que se definen las operaciones deadicion y multiplication, forma un campo.

42. Hallar los modules y los argumentos de los numeros complejos siguientes:a) ( -4 + 3 i f ; b) (1 + if( 1 - iv^)-6; c) 1 f cos f + i sen £. Hallar todos los valores de las raices siguientes: J

43. 44. v M -h 45. 46, i fU .Hallar las raices de las ecuaciones siguientes;

47, z1 + (5 - i2)z + 5(1 - t) = 0. 48. z2 -j- (1 - i2)z - i2 = 0. 49, (z + if if - 0.50, Demostrar que el modulo de los numeros complejos es un valor absoluto, es dear, que

satis face las condiciories:1) 2) \zyz2\ = N 3) jzj ^ N + N € C.

51. Demostrar la desigualdad siguiente:

z \ ~ z 2 ^ ki ~

§ 5. Espacios vectoriales y metricos5.1. Espacios vectorialesDefinicion 1. Se denomina esparto vectorial sobre un campo IK — {A, i v • - }

a un conjunto E = {#> y} z}... } en el que estan definidas:I. Una operacion binaria interna E x E —» E : (ar, j/) i—> a? -H respecto a la cual e

conjunto E es un grupo abeliano:

1) x + (y -I- z) — (x + y) -b z; 2) x + 9 = x; 3) x + (-x) = 9; 4) x + y = y + x

^mpHianh* 0 dpsi namnft P] <?lc>m nto neutro del p-runoV

JjS. Espavio.s veclorl.deri y meiikiw 43

II. Una operation binaria externa IK * }>', i /S (A, r.) i > A:tr, que salisfoco lewitljFitiente;: axiomas:

fl) A(z + y) ^ A;<: I A;/; 6) (A ! p)u: Ax \- fix; 7) (\p.)x = X(fix); H) I • j; x.

I ,os elementos del espacio vectorial E se Hainan vedores (o puntos), y los elementosdel 14iiniK> !IC, escaiares.

Si X = Iff, el conjunto E se llama espacio vectorial real; si K = C, E se denominaI'xpth jit vectorial complejo.

Definicion 1. Todo subconjunto V de) espacio vectorial E que csle dotado de dosufti'iaeiunes binaries del espacio E y que sea un espacio vectorial sobre el campo X sedenomina subespudo vectorial del espacio E.

I in un espacio vectorial arbitrario se cumplen las propiedades siguientes:I) Xti = ff; 2) Q-x = 0; 3) {—l)x = -x. 5.2. Espacios vectoriales normadosMl concepto de valor absoluto se exliende a los espacios vectoriales sobre un campo

not tn.itlo K .Definicion. Se denomina norma en el espacio vectorial E a una aplicacion

E IS"1 : x »-» \\x\\, I + = { a 6 S : 0 < a < +oo},

due •i.itisfacc los axiomas siguientes:1) flfx||=o) ^(x-oy, 2) IfAajjl - |A| • \\x\\ Va; g E;

II®+ !/li ^ IMI "Hijfli Vs, y £ E (desigualdad triangular),5.3. Espacios eudideosDefinicion 1. Sea E un espacio vectorial sobre el campo E, Una aplicacion

I'i —> K : ip(x, y) = {x,y} que a todo par de elementos x, y € E le pone oil• iine'pondcncEa un numero real denotado con el simbolo {x,y), se denomina producto . ii alar, si Vx, y, z £ E v VA 6 I se cumplen los axiomas siguientes:

1} {x.y) - (y.x)-, 2) (x f- y, z) = (x,z) + (ytz);3) {Xx,y) = X{x,y); 4) {x, x) > 0 A ((x, a) = 0) & (ar = 0). Definicion 2• Un espacio vectorial en el que esta definido un producto escalar se

ili'iHKiima espado cticlideo. 5.4. Espacios metricosDefinicion, Un conjunto E — {x, y, z,... } se denomina espacio metrico, si esta

dcliitida una aplicacion E x E -* : (x, y) p (x, y), que a cualesquiera x c y les poneen correspondencia un numero real no negative p que satis face los axiomas siguientes:

1) : ^ y); 2) p {x, y) - p (y, x) Vx, y 6 E (axioma de simetria);3} p (a:, 3/)< p (x, z) + p (z1 y) Va:, y,z <? E (desigualdad triangular).Los elementos de un espacio metrico se llaman pantos; el numero p(x,y) se

tleiioinina distancia entre los puntos i e j o metrica del espacio E. rtbda parte F del espacio metrico E en la que este definida una aplicacion

/•' -4 K + que sea a su vez una restriccion de la aplicacion B x K - t R 1 ' :(x,y)'-> p(x,y), ne ilenomina subespado metrico, y la melrica definida en el, metrica indutida. Ademas, elitiiMiin xiihesnaeio me Irirnos un esnaeio metrico.

•rt l iipruiJo i, iiuroiuiccion ai iimiJiNiN

53. EntornowDefinicion Se denomina bola ahierta (ccrrada) con centro en Ltn pun to x$ y

radio r en un espacio metrico E al conjunto

{x E E : a?0) < r} ({# € E : p(x7x0) ^ r}).

La bola abierta (cerrada) se designa mediante S(#0) r ) -Analogamente se define la bola abierta (cerrada) en un espacio vectorial normado.Definicion 2. Se denomina bola abierta (cerrada) con centro en un punto .tq y

radio r en un espacio vectorial normado E al conjunto

{x G E : \\x - xQ\\ < r} ({x e E : \\x - a?0ll <

Definicion 3. Una bola abierta con centro en un punto Xq y radio 3 se denomina6-entorno del punto Xq.

En la recta real M una bola abierta (cerrada) de radio 5 es un intervalo ]#o — + (un segmento [xq — ar0 + £]).

• •• MM !••

5 6 . Sea Rm el conjunto de todos los sistemas ordenados posibles de rn numeros reales(a?t, #2, *. •, xm) y sean definidas en Mm las operaciones siguientes:

a) operacion binaria interna Rm x WLm Mm, la cual a todo par de elementosx = (a?i, -. . , xm) e y — ( j f i , . . . , ym) del conjunto Rm le pone en correspondencia unelemento

x + y = (xi + yu , . , , xrn + ym),

Ilamado suma de x c y;b) operacion binaria externa RxR™ Rm, la cual a todo x E IRm y todo

les pone en correspondencia un elemento

Ax = (Xxi j . . , , Aa?m)

Ilamado producto de A por x.Demostrar que IRm es un espacio vectorial sobre el campo HL

Solucion. Demostremos primeramente que el conjunto M es un grupo abeliano aditivo.En efecto, en virtud de la asociatividad de los numeros reales, para x — . . . yXm),y — (Vij * * • j Vm) y % — {z\i — • 3 zm) arbitrarios se tiene

x + (y + z ) = (®i + (Vi + • - •, + (ifoi + Zm)) = = ({xi + y\) + zu..-, (xm + ym) + zm) = (x + y) + z.

Designemos 0 — 0 = ( 0 , . . . , 0), entonces Vx £ M se verifica la igualdad x + 0 = (a;i + 0,+ 0) — - • • j xm) = X- £ hagamos ™x — . . . , —»,„); por tanto,

x -f (—x) = (x\ — xu * • - j — = (0, . , *, 0) = 0. Finalmente, por ser conmutativa laadicion de numeros reales,

•

x + y = (®i + yx,..., xm + ym) - (yi + xu ., ym + xm) =

- (VU * • - , Vm) "I" - • - , a?m) = y + X

Como vemosjr los cuatro axiomas del grupo abeliano se verifican.

;•).>. itin vt*< lorinipn y uietneon

A p a r l i r t ie las d e l i n i c i n n o s (It) oni ' i iai hUMp liilfeli iilit ex t e n u i s t* i n t e r n a s y tit" lasjihtj'trdrulc'H t i e Ids m i m o r n s r ea l e s w d e d i u v i i d l r e i l a i i i e n t e l as i g u a l d a d e s

Mi I y) A<a:j f |r I f . . . , xm y,n) (\(x, | j/,), . . . , A ( % I ?/„,)) = (As, + A j f h . . \ x m + Aj/,„) (Aid, . . . , + (Xm,..., Xym) -

tcm) + A(j/i,.. . , ym) <=•• Ax |

\\ I /«}* ( A + ^ j f c u - i l >®m) =a ((A + • •,, (A + p p m ) = -•-• + fix-f,..., Aani + /KBm) = (Aasi,.. . , A«m) + (pari , . , . , fixm) =

- A(xi, . + jBfafl,.-.„»rn) = Ax I ftx;

( V P ((A/Oil-1, - • •, (A/*K>) = (-M/ia-j),..., X(ftxm)) = X(fixu fasm) = A(fix);1 • x = (1 • id, . . . j 1 • xm) = ( s , , . . . , xm) - x,

Vi. v f K*" y VA, p e E . Es decir, sc cumplen los axiomas de espacio vectorial: E'" es uni<Mjuu'io vectorial sobre el campo K..

*S7. Sea cl conjunto de todas las matrices rectangulares del tipo

A = an« 2 1 a22

tintyn

duude iiij e E, i = 1,711, j = 1, n. Se denomina suma de dos matrices A = ) y B — (6^) a la matriz

A + B.= ( « n + & n <h2+bi2 ••• ai„ + V

+ &2I a21 + bi2 ... «2n + ^n

\ ami + bnl\ am2 + bm2 ... a„„, + b„

V producto de la matriz A por un mimcro A £ B , a la matriz

XA -

( A an Aoj2Afi2i

Aaln

Aa2„

\ Aam( Xa,n2 ... Xa

Demostrar que SJJ£ es un espacio vectorial sobre el campo ffi.

Nwhicion. F.I conjunto 931 de matrices A = (a,j) de dimension m x n puede identificarsemn cl espacio ffi"'" de vcctores x — (an, - - • > «)m - • - > a m l , . . . , aTO„) por medio iin.i correspondencia biunivoca (ay) ( a n , , , . , a l n i . , . , a m l , . . . , a,nn). Ademas, paramalesquiera (a,j) £ Kft, (Kj) £3)1 y A £ R tenemos

(fly) I- (&,j) (a, I + ttHj . . . , aln + bin, x--,Oml + i>mlt-• • j amn + A(a,j) ( A a n , . . . , Aa j , , , . . . , A a m t , . . . , Aa„m)

decir, el espacio STt es isomorfo al espacio !Km" respecto a la adicion de Ins elementosile y a la multiplicacion por escalares del campo R). Asi pues, OT es un espacio vectorial'iiihre el campo IE. •

4h I'apiLulo I. Inhmiiitrmu .if iinjliuitt

5 8 . Demostrar que el espacio se convierte en un espacio vectorial normado, siVx = [ j x2i — - ) xm)f x £ / se define

-i -r •• i 11 i i i • i i iii ii • ••• ii i i ii • i i i i n

A j t * i +

Solucion. Para demostrarlo resulta suficiente comprobar que se verifican los axiomas 1)del p. 5.2.

1) Evidentemente, ||x|| > 0 y (||x|| = 0) (x = 0).2) Vx € Rm y VA 6 R tenemos

(1)

NAx (Xxx)2 + (Xx2)2 + - • • + (Xxm)2 = V^^? •f xi H \-x 2m ���

3) Demostremos que para x = (xj e y = (3/1, V2> • • •, Vm) arbitrario

Hx + ylKI|x|| + ||yl|. (2)Escribiendo la desigualdad (2) en forma de coordenadas

ni

i=1

-i" •—i H

m rn

£ + J £ tf > � � � �� i=1

elevando ambos miembros al cuadrado y simplificando, obtenemos la desigualdad

m

1=1

>

•I

���•

equivalente a la desigualdad (2). La desigualdad (3) se denomina desigualdad de Cauchy— Buniakovski; su validez ya ha sido demostrada (v, ej.43). Por consiguiente, la igualdad (1) *define una norma en K™1 •

r r n r r ^ H V V T T W W T V T r r m T i r n r i

5 9 . Demostrar que un espacio vectorial 2ft cuyos elementos estan representados porlas matrices de dimension rn x n, es un espacio vectorial normado, si para una matriz

• • • •

arbitraria A = (flrj), i — 1, m, j — 1, n, definimosm n

Mil ���

^ Solucion. Es evidente que el primer axioma de norma se cumple.Ademas, VA € M y \/A £ dJl tenemos

m n

1=1 j=i

m n m rc

|A| |a ��� aij " I a H W I ,*=i j=i i=1 j=X

es decir, el segundo axioma de norma tambien se cumple, y

Queda comprobar la verification de la desigualdad triangular, Sean A,BQffll matrices arbitrarias de dimension m x n, entonces:

rtj t i tit n I\A + B a^ + bn ] < *j + I M )

i=1 j=l m n m n a{j \\A\\ + \\B\

j—1 j= 1

• F {?!>. I'HjUHOH vci lurljilcn y hUMiwhh IV

t idiln qui" lodos Ins axiomas ill' iiurniii tie vrtilinm, (I) ilHino illlii iRjrnia en Utt, y |n«liiivifi'ti' ett mi t'Hpuciu vectorial Jioimadu wilw cl ntnipn IK'. •

flit. Sim C cl conjunto de todas liLS liincinncN nrtiladaH / : [a, h\ -+ R.I Vnioslrar que el conjunto C se hart! un (•Kpitcio m'loiial normado sobre cl cnmpo ItlL,

«f jim.i iiri.i funcion arbitraria / se define

|1/||= sup |/(a:)J. (I)

4 huhn li'xt, lis facil convencerse dc que C es un espacio vectorial sobre el campo IK, si hiIfjitiiNlihl

if+9M = f(x)+0t\ x e [ a , 6 |tf|i|Un' l.t udicidn en C, y

( A f ) ( x ) - \f(x), lit iiMilliplicacion por un escalar del campo R .

(,)»eda por comprobar que para el numeni ||/|| definido por la formula (I) sei mitplni todos los axiomas de metrica,

I) Dado que |/(a;)| > 0, resulta ||/H - sup |/(ie)| > 0; adcmas, ||/|| = 0 si y sdlo si|/(r)| 0, es deck, si / : [a, &] —» 0, que es el elemento neutro del espacio vectorial C,

'.') I'ara una funcion arbitraria / € C y para todo A € R tenemosp / | i = sup \\f(x)\ = sup |A|!/(»){= |Aj sup !/(x}j = |A| [|/||.

Jtlii.iE'!.() I)e la desigualdad triangular para el valor absoluto y de las propiedndes del

httpirnm se deduce la desigualdad

I / O 1 < l/(»)H lfl(«)l ^ sup [/(a:)!-sup |fl(3:)| - m + M 6 C, Vz £ [a, M

11iil<* quo el conjunto {\f{x) + <j{'j:)\}, x £ [a, b], esta acotado por el numero ||/|| + ||j/||,wiilitiines cl supremo de este conjunlo, igual a \\j + segtin la igualdad (1), tambien est,!a< itl.ulo por este mismo numero. Por consiguiente,

sup ii/

i i«i In cual se finaliza la romprobaci6n de los axiomas de metrica. •

fl I, Demostrar que para un espacio vectorial normado arbitrario B — fx, y, z, vctilica la desigualdad

| i M I - I M | < ll®-!fli-4 Nnliiiitm. De acuerdo con la desigualdad triangular

INI ^Jlt® - $)+p\\ < It® - ffll + lisfll,iii' donde

I M M M K f f p - » ] &Inleivambiando de lugar x e y obtenemos

llsfll - INI ^ ( i v - ®ll - ll(-i)(® ~r i l l = 1-11-11®-!/ll = II® - fil

H b - i f l K I M - M -I )•• $£) y {3} se deduce directamente (1)- •

> s e

0 >

(2)

0)

m I jpifulo L Jul rod MiTion iu ; i i i « 1 I i s i h

6 2 , I Jeniostmr que un espacio vectorial SJt (v. ej. 59) se convrerte un un i'H|nicio euclideOjsi piira dos demon los arbitrarios A -- (atj) y / i -•-- ) definimos

m it (A S ) =

Solucion. Para demostrarlo es suficiente comprobar que {A, B) determinado por I igualdad (1) satisface los cuatro axiomas del producto escalar (v. p. 53.). La verificacion d<los primeros tres axiomas se deduce directamente de la definicion del numero ( X B)\

m n m n 1) U,B) = EEOijbij = EEbijOij = (B,A);

i-lj—1 i^lj=l 2) para las matrices arbitrarias A = (aij)r B = (b^) y C = (Cij) tenemos

m n m n m n (A + B,C) = +

t=l j=\

3) V j 4 £ 9Jt y V A G M,

bij Cij = {A, C) + (B, C); i=l j=1 i—1 j=1

m n m n (XA, B) A CTIJBIJ = A ajjftjj - A(J4, B);

i=i

4) para toda matriz A G 971 se tiene

m n M , A) a ?

Ahe*trtrittiu^c1 J u, y — u S1 y solo si todos los"elementos aela matriz j i son nulos, es decir, si A — 6, donde 0 es el elemento neutro del espaciavectorial OT. Por consiguiente, se cumplen todos los axiomas del producto escalar, es decir,la igualdad (1) define un producto escalar en el espacio vectorial 971 y, por tanto, 3DZ es unespacio euclideo. •

6 3 . Demostrar que un espacio vectorial normado E — {a?, z,... } se convierte en unespacio metrico, si para cualquier par de elementos x e y de E se define

p (x> y) x ~~ y\\-

<4 Solucion. Demostremos que los axiomas de metrica se cumplen (v. p. 5,4). Efectivamente,de las propiedades de la norma se deduce que

1) p (xt y) = \\x - 7/11 ^ 0, con la particularidad de que p (.x, y) — 0 si y solo si x — y es decir, si x = y;

�� p (x, y) = \\x - y\\ = IK-1 )(y - x)\\ — ] — -\\y-x

3) p (xt y) - \\x - y\\ = yyz € E.

\\x- z + z - y\\ < X — z ^ I\y - ®|[ = (y}

+ II* ~ y\\ = /»(a?, + p f o y )

Asi pues, los axiomas de metrica se cumplen: E es un espacio metrico, • • ! • • I

S r i. I f cpac i tM v tN ' in rUlcw y in^ti'lniit 49

tl|prrk'i(Mf»J. ) It'mnvlrnr (juc el con jun to C. ( f , >/, I t . . . . ) ill' IoiI.ih IiIh t1piici1i.ii met; posiblos t ic tin eon junb) I'J

cit 1111 ewpacio vectorial f sob it1 tin c a m p o IK en uit i*np.n:iO vectorial sobre esu m i s m o r a m p o ,Htl. I h twis t far quo. cl con jun to d e l i t o numuroH eoiupJujijfi (:'J forma un espacio vectorial Hobie el

uiiii|Ni i te lbs mmieros reales-K.

I li'nitwlfar i[ue un espacio vectorial R m se coiwiurte en tin espacio vectorial n o r m a d o . Hi paraniiiJq titer e lemento x = ( a j , x ^ , . . . , js,„) se define una norma | |x| | po r m e d i o d e una d e InslUihiklades siguientes:-i) | |k|| - | « i | 4- + 1- \x,„\ (norma oc taedrka) ;I') | |x|| - max [a*,| (norma cubica).

UJ Jtittr> , < (idles d e las igua ldades siguientes:

m jm ..} ||x|| b) \\x\\ = . r£arf,ci>0,i = -l,m;

y f-tO ( ] x [ l - | * i W W + h d) Hx|l = max o,'|«i|> > 0 ; e) 11*11= m i x j;r, |

l^ i^m 1 i?-.!n I ili-iinen una ntimi.i en el espacio vectorial M'"?

Ihi I K'CTHMtrar que en un espacio vectorial 9Jt cuyos e lementos se represenlan por- las matrices(«,;) d e d imension m x n , la n o r m a |j4|| p u e d e ser def in ida median te una. tie- las

ij;iiilldades siguientes:J rn n

« P H - J E E 4 ;y '-1 M

b) \\a\\ = max E l « . ' j l ;

i) [|,4|| = max E M; d> \\AW - I%1-

fiv Sea 3Jt el conjunto del ejemplo anterior. ^Cutiles de las igualdadesI m n 1771-1 n

•'I m = , / E E a v a b ' rn > 0> b) im'I ** J y .-I j. i y m j-tm ii

i ) Pjj = E aij >-(,> d) lUtl = max «(,-|ay|, a,-j > 0;e) ||/1|[ = mdx i*i>|«i/l( a,y<cO>, f) jlAj[ — max ay > 0, m > 2

iletinen una norma en el espacio OT? Ml. A pavtir de la definition de metrica, demostrar que en el espacio Rm la distancia entre dos

puntos arbitrarios x — (»tl . . . , i„) e y — (y,, y?,..., ym) puede ser definida;;mediante ude las igualdades:

Im ,n

V i i j^i

c) P (x, y) ^ rnsx - tfij; d) p (x, y) - - J/.)2. «. > 0;

e) p(x, y) ~ E <*i\xi- & > 0 {*.y)= "tix ("ifci-SilK O. >0.•v. Vlediaiite comprobacion directa de los axiomas que definen una m^lrita, demostrar que en el

espacio vectorial W cuyos elementos estan represcntados por las matrices de dimensi6n m x n,Li distancia entie dos puntos (matrices) arbitrarios A = (a,,) y Ii = ( t , j ) puede ser definidapor medio de una de las igualdades siguientes:

5 0 C a p i l u l o f. I n l r o d u c f i r t n ii! j i t id l is is

m n » n) p(A,u) X!Y1 -br}?'> L)) P ( ^ i M ) k j ~ M ;

mc) max d) = ~

60. Sea E un espacio metric© con una metrica p : E x E R+ .Demostrar que si E es, ademas, un espacio vectorial, entonces E es un espacio normado conuna norma ||#J| — p(x, 0), donde x es un elemento arbitrario del espacio E y 8 es el elementoneutro de dicho espacio-

61. Un cierto conjunto de puntos constituye una bola abierta (cerrada) en el espacio metrico M2.Representar dicho conjunto al definir sucesivamente la metrica p mediante cada una de lasigualdades siguientes;a) p (x, y) - y/(xt - y\f + (x2 - Jfe)2; b) p (x, y) = \xt - r/i| + \x2 - y2b

c) p (x, y) - max fe - Vi \; d) p (x, y) - J +V

e) + f ) />(x3y) = m a x { ^ , ^ }

§6. Limite de una sucesion6.1. Concepto de sucesionDefinicion. Se denomina sucesion de elementos de un conjunto E a una aplicacion

N E : n j-v xnj

es decir, a una funcion que a todo numero natural n £ N le pone en correspondencia unelemento xn e E.

Para designar sucesiones se usan las notaciones {xn), o bien X\} x2,... T xn,...,o bien xn = f(n), n £ N.

Los elementos Hainan terminos de la sucesion y xn/ termino general de la sucesion.

El conjunto E puede ser muy variado, por ejemplo: R, Rm, C[a, b], 971, etc. SiE — M, la sucesion se denomina numerical si E — Mw, sucesion vectorial; si E ^ C[a, 6],sucesion funcional; si E ~ OH, sucesion matricial, etc. En cada uno de estos casos el conjuntode todas las sucesiones posibles forma un espacio vectorial normado yf por consiguiente,un espacio metrico.

6.2. Sucesiones convergentes y sus propiedadesPrimeramente consideremos las sucesiones numericas.Definicion. Una sucesion (xn) de numeros reales se llama convergenle, si existe un

numero real a y para cualquier £ > 0 existe un numero natural m tal que Vra > m severifica la desigualdad

' & | ^ £ \

En este caso el numero a se denomina limite de la sucesion {xn)f y en formasimbolica se escribe:

lim xn — a o bien xn —> a para n —y oo.n—> oo

Mediante sfmbolos logicos, la definicion se escribe de la manera siguiente: unasucesion (a?n) se dice que es convergente, si

3 « £ ] R A V £ > 0 3m € N : Vn > m => \xn - a\ < e.

tjli. I.lmilr ilt* iniii MUi't'itlOn f»!

I lua suecsidn i]UO no converge ,se lliimii iliiu-i^nilr. it'oivma. Si t

Itm ii,, b, entonces

it*o rem a. Si < fas sucesiones itr mhiicntu mthv (.r„) <• (</„) ronvergen y lim sin II "X-

lim (xn + J/,) u \ h, lim x„yn = ab, n - X' ii-ioo

lim — = ~ (yn j i O V t i G N , b j i 0).yn o

(>,3. Criterios de existencia de los limites1. Si y„ ^ xn < Zn V?i > ti0 y lim y„ — lim z„ ~ a, entonces 3 lim xn = «,

2. Las sucesiones mondtonas y acotadas tienen limite.

.1. Una sucesi6n numerica (»„) tiene limite finito si y solo si

Ve > 0 3 m € N im > m a Vjs € N =f- \xn+p - xn\ < e

<i niiuio tie Caucliy).6.4. Niimero e

l.a sucesion ( l + j ) , n t N, tiene un limite finito denomina do numero

lim f l + " = e = 2,718 28] 828 459 045 . . . .n -i® \ 11/ 6.5. Limite en sentido impropioDefinicion I . Se denomina A-entorno del "panto + 0 0 * ("punto — oo") al conjuntti

• It* |uinlos de R que satisfacen la desigualdad

A < x < -boo ( - o o < x < A) .

Se denomina A-entamo del "punio oo" al conjunlo de puntos de IK que noIn'iti'ittscen al segmento [ A, A].

Definicion 2. Una sucesion numerica (ar,,) se dice que tiene por limite +oo( ;x>)ii i|<h' licnde a +oo(-oo) si

VA > 0 3 m € N J Vn > m => xn > A (VA > 0 J m £ N s V» > m ^ xn < - A ) .

Una sucesion numerica (sb„) tiene por limite oo si V A > 0 3 m £ N : V n > in > k.,1 •> A.

6.6. Limites parciales. Limites superior e inferiorDefinicion 1. Si una sucesion parcial (a;„.) converge, su limite se denomina limite

I'linitd de la sucesion (x,i).Definicion 2. Un ru'imero a € K se denomina punto limite de una sucesion numerica

(.r„) si cualquiera dc sus cntomos conliene un niimero infinito de terminos de la sucesion.HI limite parcial dc una sucesion es tambien un punto limite de la misma.Defiuicidn 3. El limite parcial maximo (minimn) de una sucesion numerica (ai„) se

tuiioce como su limite superior (inferior) y sc designa con el simbulo

lim xn (Urn xn).n- 'X 71 *ix:

Teorema. Tod a sucesion numerica tiene limites superior e inferior.

. . « r 1 * I W B + J

0,7. SiKvsioncs convergentes on un espacio metricoDefinicitfn, Una sucesion (x„) de elementos de un espacio metrico b) se denomina

convergent^, si existe un elemento a £ E y para cualquier e > 0 existe un numero natural m tal que Vn > m se verifica la desigualdad p (xT} a) < e.

En esta definicion el numero natural rn puede sustituirse por un numero realpositive ear, pues la desigualdad n > a conlleva que n > [a] — rn,

Si en R w esta dada una sucesion xn = (xin, • • *, ft €-N, para la que existelim xm, i = 1, m, dicha sucesion converge y resulta valida la igualdadip / x --» yo

lim xn = (lim xin, lim x2n,..,, lim xmn).n—KXj n—oo «—»oo n—*oo

Analogamente, si en 9Jt esta dada una sucesion

aAk - I | , k € N,

a

<*)11 (k)dj2

����• *

(fc)ml am2mtal que 3 lim aKpq, p — 1, n, q = l,m, entonces esta sucesion converge y se verifica la

/ O - M X i

igualdad

limfc—s-OO

limfc'->00• * * *

a n* i 4 J *

lim* f 1 h * 4

a12

n v i * * * m +

limfc^QG

(A)

^ « • r

limjfc—*Q0

(Jt) limAr- oo a m 2 • •

limfc—'OO

(fc)/

6 4 . Demostrar que el Hmite de la sucesion (x„) = e s

^ Solucion, Tenemos \xn ~ 2\ ~ ^ ~ 2 j ~ i . Para todo s > 0 3m G N tal que1 1 - < c (v. ej. 28). Entonces, Vn > m se verifica la desigualdad ~ < e y, por consiguiente,

- 1) < es decir, lim xVl — 2. • n—

6 5 . Demostrar:a) lim qn 0 para < 1; b) lim qn — oo para |g| > 1,

n—»oo rc—»oc ^ Solucion. a) Si q - Oy la igualdad a) es obvia. Sea s > 0 arbitrario y 0 < < 1. Haciendo

uso de la desigualdad de Bernoulli obtendremos

1 +

I # V M<?i { ) M?l / V|?!

de donde

= l«Bl < " i r n ^ < e Vn> — i i ! — .

b) Sean j'/| > 1 y A > 0 arbitrarios. De este modo, a partir de la desigualdad

q\n = (1.+ (M - D)n > 1 + n(\q\ - 1) > rt(|g| - 1) > A hallamos

kP > a V » > _ A t . •

tjfr. liitilli1 ili> wim Mii'ralrtn H3

^ lliilliii los l imi tes s iguientes :

* ' _ 4 Inlixion. Iii memos S n = ^ + ^ -f ^ + • - •• -"Ju 1, entonces

" ;> " 2 l ? 22/ + V23 23/ + V 2" 2" / 2 » "1 / 1 1 . 1 \ 2?t - I 2 \2 ' ' 2 ? 2"-1'/ " 2"1)1

S - j H + 1 + ... + . 1 ~ 1 _ ! , 1 - z^ 2ft - 1

IV esto modo,

= lim 3 -- lim ~ - 2 lim ~ + Urn - - • 3,rt—00 Ft — t o o A K --(Xi £ 7 1 - > 0 0

mi donde hemos utilkado ei hecho de que

n n n 2 < = r < e ' {1 + 1 ) " f + » 4 ^ +••• + ! 71 - 1

para malquier e > 0 y i i > l + ^ e s decir, lim r = 0. • ' n—<x> r

h i . lim C - 1 - + J L + . . . + • 1

n ™ • 2 2 - 3 n(n + 1)^

4 Snlucion. Observemos que

1-3 n(w + l) V 2/ V2 3/ U n-f-lV n +1I 2 + 2 I'm tanto,

Jim f ~ . 1 , , ] = lim ( l — = 1 .h-hx V1 • 2 2 - 3 n(n +1)) n <00 \ n +1 /

(18. lim(V2- s/2-^/2 • V l ) .

4 Solucion. Puesto que yft - <f2 • </2 • - - Vi m = j i-igH „ 2

n > 2

?• ( 2 ^ ' f = ( l + f t f * - 1 ) ) % ( l + ( 2 ^ - 1 ) ) " =

= 1 + n{21'1" — 1).4 1- (21/z" - i f > n{2y'r - l ) , es dock 0 < - 1 < ? ,

entonces 2!/" —> 1 para n —)• 00 y el 1 unite de la sucesion es igual a 2. •

! i ' i ('•ipilulo I. InlJodiKviurt al anal is is

Demostrar Lis igualdades siguientes:

6 9 . lim2

n -»oo VII— o.

M Solucion- La igualdad se deduce de la desigualdad

0 < Hl- - ? 2 _ .

w! " 1 2 3 * I 4

2 / 2 \- ^ 2 71

9 /2\n

2

y del hecho de que (|)w —• 0 para n —> oo (v. ej.65), • 1 1 1 ! ii i i i b — n a

7 0 . limn

n—*QQ a n 0, a > 1.

^ Solucion. Sea m un numero entero Tenemos

Q < — < — m

nan an i n /y/a

nV1

m

donde b = yfa > 1. No obstante,

0 <n nbn (! + (&- 1))"

n < In1 + n(b - 1) + - l ) 2 + - • - + (6 - l)n « { » " 1)(6 - I)2

0

para n

( f ) " 1

oo; ahora, aplicando el teorema del paso al Kmite en un producto obtenemos que0 para n —• oo, de donde se deduce el resultado requerido. •

anlimn—foo 711

0.

<4 Solucion, La igualdad a cero se deduce de la evidente desigualdad

0 <nl

a\ |aj a a a« r t i 4

l 2 m TTi + 1 n <m a

ml V m + 1

que es valida \fs > 0 y m + 1 > \a\ si n es lo suficientemente grande, • r . .

7 2 . lim nqn - 0 si |o| < 1.oo

A Solucion. La demostracion se deduce de la expresion siguiente:

\ngnnXinX«

nV1' b>l (v.ej.70). •

7 3 . lim \/a ~ 1.fi —>CO

M Solucion. Para a — 1 la igualdad es obvia* Sea a > entonces tfa > 1 y (v,ej.40)

a (1 + (\fa - l))n > 1 + n(y/a- 1) > n(</d - 1),

i l r < Ii ii u(t* obtenemos 0 < \/a— 1 < £ < e para n > * (e > 0), es decir, tya 1 paran »

- fjit; I imilo ili* tntii nili riinn !»!

Si 0 < rt < I, tenemm > I y, my, tin In demonliadu, '\J\ > I para n - •> oo, luegt

[im \/7i - • lim ' ' : 1. • r»-n3o Jt - / i i* « / i

\ I'm \ • V « ,! .OU V «

7 4 . l i m ^ = 0 , « > l .M -au n

4 Nnlueion. I )udo que lim pr — 0, b > 1 (vease la solucion del ej. 70), entonces A < < I n-*o& o™ e (una Ti lo suficien temente graiide. Sea b — a£, donde c > l y £ > 0 c s arbitrario. EntonceH,

1 • ~ < 1, o bien 1 < n < a2". -ii'" a'n

Tomando iogaritmos en la ultima desigualdad, tenemos 0 < log(in < s n , de domicloj> a

^ •— < e para n to suficientemente grande. De la ultima desigualdad sc dediuvpf i i:.amente el resulta do buscado. • 7 5 . lim L

Jl >00

4 No I ik'ion. De la desigualdad ev id en to

ft (I I (\/n - I))™ = 1 — 1) + (v/H — l)2 + f

-«• deduce que 1| < y f ^ < e Vf > 0 y Vn > 1 - 2 e ~ 2 . •

7 6 . lim = 0.

4 Hotucion. Demostremos primeramente que

n\ > (I)"-Apliijuemos el metodo de induccion matematica. Para n = 1 la desigualdad cs e video to-:.[i|ioniendo que la igualdad es valida para n, para n + 1 tendremos

I .i ultima desigualdad es valida, puesto que

(I I 1 ) = 1 -f — + — • » — j- -, i- - — s -:»/ 2\ n rs! f*

, n Ji{n - 1) n ( n - 1 ) . . . ( n - w -f 1) 1 i r * ' ' i

1 1 1 1<14-1 -4 1- U . - < | + 1 -| [ 1- < ^ £f n! 2 2n~1

C'j|.)i'liil(i I. Jntroducdtin AI dn.tlisis

1 a existencia del If mite y till vaior igual a cero so deducen tie la dtisiiguAldad

1 ^ 1 3 ^ 0 < —p=- < — = = — — <

V7?J n

que se verifica Vs > 0 sierppre que n > i • i • •••

7 7 , ? Demostrar que la sucesion' (as )r

creoe mon6tonamente y esta superiormente acotada, y que la sucesion (yn),

Vn = ( l + -j \ nf 1

H 1 '

decrece monotonamente y esta inferiormente acotada. Demostrar que arnbas sucesionestienen el mismo limite

/ I V " ( l \ n + 1lim 1 - f - - I = lim ( 1 - J — ) = e,71—00 V 71/ n-»oo V 71/

M Solucion, De acuerdo con la desigualdad del ej; 40/ tenemos

n+1

V1 + " + 1 ) - 1 ) ! L t l : > Y !X n + \ (w -f-1)2/ \ 7i;+:a7 m

yn = ( 1 + ir) = a • n^+rl U w + i l _rri3-U--ri2 - to -11f n - i + « ™ + ^ '

es clecirA/rcflyV^(:(oreee.)r:e\ (decrece). Ademas, xtl < yn y 0 < yn - xn = ( l + £ < < ~ - Tft cuaddom—• oo, de donde — —* 0 para n —> oo,

• Porl consiguiente, lim xn — lim yn — e, • 7J-+CC ft—>00

7 8 . Demostrar que

0 < e - f l + —) < —, n G N.v j i / n

^Para que valores del exponente n la expresion (l + se diferencia del numero e enmenos de 10 ?

Solucion. De acuerdo con el ej,77, tenemos ( l 4- > e. Por tanto,

/ 1 \ 1 e ^ i < (1 + - ] - < - < - < - para m > 3000. • V n/ n n n -1000

tj(>. l int i l i ' t lc mitt ^tiii'xiOii ay

{it'll {p„} una sucesitin nuinerien nihilr.itlM i|in* (lender } y (</„) una wi^cniun(HHiit'i Um arliifraria que tiende a oo. l>eino!ilrar que

p« / , \ fp.• (j.lim f l + — ^ lim ( l l 1 )

11- .00 V p„ / t. \ qn J

4 IM(iei(Vii. Sim ftejj) una sucesion de numeros enteros urbitroriji que tiende a -foo. Pn estepfltn, do !,t desigualdad

| I ~ j - e < e para n > N{e), e > I),

m< lU'iliii e que j + ~ ej < £ para nk > N(e), es decir, lim + — e.

Si 1111,1 sucesion numerica arbitraria (p*), P* > 1, tiende a +oo, existe una sucesionUpMUlnioms enteros (tt<.) tal que ^'pi; < rc^ -f-1 y n^ —» +oo. Dado que el primer y elj^mti l " miembro dc la cvidcnlc desigualdad

l + V V V n jifcpwiilt'ii a <:, entonces lim ( l + — e. 1

ii-too V P>< J In una sucesion numerica arbitraria {qk),~<Ik > tiende a — oo, entonces suponiendo

qu it,, obtendreraos

Ml. I Xido que Jim (1 H — J = e, demostrar queJi-too \ 71/ 1

A |niiiii de esta expresion deducir la formula

2! 3! n! n - n ! '

ilnixle (I < <)jt < 1, y calcular el numero e con un error del orden de Id - 6 .

| Mill tieJon. Efectuando el paso al Ifinite en la desigualdad

\ n/ n 21 71 3! n | t n(n- 1 )-••(» - ft 1-1) ,_L + . : n(n -!)••-21 1 >

fc! Titjt n\ nu

itlHeitdioinos para n —> oo la desigualdad

+ i + I + . . . + l = s r f t ,

5H ("iipiUilo L hih'udiurion aJ andlisiM

quo sc verifica VA:. Dado quo en cl conjunto (//*) no existe el elemento mtfximo, para A;tendromoH

es decir, la igualdad no puede veriffcarse. Ademas,

x / 1\" 1 1 n — (1 4- — j + - + ~ + T 1-

2! 3! + A = Un* n:De este modo, xn < yn < e y lim xn — e, de donde se deduce que lim yn ~ e.

to—»cx> rt-^ooEfectuando el paso al limite en la desigualdad

Vm+n Vn 1 + 1

(71+1)! (tt + 2)! + + « » 1

(n + m)

<(:n + 1)1 \

� � �1 +

<

1n + 2 (n + 2) + 1 71+2

• 1- t < 1(n +1)! n + 1 n * n1

para un n fijo y m —* oo obtenemos

0 < e - yn < 1n - ni

Designemos 6n ™ , 0 < 8n < 1. Hemos obtenido, pues, el resultado buscadoiLa desigualdad 0 < e — yn < ^ . 1

r

<10 es valida para n ^ 8, de donde

^ 2 1 1 1 1 1 1 12! 31 4! 5! 6! 7! 8!

8 1 . Demostrar la desigualdadn n

< nl< e

Solucion. El primer miembro de la desigualdad es valido para n — 1; por induction s tiene

(n + 1)1 - nl (n + 1) > n \n) (» + 1)'n + (n + DC?)'1 . / » + l\n + 1

>(T) /

_ |

puesto que la desigualdad (n + 1) (|) > 1 es equivalente a la desigualda(l + < e (la validez de la ultima se deduce del ej. 77).

El segundo miembro de la desigualdad se deduce de las expresiones (v.ej.42)

nl < n +1 2

n n2 -(f)"

n "n2 < e n

2 •

8 2 . Demostrar las desigualdades:1 / l \ l a) < In ( i |— J < —, donde n es un numero natural arbitrario;n +1 \ n / 77,

b) l + a < e f t , donde a es un numero real distinto de cero.< Solucion, a) Tomando logaritmos en la desigualdad (v. oj. 77)

K ) " < e < ( 1 + « )

1obtenemos n In (l + < In e — 1 < (w + 1) In (l + de donde se deduce la desigualdad a).

tj(). [.itnilc df I I I M N I I I I ' D I I I I I 5*J

II) Mil primer lugar, demos Ere inns qui1

- r < lu(l I r) • r, (I) I 1 T

llhiuli' r i's un niimero racional eualquiera distil Uo tie ami y superior a - I. Sea r ~ > 0.11" Initio, en virtud de la desigualdad a), obtenemos

hunt, =V n > \ n n +1 n + m ~ 1 /

- In f 1 + i) + In ( l + - L - ) + - • • + In ( l + - ) < V n J \ n + 1 / V 7i + m - I /

< - + — t + • • - + 1 < — - r,n. tj + 1 rc -i- m — 1 Ji

714-1 TI + 2 ti + m 7i + m 1 + ™ H T-j

tie iIinide so deduce la desigualdad (1) para r > 0.

Mi I < ri < 0, entonces suponiendo ~T\ = r, 0 < r < 1, tenemos

ln(l + - ln(l - 7-) m - In » - In ( i H ,

il«i iiitndc - < ln( l 1- 7"|) < — t , c s decir j-^r < l n ( l + r i ) <

*hm a un niimero real arbitrario superior a —1 y dislinto de cero. En este caso existetin minuTO racional r tal que r , f

2 if+r a

Ijinj; cji'inplo, cualquier numero racional r que sc cncucntra entre los numeros reales ft y V i r I 4 f Of — 2). De este modo,

M , , „ > < ln ( l+D - M l n ( * " + 2 ^ ) + i ) < r f 2 ^ 7 < -

I'm consiguiente, l n ( l + a ) < a (a > - 1 , a # 0) y 1 + « < ea (a > - 1 , a ^ 0). Si a < --1,In di'.igualdad 1 + a < e.a es evidente, por lo cual la desigualdad 1 + a < e" se verificapiii.i toilo or -f- 0. •

Demostrar quel im n ( « " - 1 ) = Ina, a > 0,

Ji -*oo \ /

ilttndc in (i es el logaritmo neperiano (de base e = 2,718 . . .) del numero a.

$ Nnliuion. De la desigualdad (l + < e < j'l -+ ~ j se ve que 1 < n ( e — <

1 i , . n > 1. de dondeji I lim 7i [e7' — 1 ) — 1.

Si a > I, entonces se tiene y71 — n ^n17 — = n — •= zn — In a,ilonde zn = j^- —' +<x> para n ^ oo. Designemos an = [z„] (parte entera), entoncesiv . ^ ' r 1 v —I—• <"" * — . dp dntirip I 'hf (Ml;-11 t v (11 I)i . I,

w Oifiliifo I. I rr(mdu<d6n ill iimtfirdN

In a - - l ) < yn < Jn a H- l),

- Jn -- l ) I In a (an + Ijfe'*"17 — l ) < yn < In a • an — l) -I- Jn a(e*T» — l) ,

Dado que la sucesion - l ) ) es una subsucesion de la sucesion convergen(n{e~* ^ l))/ entonces

lim - l ) = lim n(eTt - l ) 1. n-^oo «-+ oo

Aplicando la afirmacion 1 del p. 6.3 obtenemos

lim ynfl—>00

lim71 -CC

f l n a _ i j + i n a ( e w« a> 1

Si 0 < a < 1, entonces

Vn^n (a» - 1 ) n 11

iW

n( 1 - 1

bn bT n(b« -1),

donde 6 = ^ > 1, Como bft 1 y n(b» —l) —> In 6 para re —> oo, tenemos

lim yn71—+00 In 6 In1a In a, 0 < a < L •

8 4 . Utilizando el teorema de existencia del limite de una sucesion monotonamenteacotada, demostrar la convergencia de la sucesion (a^), donde

x n i + l4

Solucion. Tenemos 1£ f t

i

1 -I- y i > 1; la sucesion es, por tanto, creciente.El caracter acotado se deduce de las desigualdades

In xn <

2 4 • * t

1 1 1 _j < - H h 2" 2 4

1f * - I 1 .

1 2" i i

*

2 1 ™ I A 2

xn < e

De este modo, de acuerdo con la afirmacion 2 del p. 6.3, la sucesion converge. •

Haciendo uso del criterio de Cauchy demostrar la convergencia de las sucesiones (xn)siguientes:

85. Xnsen 1 sen 2 ,

I zz r t »

2 22, senra _ „.T+ ^z—•f bGN.

2"< Solucion. Sea Vs > 0. Tenemos

Xfi-bp xnsen(ra + 1) sen(ra + 2)

— r * W 1

2^+2 + sen (ft { p) 2» > p

, sen(rc + 1)| | senfa + 2)\ • j . ^ MM I * ' l ••

sen(n f-

1 1 <: - - — | — -^ 2n+1 2n i'2

I- • r i r

yn IPf

IV

1+1 1

1 12

2n <6

para n > — log2 e y para todos los p naturales.

$(). I,finltv (Ii* mill niii i>riliiii (tl

Wi.I • 2 ' 2 - 3 '

I r ' m N.n(n ( I)

fittlm ion. I'itta e > U atibitrario y para Indn ntitntiu ii.iUir.ii p tenemos

cos(n p)\ k , ir Ji»| •••

cos(n + 1)! con(n | 2)!(n f 1)(» -I- 2) (n 4- 2)(« I 3)

1 1

+ T -

(n + l)(n + 2) ( » + 2)(n + 3)I 1 1 1

- -) t-

(71 + pX» + P + 1 )1

(» 1 P)(n | p +1) 1 I

71 + ] 71 + 2 71 + 2 71 + 3 1 1

71 + P 71 + p + 1

< — < e Vti > - - 1 = N(e). • 71 + 1 71 + p + l n + 1 £

N 7 . Una suce&kSn (a;,,) es de variaci6n acutada si existe un numero c tal que

\x2 + — H + \xn - asn-jl < c, n e R

I h'utostrar que toda sucesidn de variaci6n acotada converge. Construir un ejemplo deMno;ion eBnvergente que no sea de variation acotada.

4 -ii>I iii ion. De la definicion se deduce que la sucesion (y„), donde

yn ^ ~ xt\ + t»3-*2l + --'+ K -

Hiiivrge (pues cs monoUinamente crecienley esta acotada), luego

(I), | j, - | — 'n 1 it + ? "r. I + * * ' ! " Xrl , j] ^ ^ (ajn+j • - fa| + (®n_2 - a;„-il H +- la^+p - rxn+p-it = \y,n P~y,,\ < e

I mi.i n > jV(c-) Vj> > 0, es decir, la sucesion (xn) converge,livid en temente, la sucesion

j -

i on verge; no obstante, dicha suction no es de variacion acotada, pues para cualquierA » 0 la desigualdad

2 2 2 I 'V ~ ®i| + ~ Sf?l + ' * • + ~ * » - i | = 1 + 3 + 5 + • • • + >

> l + J + i +

es valida para n >e — 1.

8 8 . Haciendo USO del eriterio de Cauchy demostrar la divergencia de las sucesionesdonde

a ) « » = l + i + - - - + i 71 e N; b) a:n = + + • • + J--. n 6 M.

67. ( <)|>ilulo I. Inlrmlui'tion ciMiili jN

A SoIucuhi, Sim £ un nmnero arbitrario pertuneciente al intervalo |(), }.a) Undo quo

1 + +n + 1 n+ 2 + 1 "> P

n + p n + p y para p = n

, 1 - ®ni > z > e Vn%

entonces la sucesion divergeb) La divergencia de la sucesion se deduce del resultado siguiente:

xn+p X1

n + 11n(n + 1) ln(» + 2)

u |_I A * 1

ln(n + p) >

> V > V 11 • • • • •

ln(n n+p 2 para n P•

• • • • • • n—n- • • • i • 1 • • • • •

8 9 . Demostrar que una sucesion convergente alcanza o bien su supremo, o bieninfimo, o bien ambos, Dar ejemplos de sucesiones de estos tres tipos.

- a. Supongamos que xn < a(xn > a) Vn E N. Existe, pues,A Solucion. Sea lim x n—roo

elemento miramo (maximo) de la sucesion, es decir, el infimo (supremo). Si la sucesicontiene elementos tanto menores que a como mayores que a o algunos elementiguales a a, en todos estos casos la sucesion tiene tanto elemento mfnimo como elemenmaximo, es decir, alcanza su infimo y su supremo.

Demos ejemplos de sucesiones de los tres tipos:1) (Xn) = = o - inf {xn}; 2) (xn) = ( I ) , ^ = 1 = s u p f e j ;n3) (xn) = ( ^ J , xi = -l = inf {xn}, x2 = I = sup{a?„}.

I I I—I MINI ••

Hallar el termino maximo de la sucesion (xn) si:

9 0 . Xn

n 2A Solucion. Designemos el termino maximo de la sucesion (xn) mediante el simbolo max xn

De la desigualdad3Tn.fl

valida para n > 2, se deduce que la sucesion es monotonamente decreciente. Potanto, el termino maximo es uno de los elementos x2, x3. Vemos que

max xn — 98

• ~r i •• i •• in • • •

9 1 . X Ti�����

���• • ™ ~ - —• in •

A Solucion. Dado que X n - i - i • • • • • 1000

x71 n4^, entonces dicha sucesion para n > 999 es monotonamentedecreciente, y para n < 999 es monotonamente creciente. Por consiguiente,

j P jjj.ft, Minllc ill- tiitii nilI'liioti M

lIHIll11"" „ ...max at., ''' imhi , .','I'J Kl •

' It UMIt

• I'ikit I.in sucesiones siguientes dotcMnin.tr inf{ j*„ j , lim x n y lim ,r„n—*c<> n •

•I) ,

M2. .r. - : ( - ! ) " l ( 2 + | ) .

$ fttiliniim. Dado que todos los elementos de la sucesion (x„) estan contenidns en lasmi.i-'uiKu-s xln I � � � y x2n — ~2 - siendo < x2n~i, y, ademSs, mien teasIn i.uit\sion es monotonamente decreciente, la sucesion {x2n) es monotonamentoi tm irulr, tenemos

= sup{a:„} — 5, lim xH = lim a ^ - i = 2,u—.oo re-- ,x>

7x2 — inf{a:H} = — r , lim x'„ = lim x%,t — - 2 .

2 71—00 u-*;x:

111 i 71

4 Niiliiiidii. Tenemos < Xjn-i < x,ltl, siendo (2^-2) decrecientey (x\i„) creciente. I'or1 'in i

inf{as«} = lim xn = lim — lim ( l - = 0 ,71—0£> 71-00 77—CO \ 47J — 17

sup{x„} = lim xn = lim x^ lim f l + ~ 2-77—oti 11—00 71—00 V 4n + [J

Mull.11 lim xn y lim si:rt—<X> ft-.®

ltd 7)2 „ 2fl-n

4 Nuliii'ion. Dado que x$n-Z < ®3r-i < ®3ti y las sucesiones (a.3,^;), {2:3,,-j) y {x1fl) sonluiivcrgentes, se tiene

,. - ( 3 n - 2 ) 2 I hill x„ = hm 2371-2 = lim — — r r ^ = - r ,

tj—CO ll—<Xi 77—00 A{± + [oil — Z) ) Z

T — 7. 7. (3n)2lima;)t = hm x3„, = lim -—-75-75 = 1. • 71—00 71 — 00 tt—OO [ — |p7f.J"

4 Sulucion. Formando a partir de todos los tannines de la sucesion dada oeho subsucesiones

1lacil convencerse de que los limites parciales minimo y maximo son los correspondienteaii las subsucesiones

:%lt .1 I [• • 1 Hn

• I _ - - | "l I I H •

8n - 3 f.

I * u

v T

X-An � � 8»M- 6 J Bn-6

+ 1,

respective men to. Por eso,

( / 1 l \ lim xn = lim a:Sfl_3 = lim f — f 1-f - J -\ on — 3/7Z - - C O

1

lim xn = lim - lim f f 1 -H + l ) = e + 1 .oft — 6/ / n - xi

V5

•

3

9 6 . n 2 wwxn = —— serLn + 1 4

Solucion. Tenemos ar4„ < < < de donde

lim xn -- lim —• 0, lim11 ti—*cc „ 4n—2lun ic4„_2 ~ lim -n +00 rt -oo 471 — 1 1. •

If Hallar los 1 unites pareiales;

1 1 1 3 1 797. i i V 2' 4 ' 8 ' 8 '

* t �� � � � �

> 2»> 2 nI + * •

< Solution. Formemos a partir de los terminos de la sucesion dada las dos subsucesionesvergentes: xn = r y = - Sus lfmites lim xn lim 1 0, lim x -- lim 2"-1

Tlti, - jy f l

son limit es parciaies.Dado que todas las subsucesiones convergentes forman parte de las dos subsuce

siones mencionadas, los lfmites parciales indicados son los unicos que ex is ten, • m m M - -

9 8 .

2f i n

1 I 1 5 2 '

1

1 1 1 ^ 2 ' 3J 3J

l + l 2 3J

1 1 1 1 1 1 14? + 4 ' 2 + 4 ' 3 4 ' 5 ' 1 1 L J JL ± . j __ 1 x > „ ? n n

+ 1 11 n'n+1

-t *

Solucion. A partir de los terminos de la sucesion dada podemos construir las subsucesiones1 1 1 1 convergentes xn = - y xkn = j + — (ft, n e N), cuyos lfmites son 0 y j (ft € N),

respectivamente. > f HI

9 9 .1 1 2 1 2 3 1 2 3 42 ' 3 ' 3' 4 ' 4 ' 4 ' 5 ' 5 ' 5 ' 5 '

* T- fr

^ Solucion. Evidentemente, todos los numeros racionales r (0 < r < 1) son terminos dela sucesion dad a. Sea a un numero real arbitrario tal. que 0 ^ Of < 1; entonces para unnumero natural m lo suficientemente grand e, la desigualdad

1a + < 1 n + vi

se verifica Vn € Ff.Para cada numero natural nf entre los terminos do la sucesion dada existe un

numero racional rn tal que

a < rfl < a 4* 1n -4 m

p fjit, l.iiulti' ilt> iniit rtuirumii 'i.''

I'm consign ion to, lim r„ <v, oit divli; < * fit uu (unite partial. I Jo manor,i an;1log,i soIIi>*iiiiiiiM el caso 0 < fir I. >

100 . ( nnslruir una sucesion numerica quo tenga como limites pa rein los un conjunto doNiiinonts r i | , . . . , Oj, dados do antemano.

4 NuliK'iOn. Sea Xfa — aj. + k — 1 ,p, n € M. Dado que las sucesiones X^i converged a Inn mi morns a*;, fc£ Pf, la succsidn buscada puede ser, por ejemplo, la sucesion sign ion Id;

1 1 1 1 1 I II, I I. <n I 1, . . . ; «J| + 1 , ttj + x i O p + ^ I • - - , « i + —, 02 + —, • • • , <*}> + - , . .Z 4 /L 711 Tt 71

la i it. 11 esta com pues ta de los terminos de las sucesiones (.njtn), k £ N. •

101 . Construir una sucesion numerica para la cual todos los terminos dc la sucesionii | sean sus limites parciales. ^Que otros limites parciales tiene necesaria-iiioiiie dicha sucesion?

4 Nittin ii'm. A partir de los terminos de las sucesiones xn - an, x^ = + («., A; ti Si)i iili.'tli'uyamos la sucesion

1 1 1 1 1 1a.u ai + 02, a! + -, + tt-j, a, + a2 + a3 + a4,.

ittio lionc por limites parciales: 1) los limites de Lis sucesiones (x^), es decir, los terminos•lo la sucesifin («„) y 2) los limites parciales de la sucesion (a„). •

1 0 2 . Construir una sucesiona) que no tenga limites parciales finitos;b) que tenga un unico limite parcial finito, pero que no sea convergenle;<:) que tenga un conjunto infinito de limites parciales;d) que tenga por limites parciales todos y cada uno de los numeros reales,

4 Solution. a) Por ejemplo, x„ =- n. h) Sea (En) una sucesion que tienda a un limite finito a, y sea ('?/„} una sucesi<5n do

ttinile infinito; en este caso, la sucesion i/[, x2, y?,..., X„, y,n . . . es divergente y tieneno (inico limite parcial finito ft.

c) Los ejemplos 99 y 100.d) Construyamos una sucesion que con tenga todos los numeros racionales

diuide fi y q son numeros naturales

1 _ 1 I 1 2 _ 2 3 _ 3 3 1 1 _ 1 2 _ 2' ' 2 ' 2 ' 3' 3 ' 3 ' 3 ' 2 ' V 1* 1 ' n' n* n>"'

w — 1 n — 1 n n n n n n ' n ' »T="i' " J T ^ T ' " * " ' 2' ~2' T1 " T ' " ' '

lil lioclio de que todo niimero real es un limite parcial se demuestra de forma antfloga a ionic se hizo en la resolucion del ej.99. •

1 0 3 . Demostrar que las sucesiones (a:n) e ($f„) = (a:,, ) tienen los mismos limitest'aiviales.

('ii|)i[(ilo I. JnlrodlKiirtii andlisis

A Solucion. Dado que lim tfn • J (v.ej, 75), entonces lim ^ donde (pn) es unaH * OO 71—•OO

s Libs u res ion arbitraria de una serie de numeros nalurales.Sen a un limite parcial de la sucesion (#„) y lim xPji = a. Al aplicar el teorema del71—•OO

paso al limite en un producto, hallamos

limn-+ooVpi t

lim xPnn — K X >

lim xPn lim = a,

es decir, a es un limite parcial de la sucesion (yri).Sea ahora /? un limite parcial de la sucesion (yn) y lim yqti — (3. Como ^fn > 0,ft.—'OO

queda pues bien definida la subsucesion (xTi) — { y u n " ) / y por tanto, tambien lasubsucesion (a?^) = ) que tiene por limite el numero /?, •

A

1 0 4 . Sea (ar„) una sucesion convergente y (;yn), divergente. ^Que se puede decir respectoa la convergencia de las sucesiones

a) (a?„ +1/„); b) {xnyn)lProponer un ejemplo para el caso b).

Solucion. a) La sucesion (xn -!•• yn) diverge. Si ella convergiera, la diferencia de sucesiones(rcn) y (xn+yn) tambien seria convergente, lo cual es imposible pues (xn — (xn = — (Vn) y, segun las condiciones de partida, (yn) es divergente.

b) La sucesion puede tanto convergir como divergir. Por ejemplo,1) la sucesion (xn) = (~) converge y la sucesion {yn) = ((—1)") diverge; sin

embargo, su producto (xnyn) = origina una sucesion convergente;2) la sucesion = ( j t j ) converge, e = diverge: el producto de

las mismas (xnyn) — tambien diverge. • n*i r- • _ • • • • •• i •

1 0 5 . Demostrar:a) lim xn -f lim yn < lim (xn + yn) < lim xn + lim yn;

n—>oc n—oo n—»oo Jl 'OO

b) lim xn + lim yn < lim {xn + yn) ^ lim xn 4- lim yn.»—•-oo n—*oo n—»oo 71—s-oo

Poner un ejemplo para el cual tengan lugar las desigualdades estrictas

(]) Nota, Si a partir de una sucesion (arj se forma cierta subsucesion (a?^), entonces

lim $ lim x^ . n- - * x M — 9 - 3 C

A Solucion. a) Dado que el limite inferior de la sucesion es su punto limite, entonces

lim {xn + ytl) = lim {xVn + yrJ, _]im_ x«—>00 71- -00 n —

Hlim x n—*o0

En virtud de la nota tenemos

lim xn + lim yn ^ lim xTn + lim yTn — lim x T1--+00 n - - + o o n — * o o K - + 0 0 n ^ o o

lim yfH ^ lim xtllrn + Hm_ymJl —*oo ri— oc

Dado que (xmr + ymr ) es una subsucesion de la sucesion convergente + Vr,X entonces

lim (x, 7 1 — K W

VrJ - i™(®mp.wJ l . —

V ' I finite do una siii'i'skin ()/

Adiinrts, como la suivsidn J converge, tambien converge la sitivsidii (i/m,„); list puiw

lim ymr = lim ym , »—oc: M—OO

V Li desigualdad obtenida puede esaibirse en la forma

lim xn + Hm yn < lim xm + lim ym - lim (x^ + ym ) = lim (xu + y,t),w ' r . • i'-—-X,' n -.x: n-^cc it—oo

111 priinera parte de la desigualdad a) queda demostrada. Tenlendo en cons iderac ion estele.'iullado y el hecho de que

11—*x> n -x>

n l i i r i i o m o s

Ii"1 (a:,. + y„) ~ lim y„ =Jim (x,t -f yn) i-jirn {~yB) < lim ((sn + yn) + (~y„)) - lim X„,11 71—00 71 — 00 77-00 77 *0C f.—.X

dr lo cual se deduce la segunda parte de la desigualdad a).La desigualdad b) se dcmuestra de una manera analoga.Construyamos un ejemplo para el que iongan lugar las desigualdades estrictas. iVan

••('•HI - j ft 77 '• "7 jiir «» - M ) ' sen2 yn - ( - l f F cos2 y - , n € NL

I osta forma, x„ + jfo = <C—1) 1 y

lim a:,; = —1, lim x„ = 1, lim i/» — — 1, lim y„ = 1,Tl—'OO 71 —CO 17—OC 71 -'00

lim + y n ) = - 1 , " Imfo, + y n ) = 1. > n—+(xj n—00

Sean x„ it 0 e y„ > 0, n € N. Demostrar:a) lirrL x n • Jim yn < lim (stls>„) ^ lim x n • lim yn;Ii—CO, 71—00 71—oo Ii — 00 71— 00

b) lim xn • limjfo lim (x„yn) lima;,,' lim yn,w—ic it—co n—oo it—oo n—ooPoner un ejemplo en cl que se verifiquen las desigualdades estrictas.

4 Solucion. Demostremos el caso a) (la demostracidn del caso b) es analoga).Si x n = 0 , n 6 N, o si lim x n — 0, la desigualdad a) es evidente. Queda por71 -OO

r\.tminar el caso lim x u > 0. Entonces, a partir de cierto numero se verifica que x n > 0.11—00

Teniendo en cuenta la observacion del ej. 105 y introduciendo la notacion

l i m l i m (xr„yTJ, Jim «f n = lim xm7i —00 77 —CO 71-00 II—outriH-Jnos que

lim xn - lim y„ ^ Hm % - lim yr„ - lim x„,: • lim fa < lim xmi • lim •(/„!,, , U -OO 71 —00 71—no tl—00 71—00 71-00 71—00 71—OO

(Vtmo (x„h y,„r ) es una subsucesidn dc la sucesion convergente (xri±ytJ, entonces

Km (Xj>y„) = lim (xTfiyr„) lim {xm ym ). h-*co i i — n — o o

C iipilnJo J. Introduction al .inalisis

Dado que la subsucesion converge a un limite distinlo de cero, Ja subsucesion {ymy

tambien converge, es decir, lim y/m,. -- ' im Vvtrn • Por consiguiente,H—>00

]jm_3r„ • J_i m_ yn ^ lim xmru • Jirn ym = lim (xm y^) - tim_(xnyn).OO 71 -HX) TI-OO —>00 ft —

Asi pues, la primera parte de la desigualdad a) queda demostrada. Si lim yn. — 0 la segurida parte de la desigualdad a) es evidente, pues en tal caso lim yn — 0, y po

n—>oolo tanto lim (xnyn)~0. Sea lim yn > 0, De acuerdo con lo demostrado y con el resultad

Jl — * CO T I —

lim lH CX) yn limp,,

n - - X

- • , obtenemos la desigualdad

1lim yn n^oo

ooton (FnVn) = Jim ^ - lim (xnyn) < Hm (—{xnyn)) = lim xnii -oo n—•oo yn oo k—>oo \ 7/n / n—too

de la cual se deduce la segunda parte de la desigualdad a).Pongamos un ejemplo en el que tengan lugar las desigualdades estrictas, Sean

1 7f [ n i I I

a„ - 2 + (-1)" , yn = 2 - ( -1 ) " +

Entonces, x„y„ — 3 + 2-k-D"(-1)

lim xn — 17 lim xnn—ti—>oo 3 1f Jim yn - lim yn

n—>oq 2 n—»oo3 g

lim (sByn) = lim (xnyn) -n—>oo Z 7i—oo z •

72

107. Demostrar que si el lim xn existe, entonces para toda sucesion (yn) se tiene71—•OO

lim (xn + yn) = lim xn -f lim yn.n >oci 1W00 n—coo

A Solucion. Como se sabe (v, ej. 105)

lim (xn + yn)^ lim xn 4 lim yn,ft—*oo 7i—^oo n—*oclim (®B + pn) ^ lim + lim yn.7i -oo n—>co n^oo

Dado que lim xnJ . 1—I I • IB

i f . — K X ;

igualdades. • limsn„ = lim xn/ en las expresiones anteriores son solo posibles las11—•OO 11 >00

1 0 8 . Demostrar que si para una sucesion dada (xn) y para toda sucesion (yn) tiene lugara I menos una de las igualdades:

a) Hm (xn + yn) - lim xn + lim yn o b) lim (xnyn) - lima,, * lim yn, xn ^ 0,n—foo n->oc- n—>00 r; ><:X' n- oo n ouentonces la sucesion (xn) converge.

Ffin I nnMo ill Hiiivsion t»l>

4 Noliuiiin. Supongamos que l<i nn|ilii jrtn .1) W cuniple, {:«„) es una sucesion arbitraria e n„ xlt. J'.n este casi), lk' la fnndicion a) so deduce

lim xn •}- lim (- ;/•„) -- lim x„ — lim x„ ~ lim (s„ — ) ••• 0,u ~ x ri - x 71 "X/ ri-»ix> 11-co

i|i' donde limxrt - lim xn, es decir, lim x„ existe. Supongamos que se outnplo lafl—OO Tl—KJO 11-00

tiwulii'ion b); tomemos ententes y„ = —1. En este caso, a partir de b) se deduce quehm ( x„) - - lim x„ o bien lim xn — lim xn, con lo que queda demostrado una vc?, masIt TI—CO fl—00 fl—KjO

iiiit11 fl limite de la sucesion (a;,,) existe, •

IIW. Demostrar que si xn > 0 y

l i m ^ • lim — == 1,tf-'OO tl fX>Xn

i-uloik'es la sucesion converge.

4 Niilnrion. De las condiciones del problems y de la igualdad lim ~~ - - • se deduct'rt—co " ji"" " qui' lim x„ — Jim xH, es decir, (xn) es una sucesion convergente. P-

II 'IX' Jl-fCO

1 1 0 . Demostrar quo si una sucesi6n (a:„) estii acotada y

lim (xn l j -xH)=0,n—*oc

nil 1 incus los limites parciales de esta sucesion est&n dislribuidos de modo siemprc densooutre los limites inferior y superior de dicha sucesion

i •— lim x„ y 1j — lim xa,rl—cc 11—00

i"i decir, todo numero del segmento [/, L\ es un limite parcial de dicha sucesion.

4 'inlucion. Demostremos que todo punto a pertcncciente al intervalo J/, L[ es un limiteI mi vial de la sucesion (asM); en otras pa la bras, demostremos que eualquier entorno de radio' |< entorno) del punto a contiene un numero infinito de elementos de la sucesion

Sea e > 0 un niimero arbitrario fijo tal que los e-entornos dc los puntos I, a y L 1 tu lionen puntos comunes. Segun Lis condicioncs del probiema, existe un niimero N(e) talqui* |ik,!+1 - 2:It| < 2s para n > N(t ).

Dado que I es un limite parcial, en el s-entorno del punto 1 existe un elemento xp|

tic i nd ice Pi superior a N(e). Por esta misma razon en el £-en tor no del punto L existe un• Ii-mento x% de indicc qi superior a j>j, Debido a que para n > N{e) la dislanda entryI'li'tnentos contiguos es inferior a 2c, entre los numeros natuvales n tales que pi < n < qt

1-Male ai menus un numero ?• j tal que el elemento pertenece al s-entorno del punto a.fixiste, 3 demas, un elemento xP, de mdice jh superior a qi y tal que xp. pertenece a!

j ontorno del punto I. Por consiguiente, entre los numeros n, para los cuales q\ < n < </,cynic un numero r j tal que el elemento x,., pertenece al e-entorno del punto a. Repitiendocar proceso un numero infinito de veces nos convencemos dc que existe un niimeromliuito dc elementos de la sucesion (av,) pertenecientess al ^-entorno del punto a. Por1 hiisiguiente, « es un punto limite. Dado que a cs un punto arbitrario del intervalo jf, L\, la alirmacion queda demostrada,

70 C.ipilulo 1. lnlrodui'iion al Iisis

1 1 1 . Constderaremos una sucesion numerica (.tu) que satisface Ja condition siguientc*Q ^ Xtm n ^ 4 xn/ m, n 6 N. Demostrar la existencia del limn^oo 71

A Solucitfn. Tenemos

x0 ^ xn ^ xyjr x\ H h X[ = nxi7 0 ^ — ^ X\, n = 2,3,ti )

por consiguiente, la sucesion esta acotada y existe fnfimo finito a = inf {^f } - Sea u e > 0 arbitrario, entonces existe un m tal que a ^ ^ < a + |.

Todo numero entero n puede ser representado en la forma n = qm + r, donde r e igual a uno de los numeros 0, 1,2, * . . , m - L Suponiendo, para una mayor uniformidada?o — 0, vemos que

71£qm+r . 4~ Xr-- ^ -

qm 4 f qm

4 * 4 xm + x m 4 Xr

Xin qmqm 4 T

X

4

mX

n \ 2/ qm 4 r

Dado que 0 ^ r < m 4 1, resulta que xr esta actpara n > N(e) se verifica

— < -n 2

m qm 4 r n 3/r ^ £ X i r4 - - < a 4 - + — n 2 n

esta acotado y existe un numero N(s) tal que

Por tanto, o: ^ ^ < a + f + f 71 jL Z a 4- s para n > N(e), por lo que lim ™ — a. • n—

n

112. Demostrar el teorema de Toplitz: Sean 1) ^ 0; 2) Pnk = 1; 3) lim P^ — 0 it—'•ooft

para todo k fijo; 4) lim xn — a, Entonces, la sucesion de termino general tn — ^ Pnk^k

converge y lim tn = a.

A Solucion* De la condicion 4) se deduce la existencia de un ntimero N = N(s) tal que ladesigualdad

x n a < ise verifica Vn > N(s); de la misma condicion se deduce la existencia de un numero M > 0 tal que

xn\ ^ Af, \xn - a\ 2M

para cualquier n. Finalmente, de la condicion 3) se deduce la existencia de un numero7i[) — n0{e) > N tal que

Pnk < 4 NM1 h - 1? Nt

para todos los n > %. De estas desigualdades y de las condiciones l)-2) del teorema obtenemos

H n n n n

P n k X k " a22 Y1 y j Pnk(%k - ^ ^ pnk\xk - =

w tjii. Liniltc ilr him mhvhMh 71

''.r[|»l ttj ! I ••• I /'„« Jl«tM "I I I'ntt i ii-''.v 11 f(l "I ' ' + /'tmW'n '

u11,It J lottos los /i > Jin, es dccir, lim („ — lim ^ t^t = ^

ii—

1 1 3 . a) I Jernoslrar que si una sucesion (ar„) converge, tambien converge la sucesion doIIII'i1m-i aiilmeticas (£„), donde

in = m + ' • • +

y liiti (_„ is limu - n—ou

b) Demostrar que si una sucesion (yn) converge e > 0 Vti G N, la sucesion dcDu'tliai; armonicas n

7* — i i t - + ~ + - • • -j- -LJfl 02

litml'teii converge y lim 7„ — lim yn.it—tx> n—oo

<•) Demostremos que si lim yn — -f oo, entoncesIt—00

lim 7 b = +oo y lim £„ = +oo,n—oo n—oo

i Mi it b 7„ es la media armonica y es la media aritmetica de los numeros yi, y?.,.,., yn.

4 Nnltn ion. a) Si tomamos Pllk = ~ (k = 1, n ; n € N), entonces para PKk y se cumplenii

littl.iii las condickmcs del ej. 112, verificandose, ademas, que tn = Yh Por

i iiuMj'.tiicnte, lim £„ — limrt—oo it—oob) Sea

1.Pnh = t — r - x " = v»-

y. y; y,t 'it- verifican, pues, todas las condiclones del ej. 112 y, ademas, f„ = j „ . Por consiguiente,Hm U - lim yn.II "«' «-*tX>

c) Demostremos que si lim = 0 , tambien lim = 0. Esto ultimo equivale a n-foo "n n =*oo

i|i»r lim 7» = -|-oo. Usando el ej. 1 1 2 y poniendo

(fc = *n = r - i« V» it

libit-nemos tn - £ = ~ V lim §- - lim ~ = 0.Tt—oo If n—oo

El resultado lim £„ = H-oo se deduce de la desigualdad (v. ej. 42) -y7, < y de quen—oo

lint 7,j ~ +00, •

('apilulo I. Introduction al . u i j I i m i s

1 1 4 . Deinoslnir que si una sucesion (y:rt) converge y xn > 0, cntoiKTs

lim s/xixi \ . . x n lim xn.n —*rxi n -••••> oo

4 Solucion, Tenemos (v. ej.42)

In : n

X + J . +Xi Xz

H-Xi -f ar2 "I VX n

n Sn*arII.

Dado que lim yn — limft—>00 n—>00lim (v. ej, 113), entoncesn—>oolim v^xx^ - * •x n lim xn. • n —>oo

1 1 5 . Demostrar que si Vn E N xn > 0, entoncesxlim </Xn - lim —

se supone que existe el limite presente en el segundo miembro de la igualdad

Solucion. La demostracion se deduce del resultado siguiente:

lim ^ - lim f • ^ • * 3 a:n X^ — & * = lim (v. ei\ 114),

1 1 6 . Demostrar que limn-*oo V^Ie.

A Solucion. Observemos quen nn

7 ll yXfi j

donde xn ~ Dado que lim ~ 71^00j - i i - , i

- lim 1 n--*oo V

ejemplo 115 obtenemos el resultado buscado. • 71 —

71!e y teniendo en cuenta el

117. Demostrar el teorema de Stolz: Si xa ) \ / n £ N yn+1 > yn; b) lim yn - +oo; c) 3 lim ^ J ^

n^00 ft^oo yn ~ yn-1, entonces

x lim 1

< Solucion. Sea lim -B—00 1

Pnk

lim ^ =

n^oo yn n^00 yn - yn-i

a (a es finito), Si consideramos que yo = 0, xq — 0 y Vk - y/c-A

Vn t k — 1? n, X «^ -1

vemos que se cumplen las condiciones del teorema de Toplitz (ej, 112) para Pnj. y Xn,siendo tfl = •Ex

yf*Por consiguiente, lim —• — lim tn = Urn Xn — lim

f l — i q q V " « — ^ m n — i r *

• ' d ^ J J • • 1

n—*oo H - ^ O O n - - t o o !f» -y»-i a.

Si limti—>oo [

== +oo, repetimos los razonamientos para la sucesion efectuadosanteriormente, asegurandonos para ello previamente de que > xn a partir de ciertono <z N y de que lim = -j-oo. ^

n—•oo

!((» I.llilllt'Jr lllltl riluvNIiiii 7;i

1 1 8 . IX'tncwtrnr cjuo M p cti nn niimrio Ifcllmal, CIIIOIU'L'H:

. .. I - 2'1 ! • • • i u" I t v .. f V \ 2"-I ••••„>' n \ i a) lira — • (l) lilt) - -* ---•f( HlSj P | j „ irtU V Ul> p -j- | / 2 '

i u lp +$? -i 1- (2n | 1)" 21'lt) lim — 5rc>"'1 p -i-1

4 Holm-ion, Para demostrarlo apliquemos el tL'orema de Stolz (cj. 117). Demostemot; cliij'.m.ulo b) (los apartados a) y t) se demuestran de manera and log a).

l>) Si hacemos x„ = (p + l )( lp -r 2V H -}- •»*) - np+1, y„ - (p + ])•».'', entuilcns*to(p+T+n):r(":iri+ra"1=Wt> 11 - Vn (P + l)((n + 1?- nP) f (p+ t)(r<?+piTl + n"-1 |. 1)

= lim I ^ (p + + pnv- i + + • • • + 1 - n/>)

~np + 1 - (f;-+1)n'] - i ^ U i V 1 l - t - y " \

G> + 1)(77.P + pnr-] + • • • + Efc^TiP"2 + - • • J-1 - J

A|;m|icmo9 los coeficientes de los terminos con igual potencin de n. Luego, dividamtw ely el denomina dor enlre np 1 y designemos mediante o (£ ) la suma do todo*

In', li'irninos de potendas no superiores a — I; de este modo, oblcnemos

„ , _ _ EtetU j - o f l ) nlim ^ X n = (im 2 + - 1 -

»-•<» lim 1 ~ Vn p(p + 1) + O (i) 2

Demostrar qtse la sucesion (xn), donde

= i + ^ + . ! + * • • + - - in2 3 n i unviTgu. Rene lugar, pues, Ja formula siguiente:

1 + \ + 5 +•••+-- = C + in n + £„, I. 5 n ill >mle C — 0,577216 . . . cs la denomina da constants de Eider, y eH —* 0 para ti —* oo.

4 'iiilni'ion. Dado que x,,^ - x„ = ™ - ln£«+l) + ln u - ~ - t a (I + i ) < 0 (v.ej. 82, a)),lii .tuesion (xu) es monotonamente deeredente, Ademas, die ha si.iccsion esta inferiormenteiii i<i,ida

1 1 1 i,. I + S + + 2 3 n

> 1n(l + 1) + In ( l + +lri ( l + i ) + ' ' • + In ( l -I - ) - Inn -

3 4 ™ + l , « + l 1 . /„ 3 4 n + 1 1*\ . = In 2 • - • J = In > > 0.\ 2 3 ii nt n n + l

\ Mi.lt!, pues, un limite finito C, y tiene lugar, por tanto, la expresion

2 3 n itiuule en —> 0 para n —> oc.

1 + ^ + s + • • • + - ~ In n = C + £„,

' 1 i. iiptrn To I. In (rod iuttrm a I anjljMiri

120. H a l l a r l im ( u -mxj \ n -

i f L_I- i n | 2

I* * -la « I • "

2 n

< Solucion. Sea zniI -h ~ 4 i • i

& • • j- Tenemosn

1 1 1 4 — — 4 - - + n-hi ft + 2 Inz2n •n In 2 n 4 e2n ^ In j i en = In 2 + (£2n €n)

(v.ej. 119) y

lim (—-n-+oo \ n 4 1

+ 1 n + 2 4 * • * 4 In 2. •

1 2 1 . Hallar lim xn para una sucesion definida mediante las formulasF l — > 0 0

x\ — a, x2 — 6, xn — Xn 1 ^ Xn 2 (n = 3 , 4 , . . . )2

Solucion, Tenemos

Xk-i 4 Xk ~ — X k L

SPfc-1 - £jfc- 2 2

Sustituyendo estas expresiones en la evidente igualdad

xn - a?i + {x2 - xi) 4- (a?3 - x2) 4 - - + (xn - «„-!),

obtendremos, a partir del segundo sumando, una progresion geometrica cuya suma es

xn — a 4- (6 - a) b a . o — a . . , _ b — a � ���2 4

+ r » 4 + M ) a 4 3

o) 6 - f l (»1)B

3 2 «- 2 >

de donde2(6

lim xn = lim ( a 4 B—''CO ft—>00 V 3

a) b-a ( -1 )nh — 3 2 a + 26

3™ r-i""-i

1 2 2 . Sea una sucesion de numeros definida por la formula siguiente

xG > 0, x Ti+l = l (xn + "M,2 \ XnJ

Demostrar que lim x n l .

<4 Solucion, Como x0 > 0 y xn 4 — ^ 2, la sucesion (x^) esta inferiorntente acotada porel numero 1. De la desigualdad = \ 4 ^ xn, valida para xn ^ 1, se deduceque dicha sucesion decrece monotonamente. Por consiguiente, existe un limite finito a y,ademas, a ^ 1. Efectuando el paso al limite de la igualdad

x71 + 1 ~ l (xn + —) , 2 \ xHJ

hallamos que a = | (a 4- es decir, a1 = 1 o a = ±1. Por otra parte, dado que Va E N xn ^ se tiene a = 1. •

§(>. t.imllt* ilc niiii miichIAh 7!>

I I Ion Hist rn r que las sun'Niniii'M {m„) r (//„) dcHniihs nwifitinlc las formulas

a.| i / j -- l>, xn 11 /"n.'/ti. Vm i 2 ( " - 1 , 2 , . . . )

t lwn i);iiiil limite /((«-, l>) lim :r„ lim yt) (la dunominada media arittnetico-geonwltk'ii It MWl H *C3t) "

lIii hut itiimeros a y b).

4 filillii'liSn. I>e las condiciones de partida sc deduce que V» £ N x„ ^ 0, y,, 0. UtilizandoIn tlfiigiiuldad

a ^ 0, 0,irtilt'iii-mt.s

Jf-i+l - X>1 2~y" lAn^.. =

I 'ai It i que ;crj+! - y/XnVn ^ ~ J/n+1 = ^ y„, entonces en virtud de que''ii }tn ^ Ift, Vn ^ ^ y segun la afirmaei6n 2 del p.6.3 las sucesiones (xn) e (;/„)Hi'in'ii limites finitos: A y B, respect ivamente. Efectuando el pa so a 1 limite en la igualdad

_ j y„ ih-hl — 2 '

iiMcnrmos que A — B. El valor comun de cstos limites se denomina media aritmt'tiah yi uNif/ncii y se designa mediante el simbolo fi{a, b). •

I ltd l.ti Ins limites:

4 Uttliuitin. Dado que

r<> nUiendo los productos en la forma

1 1 - - I X * j TH k* ~ ' k2 '

1 - 3 2 - 4 3 - 5 (n - _ ! ) ( » + 1 ) 1 n + 1h . i \ ft _ . . (1 - i . — • — - • 3 -V 22 / \ 32 f \ n2) 2* A7 n2 I n

hallamos que

lim ( l - I) ( l - i ) • • - f 1 - - Hm 1 • » + I = 1. * n-oo \ 22 / v 32/ v Ii2/ ti-oo2 w 2

4 Solution. Tenemos

linlonces

1 _ 1 - ( f e - l X f c + Z ) , _ n~

."aO-aHH'- )-_ / I - 4 2^5 3^6 ( n - l ) ( n + 2)N _ 1 w + 2 _ 1 \ 2 - 3 3 - 4 4 - 5 n(n + 1 ) / 3 * n 3 '

'/() Capitulol. Introduction a! analisis

Hallar los Kmitcs dc las sucesiones vectoriales (xM) siguientes;

nn + 1

< Solucion. Dado que cada una de las sucesiones de las coordenadas converge, segun elp. 6.7 tenemos

lim x7l = ( lim , lim f ^ - r l J = (e, e *).n—>oo V H—>00 \ n J rc—oo \7l + 1/ /

n + 1 n +1 Ti + l xn ( 1 j • - -1 \ n 2 n inn < Solucion. Analogamente a como se hizo en el ejemplo anterior, tenemos

r / n + i r w + i r ?z + i \ / . i n lim x„ — ( lim j. hm — — 7 . . . 7 lim — I — [ 1, . . . t — ) . V u->oo n n-*oo 2n n->QQ inn / V 2 mJ •

1 2 8 . xn - f yr+ 2», 7 2 + 2 ^ , V 2 + 2 - "

Solucion. Demostremos que existen los lmiites de las sucesiones de cada una de lascoordenadas. De las desigualdades 2 < \/2 + 2n < 2 v 2 v de la expresion lim V2 = 1 se

deduce que lim v/2 - 2n —• 2. De las dcsigualdades71—>00

n—>oo

1 < + < 1 < < hallamos que

lim \fl + 2~'n = 1. lim V ^ + T ^ 7 = L I)>

S

rc—»oo n —

Dado que los lfmites de las sucesiones de coordenadas existen, tambien existe el limite de ]la sucesion vectorial

lim x „ = ( lim a/2 + 2", lim y/2 + 2~n, lim ^ 2 + 2 " ^ ) - ( 2 , 1 , 1 ) .ft - + 0 0 \ T?—> DO Ti —KX) n — 1 0 0 /

•

1 2 9 . x„ = (xln) x2ni • • • j scmn), donde1 1 1

= ——r + — r ^ + ' r — « = 1, to, « G N .71 + 1 71+2 71Solucion. Designemos ?/„ — 1 + ^ + • • - + Del ej\ 119 se deduce que

yn = (7 + In» + 7nj

donde C es la constante de Euler, y j n —0 para n oo. Como

= 2/(1 +i)n " Vn + ^ ({1 + «)«) + 7(U.,')„ - C - In U ~ = ln(l + z) + 7(1 +1)» - 7my 7» 7(1+£)m 0 Pa r a ^ ^ oo, entonces

lim xin ln(l + i), % — 1, m. tt—oc;

Por consiguiente,

lim xn = f Hm xini lim xln>.. . , lim ) — ( in 2) In 3 , . . . , ln(m + 1)).n — > o o \ n—>oo >00 n — » o o /

|4<>. lim iii' ik' una Miiii'f.iiiii f l

I,'tO, Sea (\„) una HiiCttiU'wi vectorial do Icrmino general

t tiya norma fiucli'dea tiunde a infinite.Ilis necesario que al nienos una sucesion de alguna dc las coordenadas (x-JH) tienda

11 Inlinito? Considerar el ejemplo siguiente:

v _ /( l - ( - i ) V a + ( - i ) ' V \B + l ' 71 + 1 )'

4 Noli id on. No, no es necesario. En el ejemplo propuesto la norma end id en��� � �����

� � �� � � ��

� 2ir »">•" - y (ji + l)2 (K + l)2 71 + 1

tli'iide a infinito para n -~> co, Sin embargo, ninguna de las sucesiones de las coordenadas

a - ( - i ) V * ( i + < - i ) V, ®2nII + 1 n + 1

tin nl« a infinito. En e fee to, para las sucesiones de las coordenadas

limxi,, = +oo, lim Xm — 0,Tl—t-OO JI — CC

lim X2„ — +oo, lim x ^ = 0,Co n -oc

i':i dectr, oo no es el limite de ninguna de estas sucesiones, •

131 . Hallar el h'mite de la sucesion (j1b) = i m-=\,p, j = 1, q, donde

n-hiit+l B+in+?. ^ ^ ii fja s i $ > ' 'Ma t j = i Bi i

n \ • 1 1 ti±jri+2 ra-Hii

4 S»1 iicidn. Demostremos en primer lugar que converge cada una de las sucesiones n>-* a-'! , i i, p, j = ]. q. Sea, por ejemplo, j > i, En este caso (v. ej. 129),„.'"> - 1 + 1 . + 1 w

b + in + 1 7i +in+ 2 n + jn ( _ _ ! _ + + . . . + _ f - _ 2 _ + _ _ L _ + . . . + = .

+ 1 7i + 2 ti + jnJ Vw + 1 n | 2 n + inJ

donde xin —> ln(l + I) para n oo. For lo tanto,

aj1 - xJn - Xin - ln(l + j) ~ ta(l + i) = In

Analogamcnte, para i > j obtenemos que

j n j , 1 + 1 „„a-, = Xin ~ Xin ~~> In . , . para n --* oo.JJ J 1 3

7H C ' a p i l u l u I. I n t r o d u c t i o n ,11 iiu .1lisim

lJina!menlc, si i j , tendremos a)- -- - -> 0 para n > oo.' xj n r Asi pues, todas las sucesiones convergcn, por ello

lim AnTi ' CO Urn a) -

( 0 InInf

In |

Inf

0In

i n f

0i f i + + v f f % *

I n f Inf 1

In | \

m !f I t t ^

0 /

1 3 2 , Hallar n l

lim 71 + 1 1gnn

w +sen n 2 n

( V 2 )

4

<4 Solucion. Todos los elementos de la matriz son sucesiones convergentes, por ellon i l

lim 71 + 1

lJLHn

'ifcin+senrc

2 n 4

nlim -ti—•oo 12+1

lim1 gn

n

limn^oo1

TO

limTl—OC In

l i m (Jzr ft—•QC

4

10

012

04

EjerciciosDemostrar las igualdades siguientes:

U

62, lim i"2'2H""* t yt'ft! _ j — ~ -J— donde m es un numero natural,(»i 1-1)! mil'J 6 ' + A (b ** - - V

\ xAui + i + h * * + J — . = i .

Jl2 hW / 64. lim » , i tV \/«2 + l V -i-2ii ^ __ donde p es un numero natural.65. lim (th- iyn

^ lim V ^ i 7"-,, donde m es un numero natural.k{k | 1)„,(7-1 m f 1) m-mi

i t

6 7 . i im «_-__ ^ i. 6 8. i i m l»n>W.p r thoa.-«!) = i )! —»• x. ^ fcm rt—»x

t: I n* i t i

69. Sea avf J = \ -f j r ) , w G Zo, donde ar0 > 0. Demostrar que lim xn — \fa.

70. Una sucesion (#n) se define mediante las expresiones xn]^ = q, p ^ 0, ^ es arbitrario^Bajo que condicion la sucesion (#.„) se hace convergente? Si la sucesion converge, hallar s limite.

71. Demostrar la desigualdad (l + 2 > e. 72. Demostrar las desigualdades:

m m 1m n ( A: I " k 1

|jnilb'|li|' uim 7M

lliilliir lim '"v, f>< A < I.

li'i.imta cl teorema dc la cxistenciu dd llndlc de una jMicunIAr litondlona y acotada,iiriniistt.il l.t eonveigcncia dc Inn ni£U)rnli'H Hiitv.simu'H [j1 „);

« f-t I FTT + (1 t ,/„)( ! I . ^ . . . ( l f ^ j ) .Ulilr/.mdi) id metodo dc C.'aucliy anal tzar la convergcncia dc las siguienles sucesiones

'.i .i /(, 'a gt ^ a3 >. • - - 0. Demostrar que las sucesiones (S„) y (trn), donde

S„ = a. + a2 + • - * H- a„, an = a, + 2a2 + • • • + Sfoa,,

• i hii'it ambas converge n, o bien ambas divergen.iV I >fnni;;tiar que todn sucesion donde

= + 3 hi'' 3 "1 r In-1' it > » ™ 2, 3, . . . , i niivi'i e si p > 1 y diverge si p ^ 1,

Hll 1< que para toda sucesion (a„) de terminos positivos se verifican las desigualdades;,1) lim — < lim {/«;"; b) lim ^ Em'®®11.

>t . " f t — X • X • V. '

11.<11.11 los limites dc Ins sucesiones vectoriales (x„), donde

« * (0 + i ) ' .0 t i r 0 • ?)")-

tt, „„ (jfli^tt M ^ a , . . . , Mt-nrm^ 84. x„ = ( v ^ + T , V T T V ) .

( •{/, donde C? =

Hallar los (unites de las sucesiones matriciali'S (A„), donde

nh. nu + r(("•Hl?-I.; (n+zV-n1 {B-OiW \ , / n ft ,

- ~ t ; , ' - A( -11 '^ fr-tf-V (K-aj'-n' J n \ 1 (l .f i ) j

ii P i? / ii't ) Vtnostrar que

.•iii}H>niendo que exdsten los llmiles de las sucesiones matridales y asumiendo que todos losk'i'initios de las sucesiones son matrices de una misma dimension.

Ul I, Si-an convergentes dos sucesiones mntridnies (A„) y (BTI), donde A„ — B;, = y una sucesion vectorial (x,j), donde x„ = x2n,..., xqj!):

lim An — A, lim B„ — ZJ, lim x, = x.

:«\in, ademas, C — (Cij), G = (yjk} matrices constantes e y — (j/i,lfe, • • • un vectorI'unstante, i — 1, p, j 1, q, k — 1, r. I Vinos tear:a) lim A„nx = Afi; b) lim CB„-=CB; c) Hm AjG = AGi

tl 'X tl-t X. X tl) lim - ix; e) lim -/l„y = Ay.

( <i|>iliiLo L Intjoduai»m al anjlmiuol)

§ 7, Limite de una funcion7.L Punto limite de un conjunto. Limite de una funcion en un puntoDefinicion Sea X C R. Un numero x q G 1 se denomina punto limite del

rtniunt0 X s ic o n ) V e > 0 3 y e X , y^x0:\y-x0\<€.

De la definicion se deduce que todo entorno del punto x0 contiene un punto del{Lint0 X distinto de El mismo punto Xq puede pertenecer y puede no pertenecer al

coniun '

Definicion 2. Se dice que el valor +oo es un punto limite del conjunto X si

VM € R 3 y G X : y > M. El valor —oo es un punto limite del conjunto X siVM e R 3 y G X : y < M. Definicion 3+ Un punto x E X que no es punto limite del conjunto X se denomina-

j

0 aislado del conjunto X, es decir,

3 5 > 0 : S{xlS)CiX = {x } . "

Definicion 4. Un numero £ R. se denomina punto limite del conjunto X C R/J- a partir de dicho conjunto se puede formar una sucesion (xn) de distintos puntos quel

S>nveqa a Las definiciones 1 y 4 son equivalentes.Sean f : X R y im punto limite del conjunto X.Definicion 5 (Heine). La funcion / tiene valor limite para x (° en el

Hjtfo tfo) si existe un numero A € M tal que para una sucesion arbitraria (xn) de valoresjL # £ 0a> ^ \ {®o» J convergente al punto x0, la correspondiente sucesion de valoresie [a funcion (f(xn)) converge al punto A.

Definicion 6 (Cauchy). La funcion / tiene limite para x > si

3 v l e R A V e > 0 36 >0;0<\x-xu\<6^ \ f(x) -A\<e.

El numero A sc llama limite (o valor limite) de la funcion / en el punto i c q y seescribelim f(x) — A o bien f(x) A para x —> a;0.

X

Las definiciones de Heine y de Cauchy son equivalentes.Introduzcamos la definicion de limite unilateral.Definicion 7 {Heine). La funcion / tiene en el punto limite por la izquierda (por

to fcrcdta), si existe un numero A £ R tal que para una sucesion arbitraria (#„) de valoresAe$ia<- Xti ^ < X n < c o n verge al punto xq para n —> oo la correspondiente

ceSi6n (f(x»)) de valores de la funcion / converge al punto A. Definicion 8 (Cauchy), La funcion / tiene en el punto limite por la izquierda

M to derecha) si 3 A E R AVe > 0 3 6 > 0 :0 < xQ - x < 6 (0 < x - x{) < 6) => |/(«) - A\ < e.

HI numero A se denomina limite por la izquierda (por la derecha) de la funcion / n punto xo y se designa

(f(xl! + 0)) obien lim fix) ( Hm f(®)V

ijV. I.imiti' de una fuiuion SI

la funciixt / lime If mitt* en cl punto std si y nolo Hi en eslo punto existed y sonl^uales uno a olm cl liinile por la izquierda y cl limite por l<i dei'echa.

Teorema (criteria de Cuuchy). La funcion f tiene Ifinite finito en el punio &i \j •in In si

Ve > 0 36 > 0 : (0 < ja? - ar„| < 6 AO < \y - x„| < 5) => |/(x) - < c.

Un papel especial lo desempenan los dos limites notables:

1) H m ? S L * = 1 j 2) lim{l •+&)' = e.1- 0 x a-iO

Si lim f(x) — A, lim g(x) — fi, se tiene

lim (/(») I g(*)) = A + B; Hm f(x)<j(x) = AB; lim ^ = | (<l(x) 0, B /()).

7.2. Supremo e infimo de una funcionUna funcion f : X —> IE, J C I , se denomina acotada en el conjunto X, si existen

imiliums m y M tales que m ^ f(x) ^ M, x 6 X .El numero m^ = inf {/(&•)} se llama infimo de la funcion /, y el niimero

Mi, sup{/(a;)}, supremo de la funcion / en et conjunto M. L.a diferencia Mu — m,i ••<•srejr

denomina ovulation de la funcion f en el conjunto X.Si la funcion f : X —>• IS tiene limite finilo cn el punto Xq £ X, la funcion est.)

iimidda en cierto entorno de dicho punto.7.3. Sfmbolos de Landau. Funriones equivalentesSea xv € IS y B = {>Y, V, Z,... } la familia constituida por todos los intervalos

del cspario IS para los cuales el punto x<) o bien es un punto interior o bien cs elr\(mmo o solo izquierdo o solo derecho en todos los intervalos del conjunto B. EntoncesV.V t B A VK =i- X nT $:B, X £ B & § C X => if € B.

Sea J-' — {/; g, k,.., } ima familia de funciones numdricas que poseen una de las•nguientcs propiedades:

1) dada una funcion arbitraria / £ T, en el conjunto B existe uu intervalo X qui*pontiene cl punto »o, y la funcion / esta definida en todo este intervalo salvo, quiztis,rl iiiismo punto a o;

2) para una funcion arbitraria / 6 J en cl conjunto B existe un intervalo que tieneH punto a;c por su extremo y en el cual la funcion / esta definida.

Definicion 1. Si lim f(x) = (), se dice que la funcion / es infinilamente pequena t -« in

(tnncion infinitesimal) para X —» x0; si hm f(x) = oo, se dice que Li funcion f cs

inlinitamentegrande para x —* Definicion 2. Si para las funciones ftg € J : X —•> R, g : Y R , existe uu

intervalo Z C X H Y € B, X f B, Y £ B, y un numero finito A > 0 tales que Vx € 'Aisulvo, tal vex, el mismo punto arjJ se verifica la desigualdad

\g{x)\ ^ 4t/(®)|,fttlonces se escribe

a = OW i. u:i r —t -r.n 1 funriones f v a so Unman tuncioni's de un nu'smo onlen nara x —v xn.

82 ('.iprLulol. Inlrotliitijon ill JiKilisi.s

Si \/e > t) :l fA L X fl Y E /J tal que Va E X salvo, quizas, el pmpio punto Xq,se verifica la desigualdad

\g(x)\ < £\f(x)\t

escribimos9 = o ( f )

para x —* Adernas, si <7(0;) 0, f(x) —• 0 para x #0/ se dice que g es una funcioninfinitesimal de orden superior al de /; si g(x) —> 00, f(x) • 00 para x —• x$, se dice queel orden de crecimiento de la funcion infmita g es inferior al de /.

Si existe un intervalo Z E B tal que Vx E Z \ {x$}f(x} / 0, la notacion g = 0(/)significa que la razon esta acotada para x € Z \ {a?o}/ y la notacion g ^ o (/) significa

que ^ 0 para x ar0.Los simbolos O y o se denominan sfrafeo/os de Landau, Definicion 3. Las funciones g y f se denominan equivalentes si / - g = 0 es

decir, si V£ > 0 3 Z B tal que Vx E i? \ {x 0 } se verifica la desigualdad

\f(x)-g(x)\ <e\g(x)\.

En este caso se escribe f ™ g y la igualdad / = g + o (g) se llama igualdad asintotica. Sean /, g E F y g{x) > 0 Va? E K E I?, entonces

f ~ g & lim ® - 1.

Se verifican, por ejemplo, las igualdades asintotkas siguientes:

sen x — x + o (x), tg x = x + o (x) para x —* 0,L

7.4. Lfmites parcialesSi para una sucesion (xn) de valores del argumento de una funcion / convergente

a x{) se verifica la igualdad lim f(xn) — A, el numero A se denomina limite parcial de lar i — - o o

funcion / en el punto ar0. Los lfmites parciales maximo y minimo se designan mediante•lim f(x) y _Um_ f(x) y se denominan respectivamente limites superior e inferior de la

funcion / en el punto x$. Evidentemente,

3 lim f(x) O lim f(x) — lim f(x). £ iC | J it j) ii?"—

7.5. Limite de una funcion de una variable compleja

Definicion 1. Una sucesion N — C : n t—> zn se denomina convergente si

3 z E C A V e > 0 3 m E N : Vn > m => \zn - z\ < £\

Analogamente, una sucesion de numeros complejos (zn) converge a 00 si

ViV 3 m € N : V n > m ^ \zn\ > N. Una sucesion (zn), donde zn = xn + iyn, converge al punto z — a -h ib si y solo si

lim xn — at lim yn — b.

Sea Zq un punto limite del coniunto D C C.

I j I Iniifi- tit* mill fun* toil H. i

I)cflnici6n 2 (IHnr). DIM turn htit • » /(•}, - ( n, I) C C, lienc mi ifmih' para* • si

3 A 0. C A V(^) i l)\\z»\ : lim -3,1 > lim f(z„) - A. 11 -i 11 tl-

Definicion 3 (CdUtliy). Una (um ion z\ > J{z) tiene un limite para z -> si

3 A 6 C A Ve > 0 3 6 > 0 : 0 < \z - Zo\ < 6 => \}{z) - 41 < e.

133- Demostrar que la funcion

,, 1 ( n si x — —, donde m v n son numeros enteros primos entre si, /(*) = I „ x es uxaciona]

i". linita pert) no estd acotada en ningun p unto {es decir, no esta acotada on ningrin en in moilr un punto arbitrario).

4 Solution, Sea x — ^ un numero rational arbitrario, Entonces rk — —* 2 pnra k -•> 00,v Kft 1 I-. i!ei.ir, siempre existe un cntorno del punto x = | tal que contenga a dicho valor, I'ornil,1 parte, como /(r^) = kg —> 00 para fc —> co, fa funcion / no esfa acotada en nirigiinriilumu del punto x.

Sea ahora x m a, donde ot cs un numero irrational. Entonces existe una sucesion• le niimcros rationales r, = i t M, tal que lim — or, y se verifica, ademas, t]iu*Inn (ft — )-oo. Dado que, por una parte, / ( £ ) — —* -r-00 para i oo, y, por otra, los

punlos dc la sucesion (jjjf;) se encontraran en cualquier enlorno arbitrario del punto <*•, launit ion no esta acotada. •

(Jnn funcion f esta definida y localmente acotada en todo punto: a) dc un interval^,lii tie un segmento. ,;Lstara acotada dicha funci6n en cada uno de los casos considerados?I'iii|mner uri ejemplo para cada uno de los casos.

4 Solution, a) ELI general, la funcion no eslani acotada. Por ejemplo, la funcione il.1 acotada en ef entonio de cualquier punto del intervalo |0; I[, pero no esfa acotada entin Ito tntervalo, pues f(x„) -* +00 para a;„ = ~ [), y 0 < 3;,, < 1 para n — 2 , 3 , . , . .

b) La funcion esta acotada. Para demostrarlo, apliquemos el metedo de reduction>1! itwurdo. Supongamos que la funcion no esta acotada. Ententes para todo numeronatural n existe x,s f fa, fr) (donde [a, E>] es un segmento mencionado en las condicion OHi.lel problems) tal que

f(xn) > n.

I i.idn que a < x„ < b (es decir, (a,'fl) cshi acotada), existe una subsucesion ),( . '*„) C (^W), tal que

lim Xu = c S fa, b],

'"•(•.'iio las condiciones del problema, / es una funcion localmente acotada tm el entorno de1 iialqutcr punto, es decir, existen 6 > 0 y E > U tales que

|/(a:)|Jg£, m]c-6,c+8l

-\tletnas, existe un numero tal que > para c + pero en•••.ie caso /(«£„) > > E. La contradiccion obtenida deinuestra la proposicion. K

H'l Opilulo I. liilroiliuciOn ;il .niiilisi.s

135. Demostrnr quo la funcion

m = 1 + x l+X'

esta acotada en el intervalo ]—oo, +00

Solution. -Es evidente que f(x) > 0, es decir, la funcion esta acotada inferiormentc\Ademas, de la desigualdad (1 — x ) ^ 0 se deduce que —^ < dado que 1 + x4 ^ 1,tenemos Ux

Ira;4 H1 r

-a;4 1 fa;41 3 ""i^ 1 + 2 = 2 4 COnS^8U1*en^ 0 < f(x) 0 0 < £ E < Q 0 ,3

2 •

• • • • • • • • • • • - • • • • m—ri—i • II

1 3 6 . Demostrar que aunque la funcion

m1 1 — cos — X X

no esta acotada en ningun entorno del punto x infinitamente grand e para x —* 0.

0/ sin embargo, la misma no es

Solucion. Sea x Ji 2_jitf Es evidente que para n —0 0 siempre habra un entorno del punto

x = 0 que contenga a los valores de xn, La afirmacion a demostrar se deduce del hecho deque lim \f(xln)\ = 00, y f(x2n~ 1) = 0 , n G N. •

n—*oo• 111 11 r —n 1 IT 1 1

1 3 7 . Probar si la funcionf(x) 1 2 7T Jn x * sen —

X

esta acotada en el intervalo ]G,

< Solucion. Dado que 0 ^ sen ~ ^ 1 y la funcio.u x 1—* In x es monotonarnente creciente,resulta f(x) ^ max{0, lne}, es decir, / esta superiormente acotada.

-p A partir de un cierto todos los xn estan contenidos en el2

Sea ahora xn 2 m intervalo ]0j Entonces f(xn) = In 2n+l In (l + {n + I ) ) > - (ft + -oo paran 00, es decir, / no esta inferiormente acotada,

• • • • • • • • • •

1 3 8 . Demostrar que la funcion

m T+xtiene en el dominio 0 ^ x < 00 la cota inferior m ™ 0 y la cota superior M = 1.

< Solucion. Evidentemente, 0 ^ 0 ^ x < 00. Sea e arbitrario y tal que 0 < e < 1,entonces f{x) = j™; < c para 0 < x < Por consiguiente, inf {/(&)} — 0.

Ademas, es evidente que j—; < 1, 0 ^ a? < 00. Por otra parte, para e anteriormenteindicado

fl* £

f(x) = > 1 - £ para x 1 + # es decir, sup {/(a:)} —1.

.r<oo

1 3 9 . Una funcion / esta definida y crece monotonarnente en un segmento [ft, b], Deierminar el infimo y el supremo de la misma en dicho segmento.

ftV I Hlt<lf ill* llllii Itiuririii

4 Siil i i i iiMi. for ser / una" funeiou luoui'ilimamenle euvinile en cl Jnlrrvalo («., h|, se liene

Hon £ > 0 arbitrario y Ml que f{<r) I » • f{i>), Mntonccfi existe un x C. 1«, i>\ till que

m ^ f W x m - m fjnir ejemplo, x' = a), es decir, inf (/(x)} = /(a).

Antflogamente, si f(b) - e < f(b), existe x" 6 [ a , t a l que /(/>) - s < f(x") < /(ft)(tJtir ejemplo, x" — b).

I'or consiguiente, sup {/(x)} = fib). *•

1 4 0 . Determinar la oscilaci6n dc la funcion f{x) = x1, x R , en los intervalos a) ! I; 3[;| |J/J; 2,11; c) i 1,99; 2,01 J; d) 11,999; 2,001[.

< futliicidn. En cada uno de dichos intervalos las restrictions s de la funcion dada sonmoiiolonamente crecientes y tienen valores lfmites en los exfremos de estos intervalos envlrliid de lo cual estan acotadas. Consiguientemente:

a) M,j - mo - /(3 - 0) - /{I + 0) = 9 - 1 = 8;b) M0 - mo = f{2,1 - 0) - /(1.9 + 0) = 4,41 - 3,61 ~ 0,8;c) Mo - in0 = /(!2,01 - 0) - /(l ,99 + 0) = 4,0401 - 3,9601 = 0,08;d) Mo - mo = /(2,001 - 0) - f {1,999 -I- 0) = 4,004001 - 3,996001 = 0,008. •

14 L Sean mf/Jjr Af[/] las cotas inferior y superior, respectivamente, de una funcion / en un intervalb la, b\.

Demostrar que si /j y f i son funciones defimdas en ]a, b[, se tienea) m[h + M > mifi \ + mlf2]} b) M\fx - f2] < [/ij + M [ / J .

4 Solution. Demostremos la igualdad a), (La desigualdad b) se demuestra de maneraiinaloga). Designemos m\ — inf {/i(x)}; m; = inf {/^(x)}. Por tanto f\(x) > in. a<x<b a<x<t•v f.-(x) ^ m 2 , x £ Sumando estas dos ultimas desigualdades obtcndremos que/((:«> /da-*) > m\ +m2, x € Jtt, b{, de donde m.[fi + fz\ > mi + TO2 •= m[J§]+m[/2i-

1 4 2 . Demostrar que la funcion f(x) — sen —, x £ ffi \ {0} , no tiene limite para x 0.

4 .Solucion. La afirmacion a demostrar se deduce a partir do que la sucesion x„ = — ^ . ,ti i N, tiende a cero para n —» oo, y f(xn) = (—1)" no tiene limite en absoluto. •

1 1 3 . Demostrar explicit a men te (es decir, por medio del denomina do proccdimiento dc loa hth'rvalos "e—ti") que lim x1 = 4. Completer la tabla siguiente:

€ 0,1 0,01 0,001 0,0001

6

4 Solucion. Sea £ > 0 arbitrario. Tenemos\x2 - 4j = \(x - if ~f" 4(x - 2)| < \x - if- + 4\X - 2\ ^ £,

m (I < ]x - 2| < y/A £ ~ 1 — /y- L;• ultima desigualdad se cumplira con mayori.wdn, si

£ £ £ E VfW+2 > > 2 V ^ 4 T 4 ? T F = W+T) 21-

NO ('npjluln L Introduction .il -m^lini'i

Sr.i /: 1 . Unlurux-H A („',,) •••• ,M() v"12 J

^(iO 1 ) . : :^; ^ OO2) - 4 0 2 ; 6( 10"3)1 8 ( I.0 4) - --

4002'I

40002_ir - —••

1 4 4 . Utitiziiiido el procedimiento de los intervalos "e—6" demostrar que

1i^i (x — 1)

+00.

Completar la tabla siguiente:• III 11 • m—n

&—• 1 1 1 • Bill 1 • 1 1

10I •• I I T I ^ ^ ^ H m V

100 1000 10000

A1 1

M Solucion, Sea e > 0 arbitrario. En este caso1

(X - l)2 > £

una vez que (x - Yf < ~ o bien 0 < \x - 1| < = <5 (s). De aqui hallamos

5(10) 1Vw'

6 (100) 1���

S (1000) — 6 (10000) — . 1 0 1 / 1 0 1 0 0

•

• • • • 1 • 1 i _ 1 1 11—••• • • •

• 1 1 • •• •

1 4 5 . Sea P(x) — UqX + a\X + * - • + aUf donde — 0, n) son numeros reales.Demostrar que lim — +00.

. C — ' O O

I

< Solucion. Sin perdida de generalidad consideremos que Gq # 0. Para \x\ lo suficientementegrande tendremos

P{x) xn H—* + x*• * + an

Xn > Xn a0

2

Como lim lar|tl * Kl00

+00, resulta que lim |P(a:)| = +00,as->oo

146. Sea

R(x) Or,Xn + CL]Xn 1 + t 4 t

7JI — 1 + fl -1 + i>x € M,

mdonde ao ^ 0 y &o ^ 0, Demostrar que

lim R{x) 00 si n > m, an

-jr si n — mt

< 0 si n < m,^ Solucion. Sea n > m. Entonces

\R(x)\ X n—tn«0 + ^ + x i f .

+> X

n -in «026n

para |:e( hi Niificientemente grande, lift vil'lnd tie «|iu> Inn M " "' | [ <x>, tcnomoslim oo. Si n m, entonces

R(x) = — — - f — — — • . - para x —* oo.+ + ^ Ar K

Finaimentc, si < m, para ia;| lo suficientemente gnrnde tenemos

' ^ S i M vde donde so deduce que lim Ii(x) - 0.

147.Soa x -* 0. Demostrar las igualdades siguientes:

a) x sen -Jx - x- f ofa:*); b) In x — o (x~ '), e > 0;

c) (1 + ar)" - 1 + nx + o {«); d) arctg i = O(l).i Solucion. Las igualdades escritas se deducen a partir de que

a) lim X ^"r — - -1 ; b) lim aT* In ® = lim — = 0 ,e->+0 X } i-J-ll f—f-oo r T

c) (l+ai)" m l+nx+Clx2 + - • -fx" - l+nx+{C%x+- • - + 0;"" V = \+nx+a(x)x, donde «{x) = C2x H + a;"-1 —> 0 para x -> 0;d) tCtg|[ljl * 148.

Sea x —* 0. Determinar el t£rmino principal de la forma Cxn (C es una constante)y los or denes de pequenez de las funciones siguientes respecto a la variable x:

a) x (2-x - 3x2 + x5); b) x (\/T~2ar - J l - 3x);c) x ( + x - y/l ~ x); d) x * (tg x - sen x).

•4 Solucion. a) A partir de que 2x - 3x? + ar3 = 2x + (-3x + a;'!)a; = 2x h a(x)x, dondea{x) —> 0 para x —» 0, se obtiene 2x - 3x2 -ha:1 ~2x + 0 (x), es decir Cx" — 2x, 11 = 1.

b) De la igualdad lim - 1 se deduce que Cx - x, n — 1, es decir,\fi~x - VT- x ~ x.

c) Dado que

.. - ,. (vTlim -, — — hm — 0 xL x—0 \

tenemos Cxn =3 ^x2, n = 2.d) Tenemos lim 1 p 0 r io cual Car' = n = 3 .

1 4 9 . Sea x —• -)-oo. Determinar el termino principal de la forma Cxn y determinar elorden de crecimiento respecto a una variable infinitamente grandc a: dc las funcioncssiguientes:

a j j ^ ^ - i f y/x; b) X »-» y i 4- \j 1 + Vx.

�� � \ i | > j '� l i�o � fiiO'oduccion al an.tlihiM

< SoUicitin. a) Dado <[inv

\/x2 ~ a? + y/x v /!/: I T . - ?. \ lim ~———-2 — ™ Jim I y 1 — x 1 H-a* ' ) --1,»foa l \ /

npor lo tanto Cx ~ xJ, n 23"

b) Tenemos \/l + \/l + = + Va?"1 + 1 ~ xK por lo cual Cxni

x*

g Resolver los ejemplos que citamos a continuacion (en algunos de ellos se ha desustituir las funciones infinitesimales por otras equivalentes):

- i cn vr (! + mxf { ! + n x ) m ^ r fl?m- 1 \r / ™ » 1SU. a) lim — , • ; b) lim — — c ) lim ( -•• m - ) 7 x2 ' x^i xn -1 ' V1 - xm 1 - a?'*/

(m> son numeros naturales).

^ Solucion. a) Desarrollando segun la formula del binomio de Newton, obtenemos

(1 + mxf - (1 + nx)m = (C2m2 - C£tt2)a?z + o (a;2) _ •£• '0 X2 x^O X2

= lim ^C^m2 - c}„n2 + = C*m2 - <£»2 =

b) Suponiendo x ~ l+t (t —> 0 para x 1) y utilizando la posibilidad de despreciarlos infinitesimos obtenemos

r xm~l v r mt + o(t) v mt m lim - "••• • — lim - „ , — - = lim — — = lim — r — —.a:—1 xn — 1 f-+o (1 + tyl — 1 nt -j- o (r) i—o nt n

c) Sea x — 1 +1 , Entonces, t — 0 para x —»1. Tenemos

t. / m n \ f n m hm } = lim ( / o V

/ TO 771 \ j i r r i | 1 — /—*o \ nt + C%tz + o (t2) mt + Clfi + o (t2) J

(nCftt - mC}t) t1 + o ( f ) nC^-mCft m-n ' I 1 I T ! i •••• ' — 1 • • • • i i - — 1 1111 •

t^o mnt2 -f o{t2) mn 2 •

lJ—• r-

151 n— oo n \\ nJ \ nJ \ (n — l)a

n

M Solucion. Haciendo uso de los resultados del ej. 37, a) obtenemos

lim - (nx2 + — (1 + 2 + • - • + (n ^ 1)) + ^ ( l 2 + 22 + • - • + (n - l ) 2 ) ) -n^oo n \ n v nz / J r 1 / a , 2ax n(n- 1) , a2 (n - l)n{2n - 1)\ 2 , , ^ lim - rca? H — 1 -f - 1 — ) = x + ax + -—. • w-'+oo n V w z j i 6 / 3

ji /. I.fmilr ilc uiiti titmtiMi K*'

.•j| Niiltx'ton. Tenemos

I * + H - • + - 4 ( l * + 2* -1 , =

I 12 + 2 » + - + ( 2 B ) a - B P n + I 3Xf a + 1>&

h ' | 1/, a)). Restando ia primera igualdad de in segunda obtenemos

|.32 + . . . + ( 2 n _ i f = n ( 2 « + ! - l ) 2»(TI + l)(2n + 1 ) _ 3 3 3

|t|tllHll CS

l- 1" +3~ + • • • + (2n - I)2 n(4n2 - 1)2 2 -HP + . . . + (2ft)2 2rc(n+ ! ) ( % + 1 ) '

K l lim I'1 + 43 + 73 -(- • - • -I- (3n - 2)3

ti-«co (1 + 4 + 7 + b (3n~ 2)f '

| ttiiluciiin. Tenemos (v.ej.37, b))

11 I i 1 b f 4- • - • -i- (3» - 2)3 - (3 • 1 - i f + (3 • 2 - 2):i -I (3 • 3 - 2)3 H h (3a - 2)3 ^

.'7 (l3 + 23 + 3J + • • • + ti3) - 54 (I2 4- 2a + • • • + n2) + 36 (1 + 2 + • - • + n) - - 8n s=

= 27 - 54 " ( » + l)(2n + D 3 6 « (» + ! ) _ 8 n ;\ z / 6 2

I liiilo que en el numerador y en el denominador la potencia superior de ti es igual a 4, cl de fraccidn es igual a la razdn de los eoefirientes de ii , cs decir, a 3.

154. lim Vx.

4 hnlncion. Suponiendo que a.'o > 0 consideremos ;c = -\-t. Es obvio que t —> 0 si x —»• xn.I'ar.i }/.| < ,Ty hallamos

- 5) < | < M1+£).ili> donde lim </x — lim + t = ife^. •

t r c V x + x / ^ v ^n S . lim — . . X~» hco V X + ] 1 'iitlucion. Al dividir el numerador y cl denominador entre y/x obtendremos

Jx+s/x^Tx + + lim — — = lim — i. ^

i—+00 \/X' +1 » <+<» f l + ~

w i iijMlulo I. Inhmlmtion al ,wi.il isiw

1 5 6 . lim\/x •••• \/a \ \fx a

X ™ Six1 a< Solucion. Tenemos

x—*a\fx - y/a + \/x - a ,, /sfx — \fa y/x — a lim f — - ? = = = +

a

lim

ax — a

V r « 2

• 1111 • »m • i ii i 1

n/Z1"1^ (y/x + Va) V ^ M

lim 1 x' — a + 1\ i/S + y/a ]j X + a yjx + &

1- \/9 + 2a - 5 lC?/. lim 77= . " y f x - 2

Solucion. Es evidente que

1Via

V9 + 2x - 5 lim — — - —z—8 >/£ — 2

r (9 + 2ar -25) (V^ + 2Va + 4) • #e* + 2 ^ + 4 1X11 L f M l 111 I L •—

* -» (x - 8)(\/9 + 2x + 5) V9 + 2X +5 5• I • ^ • • I

<t) Nota. En la solucion de los ejemplos 155-157 se han usado los resultados del ej. 154.

1 5 8 . Km (n es un numero entero),x^ Solucion. Sea \/l + x — 1 = t. Entonces x — (1 + t)n — 1, Considerando que \x\

x\ < Vl + x < 1 + \x\, de donde lim y/l + x = es decir, t —• 0 para x —x—'Otenemos 1 -

luego

limr—"0

1 lim t lim tI II I • • • I I I I • I I W m T W T I

X t-,0 (1 +t)n - 1 0 nt + o(t) 1n

Asf pues, v l + a? = 1 ft+o (x), x^O •

1 5 9 . limVxTi-_ u • •

Vx + 9-2 < Solucion* Para x —• 7 tenemos

9 ��j + o(x 7)>

27

VaT+9 - 2a/ 1 + s - 716

2 1 +

81

x - 7 64

j + o (a - 7)

De este modo,

\fx + 2 - \fx+ 20lim : y •:•V% + 9 - 2

lim73 (1 + �� ) - 3 ( 1 + ^ ) + o ( ® - 7 ) 112

2 (1 x - 7 • • -

64 ) + o (a - 7) - 2 27 ' •

}j7 Mini If iii' iiim liMM'Irtii vi

J<)0. 1(111 • :

* >11 i/I I !w: (1 I .r)

Niilut'i6iK Sea 4- 5x I. bisobyioi|lii'-i > Usi r » U. t lo este imxlo a: : '•((.} | l) y

jlln .. • = Inn ' | » v'l 1 5® - (1 + a:) i-u t - +- tf - 1)

TsW\o{t)? t1 1-o{t2) 1 lim - — r — —:— — — = lim — *-o ( - | p 4- 10i2 + o (£)) M + o {t2) ' 2'

I M . lim = -^V1" - X . y l + — i ( m y w g o n numeros enteros).!E -.!') X

4 fin I ii i-ion. Utilizando el resultado del ej. 158 tenemos

tyi Tax {/I + px - 1 V'1 H + ax - 1)4- 0x - 1 ||MI —-—— i im- y -

a,' x

= lim 1 .i-o ax x-o px n m

Sea P[x) = a~ x 4- u-i'X^ 4- — + y sea m un numero entero. Demostrar quo

lim ^ ^ I r i = a .i-i) • X m

4 Holiicidn. Dado que F(x) —> 0 para x —> 0, tenemos

y/\ +T(xj - 1 t j f r+JPfc ) - 1 P(x) llitl — * - lim - ; •— —• • , II X x — l ) P(x.) x \/l 4- P(x) - 1 JV= hm — hm (ftj i a-2xi- 1- a„x )

x -0 "{x) i—0 ttl

(v. t'j. 158). >

ft Il.iliar los limites:

\/x — 1 163 . hm — ( m y n son numeros enteros).

i - i </x - 1 *

4 Solucion. Consideremos x = {1 4 if"1. Entonces, I 0 si x -# 1 y

vx-i o + t r - 1 » i ' ^ - M i i + F T ^(v. ej. 150, b)). •

t'.tpilirlo !. Introduction M jiuH^Jr.

i"*-- 1 ^ u para x •'• > l) ohlenrmos

Hm (1 ™ \/i)(! - v ^ c ) . . .(I - x/x) (1 - x)

limo

!-/!-•£ 1 - v f - t M I

£ t V 4 »

l - V T - I£

(se ha utilizado la solucion del ej. 158). •

1 1 2 ' 3

171

' V

Resolver los ejemplos siguientes (en los ejemplos X65-168 se han de eliminar 1 radicales en el numerador y pasar a expresiones cuyos Umites sean evidentes):

1 6 5 . lim x(y/xz + 2x -2\/x2 + x + x).

< Solucion. Tenemos

/ r^ \ 2x(Vx2 -f 2x - x - l) lim a?f y x1+2x - 2y xz -f x -f x) = lim x •— •-.v x2 + 2x + x + 2Vx2 + x

lim 2x{y/x1 -f 2a? + x+ 2Vx2 + x ) (Vx2 + 2x + x -f l)

lima;—*+oc- 2

1 + 1 + 1 + 2 ^ 1 + 5 l + i + l +

1 6 6 . lim (>/i3 +3x2 - Vx2 - 2a?)a?—'-f-CX>

^ Solucion. Sumando y restando a: obtenemos

lim (\f x3 + 3a?2 — y x +oo

2a?)

lim ( v x3 — 3a:2 — x) lim ( a;x—>+oo — 2»)

1 6 7 . lim ( i /f® + + ^2)... (a? + - a?) • E—> j- oo

1

Solucion. Ponemos - = entonces £ -{-0 para or 4 - o o y

tt/r———— — '{fl + P(i) - 1 y (x -f ai)(x -f 02)... (x + an) - tc = — 7

14

1 + 1 ~ 2. •

donde P{<) = («! 4- «2 + ' " + an) t + (a\a2 + a\a3 -i h a„_\<tn) r 4 + a-ia2 .,. Utilizando el resultado del ej. 162 hallamos el limite buscado

a 1 + 02 H h o»71

168. lim# f 00(

W f|V. (.Unfit* lli' tt»>l llllli'lOll 'Ki

Hi hiiliicirin. I e nemos

(x~ [, (at I v V I ) "llIM

» h-

= lim f — 4=«==rr ) I lim li + J i - X 1 = 0 + 2 " - 2 " .+ 1 ) / V x2 /

I ,. ( v T T z ^ + z ) " - ( V T T ^ - r ) " , 11) /. hm (n cs un numero natural).

* '11 X

| Ntiliuiun. Elevando a la M-esima potencia y agrupando los tdrminos dc! mismo orden,(ihli'iii'inos

. II X x-0 X \ x ' /

— lim v / T + 1 ? ) " 1 + —In. •

|| flidl.tr los limites:

���� lim sen mx r. /r sen nx

t finliu ion. Sea x — TT +1, t El, entonces

sen mx .. sen(m7T + mt) ,, { -1 ) m sen mt Itin hm - — --- = lim — ~i sen nx w i sen(7i7T ~ 7it) i-o ( -1 ) " sen nt

, .vra-nin , . sen mt nt , -.m-H m = ( - 1 ) hm ——- • - ™ ( - ] ) • —.n t-0 mt sen ni n

ml - cos a:. lim = . x-

t Hu)iici6n. Hariendo uso del primer limite notable obtenemos,. 1 yp cos x ,. 2 sen21 | / s e n § \ 2 [ lim ——= = Jim =—^ = lim - —=— = j^o x- i - 0 x2 s -0 2 V j / 2

I h' i'sle modo, 1 — cos x — y 4- o (x2) para x —* (J. •

172. limx

4 Hniircidn. De la desigualdad |1 - cos x\~t sen2 | < |a;| se deduce que

lim cos x = 1, lim — lim • — — ... i.jr-tO x-0 X x—U X COS X I'nt eonsiguientc, tga: — 2 M e (x) para X —* 0, •

• ryj ,. sen 5x — sen 3x I ( o . hm .

('.ipjlulo I. Inhotluivioii <il analhtiri

X —0

sen 5x — son 3a? j i ^ x Hm

fx -f- o (x) 2, •

1 7 4 . l im1 -f sen x — cos x

•x -k) 1 + sen px - cos px *4 Solucion. Dado que para x —•

sen x ™ x + o (x), sen px = px + o (x), hallamos0 se verifica 1 — cos a? — o 1 — cos pa? 0(

lim 1 -f sen x - cos x lim x + o (x) 1o 1 + sen px — cos px px + o (x) p •

1 7 5 .

ll Demostrar las igualdades:

a) lim sen x -- sen a; b) lim cos x — cos a; c) lim tg a: — tg af a ^ 2n-1fl"; n £ «

-4 Solucion. a) Se verifica

0 ^ sen x - sen al = x a x + a — cos -2 2

lim sen x — sen a.

^ 2 sen x - a 2 ^ \x - a\y

j

b) Analogamente

0 < cos a? — cos al — x — a x + a 2 sen — - — sen2 2

< | a; a

y lim cos ar = cos a.x-^aYim sen x

c) lim tg X — ' " " x-^a lim cos tf -rt

— = te a si cos a ^ 0, es decir, si a ^ COS fit O ' ' r f 2n—l •i

7T, n 6 Z.

= Hallar los lfmites:

1 7 6 . lim sen a? - sen a a? - a

Solucion. Evidentemente,

limx^fisen £ — sen a

x - a limx—HI

sen -7T- cos —r1

x - a sen ^tt t -h a i» 2 i * tl' i uhm —^ . - Jim cos — - —x " u n x—*a —— x—>a Z 1-cos a — COS

(aqui se ha utilizado el hecho de que cos x cos b si x —> b), •

1 7 7 . lim ^ ~ . X - a

M Solucion, Utilizando la formula para la diferencia de funciones cotangente obtenemos

limctga ^ lim "" a?) 1

x — a x a x a

~ limfar—Vsen(a — x)

a - x )/ ser1- • Hm -sen a x^a sen x

1sen2 a>

a ^ &7T, k € Z

JjV I.HttMt' ill' ini,i hini inn

|7H lim [ ^ 21mi{<» i .r) | iikiaj -II x-

Stilinlnit. A! Iransformur la i*xj ires ion en cl minieradtiren bit producto obtenemos

i »«i {a |-2IE) — 2 c o s ( a + x) I < w aItnijf!I - £13 h (~2 88,1 fse" {"+f)+2sa> \"" ("+f)

K / \ x x \ I = Hm I — ^ • 2 sen — • 2 sen — cos (a + x) ] = - cos a. � � x2

� ��

i:; |7«) |im c t 8 ( f l t 2 x ] - 2 c t & ( a + c t g g

f. t >11 X~

| Unit Por analogla con el caso anterior,

. )]•, (« I-2a:) - 2ctg (a + x) + ctg« _ Ifltl n Ht «"• X-

I j = lim - j ((ctg ((! 4- 2x) - ctg (u + x)) - (ctg (a |- x) - ctg «)) =

- lim — ( - — — s e i — \ z—'O sb2 Vsen(e + 2x) sen(a + x) ' sen(a |- x) sen « /

{ 1 fsenx\2 2cos(« + S) \ 2cosa , , . _ „ lim I ••-•.- — ; — I = 3—, a J- kx, k € .r .»\sen(a + x) \ x / sen 0 sen(a + 2x)/ seir a

z—»o x2 \sen(a + 2x) sen(a + x) ' s£n(a - fa) sen «

.V

I INI). [ i m ^ f x + s e n x ~ 1 . r -i 2 sen11 x — 3 sen x 4-1

} ItuliKitin. AI descomponer el numerador y el denominador en fa c tores obtenemos

2 acn2 x + sen x - 1 .. (sen x -f 1 )(2 sen x - 1) .. sen x + 1 hm — — = hm — — - lim — = - 3 . • , • sen* x — 3 sefi x + 1 (sen x — 1)(2 sen x — 1) seax — I

1 INI. Ifcn ^ - J ^ f ,- 'V COS (a + f |

| diiliK r«n. Al descomponer el numerador en factores hallamos=

I : ens 0 + I ) *->? c o s ( x + | )/ jr\ sen (x ~

= lim tg $ I tg X + tg - ) ; Yz —^ = \l> 3 / cos x cos | sen ( | — x)

— lim tga; ( tex + tg — = -24 .a 6 3 J cos« cos |

|(H'> lim h -

> t jfiJulo I. JcrMmluaitm iif anafisrs

4 Solucion. Iras hi realizacion tie varias hansformaciones evidenles I memos

limx • •>()

lim ( x £ \

tg2®J - tg2 a lg2x ' tg2'*)

y- tg2X 4Inn a -- 1)ar

tg4a - 1 cos 2acos4 a

« r-TB

1 8 3 . lim xVl + x sen x — y/cos x

-4 Solucion. Eliminando las expresiones irracionales en el denominador obtenemos

lim x• •

o \/l + x sen x ~ Vcos x

lima Ox (VT+ x sen x -f y/cos x)

1-bx sen x — cos x lim'• • 1—i-fi — _ __

v 1 + x sen x -h vcos1—cos a; , s&nx M • M I '

X

Si x —* 0, resulta que 1 + x sen z 1, por lo tanto (v. ej, 144) v T s e n' " • ^ ~ * " * 1 ** t s ^ - I - \ paraAnalogamente, fa^Hc 1 si a? — 0, Ademas,

* h .

X vT

consiguientex 0, P

lim vT+ x sen x + t/cqs x 4 — • I IM M I I ' r - B - r ^ • _ i m I • i 11 a n

1 — c o s x | s e n x x x 3

M ^ - 1 •- ' • "

1 8 4 . limM 111 I

ycosxsen2 x

x

-4 Solucion. Restemos y sumemos la unidad en el numerador, entonces obtenemos

„ \/cos x - v'cOS X .. / V^OS X lim ~ — iim

— lim

1 1 - v^COS X > ^

sen^ x cos x — 1

x - q v sen2 x(y/cos 3i -j-1)r +

sen4" x 1 - cos x

sen2 x

sen* x 1

_ . y rni

1 + V COS X + vcos2 X

. . 1 - C O S t t { X -- hm — x -q x2 V sen x 1 1

Vcos x -r 1 1 + ^/cosx + vcos2 x,

1 (A + l) 2\ 2 3/

•J

JL12'

Hemos utilizado el hecho de que vcos x ~> 1 para x —> 0, lo que se deduce de los ejemplos175 y 154. •

1 8 5 . Demostrar quelim (sen vx + 1 - sen \/x ) — 0

jp-H-oo

hi ftfilut'irtn. lin efodo,

[•II'II \Z:c L I - s e n A/X]

• 2

fjV I null.' il<' unit (tuition

V* I I V* Vx I l' |- Vx I .st'ii ms ——

w

2(Vx -l \ + Vx) 1

Vx + 1 r >/x 2Vi 4e2 m-

| Ili'inostremoa Ins afirmaciones siguientes;

A) lim ax — a'% a > 0; B) Jim In x - In

C) lim («(»))**> = a ' a condicion de que Ve > 0 3 6 > 0 : 0 < — < 6 •• > x—xa

(I) Mx) - « | < e) A ( 0 < | ® { « ) - < t r ) .

I Mm1 ion. A) lis suficiente analizar el caso a > 1 . Se tiene

\ax - ax"l - a**\a*-* -1|.j. _ i Undo que lim a:' — lim a « =--1, Ve > 0 existe un nt) tal que+OQ it—*(x

£ 1 i •[ < a "» < a"" < 1 + -—.a n a 11

AM |>ues, para [at — ajgl < ^ se verifica

1 < a -I < a a < a'"' < 1 + —.

pudivir, [a1 - ft"1") = a*"\ax - 1| < e para \x - xuj < J .B) Para fl > 1 se cumple

< In (l 4- - ) < 1 < h l ( l - I ) < - I .n + 1 \ n/ n n — 1 \ jt / n

I if esie mode, para n > 1 1 < In ( l - 1 ) < in ( l + i ) < i

n - 1 \ 7t / V ft J n

1 M > > 0 un numero arbitrario que no super a a ' . Existe, pues, un n tal que

- € < In f 1 - ~ ) < In f1 + — ) < e. V na J \ no J '•! lomamos

1_ < a - go"tl Xo ft,)'

Hidremos la siguiente estimaeidn para la diferencia In x - In X{i — In fl + :

—z < In f l — ±-) < In f l 4- ^ 2 . ) < In f 1 + -1 ) < * , \ V xo J V "0 J I"I decir, I In x - In Xril < £ si lx — < .Tdf.

98 rapiiulo I. Jnlroiluccion ill «itiAllrUtt

Segun las condicioties del problema y el aparlado Ii)

in %t(x) —> b In a para x — >

For lo tanto, do acuerdo con el p. A) tenemos

lim (i4(#))X — U

lim e m ln = e t i n a a. . l i m(lim u{x)) •

• • • • • • • • • • • • • • •

m Hallar los limites:

186. lim f iff—*oc V x + 2

2x + l ) " Solucion. A partir de las afirmaciones A)-C) se deduce que

/ x -f 2 lim . X-+QG \ 2X +

Xlim exp \ x1 ln X+2

2x + ]

En virtud de que In £+223:-hi < 0 para x lo suficientemente grande y lim x ~ +00, el liml

<i>

que se busca es igual a 0, • ^ — • • •! • * * 1 1 ' I ™ *

Nota. 'La resolucion .de los ejemplos 187-192, 200, 201,

sencilla de resolver la in determination l x : sea lim u(x)

a firm a c ion,C) so deduce que

� >00

208, 209, 210 se basa en una forma m — 1, lim ti(ar) = 00 , entonces a partir de

im uv = lim ( (l + (« - 1)) ) = exp< lim{« ™ l)vlim

187. lim2 , 1 \ X+ l

a—t-oo V X 2

4 Solucion. En el caso en cuestion u = f irf ;^ ~ x ; (u — l)u — J z j . Por consiguiente,

lim.t—>00 v x x2 + l

2 - 2 • II III III II

1 8 8 . l i m f l + a 2 ) 0 * ' .a : — 0 X '

M Solucion. Por analogia,

lim(l + .2

x2) ct& 9

— exp < lim 3ar#—*CO X 2 e3. •

1 8 9 . lim(l sen nx)c t g i r a r

M Solucion. Evidentemente,

exp I lim x2ctg2xj = exp< ^ x^ x —+0 \ tg X

lim(l + sen irx)cts = exps lim sen nx ctg ttx > a : — L a ; — J(lim

e. •

exp < lim COS 7TX e " 1 . •

i\V l.tnille dc mill limcifin

1 9 0 . timf Hr. d\ I -\ son x f

E-: f Nolininn. Escribimos

£

( L J J E * ) * m e x p h m M z ^ . _ J _ I =* -n \ I -f* sen®/ (-c—ii 1+senar sen £ j ( 2 sen2 i Y „

= exp-! lim — 2 r } = el) = 1.Ii-to cos x (l + sen x))

* I- sen X / 4 Hnlluion. Basandose en la nota referente a la resolution de la indeterminacion para

utli i ilar el limite de la expresion *u" consideramostg x — sen a; 3

( j t t « i > = j - ,1 + sen x senJ x

yI hiilo que para x —* 0 se verifica tgx — sen a; — tg x (1 - cos a*) W y , I + sen x ^ I,urn' x x 3 , entonces:

T I limfw - l)v ~ lim —=• = - .0 JI-o sc3 2

I V csle modo,

1 + tg®X -I- sen x /

l l ) 2 . lim fseri — + cos —I . x—oo \ x xJ

4 Solucion. On virlud de que sen ^ + cos ^ — A + 1 + o (~ ) para x —* oc, hallamoslint (sen ^ + cos J ) = 1. Asf pues,

lim (sen - -f- cos = exp < lim ( - 4- o f i ^ ® I - e. P-x — V a; x J i - o o \ x \xJ / J

1 0 3 . l t a M ± * » ,I—o x

4 .Solucion. De acuerdo con la afirmacion C)

, ln(l + x) lim —•1——

x

I k' este modo, ln(l 4 &) — x + o(x) para S!->0. •

lim ' — lim Inf(1 + %)•' | = In e — I.x i—o \ /

m . Hm

4 Si>lnci6n. Sacando como factor comttn la potencia mfls alta de x tanto en el numeradori in no en el denomina dor y utilizando la afirmacion 13), obtenemos

(/.iptlulo L Inlrotlmrion al . h u I I m i m

'i*U '(1 A\(X' (Mil " " T V .

fr*> ln(xiU -I- x X • > i) ,•-- 11J TlI) x~* ioo 10 In x

2 Itt x | In (I ; ln (I

r- • )

xM )

1 9 5 . lim + » + x > o./t-0 h2

Solucion. Basandose en las propiedades de los logaritmos y haciendo uso de la afirmadon B) obtendremos

limlg (x + ft) + lg (as - h) - 2 Ig x

• I I I ••• Ml • • n • " 1 •• " '

h21

l i m r»2 1

Igex-

hx*

• lim Inh-> o 1 Igf

2X

196. lim ln cos ax In cos bx

•< Solucion. Utilizando las igualdades asintdticas (v.ejs.178 y 193) escribimos

lim ln cos ax ar—ln cos bx

Infll i m —

2 2 ax + 0 (®2»2 2 a x

+ o (x2))lim

+ o (x2)b2x7

: + O (x2)

2 2 v a ar

crara

•

1 9 7 . a) lim x a > Q; b) lim ^ ^ (a es real).z-G x < Solucion. a) Sea ax — 1 = i. Entonces t —• 0 si x 0, por eso

lim aX 1 lim t In a lim ln a x f-o ln(l +1) ln(l + t)l/i

ln a,

iuego ax — 1 -h x ln a + o (x) para x —> 0 {e® = 1 + a? + o (a?)).b) Evidentemente, lim < l + a?yT-l

X 1im ^Flff fa*1"1"3^1 /*in(i+a) fi, puesto qu

fi ln(l x) —• 0 para x —> 0, lim exp , " = 1, lim — 1 (seeun la afirmacion B)

los ejemplos 197, a) y 193). De este modo, (1 + xy* — 1 + fix + o (#) para x 0. • 11 • I • I I • i • • • ••—n n -

1 9 8 . lim 1 — COS^ X X (fi es real).

< Solucion. A partir del resultado del ejemplo anterior tenemos

lim 1 - cos/J x vrwn mi

X lim(l + (cos X 1 1 cos X

cos x - 1 XHr •

1 9 9 . a ) lirn • X2 X—tQ. X

eax~ cos2tt x - 1 , a > 0; c) lim —-z , a 0.a xz

^ Solucion. a) EscribimosX (cos x)

x• r 2ex - 1 X + 1 - (cos

XBasandose en los ejemplos 197, a) y 198, obtenemos que el limite buscado es igual a 1 + s/20

|i'/ I tin In ill1 tut.i funcion HI!

1)) lias la rcali/ariim dc Viil'ijjft li\ni,'ilormacioiics evidcntes liallamos„ , . , 0 ! - a ^ i

a •—••a — • x a u: a ~~a

HI limite del primer sumando (v. cj-197, a)) es igual a a" In a. El limite del seguni.lt)mt tdo {v. ej. 197, b)) es igual a ac . I'or consiguiente,

.. a -'" X (j . a a i ]im — a ||| a — a — a ind x - a

c) Se verifica

cos2" x - 1 - 1) cos'" x + coslit x - 1 _ e"*1 - 1 , _ I - aw7" x N " ' N ^ OK COS ^ "•<•—•> ^

X4 X~ ax :C-

1 ).ulo que lim e « L O S 2 " x = a, lim —- — a, el limite de tod a la expresidn es ij>u.HI I I'R'O.

����X — (1

4 Solution. Representemos la funcion = cn forma de una suma de dos funciones' ^ f + = V>i(x) + V i f r l Evidentemente,

e«lnXfe(z-a)]n3: _ ^

M.ido que para x —• a se liene —> a*1, j—-• —+ 1, In x -* In a, vemos queInn a" Ina. Asimismo,

i - a =—2 - a i->« « a a

I'iiiiilmente sc obtiene lim x = a" In a + a" — «" ln(ae).1 a

2 0 1 . lim (

.i—D y I 4- sen x cos px j

4 So I u dun. Buscaremos cl limite de In cxpresi6n u1' correspond iente. Tenemos (para x 0)

cos a s — cos iix cos3 a;ft- l)w - 7 - r z -I + sen x cos fix serr x

( 1 + (x + « (x)) ( 1 - + 0 ( ^ ( S 2 + 0 ( X 2 ) ) + C (X1) ~ '

for consiguiente,

^ l + s e n x c o s / j J = ~ ~ * * \ ' *

102 C'a|>iluk> I. Introduction .il iinjlfNh

r%rxf\ .. MCU^x'1)MOT

M Solucion.,, senfirsu®) lt sen Mx** - 1) + 1) „ sen - 1) ,, 7r(xa - 1)lim — J — ~ lim — ' = lim , H ' - lim -—s—— = x^i sen(Trar) as-*! sen w{(xp — 1)4-1) x^i sernr(xP — 1) x^i ir(xp — 1)

-Tim a t + 0 ( t ) = « na+ty-1 £*pt + o(t) w

Aquf hemos utilizado el resultado de la soluci6n del ej. 197, b). • •• • m <

203. l i m .m(cos (ir2x))<4 Solucion. Denotemos sen2(7r2^) — it entonces

t. Sen2(flr2*) .. t t hm - . — — lim tj — lim -•, = -2-ln(cos (?r2*)) t^o I ln(l - t) <-o ~\ + o (t)

Aquf hemos usado la formula In{l — t) — — i + o (t)> •

xa a012 0 4 . lim — a > 0.« xf7 — qP

Solucion, Suponiendo x — a — t y haciendo uso del resultado del ej. 197, b) obtenemos

xP - a? t-^0 + -y - 1 fi ' JJ + o (t) p

i x - h r* x 205. lim a > 0h --> o hr

4 Solucion. A partir del resultado del ej. 197, a) se deducex-\-h . ^j:—h n , „h

lim - • — — lim a [ — r — J — a In a.hl h^ o \ h /

2 0 6 . lim > + .

4 Solucion, Utilizando el segundo limite notable y realizando ciertas transformacionesevidenies hallamos

! " f # � � $ + - L ) f � � � �a- +oo (a? + a + ft)2®^6 V + / \A x + bJ

2 0 7 . lim - x > 0,ti—KX>

•4 Solucion. Tenemos (v. ej. 197, a))

v 2/ tu— v -f- -1 n2hm n (vx - va?) = km xin r •—--j —= = Ina;, • ri-^oo n—*oo —• 71 + 71 n2 \-n

!| V I Imilf dr una hincion MB

20H. Jim ( ^ l fl, h ,<).

ii y 2 J Nuliicion. For ana log i a con el ejemplo anterior, se tiene

2(W. lim (a*+1 + f t 7 + — ] ", a > 0, b > 0, c > 0.s-o \ a + b + c /

4 Solucion. DesigneEfioS f{x) ~ —a7?Tt 1 e v ^ e n l e 1IK- / w I para x 0, lucgoh'urmos

T-n \ I t H C / [i—o x ) Mir vUtud de que

f{x) - 1 1 .. / <f - 1 , , b* - 1 i c* - l \lim —— bm a — 1- b -f- c - I = .II x A + ft + E \ x x w }

n In a + b ln b + c In c a + b +

>1 limite es igual n {a°bbc*j»

2 ( 0 . lim f 4 ± r r V , » > 0 ,z-«0 I B1 T 6 I

4 Solucion. Tenemos

l i m f < ± ^ V ^ e x p j l i m ^ } ,\ax + b*J v \ i -o x J '

donde f(x) = -» t P«es lima*' = 1, limb1* = 1, lima1 = 1, limb1 = I a i tf r i - LU x-*0 ss-0 x -0 (yease la afirmacion A)), Dado que

f(x) — 1 .. Oa' } - - ax — bxhm — " hm -—-;-—--•ji (i x i-.n xta1 + fr)

= f t + - r - ) = ~ 2 ( l 1 1 n + l n h)>

el limite buscado es igual a = k

i i r i ('.ijMlnfo I. Jnlnxliiivion j l *nijlhiri

itm a b.ir

<t > <K h > if-1 1 Jw

I

x .ii {tiz ¥)

< Solucion, lin virtud dc que (v, ej. 197, a)) ax

(x In ~ o {x)j = x1 In2 ~ + o (x2), se verifier

x2 In 7 + o (x2)

iy'r - x2 Jn I

lim a X b* limx-a (ax - hPf x^o x2 In2 I + o (x2)a:2 In?

lim 6x2 In2 §

212. lim ln(l + 2X) In ( l + 3x

< Solucion* Utilizando la igualdad asintotica del ej. 193 obtenemos

•I - o (x2), (a

Hm In(l+2*)ln ( l + | )

X x\2bX)

K )

-1•

lim (x In 2 -f In(l + 2"*)) In (1 + x—»+oo \ XJ xlim {x In 2 -f 2 ~ + f OO o (2~x)) ( 3x +

X1X = 3 In 2 = In 8, •

2 1 3 . Demostrar quexk

lim (IX 0, a > 13 k > 0,

Solucion. Puesto que lim ^ — 0, a > 1 (v.ej.70), asimismo se cumpleft—»oo

lim < Z ± j l = 0.n—00 a

Por consiguiente, dado un £ > 0, existe un numero natural N tal que para n > N severifica la desigualdad

(« + 1)an < e.

Sea x > N + 1 y sea n = [#] (parte entera de x), Entonces, n>Nyn^x<n + l con lo que

� � � �a*k (n + l?

an < €. Asi pues, la afirmacion queda demostrada. •

2 1 4 . Demostrar queloe x

lim ^ 0, a > 1, e> 0.a-M oo X

4 Solucion. Designemos x£ Tenemos

lim#->-|-QO x

Hn virtud do la igualdad (v. ej. 74) lim -n—>00n

1 r Ha * - Jim —" -£ i +oo t

•

0 tenemos

lim ^ > 1 1 ) = n n —> oo n

T fl V* I Hit Mi* tit1 tin.i liiiiciiiii lO.'i

HIM 11 > 0 arbitrario, lixlNle, onlnim'n, itri liiuiicrft natural Af tal qui' para w > N

n'.i I • N I 1, to mem os T| — jfj . Por tan to, » > iV y a ^ f < n + 1 , de lo cual

0 < ~ ~ T n < £ "

dii ir, lim ' ° 7 ' - U, y, por consiguiente, tambien lim *•

tj ' Nul.i. I'ara la resolution de los ejemplos 215, 216 se utilizan ias formulas

e1 - e~x , ex + e~* sha;sha:- —, cl>:r = — t h a : — ,

2 2 chz

tn>i > omo las formulas dc la trigonometria hiperbdlica,

P Itcsolver los ejemplos siguientes:

2 1 5 . a) lim b) lim % — c ) lim — - .

i-(Q x a—a xs i-»o X

4 Solucion. a) De acuerdo con el ejemplo 197, a) escribiremos.. shfc .. ex~e~x .. -x e?* - 1 . urn — lim - — — lim e • — = 1,

x o 2x r-.ll 2x

de donde shx — x + n (x) para x —* 0.b) Basandose en a), obtenemos

c h ^ - 1 .. 2sh^ l / S h | V 1 lim r — = lim — ~ - Lm - = - .*—0 X2 I-D X2 2 V § / 2

Asf pues, ch x = 1 + y + o (a*2) para x —* 0.c) Haciendo uso del resultado dc la soluci6n a) y de la afirmacidn A) hallamos

tli a; .. sha: I lun ~ lim - — • —— — 1. X x-0 X Cha:

216. lim r~7T § -a—u ln(ch 3x)

« Solucion. Utilizando los resultadosdel ej.215 tenemos

sh2a: ,. (as + a {x))2 (as + o (as))2 .. x2 2 lim 7-•-•••• - - - lim •———=—-•— - —- — hm „— — = lim — - = - ,* -ii ln(ch 3®) |n (\ + 2 x* + 0 (a;2)) »-<J | x2 + 0(®2) « - f g X2 9

l| Demostrar las igualdades siguientes:

��� lim arctg a: - arctg

I(l<1 ( <]|>iUi[o I. JnlmiluirJon til mniliMlri

SoluciAn. StM 0 y sea x > I)SO tiriK)

arctg x •-- arctg a?o

Designemos aivlg x mrl}1, L l'am t- > 0 arbitral1

Ma; - Xd 1 + XX{)

< \x - x{)\ < e

si \x — x{}\ < S (e) ~ e. De este modo, la relacion queda demostrada para x0 > 0, Si a?o < la demostracion se reduce at caso ya estudiado, pues, arctg (—a?) = -arctg x. Para = 0 la validez de la relacion a demostrar se deduce de la evidente desigualdad

0 ^ (arctg x - arctg 0| — |arctg a;| < \x\.

2 1 8 . lim arcctg x — arcctg . ' X ii )

Solucion. Haciendo uso de la identidad arctg x + arcctg x — valida para todos 1 valores dc xt obtenemos

lim arcctg x = lim ( ^ - arctg ar] 7T2

arctg xq — arcctg x$. •

2 1 9 . lim arcsen x ~ arcsen x$, — 1 < Xq 1.

M Solucion. Observemos que si 0 ^ x < 1, se tiene arcsen a? = arctg j* 2; si 0 < x < 1,

entonces arcsen x — arcctg X , Por eso, para a?o £ 1 [ tenemos

lim arcsen x = lim arctg - xX—

ii- VI Xarctg x0 arcsen xq .

1 — x 20

En el punto a?0 = 1 se cumple (v>ej.218)

lim arcsen x — lim arcctg vT1-0 x

X IT — = arcctg 0 — — = arcsen 1

El caso de que —1 ^ a?o < 0 se reduce al caso ya analizado, pues arcsen(-#) — Dado que en el punto xG — 0 los valores lfmites izquierdo y derecho sondemostracion queda concluida. •

- arcsen x.nulos, la

• J . . J—

220. lim arccosa; = arccosa?o, ^ ^ 1*II

M Solucion. Procediendo de una manera analoga al ejemplo anterior y usando la identidad

arcsen x + arccos x VTV

obtenemos la relacion requerida. •

2 2 1 . a) lim arctg x— 7-; b) lim arctg a;X -fOO 2 X—I— OOc) lim arcctg x = 0; d) lim arcctg x OO X

7T

���

;i'/ 111 ii 1111' tlt< i (liit I nil i'kin 10/

| Snhuii'in. a) Stffl e > 0 ;irl>lltwln. Kii etileeu'iu, dc l,i desigualdad X > t^ ( f ) l'J(e) hi' ili duee que arctg a; > * r, in decir,

0 < * arctg x < c Vx > E{e).

I?) Tenemos lim arctg x=- Jim arctg x ~ - j .I — I —

c) Utilizando la igualdad arcctg ? — arctg x obtenemos

lim arcctex = lim — arctg X) = ~ — x = 0 J-+00 6 a-+00 V2 ° ) 2 2

d) Ana log a men te,

lim arcctg a: = lim - arctga;} — ( - — ) — ff. j—x j i — V 2 / 2 \ 2 /

| t l.ill.ir los lfmites:•Vim .. arcsen ax LLL. hm •—- , a / 0.xSolucion. Puesto que lim arcsen a; = 0 y lim - lim 1, se tiene1 i-tO i—0 * T. ,0 seHfrresen as)

,, arcsen ax .. arcsen ax lim — = Jtm — — • ft = a. • jr—n x i-'O ax

i r y r i arctg ax J.Z3. h m — 3 ~ — , « # 0.a— 0 X

So 11 lei oil. Puesto que lim arctg x = 0, entonces

arctir ax , arete ax lim — - — lim — r - a = a. > i—H x i—o tg (arctg ax)

2 2 4 lim § ^ t,h) ~ a i c t g xh—0 h

Solucion. A partir de que lim (arctg (x + h) — arctgx) — 0 tenemos,'i -ii

^ arctg (as + k) - arctg x _ ^ tg (arctg (x + h) ~ arctg x) h -ii h h -o h

x + h~ x 1 = hmh (1 +X1 +hx) 1 \-x2

2 2 5 . a) lim — — r ; b) lim —-—-.S-.-0 i + e j i -f ei

Solucinn. a) Si x —* - 0 , entonces ~ —* —oo, y e * —> 0, por lo cual lim —W- = 1.x x—-0 1 1

b) En cambio, si x —* -rfl, entonces - -1 oo v —^—> 0. es decir, el limite buscadoI ]t-Ct

cm igual a 0. •

IDS Capi ' luio J. F n t r o d u c c i o n a I -tihWmiri

2 2 6 . l im KtMl(7Tvw/ I I).Ji

Solucion, Escribiremos yn ~ son(?vV + 1) en la forma yn --= sen (>/n2 4-1 — n -I-entonces

lim sen(7v\/n2 + 1) — lim s e n ( ( 7 r \ / n 2 1 - wn) + t t n )Tt—>oo

l i m s e n % t ^ + 1 t t

n—»oo n))= lim ( -1)" sen , " — 0.Vn2 + 1 + Jl

2 2 7 .• 1 •• i—IWW B ^ ^ H

lim sen2(7T v n2 + n), n—co

M Solucion. Por analogia con el ej.226 tenemos

lim sen'ft—>00(7TV n

•• ii • ^ ——• 1—•

n) = lim sen ((tr\/n2 + n - mr) + mr)n^ oo

| • • • I

l im sen ( 7 r ( \ / n 2 + n — t i ) )re—3-00

lim senTI —* OO

TT 11 + ~ + 1

Tl

^Se podria deducir de estas igualdades qu228. Sean lim tp(x) — A y lim ij){x) = B. lim i){ip{x)) = B?

1Analizar un ejemplo; <p(x) = - para

entre si y <p{x) — 0 para x irracional; ij.){x) ademas, x —> 0.

M Solucion. De las condiciones de partida se deduce que para un e > 0 arbitrario existecj — a(c) > 0 tal que

| f(u) - B\ < e, (1

x = donde p y # son numeros prima

= 1 para ar ^ 0 y $(x) — 0 para x — 0

si0 < \u - A\ < a, 0

es decir, la desigualdad (1) se verifica para todos los valores de u pertenecientes al<7-entorno del punto Af salvo el propio punto A.

Ahora, segun las condiciones del problema, Ver > 0 (incluido tambien el a queinterviene en la desigualdad (2)) existe un <5j(<j{£)) — <9 (e) > 0 tal que para cualquier x quesatisface la condicion

0<\x-a\< 6(e), (3)la funcion u — tp(x) satisface la desigualdad

|<p(x) - A\ < a. (4)

Notese que el caso de que (p(x) = A no se excluye.Sin embargo, puede ocurrir que para u — <p(x) A la funcion ip(u) = i>(<p(x)) o

bien no esta definida, o bien si lo esta pero su valor i*(A) ^ lim i?{u). En ambos casos ladesigualdad (3) no garantiza que se verifique la desigualdad (1). Para que de las condicioneslim <p(x) = A, lim ip(x) — B se deduzca la igualdad lim ip(<p{x)) — Bf es suficiente quecumpla <p(x) ^ A si x ^ a. En el ejemplo propuesto esta condicion no se verifica. •

f (i'/. Unitle dc him fiimlnn !<)'>

22M. SupongJHTKW que pant (tidiiM Ijiri ir i |.jr,i,(( [ l|- mviuIo a.'u iliido dc nnteilumo,iiimij'Il'ii Lis condieionesr

i*0 l,»; 2) V I ' M I;

k I 3) lim P„ii(%) — 0 pam cada k fiju; 4) lim n„(x) - I,

Ii—»[5D 1J--O0t II

Demostrar que lim tn — I, donde t,, = > ttt(s), fc = l

4 Nulmmn. Sea £ > G arbitrario. De la condicion 4) se deduce la existencia de un numeroN iV(f, x) > 0 tal que [«„{a:) - < | Vn > N. De la misma condicion tambien setli dme la existencia de un numero M > 0 tal que

|M®)I & M, |ut!(;c) - i| < 2M Vft £ N.

I .i nmdicion 3) conlleva la existencia de un numero »n = n0(£, x) > N tal que

< k=*lfN, Vn > no.

I h' estas desigualdades y de las condiciones 1)/ 2) se deduce la desigualdadn n ii

l'„ V P„,(x)uk{x) - I V PniW ^ X] ^WM®) - % = k=l fe^t - Pnl(ai)j«l(®) - t| + P»Ax)\u2(x)+ - if +

+ PnN ~ i| + ••'••' + Ptm{x)\"tln(£) ~ *( < < + \ 1(») + • • • + < | + | = e Vn > rtB.

hir consiguiente, lim f„ — I. >•11-'IX

2 3 0 . Demostrar ios leoremas de Cauchy: si una funcion f : ja, +oc[ —> K esta acotada at todo intervale finito ]«, ty, se tiene

a) lim = lim (f(x 4-1) - /(»));

b) lim { f W = lim /(x) >c>Q, Z — > + , ' X ) X— + 3 0 J { X )

mij)oniendo que existcn los limites en los segundo$ miembros de la igualdad. c) Demostrar que si lim {f(x +1) - /(s)) = +oo u f esta inferiormente acotada en

Z—+00loth intervalo finito \a, b[, entonces

lim = foo.I —+ 00 X

4 Solucion. a) Para demostrarlo Utilicemos el ej. 229 tomando

% | i - , %;(«) = ——, k = 2,n, &< xo<x +1, > a, x + n x + n

- ~x±}li un(%) = fix + n) - f{x + n = 2 , 3 , . . . . x i

I 10 ( a|>jluIi> I, liilioiliailOn *il finAlhjiNu

En d caso considenido tn • /« . 7 " - Todns las i iiiufii iotics del leoremI V J

a r quedan cumplidas, por lo tanto

lim tn — hm — »—• oo n-^oo # -|- Tl Urn (fix + n) - /(a? + n - 1)) = i.rz-vooPuesto que / no depende de x, de la ultima igualdad se deduce que

lim.r—+00 X lim (f(x + 1) - f(x)) = I.

b) Dado que f(x) ^ c > G, queda definida la funcion F(x) — In f{x). Selim — L En este caso, utilizando el teorema del apartado a) y la posibilidad de pasaa?--tooal lfmite en el argumento de la exponential, obtenemos el resultado requerido

lim {f{x))' S —«4-00 11m expX—i* -rCX)

In m | , .. In fix) \ exp < lim > 3->+oo X J

exp lim (ln fix + 1) - In fix)) lim = fmc) Para cualquier E > 0 existe un numero x$ > 0 tal que para x > Xq

fix + 1) - f(x) > 2E.

Por lo tanto, f(x + n) - f(x) > 2nE y *

f{x + n) f{x) + 2 nE x + n x + n

Dado que f(x) J? c > 0 para Xo < x ^ xq + 1, luego existe un numero no tal que

fix + n) x + n >E

para Vn > es decir, si t — x + < x ^ n > 71$, se tienemt > B,

lo que es equivalente a la afirmacion requerida.

2 3 1 . Hallar los limites:

a) lim (lna?)1; b) lim f-^} . X^+CQ x —' f oo \X / Solucion. a) Utilizaremos el resultado del ej-230, b). Obtenemos

lim {In x) £ —' f 00.r limx +oo

in(® +1)•• 1

In x limx~~* foo

l n x + l n ( 1 + I ) In (1 + ; )In a?

lim��� f-OO

� � ln x 1.

b) Por analogia con a) tenemos

Hm ay sc-»foo \X /

1lim j; +1

+ OQ — �

1.

J|7. Miniitt lit' mi;) fuudon I I I

2 3 2 . Demostrar q u e m : I) nn.i fttncion / twtii definida en cl dominio a; > a ; 2) / est finula da en a < x < b} ,t) existe el I (mile

lim /(* + ! ) - / < « ) , ,

lliiilo o infinito, entonces/(») _ I Hmt- +do a:"1"'"1 m + 1

Solucion. Sea Z finito. De Jas condiciones de parlida se deduce que

l i m + + = I—oo (x + Ti)m+1 ~(x + n~ l)"111 m + 1'

I ilili/amos el ej. 229. Suponiendo que

0 < xD < x ^ Xu + 1, a;0 > u,

, v _ /fa d 1) , v _ /(3i - fw)-/(a ; - l -w-1) _ ~ p +1}"'+'' ~ (« + *)»«-(x + n- I ) - " - ~ 4 - V • •.

nlt.k'nemos tn = ./i.*") "ii. Todas las condiciones del ej.229 se ctimplen, poi* lo cual

v , li f(x + " ) r i \ 1

k-w. + fl)m+1 H .or, m + 1

I )ado que el limite — n o dependc de x, la ultima igualdad es equivalente a que

m • i limi-M* tmn m + T

Sea I = +oo. De la condicion 3) se deduce que

.. ( s - j - - ( E I n - 1 ) " ' + 1 _ «—to f(x 4- n) - /(x + n •• T)

Kn virtud de que la sucesidn

lietide a |-oo creciendo monotonarnente, la sucesion

tambien goza de dicha propicdad. Al to mar

P l ( v ) - /(«+n Pt(x, f¥±jo -- wtt*m k -0 < < i ^ + 1,

. , (a: -j- l)m *1 , (£ + n)"" 1 ~ {ir + n - i)m+1i W - T S + i T i jj. = 2 , 3 , . . , ,

1 < \ipiJulo j. Inlrtulin* ((HI

y utili/iir el i 22{> obiendromosti

V^ (x -f n)m 11tn " = " T ^ r ^ - 0 P'™ » OO,

do donde se deduce la afirmacion requerida.

2 3 3 . Demostrar que lim n sen(27rexi!) = 2tt,71—>0O

Solucion. Tenemos (v.ej.80) * = 1 + 1 + ± + -• - + ± + < 0n < h siendo

VnOn = — I — = n' nl(e - yn)

TZ-71!I+ l + i + + +.... 1 •

v 2! n! (n +1)1 (n + 1 )(n + 1)! Vn

n - — — — f ^ _ n I n0n+iA(n + 1)! (n + 1 ){n + ljr J ~ n + 1 + (n + If 1 para U oo

Utitizando este hecho obtendremos

lim n sen(27rerc!) = lim n senf 2irnl yn + 27v$n ) 7!—»00 fi—>CO \ 71 / 2nOn,. 2wQn senlim n sen * - hm " . 2?r0ra - 2tr, • n-s-oo 71 oo 27r^- ^

ti

S Construir las graficas de las funciones:

2 3 4 . y = lim \/l -\-xnf X>0.n-^oo

\fl, y, como lim = 1, entoncesft --+00lim •yiT i^ = 1. En cambio, si 1 < z < +oo, tenemos VTTx" = x { / J + 1 y « — oo" / i + 1 1 para n ^ oo, por lo cual

lim = n—*oQ

For consiguiente, y — { 0 < au ^ 1,I x si 1 < x <

Proponemos al lector dibujar la propia grafica.•

2 3 S * ^ J ™ ) l 1 + * n + ( f V ^ o .

^ Solucion. Tenemos

\ n XzK l + + < v^ si OtZztZl ;

r ij'/ l.uuilc tic urtii Inmion 11 '>

si 2 ^ a; < -|-<x>.

M a d o q u e lim \/3 = 1, tendremosfinaimenfcen >cosi 0 ^ x < 1,

x si 1 < x < 2,Y si 2 < ar < f oo.

Le dejamos al lector la construccion dc la grafica. •

2 Mr, Construir la graficalim V k F + W = l -

S Dado que 0 < J f f j , " ^ < 2 si \x\ ^ 1, 1, \x\ + / 0, tcndrenww

J".'! y j J S = 1 (v' ei"73>- ?> P°T consiguiente,

lim V W 5 + - I™ ™x(\x\;\y\){ =mix(\x\,\y\), ii—oo n oo y tnax (|!tj , Isl")

••'•decir, max (fx), |y[) = 1 y la grafica se rep resent a mediante el coutorno del cuadrado conu Mices en los puntos ( i i , i l ) . Esto se deduce del hecho de que los puntos -4(±1, jv/|),[(f| ; 1, B(\x\. ±1), I a: | < 1, pertenecen a la grafica. •

I : M.illar los lfmites siguientes:

2 3 7 . lim ((1 + ®)(1 | a r ) ( l + x 4 ) , . . (1 + a:2")) si \x\ < 1 .H — O O

4 Solucion. Dividiendo y multiplicands por (1 — x) la expresion que se encuentra bajo elmj'.ho dc limite ob tendremos

lim({l + 3§1 + X2)(l + » 4 ) . . . a T a>)) = It t.Xil

.. (1 - S2)(l +3^X1 + . (1 + s 2 " ) .. 1 1 — lim — 1)111 — 1 — X n-voo 1 — x 1 ~ x

2,38. lim [cos — cos ~ . . . cos } , x ^ 0.fi--ca \ 2 4 i f

4 Solucion. Dividiendo y multiplicando por 2" sen ^ la expresi6n cuyo limite se buscatiUencmos

/ X X X \ (tin (cos — cos t . . . cos — ) — limfi *ix< \ I 4 2 / n—tx:

cos J cos ~ . , . cos • 2" sen jtttOO 2" sen ~

sea -x .. sen x 2" sen a:= lim — i - = lim 7- - — ,n-'ixi 2 sen ~ ?i—co x sen x

J 14 (,'apiUiJo I, lnl((KUniiot} 4»I JMillifji i

239a mn

C I' V^)Sea hm

< e para tn £ N y n > Demostrar que

1, donde i/>(w) > 0 y at inn i 0, m ( N, pa ni w • oo (es decir

lim (tp(ahl) + + • • • + <p(ann)) = lim H- -f - • • 4- 7i—OO n-s-oo

suponiendo que existe el limite en el segundo miembro de la igualdad (1).

= 1 y amn =t 0, entonces Ve > 0 3 N = tal qu^ Solucion* Dado que lim ,, , Vn> JV

ffttmn)de donde, en virtud de la condicion > 0, tenemos

1 - £ < + + - • • + <p(ctnn) i>(aln) + i>{a2n) + • - + i?{ann)

< 1 + e.

Partiendo de esta desigualdad y de la condicion de existencia del limite en e segundo miembro de la igualdad (1), deducimos que el limite del numerador existe y e igual al limite del denominador. •

11 Utilizando la igualdad (1) del ejemplo anterior hallar los limites siguientes:

240. J™, (jJ Jl/ 1

� �k

1 1 - 1 . n

in + ^ Solucion* Dado que lim — 71

K—+00 JL3 n2

1 k— 1 (v. ej. 158) y 0 para n —> oo, resulta

" / lim V (71—*00 ' \ fc—1 V

kn2 1

n

= lim k

k=i 3 n 1 r n{n + 1) lirn ;6 n oo n

1

n241. lim > sen

4 1 i / V i X i m

katl—>00

kr-1n2 '

Solucion. Evidentemente, limsen ka

—m—wm

n2 ka

n—^ookan

l y -y =4 0 si oo. Por eso se tieneJ nl

nlim V I i j V i / •

senn—> oo

kan

kaItm ) h—oo A—' Tt1

fc=llimn—<00

an(n H-1) a 2<w 2 •

• • • • • • • • • • • • •• • • •

n242. lim V - l ) , a > 1

7).—'OO * \ / fc^l

r

i;V I.unite dc uitu luiuiou I IS*

* fiohtcion. 'lenumos lim ".' ' I (v. oj. 197, a)) v * 111 para > <50. oslo modo, liiair

, n(n !> 1) 1 . ~ — r 'n 0. • tan 5 (&«- - l l — lim —=— = In a limn-..™^—' \ / jj—-ob ' K ?[-•*«>

2 4 3 . l i m f f f l + 4 ) -i-1

t Solution. Tenemos

it=i t=i *

l n ( l ~ £ ) , 1 Mi In que lim k = 1 y para u -+ oo, entonces

m . lim T T g o s - ^ .n i o o 1 1jt=i v

4 Huluc.'ibn, Es facil convcncerse de que

.. , k2a2 >n

-i'X'5?

Tor eso

Inn I T cos -- expl lim y In cos 1 = " " j _ i iWn ~—J Bv'n J

/ .. - A k2a1 \ f ,. n(n + l)(2n + l)a2 \ = exp< - lim > J — t f exp^ - hm — > = e * , • r l u - c o ^ In2, J 1 1 Tt—>oo 2-6-w 3 J jfcrsl '

Rn los ejemplos 245 y 246, basandose en la afirmacion A), pasar al limite en eli".|'onente de la funcion potential.

2 4 5 . I.a sucesion esta definida mediante las igualdades x\ = \f&, X2 — yf a f \>,r(i,

i'i y a + y a H- \/a,,.., donde a > 0. Hallar lim x,t.V n—™4 'lolucion. Vemos que xn ~ + ti — 2,3,... . Aplicando cl mdtodo de induccidn

nuilcmMca nos cercioramos dc que la sucesion xn = x/a + es monotonarnente

i ii'i jcnley cstil superiormente acotada, por ejemplo, por e! numero A ~> \ + \ /-. •(- a, luego

h C'.ipilulo I. mdiKiion anrflisiH

lim xtl / 0 •ii nvj

y, iiiiomas, / sfa \ lt dc donde resulta que

I Via H-1 + 1 i m i i n i i i M ' • ••

•

2 4 6 . Si es la oscilacion de una funcitfn / en el segmento \x el numero

«--• 0 se denomina oscilacion de la funcion f en el punto

Determinar la oscilacion de la funcion / en el punto x -1 1 2 1 = —r cos —;

^ ft, ft > 0,

0 si:

a) f(x) — senx b) fix) x X

c) f{x) — x j sen ^ ; d) f(x) — ~ arctg7T X

Solucion. De acuerdo con la definicion de oscilacion de una funcion en un punto, tenemos11 ^ 11 1 — (—1) — 2,

xKh h

a) w j/] = sup {sen - inf {sen

wolf] = lim wA[/] = lim 2 = 2;h-> 0

b) wh[f] - sup { ^ c o s 2 ± } - inf {^cos 2 £ sup { Jre

cos.2 1 i }a; J -I

donde At son numeros enteros tales que \k\7c ^ j, Por eso

" J / 1 + O 0 , W 0 [ / ] = + 0 0 ;

1C) 0 < uh[f] = sup {x (2 + sen } - inf {a; (2 + sen I ) } 3ft - (-3ft) 6ft,

= wot/] = 0;d) wft[/I - sup { I arctg 1 } - inf {^ arctg 1 } = 1 - ( - 1 ) - 1;

/] = limw/J/] = lim 1 L • • • • • • •

2 4 7 . Determinar I - M / ( « ) y ^ — lim/(a;) si

� �f(x) = sen — I — arctg — 4 x i r & a:

M Solucion. Dado que inf {sen2 = 0 para x = xn1 , n 6 N, y lim § arctg—OO " ' lift

inf { - arctg ~ —1, entonces

( -- lim f sen2 - 2 1 \ + - arctg -2 7r • #/

2 2 lim f sen nir H—irarctg (-rcTr)J L

Analogamente, dado que sup {sen2 — 1 para x xny lim \ arctg ^ sup { f arctg - } = 1, se tiene

7r(l-h2n}' n G N,

L lim (senx^Q \ x ft 2 1 2 1\ / M 2 T ( l + 2 n )— H— arctg — J — um I sen —

� �� ���� X 4- 2 a r c ^ ? r ( 1 + 2 n )-I— arctgt 2 1. •

Ji V. I.finite ilo una funcion I 17

2 4 8 . IJcfinamos in Itmciiin 1 1 * sii*nilo z 3ji I i f / , mediate Iii igualdad

c*= lim + fl)U^oq \ n /

i ifmustrar que

e*~'v = er(cos y + * sen y). (2)

I Vducjr de esta exp res ion la formula de Euler:

eiy + e~'v fhj - e-"Jcosy = — , scn^ = — .

Solucion. Representemos la slices i6n «!-»• A + en forma trigonometrica

((M ~ + ~ j'NlH-**" ) I i londe <p - arctg , y apliquemos luego la formula de Moivre, Tenemos

2x x2 + y2\rn t-t [ 1 + — -| I (cos n<p + i sen nip). \ 77, 71 /

1 t.ido que (l + ~ + o ( i ) ) *'/"•••(>/») - f t, | + 0 ( £ ) ) -> x para » — oo, obtenemos

[Mm n oo.Ademas, de acuerdo con el ej.223,

nip - n arctg — - — = n (— 1- o —y + o{ ]) ° n + x \n + x \nf /

para ji —t oo. Por eso {v. ej. 175, a), b)) cos n<p —> cos y, semap sen y para n oo.De este modo,

/ x + iy\n j, , . v^ H 1 ) —> e ( c o s + * s e n y>

para 7i, —< oo, lo que dcmuestra la igualdad (2).Suponiendo x = 0 en la igualdad (2) obtenemos

e"J = cos y + i sen y. (3)

At sustituiren la ultima igualdad y por - y, tenemos

e'iy — c o s y —% s e n y. ( 4 )

I )e las igualdades (3) y (4) hallamos

118 <\i|NluloL Inlroiluttiuii j l jMjIisis

rcicitiH.n ol supremo y til inffmo de Ja funcion f : E —• F cspccifk:;ul«i contuutacitin

[)o(oimiiun los puntos y £ E (si ellos existen) en los cuales f(x) sup {fix}} IS

/to) inf{/(x')J.K

( 0 l - ( z - l ) 2 ,

91. f(.c) =•• | it | ^ 1. 92. /(*) = J—l, 1[ \ {0}. 93. /(x) --=x2,l<x< 2.

94, f(x) == xl, - 1 ^ x ^ 2. 95. f(x) = , ~2' ; ^ X < l'3? 2i96. /{#) = arcsen(sen x)f x^M. 97. /(a?) = arccos (cos x), x £ IR.98. f(x) = arctg z ^ 0, /(0) = 0.99, Determinar la oscilacion de la funcion f(x) = \ {0}, en los intervalos:

a) I10-7 , l (r6[ ; b) ]10-""i,10™B[; c) ]KT\ lO^f; d) 107[; e) ]10", 10B+1[.100. Determinar la oscilacion de la funcion f(x) -- sen ^ en los intervalos:

[; b) l 40JT ' 39?r b o ] 27J7T + 7T T WATDemostrar:

101. (1 + = 1 + nar 4- f o (x2) para x 0.102. x + cos x = 0(1) para ar 0. 103, e ^(1 + x~l)x = 1 - \x~x + 0{aT2), ® ^ 2.104. ( l + a? + 0(x'x)Y = ear* + O^'"1) para x oo. 105. (ae2*-")* = O ( e ^ ) , k > 0.106, a) ^ l + o (ar), a? 0; b) o(f(x) • g(x)) - o (/(a?)) • O (<?(#)),

107. y® = ffi^ -j- 1 y^xjj n(x - Xfj)-ho(x - Xq), X -+ Xq.Hallar los limites:

11)8. lim v J I g j a M ^ , 1 0 9 , l i m frTT*-^ m ] i m

111. Um .sus^-. 112. lim 1 1 3 . l i m ( „ . > 0.rt s l t t

1 . 115. lim t - 1 V p 6 Ff.

116. lim E sen 117. lim n (l + i^r), P € N.ntJh]

118. Demostrar las desigualdades:n n 1 1—r x yr—^

- — ^ 1 1 v < ^ a;*;A-l

ndonde xk > 0, 0 ^ ^ 1 (A: = T, rc), E ~

119. Sean: 1) 0 ^ \kTl ^ 1; 2) £ Aj = 1; 3) lim ABt - 0 Vfc fijo; 4) arn > 0, n G N;4=1n

5) lim xu — L Entonces lim tfj ™

Hallar los lfmites:120. lim 1 2 1 . I i m ! W I 2 2 . l i m r : l ™ - 1 . 1 2 3 . Um ( ) ^.

T - + - j: —>IJ l c — h )

n

i

124. lim ( i i f ) ' . 125. lim 126. lim VI f , I n f l f a 1 ) * '

X — » X 0 3 J - ' X . I ' ^ l )

'(K (nuliniiidad tit- una I tntcinn

Hallar f ;-: Jim /(;r) y h lint J'(.i:) ,si:H »iv tl "V l.!7. f(x) sen* \ cok(:iV.!) I2B. f{x) seiv<W2) I cosV/j).)><>. f(x) - senfyv£) (I 1 - W x f , 130. f{x) = (l 4 ; ) ' » r / .

til. ](x) = + +senza:. 132./^) = ! ^ .

§8. Continuidad de una funcion8.1. Definicion de continuidad dc una funciunDefinici6n 1. Una funcion / : X —> X C IK, se denomina amtinua en un panto

i'o C: X si se cumple una de las condiciones equivalentes:1 )V£>() D<5 > 0 :

(V® € X)(\x - aru| <6)=> | f(x) - f(xQ)\ < t ; (I)

2) sea (a;„) una sucesion arbitraria de valores xn £ X convergente al punto a."(; sin ca, entonces la sucesidn correspondiente (/(a;,,}) dc valores de la funcion convergea /(®fl) si n —«• oo;

3) lim f(x) =2 /(xq) O bien f(x) — f{x$) 0 para x — Xg —> 0;•I'- Xu

4) Ve > 0 3 6 > 0 tal que

/(]x() - <5, ffu + C J/fa-'n) - €, f(x0) + c[

0 bten, que es lo mismo,

/ : ]x0 - S, x0 + -1 |/{;co) ~I(xo) + «[•

1 Je la dcfinicidn de continuidad de la funcion f en el punto a:u se deduce que

lim /(*) = /( lim a;},

Dcfinicidn 2. Si una funcion / cs contitliia en todo punto de un intervalo Ju, (>(, lafuncion / se denomina continua en este intervalo.

Definition 3. Una funcion / : ]a, a:,]] —* fi (/ : [xa, b[ IK) se llama continua en i'lpunto a;0 por la izquierda (por la derecha), si se cumple una de las condiciones equivalentes;

1) Ve > 0 5 S > 0 tal que la desigualdad (1) es valida siempre que Xy - <5 < x ^ a;,,(a;,i x < + 6);

2) sea (»'„) una sucesion arbitraria de valores x„ € ]«, j;0] (:r„ 6 [:cu, b[) convergenteal punto x0, la sucesioi; correspondiente (/(a;,,)) converge a /(a.-0);

3) lim f(x) - f(xn) ( lim f{x) = /(aj0)) o bien, para abreviar, f(xa-0) — /(.To)"II \J! — I j II) /

(f{xo+0) = /(»o)); 4 ) Ve > 0 3 S > 0 t a l q u e

f{U - 6, stnl) C ]/(®o) - er f(xa) + e[ (/([a*, x0 + C ~ e, /(x0) r eft.

Una funcion f : X —* % es continua cn un punto interior z<\ € X si y solo si laluncion es continua en este punto por la izquierda y por la dcrecha.

Teorema 1. Si una funcion g:T—*X,TcR,XC 3R, es continua en un punto la t T, y una funcion f : X R es continua en un punto x0 € X tal que xa — g^u). In funcion compuesla f og i T —» R es continua en el punto 11).

l/t) ( ajnlnln I. InliniJtict iriii af iiiiitliMM

T e o r e m a 2, Scan J : X • K \j // : A > Jtt, Ar t IR, m/tf/Mrtra (.7/ «//: / : t i (.: >V, /jj/ywccs, las funciones

ff -I- fg y - ^ 0,

l J

sort co/ifzuHos ch el punto x{),Todas las funciones elementales son continuas en su dominio.

8*2. Continuidad de funciones vectoriales y de matrices funcionales

Definicion, Una funcion vectorial x f(#), f(:r) = (fi(x), - • - , /«(#))/ ® £ X, escontinua en un punto E X, si

lim f(a?) =• f(ar0).J? H1P(>

Una matriz funcional x i—> A(x), donde A(x) = (&ij(x)), i — 1, m j ~ 1, ft, escontinua en un punto xq E X si

lim A(x) — a?—i•£()

Una funcion vectorial f es continua en un punto a'o E X si y solo si en este puntoes continua cada una de las funciones x i—^ fi(x).

Una matriz funcional x ^ A{x) — es continua en un punto E X si y solosi en dicho punto son continuos todos los elementos de la matriz x i—» &ij{x)f i — l , m ,3 =17H.

8,3, Puntos de discontinuidad de una funcion y su clasificacion.Puntos especiales de una funcion

Definicion. Si una funcion / : X —> R no es continua en un punto x$ E X f se diceque dicha funcion presenta una discontinuidad en este punto. En tal caso, el punto Xq sedenomina punto de discontinuidad de la funcion /.

Los puntos de discontinuidad de la funcion / se clasifican del modo siguiente:L Sea a ; 0 G l t i n punto de discontinuidad de la funcion / y existe Hm f(x), sea

IEJ '-SJ

finito o infinito, entonces:a) si lim f(x) es finito, x$ se denomina punto de discontinuidad evitable de la

u;—* x l!funcion /;

b) si lim f(x) = oo, se denomina punto de discontinuidad de tipo polo,

2, Si lim f(x) no existe, el punto £ X sc llama punto de discontinuidad esencial

de la funcion /. En este caso:a) si existen los limites finitos siguientes f(x() - 0), f(x$ + 0) (J{XQ ~ 0) ^ fixo + 0))/

el punto X[) se denomina punto de discontinuidad de primera especie de la funcion /;b) todos los demas puntos de discontinuidad esencial se Ha man puntos de discon-

tinuidad de segunda especie de la funcion /.Dado que en un punto aislado x0 E X la funcion f : X R es continua, solo los

puntos limites x E X pueden ser puntos de discontinuidad de /.

ijti i 'tmliiumlad dc una luui'iini

H.4. I'ropied.idcN limtlamen tales de las funciuncs continu.isDefinkUn I. Una luncidn / : [a, il£ se denotniiia continua en ol sogmonlo

|K, hi si es continua en el intervalo |e, b[ y si es continua pur la derecha en <J| punto « y i miiiijua por la izquierda en el punto h.

Sea / ; [A, 61 -»IK una lunci6n continua en el segmento [a, b], entonces: I) la funcion1'iil.i acotada en dicho segmento; 2) si m — inf f/(x)}, M — sup {/(a;)}, en el segmento

|n, h\ existen puntos X\ y x2 tales que /(&'i) — m, }{xn) — M (teorema de Weierstruss); I) i»n cada segmento (fr, fi\, [a, p] C fa, 6] la funcion toma todos los valores intermedins

que se encuentran entre f(a) y f(fi) (teorema Cauchy). En particular, si f(a)f(P) < 0,rvislo un 7(rt < 7 < /3) tal que /(7) = 0.

Definicion 2. Una funci6n / : la, - i M e s continua n Irozos eri el intervalo 0\, nl i*s continua en todos los puntos de este intervalo, salvo un numero finito de puntostli- discontinuidad de primera especie y un numero finito de puntos de discontinuidadm i table.

2 4 9 .Utilizando el procedimiento de los intervalos "e—6" demostrar la conlinuidad de

Li-- luncioncs siguientes:a) x >-* ax + 6, a ^ 0, x G iR; b) x >-> x2, i G E ; c) x x3, x G IK;d) x i-»- JS, x > 0; e) x t—> Jx, x 6 E; f) x>~* sen X, a; € Hi;j;) x »-* cos a:, x £ l ; h) X t-* arctg a:, x E K.

Solucidtt. a) Sea £ > 0. Para todo a^ € R fijo se tiene

b) Sea e > 0 y sea % € R. Entonces

\x2 - Xq\ = |{aj - Za)2 + 2x0(x - ar0)| < ]x - a j2 -f 2[%( |a: - x0| < s,'.1 |a: - x0\ < v'Jx'ot'- + £ - |x0| - 6.

c) Elijnrnos 0 < s < 1, Se tiene que la;3 — .t,)| = |a;2 4- a:a:<i + [a; - I. SenJj: < 1. Entonces ja;| < | 1, por lo cual,

I&3 - JCol < (3|a:o[2^ 3|xol + 1 ) 1 * - s o l < c,

Meifipre que

\n.x + b - aa:0 - t>| = (o.| j® - Kcl < e , si [a; - cp0f < — = 6.

+ 3j.r0j 1-1-6.

d) Para todo E > 1) y > 0,

| a; — a:o!A )

-si f;R - a:()| < = e) Para todo 5 > 0 y i l , E i \ {0},

|x - xQ\

1 • } • }I J . i. (',i|>iliilo J. Introduction ,iJ au-dlrtiu

La ronlinuid.ul tit1 la funcion on el punto 0 so deduce dirrclanu-nlr de la desigualdily/\x\ < c, quo se verifica para < = 6. f) Para todo e > 0,

sen x - sen_ a; - x 4-2 sen — - — cos2 2 £ 2

x

- |a? - ®o| < £

para \x — | < <5 = g) Por analogia,

cos x - cos a?o - 2 senx

2Xq x + x0— sen —

2< \x - xQ\ < e

parah) Sea > 0 y — \x - #0| < l ol* Si arctg + h) --- arctg xq — t, entonc

h i . . - h * i i . I 7T ^

t - ' y ' c o m o ^ ' t g p a r a < reSLl l ta <iue

arctg (ar0 + h) - arctg xq\ - \t\ < |tg t\ k

^m

14- hxo < \h\

� xl - ��� <e,

si \h\ X1. 4- Fol £

La continuidad de la funcion x arctg x en el punto x — 0 se deduce de la desigualdad

arctg x — arctg 0| = jarctg < x* • ! • • ! • | •

i) Estudiar la continuidad de las funciones siguientes:

2 5 0 . /(*) = ( - 1 ):!' -Wt+ff I

L * J (cos x 4 sen x) + 2V2 x — ic/4 + 7T1• • • i 1 1 • 1 1 •

7T

Solucion. Seax 7T r _

7T n, entonces x E [(n - 1)tt + j , mr + | [. La restriction d

la funcion / a cada uno de los semintervalos [(n - 1)7r 4 nir 4 ^ [, n E Z,

ar (-l)r i(cos a? 4 sen ar) + 2V2n• i

(i>i

es continua, Queda por comprobar la continuidad de la funcion / en los puntos mr 4 7 ,n E De (1) hallamos

mr 4 7T4

lim (—l)n(cos £ sen 4 2V2 n = V2 {In 4 1)

n l)ir + 7T4

(-1)" ^cos 7Tsen ( ( n - l ) r + 7 ) ) + 2 v ^ { n - l ) (2)

Si en (2) se substituye n = n + 1f se obtiene

n*K + = (—l)fii 1 Tcos (nit + | ) + s e n (nx + J 2V5(n + l) = V2(2» + l).

Asi pues, en los puntos n?r + n E Z, los valores de la funcion / son iguales a sus valores limites por la izquierda correspondientos. Por eso, la funcion / es continua encada uno de los puntos niz -f n E Dado que la continuidad de la funcion en todoslos puntos intermedios ha sido establecida anteriormente, Ilegamos a la conclusion de quela funcion es continua en toda la recta numerica.

fill ( l»itlinuid<)d tli- iin.i linit idti

2 5 1 . /(at) ^ arctg I n j 11 / w t f (tw l m, n C %, x r R.

Nttliiciun, Si H y / UX + u £ Z, se tiene x € ] nn - f , > tir ! * [. I,ai i'!i|rieciun de la funcion / a cada uno de los intervalos J n% — \ , nn -]• " j, n (• Z, cs unalitiii'ion continua

tg3x i—* arctg —pr + nx.

v2UUi-da por demostrar ia continuidad dela funcion / en los puntos Jix-b n £ Z. lenemos

j + o) (arctg ^ + mr) = fl*- I-

* + § + ^I ).• este modo, / (nw +• | 0) = / (?i7i + ~ + 0) V?i 6 y, por tanto, la funcion / esloulinua en R, •

2 5 2 . f(x) - [x](|a;J - ( - i f 1 cos™), a; 6 R.

Knlueidn. Sea \x] — n, entonces n <_ x < n + 1, rc £ Z. La restriction dc la funcion / a lu!< semintcrvalos [ j i , n +1[, n £ Z,

a? i-v — ( -1 ) " cos ?ra:)

continua. Dado que el valor de f(n) - n(n - 1) es igual ai valor limite por la izquierdafin y) — lim (n 1)(n - 1 ( l ) " - 1 coswa?) -- n(n — 1), la funcion f es continua enx infl i-onjunto R. •

2 5 3 . f(x) ^ [x], x e r .

Solucion. Si k < a; < k + I, k £ Z, se tiene [x\ -- k, y, por consiguiente, f cs continua.Si a.'o — k, entonces f(k) = k, f(k - 0) = lim [a:] = k - 1, es deeir, la funcion / presenta

jt—k-13iin.i discontinuidad en xq — k, k £ Z. •

Determinar los puntos de discontinuidad y analizar el caracter dc estos puntos paralas funciones siguientes:

2 5 4 . f i x ) = ^ f - ^ r x / - l , H - l )

Solucion. Se tienelim f(x) = —oo; lim /(a;) = —oo,x 1 - 0 x—14-0 '

|tor consiguiente, x ~ cs un punto de discontinuidad dc iipo polo.

12 5 5 . f(x)^ \ , x e r \ { - 1 , 0 , 1 } , / ( - i ) = /[o>= /(i) = o.

I :m t'jiprlulo J. Inlioifuttion al .malisis

M Solucion. I'or ser elemental ki funcion / es eonlinu.i para x (• Hi \ { 1 , 0 , I}. Dado que

lim f(x)

lim f(x)

lim f(x)

X•m . - - - l , ilim

K -> - h L ( ) x H- 1 "f oo;

x 1lim X + l 1;

lim ar- 1 x-A X + 1 0,

x ~ — 1 es un punto de discontinuidad de tipo polo, x = 0 es un punto de discontinuidade primera especie y cn el punto x — 1 la funcion / es continua. •

2 5 6 . f(x) cos2 /(0) = 1. 3sSolucion, Sean xn «7T/ Vn 2

(2n+ t n E N, entonces xn —* 0, yn — 0 para n no obstante, f{xn) 1 y f(yn) 0 para n oo. Por consiguiente, lim f(x) no existe£->0x = 0 es un punto de discontinuidad de segunda especie.

2 5 7 - f{x) = arctg x £ 0, /(0) ~ 0.

Solucion, Sea e > 0 arbitrario, entonces existe a?o > 0 tal que ~ > tg — e), de dondL!

e. Dado que la funcion arctg es creciente para 0 < x < xq, con mayor razo

1 . = -x 2 *

tg -1 > f -° xit 2 arctg ~ > f - es decir, lim arctg ^

De una manera analoga se demuestra que lim arctg ~ x — 0 es un punto de discontinuidad de primera especie.

f . Por consiguiente

2 5 8 . f{x) l• Ml I

1 - e 1 - r , a? 0, a ^ 1, /(0) = /(l) - 0.

< Solucion, Tenemos

lim1

X

lim.,• — j:£->±0 I e I X—»i0 I — (9 1-;.1 - x

x

es decir, ar — 0 es un punto de discontinuidad de tipo polo. Ademas,

lim ——-j-tf^l-0 l — e1 J- = 0,

1lim — -o \ — e i

por lo cual x = 1 es un punto de discontinuidad de primera especie. •

2 5 9 . f(x) = x[x], x E K.

4 Solucion. Si = rc, resulta que x E [n, n seminterva los [n, n -f 1[

1[ y las restricciones de la funcion / a los

x nxy x E [n, n + 1[

son continuas Vn E Dado que f{n) — n t f(n - 0) — lim {n - l)a? = {n - 1 )nf resultaque los puntos x = n son puntos de discontinuidad de primera especie. •

jiII ('milinuidad do uim fiiiwiiin !.>'.

2 ( ) 0 . /(®) Jx|JttMl AX, :r I IK.

4 Solucion. Sen [y:J — u, entonces u x < n | I v las reslrieekmes de la funcion / a [ « . » I If

xi-m sen 7TX, x € [n, n + I (,

f i i m I'onlimtas. Queda por demostrar la continuidad en los pnntos x — n, n G 7L. Tenemos

f(n) — nsen irn = 0, f{n 0) = lim (n — l)*^en 7rx = (n — 1) sen irn — 0,tc -'H-0

i-> decir, f(n) = f[n — 0) y la funcion / es continua en R . •

2 6 1 . f(x) = x[^\,x^Ql f(0)=l.

4 Solution. La funcion / es continua en cada uno de los semintervalos < x ^ w i Z \ {()}, puesto que sus restricciones x nx a dichos semintervalos son continuns.Ademas, / ( ~ ) - 1, / ( - + 0 ) = lim x - por lo cual en los puntos x •-• '

ip 1 'A \ (0}, la funcion / presents una discontinuidad de primera especie.Examinemos la desigualdad

i|iie se verifica para x <E

line lim f(x)— lim x HI

1 1 < X

~ J", n £ N. Si n —+ 00, entonces x —+ -! 0, v dc (1) se deduce

Si [ I ] = - n , entonces - t t ^ < - » I I, < s ; < ~ , y

< * 1 ] < (2)-11 +1 ixl -n

'>i n 00, entonces x - 0 , y de (2) hallamos que lim f(x) -- lim x ^ — 1. Ue cslc

modo, /(E)} — /(+D) = /(—0) — 1, es decir, en el punto x — 0 la funcion es continua. K

2 6 2 fix) / sen rsr.i1: para x racional,• JT J — S 0 para x irrational,

4 Solucion. Sea xt) 11, n £ h, un punto arbitrario. Sea (ar„) una sucesion de numerosi.«ionales convergente a aij y (£„} una sucesion de numeros irrationales que converge alpunto a-p. De las igualdades lim f(xn) = lim sen vxn = sen 7TX0 / 0 y lim f(t„) — 0 se

cc 11-+0Q n - *rt> deduce que lim f(x) no existe, es decir, Xq es uri punto de discontinuidad de segunda

1'specie.Si % = n, ft 6 %, tenemos

f(x0) ~ /(«)| ^ I sen irx\ = |sen(7m + ir(x - n))| -— |COS JT'ft sen T\{x — m)| == |sen Jr(x — x())] < 7r\x - !ru| < e,

siempre que \x — »Q| < J = 6. Por consiguiente, XQ = n son puntos de continuidad dc lafuncion /. >

> < ',i|'iluln L JntrndiKiidii al analisiH

2 6 3 * I Vnmslrar que Ja fumioH th* Ricnttwn

f(x)i

• anan si x donde m y n son numeros primos on fee si,0 si x es racional

cs discontinua para cada valor racional de x y continua para cada valor irrational de xt

Solucion. Sea x{) — un numero rational, por lo tanto f(xo) — Es evidente que lj

sucesion

l im / (

/ n»+lion ——\ de numeros rationales converge al punto x'o para n oo. Dado qu|ny+lnq - 0, todo punto rational ^ es un punto de discontinuidad.

Sea a un numero irrational arbitrario y sea — ^^M una sucesion arbitraria d numeros rationales que converge a dicho a. Entonces lim qn — oo y

71—+OO

lim / (at,i) = Hm / 1 P nfi—tOO Ti—+00 \ Qn

lim ™ n^oo qn0 - /(a)

Puesto que f(x) — 0 para x irrational, la igualdad lim f(xn) = f(a) — 0 es valida par71—>OQ

cualquier sucesion de terminos arbitrarios que converge al numero irracional a . Aspues, la funcion / es continua para cada valor irracional de x,

264. Estudiar la continuidad de la funcionsi x es una fraction irreducible n > 1,TI i X T*

\x\ si a? es un numero irracional.

Solution. Supongamos que x$ es rational, es decir, xq — n ^ 1. Segun las conditioned

tf+idel problema tenemos f(xo) lim f(zt) = lim =

todo valor racional del argumento.

Dado que xk

jifcra+1

hi i + m

n ~ x$ para k oo y <« / • ••• • • f

ti ^ n + lf(xo), la funcion / presenta una discontinuidad para

Sea ahora Xy irrational y sea (a?*) nk una sucesion arbitraria de numeroS1

rationales convergente a xq, Entonces lim |m&| — oo, lim \nk\ — oo y k -' (X) Ji—TOO

Hm f(xk) = limh >oo fc-*oo 71 fc 1 lim -h— -OO 1

Bjl

1= f&o) si ®0 ^ 0,

-\x0\ si x() < 0, ���

De aqui se deduce que la funcion es discontinua para los valores irracionales negativos delargumento.

Si xk -5- X() para k ^ oo, siendo x^ 5s 0 numeros irracionales, se tiene

lim f(xk) = lim \xk\ - \x0\ = /(a?0).h—>oo k—> ooAsi pues, la funcion / es continua solo para los valores irracionales positivos del

argumento. • 1 I II l.MM 1 1

2 6 5 . Sea / una funcion continua y acotada en el intervalo ]x0j +oo[. Demostrar que paratodo numero T existe una sucesion xn —-boo tal que

Hm (f(xn + T) - f(xn}) — 0.ri—»oo "

r ' [ " < 'oiiliniiidad d c una tunc Inn I'.'/

| Solution. Sea ' / ' > (l arliiltiino. lisiudiemos la difntvurw f(x \ T) fix). Jinn ponibkwitn'i ciusns:

1) existe un numero linilo x' > xv tal que el signo tie ia diferencia f(x -| 7') fix) in- ui.miiene constants V;r ^ x ;

2) para todo E xa existe un x* > B tal que f(x* + T) - f(x') — fi-lm el primer caso la sucesion (f(x' + nT)) es monotona y acotada, por lo lanto

I'Miilf un limite finito lim f(x' + nT) — I, de modo queIf—>cx>

lim ( f ( x + (n + 1) T) f(x nT)) m1 - / = 0,

xlemto x,t = x' + nT —> +oo para n oo. En el segundo caso existe una sucesion infinita dc valores de x, x > xa, tal

qui* r.„ -f-oo para »—>oo y f(xn -f T) - f(xn) = 0, es decir,

lim [f{xn + T)~ f(x;l))= 0.It —*00

I I >*aso T < 0 se reduce al caso va examinado realizando la SUStitucion x + T — t.

2 6 6 , Sean tpy ij> unas funciones periodic as con turn as definidas para x € IS que satisfneenl.i i tindicion lim (<p(x) — $(%)) = 0. Demostrar que = i>{x), x € R.

i—oo

| Solucion. Sean Ti el periodo de la funcidn <p y Ti el periodo de la funcion tp. Supongamosque ip(x) ^ i>{x), es deciij existe un punto x —t tal que

[fit) - = M> ». (1)

Sea 0 < s < ---. Por scr la funcidn <{> conlinua en el punto x = t, para dicho e > 0 t'M'.le un 6 > 0 tal que

Wit) - f i t + h)\ < £ , (2)

|/(| < j5. Segun las condiciones del problema, existe un numero natural k tal quey(/ [• kT2) - i>(t + ftr2)| < e, luego Vm g M tenemos

+ mkTz) - ipit + mftT2)\ < e. (3)

Inniando en consideration el caracter periddico de las funciones <p y ip, de las design a I-ilades (2) y (3) se deduce

= - <pit + mkT2) + pit + mkT2) - ib{t + mkT,)\ <

« \y(t) - (pit + m&jT2)| + \ip(t + mkT2) - ip{t + mkT2)\ =

= \<p(t) - >pit + mkT2 - + [fU + mkl't) - i>{i + mkT2)\ < e c - 2s, (4)

•a

Ill valor de £ que hemos elegido es tal que 2l < M. De este modo, la desigualdad (4)tradice la igualdad ({}. Esta contradiction se debe a la hipdtesis de que existe un punto

t. en el que \<p{t) - ij>(t)j = M > 0. Por consiguientc, tal punto no existe, es decir,Y ' ( t f ) = i/)(x) para - o o < x < +oo.

Queda por demostrar que para los numeros T\, kT2 y 6 dados cxisten numerosri ilems m > 0 y n que satisfacen la desigualdad (5).

2H { iipilulo J. Inh'ocluifi<mi .1J <in,iJisis

Si 7 2 y T\ son rationales, esto ok evidon(t\Scan 72 y 7'j irracionales. Introduciendo las notacioncs kT.

7', I * e, r a, escribiremdla desigualdad (5) en la forma

|ml — n\ < a. (iPara demostrar la ultima desigualdad, dividamos el intervalo [0,1] en +

partes iguales ([a] es la parte entera del numero a) de Iongitud t , y a cada uno de lojintervalos parciales le asignemos su extremo izquierdo y no el derecho.

Corisideraremos el conjunto de numeros siguiente:

o, / — 2/ — [21], 31 - [3i],. . . s ( nLaJ: + 1 I + i �

cada uno de los cuales pertenece a uno de los intervalos parciales construidos. Dado que 1|cantidad de los intervalos parciales es [ j ] + 1 y la de los numeros (7) es igual a -f 2jexiste/ pues, al menos un intervalo que contiene dos numeros

pi - [pi] y ql- [ql], p < q,

del conjunto (7). Ademas, ya que la Iongitud del intervalo es igual a la diferenciiL f.k J i

entre los numeros (8) es inferior a esta Iongitud, es decir,

If* - [ji] - pi + [pi]I = I(q - p)l - {[ql] - [pi])f < • < 1 iia

Designando q — p = rn (m > 0), [gl] - \pl] — nf y sustituyendo los valores de I y obtenemos

kT2m— n Tl

c

< —, o bien \rnkT2 - nTi \ < 6. !••• I l_

2 6 7 . Demostrar la igualdad arcsen x + arccos x ~

^ Solucion. TenemosTv , 3ir— ^ arcsen x -3- arccos x ^ —

Dado que sen(arcsen x + a r c c o s = 1, resulta arcsen x + arccosx — igualdad y de la desigualdad anterior se deduce que A; — 0,

268. Demostrar la formula para la adicion de funciones arcotangente:

K 4- 2k?r. De esta;

arctg x -f arctg y = arctg x + y 1 - xy

donde e puede tomar uno de los tres valores 0 , — 1. i< Solucion. Tenemos

tg (arctg x + arctg y) a?-I-y1 — xy tg (arctg ~ x-\-y

1 ~ xy* por eso

x + y arctg x + arctg y = arctg 1—b en a ) /

j.|H ( imliiHiuLnl dc ((ii.i ftinelnit l ." '

f -mildo E & Dado ([III' |iil,l,;:r: | ilft'tg y\ ( i i r .%* 1 ^ I ilf\ JI, y |aj*lg | •,vemos que E puede lom.ii solo Ires valores: 0, I, —1. Al ciileuliii' los eosenos do amhosiiiii'inbros de la Igualdad (I), oblcnemos

I I x y I ••••• ••••• • —; : • ••••; — — — _ COS 67T,

Vl + X2 ^i + y* v T T F y / T - \ J i + ( f ^ f

ill* modo que

_ 1-xy y/(1 4-X2){1 + y2) _ l-xy _ f 1 si xy < I,~ v ^ T T ^ j o T i p j ' H - " u - m ~ \ ~1 s i xv>

For consiguiente, la funcion (a:, y) E(X, y) tiene una discontinuidad si y donde x es un numero fijo arbitrario. Cabe setialar que si xy < i , se tiene e —0, mien Irasqui- para xy > 1 se verifica e — ±1 (puesto que e puede tomar solo tres valores 0, I, - I).

Scan xy > 1 v x > 0. Entonces, y > 0 y j j fj

arclg x > 0, arctg y > 0, y arctg — < 0.1 — xy

i n el primer miembro de la igualdad (1) interviene una funcion positiva continua, por lom i.i I en el segundo miembro tambien debe fig mar la funcion positiva y, por eso, £% > 0, esdear, c = +1.

Analogamentc, si xy > 0 y x < 0 (y < 0), resulta que e = —1. •

2 6 9 . Estudiar la continnidad dc la funcion vectorial

i s ! ] , ^ o ,\ x x x J

f(0) = (1, 1, 0).4 Solucion. Para x / 0 la funcidn f es continua, puesto que sus coordenadas son continuas

| him estos valores del argumento. Ademas,

lim f(x) = (lim lim e - lim - — — ) = (1, J. (J).x—0 0 X I - '0 X X—IS X )

1'iir lo cual la funcion x >--> f(x) tambien es continua para x — 0, •

2 7 0 . Estudiar la conlinuidad de la matriz funcional

A(x)

4 Solucion. Dicha matriz funcional es continua en IK, puesto que todos sus elementos sonliiticioncs continuas en M, >

^ 1 jcrcicios[\studiar la continuidad dc las funciones siguientes:

l,U f(z) = ;ircsen x, |a:| ^ 1. 134. f(x) = arccos as, |a;j I. 135. f(x) - arclg x, x € !R,I H>. f(x) = arcctg x, x £ !R. 137. f(x) = j + 0, /([)) == 1.i m. /(r) l^li*!, x > - \ , x m , /(0) - 0,

:mj tapHiilu J. IntnulilirjiMi al aiirfliulr*

139, /(ar) .: ardg ar /- \ \-kir, f (£ I Ar/r) i), k ( ���

140. /(ar) - sen ar arcsen x ^ | | Arvr, / (§ 4 Att) - - 0, k £ 25. 141. /(a) -f M, M>U \ x2y \x\ ^ L

142. /(or) sen df, ar € Q;0, a?Gl\Q. 143. /(ar) = ( - l ) [ I ^] (senx + cosx) + 2v/2 [ ^ E ] , are

144, f{x) = ^ arctg ^ + § sgn ar, ar £ 0, f(0) = 0. 145. /(ar) - -

146, f{x) = [ar] In or - ln([ar]!), ar 5> 1. 147. /(ar) = -ar + 1 + £ +

^ + 1 + SJT' > t t t + ® e ]0, l].

148. /(ar) ar - [ar], ® e Q,0, 149. fix) = [ar] sen srar, ar € K..

150. /(ar)ar < 0,sen x

x >

a? -f :1, a: 0. 151. f{x) = <1+3) -1

V2 + arar > 0,ar < 0.

Determinar los puntos de discontinuidad y analizar el caracter de los mismos:152. /(ar) = sen \ 9 j x #"0, /(0) - 0.153. fix) = arctg + tt , ar ^ f + ror,/ (| + nir) - 0, n 6 Z.t/2 ' " L 2T

3lg(*/2)+lVS + ar « ± (2n + 1)tt, /((2n + l)sr) = 0, n € Z.154. /(ar) =• arctg

155. /(ar) - arctg £ ±1, /(±1) = §. 156. /(ar) =

157. fix) - tg ar, ar ^ f + fcar, / ( f + kw) = 0, A € Z.158. /(ar) = arcsen (sen ar) arctg ar ^ rtt, /(nx) = 1, n € Z.

tg2a-2 tg1 — * ^ § + l M r , / ( f + tar)=0.

159. /(ar) - In arcctg ar ^ 0, /(0) = 0. 160. f{x) - tg /(0) - 0.Estudiar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales:

161. f(ar) = (cos a;, sen a?, 1),

162. £(x) (sen x sen . X 7 X 7 sen

(1,0, . . . ,0), ar =-0.

163, f(ar)

164. f(ar) = (

( S ^ l a l . c o s s ) , a; 0,(1, 0,1), a? = 0.

fH-2a;)/2-l (t f-mx^-l x X * J ) si ar e ]-l,+oo[\{0} y f(0) = (V5, 2\/2, * -.

mV2).165. f(ar) = ((1 + , (1 + 2a ) * , . . . , (1 + mar)-) si x € J - l , +oo[ \{0} y f(0) - (e, e 2 , . . . 3 em).

Estudiar la continuidad de las siguientes matrices funcionales:

166, A(ar) =

168. A(ar) =

r 1\ cos

sen x arx 1 1 — ar ar € R. 167, A{x) - ([^y1]), a? € K, t = 1, m, i = l ,n

(fly(a)), donde a^ar) = (1 + «ar)* ,1 = 1, m, j = 1, n# ar e J—1, oo[ \{0} y A{0) = i - i ^

169. .4(ar) = (<3. (3;)), donde ajj(x) 1 4- x j= 0 y A(0) - £ 170.

ji(ar) ^

10

01

i -ft

i *. 4

0 \

0 x A(0) = 0 0 -1 1- »

X u 7

f J|*>. < 'iiultiiuliliiil uniforms urn fnmUm l.'l I

§ 9 . C o n t i n u i i l a d u n i f o r m e d e u n a f u n c i o n

9.1. Definicion de ctinlinuidad uniformeDefinition. Una funcidn / : X --> K se dice que es uniformemente continua en cl

Hiiijitnlo X si

V e > 0 = t t > 0 : V x , j / € X A l a ; - y l < f i = > |/(a?) - /(y)| < e,Si una funcion f no es unifonncmente continua, esto significa lo siguientc:

> 0 V<5 > 0 : Bx,y € X A js - fll < S |/(a;) - /(y)[ ^ e.

9.2. Teorema de CantorTeorema. Si una funcion f : [a, ft) —* R es continua en el segmento |a, f>j, esta en

utiiformemenle continua en dicho segmento.

2 7 1 • Demostrar que la funci6n f{x) = x 6 ]0, 1 [ , es continua en el intervalo JO, If,££

I >••• 11 no es uniformemente continua en dicho intervalo.

i Hulucidn. La funcidn f es continua como toda funcidn elemental. Demostremos que estaun es uniformemente continua en el intervalo JO, 1[.

Sean xn yn = n e W. Entonces

+ P - a .»••—* 0 0 ,

ivi decir, la diferencia \xn — yn\ puede ser menor que cualquier numero positivo fijado deanli'innno. Sin embargo, |/(a;tl) - f(yn)\ = |rt + 1 - ji — 1 — e| = e Vs > 0. Por consiguiente,In luncion f no es uniformemente continua en el intervalo j0; 1[. •

2 7 2 . Demostrar que la funcion f(x) = sen ~ es continua y estA acotada en el intervalouliicrto JO, 1[, pero no es uniformemente continua en dicho intervalo.

| Nolucidn. EI caricter acotado de la fimcion / es evidente, y la continuidad se deduce a piirlir del hecho de que las funciones y t-> sen y, y £ l y 11—> x & JO, 1[, son continuas,j>m' lo cual su composici6n tambi&i es continua.

Sean x,< = ^ e - n e N. Entonces, J ^ - jfaj ^ ^ J ; , , , , , 0 paraa » oo, mientras que \f(xn) — f(yn)\ — I > e Me E JO, 1], For consiguiente, la funcion / no cs uniformemente continua cn JO, If.

2 7 3 . D e m o s t r a r q u e la f u n c i o n f{x) — s e n a r , c o n t i n u a y a c o t a d a e n la rec ta n u m e r i c a Iff,un es u n i f o n n e m e n t e c o n t i n u a en esta recla .

I Solucion. F.l caracter acotado y la continuidad son evidentes. No obstante, la continuidaduniforme no tiene lugar, en virtud de que

\m») - /(to) | =l>e Vs £ JO, 1],

V a : „ = \/n~7r y yn = Jnx + n £

|ii*sc a que

nara n —* oo .

I«h -y,t I = ywr — 2

/mr + yjmr + ~

i:\2 ( ii|>iliilo I. Inlindutrlon al ImIh

2 7 4 . IVmnslrar que si una funcion /. esL'i delimda y es conlhm.i rn un dominioI oo, y, ii tie maw, existe un I finite finito lim fix), la funcion / rs mulormemonttii i ' • 't* -t'

i n . . , t i f

X

continua en dicho dominio.

Solucion. La existencia del limite implica que

Ve > 0 3 £? > a : Va?, y => |/(ar) - /(»)| < e. ���

Fijemos dkho E > 0 y consideremos el segmento [a, 2£?]. Conforme al teorema de Cantor,la funcion / es uniformemente continua en [a, 2E], es decir, Ve > 0, en particular, para cl€ elegido anteriormente 3 6 > 0 tal que Va:, y € [a, 2E] A \x - y\ < 6 => |fix) - fiy)| < e> Sin perdida de generalidad, consideraremos que 6 < E. Entonces, a partir de \x - y\ < 6 se deduce que o bien ambos numeros x e y son mayores que E o bien son menoresque IE* En ambos casos, Va;, y > a, de la condicion \x — y\ < 6 se deduce la desigualdad\f(x) — f(y)| < e, lo que establece la continuidad uniforme de la funcion / en [a, +oo[. •

• •II II •• I I !•• II • ••••• I I

2 7 5 . Demostrar que la funcion no acotada f(x) = x + sen a? es uniformemente continuaen toda la recta numeriea M.

M Solucion. Para todo e > 0 se tiene

|/(a?) — f{y)| = \x — y - (senx — seny)\ ^ \x — y \ + [ senx — seny

x-y |+2 x-y « + 3/ sen — t - 2 - cos2 2 l s - j f l + 2 2 2\x-y\<e

para todos los x e y que satisfacen la desigualdad \x — y\ < £• • 11

2 6. • • • • • • TI 1—III

2 7 6 . ;Son uniformemente continuas las funcionesa) m xZ, x G ]-l, l[; b) f{x) - x2, x € R?

M Solucion. a) Sea e > 0 u n numero real arbitrario fijo. Tenemos

\m - fiy)I = k2 - y \x + y\\x - {\x\ + \y\)\x - y\ < 2l\x -y\<£

para Var, t/ £ ]-l)l[h\x - y\ < ^ = es decir, / es uniformemente continua en ] b) La funcion / no es uniformemente continua, puesto que para xn -

yn = nf n G N, se tiene \xn -VeG]0,2]. •

-l7l[.n + l

Vn I71 0 si n oo, y j f(xn) - fiyn)\ = 2 + ~ > 2 ^ e

• • I •••!!• ••••

il Estudiar la continuidad uniforme de las funciones siguientes:

2 7 7 . = [ _ i , i ] .

< Solucion. La funcion es continua en [-1 , 1] y, por esoy segun el teorema de Cantor esuniformemente continua. •

• •••• I • I III • II IB I I I III I I I I • I I • •• •••••••••• llllllll

2 7 8 . fix) = In x, x 6 10, II.-n ynSolucion. La continuidad uniforme no tiene lugar, puesto que si xn = e

n G N, entonces \xn~yn\ = -+ 0 para n oo, y \f(xn)~f{yn)\ = 1 > € Vs e ]0,1],

-n-1

>

fj'l, I <>ntutuid.id uniforme de una iumidn

279. fix) XI |»,7T|.

4 Solucion. Considerammos la iuncion Fix) = f(x) para x C |0. tt[, /''(()) — I, /''(?r) 0.I )ado que la funcidn f cs continua en el segmento [0,1], entonces segun el teorema dei .uitor la funcion es uniformemente continua en este segmento y, por tanto, en el intervalo(I), jr[. •

2 8 0 . f{x) = e" cos x e ]0,1[.

4 Solucion. Sean xn = ~ e yn = n G N. Fntonces \xn - yn\ - ^ ^ ^ -» ti paraii -* oo. Sin embargo,

f/(®n) - f(Vu)| - c'-"* + e > 2 Vtt G K.

I'or consiguiente, la funci6n no CS uniformemente continua. •

2 8 1 . fix) = arctg a:, x e ffi.

4 Solucion. I.a continuidad uniforme se deduce a partir de que (v.ej. 268)

|arctg x - arctg y\ - arctg * J ^ 1"' | ••-] < \x - y\ < e 1 + xy

x - y I + xy

para |a: ~ y\ < 6 —e.

282. fix) - x sen xr 0 < x < +oo.

4 SoIuci6n, Scan xn — nx, yH — n-K — n G N, entonces \zn — jfoj = jHf-fl para b -> oc,1

V !/(*») - f(Vn)I = ( « * H- ,1) | sen (»jt + I )| ^ fwr + 4 ) s e n | = + * Tt

para n —> oo. Memos, pues, que |/{;t;.,) - /(j/„)| > | V/i > m, y la funcion no esuniformemente continua. •

2 8 3 . Para e > 0 hallar algdn 6 > 0 que satisfaga la condici6n de continuidad uniformeI >,irn la funcidn / siguiente:

a) fix) = x2 - 2x - 1, ~2 < x < 5; b> fix) = 0 < x < +oo.

4 Solucion. a) Tenemos

|M ~ Siv)\ = - 2 x - l - y 2 + 2y + i\ = \xz-if-2ix~ < g\x + y\ | # - J f | + 2 [ a f - y K (M + frl+2)|a;-y\ < 1 2 \ x - y \ <e,

M I x-y\<f2=6.b) Sea e > 0 arbitrario. Si los numeros x e y son tales que

f K y C i - " , (1)

tiene 0 < tyx < e, 0 < •ifjj < e y \x - y\ < e" = />, de donde se deduce quo1/(1) - /(y)| = | v ^ - {/y| < £ para \x - y| < e - 6. En cambio, si (1) no sc'cumple, esdear, si al menos uno de los numeros x, y no es menor que e", entonces

" / I / ^ >, /".. , n r, /TT - ,1 1

M CapiUiln I. Itihodualoii al iinnlisis

lucyo

x - 2/1 -f + fan-3y2 + ^ . . + "/j^l

< — y\ Tl— 1

< €

pa ra x y| < e7t - 6. •

2 8 4 . Demostrar que la suma y el producto de un numero finito de funciones uniforme-mente continuas en un intervalo J a, son uniformemente continues en dicho intervalo.

A Solucion. Es suficiente examinar el caso de dos funciones /, g uniformemente continuasen ]a, For definicion,

Ve > 0 3 Si > 0 : Va, y e ]a3 b[A\x-y\< 6l

Ve > 0 3 S2 > 0 : V®, y € ]a, i>[ A \x - y\ < 62

m - f(y)\ < %

m - m I <

e2e2

(1)

(2)

Si \x — y\ < 6f siendo 6 = min{$i, £2}/ entonces se verifican ambas desigualdades (1) y (2),La continuidad de la suma se deduce de la desigualdad

f(x) +g(x) - fiy) - giy)| < \f(x) - fiy)\ + \g(x) - g(y)\ < 2 2 que es valida Vie, y G 6[ si \x - y\ < 6.

La continuidad uniforme del producto se deduce a partir del hecho de que

f(x)g(x) ~ f(v)g(y)\ - \f(x)g(x)-f(x)g(y) +f(x)g{y)-f(y)g(y)\ <: ^\m\\g(x)-g{y)\ + \g(3/)\\f(x)- f(y)\ +

si \x ™ < <5, a? £ b[, y G &I, donde L sup j/(a)|, Af = sup ^(se) •

2 8 5 . Demostrar que st una funcion monotona acotada f : ]a,b[ —• K es continua en elintervalo ]a, b[ finito o infinite, esta funcion es uniformemente continua en dicho intervalo.

i Solucion. De las condiciones de partida se deduce que existen los limites finitos

/(a + 0 ) = lim /(«), fib- 0 ) - lim f{x).

Si a y 5 son finitos, entonces considerando que f{a) — /(a + 0), fib) — fib — 0), obtenemosuna funcion / continua en el segmento [a1 b\. En virtud del teorema de Cantor, / esuniformemente continua en b].

Si uno de los numeros a, 6 o ambos numeros son iguales a —00 o -hoc, respecti-.vamente, entonces a partir de los razonamientos analogos a los del ej.274 vemos que lafuncion / es uniformemente continua. •

286. Se denomina modulo de continuidad de una funcion / : -+ R a la funcion

•

donde sup |/(#) — fiy)j, x e y son puntos arbitrarios de 6[ que satisfacen lacondicion \x ^ S.

Demostrar que para que la funcion / sea uniformemente continua en ]a, b[ esnwncarin \r ciiiftripntp niip lim = 0.

i)1' t (Hitiiitiidiul uniforme do uiui him'ioii lit.'i

Solucion. Net wit Itnl, Sen iim «>/(#) - 0 . Kntonawa . i ii

We > 0 3 i , > 0 : V®, y € la, b{ A Vt> < 6y wf(6) < s.

Dado que w/(6) = sup \f(x) —f(y)j, se tiene

|r-lf|<<!

l/(») ~ f(y)\ < £ y € }a, 6[ A|ic — y\ < tf,

decir> la funcion / es ttniformemente continua cn ]«,

Suficiencia. Sea / uniformemente continua en ja, por tanto

Ve >() > U : V s , ; v e \aM /\\x - y\ < <5 => f/fcr) - f(y)\ <

Sin embargo, bajo las mismas condiciones paiai x c y se vtrifoavf{6) - sup

es dear. lim ujf(6) ~ C. 6 ->+0

lijerciciosKstudiar la continuidad uniforme do las funciones siguientes:

171. f{x) = Va?TT 172. f(z) =i/x*\nx, I < a: < +oc.173. f[x) - x, 0 < x < 1. 174. f{x) - y/x,$<x< -HOC.175. /(*) = 0 < +00. 176. f{x) = ~l < x < 0.

177. /(*) = ^ a; SR. 178. /(»>=* +in®, J . ^ jt < -foe. ITS. f[x) = xbix, t £ JO, If.

ISO. f(x}=e-*\ x € R. 181. /(»>= x € 1BZ. /(*) = i * In a-, x ^ 1.183. f(x) = x cos x, x € JR. 184. /(s) - ar ow*, » 6 [0, *] . 185. /(a;) = x3 + x7 + I, x <E K.

Capitulo 2 •• • i •

Calculo diferencialpara funciones de una variable

§ 1. Derivada de una funcion explfcita1.1. Definiciones fundamentalsDefinicion l r Dada una funcion / : Ja, &[ —» R. La diferencia Ax = x —

( x 7 x q € b[) se denomina incremento del argumento en el puntoDefinicion 2. La diferencia A f(x$) ™ f(x0 -f Aa?) - /(#q) se denomina incremento

del valor de la funcion / en el punto x0.Definicion 3. Si existe el limite (sea finito o infinito)

Af(x0) , } i m A rr, ™ / ^ a^O Ax

este ultimo se llama derivada (finita o infinita) de la funcion / en el punto Xq,Definicion 4. Los limites (finitos o infinitos)

' - < * > = ton ^ Ax-^-0 AX Ax^bO Ax

se denominan, respectivamente, derivada por la izquierda y derivada por la derecha de unafuncion / (finita o infinita) en un punto

En todas estas definiciones el limite infinito se entiende como uno de los sfmbolos+oo o —oo.

Definicion 5. Si una funcion / presenta una discontinuidad de primera especie enun punto Xq, las expresiones

f'_{xo - 0) = lim + -f(*o - 0) f > ( x o + 0 ) = l i m /(«0 + - /(»0 + 0)Aa;->-0 AX Att fO Ax

se denominan respectivamente derivada por la izquierda y derivada por la derecha en sentido ampliado de la funcion / en el punto x{).

Debe recordarse que en todas estas definiciones el incremento Ax tiende a cero deuna manera arbitraria, En general los incrementos Aa: y Af(xo) pueden scr tan grandes(o pequenos) como se quiera.

r fj I. I Vrimti i dc uttji luinii'in I'xplitil.i I'X/

1.2. KeglaH para cl o.-flt'idti tic derivadasSi dos funciones / y y tieiien dcrivadas finitas para x c |(t, b\, un tun cos:1) fa | / 4 a2y)' <*\f' + a?//, donde or; y a 2 sun cons (antes;

2) (fg)' - fg' + f'u) 3) ( 0 ' = g(x) / 0.

1.3. Derivada de una funcitfn compuesta

Si dos funciones f : u »-+ f(u), ^ : a? t-t tt — (ck) tienen derivadas finitas /,', y enlonces {/(^(ss))),. = f'u{tp{x))ip'^. HI submdice designa la variable respecto a la que sei ali ula In derivada.

1.4. Tabla de derivadas

Sea x una variable in depend i en te. So verifican las formulas siguientes:

I) (xa)' = axa~\ - 2) (a1)' =a*\aa, a> 0, = ') (sen x)' — cos x; 4) (cos rr}' = senx;

n ( t g t f - d * ' * 6) ( r t g ' ^ - s k ;'/) (arctga:)' = 8) (arrctgs)' = -»J) ( a r c sen w)' = 10) ( a r ccos®) ' =

11) (log^y = a > D, a / 1, (In atf = l j 12) (sh *) ' - chI'i) (ch:«)'= sha:; 14) (tha;)' -I'i) (cth Xf = - 3 ^ ; ��� ( a r s h x ) ' -17) (arth a:)' = < 1; 18) (|«|)' = sgna!, xf-tyI')) <[xj)"=0, a-^Jfc, & 6 Z .

1.5. Derivada de una funcion elevada a otra funcionSi dos funciones u : x <--> ti(jf) y v : x i-* v(x) tienen derivadas finitas, results

((«(«))t ( i ) ) ' = (umf^ (*'(*> in m + ) , m > o.

1.6. Derivada de una funcidn vectorial y de una funcion matricial

Si las components de una funcidn vectorial f : x (/i(ai), f2(x),. .., fn(x)) tienenderivadas finitas, entonces

I'ur analogfa, si los elementos de una funcion matricial A : x i-» (<!;;(;/:)), donde (ajj(a:))i". una matriz funcional dc orden m x n, tienen derivadas finitas !a derivada de laloiu'ion matricial se calcula segun la formula

A' = («l/(a)) =

/ «n(«) ««(») a'm(s) \ aLtfc) • • • <*Qn(x)

\ n' n.' Jnt\ a' (ai\ /

(apilulo (ViliuJo tliloriMU'iiil para funcmiH'N <K- him variable

L7. Dcrivada de una funcion compleja de argumento encalarSi w : x ^ > u(x) I- iv(x) y Ins funciones u ; x t—• u(x), v : x i > v(x) tienen derivad

finitas, la derivada de la funcion w se calcula segun la formulaf r . . t w =u H- %v .

1 . Determinar ef incremento maximo A a: del argumento x y el incremento correspodiente A/(^0) de la funcion / : x »-> lg x en el punto x0 — si x varia de 1 a 1000,

^ Solucion. Haciendo uso de las definiciones 1 y 2 del p. 1.1 tenemosAa; = 1000 - 1 = 999, A/(ar0) = lg 1000 - lg 1 = 3. •

2 , Determinar el maximo valor absolute del incremento Ax, y el incremento cor1

spondiente A/(x0) de la funcion / : x *-+ - j en el punto Xq — 0,01 al variar x desde 0,hasta 0,001.

< Solucion. Por analogia con el caso anterior obtenemos

Aa = 0,001 - 0,01 = —0,009, A/(a?0)1 1

(0,001) (0,01)99 • 104. •

<t> Nota, Los ejemplos 1 y 2 muestran que los increments Ax y A/(ar0) pueden tomar cualquier valo

3. A una variable x le comunican un incremento Ax en un punto x0f es dex

&�

c)

Xq. Determinar el incremento A/(xq) si:f {x) = (x7 sen x} ex); b) }{x) = + %

1 + x 4 — x

Ax ^ >' »€N-1

^ Solucion. Conforme a la definicion 2. del p. 1.1 tenemosa) Af (£0) = f (x) - f (a?0) = — ^o, sen x - sen e ex»)

Ax, 2 sen ^ cos(x0 + , e*»(eA*

b) A/(a?0) - f{x) - f(x0) 32 + x

3 Ax (2 + aro)(2 + xQ + Ax) + i

3 ./ x 4- j [ 2 + X q v4 —

4 Aa;

£ 0

�

Aa;)1

c) A / ( X 0 )x" In x

shx 1 n In

sh x q 1

(4 - ar0)(4 - Xq -

0 I n -sh X — sh XN 0

Xq ^ Ax ^ 4.

x" - xn

(So + Ax)'1 - x"

2 sh Y ch (x 0 +

In ( l + - f )

0• I •••• I MM I M m m !!••••• Mil •• I I ••• I II 111 I

4. Hallar /'(1) en los casos siguientes:

a) fix) — {x - 1) arcsen xx + Y b) f (ar) = (arctg ar, 2*, In a:);

c) f{x) — cos x -f i sen(x - 1); d) /<*) = X XIhx

tg x arcsen {x i)

i

X

{j I. Oriiv.ni.i (if una funcion CXpMVltd IjIM

: 4 Solucion. Hatfpndo uso do ia definicion 3 del p. 1.1 obleiicmus

v , v n .. m ± A s ) - / ( 1 ) r arc,ona) f W - t l o Aai = A " Ax = V b) m = Hm ( « S f f l i £ f c ! 5 * i t - 1 ) , „ ( I i 2 J n 2 ) 1 ) ;

c) /'(I) = ton + i = „ s e n l + %

V tg (1 + Ax) - tg I arcsen A® J \ ^ \ ) '

{J • Nofa. ejemplo que viene a continuacion poi.e dc relieve la importances del hecho dc que on loiii'litiidon dc la derivada el incremento Ax tienda a eero de cualquier manera arbitraria.

•r>. Demostrar que la funcidn vectorial

f : x t-t sen x, i>{x), e~x' j ,

J icsendonde mx) = < * ' n o tiene derivada en el punto x = 0.

\ 0, « = 0, F

4 Solucion. Para que una funtidn vectorial tenga derivada finita es necesario y suficientei (He cada una de sus componentes tenga una derivada finita. Demostremos que la funciont/1 no tiene derivada en el punto x — 0.

De acuerdo con la definicion 3 del p. LI tenemos•j

#'(0) — lim sen -r—.Ax-o Ax

Iii tomamos Ax - ~ —> 0, ft —> oc, k G N, tendremos sen ~ — sen2fcir - Q. Noibstante, si Ax — ^, entonces para k —* oo sen -£- -+ 1. Por tanto, la derivada i>!(0)

no existe.

ll.iliar las derivadas de las funciones siguientes:

(). f (a) = ( Vr2 + « z V s e n (cos7'(sen3 4jr5)), e " 4 1 ' ) .

4 Solucion. Cada componente de la funcion vectorial tiene derivada finita; por eso, do.ii uerdo con el punto 1.6 hallamos

!'(.,) - + ( s e n ( c o s W 4 ® 5 ) ) ) ' , (e" 4*1 } ' ) -

- f . * + + j l + tf—7? , - cos (cos2(sen3 4s5)) x V V T T ^ (v^Tx 1 ) 2 V >

x sen(2 sen3 4®5) - 60 sen14®5 • cos 4a:5 • x*, -12xle~4*'). *

I' ( apilulo 2. ( ^Itulo difeinidal |Mf,i hnuiunes de mi.i variable

4 Solucion. Do acuerdo con o! punto 1.7 Ivnenios

f'(x) -- (sen(cos x)) -f-i(cos(sena;)) — - sen x cos(cos a?) - i cos x sen(sen x) • I II I I I I B " ™ • •• • ••• • •••••••• i

8. m sen 2 a? cos 2x sh 3x ch 3x

M Solucion. Haciendo uso del punto 1.6 hallamos

/'(a)(sen 2x)f (cos 2x)' (sh 3x)' (ch

2 cos 2x 3ch3x

2 sen 2x 3sh 3a?

• • • • • • • • • •• •

9. Hallar la derivada de la funcion vectorial

f : x ^arcsen —7, [ar] sen2 nx\.

^ Solucion, Para \x\ > 1 y x ^ k, k £

{•(x) f ^arcsen ( M sen 7xx

, ([#])' sen2 7rx +7r[ar] sen27ra? - 1x Vx2 - 1

, tt[X] sen2fl"£ X

En el caso de |a;| > 1 y x = hf k G Z, examinemos las derivadas por la izquierda y por la derecha de la funcion y : x [x] sen ttx. Segun la definicion 4 del p. 1.1 tenemos

j4(* )v [x] sen2 nx .. [k + hhr2h2lim • •_• — lim 1 r — 0.

ar-*kfcQ X - k h

Dado que yf(k) = 7r[&] sen2?r& — 0, resulta y\x) = tt[rc] sen 2ttx para todo x, Porconsiguiente,

iT I I I - = , 7r[a?] sen 2ttxj, x > 1. •

1 0 . Hallar la derivada de la funcion matricial

f i x i—

donde

an (a?)arctg a; si

j sgn a; + ^ sia? £ 1

sr x\ > 1,

® 12 0*0 - 021 (®)2are A

isi ^ 1,si \x\ > 1 ?

anrf(x) — larl.

»| I i in Iv.iii.i tie mill Sniurtm I'xpllillii I'll

Solucion. lin jiiinn'i* loj it < .ilnikiwis las derivadas dc Ins eleini'iilos do la matrix dada.I'.It.l ;x*| / I y ;):/() li'IM'rtUW

( 2 SI \x\ > 1,

Wn(x) = sgn u1.

I H-ternunemos ahora las derivadas uni later ales de las funciones «y(:v) eri los puntos x --- 1,x - —1 y x = 0:

flji+(-l) = lam • = - ;A—+o ft 2

o u - ( - l ) = > m — r ~ - — = +«>;fr-t-0 ft

W D = to -f = A->+0 ft 2

a„_( l ) = tun — , i = a! 2_ - l ) = lim = 0;fi-.-o ft 2 h—o h (_t + h f e-trm __ i

fl„+M> = Hm ^ — =

= i Utn^ -2h + h2)(l+M- h2 + o f / i 2 ) } - l ) = 0 .

De manera analoga hallamos que a'12-(l) - 0, fl 221(A) = ±1. De este modo,nlitenemos finalmente

tt-s 2xe~*\l - x7) \ si 0 < | » | < 1 ,

/ ' ( » ) = J \ 2®$ ft x2) sgnx /

( J ° . ) si \x\ > 1; \ 0 sgn® /

*»-(! l)> «)•I'orcuanto On_(—1) = +oo, la funcion malricial no tiene derivada finita en el punto x — - 1 .V.n el punto x - 1 sc verifica la igualdad f'+( 1) = f'_(l), por lo run I /'(J) = f\(!) = fl( 1).lin el punto x — 0 las derivadas unilaterales existen pero no son iguales entre si, porconsiguiente /'{0} no existe. •

i tDemostrar que si las funciones «y = ay (x), i,j -- I , tienen derivadas fin it <15,

l,i derivada del determinante D (x) = det (<(tJ(a:)) puede caleukrse mediante una de las[lirmulas siguientes:

I <12 i\i|>iliilo 2, < Jrtj|(» diforcnrhil p i i n t Itiiit ioiH1 de i h i * i variable

I?(x)

D'(x)

A I - + i

f!„i(x) an2(x)

tt2i ) a2i(x)

«i„(iif)

t t *

V- 1

M

k J

£fc=l

fl-nfap)

<*»i(ai)

• j

F I I

I > (

» » 4

1

a\k(x) ... ata(®)02n(®)

• * * *

(1

���

Solucion. A partir de la definicion de determinante

D(x)

<*n(«) «a12(se)<*2i(®) 022(3;)

4i # *

fr i *

« + •

donde s es el numero de inversiones en la permutacion [ilT i2j... > in], hallamos que

Df(x) = ( ^(-l)*afT lOi22 . . . aintl8

$

/

a-[2 - Oil "12 * ' an al2Ct22 • * a2n + a22 • ' •a2n a-N a2 2

an2 . . an2 - - i an2

es decir, obtenemos la formula (2)*Por analogia, partiendo de la representation

D 0*) = ^2(-1Ya\i[a2i2 • - -

obtenemos la formula (1). •

/

)

nn

2 Consideremos algunos ejemplos de calculo de la derivada de una funcion arbitrariaen un punto y en un entorno de dicho punto.

1 2 . Demostrar que la funcion

/ : x

2 1 x sen -X

X0 X

2

0 0 0 1

si x -fi 0,

si x =0,

tiene derivada discontinua.

I) I DimIvimIii <lr tut.i fundfm vxplfi'il.) N' l

Noluririn. Si x / I), los t'ii'im'JtliW ill; la mailt/. dada lie m-it drrivailas qm* W aiicitiauhi"j;i1ti lbs ruglas nlitit'tonattri en ins pun los 1.2 y 1.3. txiiiforme al punto !.(>, para x / 0 IrlUfnOS

2x sen - - cos \ , f 2x sen - - cos - I \ : a: t~M * " I .

V 0 2xe J f m

I acuerdo con la definicion 3 del p. 1.1, en el punto x = 0 se tiene

A-D h

<!oniie• sen i , x f 0,

- � x � �

an(x) ~ x, (a) = 0, ct&(x) — e ,

t ><• este modo,

/': x <p(x) — <

( 2x sen i - cos - 1 \ f si ar # 0,

V 0 2xe* ) '

( 0 0 ) S i * = °

Estudiemos ahora la functfn matricial <p respecto a la continuidad. Para x 0, suselementos son funciones elementales, con lo que la funcion f es continua para x / (J,I'xani memos (

lim ^{a:) = lim f B C n * C ° S 1 ^ _z I . i - o V 0 2xe* )

lin virtud de que el limite

lim (2x sen — - cos - ) V a; x/

no existe, tampOCO exisle Um fix). Por consiguiente, la funcion <fl es discontinua en eli—u

punto x — ti.

1 3 . ^Bajo que condici6n la derivada de la funcion

| « P s e n j ^ p 7 /(0) = 0, m > 0,

a) esta acotada en un entorno del o rig en de coordenadas; b) no esta acotada en dichocnlorno?

Solucion. a) St x / 0, la derivada se calcula segtin la regla 2) del p. 1.2:

1 1 / ' : a n s g n ® - s e n ^ - mlwr - 1 7 1 - sgnas- cos (a)

Si x — ti, la funcion x (-» sen ~ no tiene derivada, por lo tanto no se le puede• iplicar la regla anteriormente mencionada. Utilizando la definicion 3 del p. 1.1, obtenemos<[iie la derivada

|7i|n sen t ~ ( , i v./ (0) — lim — ! S - = lim ( s e n 777— sgn A I * ' ft-o h 6-oV \h\m b )

I ' I ' I v mj mi iii( >• /.. v iin itin uiirrrntun pniii ninutim'N nr mim viiriium'

riiiJc stilo para n I y i>s igiiiil a rem. For nniMi^uirnle, I'M fl rnloriio del origen d i uonli'iuidits' la derivada cxisle si n > i. Km evidenlr qui: la derivada esla acotada patn w J > 0, es decir, para n £ I m.

b) Como podemos vor a partir de a), la derivada no esta acotada, si n — 1 < 0 o bidn m - I < 0/ de donde n < 1 o bien n < 1 -f rn, es decir, cs suficiente que se cumpladesigualdad n < 1 -j- rn. Por otro lado, para que exista /'(0), es necesario que se vcrifiqiu - L De este modo, para 1. < n < m la derivada f no esta acotada en el entorno que 4 I'Mimina. •

I i llhril

14. Demostrar que en todo entorno del origen de coordenadas se tienen puntos en locuales la funcion

' x2 fcos - 1 , x ^ 0,/ : ® i—> X

0, x = 0t

no posee derivada finita, sin embargo, en el punto x — 0 la derivada de la funcion si e finita.

<4 Solucion, La funcion x f—> x tiene derivada en todos los puntos. La funcion x i— 5T'COS ~ tiene derivada en todos los puntos, salvo los puntos x = 0 y x = xk 2 A:-1-1, k e Z. Poeso, para x ^ 0 y x ^ x^ la derivada de la funcion / puede calcularse como derivada de;

producto x2 j cos ^ j. En los puntos x = 0 y x = Xk la derivada de / se calcula a partir d las definiciones 3 y 4 del p, 1,1. Dado que A/(0)ft

/'(0) lim h cos

h

7Th

cos JTh , se tiene

0,

es decir, en el punto x = 0 la funcion / tiene derivada. Calculemos ahora

}t± \2k 2+ 1

1 / 2 lim - —r—h->±o h \2k + i + f t )2 1 tt(2 k + 1)cos 2 + (2k + 1)A

4 lim 1(2k + l)2 o h cos

ir(2k + 1) 2 + ir(2 k + 1 )

4 Hm 1(2k + l)2 h

2 + (2 fc + 2 tt{2& -f 1)

(2ft +1)

sen 2 + (2fc + 1 )h ?r(2ft +1)• • • — " . i • . .

2 d=7T,

es decir, la derivada f{xjt) no existe. Por cuanto Ve1 > 0 6 ^ : < 6:, en todo£™entorno del origen de coordenadas se encuentran puntos en los cuales la derivada noexiste.

1 5 . Demostrar que la funcion

f i x i-+sen2 x, x e Q,

0, « e K\Q

tiene derivada solo en los puntos xk — kw, k € Z,

Solucion. En los puntos x ^ xu la funcion / es discontinua y por eso no puede tenerderivada en dichos puntos. Ahora, de acuerdo con la definicion 3 del p. LI, en tos puntosx --- Xk tenemos

lima—o

ffak+h)- f(Xk) h

limh^i}f { X k + h )

h

'i I IHi'iiviitla! tic uriii liint'iun vxpifipfibi I'lS

'ii xk I h C <]), jvsipll.t i j i l t 1 /(.V.k i A). scn' !(x*,; + h) s e n ' h y l im > ' % " " l im ^ " tt.

III c a m b i o , Si xk I h ( IK\<1>, e n t o n c e s f(xk -j- h) — 0 y l im . I). D c e s t e m o d o ,

; ' («*) = o. •

| Determinar la derivada por la izquierda fL y la derivada por la derecba f'+ para lasfunciones siguienlcs:

16 . f : s ([a;] sen jrx, - - ^ " t ) / x ^ 7 f (°) = (°>

4 Solucion. Segun la definicion 4 del p. 1.1, se tiene f± : x f->(/j±(x), /?-, (?•)), Dado que paraj• / k, k £ X , ex i s t e /{(ar) - tt[:k] cosvt;1', r e s u l t a f[,.(») - / [_ (a r ) = jr |ar] c o s %x p a r a % •/ k.

11'or analogia, para x ^ 0 se tiene f^x) - — ^ — — t f - „ poreso - fL(x) •••• f{(x) l+e* ifj-l-di J piira x ^ 0.

C a l c u i e m o s a h o r a f{±{k) y fc(0). T e n e m o s

fi+fA;) = lim — —••• — b m • • . sen -nh.ft-±o h ft^to ft

Ji- donde- ( - D * attt, = ( - i f ( f c - m

A-±fl /i / j - i a i + e sjhvi' lo tanto

/2+(^ = 0, /t (0 )= 1.I )c e s t e m o d o ,

f'_(a:) = f\(ar) = ( cos7T£, — — r \- , ) si ar ^ fe, k £ Z , y \ 1 +e= (1 + e s j /

f , ( f t ) = y

V l + (1 + er)-

I [k)~. I ( - ! ) ( & — 1Ki ~ — + ~r Wrl + er (1 + ,

i.iendo k £ 0, Si Ar 0, tenemos

f+(0) = (0,0), fl(0) = (- ir , 1). •

17. / : X t-> Vv-r^. I Solucion. La f u n c i o n : « ^ \/w t i e n e d e r i v a d a f ini ta p a r a los v a l o r e s « > 0. La f u n c i o n

ij>: x i-» u = 1 •- e~ t iene d e r i v a d a p a r a t o d o s los x. P o r e s o , s i a: 0 , la f u n c i o n / t i e n ed e r i v a d a q u e p u e d e s e r c a l c u l a d a c o m o d e r i v a d a d e u n a f u n c i 6 n c o m p u e s t a , A s i p u e s ,|Wra x / 0 t e n e m o s

l',(x) - K(X) - /'(ar) =

M6 ( iipihiloZ (Mlcufo dilvivmial para Jtmdones tie una ,m r/i!>lc

En el punto x 0 para los valores /.' (0) y (0) hallamos

rsmilim f V l/i->±o h e-A* lim/i->±o h

w. h e• • — •• •• I ••• I • L.

h2- ± lim

A• • • • • • •

h2

±1. • —•—I m n

1 8 . Demostrar que la funcion

/ -x arcsen af I — sen -

Xx^O

t V

0, X = 0

es continua en el punto x — 0, pero en dicho punto no tiene derivada por la izquierdaderivada por la derecha.

Solucion. Dado que lim ^ ^ ^ s e n * ^ = 0 , f(Q) = 0, a partir de la definicioncontinuidad de la funcion en un punto se deduce que la funcion / es continua en cero.pues,

f±( 0) limA - > ± 0

m - m h

t « arcsen h 1 hm sen —,hl h

k lIk-a

i t . v arcsen it], j y h ±oo, entonces lim — u — senJL" fir k-^+.oo

0; no obstante, si h ~ h^

hn Y k2for+jr/2 Jzoo, tenemos limft™* ±00

arcsen h hi sen 1.

Por consiguiente, las derivadas unilaterales no existen••••

1 9 . Determinar las derivadas en sentido ampliado /_(xo) y /.'.(#o) de la funcion / 3 sus puntos de discontinuidad Xq si:

a) / : x — Vx2 -f x x b) / : x i-+ sgn (x — x ).

^ Solucion. a) xQ = 0 es un punto de discontinuidad de primera especie. Hallemqprimeramente /(±0). Tenemos

/(±0)Vhz + h3 \h\ lim ,—— = hm —

a—±o h h—±o h ±1.

Ahora, conforme a la definicion 4 del p. 1.1

/4(o) lim h2 limh -* i-.O

Vh2 + \h\ h2

limo

M 1 1—Hr^H

Vl + h-l 1 1 - -

\ h \lim VTTh

h1 r ft - * hm -TVa-±o ft| 2

b) X\ — 0, #2,3 = ±1 son puntos de discontinuidad. Tenemos

/(±0) - lim sgn h( 1 - h2) = ±1, h—>±0

/<1 ± 0) = ttm sgn ((1 + h)(l - (I + hf)) = T'l,

/(-1 ± 0) = lim sgn f ( - l + h)( 1 - ( - 1 + ft)2)) = ^1.

Ji I I iv.ttJ.1 il>- un.i luiu idn eSpliVIlii J'17

Dc aeuetxio t'ltn b ileliniWi'm 4 del p. 1.1 obliwmtw

i .. sgn//.{I h,l)-v I ± U IM0) = linn — = lim — — G,j h - i.o h ft-iJ-o h I sgn {(l+h)(l - (I-\-h.?))±l

/id) = .lim; 1 — h — —

= lih-

sgn ( { -1 f/!.)(! - ( - 1 + h f ) ) ± l

= lim — , — lim ——— - 0,A—>±0 h h—n) a

: /'( 1 ) = Hmit^±a h „ sgn ( - 2 h ± 3h2- hJ)±l j l ± 1 rt-- lim — ; = lim — - - — =•-• 0. *•

ft—+o ft ft—±o n

20. lEs posible que una funcion / en su punto tie discontinuidad tenga derivada finita(ilcrivada infinita)?

fl Snlucion. Como es sabido, una funcion que tiene derivada finita en cierto punto esmci esa riamente continua en este punto. Pot consiguiente, una funcion de este tipono puedeIi'siit derivada continua en su punto de discontinuidad.

fin lo que se rcficrc a la derivada infinita, como se muestra en el ejemplo siguicnte,l.i tespuesta es afinnativa.

Enefecto, consideremos f(x) — sgn x para x — 0. Tenemos

fx0) = lim ^ - - lim J - 1 oc, f'+{0) - lim - lim I = +oo. • h—o h ft-- o h h—io ft

11. ^Se puede afirmar que la suma P(x) = f(x) + g(x) no tiene derivada en el punto•i si: a) la funcidn / tiene derivada en el punto xo, mientras que la funcion (/ no Uitiene Cn cl mismo punLo x0; b) ambas funciones / y g no tienen derivadas en el punto

fl Sol mi on. a) Partiendo de la definicion 3 del p. 1.1 tenemos

= lim = l i m , . m>i-.o h h-~o \ h h '

Supongamos que la funcion / tiene derivada en el punto so y la funcion g no lalime. Kntonces lim = f'(xc), mientras que Jim no existe. Entonces, empleando

h—U " ft—3 " rl inetodo de reduction al absurdo se puede establccer con facilidad que el limite dc (1) noim -Ii; es decir, la derivada ^f(a;o) no existe.

b) tin ciertos casos ia derivada F'(a.'o) puede existir pese a que ambas funciones f v }i no la tienen. Por ejemplo, si Fix) — ip{x) + (<p{x) - fix)), donde •{> tiene derivada enrl punto y i> n o tiene. •

22. -Sc puede afirmar que el producto F(x) = f(x) g(x) no tiene derivada en el punto>ii :i!n si: a) ia funcidn f tiene derivada en el punto Xn, y la funcion g no la tiene; b) ambasJ ; / ,. „ — t\ , 4 I „1 > ->

IN t '.ijiilulo ( 'illi'(ilo d i forviicjal para luiniimrN de una variable

< Sol Lie ion. a) I'or lo general, no. Segun la definition .'I del p. I.I, Irnmios

h—»0 V tl fl ( i )

Al analizar (I), llcgamos, en particular, a la conclusion siguiente. Si la funcion g estdAg(xt})definida para \x - < S (6 > 0), f(x0) = 0, h ^ M (M = const), entonces (aty)

existe. Por ejemplo, si f{x) = xt g(x) — Xq — 0, resulta que F'{0) = 0.b) Si los limites lim A/(g„)

a y Um no existen, pero se verifican, por ejemplo, las

condiciones:

9(&Q) = 0, /(#o) = 0, k I

y las funciones y y g son continuas en el punto x — entonces el limite (1) existe. EstOultimo queda bien ilustrado en el ejemplo de las funciones f : x ^ \x\ y g : x |a;|, Ambasfunciones no tienen derivadas en el punto x — 0, sin embargo, su producto f(x) g(x) = x\ evidentemente, posee derivada igual a cero. •

2 3 . Sea / : E C al Kmite finito

M, siendo xq £ E un punto limite del conjunto E. Denominemoi

lim / ( X ) ~ f M = f ' M ���

derivada de la funcion f en el punto respecto al conjunto E,Hallar la derivada de la funcion / en el punto xq respecto al conjunto E si:

a) f{x) - 1 en E x 0,® = 1 1 1 \

b) /(*)ar, 3 € Q,0, x e M\Q,

en ,E7 = Q.

Solucion, a) El conjunto E posee un unico punto limite x{) = 0. Utilizando la formula (1)obtenemos

1 — 1 - lim = 0,X[xtm

y b) Todo punto del conjunto R es punto limite del conjunto Q. De acuerdo con (1)veamos solo aquellos puntos limites que pertenecen a Q. Sea xq £ Q. Tenemos

fsfa o)= limA- M : q i

(ae©

m - f(x 0 ) x x\m-J-J •-

X — Xq lim X — Xn (*€Q) U

— 2Xq, •

n r^

2 4 . Sean a,b : W. —* En, siendo a = («i(aO, • - . , om{x))f b = (fri(®)> fefaO, • ^n(^))/ x ti[. Las components a*, fr* tienen derivadas finitas en ]ctd[. Demostrar1

que el producto escalar (a, b) tambien tiene derivada que puede ser calculada mediante laformula

{a, b)' - (a', b) + (a, b').

Ii I I tciiv.nl,i dc una funcion t-\j>hril,t I'I"

4 Solucion. Stalin la drill rjtttirtil ,i del |). 1.1 lenemits

(a, !>)' = lim yt ( ( a (a : „ -I h), b t e + h)) - ( a («o) , b ( ; c „ ) ) ) -

= lim l{^(a(sCo T h ) - a(a'o), b(ito 1- h)) + (a(«o), b(au + A) ~ b{:c<,))) '

» Lim ( ( ^ ( ^ b f o + A)) + ( a ( ® 4 = ( a ' { « 0 ) , b W ) + (a fo ) , b'(ift,)) •

I'.tra o b t e n e r e s t e r e s u l t a d o h e m o s u t i l i z a d o las a f i r m a c i o n e s s i gu i en t e s :a) Las d e r i v a d a s a ' y b ' ex i s t en , d a d o q u e , s e g u n las c o n d i c i o n e s d e p a r lid a , ex i s t ed

U s d e r i v a d a s d e s u s c o m p o n c n t e s ,b) El p r o d u c t o e sca la r e s c o n t i n u o , p o r e l lo el p a s o al l imi te p u e d e r c a l i z a r s e b a j o <•!

s i j ;no del p r o d u c t o escalar .

c) hil p r o d u c t o e sca l a r goza d e c a r a c t e r h o m o g e n e o , p o r e s o el f a c t o r h~l p n e d ei n l r o d u d r s e b a j o e l s i g n o d e l p r o d u c t o escalar .

d) La funcidn vectorial y cs continua en el punto XQ. •

2 5 . Sea f : J a, 6[ —* E, d o n d e E cs u n e s p a c i o euc l i deo . D e n o m i n e m o s , p o r d e f i n i c i o n ,d e r i v a d a d e l a f u n c i o n f e n el p u n t o x0 d]a, al l im i t e

f ' { x D ) = l im ^ - ( f ^ o + A i J - f ^ o ) ) . t O

D e m o s t r a r q u e si Ylfa), y(x) s on , r e spec t i vamer i t e , u n a m a t r i z f u n c i o n a l y u n a f u n c i d nvectorial q u e t i enen d e r i v a d a s f in i tas e n ]«, b[, la d e r i v a d a d e A(x) y(.r) s e c a i c u l a m e d i a n t ela f o r m u l a

( 4 ( a ) y(»))' = A\x) y(x) + A(x) y'(x).

4 S o l u c i o n . H a c i e n d o u s o d e la de f in i c ion (1) t e n e m o s

(4(«)y(a!)) = lim - ( 4 ( s 0 + h)y(Xo + h) - 4fc0)y{sfo)) , x0 {%) i ~ti> ft—0 n,

t Jado q u e ex i s t en las d e r i v a d a s A'(xa), y'(xo), t a m b i e n ex i s t en los l imi tes l im — = A'i-.r.)) h—(I

y l im i= y'(3~|)). E n t o n c e s e f e c t u a n d o el p a s o al l imite , a pa r t i r d e (2) o b t e n e m o s

(A(x) y(x))' . l i m ^ y(x0 + h) + l i m A^) ^ = X=Xq «—0 ti A— 0 II

= A'(xa) y{xt)) + A(Xq) y'(xa). •

2 6 . Sea A(x) u n a m a t r i z c u a d r a d a q u e p o s e e d e r i v a d a f in i ta y p a r a la '~ua! ex i s t e la

mat r i z i n v e r s a D e m o s t r a r q u e

= -A~l(x)A'(x)A \x).

4 S o l u c i o n . U t i l i z a n d o la d e f i n i c i o n (1) d e l e j . 2 5 e s t a b l c c e m o s p r i m e r a m e n t e q u e p a r a elp r o d u c t o d c d o s m a t r i c e s .4 y JJ c u v a s d e r i v a d a s son f in i tas se ver i f ica la f o r m u l a

CUJ ( apiliiJo t'.fJcufo dtlcrcnnjl pat.i hincmfU'rt tie mili variable

(A(x)li(x)y • : A'(x)l?(x) I i1{:i:)//'(ar)

on virtud do la cual

= A'(x)A^(x) + A(x)(A [(x))\

Por consiguiente, a partir de la identidad A(x)A (a?) = / (matriz unidad) se tiene

A'(x)A~l(x) + A(X)(A~1(X)Y = 0 (matriz nula).

Finalmente, multiplicand o por la izquierda ambos miembros de esta igualdad por A { llegamos a la formula requerida. •

i

2 7 . Sea A(x) una matriz que tiene derivada finita. Comprobar si es valida la f6rmula

(An(x))' = nAn~\x)A'(x), n <E N. (1

M Solucion. Ya para n — 2 vemos que, en general, la formula examinada no se verifica. Eie fee to,

(A2(x)Y = (A(x)A(x)Y - A!{x)A{x) + A(x)A*(x).A partir de esta formula podemos tambien concluir que (1) es valida si las matrices A(x) A*(x) son conmutativas. Resulta que el caracter conmutativo de las matrices A{x)r Af(x) e

tambien suficiente en el caso general para que se verifique la formula (1). En efecto, debida (1) se tiene

{Anl-\x))r ^ (An(x)A(x)Y - (.An(x))'A(x) + An(x)A'(x) -

= nAn~1(x)At(x)A(x) + An(x)A'(x) = = nAn^(x)A(x)Af(x) + An(x)A'(x) - (» 4- l)An(x)A'(xjl

Por tanto, segun el metodo de induccion matematica, la formula (1) es valida Vn £ N •

2 8 . Hallar la suma l3 + 23 + 33 + • • * + rc3.

M Solucion. Dado que l3 + 2^x 4- 33xz -i + n?xn~l - {xQn[x)Yf siendo

n2xn+2 ._ pn2 + 2 n _ jj^+1 + + ^2zn _ x _ j ••• n m ^ ^ • • ~ .1 I • . IMIMM1I ' I I ^ J J l " ~ JM^MM

(x - l)3

entonces

I3 + 23 + 33 + n3.= lim {xQn(x))f = lim Qn{x) + lim Qfn{x)ar—+1 x 1

n(n + 1)(2n + 1) n(n2 - l)(3n + 2) n2(n + 1):• j i • i l a i B B i I •

� 12 4 •

2 9 . SeaA(x) sen ufx

— cos wx cos ix)X

sen u?x j u) ~ const

Demostrar que la matriz A(x) satisface la ecuacion diferencial

A"(x) + J*A(x) � � A"(x) = (Al(x))'

ji i I tn i v.nl.i ilc una iuncion rxpliclla I fit

Solucion. lenemoft

,!, . ( COS U>X M'll WX \ . ,> / M'flWST COS WX \ A (a;) ui ( , A (.t) -- - w 1 , y ' I st*n (j r. cos u>x J ' I cos wx win J

)(<• donde so deduce la ecuacion examirada.

„ x2a2 x"An

3 0 . Sea S„ (rr) — I+ xA-Y • | 1 — d o n d e A e s u n a m a t r i z c o n s t a n t e . I folia2! tt!

I,i i v u a c i 6 n d i f e r enc i a l q u e s a t i s f ace 57,{a;).

fl S o l u c i o n . C a l c u l a n d o la d e r i v a d a o b t e n e m o s

+ f

Multiplicando la expresion de S„(x) por A y restando lo obtenido de S'n(x), tenemos

+ = 0,que es precisamente ta ecuacidn requerida, •

| lijerciciosHdllar las derivadas de las funciones siguientes:

f'x,~' i s H f r H

2. f : x ^ i y / 7 r - r ? . l-2\/2arctg y ^ ^ i + l.

1 , eT + y ' f e . + 1 1 e i - 1 j „ f , x ta + - = arctg — r - e « {2 +1)) + 3.

8 1 / 2 e T . - ^ e T + l5. / : x i-t arctg v/cos 2x — Vcos ?.x. 6. f sen2(w cos oar) +- cos3 (oj sen nx).

7- f ' * - TT^- S" / ' * " S S " 9" / : * - a r c s e n + lit. / : i h sen (arcsen o x 4- arccos a x ) , 11. / d sen" {(ix + 7).

f : * > - * TTjfci- n - « . / :rEcitg(«tg(6orctg(car))),

(fl. / : « n y ^ ) . 16. / : * M fi^^^'1. 17. / : x In" (in4(In' x)).

18. / : Xf x™* + {senx)1, 19. 20. / : x .is* x°" z f .Hallar las derivadas de las siguientes funciones vectoriales:

21. f : x •-» (arccos j , arcsen (sen x)t sen cos i](x)).

n. {e^*',thu^ie),chu*£x),sh tf^at)).

23. f ; X t-t (Tlx, 3 ( - X3, sen wt, cos mx). 24. f : ( Hf (ea' cos t, e11' sen t, u (|) , u {sen t)).

25. f: ip [p{<p) sen tp, p{tp) cos <p, <f" - x<p, tp3 — x 'p) .

26. f : p t-» (p sen tp(p), p cos <f(p\ <pHp) - x<p{p), <?*(/) - ^vip1)) •

27. (.x f ( senff i 1 1 ) , c W r , v-fsen3 x), <p(cos' « ) ) .

28. f : « « arctg ^ p T ^ v

i t/ k apiluJo ?. CMJcuTo tlilVieiuial jMi.i fuiiciones dc una variable

21). f : x « ' (/' (W > 11 (*(*)))) . n -

• • j••

•t< ,'t

a

30. a) f : x I , a? ) ; b) f : x > (^ sen xi x?'cos • A- - 1

31. En un espacio eudideo E dc dimension finita se determina una curva y un vector cons tan tc A*La curva se describe en forma para metrica mediante el vector de posicion. Hallar los puntoen los cuales la tangente a la curva es paralela al vector constante para cada uno de los cassiguientes:a) f r t {3 cos t, 4 sen t, 5t), 0 ^ t < 2x, a - (0, 4, 5);b) f : t ^ <<, t2, J3), 0 ^ t^ 4, a ^ (2,4, 6);

~ c) f : t m- (e1, sh t), -oo < f < -foe, a = (1, -1, 0).32. Hallar la velocidad de un punto material que se mueve por una curva cuyo vector de position

viene dado por la expresion;•a) f {t) = (sen t, 3 cos t) en el instante t = ?r; b) f (f) = (sen <2} 3 cos i2) en el instante t ~ y/tl c) f (t) — (sen cos en el instante t = ^,

33. Hallar los puntos de reposo en las trayectorias definidas por las funciones vectoriales siguientes!a) (: t w (senf*2*), cos(/a?)f ch i ) ; b) f : ^ (\f + (1 - x)t, It2 - xt -1-1, £ + - 17/ ) ;c) f 2 i 2 + | f 2 + 3) .

34. Demostrar que las trayectorias definidas por las funciones vectoriales que citamos a continuationson ortogonalesa) \1'—* (t sen f, t cos t> 1) y f2: t^ (t cos t, —f sen £,2);b) I, «*((), u2<*)) y ( ^ . - S - 1 ) ^

35. Determinar la energfa cinetica de un sistema de puntos materiales de masas m?. que se muevena lo largo de las siguientes trayectorias;

a) fj. : t (k — 1? n; m^ — 1);b) f* ; 11—s- (arcsen (sen kt)t arccos (cos kt)) (k — 1, n; nt}. — hp).

36. Hallar las derivadas de las siguientes funciones de valores complejos:a) / : x f-n- x In x + ie ; b) / r a w e"^(cos aar + £ sen ax); c) / : x cos2(# + iar3); d) / : or In3(2x -f ix2).Hallar las derivadas de las siguientes funciones matriciales:

37. f : z » [ ^ X'2 X\ ) . 38, / ( ' 1 thx"1 ctha;'1 / ' \ cbW u(ex)

LC sen J'

uen*(®y) \ . . / ||/{»)| senwa;39. / : x ^ " v T' • 40. f : ar hson y seti( ) 7 \ COS &X X tory

41. / :$•-* ( V® + a:2 + + 1 sen fsen1 a;) ln'(Inr x)

42. / : x

orccos {arctg (arsh x*)) 1 — |x||

«(«... u(x)) J f L In [u(x) In «(a))

0 Eln|cos^| E ^ ( a f )

Para las funciones / que citamos a continuacion calcular sus derivadas respecto alconjunto.

43. f(x) = ^ para a? = n € N. 44. f(x) = sen 2a? para x £ Er E — {lT 5, 5, 3? 51 |i ** • } •

45, /(a?) - x I n ( l + x3) para x 6 E, E - { l , V 5 , 5, ^ 3 , v ^ , . . . }.

46. /(ar) - ^ para x £ E, E = Q,

|| l I v . t i l . i d o u n a l u n c i d n e x p l t e i l a

I7 ,'ican n a(;r)r It h(,r), i * (-'") lierLis {undone:! vtvlnri.tli'.'i ( j {•<-), li(a:)» e(-/r) r I i ' )Iii lien derivation lliiiliut. I JruuKlou'que

.1) [ a { * > , b ( * ) f | u ' ( * ) t l t . ( « ) J I- [ a ( s ) , b ' ( x ) ] ;hj (a<s)h{a:)c(®))' = {,V(a')b<a;)e(or)) + (a(x)b'(x)c(x)) + (a(x)b(x)c'(x))>

•111. H.illat: las derivadas de los deter mi nantes siguientes:

•0

•1)

sen x cos x~ ; b)

X2 x3 e 1 e2*x4 ; c) e2*; c)

X e. e f*sen x sen 2x sen ox sen 4xsen2x sen 3a; sen 4a; sen 5xsen sen 4x sen 5ar sen 6atsen 4x sen 5» sen Gx sen 7x

•I'' Sean .4(a.'), f!(x) unas matrices funcionales que tienen derivadas finitas. Demostrar que

(det (A(x)B(a:}))' = (del A(x})' det B(x) + det vi(x)(det Biz))'.

lallar las derivadas de las funciones / si:

x € R\Q. ,, , f sen2 nx, x

I 0 ; x.'ti it) /(as) = inf {eos£}; b) /(«) = sup {cosf}. 52. f{x) = cos f • lira a-2"1"'1.

'tl. 4 fW = <p(y{x)); b ) / ( * ) - * # ( * ) ) ; c) f(x) - W<p(x)); d) /(af) = tf (gar)), donde

. & f x si |rj ^ 1, f fi-1 si 0 ^ x < +oo,= ( X2 si \x\ > 1, = i 1 si - o o < * < 6.

M. /(*) = lira n < ^ T . 55. a) /fx) = lim £ In arctg

b) /(*) = lim { [ {l + sen ^ ) ; c) f{x) = lim £ sen ( * + s2) .

Calcular las derivadas por ta derecha y por la izquierda de las funciones siguientes:

>«>. a) / i x • l ) ' donde r(t) es la d is l and a hasta el numero entero mas proximo;t>) / : x >~* minftgx. 2 — sen 2x), - f < x < f ; c) / : x <-> m i x ^ 1 ' , a ^ ) .

•>V. / : x »-» [ar]| sen irx2). 58. a) / : i h —, x f 1, /(I) = 1;1 - 2 "

x j f 1, /(I) = 0.

>«. a) / : x i—lime'1"1'3; b) / : « « limt->x t .X

1 0, x € t:.'. (latlar /i(xu) v f'+ixn) en los puntos de discontinuidad de la funcion / si:

('. i iBnjo qtt£ condtridn Iii funcidn

f:x<~> l-rf" , x-tQ, y /(0) -0

tiene derivada finita para x .= 0?

I , J I v -IplHJlO t Jiflllo (IlIoiVIK'Ull |>,1M f U Mt'lOJlCH de Mil,I variable

S i m

/*(*> • E (£)'<•>'(' *>" s e ni i)

65,Obtener la relacion dc recurrenrin para Ins funciones fk.Hallar los numeros de Dim

V* fix) - lim ti£±itm V± f(x) = limh-*±0

de las funciones siguientes:t

a) fix ff sen £, x > 0,0, ar 0; b) / : x i—>

2 \ ax setr ~ -f bx cos2 x ^ 0, • f J C ^ '

66. Determinar D^{x) si0, x = 0.

At-n 0») k - 1, 19, = 1, D, 12

<J> Indicacitin, Buscar la funcion Dk en Ja forma

donde ^ a> £i son funciones a determinar.

Calcular las derivadas de las funciones / si:

67. f i x * - * / # si M < i,X + 5Sgnar si \x\ > 1.

68. / : ^ ^ M „ (—1)^1 cosnx), 0.

69.70. Demostrar que el conjunto de puntos donde la derivada por la izquierda de una funcion f

es igual a la derivada por la derecha a lo sumo es numerable.71. Demostrar con ejemplos que por lo general

72.73.

f+M * /'fro + 0) y f l (So) /'(*,, - 0).i$e puede afirmar que si f(x0 + 0) - f(x0 - 0), la funcion / es continua en el punto xQ?Dado que la derivada de una sucesion ���� se determina mediante la formula

x dofn. �

74

75.

hallara) (anyn)'; b) (In xj; c) <e*-)'; d) (xn + yj; e) (<p(xn))';f) (ft)'< 8) P")'; h) 0 (arctg n)\Determinar la ecuacion de la tangente a la curva que se describe mediante el vector de posicidsiguientc:

a) f(t) - (sen i, cos t,At), en el puntob) f (0 = (arctg t2, arcsen f, sh i, ch t), en el punto M{0,0,0,1).Determinar h ecuacion del piano normal a la curva que describe mediante el vector de posicidsiguiente:a) f (f) = (t911, f ) en el punto Af(l, 1,1);

76- e~2 - 1. b) f {«) - In |/(f)|, ai2, f ch sh*) para t = 1, donde a =

Hallar el angulo formado por dos curvas en el punto de su interseccion, si los vectores d posicion de las curvas f,(*) y £2(t) se definen mediante las formulas:

a) fi(0 - jj.T, th i) , f,(0 = (/ + 1, sen 3*, fesJl');b) f,(f) = (i, t\ t\t5), t2{t) = (sen t, sen 2f, sen 3i, sen 4f, sen 5f).

J i l hii-ivnci.d de una fuiuidn (!>;>

r

T)

'ft I >eiii«slr<tr (.[Lie Li him ion i'i'. lui i.il X : / i t (sen t, • COS I, c ' ) salL'SfiltV lit ivtfiuk)

x'(t>- Mi) m i f(0.siendo

/ .! ' I - s e n t \ ( 2cos* V A(i)*= ( cost seni <4 . , f ( 0 - s e n t - f e ' ) .

\ lnft| tgtln|£| t. j V M> / VS. i l.ill.ir una funcion vectorial f tal que la funcion vectorial X : t m ( / , t2, f1) satbfaga la ecuaeti'in

/ —2t 2 X'(0 = .1(f) X(t) + £ ((), donde A{t) = 0 -i

\ r 1 0

v>. Demostrar que para la funcion vectorial X : t )-•' diag vl(f) se verifica la ecuacion

donde

,, , , / sent cos I \ ( cos t -I- cos 21 \ \ sen f - cos t )' i(t)= V Stti<-1 ) ' Hll. Demostrar que las funciones d« valores complejos

x1 + 3i f : x t-* cos Ae -j-1 sen Az y / : x i -> s

satisfacen las ecuaciones respectivas:a) f(x) - »A/(x) - 0; b) (Xs + 3i)/'(:i') + Uxif(x) = 0.

It I. 1 Inllar las derivadas de los valores propios de la matriz si:

/ 1 t t2 \ / sen f cos t 0 \ c) /t(t) = t t* t1 } ; d ) A(t)= 1 - c o s t s e n * - 1 .

\ tl t3 lA ) \ 0 1 t J

H2. Hollar el angnto rump rend id o entre las posicioncs limites de las tangentes a una curvacontinua en el punto de su inflexion si la curva esta definida por la funcidn vectorial:

(sen y , cos y , |f — 1|);

h w , f i t , ? + 1,1? X # ~ o c < f < 0 ,' * \ ( 2 f , e W f ) J si <t<+oo.

§2. Diferencial dc una funcion2.1. Definiciones fundamentalsDefinicion 1. Una f u n c i o n / : E —>• E so d e n o m i n a diferenciable en un ft unto

t:,i 6 E el c u a l e s u n p u n t o l imi te de l c o n j u n t o E si el i n c r e m e n t o d e la f u n c i d n A / ( a : [ } }correspondiente a u>i incremento del argumento x p u e d e r e p r e s e n t a r s e e n la f o r m a

A/(»0) = ^(KoX® - ®o) + - ^o), (1)

d o n d e ut{x - ^u) =s o - aig) p a r a x —* Definicion 2. La ap l i cac ion d : h A{x^)h, h € K , s e d e n o m i n a diferencial d e la

l u n d o n / en el p u n t o y la exp re s ion A{xa)h s e l l ama valor de la diferencial e n d i c h o]>unto.

!)><> ( '.i|>ihifi> ?. (nltulo tliIricntMl |mi,i luiuimics de 1111.1 variable

Para i1! valor de la differencial dc In lutuinii / sc sucle usar In nolacion dj o df(:nqsi so nercsiln indicnr en que punto se ealcula In dileivnciaL Asf pues,

df(x(j) : /I ))//,.Dividientdo ambos miembros de la igualdad (1) por x — x$ y haciendo tender A

n x{)r obtenemos = f{xFor eso, Vft G IK so tienedf(x o) = /'(®0)fc. (2

Comparando (1) y (2) vemos que el valor de la diferencial df(x[)) (si f { x o ) ^ 0) es t parte principal del incremento de la funcion / en el punto Xq, que tambien es linealhomogenea respecto al incremento h ~ x — xq .

2.2. Criterio de diferenciabilidad de una funcionPara que una funcion / sea diferenciable en un punto dado xG es condicion necesnri

y sufidente que en dicho punto la funcion tenga derivada finita .

2.3. Invariancia de la forma de la diferencial de primer ordenSea x es una variable independiente, entonces dx ~ x x^ (incremento fijo). En est

caso se verificadf(x0) = f(x0)dx. (3

Si x = ip(t) es una funcion diferenciable, se tiene dx = dt. consiguiente,

dfmo)) = (/(<^o))K dt = f'A<p(k,Wt(to) dt = f'(xo) dx, es decir, la forma de la diferencial de primer orden es invariante respecto al cambio d argumento.

2.4. Formula de los incrementos finitosSustituyendo (2) en (1) y despreciando u(x — xq), obtenemos la formula de lo|

incrementos finitosA f(x0) & df(x0)

o bienf{x) n f(x0) + f'(x0)(x - ar0), (4

que para x — x§ pequenos permite calcular aproximadamente los valores de la funcion / e los puntos x proximos al punto xQ en los cuales se conocen los valores de la funcion / y su derivada.

2.5. Reglas de diferenciacion de las funcionesSi u y v son funciones escalares diferendables, se verificaa) d(u ±v) = du± dv; b) d{nv) — udv + v du;

Si u y v son funciones vectoriales diferenciables, entonces:a) <i(u ± v) = du ± dv; b) d(u? v) = (du, v) ~f (u, dv); c) Au) = u dA ™f A du (A es una funcion escalar).Si u y v son funciones escalares diferenciables, se tiene

d(u ± iv) — du±i dv, i = —1. Si A, B son funciones matriciales diferenciables y u, una funcion vectorial diferen-

ciable, tenemosa) d{A ± B) = dA ± dB; b) d(Au) = (dA)u + A du; c) d(AB) = (dA)B + AdB. N. del T.: Notese que para funciones de una sola variable los terminos derivalnltdad y diferenciabilidson suirinimos, por lo cual suelcn ser utilizados indistintnmentc. Para las funciones de varins variablesla situation cambiara radlcaimente, y dichos terminos dejnn do ser equivalentes.

f i I Ii k'li'iiii.il ili< mi.i I Min ion

|| Ih'tcffllinarsi son tlt^rciidables las funciones f siguientes:

1 . A f(x{)) =- 2 sen(a: — ^u) 4- (\/l + (a; — £o)2 — l ) tp(x - a'o), donde*f In \x - I ' # ® o ,[ [], x - x0.

4 Solucion. Dado que existe el limite finito siguiente:

A / ( x 0 ) .. (2 s e n ( x - - y/l + (x- x0)2 - 1 \ [un — i — | l m I 5 + -» _ [ n \x — ftpM = i m„ a; — ,t—a-0V x — ajj) x — aty /

/i—d h

l.i fi i nri6n / os d i f e r e n c i a b l e e n el p u n t o x$ y df{x$) = 2 dx. k

4 S(iIu<S6n. En virtud de que

lim ^ ^ = lim ((x - 1 ) 5 + (x- l f H - oo,I--1 X 1 I->t V /

!>i funcion / no es diferenciable en el punto x — 1.

3 3 . Af (fe0) (sen — — • ln(l - (x ~ a;,,)2), e ^ 1 " - l ) .\ JL / x — xo

4 Sohici6n. Estudiemos el limite

,. A f fio) ln(l + (s - z Q ) 2 ) 1 ex~x° - 1lim •••"•• = I lim — 1 - sen lim — T'-ttn X — Xq X — XQ X — X(I" X—Xu X — XQ

1 l.ido queIt}(l + ( » ~ « o f ) - 1 ,

hm — 1 - = 0, lim — 1,fcr., X — X^ J- ''"n X — XQ

: x isle la derivada finita de b funcion vectorial f:

I'or consiguiente, la funcion vectorial f es diferenciable y

df(ino) = (0, \)dx = (Q, dx). •

/ arcsen(iT^) \x ~ 30|3 + x - a:0 \

f w (.'.iPilufo ?. ( Vtli itln dilriviic-laf hnnioiU'N do tin.i variable

Solucion. AI cafcular los I unites

lim ™ arcsen c lim e ^h~'1 0. \im(- ^ -l j ) 1, lim h sgn/t_*oV h / k->r h h > o sen h

D

\h\/senlim -—-

0 \ h sen ft v— — J limhA J a — • ( )

obtendremos

/'(a?o) = limA/(s0)

XQ

0 1 0 0

es decir, la funcion matricial / es diferenciable en el punto y

0 1 <V(«o) = I o 0 dx � dx

0 0 •

(* I ) -= 0.

0,

m Hallar:

3 5 . a) d(xex ); b) d\ arcsen

M Solucion. 1-' metodo. Segun la definicion 2 del p. 2.1 tenemosa) d{xex2) = (^e^y da; = + 1)

arcsen arcsen da?2- metodo. a) A partir de las formulas b) del p. 2.5 se tiene

J? r . __ */ a?2d(xe ) = e dx 4 - x d(e ).

De acuerdo con la formula d) del p. 25 tenemos d{e )~e d{x ) — e 2x dx, luego

-ii

ii 2 2

d(xex dx + 2xzex dx ex (2x" + 1 )dx.

b) Recurriendo a la formula d) del p. 2.5 tendremos

d I arcsen ; 1x (arcsen u)! u 1x du^= d 1

xJLa2 d{ M)

por eso, final men te,

i ;

sgn x dxx

d ( arcsen t™x x

- 1

1 ii ii

X'

sgn x dx -xdx

xVx2 — 1

3 6 . d(uv ).

M Solucion. De acuerdo con la regla de diferenciacion de una fraccion (v. p. 2.5, c)) hallamo

dv du~ u d{v ) du 2u dv

v v v v^O. *

3 7 , d (arctg uv

fl ' I iiteivnci.tl de una liuuidn

4 Nolucidit. I larieiido firm dr Iii:: Idimulas c) y d) del p. 2 5 11'nemos

11, / u\ E . f W \ v thi ti. do 4 J - , ..(^mJ""-^ -

m . d .i & 9, t-% d /senx\

4 Solucion. Dado que

• livndo u es una funcidn diferenciable de cicrta variable, se puede resolver los ejemplosdados mediante dos metodos.

a) Designando u — x3 y utiiizando la primera igualdad de (!) tenemos

d .. 2x6 - x") = # (u - 2u2 - = t/(.r')v ' du v J

= (tt - 2«" - t i 3 ) ' = 1 - 4u - 3u2 = 1 - 4x~ - 3xb, x / tl.

El mismo resultado puede obtenerse utilizando la segunda igualdad de (1):

d , 3 ' 6 9\ d(3? 2 a 6 - E 9 ) (3a3 — 12a;5 — 9:eb) dx 3 s,, ^-{a: — 2x X ) — —.—tt — = ——-—_ 7 • — l — 4x —dx , a: -/ U. i/(a:J)r d((tJ) 3x2dx

b) introduciendo la notacion u = x2 y utilizando la primera igualdad de (1) tenemos

t/ _/senar\ d /seny/«\ /sen y'ltV _ T j M x ) ~ du\ Ju ) Ju ) du \ y/u \/it

- v^f c a s ~ sen-y/tt _ x cos x - sen x 2u\/u ~ 2s3 1

Si utilizamos la segunda igualdad de (i), obtendremos

j / ski x \ x to; g--sen z d f sen _ a ) _ p—~ a x _ £ cos a1 sen x

d(x2) \ X ) ~ d{x2) Zx dx ~ " 2xy '

39.Hallar el valor aproximado de sen 29", sustituyendo el incremento de la funcion por

la diferencial.4 Solucidn. En valor de sen29" se diferencia relativamente poco de sen3GJ, pues a — 29''

l.nnbien dificrc poco de an ~ 30° - Por eso, para calcular aproximadamente sen 29" hagamosIt.'.o de la formula (4) del p. 2.4, tomando /fie) = sen x. Tenemos

sen 29° St sen - - (sen x)' 6 180 " 2 360 ~ , v " '

4 0 . Demostrar la formula Jl^ \ x — a + ~ - r, a > 0, x > 0, donde 0 < r <

IN) ( (i|>it(ilo 2. C tiIt'tdo dilrrviuiV para Jiij ni oiios dc tin.i variablef i

SoluciAn* Si es pequeno (:/: &'), a parlirobtenemos

I

tle Li formula de los UKTementos finito

V a2 h x ~ ~ a -|»2Vi\t

'if 1 a + a->

X

2aEl error r dc dicha formula aproximada

r — a + x2tt - \fc? x 1Va2 + x

XVa2-^ x - a x

2a (y/a2 + x + a) 2a (Va2 + a + a)2(ljf

es tanto menor cuanto menor sea x > 0; no obstante, para cualquier x > 0 el error 012 f*—n rm •—r-• 1—• i •

menor que ^ y como se deduce de (1) v a2 + x = a + r- — r , c. q. d •1 • • • •

4 1 . Demostrar la formula aproximada Van 4- x & a H r , a > 0, donde \x\ <C a7*, ' nan~l

<4 Solucion. Por cuanto \x\ a11, a la funcion / : y ^ siendoaplicar la formula de los incrementos finitos

~ , se le puedt;

de donde1 + y

nEntonces,

x ~ a 1 + —ft*aTi 0 ( 1 + Tta + x

na n-1• • 1 •••••••••••••• • ™ •••••• • •• I I •••• ™ ' ™ " •••• •• I •

Hallar df(x) si:a) i{x) = ( ~k!c

3, sen(ofar), cos(ot:e ), sh

c) f(x) - x2 + i

xT b) f(x) = e lax7.

•t

arcsen (fa; ) arctg x x3 + 3ix + 4i + 5' d) / ( a )

10 ^/'(O)^1 sen us

Solucion. Haciendo uso de la formula df(x) — f'(x) dx tenemos

a) d f (x) 3kx2e kx\ 2ax co$(ax2), sen(a£4), £ ch ( f )J<te;b) df(x) = (cos(arcz) -f i sen(a:£2))' dx = 2ax sen(axz) + i cos(a^z)) dx;

-a;4J-2sc(5+4*)-h3c> d/<*) = ( p ^ E & T s ) ' d x dx;

1 2xd) df(x) \f\—i"£

00l+x*

l \ f ( 0 ) \ 2 x I n 2 u q q s w x

dx.

Designemos mediante \A\f A — (fi^), la expresion siguiente:

A\ -n

Dado que

f(P)00 In 2

0

1/(0)1

0UJ

tenemos |/'(0)|

• • ™ • • • •

l n 24 l/'(0)|2 +

Ji',\ D i f e r e n c i a l d e u u u l u n d i ' m I h I

tlt< d o n d e | / f ( 0 ) | ~ - A — . I 'or lo t an t o

( to? J*- n \

0 .J* * 4 3 .

La m a t r i z f u n c i o n a l f u e c a l c u l a d a c o n u n e r r o r S u p o n i e n d o q u e ex i s te

l,i ma t r i z i nve r sa h a l l a r a p r o x i m a d a m e n t e el e r r o r c o r r e s p o n d i e n t e a q u e s e

e o m e t e e n el c a l c u l o d e ( 0 .

4 S o l u c i 6 n . D a d o q u e J , s e t i ene( ( d A ) A _ 1 + A ^ A - 1 ) ) = 0 ) ( d U _ : ! ) = - - J 4 " 1 ( ( i A ) A " i ) . •

. X ) d o n d c a"j'()!)\

4 4 . Sea u n a m a t r i z c u a d r a d a f u n c i o n a l d e m o d u l o |A[ =

* '

:<iin s u s e l e m e n t o s ( f u n c i o n e s d i f e r e n d a b l e s e n c ie r to in t e rva lo) . E s t i m a r el m o d u l o d e lad i fe renc ia l d e los v a l o r e s p r o p i o s d e d i cha m a t r i z .

4 S o l u c i d n . L a s f u n c i o n e s propias vectoriales X y los v a l o r e s p r o p i o s corresporLdientes A {jiiendo f u n c i o n e s esca larcs d e la va r i ab l e sat is facen la e c u a c i o n e s p e c t r a l

I 'ara eoncre ta r , c o n s i d e r e m o s q u e X(i)[ ~ . / V ] | z , ( / } | 2 = 1. M u l t i p l i c a n d o e s c a l a n n e n t e laV ' = I

igualdad (1) por obtenemos

( 2 )

I liferenciando (2) hallamos

•=• (d(AX), X) + (AX, <iX) = ((dAJX, x ) + x) + (AX, dX),

lie d o n d e

|(Uj ^ f{dA) Xj |X| + dX| iX! + ]AX[ |dX[ < |X|2 + |SX) jXJ + |A| |X| |<fX| = |atX|. •

4 5 . Sea u n a f u n c i o n d i f e r e n c i a b l e tal q u e e n [ig, d o n d e es u n alune idn d i f e r e n c i a b l e y es d i s t i n t a d e cero . H a l l a r

S u l u d o n . D a d o q u e las f u n c i o n e s s o n d i f e r e n d a b l e s , la f u n c i o n c o m p u e s t a / oes t a m b i e n d i f e r enc i ab l e y

* \ * I .<i}mui«i v-iiicum airerencial para ruiuionos tic umi variable

EjerciciosHallar las difcrenciales dc las funcionctf siguieiiUs:

83 y/ar2 -far |-1<j2[l-x)

— I r m n

l-x l- Hxi l)/2 f j

b) / : a? | arctg

84, a) *<*>+aTCts «(*),

JT 4- 3;

C) / : * ^ ln(u2(x) + i,2(a;)); d)f:$^ u2(\n x) + t,2(ln a).85. a) / : <p t-* pfy) C0S j?; b) / : <p w ^ftp) sen(«(p)y?).

b) / : V]k-i

c ) + + d) / : ® -

86. a) / : *

jt +JC2 fl * 87.

88,

a) / : * ^ T^ + + 3); b)c) / : ar cos®3 + isen3x2; d) / : a? e

a) f : a ! K ( l j l P y ) ( l i j a f » ) ; b) f : x ^

v+2-% * sen iax

senx cos a:w(x)

1c) f , a? j—> (sen s e n , . . , sen d) f : * ^ «(«) (C*M t g u { x ) y u ( x } ) .

89. f:x ln j r + l

X 2 + lw{a;)

91. f ix

1sen «(ar)

r90. / : x w

sen(ia;) cos(iy) 92. / : a? ^

sgnar e w [ft] senfasj

^ tg ft*, sh y) Ch fo/y, p)

93, f : ( n«n(0 a1 2(«). . . a1n(<) x2(t)

94V *»(<)

Sea f(x) - ( / i ( a ) , / 2 ( ® ) , . . . , / , ( * ) ) , donde /,-, i = Hallar d(\f(x)\). son funciones diferenciables.

95.96.

97,

Sea f(x) - (a,j(a?))# j = n, una matriz funcional diferenciable. Hallar d(\f(x)\) Calcular aproximadamente:a) sen 16*; b) arctg 100; c) arcsen 0,99.Demostrar que para x > xa > 0

arctg x 98. Haciendo uso de las formulas aproximadas

TT 1 r s ^

2 a;

cos a; # 1 - x

hallar el coeficiente a .

(!> Indication. Utilizar la identidad s sen a; = 2 sen | cos |

Hallar <tf(Q) si:senx

99. f{x) a » 1, a; = 0.

llcriviuliiN tlr tuM turn innes inverpttiN, p.t raitKMrli'.iN e implfcitas

KM). f{x) a ( (ar)) "1, Uu((l> Hitx, iiv(0) = dx, u(O) r(t)} I.KM. /(ar) = arcsen .(«(()) 3dx, Jt>(0) - Sldx, ti(0) - \, «((>) s/2.

f WLiii, , Q

0, 1 - 0 .wv

101. f(x) = { ' x * ^ 0, x = 0.

I«4. f (x) = , ^ 0 , y f ( 0 ) = (0,1).

IDS. f (* ) = (x'—^K ]»fs), * £ 0 , y t(0) - (0,0,0).

N*. / ( « ) = ( 1 I , SP ^ 0, y /(Of) = ( [, o ) 'V 0 J? In )

1117. Scan a* = (flii, Hi;?., • , flu), ai- € -E™, ft = l t n , vectores con punto de aplicacion com tin.Denommemos al valor absoluto del deter ntinaHte

«H • lin

0«1 a«2 ••-«wt

vulumat de !a figiira P — {x x £ E", x — -f $2&2 -1 f- Sno„, 0 < 0,- < 1, i — Tj~n}.Die ha figura suele denomina rse paralelotopo. Hallar los volufnenes do los paralelotopos infinitesi males construidos a partir de los vectoredtangentes a las curvas que ritamus a continuation en los puntos de intcrseccion de las mismns:a) f , (f) - (t, V), (S) = (t\(); b) f , ( i) - i f , t\ tJ>, ut) = (i J , t\ t), i3(t) = (sen 1H,t, t*); c) m o = n , t\ e, t\ m = ((-, t\ t\ t), ut) - t\ i, i% u(t)=(f4, t\ t\ t).

§3. Derivada de la funcion inversa. Derivadade una funcion definida en forma parametrica.Derivada de una funcion definidaen forma implfcita

3.1. Derivada de la funcidn inversaPara u n a f u n c i o n m o n o t o n a d i f e r e n c i a b l e / : j a , —• M c o n la d e r i v a d a d i s t i n t a

ill- ee ro ex i s te la f u n c i o n i n v e r s a / t a m b i e n d i f e r e n c i a b l e y s u d e r i v a d a se c a l c u l i s e g u nl.i f o r m u l a m

3.2. Derivada de una funcidrt definida en forma parametrica

Si u n a f u n c i o n / v i e n e d a d a e n f o r m a p a r a m e t r i c a

x = <p{t), y = at), a <t < (3,

•londe y = f(x), y las funciones <p y ip son diferendables (<p'(t) / 0), entonces

Ax) - ^

(A (apflulo Crfkufn diferencia f | m i « i Iuiu ' Ioih-h <le una v.n iahJr

3*3. Derivada de una funcidn definida 011 for implfcitaSea y f(x) una funcion diferenciable

decir, Fix, f(x)) = 0 en cierto intervalo J a,puede ha I (arse a partir de la ecuacion

definida por la eciincion F(x1 y) — 0,iintonces, en muchos casos su dcrivnd

ddx (F(x, f(x))) = 0-

4 6 , Demostrar que la ecuacion

y-eseny-x, 0 ^ £ < 1,

determina una funcidn y — f(x). Hallar su derivada fix),

M Solucion* La funcion (p:y\-*x = y — € sen y es diferenciable en J—oo, H-oo[ y su derivada

(p : y • 1 — € cos y

es positiva, Por consiguiente, siendo estrictamente creciente, la funcidn (p tiene funci6riinversa / que tambien es diferenciable y monotonarnente creciente, Su derivada es

/'(a)1 1

<p'(y) 1 — s cos y •

4 7 , Determinar el dominio de la funcion inversa x — tp(y) y hallar su derivada si

V x In x > 0.

Solucion. Dado que (x + ln x)* ~ 1 + ^ > 0 , la funcion / : x x + In x crece de maneraestrictamente monotona para x > 0. Por consiguiente, la funcion tiene inversa y

9(v)i x

f i x ) X + 1

Para 0 < x < +oo tenemos -oo < y < toda la recta numerica, •

oo, es decir, la funcion inversa existe en••• •• m M

£piy) y hallar sua4 8 . Determinar las ramas continuas de funciones inversas x — derivadas si y = 2x — x\

Solucion. La funcion / : x — x4 es diferenciable y su derivada / ' : x 4x(l — x1)conserva el signo en los intervalos J-oo, —1[, ] - l f 0 [ , ]0, If, ]l>+oo|\ Por consiguiente,en cada uno de los intervalos correspondientes ]-oo, 1[, ] 0,1[, ]0,1[, ]-oo, 1[ existeuna funcion inversa diferenciable. Designemos estas funciones mediante <pi, i = 1,4,ix — <piiy))> Tenemos

Vi : J-oo, 1[ ]-oo, —1£, *p2 : JO, 1[ J - l , 0[,(p3 : ]0,1[ ]0,1[, : ]-<», 1[ JI, +oo[.

Analizando el signo de la derivada

/

: V i

4x fl - x2)'

«JjU: Deiivad.iH ilr lii>i lumiones inversus, patutuelrlc.tM i" impUeilas

D r ^ a m u s a la conc lu s ion i{i> i | i i r las f u n d o n e s tp\ y son m o n o t o n a r n e n t e crecicnll 'H,inii ' i i lras q u o las furii iones y>? y ip4> m o n 6 t o n a m e n t v dec rec i eu los , Al ruso lvc r la oCUut'itinii1 2x2 + y = 0 r e s p i v l o i lc x, SO p u e d e o b t e n e r las f u n c i o n e s <pt e n f o r m a exp l fc i t a

x = <pi(y) -yfi + V 1 ~ y> x = <p2(y) ~ *M

x = <Ps(y) = - %/^y, V = <pi{y)yf\+\/\ - 1J. >

| Hallar las derivadas fix) si:

49. I = yi->/i. y = \f\ - Ti {y - /(«)).

I Solucion. Hallemos primeramente

4 = gO - v^r-Mi - VI)' = - V^H,

= - 1 , 0 < t < l .2 V 1 - w 6 v W i - v l

/Nliora, h a c i e n d o u s o d e la f o r m u l a 3.2 f e n e m o s

/'l

5 0 . y = (c* sen t, e* cos t, e') , x = t +15 (y = f (a;)).

I Solucion. Dado que dy ~(d(el seni), cos (), (i(e')) = (senf+cos t, cos t—son 1) e* dt, ,tx = (1 + 5f4) dt, resulta

t dy _ t e'(scn t + COS t) e (cos t - sen t) e' \ {X) ~ dx ~ \ 1 + W ' 1 + 5f4 ' X + 5t*)" *

S t . y = cos5 t + i sen31, x = It - cosi (t = —1; y — f(x)).

I Solucion. Dado que? 2 dy = ( - 3 cos't sen t + 3?" sen t cos t) dt, dx ~ (2 -f sent) dt,

irsulta

2 {2 + sen t) '

5 2 . ' - j S " ) . ( » - ' < " » •

= ( ' " c h T 4

l Solucion. Tenemos

dy

(I -cost JFI1i

W l+ptfat s h (i+r 3+ f2

U>6 C'iipittikt 2. C alculi) difm'tuial \umi funcioncs de una variable

Hallar las derivadas f de las funcioneg / : // definidas mediante las ecuacion®

5 3 . x 4- 2xy - y ~ Ax. < Solucion. Sea y — f(x) una solucion diferenciable de la ecuacion dada, entonces

x2 + 2®/(as) - (f(x))2 = 4x (1

en cierto intervalo. Puesto que todos los terminos de la identidad (1) son diferenciabledespues de derivar (1) obtenemos

2x + 2 f (x ) + 2xf(x) - 2 f { x ) f { x ) = 4 j

de dondef(x) + x-2

fix) - x f(x) j^x. •

5 4 . x* + i / 5 = i

• •• •

< Solucion. Al sustituir la solucion diferenciable y = fix) en la ecuacion dada obtendremola identidad

a?5 +(/(x))* = 1.Derivandola, vemos que

i +(/(«)H A®) = o,de donde hallamos my.

•'"1—1-1—h i « i i i i 1 — •

<5 5 . Hallar / (#) si y — fix) y p = a<p (/?, <p son las coordenadas polares).

Solucion. Dado que y = pcos<pf x = pseny?, entonces y = aipserup, x = atp cos <p Por consiguiente, dy = a(sen <p -4- (p cos tp) dtp, dx — a(cos <p — <p sen (p) dip. Entonces, pa(cos tp — (p sen tp) ^ 0,

f\x) = ^ = sen y + y? cos <p dx cos ip — tp sen <p

• M • ftl J I I U 1 • _UH , IJL.

5 6 . Las funciones fi y f2 vienen dadas en forma implfcita por el sistema de ecuacione

� ��

+ iff + 2® = l.

HaUar /((a) y £(») .

< Solucion. Sustituyendo los valores y\ — f\(x) y y2 =- fiix) en el sistema de ecuacione9dado llegamos a las identidades

/i (*) " Hi*) + & = 2,/i2(z) + fl(x) + 2x = l.

Derivandolas obtenemosfi(x)f[(x) - f}(x)ti(x) + l=0, Mx)f[{x) + f2(x)fUx) + l = 0.

t}3- Dt'rivtkldn ilr liirt f unci on km iuvuiHan, paraim'1!fU'iifl i< implicilas I67

I'or tanto, si cl determlmuilefHx) I /i(») /2(»i I '

hallamos

f ' ( ± \ = - 1 + A W ^ v _ i - /i(g)/i(®)(/j(») 4- /2(x))1 " h{x)(U(X) + /2{s))•

J lijcrdcios

HIS. Demostrar que cada una de las ecuaciones siguientes posee solo una solucion real y — f{x)\

a)af = 3tf+seny 2 4-«B5f- l + jy3; b) x = 12y5 - 30g* + <%:i - 30y2 + 15y + I.Hallar la derivada unilateral de una funcidn y — fix) definida en forma parametria si:

11(9. x = It - t2, y = 3i - (\ en el punto i =s'l.

110. x = t H- 3vTTT, y = - 1 0 ^ + 1, en el punto i = 0.

111. x — sen21, y — cos2 t, en tos puntos t — 0 y f — f •

Hallar fix) si y = fix) y:

112. arctg (a1 + y2) - in(xy) - 1 = 0 . 113. sen f + ^ + h y1 - 0.

114. pf^Lj + ip{x + y J- y2) = 1 cs una funcion diferenciable).

115. i> ( f r j ) — 2- 116. W(seny) t- - 3) - te + 4 - 0.

117. arcsen y(2y + a-2 + 1 ) = arctg {jf3}. 118. e"^ 1 * ' 4 ^ = 4 - y2.

Calcu la r / ' ( 0 ) si y - fix) y:

119. x2 sen * + £ sen I = 0, x ^ 0, y / (0 ) = 0.

120. a^arctg * + tg (a 4-y) - I = 0, x f. 0,. y /(0) = f .

Hallar fix) y fix) si = f\ix). Vt = fiix) satis face u las ecu a climes:

IZI. = 1 - x , yf + xyl - x 2 . 122. ym 4- — x^—O, y2 ±y2~ x2.

123. j/, + f(yt + y2) -1- y2 f senx - 0, j/>(yf + yf + x2) - x.

Calcular A/(0) y d/(0) si y = fix) y.

m. x = t1 + Ji|( y = +1, At - dt = 1. 125. x = t* - 4 i\ y = i5 - 5f, Af = dt = 1.

126.

Hallar / ' t e ) si y = /to) y:

127. y = (sent,cost , f), » = 3 t + (*. 128. y = (sh2f, ch2t, fti f), « = sht.

<"•*=(! iS. a S3 )*-"+«*.133. y (scn(yJ 4- (2), cosfy2 +1 2 ) , t ) , ft = 5t + ts.

IM. y = (^(Ivl), t, I3), * - 2trip). 135. y = {j>{t% f>(t\ 1>l?)}, « = W ')

I6H ( apituli) 2. C-tilciilo iliIViv 11 rinI para fuiicinnes tic una variable

§4, Derivadas y diferenciales de ordenes superiores4.1. Definiciones fundamental esDefinicitin 1. Sea Ja derivada de cierta funcion / tambien derivable. En tal caso, 1|

derivada dc la derivada de dicha funcion se denomina derivada segunda de la funci6n / se designa mediante /". Asi pues,

f"(x) (fix))'.Definicion 2. Si la (n - l)-esima derivada de una funcion / es diferenciable, a

denomina n-esima derivada a la derivada de la (n - l)-esima derivada de la funcion / se designa mediante . Asi pues,

El numero n se denomina orden de la derivada, Definicion 3. Se llama diferencial de n-eshno orden de la funcion / a una diferencial

de la diferencial de (n - l)-esimo orden de la misma funcion. De este modo,

d2x

dnf{x) - d " f ( x ) = f{x), n6R

Si x es una variable independiente, se verifica entonces que dx drx = • • - = dnx = 0, Es valida, pues, la formula

<f fix) = fn(x)(dx)n.

const y

4.2* Derivadas de n-esimo orden de las principales funciones elementalesSe verifican las formulas

<«n(sen x)

(cos x)

x\ (n) ax In" a, a > 0;(71) sen ( x +

(n) cos [ X +

717T

nir2

m\{n)(x)

(In x)

m(m — 1).. „ (m — n + \)x m—n

����n-1( - i ) " " l ( » - 1 )

i •

X n4.3. Formula de LeibnizSi u y v son funciones n veces diferendables, entonces

niuv)<n>

4.4. Derivadas de n-esimo orden de una funcion vectorial, de una funcionde valores complejos y de una funcion matricial

Si las componentes de una funcion vectorial f : x (/i(#)) /2(®), - • -3 /*(#)) son n\veces diferendables, se tiene

f<"V) = ( / f V ) , f f ( x \ - - - , f j ? \ z % dH (X) = (dnfX(x): dn f2(x), . . . , dnMx)).Por analogia, para una funcion de valores complejos / y una funcion matricial A

se verifican las formulas;

/ w ( s ) uin) ix) + ivin)(x); dnf(x) = dnu(x) + i dnv(x);

fid. I >crl Vtiil.in y difercneialen dc OrdfucN Nitpeiinren I AM

'fl v-l • Aln\x) ; d»A{x)

| ( l . i l l a r f"(x) s i ;

5 7 . f(x) = smix2).

4 Sofucidn. Segun la definicion I del p. 4.1 tenemos

fix) = ( s e n ( ® 2 ) ) ' = 2£cos(:k2);

f i x ) =(fix))' = (2x casix2))' = 2 cos ( z 2 ) - 4a; 2 s e n ( a r ) . •

5 8 . /(a;) = (j; + ! ) e i l .

4 Solucion. D e b i d o a q u e (w{a;) f- iv{a:))' = tt'(x) + iv'ix), e n cl p r o c e s o d e la d i f e r e n c i a e i o nd e u n a f u n c i o n d e v a l o r e s c o m p l e j o s e l n u m e r o i d e s e m p e i l a el p a p e l d c u n a c o n s t a n t so r d i n a r i a , p o r lo cua l

fix) - e" + i(x + i) e'x = ieixx;

fix) = ie" - xel* = e"it - x). •

59. f i x ) = ( s e n a : 2 , cos - j - 2 , x 2 ) .

* Solucion. P a r a h a l l a r In d e r i v a d a d e u n a f u n c i o n vec tor ia l se d e b e d e r i v a r c a d a u n a d esus c o m p o n c n t c s , p o r e s o t e n e m o s

f 1 (a:) = (2x cos x2, ~2x s e n a; , 2a;);

t"ix) — (2 cos x2 — ix2 s e n x2, —2 s e n x2 — ix1 cos x2, 2 ) . k

M Solucion. Para h a l l a r la d e r i v a d a d e u n a f u n c i d n ma t r i c i a l se d e b e d e r i v a r c a d a e l e m e n t ode la m a t r i z

] v ' X Ch!2 \ fix) - (

\ 2x cli

( s™

u 2 f t , 2 char + 2x sh x' sh x

ch a;2 2x s h x2

i2 + 2x2 ch x2

shz_ch1*

6 1 . ^ ^ ( i r i ^ . ^ l g l ) .

m Capi'tulo 2. CMIculo difcmieiai |>jh.i futicioncs de nn.i variable

4 £Milnd6n. Tenemos

i'(x) In ' ,* ' (*) , ( u(x) \'

(In (p(x)) <p'(x)<p(x). ( ' uf(x)v(x) -

^ " t • i • i i " 11

v2(x) j

I Mir lo tanto f'(ar) = u\2nv j . Para la derivada segunda obtenemos

iy. (»•)'.<p"tp - (<pf)2 „ (u"v - uv")v - 2vr(ufv - uvf)

<p1 IT '.I

v" r l l l - l -

62. Hallar y si y = f(ex).-4 Solucion. De acuerdo con la regla de derivation de una funcion compuesta tenemos

y' = f(ex)e*,donde la prima de / designa la derivada respecto al argumento e*.

Para calcular la derivada segunda utiiicemos la definicion 1 del p. 4.1, la regla reci n-mencionada y la regla de derivation de un producto.

De este modo obtenemos

y (/V) x\fe )' = f"(ex)e2x + f'(eX)eX-De manera analoga hallamos la derivada tercera

Vw / V ) e3* + 3 / V ) ez* + f\ex) e*. • 2x

• •_ —i 11 •

6 3 . Hallar d y de la funcion y = ex si;x es una variable independiente; x no es una variable independiente.

-4 Solucion. La forma de la diferencial de primer orden es invariante y, por eso, en amboscasos tenemos

dy = d{ex) — ex dx. Ahora, segun la definicion 3 del p. 4.1,

d y — d(dy) = d{e* dx). Diferenciando el ultimo producto obtenemos

d{ex dx) = d(ex) dx + e* d(dx) (1)Si a; es independiente, resulta que dx — const — h. Por consiguiente, se tiene que

d(dx) — d x — 0, y de (1) hallamos

d2y = d(ex) dx = e* dx dx = ex(dx)2>Si, en cambio, x no es un argumento independiente, dx no es constante en el caso

general, por lo cual d(dx) = drx ^ 0. Entonces, de (1) obtendremos

dLy = ex(dxf + e* d2x - e*((dx? + dlx). •

. — .. - J l I_

I >«'i Iviitliin y tIJfi'ri'IH'i<lli'N dc (udi'iH'H h(||1|.'Hiiivk 1716 4 . Hallar d!y y tuvfjt * , siendo uy v funciones dos veil's diferenciables de dortavariable.

* Solucion. Utilizando la invariancia de la diferencial de primer orden tenemos

j f tt\ ( u\' . (u\ 1 vdu- udv vdu — udv dy = d [ a r c t g = ( a r c t g d ( - ) = ^ -

donde mediante Ja prima se designa la derivada respecto a A partir de la definicion 3 del p. 4.1 tenemos

,2 ,/v du - u dv \

de donde, segun la regla de diferenciacion de un cociente, tenemos

a „ d(v du - u dv)(u~ -j- v2) - (v du - u dv)(d(u2 + v2))y ~ w+w '

I Jado que du - v. dv) = dv du + v tru - du dv - it d2v ~ v dlu — u (fv, d(it3 + v2) -d(w ) + d(v2) = 2tt du + 2v dv, a partir de (1) obtenemos, finalmente,

2 _ v d2u - u d2v _ 2{uv((du)2 - (dv)2) + (v2 ~ u2) du dv)V~ u2 + v> (u7 + v'f ' *

65.Hallar las derivadas yx, y^, jfca dc la funcion y = f(x) definida parametricamente

si x, = 2t - tl, y = 3t - t3 .4 Solucion. Dado que y'x — i(f(x)) s= — tenemos

Vx d(2t — t2) ( 2 - 2 t)dt 2 ^ ^

Ahora, y"t - ~(y'x) - por eso,„= d(ftt+'»= = Vxl d(2t-tz) 2(1 - t)dt 4 ( 1 - 0 '

Analogamente, y1" = = por tanto

3 \ 3 j jm _ ^(•tn-ij) 4(1-0' 3__

~ d(2t - f ) ~ 2 (1 - it) dt ™ 8 (1 - t f '

6 6 . Hallar yx, y'^ de la funcion y — f(x) definida por la ecuacion

x + y7' — 5xy'\

I //. I apllulo 7. CitU'ulo d i l e i n u i a l p<im fmitiones de irnu variable

Solution. Sea y • )'{x) una solution dos vtws diferenciable de la miaeirin dad* ? 1

Derivonclo la identidad x •]• (/(.'«))" 5u: (/(;«)) respecto a x obtenemos 2x \ 2f(x)f'(x) 5(f(x)f + I5xf(x)f(x), de donde

2x - 5f(x) 15xf2(x) - 2f(x) si 15xf (x) - 2f(x) 0.

Entonces, segun la definici6n de derivada segunda y por la regla de derivation <1un cociente tenemos

• M M 2 1 v\ \5xp{x) - 2f(x) / (2x - 5f(x))'(l5xf(x) - 2 f(x)) - (2x - 5f3(x)) (l 5xf(x) ~ 2/(«))'

—• , — ii ••• r - ^ — — i II " . ~ • , m —

(I5xf(x)-2f(x))2

(20f(x) - 75xf\x) - 60x2f{x) + 4x)f'(x) - 4f(x) + 75f{x) . • • •• t • ii • m ^ r ™ - ^ ^ 1—

(15xf2(x) ~ 2f(x))2

Sustituyendo el valor de f'(x) finalmente obtenemos

/'(a)1500xf°(x) - 120 ar* + 150a :zf(x) - 250f (x)

( 1 5xf(x) - 2? f2(x)

1 Hallar las derivadas y la diferencial del orden indicado:

67. yl + x

VI X. Hallar y (100)

-4 Solucion. Transformemos la funcion dada en una expresion mas facil de derivar y apliquemos una de las formulas del p. 4.2. Tenemos

y = 2(1-®)

y(100) _ 2 ( ( l - a ! ) - i )

( 1 - ® )�����

(199)!!2 "

- ( a

(l-x)

x)h<im)

2t00lyy

• HI • mmm ^X) 2 (197)112ioo

399 - x(1 - x)m>*9 x < 1, •

6 8 . y — x sh x. Hallar y (100)

«4 Solucion. Apliquemos la formula de Leibniz, suporiiendo u — x, v = sh x. Obtenemos

icoy�����

Jt-0C?00 a? sh a; Cmn ch x — x sh x + 100 ch x«

69. y = u2. Hallar dl0y,

<4 Solucion. Aplicando la formula de Leibniz al producto y — uu obtenemos

r §4, I )<'ilviul<i>! y diicrenriaJeH de Anlrnra NiipeiimvK I7!t

id i

= < 4 d1 u dw '•« •» £ 6'ju j u d1"-«-i- �%(,fuf � �

i -M • I) = 2u dti]u |-20 du d'u + 90 d2u <Fu + 240 d'u d7u + 420 (f'u + 252 {j?*,?, •

7 0 . Expresar las derivadas y e i/ de la funtf&l y = /(x) mediante las difertstcialesiiticesivas de las variables a; e y, sin suponer que a; sea una variable independiente.

4 Solucion. Utilizando la definicion 3 del p. 4.1, asf como la regla de diferencia cion de!producto, obtenemos

dy = f(x)dx, (!) dzy = f(x)(dxf + f(x) d2x, (2)

= f"{x){dxf + 3f"(x) tfx dx | f(x) (fx. (3)A partir de las formulas (l)-(3) tenemos sucesivamente

�„ .„, , d2y~y'd2x dxd2y~dyd2x1 = / («) = /-j-,,(.ixf (dx)

y" = /"'(») ~ ({dx)2 £y - 3 (Px dx £y + 3 (d2x)2 dy - dx dy tfx).

ft Hallar y{ n ) si:

7 1 . 91

x2 -3x +2'

4 Solucion. Reprcsentando la fraccion dada en la forma

y aplicando una de las formulas del p. 4.2 obtenemos' n[ ( (a; - 2)n' (x - 1)"+1) '

7 2 . y — sen3 x. 4 Solucion. Representando y cn la forma

3 1 y -- ~ sen x - - sen 3a;

4 4 y u s a n d o u n a d c las f o r m u l a s d e l p . 42 h a l l a m o s

4sen I'+TJ'T*" \m+t);7 3 . y — s e n 1 a; -f cos a:,

< Solucion. Al t r a n s f o r m a r y e n la f o r m a 3 1 V = j + - oas 4a:

174 tapilulo 2, CMkulo diferemial para luiuionCH de una variable

obtenemosv in) „_1 / 71W\ 4 cos 4ar h ~ j , n > 1. •

••I. b. • •_ • • • •

74, y In a + bx a-bx

-4 Solucion. Escribamos la derivada de esta funcion en la forma

' - G - r + G - rSegun las formulas del p. 4.2 despues de derivar (n — 1) veces obtenemos

y HI —n+ x + (»

-n�

( « 2 - + + <

ii "i"11

7 5 . Demostrar las igualdades:ax / . _ . _ v \ ( T 0 ax / _ 21) (eax sen(bx + c)) = e** (a2 + ft2) " sen(bx + c + nxp);

2) (eax cos (bx + c))(n) = e M (a2 + b2) ? cos(fo + c + np),donde

seny? cos <p a

Va2 + 62'Solucion. Multiplicando el primer miembro de la primera igualdad por i y sumandole e'primer miembro de la segunda igualdad, obtenemos

{eax cos(6a? + c)){n) + (ieax sen (bx + c)) («) iC r ^ = e t e

(a + 6Z)2\ y z+ic+irap

(e<«+w)*)(») = + K ) « e<*+*> =

(cos(&e + c + + i sen(ta + c + rcy?)) A partir de estas expresiones, segun el axioma de igualdad de numeros complejos s obtienen las formulas deseadas, •

(a + 6 ) 2\ T ax e

7 6 . Transformando la funcion / : x sen2/> a? (p es un numero natural) en un polinomiotrigonometrico

p

f(x) = cos 2&a;)Jt=0

. i

hallar f{n)(x).Solucion. Recurriendo a las formulas de Euler y al binomio de Newton transformemos,en primer lugar, la funcion / en un polinomio trigonometrico.

2psen y x ix 2p

2 i 22p ••• • •

22p

Jfc=0p-1

1 \ks~ik „2i{k—p)x I) O2p e 2p

+ E < +k=G k=p+1

En la segunda suma entre los parentesis introduzcamos un nuevo fridice de sumacion hf,siendo k ~2p~ kf. Utilizando la igualdad CL — ob tendremos

ti 4. Ih'dviuliM y diforencliilea dt' rtuU-ncH mi pvrlnrcH 17F>

w * ) 1 W =

Altora, tie acuerdo con una de las formulas del p. 4.2, hallamos

iw t - i r(mm* a)1*0 = y f 2n(k ~ vT c o s ( 2 (fc - 4 f ) =

2 " - ^ " ( f c - # COS ( 2 (LB - ^ + H J .

,,-t

1 1 / 1 1 \ 7 7 . Haciendo uso de la identidad —5-—- = — I ——7 : ) demostrar que

X2 +1 2i - 1 £ -J- j/ 1

; 4 Solucion. En primer lugar derivamos n voces la identidad citada

/ 1 \ « = / ( - i y n l _ ( - ! ) " » ! \ u 2 t 1/ 2i \ (z - {® + i ) " + V '

Aplicando a los numeros complejos {a; - y (a: f i) la formula de Moivroli'iiemos

( = * 2J. 0 + x 2 ) - - (cosfn + 1) p + i sen(Ti + 1) -

2_!iii/ v ( - 1 ) " n!- (1 + a: ) : (cos(n -f 1) <p - i sen(n + 1} = — — — ^ r sen(ti + 1) tp,(1 + a j 2 ) T

donde <p — arg {a; + i) — | - arctg x = arcclg x.

7 8 . Hallar /(n'(0) para la funcidn f{x) — arctg a;.

I Solucion. Derivando / dos veces obtenemos

f'(x) - 1 f"(x) = ~2x - Z^lL

i le d o n d e (1 + x2)f"(x) + 2xf'(x) = 0 .

Aplicando a la identidad obtcnida la formula de Leibniz hallamos

( I I x)fi!l)(x) +2 (»- 2 )xfin~ + (n - 2)(n - 3)f!n~2\x) 4

4-2i/("'1J(a;) + 2 (n - 2)fln l>(x) = 0.Nustiluyendo x = 0 llegamos a la relaciOn de recurrencia

/<n){0) = - ( 7 l - I ) ( n - 2 ) ^ ( 0 ) ,

(It* la cual hallamos fm{0) = 0 para n par. Para n = 2k f 1, considerando sucesivamente*• 0, ] , 2 . . . obtenemos

f2kn\0) m (-\f(2k)\, k e Zo. K

17U (.'iipilulo 2. I'iili'uio dilvrentiiil para luucioiioN tic una variable

79* Caleular / (0) para la fund6n /(;/:) i-<arcsen x). «4 Solucion. Derivemos / y elevemos al cuadrado la expresion obtenida. Derivando 1

obtenido una vez mas llegamos a la identidad

(1 - x2)f"(x) - xf(x) + m2f(x) = 0.

Derivando esta identidad n — 2 veces y utilizando la formula de Leibniz, hallamos

(1 - x2)}{n\x) - 2x(n - 2)f1l-"(x) -(n- 2){n - 3)/ («-1) in-2)(X)

Xf (n-1)(x) - (n - 2)f{n~2\x) + mf-f 2 An-2)(X)

Por tanto, para x = 0 obtenemos la formula de recurrencia

/<n>(0) = ((n - 2) m2)/<n-2)(0), (1de la cual para n ~ 2kf k £ N, hallamos (teniendo en cuenta el valor initial de /(0) = l)i

fm(0) = ( -1 )km2(m2 - 22).,. (m2 - (2k - 2)2).

Por analogia, suponiendo en (1) n = 2k + 1, k eN,y tomando en considerationvalor de /'(0) = 0 llegamos a la igualdad

/ (24+D (0) = 0 •

8 0 . Demostrar que la funcion

/ : x x2n sen -i

0,x ^ 0, a? = 0,

n € N, tiene en el punto x — 0 derivadas de hast a ra-esimo orden inclusive y no tiervderivada de (n -f l)-esimo orden.

= 0, tenemos /'(0) = 0. Suponiendo que para un ciertoSolucion. Dado que lim ^ n z-0 * natural k ^ n - 1, (n = 2,3,...) se tiene f{k)(0)/(*+1)(0) - 0. En efecto, dado que

0, demostremos que tambien se verific

kfk\x) = V c j 2n(2n - 1 ) . . . (2n - Jfc + i + 1) x 2 n ~ M (sen -

(i>

( - 0

(1entonces segun la definition de derivada

/ (A+l) f{k\x) - f>"(o) tk)(0)=limx 0 X k

=lim V 2 n ( 2 n - 1) - - - (2k - fc + i + 1) x2n~k+i~l ( 2n-k+i-\ f lVl q X/

sen

Aquf se toma en consideracion que la funcion (sen contiene terminos del tipo 4/- sen * o bien -jr cos ~ (en dependencia si el indice k es par o impar).

Asi pues, mediante el metodo de induccion matematica hemos demostrado qu/W(0) - 0 \fk = T^n.

t}4. i IviitliiN y »H/t*n!iicialf(t do ^rtlcncn miprilorrN 177

Pinal mei lie, wipnuii'iido eit (I) k — 11, vemos <jue tini /'"'(a:) ni> existe, es decir, In3 •()ill nc ion es disumtinua on cern. For consiguiente, [a funcidn no puede tenor derivadaen este punto. *•

| lijerciciosHallar la n-esima derivada de la funcion / :

I36. /(«)=«•". 137. X38. fix) — x2<p"(x). 139./(a) = z" ^ .140. Hallar fix) si

/l(») M*\ fn(*) <P(z) fM fox) ... /;(»)

Hallar la n-esima derivada:j P w /2W(*> . . . /i"^) ^ n v >

143. = 144. /<*)«#<?».

145, /<ar> = a: sen(3x + 2i). 146. f(x) -

xip(x)1 V 1 sh 2x

X �X2 . . . x 7 1 * 1

. . . x 2 " / 147. Sean u — u{w), V = v(x) funciones vectoriales n veces diferencia bles. Demostrar que se verifica

H-JIJ

148. Demostrar que la formula de Leibniz (para derivar n veces un producto) tambien se verificapara las funcioncs matriciales A — /t(;c) y Tt — 1i{x), es decir,

AOsi A y H son funciones n veces diferenciables.Hallar la n -esima derivada empleando los ejemplos 147 y 14R:

149. i(x) = (v(a;),v(i)) si:a) «(x) = (sens, sen2x,. . . , sennx), v(x) — (ez, e*,..., e"1);b) u(x) — (cos x, cos 2x,..., cos nx), v(x) = (x, x2,..., x").

150. f{x) = Aiz)Bix) si: l a \ - ( s e n n a ; cosnx V / s h n x c h n x \

- e o s n x senna; ) ' ~ \ -&nx s h n x( _5_ i3

jf Hi= 4 1

IV In x In2 x 151. Demostrar que ta funcion

y = fix) = C\eiu" + C^e"*** (w, Ci, Q son cons (antes)satisface la ecuacion y" + ui2y -• 0.

152. Demostrar que la funcidn» = m = |t In ch ik^gt),

donde k, g son conetantes, satisface la ecuacion

m ^ = mg ft ( * { ) " , w » const.

178 ( iipfltilo 2. C.ilriilo dllVrcm hil |>.im liim iniu-s de un.i variable

153* Demoslrar �� lo funcirin

x : t C\ 1 + a

2 cos t 2 cos I

3 cos t — sen t

2 son t { V\ | ,2sen* f l

3 sen t + cos t Ci — const,

satisface la ecuacion ~ ~ Ax, dondedt

A — 1 - 2 2

- 2 - 1 2 - 3 - 2 3

154. Demostrar que la funcion vectorial

x ; t i-+ Ci 111

e' + C 111

10 1 e +

- 110

- 12t4- Cs

011

satisface la ecuacion =r Ax, donde

A3 -1 -1

- 1 3 - 1w l —1 3

155. Demostrar que si una funcion vectorial x = x(t) satisface la ecuacion % = Ax, donde A es unmatriz cons tan te, entonces esta verifica tambien la ecuacion

dtn Anx Vn£K

156.

157.H a t J a r w) / donde A l(x) es la matriz inversa de A( Demostrar que toda solucion del sistema de ecuaciones ^ tambien el sistema — x — Vy* dt x I y3 satisfa

dt2 - 3x5 - 3 x'y dt1 a;3 - y + 3xy2 + 3y5.

2?+i y 0. Pueda

158. Hallar f(0) si f(x) - s 3 (sen (lnra |*|) + C0S (In™ |*|)), x ^ 0, y f(Q) = 0 , donde t»Comprobar si es continua o no la derivada segunda en el punto a? =

nallarse un valor del para metro m tal que exista la derivada tercera /r"(0) ? iCuales deben ser los valores de a para que la derivada segunda de la funcion / x ^ \x\a sen x £ 0, y /(0) = 0, sea continua?

160. Hallar f(x) si f{x) = <p(ip(x)) y

159.

<p(x) a?|<2,M > 2, =

cos X) lx\ > 2.

161i

Calcular la derivada segunda (en sentido ampliado) de la funcion / en su punto dediscontinuidad si f(x) = r3J

162. Calcular la derivada segunda de la funcidn / " ' : a; ^ y, inversa de la funcion / : y a) « = y + i f ; b) x = y + sen y.

163. Calcular d2f( 0) de la funcion \x\a arctg x* 0, siendo /(D) - 0.

x si:

164. Hallar /"(0) si y = f(x) y x = It - t2, y = (* -

jH. I Jiiiv.id.iM y lUferenc fates de oidem-H Kiipeilores \7l>

KiS. Hal lor f"(x) do urui luiu-ii'm y fix) definidfi en forma (>,inmu'li'k\i

wn / 2t> t < 1 ' « t f w f f o t m n j i KH1,\ l\ tp 1, 1 + 1 - f t Ji| > ^

Uifi. En el punto x — | caicular !;i derivada segnndii dc la Funcion y = f(x) definida irnpKcilament!1

mediante la ecuackm sen(^y) - x + y - j , y > 0. I(>7. Hallar /HO(T) si

- Xf„(x), h(x) - - (] ,-j-yr •• -•

168. Caicular /'(0) si la funcion / : x »-* y esta definida mediante la ecuacion y* + x3 -| x2 -y1 1)y es dos veccs diferenciable ton confinuidad en un entomo del punto x — 0.

Caicular / W > (U) si:

IW. /(®) 170. /(*) = 171. /(sc) = ^ . 172. y - f(x), X - It-t1, y = 3t

Hallar ^ si:

17.1. /(i) = sen(u{zM»)) - 174. /(») = arcsen 175. J{x) = u{x)

176. /(jf)-ln(a(B(*))). 177. f<*) = («{«)+*<*), § } ) . 1 7 S . / ( i ) = ^ } }

179. y = f(z); a ) y(t) ^tsent, x(t.} -tcost; b ) y(<p) = p(<p) s e n <p, x(<p) = p(<p) c o s tp, IHD. y = f(x); y{t) = (sent,cost,lgt),xlt)=3t+0,

tin. y-/(#;m = ( t % e j , +

IH2. y = f{i>); 3$) = ( j ^ , }, " « + sen ( + cos t.

Caicular d-tQr en el punto indicado:

1X3- y = f(x), x* -I- y3 -- 3x2if + I en el punto M{0,1).IK4. y — f(x), 3i-5 - ly" - xl + y' + 1 en el punto M(0,1).IBS. y = f(x), y — x Infi® 4- y2) en el punto M{ 1,0).IH6. Supongamos que las componenles /,-(») de una funci6n vectorial f : n - i ( . .

/„(x)J satisfacen el sistema de ecuaciunes

E /f(*)U + = senO'a;)/,(«), j = I~n.ISRL

Hallar f"(a?).IH7. Sea A(z) una matriz funcional que satisface la ecuacion

A2(x)D(x)-r A(x)C(x) - E,

donde B(x), C(x) son matrices dos veccs diferendables y E es la matriz unidad.Hallar A"(x> si A(;r) conmuta con su derivada.

IIIH. Hallar <?f{x) si f{x) = iT{x)v\x). IH4. Ha Car drf{-x) st f(x) = donde A, B son matrices funrionales.

!'«!. Hallar d7 f(x) si /(ar) — jV(«(®))|/ donde tp es una funci&i vectorial.

180 CapUulu 2. CAkuIo difarondai par*i funriones de una variable

§ 5, Teorema de Rolle, teorema de Lagrangey teorema de Cauchy

5.1. Teorema de Rolle iSea / : [a, b] — R una funcidn continua en el segmento [a, 6], y en el interior d i

[a, 6] su derivada es bien finita o bien infinita. Sea, ademas, f(a) = f(b). Entonces, en d interior del segmento [a, b] existe un punto £ tal que

f'(0 = o.

5.2. Teorema de LagrangeSi una funcion / : [a, b] —* R es continua en el segmento [a, 6] y tiene derivad

finita o infinita en los puntos interiores de dicho segmento, entonces 3 £ € ]a, 6[ tal que J

f(b) - f(a) - f m - a).

5.3. Teorema de CauchySi cada una de dos funciones / y g es continua en b], tiene derivada finita

infinita en ]ay b[ y, ademas, la derivada gf(x) ^ 0 en ]a, b[, entonces 3 £ € fi[ tal queverifica la formula

m - m _ Ao

Si, ademas, se exige que g(a) y(b), la condicidn g'(x) £ 0 puede ser sustituida poiuna menos estricta:

(/(*) ) + ( f l ' ( » ) ) ' V a ; G ]a, 6[.n w w r r n

8 1 . Sea / una funcion cuya derivada / es finita en todo punto de un intervalo finitoinfinito ]a, &[ y

lim f(x) •— lim f(x).

Demostrar que f{c) — donde c es un cierto punto del intervalo j a, b[.

<4 Solucion. Sea el intervalo ]a>b[ finito y lim f(x) ~ lim f(x) = C, C = consij� x—•fi-O

C on si d e ra remos la funcion

f(x) si x g ]a, 6[,C si x = a y x =

que es continua en el segmento [a,b] y tiene derivada finita en el intervalo ]a, verificandose, ademas, F(a) = F(b). De acuerdo con el teorema de Rolle en el interval\a) i>[ existe un punto c tal que F'(c) = /'(c) = 0.

Sea ]a, 6[ infinito. En virtud de que la funcion / es continua, tiene derivada finit|y para x - + a - h 0 y x & - 0 existen sus valores limites firiitos iguales entre si, entoncq]la recta y = C + e o y ^ C — e (para e > 0 lo suficienternente pequeno) cortara a la curvjy — f(x) al menos en dos puntos que designaremos mediante <?i y ci. En el segmentij[c\ j C2] para la funcion / quedan cumplidas todas las condiciones del teorema de Rollpor eso, en el intervalo ]cj, Ci[ (y, por lo tanto, tambien en ]a: &[) existe un punto c tal qiA<=) = 0.

Examinemos ahora el caso lim f(x) — lim f(x) — 00. Tanto para el interval!>afO 0 la, b\ finito como para el infinito, la ecuacion f(x) — A (siendo A > 0 un numeri

§5. Too re mil i|«' It idle, I rn iv ma de Lagrange y li'iifema tic C'aucKy 1KI

a r b i t r a r i o fiiaj p a i d lim f{x) - l in i fix) ~ -l-tx>) o M e n la ecunc i r tn f(x) - - A (si l im f{x) - l im f(x) -oo) s i e m p r e t i ene d o s r a k e s d i f e r e n t c s q u e d e s i g n a r e i n i i s

-P —a-rO % 'b (>mediante y a2. Apllcando el teorema de Rolle a la funcion / en el segmento [ur(,(li'ducimos que en el intervalo q'?L (y, por tanto, en ]«, 6[) existe al menos un punto e tal que f'(c) — 0. •

82.Supongamos que: 1) la funcion f esta definida y tiene derivada continua de (it --1)

csimo orden en el segmento [so, x„]; 2) f tiene derivada de n-esimo orden en el intervaloxn[; 3) se verifican las igualdades f(xu) = f{x%) = • - • = f(xu), xa < xl < ,.. < xn.

I h'mostrar que en el intervalo Ja^, ®nl existe por lo menos un punto £ tal que /(l l )(0 ~ 0.4 Sulucidn. Jin cada uno de los segmentos fe-i, afiJ, i ~ \.n, se cumplen todas lax

inndiciones del teorema de liotle para la funcion f , por consiguiente, existcn, comonifnimo, n puntos ^ € tales que /'(fy) = 0. En cada uno de los segmentosK/s£j+iL j — 1, n*^ 1, para la funci6n /' se cumplen todas las condiriones del teoremadf Rolle, por io cual existe por lo menos n — 1 puntos % 6 J«o, tales que /"(%) = 0,k 1,7?— 1. Kazonando annlogamente llegamos a la conclusion de que on n — (n — 2) 2 puntos del intervalo ]a;o,a;nf se verifica

/<n l){Ci) = 0, i = 1,2. Aplkando el teorema deKullu a la funcion en el segmento (i\ concluimos que existe al menos un punto/ < ]a io t J B [ ta lque/ w (0 = 0. » ' S 3 . Demostrar que si todos los ceros de un polinomio

Pn(x) - a^x" + ai^"-1 + ••• + «„,

ilc coeficientes reales At, k — 0, n, son reales, sus derivadas sucesivas P , " , . . . , P,'/1"1'Itimbi n tienen solo ceros reales-

I S o l u c i o n . Suponiendo que todos los ceros son diferentes, segiin el teorema de Rollei it >( enemas que /^(s) tiene n - 1 ceros reales; (x), n — 2 ceros reales, etc. leniendo encuenta que al derivar im polinomio el grado del ultimo disminuye en una unidac!r resultaque todos los ceros de las derivadas serein reales. Si algun cero del polinomio es multiple,i-slr tambien sera cero de la derivada dei polinomio, es decir, tambien es real.

84. Demostrar que todos los ceros del polinomio de Legemhc

' 2"n! <txn u ' 'mm reales y p e r t e n e c e n a l i n t e r v a l o ]-l, 1[.

| 4 Noluci&n. En e! segmento [—1,1] si polinomio t/^fx) = {a;2 - 1)" tiene 2n ceros reales:i j'j - x2 ~ • • • = xn — —1; x n f i = xn+i — * • • = X2n — 1. De acuerdo con el teorema

imlerior el polinomio P„(x) liene n ceros reales que estan contenidos, segun el teorema deKolle, en el intervalo ]—1,1[. *•

85. Demostrar que todos los ceros del polinomio de Chebishev—Laguerre it"

nositivos.

182 Capftulo 2. C l U l ' I i I o tlifriviuial Jimcionctf de una variable

^ Solucion. Constderemos la funcion tp : x ^ >

punto £ ]0j +oo[ tal que

. Como -- link <p(x) • •• 0, existe u

0 (v.ej.8l), Es evidente que = lim <p'(x) ^ Of31-fr-j-OOpor eso, en virtud del teorema de Rolle y de la solucion del ejemplo 81, existen l o f

puntos £2 € P , i l l y £3 G +oo[ tales que ¥>"(&) - 0, i = 2,3, verificandose, ademdl,ip"{0) — 0. De este modo, <plf se anula en tres puntos del semieje x ^ 0. Dado qui

0) = lim (p{j\x) = ar +oo

utilizando n — 3 veces el resultado de la solucion del ejemplo 81 llegamos a que la funcidi(n-l) „ ii iniiU n r i /ti _L 1 t-iiinfnc /licrbiiocfr c on a l cotVitoi^ ^ fl CiArti rt O r * — Q U Q (Jg dlchOj

0 para j = 0,71 — 1, entonces aplicando el teorema de Rolle

^ ~ se anula en n + 1 puntos dispuestos en el semieje x ^ 0, siendo x = puntos. Los puntos mencionados son extremos de n segmentos, en cada uno de los cualflia la funcion yr ' se le puede aplicar el teorema de Rolle, por lo cual existen al menospuntos 7ft > 0 tales que (p{n\rik) = 0. Es obvio que ^ 0, Dado que Ln(x) = ex<p(n\%es un polinomio de rc-esimo grado que tiene n ceros, entonces sus ceros son los puntossiendo rjk > 0, k = n. •

• •••I !•• II II III

8 6 . Demostrar que todos los ceros del polinomio de Chibishev—Hermite

Hn(x)

son reales.A Solucion. Examinemos la funcion u : x »—• e x , Es evidente que lim «k'(ar) — 0, po

X-+OQ

lo cual las funciones vS*\ j = 0, n, satisfacen las condiciones del ej-81 en el interval]—oo1 +co[. Al repetir los razonamientos usados en la solucion del ejemplo anterioiydeducimos que v! se anula por lo menos en un punto de este intervalo; u", en dos puntosj

u(n), en n puntos. Dado que Hn(x) — (—l^e* irn\x) es un polinomio de 7i-esimgrado que tiene exactamente n ceros, sus ceros coinciden con los ceros de la funciontodos estos ceros son reales, •

8 7 . Hallar una funcion 6 = Ax) tal que f(x 0 + Aar) — f(x$) — A xf + 0 Ax) sir3a) f(x) = ax + bx + c, a ^ 0; b) f{x) x J ; c ) / ( a r ) = ± ; d ) f ( x ) = ex

Solucion. Aplicando la formula de incrementos finitos de Lagrange a cada una de laifunciones a)-d), tenemos

a) a(x0 + A a:)2 + b(x0 + Ax) + c- (ax2 + bx + c) = Ax (2 a(x0 + 6 Ax) + b), de dondei1.e i*

b) (x0 + Ax)3 - x% = 3 Ax(x0 + 0 Ax)2, de donde AX) Xq >0, Ax > 0;

A a; 'i

c) 1 1 Axxi) (x„-Q Ax)2t de donde #(#0, A#) Ate( + ^ + Aas) > Qi

d) e ii+Aar Ax, de donde 6(xo, Aap) Asr m Ax

8 8 . Sea3-x

f : xi-+ Ix

si 0 ^ x < 1, si 1 < x < -3-00

i i

§ri. T o o r e niii I t o l l c , h ' o w m i i d i ' [ . a g r a n g r y ( w r i ' i n a d c C a u c h y IKi

I J e t e r m i n a r e l v a l o r i n j e r i n r d i n <•. tin la f o r m u l a d o i n c t v m o n t u s f i n i t o s pa ra la f l u x i o n / e nr l s e g m e n t o 10 ,2 \ .

4 S o l u c i o n . V e a m o s si la f u n c i o n / e s d i f e r e n c i a b l e e n cl p u n t o x = 1 . S e g u n lit d e f i n i c i o nd c l a s d e r i v a d a s un i l a t e r a l e s t e n e m o s

j f l ( l ) - l i m 1 + M = t i m 1 U * A* 0 Ax V 2 / + ' Ai—(4 Ax + A ® t

141 f u n c i 6 n f e s d e r i v a b l e e n el s e g m e n t o [0 ,2 ] . A p l i c a n d o la f o r m u l a d c i n c r e m e n t o *linitos a la f u n c i f i n / e n el s e g m e n t o [ 0 , 2 ] h a l l a m o s

/(2) -/(0) = 2/'(c), 0 < c < 2.

D a d o q u e f{2) = j y f{0) — |,

j f - i si 0 < x ^ l ,/ - Jy Si \ < X <2,

lencmos_ ( -2c s i 0 < c < 1,

" \ si 1 < c < 2,

d e d o n d e Cj = \, c2 — *J2 s o n d o s v a l o r e s i n t e n n e d i o s . •

8 9 . Sea / u n a f u n c i o n d e r i v a b l e c o n c o n t i n u i d a d e n u n i n t e r v a l o ]a, t>[. E s t u d i a r si p a r aIndo p u n t o £ d e ]a, i»[ s e p u e d e h a l l a r o t r o s d o s p u n t o s x\ y x2 p c r t e n e d e n t e s al m i s m oin te rva lo q u e s a l i s f a g a n la i g u a l d a d s i gu i en t e :

Xz - x\

4 S o l u c i o n . Si f'(x) > 0 e n el i n t e r v a l o ]a,b[ y f n o es c o n s t a n t s e n n i n g u n s e g m e n t odel i n t e r v a l o ] a . b[, la f u n c i o n f es c r ec i en te e n ]a , D e e s t e m o d o , p a r a c u a l e s q u i e r a, ( 1 , 1 2 6 \a, 6[, x-i > x\, se t i ene

f f a ) - /ta?i> > Q

X-2 - X]

I'or lo t an to , e n los p u n t o s d e l i n t e r v a l o d o n d e f\x) — 0 n o p u e d e c u m p l i r s e la i g u a l d a d

x2 - Sl

I'or e j e m p l o , p a r a la f u n c i d n / : x w x3, - 1 ^ x < 1 , p a r a c u a l q u i e r xu x2 £ | - 1 , 1 [ s everifica la d e s i g u a l d a d

a: 3 - X 3

-—- -1 = x\ + + x* > 0.X-2 — Xi

I'or c o n s i g u i e n t e , p a r a cl p u n t o £ = 0 n o e x i s t e n a q u e l l o s va lo res d e ;Ci y x? a i o s q u oI lace m e n t i o n el e n u n c i a d o del p r o b l e m a . S in e m b a r g o , p a r a c i e r t a s c lases d e f u n c i o n e st fue s a t i s f a g a n t o d a s las c o n d i c i o n e s d e l t e o r e m a d c I . a g r a n g e n o s e e x c l u y e u n a respuesta j l i r m a t i v a a la c u e s h o n p l a n t e a d a . •

[M Gipflulo 2. Oilculo differencial para fiincionrs dc una variable

9 0 . Demostrar las igualdades:a) | sen x - sen y\ ^ \x - y\; b) pyv (ar - y) < x,f - y

y p> 1; ^

c) |arctg a - arctg ^ \a - 6|; d) -

pa;' (a - /;) si 0 < y <

ai « < In - < b

a - b , n . - si 0 < 6 < a.

Solucion, Segun la formula de Lagrange tenemosa) sen x — sen y — (x — y) cos de donde J sen x — sen y\ cosfl \x-y\ ^ b) xp-yp = pZ^fe-y), y < £ < a,dedonde ^ sP^y? ^

•i

c) arctg a - arctg b = f fs (« - ft), de donde larctg a - arctg ft| < |a - 6|;

d) In a - In 6 = 7(0 - 6), a < { < b, de donde < In § < •

w

i

9 1 . Demostrar que si una funcion / es derivable sin estar acotada en un intervalo finiteb[, su derivada /' tampoco esta acotada en el mismo intervalo ]a, 6[.

Solucion. Sea la funcion / derivable en \at &[ y no acotada para x —• b — 0. Consideremouna sucesion arbitraria (#„) que converge a b por la izquierda. Existe entonces un numero iV|tal que para Vrc > N se verifica la desigualdad > A, cualquiera que sea A > 0 Fijemos un numero m > N y examinemos la diferencia f(xn) - f(xm) para n > m Aplicando el teorema de Lagrange a la funcion / en el segmento [xm, xn], obtenemos

x Xmdonde xm < £mn < xn. Para n lo suficientemente grand e, en virtud de las condiciones de1

problema, el primer miembro supera a cualquier numero positivo fijado de antemano, dftdonde se deduce que la derivada /' no esta acotada para x —> b — 0.

La afirmacion inversa no es cierta: del hecho de que la derivada no este acotada enun intervalo no se deduce que la propia funcion tampoco lo este en dicho intervalo, porejemplo, / : x ^ y/x, 0 < x < a.

92. Demostrar que si una funcion / es derivable en un intervalo infinito ]xo, +00 f y

lim /'(ar) = 0,X—*+00

entoncesmlim 0,

es decir, f(x) — o(x) para x —• +00.

<4 Solution. Sea (a;Tl) una sucesion arbitraria de valores del argumento tal que xnDe este modo, Vfe > 0 3 N : Vn > N se verifica la desigualdad

\f{Xn)\ < \

+00

(1)

Fijemos > N y para n > nQ apliquemos el teorema de Lagrange a la funcion / en elsegmento [&„„, xn]\

• • • a ^

Xfi x n0(2)

donde xntl < £„ „n < xn.nn,,

§ 5 . T e o r e m a d t ' I to l le , Icorenii i d e I . a ^ n i n g e y ( i -m rn i , ) d e C a u c h y IMS

Hn virtud dt1 Lim ilcsigualdades (1), a parlir d o (2) teuemos

\f(xn) - f{xUtl)Xn Xi 1i& <1- (3)

I )c (3) o b t e n e m o s las d e s i g u a l d a d e s

(4)^ _ (] _ £ < + fa „ •7i k < 2 Xn Xn \ x7l /

P a r a ?i g r a n d e s e s v a l i d a , e v i d e n t e m e n t e , la d e s i g u a l d a d

_e f(x,J s 2 * xn~ * V

ve r i f i candnse , a d e m a s , ( l - y^H < f s i e m p r e si n > n 0 , D e e s l e t n o d o , h a c i e n d o u s o d ela d e s i g u a l d a d (4), p a r a iiq > N y p a r a n > uq lo s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d c o b t e n e m o s lad e s i g u a l d a d

fir,A(5)/(»n)-if < J >—' < f,

f(T„) | o b i e n

D a d o q u e ( x n ) e s u n a s u c e s i o n in f in i t a a r b i t r a r i a d e t e r m i n o s p o s i t i v o s , s e t i e n e

( l i m — - = o ) ( f (x) = o(a;)) s i ^ - f o o . • \x—H-oo X /

9 3 . D e m o s t r a r q u e si u n a f u n c i o n f c s d e r i v a b l e e n u n i n t e r v a l o i n f i n i t o I oo[ y f(x) ~ o(x) p a r a x —* + o o r result a

lim \l'{x)\ = Q.

Mn particular, si existe lim f'(x) ~ k, enlonces k — 0.+CO

.Solucion. SeaJ m l / f c J N A A ^ O ,Z — +CC

e n t o n c e s Vu (fl < £ < A) d B tal q u e p a r a x > B s e ver i f ica la d e s i g u a l d a d

\f'(x)\^A-e. (I)

l ; i j e m o s X\> B y c o n s i d e r a r e m o s x > x^. A p l i c a n d o el t e o r e m a d e L a g r u n g o a la f u n c i d n / e n el s e g m e n t o i ] y t o m a n d o e n c o n s i d e r a c i o n la d e s i g u a l d a d (I ) h a l l a m o s

m - nxi)

I ' a s a n d o e n la d e s i g u a l d a d (2) al l i m i t e x —» — oo n b l e n e m o s

fix)l i m

J —-loo• A

lo q u e con t rad ic t : la c o n d i c i o n f[x) — »(«:). Am' puen , A II, rn d f i i l , l im | / " ( 'HI II

FHfr ("iipilulo (MJcuIo difeivmlal para fiinrioncs tic un.i variable

Sea, alioru, lim fix) k. lintoneeN para una sucesi6n arbilraria (xFH), xTtl > Of j: * hx>

xm f oo, se tienelim f(xm) ^ A;,rn -* oo

es decir, Ve > 0 3 M tal que para m > M se verifica la desigualdad

k-E < f(xm) < K � E. ���

Al tomar too > M , m > m0 y aplicar el teorema de Lagrange a la funcion / en el segmento[xW|)J xm] obtendremos

f&m) ~ /(gmj Mm), <u<

De la desigualdad (3) se deduce la desigualdad

Pasando al limite en la desigualdad (4) para m —> -f oo, obtendremos

lim I & l l ^ k + e.j-oo XM

Dado que lim ^ ^ = 0, resulta A — s ^ 0, k -f e ^ 0, de donde, por ser e arbitrario, seWi—+00 Xfti

deduce que k — 0.

9 4 . Demostrar que si una funcion / (que no es lineal) es continua en un segmento [a, 6]y tiene derivada finita en el interior del mismo, entonces en el intervalo ]a, &[ existe por lomenos un punto c tal que

m - m i 1/ (C)l > b — a M Solucion. Al dividir arbitrariamente el segmento [a, b\ en n partes mediante los puntos

a0 ~ xo < x\ < X2 < .. - < xn ~ b obtenemosn-1 r a-1

|f(b) - f(a)| - J2 ~ < ^ ' i=Q I i . 0

Por la formula de Lagrange tenemos

>fi%i-fi) - f&%) = / (6) Aa?f, xi < & < xi+u i = 0, » - 1 donde Axi = a^+i —

De este modo, llegamos a la desigualdad

i-0Dado que la funcion / no es lineal, existe pues una partition del segmento [a, 6] talque entre los numeros ]/'(&) I hay un numero maximo distinto de cero que designamosmediante [/'(£) Asf, de (1) se obtiene la desigualdad estricta

n-1

|/(&)" M \ < 1/(01 Y1Ax* = °)|/'K)|.

tJS, Te ore nut de Htillc, leon'iiiii de Lagrange y Iruimiii de Cauchy IN/

de donde |/'(0|

9 5 . Demostrar que si una funcion / tiene en un segmento [a, b\ derivada segunda y f'(a) —- f'(b) = 0, entonces en el intervalo }a, 6[ existe por lo menos un punto c tal qua

4 Solucion. Si f(x) = const, la afirmaci6n es evidente. Supongamos que ia funcidn / no enconstants. La condicion f'(a) — f'(b) = 0 implica que la funcion / no cs lineal. Aplicandola formula de Cauchy de incrementos finitos a las funciones / y <p : x n* en elsegmento [a. 1 y a las funciones / y tp : x en el segmento 6], obtenemos

*(/m-/(*>)m a<e<*+»{b~af b - 2

Sumando las igualdades obtenidas hallamos

< fe < b.

s ( m - m ) m , / ' ( f t ) m

p ^ a ) 2 ^ - o 1 6 — 2

Como /'(a) = f'{b) = 0, cl segundo miembro de la ultima igualdad puede eseribirse en laforma

donde « < f/i < ifi, < < 6 , Al estimar el valor absoluto de (1) y al tomar enconsidemcion (2) vemos que

8|/<6?-/W| . I , , , , vI , | m. ,,( 6 „ n j 2 < 1/ M + l/ M -

Supongamos que j{b) ^ f(a) (en el caso contrario, la demostracidn es trivial: como c puedeservtr cualquier punto del intervalo la, &[}. Por lo tanto, al menos uno de los numeros[/"(??t)| P ]/"{%)| esdistinto de cero. Designemos

Entonces

de donde

[/"<c)| = m a x { ! r M , |/"fe)|}.

(b-af

(el signo dc igualdad no se oxcluye, pues puede ocurrir que |/"(»?j)[ = ). •

188 ( jipidifo 7. CillcuJo diforriu iii! |Uir<t linuiunew de una variable

9 6 , Punuwtrar que hi una funcirtn vectorial f : M • Ku liene derivada continua en uri- "wtf Vrt uli rid- 'i«; u\; serve run:;! ia a esigua I clad

|f{6) - f(a)[ s£ (6 - o) ni.ix |f (®)|.

4 Soluci6n. La funcion F : (i(b) - f(a)) (x -a)- t(x)(b - a) es derivable en el segmento[a, 6] y sus valores en los extremos del segmento coinciden. Por eso, segun el teorema daRolle, 3 £ Q b[ tal que

f ( £ ) = 0, o bien (f(6) - f(«))2 - ( f (£), (W) - f («))) (b ~ a).

A partir de esta igualdad obtenemos Ia desigualdad

\m-m\ |f(£)|(b-a). (1) Dado que la funcion |f'| es continua en [a, b], entonces segun el teorema de Weierstrass estatoma su valor maximo max |f'(x)| en cierto punto x £ [a, 6]. Por lo tanto ff'(£)| =

y a partir de (1) obtenemos la desigualdad requerida.

9 7 . Demostrar que si una funcion vectorial F : IR —• E 1 a) es continua en [a, &]; b) esderivable en el intervalo ]«, 6[; c) la derivada F'{#) / 0 en ]a, h[, entonces existe un3 £ £ ]a, b[ tal que

m - F(«) = AP'tf),siendo A una cons tan te,Solucion. Sea F : x i—* (f(x)}g(x)), ( f (x ) , £(£)) £ E . En virtud de las condiciones a) y b), las funciones / y g son continuas en el segmento [«> b] y derivables en el intervalo

2 2 ]a, b[. Ademas, (/'(#)) + ^ 0 segun Ia condicion c). Por consiguiente, de acuerdocon el teorema de Cauchy 3 £ £ ]a7 b[ tal que

(m - m)g'(0 = f'(0(9(b) - 9(a)).

Si, por ejemplo, /'(£) ^ 0, se tiene

F(6) ~ F(a) = (f(b) - /(a), g(b) 9{a)] = f { h ) : { l { a ) { f ( o , m

dondeA m- m

^ — 1 —

m•

Ejercicios191. Considerando las funciones / , gf (p siguientes demostrar que ninguna de las tres condiciones

del teorema de Rolle es superflua:

f : x f + J tt-r 1

l c si a < x < 6,

0 si x a, x b;

(fix '—* - 1 ^ x ^ 1; <p : x sen a:, 0 ^ ar ^ 7T4

192, Para una funcion vectorial i: (x sen x cos x), x E [O, § ] , hallar un £ € 10, § [ tal que

f?r

f(0) = A-f(f), A e R.

§5. Teomini de Kulli', tenienia du Lagrange y leurrinn dts t'aiu'hy IH'J

m. Demostrar quo si /i C""MI(|u,6|), 3 f f. ]a, tal que

f ( x ) - Lm(x) ^ f W n t e ) ,

siendo

wm+iC»0 = [ x - s e , f a - # ( ) . . . . < « — • a = < x , < . , , < xm « 6,

m

j=0<|> Indkaridn. Considerar la funcion 2 : a: /(;e) - &* ($ ) - A(®)o»m.H(:e), donde * ( £ ) se define

mediante la condicion z(S) — 0.

194, Sea f : iK —> IS*, n ^ 3r una ftmcidn vectorial derivable con continuidad en un segmento [«, b\, a < b. Comprobar si siempre puede liallarsc un £ 6 la, 6[ Lai que cl vector ((b) - f(a) seacolineal a f ' (0 -Estudiar el ejemplo

f(x) st (cos x, sen a;, a;), x 6 [0, jt].195. Comprobar si el teorema de Lagrange es aplicable a la funcidn / : x f\{x) -I- ifoix), donde

i — \f—T, derivable en el segmento la, 6].ExaminaT el ejemplo

f ; x t-* cos x + i sen x, x 6 r JM

196. Sea f una funcion derivable en un intervalo (a, 6[ tal que f(a;) - 0 en ju, 6[. podemosdecir sobre la funcidn f?

197. Sea A una funcion matricial derivable en un intervalo ]a, fc[ y lal que ji'(ar) = 0, x £ Jj{.iQue podemos decir sobre la funcidn A?

!98. Sea ip • x>-> x - , donde / es una funcion dos veces derivable en [a, b\, siendo f'(x) /. 0.Para un f? dado hallar un conjunto X C [n, ®] para el cual se veritique la desigualdad

j v W ~ vKjf)| ~ if G

sj:a) / : x~cosx, B = [0, | ] ; b) / : x x tsx - % 9 = 1, x e [0, §],

199. Sea <p : t ~ f ( x ) ~ / ( f ) - f ( t ) ( x - t ) /'"'{O^jf-1 ~ H x ~ t f , t P. [", x], p > 0, A = const;la funcion / tiene (n + l)~esima derivada en [a, x], Demostrar que Vp > 0 3 4' g x[ y A tal que

m - 1 - + ( f = f ) p M > ts

(formula de TaytOx con Wrmino compiementario en forma general).200. Sea A : x h > A(x) una funcidn matricial derivable con continuidad en un segmento fa, b\ y

— a l 0 ! ;^ ) ! 2 ' donde >'ij(x) son elementos de la matrix A(x). Demostrar que seY iJ=i

verifica la desigualdad|X(l>HA{«)| < maxjj4'(a!)j(b — a).

201. Demostrar que si las funciones vectoriales f v g son conlinuas en el segmento ja, y derivabies cn el intervalo Jn,6[, entonces 3 £ € ]a, £>[ tal que

(f{6) - i(a), g ' ( 0 ) - (g( i ) - g(«>, f (O) •

m ( a pill Ho 2. C "iilculo difiMvtiri.il prim funcioneH Ji* 1111*1 v.imbli1

202. Supongamos que Jos funciones / y <y junk) a>n sus derivadan <liinclusive son conl tunas on cl segmento [a y iicnen derivadas de (hintervalo Demostrar que 6 Ja, tal que c verifica

hasta u-tfsimo ordon() iVimo orden on oj

Jt i<B+1)(o = f m - E -

^ A-I '

d ) Indicacion. Analizar la funcidn ip : x tp{x)f siendo<p(x) ~ Rn(b)rn(x) - rn(b)Rn(x),

£„(*) = - 9(k) («), a-- n - ^ - a ) ,

t = l

- fib) - 2^ —rr1^ ~ a) • k=l kl

203* Supongamos que: 2) Vsc, ft 6 K se cumple la identidad

f{x + h) - fix) = hf(x + 0ft); 3) f i x ) Demostrar que: a) si 9 = 0(a?), entonces = entonces lim 0(A) = £.

204. Sea

|; b) si <+oo y 0 = 0(A),

ix -f 1)I - = ~ (x -f &ix)) -i+iu? x ^ 0, n > L

Hallar los valores limites de Six) para x +0 y x -> -foo.205. Supongamos que dos funciones / y g son derivabies en un segmento [a, b\, verificandose,

ademas, gix) ^ 0, gf(x) ^ 0. Demostrar que 3 £ G ]ft> £»[ tal que

t0(a)

206. Demostrar que la derivada de la funcion

/ : x / xi sen (5 lnar) , x ^ 0}

0, x = 0, es continua para x ^ 0, pero la funcion £ que satisface fix) — /'(£(#))&, 0 < < a?/

es discontinua.207.

208.

Demostrar que si f es continua y monotona en un segmento [0, ft], siendo /(0)f es continua en este segmento (v. ej. 206).Demostrar las desigualdades:a) k - 2/1 \x2 In x - y2 In y\ ^ 3e\x - t/| Va:, ^ 6 [1, e];

0, la funcion

b) arctg a; - y1 arctg y\ ^ \x - y\ Vie, y G [0,1].Demostrar las desigualdades:a)

1J

209.

210, Demostrar que las aproximaciones sucesivas definidas por la formula= " j X'q = 1,

convergen a la raiz de la ecuacion x = ee£, si 0 < ee < 1.211. Demostrar que las aproximaciones sucesivas definidas por la formula

— AXn 4-1} X 0 (if i f , 1 (1,0)T-

donde A 12

1i14

7 convergen en E2 a la solucion de la ecuacion X = AX + 1 si s1 <

fCwliiih'tiftt y tU'mH'tmiciito de una funcidft. DenigujildadeB I'M

§6. Crecimiento y decrecimiento de una funci6iuDcs igualdades

6.1. Crecimicnto y decrecimiento de una funcionDefinicion. Una funcion f se denomina crecientu (decrcdenle) en un segmento

&j, si f(x2) > f(xi) (respectivamente f(x2) < f{xi)) , Q [a, 6] y x , < x2.

6J2. Criterio de crecimiento (decrecimiento) de una funcionPara que una funcifin / cuya derivwda es finita o infinita en un intervalo X

sea creciente (decreciente) en dicho intervalo, es condici6n necesaria y suficienle que severifique: a) f'(x) ^ 0 (/'(a:) ^ 0); b) f'(x) no se anule en ningun segmento [a, que estecontenido en el intervalo /3j C J ) .

R determinar los intervalos dc crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

9 8 .

4 Solucion. Dado que /'(x) = x2 'x(2 - x In 2) para x 6 ](), ~ [, !a funci6n / es crccieiUeen el intervalo ]0, r^ [- Bn los intervalos ] -oo , 0[ y ] +00 [ la derivada de fa funcion/ es negativa, por consiguiente, f decrcce en cada uno de dichos intervalos. •

9 9 . f i x ^ x ( j \ | + sen(lna))^ si a: > 0 y /(0) = 0.

4 Solucion. Derivando f hallamos

/<») - J \ + sen (in x + J ) , x > 0,

de donde f'(x) > 0, si sen (in x + |) > — ~. Resolviendo la ultima desigualdad determi-nnmos los intervalos de crecimiento de la funcion /:

Jin los intervalos ^ |a func^-,n j> decrece, puesto que en estos intervalos/'(•») <0,k€Z. >

v it

1 + - ) es creciente en los intervalos ]—oo, - I]

y JO, +oo[.

4 Solucion. Mostremos que en dichos intervalos la derivada de la fund6n es positive. Parax >0

f ¥ ) = /(«) (Hz +1) - In® - .

Al a plica r la formula de incrementos finitos a la fuodon x In x en el segmento [a', x + J |,obtenemos

ln(;r + 1 ) - Inx — donde x < £ < a: + 1,

luego fix) = f(x) (l - > 0 para x > 0.

I v/ k npnuio JL. CiUi'iilo clifer-eiiriiil jwrt finu'loiieM de una ••I i 1 iahle

Sim -oo < x < 1. Tenemos

/'(») = f(x) (ln(< - I) I nt- -J --),

donde t xr 1 < t < +oo. Segun la formula de Lagrange

ln(* - 1) - In t 1

donde t - 1 < & < t, por lo tanto f{x) = f(-t) para 1 < t < +00, o bi}'{x) > 0 para -00 < x < —1,

1 0 1 . Comprobar si la derivada de una funcion monotona tambien es monotona.

M Solucion. No, en el caso general el enunciado no se verifica. La funcion / : x t-> 2x+senes una funcion monotonamente creciente en toda Ia recta numerica debido a que su derivad/': x j-* 2 + cos x es positiva Va: E No obstante, la propia derivada no es monotona e el intervalo ]—oo, +oo[,

102. Demostrar que si <p es una funcion derivable monotonamente creciente y se verifierque |/'(#)[ ^ ^'(a;) para x > entonces se tiene

|/(a?) - /(a?0)| < ~ <P(®q) si x ^ x0,

Interpretar este hecho desde el punto de vista geometrico.

A Solucion. Dado que las funciones / y <p satisfacen todas las condiciones del teorema daCauchy del valor medio, se verifica la igualdad

m - /(« o) I 1

f'(c) j tp(x) - <p(x o) 1 <p'(c)

^ 1, Xq < c < x,

de donde \ f(x) - f(x0)\ < }<p(x) - <p(x0)j = *p{x) - <p(x0).Desde el punto de vista geometrico esta desigualdad implica que el incremento

de una funcion derivable mon6tonamente creciente nunca es inferior al incremento decualquier otra funcion derivable cuya derivada tenga valor absoluto inferior o igual. •

•ih H !•••

1 0 3 . Sea / una funcion continua en un intervalo a ^ a? < +00 y, ademas, f (x) > k > Q para x > a, donde k es una constante. Demostrar que si f{a) < 0, la ecuacion f(x) = 0 tiene una y solo una raiz real en el intervalo 1 a, a mk

Solucion. Aplicando el teorema de Lagrange a la funcion / en el segmentotenemos

+ 1 M ) - /<«) = w -k k f'U + O imik J 0 < 6 < 1

De Ia condicion f'(x) > k > 0 obtenemos

de donde+ > 0.

tjth ( iininiJi-pild y tlt't'ivt'imii'iilfi dc un.i funiiiin. Di<Hi};tialdadcH 1*1!

jJii los exlremos del Hi'gint'Hln |«, n \ IJ&'-lj In funci^ji / Ionia valoivs do siguos opuoslos,por lo tanto, scgi'm cl lixm-otii do Cauchy dc los valores intcmnjdioS existe un puntuf C: j a , a -f | In I que /(£) — 0. Demostremos que dicho punto us tfnico on esleinlcrvalo. Para eso suponemos que en dicho intervalo existe un punto tal que /(6 i Jn'guu el teorema de Rolle, en el intervalo (si £1 > £) o en el intervalo

< 0 debe exist ir un punlo £2 tal que /'{£)) =0, lo que contra dice la condicionf'(x) > k > 0 para x > a.

104. Demostrar que si: 1} dos funciones arbitrarias p y ip son n veces derivabies;2) ptft>(®o) ~ ^(xa), k = 0, n - 1; 3} <pM(z) > ip{n\x) para x > x0l entonces se verifica ladesigualdad <p(x) > ip{x) para x > xq.

1 Solucion. Apliquemos, en primer lugar, el teorema de Lagrange del valor medio a lafuncion = - en el segmento [XQ. X], Tenemos

- U{n~%0) - u[ n )(0(* - Xo),

de donde, en virtud de las condiciones 2)-3), hallamos > fl, x > xa. Anilogamentese dcmuestra que tt'" > 0,..,, fi(a;) > t), es decir, <p(x) > ip(x) para x > xq. >•

105. Demostrar las desigualdades siguientes:x2a) e1 > 1 + x si x / 0 ; b) x - — < ln(l + a;) < x si x > 0;

X X TTc) 2 - — < sen x < x si x > 0; d) tg x > x +• — si 0 < x <

6 1 1 3 2e) (xa + yay; > (x" + if)i> si 0 0 , ! />0y0<«<)3.

I Solucion. a) Designando (p{x) = ex, i>(x) — 1 f a; y teniendo en cuenta que j?(fl) - f<p'{x) > >p'{x) para x > 0, en virtud del ejemplo anterior vemos que tp(x) > 4'(z) parax > 0.

Suponiendo x — — t para x £ 0, obtenemos

m = * m=tt~h t>o.

Dado que <p(0) =5 (0), <p'(t) > ip\t) para t > 0, resulta 1p(t) > i>{t.) para t > 0, es decir,eK > 1 + x para x < 0.

b) Designemosx2

" x " y ' ^(x) = ln(l + x% 7j(x) = x, x^Q.

Es evidente que y?(0) = ip(Q) = i)(Q), <p'(x) < ip'{x) < 7]'(x) para x > 0, por lo cual, onvirtud del ejemplo anterior tenemos

tp(x) < •!p[x) < 7/(2) si X > 0.

c) Denotemosx3

<p(x) — x - -p(x) = sen x, i](x) — x. b

m t'upitiilo 2. CjltuJo diferenditl p.iu ftincioiu's de i i i m variable

leiienios j(O) 'tp{0) //(()), <p'(x) < i>f{x)•< i/(x) para x > 0 y x / 2k%r IX1 acuurtldcon e! ejemplo anterior se verifican las desigualdades

j

fp(x) < if?(x) < 7}(x)y x>Qt x^ 2far) k 6 N.

Para x = 2Jt7r tenemos las desigualdades

2tar f l2_24fc%6

j < 0 < 2&7T,

es decir, ip(lk-K) < (2fc7r) < ?j(2fc7r), fee N. De este modo, cuando ® > 0, se cumplen la|desigualdades

(p{x) <?{>($) < rj(x)

d) Designemos

(p(x) = tgar, = ^ + a;3 0 x < 7T

2 * i

Evidentemente, ^(0) = ^(0), ip\x) > i?*{x) para 0 < x < | (pues '(as) = 1 + tg2®,= 1 + x , tg x > x para 0 < x < - ) , Teniendo en cuenta el ejemplo anterior;

podemos afirmar que (p(x) > x) para 0 < x < e) Para todo x > 0 e y > 0 fijados de antemano, y para todo a, fl tales qu

0 < a < p, ia desigualdad (xa + ya)rt > (ar + yr)es equivalente a la desigualdad

xy

't+ 1 > X\P

1&

y-hi

Para demostrar la ultima, designemos ~ = t y examinemos la funcion

1

<p : z (f + l) % Q<z < +00

Su derivada

ip ! Z I—* ^>(2) iz Inf

z( 1 + tz)ln(l + i2)

in i - l n111 ~—+1*) (i +

es negativa para 0 < z < +00, luego la funcion <p decrece; por consiguiente, tp(a) > <p(fl) para 0 < a < /3 < +00, es decir, se cumple la desigualdad

+ y") > {x» + 7/) a

para x > 0, y > 0, 0 < a < /?, c. q. d. • 1 1 1 1

1 0 6 . Demostrar que para x > 0 se verifica la desigualdad

x

tj(>. t'li'iimloillii y ihriniinicnUi de HIM linn inn I lesij^u.ildades MJ.'i

Solucion. Si In di^igHaldad cs vdiida, tomando Ingarllinos en ambas paries tie t\slailcsigualdad se obiiene fitcilinenlc la desigualdad

— p - < In ( l + - ) < i ,x + 1 V xJ x

que hay que demostrar. Designando j = t, t > 0, Jlegamos a la desigualdad

I a segunda parte de esta desigualdad se demostrd en la solution del ej. 105. Demostremosahora la primera parte. Designemos <p{t) = tp{t) — In(l + t) y examinemos lasfunciones <p y V par® t ^ 0. l-videntemente, <p{Q) = ip{Q), <p'{t) = < - ^ parat > 0. Por consiguiente, a partir de la desigualdad demostrada en el ejemplo 104 llegamosa la conclusion de que <p(t) < i'(t) para t > 0, es decir, ^ < In ( l + - j para x > 0.

107. Demostrar las desigualdades:a) a;" - 1 > a(x - 1) para a ^ 2, x > 1;b) v ^ — \/a < Vx - a para w > 1, % > a > 0; c) 1 + 11n x ^ x2 para x > [J.

Solucion. a) AI designer <p{w) = xa — 1, i>(x) = a(x — 1), se tiene: <p{l) — ip([) = % <p'{x) > i>'(x) para a > 2, x > 1. En virfud de la desigualdad demostrada en el ej. 11)4,

<p(x) > ip(x) si a ^ 2, x > 1.

b) Por analogia con la demoslradon a), para n > 3, a! > a > 0, tenemos

<p(x) •— Vx - Va, fp(x) - Vx - a, <p(ct) - i>(a) = 0,ip'(x) < ip'ix), por eso <p(x) < ip(x).

c) Designemos tp{x) = l + 2 l n a j , — x2. Vemos que para x = 1 los valores delas funciones <p y tp coinciden, y para x > 1 se cumple la desigualdad ip'(x) < ip'(x), i-iifences en virtud del ej. 101 se verifica la desigualdad <p(x) < ip(x) para X > 1.. SeaII < x < 1. Entonces, denotando t. — ^ < t < t oo, tenemos

vK*) = i - zin t = <pi{t), = Mq, = i>[®,

de donde ^j(f) < tp^t) para 1 < t < +oo, es decir, ip(x) < tp(x) para 0 < x < 1.Tomando en consideration la evidente igualdad = iy>(l), llegamos a la conclusion deque (p{x) < 4'ix) > 0, c.q.d. •

lijerciciosHollar los intervalos dc crecimiento dc las funciones siguientes:

212, / ! arccos 213. f : x ^ We.'1', a > 0. 214. f : x ^ x (l + i ')*.215. / :x h-t arth -y^Vv 216. / : X Y, x = t hxt, y =

217. f:X-*Y,x** P+l, y = exp(\^ir( - sen t2 + cos t2), f <g|.f • Y V ^ " - CPn/l it = nf1 - r m H O <T / C 7ir

19b ( 'apilulo t'alculo di feiviii'i.iE para I unci ones de tin.i variaMe

219, J : X Y, a; -- a soiVf lf y h tW lf 0 < / ^ 2k. 220. f : if ^ Jp , . 221. / : i™> <pe ^. 222. f : son y?.223. / : X # ^ cos 92, y = sen p = <p ^ 0.224. / : X Yt x = p co$(4p - p3), y p sen(4^ - p3).225. / : X Y, x3 + y3 — 3ar?/ = 0 (y > 0, / es una funcion derivable).226. f x2y2 - z3 + y3 = 0. 227. / & + p = ac^.228. + cos (a? + 2y) = 0.

Estudiar la monotonia de las funciones siguientes:229. / : x {2 + x) ln(l + x) - 2a?. 230. / : as w ar 1.xT [x]l

231. / : X Y, x = senf - J 4- y - 4*5 - 5i4 + 1.232. = > 0 (p)<p son las coordenadas polares).233. Comprobar si las funciones siguientes son crecientes en el segmento [1, 2|: a) / : x y-* [ar];

b) / ; x — 1)[®]; c) / ; x ar si x £ Q,234. Demostrar que la suma y el producto de dos funciones positivas, una de las cuales crec#

monotonamente y otra no decrece, es una funcion monotona creciente.Demostrar las desigualdades siguientes:

235. ^ _ ^ ± ! > 0 p a r a a ! > 0 .

237- * - !r + fr <f^i>i<SGn * < * - § - + §- 1- * > 0,»»e n.238 1 - — 4- • - — < coq 1 — — + 4- n f N -i o. 1 2! 4! (4ft—2)! ^ X ^ 1 21 ^ ^ (4w)!' " ^ ^ 239. + + ^ + neN.240. sen x ^ ^(ir - a?), 0 ^ x $ sr. 241. cos a: 1 - \x\ ^ f .242. a) tgar ^ para 0 ^ x ^ b) lgx ^ para f ^ ar <

243. ^Er < « + ^^(f f - ® > 1, a > 2. 244. senx + tg® > 2x, 0 < x < f .1 n

245. ar« < 1 + para 1 < » < e. 246. ^ ^ ^ > 0, \x\ < tt.6 = 1

247. Sean a — (a1} a2j * • - ? an)/ b = b2) * *., bn) y c vectores de En. Demostrar que

A F E det | F B G | 0}

E G C

donde A = B = b\ C - E = (a, c), F = (a, b), G = (b, c).248. Sea / una funcion derivable en [a, b], /(a) = 0 y 3 A 6 R tal que ^ A|/(«)| en [a, ft],

Demostrar que f{x) = 0 Va? G [tt, &].249. Sean x,y 6 Se dice que x > y (x < y), si > yk (xk < yk) Vfe - 1, n (dicha

relacion entre ciertos vectores se conoce por el nombre de ordenacion parcial). Basandose endicha relation, llamaremos a la funcion vectorial h • • • i ^ ^ monotonamente creciente (decreciente) en el intervalo T C [a^b], si Vii,^ € I7 se verifica(h > t2) => (x(t0 > x(f2)) {x(^) < x(fe)).Demostrar que la funcion vectorial x : 11-* (sen t, cos te } es creciente en 10, ~ [.Hallar los intervalos de crecimiento (decrecimiento) de la funcion vectorial f si:

250. f : t ^ (21 cos£| + | cos2t| +4f, + ^ sen4i -f l) . 251. f : / t—s- fJL <

t uuveUd.id v eoiii.tvidtld dc lit gi.ifie.i dt I tumii'm I1)1/

255. Una funcidn matricial A : l (fi^(O) {i,j = ti) sc denomina mono to nan em'ieule(decreciente) en un intervalo |a, si Vi(l ii 6 jn. i)[ si (ii > h) m. {MII) > d(i,)}(correspondientemente, } < Dodas dos matrices A y Ji, se dice que A > D (/i < B), si a,, > b,} < h,j), i , jDeterminar los intervalos de monotonia de las funciones matriciales siguientes:W , ( ? i. i i f v'i]»( \

\. fl f * f t [t] +t )' ( sen! + I sen f| cos f + | cos t] ^

t + arcseiit2 tsent J'

§ 7. Convexidad y concavidad dc la graficade una funcion. Puntos de inflexion

7.1. Convexidad y concavidad de la grafica de una funcidn

Definicion. Se dice que la grafica de una funcion / ; ]a, —1 IR es o'mcav.i(convex a), si dentro de los jf mites del intervalo mencionado la grafica esta si to a da j^icwari iba (hacia abajo) de cualquiera de sus tangcntes.

Teorema. Seu una funcion cuya derivada segunda es finita cn cada punto dd intervalo Af- Para que la grafica dc esta funcion sea concava (convexa), cs suficiente que se verifiqite

lu desigualdad f"(x) >• � (f"(x) � �� para a<x � ���

7.2. Puntos de inflexion

Definicion. Sea un punto Jft) dc la gnificn dc la funcidn / donde existe latangente. Si en el eje de las abscisas existe un entorno del punto a*u till que al pasar poieste la grafica dc la funcidn f varia de concava a convexa, o viceversa, dicho punto sedenomina punto de inflexion de la grafica.

Teorema. Un punto f(x{{)) pura el ami f"(x0) - Oobien f"(x$) no existe, cs [tn punto de inflexion, si la funcion f"(x) cambia de signo at pasar por dicho punto.

Hallar los intervalos de convexidad y concavidad y los puntos dc inflexion de lasgrificas de las funciones siguientes:

108. f :x ^ 3x2 - X3, x € R.

Solucion. La derivada segunda f"(x) 6(1 - X) es positiva para x < 1 y negativa par.!x > 1. Por consiguiente, de acuerdo con el teorema del punto 7.1, en el intervalo | on, Ifla grafica de la funcidn / es concava y en el intervalo ]1, +oo[ es convexa. Scgtin ladefinition 7.2, el punto MQ(\,2) es un punto de inflexion de la grafica.

1 0 9 . f : x ^ x x (x > 0).

Solucion. Dado que la derivada segunda f"(x) = x* ((In x + + -7) > (J para x > II,entonces segun el teorema del 7.1, la grafica de la funcion en cuestidn es concava. •

I M ' i apiuuo i. I A leu To di ft* rencia I para fuiicioiuns do una variable

110. Deterinmar el valor del para metro h para el ami la "curva de pmlnibilidad"h --/iV i ^ ny^ — e , h > 0}V7T

(fl —jpff* \ ^ ^ 7 / T /'

< Solution. A partir del signo de la derivada segunda f"(x) = (lk2x2 ~ l) llegamosa la conclusion de que en el punto x ~ la curva tiene inflexiones (dado que al pasarestos puntos la derivada segunda cambia de signo). Por tanto, el valor requerido de h sudetermina de la igualdad = a) {h ~ -J^), <t > 0. •

i n . Sea / una funcion dos veces derivable en un intervalo a $ x < +oo, y ademds1) /(«) = A > 0; 2) / '(a) < 0; 3) /"(#) 0 P a r a ® > Demostrar que la ecuacion f(x) = 0 tiene una y solo una raiz real en el intervalo ]a; +oo[.

-4 Solucion, De acuerdo con la formula de increments finitos de Lagrange para x > a tenemos

f(x) - A + (x - a)/'(ft (a:)), a < 6 < x, (1)

f{x) - f(a) + (* a)f (&<a)), a < & < a, (2)

De la condicion / " { £ < 0 se deduce que /'(a?) < 0 para a? > a, por tanto la funcion / decrece en el intervalo ]ar H-oo[. De las formulas (1) y (2) hallamos

f(x) - A + (x - a)f{a) + (a - a)(£, - a)/"(6(6))* (3)

En virtud de las condiciones f ( a ) < 0, /"(&(fi)) ^ 0/ de ^ formula (3) se deduce quepara un > a lo suficientemente grande el valor de la funcion es negativo. Dado que lafuncion / es continua en el segmento [a, x0], segun el teorema de Cauchy de los valoresintermedios existe un x{ £ ]a,aro[ tal que / (x - ) ~ 0. Por ser decreciente en el intervalo]«, +oo{ la funcion / no puede anularse en ningun otro punto distinto de x\. •

1 1 2 . Una funcion / se denomina concava (convexa) en un intervalo si paracualquier par de puntos Xi y x2 de este intervalo y para dos numeros arbitrarios Ax y A2, Ai > 07 A2 > 0, Ai -3- A2 — 1, tiene lugar la desigualdad

/(Aitfi + X2x2) < Aif(xx) + A2f(x2)

(respectivamente, la desigualdad inversa

f{M®i + > Aj/^i) + X2f{x2)).

Demostrar que una funcion / es concava en 6[, si f [x) > 0 para a < x < b, y f esconvexa en ]a, b[f si f\x) < 0 para a < x < h.

4 Solucion. Sean Ai > 0 , A2 > 0 numeros arbitrarios que satisfacen Ia condicion Aj-fA2 = 1.Supongamos que ff(x) > 0, x E ]a, 6[. Corisideraremos dos puntos arbitrarios X\ y x2( Xi < x2) dei intervalo b[. Es obvio que el punto Ai#i -f X2x2 se encuentra entre X\y xi. Segun el teorema de Lagrange tenemos

/(Al*! + X2X2) - f(Xy) ^ \2(X2 - X{)f(b), (1)J

f $7, < unvexidnd v concavidad dc la gr.ifua dc uiiii Iuncidn I'W

donde x j < < Ap'i i y

f(xj| - /(A,x, -f- X2x2) = • * i ) / ( f e ) , (2)

donde A xn + < £2 < x2- Multiplicandt) el primer y segundo miembro de Insigualdades (2) y (1) por Ai y Ai, respectivamente, y restando de la primera igualdadoblenida la segunda hallamos

A 2 f (x2) + XJixt) - /(Atai + X2x2) + MX2(xz - »i)/"(6), P)

donde < ft < virtud de las condiciones A] > 0, X2 > 0 y > 0, tenemos

Aj/(«2)+ A,/(aj) > /(Xi^+AiiBj),

i-s decir, f es cdncava en ]o, b[. Si, en cambio, fix) < 0 eii ]a, b[, segun lo antcriormentt: demos trado la funcion

ifi: x — fix) es concava en ]«, b[, por lo tanto se tiene

\\<p(xi) + X2<p(x2) > ^(A|X, +X2x2),

de donde A[/(x;) 1- X2f(x2) < f(X + X2x2). La desigualdad obtenida muestra que / esconvexa en ]«, >

1 1 3 . Demoslrar que las funciones <fii : x x'1 (n > 1), <p2 : x ex, : x t—' x In *»x > 0, son concavas en cl intervalo ]fl, 4oo[, y que las funciones ip-i : x x" (0 < n < I),i'i : x In x son convexas en el intervalo 10, +oc[.

4 Solution. Derivando dos veces las funciones dadas hallamos

V\(x) = «(»—l)»n"2i <p"(x) = e.', $(x) = i tf(x) = n(n~\)xn~2, .

I'ara x € JO, -I Oc[ tenemos <p"(x) > 0 (j = 173) y ^ ' (x) < 0 {fc - 1, 2). Utilizando clresultado del ejemplo anterior podemos afirmar que las funciones (pj son concavas y las•ipk son convexas en el intervalo ]0, +oo[.

1 1 4 .Demostrar que una funcion concava (o convexa) acotada es siempre continua y tiene

derivadas unilaterales por la izquierda y por la derecha.M Solucion. Para concrclar, supongamos que la funcion / es concava en un intervalo |«, /if,

['or ser / acotada en b[, He > 0 tal que l/(x)l < c. Sea xo E ]«.('[- Ivlijamos clincremento del argumento h, > 0 en el punto Xg de modo cjue los juntos Xo h. y

+ tambien pertenezcan al intervalo ]a, b[. Por ser f concava, se verifica la desigualdadf(x0 + h) + f{x0 - h) > 2/(xn), que escribiremos en la forma

f(x) - f(x0 ~h)< f(x0 + h) - f(xQy (I)

De la desigualdad (1) obtendrcmos la cadena de desigualdades

/(so - kit) - f(xa - (It +• l)h) < f(xQ + ft) - f(xn) < < fix0 + (k h 1)A) - /(jT|> I kh), k tl. v I, (-.')

si los puntos :£() — (k 4- \)h, a\i + {fc + l)ft (A: — 1, n I) peHenen,u .tl inlei vuln |n.Sumando rcspecto a fc las desigualdades (2) desde II lutsta 11 I. llognmoM <1 lit tlciii^iMlttitd

n n Hfirif1#i hwipnHn n 1p n n l ni ttLnlit tli4 Li liiiu It'm itlditiuumu»

/'(I0 ('aplliiln >V (Vikulu diferencial para I un Clones de una variable

l /*)' / M < (4)J ft

Cualquiera que sea £ > 0, Vn > [ t e n e m o s

|/(®o + ft)-/(as0)| (S)

si h satisface la condicion

i , , b — Xn Xn 0 < h < min<! - -n n Asi pues, la continuidad de la funcion / en cualquier punto del intervalo ]a} &[ estddemos trad a. Demostremos la existencia de las derivadas unilaterales de Ia funcion. Seah > hi > 0. Entonces se verifican las desigualdades

v /(Xq + fti) - f(x0) f(x0 + h)- f(xo) fjxo-h^ - /(x0) f(x0 - ft) - fjx0)hi < h ' -ft! ^ ~h

En efecto, al escribir hx — 0hf 0 < 0 < 1, vemos que la desigualdad a) es equivalente a ladesigualdad

0f(xQ + h) + (1 - 0)f(xQ) > f(x0 - ft^ y Ia desigualdad b) es equivalente a la desigualdad

i

0}{x0 - A) + (1 - 0)f(x0) > f(xo - hi),

cada una de las cuales se cumple en virtud de que Ia funcion / es concava,De este modo, la funcion <p : h ^ Lw&jrfiM decrece para ft > +0 y esta

inferiormente acotada por el numero ^jr, mientras que la funcion : ft —+ /^"^-/foo)crece para h —> +0 y esta superiormente acotada por el numero r-. Por eso, existen loslimites

lim <p(h) = /j(x0)? lim ^(ft) = /l(a?0)* •

1 1 5 . Demostrar que si una funcion / es dos veces derivable en un intervalo infinito+oo[ y lim fix) — 0, lim f(x) ~ 0, entonces en el intervalo ]xo, +oo[ existe por

x—>+oolo menos un punto £ tal que f (Q — 0-

Solucion. Debido a que se cumplen las condiciones del problema 81, en el intervalo]#(}, +oo[ 3ft tal que /'(ft) — 0. Dado que f(x) — para x —> +00, a partir de lasolucion del ej. 93 vemos que lim |/'(x)| = 0.

X —»+oo De este modo, conforme al ej. 81 en el intervalo jft, +oo[ 3 £ tal que /"(£) = •

EjerciciosHallar los intervalos de convexidad y concavidad de las funciones siguientes:

254, fix «->(! + x2) + x. 255. fix arccos + 3a? - 8. 256. / : x 77^= - 5x,v

e*257. / x ~ ™ 1 + 3x. 258. / : X Yt x = {t + I f , y = (t- 1)\ 259. f:X^Y,x = sht-t,y = dkit-l. 260. f \ X —> Y, x ~ t]nt, y ^ -6et - 3 f2.261. / : X ^ Y, x = (1 + , !/ = (1 + -

rt'iiiivculil.ttt y iiiiu'iivkl.ul I.i ^liUiiit tii' ti 11.1 Itmt'ioil 201

263. / : ip i > /> t[i y , j i • (I (/>, <p soft ooordciwdns polares).204, Detoniunnf si es tjiSivcxii o concava la fjrdlica du In funcion / : X -> Y definida irtijilfdUniicjili'

mediante In mwcitfn :r;' tj' — ?>x2y — 3y I 1 — 0 un torno nl punto M( [,()).265. Determiner si Lis grnficos de las funciones siguientes tienen inflexion en <•) punto x I):

„w / ^ sen i) f ac5cosi, x f- ��a] f arw < 1 hi / ; 2 f-+ < 1\ 0, x = 0; ' \ 0, x — 0.

266. Se.i / una funcion concava en un intervalo ]«, b[. DemostTar que

donde a < Xi < < . . . < = b, n ^ 2.UtiH^ando la desigualdad del ejemplo anterior demostrar las desigualdades:

2tt3. . ^ +&!i + " • + > 0, i ~ 1,n.

269. a) l" +2" + ••• +na > n (S j 1 ) " ,

b) 1 -f I + - - • | ( l + £ + • • • + '' , a ^ 1, n 6 N.

270. > ( S ^ ) * x>Q, y > 0 , z > 0 , x ^ y ,Demostrar las desigualdades:n ^ L

271. £ tfjT > 5 Para n>nu> 1. k—1

<|> Indication. Utilizar el hecho de que la grafica de la funcion f : x + -4=, £ > 0, es ^Sncavn,

272. £ ^ 0 para 0 sS a ^ jr.i-i

«('!)> Indication. AnaHzar la funcion / : i h £ — p a r a 0 < x < it.

*=i273. .Demostrar que la suma de un numero finito de funciones concavas es una funci6n concnv;>.274. Demostrar que ia funcion / : x lim fA'-r), x t siendo /;,/?,--•,/„>..• funciones

concavas en ]a, b{, es c6ncava.275. Demostrar que si: i ) p, 0 y Pi + p H — • + p~ > 0; 2) la funcion / es continua y concava,

entonces se verifies la desigualdad de fensor.

V Jh+Pz+...+Pn J N pi+pi-l—+pn

276. Demostrar que si una fundtfn f : |-oo, -h°o[ —> IR es continua y concava, entonces 3<p : x > > ax -f b («, 6 6 E) tal que Va; £ ]—oc, 4-oo[ se vcrifica la desigualdad

f(x) > ax 4- /).

277. Un niimero A £ Hi se llama mnrn'm derivada segunda de Schwartz, de una funcion / en unpunto x, si 3 (£„) tal que liin £n — 0, en > 0, y

X - lim 4- (f(x + e . ) - 2f(x) + fix - f „ } ) .n—x "

Demostrar que si todos los numeros derivados segundos de Schwartz de una funci6n continue / son no neealivos. esta funcion es concava.

i '.ijtilirlo ( ,il( iiln ifiliMriii iaJ piir.i luiu ioncs tie una variable

27H. Sim / una liincirin concava Lai que a t; j'(x) v, b Vx (. y sea h him iLmdrin cruciontf-c.oncnva defimda en (a, Demostrar qtie la Iniu'itm ami pues La <j : x h{j(x)) tambienconcava.

279. Sean /i, /2> • * *, /« funciones concavas en ja, &[. Demostrar que la funcion f :x maxI i n

280tambien es concava en 6[.Si: I) una funcion / : J-oo, -fool -> R es concava; 2) f(x) > 0 Vx ^ 0; 3) 3p > 1 tal qui

p

281

f(0x) — Bvf(x)t x G J—oo, -foo[ y ^ 0, entonces la funcion h : x ( / ( # ) ) p es concava onl—oo, -foof.

kSea ^ 0, fl, > 0 (i — fc), ^ 0-t ~ \, Demostrar que

<=1 t *

i-1 4

De esta desigualdad deducir, en particular, que

a V < 0a + (1 - 0)b Va, b > 0 1). 282, Tom and o en el ejemplo anterior

xa =

iV+

7n

j=i

&y I - 0

n

obtener la desigualdad de Holder para las sumas

Tl

5J xjyji=i

n 1 n � � �

E f /

283,donde ^ 0, 0.Se denomina dominio numerica de una matriz constants A a un conjunto de todos los numeros del tipo

(a.ij), siendo a^ £ C, i, j — 1, n,

ft n.

z — jXiXj, x 7=

t-i

donde arj --a.} + ifij, € M (i' X).Demostrar que para tod a matriz A la frontera del dominio numerico G en el piano complejoz es una curva cerrada convexa, es decir, cualquier segmento que une dos puntos arbitrariosde la curva pertenece a G.

284T - m m w i

Una matriz A — (fly), = 1, nf se denomina hermftica si A — A (es dear, a^ — Demostrar que una matriz A es hermftica si y solo si su dominio numerico es un segmentodel eje real.

285. Sean 1 ^ p ^ 2 y a.,-,&.,•> 0 (i — I, n). Demostrar que se verifican it n

5 > + biV E « J E>ri l71 + • i = \

K -1

286.

!=1 i—1 Un conjtmto M C de vectores f se denomina convexo en En, si Vfi, f2 G M A V^ £ {0,1]3 f € M : <?fi + (1 - 9)f2 - £, Ademas, el conjunto de los vectores {0 ,^ -f (I - 6>)f2/ G < ^ ^ 1}se llama segmento que une los vectores ft y f2.Demostrar que el conjunto de los vectores siguientes:

JJH O l e u l o d o limites sndelcrmin.idoH

M { r J f -- (*, y), f G !<?, x Z I) A y ? I). |f| I }

ra convexo en I'i' -'2.K7. Demostrar que el conjunto M — { f j f (senx, cos x), f f E2,0 ^ x ^ no es ntnvexo

en E*. 288. Demostrar que e! conjunto

af =? { f | i = , . f e Ifl < J }

(esfera unidad en E") es convexo en En,7.H9. Da da una ftincion J : U C ^ w l l , siendo U un subconjunto convexo, se dice que la

funcion f es convexa en XI, si Vx, y £ U A Vt! € 1] se verifica la desigualdad

f(0x + (1 - e) yK em -y (1 - 6)f (y) % Demostrar que la funcifin / : x |X[, X C E", es convexa en E",

290. Demostrar que si / es convexa en V C E", entonces Vx,- 6 U, donde = (ji,,, x7„X,- E E" Vt — I , j i , se verifica la desigualdad

\=l ' i=i

donde <r( ^ 0, i — l , n , y

7*)1. Demostrar que si / es una funcion convexa en U y f € K, e! subconjunto S C U de todos Josvectores x para los cuales f(x) ^ r es convexo.

292, Demostrar que Si las componentes /,{*) de una funcion vectorial I son funciones convexasf i , i =s 1 , « , en cierto segmento [a, t>], la funcion F \ x >-> (f(x), A), donde A es no vectorconstante arbitrario de E", A — (A], A2,. •., A„), Ai 0, tambien es convexa en [a, ft],

293. Demostrar que si Ens elementos de una funcion matricial A : x t-+ (a,-j(a;)), x e [a, 6], sonfunciones convexas en [«,/>) ay : x •-> entonces para cualquier matriz constante B deelementos no negatives la fundon F : x m B), X £ [a, 6], tambien es convexa. Noteseque el producto escalar (A, 8) de las matrices A y ! ) puede calcularse mediante la formula(A, B) — y 2 donde 6,7 son elementos de la m.itriz 7? (comprobar que se verifican los

'.jaxiomas del producto escalar en E").

"I'M. Sean a; : x t-> y l>i '• x i-» f>i (2) funciones 110 negativas, convexas y crecientcs en [«;t>jVf - 1, n, Demostrar que la funcion F: x i-> (a, b), que es el producto escalar de los vectoresa = ( u t { K ) , . . . ,a„(x) ) y b = . . , es convexa en [a,6],

§8. Calculo de limites indeterminados8.1. Resolution de indetenuinaciones del fipo Primera regia de UHopitalConsideraremos dos funciones / y g definidas en un entorno del punto a (x «),

siendo a un numero finito 0 el simbolo 00> tales que para x —* a ambas funciones tiendena ccro. Si las derivadas /' y g' existen en todo el entorno mencionado a excepddn, quizas,del propio punto x = a; estas no se anulan sirnultaneamente para x / a; si existe cl limitefinito o infinito lim entonces sc verifica que

x -a

*->a g(x) g'(x)

FFtfc1111 (wtmnnln Hp! mo Tral nchi rlcfintfi/in rnrw;rMmdp a Ta Hnfininrtti rli rnnravitlafl

7(M ( apt In In C'aktjlo cl if i1 iv 11 rial para Jtincioncs de una variable

8.2, Resolution de indctcmiinacioiHw del lipoSegunda regla dc L'Hopital

ootx>

Si para x —> a las funciones / y g tienden a infinito, y para todos los ft pertenecientes a cierto entorno del punto a (x ^ a) existen las derivadas / ' y ()f,

2 2 verificandose, ademas, (/ '(#)) + (</(&')) 0, y existe el limite finito o infinito

lim*->« g'(x) *

entoncesl i m m = I i m m i .

x^a g(X) gf(x)VTWTTTWrm • I I I I • I I I 1M MB I I • • Mil • I • Ml M • II • •MIBIBBII I • MM I

m Hallar los limites:

1 1 6 . i i m «*h l ( in» + D - « .a^i I — X

<4 Solucion. Las funciones / : x >-> xx+r(]rix + 1) - # y g : x 1 — x, x > 0, x ^ 1, satisfacen las condiciones siguientes:

1) lim f(x) = lim g(x) — 0;x—»12) sus derivadas f :x ^ xx^x (In x +1) (l + ~ + In a;) + xx - 1 , gf: x - 1 existen

para x > 0;3) existe el limite lim = - 2 ;/ - tfix) 4) (/'(*))2 + {g'(x))2 * 0 para x > 0.Por consiguiente, podemos aplicar la primera regla de L'Hopital, segun la cual

tenemos ^(in. + l )-*=]imm I x^i 1 - x g'(x)

I • 11 I • I I • I I I II • 11

117. Hm x ' ~ xJ. • • • • • •

l In X — X + 1

< Solucion. Las funciones f : x ^ x^ — x y g : x lna; — x + 1, or>0, a r ^ l , satisfacenlas condiciones siguientes:

1) lim f(x) — lim = 0;3f-*l ft—>1'

2) las derivadas / ' : x i—a^(In x + 1) — 1 y g' : x • ^ — 1 existen en un entornolo suficientemente pequeno del punto x — 1;

2 2

3) (f'(x)) + {#'(#)) ^ 0, a? l f en el entorno mencionado;4) en el ejemplo anterior se demostro que existe el limite finito

lim f ( x ) - lim _ • I r • ^ I V ^ ^ V W ^ ^ ^ ^ ^ ^ M M M V ^ • • M • 1 •• ™ • I ••••••••III •• . • | M i l M I • •• I • • i • i i i — - • J^J . 1 1 1 L I t i l l *

x^i gf(x) 1 - x

Por lo tanto se puede aplicar la primera regla de L'Hopital. Tenemosx • f(x) „ x*+l Qn x + 1) - x Iim — Iim — — - — —2. • g(X) a:—5-2 1 — X

(j tt < aliido ilt< limites I mil1 11*nil in.ttIt»1 IS

118. w lim ' f , * .ti y; V Hi •>' lf

•4 Solucion. Al transformar la funcion tl : x >-> ~ — j-'--^, x £ 011 la forma

a •. x M> iLJEja2igz*!i£S5* vemos que las funciones / : x ch a' sen x — sh a: cos a;,j sh i sen X ' 1 J ' (j

existe el limitef'(%) 2 sh x sen a;

licit —tt—r ~ lim.o g'(x) ®-iU sh x sen x f ®(ch x sen x 4- sh x cos x)

— lim 1 * c h + c o s x " ; l '

entonces conforme a dicha regla w = s. •

j) Nota. P.ifa hallar lim podrfaittos apiicar dos veces la regla de L'Hftpital; no Obstante, en este

ejemplo, al igual que en olros ejemplos semejantes, resulta mas cornodo {desde el punto de vis la dcla realization de los calculus) utilizar los limites notables.

119. w= lim (e-7x-m\x*'~l).x—HI) \ /

•4 Solucion. Dado que

w = lim ( e - V x - ^ x * ' - 1 ) = ( m lim x*"~]),x—K) V / V*-.+0 ,T - .+0 /

hallamos los limites de cada una de las componentes por separado. Tenemos50

lim = lim = 501 lim e"* =0 i->0 3->+ao e' y-i+co

(hemos aplicado la segunda regla de L'Hdpilal 50 veces).Para calcular el limite de la segunda component® representemosla en la forma

•it" = e" l n " , u > 0, y efectuemos ciertas transformacioncs para que sea posible apiicar laregla de L'Hopital

lim x"'"1 = lim =

a;-.+0 i-t+l)(aquf hemos utilizado la continuidad dc la funcion x t-* ex y el teorema del limite delproducto). Para calcular el valor de a = lim x In2 x = lim ™r? Saplicamos la segunda

regla de L'Hopital, y para determinar b — lim^ ' g ^ g 1 , la primera regla de L'Hopital.

Tenemos,. In2 a; .. - 2 In ,. nIrm — j - = hm = lim j— — lim — p = 0,

i — 4 0 X 1 i—+0 -X~L x—HI X 1 x—»-f0 — XX*e l t M - 1 e ' - l

lim — ; - lim — z — 1.x In x (—-a t

Asi pues, w = (0,1). •

120. W lim,r • | <\>

X

<< Solucion* Para determinar el limite de la funckm vectorial dada cakulcmos los If mi to de cada una de sus componentes. Dado que las componentes son funciones del tipoes comodo representarlas en la forma uv — ev , u > 0. Al reducir las indeterminacionoscorrespondientes a la forma jL hacemos uso de la regla de L'Hopital Tenemos

ch2ar

Iimx

2ir

" j : — r + - X

Iim (7tt KX \ sen 277 £ 2t+1 ) 2 Iim -^r- a

/ — a r sn

lima;—arctg ar)

Jim a? In( ~ arctg x)• a r — - H X e

i ldonde z

0.

lima:->+oo

1+a2 arctg x

3

tx

27T

lim (tha?)a-*+00

a? lim e*ln(th:c)- 7 » ^

siendo

Iim #ln(th&) lima

thx1

d SJ_i2

Por consiguiente, w 7 T •

1, a = lim 12a? + 1 o,

1i w

X'2 lim • ar-»+tx> sh 2x

1 2 1 . Hallar el limite de la funcion matricial

2 limX --++00

os de la matrizlfmites de sus

16

rctg x 13 ;

A : x (sena: ^ * / refg x \

ar/ Arsh x J * ? ar e ]-l> 1[ \{0}

para x —> 0.

M Solucion. Puesto que lim A(x) — (lim aij(x)), donde &ij{x) son elemenx—*a \x—fft / funcional A(x), calculemos el limite de la matriz dada determinando lo;elementos. Tenemos

limar—0

sen x iT.

sen ar

X i donde z limx^o arApliquemos la regla de L'Hopital

xlim _ a?—o 2x sen x mmM J

x cos x — sen x •—.. ••—. ii— —

x2 limx~0x cos x - sen x

2a;3j. —# sen

Por analogia, para todos los demas elementos obtenemos

l i m f 3 ^ ) ^0 \ X / lim ~— — lim xx- -o X' jc—>0 arctg x

T ^ ~ a r c tg g

2x*x -(1+ x2) arctg x

lim -— = lim2i

*H< t till till) ilc limites ImlelcnmiMdm

/ Arsii flf \ i'> , ,. In .. v A ' * h a !Inn ) / , ... l,m hm • * .ij V x / .r .ii xL >tf Aimar , . , ix' . .

— £ lim - — — x lim x2 a—ii # 2 J- •() 3s:2

(;iqui st; iisa la notacion u(x) — + x2 Arsh x);

t-fl) e / ' a—0 X t—n

= 1 t o - o k — B m - f i ^ E . _ ' *->o 2x i - o 2 2

Asi pues, finalmente obtenemos

Jim = ( e ! e ! ) . V e. f e 5 }

122. Hmfi x .0 e1 - 1 /

« Solucion. Transformemos la indeterminacion oo - oo en la forma g

1 I = g* -1 -x ar " e* •-1 xfe1 - 1) '

y, a] aplicar dos veces la regla de L'Hopital, obtenemos

.. e ' - l „ e* 1 Iim ——• -r- - lim ——— - — - - hm — — —- = - .i o - 1) i- >o e* - 1 + xex * -o e*(2 -f x) 2

1 2 3 . w = lim f -i-f0\ 2 /

u^ Solucion. Escribiremos Ja indeterminacion 1 en la forma e"

Aplicando ahora la regla de UHSpita] obtenemos

w M f l Y , lim — = lim = I ;i-»iJ th x i—u ch iS 2

iAsi pues, W — e'. •

124. Determinar si la funcion siguiente tiene derivada en el pirn to x = 0

. / s - p r r si x / 0,{ I si x — 0.

i ' i t .ipnuro 7, i Yilt ulo iiiIViviit'liiJ |Mr,i fumioncs Jo un.i vjnaMr

Solution, l\ira comprobar quo la lulicit>n .dm la linn* derivada on v\ pnnUi arest Miliar si existe cl lunik' finito

0 debt*m os

/'(0) - lim -x—>0

i _ i 2

X ���

Buscaremos el limite (1) segun la regla de L'Hopital.primeramente que el numerador en (1) tiende a cero para x la regla de L'Hopital hallamos

Para eso hay que demostrar0. Utilizando una vez mas

limx—0 V X 1

e* - 1 2ex - 2 - x - x elimx—>0

x2x{ex - 1)

xlim • 1 — xe

X

~ lim xeX

x^o 2 (ex(l + x) - 1) 2 x-*o 2ex + are0.

Asf pues, la formula (1) es una indeterminacion del tipo Aplicando a (1) la regla de | L'Hopital tres veces obtenemos

lim—o

lx

1^ -1

l2

X lim 2e - 2 - x - xe

2x2(e* - 1)

X2e

X t X I — e — xe

X

lim „ , _ _ ~ x^o 4rX(ex — 1) + 2xLe%

T; Imi xeX ex(x +1) 1 1

X o 4{e am1 _

1 ) + e*(8x + 2 a ; 2 ) z - o ( 1 2 - f 1 2 a ; + 2x2) e X 12' /'(0)1

12'•

1 2 5 . Hallar la asintota de la curva

yx

(1 x f 1X > 0

j

< Solucion. La ecuacion de la asintota oblicua tiene la forma y = kx + b. Para determinar k y b hagamos uso de la ecuacion de la curva

k xx

lim 7- , a-»-hcx> (1 + x)

1X l i m 77 i\*^+00 (i + i )

1

bx

l+xlim . _

s^+oo \ (1 + xf

1

X lim x 1 1 1

w* lim x [ e G | oo

X

limt->+o

e - (1 + t) t

1 lim (1 I t)' 1 1t-<+Q t(t + 1) t2 ln(l +1)

i Hm L i t 1 + f> ln<1 + <>f—+o t2{ 1 +1) i fan " ^ +

e2 t—Hj 21 + 31212e

De este modo, obtenemos la ecuacion de la asmtota y — | + j-. Proponemos allector "justificar" el uso de la regla de L'Hopital en cada paso. •

1 1 r ™ ^ —— — — " • 1 • • — rr^^^—••• • n »

1 2 6 . Verificar si se puede apiicar la regla de L'Hopital al limite

2 1 x sen -lim —-—•»•!t-»o sen x

jjH i '^li'ula de limited iudelei niin.Kfo'i 20''

4 Solucion. J.jis IliiH'IOtU'M f :r. > > x.' swi i y </. x > < sen x, ;t; < il£\ |tl}, i'sl;in deliniilas son continuas en un rnliu iu) del punto x — Q (excepfo cl propio punto x ll); kiis deriviidasj': x i—> 2x sen ' cos ^ y </ : a: cos x existen simul ta nca wente si x •/• 0; adenitis, seliene ( f ' ( x ) ) 2 \ (u'ix))' - cos2 x cos2 ~ - 2xsen | + 4r2 sen2 ~ para x /•() y

f'(x) sen ^ - cos ^ lim -VH - lim ^ — . (I)i—-ti g'{x) #—0 cosx

Debido a que Sim (2x sen j ) (cosx)"1 = 0, pero lim (cos (cos®)"1 no existe, el limite (I)

Lampoco existe. Por consiguiente, al ejemplo dado nose le puede apiicar la regla de L'Hopital.Sin embargo, notese que

x2 sen - x { 1 \ lim — lim lim f x sen — = 0.#-»0 sena; r-osena: \ xJ

1 2 7 . Hallar

z — lim

/ £ sen a;d c V * - l 1 + x2 J

,im — — r - .r~'0 J i ( x tf* X \

d e t { sha e* )

•i Solucion. Los de term in antes dados, considerados como t'uncioncs de la variable x,satisfaccn todas las condiciones de la regla de L'Hopital en cierto entorno del punto x 0. Aplicando la regla obtenemos

3 = lim

( 1 cos s \ / je sen x \ d e t [ e1 — 1 % + x> ) + d c l { e* 2x )

, . / cos x - x sen x cos 2 x \ , , , / x cos x te x \ th> j J-<icll ch» ? J * » ( I { ) + * . ( ? 0 ) m o h ? n ~ i .

|| KjerciciosHallar los limites siguientes:

m urn S f l g ^ . 300. ^ ^ - ^ .

303- ^ ( i M i ^ j + + 30*. hm^(Vx*TxJ-i-2x \ i - V4*:>T7+T+ a F T T ) .

lim 306. lim J ^ T . 307. lim ^ r ' • 308. lim sen (a1 arctg M ^ ) .X—H-X. X "+0 KiX X » tQO

210 ("iipifulo A (Vilculn difrreticial para ImicioneH de una v,nial>Ji

309. Iim(,Lt0;;r,J;)) - . 3ICK lim ( 7><' ' f v ) 7 . .111. Jintil0

. -r

, . . . J . fi

3*12.i r-li \ | lit i \

lim — ^ - 313. limi

I^IlJ/ "A -r . ^ 314. lim vJJ

315. lim sen^i - x'), 316. lim tg *(1 - a*). 317. lim«-»+() »-»+0

l 1 (I+a;2) 3t2)

318.— i f .

. 2

1 1 1 1 1 . a i * S L » n ( e : l c - l )a;—+11X

3 1 9 S T ^ T • 3 2 a ltal(hT72

c l i ; r

) - . 321. lim(fgSMI1"" J"ate>ll 4 ! ) V

322. lim In™ x • • • • • • • •

X0. 323. U m ( - 1), S B g L l l ) .

x^ii \ J S r i l ft"! — C O S

TCX

324. limar—»I

n 1 (z-l)2sen x cos x

2

arcsen a? -

sha? x x x

ir2

326. Iim . f , „ . jb-q \ x In ( 1 + x)

1 arcsen x 327. Iim \

i t — * o

y] . 325. lim -f er

/ ijt- 1 1 < r X2* * *

u / f 1 1 U j

x tgar1 sen2 x

1 ln(l + ®) ,

£5

x sen x x tg #

•

328. Sean / y g funciones derivables hasta el (n + l)-esimo orden inclusive en cierto entorno Ul del punto a, a exception del mismo punto a, que verifican las condiciones:1) lim f(x) - lim f(x) = Iim fn\x) = 0;

JC - f f t e — M l

2) Iim$(ar) = lim5 (z)•£—m

in-H)

+ * - lim gw(x) = 0; / < H + V )3) a lim (T1,a;—mi sc—m x —

4) la derivada <7 (#) ^ 0 en el entorno U.Demostrar que se verifica

h l G ffi; f -

l i m -ai—atf{X) lim

329. Sean / y g funciones derivables hasta el (n -j- 1)- esimo orden inclusive en cierto entorno U del punto a, a exception del mismo punto a, que verifican las condiciones:1) lim f(x) - lim f{x) - - • • = lim fn\x) - +00;

X — K l

2) l i m - lim^(x) = * - - = lim - -hoc; 3) 3 lim fcrS = t, J € K;(n)i — t u 2—>a ;c—•a

4) la derivada g^'^ix) ^ 0 en el entorno U.Demostrar que se verifica

lim fix) /""""(a;)— limx—>a g(x) g[7t+l)(x)

§ 9. Formula de Taylor9.1. Formula de Taylor en un intervaloSea / : ]a, b[ R tal que 3 fn'll) en ]a5 6[. Entonces Va, G ]a, b[ A Vj? > 0 3 6

tal que se verifica la formula siguiente:>r>

f{x) - fix0) + f(xo)(x - x0) V 1

W!siendo

71 lp f(n+l\x0 + 8(x-xQ)), O<0<1, (1)

j ju I'ftmiula (If Liylot 21 [

(tormina wiNpli'HH'nUulo en forma tic Sditiiniildi- -Rothe). Si p n I I a partir tip (1)obtenemos el t&niiint) toiiipleiiicidariu en farina tie l.a^mn^c

k , m = + - u < <uy si � — 1, e l ����� ���������� � ���� �� ��� ��

Rnnfr) = - O l T f ^ f a + «2(® - % ) ) , 0 <02< 1.

9.2. Formula dc Taylor en forma local (o formula de Iaylor con term i nocomplementario en forma de Pea no)

Si una funcion / definida en cicrto entorno He! punto tiene derivada finitase verifica el desarrollo siguiente:

��� � ���� �� �������� ��

�� � ��� � � � ! " � ����� � �

�� �#

X —*

9.3. Cinco desarrollos bisicosAl turn a r = 0 cn todas las formulas dt: Taylor de los pp. 9.1 y 9.2, llegamos a

las formulas correspondientes de Madaurin. Al apiicar la formula de Maclaurin a las cincofunciones nitis utilizadas que citamos a continuation obtenemos los desarrollos:

I. e r - 1 + � � " + • • • � £ � o(inn)f � -> 0;

IL + D ' ^ ' ^ i + o ^ 2 " ) ,

in. cbs*= 1 - I + -' • 4- (-1)"U + ���$� �%

�# & - 0;IV. (1 + x f ' f - • • + + a ; _ 0 ;

V. In(l -I- �� ' & � f + • • • + ( - 1 ) " " 1 - + o(arB)t & 0.

9.4. Formula de Taylor para una funcion vectorial

Sea una funcion vectorial f : la, /j[ —* E con derivadas de (n •)• l)-esimo orden tn%(# )*� Entonces Vx, &� £ R i'i A +�, > 0 d -,# , ' 1, .# tales que se verifica la formula

m = - mi+iw*),i=0

donde iix) = (Mx), ..., Mx)) ,

RJII l(a;) — (^n+li ^ i l. • • • ! 1

pj

Para las funciones vectoriales se verifica la formula de Taylor en forma local.

21/ ( <i|>tlul(» Z ('alriilo ilifVrviK'iiil p.n.t hiiKUjnrr; de nn.i variable

fFh11 Escribirof desarrollodo las funcionessiguientes en nerio de potcncias ciiteras positivaNrespecto a ia variable x hasta los terminos del orden indicado inclusive:

1 2 8 . f \ x hasta un termino de a?4. Determinar / (0).J 1-x + x2 J

M Solucion. Representando la funcion / en la forma

f(x) = 1 + (2x + 2x2)(l + x3)™1

y haciendo uso del desarrollo IV

(1 + x3)-1 = 1 - x3 + o(x5),

obtenemos

fix) ^ 1 + (2a? H- 2X2)(1 - x3 + o(x5)) =^l-\-2x + 2x2 - 2x4 + o(a14), x 0.

Al comparar la expresion obtenida con el desarrollo en forma general (v. p. 9.2)hallamos

/(4)(0) „ ^ AH 4!

2, de donde f ' ( 0 ) - -48. • t i •••

1 2 9 . e2*"* hasta un termino de x , O

M Solucion. Denotando t — 2x — x y haciendo uso del desarrollo I tenemos±1 /3 /4 ±5

^ = 1 + 4 + * + * + * + * =

= l + (2x- x2) + ±(2x - x2)2 + • • - + - x2f + o(x5), x -> 0,21 o! r ^ T r r

(se ha tornado en consideracion que o(t ) — o{2x — x ) — o{x ) para x —> 0). Efectuanddespues transformaciones evidentes, escribiremos en el desarrollo todos los terminos hasta

r £ . 7 C

los de orden x (los terminos de incluyen en o(cc )). Finalmente obtenemos

= 1 + 2® + x2 - ^x3 - yx4 - - U 5 + o(x5), ®-»0.3 6 15ii i II

1 3 0 . V sen x3 hasta un termino de x .

^ Solucion, Designemos x =t y hagamos uso del desarrollo de la funcion sen t mediantela formula de Maclaurin

sen f = t - i f 3 + ^t5 + o(*6),

v utilicemos el desarrollo IV. Obtenemosi/

vWi = i* (i - £ + + 0(f5)) * = tl (l + a(t))* = 15 (l + |a - ™a2 + o(a?)) =

• y l onmiLi ilo liiyliw' I i

131. Id ens ;it li.iMii un lei'miiio fit' x'.•4 Solution. Apluatidu Itu. ik'.'tarrollos V y II obteiiemort

i , /, •» I . „ i ^ 1 ( i sen-1 x sen" §f , , ill COS £ - • lit v I St'll- :/! ~ 'n" ~ ~ * ) j , ^ son x 2 '

' J ^ ^ x * xe x6 7 \ x2 as* a 6 . = — £ x „_ _ _—l„j j — o[x ) -- —-— - - - \-olx ). a; . •2 V 36 3 60 2 3 3 1 V 2 12 45 1 h

132. sen(sen x) hasta ufi termino de X'.•4 Soluci6n. Aplieando el desarrollo II tenemos

3sen x 4 sen (sen x) — sen x - — + o(sen x) =

= ( * - § " + ~ + o(a:4)) + o(sen4 ft) = x - y | h ^ ) . •

133. tg x hasta un termino de x~. •4 Solucidn. Dado que la funcion tg x es impar, su desarrollo en un entorno del pu

es de la formatgx - Ax +1)3j3 + CaP + o^6) , x 0, (I)

donde A, B, C son coeficientes. Al escribir (1) en la formasen x — {Ax I- Bx3 + Cx5 + o(xb)) cosx

y emplear los dc&arrollos II y M obtenemos

i + ° { x ( , ) = A x + ( B ~ i ) * 3 + ( < ? + ! - f ) * s + « ( * 6 ) . * - o -fgualando los coeficientes de los terminos con Igual potencia de x hallamos

Asi pues,^ *4

X 3 2 s a tgar = x + y -f — as? + o{x ), •

134. Hallar tres primeros terminos en cl desarrollo de la funcion f : x > > \/'x «potendas positivas respecto a x - 1.

•4 Solucidn. Utilizamos Ia formula de Taylor con termino compk montarin en la forma doPea no

/(£) = /(l) + / ' ( i ) { a : - l } + ^ ( x - l ) 2 . | - ( > ( ( ; r i f ) , IB >1.

Detenninando los valores de las derivadas/(!) = ! , f ( * ) = i ~ > / ' ( 1 ) = ~ ; /"(x) J , , - * /"(it ff

y susfituyendolos en la formula ob tun id a, tenctiws del inil Ivan irnli'/(*) = 1 + 1<* - 1) - I)'' I IV"). .i' * I »

)f H 14 C'iipiUtld 2. (MIcuTo dilcrvnclal pani himinncu de una varia hie

1 3 5 . Hn un eiMorno del punto x 0 aproxinw la funcion f i x ' •> ach tt > 0, poruna parabola de segundo orden.

< Soluckin, Como: i t i / -r \

ch a ^ \ ( e + C ' ) = 1 + I t ? + X ~* 0 t

tenemos f(x) = a -f ~ -f o(x2), x —^ • 2 a

1 3 6 . Desarrollar la funcion / : x y 1 + x2 — x, x > 0, en serie de potencias enteras1 1 positivas de la fraccion — hasta el termino —j.x x

^ Solucion. Transformando la expresion v 1 -f x1 — x y utilizando el desarrollo IV obtenemos

X

137, Desarrollar la funcion / : x t-* - ~ x E ]—oo, +oo[, mediante la formula de3 + arTaylor con termino complementario en forma de Lagrange en un entorno del punto #o — 1 -Hallar tres primeros terminos del desarrollo.

< Solucion. El desarrollo buscado tiene la forma

}{x) = fit) + f'( l)(x - 1) + - l)2 + f"'° + ^ ~ 1])ix - l)3, 0 < 6 < 1.

Determinemos los valores de la funcion y de sus derivadas en el punto x — 1.Tenemos

Ai ) = i, /<i) = ~ , / d ) = - J .

Asi pues,

J W = n » ( . _ + r a + - ! » „ _ „* 1 1 ' I I I M I • • i n , l-M-l—IM^M- — ~ —•

138. Seahn

fix + h) = fix) + hf'ix) + • • • + -/<">(» + Oh), (1)

donde 0 < 0 < 1, siendo f ](x) ± 0. Demostrar que lim 9 -h^o n +1 4 Solucion. Dado que la derivada f^n+l\x) no se anula, apliquemos la formula de Maclaurin

con termino complementario en forma de Peano. Tenemos

fix + h) = fix) + hf'ix) + ... + ^f{n\x) + + o(h,l+1), ft ^ 0. (2)I ^f-

Restando la igualdad (2) de la igualdad (1) y simpMcando el termino ~ obtenemos

f{n\x + 9h) ~ f{n\x) /<n+1>(x) oih) i w w w ^ rrf—r-1^™ ^ — 1 i « M , — n ^ ^ ^ H

h n-hi h ' • • • • • •

de donde

IViritiuhi ilr Tuylor 2l/>

' ' " ' " i t f ) , <>W\ffl'%>- i oh) ;<•">(*)•> / r ' '(x) o{h)\ / p '(-.r.; oh) r"w\ 1

" ( « | l 1 h')\ Oh ) •

Pasando en esta expresion al limite para h —> 0 y teniendo eo cunnta quo / ' " '"'(j1) / (Ihallamos lim 0 — - -7. •

ft-'O * + 1

1 3 9 . Sea / 6 ^ ( [ O j l j ) y /(0) = / { ! ) = 0. Supongamos, ademits, que 3 A > 0 ;

l/"(®)l < A V . t e JO, 1[. Demostrar que\f'(x)\ ^ j Vx £ [0,1].

4 Solucion. Conforme a la formula de Taylor tenemos

m = /(«) - * / ' ( * ) + / " ( f l ) ^ 0 < 6 < * ^ 1;

2 " de donde

/(I) = f(x) + J'(x)( 1 + 0 < * < ft < 1,

/<*) = | ( / " { 6 ) x 2 - / " f c ) ^ - ) , 0 < s < 1.

Estimemos el valor absolute de los terminos de esta igualdad

| / V ) I < ~{2x2 - 2x + I), 0 < x ^ 1.Dado que 0 ^ 2xJ ~ 2x + 1 ^ 1 para 0^x< i, resulta |/'(s)| < f , c . q . d . •

1 4 0 . Sea f una funci6n dos veces derivable en ] -oo, +oof y sea

Mk - sup |/(t>(®)| < +oo, fc = 072.

-so<x<+tx>

Demostrar la desigualdad M? ^ 2M(Mz.

< Solucion. Segun la formula de Taylor tenemos

/ o « q ) = m + f ' M * o - +f"it){a>0~X)Z,

de donde

\f(x*)\ 4 |/(«)| I- \f'(x)\ |®o - 4 + l / ' O | a ? 0 ~ X|2 < Mo + M,y + V - fro •

En virtud de que M„ + M\y + -jA'hy1 > 0 para todos los y, resulta que Mf < 2Mt )M2. >

1 4 1 . Caicular aproximadamente el valor dea) sen 18"; b) arcig 0,8.

< Soluci6n. a) Conforms a la formula de Maclaurin con termino complcmenlaiio en furniade Lagrange se tiene

1EJo IT 7T 1 T3 ! w''

sen 18 - sen - - - - - • ^ 4- — • I Ky,donde |£U < 1 . De este modo \f.1 ,.

* , , , , H " m O MXI ' 12 - 10' / ™ >' ' ' ( ' ' „((() ' ' 2 . l 0 , j cv 0 , 3 1 4 ( I 0,0!()449 I 0,000079) tt 0,309017

b) Aplicando la formula de Taylor, para xq 1 lenomosr

arctg0,8 = arctg(x0 - 0,2) w arctgx0 - (arctg a*)'L=*„" 0,2 + - • 0,04{arctgxf\

~ ~ • 0,008 (arctg & - - 0,1 - 0,01 - 0,00066 as 0,67474,

Dado que ( a r c t g = 0, (arctg xf5)| = 24 1 < 12 para 0,8 < | < 1, a partirde la formula para el termino complementario en forma de Lagrange obtenemos laestimacion del error

|fi| < ~=(0,2)5 < 3,2 • 10~5. •

1 4 2 , Calcular:a) cos 9° con un error de 10 ; b) V5 con un error de 10~4.

Solucion- a) Determinaremos el numero de los terminos del desarrollo de la funcion cosen la formula de Maclaurin que son necesarios para calcular dicha funcion con el errorrequerido. Este numero se puede obtener estimando el termino complementario en formade Lagrange. Dado que 0 = < x = tenemos

. I (cos xfn+2> IW / tt \ I K>2n-V2x = 1 ' — 1

f (2 n + 2)1 V 20 / < ? < i ( r 5

202fl+2(2 n + 2)!

de donde n ^ 2. De este modo,

c o s 9 ° « 1 - ! ( ^ ) 2 + ! ( £ ) ' « 0,98769.

b) Desarrollemos la funcion f : x ^ >fxf x > 0, mediante la formula de Taylor enun entorno del punto Xq = 4;

v ^ - 2 + ±(x - 4) - 1 (x - 4)2 4- ^ (® - 4)3 + • • • +

dondeB M - (2» -X)n( - l ) a (a? -4 ) " + 1 n . . . 7

( ) ~(n + I)! (4 + - 4))»+0.5> U < " < L

Tomando en el desarrollo x - 5 tenemos

4 64 512 j

De la condicion

obtenemos que n ^ 4. Entonces, a partir de (1) se deduce

' j " formula de liiyloi

N Hacicndo uso dc lim dcN.inollits l -V h.ill.ir I o h IfmilcH Mpjiicnlert:

1 4 3 . lim —>Sai- i i v.

•4 Solution. Aplicando los desarrollos I y 111 obtenemos

cosx — e x p f — i / x2 i 4 c / 3.4

lim , F V ^ sa lim - j (1 — + o(x5) - (1 - ~ + fe f ofaf ' )]} -ir-I X z-t> x V 2 24 \ 2 8 v 7 /

/ l «(x5)\ I

1 4 4 . lim ( V ^ 6 - ! - ^ - ^ " - ^ ) .

< Soluci6n. Transform ando la expresidn que se encuentra bajo el signo de limite y aplicandoel desarrollo IV tenemos

lim (yx6 + x3-Vz6-X5) = lim x ( (l + ' - f l - " 1 = X— +TO st-i+oo \ V X / V X / )

iH+lo ' 6i' ' ° ( i ) 0 f j x + C > ( x ) ) ) 3 '

1 4 5 . l i m 1 - f r y * " ' ,X--0 X*

< Solucion. Bacicndo uso de la reprcseutacidn u" — e"lnt', u> 0, y de los desarrollos I, V,hallamos

-3/1 _ „ _ 1 ~ (1 + s e n a : l n c o s x ^ o ( x 3 ) )l ima*" 3 ( l — ^ ^ ) = l i m_ ii ^ ' - ,n

.. In cos x .. ln(l - sen2 x) 1 .. sen2 x + o(x2) 1 = - lim — — — — urn - -i — = - lim ; = ~•. •

jc —o x2- i- <o 2ar 2 o xz 2

146. w = lim x 3 (sh (tg a:) - x ) .x—0

Solucion. En este caso se empiea el desarrollo I, asi como sc utiliza el desarrollotgx = x -1- j + o(x4). Tenemos

tgx + |tg3x + o ( x 3 ) - x x + ^ + of*3) + j + ~ * 1 w = lim r — - iim 1 -r-2 • = - .

x^a xJ x—a x1 2

Para valores infmitesimales de y cuando sc —*• 0, determinar en los desarrollos dc if el termino principal del fipo Cx11 (C es una constante):

1 4 7 . y — tg (sen x) - sen(tg x) .

( ,i|>i(ulo'A ( Yileuln dilereiuial para iutnlom-ri tic iiim variable

Soluci6n. Un primer lugar, nos cercioramos de quo

x* 2 «> 17 7 M tg X - X -I- — + —X1- f —"X f o(x ), X ^ 0. :> 15 J15

I in efecto, representando tg x en forma de sen #(cos #) y utilizando los desarrollos II—IVobtenemos

2 ^ i 1 3 3 ^ 5 7 3 tg x - sen a?(l — sen x) ^ — sen x + - sen x •(• - sen x I — sen x + o(x ) =

xx - ^ X? 1 / X / JE X® 5 7 s 31 + 5! ~ 7 ! + l { X - 3! + 5l7 " H * - a ) + 16* + >

. X 2 5 17 7 , , X + — + —x + --x + o(x ), x 0, 3 15 315

fintpleando esta formula, asi como los desarrollos mencionados, obtenemoss e n3 jj 2 5 17 7 t g x

y ^ tg (sen a?) - sen(tg x) = sen a? H h — sen x + sen x - tg x +

tg*x tg7a 6 _ x3 i x5 x7 , 1 / , a?5\ 2 / a 3 \ 5tg a? 8 ^ ar x'' 1 / r . x J \ . 2 / aT\D , 5!

2, 17 7 2 S 17 7 , 1 / x3 2 5\3+ rrzX — X — T^® _ + - X + — + —X -315 3 15 315 6 \ 3 15 /

x + j ) 5 + ^ + o(xs)=~ + o(x\ x 0,

de donde Carfl ^ Por consiguiente, C — n =-7. •

148. y = (l + x f - l .Solucion. Empleando los desarrollos I y V obtenemos

V2

hd-K) _ ! = a- ]„(! + X) + 0(x2) = x (x _ ?L + 0(x2)j + 0(x2) =x2 + o(x2), z-* 0.

Asi pues, Cxn = x . Por consiguiente, C — 1, n = 2. •

1 4 9 . - =j -

Solucion. Utilizando la formula «• = evbtu, u > 0, asf como los desarrollos V y I, hallamos

V l - e x p { - j - l n ( l + x ) - l j - 1 - exp j - (x - y + o(x2)) 1

l - e x p { - | + o(x)} = l - ( l - | + 0 ( x ) ) + 0 ( x ) = | + 0(x), x —• 0;

C x " = C = | , » = 1. •

• • • • i •• i

1 5 0 . Elegir los coeficientes 4 y 1? de tal modo que para x 0 se verifique la igualdad

1 + 4a;2 . ctg x — + CHa? ). 6 a? + Ftf3 v 7

^ ;i'J formula dv iayloi Vl**

« Solucion. 'H*nemn*icosx I ! AxA , son x x I IS x1

de donde fx + Bx v) cos x = a + Ax2) sen.i + 0(x7). Hmpleando los desarrollos II y III

obtenemos

(x + Bx(l - J + ^ + = (1 + A x 2 ) + » + 0(x7),

de donde

I + f + 0(X7) + BX3 - B^- = x - ^ + ~ + 0(x7) + A^ - + tf(x7).

Pdr consiguiente, IS — A - ^ ~ § = f^j ~ jt de donde A = ~ B — • 151.

Detenrunar ios cuatro coeficienles A, B,C y D de un modo tal cjue al tenderx —+ 0 sea valida la formula asintotica

4 Solution. Tenemos

e'(l +Cx + Dx2) = 1 + Ax + Bx2 + Ofx5). (1)

Como ex - 1 + X + ^ f ~ ~ + 0(x3), de (1) obtenemos

( l + x + ~ + ^ + ~ + 0(x 5 ) ) { l + Cx + Dx2) = \ + Ax + Bx2 - 0{xS).

Dejando en este desarrollo solamente los terminos hasta el orden x4 inclusive hallamos

1 + Cx + Dx2 +X + Cx2 + Dx2 • [• ~ + + + ~ -| fx4 + ~ = I + Ax + Bx2 + 0(x\ L L L O O I ' I

de donde, al igualar los coeficientes de los terminos con igual potencia de x, llegamos alsistema de ccuaciones

c + 1 ^ , + *>+c+\-B, f + f + ^ o ,

de donde obtenemos' 1 1 1 1

1 5 2 . Para \x\ pequenos hallar formulas aproximadas sencillas para las expresioncs

siguientes: a) y i i f ' - ^ ; b) ^

< Solucion. a) Utilizando el desarrollo IV obtenemos

f^f - a Wa - - o - mi+«r4-

I I ' \\ / I '? > ' \ I i}.r; I )} I yi; I {)x' ) o(x)J

Ij | .j i \ / I r} •> •> \ 4 > 4 3^ • ^ i- )) (l ^ I [}x | )J • |- o(x ) » -ar

b) Aplicando el desarrollo V" llegamos a la formula aproximada

In 2 In 2 100 In 2 70^ v r v >

1 5 3 . Desarrollar la funcion vectorial f : x ( arctgx), x £ K\{0, - 2 } , en\ 3? £ z / x + 2 2serie de potencias enteras positivas del binomio x — 1 hasta el termino de (x — 1) inclusive,

Solucion. EI desarrollo buscado puede obtenerse al aplicar la formula de Taylor para lasfunciones vectoriales (v. p. 9,4)

f(«) = f(l) + fOX* - 1) + ~ f"(l)(* - l)2 + R3.

Como f(l) = (1, f, § ) ; f ( l ) = ( - 1 , I §); f"(l) = (2, - ± , resulta

i(x) = ( l , + ( - 1 , f , I) (x - 1) + ( l , - J ) - D2 + »3.

donde R3 denota el termino complementario en cualquier forma, • • M l

EjerciciosDesarrollar mediante la formula de Taylor las funciones siguientes:

330. f : x (sen xf*1 , x > 0, en el punto xa = 1 hasta el termino de {x — if inclusive. Tomar eltermino complementario en forma de Pea no.

331. / : x f-+ tg (x H- x ) en el punto Xq = 1 hasta el termino de (x - 1) inclusive. Tomar el terminocomplementario en forma de Peano.

332. / : a? f-> x > 0, en el punto x0 ~ 1 hasta el termino de {x — l)3 inclusive. Tomar el terminocomplementario en forma de Peano.

333. f i x ^ xe~x , x £ R, en el punto — 2 hasta el termino de (x — 2f inclusive. Tomar eltermino complementario en forma de Lagrange.

334. / : x x arctg xf x 6 M, en el punto x0 = 1 hasta el termino de (x — I)2 indusive. Tomar eltermino en forma de Cauchy.

335. f ' x i > v l ^ a ? arcsen xf < 1, en el punto x0 = 0 hasta el termino de x5 inclusive, Tomarel termino complementario en forma de Peano,

336. f : x ^ (cos(sen#), sen(cos a?), e**nx), x 6 en el punto xa — 0 hasta el termino de x4>337. f : x (/i(ar), f2{x\ ft(xj) en el punto x$ ~ 0 hasta el termino de x5, donde

fi(x) = T, /,(0) = 2;e ' { 1 5

Mx) = tez^l s a. ± 0, /2(0) = ~ I; fox) = arsh ar.

Haciendo uso de la formula de Maclaurin en forma local obtener los desarrollos en seriede potencias enteras positivas de x hasta los terminos o bien de orden maximo o biendel orden que se indica (inclusive), de las funciones siguientes;

ji1' IVnmuIa tlr Ciylor Z' I

( J>'' Hfll ! , r/ ( I ,338. / : j : > > ^

* \ t), .it 0.339. / : i h h ' 'I't, I'ompiftlxtr .si es vnlido el desarttillt)

e*JM - 1 + a V I + £ 4 1- +

340. / : * i - » - | e ' ! K j £ 0 ' (hasta el termino de i 1 " } .\ 0, i = 0

Comprobar si es valido el desarrolloL 1 1 , „„ 1 / 1 \

JT *.s=-aH:— ��

� � � � � ( h a s t a el termino de341. / 342. �

343. / 344. /

345

X — K , a; = 2( I - sent , y — ie ( (hasta el termino de x3).X—>Y,x — t-t*, y — — l* (hasta el termino dc Xs) .A' —>• Y, y7 f y — x ~ 0 (hasta el termino de i6).

Util izando la fdrmula de Maclautin con termino complementar io en forma de Lagmftgr,obtcner los desarrol los en serie de potencias enteras poslt ivas de X hasta los tiftniiHWdel orden indicado ( inclusive) de las f u n c i o n e s siguientes:

f qf j. j. Q <. f \ x >-> < ' ' (hasta el termino dea2} .I 1,

346. / ; X —* Y, a;4 + 4- sen xy = 1 (hasta el termino de x3 en el segmento [—1,1]).

347. Para / ; i h C**1, X > 0, comprobar si se verifica el desarrollo siguiente:

348. Sea / : x cos (/>(«)) , donde D es la funcidn de Dirichlet. Comprobar si es valido eldesarrollo

c o - 1 - + ^ - H r + Hallar la cxpresion piira K2n+2(®|>Elegir los coeficienles .4 , B, C de un m o d o tal que para x —* 0 se verif iquen lassiguientes igualdades asintoticas con un error m i n i m a pos ib le (detenninar cl ordeil d edicho error respecto a x):

349. a r c t g a = 350. arcsen % — f^gp 4- O'ix*1). 351. ln(1 + a ) =• ^ I f / ( x " ) .

352. = ^ 0 > n ) . 353. (1 t z : ) 1 « • l - O ' ^ " ) . 354. arsh X = f j £ r 4- « ' ( : « " ) .Estimar el error absoluto dc las formulas aproximadas:

355. c o s * w l - f ^ para |®| < 1. 356. « 1 4- £ P a r a I 1 ! > ^

357. arc tgx ss § - ~ para |ar| > It)2. 358. sen(<t sen(iif2}) & awx — para < 0 , 1 .

359. f(x) „ liE^M ^ |A| ^ o,l. 360. / » ~ para |A| ^ 0,1.

361. ffl^/yHW para ^ 0,1.362. Sea / una funcion que satisface la ecuacion f(x) — F (/(.t*)) , siendo F una funcidn dada qui*

es derivable un numero suficiente de veces. Sea

fix +ft) - f(x)

Entonces, f(x + A) - f(x) w hF(f{x)) . Estimar j f { x ) — f'(x)\, donde f satisface la ecuacionfte+k) - r w = « ^ £ r w ) -

222 ( 'api'Iulo 2. t ' i i l culo J i l c i v i u iiif para l u n c i o n o s d e u n a v a r i a b l e

363. Su|M)tij»iinuiH que / snlisfacr la miudon f'(x) ' ' ' ( / ( # ) ) , siendo F tin.) Iitndon dada

derivable un nrimcm sufiriente de veces. listimar I / M ~~/* (#) | > donde / + salisface la ecuacion

fix + ft) + Af{x) - 5f(x - h) - 2h (2F(f(x)) +F(f(x - A))) .

Haciendo uso de los desarrollos I—V hallar los limites siguientes:1 2

364, lim * c. . 365, hm- 366. lim (xze * - y/x2 + ax + 1 )

3 6 7 . l i m . 368. lim . T r j-B i f r

§ 10. Extremos de una funcion*Valores maximo y minimo de una funcion

10.1, Extremos de una funcionDefinicion. Sea una funcion / definida en cierto entorno de un punto c. Se dice

que en el punto c la funcion / tiene un maximo (minimo) local, si existe un entorno delpunto c, dentro del cual el valor /(c) sea maximo (minimo) entre todos los demas valoresde dicha funcion..

El maximo local y el minimo local reciben el nombre comun de extremo. 10.2, Condicion necesaria de extremeSi una funcion es derivable en el punto c y tiene extremo en este punto, entonces

/ ' ( c ) = 0- . Definicion 1* Las raices de la ecuacion f(x) — 0 se denominan puntos estacionarios

de la funcion /.Entre los puntos candidates a extremo figuran tambien aquellos en los que la

derivada de la funcion / no existe.Definicion 2. Los puntos estacionarios y los puntos, donde la derivada de la

funcion no existe, se denominan puntos criticos de dicha funcion.10.3, Condiciones sufirientes de extremoPrimera regla, Sea una funcion / continua en un punto c y derivable en cierto

entorno de cf a excepcion, quizas, del mismo punto c. Entonces si en el interior delentorno citado la derivada f es positiva (negativa) por la izquierda del punto c y negativa(positiva) por Ia derecha del punto c, la funcion / tendra un maximo (minimo) local en elpunto c. Si la derivada /' tiene igual signo tanto por la izquierda como.por la derecha delpunto c, la funcion no tiene extremo en el punto dado.

Segunda regla. Sea finita la derivada segunda de una funcion / en un punto c candidate a extremo. Entonces, en el punto c la funcion / tiene un maximo si /"(c) < 0, y un minimo si /"(c) > 0.

Tercera regla, Supongamos que en cierto entorno del punto x = c la funcion y — f(x) tiene derivada n ™ 1-esima, y en el mismo punto c, derivada n-esima (siendo n un numeroentero positivo). Supongamos que sean validas, ademas, en el punto x — c las igualdadessiguientes:

Ac) - / " ( c ) = ••• = fin-%) = 0, / " " ( c ) - / 0.

Entonces, si n es un numero par, el punto c es un extremo local de la funcionV — fi^), a saber, un maximo, si fn\c) < 0, y un mmimo, si / (c) > 0.

jj III KxttVJlllM ill- (lll<l liltulllM

ll).4. liKlrcmu iilimiliili)

lii valor mrixitno (nintimo) dc una funcion / runtiiuni rn un si^mt'tilo |«, fj| .scalcanza bien i'n tin punto erilieo cfc esa funcion, o bien cl los punto* Inniles n y ft do dirhnsegmento.

8 Hallar los extremes de las funciones siguientes y clasificailos:

154. / : x -» Xm{\ - x f , fa, n £ N>

< SoluciiSn. Calculamos la derivada de la funcifin / y la igualamos a 0.

f(x) = <m + n)xm - xf'1 . - * ) = 0 .

Las rafces de esta ecuacion X\ — 0 (m > 1), = t (n > 1), x3 — son puntosistacionarios. Comprobemos que s« verifiquen las condiciones suficicntcs.

Sea 0 < £ < Para m par se tiene f'(-e) < 0, /'(f) > 0, por consiguiente, enel punto = 0 la funcion / tiene un minimo igual a cero.

An^logamonte, para el punto x-i ~ 1: st n cs par, sc dene /'{I —e) < 0, /* ( !+$) > 0,por to cual la funci6n / tiene en este punto un rmnimo igual A ccro; si n cs impai1, severifica /'(I — e) > fl, /'{I 4- e) > 0, es decir, cl punto dado no es un punto de extremo.

Finalmente, para el punto a:3 — tenemos

f f - v — > Qs f ( ~ r + ^)< 0. V m + n / \ m + n /

Dc este modo, en el punto x$ la funcion / tiene un maximo

f f ™ A „ ™mn"\ m +n) ~ (tn + ft)m+"'

Proponemos al Icctor examinar el caso m — 1 {n = ]). •

155. / : x ^ ac' (1 - x)\ x € K.4 Solucion. Igualando a cero la derivada de ia funcion en cuestion, hallamos cl punto

estadonarto X\ = tin ios puntos X2 = 0 y Xj — I la derivada finite no existe. Sea0 < s < entonces

/' Q - e ) > 0> /' + e ) < 0, / ' ( - e ) > 0, /'(e) > 0,

f'(l ~ <r) < 0, f'a + e)>0.

Por consiguiente, si x\ — | la funcion tiene un maximo igual a i\/'4. Si X2 — 0 nohay extremo, y si ~ 1 la funcion tiene un minimo igual a cero.

156. / : x (V2 + sen /(0) = 0,

99/1 ( j | ill u lo (Tiltulo liilVrrnclal para ImuionoH J c una \mimMc

M Sol u ci 6 ii. Aiuilitvmos el signo tic I incremnilo do la f unci An / en e! piinld x 0. 'Ibnemos

A/(0) c � � �� (\/2 -f- sen i j > 0

Vx ^ 0. Por consiguiente, para x = 0 la funcion tiene un minimo igual a /(0)examinemos la ecuacion f\x) — 0. Evidentemente,

0. Si x £ 0

f 'X x e % 1^ V2 + sen sgn x — cos — x ^ 0.

Dado que sen ~ -fcos ^ V2r la derivada no cambia de signo al pasar por los puntosdonde esta se anula, por lo cual la funcion no tiene otros valores extremales salvo/mm = /(0) - 0. •

if Hallar los extremos de las funciones siguientes:

1 5 7 . / : X arctg x - - ln(l + x2), x G l .

< Solucion. La derivada / ' : x I "m,y11+x2 0 para x = L Dado que /'(1-e) > 0 y /'(l+s) < 0,0 < e < 1, entonces la funcion tiene en el punto x 1 un maximo igual a j — \ In 2. •

1 5 8 , / : x ^ \x\e f®'11, xeR.

Solucion. A partir de la expresion de la derivada /': x i—>x ^ 0, x ^ 1, vemos que los puntos x^ — —1, x2—0 y x$

e ^ l'sgna;1 son candidatos a extremo.

Calculando el signo de la derivada al pasar por los puntos X{ (i — 1,2,3),determinaremos si estos son puntos de extremo y, en caso afirmativo, el tipo de extremo.Tenemos

f ( - l +€) < 0, /'(—1 -€)>0 (maximo igual a e~2);f(-e) < 0, f(s) > 0 (minimo igual a 0);/'(1 - e) > 0, /'(1 + e) < 0 (maximo igual a 1)

{e cs un numero positivo lo suficientemente pequeno), ^

1 5 9 . Hallar los valores minimo y maximo de la funcion f i xsegmento [^10,10].

M Solucion, Hallamos la derivada

x 3x + 2| en el

f : x ^ (2x - 3) sgn (x2-3x+2), x^l,

de la cual obtenemos los puntos candidatos a extremo: x-y — | (/' (|) = 0); x<i — 1; #3 — 2 (la derivada no existe). Al comparar entre si los numeros

/ ( « = /(®2) = 0, / (a 3 ) = 0> /(—10) = 132, /(10) = 72

vemos que el valor maximo de la funcion es 132, y el valor minimo es 0. >

1 6 0 . Hallar el infimo (inf) y el supremo (sup) de la funcion f : x e x cos x1 en elintervalo ]—oo, +oo[.

I \xl tenuis do una lumion

•4 Solution. I{it vii 1ml do que la funcidn f oh par oxamim'nuisLi on el wm intervalo x • 0.Do Tii exprcsion /' : a; —2v2xe~* cos(* x/} Vemos que los puntos I) y

xk — + 2fcjr, k £ 7,o, son los puntos candidatos a extremo. Al comparar los minieruH

/(0) = 1, /(**) = J = e " * " 2 * lim /(*) = <)1/2 .T-l+OOobtenemos que

Iinf f(x)=—-=e. ' , sup f(x) = t •

-»<»<+oo V2 # a < c w i

1 6 1 . Determinar inf /(£) y sup /(f) de la funcion / : £ t-» - — - j en el intervalo3 -I- £

]x, +oo[.

a Solucion. Calculnndo la derivada /' : £ <-•> 'f^)' hallamos los puntos candidate a

extremo: & = -3, & = U entre los numeros /(—3) = - g , /(l) - ~r lim / ( 0

lim /(£) = 0 seleccionamos el numero mayor y el menor.

Sea x < 1, entonces y sup /(£) = /(l) = |. Si X > 1, resulta queX<(<+rXl

sup /(£) — P° r consiguiente,Kj<(<-H»

sup m i <£<+00 I 3+if> ® > 1.

Sea x ^ -3,entonces ^ — r e ' " f fit) — ~7-

Sea - 3 < x < - 1 , entonces < < 0 e inf / ( 0 =

Finalmente, si X ^ —1, obtenemos > /(l-oo) — 0 e inf /(£) ~ 0,

Por consiguiente.

inf /(£)== £ H i - 3 < r ® « : - i

o, x> -l.

1 6 2 . Hallar el termino mayor de la sucesion («„) si &n = M Solucidn. Suponiendo n — x podemos considerar los elementos de la sucesion (a„) como

valores dc la funcion derivable f : x x", x > 0, es decir, «„ /(«). Supongamos queel punto estacionario xy dc la funcion / satisface la desigualdad It • u;<i < k i I, fc f N,Designaremos el termino maximo de la sucesion («„) modianlo (max n.„). I!s irvidento queeste ultimo es igual al maximo de los numeros «i, Ojt, i ; .

i 1 '> Analizando la derivada / : x i-» x'; ' (1 In af), kill.unos ol punlo estas'iontirio

= e, en el que, nbviamente, la funcidn f aleanza su miivimu. I'or consign ion to, k, 2. At comparar los tres numeros U[ — 1, % y «i v'd i>l)lnu'i)W«i cl lesult.idomdx «„ = v^ a* 1,44. •

?.'?.() (apilulo 2. l a k u l o di To re lie iii t para hmilnntv* <lr 1111.1 variable

1 6 3 . I )cnu>slrar la desigualdades

J__ <;•; xl> -j. ( I xf ^ 1 S| 0 x . I y p > I.

<4 Solucion. Veamos la funcion f xp 4- (1 — as)''. Su derivada /' ; x i-> p(xp~ - { l - ic)^" 1 )se anula en el punto x = Al camparar los numeros /(0) = 1, / (~) - f(l) = 1,

deducimos que max f(x) — 1, mm f(x) — i - . De aqui se obtiene la desigualdad que

se demuestra.m• •••• • • • n i

-i f A 2 x -j-11 6 4 . Demostrar la desigualdad - ^ — ^ 2 para -oo < x < +oo.J 3? ~~ -31 ""f- "1

M Solucion. La demostracion se basa en la comparacion de cuatro numeros:lim f(x)t lim /(ar),

X — ± — C £ } X —

donde f(x) = (:x1 4- l)(ff2 + x + l)"1-For consiguiente, pgra x = 1 se alcanza el valor minimo de la funcion / igual a ~,

y para x = — 1 el valor maximo igual a 2. • • I I • " I • ••• • HI I I II I I I T

165. Determinar la "desviacion respecto a cero'" del polinomio

P(x) = x(x - lf{x + 2)en el segmento [—2,1], es decir, hallar Ep = sup

-2<x<lSolucion. Tenemos

P'(x) = (x- l)2(x + 2) + 2(x - l)ar(ar + 2} + x(x - 1) 2

A partir de la ecuacion P'(x) = 0 obtenemos

®1=1> 2-2,3 = 2 *

Comparando los valores de f(xi), f{x2), f(x3) y /(-2), vemos que

Hj p — , W

4• • • • • • • • ! •

1 6 6 . ^Cual debe ser el coeficiente q para que la "desviacion respecto a cero" del polinomio— x -h q sea minima en el segmento [ -1 ,1] , es decir, para que EP = sup |P(#)|

tome un valor minimo?< Solucion. Al comparar los numeros P(0) — g, P(±l ) ~= q+ 1, obtenemos que

ipmi - f\ i U_lii\ j Iflrl s i + « j , | P ( . ) l = m a x { | g | , | f f + l | } = | I ? + 1| s. te + l f > | 9 | |

1 1 es decir, sup ji^a;)! — +5- Ahora, tenemos

r 1 1 1 1minEp = mfnmix{|g|, \q + 1|} - mm i + q if K Z L} z

para 9 = - •

Ii IH. Jixtremo* de ttit.* liitirloii '.!.'7

1 6 7 . St: denomilM t/iwj'rjiwit ulnointa do dos ftinnniuw / y </ en cl segmento I", lj "Imimcro

A = sup |/(*)--jrfa)|.

Determinar la desviacion absoluta de las funciones / : x x2 y g ; x »-+ en el segment"[0, i j .

Solucion. La funcion <p : x i—» f(x) — g(x) es derivable en [0,1]; en los extremos de i\sU*segmento toma ios valores iguales y>((J) — <p(l) = 0 y en el intervalo jO, If iicne un unicnpunlo eslacionario x = \.

For consiguiente,

A = ^ x { M Q ) | , | y ( | ) | } - J , ( | ) | - A . ^

168. Determinar el minimo de la funci6n

/ max{2f®|, |1 + «|}.

A Solucion. Si 2b: | ^ |1 + a'|, tenemos ni<Sx{2|a:|, [1 — 2\x\. For tanto, fix*-* 2\x\ - o o < a ^ — j , o bien x > 1. Si 2\x\ < jl +x\, entonces m.ix{2[a;|] |1 +a|} = [1 + ®|. Forconsiguicnte, / : a; *-> \x f-1] para - J- < x < 1. De este modo,

f I 1| si <x< 1, 2\x\ si

Analizando la derivada

/' • z W / 1 ^ " 3 < X < [ 2 sgn x si x £ ,

vemos que los puntos X! = —j y x2 = 1 son candidates a extremo. Al comparar losnumeros / ( - 5 ) = | y /fl) = 2, obtenemos que /„,<„ = y >

^ EjerciciosDeterminer los extremos de las funciones siguientes:

369. / : i h

370.

371. f&p Hi: \ + £ O^x^z. 372.i-.i

373. /:»«-» 374. /• x 1-. j j t l^ l fe atj1"^. 375. / ^ coslw * + c h " VJ itn t¥

376. f :x >-> ^(cosx + |cosx|). 377. / ; X — Y, x = 3t - t3, y = it - t\ (J ^ ( ^ 1.378. / : I fcos^, « < $ < f . 379. fiX-* Y. sT1 + +a?y +1 =. 0.

Hallar los mi'nimne de las funciones siguientes:380. / — max {chs + k 4 - c h ^ l . 381. / : x irulxft - \x t- 3j, 1 - - (a? - 2 ) 2 } .

7 3—JT> d o n d e *!*<» i + < + t + f = a[l "*!#<-T|

•1> » = f -

0, 1 = 1 V 1 = - 1 .

( '.iptlulo (7dm I o t l i l i 1 it1 mi ill | m i , i hnuiones de una variable

llallur los mjximou dc las funciones si^uifiiUvs:

3H2. J : a: i • n u n ( x I 5 , In x , J a ; } . 3 8 3 . / : x i m u n i { a:, (x I i f -- , ljl } .

HaJlar los vatores indximos dc las funciones siguientes:

384. / : a; {x - l)2(a; - 2)1, - 3 ^ x ^ 4, 385. f : x -1 ^ a? ^ 1.I V C 1-1 J!^^ - • ^ r InV" i 0 <£ ^ TT, cos x cos ~... cos -386. f 21 ~ 387. f : x ^ 2

X . ! • ' 4 , ® = 0 . 2 -cos a; cos ^ . . . cos —

Hallar los valores muiimos de las funciones siguientes:4 I*]

388. / ; z h + - -a;2 - h 1, -3 ^ x ^ 2. 389. / : x sen kitx, 1 ^ x ^ 4,

390. / : X —* Y", a?3 -h y3 - 4,5a:y = 0 (0,5 ^ ar ^ 1,5; 0 < y < a), / es una funcion continua.391. fix*-* — sen(tt sen x)T 0 ^ x ^ |, a > 0.

En los problemas que siguen a continuacion, para las funciones dadas / determinar susaproximaciones / * de modo que sup |/(x) — | sea mmimo (la funcion f* asi

definida se denomina aproxtmacion de Chebtehev de la funcion dada):392. / : x x2; f : x a^ + a}x2 + a2x4, 0 < r? ^ 1.393. f i x h€hT; /* : a0 + t ar -f a^x2, 0 ^ x ^ 1.394. fix^ ex; f : x ^ g g , 0 < or 1.395. / : a? - 6a?2 -f 6a; -f 1; /* : % 1 ^ a? ^ 5,

Determinar los valores nunimos y maximos de las funciones siguientes:

396. / : x e ^ ( V2 + sen ^ J , ^ 0, x G [ - i t , t t].

^rr * f — Inlsenarl, x ^ &7T. . ^ , r . . . 397. / : i h | j ^ ^ 1 A: 6 en el segmento [-4tt, 4tt].

Hallar inf / t e ) , sup f(x) de las funciones siguientes:

398, / : ar e~7 ^ 4-genajJ, f ( f ) = - 1 en el intervalo ]0, H-oo[.

399, f : x h-> sen x — |aj — gs| j a ]—1,En los problemas que siguen a continuation^ para las funciones indicadas / hallar lasaproximaciones f* € { / * } que satisfagan

sup | fix) - /* (a) I - inf sup | fix) - f* (X) |,

dondeao + a^x + a2x2 x ^ xGi

(6q H- b^x a;0 < x < fcx)./

- s : x *-r 2\-i

400. 401. / : a; i— (1 + x ) e~x.402. / : x ^ (1 - x1) 403, fix Vl + x + x2 e~x

§ 11. Construccion de la grafica de una funciona partir de sus puntos caracteristicos

Para analizar y construir la grafica de una funcion y — f(x) dada es convenienteutilizar el esquema sigutente:

L Determinar el dominio de la funcion, su periodo, los puntos de interseccion con el eje Ox, los intervalos de signo constants, la simetria de la grafica de la funcion, los puntos de discontinuidad y los intervalos de continuidad.

!) 11 < iHiufniKmn ili' l,i grtfllea lie uii.i tuiicimi

2. Vmjhw nl tti gnijirit licnc asftttotas. 3. Ihilhir b:i iuli'ftifilos de monotonia tie lafiun'htii;/ ha* fi/wlo* cxtivinite. 4. Ik'teriniuitr hts intervalos da cimcavidud ij amwxidtid !/ los pmitm de hlflrxioti dc

la grafica. 5. Cansimir la grafica de la funcion.

Construir las graftcas de las funciones siguientes:

Solucion. 1. La funcion est3 definida y es continua para todos los x, positiva para x * 2 y negativa para a; < 2; y(2) — 0.

2. De lim y i l se deduce que y 1 esJ—,±CX>

una asmtota de la gnlfica para x —» -foo, e j - —1 esla olra para x —> -oo .

3. Dado que la derivada

, = 2x + \ f " vix^rT? \

< 0 si x<

> 0 si x > — j,

i

V , 1

0

-1/2f i T

N ^ i

- 2entonces la funckm decrece para x < — 5 Ycrece parax > — e n el punto X = - j se tiene un minimoigual a -sfS & -2,24.

4. Al determinar los signos de la derivada segunda

Fig- 22.

y V + l f

< 0 si x < - 3lV418 '

> fl si - 3 - ^ < x <

. < 0 si3 '

deducimos que para x < — —1,18 y x > X 0,42 la grafica es convex.i y

para — < x < 41 la grafica es concava; los puntos de inflexion son X\ « - I, I fi;& -2 ,06 y x2 » 0,42; y2 » -1 ,46.

5. La grafica de la fu no lull se da en ia fig. 22. •

1 7 0 . y = V ^ - < / x 2 + i .

Solucion, 1. La funcion esta definida, es continua y negativa para todos los x; su gr.'ilintes si metrica rcspcctci al eje Oy, pues y(x) = y( a;),

2, Dado que el limite lim y es igual a cero, entonces y = 0 es la unica asintote noj? -.no

bay olras asfntotas,3. A partir de los signos de la derivada

, 2((®a + l)' f <0 si x < 0,y = ] — < 3x ' (x 2 - f l ) i [ > 0 si x > 0 ,

deducimos que la funcion decrece para X < 0 y crecc para x > 0; en e) punto X ?= 1) sealcanza un mmimo iuual a —1.

Z M) i -ipilulo 2. t .diufo if i fore ni'iii I |mi.i iuiiiioncs de una variable

-r • i i • i iii i—nil 1 i • I i 11 F 1 1 1 1 • 11111iBi

Fig. 23.

x

4, Dado qui

ytt 2

9x ar + 1 x' \ 5 4 M \ - f l ) 3 +3E* - xn < 0

�� � \x\ < +00),

grafica de la funcion (fig. 23). >

entonces la grafica de la funcion es convexa y no hay puntosde inflexion.

5. A partir de los datos obtenidos construimos la

171. y|1 + x

i i • -nw~n

yfx

^ Solucion. 1. La funcion viene definida, es continua y positiva para todos los x > 0.2. Es evidente que lim y — +oo, por tanto x — 0 es la asintota vertical de la grafica

af—++opara x +0, Existe tambien una asintota oblicua y -- kx + 6, siendo k

b = lim (y — x) = es decir, y ac—»-|-oo ^

3. La derivada primera j/ satisface las desigualdades

lim -a;-»-W)x 1,

yi * • -x 5('l + x)i(2x - 1)

�� siSI

* < 5X>\,

i l lpor consiguiente, la funcion decrece para 0 < x < ^ y crece para x > ; en el punto x — -la funcion tiene un minimo igual a \y/3 & 2,60.

4. Dado que

ytt >0 (0 < x < +oo),

la grafica de la funcion es concava.5. La grafica se da en la fig, 24, •

• ••IB II • I I I I I I I- • • • • i • — - • • • • • B M I • • I . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • i •

vi

o x

Fig. 24. Fig. 25,

172 * ysen x

1 • nnilTTTI^BHV

2 + cos x Solucion. 1, La funcion esta definida y es continua para todos los x; su periodo esigual a 27r; el centro de simetria es el origen de coordenadas; y = 0 para x = kir ik -- 0. + 2 , . . E s obvio one sen v — sen sen x.

fi 11 t 'i)iiHlniii i(in de !,i gniliea dt1 (lilt) lliiltiriii Z,ti

2. No Ijiiy .ti.inliil.ir>. Tomando on considcr.icldn cl hcilio do ijiiu la ftincidn oftperiodica, ttnalirfiuosla oil ol .segmento [0, 2tt].

3. Al dclerminar los signos de la derivada primera

> 0 si 0 0 ! < ? f ,i

y1 I- 2 cos x (2 1- cos a:)2

< 0 si f < ® < f ,> 0 S i y < x sS 2tt,3

vemos que para 0 < X < y; y < x ii 2v !a funcion crece, para ~ < x < y doom*y para j ) - | y i 2 = y tiene un maximo igual a ^ « 0,58 y un minimo igual a

- 5 5 ~ 4. Dado que

„ 2 sen a; (cos x - i) f < 0 0 < x < n ,y ~~ ~ (2 4- cos xf \ > 0 si tt < x < 2tt,

entonces para 0 < x < -a la grafica es convexa y para v < x < lit es concava; ademas,•£\ — tt, yL — 0 es el punto de inflexion,

5. La grafica esla presentada en la fig. 25, >

173. = •4 Solucion. I. La funcion esta determinada para todos ios i > l y « < —1; en diction

intervalos la funcion es continua y positiva, verificandose, ademas, y > 1; 1a grafica o h

si metrica respecto al eje Oy; t/(-l - 0) = j/(l + 0) = 2 ^ .2. Dado que lim y =% entonces v = 1 es la asintota para x —• oo.

3. Tenemos> 0 si x < -1, < 0 si « > 1,

por consiguiente, la funcion crece para x < —1, decrece para r > 1 y en los puntos x IItiene un maximo dr frontemigual a 2V \

4. A partir de la desigualdad evidente

y"-=y Inif —J== - ~4=+x1U2(^4== - * V +

A'V y V - If Vt^+lp

V^Tl v ^ - 1 s/(x2-lf v ^V.

t2 -I-1)3}

- y [ • I' — + 1 ] In 2 > 0 + v V - i ?}

sr deduce que la grafica es concava.5. La grafica estd presentada en la fig. 26, K

IJ D.iiln unn Itmchin f(x), « J » < .1 {fl < x S t>), se dico que on el pun In o (Ii) esU) hone un mAxdt- fivntera, si (xlstc un semientorno ]u,i[ C (n,irf (M, c ]/Mi) tal qtie f{n) > f(x) (/(/j) > fU)} P<im toiios los X do este scnucntorno. An;51of;;micnic se define el minimo dc frtmtera

') il ('.lpihilo 2. ( Vilt ulo ilifvivnt i.il para liiiuioin's do h i m v a i M b l i 1

-1 0 + 1 X

Fig. 26. Fig. 27.

174. y-x .r

Solucion. 1. La funcion esta definida, es continua (como superposicion de funciones1 I t

elementales y = x * llli2. lim y = lim e = 1 , por tanto y — 1 es la asintota para x -foo.X—»-+co X—>-+OC

3. A partir de las desigualdades

) y es positiva para x > 0.

£/ 2/

a; (1 — In x) > 0 si 0 < x < e, < 0 si e < x <

se deduce que para 0 < x < e la funcion crece, para e < x < -j-oo decrece y para x = e 1tiene un maximo igual a e~; ademas, y(+0) = 0.

4. Omltimos el analisis de la convexidad y de los puntos de inflexion.5. La grafica se da en la fig. 27. •

1 7 5 - y = (l+x)K Solucion. 1. La funcion esta definida para x > — 1, # ^ 0; es positiva y continua en estaregion. Debido a que lim(l 4- x) e, entonces x — 0 es un punto de discontinuidadevi table.

2. De las expresiones lim y — -foo; lim y = 1 se deduce que las asintotas son:• £ — > — 1 + 0 • 4 - 0 0

= —1 para a? —* —1 + 0, e y = 1 para x —+oo.3. La derivada

x

ry = y \x(l-

���� � x) (1 + a ) x- I <x <0, 0 < x < +oo,

a —&es negativa. En efecto, tomando . la desigualdad

x en la desigualdad del ejemplo 90, d) llegamos a

xI + a?

< ln(l + x) < x (x> 0)

que es vaJida tambien para - 1 < x < 0. Utilizando dicha desigualdad obtenemos

/ 1y = y

ln(l + a:)x(l + x) x <y

lx(l f x) X2 +

X \ r 2 + se3 /

0

De este modo, Ja funcion decrece para todos los x del dominio.4. Demostremos que la derivada segunda

yn y

i ln(l + x) x(l + ar) a? + 1

x3 2 ln(l + x) - 2% + 3x (I + x)

es positiva. Para eso, consideraremos la funcion

J) M ( i>ii.'*lMU'i'j()ii J c l.i gi'.iltia di' llii.i liiiii'iou

<p(\K) 2 lul l 4 x) - 2x -i- yy-0 I xf

Dado que <p'(x) — ^ ^ > 0; -I <z < +cc; y ^(0) = 0, entonces< 0 si - 1 < i < 0, y <p{x) > 0 si 0 < x < +oo. En este caso,

£i<p(x) > 0 para - 1 < x <0, 0 < x < -l-co. Para estos mismosvalores de a,* ia derivada segunda y" > 0. Por eso la grafica do fafuncion cs concava,

5. Basandose en eslos datos construimos la grafica(fig. 28). •

V{

Vl-1

Fig. 28.

1 7 6 . I (X > 0).

I Solucion. I. La funcion eslrt definida, es continua y positiva para lodos los a: > if;t/{+0) = lim xexp { s i n ( 1 + M } = 0 .

2. Hay una asintota oblicua y = kx + b, siendo

k = lim - = lim f l = X a -t+wj \ X J

b — lim (y — ex) — lim x fexp ja; In } ~ =

=js&* M* (I - 2?+t> (?))} -e)e(4+o(i))3. Tenemos

por lo tanto la fund6n creee para x > 0.4. La derivada segunda

= y ( 2 , „ ( ] + ! ) + In" f t + -1 ) - - ) \ x(l + x) \ x) \ x) :c(l + x)2)

es positiva. Para cerciorarse de esto, de/inamos una nueva variable t ~ 'ry apliquemos t>J teorema del ejemplo 104 tomando

<f>(t) = {(1 -I-1) In(l + 1 ) + tz) \ i>{t) = tA + + f , ln = 0, k — 4.

Vemos que todas las condiciones del teorema 104 qucdan cum pi id as. Porconsiguiente, si x > tl, entonces y" > 0 y la grafica de ia funcion esconcava.

5. La grafica de la funcion esta presentada en la fig. 29. p-

Kg. 29.

177. y - f-''

Z M ('apilulo 2. (Viltulo dilm'iK'iiil para luuciorio.s do una variable

Solucion. I. La Iunci6n esta dofimda, es continua y positiva para todos los valores do x, a oxcepcion de los puntos x ~~ ± \, en Jos que la funcion presents una discontinuidad y,ademas,

2/(1 - 0) - 0, + 0) = +oo,y{\ 0) = +oo, 1/(1 + 0) = 0.

La grafica de la funcion es simetrica respecto al eje Oy. 2. Las asfntotas de la grafica son: x = para x —* -

y = 0 para a; —* oo. 3. Hallamos la derivada

1 + 0; x — 1 para x —> 1 — 0;

yi 2x ei7? 3-x

(1 +x2)2 (1 X )2*

Debido a que y* > 0 para —oo < x < — V3; 0 < £ < l y l < a ; < y/3, entonces paraestos valores de x la funcion crece. Dado que y1 < 0 para —V3 < x < -1; 1 < x < � n/3 < x < -f oo, por consiguiente, en estos intervalos la funcion decrece. En el punto x = 0 hay un minimo igual a e, en Ios puntos x — x — se alcanza un maximo igual a

Ayfc 0,15.4. Calculando la derivada segunda

Vtt 2 y x2)2 + x2 (1- x2) (9 + x2 + 7x*-x6)

(1 a2) (1 + x1)

vemos que y" > 0 para \x\ < 1. Ademas, yr,(y/T^) > 0; y"(V3) < 0 e y"(x) x —+ +oo. Por consiguiente, en cada uno de los intervalos ]1, V3[, ]V3; +oo[ y ]-•

—1[ (dado que la funcion es par) existe al menos un punto de inflexion.5. La grafica esta presentada en la fig. 30- •

Construir las curvas dadas en forma parametrica:

+0 paraoo,

"178. x = 2t - t2, y=3t- t\ Solucion. 1. Las funciones £•(£) e y(t) estan definidas y son continuas paraPara estos valores de t se tiene ™oo < a; 1; — oo K y < +cc.

Por consiguiente, la funcion y = y(x) consideradaen funcion de la variable x esta definida para los valores—oo < x < L

m .

oo < t < -foe

2. Dado que x(t) oo, y(t) +oo x\t) ±00para t —» _Loo, la grafica de la funcion no tiene asfntotas.

3. La derivada

dy = 31 -i2

dx 2 1 - t se anula para ti — (a?itinuidad evitable para titenemos

—3) y presenta una discon-1 (X2 = 1). En este punto

Um ? = 3.; . 1 f't ,

c

Fig, 3D.

Jl I! t H»Filriiivi<)ti de lit gr.Wini tit' mill Itim'UVn Z'S.'i

4. Ln dcriVmlu nt'|')in(l;i

A2V fl 3,(1 - i fdx2 4 (1 -v ip

tiene discontinuidad en el punto t = 1. Organicemos estos do los en forma de labia;

( -no < i < -I - t < (< i 1 <t < l-oo

X -OO < X < -3 -3 <x <1 -00 < s < 1

y - 2 < y < 4-oc -2 < y < 2 -oo < y < 2

dydx

dij- f < 0 dxdy•~>odx

dy

d2vdx2

d2yd > 0 0dx-

De la tabla vemos que para -oo < X < —3 la funcion y(x) decrece; para- 3 < x < 1 la funcidn crece; para a' — - 3 tiene un minimo igual a —2, y para x ^ 1 tiem*tin maximo igual a 2.

Si x crece de -oo a 1, la grafica de la funci6n y — y(x) es concava; si x decreeede 1 a - c o , es convexa; (1,-2) es un punto de inflexion.

5. Utilizando los datos obtenidos construimos la grafica (fig. 31), *

179.

M Solucion. La funcion x(t) esta definida y es continua para —OO < t < I; 1 < f < I cc, I,arecta x = 1 es una nsintota verLical ppra < —»1, De la igualdad x(t) — f-t 1 f vemos quex — I + } es una asfntOta oblkua. Hallamos la derivada x'(t.) — p-jrr. Es obvio que on losintervalos ]-oo, 0[, \2, I oc[ la funei6n crece y en los intervalos JO, 1[, ]1, 2[ decrece;xmal( = 0 para — 0; %nvm — 4 para t — 2.

I,a funcion y(t) esta definida y es, continua para todos los valores de t, exceptot = ±1; ademas, ( = y t — 1 son asm to las. Dado que y'(t) — ~ jjj-^h < la funcion•jif/.l Herreer. nam hvlrwi l*\e t Hel (inrmmn Hifl t;i fimeinn fflc 33

('npihilo 2. C'.ilciilo dilcivmial para I unci ones de una variable

Nuoslm analisis mueslra quo la luni/inn // y(x) esta definida para oo < x ^ 0;i

i

2para t --> - 1 d: 0, entonces y 0 y x —

~ para £ —• 1, por consiguiente, y = j — - cs una asintota oblicua.

4 ^ x < | (X), Dado que x(t) —> ±oo, y(l.) y | 0 para t —• ±oo; x(t) - j , ty(i) —• ±son asfntotas de la funcion y — y{x), Adenitis,

lL — ..). l •'Jix 2* & x2

Hallamos las derivadas

dydx

i2 + 1 d2y 2(t - l)3 (i3 + 3i + 1 )I 11 11 I I •

t(t ™ 2)0 + 1)21 da;2 ^(f - 2f{t +1)3

1; ademas, r s y 0,07,de donde obtenemos que y 'z = 0 para tG ~ -0,32, t-\ = y(tn) & 0,37, Construyamos primeramente las graficas de la funcion en los intervalos porseparado.

Si -oo < t < - 1 , entonces -oo < x < -oo < y < 0; ylx < 0, y"z < 0 (fig,34),Si - 1 < t ^ 0, entonces +oo. La derivada segunda y%2 > 0 para-1 < t < to e y!J?. < 0 para 10 < t < 0; por consiguiente, para t — tQ obtenemos un puntode inflexion yo), donde Xq -0,07, Vo ^ 0,37 (fig. 35).

t. vi

H

0 x

yk

0

34

X

Fig, 34. Fig. 35. Fig. 36.

Fig. 37. Fig. 38

Sea 0 ^ t < 1. Entonces -oo < x ^ 0, -oo < y < 0, y'x > 0, > 0 (fig. 36). Si1 < t ^ 2., entonces 4 ^ x < Loo, ~ ^ y < +oo/ > 0, y,< 0 (fig, 37). Finalmente, si

23

El resultado se da en la fig. 39, • 2 ^ t < +oo, entonces x > 4, 0 < y ^ < 0, > 0 (fig.38).

• i • i m • i i

180. X t + e y 2 t + e -21

M Solucion. Las funcioncs x(t) e y(t) estan definidas y son continuas para todos Ios t.Aplicando la definicion dc asintota vemos que para t —• +oo las rectas x = t y y — 2t son asintotas de las graficas dc las funciones #(£) e y{i)f respectivamente, Tenemos

; x\0) = 0; xf\t) = c_< > 0 para todos los t; y\t) = 2 (l - e~2t), y'(0) = 0;-- 1 para t — 0.

x'(f) = ?/'(£) — > 0 para todos los f, De este modo, xmfn = 1 para t = 0; ?yT^s graficas de las funciones #(£) e son concavas ffie. 40, a, b).

1 - e -2t mm

ft 11 < 'iiitHtrmvkni de I.) gnHleji de una ftiticlAii

Fig. 39. Fig. 40.

Si -oo < t < 0, entonces 1 < x < +oo, 1 < y < +oo,y't = 2 ( 1 + > 0; y"i = -2 (V - 1) > fl. Si 0 < t < -l-oc, se tiene1 < x < H oc; 1 < y < 4oo; > 0; < 0 .

I'or consiguiente, la funcion y — y(x) crece, y su grafica esconcava para t < 0 y convexa para t > 0.

En el punto x •= I la funcion y(x) tiene un minimo igual a 1.Si t —• +oo, vemos que | 2, y - 2x —> 0, por eso la

recta y ~ 2x es la asmtota de la gTatica de la funcion para t —• + o o(fig. 41). •

1 8 1 . x ^ ^ . y - . a ^ t (a>D) .cosJ t

fig. 41,

Solucion. Para determinar la funcion y(x) a partir de las funciones conocidas x(t) e y(t), estudiemos primeramente su simetria, los extremos, los intervalos de concavidad y convexidad de la grAfica de la funcion y(x) y la existcncia de asmtota s.

Dado que x(t) — x(—t); y(i) — ~y(~t), la grafica dc la funci6n y = y(x) es simetricarespecto al eje Ox, Ademas, x(t) - -x(x + I); y{t.) ~ y(ir + t) y x 4* () = ~x ( y 1 i ) ;y ( f fy = $ ( y -t *) (0 < t < |), por lo tanto la grafica de la funcion y(x) es simetricatambien respecto al eje Oy.

Por consiguiente, para construir toda la grafica es suficiente determinar solo unaparte de la grafica de la funcion y(x) para x > 0 e y ^ 0, o sea, para 0 i < |.

St! tiene y'x = sen t > 0 para G < t < j , por consiguiente, la fuuri6n y - y(x) creceen este intervalo, y, ademas, x —* +oo; y —* l-oo para ( —* ^ — 0.

La derivada segunda es y"? = cos^ t sen"11 > 0 (0 < t < por lo tanto, si 0 < * < § la grafica de la fun-cion y(x) es c6ncava.

Notese que la grafica no tiene asfntotas verticals, envirtud de que x —• -fco solo para ( ^ - 0 e y —* +oo solo para

Para determinar si existe una asmtota oblicua y = hx 4- b hallaremos los limites

k = lim m = limi - f -a x{t) t-|-u cos 3 t =-3 ,

Fig. 42.

= 1.

xw ( '.ipilulo 2. (YiUulo dilriTiH'iii] p.11,1 fmiciones de una variable

bt

Jim |?/{/) - ft lim ( V / ) -'! u / >'! o \ co!) / /

- OO

'or consiguiente, no hay asfntotas.La grafica dc la curva para todos los t (cos t ^ 0) esta rep re son tad a en la fig. 42. •

L _l LL J LU_ I I • I I • I • • • •

Construir las curvas siguientes, expresando las ecuaciones de las curvas en formaparamelrica:

1 8 2 . x2+i? = x4 + yA.Solucion. Obviamente,coordenadas. Para x > 0 y = tx (t ^ 0):

la grafica de la funcion es simetrica respecto a los ejes dee y ^ 0 representemos la curva en forma parametrica, tomando

x 1 + t 2

1y = t \ + i2

l + t4

Calculando las derivadas xf e yf determinemos los extremosx de las funciones e y(t):

Fig. 43..(l - 2t2 — f4) t

x'(t)=± : y\t) 1 + 2 r - 1• • I Mil

\x(t) (1 + i4) x(t) {1 + i4)

Por lo tanto, si t = 0 la funcion a?(£) alcanza un minimo igual a 1 (y = 0); si t

la funcion a;(£) alcanza un maximo igual a J ^ ^ - (y — . Para t — \W2 + l se alcanza

un maximo de la funcion y(t)f igual a y ^ ^ ( x MEs facil comprobar que en los puntos de interseccion de la curva con los ejes de

coordenadas existen las tangentes a la curva (v. fig. 43). •

183. 2 2 x y 3 3 x - y .

-4 Solucion. Haciertdo y = tx obtenemos

x 1_t2 y j^t1 (t? 0).

Si el parametro t varia dentro de los limites ]—oo, 0[ y ]0, H-oo[, la variable x puedetomar cualquier valor comprendido entre -oo y -| -oo; por consiguiente, la funcion y = y(x) esta definida para todos los valores de x,

A partir de la representacion parametrica de la curva se obtienen las igualdades

y X 1 . 1 -

i + t^ y

X t +1

de las cuales se deducen directamente las formulas asintoticas: y ~ x para i +0 (siendox —> -f-oo, y —> ±oo); y ~ x para t —> ±oo (siendo x —> ±oo, y oo).

Tomando en la igualdad inicial x-y—uyx+y-v obtenemos la igualdad(n T V 2 .

v - u ) — I2v u t- que re vela la simetria de la grafica de la curva respecto al ejev = 0, es decir, respecto a La recta x 4- y — 0.

ij 11 (oiiHtriiinon tie l,i ^nlHea de unit luitrii'tu 23 ' '

Cilll'llltllllllt IiL't lll'l'iv.lll.is

dy I 21'(I" I 71" I I) dx 2 + f3 ' dx1 ' ~ , , i\1 * ' h

vemos que para t0 = ~\/l & - 1 , 2 6 (afo = 1,tW; Jfo = - 2 , 3 8 ) amkis

derivadas y'x e no existen e y'x = 0 para t2 - ~yf\ ~ " 0 , 7 9 - » 2,.1M;

J b = r - | v ^ f S J - 1 , 8 9 ) .

Ademas, 0 para tx = - V m Z _ i t 9 o (®t jy 2,18; ft « - 4 , 1 4 ) y para

= W - 0 , 5 3 fe s» 4,14; ¥3 « -2 ,18 ) .

Utilizando dichos resulta dos y tambien la tabla siguiente:

t —00 < t < t\ it < I < ta<t<ii h<t<h /j < i < 0 0< t< l-oc

X i j < 1 < +00 * f t < £ < Xt) < X < X2 £•> < X < Xj < a: < f oo -OO < X < 1 'Hi

y -00 < j/ < si y\ <y< m yu<y<y>. Ks < JJ < lb <y<yi — OO < IJ < 1 OL>

u'x < 0 y'<<Q y'*<o y'*< 0 sri > I)

& £ < D # > 0 v%<a y", < 0 $ > 0

construimos la grafica dc la funcion y — y(x) (fig.41).

1 8 4 . Construir la grafica de la funcion ch" x - ch y = 1.

* Solucion. La grafica de la curva es simetrica respecto a los ejes dc coordenadas, puestoque a! sustUurr x por -x e y por —y la ecuacion de la curva no cambia de forma.

Si X > (J; y > 0, la ecuacion de la rama correspondiente N y ide la curva tiene la forma sh x = ch y, de donde x —

Infch y + \f\+ ch2 y \I lay una asmtota x = ky I it, siendo

jfc= Iim ^ = % b= lim Ms) ~ y) = 0-jp-• too y II—+nc

Hallamos la derivada

sh y

0 + ch2y

Fig. 44.

de donde se deduce que la funcion x — x{y) crece para y > 0, y en el punto y — 0 alcan/.asu minimo igual a In (I + \/l).

Dado que„ 2 c h g

xsi = — r > t),(l +ch 3 J/)5

vemos que la curva es concava para y > 0. Teniendo en cuenta la simetria respecto a tosejes de coordenadas construimos la grafica dc la funcion (fig. 45).

2<H) ( it| H111(o 2. (\iltulo iii iVri'tiriiil \>,\i .\ luiuiones de una variable

i] ConalTtMi' las gr<1lic.is do las (unciones dofinidas en el sistema polar de coordenadas(tp, p) • (»:

1 8 5 * /) — a — d o n d e 93 > 1 (a > 0),ip — 1

-1 + Vs

Fig. 45. Fig, 46. Fig. 47.

M Solucion* La funcion p(<p), por ser una funcion elemental,lim p(tp) — +00, la funcion tiene asintota tp = 1; lim p(tp)

5P — 1 -t-0 tp +QQaproxima as into tic a men te al polo describiendo una espiral.

Calculemos la derivada

es continua. Dado que= 0, es decir, la curva se

/ 1P9 a thy?

Ill I ! • • Illl I I I ! •

ch2 1) (<P~ 1):

•j

Dado que tp — 1 < ^ sh2ip para <p > 1, entonces p9 < 0; por consiguiente, la funcion p(tp) decrece (fig, 46). •

186. (p — arccosp-1p2

M Solucion. El dominio de la funcion se determina a partir de la desigualdad

IP-1| ^ P de donde se obtiene que

Pi1 + V 5• 1

2^ p < +00

Los valores limites de (p en los puntos de frontera son:

<p{p) f>~> p x; lim ip{p) p — r t - Q U

7r2

Como p—\^p , la funcion (p(p) no tiene ceros y es positiva,A partir de la derivada de dicha funcion

<P.t p~ 2

II I I • I • • !•••• • I •• I

M S " * ) 2"I

vemos que en ei punto p = 2 se alcanza un minimo igual a arccos En el punto p — p\ laderivada no existe; en este punto la funcion toma un maximo de frontera igual a 7r. Para

< p <2 la funcion decrecc y para p > 2, crece.

Ji I I < 'iHUill lli'rioil iii1 1.1 gi.tlica ill' llll.l filll«'i1111 \

Coll Hi yit lli'imifi Mt'li.ililtlo (veanse los valores liltlllt'S < It* tyi m ios jntlllos tit' (ioiilci.t),la funcidn time iiDii intuitu la vortical. Ha Ik'mew su dtstaucfil ft do! polo. 'lonemo.s

a = lim p cos tp(p) I im p ••••, '• • I./J —OO p "Xl P"

La grafica se da en la fig. 47. •

1 Construir las graficas para las familias de curvas siguientes (a es tin par&netrnvariable):

1 8 7 . y^x±yja(\-x2).

4 Solucion. txaminemos dos casos: a) a > 0 y b) a < 0.a) a > 0. El dominio de la funcion es: 1 - x~ > o sea, |a;| ^ 1. Los ceros tie

la funcion son: ? 8 8 para - y j \ t i < £ < 1 la funci6n y = x + ^Jti {I -- x7-)

es positiva y para — 1 < x < -\j x^ es negativa; para — 1 < x < yjjf^ la funcion

y — x yja ( l - x 2 ) es negativa y para yj^fj < x < 1 es positiva.Calculemos la derivada

ax

de donde se deduce que para x — la funcidn y = X 4- (I — :e2) alcanza un

maximo igual a v'a + 1, y para x — — \ J l a funci6n y — x ~ ^Ja (I — x2) alcanza un

minimo igual a v o T l .Los puntos X = ±1 son puntos de "contacto" de dichas ramas.De la expresion dc la derivada segunda

( i - ^ ) \ja ( t - «*)

vemos que la grafica de la rama superior de la funcion es convexa y la grafica dc la ramainferior es concava (fig. 48).

Al variar a clcsdc 0 hasta I oo obtenemos una familia dc clipscs que pasan por lospuntos (—1, I) y (L I) (fig.49);

b) a < 0. El dominio de la funcidn es jxj > T. f,as asintotas sou y = k\j: j />;

y — k2X + b, donde fci 2 = lim — = 1 ± V—a; 6 = 0.

La grafica se da en la fig. 50. •

1 8 8 . y ~ x e . ~ " .

t Solucion. Examinemos dos casos: a > 0 y a < 0.1, a > 0. La funcion es positiva para X > 0 y negativa para x < 0. Calculemos la

derivada

( .ijululo ?. (Yilaih) ililiMriu'iikl | m i j luncioncs de un<i v;nk

Fig, 48.

\V

. 0 .

A

4 /

x

-1

/ /

H a> o

B C T O p u n yyiiL'AHMCtlHa

a

Vk

1

fiCf

Fig. 50.

Fig. 49.

5/

(a = -1)

«<0

x

Fie. 51 Fie. 52.

^ !'.' I'ntliji-tit.ri «U* cjikulo lit* illiixlmil* y tiiiiuimiH de una funcion

de donde result,! que p;irn x a sv alcanza lin m;1ximo i^u.iI a Atletfulti,

„ ( x 2X

de donde se deduce que x = 2a es un punto de inflexion de In Funcion y: para ar < 2u la grafica es convexa y para x > 2a es cdncava. Como .re '« U pitra x —> l oo, fa reel.iy — 0 es la asmtota de la grafica de la funcion para x —> ,-oo.

2. Si a < 0, vemos facilmenle que este caso se reduce al caso anterior sin mas quesustituir y por — y y x por —x.

La gnifica de ia familia se da en las figs. 51, 52. •

fjjl EjerciciosConstruir las gr.ifkas dc las funcioncs siguientes:

'UM. a) /(a-) = sup {sonar, cos a:, tgrc}; b) f(x) — inf {sen x, cos x, tg r } .405, x = (cost, y ~ t sen t, z — t. 406. x -•• a cost, y — a cos2t, z cos31,

Hallar cl lugar gcometrico de los puntos cuyas coordcnnd.is satisfacen fas ecu a dunessiguientes:

407. ( l - x 2 - |l - * * ) ) * + y- - 0.408. |1 - j s? j -11 ~y\- |y|) ( 2 - y s - | l - y ? | - H - » l - W ) = 0 .409. ir + y2-1-9 - l^ + y4 1| - |2 - - + 3| - \x\ - |5 - x\ - t).410. 2 - l l - x - i f | |l + :n-yj - |y|«0.

§12. Problemas de calculo de maximosy mfnimos de una funcion

189.Demostrar que si la funcion f{x) es no negativa, la funcion Fix) — cf2(x) (r. > I))

tiene los mismos extremos que la funcion f(x), < Solucion. Para concretar, supongamos que la funci6n f(x) alcanza un maximo en el

punto art). Entonces existe un 6 > t) tal que para todos los x de) entorno 0 < Ja: ic j • t) se verifica la desigualdad /(x) < f(x{)).

Como f(x) >• 0 y c > 0, de la ultima desigualdad se oh tiene que

cf\x) < c/'teo), es decir, l<\x) < F(x;)).

Lo ultimo quiere decir que en el punto x<) la funcion F(x) alcanza su maximo. Eti el uisodel minimo la demostracion es analoga. •

190.Demostrar que si una funcion <p(x) crece monotonamente en Sentido estriclo pui.i

- o o < x < +00, entonces las funciones f(x) y ip (f(x)) tienen iguales extremos.< Solucion. Sea xu un punto maximo de la funcion f(x). Entonces, para todos los x del

entorno 0 < ja; — IPul < <5 se verifica ia desigualdadf(x) < fix{}) = fo.

Debido a que la funcion <f(x) crece monotonamente en sentido cstricto, la desigualdadf < fo implica la desigualdad

#>(/) < <p(fo), c.q.d. Analoga mente, suponiendo que en el punto xq la funcion <p (fix)) alcanza m maximo llegamos a que la funci6n f(x) tambien tiene un maximo, •

/'I'I (.'ii|H'tulo 2. (MUulo tlilViviu i.il paiii luruioniH de una variable

<4

191. jJ'ai'u que valour de la base de una funcion loganlniica puede existir un numero(aI que sea j la vcz cf argumento y cl valor do la funcion en dicho punto?

Solucion. Sea y la base do la funcion iogantmica. Segun las condiciones del problemadebe verifica rse

logy a; = x (x > 0, y > 0, y ^ 1),

ide donde y = x •,

La funcion y ya fue examinada en el ejemp-lo 174, de donde, en particular, se ve que y no superaa ymCiX = e<-, es decir, en todos los sistemas logarft-

imicos de base y (0 < y < e7, 3/ / 1) estos numerosexisten. •

\\ ' / ^ X \ ' /

^ r /

v i /

\ t J

CR

\ i /

OFig. 53.

1 9 2 . En un segmento circular no mayor que un semiclrculo, inscribtr el rectangulo dearea maxima.

Solution. Sea la altura del rectangulo buscado igual a x y el ancho igual a 2y. Designemos mediante 2a el arco del segmento y mediante 2<p el arco comprendido

por uno de los lados del rectangulo (vease la fig. 53), entonces obtenemos que y — R sen (p;x = OE - OB — j R ( c o s (p — cos a ) . Por consiguiente, el area del rectangulo es igual a

2S = 2xy = 2R sen y?(cos <p — cos a).

Igualando a cero la derivadaS'(<p) = 2R2 (2 cos2 (p - cos ip cos a - l ) - 0,

obtenemos que

cos a: + Vcos2 a + 8 cos a - Vcos2 a -f 8 cos tpi = , cos tp2 ~ 4 4

Notese que segun el sentido misrno del problema, el arco (p2 no nos satisface.Dado que S'((pi — <?) > 0; S'((pi + £) < 0 (para e > 0 lo suficientemcnte pequeno),

entonces para

COS ip\ cos a + Vcos2 a -b 8 4

la funcion S(<p) alcanza un maximo. •

1 9 3 * En la elipse -fa l

i

fe" = 1 inscribtr un rectangulo con los lados paralelos a los ejesde coordenadas y de area maxima.

Solucion. Sean 2a? y 2y las longitudes de Ios lados del rectangulo, entonces S = 4xyrdonde x e y son las coordenadas de uno de los cuatro puntos comunes al rectangulo y a la elipse. Para simplificar, escribiremos la ecuacion de la elipse en forma parametrica

x -- a cos t, y = b sen t.

Entonces 5 — 2ab sen 2tr de donde S max 2ab para t = \ y x ~ y hvT •

|j ��� �'hi���piuiik � � � ���� �� iiulxlniiiN � (iii'iilnuw �� � fiiiit inn '.M.

194. llailar Iii liilif.rulc a la elipse | \„ f rn cl punto /Wft;,/;} que formo untrianguio do area minima con los ejes He coordenadas.

•4 Solucion. La ecuacion dc la tangente a in elipse cn el punto do coordenadas f:n(). lit'iirla forma xx0 , yy0+

b2= 1,

de donde se deduce que la tangente define en los ejes de coordenadas los segmentos ticlongitudes ~ y —. Por consiguiente, el area del trianguio es S = .

Al parametdzar la ecuacion dc la ciipsc, rcsulta S — dc donde 5mj|, — ah pamj * , „ a h t ~ p m = yo - *•

1 9 5 . La seccion transversal de un canal abierto tiene la forma de un trapecio isiV;cclrs.jCuil debe see la pendiente <p de los lados respecto a la horizontal para que el "pe n metromojado" de 1a seccion sea minimo, si el area de la seccion de la corriente de agtia encanal es igual a S y el nivel del agua cs igual a hi

Solucion. £1 "perimetro mojado" P se determina por la formula (fig.54)

J° = a + 2 h

sen ip

t l area de la seccion de la corriente de agua es

S — h(a + h ctg ip).

A partir de las formulas (1) y (2) hallamos

P - f - f c c : t g * > + — .h ° sen tp

���

La derivada de la funcion P, igual a

' j __ ICQSlp \ sen2 ip sen2 <p

indica que el minimo de la funcidn P sc alcanza para <p = £, •

1 9 6 . Denominaremos "simwsidad" de un contorno cerrado que limita un area >ST alcociente que resulta al dividir cl periinebfp dc este contorno entre la longitud de lacirciurtferencia que iimita el circulo de igual area S.

Determinar la forma de un trapecio isosceles ABC'D jj (<(AD\';BC) de minima "sinuosidad", si su base An es igual a 2a y el angulo agudo BAD es igual a or?

4 Solucion. Sea Tl la "sinuosidad" del trapecio. Entonces, pordefinicion, se tiene (fig. 55)

I )

n : 2\ZtyS'

Fig. 55.

donde S - 'Jid^AB sen L = 2AB + BC + 2a.

2'U) ( \ipilulo 2r Cjiltuilo dilVtvncitil I'imt'tonoN Jo una varLihlc

Como2a - DC • • •• 2 A Ii cos a, 0 )

entonces, designando AB ™ x, obtenemos

Il(x) 2a + x(l - cos a)Vtt\J\2a - x cos a)x sen a

Analizando los extremos de la funcion U.(x) obtenemos que la ultima tiene un minimo para

x — a sec'2 a 2

A partir de (1) se obtiene BC = 2a tg2 f . Debido a que la mitad de la altura del trapecior = | sen a es igual a la distancia desde el punto 0(ay r) hasta el lado AB, entonces en eltrapecio obtenido se puede inscribir una circunferencia de radio r. •

in 11—11 II • •• ••• • • • • ••• ••••• ••••• ^ i M i M i m i i

1 9 7 , ^Que sector se debe cortar de un circulo de radio R, para que de la parte restante

se pueda hacer un embudo de maxima capacidad?

Solution* Si mediante ot designamos el angulo central del sector restante, el volumen delcono V es igual a R

24tt

2 r~ xtt yiic2 — a2.

El analisis de los extremos de dicha funcion de a muestra que su maximo se alcanzapara

a = 2tt •

1 9 8 , Dos barcos navegan con velocidades coristantes it y v a lo largo de Ifneas rectas queform rin un angulo B entre si.

Determinar la minima distancia entre los barcos, si en un instante dado las distanciasdesde los barcos hasta del punto de interseccion de los caminos eran a y b, respectivamente,

i Solucion. Segun el teorema de los cosenos tenemos

r2 = (a + ut)2 -f (b + vt)2 - 2(a + ut)(b + vt)

(fig. 56)7 donde r es la distancia entre los barcos en un instante arbitrario t. Analizando los extremos de la funcion r2(t) obtenemos que

r'(to) - 0; t o(bu + av) cos 0 - an — bv

u2 — 2uv cos 8 + v2

ry

Sustituyendo en r (t) hallamos

minjub - va\ sen 8

Vu2 — 2uv cos 0 -f v2

0

Fig. 56.

Si u se sustituye por —u, en virtud de las identidades

sen(?r — 8) — sen 0 y c o s ( t t - 6) cos 8

se obtiene r i i i t| »6 {-va] sen 0

mm Vu2 -2uv cosO + v2 ' •

H I.!. I'l'tilili'itiiin di' c.ift'tilo ilc m.fximo>< y mlnimim de una fuiu'ilm

199. Un punto Inn hi1 encueiilra en l.i In km dc ei'iilrus dc dos fits las tlmjunUw dcradios II y r {// • r) lucra dc dichas bolas,

Determinar la pnsicidn del punto luniinoso pam quo l.i suma de Lis .iieus iliuninadasde las superficies de las bolas sea maxima?

I Solucion. Halfemns In suma de las partes iluminadas de las superficies en funcion tie ladistancia x. Tenemos (fig. 57)

S - 2xR{R - xa) = 2TTR2 ( l - ;

Si - 2nr? ( l — " ) (ft ^ r + x), v a — x J

donde <1. es la distancia entre los centros de las bolas.Analizando los extremos de la luncion S + — f determinants el valor de j : ,

para cl cual la funci6n alcanza su maximo. Tiene que verificarse, ademas, que

a ^r + x~ri-

de donde + Ryf^-.Si ia derivada j\x) < 0, el maximo valor de la funrion /(x) se alcanza par,)

x\ = a — T; en este caso se cumple la desigualdad

a < r R ^ j

7

Fig. 57.a

% 58.

b

Pig- 59.

2 0 0 . lA que altura sobre el centra de una mesa redonda de radio a se debe colocar unabombilla para que la ill i mi nation del borde de la mesa sea maxima?

Solucion. Por iluminacion I se entiende la magnitud

I = k sen <p

donde r es la distancia entre la fuente dc la luz y el punto de observad6n (vease la fig.5H),k .. const, el angulo <p est A representado en la figura. Tenemos

/(at) = kx

(fi3 4- *

de donde hallamos la altura x,\ para la cual se alcanza un maximo de la funcion I(x}-. x< > = *

IK < ; 11 nil j lo '?_. C/iltulo difViviicial p.ir.i funcioncs de iin.i variable

2 0 1 . • IJn canal dc anrho h esta construido pcTpendicularmente a un no tit1 ancho a. ^Cuales la longilud maxima de Ios barcow quo puodon ontrar en este canal?

< Solucion, Como se ve a partir dc la fig. 59, la longitud del barco I puede ser expresadamediante la formula

b a 1 , sen <p cos <p

Analizando los extremes de la funcion I obtenemos que el valor minimo se alcanza para

V

De este modo, la longitud maxima posible del barco es igual a .1

+ b •

2 0 2 . Los gastos diarios de un barco en navegacion estan compuestos de dos partes: unaconstante (a rublos) y una variable que es proporcional al cubo de la velocidad, <?Quevelocidad v proporciona la navegacion mas efectiva del barco?

M Solucion. Supongamos que el barco recorrio S km en T dias. Entonces, los gastos G soniguales a

Ta + kTv3,n

donde k es el coeficiente de proporcionalidad. Dado que T — ™, se tiene

G — — \ kSv\ V

de donde hallamos la velocidad para la cual los gastos son minimos

v a2k' •

2 0 3 . En un piano rugoso horizontal esta colocada una carga de peso P . Hay quedesplazarla por medio de una fuerza aplicada. ^Que angulo deben formar la fuerza y lalinea del horizonte para que la fuerza sea minima, si el coeficientede rozamiento de la carga es igual a k?

Solucion, Proyectando las fuerzas aplicadas a la carga sobre ladireccion horizontal, a partir de la condicion de su equilibrioobtenemos (fig. 60)

T = FPk = (P - F sen <p)k = Fr - F cos

T

dc donde F kf Fig. 60.k sen (p fcos <p '

Analizando los extremos de la funcion F((p) vemos que el valor minimo de la fuerzaF se alcanza para <p — arctg A;. •

2 0 4 . En una taza en forma de semiesfera de radio a se encuentra una varilla de longitudI > 2a,

Hallar la posicion de equilibrio de la varilla.

I','. I'llili<rtit.iK tie Ciilv ttlo ill' 111,1 xinnt.H y iiiiliiiiiiiu de 1111,1 I uiieidn :m 'J

M SoluCidn. t'alniU'muiH l.t energia potenciai I ' do lit Viiiilla tvs|Hvln al londo do la la/a.'Ifcnemos /' m<ih, donde h — ^ son <p I y es la allur,) drl ernlrn do masas do la vitrill.trespecto a I fOlido do la laza (tig. 61).

A partir dc la igualdad tg<p = = obte-nemos x ~ —a cos 2tp.

UsandO la ecuacion de la semicircunferencia hallamos

y = ,2(1 - son lip).

Asi pues, P — mg sen tp + tt(l — sen 2<p)) . Dado que lavarilla tiende a ocupar la position en la que la energiapotencial es minima, hay que hallar tp0 para el cual sealcanza i*m(n. Tenemos

I + Vfi + 128 a1

16a ' Como cos tp <. I , el equilibrio tiene lugar solo para I ^ 4a; si I > 4a el equilibrio esimposible. •

Fig, 61.

RespuestasCapi tu lo 1

9. a) A U B - {x : - 4 < x < 4 } , A n B - {x ; 0 < x < 1 } , A\B = {ar : - 4 < ar ^ 0 } ,B\A {x : 1 < x < 4 } , A A B = {a?: ( - 4 < x ^ 0) V (1 ^ x < 4) } ; b) A U B -{a; : < a; < 6 } , ,4 fl B = {a; : 0 ^ x < 2}, A\B = {x : - 1 < x < 0 } ,B\A - { a ; : 2 ^ a? ^ 6 } , A A B - { a ; : ( - 1 < x < 0) V (2 < a; < 6) } ; c) A U B = A, A n B = B, A\B - {x : x = 2n, n G Z} , B\j4 = 0 , -A A B = {a : : a = 2n, n G Z} .10. a) A U B = B f i n fl = i , 4\B = 0 , B\j4 j4 A B = : < x < 1,v T ^ s * < |g| ^ 1 - |a?|}; b) i U 5 - 4, i n B » B, B\A = 0, j|\B = 4 A B = {(as, y) : - 1 ^ ar ^ 1, 1 - M < |y| 1}; c) A U B = {(x, y) : (|x| + \y\ < 2) V ((x - if {y- 2f < 4 ) } , A n B = {(as, y): 0 < a? < 2, 2 - - x2 < y< 2-x}, A\B - {(sc, Jf):��� � x ^ 0, 2-x<y<2 + x)\f (Q < x <27-2 + x <y - VteT^l?)}, B\A -{(a?, y) : (0 < x 2-x ^ y <2 + \/4x - x2) V (2 < x < 4, ly - 2| < >/ic - a?3)},4 A B - (A\B)U (B\A).11. a) Conjunto de puntos del rectangulo limitado por las rectas x = —2f x = 1, y = - 3 ,y = l . Notese que los lados situados.en las rectas a: — —2, y — - 3 no pertenecen alconjunto Ax B. b) Paraleleplpedo limitado por los pianos x — 0, x — 1, y = 0, y = 2, z — 0, z — 3. c) Rectas paralelas al eje Ox que pasan por los puntos (0, n), donde n G Z.d) Rectas paralelas al eje Oy que pasan por los puntos (n, 0), n € Z.24. a), b), c) funciones sobreyectivas; d) biyectiva; e), f) inyectivas.25. a) /lj.^0]' /||0,+oo[; b) f [2mr-K/2amr+n/2]' 71 ^ f \ [2njr+jr/2,2njr+3ff/2]' 71 ^

27. a) a? = \/2oy - J/2, 0 ^ y < 2a; b) a: = — \f2ay^^r 0 ^ y < 2a,28. p = -ar + y . 29. y = ar - §. 34. a) (n 4- 1)! - 1; b) ±n(n + l)(6n3 + 9n2 - 1);c) n2(n + l)2(2n2 4- 2n +1). 37, a) ±2 ; b) 0 < a; < l oo. 39. a) 26; b) c) • 40. a) Re z - - 1 , lm z - 0; b) Re z = 2, 1m 2 = c) Re z = 2, Im 2 = 0. 42. a) \z\ = 125,arg2 = 4-3arctg b) = 0,25, arg2 - 0; c) \z\ - >/2cos arg2 - f . 43.^ . 44. v^2(cos 45° + i sen 4 5 ° \ ^ ( c o s 165" + i sen 165°), >/2(cos 285° 4 i sen 285°).45. 2(cos tp 4 i sen <p), <p - 30°, 90°, 150% 210°, 270% 300". 46. 2(cos <p + i sen tp), tp = 0°,60°J120°> 180°, 240°y 300°. 47. zt - - 2 4- i, z2 ^ -3 4 i. 48. = 2i, z2 - - 1 .49. zk = ctg fc - 1. 55. a), b), d). 57. a), c), d). 73. 0. 81. (e, e 2 , . . . , em).82, (e, v/e,,.. , v^e). 83. (In 23 In 3 , . . , , ln(m 4 1)). 84. (3,4,6). 85. (2, x/c)-

86. (e«)- 87. I J I 88. ^ ' ^ ^ 91. sup{/} = / M ) = - J ,

inf{/} - /(1) = 1. 92. sup{/} - +oo, inf{/} - -oo. 93. sup{/} - 4, inf{/} - 0.3 L 3 1 1 n 2 i - h / ^ r h i c t 1 - t - i r i t * ' H j i h i / ^ z — ^ — ^ • r - 1 s j t ^ 108.2 . 109. l m f ^ a . 111. 112. 113. y/a{a2 • - - 114,4«i

115, -T -TT. 116. — T* 117. e ^ . 120. i 121. 122. 1 123. 124. e _ l .r » ( p f l ) 2 2 2

125. 126. \/2. 127. J — -2, 1 - 2 . 128. / = 0, L - 1 4- b2. 129. I = - 2 ,L = 1. 130. I — Qf L = e. 131. I = c, L - e f L 132. i — L = 133. Con-tinua. 134. Continua. 135- Continua, 136. Continua. 137. Continua. 138. La

Kl'HpUt'KlilN

funcion piVHonfa una di-roidinuidad evitable en el jHiillo •>' t) 1,1V, Ui liinciun presonta disconti unidades rn Ins puntos x -- ~ -f- ftjr, k c //',. 14(1. I ,a I'uncKin pivsonladiscontuuiidades en Ins puntos x — + kic, k £ 141. Continua, 142. I.a funcidn cscontinua solo on Ios puntos x -- kir, k t X. 143. Continua. 144. Continua. 145. Con-tinua. 146. Continua. 147. Continua. 148. Continua por la dcrccha en los puntosa; = n, n g 'L. 14V. Continua. 150. Continua. 151. Continua. 152. X 0 ch un punto dc discontinuidad dc segunda espede. 154. a: = (2N -f 1)t , II £ Z, sonpuntos de discontinuidad evitable, 155. x = ±1 son puntos de discontinuidad desegunda espccie. 156. x ~ + kir, I: £ Z son puntos de discontinuidad evitable.157. x — | + kn, k t '£, son puntos de discontinuidad de tipo polo. 158. x -- tin, n t TL, son puntos de discontinuidad evitable. 159. z — 0 son puntos de discon-tinuidad de segunda especie. 160. x = n € 2>, son puntos de discontinuidadde segunda espccic. 161, Continua. 162. Continua. 163. Continua. 164. Continua.165. Continua. 166. Continua, 167. £ - j — 1, n, i = 1, m, k 6 %, son pun-tos de discontinuidad. 168. x = 0 es un punto de discontinuidad. 169. x = fl csun punto de discontinuidad evitable. 170. x =• 0 es un punto dc discontinuidad.171. Uniformemente continua. 172. Uniformemente continua. 173. Uniformementecontinua. 174. Uniformemente continua, 175. Uniformemente continua. 176. No esuniformemente continua. 177. Uniformemente continua. 178. Uniformemente continua.179. Uniformemente continua. 180. Uniformemente continua. 181. No es uniforme-mente continue. 182. No es uniformemente continua. 183. Uniformemente continua.184. No cs uniformemente continua. 185. No es uniformemente continua.

C a p i t u l o 2

1 2- f f ^ j S - 1 3 " 20. + U(z) = {ln x f .

24. ((a cos t - son t)er,i, (a sen t + cos t j f * , ( } ) , a'fsen t) cos i ) .

25. (p'if) sen <p 1 p{ifi) cos <p, p'(<p) cos <p -- p(<p) sen <p, 2<p - x, 3tp'2 - x2),

27. (2cos(e - -V\ e^* sen2s, f(sen2x)sen2x, -^'{cos2 x) sen2x).

( t fMf'ktel \ 30. a) I * ' ' . . 11 ; b) ( 4 f ( 2 sen a; + X cosx, 2cosx - x sen x)x. 31. a) (3, 0. ()}.V )

32. a) 1. 33. a) t = 0, x es arbitrario; b) i = 1, x = ±4.35. a) 1; b) !|(«Z-H), t = 1. 36. c) - sen2(® + iats)(l -h 3iaf2).

3 9 ( M (insen(xy) + J L ) scn'(xy) \ ^ / " hMjco^(xy) J' ' \ - * > w n « * 1

43. 0. 44. 2 cos 2; 2. 48. a) 0; b) 0. 50. /'(ft) = 0 si ft t S ; no existe si x £ k.

51. a) m = { '"""I] • 54. f'{x) = X * 0: 72. No.

73. a) x'ny„+i + x„y'H, /'(•) - 0. 74. a) rc = ^ ( 1 +1) , y = f (1 = * I 41.

75. a) x\2y + 3z - 6. 81. a) 0; 4i3 + 1. 82. a) arccos 4^7• 83. a) . • f i x ;' < •> ' ' tf'-H ' [j-.-a; I l sr. I I

i . .» J . KfHIHIt'sLlS

I iUin-Jy>) -%-Zi 84. b) f(x) i>' ( " W ) 87. a) df(x) f 2.x' ) \ l.'ur I * j \ t t y J ir(a:) ' J v '

2ia dx, 88. n) (0, 1, 2a , . . . , ') dx. 92. ( J * * ^ 1 ) (W. *P) +

(dip, <p)). 94. dx • 96. a) 0,275 . . . . 100. 3 dx, 107. a) dt2; 5 dt2. 109. 3.115. f . 119. 0. 126. df{0) - f . 127. f'(x) = (cos t, - sen t. l)3(11_Jjj.

I c o s 2 f ~ s e n 2 f A 2 ( <//(M)(t+3Q , i1 sen 2f cos 2t J ' / WH^VC2))'

137. ( — 1) n! + (x—2)n+l ~ (a:—3)"*1 ) *

156. 2{A-\x)A'{x)fA~\x) - A-\x)A"{x)A~\x).

1/0' 1 2 u ' 2 ( x ) - 2u(x)u"{x) 2rS-(x) + 2v(x)v"(x)1 ( ^ (4i3 + e (| + 8i3) e~3i (12*3 + f) \ <<v, . t ,

5 d V -it3 | - 8 r - 12i

197. vl = const. 254, Para \x\ > es concava. 255. Para a: < 0 es convexa; para

x > | es concava. 256* En ]0,1[ U ]3, +oo[ es convexa; para 1 < x < 3 es concava.257. Para x > - 1 es concava. 258. Concava para t > — 1. 259. Convexa. 260, Para0 < £ < e y £ > e e s convexa. 261. Concava. 262* Convexa. 264. A la izquierda delpunto x — —1 es concava. 265. No hay flexion. 295. 0. 296. \. 297. 0. 298. \.

299. 301. 0 para a = bt c = 0. 302, b - para a = 96 In3. 304.

305. 0. 306. L 307. 0. 309. 1. 310. 312, » = 2. 313. - 2 s h \t

n = 0. 314, 0, n ^ 2. 315. 1. 316. 1. 318. 0. 320. e " * . 321. e~ri. 322, 0.

323, ( - 1 , 0 , 1 ) . 324. f ~ 2* ° J , 325. §. 359. Indication. Desarrollar la funcion /

en serie de potencias de /a. 364. 0. 404. a)

cos x, - 1 ^ x ^ arcsen ^y^;/ ( a : ) = ^ s e n as, | ^ a: 7r;

tg x, arcsen ^ a: < ?r < x < y .

La funcion /(a?) es de perfodo 2ir. b)

tgx, - § < as ^ 0, | < a: < | + arccos/(«)=-{ senar, 5f ^ x ^ 3 f ;

cos a?, f ^ X f , f + arccos ^ x < f .

405, Curva en forma de espiral definida en el cono x y2 — z1 ~ Q. 406. Curva doble deA A

perfodo 27r (respecto a t) definida en el cilindro parabolico y = -a; — fl. Proyectada sobre elpiano es una curva con lazos simetrica respecto al eje OY. 407. Segmento |a?| ^ 1.408, La parte interior de los ^ del cuadrado. 409, La parte interior del rectangulo0 ^ x < 5, - 3 < y < 2 menos la semicircunferencia {\/x) + y2 < 1. 410, Piano deltriangulo de vertices My{-1, 0), M2{0,1) y Af,(l, 0).

fndice

C a p i t u l o 1 . Lntrodnccion al analisis

§1. Elementos de la teorfa de conjunto® - , r>

§2. Funciones. Aplicaciones J(>

§3. Numeros reales

§4. Numeros complejos

§5. Espacios vectoriales y metricos 42

§6. Limite de una sucesion HO

§7. Limite de una funcion HO

§8. Continuidad de una funcion 114

§9. Continuidad uniforme de una funcidn . . . I ll

Capitulo 2. Calculo difejrencial para funciones dt- una variable

§1 . Derivada de una funcidn explfcita Pi>

§2. Diferencial de una funcidn Ifi.'i

§3. Derivada de la funcidn inversa.Derivada de una funcion definida en forma parametrica.Derivada de una funcion definida en forma implfcita I til

§ 4. Derivadas y diferencialcs de ordenes supcriores H>H

§5. Teorema de Rolle, teorema de Lagrange y teorema de Cauchy IHU

§6. Crecimiento y decrecimiento de una funcion. Dcsigualdifdcs I'M

§ 7. Convexidad y concavidad de la grafica de una funcion.

Puntos de inflexidn I'f/

§8. Calculo de limites indeterminados ','(!,t

§9. Formula de Taylor .'Id

§10. Extremes de una funcion. Valores maximo y minimo tli' I ma lum inn

§11. Construction de la grafica de una funcidn a jmitir dc mimpuntos caractcrislicos . . . .' 'tl

§12. Problemas dc calculo de maximos y minimus dt* una lum Ion ' I t

R e s p u e s t a s .'Mi

I ^