Apostila Calculo II Segunda Parte Areas Volumes

8/19/2019 Apostila Calculo II Segunda Parte Areas Volumes

1/22

Tabela de Integrais Imediatas

∫ −≠++= + )1(

1

1 1ncu

nduu

nn

∫ += cudu

∫ += cuudu

ln ∫ += caa

duau

n

ln

∫ += cedue uu

∫ +−= cuduu sen cos

∫ += cu senduucos ∫ += cutg duu2sec

∫ +−= cu g duuco cotsec 2

∫ += cuduutg u sec.sec

∫ +−= cuecduuuec coscot.cos ∫ +=−cu senarcdu

u 21

1

∫ +=+ cutg arcdu

u 21

1∫ +=

−cuarcdu

uusec

1

1

2

1


2/22

2


3/22

Integrais repetidas

( ) ( )( )

( )

( )

( )

∫ ∫ ∫ ∫

=

=

=

=

=

d

c

xh

x g

d x

c x

xh y

x g y

dxdy y x f dxdy y x f ,,

e

( ) ( )( )

( )

∫ ∫ ∫ ∫ =

=

=

=

=

d

c

by

ay

d y

c y

yb x

ya x

dydx y x f dydx y x f ,,

ou seja,

( )( )

( )

∫ ∫ d

c

xh

x g

dxdy y x f , , primeiro integramos ( ) y x f , em relação a y mantendo x

fixo. Então integramos a quantidade posterior em relação a x (agora, considerando x como uma variável).

or outro lado a integral repetida

( )∫ ∫ d

c

by

ay

dydx y x f , envolve uma primeira integração em relação a x , mantendo y

fixo, entre os limites da integração ( ) xa e ( ) yb . !eguido por uma integração daquantidade resultante em relação a y entre os limites constantes de integração c e d .

Exemplos"

#


4/22

$alcule as integrais repetidas"

a) ∫ ∫ −2

1

2

%

#2 dxdy y x

&) ∫ ∫ 1

% 2

2 y

ydydx y x

c) ∫ ∫ −'

%

2

#

%

21

x

dxdy x

d) ( )∫ ∫ −+

+2

1

2

2 21

y

ydydx x

Integral dupla

!a&emos que a integral simples ( )∫ b

adx x f , se ( ) %≥ x f , representa a área de

uma região.

nalogamente, para o calculo do volume do s*lido compreendido entre uma

superf+cie finita ( ) %≥ x f e a sua projeção D no plano xy% condu a noção daintegral dupla"

( )∫∫ = D

dydx y x f V , como a soma de -uma infinidade de volumes das

-colunas inscritas em forma de paralelep+pedos.

!e ( ) %≤

x f , os n/meros V ∆

são negativos e o&temos (0) como integral.

Exemplos"

'


5/22

1. $alcule a integral dupla ∫∫ R

dA xy2 (de dois modos diferentes). 3 a região

limitada entre a pará&ola2 y x = e a reta x y = ,

2. $alcule a integral dupla ( )∫∫ + R

dA x21 (de dois modos diferentes). 3 a

região limitada entre a pará&ola2 y x = e a reta 2=− y x ,

Exerc+cios"

1. 4se a integral dupla para calcular as áreas das regi5es limitadas pelas curvas"

a)2 y x = e 2−= x y

&)2 x x y −= e %=+ x y

c) 2−= x y e 2−= x y

d) 2 y x = e x y =

e) x y = e 2# x x y −=

6


6/22


7/22

Disciplina: Cálculo IIProfessor: Celso Granetto

1) Calcule a área entre as curvas y = x² e y = - x² + 6x +

7


8/22

!) Calcular a área li"ita#a pelas curvas:

a) y = x² e y = !x + 1

$) y = x² e y = - x² + 6x + %6!

8


9/22

9


10/22


11/22

e) y = x ( ' e y² = !x

11


12/22

12


13/22

f) y = x + ! e y = x²

1#


14/22

&) Deter"ine o volu"e #o sli#o * era#o pela rota,o% e" torno #o eixo #asa$scissas% #as reio so$ a curva y = x² + 1. Co"preen#i#a entre x = / e x = !.

* = 0 '%62) = 1'%66 un3

1'


15/22

') Calcule o volu"e #o sli#o * era#o pela rota,o% e" torno #o eixo #asa$scissas% #a reio so$ a curva #a#a.

a) y = 4x / 5 x 5 '

* = 0 %&&) = 16%26 un3

$) y = !x - x² / 5 x 5 !

* = 0 1%&&) = '%1 un3

16


16/22

1


17/22

c) y = 34x / 5 x 5 1

* = 0 /%2) = !%&6 un3

#) y = &x + 1 x / 5 x 5 1

17


18/22

* = 0 !%) = 2%7 un3

18


19/22

e) y = 34x-&) ' 5 x 5 2

* = 0 '%/1) = 1!%6/ un3

f) y = ex+1) / 5 x 5 !

19


20/22

) y = ex+1) -1 / 5 x 5 !

2%

* = 0 12%&2) = '%6/ un3


21/22

* = 0 1%&2) = '7%!7 un3

21


22/22

.

Apostila Calculo II Segunda Parte Areas Volumes

Documents

Transcript of Apostila Calculo II Segunda Parte Areas Volumes