มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 1

บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน

คอนดบ ในชวตประจ าวน มความเกยวของกบคอนดบอยเสมอ เชน เมอเราไปซอของจะมการจบคของทซอกบราคา หรอในรายการอาหารทจะเหนวาสวนมากจะพมพชออาหารคกบราคา สงเหลานลวนเปนลกษณะของคอนดบ ถาเราจบคระหวางบดากบบตรแลวเขยนในวงเลบ เชน (ด า,มาล)(แดง,สดา),(ขาว,มนา) สงเหลานคอคอนดบ แตละคประกอบดวยสมาชกสองตว คอสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลง หรอสมาชกตวทหนงกบสมาชกตวทสอง การเปนสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงจะแสดงอนดบซงมความส าคญมาก ดงจะเหนไดจากคอนดบทยกตวอยางมา (ด า,มาล) เราถอวาสมาชกตวหนาเปนบดา และตวหลงเปนบตร แตถาเราสลบเปน(มาล,ด า) สงทไดมาจะผดความหมายจากทเราก าหนดใหเดม

ดงนนสงส าคญในการเปนคอนดบกคอ จะตองเปนคและมอนดบ คล าดบประกอบดวย โดยถอวาต าแหนง หรออนดบ เปนส าคญ ถาสลบทของต าแหนงจะท าใหความหมายเปลยนไป ในทางคณตศาสตร มกเขยนคอนดบในรป ( a , b ) โดยท a เปนสมาชกตวหนา และ b เปนสมาชกตวหลง (a,b) และ (b,a) จะ ไมเทากน นอกจาก a=b เทานน หรอ (a,b) =(c,d) กตอเมอ a=c และ b=d

ผลคณคารทเชยน นยาม ให A กบ B เปนเซตใด ๆ ผลคณคารทเซยนของเซต A กบเซต B จะใชสญลกษณ A x B อานวา A ครอส B คอเซตของคอนดบซงสมาชกตวแรกเปนสมาชกของเซต A และสมาชกตวหลงเปนสมาชกของเซต B

จะสามารถเขยน A x B ในรปเซตแบบบอกเงอนไขไดดงน })|),({ BbAabaBA และ

ขอสงเกต 1. ถา A และ B เปนเซตจ ากด จ านวนสมาชกของเซต A x B เทากบ จ านวนสมาชกของเซต A คณกบจ านวนสมาชกของเซต B

2. บางครงเราอาจใช A2 แทน A x A ตวอยาง เชน A = 1,2,3 , B = 4,5,6

และ A x B คอ ผลคณคารทเชยนของเซต A และ เซต B ดงนน A x B = (1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),( 3,6)

ตวอยาง A={1,3,5} B = {a,b} AxB = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)}

BxA = {(a,1),(a,3),(a,5),(b,1),(b,3),(b,5)} AxA = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5), (5,1),(5,3),(5,5)} BxB = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}

จากตวอยางจะเหนวา A x B ≠ B x A

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 2

ความสมพนธ (RELATIONS) ความสมพนธ เกดจากของสองสงมาเกยวของกนภายใตกฎเกณฑอยางใดอยางหนง และของทงสอง

สงนน จะเขยนในรปของคอนดบไดเสมอ นยาม 1. ความสมพนธ คอ เซตของคอนดบแทนดวยสญลกษณ r 2. r เปนความสมพนธจาก เซต Aไปเซต B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A X B เขยนไดวา r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r A X B r ไมเปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r A X B

ตวอยาง ก าหนดให A = {2,4,6} B = {a,c,d} R1 = {(2,a),(2,c)} R2 = {(4,9),(6,d),(d,c)}

จงพจารณาวา ความสมพนธ R1, R2 เปนความสมพนธ จาก Aไป B หรอไม เพราะเหตใด วธท า A X B = {(2,a),(2,c),(2,d),(4,a),(4,c),(4,d),(6,a),(6,c),(6,d)}

R1 เปนความสมพนธจาก A ไป B เพราะเหตวา R1 A X B R2 ไมเปนความสมพนธจาก A ไป B เพราะเหตวา R2 A X B

ในท านองเดยวกน R เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ R B X A

R เปนความสมพนธจาก A ไป A กตอเมอ R A X A

R เปนความสมพนธจาก B ไป B กตอเมอ R B X B

ความสมพนธ บางครงอาจจะเขยนอยในรปเงอนไข เชน R = {(x,y) A X A x + y < 19} โดยท A = {5,9,13,17} ดงนน เราจะแจกแจงสมาชกไดเปน R = {(5,5),(5,9),(5,13),(9,5),(9,9),(13,5)} ในทนจะเหนวา R จะตองเลอกมาจากคอนดบใน A X A เทานนและจะตองม

ความสมพนธ x + y < 19 เชนเราได (5,5) R เพราะ 5+5 = 10 < 19

ตวอยาง ถา tiiA ={2 , 3 , 4} B = {5 , 6 , 8 , 9} ให r1 คอความสมพนธ " หารลงตว" จาก A ไป B

จะได r1 = { (2,6) , (2,8) , (3,6) , (3,9) , (4,8) } ให r2 คอความสมพนธ "เปนรากทสอง" จาก A ไป B

จะได r2 = { (3,9) } ให r3คอความสมพนธ "มากกวา" จาก A ไป B

จะได r3=

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 3

ตวอยาง ให A ={x| x เปนจ านวนเตม} B ={x| x เปนจ านวนเตมบวก} r1 และ r2 ตอไปนเปนความสมพนธจาก A ไป B r1 ={(x, y) A x B | y = x2}

r2 ={(x, y) A x B | y = 2

x } เขยน r1 และ r2 แบบแจกแจงสมาชกจะได

r1= {(1,1),(-1,1),(2,4),(-2,4),.....} หรอ r1 ={(x, y) A x B และ y = x2}

r2= {(2,1),(4,2),(6,3),(8,4), ,.....} หรอ r2 ={(x, y) A x B และ y =2

x }

ตวอยาง ให A ={0, 1, 2, 3, 4} และ B = {2, 4, 6, 8} จงหาความสมพนธจาก A ไป B 1) r1 ={(x, y) A x B | y = 2x} 2) r2 ={(x, y) A x B | y < 2x} 3) r3 ={(x, y) A x B | y > 2x} ตวอยาง ให r เปนความสมพนธในเซตของจ านวนเตม r ={(x, y) I x I | y = x2} จงแสดงกราฟของ r

ตวอยาง ให r ={(x, y) I x I | y = x } จงแสดงกราฟของ r

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 4

โดเมน (DOMAIN) และ เรนจ (RANGE) ของความสมพนธ โดเมน ของความสมพนธ ไดแก เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบท งหมดกลาวคอ พกด x

ทงหมดทยอมรบได เขยนแทนดวย D(r) หรอ Dr Dr = {x(x,y) r } เรจน ของความสมพนธ ไดแก เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบทงหมดกลาวคอ พกด y ทงหมดทยอมรบได เขยนแทนดวย R(r) หรอ Rr Rr = {y(x,y) r } ตวอยาง r = {(1,2),(1,3),(2,2),(3,5)} จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ วธท า Dr = {1,2,3} Rr = {2,3,5} ตวอยาง r = {(x,y) I X I | y =2x} จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ วธท า r = {......,(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),...}

Dr = { x xI} Rr = {y y จ านวนค} ตวอยาง r = {(x,y) R X R | y =2x – 3} จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ วธท า Dr = { x x R} Rr = {y y R} ตวอยาง ให A = {-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3} และก าหนดใหความสมพนธ r ใน A คอ {(x, y)| y=x2}

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธน

r เปนความสมพนธใน A หมายถง r A x A r = {(-1,1),(0,0),(1,1)} ดงนน Dr = {-1,0,1} Rr = {0,1}

ตวอยาง ก าหนดให r= {(x,y) I x I | y =x2} จงหาโดเมนและเรนจของ r เนองจาก r เปนความสมพนธในเซตของจ านวนเตมและจ านวนเตมใด ๆ ไมวาจะเปนบวกหรอ

ลบ หรอศนยกตาม สามารถน ามายกก าลงสองไดทงสน ดงนน Dr ={x | x เปนจ านวนเตม}

จ านวนเตมใด ๆ เมอน ามายกก าลงสองแลวผลท ไดออกมาจะเปนจ านวนบวกเสมอ นอกจากศนยซงยกก าลงสองแลวไดศนย

ดงนน Rf ={y | y เปนจ านวนเตมบวกทเปนก าลงสองสมบรณ หรอศนย}

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 5

ตวอยาง ก าหนดให r = {(x,y)| y = 1

1

x } จงหาโดเมนและเรนจของ r

การหาคาของ1

1

x เมอแทน x ดวยจ านวนจรงใด ๆ ไดเสมอ นอกจาก เมอ x=1

เพราะ 1

1

x=

0

1 ไมมความหมาย ดงนน Dr = {x | x ≠ 1}

การพจารณาหาเรนจของ r เขยน x ใหอยในรปของ y ไดคอ x= 11

y จะเหนไดวา y ตอง

ไมเทากบศนย ดงนน Rr ={y | y ≠ 0}

ตวอยาง ก าหนดให r ={(x,y)| y = 216 x } จงหาโดเมนและเรนจของ r พจารณาโดเมนจะเหนวา จ านวนทจะน ามาแทนคา x นนจะตองไมท าให 16 - x2 เปนลบ

เพราะรากทสองของจ านวนลบไมเปนจ านวนจรง เมอให 16 - x2 0 จงมคาไดตงแต -4 ถง 4 หรอ เขยนไดในรป [-4,4,] หรอ |x| 4

ดงนน Dr ={x| -4 x 4} หรอ {x | |x| 4} หรอ [-4, 4]

เนองจาก 216 x จะตองไมเปนจ านวนลบ และจะมากทสดเมอ x=0 ดงนน Rf ={y|0 y 4} หรอ [0, 4]

ตวอยาง ก าหนดความสมพนธใหตอไปน จงเขยนกราฟของความสมพนธ พรอมทงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก าหนดขน 1) }022|),{(1 yxRRyxr 2) }4|),{( 2

2 xyRRyxr 3) }2|),{(3 xyRRyxr

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 6

4) }4|),{( 22

4 yxRRyxr 5) }|),{(5 xyRRyxr ฟงกชน (FUNCTION) นยาม ถา f เปนความสมพนธ จะเรยก f วาเปนฟงกชน เมอแตละสมาชกในโดเมน(สมาชกตวหนาของคอนดบ)จะจบคหรอมความสมพนธกบสมาชกในเรนจ(สมาชกตวหลงของคอนดบ)ไดเพยงสมาชกเดยว

รปท 1 และรปท 2 เปนลกษณะการจบคทท าใหความสมพนธเปนฟงกชน

รปท 3 เปนลกษณะการจบคทท าใหความสมพนธไมเปนฟงกชน

1

2

3

a

b

c

A B

f

รปท 1 1

A B

1

2

3

x

y

f

รปท 2

1

2

3

a

b

c

d รปท 3

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 7

การตรวจสอบวาความสมพนธใดเปนฟงกชนหรอไม 1. โดยใชกราฟ วธการตรวจสอบคอ ใหลากเสนตรงขนานกบแกน y ตดกราฟของความสมพนธนน

- ถาตดกราฟเพยงจดเดยว : แสดงวา ความสมพนธนน เปนฟงกชน - ถาตดกราฟมากกวาหนงจด : แสดงวา ความสมพนธนน ไมเปนฟงกชน

2. โดยใชหลกการพจารณาทวา ถา ( a, b ) r และ ( a, c) r ถาสามารถสรปไดวา b = c กแสดงวาความสมพนธนนเปนฟงกชน

ตวอยาง จงพจารณาวาความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม 1) )}1,2(),1,1(),0,1(),1,0{(1 r 2) )}4,1(),1,3(),3,2(),2,1{(2 r 3) }12|),{(3 xyRRyxr

4) }4|),{( 22

4 yxRRyxr 5) }14|),{( 2

5 xyRRyxr 6) }1|),{(6 xyRRyxr

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 8

หมายเหต ในกรณทความสมพนธ f เปนฟงกชน เราสามารถเขยน y = f(x) แทน (x,y) ∈ f ได และเรยก f(x) วาฟงกชน f ท x อานวา เอฟทเอกซ หรอ เอฟเอกซ

จาก ( x , y ) ∈ f เขยนแทนไดดวย ( x , f(x) ) ∈ f โดเมนและเรนจของฟงกชน เนองจากฟงกชนเปนความสมพนธชนดหนง ดงนนการหาโดเมนและเรนจของฟงกชนจงกระท าไดเชนเดยวกบการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ บทนยาม ถา f เปนฟงกชนจาก A ไป B โดเมนของ f คอ เซตของสมาชกตวหนาทกตวของคอนดบ f เขยนแทนดวย }),(|{ fyxxD f เรนจของ f คอ เซตของสมาชกตวหลงทกตวของคอนดบ f เขยนแทนดวย }),(|{ fyxyR f ตวอยาง จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนตอไปน 1) 13)( xxf

2) 2

1)(

xxg

3) 1)( xxh

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 9

4. 3)( xxf

การประยกตใช

ตวอยาง จงเขยนสมการแสดงความสมพนธตอไปน

1. เจมสไดคาแรงในการรองเพลงชวโมงละ 250บาท หากเขาท างาน 15 วน เขาจะไดเงนเทาไร ให Y แทนเงนทไดรบ (บาท) และ X แทน จ านวนชวโมงทรองเพลงในแตละวน (ชวโมง) …………………………………………………………………………………………………

2. พอคาตงราคาขายทวราคา 11,800 บาท และมสวนลดส าหรบผซอเงนสดจ านวนหนง ถาพอคามก าไร 2,000 บาท พอคาซอทวมาราคาทนเทาไร ให Y แทนราคาทน (บาท) และ X แทน สวนลดทพอคาลดใหผซอเงนสด (บาท) …………………………………………………………………………………………………

3. พมเงน 3,000 บาท ซอเสอราคาโหลละ 1,800 มาจ านวนหนง พจะเหลอเงนเทาไร ให Y แทนเงนทเหลอ (บาท) และ X แทน จ านวนเสอทซอมา (ตว) …………………………………………………………………………………………………

4. แมตดเสอจ านวนหนง ใชผาตวละ 4 เมตร ถาแมซอผามา 30 เมตร แมจะเหลอผา กเมตร ให Y แทนปรมาณผาทเหลอ (เมตร) และ X แทน จ านวนเสอทตด (ตว) …………………………………………………………………………………………………

5. รถยนตคนหนงราคา 1,000,000 บาท ถาอตราคาเสอมราคาคงทเทากนทกปของรถยนตคนนคอ 20,000 บาทตอป ส าหรบ 10 ปแรกของอายการใชงาน ให Y แทนมลคารถยนตหลงหกคาเสอมราคา (เมตร) และ X แทน อายการใชงานของรถยนต (ป) …………………………………………………………………………………………………

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 10

ตวอยาง โรงงานแหงหนงมตนทนคงทในการผลตเครองคดเลข 180,000 บาท และตนทนในการผลตตอเครองคอ 24 บาท ถาโรงงานแหงนวางแผนการผลตเครองคดเลข x เครอง 1) จงเขยนสมการแสดงความสมพนธระหวางจ านวนเครองคดเลขทผลตกบก าไรทไดรบ เมอตงราคาไว 60

บาทตอเครอง 2) จงหาจดคมทนในการผลตเครองคดเลขของโรงงานแหงน

จดคมทนหมายถง การพจารณาวาจะตองผลตเครองคดเลขกเครองจงจะท าใหยอดขายทงหมดเทากบตนทนทงหมด

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 11

ปญหาก าหนดการเชงเสน

ก าหนดการเชงเสน (Linear Programming) เปนเทคนคหรอเครองมอทนยมน ามาใชใน การแกปญหาตางๆ เชน ปญหาดานการบรหาร วศวกรรม ทหาร การแพทย และสงคมศาสตร เปนตน ก าหนดการเชงเสนเปนเทคนคทเกยวของกบการหาคาสงสดและคาต าสด เชน ก าไรสงสด หรอตนทนต าสด เปนตน เทคนคก าหนดการเชงเสนคอ การน าเอาขอจ ากดตางๆ เงอนไขตางๆ ทรพยากรทมอย และเปาหมายทตองการมาเขยนใหอยในรปของ สมการ หรอ อสมการ จากนนน าตวแบบทไดไปแกปญหาดวยวธทางคณตศาสตรเพอใหไดค าตอบทสอดคลองกบเปาหมายทตองการและเงอนไขขอจ ากดตางๆ

ตวแบบ (model) ของปญหาก าหนดการเชงเสน ประกอบดวย 2 สวน คอ 1) ฟงกชนจดประสงค (objective function) ฟงกชนจดประสงคเปนฟงกชนทเราจะน าไปหาคา

เหมาะสมทสด (มากทสด หรอ นอยทสด) ตวอยางของฟงกชนนไดแก ฟงกชนของผลก าไร (ตองการหาคามากสด) ฟงกชนของตนทน (ตองการหาคานอยสด) เปนตน

ตวอยางการหาฟงกชนจดประสงค 1) โรงงานไมแปรรปแหงหนงสามารถผลตโตะได 7 ตว และเกาอได 22 ตวตอ 1 วน

ฟงกชนจดประสงคของรายไดแตละวน (Z) ของโรงงาน คอ

yxZ 227 เมอ x คอราคาโตะ และ y คอราคาเกาอ

2) โรงงานไมแปรรปแหงหนงสามารถผลตโตะได x ตว และเกาอได y ตวตอ 1 วน โดยโตะมมลคา 2,000 บาท ตอ 1 ตวเกาอมมลคา 250 บาท ตอ 1 ตว

ฟงกชนจดประสงคของรายไดแตละวน (Z) ของโรงงาน คอ

3) รานตดชด The Tailor ใชผาฝายและผาลนนในการตดชดถาผาฝายราคา 200 บาท ตอตารางเมตรและ ผาลนนราคา 300 บาท ตอตารางเมตร

ฟงกชนจดประสงคของคาใชจาย (Z) ของรานตดชด คอ

เมอ x แทนพนทของผาฝาย (หนวยตารางเมตร) และ y แทนพนทของลนน (หนวยตารางเมตร)

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 12

4) รานตดชด The Tailor ขายเสอไดวนละ x ตว และกางเกงวนละ y ตว เสอราคาตวละ 1200 บาท และกางเกงราคาตวละ 800 บาท

ฟงกชนจดประสงคของรายไดของรานตดชด คอ (2) ขอจ ากดหรอเงอนไขบงคบ (Constraints) เปนสมการ หรอ อสมการ ซงเปนขอก าหนด ขอบงคบ ขอบเขตหรอ ขดจ ากด ตางๆ ทอยในปญหาเหลานน ตวอยางตความเงอนไขของปญหาใหอยรปคณตศาสตร 1) โรงงานไมแปรรปแหงหนงสามารถผลตโตะไดไมเกน 10 ตว เกาอไดไมเกน 15 ตว และไมสามารถผลต

งานไมไดเกน 20 ชน ภายใน 1 วน ถาให x เปนจ านวนโตะทโรงงานผลตไดใน 1 วน และให y เปนจ านวนเกาอทโรงงานผลตไดใน 1 วน เราสามารถตความเงอนไขดงกลาวใหอยในรปคณตศาสตรไดเปน

0x 0y 10x 15y 20 yx 2) ชางตดเสอมผาอย 2 ชนดทจะใชท าเสอและกางเกงไดแก ผาฝาย 80 ตารางเมตร และ ลนน 120 ตาราง

เมตร เสอ 1 ตวใชผาฝาย 1 ตารางเมตร ลนน 3 ตารางเมตร กางเกง 1 ตว ใชผาฝาย และ ลนน อยางละ 2 ตารางเมตร

ถาให x แทนจ านวนเสอ และ y แทนจ านวนกางเกง เราสามารถตความเงอนไขดงกลาวใหอยในรปคณตศาสตรไดเปน

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 13

3) นายบญและนางมา ปรกษาเกษตรต าบลในการท าเกษตรสวนผสมเกษตรต าบลบอกวาพชผกทนายบญและนางมาจะปลกตองการสารอาหารอยางนอย ไนโตรเจน(N) 300 สวน, ฟอสฟอรส(P) 240 สวน และ โปรแทสเซยม(K) 90 สวน ถงจะใหผลผลตด เมอทงคไปหาปยในทองตลาดพบวายหอมาเหาะเปนปย สตร 10-5-6 และยหอมาเหน เปนปยสตร 5-10-1

ถาให x แทนจ านวนป ยยหอ มาเหาะ (หนวยเปนกระสอบ) และ y แทนจ านวนป ยยหอ มาเหน (หนวยเปนกระสอบ) เราสามารถตความเงอนไขดงกลาวใหอยในรปคณตศาสตรไดเปน

การแกปญหาก าหนดการเชงเสน

เมอสามารถตความปญหาใหอยในรปของตวแบบทางคณตศาสตรไดแลว ซงเราจะไดฟงกชนจดประสงค และเงอนไข การแกปญหาก าหนดการเชงเสน คอ การหาคาเหมาะสมทสด (สงสด หรอ ต าสด) ของฟงกชนจดประสงคภายใตเงอนไขนนเอง เทคนคการแกปญหามหลายวธ แตทจะกลาวถงคอวธการใชกราฟในการแกปญหาก าหนดการเชงเสนเทานน

การแกปญหาก าหนดการเชงเสนดวยวธกราฟ การแกปญหาดวยวธกราฟใชไดในกรณทมตวแปรเพยง 2 ตว สวนขอจ ากดจะมกขอกได เปนวธท

เขาใจงาย โดยมขนตอนดงน 1) ก าหนดตวแปร X เปนแกนนอน และ Y เปนแกนตง 2) สรางเสนตรงแสดงเงอนไขหรอขอจ ากด โดยเสนตรง 1 เสนหมายถงขอจ ากด 1 ขอ 3) หาพนททแสดงผลลพธทงหมดทเปนไปได 4) สรางเสนตรงแสดงฟงกชนวตถประสงค 5) หาผลลพธทดทสด

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 14

ตวอยาง บรษท Pen – Pencil ผลตดนสอและปากกาออกจ าหนาย ดนสอไดก าไรแทงละ 4 บาท ปากกาไดก าไรดามละ 6 บาท ในการผลตปากกาและดนสอตองใชวตถดบ 2 ชนด คอ A และ B ดนสอ 1 แทงใชวตถดบ A จ านวน 1 หนวย วตถดบ B จ านวน 6 หนวย ปากการ 1 ดาม ใชวตถดบ A จ านวน 2 หนวย วตถดบ B จ านวน 4 หนวย ถาในสปดาหหนาทางบรษทมวตถดบ A เพยง 8 หนวยและมวตถดบ B จ านวน 24 หนวย บรษทควรวางแผนการผลตอยางไร เพอใหไดก าไรสงสด ถาสมมตวาผลตดนสอและปากกามาจ านวนเทาใดกสามารถขายไดหมด

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 15

ตวอยาง นายสมพรประกอบอาชพเลยงสกร เขาตองสงซอวตถดบมาผลตอาหารใหสกร เขาไดศกษาสารอาหารทไดจากวตถดบ 2 ชนด ซงแตละชนดมปรมาณโปรตน ไขมน และเกลอแรแตกตางกนไป ดงน

สารอาหาร จ านวนสารอาหารในหนงกระสอบ (กโลกรม) วตถดบชนดท 1 วตถดบชนดท 2

โปรตน 30 20 ไขมน 10 20 เกลอแร 5 10

นายสมพรไดศกษาถงความตองการของสารอาหารตางๆในสกรทงหมดทเขาเลยง พบวา เขาม ความตองการโปรตนอยางนอย 110 กโลกรม ไขมนอยางนอย 50 กโลกรม และเกลอแรอยางนอย 15 กโลกรม จงจะเพยงพอในการเลยงสกรของเขา ซงทางผผลตวตถดบไดเสนอราคาวตถดบชนดท 1 ในราคากระสอบละ 40 บาท และวตถดบชนดท 2 ในราคากระสอบละ 30 บาท นายสมพรควรสงซอวตถดบแตละชนดจ านวนเทาใดจงจะใชตนทนต าทสด และไดสารอาหาร แกสกรครบถวนตามตองการ

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 16

แบบฝกหด

1. พจารณาคอนดบตอไปน จงหาคา x และ y 1.1 (x,y) = (4,5) x = ………………… y = ………………….. 1.2 (x,3) = (-2,y) x = ………………… y = ………………….. 1.3 (2x + 1 , 13) = (3,4y - 3) x = ………………… y = …………………..

2. ก าหนดเซต A และ B ดงตอไปน 2.1 A = {1,2} และ B = {3,4} A x B = ……………………………………………………... n(A x B) = ………..

B x A = …………………………………………….……….. n(B x A) = ……….. 2.2 A = {1,2} และ B = {a,b,c} A x B = ……………………………………………………... n(A x B) = ………..

B x A = …………………………………………….……….. n(B x A) = ……….. 2.3 A = {a,b} และ B = { } A x B = ……………………………………………………... n(A x B) = ………..

B x A = …………………………………………….……….. n(B x A) = ……….. 2.4 A = และ B = {3,4,5} A x B = ……………………………………………………... n(A x B) = ………..

B x A = …………………………………………….……….. n(B x A) = ……….. 2.5 A = {a,b} และ B = {1,2,3} A x A = ……………………………………………………... n(A x A) = ………..

B x B = …………………………………………….……….. n(B x B) = ………..

3. ก าหนด A = {1,2,3} , B = {2,3} และ C = {3,5} จงหา 3.1 A x B = ……………………………………………..…………………………………………............. 3.2 A x C = …………………………………………..……………………………………………............. 3.3 (A x B) (A x C) = …………………………………………..……………………………………... 3.4 A x (BC) = …………………………………………..…………………………….……………….. 3.5 พจารณาวา (AxB) (AxC) = Ax(BC) หรอไม ตอบ ……………… 3.6 (A x B) (A x C) = ……………………………………………..…………………………………….. 3.7 A x (BC) = ……………………………………………..……………………….……………………. 3.8 พจารณาวา (A x B) (A x C) = A x (BC) หรอไม ตอบ ………………

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 17

3.9 (A x B) - (A x C) = …………………………………………..………………………………………….. 3.10 A x (B - C) = ……………………………………………..…………...……………………………. 3.11 พจารณาวา (AxB) - (AxC) = Ax(B - C) หรอไม ตอบ ………………

4. ก าหนดให A = }2020|),{( xyandxIIyx

B = }4022

|),{( yandxy

IIyx

จงเขยนเซตตอไปน แบบแจกแจงสมาชก 4.1 A = …………………………………………………………… DA = …………………………………………………………… RA = …………………………………………………………… 4.2 B = …………………………………………………………… DB = …………………………………………………………… RB = ……………………………………………………………

5. จงเขยนสมการแสดงความสมพนธตอไปน

5.1 มลกแกว 900 ลก จดแบงใหเดกจ านวนหนง คนละ 30 ลก จะเหลอลกแกวทลก ให Y แทนจ านวนลกแกวทเหลอ (ลก) และ X แทน จ านวนเดก (คน) …………………………………………………………………………………………………

5.2 สายสดาซอปากกา 3 ดาม เปนเงน 36 บาท และซอสมดจ านวนหนง ซงราคาตอเลมเปน 2 เทาของ ปากกาหนงดาม สายสดาจายเงนคาสมดเปนเงนเทาไร ให Y แทนจ านวนเงนทจายคาสมด (บาท) และ X แทน จ านวนสมดทซอ (เลม)

…………………………………………………………………………………………………

5.3 สกญญาเตยกวาสคนธ สคนธสงกวาสทน 5 ซม. สทนสง 145 สกญญาสงก ซม. ให Y แทนความสงของสกญญา (ซม.) และ X แทนความแตกตางความสงสกญญากบสคนธ (ซม.) …………………………………………………………………………………………………

5.4 ชวงปดเทอมจกรชยไปหารายไดพเศษโดยเปนพนกงานหนาราน 8 วน ไดเงนวนละ 150 บาท ตอมา เปนพนกงานสงของตามบาน 6 วน ไดเงนแตละวนมากกวาเปนพนกงานหนารานอยจ านวนหนง จกรชยมรายไดชวงปดเทอมทงสนกบาท ให Y แทนเงนทจกรชยไดรบ (บาท) และ X แทน คาแรงทแตกตางระหวางงานทง (บาท) …………………………………………………………………………………………………

มธ.151 บทท 3 ความสมพนธและฟงกชน 18

6. โรงงานผลตสนคาชนดหนง มวตถดบ ก 130 กโลกรม และ วตถดบ ข 170 กโลกรม โรงงานตองการผลตสนคาเพอจ าหนาย โดยจะผลต 2 สตร สตร A ประกอบดวย วตถดบ ก และ ข อยางละครง จะขายกโลกรมละ 200 บาท สตร B ประกอบดวย วตถดบ ก 1 สวนและ ข 2 สวน จะขายกโลกรมละ 125 บาท ทางโรงงานตองการทราบวาจะตองผลตออกมาอยางละเทาใด จงจะขายไดยอดขายมากทสด

7. ชาวไรคนหนงมท 10 ไร เพอการเพาะปลกออยและขาวโพด เขาตองท าการเพาะปลกอยางนอย 7 ไร แตเขามเงนทนทจะใชจายอยเพยง 1,200 บาท และแตการปลกออยแตละไรตองใชเงน 200 บาท สวนการปลกขาวโพดแตละไรตองใชเงน 100 บาท นอกจากนชาวไรยงตองท าการเพาะปลกใหเสรจสนภายใน 12 ชม. โดยตองใชเวลา 1 ชม. ในการปลกออยแตละไร และใชเวลา 2 ชม. ในการปลกขาวโพดแตละไร ถาออยมก าไรเปน 500 บาทตอไร และขาวโพดมก าไร 300 บาท ตอไร จะตองปลกพชแตละชนดอยางละกไรเพอใหไดก าไรสงสด

8. เหมองแรแหงหนงมเหมองแรของบรษทเองอยสองแหงโดยทแตละเหมองจะผลตแร ไดสามชนด คอ ดบก ทองแดง และ สงกะส จ านวนแรแตละชนดผลตไดดงตารางตอไปน

ชนดแร เหมอง

จ านวนผลตเปนตนตอวน ดบก ทองแดง

สงกะส

A 6 2 4

B 2 2 12

บรษทมสญญาจะตองสงแรใหลกคาในหนงสปดาหดงน ดบก จ านวน 12 ตน

ทองแดง จ านวน 8 ตน สงกะส จ านวน 24 ตน

ถาตนทนการผลตแรตอวนของเหมอง A เปน 40,000 บาท และเหมอง B เปน 32,000 บาทแลว บรษทจะจดการผลตแรอยางไรจงจะมจ านวนครบตามสญญาและตนทนการผลตทงหมดต าสดดวย