8/17/2019 5- GuíaVECTORES Practica Complemenicies

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ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA I

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GUIA DE ESTUDIO Nº 6: “SUPERFICIES”   

Esta guía tiene la intención de ayudarte en el aprendizaje de los contenidos

desarrollados en el material de estudio “Superficies” (autor: Ing. Ricardo Sagristá).Tales contenidos corresponden a la Unidad 9 del Programa Analítico de la Asignatura.

UNIDAD 9 “Superficies Cuádricas. Curvas”9.1. Ecuaciones de superficies.9.2. Ecuaciones de curvas en el espacio.9.3. Superficies cilíndricas.9.4. Superficies cónicas.9.5. Superficies de revolución.9.6. Superficies esféricas.9.7. Estudio elemental de las cuádricas. Ecuaciones reducidas y formas de las

mismas.

(En las actividades propuestas se presentan problemas (numerados del 1 al 8),algunas de cuyas respuestas se encuentran al final de la guía).

  Actividad 1:    Realiza la lectura del material didáctico hasta el párrafo 3: “Superficies cilíndricas

con generatrices paralelas a los ejes” , inclusive.

  Resuelve:1. Reconoce y representa las siguientes ecuaciones dadas en 3ℜℜℜℜ :

a) 122 =+ y x  .

b) 0.3 2 =z  .c) 36.9.4 22 =+ z x  .d) 036.4 2 =−z  .

  Actividad 2:    Continúa con la lectura de los párrafos 4. Ecuaciones de curvas en el espacio y

5.Superficies cilíndricas (caso general).

  Resuelve:2. Halla la ecuación de la superficie cilíndrica considerando como directriz la

curva de ecuaciones

=

∀=+

3

922

z 

z y x   y la generatriz paralela al vector

)1,1,1(   − . Reconoce previamente la curva directriz.

  Actividad 3:  

  Continúa con la lectura del párrafo 6: “Superficies cónicas”. 

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  Resuelve:3. Determina la ecuación de la superficie cónica con vértice en )1,1,1(V  y cuya

directriz es la curva de ecuaciones

=

=+

3

94

22

z 

y x 

. Reconoce previamente la

curva directriz.

  Actividad 4 :    Lee atentamente el párrafo 7 . En él se deduce la ecuación de una superficie que

se obtiene haciendo rotar una curva contenida en un plano coordenado alrededorde un eje coordenado (del mismo plano).

  Resuelve: 4. Encuentra la ecuación de la superficie que se genera al rotar alrededor del eje y

la recta de ecuación

=

=−

0

0

z 

y x 

. ¿Reconoces la superficie obtenida?

  Actividad 5:    Continúa con la lectura del párrafo 8: “Superficies esféricas” .

  Resuelve:5. Determina la ecuación de la superficie esférica con centro en el punto

)4,6,3(   −   que sea tangente al plano 01022   =−−− z y x  . Explica cómopodrías obtener las coordenadas del punto de tangencia.

6. Halla la ecuación de una esfera, sabiendo que uno de sus diámetros es elsegmento determinado por los puntos )5,2,6(   −  y )7,0,4(− .

  Actividad 6:    Lee atentamente el párrafo 9   para completar el estudio de las ecuaciones

reducidas de las cuádricas: elipsoide, hiperboloide de una hoja, hiperboloide dedos hojas, paraboloide elíptico  y paraboloide hiperbólico .

Observa:

A partir de una ecuación se estudian propiedades de la superficie tales como

simetrías, intersección con ejes y planos coordenados e intersección con planosparalelos a los coordenados.

Cada una de estas cuádricas tiene una ecuación reducida cuya particularidades conveniente tengas siempre presente. 

  Resuelve:7. Realiza el estudio y la gráfica de las superficies cuyas ecuaciones se dan a

continuación. Analiza si alguna de ellas es de revolución y, en ese caso indicauna curva y un eje alrededor del cual debe girar la curva para generar lasuperficie.

a) 062

22=−+

z y x  .b) 3636124 222 =++ z y x  .

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c) 1999

222

=−−z y x 

.

d) 1999

222

=−+z y x 

.

e) 0999

222

=−+ z y x  .

f) z y x  84 22 =− .

  Actividad 7:  Las siguientes proposiciones son falsas. Señala el error en cada caso:

a) ( ){ }9:,, 2223 =++ℜ∈ z y x z y x   representa una circunferencia en el espaciocon centro en el origen y radio 3.

b) ( ) ( ) z y x   ∀=−+−

421

22

  representa una circunferencia con centro en( )2,1  y radio 2.

c) ( ){ }   φ ==++ℜ∈ 04:,, 223 z y x z y x   d) En 3ℜ , la ecuación 022 =+ y x   representa al origen de coordenadas.e) No existen rectas íntegramente contenidas en al superficie de ecuación

11694

222

=−+z y x 

.

  Actividad 8:  

  Para finalizar esta unidad realiza la lectura del párrafo 6.7.: “Curvas en E 3 ”, deltexto “Geometría Analítica con vectores y matrices” (autor: D. C. Murdoch). En él se presentan ejemplos que te muestran cómo encontrar las ecuaciones delas curvas, que son las proyecciones sobre los planos coordenados de una curvaen el espacio.

  Resuelve:8. Escribe y reconoce las ecuaciones de las curvas que resultan de proyectar a

=++

+=Γ 

0:

22

z y x 

y x z   sobre cada uno de los planos coordenados.

  RESPUESTAS

1. Las ecuaciones corresponden a:a) una superficie cilíndrica, con generatriz paralela al eje z y directriz la

circunferencia con centro en O y radio 1 en el plano Oxy.b) el plano Oxy.c) una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje y, y directriz la elipse

=

=+

0

149

22

y 

z x 

.

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d) un par de planos paralelos al plano coordenado Oxy ( y x z    ∀∀−= 3 ;y x z    ∀∀= 3 ).

2. La curva directriz es la circunferencia (contenida en el plano de ecuación 3=z  ) decentro )3,0,0(   y radio 3. La ecuación de la superficie es

9)3()3( 22 =+−++− z y z x  .

3. La curva directriz es la elipse (contenida en el plano de ecuación 3=z  ) de centro)3,0,0(   y eje mayor de longitud 12 (eje paralelo al eje x). La ecuación de la

superficie es [ ] [ ] 222 )1.(36)1()1.(2.4)1()1.(2   −=−+−+−+− z z y z x  .

4. La ecuación es 0222 =+− z y x  . 

5. 16)4()6()3( 222 =++−+− z y x  .

6. 62)1()1()1( 222 =++−+− z y x  .